Aralık değerli sezgisel bulanık topolojik uzaylar

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ * FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ARALIK DEĞERLİ SEZGİSEL BULANIK TOPOLOJİK

UZAYLAR

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Abdülkadir AYGÜNOĞLU

Anabilim Dalı: Matematik

Danışmanı: Prof. Dr. Halis AYGÜN

ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR

Bulanık küme kavramı ilk kez 1965 yılında Zadeh tarafından verilmiştir. Bu kümeler temel alınarak 1968 yılında Chang bulanık topolojik uzay tanımını vermiş ve genel topolojideki birçok tanımı ve özelliği bulanık topolojik uzaylara genellemiştir. Daha sonra Zadeh 1975 yılında 2. tip bulanık kümeler tanımını vermiştir ve bu kümelerin özel bir hali olarak aralık değerli bulanık kümeler tanımlamıştır. Bu kümeler üzerindeki topolojik uzaylar hakkındaki çalışmalardan önce 1976 yılında Lowen yaptığı “Bulanık Topolojik Uzaylar ve Kompaktlık” isimli makalesinde, Chang’ in bulanık topolojik uzay tanımındaki eksiklikleri ortadan kaldırarak yeni bir topolojik uzay tanımı vermiştir.

Lowen’ ın ardından Atanassov 1986 yılında “Sezgisel Bulanık Kümeler” tanımını vermiş ve bu kümelerin temel özelliklerini incelemiştir. Ayrıca 1989 yılında yayınladığı makaleyle sezgisel bulanık kümeler üzerinde kendi tanımladığı birçok operatörün özelliklerini inceledi. Daha sonra aynı yıl “Aralık Değerli Sezgisel Bulanık Kümeler” kavramını vererek sezgisel bulanık kümeler kavramını genelleştirdi. Sezgisel kümeler üzerindeki topoloji kavramını 1997 yılında Çoker tanımlanmış ve süreklilik ve kompaktlık gibi temel özellikleri incelemiştir. Sezgisel bulanık kümeler üzerine 2000 yılında, Demirci sezgisel bulanık kümelerin aksiyomatik teorisiyle, aynı yıl Kumar De, Biswas ve Roy yaptıkları ortak çalışmada bir çok operatör tanımı vermiş ve bu operatörler arasındaki ilişkileri incelemişlerdir. Atanassov 1994 yılında, sezgisel bulanık kümeler üzerinde tanımlamış olduğu operatörleri aralık değerli sezgisel bulanık kümeler üzerinde inceleyerek bu küme teorisine genelleştirmiştir. Ardında 1996 yılında Gehrike, Carol Walker ve Elbert Walker aralık değerli bulanık kümeler üzerinde otomorfizm, t-norm, t-conorm gibi operatörleri tanımlamıştır. 1999 yılında Mondal ve Samanta yayınladıkları makaleyle aralık değerli bulanık kümeler ve aralık değerli sezgisel bulanık kümelerin topolojisini tanımlayıp, bu topolojik uzaylardaki süreklilik, kompaktlık ve Alexander Alt Taban Teoremi gibi birçok özelliği incelemişlerdir. Mondal ve Samanta 2001 yılında Atanassov’ un tanımladığı aralık değerli bulanık kümelerde topolojik topoloji tanımını verip 1999 yılında yaptıkları çalışmanın bir benzerini aralık değerli sezgisel bulanık topolojik uzaylar için yapmışlardır.

Bu çalışmada Çoker ve Eş’ nin 1995 yılında yayınlamış olduğu “Sezgisel Bulanık Topolojik Uzaylarda Bulanık Kompaktlık” isimli makalede tanımlamış oldukları kompaktlık çeşitleri aralık değerli bulanık ve aralık değerli sezgisel bulanık topolojik uzaylara genelleştirilmiş ve bazı temel özellikleri incelenmiştir. Ayrıca Mondal ve Samanta’ nın aralık değerli bulanık topolojik uzaylar için ispatladıkları Alexander Alt Taban Teoremi ve sonlu çarpım topolojik uzaylar için Tychonoff Teoremi aralık değerli sezgisel bulanık topolojik uzaylara genelleştirilip ispatlanmıştır

göstermiş olduğu ilgi, sabır ve desteğinden dolayı teşekkür eder, saygılarımı sunarım. Ayrıca tez çalışmalarım sırasında yardımlarını esirgemeyen Sayın Araş. Gör. A. Arzu BURAL, Sayın Araş. Gör. Salih TATAR ve Sayın Araş. Gör. Banu PAZAR’ a ve desteklerini esirgemeyen aileme teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR ... i İÇİNDEKİLER ... iii SİMGELER DİZİNİ ... iv ÖZET ...v İNGİLİZCE ÖZET ... vi BÖLÜM 1. GİRİŞ ...1

1.1. Bulanık Kümeler ve Bası Temel Kavramlar ...1

1.2. Bulanık Topolojik Uzaylar ...4

1.3. Sezgisel Bulanık Kümeler ...6

1.4. Sezgisel Bulanık Topolojik Uzaylar...8

BÖLÜM 2. ARALIK DEĞERLİ BULANIK TOPOLOJİK UZAYLAR ...11

2.1. Aralık Değerli Bulanık Kümeler ...11

2.2. Aralık Değerli Bulanık Topolojik Uzaylar ...17

2.3. Aralık Değerli Bulanık Topolojik Uzaylarda Kompaktlıklar...30

BÖLÜM 3.ARALIK DEĞERLİ SEZGİSEL BULANIK TOPOLOJİK UZAYLAR39 2.1. Aralık Değerli Sezgisel Bulanık Kümeler ...39

2.2. Aralık Değerli Sezgisel Bulanık Topolojik Uzaylar...46

2.3. Aralık Değerli Sezgisel Bulanık Topolojik Uzaylarda Kompaktlıklar...60

KAYNAKLAR ...67

SİMGELER DİZİNİ  : Evrensel niceleyici  : Varlıksal niceleyici  : Eleman  : Alt küme X, Y, Z,.. : Klasik kümeler

A,B,C,.. : Bulanık küme çeşitleri ,..

N ,

M_{x0 x0} : Aralık değerli bulanık ve aralık değerli sezgisel bulanık noktalar 1

~

: Evrensel bulanık küme 0

~

: Bulanık boş küme

 : Boş küme

A

 : A kümesinin karakteristik fonksiyonu )

J (

2 : J kümesinin sonlu alt kümeler ailesi I : [0,1] kapalı aralığı

D[0,1] : [0,1]’ in tüm kapalı alt aralıkları ailesi X

I : Bulanık kümeler ailesi

SB(X) : X’ deki sezgisel bulanık kümeler ailesi ADB(X) : X’ deki aralık değerli bulanık kümeler ailesi

ASB(X) : X’ deki aralık değerli sezgisel bulanık kümeler ailesi



: Supremum



: İnfimum

f, g, h,… : Fonksiyonlar

supp A : Bulanık kümenin desteği c

A : Bulanık kümenin tümleyeni p x , x_ : Bulanık noktalar A ~

x_p  : x_p noktasının A bulanık kümesinin elemanı olması A

 : Üye olma derecesini gösteren fonksiyon A

 : Üye olmama derecesini gösteren fonksiyon intA : Bulanık kümenin içi

clA : Bulanık kümenin kapanışı 

, ,… : Kümeler aileleri üzerindeki fonksiyonlar )

, X

(  : Bulanık topolojik uzay

ARALIK DEĞERLİ SEZGİSEL BULANIK TOPOLOJİK UZAYLAR Abdülkadir AYGÜNOĞLU

Anahtar Kelimeler: Bulanık kümeler, Bulanık topolojik uzaylar, Sezgisel bulanık

kümeler, Sezgisel bulanık topolojik uzaylar, Lowen topoloji, Aralık değerli bulanık kümeler, Aralık değerli bulanık topolojik uzaylar, Aralık değerli sezgisel bulanık kümeler, Aralık değerli sezgisel bulanık topolojik uzaylar, Kompaktlık, Hemen hemen kompaktlık, Yakın kompaktlık.

Özet: Bu çalışmanın amacı aralık değerli bulanık kümelerin ve aralık değerli sezgisel

bulanık kümelerin tanımlarını vermek ve özelliklerini inceleyerek bulanık topolojik uzayların daha genel halleri olan, aralık değerli bulanık topolojik uzaylar ve aralık değerli sezgisel bulanık topolojik uzayları tanıtmaktır.

Birinci bölümde öncelikle bulanık kümeler ve sezgisel bulanık kümeler tanımlanarak bulanık topolojik uzay ve sezgisel bulanık topolojik uzay yapılarıyla birlikte süreklilik ve kompaktlık gibi topolojik kavramlar kısaca incelenmiştir.

İkinci bölümde, aralık değerli bulanık kümeler temel özellikleriyle tanımlanmış ve kapsamlı bir şekilde araştırılmıştır. Daha sonra bu kümeler üzerindeki topolojik uzaylar tanımlanarak klasik topolojik uzaylardaki temel özelliklerin bu topolojik uzaylarda da sağlandığı görülmüştür. Son olarak bazı kompaktlık çeşitleri tanımlanmış ve bu kompaktlıklar arasındaki ilişkiler incelenmiştir.

Üçüncü bölüm ikinci bölüme benzer olarak ele alınmıştır. Öncelikle, ikinci bölümdeki gibi aralık değerli bulanık kümeler temel özellikleriyle tanımlanmış ve kapsamlı bir şekilde araştırılmıştır. Daha sonra bu kümeler üzerindeki topolojik uzaylar tanımlanarak klasik topolojik uzaylardaki temel özelliklerin bu topolojik uzaylarda da sağlandığı görülmüştür. Son olarak bazı kompaktlık çeşitleri tanımlanmış ve bu kompaktlıklar arasındaki ilişkiler incelenmiştir.

INTERVAL VALUED INTUITIONISTIC FUZZY TOPOLOGICAL SPACES Abdülkadir AYGÜNOĞLU

Keywords: Fuzzy sets, Fuzzy topology, Intuitionistic fuzzy sets, Intuitionistic fuzzy

topology, Lowen topolgy, Interval valued fuzzy sets, Interval valued fuzzy topology, Interval valued intuitionistic fuzzy sets, Interval valued intuitionistic fuzzy topology, Compactness, Almost compactness, Nearly compactness.

Abstract: The purpose of this study is to introduce basic concepts of interval valued

fuzzy topological spaces and interval valued intuitionistic fuzzy topological spaces which are more generalizations of fuzzy topological spaces.

In the first chapter, firstly fuzzy sets and intuitionistic fuzzy sets were defined with their basic properties. Morever fuzzy topological spaces and intuitionistic fuzzy topological spaces were introduced and some of topological concepts were briefly studied like continuity and compactness.

In the second chapter, interval valued fuzzy sets were defined with their properties and investigated widely. After that the defination of interval valued fuzzy topological space were given and it was seen that fundamental topological properties hold with this defination. Finally some kind of compactness were defined and their relationship were considered.

The third chapter is similar to the second chapter. Firstly interval valued intuitionistic fuzzy sets were defined with their properties and investigated widely like previous chapter. After that the defination of interval valued intuitionistic fuzzy topological space were given and it was seen that fundamental topological properties hold with this defination. Finally some kind of compactness were defined and their relationship were considered.

BÖLÜM 1 GİRİŞ

1.1. Bulanık Kümeler ve Bazı Temel Kavramlar

Tanım 1.1.1: X boştan farklı bir küme ve I = [0,1] kapalı aralığı olsun. A:XI fonksiyonuna X’ in bir bulanık alt kümesi denir.

X’ in bütün bulanık alt kümelerinin ailesi _{I ile gösterilir. Buna göre} X fonksiyon} bir I X : A | A { : IX _{  dur.} X

x ve _{A olmak üzere A(x) değerine x noktasının A bulanık kümesine ait I}X olma derecesi denir.

X } 0 ) x ( A | X x

{    alt kümesine A bulanık kümesinin desteği denir ve supp(A) ile gösterilir.

X kümesinin herhangi bir A klasik alt kümesi karakteristik fonksiyonu } 1 , 0 { X : A          A x ; 1 A x ; 0 ) x ( A

ile X’ in bir bulanık alt kümesi olarak göz önüne alınabilir. Dolayısıyla her klasik küme bir bulanık kümedir.

} 1 , 0 { X :  _ x _(x)0

sabit fonksiyonu ile X’ in boş bulanık kümesi ifade edilir ve _ ~0 yazılır. } 1 , 0 { X : X   x _X(x)1

Tanım 1.1.2: Eğer X’ in bir A bulanık kümesi bir tek xXnoktası hariç X’ in diğer bütün noktalarında 0 değerini alıyorsa bu bulanık kümeye bir bulanık nokta denir. X’ deki bir bulanık noktanın bir xX noktasındaki değeri  (01) ise bu bulanık nokta x ile gösterilir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır._

I X : x_  olmak üzere         x y ; 0 x y ; : ) y ( x

Bu durumda x’ e x bulanık noktasının desteği, _  değerine de x bulanık _ noktasının değeri (yüksekliği) denir ve sırasıyla supp(x_)x ve h(x_) ile gösterilir.

X’ deki bütün bulanık noktaların kümesi P(X) ile gösterilir. O halde P(X):={x |_ xX,01} olur.

X I

A ve x_P(X) olsun. Eğer A(x) ise x bulanık noktası A bulanık _ kümesine aittir denir ve x_A yazılır, yani;

     A: A(x) x ’ dır. (Ying-Ming ve Mao-Kang, 1997)

Önerme 1.1.3: X’ deki her bulanık küme kendisine ait bütün bulanık noktaların birleşimine eşittir. (Zadeh, 1965)

Tanım 1.1.4: A ve B iki bulanık küme olsun. a) AB:xXiçin A(x)B(x)

b) AB:xXiçin A(x)B(x) c) Ac:X_I

x_Ac(x):_1_A(x) _{olarak tanımlanan A bulanık kümesine A bulanık} c kümesinin tümleyeni denir. (Zadeh, 1965)

Tanım 1.1.5: _{A,B olsun.I}X

a) A ile B bulanık kümelerinin birleşim işlemi B(x)} max{A(x), : ) x )( B A ( için X x    biçiminde tanımlanır.

Daha genel olarak X üzerindeki bulanık kümeler ailesi {A IX|m M} m   için birleşim işlemi ) x )( A ( } M m | ) x ( A sup{ : ) x )( A ( için X x _m M m



 m m m



M      biçiminde tanımlanır.

b) A ile B bulanık kümelerinin kesişim işlemi B(x)} min{A(x), : ) x )( B A ( için X x    biçiminde tanımlanır.

Daha genel olarak X üzerindeki bulanık kümeler ailesi {A IX|m M} m   için kesişim işlemi



M m m M m m m)(x): inf{A (x)|m M} ( A )(x) A ( için X x 



     

biçiminde tanımlanır. (Ying-Ming ve Mao-Kang, 1997)

Önerme 1.1.6: {A IX|m M}

m  X üzerindeki bulanık kümelerinin bir ailesi olsun.

a) c m M m c m M m A ) A (





   b) c m M m c m M m A ) A (





   (Ying-Ming ve Mao-Kang, 1997)

Tanım 1.1.7: X ve Y iki klasik küme ve f :XYbir fonksiyon olsun. X

I

A bulanık kümesinin f fonksiyonu altındaki görüntüsü I Y : ) A ( f           _  ) y ( f , 0 ) y ( f ), x ( A sup : ) y )( A ( f 1 1 ,(yY) olarak tanımlanır. Y I

B bulanık kümesinin f fonksiyonu altındaki ters görüntüsü I X : ) B ( f1 _{ f}1_{(B)(x):(Bf)(x)B(f(x)) (xX)} olarak tanımlanır. (Ying-Ming ve Mao-Kang, 1997)

Önerme 1.1.8: f :XY bir fonksiyon, X 2 1,A I A , A  ve Y 2 1,B I B , B  olsun. Bu taktirde

b) f(f1(B))_B_{. Eğer f fonksiyonu örten ise eşitlik sağlanır.} c) A₁ A₂ f(A₁)f(A₂) d) B B f (B ) f 1(B₂) 1 1 2 1      e) _f(Ac_)(f(A))c f) _f1_(Bc_)(f1_(B))c g) {A IX|m M}

m  X üzerindeki bulanık kümelerin bir ailesi ise ) A ( f ) A ( f _m M m m M m







  ve ) A ( f ) A ( f _m M m m M m







  sağlanır. h) {B IY |m M}

m   Y üzerindeki bulanık kümelerinin bir ailesi ise ) B ( f ) B ( f 1 _m M m m M m 1    





 ve ) B ( f ) B ( f 1 _m M m m M m 1    



_



_sağlanır.

İspat: (Ying-Ming ve Mao-Kang, 1997)

1.2. Bulanık Topolojik Uzaylar

Tanım 1.2.1: X boştan farklı klasik bir küme ve _IX _{olsun. Eğer  ailesi} aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa  ’ya X üzerinde bir (Chang) bulanık topoloji denir.

) , X

(  ikilisine de (Chang) bulanık topolojik uzay denir. C1) 0~,1~ C2) A,BAB C3)   



 M m m m A A için M m

 ailesinin elemanlarına açık bulanık kümeleri denir. )

, X

(  bir bulanık topolojik uzay ve _{A olsun. Eğer I}X _Ac_{ ise A’ ya kapalı} bulanık küme denir. X’ in tüm kapalı bulanık kümelerinin ailesi  ile gösterilir. (Chang, 1968)

Tanım 1.2.2: (X,)ve (Y,_{ iki bulanık topolojik uzay olsun.} *) ) , Y ( ) , X ( :

f _{  }* _{fonksiyonu bulanık süreklidir.  B}*_{için f}-1_(B) (Chang, 1968)

Uyarı 1.2.3: Klasik topolojik uzaylar arasında sabit fonksiyonlar sürekli olmasına rağmen bulanık topolojik uzaylar arasında sabit fonksiyonların bulanık sürekli olması gerekmez. (Lowen, 1976)

Bu önemli özelliği bulanık topolojik uzaylarda elde etmek ve sabit fonksiyonların önemine dikkat çekmek için Lowen, Chang’ in bulanık topoloji tanımının birinci özelliğini değiştirerek aşağıdaki tanımı vermiştir.

Tanım 1.2.4: X boştan farklı klasik bir küme ve _IX _{olsun. Eğer  ailesi} aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa  ’ya X üzerinde bir (Lowen) bulanık topoloji denir.

) , X

(  ikilisine de (Lowen) bulanık topolojik uzay denir. (Lowen, 1976) L1) :XI (HerxXiçin(x))sabit fonksiyonu için  L2) A,BAB L3)   



 M m m m A A için M m

Tanım 1.2.5: (X,)bir bulanık topolojik uzay ve _{f olsun.I}X a) intA: B

B A B



 

 bulanık kümesi A bulanık kümesinin içi olarak adlandırılır. b) clA: B ' B B A



 

 bulanık kümesi A bulanık kümesinin kapanışı olarak adlandırılır. (Ying-Ming ve Mao-Kang, 1997)

Önerme 1.2.6: (X,)bir bulanık topolojik uzay ve _{A olsun.I}X a) (clA)c _int(Ac)

b) (intA)c _cl((Ac)) _{(Ying-Ming ve Mao-Kang, 1997)}

Klasik topolojik uzaylarda bilinen iç ve kapanış özellikleri bulanık topolojik uzaylarda da geçerlidir.

Tanım 1.2.7: X üzerindeki bir  bulanık topolojisinin bir  alt kümesi  için bir tabandır :Aiçin {B |iJ}  :A



B (Ying-Ming ve

Mao-Tanım 1.2.8: X üzerindeki bir  bulanık topolojisinin bir   alt kümesi  için  bir alt tabandır : ’ nın elemanlarının sonlu infimumlarının ailesi  için bir tabandır.

Diğer bir deyişle { S|T sonlu} T S    





ailesi  için bir tabandır. (Ying-Ming ve Mao-Kang, 1997)

Tanım 1.2.9: (X,) bulanık topolojik uzayı (Chang) kompakttır :  A 1~ A  olan her  ailesi için A 1~

0

A  olacak şekilde bir 0  sonlu bir alt ailesi vardır. (Chang, 1968)

Örnek 1.2.10: X=I ve r(0,1) için

        ] 1 , r [ x 0 ) r , 0 ( x r x 1 : ) x ( G_r ,

olmak üzere {G_r :r(0,1)}{~0,~1} ailesi X üzerinde bir bulanık topolojidir ve )

, X

(  topolojik uzayı (Chang) kompakttır.

Tanım 1.2.11: (X,) bir bulanık topolojik uzay olsun. B_IX _{bulanık kümesi Lowen kompakttır :  A B}

A  olan her  ailesi ve her 0 için   



 0A B

A olacak şekilde en az bir 0  sonlu alt ailesi vardır. Tanım 1.2.12: (X,) bulanık topolojik uzayı Lowen kompakttır :  Her _IX sabit bulanık kümesi Lowen kompakttır.

1.3. Sezgisel Bulanık Kümeler

Bulanık kümelerin genellemesi olarak 1983 yılında Atanassov sezgisel bulanık küme kavramını tanımladı. Daha sonra, Çoker (1997) tarafından sezgisel bulanık topolojik uzay tanımlandı. Bu bölümde sezgisel bulanık topolojik uzaylara kısaca giriş yapılacaktır.

Tanım 1.3.1: X boştan farklı bir küme olsun. X üzerinde } X x : ) x ( ), x ( , x {

A  _A _A   kümesine X’ de bir sezgisel bulanık (veya SB küme) küme denir. Burada, _A:XI fonksiyonu her bir xX için x’ in A’ ya ait olma derecesini ve _A:XI fonksiyonu A’ ya ait olmama derecesini gösteren bulanık kümelerdir ve her xX için 0_A(x)_A(x)1’ dir. (Atanassov, 1986) Kolaylık olması açısından X’ deki tüm sezgisel bulanık kümeler ailesini SB(X) olarak gösterilecektir.

Uyarı 1.3.2: A bir bulanık küme olmak üzere her bir xX’ in A’ ya ait olma derecesi A(x), ait olmama derecesi 1-A(x) olarak düşünüldüğünde bu A bulanık kümesi bir sezgisel bulanık küme olarak göz önüne alınabilir. Yani A bulanık kümesi özel olarak;

} X x : ) x ( A 1 ), x ( A , x {

A      _{sezgisel bulanık kümesi şeklinde yazılabilir.}

Tanım 1.3.3: X boştan farklı bir küme ve A,B iki sezgisel bulanık küme olsun. Buna göre a) ABxX için _A(x)_B(x) ve _A(x)_B(x)’ dir. b) A=B  ABveBA c) Ac _{_x,_A(x),_A(x)_:x_X}_, d) ~0_X {x,1,0:xX}ve~1_X {x,0,1:xX}, e) AB{x,_A(x)_B(x),_A(x)_B(x):xX} , f) AB{x,_A(x)_B(x),_A(x)_B(x):xX}, g)

_

A_i {x,_Ai(x),_Ai(x):xX}, h) A { x, (x), (x) :x X} i i A A i      



. (Çoker ve Eş, 1995)

Tanım 1.3.4: X ve Y boştan farklı iki küme ve f:XY bir fonksiyon olsun.

(a) B, Y’ de sezgisel bulanık küme olmak üzere B’ nin f altındaki ters görüntüsü )

B (

(b) A X’ de sezgisel bulanık küme olmak üzere A’ nın f altındaki görüntüsü f(A) ile gösterilir ve } Y y : ) y )( ( f ), y )( ( f , y { ) A ( f   _{A } _A  

şeklinde tanımlanır. Burada ) y ))( 1 ( f 1 ( ) y )( ( f_ _A   _A ’ dir.

f(A) da Y’ de sezgisel bulanık kümedir. (Çoker, 1997)

Sonuç 1.3.5: f:XY bir fonksiyon olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır. a) A₁,A₂SB(X) için A₁ A₂ f(A₁)f(A₂)’ dir. b) B₁,B₂SB(Y) için B B f (B ) f 1(B₂) 1 1 2 1   _   ’ dir.

c) ASB(X) için f1



f(A)



_A _{dir. Eğer f 1-1 ise eşitlik sağlanır.} d) BSB(Y) için f



f1(B)



_B _{dir. Eğer f örten ise eşitlik sağlanır.} e) B_iSB(Y) için

_

_





      _       i i 1 i i 1 _{B f (B )} f dir. f) B_iSB(Y)için

_

_





      _       i i 1 i i 1 _{B f (B )} f dir. g) A_iSB(X) için

_

_





           i i i i f(A ) A f dir. h) A_iSB(X)için

_

_





           i i i i f(A ) A

f dir. Eğer f birebir ise eşitlik sağlanır. i) BSB(Y)için _f1

 

_Bc _[f1_(B)]c_{’ dir.}

j) _f1₍~_1Y)~_{1X’ dir.}

k) _f1₍~_0Y)~_{0X’ dir. (Çoker, 1997)}

1.4. Sezgisel Bulanık Topolojik Uzaylar

Tanım 1.4.1: X boştan farklı bir küme olsun. SB(X) ailesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa  ’ ya X kümesi üzerinde sezgisel bulanık topoloji (veya kısaca SB topoloji) denir.

(2) A,BAB, (3) i için A_i   



i i A . ) , X

(  ikilisine de sezgisel bulanık topolojik uzay denir.  ’ nun elemanlarına açık SB küme denir. Ayrıca

Eğer _Bc _{ise BSB(X) kümesine kapalı SB küme denir. (Çoker, 1997)}

Uyarı 1.4.2: Uyarı 1.3.2 den her bulanık küme bir sezgisel bulanık küme olarak göz önüne alınabileceğinden her bulanık topoloji bir sezgisel bulanık topoloji olarak düşünülebilir.

Tanım 1.4.3: (X,) bir SB topolojik uzay ve ASB(X) olsun.

a)

_

   G A G G : A

int SB kümesi A kümesinin içi olarak adlandırılır.

b)

_

kapalı F F A F : clA 

 SB kümesi A kümesinin kapanışı olarak adlandırılır. (Çoker, 1997)

Tanım 1.4.4: (X,)ve (Y,_{ iki SB topolojik uzay olsun.} *) ) , Y ( ) , X ( :

f _{  }* _{fonksiyonu SB süreklidir:  B}*_{için f}-1_{(B)(Çoker,} 1997)

Tanım 1.4.5: (X,) bir SB topolojik uzay olsun. (a)   ailesi

_

   w X w 1 ~

koşulunu sağlıyorsa bu  ailesine X’ in bir açık örtümü denir.

(b) X’ in her açık örtümü sonlu bir alt örtüme sahipse, (X,) SB topolojik uzayına kompakttır denir. (Çoker ve Eş, 1995)

Örnek 1.4.6: X=I ve {G_n :n2,3,4,...} SB kümeler ailesi olsun. Burada G ve G _n SB kümelerini aşağıdaki gibi tanımlayalım.

                , ise 1 x n 1 , 1 ise n 1 x 0 , nx ise 0 x , 8 . 0 ) x ( n G                 , ise 1 x n 1 , 0 ise n 1 x 0 , nx 1 ise 0 x , 1 . 0 ) x ( v_Gn        , ise 0 x , 1 ise 0 x , 8 . 0 ) x ( G       , ise 0 x , 0 ise 0 x , 1 . 0 ) x ( v_G

Bu durumda {0_X,1_X,G}{G_n :n2,3,4,...} bir SB topolojidir ve (X,) SB topolojik uzayı kompakttır.

BÖLÜM 2

ARALIK DEĞERLİ BULANIK TOPOLOJİK UZAYLAR

Bu bölümün birinci kısmında aralık değerli bulanık kümeler tanımlanacak ve bazı temel özellikleri incelenecektir. İkinci kısımda aralık değerli bulanık topolojik uzaylar tanımlanacak daha sonra sürekli fonksiyonlar ve çarpım topolojisi gibi temel kavramlar incelenecektir. Üçüncü kısımda ise kompaktlıklar tanımlanacaktır.

2.1. Aralık Değerli Bulanık Kümeler

Tanım 2.1.1: D[0,1], [0,1]’ in tüm kapalı alt aralıklarının ailesi olsun. D[0,1]’ in elemanlarını M,N, ... olarak gösterelim. MD[0,1] için M=[_ML_,MU_{] olsun.} Burada _{M aralığın alt sınırı} L _{M ise aralığın üst sınırıdır. Burada,}U

M=N  _{M =}L _NL _{ve M =}U _NU_, U U L L _{N veM N} M N M    ,

ayrıca M’ nin tümleyeni, ] M 1 , M 1 [ M 1

Mc _{   } U _ L _{olarak tanımlanır. (Mondal ve Samanta, 1999)}

Tanım 2.1.2: X boştan farklı bir küme olmak üzere her A:XD[0,1] fonksiyonuna X’ de bir aralık değerli bulanık küme (veya kısaca ADB küme) denir.

Böylece xX için A(x) alt sınırı _[A(x)]L _{üst sınırı [A(x)]}U _{olan kapalı bir} aralıktır. X’ deki tüm aralık değerli bulanık kümelerin oluşturduğu aile ADB(X) olarak gösterilir. Açıktır ki X’ deki her bulanık küme bir aralık değerli bulanık kümedir. Her xX için A(x)[a,b]([0,1]) ise bu A aralık değerli bulanık

kümeye sabit ADB küme denir ve bu küme [a,~b] ile gösterilir. a=b durumunda bu ADB kümesi a~ ile gösterilir.

Özel durumda bir ADB kümesi sadece bir x₀ için M=[a,b] değerini alıyor ve X diğer elemanlar için 0 değerini alıyorsa bu ADB kümesine aralık değerli bulanık nokta (veya ADB noktası) denir ve M_x0 veya [a,b]_x0 olarak gösterilir. Burada eğer a=b ise ADB noktası a_x0 olarak gösterilir. (Mondal ve Samanta, 1999)

Tanım 2.1.3:

(a)  dönüşümü her A aralık değerli bulanık kümesini, her xX için ) x ( A sup 1 ) x ( ), x ( A inf ) x ( _B B    

 olmak üzere B=(A) sezgisel bulanık kümesine taşıyan dönüşüm olarak tanımlanır.

(b)  dönüşümü her B sezgisel bulanık kümesini, her xX için )] x ( 1 ), x ( [ ) x (

A  _A _A olmak üzere A=(B) aralık değerli bulanık kümesine taşıyan dönüşüm olarak tanımlanır. (Atanassov ve Gargov, 1989)

Önerme 2.1.4:

(a) Her AADB(X) için ((A))=A’ dır. (b) Her BSB(X) için ((B))=B’ dir.

İspat: (a) AADB(X) olsun. O halde her xX için

) x ( A )] x ( A sup 1 1 ), x ( A [inf )] x ( 1 ), x ( [ ) x ))( A ( (   _(A)  _(A)      _{ }

(b) BSB(X) olsun. O halde her xX için

) x ( )] x ( 1 ), x ( inf[ ) x )( B ( inf ) x ( _{B B B} )) B ( (       _ ve ) x ( )] x ( 1 ), x ( sup[ 1 ) x )( B ( sup 1 _{B B B} )) B ( (         _ olur.

Bu önerme gösterir ki her sezgisel bulanık küme bir aralık değerli bulanık küme ve her aralık değerli bulanık küme ise bir sezgisel bulanık küme olarak göz önüne alınabilir. ■ (Atanassov ve Gargov, 1989)

Tanım 2.1.5: A,BADB(X) olsun.

(a) AB : xX



A(x)

 

L  B(x)



L,



A(x)

 

U  B(x)



U

(b) A=B : xX



A(x)

 

L  B(x)



L,



A(x)

 

U  B(x)



U  ABveBA (c) A ADB kümesinin tümleyeni _{A ile gösterilir ve}c

xX için _[Ac_(x)]L _{1[A(x)]}U _ve[Ac_(x)]U _{1[A(x)]}L _{olarak tanımlanır.} (d) ADB kümelerinin bir



A_i:i ailesinin birleşimi I



G

_

A_i ve kesişimi



Ai

F ADB kümeleri sırasıyla,

U i i U L i i L _{sup[A (x)] ,[G(x)] sup[A (x)]} )] x ( G [   (xX) ve U i i U L i i L _{inf[A (x)] ,[F(x)] inf[A (x)]} )] x ( F [   (xX) şeklinde tanımlanır. (e) 0 x

M ADB noktasına bir A kümesine aittir denir (sembolik olarakM ~A

0 x  yazılır) :





L 0 L _{A(x )} M  ve _MU _



_A(x0)



U _. (f) ~0 ve 1~ ADB kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanır.

] 0 , 0 [ 0 ~  , 1~ [1,1]. (Mondal ve Samanta, 1999)

Teorem 2.1.6. Her A,B,C,A_iB_iADB(X) için aşağıdakiler sağlanır. (i) ~0A1~, (ii) ABBA;ABBA, (iii) A(BC)(AB)C;A(BC)(AB)C, (iv) A,BAB;ABA,B. (v)

_

_





i i i i A B B A _        . (vi)

_

_





i i i i A B B A _        . (vii) _ABBc _Ac_. (viii)

 

~0 c ~1;

 

~1 c ~0. (ix)

 

Ac c _{ .}A (x)

_

_

i c i c i i A A _       . (xi)

_

_

i c i c i i A A _       .

(xii) AADB(X) için A

_



M_x :M_x ~A



dir. İspat: Tanımlardan kolaylıkla görülür.

Uyarı 2.1.7: Klasik bulanık kümelerde; A,B iki klasik bulanık küme ve x bulanık _ nokta olmak üzere olmak üzere x_ABx_A veya x_B sağlanır. Fakat aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi ADB kümelerinde bunun her zaman sağlanması gerekmez. Örnek 2.1.8: ~ 2 ~ 1 2 1 4 3 , 0 A ve 2 1 , 4 1 A }, x , x { X _ _ _ _olsun. O halde 1 1 x x 3 2 , 4 1

M _ _ ADB noktası için M_x1A₁A₂ dir. Fakat

2 x 1

x A ve M A

M ₁  ₁  dir.

Teorem 2.1.9: A,BADB(X) ve P bir ADB noktası olsun. Bu takdirde _x B

A

P_x   M_x ~A,N_x ~B: M_x N_x P_x sağlanır.

İspat: xX P_x ([a,b])_x , A(x)([a₁,b₁]) ve B(x)([a₂,b₂]) olsun. O halde



1 1



_x

x [a a ,b b ]

M    ve N_x 



[aa₂,bb₂]



_x olarak alınırsa M_x ~A,N_x ~B ve M_x N_x P_x olur. ■

Tanım 2.1.10: f:XY bir fonksiyon ve AADB(X) olsun. Bu durumda, (a) A kümesinin f fonksiyonu altındaki görüntüsü f(A) aşağıdaki gibi tanımlanır. Her yY için,





            ) y ( f , 0 ) y ( f , )] x ( A [ sup )] y )( A ( f [ 1 1 L ) x ( f y L _,





            ) y ( f , 0 ) y ( f , )] x ( A [ sup )] y )( A ( f [ 1 1 U ) x ( f y U _.

(b) BADB(Y)olmak üzere B kümesinin f fonksiyonu altındaki ters görüntüsü )

B (

f1 _{aşağıdaki gibi tanımlanır. Her xX için,} . ))] x ( f ( B [ )] x )( B ( f [ ve ))] x ( f ( B [ )] x )( B ( f [ 1 L _ L 1 U _ U ) B (

f1 _{X’ de bir ADB kümesidir. (Mondal ve Samanta, 1999)}

Teorem 2.1.11: f:XY bir fonksiyon olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır. (i) BADB(Y)için _f1_(Bc_)



_f1_(B)



c_,

(ii) AADB(X) için



f(A)



c _f(Ac) ,

(iii) B₁,B₂ADB(Y) için B B f (B ) f 1(B₂) 1

1 2

1      ,

(iv) A₁,A₂ ADB(X) için A₁ A₂ f(A₁)f(A₂),

(v) BADB(Y) için f



f1(B)



_B _{dir. Eğer f örten ise eşitlik sağlanır.} (vi) AADB(X) için f1



f(A)



_A _{dir. Eğer f birebir ise eşitlik sağlanır.}

(vii) B_iADB(Y) için

_

_





i i 1 i i 1 _{B f (B )} f _       dir.

(viii) B_iADB(Y)için

_

_





i i 1 i i 1 _{B f (B )} f _        dir.

(ix) f:XY ve g:YZ iki fonksiyon olsun. CADB(Z) için (g_f)1(C)_f1(g1(C)) _dir. (x) xX için f(M_x)M_f(x) dir.

İspat: (v) in ispatını vereceğiz diğerleri de benzer şekilde yapılır. Y

y alalım. İki durum söz konusudur. 1.Durum: _f1_(y)_. 2.Durum: _f1_(y)_. 1.Durumda ; L L ) x ( f y L 1 ) x ( f y L 1_{(B))(y)] sup [f (B)(x)] sup [B(f(x))] [B(y)]} f ( f [    _    _. Benzer olarak _[f(f1_(B))(y)]U _[B(y)]U_. 2.Durumda ; 0 )] y ))( B ( f ( f [ , 0 )] y ))( B ( f ( f [ 1 L _ 1 U _

olur. Bu durumda ifadenin sağlandığı açıktır.

Görüldüğü gibi iki durumda da ifade sağlanır. Ayrıca f örten olduğunda f1(y) olur. Yani yine 1. Durum geçerli olur. Eşitlik sağlanır. ■

2.2. Aralık Değerli Bulanık Topolojik Uzaylar

Tanım 2.2.1: X boştan farklı bir küme olsun. ADB(X) ailesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa  ’ ya X kümesi üzerinde aralık değerli bulanık topoloji (veya kısaca ADB topoloji) denir.

(1) ~0,~1, (2) A,BAB, (3) i için A_i     



i i A .

) , X

(  ikilisine de aralık değerli bulanık topolojik uzay (veya kısaca ADB topolojik uzay) denir.  ’ nun elemanlarına ADB açık küme denir. Eğer _Bc _ise

) X ( ADB

B kümesine ADB kapalı küme denir. Sadece 0~ ve 1~ kümelerini içeren topolojiye basit (trivial) topoloji, tüm ADB kümelerini içeren topolojiye de ayrık (diskret) topoloji denir ve sırasıyla _0 _{ve  olarak gösterilir.}1

Eğer  ve₁  X üzerinde iki ADB topoloji ve ₂ ₁  ise₂  ’ ye ₂  den daha güçlü ₁ veya daha ince denir. (Mondal ve Samanta, 1999)

Uyarı 2.2.2: Önerme 2.1.4’ den her sezgisel bulanık küme bir aralık değerli bulanık küme olarak düşünülebileceğinden her sezgisel bulanık topolojik uzay bir aralık değerli bulanık topolojik uzay olarak göz önüne alınabilir.

Teorem 2.2.3:



 i_i : 



X üzerindeki ADB topolojilerinin bir ailesi olsun. Bu durumda

_





ii:i ailesi de X üzerinde bir ADB topolojidir. İspat: Tanımlardan kolaylıkla görülür.

Teorem 2.2.4:



 i_i: 



X üzerinde ADB topolojilerinin bir ailesi olsun. O halde



 i_i : 



ailesi kesişim işlemine göre en küçük elemanı _0_{, en büyük elemanı }1 olan bir tam latistir.

İspat: Tanımlardan kolaylıkla görülür.

Teorem 2.2.5: (X,) bir ADB topolojik uzay ve F de bu uzaydaki tüm kapalı ADB kümelerin oluşturduğu aile olsun. O halde

(1) ~0,~1F (2) F₁,F₂F,F1F2 F (3) i için F_i F    



i i F F.

Tanım 2.2.6: (X,) bir ADB topolojik uzay ve B  olsun. Eğer  ’ nun her elemanı

B ‘ nin bazı elemanlarının birleşimi şeklinde yazılabiliyorsa B ‘ ye  ’ nun bir tabanı

denir. (Mondal ve Samanta, 1999)

Tanım 2.2.7: (X,) bir ADB topolojik uzay ve  olsun. Eğer ’ nin elemanlarının tüm sonlu arakesitleri  için taban oluyorsa  ye  ’ nun bir alt tabanı denir. (Mondal ve Samanta, 1999)

Teorem 2.2.8: B, X’ de ADB kümelerinin bir ailesi ve ~0,~1B olsun. Eğer her

 2 1,B

B B ve Mx ~B1B2 için W B : Mx ~WB1B2 sağlanıyorsa B ailesi, X üzerindeki bir topolojinin tabanıdır.

İspat:  , elemanları B ‘ nin elemanlarının keyfi birleşimlerinden oluşan aile olsun. (1) ~0,~1,

(2)  keyfi birleşime göre kapalıdır. (3) U,V alalım.





J j j I i i,V V U U      .







J jI i j i J j j I i i V U V U V U                       (Teorem 2.1.6 (v)’ den)

Şimdi M_x ~U_i V_j için hipotezden W B : Mx ~WUi Vj olur.



x x i j



x i j

j

i V M :M ~U V W U V

U  

_

  

_

  olur. Buradan UV’ nin B ‘ nin elemanlarının birleşimi şeklinde yazılabildiği görülür.

Uyarı 2.2.9: Bu teoremin tersi genel olarak doğru değildir. Aşağıdaki örnekle bu gösterilmektedir.

Örnek 2.2.10: X boştan farklı bir küme olsun.

, 5 4 , 4 1 B , 2 1 , 0 A A , 4 3 , 4 1 A A , 4 3 , 0 A , 2 1 , 4 1 A ~ 1 ~ 2 1 ~ 2 1 ~ 2 ~ 1                            ~ 2 4 3 , 2 1 B _ _, ~ 2 1 5 4 , 2 1 B B  _ _, ~ 1 1 5 4 , 4 1 B A  _ _ ve _{1 2} ~ 2 1 A A 4 3 , 2 1 B B  _ _  olmak üzere,

{~0,~1,A₁,A₂,B₁,B₂,A₁A₂,A₁A₂,B₁B₂,A₁B₁} ailesi X üzerinde bir ADB topolojidir. Ayrıca B{~0,1~,A₁,A₂,B₁,B₂,A₁A₂} ailesi  için bir tabandır. Buradan x ~ 3 2 , 4 1    

ADB noktası B₁B₂ ye ait olmasına rağmen

2 1 x ~ B B W ~ 3 2 , 4 1 _{  }   

 _{olacak şekilde bir W}

B mevcut değildir.

Tanım 2.2.11: (X,) bir ADB topolojik uzay, BADB(X) ve M X’ de bir ADB _x noktası olsun.

B kümesine M noktasının komşuluğu denir :_x  O öyle ki M_x ~OB sağlanır. (Mondal ve Samanta, 1999)

Teorem 2.2.12: Bir (X,) ADB topolojik uzay olsun. 

 

A A kümesi A’ ya ait tüm ADB noktalarının komşuluğudur. İspat: Tanımdan görülür.

Tanım 2.2.13: 0ab1 ve (a,b)(0,0) olsun. (,) ikilisi, (i)0,0,

(ii) a 00, (iii)0ab

koşullarını sağlıyorsa bu ikiliye (a,b) için uygun ikili denir. (Mondal ve Samanta, 1999)

Teorem 2.2.14: (X,) bir ADB topolojik uzay olsun. Her M ADB noktası için _x )

M (

N _x bu noktanın tüm komşuluklarının bir ailesi olsun. O halde aşağıdaki özellikler sağlanır.

(N1) ~1N(M_x) ve AN(M_x) için M_x  .~A (N2) A,BN(M_x)ABN(M_x). (N3) AB ve AN(M_x)BN(M_x). (N4) (a,b) ile uygun olan her (,) ikilisi için

) ] b , a ([ N A ) ] b , a ([ N A   _x   _x . (N5) AN(M_x),BN(P_x)ABN(M_x P_x). (N6) AN(M_x)SN(M_x) öyle ki SA ve P_y ~S için SN(P_y). İspat: (N1)-(N3) tanımlardan açıktır.

(N4) (a,b) ile uygun olan her (,) ikilisi için AN([a,b]_x) olsun. Bu durumda ) , (   için O_(,):[a,b]_x ~O_(,) A sağlanır. Buradan

A O O ] b , a [ ] b , a [ , ) , ( x , x             





olur. Buradan A O ~ ] b , a

[ _x   olur. Yani AN([a,b]_x) olur. (N5) AN(M_x) ve BN(P_x) olsun. A O ~ M : O , O_{1 2} _x  ₁    ve P_x ~O₂ B B A O O ~ P M_x  _x  ₁ ₂  

 , (M_x yine bir ADB noktasıdır.)P_x ) P M ( N B A  _x  _x  olur. (N6) AN(M_x)S:M_x ~SA sağlanır.  

S olduğundan S tüm noktalarının komşuluğudur. Yani P_y ~S için SN(P_y) dir.

Buradan AN(P_x)  SN(M_x) vardır öyle ki SA ve P_y ~S için )

P ( N

S _y olur. ■

Teorem 2.2.15: X boştan farklı bir küme ve X’ deki her M noktası için (N1)-(N6) _x koşullarını sağlayan bir N(M_x) ailesi mevcut olsun. Bu durumda



AADB(X):P_x ~A içinAN(P_x)



 

ailesi X üzerinde bir ADB topolojidir ve N(M_x) de M noktasının komşuluk _x sistemidir.

İspat: (1) 0~ dolaylı olarak sağlanır. Ayrıca (N1)’ den dolayı 1~ sağlanır. (2) A,B ve M_xAB alalım.

) M ( N B , A  _x  , ( ’ nun yapısından)  (N2)’ den ABN(M_) olur. O halde A B olur. (3) iJ için A_i ve

_

J i i A A   ve xX için



A(x)



L a,



A(x)



U b olsun. 1. Durum: 0ab ve M_x [a,b]_x olsun. O halde M_x  . ~A 0ab olacak şekilde 0,0 sayılarını seçelim.

x x( , ) [a ,b ]

M      ADB noktası için i₀,j₀J öyle ki    a )] x ( A [ L i0 , [A (x)]  b U j0 olur. Buradan 0 0 j i x( , )~A A M     dır. 0 0 0 0,j i j i : A A A   diyelim.

Şimdi P_y [c,d]_y ~A_i0,j0 keyfi noktasını alalım. O halde, } )] y ( [A , )] y ( max{[A c L j L i0 0  ve } )] y ( [A , )] y ( max{[A d U j U i0 0  dir. Genelliği bozmaksızın L i (y)] A [ c 0  , U j (y)] A [ d 0  olarak alalım. O halde 0 0 y i U i (y)] }] ~A A [ , d min{ , c [  ve 0 j y ~A ] d , 0 [  olur. Buradan, . dir ) ] d , 0 ([ N A ve ) }] )] y ( A [ , d min{ , c ([ N A U _{y j y} i i0  0 0 

. olur ) P ( N ) ] d , c ([ N ) ] d , 0 [ }] )] y ( A [ , d min{ , c ([ N A A y y y y U i j i0 0 0     

Böylece M_x(,)[a,b]_x noktası için A_i0,j0 öyle ki P_y ~A_i0,j0 için )

P ( N

A_i0,j0  _y ve M_x(,)~A_i0,j0 A olur.

Buradan da (,) ikilisi için AN(M_x(,)) olduğundan (N4) özelliğinden )

M ( N

A _x olur. Buradan da A bulunur.

2. Durum: a0b ve M_x()[0,b]_x noktasını alalım. Böylece j₀ J için

0

j x( )~A

M   olur. Buradan AN(M_x()) olur (çünkü A

A_j0  dır) . Aynı şekilde 0 uygun sayısı için bu doğru olduğundan (N4) özelliğinden AN(M_x) olur. Buradan da A bulunur.

Böylece 1. ve 2. durumlarda A olur. Sonuç olarak,  X üzerinde bir ADB topolojidir ve (X,) ADB topolojik uzayındaki her M noktasının komşuluk sistemi _x

) M (

N _x dir. ■

Tanım 2.2.16: (X,) bir ADB topolojik uzay ve AADB(X) olsun. Eğer AN(P_x) ise P ADB noktasına A’ nın bir iç noktası denir._x

A kümesinin tüm iç noktalarının birleşimine A kümesinin içi denir ve intA ile gösterilir. Yani,

_

) P ( N A x x P : A int 

 dir. (Mondal ve Samanta, 1999)

Teorem 2.2.17: (X,) bir ADB topolojik uzay ve AADB(X) olsun. (i) intA ADB kümesi A kümesinin kapsadığı en geniş açık kümedir. (ii) A açıktır  A=intA.

İspat: P A kümesinin bir iç noktası olsun. Burada_x AN(P_x) dir. O halde A

O ~

P_x   olacak şekilde bir O vardır. Buradan





P O A ) P ( N A x x   

bulunur. Buradan da intA

_

OA olur.



O açık olduğundan

_

O ’ nun tüm noktaları A’ nın bir iç noktasıdır ve dolayısı ile intA kümesine aittir. Bu yüzden

_

OintA. O halde intA=

_

O olur. Buradan intA açıktır ve A kümesinin kapsadığı en geniş açık kümedir.

Buradan da,

A açıktır intA=A olur. ■

Tanım 2.2.18: (X,) bir ADB topolojik uzay ve AADB(X) olsun.







BADB(X):B kapalı veAB ADB kümesine A kümesinin kapanışı denir ve clA ile gösterilir. (Mondal ve Samanta, 1999)

Teorem 2.2.19: (X,) bir ADB topolojik uzay ve A,BADB(X) olsun. Bu takdirde aşağıdakiler sağlanır.

(i) cl(). (ii) cl(X)=X. (iii) AclA. (iv) clA kapalıdır.

(v) A kapalıdır  clA=A. (vi) cl(AB)clAclB. (vii) cl(clA)=A.

Teorem 2.2.20: AADB(X) için clA[int(_{A )]}c c _dir. İspat: Tanımlardan görülür.

Tanım 2.2.21: (X,) bir topolojik uzay ve AADB(X) olsun. (a) int(cl(A))=A ise A’ ya X’ in ADB düzenli açık alt kümesi denir. (b) cl(int(A))=A ise A’ ya X’ in ADB düzenli kapalı alt kümesi denir.

Tanım 2.2.22: (X, , ₁) (Y, ADB topolojik uzaylar ve₂) f:(X,₁)(Y,₂) bir fonksiyon olsun. Eğer B₂ için _f1_{(B)1 ise f fonksiyonuna süreklidir denir.} Eğer f :(X,₁)(Y,₂) ve g:(X,₂)(Y,₃) fonksiyonları sürekli ise her

3

C için  (g_f)1(C)_f1(g1(C)) _{olduğundan g f’ de süreklidir. (Mondal ve} Samanta, 1999)

Teorem 2.2.23: (X, ve ₁) (Y, iki ADB topolojik uzay ve ₂) f:XY bir fonksiyon olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir.

(a) f süreklidir.

(b) (Y, ’ deki kapalı kümelerin f altındaki ters görüntüsü₂) (X, ’de kapalıdır.₁) (c) X’ deki her M ADB noktası ve her_x VN(f(M_x)) için f1(V)_N(M_x) _dir. (d) X’ deki her M ADB noktası ve her_x VN(f(M_x)) için WN(M_x) öyle ki

V ) W (

f  sağlanır.

(e) AADB(X) için f(cl(A))cl(f(A)). İspat: Tanımlardan kolaylıkla görülür.

Önerme 2.2.24: (X, ve ₁) (Y, iki ADB topolojik uzay olsun. Bu durumda ₂) aşağıdaki ifadeler denktir.

(b) BADB(Y) için f1(intB)_int(f1(B)) (c) BADB(Y) için cl(f1(B))_f1(cl(B)) İspat: Tanımlardan kolaylıkla görülür.

Teorem 2.2.25: , X’ deki ADB kümelerinin bir ailesi ve ~0,1~ olsun. Bu durumda  ailesi, ,ik için S_i,k  olmak üzere

                    kümesi indeks sonlu J , kümesi indeks keyfi : S i k J k , i

 

topolojisinin alt tabanıdır. İspat: Tanımlardan görülür.

Tanım 2.2.26: X boştan farklı bir küme ve



(Y_i,_i)



_i ADB topolojik uzayların bir ailesi olmak üzere,



f_i :X(Y_i,_i)



_i fonksiyonlar ailesini ele alalım. O halde



 





 _f _{(O):O ,i} i 1

i alt tabanıyla üretilen  topolojisine

 

fi ifonksiyonları ile üretilen ADB başlangıç topolojisi denir. (Mondal ve Samanta, 1999)

Teorem 2.2.27: X üzerindeki,



f_i :X(Y_i,_i)



_i ailesiyle üretilen başlangıç topolojisi her bir f_i :(X,)(Y_i,_i) fonksiyonunu sürekli yapan en kaba topolojidir.

İspat: Tanımlardan görülür.

Tanım 2.2.28.



(X_i,_i)



_i ADB topolojik uzayların bir ailesi olsun. O halde      _

_

  i i X

X üzerindeki



p_i :X(X_i,_i)



_i izdüşüm fonksiyonlarıyla üretilen ADB başlangıç topolojisine X üzerindeki ADB çarpım topolojisi denir ve bu topoloji



   i i ile de gösterilebilir.

Tanımdan açıkça görülür ki izdüşüm fonksiyonları ADB çarpım topolojisinin tanımından dolayı sürekli fonksiyonlardır.

Teorem 2.2.29:



(X_i,_i)



_i ADB topoloji ailesi ve  da _     _

_

  i i X X üzerindeki çarpım topolojisi olsun. (Y,_{ bir ADB topolojisi ve} ') _{f:XY fonksiyonu} veriliyor. Bu durumda, ) , X ( ) , Y ( : f _' _{  süreklidir p f :(Y, ) (X , )} i i ' i    süreklidir. İspat: i için p f:(Y, ') (X_i, _i)

i    sürekli olsun. f’ nin sürekli olduğunu göstermek için  ’ nun alt tabanındaki her O elemanı için _f1_(O)' _olduğunu göstermek yeterlidir. 0 i G olmak üzere O p 1(G) i0   olsun.



 





      _{(O) f p (G) p f (G)} f 1 _i 1 i 1 1 0 0  (çünkü pi0f süreklidir)

Buradan f sürekli olur. Ters taraf ise açıktır. ■

Uyarı 2.2.30: Dikkat edilmelidir ki izdüşüm fonksiyonlarının açık olması gerekmez. Şimdiki örnekle bu gösterilmektedir.

Örnek 2.2.31: X ={₁ x₁,x₂}=X ve bu küme üzerindeki A ve B ADB kümeleri ₂ aşağıdaki gibi tanımlansın.

, 6 . 0 ) x ( A , 4 . 0 ) x ( A ], 1 , 0 [ D X : A ₁  ₁  ₂  . 3 . 0 ) x ( B , 8 . 0 ) x ( B ], 1 , 0 [ D X : B ₂  ₁  ₂ 

Buna göre X üzerinde₁ ₁ {~0_X1,1~_X1,A} ve X üzerinde ₂ ₂ {~0_X2,~1_X2,B} ADB topolojilerini alalım.

) B ( p u ), A ( p u 1 2 2 1 1

1     olmak üzere X1xX2 çarpım kümesindeki } u u , u u , u , u , 1 ~ , 0 ~ { _{X1xX2 X1xX2 1 2 1} _{2 1} ₂ 

 ADB çarpım topolojisi için p₂(u₁)₂ ve p₁(u₂) dir. Yani₁ p₁ vep₂ izdüşüm fonksiyonları açık değildir.

Tanım 2.2.32: (X,) bir ADB topolojik uzay olsun. Eğer X’ deki tüm sabit ADB kümeleri  ’ ya ait ise  ’ ya Lowen-tip ADB topoloji denir. (Mondal ve Samanta, 1999)

Teorem 2.2.33:



(X_i,_i)



_i Lowen-tip ADB topolojik uzaylar ailesi ve  da       



  i i X

X üzerindeki ADB çarpım topolojisi olsun. O halde i için ) , X ( ) , X ( :

p_i   _i _i izdüşüm fonksiyonları açıktırlar.

İspat:

_

n 1 i i 1_{(u )} p v _i     olsun. n ,.., 2 , 1 i  ,(_i) vex_ X_ için









_                                     L i X n i 1 L i n i 1 ) x ( p x L i 1 n i 1 ) x ( p x L ) x ( p x L )] ( u [ sup min ))] x ( p ( u [ min sup )] x ))( u ( p [( min sup )] x ( v [ sup ) x ( )] v ( p [ i i 1 i 1 1 a (diyelim).

(Bu a değeri, [0,1) aralığındadır ve x_ X_ ye bağlıdır.) (Çünkü _i X_i,(i=1,2,…,n), için x p 1(x )      bulunabilir öyle ki p_i(x)_i olur. (Gerçekten x,  indis kümesi üzerinde x(_i)_i ve diğer her indis için

i X ) i ( x  olarak seçilebilir.))

Bezer olarak, [p (v)]U(x ) min sup[u ( )]U _b       (diyelim). Bu değerde x  X

Açıkça görüldüğü gibi ab dir. Ayrıca i₀{1,2,...,n} olmak üzere

0 k i   için





L i L i X n ) i ( i 1 L i n i 1 ) x ( p x L )] x ( u [ )) ( u ( sup min ))] x ( p ( u [ min sup ) x ( )] v ( p [ 0 i 0 i 1                                   _a'  L i (x )] u [ _{0 } . Burada L i X n ) i ( i 1 ' _{min sup(u ( ))} a i 0              dir. Benzer olarak, U i X n ) i ( i 1 ' _{min sup(u ( ))} b i 0              olmak üzere ) x ( )] v ( p [ U   b' [ui0(x)]U dir. O halde 0 i ' '_{,b] u} a [ ) v (

p_   sabit ADB kümesi ile

0

i

u açık ADB kümesinin kesişimi olur ki bu ise Lowen-tip topolojide açık bir kümedir. Dolayısıyla p_ izdüşüm fonksiyonları açıktır. ■

2.3. Aralık Değerli Bulanık Topolojik Uzaylarda Kompaktlıklar

Bu bölümde, Çoker ve Eş (1995)’ de tanımlanan kompaktlık çeşitleri aralık değerli bulanık topolojik uzaylara genelleştirilerek incelenecektir

Tanım 2.3.1: (X,) bir ADB topolojik uzay olsun. (a) ADB(X) ailesi

_

   w X w 1 ~

koşulunu sağlıyorsa bu  ailesine X’ in bir örtümü denir. ’ nın elemanları açık kümeler ise ’ ya bir açık örtüm denir. ’ nın bir _{ alt ailesi için} 



    w X w 1 ~

(b)  ADB(X) ailesinin her sonlu {K_i :i1,2,..,n} alt ailesi n _X 1 i i 0 ~ K  



özelliğini sağlıyorsa bu aile sonlu arakesit özelliğine sahiptir denir.

(c) X’ in her açık örtümü sonlu bir alt örtüme sahipse, (X,) ADB topolojik uzayına kompakttır denir. (d) X’ in her açık {G_i :iJ} örtümünün _X sonlu Fi F i 1 ~ ) G ( cl  



olacak şekilde sonlu bir }

F i : G

{ _i  alt örtümü varsa (X,) ADB topolojik uzayına hemen hemen kompakttır denir.

(e) X’ in her açık {G_i :i örtümünün J} _X sonlu Fi F i 1 ~ )) G ( cl int(  



olacak şekilde sonlu bir {G_i :i alt örtümü varsa F} (X,) ADB topolojik uzayına yakın kompakttır denir.

Açıkça görülebilir ki kompaktlıklar arasında,

kompakt yakın kompakt hemen hemen kompakt ilişkisi vardır.

Örnek 2.3.2: X boştan farklı keyfi bir küme ve her nIN için              1 n n , n 1 n :

G_n (her xX) olmak üzere {G_n :n1,2,...}{~1_X,~0_X} ailesi X üzerinde bir ADB topolojidir.

X 1 n n 1 ~ G   



olduğundan {G_n :n1,2,...} ailesi X’ in bir açık örtümüdür. Fakat bu örtümün sonlu bir alt örtümü yoktur. Yani (X, ) ADB topolojik uzayı kompakt değildir.

Diğer taraftan her nIN için cl(G_n)~1_X ve int(cl(G_n))1~_Xolduğundan (X, ) ADB topolojisi yakın kompakttır.

Örnek 2.3.3: X boştan farklı keyfi bir küme ve              ,1 2 1 :

G ADB küme ailesi olsun. Burada          _{ }   , 2 1 G dir. Bu durumda ,1 {1~ ,~0 } 2 1 : G  _{X X}               _ ailesi X

üzerinde bir ADB topolojidir. Bu topolojide ki her örtüm 1~_X kümesini içereceğinden bu (X, ) ADB topolojik uzayı kompakttır.

Teorem 2.3.4: (X,) ADB topolojik uzayı hemen hemen kompakttır X’ de sonlu arakesit özelliğine sahip açık kümelerin {G_i :iI} ailesi için _X

I i i 0 ~ ) G ( cl  



dır.

İspat: “ :”(X,)hemen hemen kompakt ve X’ de sonlu arakesit özelliğine sahip } I i : G { _i    ailesi için _X I i i 0 ~ ) G ( cl  



olduğunu kabul edelim. O halde,





I i c i c I i i X cl(G ) int(G ) 1 ~           olur. ) , X

(  hemen hemen kompakt olduğundan

_

n 1 i c i X cl(int(G )) 1 ~   olacak şekilde } n ,..., 1 i : G

{ _i  sonlu alt ailesi vardır. Burada da,

X n 1 i i n 1 i c i n 1 i c i X 0 ~ )) G ( cl int( ))) G ( cl (int( ) )) G ( cl (( cl 1 ~ _{   }   







olur. Fakat )) G ( cl int( ) G int( G_i  _i  _i olduğundan n _X 1 i i 0 ~ G  



elde edilir.

Bu ise {G_i :iI} ailesinin sonlu arakesit özelliğine sahip olmasıyla çelişir. “ : ”{G_i:iI} X’ in ADB açık örtüsü olsun. ’ nın kapanışlarının X’ i örten sonlu alt örtümünün bulunmadığını kabul edelim. (cl(G )) int(Gc)

i c i  olduğundan I i c i)) } G ( cl {(

K _ sonlu arakesit özelliğine sahip ADB açık kümeler ailesidir. Böylece hipotezden X I i i X I i c c i X I i c i 1 ~ )) G ( cl int( 1 ~ )) )) G ( cl (( cl ( 0 ~ ) )) G ( cl (( cl        







elde edilir. iI için G_i int(cl(G_i)) olduğundan _X I i i 1 ~ G  



ile çelişki elde edilir. Buradan (X,) hemen hemen kompakt olur. ■

Teorem 2.3.5: (X,) bir ADB topolojik uzay olsun. Bu durumda aşağıdaki ifadeler denktir.

(a) (X,) hemen hemen kompakttır.

(b) ADB düzenli kapalı kümelerin _X I i i 0 ~ G  



özelliğini sağlayan her {G_i :iI} ailesi için n _X 1 i i 0 ~ ) G int(  



olacak şekilde sonlu bir {G_i :i1,...,n} alt ailesi vardır. (c) Sonlu arakesit özelliğine sahip ADB düzeli açık kümelerin her {G_i :iI} ailesi için _X I i i 0 ~ ) G ( cl  



dir.

(d) X’ in her ADB düzenli açık örtümünden, kapanışları X’ i örten sonlu alt aile elde edilir.

İspat: (a) (b) {G_i :iI} ailesi _X I i i 0 ~ G  



özelliğini sağlayan ADB düzenli kapalı kümelerden oluşan bir aile olsun. O zaman

_

I i c i X G 1 ~   olur. )) G ( cl int( G c i c i  olduğundan



I i c i X int(cl(G )) 1 ~ 

 olur. (X,) ADB hemen hemen kompakt olduğundan 1~ n cl(int(cl(G )))

1 i c i X





 olacak şekilde sonlu bir } n ,..., 1 i : G

{ _i  alt ailesi vardır. Böylece







n 1 i i n 1 i i c n 1 i c i

X cl(int(cl(G ))) int(cl(int(G )))) int(G ) 0 ~             elde edilir.

(b) (c) {G_i:iI} sonlu arakesit özelliğine sahip ADB düzenli açık kümelerin ailesi için _X I i i 0 ~ ) G ( cl  



olduğunu kabul edelim. {cl(G_i):i ADB düzenli kapalı I} kümelerin bir ailesi olduğundan hipotezden sonlu bir {cl(G_i):i1,...,n} alt ailesi vardır öyle ki