Bazı fark denklemlerinin global asimptotik kararlılığı ve salınımı üzerine bir çalışma

(1)

EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ORTAÖĞRETİM FEN VE MATEMATİK EĞİTİMİ ANABİLİM DALI

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI

BAZI FARK DENKLEMLERİNİN GLOBAL

ASİMPTOTİK KARARLILIĞI VE

SALINIMI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Mehmet Emre ERDOĞAN

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Danışman

Doç. Dr. Cengiz ÇINAR

(2)

EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ORTAÖĞRETİM FEN VE MATEMATİK EĞİTİMİ ANABİLİM DALI

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI

BAZI FARK DENKLEMLERİNİN GLOBAL

ASİMPTOTİK KARARLILIĞI VE

SALINIMI ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Mehmet Emre ERDOĞAN

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Danışman

Doç. Dr. Cengiz ÇINAR

(3)

www.ebil.selcuk.edu.tr e-mail:ebil@selcuk.edu.tr

S.Ü. Meram Yerleşkesi A-Blok 42090 Meram Yeni Yol /Meram /KONYA Tel: 0 322 324 7660 faks: 0 332 324 5510

T. C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ Eğitim Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü

BİLİMSEL ETİK SAYFASI

Adı Soyadı Mehmet Emre ERDOĞAN

Numarası 095202031012

Ana Bilim / Bilim Dalı Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi/ Matematik Eğitimi

Programı Tezli Yüksek Lisans Doktora

Tez Danışmanı _{Doç. Dr. Cengiz ÇINAR}

Ö ğr en ci ni n

Tezin Adı Bazı Fark Denklemlerinin Global Asimptotik Kararlılığı ve Salınımı Üzerine_{Bir Çalışma}

Bu tezin proje safhasından sonuçlanmasına kadarki bütün süreçlerde bilimsel etiğe ve akademik kurallara özenle riayet edildiğini, tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel kurallara uygun olarak atıf yapıldığını bildiririm.

(4)

T. C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ Eğitim Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü YÜKSEK LİSANS TEZİ KABUL FORMU

Numarası 095202031012

Ö ğr en ci ni n

Yukarıda adı geçen öğrenci tarafından hazırlanan “Bazı Fark Denklemlerinin Global Asimptotik Kararlılığı ve Salınımı Üzerine Bir Çalışma” başlıklı bu çalışma 03/01/2011 tarihinde yapılan savunma sınavı sonucunda oybirliği/oyçokluğu ile başarılı bulunarak, jürimiz tarafından yüksek lisans tezi olarak kabul edilmiştir.

Ünvanı, Adı Soyadı Danışman ve Üyeler İmza Prof. Dr. Eşref HATIR Üye

Doç. Dr. Cengiz ÇINAR Danışman Yrd. Doç. Dr. İbrahim

(5)

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanlar Eğitimi Bölümü Matematik Eğitimi Ana Bilim Dalı Öğretim Üyesi Doç. Dr. Cengiz ÇINAR yönetiminde yapılarak Selçuk Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü’ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten ve çalışmalarımda hiçbir desteği esirgemeyen saygıdeğer hocam Doç. Dr. Cengiz ÇINAR’a ve yardımlarını esirgemeyen değerli hocalarım Yrd. Doç. Dr. İbrahim YALÇINKAYA’ya, Yrd. Doç. Dr. Abdullah KURBANLI’ya sonsuz teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Mehmet Emre ERDOĞAN

(6)

T. C.

Numarası 095202031012

Ö ğr en ci ni n

ÖZET Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır:

Birinci bölümde, fark denklemleri ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgi verdik.

İkinci bölümde, çalışmamız için gerekli temel kavramlar hakkında bilgi verdik. Üçüncü bölümde, x 1 2 1 p 2 1 n              





     t k q k n t k n k n x x x    , n  0 1,,2,... fark

denkleminin p ve q değerlerinin bir olması durumuna göre global asimptotik kararlılığı incelenmiştir.

Dördüncü bölümde, β, p, q pozitif ve α, γ negatif olmayan reel sayılar ve başlangıç koşulları x2t,..., x2,x1ve x0 gibi negatif olmayan reel sayılar olmak üzere

x 1 2 1 p 2 1 n              





     t k q k n t k n k n x x x    , n  0 1,,2,...

fark denkleminin çözümlerinin global asimptotik kararlılığı incelenmiştir.

(7)

T. C.

Numarası 095202031012

Ö ğr en ci ni n

SUMMARY This study consists of four sections:

In the first section, we give some information about some difference equations studied before.

In the second section, we give information about necessary concepts for our study. In the third section, we investigate the global behaviour of the difference equation

x 1 2 1 p 2 1 n              





     t k q k n t k n k n x x x    , n  0 1,,2,...

when p and q parameters are equal to one,

In the fourth section, we investigate the global behaviour of the difference equation

x 1 2 1 p 2 1 n              





     t k q k n t k n k n x x x    , n  0 1,,2,...

where the parameters α,γ are non-negative and β,p,q are positive real numbers and the initial conditions x2t,..., x2,x1and x0 are non-negative real numbers.

(8)

İÇİNDEKİLER

Bilimsel Etik Sayfası __________________________________________________ii Tez Kabul Formu ____________________________________________________ iii Önsöz______________________________________________________________ iv Özet _______________________________________________________________v Summary ___________________________________________________________vi İçindekiler __________________________________________________________ vii 1.BÖLÜM Giriş_______________________________________________________________ 1 2.BÖLÜM

Fark Denklemleri ile ilgili genel tanımlar __________________________________13

3.BÖLÜM x 1 2 1 2 1 n              





     t k n k t k n k n x x x   

Fark Denkleminin incelenmesi _______________17

4.BÖLÜM x 1 2 1 p 2 1 n              





     t k q k n t k n k n x x x   

Fark Denkleminin incelenmesi _______________24

5.BÖLÜM

Sonuç______________________________________________________________ 31 KAYNAKLAR______________________________________________________ 32 Özgeçmiş ___________________________________________________________42

(9)

1.BÖLÜM Giriş

Fark denklemlerinin yeni çalışma alanlarından olan global asimptotik kararlılık ile ilgili literatürde son yıllarda yapılmış oldukça fazla sayıda çalışma vardır. Bunları ayrı-ayrı başlıklar altında ve tarih sırası ile özetleyelim:

Camouzıs ve Ladas (1994), β(0,) ve başlangıç koşulları x1, x0keyfi

pozitif sayılar olmak üzere ₂ 1 n 2 n 1 n ₁ x_x x    _  , n01,,2,... fark denkleminin çözümlerinin davranışını incelemişlerdir.

Zheng (1996), yaptığı çalışmada; α(0,1)(1,) iken

1 n n 1 n _x x x     , ,... 2 , 1, 0

n denkleminin pozitif çözümlerinin periyodik olmadığını onaylamıştır. Feuer, Janowski ve Ladas (1997), başlangıç koşulları negatif olmayan reel sayılar ve B parametresi reel bir sayı olmak üzere

1 n n 1 n x_x B x     , n01,,2,... Lyness tipi fark denkleminin davranışını incelemişlerdir.

Amleh , Grove ve Ladas (1998), yaptıkları çalışmada; α[0,) ve x1,x0 başlangıç koşulları pozitif reel sayılar olmak üzere

n 1 n 1 n x_x x     , n01,,2,... fark

denkleminin pozitif çözümlerinin global kararlılığını, sınırlı karakterini ve sınırlı doğasını incelemişlerdir.

Devault, Ladas ve Schultz (1998), A(0,)iken

2 n n 1 n _xA _x1 x     , ,... 2 , 1, 0

n fark denkleminin tüm pozitif çözümlerinin iki çözümlü bir periyotta birleştiğini göstermişlerdir.

(10)

Devault, Ladas ve Schultz (1998), yaptıkları çalışmada; ) (0, q p, B, ,

A   iken pozitif parametreler ve pozitif başlangıç koşulları ile

q 1 n p n 1 n _xA _xB x 

   , n01,,2,...fark denkleminin pozitif çözümlerinin sınırlı olabilmesi

için gerek ve yeter koşulları incelemişlerdir.

Devault ve Galminas (1999), yaptıkları çalışmada; x1,x0,A(0,) ve 1 p için ₁_/_p 1 n p n 1 n _xA _x1 x 

   , n01,,2,... denkleminin pozitif denge noktasında

global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

El-Metwally, Grove ve Ladas (2000), yaptıkları çalışmada;



    m 0 i n 2i 1 n _xA x , ,... 2 , 1, 0

n fark denkleminin pozitif çözümlerinin iki çözümlü bir periyotta birleştiğini göstermişlerdir.

Kosmala, Kulenovıc, Ladas ve Teixeira (2000), yaptıkları çalışmada; pozitif parametreler ve başlangıç koşulları ile

1 n n 1 n 1 n _qyp y_y y    _   , n01,,2,... fark

denkleminin çözümlerinin global kararlılığını ve periyodikliğini belirlemişlerdir. Mishev ve Patula (2000), yaptıkları çalışmalarında; A0, k2 ve n2k

için   2k 1 n 3 n 1 n 2 k 2 n 2 n n 1 n _y _y _..._y y ... y y A y       

   fark denklemini incelemişler ve bu denklemin sıfır

olmayan çözümlerinin y1A denge noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

Sarris (2000), yaptığı çalışmada; a,b0 ve

          x 1 , x 1 x 0 , x f(x) a_b iken

 

1 n n 1 n f_xx x 

  , n1, x0,x1 0 fark denkleminin çözümlerinin global davranışı ile ilgilenmiştir. Tüm çözümlerin sınırlılığı, dirençliliği ve periyodikliği için gerekli ve yerli koşulları kurmuş, salınımsal davranışını incelemiştir.

(11)

El-Owaidy ve Afıfı (2000), yaptıkları çalışmada; an vebnperiyodik kümeler olmak üzere k n n n n 1 n a _x b x x   

 , n01,,2,... fark denkleminin çözümlerinin davranışını incelemişlerdir.

Zhang, Shı ve Gaı (2001), a,b[0,) için ₂ 1 n 2 n 1 n ₁a _xbx x   _   , n01,,2,... fark denkleminin pozitif çözümlerinin global çekiciliğini göstermişlerdir.

Aboutaleb, El-Sayed ve Hamza (2001), yaptıkları çalışmada; α0 , β,γ0 olmak üzere 1 n n 1 n _xx x   _     

, n01,,2,... fark denkleminin global asimptotik

kararlılığını incelemişler ve tek pozitif denge noktasının global çekici olabilmesi için gerekli olan şartları belirlemişlerdir.

Yan, Li ve Sun (2001), yaptıkları çalışmada; α0 , β,γ0 ,k1olmak üzere k n n 1 n _xx x   _     

, n01,,2,... _{fark denkleminin global asimptotik kararlılığını} incelemişler ve tek pozitif denge noktasının global çekici olabilmesi için gerekli olan şartları belirlemişlerdir.

Grove, Ladas, Predescu ve Radın (2002), tarafından yapılan çalışmada; tüm parametreler α,γ,δ,A,k,l ve başlangıç koşulları negatif olmayan reel sayılar olmak

üzere l 2 n l 2 n ) 1 k 2 ( n 1 n _A _x x x x      _  

   , n01,,2,... fark denkleminin çözümlerinin global kararlılığı, sınırlılığı ve periyodik karakteri gösterilmiştir.

Mestel (2002), yaptığı çalışmada; f _C1([0,_),[0,_))_{ve her} _n__Z_için ) (0, xn   olmak üzere

 

1 n n 1 n f_xx x 

  İkinci mertebeden fark denklemini

incelemiştir. p5 olma durumunda tüm çözümlerin p periyoduna sahip olması için f ’e ait gerek ve yeter koşulları bulmuştur.

(12)

Yan ve Li (2002), yaptıkları çalışmada; α0 , β,γ0 olmak üzere 1 n n 1 n _x x x   _     

, n01,,2,... fark denkleminin global asimptotik kararlılığını incelemişler ve tek pozitif denge noktasının global çekici olabilmesi için gerekli olan şartları belirlemişlerdir. Patula ve Voulov (2002), 3 n 2 n n 1 _xx x     , n01,,2,... fark denkleminin tüm pozitif çözümlerinin iki çözümlü bir periyotta birleştiğini göstermişlerdir.

Stevıc (2002), k pozitif bir tamsayı, i0,...,k iken ai,pi(0,) ve başlangıç koşulları xk,xk1,...,x0 keyfi pozitif sayılar olmak üzere



    k 0 i npi i 1 n _xa_i x , ,... 2 , 1, 0

n şeklindeki fark denklemini üzerine bir inceleme yapmıştır.

Yan ve Li (2003), yaptıkları çalışmada; α ve x1,x0 başlangıç koşulları keyfi reel sayılar olmak üzere

n 1 n 1 n x_x x 

   , n01,,2,... fark denkleminin çözümlerinin

global asimptotik kararlılığını, global çekiciliğini, sınırlı karakterini, periyodik doğasını ve karmaşık davranışını incelemişlerdir. Beklendiği gibi

3 α ve 3 α 2 , 2 α 1 , 1 α 1 , 1 α , 1 α          alarak 6 durumda denklemin çözümlerinin farklı hareketinin meydana geldiğini göstermişlerdir.

Abu-Sarıs ve Al-Jubourı (2003), yaptıkları çalışmada; f(0,)(0,) ve

0 1,x

x pozitif reel sayılar olmak üzere

 

1 n n 1 n f_xx x    , n01,,2,... fark denkleminin periyodikliğini incelemişlerdir.

Yang, Lai, Evans ve Megson (2003), yaptıkları çalışmada; 0 d , c , 0 b , a   için 2 n 2 1 n 1 n n a bx_d _x cx x      

 , n01,,2,... fark denkleminin negatif olmayan denge noktasının global çekici olduğunu göstermişlerdir.

(13)

Afıfı (2003), yaptığı çalışmada; negatif olmayan parametreler ve pozitif başlangıç koşulları ile

1 n n 1 n n 1 n _Bx x _Cxx x    _      , n01,,2,... fark denkleminin çözümlerinin global karakterini incelemiştir.

Berg (2004), yaptığı çalışmada; parametreler ve başlangıç şartları pozitif reel sayılar olmak üzere

n 1 n n 1 n 2 n _A _Bxx _Cxx x           

, n01,,2,... ikinci mertebeden fark denkleminin salınım serilerini incelemiştir.

Afıfı ve Ahmed (2003), yaptıkları çalışmada; a



0,



, a

 

0, ve



1,2,...



k olmak üzere 1 k n 2 k n 1 n n 1 n a x x_x ... x x               , nk1,k,... fark

denkleminin pozitif çözümlerinin değişmez ilişkilerini, sınırlılığını, dirençliliğini, tam salınımlı ve yarı dönmeli olabilme durumunu incelemişlerdir.

Angelis (2003), yaptığı çalışmada; bn 0, x0 0, x1 0 iken

1 n n n 1 n x_x b x   

 , n01,,2,... otonom olmayan Lyness denkleminin çözümlerinin

sıfırdan uzakta sınırlı olduğunu ve b kümesi monoton ise sonsuzluğunun belirlemişlerdir.

Camouzıs, De Vault ve Kosmala (2003), yaptıkları çalışmada; başlangıç şartları ve p parametresi pozitif reel sayılar olmak üzere

n 2 n 1 n p _xx x     , n01,,2,...

fark denkleminin pozitif çözümlerinin davranışını incelemişler ve şu çıkarımları elde etmişlerdir. p parametresinin tüm pozitif değerleri için tek denge noktası olan xye ait

p x

x2 _ _ _{eşitliği vardır.} ₀__p_₁_veya _p_₂_{ise denklemin tüm pozitif sınırlı} çözümleri pozitif denge noktası xde birleşir. 0p1 iken sınırsız çözümler vardır. p2 iken pozitif denge noktası global asimptotik kararlıdır. Çalışmada son olarak 1p2 iken pozitif denge noktasının global asimptotik kararlı olduğu varsayımında bulunulmuştur.

(14)

El-Owaidy, Ahmed ve Mousa (2003), α,β,γ negatif olmayan reel sayılar olmak üzere n n n _x x x      _  ₁

1 , n01,,2,... fark denkleminin denge noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

Chatterjee, Grove, Kostrov ve Ladas (2003), tarafından yapılan çalışmada; tüm parametreler α,γ,A,B ve başlangıç koşulları x2 , x1, x0negatif olmayan reel sayılar olmak üzere

2 n n 1 n 1 n _A _Bx x _x x    _ _     , n01,,2,... fark denkleminin çözümlerinin global kararlılığı, sınırlılığı ve periyodik karakteri gösterilmiştir.

Kalabusıc ve Kulenovıc (2003), yaptıkları çalışmada; pozitif parametreler ve pozitif başlangıç koşulları ile

2 n 1 n 2 n 1 n 1 n _Cxγx δx_Dx x      _   , n01,,2,... fark denkleminin global karakterini incelemişlerdir.

Chang ve Stevıc (2003), α,β negatif olmayan reel sayılar, g(x); [0,) aralığında tanımlı sürekli bir fonksiyon olmak üzere

_{ }

n 1 n 1 n ₁ x_g _x x        , ,... 2 , 1, 0

n fark denkleminin negatif olmayan çözümlerinin sınırlı karakterini, salınımlı ve periyodik doğasını ve global çekiciliğini incelemişlerdir.

Cıma, Gasull ve Manosas (2004), tarafından yapılan çalışmada; negatif olmayan katsayılar alınmak üzere k mertebesinden fark denklemlerinin periyodikliği incelenmiştir. Ayrıca k5 ve k 7,9,11 iken denklemin periyodikliği üzerine sonuçlar verilmiştir.

Taıxıang (2004), yaptığı çalışmada; k{2,3,...},p parametresi ve başlangıç şartları pozitif reel sayılar olmak üzere

n k n 1 n p x_x x     , n01,,2,... fark denkleminin

salınımsız çözümlerinin varlığı sorusunu incelemiştir.

Papaschinopoulos ve Shınas (2004), yaptıkları çalışmada; k bir tek sayı, ...

0,1,2, n

,

pn  (k+1) periyodunun pozitif ardışıklığı olmak üzere

n k n n 1 n p x_x x     ,

(15)

,... 2 , 1, 0

n otonom olmayan fark denkleminin pozitif çözümlerinin sınırlılığını, periyodikliğini ve çekiciliğini, ayrıca k3 için denklemin global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir.

Fan, Wang ve Li (2004), yaptıkları çalışmada; bazı kesin kabuller altında ... 1,2, n ), x , f(x

x_n_₁  _n _n__k  şeklindeki yüksek mertebeden fark denklemini düşünerek sınırlı yarı dönmelerinin k’dan küçük veya eşit uzunluğa sahip olduğunu elde etmişlerdir. Bunu yanı sıra bazı özel koşullar sağlandığında fark denkleminin sürekli olduğu sonucuna varmışlardır. Ve denklemin global asimptotik kararlılığı için yeterli olacak koşullar verilmiştir. Bu sonuçlar

n k n 1 n x_x x     , n01,,2,... fark

denklemine uygulandığında denklemin global asimptotik kararlılığı için gerek ve yeter olan koşullar elde edilmiştir.

Kulenovıc, Ladas ve Overdeep (2004), yaptıkları çalışmada; başlangıç şartları pozitif ve p parametresi pozitif değerli ardışık iki kümeyi ifade etmek üzeren

n 1 n n 1 n p x_x x 

   fark denkleminin çözümlerinin periyodik doğasını, sınırlı

karakterini ve global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir.

Kalabusıc, Kulenovıc ve Overdeep (2004), yaptıkları çalışmada; pozitif parametreler ve negatif olmayan başlangıç koşulları ile

k n 1 n k n 1 n 1 n _Bxx _Dxx x      _     , ,... 2 , 1, 0

n fark denkleminin global karakterini incelemişlerdir.

Gıbbons ve Overdeep (2004), yaptıkları çalışmada; iki ardışık periyoda sahip ve pozitif değerli parametreler ve pozitif başlangıç koşulları alınmak üzere

n n n 1 n n n 1 n a_A _Bx_x x      

, n01,,2,... fark denkleminin üçe bölünmüş davranışını ve global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir.

Hoag (2004), yaptığı çalışmada; Eğer bir fark denkleminin saddle nokta olan denge noktası varsa o denge noktasında birleşebilen çözümlerininde var olduğunu, ikinci mertebeden bir denklemin bu çözümlerinin monoton olması için

(16)

gerekliliklerini belirtmiştir. Bu sonuçları kullanarak saddle nokta olan denge noktasına sahip rasyonel fark denklemlerini analiz etmiştir.

Yang, Evans ve Megson (2004), tarafından yapılan çalışmada; Sarıs ve De Vault tarafından ileri sürülen,

1 n n n 1 n a_xx x    , (n01,,2,... için an 0 ve x1 0, 0

x0  alınmak koşulu ile) fark denklemi hakkındaki, iki açık probleme cevap verilmiştir.

Zeng, Shi ve Zhang (2004), α,β,γ0,g(x);(,)aralığında tanımlı sürekli bir fonksiyon olmak üzere

_{ }

k n n 1 n _g _xx x   _      , n01,,2,... fark denkleminin global davranışını incelemişlerdir.

El-Owaidy, Ahmed ve Elsady (2004), α,β,γ0 için

n n n _xx x      _   ₁ 1 , ,... 2 , 1, 0

n fark denkleminin pozitif denge noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

El-Owaidy, Ahmed ve Elsady (2004), α,β,γ0,k 1,2,... için

n k n 1 n x_x x      _  

, n01,,2,... fark denkleminin pozitif denge noktasında global asimptotik kararlı olduğunu göstermişlerdir.

Stevıc (2005), kN için 1 k n n k n 1 n ₁ _x x_... _x x      _ _ _ , n01,,2,... fark

denkleminin pozitif çözümleri üzerine çalışmıştır.

Stevıc (2005), tüm katsayılar negatif değilken _p n p 1 n 1 n x_x x     , n01,,2,...

şeklindeki fark denkleminin pozitif çözümlerinin sınırlılığını, global çekiciliğini, salınımını ve asimptotik periyodikliğini incelemiştir.

Su, Li ve Stevic (2005), yaptıkları çalışmada; a, b, A, B pozitif reel sayılar, 1

(17)

şekilde xk,...,x1,x0 negatif olmayan reel sayılar iken k n n n 1 n _Axa bx_Bx x   _   , ,... 2 , 1, 0

n fark denkleminin global çekiciliğini, değişmez aralıklarını, periyodik ve salınımlı karakterini incelemişlerdir. Ayrıca tek pozitif denge noktasının global çekici olduğunu belirlemişlerdir.

Dehghan ve Douraki (2005), yaptıkları çalışmada; B,C,α,β,γpozitif parametreler k{1,2,3,...} ve negatif olmayan başlangıç koşulları x2k1,...,x1,x0 ile 1 k 2 n 1 k n 1 k 2 n 1 k n 1 n _Bx x _Cxx x          _  

   , n01,,2,... lineer olmayan yüksek mertebeden fark denkleminin pozitif çözümlerinin global asimptotik kararlılığını incelemişler ve tek pozitif denge noktasının global asimptotik kararlı olabilmesi için gerekli olan şartları belirlemişlerdir.

Douraki, Dehghan ve Razzaghi (2005), yaptıkları çalışmada; p,q negatif olmayan parametreler k{1,2,3,...} ve negatif olmayan başlangıç koşulları

0 1 k - ,...,x ,x x  ile n k n 1 n p₁ qx_x x    

 , n01,,2,... fark denkleminin çözümlerinin

global karakterini incelemişlerdir. Ayrıca denklemin periyodikliğini, yarı dönmelerinin karakterini, global kararlılığını ve sınırsızlığını belirlemişlerdir.

El-Owaidy, Ahmed ve Youssef (2005), başlangıç koşulları ve parametreler negatif olmayan reel sayılardan seçildiğinde _p

2 n 1 n 1 n x_x x     _ __  , n01,,2,... fark denkleminin global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir.

Devault, Kocıc ve Stutson (2005), yaptıkları çalışmada; {pn} pozitif, sınırlı bir küme ve başlangıç koşulları pozitif olmak üzere

n 1 n n 1 n p x_x x     otonom

olmayan fark denkleminin çözümlerinin global asimptotik davranışını incelemişler, çözümlerin sınırlı ve dirençli olması ve sınırsız çözümlerin olabilmesi için yeterli olan koşulları elde etmişlerdir. Ayrıca global çekicilikle ilgili olarak bazı sonuçları elde etmişler ve bu sonuçları {pn}’in temel periyodu k iken periyodik olma durumunda uygulamışlardır.

(18)

Hamza (2005), yaptığı çalışmada; α ve x1,x0 başlangıç koşulları negatif reel sayılar olmak üzere

n 1 n 1 n x_x x 

   , n01,,2,... fark denkleminin global

kararlılığını, sürekliliğini ve salınım karakterini incelemiştir.

Saleh ve Aloqeili (2005), yaptıkları çalışmada; A0, k{1,2,3,...} ve başlangıç koşulları y-k,...,y0 (0,) olmak üzere

k n n 1 n A _yy y     , n01,,2,... fark

denkleminin tek negatif denge noktası y1A’nın global asimptotik kararlılığı için sağlanması gereken şartları araştırmışlardır.

Yan, Li ve Zuhao (2005), yaptıkları çalışmada; α, x1, xokeyfi reel sayılar olmak üzere 1 n n 1 n _xx x 

   , n01,,2,... fark denkleminin tüm negatif ve pozitif

çözümlerinin periyodik doğasını, global asimptotik karalılığını, global çekiciliğini ve sınırlı karakterini incelemişlerdir.

Su ve Li (2005), yaptıkları çalışmada; p,q,r[0,), k1 ve başlangıç koşulları yk,...,y1 negatif olmayan reel sayılar olmak üzere

k n n n 1 n ₁ p_y qy_ry y   _ _   , ,... 2 , 1, 0

n lineer olmayan fark denkleminin global çekiciliğini incelemişler ve tek pozitif denge noktasının global çekici olabilmesi için gerekli olan şartları belirlemişlerdir.

Sun ve Xi (2006), yaptıkları çalışmada; başlangıç değerleri x1,x0 (0,) alınarak n 1 n 1 n 1 x_x x 

   , n01,,2,... fark denkleminin {xn}n1 pozitif çözümlerinin 2

x pozitif denge noktasında birleştiğini göstemişlerdir.

Thomas, Clark ve Wılken (2006), yaptıkları çalışmada; sürekli ve muhtemelen bölünmüş değişmezliği kabul edilen

n k n 1 n x_x x    , n01,,2,... fark

(19)

Berenhaut ve Stevıc (2006), p,A(0,) , p1 ve x2 , x1(0,) iken p 1 n 2 n n A _xx x _        

 _, _n_₀_1,_,₂_,... _{denkleminin çözümlerinin sınırlılığı, global}

asimptotik kararlılığı ve periyodikliği üzerine çalışmışlardır. Bu çalışmada; 1)/2}

(A min{1,

p  iken denklemin tüm çözümlerinin denklemin tek denge noktası olan xA1 noktasında birleştiği, (A1)/2p1iken denklemin tüm çözümlerinin iki çözümlü bir periyotta birleştiği ve p1iken sınırsız çözümlerinin var olduğu belirtilmiştir.

Berenhaut ve Stevıc (2006), tarafından yapılan çalışmada; N k ve 0 p , -1 α    iken _p n p k n 1 n x_x x 

   , n01,,2,... denkleminin tek pozitif

denge noktası olan x α1 noktasında birleşen pozitif çözümlerinin salınımsız olduğu belirlenmiştir.

Dehghan ve Sebdani (2006), yaptıkları çalışmada; α ve başlangıç koşulları pozitif reel sayılar, k{1,2,...}, l{0,1,...} olmak üzere

l 2 n 1 k 2 n 1 k 2 n 1 n _x x _x x        __ fark

denkleminin pozitif çözümlerinin global kararlılığını incelemişlerdir. Ayrıca çalışmada α1 iken denklemin çözümlerinin … ,0,1,0,1,0,1, …şeklindeki iki dönme ile birleştiği ve α1 iken

1 x



 pozitif denge noktasının global asimptotik kararlı olduğu gösterilmiştir.

Camouzis, Chatterjee ve Ladas (2007), yapılan çalışmada;

3 3 2 1     _   n n n n x_A _x x

x  fark denkleminin global kararlılığını pozitif parametreler ve negatif olmayan başlangıç şartları altında incelemişlerdir. Ve buna bağlı olarak denklemin bütün çözümlerinin de sınırlı olduğunu da göstermişlerdir.

Mazrooei-Sebdani ve Dehghan (2007), yaptıkları çalışma ile;

k n k n k n n _x x _x x 2 1 2 1 2      

 fark denkleminin bütün pozitif çözümleri için global kararlılığını

(20)

altında incelemişlerdir. Ayrıca α < 1 olduğunda 1 1   

x pozitif denge noktası global asimptotic kararlı, α > 1 olduğunda fark denklemi iki salınımlı …, 0, 1, 0, 1 , … bir çözüme sahip olduğunu da incelemişlerdir.

X.Yang ve Y.Yang (2008), çalışmalarında;

l n s n l n s n n _qxpx _xx x        , n01,,2,...

denklemini pozitif başlangıç şartları altında pozitif denge noktasının global asimptotik kararlılığını incelemişlerdir.

Dongmei ve Li (2009), yaptıkları çalışmada; _p l n k n n x _x x    _ __  1 fark

denklemini pozitif parametreler ve negatif olmayan başlangıç şartları altında global asimptotik kararlılığını inclemişlerdir.

(21)

2.BÖLÜM

FARK DENKLEMLERİ İLE İLGİLİ GENEL TANIMLAR

x bağımsız değişkeni sürekli durumda iken, y bağımlı değişkeninin

 

x

değişimi y ,

 

x y'

 

x , … , y(n)

 

Denklem mertebesinin belirlenmesinde, y’nin hesaplanabilmesi için gerekli olan nokta sayısı göz önüne alınmaktadır. Bir fark denklemi kaçıncı mertebedense o kadar başlangıç şartına ihtiyaç vardır.

Birinci dereceden lineer olmayan fark denklemidir.

Tanım_3: I reel sayıların bir alt aralığı olmak üzere; f : I I  I tanımlı sürekli diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. O zaman  x_₁, x₀  I için

), , ( 1 1    n n n f x x x n  0 1,,2,... (2.1) denklemi bir tek

 

x

n n 1 çözümüne sahiptir.

Tanım_4: Eğer x noktası için f

 

x,x  x ise x’e f ’nin denge noktası denir. Eğer 0



 n için xn  x ise x’e f ’nin sabit noktası denir.

Tanım_5: x, (2.1) denkleminin denge noktası olmak üzere;

a) Her  0 sayısı için eğer x_₁, x₀  I iken x0  x  x_1  x  olacak

şekilde  0 sayısı varsa  n  1 için x_n  x  eşitsizliği sağlanıyorsa denklemin x denge noktasına kararlıdır denir.

b) x denge noktası kararlı olsun. Eğer x_₁, x₀  I iken x₀  x  x_₁  x 

olacak şekilde  0 sayısı varsa ve lim_n__ xn  x oluyorsa x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır denir.

c) Her x_₁, x₀  I için eğer lim_n__ xn  x ise, o zaman x denge noktasına global çekici denir.

d) Eğer x denge noktası kararlı ve global çekici ise x denge noktasına global asimptotik kararlıdır denir.

(23)

f) Eğer x_₁, x₀  I iken x₀  x  x_₁  x  r olacak şekilde bir r 0 sayısı varsa ve xN x r olacak şekilde bir N 1 sayısı varsa x denge

noktasına repeller denir.

Tanım_6: Herhangi bir fark denkleminin karakterini inceleyebilmek için o denklemin denge noktasındaki kısmi türevleri ile oluşturduğumuz yeni denkleme karakteristik denklem denir. (2.1) denklemi için:



x x



f

 

u v f

x_n1  _n, _n1  , olmak üzere oluşturduğumuz

 

,

 

, ₀ 1 1 _       _  n n n f x_ux z f x_vx z z

denklemi (2.1) denkleminin karakteristik denklemidir.

Herhangi bir xn1  f



xn,xn1,...,xnk





kN



fark denkleminin karakteristik denklemi   0 ... 1 1 2 1 1         n n k n k n p z p z p z z ,

Eğer p1  p2 ... pk1 1 ise o zaman denklemin x denge noktası lokal

asimptotik kararlıdır.

Eğer p1  p2 ... pk1 1 ise o zaman denklemin x denge noktası kararsızdır.

Tanım_7: x, (2.1) denkleminin bir denge noktası olsun. Bu denklemin

 



  1 n n

x çözümlerinin bir parçası için



xL,xL1,...,xM



çözümlerinin tamamı x denge noktasından büyük ya da eşit ve xL1 xxM1 x

ise



xL,xL1,...,xM



kümesine pozitif yarı dönme denir. Aynı denklemin

 



  1 n n

x çözümlerinin bir parçası için



xL,xL1,...,xM



çözümlerinin tamamı x denge noktasından küçük ve xL1  xxM1  x ise



x_L,x_L1,...,x_M



kümesine negatif yarı dönme denir.

(24)

Tanım_8: x, (2.1) denkleminin bir denge noktası olsun. Bu denklemin

 

   1 n n x

çözümlerinin pozitif ya da negatif yarı dönmeye sahip olduğunu varsayalım. Eğer bu dönmeyi ters yöne çeviren yani denklemin denge noktasından küçük ya da denklemin denge noktasından büyük veya eşit değere sahip en az bir tane

) 1 (N 

xN çözümü varsa xn1  f



xn,xn1



, n  0 1,,2,... denklemine salınımlıdır denir.

(25)

3.BÖLÜM x 1 2 1 2 1 n              





     t k n k t k n k n x x x   

FARK DENKLEMİNİN İNCELENMESİ

3.1              





     t k n k t k n k n x x x 1 2 1 2 1 n x   

Fark Denkleminin özellikleri

Bu bölümde pozitif β ve negatif olmayan α, γ gibi parametrelerin reel sayı ve başlangıç koşulları x2t,...,x2,x1,x0 pozitif sayılar olmak üzere

x 1 2 1 2 1 n              





     t k n k t k n k n x x x    ,... 2 , 1, 0  n (3.1)

denkleminin karakterini inceleyeceğiz.

(3.1) denkleminde n t n y x 1 1           değişimi yapılarak ve rR   ile, 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 1 1 ... ... ... 1 n n n t n n n t n n n t n n _y _y _y _y _y _y _y _y _y ry y                (3.2)

denklemi elde edilir. Böylece (3.1) denklemini (3.2) fark denklemine indirgemiş olduk. (3.1) denkleminin davranışları ile (3.2) denkleminin davranışları aynı olduğundan (3.1) denklemi yerine (3.2) denklemi incelenebilir. (3.2) denkleminin davranışlarının incelenmesi için (3.2) denkleminin denge noktasını bulalım.

1 1 1 _... 1_  _  _ _   _t _t _t y y y y r y  _y



1__t_yt1__r



_0 Böylece y1 0 veya 1 1 2 1          t t r

(26)

Teorem_3.1: (3.2) denkleminin y ve1 y denge noktaları ile ilgili aşağıdaki ifadeler2 doğrudur.

i. Eğer r1 ise o zaman y1 0 denge noktası lokal asimptotik kararlıdır. ii. Eğer r 1 ise o zaman y1 0 denge noktası saddle noktasıdır.

iii. Eğer r1 ise o zaman 1 1 2 1          t t r

y denge noktası kararsızdır.

İspat_3.1: y1 0 için (3.2) denkleminin lineer denkleminin katsayıları





₂ 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 1 2 1 ... ... ... 1 ,... t n n n t n n n t n n n n t n n y y y y y y y y y ry y y f              _ _ _ ’den



  n

n rz

z ,

(3.2) denkleminin y1 0 için karakteristik denklemi 0 1 2 1 2t __r_ t _ 



2



0 1 2t _ __r _  0 1 2 ,..., 2 , 1 t    2t  r  2t1  r

(27)

olur. r 1 için karakteristik denklemin her kökü  1 olacağından y1 0 asimptotik kararlıdır. Yine r1 için 1,2,...,2t1 0 ve 2t,2t1  1 olduğundan

0 1 

y saddle noktasıdır. Böylece (i) ve (ii) ispatlanmış olur.

(3.2) denkleminin 1 1 2 1          t t r

y için lineer denkleminin katsayıları



  



r r t t y y y f t n 1 1 ,..., 2        olarak bulunur. 1 1 2 1          t t r

y için (3.2) denkleminin lineer denklemi

  

1 1



olarak yazılır. Son denklemin katsayılarından

  

1 1

   

1 1



_...

  

1 1



₁ 1            r r t t r r t t r r t t

(28)

olacağından karakteristik denklemin i köklerinden en az biri için  1 olur. Böylece 1 1 2 1          t t r

y denge noktası r1 için kararsızdır.

Teorem_3.2:

 

y

n _n__2_t, (3.1) denkleminin bir çözümü ve r 1 olsun. Eğer

1 1 2 0 2 2 ,..., , 1             t t y y y r_t y  1 1 2 1 1 2 ,..., 1              t t y y r_t y (1) veya 1 1 2 0 2 2 ,..., , 1             t t y y y r_t y  1 1 2 1 1 2 ,..., 1              t t y y r_t y (2)

ise o zaman

 

y

n n2t çözümleri

1 1 2 1          t t r

y civarında salınımlıdır ve yarı dönmesi bir uzunluğundadır.

İspat_3.2: 1 1 2 0 2 2 ,..., , 1             t t y y y r_t y  1 1 2 1 1 2 ,..., 1              t t y y r_t y

olduğunu kabul edelim. O zaman;

2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ₁ ₁ 1 ... ... 1 r y y r y t y r y y y y ry y _t t t          _      2 1 y y  2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 0 2 ₁ ₁ 1 ... ... 1 r y y r y t y r y y y y ry y _t t t          _       2 2 y y 

olur. Böylece işlemler devam ettirilirse 2

1 y

y  , y2  y2, y3  y2, y4  y2, …

olur. Bu da yarı dönmelerin bir uzunluğunda olduğunu gösterir. Benzer olarak 1 1 2 0 2 2 ,..., , 1             t t y y y r_t y  1 1 2 1 1 2 ,..., 1              t t y y r_t y

(29)

2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ₁ ₁ 1 ... ... 1 r y y r y t y r y y y y ry y _t t t          _      2 1 y y  2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 0 2 ₁ ₁ 1 ... ... 1 r y y r y t y r y y y y ry y _t t t          _       2 2 y y  olur. Böylece, 2 1 y y  , y₂  y₂, y₃  y₂, y₄  y₂, …

şeklinde olur. Bu da çözümlerin bir uzunluğunda olduğunu gösterir.

Teorem_3.3: Eğer r1 ise o zaman (3.2) denkleminin y1 0 denge noktası global asimptotik kararlıdır.

İspat_3.3: y1 0’ın global asimptotik kararlı olduğunu göstermek için lokal asimptotik kararlı ve lim_n__yn  y1 0 olduğunu göstermeliyiz.

Teorem_3.1_(i)’de r 1 için y1 0 denge noktasının lokal asimptotik kararlı olduğunu göstermiştik. O halde lim_n__yn  y1 0 olduğunu göstermemiz yeterlidir.

2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2 ... ... ... 0 yn yn yn t yn yn yn t  yn yn yn t olduğundan 1 2 2 2 2 2 2 1 1 ₁ _... _... 0         _ _   _n t n n t n n n n _y _yry _y _y ry y

olarak yazılabilir. n  0,2,4,... için

1 1 0 y ry 1 2 1 3 0 y  y r y . . . 1 1 1 2 0 y n rn y

olur. Son eşitsizlikte her iki tarafın limitini alırsak;

1 1 1 2 lim lim 0 lim__ _n__y n _n__rn y n

(30)

0 lim__ 2n1  n y olur. Benzer olarak n  1,3,5,... için

0 2 0 y ry 0 2 2 4 0 y  y r y 0 2 0 y rny n  

elde edilir. Böylece

0 2 lim lim 0 lim y rny n n n n    

eşitliğini elde ederiz. Sonuç olarak lim_n__y2n 0 olur. Bu da Teorem_3.3’ün ispatıdır.

Teorem_3.4: a0 olmak üzere (3.2) denklemin a , a0 ,0 ,... gibi bir periyotlu iki çözüme sahip olması için gerek ve yeter şart r1 olmasıdır. Ayrıca (3.2) denkleminin tüm çözümleri bir periyotlu iki çözümden birine yakınsar.

İspat_3.4: a , b , a ,b ,... (3.2) denkleminin bir periyotlu iki çözümü olsun. Bu halde 2 2_... _... 1 b b b b ra a     ₂ ₂ ... ... 1 a a a a rb b   

 0   tab a b b a r t t eşitliklerini yazabiliriz. Son eşitsizlikten r10  r 1 olur.

Eğer r1 ise o zaman a0 ya da b0 olur. Bu ise a0 ve b0 olması ile çelişir. Bu yüzden r1 olmak zorundadır.

(31)

1  r için, 2 2 2 2 2 2 1 1 ₁ _... _... t n n t n n n n _y _y y _y _y y        _ _ olur. 0 ... ... 1 ... ... 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 _ _                  t n n t n n t n n n t n n n n n y y y_y y_y y_y y _y y y

olduğundan tek ve çift terimler azalarak a0  b0’a yakınsar. İlk eşitsizliğin limiti alınırsa; 1 1_   _t tb a a  ₁ 1_   _t ta b b

olur. Bu iki eşitlikten _tabt1 _0 _ _tat1_b_₀_{olur. Buradan a ve b’den biri sıfır} olmak zorundadır. Bu da teoremin ispatıdır.

Teorem_3.5: Eğer r 1 ise o zaman (3.2) denklemi sınırsız çözüme sahiptir.

İspat_3.5: Teorem_3.2 ’den 1 1 2 1 2 1            t n y r_t y  1 1 2 2 1           t n y r_t y

olarak yazılabilir. Yine

n n t n n t n n n n y t r t r ry y y y y ry y 2 ₂ 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 ₁ ... 1 1 ... ... 1   _  _ _           1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 ₁ ... 1 1 ... ... 1         _          n _n t n n t n n n n y t r t r ry y y y y ry y

eşitsizliklerini yazabiliriz. Limit alırsak;



     t k q k n t k n k n x x x    , n  0 1,,2,... (4.1)

denkleminin karakterini inceleyeceğiz.

(4.1) denkleminde n p qt n y x _        1   değişimi yapılarak ve rR   ile; p q t n q n q n q t n p q n q n q t n q n p q n n n _y _y _y _y ry_y _y _y _y _y y _               _ _ _ 2 4 2 2 4 2 2 4 2 1 1 ₁ _... _... _... (4.2)

denklemi elde edilir. Böylece (4.1) denklemini (4.2) fark denklemine indirgemiş olduk. (4.1) denkleminin davranışları ile (4.2) denkleminin davranışları aynı olduğundan (4.1) denklemi yerine (4.2) denklemi incelenebilir. (4.2) denkleminin davranışlarının incelenmesi için (4.2) denkleminin denge noktasını bulalım.

p qt p qt p qt _y _y y y r y _ _ _      ... 1 



1 



0  _r y t y qt p Böylece y₁ 0 veya qt p t r y          1

(33)

Teorem_4.1: (4.2) denkleminin y ve1 y denge noktaları ile ilgili aşağıdaki ifadeler2 doğrudur.

iv. Eğer r1 ise o zaman y1 0 denge noktası lokal asimptotik kararlıdır. v. Eğer r 1 ise o zaman y1 0 denge noktası saddle noktasıdır.

vi. Eğer r1 ise o zaman qt p

t r y          1

2 1 denge noktası kararsızdır.

İspat_4.1: y1 0 için (4.2) denkleminin lineer denkleminin katsayıları





_q _p t n q n q n q t n p q n q n q t n q n p q n n t n n y y y y y y y y y ry y y f _                _ _ _ 2 4 2 2 4 2 2 4 2 1 2 1 ... ... ... 1 ,..., ’den



  n

n rz

z ,

(4.2) denkleminin y1 0 için karakteristik denklemi 0 1 2 1 2t __r_ t _ 



2



0 1 2t _ __r _  0 1 2 ,..., 2 , 1 t    2t  r  2t1  r

(34)

olur. r 1 için karakteristik denklemin her kökü  1 olacağından y1 0 asimptotik kararlıdır. Yine r1 için 1,2,...,2t1 0 ve 2t,2t1  1 olduğundan

0 1 

y saddle noktasıdır. Böylece (i) ve (ii) ispatlanmış olur.

(4.2) denkleminin qt p t r y          1





 



r r t p qt y y y f n 1 ,..., 4        . . .







₀ 1 2 1 2 _  _    _ _   _ r r t p qt r r t p qt t t t _ _ 

olarak yazılır. Son denklemin katsayılarından



 





 



1 1 ... 1 1 1            r r t p qt r r t p qt r r t p qt