Maksimumlu fark denklemlerinin periyodikliği üzerine bir çalışma

T.C.

SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

MAKSĐMUMLU FARK DENKLEMLERĐNĐN PERĐYODĐKLĐĞĐ ÜZERĐNE BĐR ÇALIŞMA

ALPER SERĐN YÜKSEK LĐSANS TEZĐ ORTAÖĞRETĐM ANA BĐLĐM DALI MATEMATĐK ÖĞRETMENLĐĞĐ PROĞRAMI

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

MAKSĐMUMLU FARK DENKLEMLERĐNĐN PERĐYODĐKLĐĞĐ ÜZERĐNE BĐR ÇALIŞMA

Alper SERĐN

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Ortaöğretim Ana Bilim Dalı Matematik Öğretmenliği Programı Danışman: Doç. Dr. Cengiz ÇĐNAR

2009, 81 Sayfa

Jüri: Doç. Dr. Süleyman SOLAK Doç. Dr. Cengiz ÇĐNAR Yrd. Doç. Dr. Dağıstan ŞĐMŞEK

Bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, fark denklemleri ile ilgili genel tanım ve teoremleri verdik.

Đkinci bölümde, maksimumlu ve minimumlu fark denklemleri ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgi verdik.

Üçüncü bölümde, başlangıç şartları pozitif reel sayılar olmak üzere,

      = − − − + 2 1 1 1 . 1 , . 1 n n n n n x x x x mak

x maksimumlu fark denklemini tanımladık ve çözümlerinin periyodikliğini inceledik.

ABSTRACT

M. Sc. Thesis

A STUDY ON THE PERIODICITY OF DIFFERENCE EQUATIONS WITH MAXIMUM

Alper SERĐN

Selcuk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor : Assoc. Prof . Dr. Cengiz ÇĐNAR 2009, 81 Pages

Jury: Assoc. Prof . Dr. Süleyman SOLAK Assoc. Prof . Dr. Cengiz ÇĐNAR Assist. Prof . Dr. Dağıstan ŞĐMŞEK

This study consists of three sections. In the first section, we gave general definitions and theorems about difference equations.

In the second section, we gave information about some difference equations with maximum and minimum had studied before.

In the third section, we defined the difference equation with maximum

      = − − − + 2 1 1 1 . 1 , . 1 n n n n n x x x x mak

x , and investigated its periodic solutions where the initial conditions are positive real numbers.

1. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERĐ ĐLE ĐLGĐLĐ GENEL TANIMLAR

Bu bölümde fark denklemleri ile ilgili genel tanım ve teoremler verilmiştir.

x bağımsız değişkeninin sürekli olduğu durumda, y(x) bağımlı değişkeninin değişimi ... ), ( ..., ), ( ), ( '' ( ) ' x y x y x y n

türevleri yardımıyla açıklanabilmektedir. Ancak x’in kesikli değerler alması durumunda değişim türevler yardımıyla açıklanamaz. Bu bölümde x’in tamsayı değerler aldığı durumlarda ortaya çıkan ve içinde sonlu farkların bulunduğu denklemler üzerinde duracağız.

Tanım 1.1. n bağımsız değişken ve buna bağımlı değişkende y olmak üzere, bağımlı değişken ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin ( ), 2( ),

y E y E 3( ),..., ( ),... y E y E n gibi farklarını içeren bağıntılara Fark Denklemi denir. Dikkat edilirse, fark denklemlerinin n’in sürekli olduğu durumda diferansiyel denklemler ile arasında büyük benzerlikler vardır.

) ( ) 1 ( ) ( ₁ 0y n a y n f n a + + =

Birinci dereceden fark denklemidir.

) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( _{1 2} 0y n a y n a y n g n a − + + + =

Đkinci dereceden fark denklemidir. Denklemin mertebesinin belirlenmesinde, y ’nin hesaplanabilmesi için gerekli olan başlangıç şartı sayısı göz önüne alınmaktadır.

Tanım 1.2. I reel sayıların herhangi bir alt aralığı olmak üzere, f :I xI → I sürekli diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. Her x₋₁,x₀ ∈I için

x_n+1 = f(x_n,x_n−1), n=0,1,2,... (1.1)

denklemi bir tek

{ }

x_n ∞_n=−1 çözümüne sahiptir.

Tanım 1.3. Eğer x noktası için (1.1) denkleminde x= f(x,x) ise, x’e (1.1) denkleminin denge noktası denir. Eğer her n≥0 için x=x_n ise, x’e f ’nin sabit noktası denir.

Tanım 1.4. Eğer her n>0 için x₋₁,x₀∈J iken x_n∈J olacak şekilde bir J ⊆I alt aralığı varsa, bu aralığa (1.1) denkleminin değişmez (invariant) aralığı denir.

Tanım 1.5. ,x (1.1) denkleminin denge noktası olmak üzere:

(a) Eğer x₋1,x0 ∈I olmak üzere her

ε

>0 için x0 −x + x−1−x <

δ

iken her n≥0 için

ε

< −x

x_n olacak şekilde bir

δ

>0 sayısı varsa, x denge noktası kararlıdır denir. (b) Eğer x denge noktası kararlı ve x₋₁,x₀∈I iken x_n x

n→∞ =

lim olacak şekilde,

γ

< − +

−x x₋ x

x_{0 1} şartını sağlayan γ >0 sayısı varsa, x denge noktası lokal olarak asimptotik kararlıdır denir.

(c) Eğer her x₋1,x0∈I iken xn x n→∞ =

lim ise, x denge noktasına global attractor denir.

(d) Eğer x denge noktası kararlı ve global attractor ise, x denge noktası global asimptotik kararlıdır denir.

(e) Eğer x denge noktası kararlı değil ise, kararsızdır denir.

(f) Eğer x₋₁,x₀∈I iken x₀ −x + x₋₁−x <r ve bazı N ≥−1 sayıları için x_N −x ≥r olacak

şekilde bir r>0 sayısı varsa, x denge noktasına repeller denir.

Tanım 1.6. Eğer

{ }

x_n dizisi için x_n+p =x_n ise,

{ }

x_n dizisi p periyotludur denir ve p bu

Tanım 1.7. Eğer

{ }

x_n dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye kalan sonsuz sayıdaki terim için xn+p = xn ise,

{ }

xn dizisine er geç p periyotludur denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 1.8. (1.1) denkleminde, f(x_n,x_n−1) fonksiyonunu f( vu, ) şeklinde düşünelim:

u x x f p ∂ ∂ = ( , ) ve v x x f q ∂ ∂ = ( , ) olmak üzere, yn+1 = pyn +qyn−1 (1.2)

denklemi elde edilir. Bu denkleme

x

denge noktası civarında lineer denklem denir.

(1.2) denkleminin karakteristik denklemi:

λ

2− p

λ

−q=0 (1.3) dır.

Teorem 1.1. (Lineer Kararlılık Teoremi)

(a) Eğer (1.3) denkleminin her iki kökü de mutlak değerce 1’den küçük ise, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

(b) Eğer (1.3) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise, x denge noktası kararsızdır.

(c) (1.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şart p <1−q<2 olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası lokal olarak asimptotik kararlıdır.

(d) (1.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’den büyük olması için gerek ve yeter şartlar q >1 ve p <1−q olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası repellerdir.

(e) (1.3) denkleminin, bir kökünün mutlak değerce 1’den büyük, diğer kökünün mutlak değerce 1’den küçük olması için gerek ve yeter şartlar p2 +4q>0 ve p >1−q olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası kararsızdır.

(f) (1.3) denkleminin kökü mutlak değerce bire eşit olması için gerek ve yeter şart

q

p =1− veya q=−1 ve p ≤2 olmasıdır. Bu durumda x denge noktası non-hiperbolik nokta olarak adlandırılır.

Tanım 1.9. x, (1.1) denkleminin denge noktası olsun. l≥−1, m≤∞olmak üzere,

{

xl,xl+1,...,xm

}

dizisinin her elemanı x denge noktasından büyük veya eşit, l =−1 veya

1 − >

l için x_l−1 < x ve m=∞ veya m<∞ için x_m+1 <x oluyorsa,

{

x_l,x_l+1,...,x_m

}

dizisine

{ }

∞ −

= 1

n n

x çözümünün bir pozitif yarı dönmesi denir. Benzer şekilde, l≥−1, m≤∞ olmak üzere,

{

x_l,x_l+1,...,x_m

}

dizisinin her elemanı x denge noktasından küçük, l=−1 veya l >−1 için x_l−1 ≥ x ve m=∞ veya m<∞ için x_m+1 ≥ x oluyorsa,

{

xl,xl+1,...,xm

}

dizisine

{ }

∞ − = 1 n n x

çözümünün bir negatif yarı dönmesi denir.

Tanım 1.10.

{ }

x_n ∞_n=−1 çözümlerinin hepsi birden ne pozitif nede negatif ise, bu çözümlere sıfır civarında salınımlıdır (oscillate) denir. Aksi halde salınımlı değildir.

Tanım 1.11.

{ }

x_n −x dizisi salınımlı ise,

{ }

x_n ∞_n=−1 çözümüne x denge noktası civarında salınımlıdır denir.

Tanım 1.12.

{ }

x_n ∞_n=−1 dizisinde her n için P≤x_n ≤Q olacak şekilde P ve Q pozitif sayıları varsa,

{ }

x_n ∞_n=−1 dizisine sınırlıdır denir.

Teorem 1.2. (Clark Teoremi) p,q∈R ve k,n∈

{

1,2,...

}

olmak üzere; 0

1+ + − =

+ n n k

n px qx

fark denkleminin lokal asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter şart p + q <1 olmasıdır.

Sonuç 1.1. p_k∈R, k∈

{

1,2,...

}

ve n∈

{

0,1,2,...

}

olmak üzere: 0 ... 1 1 + + + − = + n k n k n p x p x x

fark denkleminin lokal asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter şart 1 1 <

∑

k₌ i pi olmasıdır.

2. BÖLÜM

FARK DENKLEMLERĐ ĐLE ĐLGĐLĐ YAPILMIŞ ÇALIŞMALAR

Bu bölümde maksimumlu fark denklemleri ile ilgili literatürde var olan ve çalışmamızı yaparken değerlendirdiğimiz çalışmalar hakkında bilgi verilmiştir.

Amleh (1998), G.Ladas yönetiminde yaptığı doktora tezinde; fark denklemlerinin üç farklı

konusunu ele almıştır. Đlk bölümde,

      = − + 1 1 max , n n n x B x A

x fark denkleminin çözümlerinin

sıfırdan farklı reel sayılar olan A,B parametreleri ve x₋₁, x₀ başlangıç şartları için periyodik olduğunu göstermiştir. Đkinci bölümde,

2 1 2 1 1 − − − − + ₊ + = n n n n n n n x x x x x x

x rasyonel fark denkleminin global

asimptotik kararlılığını incelemiştir. Son bölümde ise, Plant-Herbivore sisteminin çözümlerinin sınırlılığı üzerine çalışmıştır.

Janowski ve arkadaşları (1998), yaptıkları çalışmada;

{ }

1 1 , max − + = n k n n x A x x maksimumlu

rasyonel fark denkleminin çözümlerinin sınırlılık ve salınımlılık özelliklerini incelemişlerdir. Bu fark denklemindeA, parametreleri ve başlangıç şartlarının pozitif sayı değerleri k aldıklarını varsaymışlar ve çalışma sonucunda bu denklemin çözümlerinin sınırlı ve salınımlı olma şartlarınıA, parametreleri ile başlangıç şartlarına bağlı olarak elde etmişlerdir. k

Valicenti (1999), yaptığı doktora tezinde;

1 1 − + + = n n n n n x b x a

x otonom olmayan Lyness

fark denklemi ile

{

}

1 1 , max − + = n n n n n x b x a

x maksimumlu fark denkleminin

çözümlerinin periyodikliği ve global asimptotik kararlılığı üzerine çalışmıştır.

Teixeria (2000), yaptığı doktora tezinde; ilk olarak A herhangi bir reel sayı ve başlangıç

şartları sıfır olmayan reel sayılar olmak üzere,

{

}

1 1 , max − + = n n n n x x A x x fark denkleminin

çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. Daha sonra,

n n n y b x a x ₊₁ = + , n n n y d x c y ₊₁ = + fark

denklem sisteminin çözümlerini analiz etmiştir. Son olarak da

1 1 1 − − + ₊ + = n n n n y qy y p y fark

denkleminin pozitif parametreler ve başlangıç şartları altında global asimptotik kararlı olduğunu göstermiştir.

Papaschinopoulos ve Hatzifilippidis (2001), katsayılarını pozitif sayı dizileri ve başlangıç

şartlarını pozitif sayı olarak aldıkları

∏

∏

− = + − = +             = _n k n i i n n k n i i n n x b x a x , max 1

1 fark denkleminin pozitif

Mishev ve arkadaşları (2002),       = − + 2 1 max , n n n x B x A

x fark denkleminin periyodikliği üzerine

yaptıkları çalışmada; A,Bparametreleri ve başlangıç şartlarını pozitif sayı değerleri olarak kabul ederek denklemin bütün pozitif çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ispat etmişlerdir.

Voulov (2002), yaptığı iki çalışmadan birincisinde; G. Ladas tarafından verilen bir açık problemi çözmüştür. Bu çalışmada, A,B,C parametreleri negatif olmayan reel sayılar olmak

üzereA+B+C>0için       = − − −1 3 5 , , max n n n n x C x B x A x

fark denkleminin bütün çözümlerinin periyodik olduğunu göstermiştir. Đkincisinde ise; A ile B parametreleri pozitif reel sayılar ve k ile mparametreleri pozitif tam sayılar olmak

üzere,       = − − + m n k n n x B x A

x ₁ max , maksimumlu fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodiklik özelliğini incelemiştir. A,B,k ve mparametrelerine bağlı olarak

denklemin bütün pozitif çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ispat etmiştir.

Papaschinopoulos ve arkadaşları (2003), yaptıkları çalışmada; daha önce Feuer tarafından

çalışılmış olan

{

}

1 1 , max − + = n n n n x x A x

x fark denkleminin çözümleri, çözümlerinin periyodikliği ve

sabit aralığı üzerine çalışmışlardır.

Feuer (2003),

{ }

1 1 , max − + = n l n k n n x x A x

x maksimumlu Lyness fark denklemi üzerinde yaptığı

çalışmada; A ’nın pozitif bir reel sayı, k, ve başlangıç şartlarının da keyfi reel sayı değerleri l olduğunu kabul ederek denklemin çözümlerinin periyodiklik özelliğini incelemiştir.

Patula ve Voulov (2004), yaptıkları çalışmada; A , n B pozitif terimli ve 3 periyotlu diziler n

olmak üzere,       = − + 2 1 max , n n n n n x B x A

x fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğini

Çinar ve arkadaşları (2005), yaptıkları çalışmada; A,B>0 olmak üzere, sıfırdan farklı başlangıç şartları için

      = − + 2 1 min , n n n x B x A

x fark denkleminin pozitif çözümlerinin

periyodikliğini incelemişlerdir. Ayrıca , bu denklemi genelleştirerek elde ettikleri

( ) ( )        = + − + − − + 2 2 2 1 1 ... , ... min k n k n k n n n n x x B x x x A

x fark denkleminin pozitif çözümlerinin

periyodikliğini de incelemişlerdir.

Şimşek ve arkadaşları (2006), yaptıkları çalışmada;

      = ₋ +1 , 1 1 max n n n x x x

fark denkleminin pozitif başlangıç şartları altında çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.

Yan ve arkadaşları (2006), yaptıkları çalışmada; 0<α <1, A>0, A≤1, A>1 ve

( )

∞ ∈

−

−2,x 1,x0 0,

x başlangıç şartları için

      = − −1 2 , 1 max n n n x A x x _α fark

denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğunu göstermişlerdir.

Stefanidou ve Papaschinopoulos (2006), yaptıkları çalışmada; A₀,A₁ ve başlangıç şartları pozitif fuzzy sayıları , k ve m parametreleri pozitif tam sayılar olmak üzere

      = − −k n m n n x A x A x 0 1 ,

max fuzzy fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini

incelemişlerdir.

Stevic (2007), yaptığı çalışmada; p, c∈

( )

0,∞ ve pozitif başlangıç şartları için

      = − + p n p n n x x c x 1

1 max , fark denkleminin pozitif çözümlerinin sınırlılığını ve global asimptotik kararlılığını incelemiştir.

Yalçınkaya ve arkadaşları (2007), yaptıkları çalışmada; A parametresi bir reel sayı ve

başlangıç şartları sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere,

      = ₋ +1 , 1 1 max _n n n Ax x x

maksimumlu fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.

Gelişken ve arkadaşları (2008), yaptıkları iki çalışmadan; birincisinde bir açık problem olan

{

}

1 1 , max − + = n n n x A x

x fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğini, ikincisinde de yine bir açık

problem olan

{

}

1 1 , max − + = n n n n x x A x

x fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğini

incelemişleridir.

3. BÖLÜM       = − − − + 2 1 1 1 . 1 , . 1 n n n n n x x x x mak

x FARK DENKLEMĐNĐN ÇÖZÜMLERĐ

Bu çalışmada x ,₀ x₋₁,x₋₂ başlangıç şartları pozitif reel sayılar olmak üzere

      = − − − + 2 1 1 1 . 1 , . 1 n n n n n x x x x mak x (3.1)

fark denkleminin çözümleri incelenmiştir. (3.1) denkleminin denge noktası

x=

( ) ( )

        2 2 1 , 1 x x mak

( )

2 1 x x=

( )

x 3 =1 1 = x olarak bulunur.

(a) Eğer 0<x₀,x₋₁,x₋₂ <1 ve x₀ < x₋₂ ise o zaman k =0,1,2,… olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü k n x k n x k n .x x k n .x x x_n          + = + = + = + = = − − − 4 4 , 3 4 , 2 4 , 1 1 4 , 1 0 1 1 0 1 0 şeklindedir.

(b) Eğer 0< x₀,x₋₁,x₋₂ <1 ve x₀ < x₋₂ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0< x₀,x₋₁,x₋₂ <1 ve x₀ < x₋₂ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 2 pozitif, 2 negatif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x₀,x₋₁,x₋₂ <1 ve x₀ < x₋₂ kabulümüzden,

1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak =x₋₁, 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak =x0,

5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak =x₋₁, 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀, . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) 1 . 1 1 0 1 = > − x x x , 1 . 1 1 0 2 = > − x x x , x3 = x−1 <1, x4 = x0 <1 olarak yazılacağından böylece yarı dönmeler 2 pozitif, 2 negatif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.2. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 0< x0,x−1,x−2 <1 ve x−2 < x0 ise o zaman k =0,1,2,... olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü

1 x = 2 1. 1 − − x x ve            + = + = + = + = = − − − − − 5 4 , . 1 4 4 , 3 4 , . 2 4 , . 1 1 0 2 2 0 0 2 1 1 0 k n x x k n x x k n x x x k n x x xn şeklindedir.

(b) Eğer 0< x0,x−1,x−2 <1 ve x−2 < x ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 0 periyotludur.

(c) Eğer 0<x₀,x₋₁,x₋₂ <1 ve x₋₂ < x ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri eğer ₀ 1 2 2 0 < − x x

ise 1 pozitif, 2 negatif, 1 pozitif dönmelidir. Eğer 1 2 2 0 > − x x

ise 1 pozitif, 1 negatif, 2

pozitif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x0,x−1,x−2 <1 ve x−2 < x kabulümüzden, 0 1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak = 0 2 1. x x x_{− −} , 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 0 − x x ,

5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak = 0 2 1. x x x_{− −} , 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 0 − x x , 9 x =       6 7 7 8 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) Eğer 1 2 2 0 < − x x ise o zaman 1 . 1 1 0 1 = > − x x x , . 1 0 2 1 2 = < − − x x x x , 1 2 2 0 3 = < − x x x , 1 . 1 1 0 4 = > − x x x olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 1 pozitif, 2 negatif, 1 pozitif dönmelidir.

Eğer 1 2 2 0 > − x x ise o zaman 1 . 1 1 0 1 = > − x x x , . 1 0 2 1 2 = < − − x x x x , 1 2 2 0 3 = > − x x x , 1 . 1 1 0 4 = > − x x

x olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 1 pozitif, 1 negatif, 2 pozitif

dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

(a) Eğer 0<x0 <1, x−1,x−2 >1, x0 < x−2 ve

2 1 0.

1<x x₋ ise o zaman k = 0,1,2,… olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü

        + = + = + = + = = − − − 4 4 , 3 4 , 2 4 , 1 4 , . 1 0 1 1 1 0 k n x k n x k n x k n x x xn şeklindedir. (b) Eğer 0< x0 <1, x−1,x−2 >1, x0 <x−2 ve 2 1 0.

1<x x₋ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0< x0 <1, x−1,x−2 >1, x0 <x−2 ve

2 1 0.

1<x x₋ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri eğer x₀.x₋₁ <1 ise 3 pozitif, 1 negatif dönmelidir. Eğer x₀.x₋₁ >1 ise 1 negatif, 2 pozitif, 1 negatif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x₀ <1, x₋₁,x₋₂ >1, x₀ < x₋₂ ve 1<x₀.x₋2₁ kabulümüzden,

x1=       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak =x₋₁, 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak =x₋₁, 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak =x , 0

5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak =x−1, 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak =x₋₁, 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak =x , ₀ . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) Eğer x0.x−1 <1 ise o zaman 1 . 1 1 0 1 = > − x x x , x2 = x−1 >1, x3 =x−1 >1, x4 =x0 <1 olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 3 pozitif, 1 negatif dönmelidir.

Eğer x₀.x₋₁ >1 ise o zaman 1 . 1 1 0 1 = < − x x x , x₂ = x₋₁ >1, x₃ = x₋₁ >1, x₄ =x₀ <1 olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 1 negatif, 2 pozitif, 1 negatif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.4. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 0< x0 <1, x−1,x−2 >1, x0 <x−2 ve . 1 2

1 0 x− <

x ise o zaman k =0,1,2,... olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü

         + = + = + = + = = − − − 4 4 , 3 4 , 2 4 , . 1 1 4 , . 1 0 1 1 0 1 0 k n x k n x k n x x k n x x xn şeklindedir.

(b) Eğer 0< x₀ <1, x₋₁,x₋₂ >1, x₀ <x₋₂ ve x₀.x₋2₁ <1 ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0<x₀ <1, x₋₁,x₋₂ >1, x₀ <x₋₂ ve x₀.x₋2₁ <1 ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 3 pozitif, 1 negatif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x₀ <1, x₋₁,x₋₂ >1, x₀ <x₋₂ ve x₀.x₋2₁ <1 kabulümüzden,

1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak =x₋₁, 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak =x , 0 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x ,

6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak =x−1, 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak =x , ₀ . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) 1 . 1 1 0 1 = > − x x x , 1 . 1 1 0 2 = > − x x

x , x₃ =x₋₁ >1, x₄ = x₀ <1 olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 3 pozitif, 1 negatif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.5. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 0<x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₀ < x₋₂ ve 1<x₀.x₋2₁ ise o zaman k =0,1,2,... olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü         + = + = + = + = = − − 4 4 , 3 4 , 2 4 , 1 4 , . 1 0 0 1 1 0 k n x k n x k n x k n x x xn şeklindedir.

(b) Eğer 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 <x−2 ve

2 1 0.

1<x x₋ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0<x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 < x−2 ve

2 1 0.

1<x x₋ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 2 negatif, 2 pozitif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x−1 <1, x0,x−2 >1,x0 <x−2 ve 2 1 0. 1<x x₋ kabulümüzden, 1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak =x−1, 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak =x , 0 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak =x , ₀ 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak =x₋₁, 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak =x , ₀ 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak =x , 0

.

. .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) 1 . 1 1 0 1 = < − x x

x , x₂ =x₋₁ <1, x₃ =x₀ >1, x₄ = x₀ >1 olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 2 negatif, 2 pozitif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.6. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 <x−2, . 1 2 1 0 x− < x ve . 1 1 2 0 x− < x ise o zaman k =0,1,2,... olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü

         + = + = + = + = = − − − 4 4 , 3 4 , 2 4 , . 1 1 4 , . 1 0 1 1 0 1 0 k n x k n x k n x x k n x x xn şeklindedir. (b) Eğer 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 < x−2, . 1 2 1 0 x− < x ve . 1 1 2 0 x− < x ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 < x−2, . 1 2 1 0 x− < x ve . 1 1 2 0 x− < x ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 2 pozitif, 1 negatif, 1 pozitif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 <x−2, . 1 2 1 0 x− < x ve . 1 1 2 0 x− < x kabulümüzden,

1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak =x₋₁, 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak =x , ₀ 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak =x−1, 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak =x , ₀ . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(c) 1 . 1 1 0 1 = > − x x x , 1 . 1 1 0 2 = > − x x

x , x−1<1, x0 >1 olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 2 pozitif, 1 negatif, 1 pozitif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.7. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 0<x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 < x−2, . 1 2 1 0 x− < x , 1 2 0. 1< x x₋ ve 31 3 0. 1<x x₋ ise o zaman =

k 0,1,2,… olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü

         + = + = + = + = = − − − − 4 4 , . 3 4 , . 2 4 , . 1 1 4 , . 1 2 1 2 0 2 1 2 0 1 0 1 0 k n x x k n x x k n x x k n x x xn şeklindedir. (b) Eğer 0<x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 <x−2, . 1 2 1 0 x− < x , 1 2 0. 1< x x₋ ve 31 3 0. 1<x x₋ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0<x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 <x−2, . 1 2 1 0 x− < x , 1 2 0. 1< x x₋ ve 31 3 0. 1<x x₋ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 2 negatif, 2 pozitif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 < x−2, . 1 2 1 0 x− < x , 1 2 0. 1< x x₋ ve 31 3 0. 1<x x₋ kabulümüzden, x₁=       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x ,

3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀2.x₋2₁, 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak = 21 2 0.x− x , 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak = 21 2 0.x− x , 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀2.x₋2₁, . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) 1 . 1 1 0 1 = < − x x x , 1 . 1 1 0 2 = < − x x x , x₃ = x₀2.x₋2₁ >1, x₄ =x₀2.x₋2₁ >1 olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 2 negatif, 2 pozitif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

(a) Eğer 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 <x−2, . 1 2 1 0 x− < x , 1 2 0. 1<x x₋ ve . 31 1 3 0 x− < x ise o zaman ,... 2 , 1 , 0 =

k olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü

          + = + = + = + = = − − − − 4 4 , . 1 3 4 , . 2 4 , . 1 1 4 , . 1 1 0 2 1 2 0 1 0 1 0 k n x x k n x x k n x x k n x x xn şeklindedir. (b) Eğer 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 < x−2, . 1 2 1 0 x− < x , 1 2 0. 1< x x₋ ve . 31 1 3 0 x− < x ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x0 <x−2, . 1 2 1 0 x− < x , 1 2 0. 1< x x₋ ve . 31 1 3 0 x− < x ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 2 pozitif, 1 negatif, 1 pozitif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x−1 <1, x0,x−1 >1, x0 <x−2, . 1 2 1 0 x− < x , 1 2 0. 1<x x₋ ve . 31 1 3 0 x− < x kabulümüzden, 1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀2.x₋2₁,

4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀2.x₋2₁, 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) 1 . 1 1 0 1 = > − x x x , 1 . 1 1 0 2 = > − x x x , x₃ =x₀2.x₋2₁ <1, 1 . 1 1 0 4 = > − x x x olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 2 pozitif, 1 negatif, 1 pozitif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.9. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 0<x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀, 2. ₂ 1 1 − < − x x , 2. ₁ 1 0 x− < x ve 3 _{1 2} 0.x− <x− x ise o zaman =

2 1 1 . 1 − − = x x x ve            + = + = + = + = = − − − − − 5 4 , . 1 4 4 , 3 4 , . 2 4 , . 1 1 0 2 2 0 0 2 1 1 0 k n x x k n x x k n x x x k n x x xn şeklindedir.

(b) Eğer 0<x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀, x₋2₁.x₋₂ <1, x₀2.x₋₁ <1 ve x₀3.x₋₁ <x₋₂ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0<x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ < x₀, x₋2₁.x₋₂ <1, x₀2.x₋₁ <1 ve x₀3.x₋₁ < x₋₂ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 1 pozitif, 1 negatif, 2 pozitif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀, x₋2₁.x₋₂ <1, x₀2.x₋₁ <1 ve x₀3.x₋₁ <x₋₂ kabulümüzden, 1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak = 0 2 1. x x x_{− −} , 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 0 − x x , 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x ,

6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak = 0 2 1. x x x_{− −} , 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 0 − x x , 9 x =       6 7 7 8 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0 1 − x x , . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) 1 . 1 1 0 2 = > − x x x , . 1 0 2 1 3 = < − − x x x x , 1 2 2 0 4 = > − x x x , 1 . 1 1 0 5 = > − x x x olarak yazılacağından,

böylece yarı dönmeler 1 pozitif, 1 negatif, 2 pozitif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.10. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 0<x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀ ve x₋2₁.x₋₂ <1, x₀2.x₋₁ <1 ve x₋₂ <x₀3.x₋₁ ise o zaman k =0,1,2,… olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü

2 1 1 . 1 − − = x x x ve             + = + = + = + = = − − − − − 5 4 , 4 4 , 3 4 , . 2 4 , . 1 2 2 0 2 2 0 0 2 1 1 0 k n x x k n x x k n x x x k n x x x_n şeklindedir.

(b) Eğer 0<x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀, x₋2₁.x₋₂ <1, x₀2.x₋₁ <1 ve x₋₂ < x₀3.x₋₁ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x−2 <x0, . 2 1 2 1 − < − x x , . 1 1 2 0 x− < x ve 1 3 0 2 . − − < x x x ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 1 pozitif, 1 negatif, 2 pozitif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x−2 <x0, . 2 1 2 1 − < − x x , . 1 1 2 0 x− < x ve 1 3 0 2 . − − <x x x kabulümüzden, 1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak = 0 2 1. x x x_{− −} , 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 0 − x x , 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 0 − x x ,

6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak = 0 2 1. x x x_{− −} , 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 0 − x x , 9 x =       6 7 7 8 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 0 − x x , . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) 1 . 1 1 0 2 = > − x x x , . 1 0 2 1 3 = < − − x x x x , 1 2 2 0 4 = > − x x x , 1 2 2 0 5 = > − x x x olarak yazılacağından,

böylece yarı dönmeler 1 pozitif, 1 negatif, 2 pozitif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.11. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 0< x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀, x₋2₁.x₋₂ <1, 1< x₀2.x₋₁ ve 1<x₀.x₋3₁.x₋2₂ ise o zaman k =0,1,2,… olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü

         + = + = + = + = = − − − − − − − 4 4 , . . 3 4 , . . 2 4 , . 1 1 4 , . 1 2 2 1 0 2 2 1 0 1 0 2 1 k n x x x k n x x x k n x x k n x x xn şeklindedir. (b) Eğer 0<x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ < x₀, x₋2₁.x₋₂ <1, 1< x₀2.x₋₁ ve 1< x₀.x₋3₁.x₋2₂ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0< x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀, x₋2₁.x₋₂ <1, 1<x₀2.x₋₁ ve 1< x₀.x₋3₁.x₋2₂ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri eğer x₋₁.x₋₂ >1 ise 2 negatif, 2 pozitif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x−1 <1, x0,x−2 >1, x−2 < x0, . 2 1 2 1 − < − x x , 1 2 0. 1<x x₋ ve 22 3 1 0. . 1< x x₋ x₋ kabulümüzden, 1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀.x₋2₁.x₋₂, 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 1 0.x−.x− x , 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x ,

6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 1 0.x− .x− x , 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀.x₋2₁.x₋₂, . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) Eğer x₋₁.x₋₂ >1 ise 1 . 1 2 1 1 = < − − x x x , 1 . 1 1 0 2 = < − x x x , x₃ = x₀.x₋2₁.x₋₂ >1, 1 . . 2_{1 2} 0 4 =x x− x− >

x olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 2 negatif, 2 pozitif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.12. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 0< x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀, 2. ₂ 1 1 − <

− x

x , 1< x₀2.x₋₁ ve x₀.x₋3₁.x₋2₂ <1 ise o zaman k =0,1,2,… olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü

          + = + = + = + = = − − − − − − − 4 4 , . 1 3 4 , . . 2 4 , . 1 1 4 , . 1 2 1 2 2 1 0 1 0 2 1 k n x x k n x x x k n x x k n x x xn şeklindedir.

(b) Eğer 0<x−1 <1, x0,x−2 >1, x−2 <x0, . 2 1 2 1 − < − x x , 1 2 0. 1< x x₋ ve . . 22 1 3 1 0 x− x− < x ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

Đspat. (a) 0< x₋₁ <1, x0,x−2 >1, x−2 < x0, . 2 1 2 1 − < − x x , 1 2 0. 1<x x₋ ve . . 22 1 3 1 0 x− x− < x kabulümüzden, 1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀.x₋2₁.x₋₂, 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 1 0.x− .x− x , 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x ,

. . . elde edilir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

Teorem 3.13. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur:

(a) Eğer 0<x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ < x₀ ve 1< x₋2₁.x₋₂ ise o zaman k =0,1,2,… olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü          + = + = + = + = = − − − − 4 4 , 3 4 , 2 4 , . 1 4 , . 1 0 0 0 2 1 2 1 k n x k n x k n x x x k n x x x_n şeklindedir. (b) Eğer 0< x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀ ve 2 ₂ 1.

1< x₋ x₋ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0<x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀ ve 2 ₂ 1.

1<x₋ x₋ ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 2 negatif, 2 pozitif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x₋₁ <1, x₀,x₋₂ >1, x₋₂ <x₀ ve 2 ₂ 1. 1<x₋ x₋ kabulümüzden, 1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x ,

2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 0 2 1. x x x_{− −} , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak =x0, 4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀, 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 0 2 1. x x x_{− −} , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀, 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak =x0, . . .

elde edilir. Bu da istenendir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) 1 . 1 2 1 1 = < − − x x x , . 1 0 2 1 2 = < − − x x x x , x₃ =x₀ >1, x₄ = x₀ >1 olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 2 negatif, 2 pozitif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.

Teorem 3.14. (3.1) denklemi için aşağıdaki ifadeler doğrudur: (a) Eğer 0< x−2 <1, x0,x−1 >1, x−2 <x0, . 2 1 2 1 − < − x x ve . . 22 1 3 1 0 x− x− < x ise o zaman =

k 0,1,2,… olmak üzere (3.1) denkleminin genel çözümü

          + = + = + = + = = − − − − − − − 4 4 , . 1 3 4 , . . 2 4 , . 1 1 4 , . 1 2 1 2 2 1 0 1 0 2 1 k n x x k n x x x k n x x k n x x xn şeklindedir. (b) Eğer 0<x−2 <1, x0,x−1 >1, x−2 <x0, . 2 1 2 1 − < − x x ve . . 22 1 3 1 0 x− x− < x ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri 4 periyotludur.

(c) Eğer 0< x−2 <1, x0,x−1 >1, x−2 < x0, . 2 1 2 1 − < − x x ve . . 22 1 3 1 0 x− x− < x ise o zaman (3.1) denkleminin çözümleri eğer x₀.x₋2₁.x₋₂ <1 ise 1 pozitif, 2 negatif, 1 pozitif dönmelidir. Eğer

1 . . 2_{1 2} 0 x− x− >

x ise 1 pozitif, 1 negatif, 2 pozitif dönmelidir.

Đspat. (a) 0< x₋₂ <1, x₀,x₋₁ >1, x₋₂ <x₀, x₋2₁.x₋₂ <1 ve x₀.x₋3₁.x₋2₂ <1 kabulümüzden, 1 x =       − − −1 1 2 0 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 2 x =       −1 0 0 1 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 3 x =       0 1 1 2 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 2 1 0.x− .x− x ,

4 x =       1 2 2 3 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 5 x =       2 3 3 4 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , 6 x =       3 4 4 5 . 1 , . 1 x x x x mak = 1 0. 1 − x x , 7 x =       4 5 5 6 . 1 , . 1 x x x x mak =x₀.x₋2₁.x₋₂, 8 x =       5 6 6 7 . 1 , . 1 x x x x mak = 2 1. 1 − − x x , . . . elde edilir.

(b) (3.1) denkleminin çözümlerinin 4 periyotlu olduğu (a) şıkkından açıktır.

(c) Eğer x₀.x₋2₁.x₋₂ <1 ise 1 . 1 2 1 1 = > − − x x x , 1 . 1 1 0 2 = < − x x x , x₃ = x₀.x₋2₁.x₋₂ <1, 1 . 1 2 1 4 = > − − x x

x olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 1 pozitif, 2 negatif, 1 pozitif

dönmelidir. Eğer . . 2 1 2 1 0 x− x− > x ise 1 . 1 2 1 1 = > − − x x x , 1 . 1 1 0 2 = < − x x x , . . 2 1 2 1 0 3 =x x− x− > x 1 . 1 2 1 4 = > − − x x x

olarak yazılacağından, böylece yarı dönmeler 1 pozitif, 1 negatif, 2 pozitif dönmelidir. Böylece ispat tamamlanmış olur.