Laserle ışınlamada sıcaklık dağılımı

( 9 3

3

^

Y I L D I Z Ü N İ V E R S İ T E S İ F E N B İ L İ M L E R İ E N S T İ T Ü S Ü 2-L A S E R 2-L E I Ş I N L A M A D A S I C A K L I K D A Ğ I L I M I D O K T O R A T E Z İ Y. MUH. N U R A N G Ü Z E L İ S T A N B U L 1991

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

KÜTÜPHANE DOKÜMANTASYON

DAİRE BAŞKANLIĞI

Kot

Alındığı Yer

Tarih

Fatura

Fiyatı

Ayniyat No

Kayıt No

UDC

Ek

R 209

94

•Fen • -1* 1-i sol i •• • •

.ıe.,p.3,. m.z.

•25..00.0»-a.

. U \ ...

.4.92U....

^ J m ı m r ı S) . ' 1 " t t o S L ' Y I L D I Z Ü N İ V E R S İ T E S İ F E N ■ B İ L İ M L E R İ E N S T İ T Ü S Ü L A S E R L E I Ş I N L A M A D A S I C A K L I K D A Ğ I L I M I D O K T O R A T E Z İ Y. M Ü H . N U R A N G Ü Z E L İ S T A N B U L 1991

it O :£ ı s r D E Z K dt

i l e f i Ö Z E T S U M M A R Y I - G I R I 5 ... 1 1-1 P r o b l e m i n F i z i k s e l A ç ı k l a m a s ı ... 1 - 1 1-2 I s ı i l e t i m D e n k l e m i ... 2 - 4 1-3 I s ı i l e t i m D e n k l e m i n i n Ç ö z ü m Y o l l a r ı . . . . 5 1 - 3 - 1 I A H a l i v e Ç ö z ü m ü ... 6 - 8 1 - 3 - 2 I I A H a l i v e Ç ö z ü m ü ... 8 - 1 0 1 - 3 - 3 I I I A H a l i v e Ç ö z ü m ü ... 1 0 - 1 2 1-4 U ç N o k t a S o n l u F a r k Y ö n t e m i N e d e n Y e t e r l i D e ğ i l ... 12 1 - 4 - 1 U ç N o k t a S o n l u F a r k Y ö n t e m i ... 1 2 - 1 4 1 - 4 - 2 N e d e n Y e t e r l i D e ğ i l ... 1 4 - 1 5 II - M E T O D ... 16 2-1 A l t ı N o k t a Y ö n t e m i ... 1 6 - 2 2 2 - 2 I I A H a l i i ç i n A l t ı N o k t a Y ö n t e m i ... 2 2 - 2 5 2 -3 A l t ı N o k t a Y ö n t e m i y l e Ç ö z ü m i ç i n M a t e m a t i k s e l V e F i z i k s e l V a r s a y ı m l a r . . . . 2 7 - 2 7 2 - 4 I I A H a l i i ç i n A l t ı N o k t a S o n l u F a r k D e n k l e m i n i n Y a k ı n s a k l ı k V e S t a b i l i t e s i . . . 2 8 - 3 5 I I I - C Ö Z U M 36 3-1 3- 2 Ç ö z ü m A l g o r i t m a s ı ... 3 - 1 - 1 I I A H a l i Ç ö z ü m A l g o r i t m a s ı . . I H A H a l i Ç ö z ü m A l g o r i t m a s ı . Ç ö z ü m A l g o r i t m a s ı n ı n P r o b l e m e U y g u l a n ı ş ı ... A l g o r i t m a s ı ... A k ı ş D i y a g r a m ı ... Ç ö z ü m d e K a r ş ı l a ş ı l a n S o r u n l a r v e Ç ö z ü m l e r i ... 3 - 1 - 2 3 - 1 - 3 3 - 1 - 4 3 - 1 - 5 I V - E L D E E D İ L E N S O N U Ç L A R . 3 6 - 3 8 3 8 - 3 9 3 9 - 4 0 4 0 - 4 4 4 4 - 4 6 4 6 - 5 1 5 2 - 5 4 55 4 - 1 Ç ö z ü m d e n E l d e E d i l e n S o n u ç l a r ... 4 - 2 S o n u ç l a r ı n U ç N o k t a i l e K a r ş ı l a ş t ı r ı l m a s ı . 4 - 3 S o n u ç l a r ı n F i z i k s e l V e r i l e r l e K a r ş ı l a ş t ı r ı l m a s ı ... V - T A R T I Ş M A 5- 1 H a t a n ı n i r d e l e n m e s i . 5 - 2 F i z i k s e l U y g u n l u k 5 - 3 Y a p ı l m a s ı G e r e k e n l e r 5 5 - 5 8 58 5 8 - 5 9 60 6 0 - 6 4 65 65

V I - K A Y N A K L A R V I I - T E Ş E K K Ü R V I I I - Ö Z G E Ç M İ Ş

SUMMARY

In t h i s s t u d y , a n a l u m i n u m t a r g e t m a t e r i a l is i r r a d i a t e d b y a l a s e r b e a m t o a p o i n t l o c a t e d a t t h e ç e n t e r of i t s s u r f a c e , a s s u m i n g t h a t t h i s is a p o i n t of s o u r c e of e n e r g y . I s o t e r m a l s u r f a c e s a r e s u p p o s e d as s p h e r i c a l s u r f a c e s w i t h ç e n t e r a t p o i n t a n d d i m e n s i o n of t h e s e m i - i n f i n i t e m a t e r i a l . T e m p e r a t u r e c h a n g e s a p p e r i n g a l o n g i t s a x i s is c a l c u l a t e d by an a p p r o p r i a t e n u m e r i c a l m e t h o d d e s c r i b e d b e l o v e . H e a t d i s t r i b u t i o n s h a v e b e e n c a l c u l a t e d b y u s i n g f i n i t e d i f f e r e n c e n u m e r i c a l m e t h o d w h i c h c o n s i s t s of t h r e e m e s h p o i n t s . / l / . H e r e , it w a s u s e d Crank. - N i c o l s o n M e t h o d w i t h s i x m e s h p o i n t s , a p p l i c a t e d to l i n e a r p a r t i a l d i f f e r a n t i a l e q u a t i o n s in i m p l i c i t f o r m , in s u c h a w a y t h a t to s o l v e n o n - l i n e a r p a r t i a l d i f f e r a n t i a l e q u a t i o n s . I n t h i s s o l u t i o n it w a s p r e f e r e d t h e e x p l i c i t f o r m of t h e m e t h o d . In t h i s p a p e r , t h e n u m e r i c r e s u l t s w e r e c o m p a r e d w i t h t h e o t h e r s o b t a i n e d b y t h r e e p o i n t f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l s t s . An e r r o r a n a l y s i s is a l s o s t u d i e d .

Ö Z E T

B u ç a l ı ş m a d a a l ü m i n y u m b i r c i s m i n y ü z e y i n d e , m e r k e z i n d e k i b i r n o k t a d a n v e r i l e n l a s e r ı ş ı n ı n ı n , c i s m i n e k s e n i b o y u n c a m e y d a n a g e t i r e c e ğ i s ı c a k l ı k d e ğ i ş i k l i k l e r i , ı ş ı n l a n a n k ı s ı m b i r n o k t a , a y r ı c a , e ş s ı c a k l ı k y ü z e y l e r i n i n b i r n o k t a m e r k e z l i k ü r e y ü z e y l e r i o l d u ğ u s o n u c u v e b u c i s m i n y a n s o n s u z o l d u ğ u v a r s a y ı m l a r ı a l t ı n d a , s ı c a k l ı k d a ğ ı l ı m l a r ı n ü m e r i k y ö n t e m l e h e s a p l a n m ı ş t ı r . S ı c a k l ı k d a ğ ı l ı m l a r ı , n ü m e r i k o l a r a k d a h a ö n c e ü ç n o k t a y ı i ç e r e n s o n l u f a r k y ö n t e m i k u l l a n ı l a r a k y a p ı l m ı ş t ı r /!/. B u r a d a , L i n e e r K ı s m ı T ü r e v l i D i f e r a n s i e l d e n k l e m l e r e I m p l i c i t ( k a p a l ı ) b i ç i m d e u y g u l a n a n v e a l t ı k a f e s n o k t a s ı n ı i ç e r e n G r a n k - N ı c o l s o n y ö n t e m i , n o n - l i n e e r K ı s m i T ü r e v l i D i f e r a n s i e l d e n k l e m e , e x p l i c i t ( a ç ı k ) b i ç i m d e u y g u l a n m ı ş t ı r . B u ç a l ı ş m a d a , e l d e e d i l e n n ü m e r i k s o n u ç l a r ü ç n o k t a s o n l u f a r k y ö n t e m i n d e n e l d e e d i l e n s o n u ç l a r v e d e n e y s e l s o n u ç l a r l a k a r ş ı l a ş t ı r ı l a r a k h a t a a n a l i z i y a p ı l m ı ş t ı r .

1.1.

PROBLEMİN FİZİKSEL AÇIKLAMASI

L a s e r i m a l a t s a n a y i n d e , m a l z e m e l e r i n k e s m e d e l m e , k a y n a k v e s e r t l e ş t i r m e g i b i ç e ş i t l i i ş l e m l e r i n d e k u l l a n ı l m a k t a d ı r . M a l z e m e n i n ç e ş i t l i n e d e n l e r l e l a s e r l e ı ş ı n l a n m a s ı v e s o ğ u m a s ı r a s ı n d a , m a l z e m e i ç i n d e y ü k s e k s ı c a k l ı k l a r a u l a ş ı l d ı ğ ı n d a n / l ,2/ r m a l z e m e d e ç e ş i t l i d e ğ i ş i k l i k l e r m e y d a n a g e l m e k t e d i r . / 3 / . B u d e ğ i ş i k l i k l e r l a s e r i n m a l z e m e y e a k t a r d ı ğ ı e n e r j i m i k t a r ı n a v e b u n a b a ğ l ı o l a r a k m a l z e m e i ç i n d e k i s ı c a k l ı k d a ğ ı l ı m ı n a b a ğ l ı d ı r . L a s e r l e ı ş ı n l a m a s ı r a s ı n d a m a l z e m e i ç i n d e y ü k s e k s ı c a k l ı k l a r a u l a ş ı l d ı ğ ı n d a n d o l a y ı , m a l z e m e n i n ı ş ı l ö z e l l i k l e r i s ı c a k l ı ğ a b a ğ l ı o l a r a k d e ğ i ş m e k t e , e r i m i ş v e p l a z m a h a l i n e g e l m i ş b ö l g e l e r b u l u n m a k t a v e e r i m i ş b ö l g e l e r d e k o n v e k s i y o n a k ı m l a r ı g ö r ü l m e k t e d i r / 3 , 4 / . B u y ü z d e n , m a l z e m e n i n l a s e r l e ı ş ı n l a n m a s ı s ı r a s ı n d a , m a l z e m e d e m e y d a n a g e l e b i l e c e k o l a y l a r a ş a ğ ı d a k i g i b i s ı r a l a n a b i l i r ; a-) L a s e r ı ş ı n l a r ı n ı n m a l z e m e t a r a f ı n d a n a b s o r b l a n a n e n f a z l a n ü f u z d e r i n l i ğ i n e k a d a r i l e r l e r . B u a r a d a e n e r j i ı s ı e n e r j i s i n e d ö n ü ş ü r . V e s ı c a k l ı k y ü k s e l m e y e b a ş l a r . b - ) S ı c a k l ı ğ ı n o r t a m s ı c a k l ı ğ ı n a g ö r e y ü k s e l m e s i i l e , o r t a m a ı s ı k a ç m a y a b a ş l a r . c-) S ı c a k l ı k , ı s ı i l e t i m k a t s a y ı s ı v e ı s ı k a p a s i t e s i n e b a ğ l ı o l a r a k v e ı s ı i l e t i m e s a s l a r ı n a g ö r e m a l z e m e n i n iç t a r a f l a r ı n a d o ğ r u i l e r l e r . d-) S ı c a k l ı k y e t e r i n c e y ü k s e l i n c e , e r i m e b a ş l a r . E r i y e n k ı s ı m l a r d a s ı c a k l ı k d a h a da y ü k s e l i n c e k a t ı - s ı v ı y ü z e y i m a l z e m e n i n i ç t a r a f l a r ı n a d o ğ r u i l e r l e r . e-) S ı c a k l ı ğ ı n y ü k s e l m e s i i l e m a l z e m e n i n ı s ı i l e t k e n l i ğ i , ı s ı k a p a s i t e s i v e y o ğ u n l u ğ u d e ğ i ş i r . f-) S ı c a k l ı ğ ı n d a h a d a a r t m a s ı i l e b u h a r l a ş m a v e p l a z m a o l u ş u m u b a ş l a r . A b s o r b s i y o n ş i d d e t l e a r t a r , y a n s ı m a a z a l ı r d o l a y ı s ı y l a , o r t a m a k a ç a n ı s ı m i k t a r ı d a a z a l ı r .

1-2 I S I Î L E T Î M D E N K L E M İ M a l z e m e y e l a s e r ı ş ı n l a n m a s ı s ı r a s ı n d a , m e y d a n a g e l e n b u o l a y l a r ı i ç e r e n ı s ı i l e t i m d e n k l e m i u = u ( x , t ) o l m a k ü z e r e , ö 2u ö 2u A ( x , t , u , u x ,Ut) ---- + B ( x , t , u , u X r U t ) + Û X2 ö x ö t (1-2-1) ö 2U C( x , t , u , U:* , u-t) ---- + f ( x , t , u , U x , u t ) = 0 ö t2 ş e k l i n d e d e ğ i ş k e n k a t s a y ı l ı b i r k ı s m i t ü r e v l i d i f e r a n s i e l d e n k l e m d i r . M a l z e m e y e l a s e r l e ı ş ı n l a m a s ı r a s ı n d a m e y d a n a g e l e n b u o l a y l a r ı i ç e r e n ı s ı i l e t i m d e n k l e m i , d e ğ i ş k e n k a t s a y ı l ı ve n o n - l i n e e r o l d u ğ u n d a n b u d e n k l e m i n b i l i n e n b i r a n a l i t i k ç ö z ü m ü y o k t u r / 5 / . A n c a k , ı s ı i l e t k e n l i ğ i v e ı s ı k a p a s i t e s i s a b i t a l ı n d ı ğ ı n d a n , d e n k l e m l i n e e r h a l e g e l i r . V e p r o b l e m i n a n a l i t i k ç ö z ü m ü b e l l i s ı n ı r ş a r t l a n a l t ı n d a m e v c u t t u r /8/. B u n u n d ı ş ı n d a b a z ı v a r s a y ı m l a r a l t ı n d a v e b a z ı n ü m e r i k y ö n t e m l e r l e ç ö z ü m e g i d i l e b i l e c e ğ i s a n ı l m a k t a d ı r . V a r s a y ı m l a r v e k o ş u l l a r ş u n l a r d ı r ; /1/ 1-) L a s e r i n ş i d d e t i z a m a n l a d e g i ş m e m e k t e d i r . 2-) I ş ı n g e n i ş l i ğ i d a r o l u p , c i s m i n y ü z e y i n e d i k g e l m e k t e ­ d i r . 3-) I ş ı n l a m a s ı r a s ı n d a ı ş ı n l a n a n b ö l g e d e y ü z e y s ı c a k l ı ğ ı m o n o t o n v e ı ş ı n l a n a n n o k t a d a s ı c a k l ı k l i n e e r a r t m a k t a ­ d ı r . 4-) E r g i m e s ı c a k l ı ğ ı n d a k i e ş s ı c a k l ı k y ü z e y i i l e t i m e s a s l a ­ r ı n a g ö r e h a r e k e t e t m e k t e d i r . 5-) C i s i m h o m o j e n v e i z o t r o p t u r . 6-) Y ü z e y l e r d e n ı s ı k a y b ı o l m a m a k t a d ı r . 7-) I ş ı n l a n a n k ı s ı m b i r n o k t a o l a r a k k a b u l e d i l m e k t e ­ d i r . E ş s ı c a k l ı k y ü z e y l e r i n i n b i r n o k t a m e r k e z l i k ü r e y ü z e y l e r i o l d u ğ u b u n u n s o n u c u /1,6/ o l a r a k v a r s a y ı l a - c ı k t ı r . 8-) I s ı i l e t k e n l i ğ i b e l l i m a l z e m e l e r i ç i n , b e l l i s ı c a k l ı k a r a l ı k l a r ı n d a , b e l l i a n a l i t i k f o n k s i y o n l a r*-,~jMe i f a d e e d i l e b i l i r l e r . / i fZ-r / ^ N \ ^ ^

9-) K a t ı - s ı v ı a r a y ü z e y i n d e b i l e ş i m d e ğ i ş i k l i ğ i y o k t u r . 10-) C i s m i n ö z g ü l ı s ı s ı i l e y o ğ u n l u ğ u n u n ç a r p ı m ı s ı c a k l ı ğ a b a ğ l ı d e ğ i l d i r . ( ı s ı k a p a s i t e s i = s a b i t ) Y u k a r ı d a k i v a r s a y ı m l a r a l t ı n d a , ı s ı i l e t i m d e n k l e m i n i n y a z ı l a b i l m e s i i ç i n d e ğ i ş k e n l e r a ş a ğ ı d a k i g i b i t a n ı m l a n s ı n . v, v t v K

A t

1 : ı ş ı n l a m a ö n c e s i c i s m i n v e o r t a m ı n s ı c a k l ı ğ ı , : h e r h a n g i b i r a n d a , c i s m i n h e r h a n g i b i r y e r i n d e k i s ı c a k l ı k , : z a m a n , = v— Vo : c i s m i n ı s ı i l e t k e n l i ğ i , K = K C v ) dır . : c i s m i n y o ğ u n l u ğ u , : c i s m i n ı s ı k a p a s i t e s i , c0 = 9 x c dır . S a b i t o l d u ğ u k a b u l e d i l e c e k t i r . : I ş ı n l a m a s ü r e s i ,

A t

= 1 , 4 x 1 0 - 3 sn dır . : C i s m i n ı ş ı n l a m a d o ğ r u l t u s u v e y a X e k s e n i b o y u n c a u z u n l u ğ u , 1 = 0,3 c m d i r . B u ı ş ı n l a m a s ı r a s ı n d a y ü z e y d e ı s ı k a y b ı o l m a d ı ğ ı v a r s a y ı l d ı g ı n d a n , d u r u m u e n i y i i f a d e e d e n ı s ı i l e t i m d e n k l e m i /1/, o v

öt

*

d x ö v ( K --- ) Ö X (1-2 - 2 ) - ( C a r s l a w v e J a e g e r ( W / c m K) log( ısı iletkenliği 1 9 7 3 / 8/ ) K=K(v) IA IIA

0 ■ ■

IIIA_ 5e k i l (1-2-1) 3 logtf (sıcaklık)

* >• V. *

_{. \ .} ıdını: A l ü m i n y u m ı s ı i l e t k e n l i ğ i m i n s ı c a k l ı k l a d e g i ş i m i / 7 / . s • - ı< \ * s ' 1 ■ r

.

4 .

C i s m i n ı s ı i l e t k e n l i ğ i K = K ( v ) o l d u ğ u i ç i n b e l l i b i r m a l z e m e n i n , b u r a d a , a l ü m i n y u m i ç i n ı s ı i l e t k e n l i ğ i , l o g K = a l o g v + l o g b ( 1 - 2 - 3 ) K = b v “ ( 1 - 2 - 4 ) s e k l i n d e i f a d e e d i l e b i l i r . 5e k i l (1-2-1) d e a l ü m i n y u m i ç in , ı s ı i l e t k e n l i ğ i n i n s ı c a k l ı k l a d e ğ i ş i m i n d e d e ğ i ş i m a r a l ı k l a r ı g ö s t e r i l m e k t e d i r /7/. ( 1 - 2 - 4 ) d e n k l e m i , ( 1 - 2 - 2 ) d e n k l e m i n d e y e r i n e k o n u r s a , ö v 1 ö ö v = --- ( b V- ) ( 1 - 2 - 5 ) ö t ^>. c ö x ö x d e n k l e m i e l d e e d i l i r . ( 1 - 2 - 5 ) d e n k l e m i n i n ç ö z ü m ü n d e b a z ı b a s i t h a l l e r d ı ş ı n d a n ü m e r i k ç ö z ü m k u l l a n ı l m a s ı v e d e ğ i ş k e n l e r i n b o y u t s u z h a l e g e t i r i l m e s i u y g u n o l m a k t a d ı r . 1

x=

t =

1

A t

d ö n ü ş ü m l e r i i l e ( 1 - 2 - 5 ) i f a d e s i ; (1-2-6) ö v b.

A t

ö ö v = --- ( v “ )

ö x

( 1 - 2 - 7 ) ş e k l i n i a l ı r . B u r a d a b.

A

t ı _ i 3, c o l s u n . B u d u r u m d a ( 1 - 2 - 7 ) d e n k l e m i ; (1-2-8) ö v ö t = c Ö X Ö V ( V * --- ) Ö X d e n k l e m i n e d ö n ü ş ü r . B u r a d a n , % ( 1 - 2 - 9 )

■

■

*

M ? ( O

S

-.

5 .

ö v c' ö a vm "’1 = (

1

-

2

-

1 0

) ö t a+1 ö x a y a z ı l a b i l i r . B ö y l e c e , ı s ı i l e t i m d e n k l e m i e n g e n e l h a l i y l e ; ö v c ' ö a v “ 1 = (

1

-

2

-

1 1

) ö t a+1 ö x a o l a r a k y a z ı l a b i l i r ./1/ B u r a d a ç ö z ü m f o n k s i y o n u v = v ( x , t ) d i r . 1-3 I S I İ L E T İ M D E N K L E M İ N İ N C Ö Z U M Y O L L A R I ö v c ’ ö a v“ - 1 = ____________ ( 1 - 3 - 1 ) ö t a+1 ö x a ı s ı i l e t i m d e n k l e m i n i n ç ö z ü l e b i l m e s i i ç i n p r o b l e m d a h a ö z e l h a l e g e t i r i l m e l i d i r .B u n u n i ç i n , h o m o j e n s i l i n d i r s e k l i n d e , y e t e r i n c e b ü y ü k b i r a l ü m i n y u m c i s i m e , s ı c a k l ı ğ ı n y a l n ı z c a ö n y ü z e y i n d e n v e m e r k e z i n d e k i b i r n o k t a s ı n d a n l a s e r v e r i l d i ğ i v a r s a y ı l s ı n . B u ı s ı i l e t i m d e n k l e m i n i n b a z ı ö z e l h a l l e r d ı ş ı n d a b i l i n e n b i r a n a l i t i k ç ö z ü m ü y o k t u r /1/. A n a l ü m i n y u m ı s ı i l e t k e n l i ğ i n i n s ı c a k l ı ğ a a i t s e k i l ( 1 - 2 - 1 ) , M o n d o l f o III g r a f i ğ i n d e n , a l ü m i n y u m i ç i n K ' n m s ı c a k l ı k l a d e ğ i ş i m i K = K( v ) ; 2 5 ° G < v < 2 0 0 ° C a r a s ı n d a K = 2 . 3 9 8 8 3 3 , s a b i t , 2 0 0 ° C < v < 6 6 0 ° O a r a s ı n d a K = 7 . 9 4 3 2 8 2 v “ 0 -a , 6 6 0 ° O < v < 1 3 0 0 0 ° C a r a s ı n d a K = 0 . 0 7 4 1 3 1 v° 37 o l m a k t a d ı r . B u d u r u m d a , ( 1 - 3 - 1 ) d e n k l e m i n i n h e r ü ç h a l i ç i n a y r ı a y r ı i n c e l e n m e s i g e r e k m e k t e d i r .V e b u h a l l e r s ı r a s ı y l a IA, I I A v e I H A h a l l e r i o l a r a k a d l a n d ı r ı l s ı n . A y r ı c a , ı ş ı n l a n a n y ü z e y n o k t a s ı n d a s ı c a k l ı k v = k ı t o l a r a k a r t m a k t a d ı r .I ş ı n l a m a n ı n t = l a n ı n d a y ü z e y d e k i s ı c a k l ı k v = 1 3 0 0 0 ° C o l a r a k k a b u l e d i l i r s e /1/ v = k t t V ' H e n kı = 1 3 0 0 0 o l a r a k h e s a p l a n ı r . ‘ * ^ »-Jr 1

î

Si I

I A h a l i i ç i n ; v = ^ - v a = 2 0 0 - 2 5 = 1 7 5 “ O o l d u ğ u n d a n , v 175 tjLA= --- = = 1 . 3 5 5 x 1 0 -a (an) kı 1 3 0 0 0 o l a r a k h e s a p l a n ı r . I I A h a l i i ç i n ; v = 66 0 - 25 = 63 5 'C o l d u ğ u n d a n , 63 5 t ı i A = --- = 4 . 8 9 x 1 0" 3 (sn) 1 3 0 0 0 v e İ H A h a l i i ç i n t m n = 1 o l a r a k h e s a p l a n m a k t a d ı r B u d u r u m d a I A . I I A V E I I I A h a l l e r i v e ç ö z ü m l e r i a ş a ğ ı d a k i g i b i y a z ı l a b i l i r . 1 - 3 - 1 I A h a l i v e ç ö z ü m ü S ı c a k l ı ğ ı n 0 < v < 1 7 5 ° C o l d u ğ u b ö l g e d e g e ç e r l i o l u p , K = 2 . 3 9 9 v e a = 0 o l d u ğ u n d a n c' = 1 . 6 4 5 x 1 0- 1 3 o l a r a k h e s a p l a n ı r .B u d e ğ e r ( 1 - 3 - 1 ) d e n k l e m i n d e y e r i n e y a z ı l ı p , c 1= C I o l d u ğ u k a b u l e d i l i r s e , (1-3-1) d e n k l e m i , Ö V Ö 3 V = C I --- (1-3-2) ö t 6x2 s e k l i n i a l ı r . ( 1 - 3 - 2 ) d e n k l e m i n i n b a ş l a n g ı ç s ı c a k l ı ğ a g ö r e d e ğ i ş m e k t e d i r . B a ş l a n g ı ç ş a r t ı ; Y ü z e y d e k i s ı c a k l ı k 0 < v < 175 0 < x < l , t = 0 i ç i n v ( x Y ü z e y d e k i s ı c a k l ı k 175 ° C < v v e s ı n ı r ş a r t l a n y ü z e y d e k i

.7.

V ( X ,1.3 5 1 0 ~ a ) = v I A (X , 1 . 3 5 1 0 ~ a ) ( 1 - 3 - 4 ) o l u r . B u r a d a k i x lf I I A ç ö z ü m m a t r i s i n d e t = 1 . 3 5 1 0 -a i ç i n s ı c a k l ı ğ ı n 175 ° C o l d u ğ u X ı d e ğ e r i d i r .v X A ( x , 1 . 3 5 1 0 - a ) S ^ C a k l ^ k d e 9 e r i t 0 < x < l X 0 < t < 1 . 3 5 1 0 “ a ] ç ö z ü m b ö l g e s i n d e t = 1 . 3 5 1 0 - 2 i ç i n h e s a p l a n m ı ş , I A h a l i n i n b u z a m a n i ç i n k u l l a n d ı ğ ı s ı c a k l ı k d e ğ e r l e r i d i r . Y ü z e y d e k i s ı c a k l ı k 6 3 5 °C < v < 1 3 0 0 0 ° C is e , x a < x < 1 , t = 4 . 8 9 x 1 0 " a i ç i n , v I A ( x , 4.8 9 1 0 _a ) = v (x , 4 . 8 9 1 0 _ a ) ( 1 - 3 - 5 ) ş e k l i n d e i f a d e e d i l e b i l i r .B u r a d a , x3 , t = 4 . 8 9 1 0 _a i ç i n I I A h a l i n d e n s ı c a k l ı ğ ı n 175 ° C o l d u ğ u X i d e ğ e r i v e v (x , 4.8 9 1 0 _ a ) d e ğ e r i i s e , t 0 < x < l X 0 < t < 1 . 3 5 1 0 “ a ] ç ö z ü m b ö l g e s i n d e t = 4 . 8 9 x l 0 -a i ç i n h e s a p l a n m ı ş I A h a l i n d e i l k a d ı m d a k u l l a n ı l a n s ı c a k l ı k d e ğ e r l e r i d i r . I A h a l i n i n s ı n ı r k o ş u l l a n , Y ü z e y d e k i s ı c a k l ı k v < 175 ise, x = 0 , 0 < t < 1 . 3 5 1 0 - a i ç i n v ( 0 , t ) = k ı t ( 1 - 3 - 6 ) Y ü z e y d e k i s ı c a k l ı k v > 175 ise, x=xı. ,t > 1 . 3 5 1 0 -a i ç i n v ( x , t ) = V n A (x, t) ( 1 - 3 - 7 ) dır. B u r a d a , X i , t > 1 . 3 5 1 0 -a i ç i n I I A ç ö z ü m m a t r i s i n d e s ı c a k l ı ğ ı n 175 ° C o l d u ğ u x d e ğ e r l e r i v e v n R (x, t) i s e t > 1.3 5 1 0 ~ a i ç i n I I A ç ö z ü m m a t r i s i n d e s ı c a k l ı ğ ı n 175 ° G o l d u ğ u X i v e t3 d e ğ e r l e r i k u l l a n ı l a r a k h e s a p l a n a n IA h a l i s ı n ı r d e ğ e r l e r i d i r .B u d e ğ e r l e r I A h a l i n i n v 1 1 7 5 ° C o l d u ğ u b ö l g e l e r d e k i s ı n ı r k o ş u l u n u o l u ş t u r m a k t a d ı r . Y u k a r ı d a a n l a t ı l d ı ğ ı g i b i , I A h a l i n i n s ı n ı r v e b a ş l a n g ı ç d e ğ e r l e r i ,y ü z e y n o k t a l a n d ı ş ı n d a k i n o k t a l a r d a d a h a ö n c e d e n b i l i n m e m e k t e d i r .B i l i n m e y e n b u I A s ı n ı r d e ğ e r l e r i , I I A ç ö z ü m m a t r i s i n d e s ı c a k l ı ğ ı n 175 °C o l d u ğ u X ı v e t3 ' l e r y a r d ı m ı y l a v e t = 0 a n ı n ı n d ı ş ı n d a k i I A h a l i b a ş l a n g ı ç d e ğ e r l e r i ise, t = 1 . 3 5 1 0 _a v e t = 4 . 8 9 1 0 -a i ç i n ç ö z ü m m a t r i s i n d e s ı c a k l ı ğ ı n 175 °C o l d u ğ u x A d e ğ e r i n d e n , x- l d e ğ e r i n e k a d a r o l a n t ü m x d e ğ e r l e r i . ' y a r d ı m ı y l a b e l i r l e n m e k t e d i r . ' * »

.

8 .

I A h a l i n i n ç ö z ü m b ö l g e s i , s ı n ı r v e b a ş l a n g ı ç k o ş u l l a n y ü z e y n o k t a l a n d ı ş ı n d a ö n c e d e n b i l i n m e d i ğ i n d e n , e l d e e d i l e n s o n u ç l a r a g ö r e k a b a c a ş e k i l ( 1 - 3 - 1 ) g i b i g ö s t e r i l e b i l i r . I A h a l i n e a i t ( 1 - 3 - 2 ) d e n k l e m i , ( 1 - 3 - 3 ) , ( 1 - 3 - 4 ) , (1 3 5) d e n k l e m l e r i i l e i f a d e e d i l e n b a ş l a n g ı ç ş a r t l a n v e ( 1 - 3 - 6 ) ( 1 - 3 - 7 ) d e n k l e m l e r i i l e i f a d e e d i l e n I A h a l i p r o b l e m i , l i n e e r k ı s m i t ü r e v l i p a r a b o l i k b i r d i f e r a n s i e l d e n k l e m o l d u ğ u n d a n , a n a l i t i k ç ö z ü m ü m e v c u t t u r . B u s i s t e m i n a n a l i t i k ç ö z ü m ü C a r s l a w - J a e g e r /8/ d e n u y g u n b i r ş e k i l d e y a z ı l a r a k , 2/ c i .t v = kı t (1 + 2 G I . t

) ( 1

/i? J d z ) 4 . G I . t /ir C I t' ( 1 - 3 - 8 ) s e k l i n d e d i r .

.

9 .

1 - 3 - 2 I I A h a l i v e ç ö z ü m ü [ O i x i 1 X 1 . 3 5 5 * 1 0” 3 < t i 1 ] b ö l g e s i n d e s ı c a k l ı ğ ı n 175 "C < v i 6 3 5 -C o l d u ğ u b ö l g e l e r i ç i n I I A h a l i p r o b l e m i g e ç e r l i d i r . I I A h a l i n d e , a = - 0 . 2 v e b = 7 . 9 4 3 o l a r a k a l ı n d ı ğ ı n d a n , C I I = ( c ’/ ( a + l ) ) = 6 . 8 1 * 10 13 h e s a p l a n ı r . (1-3-1) d e n k l e m i n d e y e r i n e k o n u l u r s a , ö v ö 3v = 6 . 8 1 * 1 0 ~ 13 ö t a.,o . a ( 1 - 3 - 9 ) ö x ; d e n k l e m i e l d e e d i l i r . I I A h a l i b a ş l a n g ı ç ş a r t l a n , 1 - Y ü z e y d e k i s ı c a k l ı k 175 “O < v i 6 3 5 ’C İBe , 0 i x i xı v e t = 1 . 3 5 5 * 1 0~ 3 i ç i n , V I I R (X , 1 . 3 5 5 * 1 O- 3 ) = V i a ( x , 1 . 3 5 5 * 1 0 - 3 ) ( 1 - 3 - 1 0 ) d ı r . B u r a d a , X ı , t = 1 . 3 5 5 * 10 3 +

A t

i ç i n I I A ç ö z ü m m a t r i s i n d e s ı c a k l ı ğ ı n 1 7 5 ® C o l d u ğ u x v e V n ( x , 1 . 3 5 5 * 1 0 3 ) i s e

t=

1 . 3 5 5 * 1 0 ~ 3 +

A t

v e 0i x £ Xı d e ğ e r l e r i i ç i n I I A h a l i n i n t = 1 . 3 5 5 * 1 0~ 3 i ç i n I A h a l i n d e n k u l l a n ı l a n s ı c a k l ı k d e ğ e r l e r i d i r . 2- Y ü z e y d e k i s ı c a k l ı k v > 6 35 ise, I I A h a l i b a ş l a n g ı ç ş a r t ı , x a i x £ x 3 v e t = 4 . 8 9 * 1 0~ 3 i ç i n , v I 1 R (x , 4 . 8 9 * 1 O- 3) = V * ( x , 4 . 8 9 * 1 0 -3 ) ( 1 - 3 - 1 1 ) ş e k l i n d e y a z ı l a b i l i r . B u r a d a , x a , t = 4 . 8 9 * 10 3 i ç i n , I H A h a l i y l e h e s a p l a n a n v = 6 3 5 *C o l d u ğ u x d e ğ e r i v e x a i s e , a y n ı t a n ı n d a , I I A h a l i y l e s ı c a k l ı ğ ı n v = 175 C o l a r a k h e s a p l a n d ı ğ ı x d e ğ e r i d i r . v » ( x t^ 4„£f9*40 31 t * 4 . 8 9 * 1 0_ 3 +

A t

a n ı n d a s ı c a k l ı ğ ı n 1 7 ^ ^ C <

V

-i*

6V

35

*C O l d u ğ u a r a l ı k t a , I I A h a l i n i n t = 4 .89 / * ^ 1 0 , ^ \ ar\ından k u l l a n d ı ğ ı s ı c a k l ı k d e ğ e r l e r i d i r .

I I A h a l i n i n s ı n ı r k o ş u l l a r ı ise, y i n e IA h a l i n d e k i g i b i y ü z e y n o k t a l a r ı d ı ş ı n d a d a h a ö n c e d e n b i l i n m e m e k t e o l u p , a ş a ğ ı d a k i g i b i i f a d e e d i l e b i l i r . 1 - Y ü z e y d e k i s ı c a k l ı k 175 °C < v i 6 3 5 °C i s e , x = 0 1 . 3 5 5 * 1 0 ~ a < t i 4 . 8 9 * 1 0 ~ a i ç i n , v (0 ,t )= kı t (1-3-1 2) 2 - Y ü z e y d e k i s ı c a k l ı k v > 63 5 ise, x = X i v e t l 4 . 8 9 * 1 0 ~ a i ç i n , V ( X ı , ta ) = Vi i x a( X ı , ta ) ( 1 - 3 - 1 3 ) d ı r . B u r a d a , X ı I H A h a l i ç ö z ü m m a t r i s i n d e t l 4 . 8 9 * 1 0 ~ a i ç i n , s ı c a k l ı ğ ı n v = 63 5 °C o l d u ğ u x v e t d e ğ e r l e r i y a r d ı m ı i l e I I A h a l i s ı n ı r d e ğ e r l e r i v > 6 35 *C i ç i n b e l i r l e n m e k t e d i r . v I n A ( x1 , t 3 ) i s e x = X i v e t i. 4 . 8 9 * 1 0~ a i ç i n I H A h a l i n d e n h e s a p l a n a n s ı c a k l ı k d e ğ e r l e r i d i r .B u I I A h a l i n i n v > 63 5 i ç i n s ı n ı r d e ğ e r l e r i n i o l u ş t u r m a k t a d ı r . I I A h a l i n i n d e b a ş l a n g ı ç v e s ı n ı r k o ş u l l a r ı iç n o k t a l a r d a ö n c e d e n b i l i n m e d i ğ i n d e n e l d e e d i l e n s o n u ç l a r d a g ö z ö n ü n e a l ı n a r a k k a b a c a ş e k i l ( 1 - 3 - 2 ) d e k i g i b i g ö s t e r i l e b i l i r . S e k i l ( 1 - 3 - 2 )

c

1 ı nrh

,

5 i

s

n İc

k e

m

H A h a l i n e a i t ( 1 - 3 - 9 ) d e n k l e m i , (1-3-.10)*, ( I7 3- H ) d e n k l e m l e r i i l e i f a d e e d i l e n b a ş l a n g ı ç şartları, -ve (4 -3-1 2) ( 1 - 3 - 1 3 ) d e n k l e m l e r i i l e i f a d e e d i l e n sığır-- ş a r t l a n , \ n o n - l i n e e r k ı s m ı t ü r e v l i d i f e r a n s i e l d e n k l e m i | $ l p ş t u r m a } ç t a d ı r . V.<■ \ •; - / /

I I A h a l i p r o b l e m i n i n b i l i n e n b i r a n a l i t i k ç ö z ü m ü o l m a d ı ğ ı i ç i n n ü m e r i k ç ö z ü m ü n e g i d i l e c e k t i r . B u ç a l ı ş m a d a , b u d e n k l e m i n s o n l u f a r k y ö n t e m i i l e a l t ı k a f e s n o k t a s ı k u l l a n ı l a r a k ( C r a n k - N ı c o l s o n ) ç ö z ü m ü i n c e l e n e k t i r . 1 - 3 - 3 I H A h a l i v e ç ö z ü m ü [ 0 i x 4 1 X 4 . 8 9 0 * 1 0 ~ a < t 4 1 ] b ö l g e s i n d e s ı c a k l ı ğ ı n 6 35 °G < v 4 1 3 0 0 0 'C o l d u ğ u b ö l g e l e r i ç i n I H A h a l i p r o b l e m i g e ç e r l i d i r . I H A h a l i n d e , a = 0 . 3 7 v e b= 0 . 0 7 4 1 3 o l a r a k a l ı n d ı ğ ı n d a n , ( 1 - 3 - 1 ) d e n k l e m i n d e y e r i n e k o n u l u r s a , ö v ö a v1 ■37 = 1 . 0 3 9 * 1 0 - 1 B --- ( 1 - 3 - 1 4 ) ö t ö x a ş e k l i n d e n o n - l i n e e r k ı s m i t ü r e v l i d i f e r a n s i e l d e n k l e m e l d e e d i l i r . I I I A h a l i i ç i n b a ş l a n g ı ç ş a r t l a r ı , 0 4 x 4 Xı , t = 4 . B 9 * 1 0 - a i ç i n , v ( x , 4 . 8 9 * 1 0 _ a ) = Vh r ( x, 4 . 8 9 * 1 0 - a ) o l a r a k i f a d e e d i l e b i l i r . B u r a d a , V u a ( x , 4 . 8 9 * 1 0 a ) d e ğ e r i , t = 4 . 8 9 * 1 0 -a b o y u n c a , 0 4 x 4 Xı a r a l ı ğ ı n d a I I A h a l i i l e h e s a p l a n m ı ş o l a n s ı c a k l ı k d e ğ e r l e r i d i r . Xı i s e t = 4 . 8 9 * 1 0 i ç i n I H A h a l i n d e n h e s a p l a n a n v = 6 35 °C o l d u ğ u x d e ğ e r i d i r . B u a r a l ı k t a , I H A k u l l a n ı l a n v e I I A h a l i i l e d a h a ö n c e t = 4.8 9 * 1 0 _a i ç i n h e s a p l a n m ı ş s ı c a k l ı k d e ğ e r l e r i , I H A h a l i b a ş l a n g ı ç d e ğ e r l e r i n i o l u ş t u r m a k t a d ı r . I H A h a l i i ç i n s ı n ı r k o ş u l l a r ı ise, x = 0 , t 1 4 . 8 9 * 1 0-a İ ç i n v (0,t) = k ı t s e k l i n d e y a z ı l a b i l i r . I H A h a l i n i n ç ö z ü m b ö l g e s i n d e d e s ı n ı r k o ş u l u b a ş t a n b i l i n d i ğ i h a l d e b a ş l a n g ı ç k o ş u l u b a ş t a n b i l i n m e m e k t e d i r , ç ö z ü m e s n a s ı n d a b e l i r l e n m e k t e d i r . 5 e k i l ( 1 - 3 - 3 ) d e k a b a c a I H A h a l i ç ö z ü m b ö l g e s i g ö s t e r i l m e k t e d i r . * r* -l V r v % * <p»

H e r ü ç h a l e d i k k a t e d i l i r s e , b u r a d a k i d e n k l e m l e r i n b i r b i r l e r i i l e b a ğ l a n t ı l ı o l d u ğ u , a y r ı c a s ı n ı r v e b a ş l a n g ı ç k o ş u l l a r ı n ı n b i r b i r l e r i n i n d e v a m ı o l d u ğ u g ö r ü l m e k t e d i r . A r ı - a l ü m i n y u m i ç i n o l u ş t u r u l a n ı s ı i l e t i m d e n k l e m i n i n , I A h a l i d ı ş ı n d a k i h a l l e r i n d e b i l i n e n a n a l i t i k ç ö z ü m ü o l m a d ı ğ ı n d a n I I A v e I H A h a l i n i n ç ö z ü m l e r i n d e n ü m e r i k y ö n t e m e b a ş v u r u l a c a k t ı r . B u ç a l ı ş m a d a , I I A v e I I I A h a l l e r i i ç i n a l t ı n o k t a y ı i ç e r e n s o n l u f a r k n ü m e r i k y ö n t e m i a ç ı k ( e x p l i c i t ) b i ç i m d e k u l l a n ı l a c a k t ı r . 1- 4 U C N O K T A S O N L U F A R K Y Ö N T E M İ N E D E N Y E T E R L İ D E Ğ İ L . 1 - 4 - 1 ü ç n o k t a s o n l u f a r k y ö n t e m i S o n l u f a r k y ö n t e m i n i n u y g u l a n a b i l m e s i i ç i n u y g u l a m a b ö l g e s i , h, X e k s e n i ü z e r i n d e k i a d ı m u z u n l u ğ u , k ise , t e k s e n i ü z e r i n d e k i a d ı m u z u n l u ğ u o l m a k ü z e r e , b ö l g e s ı r a s ı y l a m v e n t a n e X v e t e k s e n l e r i n e p a r a l e l ç i z g i l e r l e k a f e s l e r e a y r ı l ı r . H e r b i r k a f e s n o k t a s ı ( X , T ) , m v e n i n t e g e r o l m a k ü z e r e , X = m h v e T = n k i l e i f a d e e d i l e b i l m e k t e d i r .ö r n e ğ i n , n = m = 0 i s e o r i j i n n o k t a s ı i f a d e e d i l m e k i s t e n m e k t e d i r .( S e k i l ( 1 - 4 - 1 ) ).

.

13 .

k-i k , m-i m

I

1

n - i Ş e k i l ( 1 - 4 - 1 ) ö u _____ = L ( x , t , D , D2 ) u ö t ö d i f e r a n s i e l d e n k l e m i gözöniine a l ı n s ı n . B u r a d a , D = ---ö x v e L l i n e e r o p e r a t ö r ü g ö s t e r s i n . X = m h v e T = n k k a f e s n o k t a s ı n d a f a r k v e d i f e r a n s i e l d e n k l e m i s a g l a g a n f o n k s i y o n l a r s ı r a s ı y l a , U ( m , n ) v e u ( m , n ) i l e g ö s t e r i l s i n . T a y l o r a ç ı l ı m ı y l a , ö ö2 u (x ,t ) = ( 1 + k --- + H k2 + ... ) u ( x , t ) ö t ö t 2 ö = e x p ( k --- ) u ( x ,t ) ö t y a z ı l a b i l i r . Ş a y e t , X = m h v e T = n k i ç i n u ( m h ,n k )= u ( m ,n ) a l ı n ı r s a . u( m , n+1 ) = e x p ( k --- ) u( m , n ) ö t = e x p ( k L ) u( m ,n ) y a z ı l a b i l i r .

.3/

.

14 .

D t ü r e v o p e r a t ö r ü i l e X y ö n ü n d e k i m e r k e z i f a r k o p e r a t ö r ü a r a s ı n d a k i i l i g k i , 2 1 12 D = ___ s ı n h _1 = ( ~ ~~ 7 7 5 “ h 2 2 2 2 . 3 ! 1 2 . 3 2 + . 6 BX + • • • )

2*

. 5 !

Burada, 6. u(m,n) = u( m +H , n) - u<

m-* ,

n> ve

U ( m,n) = u( m+1 ,n) - 2 u(m,n) + u(m-l,n) dır.

ö r n e ğ i n ,

ö u

ö 2u

ö t ö t 2 s e k l i n d e k ı s m i t ü r e v l i d i f e r a n s i e l d e n k l e m a l ı n s ı n . B u p r o b l e m i ç i n L = D 2 o l a c a ğ ı n d a n , u ( m , n) t e r i m i , u ( m ,n ) = e x p ( k D 2 ) u ( m , n > ( 1 - 4 - 1 ) ş e k l i n d e i f a d e e d i l e b i l i r . 1 1 1 r) 2 = ( 6ax - --- + 66 „ + . . . ) h2 12 90 o l d u ğ u n d a n ( 1 - 4 - 1 ) d e n k l e m i n d e y e r i n e k o n u r s a , 1 1 u( m , n + l ) = [ 1 + r ö 2 ** +

2

! 1 + ___ r ( r 2- H r + --- > + --- ] u ( m , n ) 6 18 (1-4-2) İ d e e d i l i r . B u r a d a , r = < k / h « > o r a n ı d ı r . ( 1 - 4 - 2 > e n k l e m i n d e y a l n ı z i k i n c i d e r e c e f a r k l a r ı a l ı p d i ğ e r l e . -e d e n k l e m i n d e y i h m a l e d i l i r s e , f a r k d e n k l e m i , U m , n - l = ( 1+ r 62 ac ) Um . n

şeklinde yazı la b il ir .

B u r a d a , 6 2~ yetine konup idz n^.

.

15 .

6 u ö 2u ö t ö t 2 d e n k l e m i , Um, n + 1 = ( l -2r ) Um, ra C ( U m + 1 , n ^ U m — j. , ra ) ( 1 - 4 - 3 ) ş e k l i n d e s o n l u f a r k l a r i l e g ö s t e r i l e b i l i r . B u d e n k l e m e U ç N o k t a S o n l u F a r k d e n k l e m i d e n i r . B u r a d a , U m .ra s o n l u f a r k ç ö z ü m ü n ü n , u m ,n d i f e r a n s i e l d e n k l e m i n ç ö z ü m ü n e y a k ı n s a d ı ğ ı d ü ş ü n ü l m e k t e d i r . 1 - 4 - 2 N e d e n y e t e r l i d e ğ i l . ( 1 - 4 - 3 ) d e n k l e m i n d e n g ö r ü l d ü ğ ü g i b i , e n b a s i t s o n l u f a r k d e n k l e m i y a l n ı z c a ü ç n o k t a y ı i ç e r e n s o n l u f a r k y ö n t e m i d i r . B u y ö n t e m d e , U m ,ra-<-ı d e ğ e r i n i n h e s a p l a n a b i l m e s i i ç i n , U m . n , Um +1 , ra v e Um-ı.ra d e ğ e r l e r i n i n b i l i n m e s i g e r e k m e k t e d i r . U ç n o k t a h e s a p l a m a l a r ı y a p ı l ı r k e n , ( n + l ) t z a m a n s e v i y e s i n d e k i b i r n o k t a n ı n s ı c a k l ı k d e ğ e r i y a l n ı z c a nt. z a m a n s e v i y e s i n e a i t ü ç n o k t a k u l l a n ı l a r a k h e s a p l a n ı r .B u n a k a r ş ı l ı k , ( n + l ) k z a m a n s e v i y e s i n d e n h i ç b i r n o k t a k u l l a n ı l m a m a k t a d ı r . O y s a , s ı c a k l ı k h e s a p l a m a s ı n d a ( n + l ) k z a m a n s e v i y e s i n d e k i h e r h a n g i b i r n o k t a y a a i t s ı c a k l ı k d e ğ e r i , b u z a m a n s e v i y e s i n e a i t k o m ş u k a f e s t e k i s ı c a k l ı k d e ğ e r i n d e n f i z i k s e l o l a r a k ç o k f a z l a e t k i l e n m e k t e d i r . B u y ö n t e m d e , ( n + l ) k z a m a n s e v i y e s i n d e k i t ü m n o k t a l a r ı n h e s a b ı y a l n ı z c a n k z a m a n s e v i y e s i n d e k i i l g i l i n o k t a l a r l a h e s a p l a n d ı ğ ı n d a n ü ç n o k t a y e t e r l i d e ğ i l d i r . B u r a d a e s a s o l a n k z a m a n a r a l ı ğ ı i ç i n d e ö z e l l i k l e , y ü z e y c i v a r ı n d a s ı c a k l ı ğ ı n ç o k h ı z l ı a r t m a s ı v e ( n + l ) k s e v i y e s i n d e k i n o k t a n ı n n k s e v i y e s i n d e k i n o k t a d a n çok, ( n + l ) k s e v i y e s i n d e k i ( m - l ) h . n o k t a d a n e t k i l e n m e s i s ö z k o n u s u d u r . E g e r , s ı c a k l ı ğ ı n y a v a ş y a v a ş a r t m a s ı s ö z k o n u s u o l s a y d ı , b u d u r u m d a o l a y b u k a d a r ö n e m l i o l m a y a b i l e c e k t i r . B u d u r u m u n n e k a d a r e t k i l i o l d u ğ u k a r ş ı l a ş t ı r m a b ö l ü m ü n d e k i s o n u ç l a r d a n a n l a ş ı l a c a k t ı r ( 4 - 2 ) .

2-1 A L T I N O K T A Y Ö N T E M İ H e r m e r t e b e d e n t ü r e v l e r , i l e r i , g e r i v e m e r k e z i f a r k l a r ı n s o n s u z t e r i m l i s e r i l e r i i l e i f a d e e d i l e b i l m e k t e d i r . B u ise, s o n l u f a r k y ö n t e m i n i o l u ş t u r m a k t a d ı r . ö r n e ğ i n , i k i n c i m e r t e b e d e n t ü r e v , m e r k e z i f a r k l a r ı n s o n s u z t e r i m l i s e r i s i o l a r a k ; ö 2u 1 1 1 = ( 6 2,cU- u + --- 6 6*:U+... ) ö x 2 h 2 12 90 (2-1 - 1 ) ş e k l i n d e i f a d e e d i l e b i l m e k t e d i r . (4-2) d e g e ç e n b a z ı t a n ı m l a r , (2-1-1) d e n k l e m i v e o r t a l a m a o p e r a t ö r ü p k u l l a n ı l a r a k , a l t ı n o k t a y ı i ç e r e n s o n l u f a r k y ö n t e m i o l u ş t u r u l m a k i s t e n s i n . P ( i , j + H ) n o k t a s ı n d a k i p o p e r a t ö r ü ;

( 2- 1- 2 )

1 p f 3+»4 = ---- ( fi + f i + ı ) 2 o l a r a k t a n ı m l a n ı r .A ş a ğ ı d a k i s o n u ç l a r ;

ö

l

1

k ___ = 2 s i n h~ 1 (--- 6t ) v e p t = (1+ --- ö2*.)*4 öt 2 4 ( 2 - 1 - 3 ) k u l l a n ı l a r a k , 1 ö u ö u ö u

k { ( __ )3..3

+ ( )i.3-l ) = k Pt ( )d..i+H

2 ö t öt öt

1

1

= { ( i + ____ 62t )H 2 s i n h 1 (---- 6t )ua.. a-*-*)

4

2

( 2 - 1 - 4 ) ş e k l i n d e y a z ı l a b i l i r . B u d e n k l e m i n s a g t a r a f ı ^ p o z i t i f k u v v e t l e r i o l a r a k s e r i y e a ç ı l ı r s a ; / 's' \

. 17.

Ö U Ö U k ( ( ) i . ı + ( ) i. , 3 1 1 = ö t öt 6 B t + . . . ) U i. . 3 + M 12

120

( 2 - 1 - 5 ) y a z ı l a b i l i r .B u r a d a n , ( 2 - 1 - 5 ) d e n k l e m i , Ö t U l , 3 1 Ö U Ö U m = k { ( ) i , 3 + ( ) l , 3 + 1 ) + C t U l , 3 -«-M, öt ö t ( 2 - 1 - 6 ) o l a r a k d ü z e n l e n e b i l i r . B u d e n k l e m d e 6t U i , j + h y e r i n e y a z ı l ı r s a ; ö U d . , j + l - U l . 3 = H k --- ( U i . 3 + U l , 3 + 1 ) + C t U l , 3 + H ö t d e n k l e m i e l d e e d i l i r . B u d e n k l e m d e k i , ( 2 - 1 - 7 ) 1

12

dır. ö r n e ğ i n ,

120

ö u ö zu (2- 1-8) ö t ö x2 s e k l i n d e k i b i r k ı s m i t ü r e v l i d i f e r a n s i e l d e n k l e m i n d e n , ö ö2 ( 2 - 1 - 9 ) ö t ö x2 s e k l i n d e ö z d e ş l i k y a z ı l a b i l e c e ğ i n d e n (2-1 9) d e n k l e m i , ( 2 - 1 - 7 ) d e n k l e m i n d e y e r i n e y a z ı l ı r s a , / f * T ç \ Ut, 3 + 1- U l , 3 = H k --- { U i . 3 + Ut, 3+1 > + ö x 2

.

18 .

a* d e n k l e m i e l d e e d i l i r . B u d e n k l e m d e (2-1-1) i f a d e s i k o n u r s a , d e n k l e m ; U i , 3-t-l - Ui. 3 = 1 k 1 = ( 6 3jc - J

2 h 2

12

ö x 2 i f a d e s i y e r i n e 6 * x + . .. ) (Ui. 90 U l , J + l ) + C t U l , J + H h a l i n e g e l i r . D ü z e n l e n d i ğ i n d e , U l , J + l - U l , 3 = H r ( 6 3 ,t ( U l , 3 + U l , 3 + l ) } + C ( 2 - 1 - 1 1 ) s e k l i n d e y a z ı l a b i l i r . B u r a d a , 1 1 1 C = _____ ( ( - + 6 ® * + . . . ) U ı , 3 + 12 + ( -12 1

12

90 1 90 6 ® 3C + . . . ) U l , 3 + l ) + + (

-12

-t Ul, 3 •+»*

120

' t U i . 3 , * * ) dır. ( 2 - 1 - 1 1 ) d e n k l e m i n d e C = 0 a l m a k s u r e t i y l e e l d e e d i l e n , (2-1 - 1 2 ) U ı , j + ı - U i .3 = H r ( 6 3* U i ,3- ı + 6z^ U i , a ) d e n k l e m i n e C r a n k - N i c o l s o n d e n k l e m i d e n i r ./ S/ . U l, 3 = U i - ı,3 - 2 U l , 3 + U l + l , 3 6 z x Ul , 3+1 = U l - l , 3+1 — 2 U l , 3 + 1 "*■ U l + l , 3+1 o l a r a k t a n ı m l a n d ı ğ ı n a g ö r e (2-1-1 2) d e n k l e m i d a h a a ç ı k o l a r a k ; U i , 3 + 1 - Ui, 3 = H r ( U i - l , 3 + 1 “ 2 U i , 3 + 1 + U i + l ,3*l + U i-1 3 _ 2 U i , 3 + U i + 1 , 3 ) K * T , g Ş \ - 1 3 ) y a z ı l a b i l i r . B u n a A l t ı N o k t a Denklçrai. 1 İ t* i ^ 'V ?■ ;• \»2 i y A- .şt f

.

19 .

B u r a d a , r = ( k / h z ) dir . k, t z a m a n e k s e n i ü z e r i n d e k i a d ı m u z u n l u ğ u , h i s e X e k s e n i ü z e r i n d e k i a d ı m u z u n l u ğ u d u r . ( 2 - 1 - 1 3 ) d e n k l e m i t = jk z a m a n ı b o y u n c a , U i -1 .3 , U i , ı , U ı + ı , j v e t = ( j +1)k z a m a n ı b o y u n c a U ı - ! , J + ı U l ı ) + ı , U ı + ı , 1 + ı k a f e s n o k t a l a r ı n ı n d e ğ e r l e r i n i i ç e r m e k t e d i r . B e k i l (2-1-1). I

I

- 4

---I I I _____________ ■4 . ■ — — — S e k i l (2-1-1) ( 2 - 1 - 1 3 ) s o n l u f a r k d e n k l e m i k a p a l ı ( i m p l i c i t ) b i ç i m d e k u l l a n ı l m a k t a d ı r . B u ç a l ı ş m a d a f a r k d e n k l e m i a ç ı k ( e x p l i c i t ) o l a r a k k u l l a n ı l a c a k t ı r . K a p a l ı ( i m p l i c i t ) f o r m ü l ü K a p a l ı f a r k f o r m ü l ü n d e , s o n l u f a r k y ö n t e m i n d e t = ( n + l ) k z a m a n s e v i y e s i n e a i t b i r d e n f a z l a k a f e s n o k t a s ı n ı n d e ğ e r i t = n k z a m a n s e v i y e s i n e a i t d e ğ e r l e r i k u l l a n ı l a r a k h e s a p l a n m a k t a d ı r . ( 2 - 1 - 1 3 ) f o r m ü l ü , — r Ui. — ı , j + ı + ( 2 + 2r ) U ı , j + ı- r U ı + ı , ı + ı = r U i - ı a + (2- 2 r ) U ı. 3 + r U ı * ı, 3 ( 2 - 1 - 1 4 ) s e k l i n d e i f a d e e d i l i r s e , k a p a l ı s o n l u f a r k f o r m ü l ü e l d e e d i l i r . G e n e l o l a r a k , ( 2 - 1 - 1 4 ) d e n k l e m i n i n s o l y a n ı ü ç b i l i n m e y e n d e ğ i ş k e n i v e s a g y a n ı i s e ü ç b i l i n e n d e ğ i ş k e n i i ç e r i r . B u r a d a , h e r b i r z a m a n s a t ı r ı n a a i t N t a n e a r a l ı k s ö z k o n u s u o l u r s a , ö r n e ğ i n , j = 0 i ç i n i = 1 ( İ'3TN%Ü o l m a k ü z e r e (N-l) t a n e d e n k l e m y a z ı l ı r . B u d e n k & € \ > i s t e m i b a ş l a n g ı ç v e s ı n ı r d e ğ e r l e r i i ç e r e n t e r i m l e r i ^ y a z d ı k t a n s o n r a (N-l) t a n e b i l i n m e y e n i ç e r i r . ö r n e ğ i n , p ^ 1 ■*> $.çin , i k i n c i z a m a n s a t ı r ı n d a k i (N-l) t a n e U bilinmeyö'H.i'V, i n c i z a m a n s a t ı r ı n d a k i b i r ö n c e k i s i s t e m ç ö z ü m ü n d e n - - ö l d e e d i l e n V * • V **:t. . ■■■■■ j J + ı -t NV

.

20 .

b i l i n e n U 1 1 a r k u l l a n ı l a r a k o l u ş t u r u l a n y e n i s i s t e m ç ö z ü l e r e k h e s a p l a n ı r . G e n e l o l a r a k , şu s ö y l e n e b i l i r : K a p a l ı m e t o t l a h e r h a n g i b i r t a d ı m ı b o y u n c a b i l i n m e y e n U d e ğ e r l e r i , b i r ö n c e k i t a d ı m ı b o y u n c a b i l i n e n U d e ğ e r l e r i v e b a ş l a n g ı ç , s ı n ı r d e ğ e r l e r i k u l l a n ı l a r a k h e s a p l a n ı r . Ş e k i l (2-1 - 2 ) . X l-l 1 l-f-l i I \ ___ tt) _{-4 S--- fik} y " l ® Bilinen u değerleri X Bilinmeyen u d eğerleri 1 Ş e k i l ( 2 - 1 - 2 ) A c ı k ( e x p l i c i t ) f o r m ü l ( 2 - 1 - 1 3 ) d e n k l e m i ,

2

U t + l , J +1= — U i- 1, J +1+ --- U l , j + l + 2 U l , ,3 r

2

U ı , j + 2 U İ# , ■ U ı + ı , ı (2 — 1 — 16) ş e k l i n d e i f a d e e d i l e r e k a ç ı k ( e x p l i c i t ) f o r m ü l ü e l d e e d i l i r . B u r a d a , U ı +lp 1 + l d e ğ e r i, ö ı - ı , j , U ı , j , U ı + ı , j v e U ı . s + ı d e ğ e r l e r i k u l l a n ı l a r a k h e s a p l a n ı r . D a h a s o n r a k i a d ı m d a h e s a p l a n a n b u d e ğ e r U i r 3 +-ı o l a r a k k u l l a n ı l a r a k h e s a p l a m a l a r a d e v a m e d i l i r . ( 2 - 1 - 1 4 ) d e k i O r a n k - N i c o l s o n d e n k l e m i , h e r h a n g i b i r z a m a n e k s e n i b o y u n c a (N-l) t a n e a r a l ı ğ a a y r ı l d ı ğ ı n d a , g e n e l o l a r a k , a ş a ğ ı d a k i g i b i t r i o d i o g o n a l d e n k l e m e m i y a z ı l ı r . » N , /Vptv\ r

* \ l )

.

21 .

bı.Uı C ı U a •ajUı + b a U a — C a U a = di = da - a ı U ı - ı + b ı U ı . - C i U ı + ı = di - Sn- ı U N - a + b n -iUn-i - Öm- ı B u r a d a , a 1ar, b 1er, c 1 e r v e d 1 e r b i l i n m e k t e d i r . U N -ı , U N - a ,...,113,11! b i l i n m e y e n l e r i ç e ş i t l i e l i m i n a s y o n y ö n t e m l e r i i l e k o l a y c a ç ö z ü l e b i l m e k t e d i r . K a p a l ı s o n l u f a r k C r a n k - N i c o l s o n d e n k l e m i b i r s i s t e m o l u ş t u r d u ğ u n d a n , m a t r i s l e r k u l l a n ı l a r a k a ş a ğ ı d a k i ş e k i l d e g ö s t e r i l e b i l i r . ' ( 2 + 2r ) -r ' Ul . 3-1 - r (2+2r ) -r -r (2+2r) -r U a , 3 — 1 - r (2+2r ) -r Um— ı . a — ı . " (2-2r ) r 1 c K ı>

---1 r (2-2r ) r r (2-2r ) r U a . a r (2-2r ) r Um- ı , a B u r a d a n , ( 21 - r T n - i ) U 1 + ı = (21 + r T N -ı) U 3 v e y a U j*ı = ( 21 - r Tn- y a z ı l a b i l i r . B u r a d a n , ( 2 - 1 - 1 7 ) i ) ~1 (21 + r Tn- ı ) U 3 \ | ^ tu *■» M yi?*.s /,

o l a r a k y a z ı l a b i l i r . I I A h a l i k ı s m i t ü r e v l i d i f e r a n s i e l d e n k l e m i n d e n , ö ö2 U ı , a = C I I U ° • 8 a.. s v e ö t ö x z ö 2 U ı . i . ı = C I I U° ' 8 ı, a 1 öt Ö X2 y a z ı l a b i l i r . B u i f a d e l e r ( 2 - 2 - 2 ) d e n k l e m i n d e y e r i n e k o n u r s a , 1 ö 2 ö 2 U ı . a * ı - U ı . a = k C I I { --- U ° '8i , a + --- U ° - 8 ı . 3 + ı î

2

ö x2 ö x2 + C t U l . J +M v e y a 1 ö2 U t . j t ı - U ı . a = k C I I --- t U ° ■B ı , a + > 2 ö x2 + C-tOi . a -•-** ( 2 - 2 - 3 ) d e n k l e m i e l d e e d i l i r . ö2 1 1 1

=

( 6ax -

+

66Jt+... )

ö x2 h2 12 9 0 o l a r a k a ç ı l d ı ğ ı n a g ö r e , ( 2 - 2 - 3 ) d e n k l e m i n d e y e r i n e y a z ı l ı r s a , k

U t a ^ t - U ^ . a = h C I I t <5a ~ U ° - 0 a..a + U ° • e a.. a - ı ) > + C h2

( 2 - 2 - 4 )

.

24.

C = 2h2 { ( -12 90 1 1 + ( - ___ + 6°:*:+... ) U O B ı, j > 12 90 12 6 3 -t U i , 3 -+V4 90 65 -t U l , j -ı-Mi ) d ı r . B u r a d a d a , C = 0 a l ı n a r a k i h m a l e d i l i r s e , ( 2 2 4 ) d e n k l e m i ; U i . i + ı - U i, C I I ( 6 a ,cU0-B i.3 + ö 2~ U ° ' B i, 3-*-ı) h2 ( 2 - 2 - 5 ) o l u r . B u d e n k l e m , H A i d n g e l i ş t i r i l e n s o n l u f a r k d e n k l e m i d i r . B u d e n k l e m d e , 62x a ç ı l ı m ı y e r i n e k o n u r r = ( C I I k / h2 ) o l a r a k a l ı n ı r s a , d a h a a ç ı k o l a r a k , U i .3* ı - U i.5 = H r ( U° ° i + ı.3 - 2 U ° -B i , a + U ° - B i - ı,3 + U ° ' B İ +1,3+1 - 2 U ° -8İ , 3 + 1 + U ° - B i - l , 3 + l ) ( 2 - 2 - 6 ) ş e k l i n d e y a z ı l ı r . B u ise, I I A i ç i n g e l i ş t i r i l e n a l t ı t a n e k a f e s n o k t a s ı n ı i ç e r e n v e n o n - l i n e e r s o n l u f a r k d e n k l e m i d i r .Ş e k i l (2-2-1). ı-> 14-1 J+I of -u o.B -u'O.?, -U,0.6 S e k i l (2-2-1)

.

25 .

2-3 A L T I N O K T A Y Ö N T E M İ Î L E C Ö Z U M Î O Î N F İ Z İ K S E L , M A T E M A T İ K S E L V A R S A Y I M L A R . Bu ç a l ı ş m a e s n a s ı n d a , ı s ı i l e t i m d e n k l e m i n i o l u ş t u r u r k e n y a p ı l a n f i z i k s e l v a r s a y ı m l a r , ç ö z ü m i ç i n d e g e ç e r l i d i r . I I A h a l i i ç i n o l u ş t u r u l a n s o n l u f a r k d e n k l e m i , k a p a l ı f a r k d e n k l e m i ş e k l i n d e k u l l a n ı l m a y ı p , a ç ı k s o n l u f a r k d e n k l e m i ş e k l i n d e k u l l a n ı l m ı ş t ı r . (2-2-6) s o n l u f a r k d e n k l e m i k a p a l ı f a r k d e n k l e m i o l a r a k ,

-r U° ■ S ı - ı , j*ı + 2 ( U ı , a*ı + r U o a i.. ) - r U' i-*- 1 , 3 1

= r U ° - B a.-ı.a + 2 ( U i.3 - r U 0 -0 ^. ^ ) - r U° - a 1 + l>J ( 2 - 3 - 1 ) ş e k l i n d e g ö z ö n ü n e a l ı n ı r s a , I I A h a l i n i n ç ö z ü m ü n d e k u l l a n ı l m a k i s t e n d i ğ i n d e , t = ( n + l ) k i ç i n h e s a p l a m a l a r y a p ı l ı r k e n t = n k z a m a n s e v i y e s i n d e k i b i l i n e n Ui. 1e r y a r d ı m ı y l a , t = ( n + l ) k z a m a n s e v i y e s i n d e k i b i l i n m e y e n U ı * ı 1e r n o n - l i n e e r d e n k l e m s i s t e m i o l u ş t u r m a k t a d ı r . B u s i s t e m o l u ş t u r u l u r k e n , ç ö z ü m b ö l g e s i n i n s a g s ı n ı r d e ğ e r l e r i , b a ş l a n g ı ç t a b i l i n m e m e k t e d i r . B u y ü z d e n , b u d e ğ e r i n ö n c e d e n I A h a l i n d e n h e s a p l a n m a s ı g e r e k m e k t e d i r , a k s i h a l d e d e n k l e m s a y ı s ı , d e ğ i ş k e n s a y ı s ı n d a n a z v e ç ö z ü m ü y o k t u r . ö r n e ğ i n , a ş a ğ ı d a k i ş e k i l i ç i n s i s t e m y a z ı l s ı n . a o a ı a a a 3 a 4. 1. d e n k l e m ,

- r bi + 2Uı+ 2 r U ° •B ı- rU °-Ba = ra0 B 0+2al+2ra0 -B 1+ ra °- B a

b u r a d a , bı, a 0 , a lf a a , a 3 , a4 1e r b i l i n m e k t e d i r .B u y ü z d e n 1 . d e n k l e m , 2Uı + 2r U ( - r U l = Aı S e k l i n d e y a z ı l a b i l i r .D i ğ e r d e n k l e m l e r ise; -r Uı +2 Ua + 2r U ° ■B a - r U = A; "K 1 . • A