˙ISTANBUL TEKN˙IK ¨UN˙IVERS˙ITES˙I
?
FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨UWEYL UZAYLARINDA YAKLAS¸IK HERM˙ITSEL VE YAKLAS¸IK KAEHLER YAPILAR
Y¨uksek Lisans Tezi Sevin¸c Yılmaz
Anabilim Dalı: Matematik M¨uhendisli˘gi Programı : Matematik M¨uhendisli˘gi
˙ISTANBUL TEKN˙IK ¨UN˙IVERS˙ITES˙I
?
FEN B˙IL˙IMLER˙I ENST˙IT ¨US ¨UWEYL UZAYLARINDA YAKLAS¸IK HERM˙ITSEL VE YAKLAS¸IK KAEHLER YAPILAR
Y¨uksek Lisans Tezi Sevin¸c Yılmaz
(509961102)
Tezin Enstit¨uye Verildi˘gi Tarih: 25 Aralık 2009 Tezin Savunuldu˘gu Tarih : 25 Ocak 2010
Tez Danı¸smanı: Do¸c. Dr. Fatma ¨Ozdemir (˙IT ¨U)
J¨uri ¨Uyesi : Do¸c. Dr. Sezgin Altay Demirba˘g (˙IT ¨U) Yard. Do¸c. Dr. Meltem G¨ung¨ormez (˙IT ¨U)
¨
ONS ¨OZ
˙IT ¨U’ ye adım attı˘gım ilk g¨unlerden bu yana kendisinden matemati˘ge ve hayata dair ¸cok ¸sey ¨o˘grendi˘gim, mezuniyet sonrasında da de˘gerli fikirlerinden faydalanmaya devam etti˘gim hocam Do¸c. Dr. Fatma ¨Ozdemir’ e te¸sekk¨ur ederim.
˙Izmir’ in g¨une¸si kadar parlak ve sıcak sevgileriyle benimle olan anneci˘gim M¨u¸serref Yılmaz ve biricik karde¸sim Sevil Yılmaz’ a varlıkları, destekleri ve emekleri i¸cin te¸sekk¨ur ederim.
Ocak, 2010 Sevin¸c Yılmaz
˙IC¸ ˙INDEK˙ILER Sayfa ¨ OZET . . . iv SUMMARY . . . vii 1. B ¨OL ¨UM . . . vii 1.1 Giri¸s . . . 1
1.2 Kompleks ve Kaehler uzaylar . . . 1
2. B ¨OL ¨UM . . . 8
2.1. Weyl Uzayları . . . 8
2.2. Weyl Uzaylarında yakla¸sık Kaehler yapılar . . . 8
SONUC¸ LAR VE TARTIS¸MA . . . 19
KAYNAKLAR . . . 20
¨ OZGEC¸ M˙IS¸ . . . 21
WEYL UZAYLARINDA YAKLAS¸IK HERM˙ITSEL VE YAKLAS¸IK KAEHLER YAPILAR
¨ OZET
Bu ¸calı¸smada, yakla¸sık Hermitsel, yakla¸sık Kaehler ve yakla¸sık yarı Kaehler yapıları Weyl uzaylarında incelenmi¸stir. Weyl uzaylarında kompleks ve Kaehler yapıları tanımı verilip, yakla¸sık Kaehler yapısı integre edilebilirse yapının Kaehler oldu˘gu g¨osterilmi¸stir. Ayrıca, Hermitsel yapının hangi ko¸sullar altında Kaehler olaca˘gı teo-remlerle ifade ve ispat edilmi¸stir [1-5].
˙Ilk b¨ol¨umde, Riemann uzayına ait temel kavramlar ele alınmı¸stır. MnRiemann
mani-foldunda yakla¸sık kompleks yapı, Hermitsel yapı, Kaehler yapısı ve yakla¸sık Kaehler, yakla¸sık yarı Kaehler tanımları verilmi¸stir. Yakla¸sık yapının integre edilebilme ko¸sulu ifade ve ispat edilmi¸stir [6-10].
˙Ikinci b¨ol¨umde, Weyl uzaylarında yakla¸sık Hermitsel, yakla¸sık Kaehler ve yakla¸sık yarı Kaehler yapıları ile ilgili teorem ve ispatlar verilmi¸stir. Simetrik bir ∇ konnek-siyonuna ve konform gij metrik tans¨or¨une sahip n-boyutlu bir Wn manifoldunda gij
metrik tans¨or¨u ve konneksiyon arasında
∇kgij − 2Tkgij = 0, (1)
uygunluk ko¸sulu varsa, Wn manifolduna bir Weyl uzayı denir ve Wn(gij, Tk) ile
g¨osterilir. Burada Tk kovaryant bir vekt¨or olup Weyl uzayının komplemanter vekt¨or
alanı adını alır.
λ skaler bir fonksiyon olmak ¨uzere Wn(gij, Tk) uzayında metrik tans¨or¨un
∼
gij = λ2gij , (2)
¸seklindeki d¨on¨u¸s¨um¨u altında Tk komplemanter vekt¨or¨u,
∼
Tk= Tk+ ∂kln λ , (3)
kuralına uygun olarak d¨on¨u¸s¨ur. Γijk Weyl konneksiyonu ilejki Levi-Civita konnek-siyonu arasında Γijk = i jk − gim(gmkTl+ gmlTk− gklTm), (4) ba˘gıntısı vardır.
gij metrik tans¨or¨un¨un
∼
gij = λ2gij, ¸seklindeki bir normlanması altında bir A
b¨uy¨ukl¨u˘g¨u
∼
A = λpA (5)
¸seklinde de˘gi¸siyorsa A ya, gij tans¨or¨un¨un {p} a˘gırlıklı uydusu denir [8], [9].
gij tans¨or¨un¨un {p} a˘gırlıklı A uydusunun genelle¸stirilmi¸s t¨urevi
˙
ile tanımlanır [8], [9].
gij tans¨or¨un¨un {p} a˘gırlıklı A uydusunun genelle¸stirilmi¸s kovaryant t¨urevi ise
˙
∇kA = ∇kA − pTkA, (7)
ba˘gıntısı ile tanımlanmı¸stır.
Wn, n = 2k(n ≥ 2) boyutlu bir Weyl uzayı olsun. Fij, {0} a˘gırlıklı (1, 1) tipi bir
tans¨or¨u
FijFjk= −δki (8)
ba˘gıntısını sa˘glarsa Fij tans¨or¨une Wn ¨uzerinde yakla¸sık kompleks yapı ve Wn’ye de
yakla¸sık kompleks uzay denir [2].
Fij yakla¸sık kompleks yapısı ve gij metri˘gine sahip Wn Weyl uzayı
gijFhiF j
k = ghk, (9)
ba˘gıntısını sa˘glarsa, (Fij, ghk) ikilisine Wn uzayında yakla¸sık Hermitsel yapı ve
¨
uzerinde (Fij, ghk) yapısı bulunan Wn uzayına da yakla¸sık Hermitsel uzay denir.
E˘ger Fij tans¨or¨u her i, j, k indisi i¸cin
˙
∇kFij = 0 (10)
e¸sitli˘gini ger¸ceklerse, yakla¸sık Hermitsel Fij yapısına (sırasıyla, uzayına) Kaehler yapısı (sırasıyla, uzayı) denir. A˘gırlı˘gı {2} olan (0, 2) tipindeki Fij tans¨or¨u
Fij = gjkFik (11)
¸seklinde tanımlanır ve anti-simetrik bir tans¨ord¨ur. Benzer ¸sekilde Fij tans¨or¨u (2, 0)
tipinde a˘gırlı˘gı {−2} olan anti-simetrik bir tans¨ord¨ur ve
Fij = gihFhj (12)
¸seklinde tanımlanır.
Fij yakla¸sık Hermitsel yapısı (sırasıyla, uzayı)
Fhij = ˙∇hFij + ˙∇iFjh+ ˙∇jFhi= 0, (13)
ba˘gıntısını sa˘glarsa bu yapıya yakla¸sık Kaehler yapı (sırasıyla, uzay) , denir. E˘ger Fij Hermitsel yapısı
Fi ≡ − ˙∇jFij = 0 (14)
¸seklinde bir ba˘gıntı sa˘glarsa, Hermitsel yapıya (sırasıyla, uzaya) yakla¸sık yarı-Kaehler yapı (sırasıyla, uzay) denir.
Wn Weyl uzaylarında yakla¸sık kompleks yapılar i¸cin Nijhenuis burulma tans¨or¨u {0}
a˘gırlıklı
Nijk = Fih( ˙∇hFjk− ˙∇jFhk) − F h
j ( ˙∇hFik− ˙∇iFhk), (15)
tans¨or¨u olarak tanımlanır ve yakla¸sık kompleks yapının burulması yoksa, yani, Nk ij =
0 ise integre edilebilir denir.
¨
Ozel olarak (10) ba˘gıntısını sa˘glayan Fij yapısı Kaehler yapısı ise , (10) denklemi sa˘glanır ve b¨oylece, integre edilebilirlik ¸sartı olan (15) denklemi ile verilen Nijhenuis burulma tans¨or¨un¨un sıfır oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.
Komplemanter vekt¨or alanı Tk = 0 olursa yukarıdaki tanımların Riemann
uzayındaki kar¸sılıkları elde edilir [2-5].
B¨oylece, Weyl uzaylarında yakla¸sık Kaehler yapısı ile ilgili a¸sa˘gıdaki teoremleri ifade edebiliriz [11].
Teorem 2.1. Yakla¸sık Kaehler yapısı integre edilebilir ise yapı Kaehlerdir. Teorem 2.2. Fji Hermitsel yapısı
˙
∇iFjk = ˙∇jFik, (16)
ba˘gıntısını sa˘glarsa bu yapı ancak ve ancak Kaehler yapısıdır. Teorem 2.3. Fij Hermitsel yapısı
Fij∇˙k∇˙
kFij = 0, (17)
ba˘gıntısını sa˘glarsa Kaehlerdir. Burada ˙∇k = gjk∇˙ j dir.
Teorem 2.4. Yakla¸sık Kaehler yapısı yakla¸sık yarı Kaehlerdir.
Teorem 2.5. a, sıfırdan farklı bir sabit olmak ¨uzere, Fij yakla¸sık yarı Kaehler yapısı
˙
∇kFij∇˙iFjk = a ˙∇kFij∇˙kFij, (18)
ba˘gıntısını sa˘glarsa,
Q = R +1 2F
mkFihR
mkih+ 2gik(∇iTk− ∇kTi), (19)
ALMOST HERMITIAN AND ALMOST KAEHLER STRUCTURES ON WEYL SPACES
SUMMARY
In this study, the almost Hermitian, almost Kaehler and almost semi Kaehler struc-ture is investigated in Weyl spaces.
In this spaces, after giving the definitions of an almost complex structure, an almost Hermitian structure, Kaehlerian structure, it has been shown that, if the almost Kaehler structure is integrable then the structure is Kaehlerian [1-5].
In the first chapter, the basic notions and definitions of Riemannian space are given The integrability condition for an almost complex structure is stated and proved. Moreover, the conditions under which an Hermitian structure will become Kaehler are stated and proved by theorems [6-10].
In the second chapter, it is given some theorems concerning the almost Hermi-tian, almost Kaehlerian and almost semi Kaehlerian structure in Weyl spaces. An n-dimensional manifold Wn(gij, Tk) is said to be a Weyl space if it has a
confor-mal metric tensor gij and a symmetric connection ∇k satisfying the compatibility
condition given by the equation
∇kgij − 2Tkgij = 0 , (1)
where Tkis a covariant vector field and ∇kgij denotes the usual covariant derivative.
Under a renormalization of the fundamental tensor of the form ∼
gij = λ2gij , (2)
the complementary vector field Tk is transformed by the law
∼
Tk= Tk+ ∂kln λ , (3)
The Weyl connection Γi
jk and Levi-Civita connection
i jk is connected by Γijk = i jk − gim(g mkTl+ gmlTk− gklTm), (4)
A quantity A is called a satellite with weight {p} of the tensor gij, if it admits a
transformation of the form ∼
A = λpA , (5)
The prolonged derivative of a satellite A of the tensor gij with weight {p} is defined
by [8], [9]
˙
∂kA = ∂kA − pTkA, (6)
The prolonged covariant derivative of a satellite A of the tensor gij with weight {p}
is defined by
˙
∇kA = ∇kA − p TkA . (7)
Let Wnbe an Weyl space of dimension n = 2k(n ≥ 2) . We will say that a tensor Fij
of type (1, 1) with weight {0} is an almost complex structure on Wn, if the tensor
Fij satisfies the condition
FijFjk= −δki (8)
and Wn will be called an almost complex space [11].
If the Weyl space Wn admits an almost complex structure Fij and the metric tensor
gij of Wn satisfies
gijFhiF j
k = ghk, (9)
then the (Fij, ghk) will be called an almost Hermitian structure on Wn and Weyl
space with the structure (Fij, ghk) will be called an almost Hermitian space.
We will say that an almost Hermitian structure Fij (respectively, space) is a Kaehle-rian structure (respectively, space) if the tensor Fij satisfies
˙
∇kFij = 0 for all i, j, k. (10)
The tensor Fij of type (0, 2) with the weight {2} defined by
Fij = gjkFik, (11)
is skew-symmetric and the skew-symmetric tensor Fij of type (2, 0) with weight
{−2} is defined by
Fij = gihFhj. (12)
An almost Hermitian structure Fij (respectively, space) will be called an almost Kaehlerian structure (respectively, space) if the tensor Fij satisfies
Fhij = ˙∇hFij + ˙∇iFjh+ ˙∇jFhi= 0. (13)
An almost Hermitian structure Fij (respectively, space) will be called an almost semi-Kaehlerian structure (respectively, space) if the tensor Fij satisfies
Fi ≡ − ˙∇jFij = 0. (14)
We will define the Nijhenuis torsion tensor with the weight {0} by Nijk = Fih( ˙∇hFjk− ˙∇jFhk) − F
h
j ( ˙∇hFik− ˙∇iFhk). (15)
We will say that an almost complex structure is integrable if it has no torsion. In particular, the structure Fij is Kaehlerian if (10) holds, and consequently the Nijhenuis torsion tensor (15) is zero, so that the integrability condition of the almost complex structure Fij is satisfied.
If we take the complementary vector field Tk = 0 then the above definitions reduce
to the definitions of the Riemannian space [2-5].
We first prove that the following theorem concerning an almost Kaehlerian structure in Weyl spaces [11].
Theorem 2.1. If an almost Kaehlerian structure is integrable then the structure is Kaehlerian.
Theorem 2.2. If an almost Hermitian structure Fij satisfying
˙
∇iFjk = ˙∇jFik, (16)
is Kaehlerian.
Theorem 2.3. The structure Fij is Kaehlerian if and only if the almost Hermitian structure Fij satisfying
Fij∇˙k∇˙
kFij = 0, (17)
where ˙∇k = gik∇˙ j.
Theorem 2.4. An almost Kaehlerian structure is almost semi-Kaehlerian. Theorem 2.5. If an almost semi-Kaehlerian structure Fij satisfies
˙
∇kFij∇˙iFjk = a ˙∇kFij∇˙kFij, (18)
where a is a non-zero constant, then Q defined by Q = R +1
2F
mkFihR
mkih+ 2gik(∇iTk− ∇kTi), (19)
1. B ¨OL ¨UM
1.1 Giri¸s
Koordinatları xi, (i = 1, · · · , n) olarak verilen n-boyutlu bir uzayda Riemann, bir-birine ¸cok yakın xi ve xi+ dxi noktaları arasındaki sonsuz k¨u¸c¨uk ds uzaklı˘gını
ds2 = gijdxidxj, (i, j = 1, 2, · · · , n) (1.1.1)
¸sekilde tanımlamı¸stır. Burada gij katsayıları xi koordinatlarının fonksiyonlarıdır ve
Riemann metri˘gi olarak adlandırılır. B¨oyle bir metrik ile karakterize edilen uzaya Riemann uzayı ve Riemann metri˘gine dayanan geometriye de Riemann geometrisi denir [ 6].
¨
Oklid uzayında dik kartezyen koordinatlarda xinoktasında tanımlanan bir A vekt¨or¨u
xi+ dxi noktasına paralel olarak ¨otelenirse dAi de˘gi¸sim vekt¨or¨un¨un bile¸senleri sıfır
olur. Ancak genel koordinat sistemlerinde, ¨orne˘gin kutupsal koordinatlarda paralel ¨
otelemeler altında fark vekt¨or¨un¨un bile¸senleri dAi sıfırdan farklı olur. En genel
olarak, bir A vekt¨or¨u birbirine ¸cok yakın xi ve xi + dxi noktaları arasında paralel
olarak ta¸sınırsa vekt¨or bile¸senleri
dAi = −ΓijkAjdxk, (1.1.2)
¸seklinde de˘gi¸sir. Burada Γi
jk lar konneksiyon katsayısı olarak adlandırılır.
Γi jk ve Γ
0γ
αβ, ’lar sırasıyla x ve x
0 koordinatlarının fonksiyonları olmak ¨uzere,
∂2xi ∂x0α∂x0β + Γ i jk ∂xj ∂x0α ∂xk ∂x0β = Γ 0γ αβ ∂xi ∂x0γ , (1.1.3)
ba˘gıntısını sa˘glar [7]. ¨
Ozel olarak Γi
jk konneksiyonu Riemann konneksiyonu (Levi-Civita) ise bu durumda
gihgjh = δji, δ i j = 1, i = j 0, i 6= j Γijk = i jk = gih[h, jk], [h, jk] = 1 2( ∂gjh ∂xk + ∂gkh ∂xj − ∂gjk ∂xh), (1.1.4)
dir.
Burada [h, jk] ifadesine 1. cins, jki ifadesine ise 2. cins Christoffel sembol¨u denir. Chiristoffel sembollerinin alt iki indise g¨ore simetrik oldu˘gu g¨or¨ulmektedir.
gij metrik tans¨or¨u ile verilen bir Mn Riemann uzayında bu metrik tans¨orle uyumlu,
bir ve yalnız bir konneksiyon vardır.[7]
Tanım 1.1.2. M bir Haussdorff uzayı olsun. M nin her p kom¸sulu˘gunun uygun bir U civarını, Rn nin a¸cık bir V alt c¨umlesine tasvir eden bir ϕ homeomorfizması
varsa, M ye n-boyutlu topolojik manifold ve (U, ϕ) ¸ciftine de p nin bir koordinat kom¸sulu˘gu denir.
M bir topolojik manifold olsun. A indis c¨umlesi, Uα da A yardımı ile belirlenmi¸s
a¸cık c¨umleler ailesi olmak ¨uzere, M ¨uzerinde bir S = {(Uα, ϕα)α∈A} kolleksiyonu
a¸sa˘gıdaki ko¸sulları sa˘glıyorsa bu kolleksiyona M ¨uzerinde n-boyutlu diferansiyel-lenebilir bir yapı olu¸sturur denir [1].
i) S
α∈A Uα = M
ii) Herhangi bir α, β ∈ A i¸cin fβα ve fαβ fonksiyonları
fβα = φβ◦ φ−1α : φα(Uα∩ Uβ) ⊂ Rn → φβ(Uα∩ Uβ) ⊂ Rn
fαβ = φα◦ φ−1β : φβ(Uα∩ Uβ) ⊂ Rn→ φα(Uα∩ Uβ) ⊂ Rn
diferansiyellenebilir tasvirdir.
iii) {(Uα, ϕα)}α∈A ailesi (i) ve (ii) ko¸sullarına g¨ore maksimaldir.
n-boyutlu Mn manifoldu ¨uzerindeki Γjki konneksiyon katsayıları simetrik ve
anti-simetrik kısımlarına ayrı¸stırılabilir. Γjki konneksiyon katsayılarının simetrik kısmını Λ i
jk ve antisimetrik kısmını da Ωjki ile ifade edersek;
Λjki = Γ(jk)i = 1 2(Γ i jk + Γ i kj ), (1.1.5) Ωjki = Γ[jk]i = 1 2(Γ i jk − Γ i kj), (1.1.6)
¸seklinde olur, burada Λ i
jk konneksiyon katsayısı, Ωjki ise bir tans¨ord¨ur ve bu tans¨or
konneksiyonun burulma tans¨or¨u adını alır. (1.1.5) ve (1.1.6) denklemlerinden Γjki = Λjki+ Ωjki, (1.1.7)
elde edilir. Riemann uzayında Γjki simetrik ve burulma tans¨or¨u Ωjki sıfırdır.
vi bir kontravaryant vekt¨or alanının, v
i bir kovaryant vekt¨or alanının ve Tjih da bir
tans¨or alanının bile¸senleri olmak ¨uzere bu b¨uy¨ukl¨uklerin Riemann konneksiyonuna (∇) g¨ore kovaryant t¨urevleri sırasıyla
∇jvi = ∂vi ∂xj + v hΓ i hj , (1.1.8) ∇jvi = ∂vi ∂xj − vkΓ k ij , (1.1.9) ∇kTjih = ∂Tjia ∂xk + T a ij Γ h ka − T h ai Γ a kj − T h ja Γ a ki , (1.1.10) ¸seklindedir [2-3].
gij metrik tans¨or¨un¨un Levi-Civita konneksiyonuna g¨ore kovaryant t¨urevi
∇kgij = ∂gij ∂xk − a kj gai− a ki gaj = 0, (1.1.11) dir.
Bir Mn manifoldunun e˘grilik tans¨or¨u, en genel haliyle
Lkjih = ∂kΓjih− ∂jΓkih+ Γ h kt Γ t ji − Γ h jt Γ t ki , (∂k = ∂ ∂xk) (1.1.12) ¸seklindedir. Γ h
ji fonksiyonları ikinci cins Christoffel sembolleri
h
ji alınırsa, e˘grilik
tans¨or¨u, gij metrik tans¨or¨u ile verilen bir Riemann uzayının Riemann-Christoffel
e˘grilik tans¨or¨u Rkjih = ∂k h ji − ∂j h ki + h ka a ji − h ja a ki , (1.1.13) ¸sekline d¨on¨u¸s¨ur [2 ].
Mn¨uzerinde, vh bir kontravaryant vekt¨or alanının, wi bir kovaryant vekt¨or alanının,
f bir skaler fonksiyonunun, T h
ji (1, 2) tipinde herhangi bir tans¨or alanının ve Sjih
da burulma tans¨or¨un¨un bile¸senleri olmak ¨uzere L h
kji e˘grilik tans¨or¨u a¸sa˘gıdaki Ricci
¨
ozde¸sliklerini sa˘glar:
∇k∇jvh− ∇j∇kvh = Lkjihv i− 2S t kj∇tvh, (1.1.14) ∇k∇jωi− ∇j∇kωi = −Lkjihwh− 2Skjt∇twi, (1.1.15) ∇j∇if − ∇i∇jf = −2Sjih∇hf, (1.1.16) ∇l∇kTjih− ∇k∇lTjih = L h lkt T t ji − L t lkj T h ti − L t lki T h jt − 2S t lk∇tTjih. (1.1.17)
¨
Ozel olarak Mn uzayı Riemann uzayı ise Skjt = 0 olaca˘gından Riemann uzayı ile
ilgili Ricci ¨ozde¸sliklerine ula¸sılır.
(1.1.13) den Riemann-Christoffel e˘grilik tans¨or¨un¨un
Rkjih = −Rjkih, (1.1.18)
Rkjih+ Rjikh+ Rikjh = 0 , (1.1.19)
¨
ozelliklerine sahip oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.
D¨ord¨unc¨u dereceden Rkjih kovaryant e˘grilik tans¨or¨u
Rkjih = Rkjiagah, (1.1.20)
¸seklinde tanımlanmı¸stır ve a¸sa˘gıdaki ¨ozellikleri sa˘glar [2]: (1) Rkjih+ Rjikh+ Rikjh = 0 ,
(2) Rkjih = −Rjkih,
(3) Rkjih = −Rkjhi,
(4) Rkjih = Rihkj,
(5) Rkkih= −Rkjhh = 0 . (1.1.21)
(1) ¨ozde¸sli˘gine birinci Bianchi ¨ozde¸sli˘gi denir. Ayrıca, e˘grilik tans¨or¨un¨un Riemann konneksiyonuna g¨ore kovaryant t¨urevi
∇lRkjih+ ∇kRjlih+ ∇jRlkih = 0 , (1.1.22)
ikinci Bianchi ¨ozde¸sli˘gini sa˘glar [2].
(1.1.13) de h ve k indisleri ¨uzerine daraltma yapılırsa
Rji= Rajia, (1.1.23)
¸seklinde tanımlanan Ricci tans¨or¨une ula¸sılır, buradan Rji = Rajia= g
ab
Rajib = gbaRibaj = gbaRbija = Rij, (1.1.24)
e¸sitli˘ginden Ricci tans¨or¨un¨un simetrik oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Ricci tans¨or¨u yardımıyla Rie-mann uzayının skaler e˘grili˘gi
R = gijRij, (1.1.25)
¸seklinde tanımlanır.
g metri˘gine sahip bir Mn Riemann uzayının e˘grilik tans¨or¨u
Rkjih = 0 , (1.1.26)
ko¸sulunu sa˘glıyorsa Riemann uzayına d¨uz uzay denir.
1.2 Kompleks ve Kaehler Uzaylar
Tanım 1.2.1. I bir reel V vekt¨or uzayının birim d¨on¨u¸s¨um¨u olmak ¨uzere, V vekt¨or uzayı ¨uzerinde yakla¸sık yapı, J2 = −I e¸sitli˘gini sa˘glayan bir lineer endomorfizmadır
[4].
Tanım 1.2.2. Mn, n-boyutlu differansiyellenebilen bir reel manifold olsun. Mn
¨
uzerinde bir J tans¨or alanı, her x ∈ Mni¸cin, Tx(M ) te˘get uzayının J2 = −I ko¸sulunu
sa˘glayan bir endomorfizması ise J ye yakla¸sık kompleks yapı denir [2-4]. Mn ¨uzerinde (1, 1) tipinde tanımlı olan bir Fij tans¨or¨u
FijFjk = −δik, (1.2.1)
ko¸sulunu sa˘glarsa Fij tans¨or¨une yakla¸sık kompleks yapı ve (Mn, Fij) ikilisine
yakla¸sık kompleks uzay denir [2-4].
E˘ger Mn uzerinde bir yakla¸sık kompleks F¨ j
i yapısı varsa ve gij Riemann metrik
tans¨or¨u
gijFhiF j
k = ghk, (1.2.2)
ko¸sulunu sa˘glarsa (Fij, ghk) ¸ciftine Mn ¨uzerinde yakla¸sık Hermitsel yapı denir.
E˘ger Mn uzerinde F¨ ij Hermitsel yapısı, her i, j, k i¸cin
∇kFij = 0 , (1.2.3)
ba˘gıntısını sa˘glıyorsa Fij yakla¸sık kompleks yapısına Kaehler yapı denir.
ve Fij tans¨orleri FjhF j i = −FhjF j i = −gih, (1.2.4) Fij = gihFhj, Fij = gjkFik, (1.2.5) ¸seklinde tanımlanır. Fij ve F
ij tans¨orleri anti-simetrik tans¨orlerdir.
Yakla¸sık Fij Hermitsel yapısı
Fhij = ∇hFij + ∇iFjh+ ∇jFhi= 0 , (1.2.6)
ba˘gıntısını sa˘glıyorsa Fij tans¨or¨une yakla¸sık Kaehler yapı denir. Bu ¨ozelli˘gin ge¸cerli oldu˘gu uzaya da yakla¸sık Kaehler uzayı denir.
Tanım 1.2.3. Fij yakla¸sık Hermitsel yapısı Fi = −∇jF j
i = 0, ko¸sulunu sa˘glıyorsa
o zaman bu yapıya yakla¸sık yarı-Kaehler yapı denir. Fij yakla¸sık kompleks yapısı i¸cin burulma tans¨or¨u
Nijk = Fih(∇hFjk− ∇jFhk) − F h j (∇hFik− ∇iFhk) , (1.2.7) ile tanımlanır. E˘ger N k ij = 0 ise F j
i yakla¸sık kompleks yapısına integre edilebilir denir.
Mn bir Kaehler Manifoldu ise Ricci ¨ozde¸sli˘ginin (1.1.17) ba˘gıntısından
∇k∇jFih− ∇j∇kFih = RkjthFit− RkjitFth, (1.2.8)
oldu˘gu g¨or¨ul¨ur [2].
2. B ¨OL ¨UM
2.1 Weyl Uzayları
Burulmasız bir ∇ konneksiyonuna ve konform gij metrik tans¨or¨une sahip n-boyutlu
bir Wn manifoldunda gij metrik tans¨or¨u ve konneksiyon arasında
∇kgij − 2Tkgij = 0, (2.1.1)
uygunluk ko¸sulu varsa, Wn manifolduna bir Weyl uzayı denir ve Wn(gij, Tk) ile
g¨osterilir. Burada Tk kovaryant bir vekt¨or olup Weyl uzayının komplemanter vekt¨or
alanı adını alır [8-9].
λ skaler bir fonksiyon olmak ¨uzere Wn(gij, Tk) uzayında metrik tans¨or¨un
∼
gij = λ2gij , (2.1.2)
¸seklindeki d¨on¨u¸s¨um¨u altında Tk komplemanter vekt¨or¨u,
∼
Tk= Tk+ ∂kln λ , (2.1.3)
kuralına uygun olarak d¨on¨u¸s¨ur. Γi
jk Weyl konneksiyonu ile
i jk Levi-Civita konnek-siyonu arasında Γijk = i jk − gim(g mkTl+ gmlTk− gklTm), (2.1.4) ba˘gıntısı vardır.
gij metrik tans¨or¨un¨un
∼
gij = λ2gij ¸seklindeki bir normlanması altında bir A
b¨uy¨ukl¨u˘g¨u
∼
A = λpA (2.1.5)
¸seklinde de˘gi¸siyorsa A ya, gij tans¨or¨un¨un {p} a˘gırlıklı uydusu denir [8], [9].
gij tans¨or¨un¨un {p} a˘gırlıklı A uydusunun genelle¸stirilmi¸s t¨urevi ˙∂kA ile g¨osterilir ve
˙
form¨ul¨u ile tanımlanır [9-10].
gij tans¨or¨un¨un {p} a˘gırlıklı A uydusunun genelle¸stirilmi¸s kovaryant t¨urevi ise
˙
∇kA = ∇kA − pTkA, (2.1.7)
ba˘gıntısı ile tanımlanmı¸stır.
(gij, Tk) tens¨or ¸ciftine (2.1.2) ve (2.1.3) ba˘gıntıları yardımıyla yeni bir (
∼ gij,
∼
Tk), tens¨or
¸cifti kar¸sı getiren d¨on¨u¸s¨um ayar d¨on¨u¸s¨um¨u olarak adlandırılır.
Genelle¸stirilmi¸s t¨urev ve genelle¸stirilmi¸s kovaryant t¨urev uyduların a˘gırlıklarını ko-rur. Ayar d¨on¨u¸s¨um¨u altında Γijk nın a˘gırlı˘gı sıfırdır yani, Γijk ayar de˘gi¸smezdir. Γijk cinsinden tanımlanan b¨uy¨ukl¨ukler de bu nedenle ayar de˘gi¸smezdir.
Wn uzayına ait e˘grilik tens¨or¨u
Rjkli = ∂lΓijk − ∂kΓijl+ Γ i hlΓ h jk− Γ i hkΓ h jl, (2.1.8) Rijkl = gihRhjkl, (2.1.9)
ve Ricci tans¨or¨u
Rij = Rkijk, (2.1.10)
ile, ayrıca Ricci e˘grilik skaleri de
R = gijRij, (2.1.11)
ba˘gıntısı ile tanımlanır. E˘grilik tans¨orlerinin ayar de˘gi¸smez oldukları kolayca g¨or¨ul¨ur [ 10]. Wn uzayına ait e˘grilik tens¨orleri sırasıyla, birinci ve ikinci t¨ur Bianchi
¨
ozde¸sliklerini
Rhijk+ Rhjki+ Rhkij = 0, (2.1.12)
˙
∇lRhijk+ ˙∇kRhilj + ˙∇jRhikl = 0, (2.1.13)
sa˘glar. Bh
k (1, 1) tipi keyfi bir tens¨or olmak ¨uzere Ricci ¨ozde¸sli˘gi olarak bilinen
∇i∇jBkh− ∇j∇iBkh = BksRhsji− BshRskji, (2.1.14)
ba˘gıntısı sa˘glanır. Ayrıca, e˘grilik tens¨or¨un¨un indislerine g¨ore anti-simetrisinden Weyl uzaylarında
Rijkl+ Rjilk = 0, (2.1.15)
Rijkl+ Rjikl = 2 gij(Tk,l− Tl,k), (2.1.16)
ve
Rmijk− Rjkmi = gim(Tk,j− Tj,k) + gjm(Tk,i− Ti,k) + gjk(Tm,i− Ti,m)
+gkm(Ti,j− Tj,i) + gij(Tm,k− Tk,m) + gik(Tj,m− Tm,j). (2.1.17)
e¸sitlikleri elde edilir. Weyl konneksiyonu metrik konneksiyon de˘gildir (∇igjk 6= 0) ve
Ricci tans¨or¨un¨un anti-simetrik kısmından
R[ij] = Rij − Rji = n∇[jTi] (2.1.18)
elde edilir.
2.2 Weyl Uzaylarında Yakla¸sık Kompleks Yapılar
Wn, n = 2k(n ≥ 2) boyutlu bir Weyl uzayı olsun. {0} a˘gırlıklı (1, 1) tipinde bir Fij,
tans¨or¨u
FijFjk= −δik (2.2.1)
ba˘gıntısını sa˘glarsa Fij tans¨or¨une Wn uzerinde yakla¸sık kompleks yapı ve W¨ n’ye de
yakla¸sık kompleks uzay denir [11].
Fij yakla¸sık kompleks yapısı ve gij metri˘gine sahip Wn Weyl uzayı
gijFhiF j
k = ghk, (2.2.2)
ba˘gıntısını sa˘glarsa, (Fij, ghk) ikilisine Wn uzayında yakla¸sık Hermitsel yapı ve
¨
uzerinde (Fij, ghk) yapısı bulunan Wn uzayına da yakla¸sık Hermitsel uzay denir.
E˘ger Fij tans¨or¨u her i, j, k indisi i¸cin
˙
∇kFij = 0 (2.2.3)
e¸sitli˘gini ger¸ceklerse, yakla¸sık Hermitsel Fij yapısına (sırasıyla, uzayına) Kaehler yapısı (sırasıyla, uzayı) denir. A˘gırlı˘gı {2} olan (0, 2) tipindeki Fij tans¨or¨u
Fij = gjkFik (2.2.4)
¸seklinde tanımlanır ve anti-simetrik bir tans¨ord¨ur. Benzer ¸sekilde Fij tans¨or¨u (2, 0)
tipinde a˘gırlı˘gı {−2} olan anti-simetrik bir tans¨ord¨ur ve
¸seklinde tanımlanır.
Fij yakla¸sık Hermitsel yapısı (sırasıyla, uzayı)
Fhij = ˙∇hFij + ˙∇iFjh+ ˙∇jFhi= 0, (2.2.6)
ba˘gıntısını sa˘glarsa bu yapıya yakla¸sık Kaehler yapı (sırasıyla, uzay) , denir. E˘ger Fij Hermitsel yapısı
Fi ≡ − ˙∇jFij = 0, (2.2.7)
¸seklinde bir ba˘gıntı sa˘glarsa, Hermitsel yapıya (sırasıyla, uzaya) yakla¸sık yarı-Kaehler yapı (sırasıyla, uzay) denir.
Wn Weyl uzaylarında yakla¸sık kompleks yapılar i¸cin Nijhenuis burulma tans¨or¨u {0}
a˘gırlıklı
Nijk = Fih( ˙∇hFjk− ˙∇jFhk) − Fjh( ˙∇hFik− ˙∇iFhk), (2.2.8)
tans¨or¨u olarak tanımlanır ve yakla¸sık kompleks yapı burulması yoksa yani, Nijk = 0 ise integre edilebilir denir.
¨
Ozel olarak (2.2.3) ba˘gıntısını sa˘glayan Fij yapısı Kaehler yapısı ise , (2.2.3) den-klemi sa˘glanır ve b¨oylece, integre edilebilirlik ¸sartı olan (2.2.8) denklemi ile verilen Nijhenuis burulma tans¨or¨un¨un sıfır oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.
Komplemanter vekt¨or alanı Tk = 0 olursa yukarıdaki tanımların Riemann
uzayındaki kar¸sılıkları elde edilir [2-3].
B¨oylece, Weyl uzaylarında yakla¸sık Kaehler yapısı ile ilgili a¸sa˘gıdaki teoremleri ifade ve ispat edebiliriz [11].
Teorem 2.2.1. Yakla¸sık Kaehler yapısı integre edilebilir ise yapı Kaehlerdir. ˙Ispat. Fk
i yapısı yakla¸sık Kaehler yapısı oldu˘gundan,
˙
∇hFij+ ˙∇iFjh+ ˙∇jFhi= 0, (2.2.9)
ve Fk
i integre edilebilir oldu˘gundan
Nijk = Fih( ˙∇hFjk− ˙∇jFhk) − Fjh( ˙∇hFik− ˙∇iFhk) = 0, (2.2.10)
ba˘gıntıları ge¸cerlidir. B¨oylece, (2.2.10) gkm ile ¸carpılır ve k ¨uzerinden toplam alınırsa
Fih( ˙∇hFjm− ˙∇jFhm) − Fjh( ˙∇hFim− ˙∇iFhm) = 0, (2.2.11)
elde edilir ve (2.2.9) denkleminden ˙
∇hFij + ˙∇iFjh = − ˙∇jFhi, (2.2.12)
bulunur.(2.2.12) denklemi ve Fij tans¨or¨un¨un anti simetrik ¨ozelli˘gi kullanılırsa,
˙
∇hFjm = − ˙∇jFmh− ˙∇mFhj = ˙∇jFhm− ˙∇mFhj, (2.2.13)
ve
˙
∇hFim= − ˙∇iFmh− ˙∇mFhi= ˙∇iFhm− ˙∇mFhi, (2.2.14)
bulunur.(2.2.13) ve (2.2.14) ba˘gıntıları (2.2.10) denkleminde kullanılırsa,
Fih(− ˙∇mFhj) − Fjh(− ˙∇mFhi) = 0, (2.2.15)
ve
−Fh
i ( ˙∇mFhj) + Fjh( ˙∇mFhi) = 0, (2.2.16)
elde edilir. (2.2.16) denklemi Fi
n ile ¸carpılır ve i ¨uzerinden toplam alınırsa
˙ ∇mFnj+ FniF h j ( ˙∇mFhi) = 0, (2.2.17) elde edilir. FhiFniFjh = gitFhtFniFjh = ghnFjh = Fjn, (2.2.18)
oldu˘gundan (2.2.18) denkleminin m indisine g¨ore kovaryant t¨urevi alınırsa,
˙ ∇mFjn = ( ˙∇mFhi)FniFjh+ Fhi∇˙m(FniFjh), (2.2.19) ve ( ˙∇mFhi)FniF h j = − ˙∇mFnj− Fhi∇˙m(FniF h j), (2.2.20)
elde edilir.(2.2.20) ba˘gıntısı (2.2.17) de yerine yazılırsa ˙ ∇mFnj− ˙∇mFnj− Fhi∇˙m(FniF h j) = 0, (2.2.21) ve buradan Fhi∇˙m(FniF h j ) = 0, (2.2.22)
elde edilir. (2.2.22) denkleminin m indisine g¨ore kovaryant t¨urevi alınırsa,
gitFhtF h
j∇˙mFni + gitFhtF i
bulunur. (2.2.23) denkleminde (2.2.1) ve (2.2.2) kullanılırsa
− ˙∇mFnj+ ˙∇mFjn= 0, (2.2.24)
elde edilir. Ayrıca, Fnj tans¨or¨un¨un anti-simetrik olma ¨ozelli˘gi (2.2.24) denkleminde
kullanılırsa
˙
∇mFjn= 0, (2.2.25)
elde edilir. (2.2.4) den
˙
∇mgnkFjk = 0, (2.2.26)
ve
gnk∇˙mFjk = 0, (2.2.27)
bulunur. (2.2.27) denkleminin her iki yanı gnt ile ¸carpılırsa
gntgnk∇˙mFjk = 0, (2.2.28) ve buradan da ˙ ∇mFjt = 0, (2.2.29) sonucuna ula¸sılır. Teorem 2.2.2. Fi j Hermitsel yapısı ˙ ∇iFjk = ˙∇jFik, (2.2.30)
ba˘gıntısını sa˘glarsa yapı Kaehlerdir.
˙Ispat. Fij tans¨or¨un¨un anti-simetrik olma ¨ozelli˘gini kullanır ve indisleri devirsel olarak de˘gi¸stirirsek,
˙ ∇iFjk + ˙∇iFkj = 0, (2.2.31) ˙ ∇jFki+ ˙∇jFik = 0, (2.2.32) ve ˙ ∇kFij + ˙∇kFji= 0, (2.2.33)
denklemleri elde edilir. Teoremin hipotezi kullanılırsa, (2.2.31), (2.2.32) ve (2.2.33) denklemleri ˙ ∇iFjk + ˙∇kFij = 0, (2.2.34) ˙ ∇jFki+ ˙∇iFjk = 0, (2.2.35) ve ˙ ∇kFij + ˙∇jFki = 0, (2.2.36) 12
¸seklini alır. Buradan da kolayca,
2( ˙∇iFjk+ ˙∇jFki+ ˙∇kFij) = 0, (2.2.37)
ve
2( ˙∇iFjk + ˙∇iFkj+ ˙∇jFik) = 0 (2.2.38)
bulunur. (2.2.38) denkleminden (2.2.31) ¸cıkartılırsa
˙ ∇jFik = 0, (2.2.39) ve ˙ ∇jgimFkm = 0, (2.2.40) buradan da gim∇˙jFkm = 0, (2.2.41)
bulunur. E¸sitli˘gin her iki tarafı git ile ¸carpılırsa
gitgim∇˙jFkm = 0, (2.2.42)
elde edilir. (2.2.42) e¸sitli˘ginden her t, j, k indisi i¸cin ˙
∇jFkt= 0, (2.2.43)
oldu˘gu g¨or¨ul¨ur, yani yapı Kaehlerdir. Teorem 2.2.3. Fij Hermitsel yapısı
Fij∇˙k∇˙
kFij = 0, (2.2.44)
ba˘gıntısını sa˘glarsa Kaehlerdir. Burada ˙∇k = gjk∇˙ j dir.
˙Ispat. FijFhi = −δjh oldu˘gundan
FijFij = 2n, (2.2.45)
dir.(2.2.45) ifadesinin genelle¸stirilmi¸s kovaryant t¨urevi alınırsa, ˙ ∇k(FijFij) = ( ˙∇kFij)Fij+ Fij( ˙∇kFij) = 0, (2.2.46) ve ( ˙∇k(gmiFmj))gjhFih = ( ˙∇k(gjhFmj))g mi Fih = ( ˙∇kFmh)Fhm= 0, (2.2.47)
bulunur. Buradan da
2Fij( ˙∇kFij) = 0, (2.2.48)
elde edilir. (2.2.48) ifadesinin genelle¸stirilmi¸s kovaryant t¨urevini alırsak
2[Fij∇˙k( ˙∇kFij) + ( ˙∇kFij)( ˙∇kFij)] = 0, (2.2.49)
elde edilir. Teoremin hipotezi ile (2.2.49) denkleminden ( ˙∇kFij)( ˙∇ kFij) = 0, (2.2.50) bulunur. Buradan da (gmk∇˙mgtjFti)( ˙∇kgjpFip) = g mkgtjg jp( ˙∇kFip)( ˙∇mFti), (2.2.51) ve gmk( ˙∇mFti)( ˙∇kFit) = 0, (2.2.52)
bulunur. E¸sitli˘gin her iki yanı gmn ile ¸carpılırsa ,
( ˙∇mFti)( ˙∇nFit) = 0, (2.2.53)
ve
˙
∇mFti = 0, (2.2.54)
elde edilir, (2.2.54) Fi
j tans¨or¨un¨un Kaehler oldu˘gu sonucuna ula¸sılır.
Teorem 2.2.4. Yakla¸sık Kaehler yapısı, yakla¸sık yarı Kaehlerdir. ˙Ispat. (2.2.45)ve (2.2.48) denklemlerinden
FjhFij = −δih, (2.2.55)
Fij( ˙∇kFij) = 0, (2.2.56)
ve yakla¸sık Kaehler tanımından
Fhij = ˙∇hFij + ˙∇iFjh+ ˙∇jFhi= 0, (2.2.57)
dir. (2.2.57) Fij ile ¸carpılırsa,
FijFhij = Fij( ˙∇iFjh) + Fij( ˙∇jFhi) = 0, (2.2.58)
elde edilir. (2.2.55) ba˘gıntısının her iki yanının genelle¸stirilmi¸s kovaryant t¨urevi alınırsa
( ˙∇iFij)Fjh+ Fij( ˙∇iFjh) = 0, (2.2.59)
bulunur. Buradan da Fij( ˙∇iFjh) = −Fjh( ˙∇iFij) = Fjh( ˙∇iFji), (2.2.60) ve Fjh( ˙∇iFij) = −Fhj( ˙∇iFji) = −gjkgjmFhk( ˙∇iFmi) = F m h Fm, (2.2.61)
elde edilir. (2.2.61) denkleminden
FijFhij = 2FhiFi, (2.2.62)
oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. (2.2.62) e¸sitli˘ginin her iki tarafı Fh
k ile ¸carpılınca FijFhijFkh = 2F i hF h kFi = −2Fk, (2.2.63) ve Fk= − 1 2F ij FhijFkh, (2.2.64)
bulunur. Yakla¸sık kompleks yapı yakla¸sık Kaehler oldu˘gundan Fhij = 0 dır. (2.2.64)
denkleminden, Fk = 0 oldu˘gu, yani, yakla¸sık yarı-Kaehler yapısı elde edilir.
Teorem 2.2.5. a, sıfırdan farklı bir sabit olmak ¨uzere, Fij yakla¸sık yarı Kaehler yapısı
˙
∇kFij∇˙iFjk = a ˙∇kFij∇˙kFij, (2.2.65)
ba˘gıntısını sa˘glarsa,
Q = R +1 2F
mk
FihRmkih+ 2gik(∇iTk− ∇kTi), (2.2.66)
ifadesi, a nın pozitif veya negatif olmasına g¨ore pozitif veya negatiftir.
˙Ispat. (2.2.1) denkleminin kovaryant t¨urevi alınır ve (2.2.7) denklemi kullanılırsa ˙ ∇k(FijF k j) = F k j∇˙kFij = 0, (2.2.67)
elde edilir. (2.2.67) denkleminin kovaryant t¨urevi alınırsa ˙ ∇i(Fk j∇˙kF j i) = ( ˙∇kF j i)( ˙∇ iFk j) + Fjk( ˙∇i∇˙kF j i) = 0, (2.2.68)
bulunur. Di˘ger taraftan, (2.2.4)ve (2.2.5) yardımıyla ( ˙∇kFij)( ˙∇iFjk) = ( ˙∇kFij)( ˙∇
iFk
j), (2.2.69)
˙
ve
˙
∇k∇˙iFij = 0, (2.2.71)
oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. (2.1.7), (2.1.14), (2.2.70) ve (2.2.71) denklemleri kullanılarak ˙ ∇i∇˙ kFij = ˙∇i∇˙kFij = FhjRihki+ F ihRj hki+ 2(∇iTk− ∇kTi)Fij, (2.2.72) elde edilir.
(2.1.10) ile (2.1.11) kullanılır ve (2.2.69) ile (2.2.72) denklemleri (2.2.68) e¸sitli˘ginde yerine yazılırsa
( ˙∇kFij)( ˙∇iFjk) = R − FjkF ih
Rjhki+ 2gik(∇iTk− ∇kTi), (2.2.73)
elde edilir. (2.1.9) e¸sitli˘gi kullanılarak
FjkFihRjhki= FmkFihRmhki, (2.2.74)
bulunur. (2.1.12) ve (2.2.74) yardımıyla (2.2.73) denklemi
( ˙∇kFij)( ˙∇iFjk) = R + 1 2F mkFihR mkih+ 2gik(∇iTk− ∇kTi), (2.2.75) ¸seklini alır. (2.2.65), (2.2.66) ve (2.2.75) denklemleri kullanılarak Q = a( ˙∇kFij)( ˙∇kFij), (2.2.76)
e¸sitli˘ginin a nın pozitif veya negatif olmasına g¨ore, pozitif veya negatif oldu˘gu g¨or¨ul¨ur.
3. SONUC¸ LAR VE ¨ONER˙ILER
Bu ¸calı¸smada, [8-9]’da ele alınan Weyl uzaylarında, yakla¸sık yapı, Hermitsel yapı, Kaehler yapı, yakla¸sık Kaehler, yakla¸sık yarı Kaehler tanımları verilmi¸stir. gij
Her-mitsel metrik tans¨or¨une ve F h
i kompleks yapısına sahip bir Kaehler uzayında,
yakla¸sık Kaehler yapısı integre edilebilirse yapının Kaehler oldu˘gu g¨osterilmi¸stir. Ayrıca, Weyl uzaylarında Hermitsel yapının hangi ko¸sullar altında Kaehler olaca˘gı teoremlerle ifade ve ispat edilmi¸stir [1-5].
Fji Hermitsel yapısının (2.2.30) ve (2.2.44) ba˘gıntılarını sa˘glaması halinde yapının Kaehler olaca˘gı ve yakla¸sık Kaehler yapısının aynı zamanda yakla¸sık yarı Kaehler oldu˘gu ispat edilmi¸stir.
Ayrıca, a, sıfırdan farklı bir sabit olmak ¨uzere, Fij yakla¸sık yarı Kaehler yapısı (2.2.65) ba˘gıntısını sa˘glarsa, (2.2.66) ifadesinin, a sabitinin pozitif veya negatif ol-masına g¨ore pozitif veya negatif olaca˘gı g¨osterilmi¸stir.
Bundan sonra, yakla¸sık Tachibana (nearly Kaehler) yapıları Weyl uzayları i¸cin in-celenebilir. Bu uzaylara ait metrik ¨ornekleri ara¸stırması yapılabilir.
KAYNAKLAR
[1] Carmo, M.P.do, 1992. Riemanian Geometry. Mathematics: Theory and Applications. Boston, Mass.
[2] Yano, K.,, 1965. Differential Geometry on Complex and Almost Complex Spaces,Pergamon Press
[3] Yano, K., Kon, M., 1984. Structures on Manifolds World Scientific Pub. [4] Kobayashi, S., Nomizu, K., 1969. Foundations of Differential Geometry,
Vol.2 Interscience Publishers
[5] Okubo, T. , 1987. Differential Geometry, Marcel Dekker, Inc. 270 Madison Avenue, New York, 10016 .
[6] Weatherburn, C.E.,, 1966. An introduction to Riemanian Geometry and The Tensor Calculus, Cambrige University Press, Cambrige. [7] Eisenhart, L.P.,, 1927. Non-Riemanian Geometry. American
Mathe-matical Society, Colloquium Publications, Volume VIII. [8] Norden, A., 1976 (in Russian), Affinely connected spaces, GRFML,
Moscow.
[9] Hlavaty, V., (1949) Theorie d’immersion d’une Wm dans Wn, Ann. Soc.
Polon. Math., V.21, 196-206.
[10] Eisenhart, L.P., 1927, Non-Riemannian Geometry,
New York Published by the American Mathematical Socciety 501 West 116th Street.
[11] Demirb¨uker, H., Ozdemir, F., (1998 Tom 43(57) 2), Almost Hermi -tian, Almost Kaehlerian and Almost semi-Kaehlerian Structures in Weyl Spaces, Buletinul S¸thntific al Universit˘ath Politechnica Din Timi¸soara
¨
OZGEC¸ M˙IS¸
Ad Soyad: Sevin¸c Yılmaz
Do˘gum Yeri ve Tarihi: 29 Mayıs 1971
Adres: 6820 sok. B-8 Blok No:22 D:33 Evka-6 C¸ i˘gli/˙IZM˙IR
