KOCAELĠ ÜNĠVERSĠTESĠ
FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
FĠZĠK ANABĠLĠM DALI
DOKTORA TEZĠ
MEZONLARIN KUPLAJ SABĠTLERĠNĠN PERTÜRBATĠF
OLMAYAN YÖNTEMLERLE ĠNCELENMESĠ
ENĠS YAZICI
ÖNSÖZ VE TEġEKKÜR
GeliĢen hızlandırıcı teknolojisiyle birlikte daha yüksek enerjilere ulaĢan deneyler, kuramsal parçacık fiziği çalıĢmalarının da önemini artırdı. Artık laboratuar ortamında kolaylıkla gözlemlenmeye baĢlanılan ağır hadronların fiziksel özellikleri son yıllarda artan bir yoğunlukta kuramsal olarak çalıĢılmaktadır. Bunun yanı sıra, yüksek sıcaklıklarda hadronik maddenin davranıĢına yönelik deneysel bilgiler de yüksek enerji deneylerinde ulaĢılabilir olmuĢtur. Dolayısıyla sonlu sıcaklıklarda hadron fiziği üzerine yapılan kuramsal çalıĢmalar dikkat çekici bir konuma gelmiĢtir. Bu tez çalıĢmasında, hafif-hafif, ağır-hafif ve ağır-ağır pseudoskaler ve vektör mezonların kuplaj sabitlerinin vakumdaki değerleri ve sıcaklığa bağlı değiĢimleri Kuantum Renk Dinamiği Toplam Kuralları yöntemi kullanılarak incelenmiĢtir. Sonlu sıcaklıklarda mezon parametreleri literatürde birçok parçacık için incelenmiĢse de kuplaj sabiti üzerine çok az çalıĢma bulunmaktadır. Bu nedenle tez kapsamında yapılan çalıĢmalar, deney sonuçlarının yorumlanması ve mezonların davranıĢları hakkında bilgi elde edilmesi açısından oldukça önemlidir.
Doktora yaptığım dönem boyunca her türlü desteğini gördüğüm, her söyleĢimizde ufkumun biraz daha açılmasına neden olan ve kendisiyle çalıĢmayı paha biçilmez bir Ģans olarak gördüğüm kıymetli hocam Sayın Prof. Dr. ElĢen VELĠ‟ye, her zorlukta desteğini hep yanımda hissettiğim değerli hocam Sayın Doç. Dr. Hayriye SUNDU PAMUK'a, değerli tavsiyeleri ile çalıĢmalarımızın baĢarı ile Ģekillenmesine katkıda bulunan Sayın Doç. Dr. Kazem Azizi‟ye, çocukluk yıllarımdan beri yönlendirmesi ve önerileriyle akademisyenliği bana sevdiren kıymetli ağabeyim Dr. Engin YAZICI‟ya ve yaptıkları fedakârlıklarla hep yanımda olan değerli aileme sonsuz hürmet, sevgi ve teĢekkürlerimi sunarım.
ĠÇĠNDEKĠLER ÖNSÖZ VE TEġEKKÜR ... i ĠÇĠNDEKĠLER ... iii ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ... iv TABLOLAR DĠZĠNĠ ... v SĠMGELER DĠZĠNĠ VE KISALTMALAR ... vi ÖZET... viii ABSTRACT ... ix GĠRĠġ ... 1
1. KUANTUM RENK DĠNAMĠĞĠ ... 10
1.1. Kuantum Renk Dinamiği Kuplaj Sabiti ... 10
1.2. Kiral Limit ... 12
1.3. Pertürbatif Olmayan Yöntemler ... 14
1.4. Asimptotik Özgürlük ... 16
1.5. KRD‟de Ortam Etkileri ... 18
1.6. Mezonlar ... 21
2. KRD TOPLAM KURALLARI ... 22
2.1. SVZ Yönteminin Temeli ... 22
2.2. Toplam Kurallarının Elde Edilmesi ... 23
2.3. Ġki Noktalı ĠliĢkilendirme Fonksiyonu ... 24
2.3.1. Spektral yoğunluk ... 25
2.3.1. Toplam kuralı ... 27
2.4. Üç Noktalı ĠliĢkilendirme Fonksiyonu ... 28
2.4.1. Kuplaj sabitinde pertürbatif katkı hesabı ... 32
2.4.2. Kuplaj sabitinde pertürbatif olmayan katkı hesabı... 33
3. SONLU SICAKLIKLARDA KUANTUM RENK DĠNAMĠĞĠ... 39
3.1. Termal Alan Kuramı ... 39
3.1.1. Hesaplama için uygulanan yaklaĢımlar ... 40
3.2. Skaler gazlar ... 42
3.3. Sonlu Sıcaklıklarda OÇA ve KRD Toplam Kuralları ... 48
4. VAKUMDA KUPLAJ SABĠTĠ HESAPLARI ... 51
4.1. D*s[B*s], Ds[Bs] ve () Mezonlarının Kuplaj Sabiti Hesabı ... 52
4.2. Nümerik Sonuçlar ... 57
5. SONLU SICAKLIKTA KUPLAJ SABĠTĠ HESAPLARI ... 65
5.1. BcBcJ/Mezonlarının Sonlu Sıcaklıkta Kuplaj Sabiti Hesabı ... 66
5.2. Nümerik Sonuçlar ... 71
6. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ... 76
KAYNAKLAR ... 79
EKLER ... 85
KĠġĠSEL YAYINLAR VE ESERLER ... 97
ġEKĠLLER DĠZĠNĠ
ġekil 1.1. Bir kuarkın rengi i‟den j‟ye değiĢirken yaydığı a=ij yüklü gluon ... 11
ġekil 1.2. Pertürbatif olmayan etkilerden sorumlu gluon etkileĢimleri ... 14
ġekil 1.3. Gluon alıĢveriĢi yaparak güçlü etkileĢime giren iki kuark... 14
ġekil 1.4. Güçlü etkileĢimin Ģiddetini etkileyen vakum polarizasyonları ... 16
ġekil 1.5. Vakumda elektrik yükünün parçacık çiftleriyle perdelenmesi ... 16
ġekil 1.6. KRD vakumda renk yükü Ģiddetinin uzaklığa bağlılığı ... 17
ġekil 1.7. Renk yükleri arasındaki mesafe büyük olunca gluon alanı ... 18
ġekil 1.8. Kuantum Renk Dinamiğinin Ģematik faz diyagramı ... 19
ġekil 2.1. Pertürbatif katkıyı veren Feynman diyagramı ... 32
ġekil 2.2. Kuark yoğunlaĢması içeren Feynman diyagramı ... 34
ġekil 2.3. Kuark-gluon yoğunlaĢması içeren Feynman diyagramı ... 35
ġekil 2.4. Gluon yoğunlaĢması katkısını ifade eden Feynman diyagramı ... 37
ġekil 3.1. Serbest enerji için karmaĢık düzleminde kutup ve kontürler ... 44
ġekil 4.1. Pertürbatif ve b) pertürbatif olmayan hesaplarda göz önüne alınan Feynman diyagramlar... 54
ġekil 4.2. B* sBs form faktörünün Bs off-shell iken M2 bağlılığı ... 59
ġekil 4.3. B* sBs form faktörünün Bs off-shell iken M’2 bağlılığı ... 59
ġekil 4.4. D* sDs form faktörünün Ds off-shell iken M2 bağlılığı ... 60
ġekil 4.5. D*sDs form faktörünün Ds off-shell iken M’2 bağlılığı ... 60
ġekil 4.6. D*sDs form faktörünün Q2‟nin fonksiyonu olarak grafiği ... 62
ġekil 4.7. D*sDs form faktörünün Q2‟nin fonksiyonu olarak grafiği ... 62
ġekil 4.8. B*sBs form faktörünün Q2‟nin fonksiyonu olarak grafiği ... 63
ġekil 4.9. B*sBs form faktörünün Q2‟nin fonksiyonu olarak grafiği ... 63
ġekil 5.1. BcBcJ/ için pertürbatif katkıyı veren Feynman diyagramı ... 66
ġekil 5.2. Gluon yoğunlaĢma katkılarını gösteren Feynman diyagramları ... 69
ġekil 5.3. T=0 sıcaklıkta BcBcJ/ form faktörünün M2 bağımlılığı ... 72
ġekil 5.4. T=0 sıcaklıkta BcBcJ/ form faktörünün M2 bağımlılığı ... 73
ġekil 5.5. T=0 sıcaklıkta BcBcJ/ faktörünün Q2‟ye göre davranıĢı ... 74
TABLOLAR DĠZĠNĠ
Tablo 1.1. Mezonların temel kuantum sayıları ... 21
Tablo 1.2. Mezonların açısal momentum – parite sınıflandırılması ... 21
Tablo 2.1. Vakum yoğunlaĢma katkıları ... 25
Tablo 4.1. Nümerik hesapta kullanılan parametreler ... 58
Tablo 4.2. Fit fonksiyonunda kullanılan parametrelerin sayısal değerleri ... 61
Tablo 4.3. Toplam kurallarının nümerik analiziyle bulunan kuplaj sabitleri ... 64
SĠMGELER DĠZĠNĠ VE KISALTMALAR
a,b : Renk indisleri Aa : Gluon alanı Cn(x2) : Wilson katsayıları d : Operatörün boyutu D : Kovaryant türev f : Bozunum sabiti
fabc : SU(3) grubunun yapı sabiti f[M] : [M] mezonunun bozunum sabiti
Ga : Abelyen olmayan gluonik alan Ģiddet tensörü Ga
Ga : Gluon yoğunlaĢması H : Hamilton operatörü
J(x) : Kuark alanları ile oluĢturulan akım LKRD : Kuantum Renk Dinamiği Lagrangian‟ı m : Kütle (GeV)
M : Borel parametresi (GeV) n(x) : Fermi dağılım fonksiyonu nf : ÇeĢni sayısı
On : Tam sistem oluĢturan operatörler kümesi q : Dört boyutlu momentum
S(k) : Termal kuark propagatörünün 11 bileĢeni s0 : Sıfır sıcaklıktaki süreklilik eĢiği (GeV) s0(T) : Sıcaklığa bağlı süreklilik eĢiği (GeV)
T : Zaman sıralama operatörü T : Sıcaklık (GeV)
Tc : Kritik sıcaklık (GeV) u : Dört boyutlu hız vektörü Vqq : CKM matris elemanı s : Güçlü etkileĢim sabiti
: 44 Ģeklinde verilen Dirac matrisleri (x) : Dirac delta fonksiyonu
: Vektör mezonlar için polarizasyon vektörü (x) : Basamak fonksiyonu
: Enerji-momentum tensörü a
: 3×3 Ģeklindeki Gell-Mann matrisleri : Momentum transferi
(q2
) : ĠliĢkilendirme fonksiyonu non-per
: ĠliĢkilendirme fonksiyonunun pertürbatif olmayan kısmı (s) : Spektral yoğunluk
(s) : Sıfır sıcaklıkta spektral yoğunluk : Kuark alanı
|0 : Vakum durumu
Kısaltmalar
ALICE : A Large Ion Collider Experiment (Büyük Ġyon ÇarpıĢtırıcı Deneyi) BNL : Brookhaven National Laboratuary (Brookhaven Ulusal Laboratuarı) CERN : Conseil Europeen pour la Recherche Nucleaire (Avrupa Nükleer AraĢtırmaları Merkezi)
CKM : Cabibbo-Kobayashi-Maskawa matrisi KGP : Kuark Gluon Plazma
KRD : Kuantum Renk Dinamiği
LEP : Large Electron-Pozitron Collider (Büyük Elektron Pozitron ÇarpıĢtırıcısı)
LHC : Large Hadron Collider (Büyük Hadron ÇarpıĢtırıcısı) OÇA : Operatör çarpım açılımı
RHIC : Relativistic Heavy Ion Collider (Rölativistik Ağır Ġyon ÇarpıĢtırıcısı) SM : Standart Model
SPS : Super Proton Senkrotonu
MEZONLARIN KUPLAJ SABĠTLERĠNĠN PERTÜRBATĠF OLMAYAN YÖNTEMLERLE ĠNCELENMESĠ
ÖZET
Son yıllarda baĢta CERN‟deki LHC olmak üzere, çok yüksek enerjilerde çarpıĢma deneyleri gerçekleĢtirilebilmektedir. ATLAS ve CMS gibi deneylerde yıllardır aranan Higgs parçacığı dâhil olmak üzere gün aĢırı yeni keĢiflerde bulunulmaktadır. ALICE ve BNL‟deki RHIC deneyleri olmak üzere farklı araĢtırma grupları yüksek sıcaklıklarda hadronların davranıĢlarını mercek altına almıĢ durumdalar. Dolayısıyla deney sonuçlarının sağlıklı değerlendirilmesi ve gelecek deneylere yön verilmesi adına, gerek vakumda gerek sonlu sıcaklık ve basınç ortamında hadronların davranıĢlaırnı irdeleyen kuramsal çalıĢmalar önem kazanmaktadır.
Güçlü etkileĢimin doğası gereği, hadronik parametrelerin incelenmesi esnasında pertürbatif olmayan yöntemlerin kullanılması gerekir. KRD toplam kuralları, pertürbatif olmayan yöntemler arasında çok baĢarılı sonuçlar veren etkili bir yöntemdir.
Bu tez çalıĢmasında, bazı hafif-hafif, ağır-hafif ve ağır-ağır pseudoskaler ve vektör mezonların kuplaj sabitleri vakum ortamında ve sıcaklığa bağlı olarak KRD Toplam Kuralları çerçevesinde incelenmiĢtir. Toplam Kuralları elde edilirken sonlu sıcaklıklarda Wilson açılımında ortaya çıkan ek operatörler dikkate alınmıĢtır. Kuplaj sabiti için sıfır sıcaklıkta ve sonlu sıcaklıkta elde edilen sonuçların, literatürdeki sonuçlarla uyumlu olduğu görülmüĢtür.
Anahtar Kelimeler: KRD Toplam Kuralları, Kuplaj Sabiti, Mezonlar, Operatör
INVESTIGATION OF THE COUPLING CONSTANTS OF MESONS BY USING NON-PERTURBATIVE METHODS
ABSTRACT
In recent years, high energetic particle collisions are conducted in colliders like LHC at CERN. Almost every day, a new discovery -such as Higgs particle- has been made in experiments as ATLAS and CMS. Some experiments and research groups in ALICE at CERN and RHIC at BNL are focused on behaviours of hadrons at very high temperatures. Hence theoretical studies on hadronic behaviours at vacuum and also at finite temperature and density have a crucial role to understand experimental results and to guide future experiments.
The nature of strong interaction requires non-perturbative methods to investigate hadronic parameters. QCD Sum Rules method is one of the most effective and powerful non-perturbative methods to understand the strong force and the QCD theory.
In this thesis, the coupling constants of pseudoscalar and vector mesons are investigated in the framework of QCD Sum Rules at vacuum and at finite temperature. While obtaining sum rules, some extra Wilson operators which are fomed at finite temperature are considered. It is seen that the obtained results of the strong coupling constants at vacuum and at finite temperature are consistent with recent studies.
Keywords: Coupling Constants, Mesons, Operator Product Expansion, QCD Sum
GĠRĠġ
Evrende bilinen dört temel kuvvet olan kütle çekimi, elektromanyetizma, zayıf etkileĢim ve güçlü etkileĢim, fiziğin ana araĢtırma alanlarıdır. Bilim insanları temel kuvvetlerin birbirleriyle olan bağlantılarını ve iliĢkilerini incelemektedir. Doğadaki etkileĢimlerle ilgili günümüze kadar elde edilen sonuçlar, kütle çekimi hariç olmak üzere, Standart Model olarak bilinen genel bir kuramsal çatı altında toplanmıĢtır. Standart Modele göre, kuvvetler ayar bozonları olarak adlandırılan parçacıklar tarafından taĢınır. Doğadaki fiziksel kuvvetlerden etkilenen parçacıklar arasında ayar bozonu alıĢveriĢi gerçekleĢir.
Dört etkileĢimden en zayıfı olan kütle çekimi, genel görelilik teorisi ile açıklanmaktadır. Kütle çekim kuvvetinin graviton adı verilen parçacıklarla taĢındığı düĢünülmektedir. Ancak standart model denince akla kütle çekimi dıĢındaki diğer üç etkileĢim gelir. Kütle çekim kuvveti hakkında Standart Model bir öngörüde bulunamamaktadır. Ancak kozmolojik anlamda evreni Ģekillendiren en önemli kuvvettir. Bu nedenle kütle çekiminin Standart Model içinde yer almaması bir noksanlıktır.
Elektromanyetik etkileĢim doğadaki diğer bir kuvvet türüdür ve kütlesiz, birbirleriyle etkileĢime girmeyen fotonlar tarafından taĢınmaktadır. Elektromanyetik kuvvet 1950‟lerde geliĢtirilen Kuantum Elektrodinamiği (KED) ile çok iyi anlaĢılmıĢ ve formülleĢtirilmiĢtir [1-3]. Kütle çekimi ve elektromanyetik kuvvetler, sonsuz erimli olan etkileĢimlerdir. Diğer iki kuvvet türü olan zayıf etkileĢim ve güçlü etkileĢim ise atom çekirdeği mertebelerinde etkindir. Zayıf etkileĢim beta bozunmalarından sorumludur ve W± (m=80GeV) ile Z0 (m=90GeV) bozonlarıyla taĢınmaktadır. S. Glashow, S. Weinberg ve A. Salam‟ın Nobel ödüllü çalıĢmaları sonucu [4,5] elektromanyetik ile zayıf etkileĢim, “elektrozayıf etkileĢim” adı altında birleĢtirildi. Güçlü etkileĢim ise, yapısında kuark ve gluonların bulunduğu hadronların birbiriyle etkileĢiminden sorumludur. Deneysel olarak karĢılaĢılan bir takım engellerin de
olarak 1935‟de Yukawa açıklamaya çalıĢtı [6]. Yukawa‟nın teorisine göre nükleonlar arasında mezon adlı bir parçacık tarafından güçlü etkileĢimin iletimi sağlanıyordu. Ġlerleyen yıllarda nükleonlar arasında etkileĢimi sağlayan bu parçacık keĢfedildi (1947) ve pion ismi verildi. Fakat Yukawa‟nın teorisinin yüksek enerjilerde çalıĢmaması, parite problemi ve renormalize edilemez oluĢu gibi bazı problemlerden dolayı, daha kapsamlı bir teoriye ihtiyaç duyuldu. GeliĢen hızlandırıcı teknolojileriyle, yüksek enerjilerde gerçekleĢen elastik olmayan çarpıĢma deneyleri sonucunda, nükleonların temel parçacıklar olmadıkları anlaĢıldı. 1960‟larda Feynman tarafından geliĢtirilen parton modeline göre, nükleonlar yüksek hızlarda, “parton” adı verilen serbest parçacıklar jeti halinde ilerlemektedir [7]. Bu kurama göre elektron ile protonlar yüksek hızlarda çarpıĢtırılınca elektronlar protondan değil, protonu oluĢturan partonlardan saçılır.
1960‟lı yıllarda güçlü etkileĢim ile birbirlerini etkileyen onlarca hadron keĢfedildi ve bu yeni parçacıkların sınıflandırılmasında zorluklarla karĢılaĢıldı. 1964‟te Murray Gell-Mann ve George Zweig, kuark teorisini geliĢtirdiler. Teoriye göre, hadronlar daha sonraları u, d ve s kuarkı olarak adlandırılacak olan farklı çeĢnilerde yarım spinli daha temel parçacıklardan oluĢur. Kuarklar taĢıdıkları spin değerinden dolayı Fermi-Dirac istatistiğine uymak zorundalar. Bir baryon içerisinde aynı kuantum durumuna sahip kuarkların bulunmaması gerekir. Ancak, ++
(uuu), -(ddd),
-(sss)
gibi bazı parçacıklar aynı kuantum durumunda bulunan kuark içeriğine sahip gibi görünmekteydi. Dolayısıyla Fermi-Dirac istatistiğine aykırı bir görüntü ortaya çıkmıĢtı. Bu problemi aĢmak için Greenberg, Han ve Nambu 1965‟te kuarkların “renk yükü” olarak adlandırılan yeni bir serbestlik derecesine sahip oldukları tezini geliĢtirdi. SU(3)c grubu ile temsil edilen Kuantum Renk Dinamiği (KRD) kuramı Ģekillendi [8]. Günümüzde 6 farklı kuark çeĢnisi (u, d, s, c, b, t) ve 3 farklı renk yükü olan kırmızı, yeĢil ve mavi (r, g, b) ile kuarklar tanımlanmaktadır. Kuramdaki renk ifadesi bilinen anlamda renkler olmayıp, tüm renklerin karıĢması sonucu beyazlığın (renksizliğin) ortaya çıkmasını analojik olarak ifade etmek için kullanılır.
Kuantum renk dinamiğine göre hadronlar, baryon (qqq) ve mezon (qq) denilen iki temel parçacık grubundan oluĢur. Kuarklar arasındaki güçlü etkileĢim, gluon adlı kütlesiz bozonlar tarafından taĢınmaktadır. Hadronu oluĢturan kuarklar ve gluonlar
Asimptotik Özgürlük olarak adlandırılır. Asimptotik özgürlük özelliğine göre, yüksek enerjili durumlarda pertürbatif yöntemler kullanılarak kısa mesafeli reaksiyonlar açıklanabilir. Ancak düĢük enerjilerde serbest bir kuark gözlemlemek mümkün değildir. Hadronlar doğada ancak renksiz olarak gözlemlenebilirler. Renk yükü taĢıyan kuarklar izole bir Ģekilde doğada bulunmazlar.
KRD kuramında renk yükü taĢıyan parçacıkların bir özelliği de renk hapsi olarak adalandırılan durumdur. Renk yüküne sahip herhangi bir kuark veya gluon doğada yalın halde gözlenemez. Ancak diğer renk yüklü parçacıklarla bir bağlı durum oluĢtururlar ve renksiz hadronlar olarak gözlemlenebilirler. KRD kuramı, renk hapisliğine analitik bir çözüm getirmiĢ olmasa da, renk hapisliğinin nedeni olarak kuvvet taĢıyıcı gluonların renk yükü taĢımaları gösterilmektedir. Birbirinden uzaklaĢan iki kuark arasında oluĢan gluon alanı çok güçlü bir kuvvete neden olur. Ġki kuark, hızlandırıcılarda olduğu gibi, birbirinden yeterince uzaklaĢtırılabildiği takdirde, belirli bir noktadan sonra yeni bir kuark anti-kuark çiftinin yaratılması ile oluĢan gluon alanının daha uzun mesafelere eriĢmesi engellenmiĢ olur. Çünkü doğada bir kuark çiftinin yaratılması için gereken enerji, birbirinden uzakta bulunan iki kuark arasında oluĢan gluon alanının kullandığı enerjiden çok daha küçüktür ve kuark çiftinin yaratılması enerji açısından tercih edilir.
Kuark ve gluonların bilinen fiziksel özellikleri ile hadronları izah etmekte bir takım zorluklarla karĢılaĢılmaktadır. Örneğin, kütlesi 938MeV olan protonu oluĢturan kuark içeriğinin toplam kütlesi 10MeV mertebesindedir. Dolayısıyla kuark diliyle, diğer bir ifadeyle, kuantum renk dinamiği parametreleriyle hadron özelliklerini belirlemek zordur. DüĢük enerjilerde parçacıkların bağlanma gücünün artan mesafeye bağlı olarak çok yüksek değerlere çıkması, pertürbatif olmayan yöntemleri gerekli kılar. Efektif alan teorileri, KRD toplam kuralları ve Örgü-ayar teorisi, pertürbatif olmayan yöntemlere örneklerdir. Kuplaj sabiti, mezonları etkileĢme gücünü nicel olarak ifade eden bir büyüklüktür.
Hadronlar, hapsedilmiĢ kuark ve gluonlardan oluĢan karmaĢık yapılar olduklarından, hadronik özellikler hadronun kuark–gluon içeriğine bağlı olmak durumundadırlar. Hadron özelliklerini ilk prensipler yöntemiyle doğrudan hesaplamak yerine kuarkların düĢük momentumlu durumu ile yüksek momentumlu durumunu
iliĢkilendiren bir yöntem aramak yerinde olacaktır. KRD toplam kuralları, bu iliĢkilendirmeyi sağlayan kullanıĢlı bir araçtır.
KRD toplam kuralları, farklı enerji aralıklarını iliĢkilendiren dispersiyon bağıntılarına dayanır. Pertürbatif olmayan etkilerde ise yoğunlaĢma olarak adlandırılan fenomenolojik parametreler, hadron kütleleri gibi hadronik özellikleri anlamak ve elde etmek için dispersiyon bağıntılarında yer alırlar. Bu parametreler kuantum alan operatörlerinin temel durum beklenen değerleri olarak teoriye dâhil olurlar. YoğunlaĢmalar, bir parçacığın vakumdaki sanal bir parçacık tarafından yok edilip baĢka bir yerde vakumdan tekrar yaratılmasını ifade eden yapılar olarak okunabilir. Diğer bir ifadeyle, yoğunlaĢmalara, bir parçacığın vakumla etkileĢimini sağlayan yapılar denebilir. Bu yüzden hadronlar KRD içeriklerinden çok daha büyük kütleli olarak gözlemlenirler.
Pertürbatif olmayan etkiler açısından bakıldığında, hafif kuarkların yukarıda anlatıldığı tarzda vakumla etkileĢmeleri, ağır kuarklardan çok daha olasıdır. Bu da hafif kuarklardan oluĢan hadronların KRD içerikleri ile kütle farklarının çok olmasını gerektirir. Örnek vermek gerekirse daha önce bahsedilen proton kütlesi ile KRD içeriğinin kütlesi arasındaki kütle farkı çok fazladır. Yine aynı bakıĢ açısıyla ağır kuarklardan oluĢan hadronlar ile KRD içerikleri arasındaki kütle farkının çok olmadığı görülür. Örnek olması açısından, hafif kuark içerikli ve ağır kuark içerikli birer mezonun kütleleri karĢılaĢtırılabilir. Ds mezonu iki hafif kuarktan, c ve s kuarklardan oluĢur. Bu mezonu oluĢturan kuark ve antikuarkların toplam kütlesi 134MeV iken Ds mezonunun kütlesi yaklaĢık 2000MeV değerindedir. Ds mezonunun kuark içeriğinde hafif d kuarkı yerine ağır b kuarkı olursa Bs mezonu elde edilir. Bs mezonunun kuark içeriği 4300MeV ama kendi kütlesi 5400MeV kadardır. Görüldüğü gibi ağır kuark içerikli parçacıkların hadron kütleleri toplam kuark kütlelerine yakın değerde iken, hafif kuark içerikli parçacıkların hadron kütleleri ile toplam kuark kütleleri arasında büyük fark vardır. Bu durum diğer tüm hadronlara genelleĢtirilebilir. Kıyaslama için hadronların ölçülen kütle değerlerine PDG verilerinden bakılabilir [9].
Mezonların ilk defa Yukawa tarafından öngörüldüğü söylenebilir. Yukawa kuramsal çalıĢmaları sonucunda, atom çekirdeğini bir arada tutan kuvvetin taĢıyıcısı olarak
orta ağırlıklı bir parçacık öngördü ve yaklaĢık kütlesi hakkında tahminde bulundu. Yukawa öngördüğü bu parçacığa Yunanca „orta‟ anlamına gelen mesos'tan yola çıkarak mezotron adını verdi. Çünkü mezonun öngörülen kütlesi elektron ile protonunun arasında olmalıydı. Werner Heisenberg daha sonra bu ismin mezon olmasının Yunanca‟ya daha uygun olacağını söyledi.
Yukawa'nın mezonu için ilk aday, 1936'da Carl David Anderson ve meslektaĢlarının kozmik ıĢın ürünlerinde keĢfettiği muon olarak isimlendirilen parçacık oldu. Muon, Yukawa'nın öne sürdüğü güçlü nükleer kuvvet taĢıyıcısı olan parçacıkla hemen hemen aynı kütleye sahipti. Ancak uzun çalıĢmalar sonunda, muonun aranan parçacık olmadığına dair deliller bulundu. Çünkü muon güçlü etkileĢime girmiyordu. Bu parçacık elektronun ağır hali gibi davranıyordu ve leptonlar sınıfına dâhil edildi. Ġlk gerçek mezon olan mezonu (pion) 1947'de Ġngiltere'de Bristol Üniversitesi'nde kozmik ıĢın ürünlerini inceleyen Powell, Lattes ve Occhialini tarafından keĢfedildi. Daha sonraki yıllarda yapılan çalıĢmalar pionun güçlü etkileĢimden etkilendiğini gösterdi. Pion, nükleonlar arasında güçlü etkileĢimi taĢıyan birincil parçacıktır. mezonu gibi diğer mezonlar da güçlü etkileĢim iletilmesinde bulunurlar, ancak piona göre daha az ölçüdedir. Pionun keĢfinin ardından Yukawa 1949'da Nobel Fizik Ödülü'nü kazandı.
Mezonlar bir kuark ve bir anti-kuarktan oluĢan hadronlardır. Kabaca 1fm kadar yarıçapa sahiptir. Bütün mezonlar kararsızdır ve en uzun ömürlü mezonlar dahi saniyenin milyonda biri kadar bir ömre sahiptir. Yüklü mezonların bozunmasıyla genelde elektron ve nötrino oluĢur. Yüksüz mezonların bozunmasıyla ise fotonlar oluĢur.
Mezonlar radyoaktif bozunma ile oluĢmazlar. Doğada, kuarklardan oluĢan maddeler arasındaki yüksek enerjili etkileĢimlerin kısa ömürlü ürünü olarak açığa çıkarlar. Mezonlar yüksek enerjili parçacık hızlandırıcılarda sıklıkla oluĢur.
Hafif mezonlar, fotonların elektromanyetik kuvvetin taĢıyıcısı olmalarına benzer Ģekilde, güçlü etkileĢimin dolaylı taĢıyıcısı olmaları nedeniyle önemlidir. Ağır mezonlar büyük patlama gibi yüksek enerjili ortamlarda kısa süreli olarak oluĢmuĢtur
ve doğada sık gözlemlenmezler. Ancak bu tür parçacıklar, ağır kuarkların doğasının ve standart modelin anlaĢılabilmesi için önemlidir.
Mezonlar kuarklardan oluĢtukları için hem zayıf hem de güçlü etkileĢime girer. Elektrik yüküne sahip mezonlar ayrıca elektromanyetik etkileĢime de katılır. Mezonlar kuark içeriklerine, toplam açısal momentum sayısına, paritesine, C paritesi ve G paritesi gibi diğer fiziksel özelliklerine göre sınıflandırılırlar. Hiçbir mezon kararlı olmamakla birlikte, hafif mezonlar ağır mezonlara göre daha uzun ömürlüdür ve bu yüzden parçacık hızlandırıcılarda ve kozmik ıĢın deneylerinde gözlenmeleri daha olasıdır.
Son yıllarda yapılan bazı bağımsız deneylerde [BELLE (2007) ve LHCb (2014)], baryon numaraları sıfır olduğu için geleneksel mezon tanımına giren bir takım sıra dıĢı parçacığın bulunduğuna dair veriler elde edilmiĢtir. “Egzotik mezonlar” olarak adlandırılan bu parçacıklar, iki kuark ve iki anti-kuarkın bağlı durumundan oluĢtuğu düĢünülmektedir. Bu alanda da hem deneysel, hem kuramsal çalıĢmalar devam etmektedir.
Bu tezin amacı, KRD kuramı çerçevesinde mezonların ölçülebilir değerlerinden olan kuplaj sabitlerini vakumda ve sonlu sıcaklıklarda hesaplamaktır. Literatürde bu amaca yönelik birkaç yöntem vardır. Bu durumda kullanılacak yöntemdeki serbestlik dereceleri sayısını mümkün olduğunca az tutmak daha temel bir anlayıĢa kapı açacaktır. Kuantum renk dinamiğinin ana serbestlik dereceleri kuark ve gluon kavramlarıdır. KRD toplam kuralları bu amaca yönelik ve sık kullanılan bir yöntemdir.
Klasik bir fizik kuramında ana yöntem, Lagrangian ifadesi oluĢturmak ve bu ifadeyi genelde pertürbatif yöntemlerle sonuca ulaĢtırmaktır. KRD Lagrangian ifadesi pertürbatif yöntemle çözülmek istendiğinde, KRD kuplaj sabiti s cinsinden açılan terimler elde edilir. Her bir terimi Feynman diyagramları kullanarak hesaplamak mümkün olur. Pertürbatif KRD yöntemi, Lagrangian ifadesinin açılımı belli bir mertebeden sonra ihmal edilebilir hale geliyorsa pratik anlam ifade eder. Ancak mezonlar için pertürbatif KRD teknikleri kullanıĢlı olmaz. Çünkü mezonları oluĢturan kuarklar arasındaki mesafede kuplaj sabiti büyük bir değere sahiptir ve
ihmal edilebilir olmanın tersine, kuplaj sabitinin etkisi büyür. Bu durumda pertürbatif olmayan yöntemler aramak en doğrusudur.
Pertürbatif olmayan katkıların hesaplanması konusunda doğruya en yakın sonuçları Örgü KRD yöntemi verir. Ġlk prensiplere dayalı bu yöntemin çok fazla bilgisayar gücü gereksinimi yanında, nicel hesaplamaların ötesinde güçlü etkileĢimin fiziğinin fenomenolojik olarak anlaĢılmasına yapacağı katkı sınırlıdır. KRD toplam kuralları kesinlik açısından olmasa da, gerek fiziğe daha fazla nüfuz ediĢinden, gerek kullanılan araçların daha ulaĢılabilir oluĢundan tercih edilmektedir.
KRD toplam kuralları, her biri bağlı bir durumu (hadronları) temsil eden pikler içeren spektral fonksiyonlar kullanır. Bağlı durumların özellikleri, pikleri karakterize eder. Bu özellikler bilinirse pikler hesaplanabilir, ya da pikler biliniyorsa bağlı durumların özellikleri elde edilebilir. Belirli bağlı durumların spektral fonksiyonlarını içeren matematiksel nesnelere iliĢkilendirme fonksiyonu denir. Zamansı (time-like) momentum bölgesinde iliĢkilendirme fonksiyonu sistemin spektral fonksiyonu ile verilir. Uzaysı (space-like) momentum bölgesinde iliĢkilendirme fonksiyonları, operatör çarpım açılımı yöntemiyle hesaplanır. Bir dispersiyon bağıntısı yardımıyla, uzaysı ve zamansı momentumlar, momentumun karesinin negatif alındığı bölgede iliĢkilendirilirler. Spektral fonksiyon için fenomenolojik bir yaklaĢım yapılır ve bu yaklaĢımın özellikleri, operatör çarpım açılımını tekrar elde etmek için fit edilir. Kuramsal hesaplamaların yapıldığı operatör çarpım açılımında KRD terimleri dâhil edilir. KRD Lagrangian‟ı yardımıyla operatör çarpım açılımının Wilson katsayıları hesaplanır. Bu durumda uygulanan Ģemanın iki yönü vardır: spektral fonksiyonun hesaplandığı fenomenolojik kısım ve operatör çarpım açılımında kullanılan kuramsal kısım. Bu yöntem KRD toplam kuralları olarak adlandırılır. Operatör çarpım açılımıyla pertürbatif olmayan etkiler hesaba katılır ve dispersiyon bağıntısı da spektral fonksiyonla pertürbatif olmayan kısmı iliĢkilendirir.
Özetle KRD toplam kuralları yöntemi iki yönlü role sahiptir. Bir yanda, KRD‟nin yapısı ve güçlü etkileĢim hakkında bilgi edinmek amacıyla yoğunlaĢmaları tanımlamak için kullanılır. Diğer yanda kütle, kuplaj sabiti vb. hadronik parametreleri, yoğunlaĢmalar cinsinden ifade etmek için kullanılır.
Hadronların özellikleri, bulundukları ortam Ģartlarına göre değiĢiklik gösterir. Bunun en bilinen örneği, nötronun boĢlukta ve çekirdekte sergilediği davranıĢtır. Nötronun boĢlukta bozunum süresi birkaç dakika mertebesindeyken kararlı çekirdekler içerisinde bu süre binlerce yılı bulur. Farklı sıcaklıklarda ve farklı basınçlarda hadronların kütlelerinden bozunum sabitlerine, kuplaj sabitlerine kadar tüm hadronik özellikleri vakumdaki değerlerinden farklıdır. Ayrıca, evrenin ilk oluĢtuğu andaki büyük patlama anından nötron yıldızlarına, en uç Ģartların olduğu ortamların anlaĢılması için KRD‟nin sonlu sıcaklıklarda ve basınçta çalıĢılması gereklidir. Bu yüzden literatürdeki sayısız çalıĢmayla pertürbatif olmayan yöntemler, sonlu sıcaklık ve basınca genelleĢtirilmiĢtir. Son yıllarda yüksek enerji fiziği deneylerinin gerçekleĢtirildiği hızlandırıcıların ulaĢabildiği enerji değerleri bir hayli artmıĢtır. Bu durumla birlikte, kuark gluon plazma gibi aĢırı yüksek sıcaklık ve basınçta ortaya çıkan durumlar ulaĢılabilir olmuĢtur. Bu deneylerden elde edilen verilerin sağlıklı analizi için kuramsal altyapının hazır olması gerekir. Dolayısıyla, sonlu sıcaklıklarda KRD kuramı giderek önem kazanmaktadır.
KRD toplam kuralları yöntemi sonlu sıcaklıklara geniĢletilmiĢ ve kütle, bozunum sabiti gibi hadronik özellikler çalıĢılmıĢtır. Bu yöntemle kuark-gluon fazına geçiĢin gerçekleĢtiği kritik sıcaklık değeri civarındaki fizik incelenmiĢtir. Ancak, mezonların kuplaj sabitleri henüz sonlu sıcaklıklarda çalıĢılmamıĢtır. Bu noktada, mezon kuplaj sabitlerini sonlu sıcaklıkta incelemesiyle, bu çalıĢma alanında ilk olma özelliği taĢımaktadır.
Bu çalıĢmada, birinci bölümde Kuantum Renk Dinamiği hakkında temel bilgiler verildikten sonra ikinci bölümde vakumda KRD toplam kuralları genel hatlarıyla anlatılmıĢtır. Üçüncü bölümde Termal KRD ve sonlu sıcaklıklarda KRD Toplam Kuralları hakkında bilgi verilmiĢtir. Dördüncü bölümde vakumda KRD Toplam Kuralları yöntemiyle mezonların kuplaj sabitleri hesaplanması anlatılmıĢtır. BeĢinci bölümde ise sonlu sıcaklıkta KRD Toplam Kuralları yöntemiyle ağır mezonların kuplaj sabitlerinin hesaplanması anlatılmıĢtır. Son bölümde ise elde edilen sonuçlar özetlenmiĢ ve bu sonuçlar ıĢığında ileriye yönelik yapılacak çalıĢmalar hakkında bir takım öngörülere yer verilmiĢtir.
1. KUANTUM RENK DĠNAMĠĞĠ
Bu bölümde önce kuark ve gluon etkileĢimlerini açıklayan KRD kuramı genel hatlarıyla anlatılacaktır. Daha sonra KRD toplam kuralları yönteminin bir özeti verilecektir. Burada amaç, mezon kuplaj sabitlerinin hesaplanması için gerekli kuramsal altyapıyı sunmaktır.
1.1. Kuantum Renk Dinamiği Kuplaj Sabiti
KRD, vektör ayar alanları olan gluonların kuarklarla etkileĢimini açıklayan bir kuantum alan kuramıdır. Yang ve Mills tarafından [10] Abelyen olmayan ayar grubunda bir çözüm aranması teklif edildi ve bu yaklaĢım baz alınarak KRD kuramına ulaĢıldı. KRD için pertürbatif olmayan yöntemlere gereksinim duyuldu. Bu yöntemlerden biri de KRD Toplam Kurallarıdır. KRD‟de kuramsal olarak temel fikir yerel ayar değiĢmezliğini sağlamaktır. KRD‟nin simetri grubu SU(3)‟tür. Çünkü kuarkların her biri, bir kuantum sayısı olan üç renkten birini taĢır. Gluonlar ise 8 farklı renk yükü taĢıyıcılarıdır. Hadronlar kuarkların (ve anti-kuarkların) renksiz kombinasyonlarıdır.
KRD Lagrangian‟ı tüm hadronik süreçleri içerir ve
a 2
KRD q q 1 L G q iD m q 4
(1.1)ile gösterilir. Burada q farklı çeĢnilerdeki kuark alanı olur: q=u,d,s,c,b,t, D kovaryant türev, a Gell-Mann matrisleri ve gc=√4s kuark-gluon kuplaj sabitidir. Gluon alan tensörü ve kovaryant türev A alanları cinsinden,
a a a a abc b c a c c G A A g f A A , D ig A 2 (1.2)
Ģeklinde ifade edilir. Burada fabc
katsayıları grubun yapı sabitlerini, a=1, 2, … , 8 ise SU(3) renk grubunun 8 üreticisini temsil eder. Diğer bir ifadeyle, gluonun kuarkla etkileĢmesi, kuarkın rengini SU(3) uzayında döndürür.
KRD‟nin bir özelliği de güçlü etkileĢim kuplaj sabitinin momentuma bağımlılığıdır. Yüksek momentum değerlerinde kuplaj sabiti değeri ihmal edilebilir seviyelere gelerek hadron içeriğindeki kuark ve gluonların serbest parçacıklar gibi davranmasına neden olur. DüĢük momentumlarda ise, kuplaj sabiti değeri oldukça büyür. Dolayısıyla kuark veya gluonları serbest olarak gözlemlemek imkânsızlaĢır. Bu noktada belirtmek gerekir ki Abelian ayar teorisi olan KED‟de bu davranıĢın tam tersi geçerlidir. KED ile KRD‟nin bir farkı da, kuvvet taĢıyıcı parçacıkları temsil eden ayar bozonu alanlarındaki davranıĢ farklılığıdır. Elektromanyetik kuvvet taĢıyıcısı olan fotonlar elektrik yükü taĢımadıkları için birbirleriyle etkileĢime girmezken, gluonlar renk yükü taĢıdıkları için birbirleriyle etkileĢime girerler. Ne kuarkların, ne de gluonların renk yükleriyle izole edilerek gözlemlenmesi mümkün olmadığından fiziksel olarak sadece renksiz hadronlar gözlemlenir. Bu duruma renk hapisliği denir.
ġekil 1.1. Bir kuarkın rengi i‟den j‟ye değiĢirken yaydığı a=ij yüklü gluon
Abelyen olmayan ayar kuramının doğası gereği, KRD‟nin asimptotik özgürlük özelliği vardır [11-14]. Bu, kuplaj sabitinin momentuma, yani enerjiye veya parçacıkların birbirleriyle etkileĢime girerken aralarındaki mesafeye bağlı olarak değiĢkenlik göstermesinin nedenidir. Güçlü etkileĢim kuplaj sabiti iki ilmekli yaklaĢımda,
2
f
2 2KRD
s 2 2 2 2 2 f KRD f KRD 6 153 19N ln p 12 p 1 33 2N ln p 33 2N ln p (1.3)ile verilir. Burada Nf kuark çeĢni sayısıdır. EĢitlik (1.3)‟ten görüldüğü gibi, yüksek momentum değerlerinde kuplaj sabiti çok küçük değerler alacağından pertürbatif yaklaĢımlar kullanmak mümkün olur. Yüksek enerji deneylerinde deney sonuçlarını yorumlamak için kullanılan kuramsal yöntemler pertürbatif yöntemlerdir.
1.2. Kiral Limit
Pek çok deneysel veri, momentum transferinin, KRD güçlü etkileĢim ölçeğine oranla çok yüksek olduğu 2KRDq2
durumunda, pertürbatif KRD‟nin doğruluğunu göstermektedir. KRD parametresi KRD‟nin özelliklerini belirleyen kritik bir değerdir ve yaklaĢık
KRD 250MeV
(1.4)
olarak kabul edilir. Kuark çeĢnilerini kütlelerine göre sınıflandırmak gerekirse kullanıĢlı bir parametre halini alır. Kütleleri KRD değerinden çok az olan kuarklara hafif kuarklar, bu değerden daha büyük kütleli kuarklara ise ağır kuarklar denir. Doğada var olan baryonları oluĢturan u ve d kuarklarının kütlesi KRD değerinin yanında ihmal edilebilir değerlerdedir. Hafif kuarkların fiziğini anlamak için u ve d kuarklarının kütlelerinin sıfır kabul edildiği kuramsal limit sıklıkla kullanılır.
Bir süreliğine KRD‟de sadece iki kuark çeĢnisi, u ve d kuarkları olduğu varsayılsın. Bu iki kuarkın kütleleri çok çok düĢük değerlerde ve birbirine yakın niceliklerde olduğundan, hesapları kolaylaĢtırma adına mu ve md kütle değerleri sıfır alınabilir. Bu Ģartlarda KRD Lagrangian‟ı SU(2) dönüĢümleri altında simetrik olacaktır. Bu duruma kiral limit denir. Kiral limitte SU(2) simetrisi SU(2)L×SU(2)R kiral simetrisine geniĢletilir. Böylece fermiyon alanları sağ elli ve sol elli bileĢenler olmak üzere ikiye ayrılabilir.
KRD kuramında, düĢük sıcaklıklarda kiral simetrisi sürekli bozunuma uğrayarak kiral yoğunlaĢmaları denilen durumun meydana gelmesine neden olur. KRD
KRD
hesaplarında vakumdaki kuark yoğunlaĢma değerinin sıfırdan farklı olmasının nedeni budur. Bu kiral yoğunlaĢması, etkin bir kuark kütlesi gibi davranır ve baryonların kütlelerinin değerlik kuark kütlelerinin toplamından çok daha büyük olmasının nedenidir.
Üç hafif kuarkın kütlelerinin ihmal edildiği limitte, EĢitlik (1.1)‟deki Lagrangian kiral üniter dönüĢümlerde değiĢmez kalır ve
a a L[R ] 5 L[R ] L[R ] L[R ] 1 q 1 q q exp i q 2 2 (1.5) Ģeklinde ifade edilir. Burada bütün hadronların parite dejenere oldukları durumu temsil eden UV(1)×UA(1)×SU(3)L×SU(3)R simetrisi vardır. Ancak KRD vakumu, aksial simetriyi kırar ve bu, kiral simetrinin sürekli kırılması olarak bilinir. Goldstone teoremi olarak bilinen teoreme göre, bu asimetrik vakum, kütlesi ihmal edilebilir Goldstone mezonlarını bulundurmalıdır. Pseudoskaler mezonlar olan , K ve mezonları Goldstone mezonları olarak bilinir. Bu yüzden pseudoskaler mezonların, içerdikleri kuarkların kütlelerine orantılı kütle değerlerine sahip olmaları beklenir ve matematiksel olarak,2 2
q
ˆ
m f 2m qq (1.6)
formülüyle temsil edilir. Burada f pion için leptonik bozunum sabiti ve qq ifadesi ise kuark yoğunlaĢmasıdır. Diğer bir tür mezonları temsil eden aksial vektör akımı için türevi veren ifade,
a 2 a a a 5 A (x) m f (x) , A (x) q(x)( / 2) q(x) (1.7) Ģeklinde verilir. Aa
(x) aksial vektör akımı, a pion alanı ve a=1,2,3 renk yüküdür. EĢitlik (1.6) aksial vektör akımının kısmî korunumu olarak bilinir. Bu mekanizmanın problemi, mezonunun görece büyük kütlesidir. UA(1) problemi olarak bilinen bu durum, UA(1) simetri kırılmasından kaynaklanmaktadır. Öklidyen uzayda Yang-Mills denkleminin bir çözümü olan instanton kavramı [15,16] geliĢtirilerek bu
1.3. Pertürbatif Olmayan Yöntemler
KRD kuramı, yüksek momentum transferi olan durumlarda gayet baĢarılıdır ve kolayca pertürbatif yöntemler uygulanabilir. Ancak diğer taraftan hadronik boyutlarda kuplaj sabiti yüksek değerlere çıktığından pertürbatif olmayan yöntemler gerekir. Bunlardan biri olan Kiral Pertürbasyon Kuramı [17-19], düĢük enerjili KRD için bir efektif alan kuramıdır. Bu yöntemde, global kiral dönüĢümlerinde değiĢmez olan bir efektif Lagrangian kullanılır. Bu kuramda, hafif kuark kütleleri etrafında bir seri açılım uygulanır. Yukarıda anlatıldığı gibi, hafif kuark içeriklerine sahip Goldstone bozonları olarak adlandırılan hafif mezonları ve nükleonları anlamada bu yöntemin baĢarılı sonuçları vardır. Ancak, ağır kuark içeren hadronlar söz konusu olduğunda, “Ağır Kuark Efektif Kuram” kullanılır. Bu kuram ağır kuark kütlelerinin tersi etrafında bir açılım kullanır.
ġekil 1.2. Pertürbatif olmayan etkilerden sorumlu gluon etkileĢimleri
Pertürbatif olmayan KRD kuramı üzerine analitik çalıĢmaların yanı sıra Örgü KRD yöntemi gibi nümerik çözümler de üretilmiĢtir [20]. Son yıllarda bilgisayarların artan hesaplama kapasitesiyle birlikte Örgü KRD yöntemi çok baĢarılı sonuçlar doğurmuĢtur. Bu yöntem, KRD‟yi belirli bir Öklidyen uzay zaman ızgarasında formüle ederek, ilk prensiplere dayalı bir pertürbatif olmayan hesaplama yöntemi sağlar. Bu yöntemin ulaĢtığı sonuçlar, diğer pek çok yöntemde ve deneylerde güvenilir bir referans kaynağı olarak kullanılır.
ġekil 1.3. Gluon alıĢveriĢi yaparak güçlü etkileĢime giren iki kuark
Pertürbatif olmayan KRD yöntemleri arasında en baĢarılılarından biri Shifman-Vainshtein-Zakharov (SVZ) Toplam Kurallarıdır. SVZ Toplam Kuralları, mezon kütleleri ve kuplaj sabitleri gibi hadronik parametrelerle, gluon ve kuark yoğunlaĢmaları gibi KRD vakumunun karakteristik özelliklerini irtibatlandırır. Yöntem Wilson‟ın operatör çarpım açılımına dayanır ve yazarlar bu uygulamayı 1979 yılında KRD‟ye adapte etmiĢlerdir. Yöntemde KRD‟nin en belirgin karakteristik özelliği olan kuark hapsolması, ispat edilmeden öylece kabul edilmiĢtir. SVZ yöntemiyle düĢük mertebeli pek çok hadron için yaklaĢık hesaplamalar yapılarak olağanüstü baĢarılı sonuçlar elde edilmiĢtir. 1980‟lerde SVZ yöntemi, kuplaj sabiti ve kütle hesaplama gibi klasik rezonansları incelemekten, manyetik momentler, form faktörleri, zayıf bozunumlar, yapı fonksiyonları, ağır kuarkonyum sistemlerine kadar diğer pek çok farklı alana uygulanmıĢtır.
KRD‟de en temel serbestlik dereceleri kuarklar ve gluonlardır. Onların etkileĢimlerini EĢitlik (1.1) ile verilen KRD Lagrangian‟ı tarif eder. Kuarkları veya gluonları serbest halde gözlemlemek mümkün değildir ve deneysel olarak karmaĢık parçacıklar olan hadronlar gözlenir. Bu durum, Abelyen olmayan Yang-Mills kuramının en belirgin özelliğidir ve kuark (veya renk) hapisliği olarak adlandırılır. Hadronik özellikleri çalıĢmak için baĢlangıç noktası, boĢ uzay (vakum) olmalıdır. Vakuma bir kuark, anti-kuark çifti enjekte edilir ve değerlik kuarkların vakum ortamında nasıl evrildiği incelenir. Enjekte etme iĢlemi dıĢ akımlar ile sağlanır. Literatürde en sık çalıĢılan parçacıklar vektör ve aksial akımlardır. Çünkü özellikle vektör parçacıklar deneylerde daha kolay üretilir ve gözlenirler. Sanal fotonlar ve W bozonları çiftler halinde, vektör ve aksial kuark alanlarına dönüĢür. Deneysel olarak da pozitron-elektron veya hadron çarpıĢmalarında, hadronik bozunumlarında tespit
ġekil 1.4. Güçlü etkileĢimin Ģiddetini etkileyen vakum polarizasyonları
1.4. Asimptotik Özgürlük ve Kuark Hapsi
Göreceli kuantum mekaniksel bir sistemde vakum, temel durumu ifade eden kavramdır. Vakum, boĢluğun sanal parçacık çiftleri tarafından doldurulduğu öngörülen bir ortamdır. Kuantum elektrodinamiğinde bu sanal parçacıklar, elektron-pozitron çiftleridir. Herhangi bir elektrik yükü KED vakumunda bu sanal parçacık çiftleri tarafından perdelenir ve böylece vakum ortamı polarize edilmiĢ olur. Bu perdeleme yüzünden, ortama bırakılan yüklü parçacığın elektrik yük Ģiddeti, uzaklığa bağlı olarak değiĢir. Etkin elektrik yük Ģiddeti e(r) uzaklık arttıkça azalacaktır.
ġekil 1.5. Vakumda elektrik yükünün parçacık çiftleriyle perdelenmesi
Kuantum renk dinamiği göz önüne alındığında, KRD vakumunun sanal kuark-antikuark çiftleriyle dolu olduğu düĢünülür. Bu durumda yük perdeleme mekanizması KED‟e benzer Ģekilde, renk yükünün Ģiddeti uzaklık arttıkça azalacaktır ve kuarklar birbirinden uzaklaĢtıkça etkileĢimleri zayıflayacaktır. Ancak
KRD vakumunda KED‟den farklı olarak ayar bozonları olan gluon çiftleri de bulunur. Gluonlar da renk yükü taĢıdıklarından birbirleriyle etkileĢime girerler. Bu durumda KRD vakumuna bırakılan renk yükü ile mesafe arttıkça zıt bir perdeleme etkisi oluĢur. Renk yükünden uzaklaĢtıkça renk yükünün Ģiddeti artar.
ġekil 1.6. KRD vakumda renk yükü Ģiddetinin uzaklığa bağlılığı
Yüksek enerjilerde kuark ve gluon etkileĢimleri son derece zayıfladığı için, hadronların içyapılarının tanımlanabilmesi mümkün oldu. Yüksek enerjilere ulaĢan kuarklar arasındaki mesafe azalacaktır. Bu durum, kuvvet taĢıyıcı gluonların daha kısa aralıklarda taĢınması demektir. Dolayısıyla vakumla etkileĢme o nispette azalacaktır. Güçlü etkileĢim kuplaj sabitinin Ģiddetinin azalmasına neden olan kısa mesafelerde pertürbasyon kuramı uygulanabilir. KRD bu durumu asimptotik özgürlük olarak tanımlanır. Gross, Wilczek ve Politzer, etkin kuplaj sabitini EĢitlik (1.3)‟te verildiği Ģekliyle tarif etmiĢti. Bu eĢitlik bize renk yükleri arasındaki mesafe arttıkça efektif renk etkileĢiminin güçlendiğini söyler. Mesafe -1
KRD değerinin belirli bir mertebesine eriĢtiğinde ve kritik bir değeri aĢtığında, gluonların “dallanmaları” çok yoğun olur. Artık etrafından soyutlanmıĢ bir gluondan bahsetmek anlamsız olur.
KED kuramında birbirlerinden uzak mesafelerde tutulan elektrik yükleri etrafında alan tüm uzaya Coulomb yasası çerçevesinde dağılır. KRD‟de ise renk yükleri arasındaki renk-elektrik alan kendi üzerine bükülür. Bu durum süperiletkenlikteki Meissner etkisini anımsatır. Süperiletken ortam manyetik alana izin vermez. Eğer
dıĢarıdan manyetik alan uygulanırsa, manyetik alan taĢıyan ince bir tüp Ģeklinde manyetik akı oluĢumu gözlemlenir.
ġekil 1.7. Renk yükleri arasındaki mesafe büyük olunca gluon alanı
1.5. KRD’de Ortam Etkileri
KRD çalıĢmaları ayrıca, nötron yıldızları ve büyük patlamanın ilk anları gibi bazı kozmolojik problemlerden dolayı motivasyon bulmaktadır. Son yıllarda parçacık çarpıĢtırıcılarda artan enerjilerle birlikte ağır iyon çarpıĢma deneylerinde oluĢması olası faz geçiĢleri, sonlu sıcaklık ve basınçta KRD kuramsal çalıĢmalarının önemini artırdı.
Güçlü etkileĢimin temel karakteristiği olan ve etkileĢimin Ģiddetini temsil eden kuplaj sabiti gc=√4s sıcaklığa bağlı bir parametredir. Ortamın sıcaklığı ve yoğunluğu arttıkça kuark ve gluonların etkileĢimleri zayıflar. DüĢük sıcaklıklarda ancak ve ancak hadronlar içerisinde bağlı durumlarda bulunabilen kuarklar, enerji arttıkça serbest hale geçerler ve kritik bir sıcaklık (Tc) eĢiğinin üzerinde ortamda hadronize olmuĢ kuarkların bulunmadığı düĢünülür. Serbest halde hareket edebilen partonların bulunduğu kuark-gluon plazması (KGP) bu Ģekilde oluĢur.
Evrenin ilk anlarında gerçekleĢtiği düĢünülen KGP faz geçiĢi hem kuramsal hem deneysel olarak irdelenmeye değerdir. Çünkü evren soğurken gerçekleĢen son faz geçiĢinden, modern evreninin yapısında önemli izler bulmak mümkündür. KGP faz
geçiĢlerinin incelenmesini önemli kılan bir diğer nokta, standart modelde tarif edilen KRD vakumunun son derece yüksek enerji yoğunluğudur.
ġekil 1.8. Kuantum Renk Dinamiğinin Ģematik faz diyagramı
Evrenin ilk anlarındaki Ģartların, modern evren resmini Ģekillendirdiğine dair genel bir kanı vardır. Evrenin ilk birkaç mikrosaniyelik zamanında sıcaklığın güneĢin merkezindeki sıcaklıktan yüz bin kez daha sıcak olduğu düĢünülmektedir. Yoğunluk da benzer Ģekilde aĢırı yüksek değerlerdeydi. Evren geniĢlerken aynı zamanda yoğunluğu azaldı ve sıcaklık düĢtü. Genç evrendeki ortam Ģartlarına benzer özellikler gösteren nötron yıldızlarının varlığı bilinmektedir. Nötron yıldızlarının öngörülen yoğunluğu, suyun yoğunluğundan 1015 mertebe daha fazladır. Bu yoğunluk, nükleer madde yoğunluğuna eĢtir. Bunun gibi aĢırı yoğun ve aĢırı sıcak ortamlarda hadron formunda olan madde baĢka fazlarda görünecektir. Bu farklı fazlarda kuark etkileĢimlerini anlamak, astrofiziksel verilerin analiz edilmesinde, evrenin geçirdiği evrimi anlamada ve temel fizik yasalarını kavramada yardımcı olacak, evrenin pek çok bilinmeyen yönünü aydınlatacaktır.
Nötron yıldızlarında olduğu gibi, basınçtan kaynaklanan yoğunluk artar ve hadronların hacimleri de birbirleriyle kesiĢmeye baĢlarsa, artık kuarklar adeta tek bir hadronun içinde gibi, serbestçe dolaĢmaya baĢlarlar. Bu tip bir maddeye yoğun kuark fazı denir.
Yoğunluğu artırmak yerine madde ısıtılırsa, önce elektromanyetik kuvvet çekirdekleri ve elektronları bir arada tutamaz, sıcaklık arttıkça nötronlar ve protonlar serbest hale gelir. Nötronları ve protonları oluĢturan değerlik kuarklar birbirinden bağımsız hareket edebilecek kadar ısıtılırsa oluĢan fazın adı kuark-gluon plazmasıdır. Bu trilyon Kelvin mertebesindeki sıcaklıklarda gerçekleĢir.
ġekil (1.6)‟da gösterilen KRD faz diyagramı, sıcaklık (T) – kimyasal potansiyel () düzleminde verilmiĢtir. Kimyasal potansiyel doğrudan kuark yoğunluğuyla iliĢkilidir. =0 durumu, ortamdaki kuark ve anti-kuark miktarının ortalama olarak eĢit olduğu durumdur. Diyagramda temelde üç farklı faz göze çarpar: hadronik madde, KGP ve kuark madde fazları. Grafikte sol altı iĢgal eden hadronik madde fazı, düĢük sıcaklık ve yoğunlukta bulunur ve yaĢadığımız evren bu formdadır. Belirli bir Tc kritik sıcaklığın üzerinde KGP fazı bulunur. Bu kadar aĢırı sıcaklıkta bilinen bir fiziksel ortam yoktur. Ancak büyük patlamadan sonraki saniyenin milyonda biri kadar bir sürede evrenin KGP ile dolu olduğu düĢünülmektedir. Yüksek enerji deneylerinin yapıldığı Brookhaven Ulusal Laboratuarı BNL‟deki RHIC ve Avrupa Nükleer AraĢtırma Merkezi CERN‟deki ALICE deneyleri, KGP fazını oluĢturmaya çalıĢan deneylerdir.
Hadronik fazdan KGP fazına geçiĢ ilk olarak KRD Örgü yöntemiyle incelenmiĢ ve kritik sıcaklığın yaklaĢık Tc=170MeV değeri civarında olduğu öngörülmüĢtür [22]. Bu faz geçiĢi kaba bir yaklaĢımla Ģöyle modellenebilir: kritik sıcaklık civarında hadronların hacimleri çakıĢacak ve kuarklar uzun mesafeler boyunca serbest halde dolaĢabilir olacaktır. Diğer bir deyiĢle, ulaĢılabilir tüm uzay, hadronlar tarafından doldurulduğunda bir faz geçiĢi öngörülebilir. Örneğin, kütlesi düĢük bir pion gazı ele alındığında, kritik sıcaklıkta gazın yoğunluğu ile hacmi arasında n(Tc)≈V-1≈r-3 bağıntısı kurulabilir. Bu tür bir gazın termal yoğunluğu,
3 3 3 p T d p 1 n (T) 3 0,3T e 1 2
(1.8)eĢitliğiyle verilir. Bu durumda sıcaklık ile hadronik ölçek arasında bir bağıntı elde edilir: Tc≈r-1. Gerçekte, KRD faz geçiĢleri için birbirinden bağımsız iki durum beklenir. Birincisi kuarkların hadron hapsinden kurtulup serbestleĢtiği süreç, diğeri
kuark kütlelerinden sorumlu olan kiral simetri bozulmasının yeniden oluĢmaya baĢladığı süreçtir. Sıcaklık arttıkça sürekli kiral bozulmasının etkisi azalır. Ancak KRD faz geçiĢlerinde bu etkinin tekrar oluĢtuğu düĢünülür.
1.6. Mezonlar
Mezonlar kuark ve anti-kuark çiftlerinden (qq) oluĢan kompozit parçacıklardır. Mezonların renksiz hadronlar olduklarından doğada yalın halde gözlenebilirler. Mezonlar tamsayılı spinlere sahip olduklarından (s=0,ħ,2ħ,…) Bose-Einstein istatistiğine uyarlar. 1935'te Yukawa tarafından kuramsal olarak öngörüldükten 12 yıl sonra mezonu Bristol Üniversitesi'nde Cecil Powell, César Lattes ve Giuseppe Occhialini tarafından deneysel olarak ilk kez gözlenmiĢtir. Mezonların kuantum sayıları Tablo 1.1‟de verilmiĢtir.
Tablo 1.1. Mezonların temel kuantum sayıları
S Spin Açısal Momentum Sq Sq
L Yörüngesel Açısal Momentum
J Toplam Açısal Momentum LS
P Parite (mezonlar için)
1 L 1 C Yük eĢleniği (nötr mezonlar için)
L S 1 Mezonların toplam açısal momentumları |L-S|≤J≤|L+S| bölgesindedir. Toplam açısal momentum ve parite değerlerine bağlı JP değerlerine göre mezonlar aĢağıdaki gibi de sınıflandırılırlar.
Tablo 1.2. Mezonların açısal momentum – parite sınıflandırılması
0
Skaler mezon0
Pseudoskaler mezon
1 Vektör mezon 1 Aksiyel vektör mezon
2. KRD TOPLAM KURALLARI
Hadronların özelliklerinin fenomenolojik olarak anlaĢılabilmesi için KRD dinamiğinin en azından hadron boyutlarında (Rhadron ~ 1/KRD) iyi anlaĢılması gerekir. Ancak bu ölçekte pertürbatif yöntemler s için uygulanabilir değildir ve pertürbatif olmayan yöntemler geliĢtirmek gerekir. KRD toplam kuralları bu yöntemlerden en baĢarılı olanlardan biridir. Toplam kuralları ilk olarak Shifman, Vainstein ve Zakharov tarafından mezonlar için geliĢtirilmiĢ [21] ve Ioffe tarafından baryonlara geniĢletilmiĢtir [22]. Vakumda baĢarılı sonuçlar elde edilince sonlu sıcaklıklar için genelleĢtirilmiĢtir [23, 24].
2.1. SVZ Yönteminin Temeli
KRD‟nin temel yaklaĢımına göre, iki renk yükünün birbirlerine çok yakın mesafelerdeki etkileĢimleri Coulomb etkileĢimine benzer yapıdadır. Bu durumda güçlü etkileĢimin karakteristik özelliklerini temsil eden kuplaj sabiti zayıftır. Buradaki Coulomb etkileĢimi, renk yükleri arasında gluon alıĢveriĢinden kaynaklanır. Renk yükleri arasındaki mesafe arttıkça, Ģekil (1.7)‟de olduğu gibi gluon alanları dallanmaya baĢlar. Bu durum, elektrik yükünün perdelenmesine zıt bir olaya kapı açar. KED benzeri kuramlarda, sanal parçacıklar tarafından oluĢturulan bulutlarca perdelenen yükler, uzak mesafelerde daha düĢük Ģiddetlerde ölçülür. KRD‟de ise bunun aksine, dallanma süreçleri perdelenmenin aksi etkiler oluĢturur. DüĢük mesafelerde pertürbatif yöntemler uygulanabilirken, renk yükleri arasındaki mesafe arttıkça pertürbatif yöntemler iĢe yaramaz.
Hadronik spektrumun düĢük enerjili kısmında, ortalama olarak mezon veya baryon kuarkları asimptotik olarak birbirlerinden çok uzak sayılmazlar. Bu kuarkların aralarındaki mesafe -1
KRD mertebesindedir. Bu Ģartlar altında, uzun renk-elektrik akıların oluĢması pek olası değildir. SVZ yönteminde değerlik kuark çiftleri vakuma enjekte edilir, bir anlamda hafifçe vakum pertürbe edilir. Artık yaklaĢık olarak hadronik durumları elde edebilmek için KRD‟ye tüm ayrıntılarıyla hâkim olmaya
gerek yoktur. Hadronların temel özellikleri, değerlik kuarkların tipik vakum alan dalgalanmalarıyla nasıl etkileĢtiklerine bağlıdır.
Yöntemde KRD vakumunun bir takım yoğunlaĢmalarla karakterize edilebildiği önerilir: kuark yoğunlaĢması qq, gluon yoğunlaĢması G2 karıĢık yoğunlaĢmalar qGq dörtlü kuark yoğunlaĢmalar (qq)(qq) ve diğer mertebelerdeki yoğunlaĢmalar örnek olarak sayılabilir. SVZ yöntemiyle önce bu yoğunlaĢmaların nitel değerleri elde edilir ve daha sonra çok geniĢ bir spektrumdaki hadronların özellikleri bu yoğunlaĢmalar cinsinden belli bir hata payı içerisinde ifade edilir. Sonsuz sayıdaki vakum yoğunlaĢmaların hepsini hesaba dâhil etmedikçe, vakum ortamının ancak yaklaĢık bir resmi yakalanabilir. Buna paralel olarak, SVZ yöntemine dayanan herhangi bir hesaplama yaklaĢık bir sonuç verir. Ancak bu yöntemin iĢe yarar ve kullanıĢlı oluĢu, onun analitik kapasitesinde gizlidir. Apriori olarak bilinemeyen pek çok sorunun cevabı da dâhil olmak üzere hadron fiziğinin geniĢ bir alanındaki problemlere, SVZ yönteminin gösterdiği analitik analizlerle cevap bulunabilir.
2.2. Toplam Kurallarının Elde Edilmesi
KRD Toplam Kuralları, hadron fenomenolojisinin pertürbatif olmayan problemlerine yönelik güzel sonuçlar vermiĢtir. Yöntemde önce KRD kuramındaki akımlar gibi iki yerel operatörün çarpımı dikkate alınır. Yeterince büyük momentum değerlerinde vakum matris elemanları için dispersiyon bağıntısı, Wilson Operatör Çarpım Açılımına eĢlenerek toplam kuralları elde edilir. Açılımdaki yüksek boyutlu operatörler pertürbatif olmayan etkileri temsil eder. Vakum matris elemanlarının yerlerine onların termal ortalamalarını koyarak yöntem sonlu sıcaklıklara geniĢletilebilir.
Yöntem prensip olarak iki limite bakar: düĢük enerjilerde fenomenolojik (hadronik) özellikler ve yüksek enerjilerde KRD özellikleri. Burada amaç, hadronik gözlemlenebilirleri, mikroskobik KRD parametreleri cinsinden ifade edebilmektir. Bunun için iliĢkilendirme fonksiyonu kullanılır. Hadron alanlarının iliĢkilendirme fonksiyonları, fiziksel KRD temel durumunda zaman-sıralı beklenen değerlerinin
Fourier transformu olarak yazılır. Eğer hadronların kütle ve leptonik bozunum sabiti hesaplanmak isteniyorsa iki noktalı iliĢkilendirme fonksiyonu,
4 iq x
(q) i d xe 0 | T J(x)J(0) | 0
(2.1)form faktörü ve kuplaj sabiti, manyetik moment, dallanma oranı gibi nicelikler hesaplanmak isteniyorsa üç noktalı iliĢkilendirme fonksiyonu,
2 4 4 ip x ip y
1 2 3
(p, p ) i d xd ye e 0 | T J (y)J (x)J (0)
(2.2)kullanılır. Burada T zaman sıralama operatörü, J(x) Dirac matrisleri ve kuark alanları ile oluĢturulan ara kesit akımı, |0 vakum durumu ve q, p, p kuarkların momentumunu temsil eder.
2.3. Ġki Noktalı ĠliĢkilendirme Fonksiyonu
Ġki noktalı iliĢkilendirme fonksiyonunda J(x) incelediğimiz hadronun kuantum sayılarına sahip bir akımdır. Daha önce de değinildiği gibi, hesaplamalara iliĢkilendirme fonksiyonu hem hadronik hem de kuark seviyesinde yazılabileceği savıyla baĢlanır. KRD tarafında iliĢkilendirme fonksiyonunu Operatör Çarpım Açılımı (OÇA) yöntemi kullanılarak hesaplanır [22]. OÇA, biri x, diğeri x=0 konumundaki zaman sıralı iki yerel operatörün çarpımının, baĢka yerel operatörlerin bir açılımı olarak,
AB
n n n ˆ T A x B 0
C x O 0 x0 (2.3) Ģeklinde yazılmasıdır. CABkatsayı ifadesi Wilson katsayıları diye adlandırılan fonksiyonlar ve Ôn vakumun pertürbatif olmayan yapısına bağlı yerel alan operatörleridir. Bu yöntemi iliĢkilendirme fonksiyonuna uygulamak için,
KRD 2 4 2 n n n ˆ q i d x exp[iq x] 0 | TJ x J 0 | 0 C q 0 | O | 0
(2.4)EĢitlik (2.4)‟ün sağ tarafındaki Ôn ifadesi hafif kuark ve gluonlar cinsinden ifade edilebilecek bütün yerel değiĢmez operatörleri içermektedir. Cn(Q2
)(Q2=-q2) Wilson katsayıları sadece kısa erimli etkileri içerir. Bu yüzden katsayılar pertürbatif yöntemlerle elde edilebilir. Pertürbatif olmayan uzun erimli etkileri sadece yerel operatörler içermektedir. OÇA‟da operatörler boyutlarına göre sıralanmaktadır. En düĢük boyutlu operatörü pertürbatif katkıyı temsil eder: C0(Q2)=per(Q2), Ô0=1. KRD vakum alanları, önceden bahsedilen yoğunlaĢmalar cinsinden ifade edilir. Bir ve iki boyutlu renksiz operatör bulunmadığı için, en düĢük boyutlu yoğunlaĢmalar üç boyutlu kuark yoğunlaĢmaları 0|Ô3|0=qq ve dört boyutlu gluon yoğunlaĢmalarıdır 0|Ô4|0=g2
G2. Bu operatörlerin vakum ortalamaları KRD vakumunun en önemli parametrelerindendir. Daha yüksek mertebeli katkılar 2
/Q2 oranının yüksek dereceli üsleriyle orantılı olarak bastırılır. Burada 2
ifadesi uzun mesafe ölçeği olarak kabul edilir [10]. Ġlk bir kaç terimden sonra dahi açılımın geri kalan terimleri rahatlıkla ihmal edilebilmektedir. AĢağıda altı boyuta kadar OÇA‟ya katkı sağlayan operatörler verilmiĢtir.
Tablo 2.1. Vakum yoğunlaĢma katkıları
Pertürbatif katkı
3
ˆO qq Kuark yoğunlaĢması
a a 4 ˆO G G Gluon yoğunlaĢması a a 5 ˆO q G q 2 Kuark-gluon yoğunlaĢması
6ˆO q q q q Dörtlü kuark yoğunlaĢması
a b c
6 abc
ˆO f G G G Üçlü gluon yoğunlaĢması
2.3.1. Spektral yoğunluk
Bütün hadronlar, kuarkların bağlı birer durumudurlar. Bu bağlı durumları kuantum mekaniğinde Hidrojen atomunda tarif eden denklemler gibi net ifade edebilecek formüllerle tanımlamak KRD‟nin karmaĢık doğasından dolayı henüz mümkün olmamıĢtır. Bağlı durumları tanımlamak için kullanılan bir yöntem, her bir bağlı durumun bir pik ile temsil edildiği, enerjinin bir fonksiyonu olan spektral yoğunluklardır. Rezonans durumların spektral yoğunluklarını içeren matematiksel
0
nesnelere iliĢkilendirme fonksiyonları denir. Zamansı momentum bölgelerinde iliĢkilendirme fonksiyonu, sistemin spektral fonksiyonu ile verilir. Uzamsı bölge içinde ise iliĢkilendirme fonksiyonu OÇA ile hesaplanabilir. Dispersiyon bağıntısıyla hadronik ve KRD sonuçları iliĢkilendirilir. Spektral fonksiyon için fenomenolojik bir ilk tahmin yapılır ve bu tahminin özellikleri OÇA‟yı yeniden üretmek için fit edilir. OÇA‟daki Wilson katsayıları KRD Lagrangian‟ı ile hesaplanabilir. Dolayısıyla spektral fonksiyonla gelen fenomenolojik kısım ile OÇA‟da bulunan kuramsal kısım iliĢkilendirilmiĢ olur. Hadronik (veya fenomenolojik) temsilde iliĢkilendirme fonksiyonu,
hadron 2 2 s (q ) ds q s i
(2.5)Ģeklinde yazılabilir. Spektral yoğunluk ise,
1
(s) Im s
(2.6)
iliĢkilendirme fonksiyonunun imajiner kısmıyla verilir. (s)‟yi elde etmek iliĢkilendirme fonksiyonunu elde etmekten daha kolaydır, üstelik (s)‟yi bilmek tüm iliĢkilendirme fonksiyonunu kavramayı sağlar. EĢitlik (2.1) ve EĢitlik (2.2) ifadelerindeki J [̄J] akımı aynı kuantum durumuna sahip tüm hadronik durumlar için yaratma [yok etme] operatörüdür. Aynı kuantum sayılarına sahip hadronlar kıyaslandığında, en düĢük mertebeli rezonans aralığı nispeten küçük iken, büyük kütleli uyarılmıĢ durumlar daha geniĢ aralıklıdır. Bu yüzden spektral yoğunluğu tanımlarken, en düĢük kütleli (m) rezonans tek bir noktada, büyük kütleli durumlar da sürekli bir ek ifade ile temsil edilebilir ve
2
2
sürekli
s s m s
(2.7)
ifadesi kullanılır. Burada ifadesi akımın düĢük kütleli hadron olan H ile çiftlenimini temsil eder ve
0 | J | H
Ģeklinde yazılır. BasitleĢtirme açısından, EĢitlik (2.7)‟deki sürekli terimin belirli bir
s0 eĢik değerinin altında sıfır katkı verdiği kabul edilir. Parametre sayısını
olabildiğince düĢük tutmak için de bu eĢik değerinin üzerindeki spektral yoğunluğun OÇA ile verildiği kabul edilir [21] ve
sürekli OÇA
0
(s) (s) (s s )
(2.9)
Ģeklinde yazılır. Bu duruma kuark – hadron ikilemi denir.
2.3.2. Toplam kuralı
Toplam kuralı, iliĢkilendirme fonksiyonunun iki formunu eĢitleyerek,
(2.10) Ģeklinde elde edilir. Bununla beraber, bu eĢleĢtirmeyi yapmak hâlâ pratik değildir. Çünkü hadronik kısım küçük Q2
değerleri için geçerliyken diğer yanda KRD kısmı büyük Q2
değerleri için geçerlidir. Ġki tarafın belirli bir aralıkta kesiĢmesini sağlamak ve ikisinin de geçerli olduğu bir yer bulmak için Borel dönüĢümü uygulanır. Borel dönüĢümü,
2 2 2 2 n 1 2 2 2 2 M q ,n q M n q d ˆB q lim q n! dq (2.11)genel formülüyle verilir. Borel dönüĢümü neticesinde EĢitlik (2.5) ifadesinin (…) ile gösterilen kısmı elenir ve hadronik kısımdaki uyarılmıĢ durumlardan gelen katkılar üstel olarak bastırılmıĢ olur. KRD kısmında ise yüksek mertebeli yoğunlaĢmalar bastırılarak KRD yakınsaklığı geliĢtirilmiĢ olur. Sonuçta Borel dönüĢümünün ardından toplam kuralı,
0 2 2 2 min s 2 m M s M KRD s e ds e (s)
(2.12)Ģeklinde yazılır. EĢitlik (2.11) ifadesinin türevi alınarak,
2 2
(Q ) (Q )
hadron KRD
0 2 min 0 2 min s s M KRD s 2 s s M KRD s ds e s (s) m ds e (s)
(2.13)Ģeklindeki ifade elde edilir ve bununla temel durumdaki hadron kütlesi elde edilir.
2.4. Üç Noktalı ĠliĢkilendirme Fonksiyonu
EĢitlik (2.2)‟de verildiği Ģekliyle yazılan iliĢkilendirme fonksiyonu M1, M2 ve M3 mezonlarının bulunduğu köĢe için kullanılır. Bir önceki bölümde anlatılan yönteme benzer Ģekilde, öncelikle akımlar kuark diliyle, çeĢni ve renk içerikleri cinsinden yazılır ve KRD kısmı oluĢturulur. Ġkinci olarak, hadronik durumların matris elemanları cinsinden yazılarak iliĢkilendirme fonksiyonunun hadronik formu elde edilir. Bu kısımdaki parametreler deneysel verilerle, KRD Örgü yöntemiyle veya efektif Lagrangian‟lar ile elde edilerek iliĢkilendirme fonksiyonunda kullanılırlar. Bunlar incelenen mezonların kütleleri, bozunum özellikleri gibi parametreleridir ve bu Ģekilde hadronik kısım tanımlanmıĢ olur.
KRD kısmında önce akımlar tanımlanır. Mezon akımları kuark içeriklerini ve spin, parite durumlarını gösteren Dirac matrislerini,
i
J q q (2.14)
formatında içerir. Burada G=1, , 5, 5 olup, sırasıyla skaler, vektör, pseudoskaler ve aksial-vektör mezonlar için kullanılan ifadeleri, q ise kuark spinörlerini temsil eder. Akımları EĢitlik (2.2)‟de yerine yazdıktan sonra Wick teoremini uygulayarak, ilerleticiler ile normal sıralı operatör olan vakum beklenen değerlerinin çarpımlarından oluĢan bir terimler serisi elde edilir. Bu terimler sırasıyla pertürbatif katkı, kuark yoğunlaĢması, gluon yoğunlaĢması vb. parametreleri temsil ederler ve matematiksel gösterimleri, sırasıyla hafif ve ağır kuark ilerleticiler için,
