Hadronların güçlü etkileĢimlerini anlamada pertürbatif olmayan süreçlerin açıklığa kavuĢması gerekmektedir. KRD toplam kuralları, bu alanda geliĢtirilmiĢ en etkin yöntemlerden birisidir.
Güçlü etkileĢimin karakteristiğini belirleyen pertürbatif olmayan etkiler, analitik yollarla çözülemeyecek kadar karmaĢık bir doğaya sahiptir. Örgü KRD gibi ilk prensiplere dayalı nümerik analiz yöntemleri ise çok yüksek hesaplama kapasitelerine sahip maliyetli bilgisayar donanımlarını gerektirmektedir. KRD toplam kuralları ve benzeri yöntemler ise, bir takım yaklaĢıklıklar kullanarak belli bir hata payı çerçevesinde hadronik özelliklerin öngörülmesine imkân tanır.
KRD toplam kurallarında temel yaklaĢım, iliĢkilendirme fonksiyonunu önce hadron parametreleriyle yazıp, daha sonra KRD diliyle aynı fonksiyonu tekrar yazarak kuark-hadron sınırında bu iki farklı versiyonu eĢitlemek ve buradan ölçülebilir parametreleri kuark ve gluon yoğunlaĢmaları cinsinden elde etmektir. Elbette, bu yaklaĢımın kullanılabileceği kuark-gluon ikiliği sınırının belirlenmesi ve Borel kütlesi gibi uygulanan bazı parametreler, kesin sonuçtan bizi uzaklaĢtırmaktadır. Ancak yine de KRD toplam kuralları, pertürbatif olmayan etkilerin anlaĢılmasında mevcut yöntemler arasında en pratik, yaygın ve güvenilir olanlardan biri olmaya devam ediyor.
Bu çalıĢmada vakumda üç nokta toplam kuralları yöntemiyle hafif ve ağır kuark içerikli mezonların kuplaj sabitleri elde edildi. Üç nokta iliĢkilendirme fonksiyonu kullanarak D*s[B*s] ve Ds[Bs] mezonlarının hafif pseudoskaler ve mezonları ile kuplaj sabitleri hesaplandı. Bu hesapta hafif mezonunda singlet ve oktet durumlar arasındaki geçiĢler ihmal edilerek ve mezonları singlet ve oktet durumlar olarak kabul edildi. Çünkü bu karıĢım KRD Toplam Kurallarının hata payı çerçevesinde kalacaktır. Sonlu sıcaklıklarda KRD toplam kuralları yöntemiyle iki pseudoskaler Bc mezonunun J/ vektör mezonuyla kuplaj sabiti hesaplandı.
Yapılan çalıĢmalarla ilgili elde edilen sonuçlar ve ileriye dönük öneriler Ģu Ģekildedir: 1) D*sDs, D*sDs, B*sBs, B*sBs köĢelerinde üç nokta toplam kuralları yöntemiyle güçlü etkileĢim form faktörleri hesaplandı. Form faktörlerinin Q2 değerinin bir fonksiyonu olarak davranıĢına bakıldı. Hesaplar yapılırken pseudoskaler Ds, Bsve mezonları off-shell durumlar olarak ele alındı.
2) Ağır kuarklar için kuark yoğunlaĢmalarının pertürbatif olmayan etkilere olan katkısının gluon ve kuark-gluon yoğunlaĢmalarının yanında ihmal edilebilecek kadar düĢük olduğu görüldü.
3) Q2=-m2(off-shell) olduğu noktada her köĢe için güçlü etkileĢim kuplaj sabitleri bulundu. Her bir off-shell durumuna karĢılık gelen kuplaj sabitlerinin ortalaması alınarak sonuçlar elde edildi. Bulunan değerler D*sDs, D*sDs, B*sBs, B*sBs köĢelerinde sırasıyla (1,46±0,30)GeV-1
, (0,74±0,16)GeV-1, (5,29±1,06)GeV-1, (2,29±0,48)GeV-1
olarak elde edildi.
4) Üç nokta toplam kuralları ile kuplaj sabiti hesabının sonlu sıcaklığa geniĢletilmesine literatürde rastlanmadı. Ancak toplam kuralları yöntemi uygulanırken, fenomenolojik kısımda kütle ve bozunum sabitlerinin sıcaklığa bağlı fonksiyonlar olarak ele alınması mümkündür. Çünkü sonlu sıcaklıklarda kütle ve bozunum sabitleri literatürde yoğun olarak çalıĢılmıĢ alanlardır [72-84]. KRD kısmında ise pertürbatif olmayan katkılarda, literatürde geçen yoğunlaĢmaların sıcaklığa bağlı ifadeleri kullanılabilir. Ancak pertürbatif kısımda üç nokta toplam kuralları için bir spektral yoğunluk ifadesi henüz elde edilememiĢtir. Yine de süreklilik eĢik değerlerinin sıcaklığa bağlı ifadelerinden dolayı pertürbatif kısım sıcaklığa bağlı olarak değiĢecektir.
Nitekim yapılan bu çalıĢmada BcBcJ/ köĢesi için sonlu sıcaklıkta elde edilen kuplaj sabiti T=0 değerinde, vakumda KRD toplam kuralları kullanılarak elde edilen kuplaj sabiti değeriyle uyumlu olduğu görüldü. Sıcaklık arttıkça kuplaj sabiti belli bir değere kadar değiĢmezken, kritik sıcaklığa gelindiğinde kuplaj sabitinin yaklaĢık %20 azaldığı görüldü.
Bu durumda gelecekte kuramsal çalıĢmalar için sonlu sıcaklıklarda diğer mezonların kuplaj sabiti hesaplarının yapılabileceği ve belli bir hata payı içerisinde kabul edilebilir sonuçlara ulaĢılacağı öngörülmektedir. Bununla birlikte, elde edilen kuramsal sonuçların ağır iyon çarpıĢmalarında test edilebileceği ve yönlendirici etkisi bulunabileceği de öngörülmektedir.
KAYNAKLAR
[1] Tomonaga S., On A Relativistically Invariant Formulation of the Quantum Theory of Wave Fields, Prog. Theor. Phys., 1946, 1, 27.
[2] Schwinger J., On Quantum-Electrodynamics and the Magnetic Moment of the Electron, Phys. Rev., 1948, 73, 416.
[3] Feynman R. P., Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics, Phys.
Rev., 1949, 76, 769.
[4] Glashow S. L., Partial Symmetries of Weak Interactions, Nucl. Phys., 1961,
22, 579.
[5] Salam A., Weak and Electromagnetic Interactions, 8th Nobel Symposium, Lerum, Sweden, 19-25 May 1968.
[6] Yukawa H., On the Interaction of Elementary Particles, Proc. Phys. Math.
Soc. Jap., 1935, 17, 48.
[7] Feynman R. P., Very High-Energy Collisions of Hadrons, Phys. Rev. Lett., 1969, 23, 1415.
[8] Fritzsch H., Gell-Mann M., Leutwyler H., Advantages of the Color Octet Gluon Picture, Phys. Lett. B, 1973, 47, 365.
[9] Beringer J. et al. (Particle Data Group), Review of Particle Physics, Phys.
Rev. D, 2012, 86, 010001.
[10] Yang C. N., Mills R. L., Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance, Phys. Rev., 1954, 96, 191.
[11] Gross D. J. and Wilczek F., Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories, Phys. Rev. Lett. 1973, 30, 1343.
[12] Politzer H. D., Reliable Perturbative Results for Strong Interactions, Phys.
Rev. Lett., 1973, 30, 1346.
[13] Frenkel J. and Taylor J. C., Asymptotic Freedom in the Axial and Coulomb Gauges, Nucl. Phys. B, 1976, 109, 439.
[14] Khriplovich I. B., Green's Functions in Theories with Non-Abelian Gauge Group, Yad. Fiz., 1969, 10, 409-424.
[15] Hooft G., Computation of the Quantum Effects due to a Four-Dimensional pseudoparticle, Phys. Rev. D, 1976, 14, 3432.
[16] Belavin A., Polyakov A. M., Shvarts A. S., and Tyupkin Y. S., Pseudoparticle Solutions of the Yang-Mills Equations, Phys. Lett. B, 1975, 59, 85.
[17] Weinberg S., Dynamical Approach to Current Algebra, Phys. Rev. Lett., 1967, 18, 188.
[18] Weinberg S., Precise Relations between the Spectra of Vector and Axial- Vector Mesons, Phys. Rev. Lett., 1967, 18, 507.
[19] Weinberg S., Nonlinear Realizations of Chiral Symmetry, Phys. Rev., 1968,
166, 1568.
[20] Wilson K. G., Confinement of Quarks, Phys. Rev. D, 1974, 10, 2445.
[21] Shifman M. A., Vainshtein A. I., Zakharov V. I., QCD and Resonance Physics Theoretical Foundations, Nucl. Phys. B, 1979, 147, 385-447.
[22] Ioffe B. L., Calculation of Baryon Masses in Quantum Chromodynamics,
Nucl. Phys. B, 1981, 188, 317-341.
[23] Bochkarev A. I. and Shaposhnikov M. E., The Spectrum of Hot Hadronic Matter and Finite-Temperature QCD Sum Rules, Nucl. Phys. B, 1986, 268, 220.
[24] Wilson K. G., Non-Lagrangian Models of Current Algebra, Phys. Rev., 1969,
179, 1499.
[25] Kachelriess M., From Hubble to the Planck Scale: An Introduction to Quantum Fields, http://web.phys.ntnu.no/~mika/cpp.php/, (Ziyaret tarihi: 10 Ocak 2015).
[26] Shuryak E. V., Correlation functions in the QCD Vacuum, Rev. Mod. Phys., 1993, 65, 1.
[27] Mallik S., Mukherjee K., QCD Sum Rules at Finite Temperature, Phy. Rev.
D, 1998, 58, 096011.
[28] Satz H., The Quark-Gluon Plasma - A Short Introduction, Nucl.Phys. A, 2011, 862, 4-12.
[29] del Amo Sanchez P. et al., (BABAR Collaboration), Evidence for Direct CP Violation in the Measurement of the Cabbibo-Kobayashi-Maskawa Angle γ with B±→D(*)K(*)± Decays, Phys. Rev. Lett., 2010, 105, 121801.
[30] Mendez H. et al., (CLEO Collaboration), Measurements of D Meson Decays to Two Pseudoscalar Mesons, Phys. Rev. D, 2010, 81, 052013.
[31] Acosta D. et al., (CDF Collaboration), Measurement of the J/Psi Meson and b-Hadron Production Cross Sections in PPbar Collisions at √s=1960GeV,
[32] Acosta D. et al., (CDF Collaboration), Measurement of the Lifetime Difference between Bs Mass Eigenstates, Phys. Rev. Lett., 2005, 94, 101803. [33] Aaltonen, T. et al., (CDF Collaboration), Observation of Orbitally Excited
Mesons, Phys. Rev. Lett., 2008, 100, 082001.
[34] Abulenciaet A. et al., (CDF Collaboration), Measurement of the Bs-Bsbar Oscillation Frequency, Phys. Rev. Lett., 2006, 97, 062003.
[35] Abulenciaet A. et al., (CDF Collaboration), Observation of Bs-Bsbar Oscillations, Phys. Rev.Lett., 2006, 97, 242003.
[36] Abazov V.M. et al., (D0 Collaboration), Measurement of the Bs Lifetime in the Exclusive Decay Channel BsJ/, Phys. Rev. Lett., 2005, 94, 042001. [37] Abazov V.M. et al., (D0 Collaboration), Lifetime Difference and CP-
Violating Phase in the Bs System, Phys. Rev. Lett., 2007, 98, 121801.
[38] Aaltonen T., et al., (CDF Collaboration), Measurement of the b-Hadron Production Cross Section Using Decays to -D0X Final States in pp Collisions at √s=1,96TeV, Phys.Rev. D, 2009, 79, 092003.
[39] Aaltonen T., et al., (CDF Collaboration), Measurement of Ratios of Fragmentation Fractions for Bottom Hadrons in p-pbar Collisions at √s=1,96TeV, Phys.Rev. D, 2008, 77, 072003.
[40] Bracco M. E., Cerqueira Jr. A., Chiapparini M., Lozea A., Nielsen M., D∗D sK and D∗sDK Vertices in a QCD Sum Rule Approach, Phys. Lett. B, 2006, 641, 286.
[41] Wang Z. G., Wan S. L., Analysis of the Vertices D∗
sDK, D∗DsK, D0DsK and DsDK with the Light-Cone QCD Sum Rules, Phys. Rev. D, 2006, 74, 014017. [42] Rodrigues B. O., Bracco M. E., Nielsen M., Navarra F. S., D*D Vertex from
QCD Sum Rules, Nucl. Phys. A, 2011, 852 (1), 127-140.
[43] Navarra F. S., Nielsen M., Bracco M. E., Chiapparini M., Schat C.L., D∗Dπ and B*BForm Factors from QCD Sum Rules, Phys. Lett. B, 2000, 489, 319- 328.
[44] Navarra F. S., Nielsen M., Bracco M. E., D*DForm Factor Reexamined,
Phys. Rev. D, 2002, 65, 037502.
[45] Bracco M. E., Chiapparini M., Lozea A., Navarra F. S., Nielsen M., D and Mesons: Who Resolves Whom?, Phys. Lett. B, 2001, 521, 1-6.
[46] Matheus R. D., Navarra F. S., Nielsen M., da Silva R. R., The J/DD Vertex in QCD Sum Rules, Phys. Lett. B, 2002, 541, 265.
[47] Matheus R. D., Navarra F. S., Nielsen M., da Silva R. R., J/ Couplings to Open Charm Mesons from QCD Sum Rules, Int. J. Mod. Phys. E, 2005, 14, 555.
[48] Wang Z. G., Analysis of the Vertices D*D*and D*D*swith Light-Cone QCD Sum Rules, Nucl. Phys. A, 2007, 796, 61-82.
[49] Wang Z. G., Analysis of the Vertices DDV and D*DV with Light-Cone QCD Sum Rules, Eur. Phys. J. C, 2007, 52, 553.
[50] Bracco M. E., Chiapparini M., Navarra F. S., Nielsen M., J/D*D* Vertex from QCD Sum Rules, Phys. Lett. B, 2005, 605, 326.
[51] Wang Z. G., Structure of the (0+, 1+) mesons Bs0 and Bs1 and the Strong Coupling Constant gBsBK and gB*sBK, Phys. Rev. D, 2008, 77, 054024.
[52] Maris P., Tandy P. C., Bethe-Salpeter Study of Vector Meson Masses and Decay Constants, Phys. Rev. C, 1999, 60, 055214.
[53] Gamiz E., et al. (HPQCD Collaboration), Neutral B Meson Mixing in Unquenched Lattice QCD, Phys. Rev. D, 2009, 80, 014503.
[54] Rosner J. L., Stone S., Leptonic Decays of Charged Pseudoscalar Mesons,
Fermi National Accelerator Laboratory, FERMILAB-PUB-15-384-T , 15-21,
2015.
[55] Hwang C. W., Analyses of Decay Constants and Light-Cone Distribution Amplitudes for S-Wave Heavy Meson, Phys. Rev. D, 2010, 81, 114024. [56] Lucha W., Melikhov D., Simula S., Effective Continuum Threshold in
Dispersive Sum Rules, Phys. Rev. D, 2009, 79, 0960011.
[57] Navarra F. S., Nielsen M., Bracco M. E., B*BForm Factor Reexamined,
Phys. Rev. D, 2002, 65, 037502.
[58] M. E. Bracco, M. Chiapparini, F. S. Navarra, Nielsen M., D*D* Vertex from QCD Sum Rules, Phys. Lett. B, 2009, 659, 559-564.
[59] Holanda L. B., de Carvalho M. R. S., Mihara A., The ωDD Vertex in a Sum Rule Approach, Phys. Lett. B, 2007, 644, 232.
[60] Azizi K., Sundu H., D*sDK*(892) and B*sBK*(892) Coupling Constants in QCD Sum Rules, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys., 2011, 38, 045005.
[61] Cui C. Y., Liu Y. L., Huang M. Q., B*sB*K Form Factor from QCD Sum Rules, Phys. Lett. B, 2012, 707, 129.
[62] Donskov S. V., Kolosov V. N., Lednev A. A., Mikhailov Y. V., Polyakov V. A., Samoylenko V. D., Khaustov G. V., Measurement of the η-η′ Mixing Angle in π− and K− Beams with GAMS-4π Spectometer, Eur. Phys. J. C,
[63] Yazici E., Veliev E., Azizi K., Sundu H., "Investigation of the D*sDs() and B*sBs() Vertices via QCD Sum Rules", Eur. Phys. J. Plus, 2013, 128, 113. [64] Becirevic D., Boucaud P., Leroy J. P., Lubicz V., Martinelli G., Mescia F.,
Rapuano F., Nonperturbatively Improved Heavy-Light Mesons: Masses and Decay Constants, Phys. Rev. D, 1999, 60, 074501.
[65] Ivanov M. A., Santorelli P., Decay Constants and Semileptonic Form Factors of Pseudoscalar Mesons, 14th International Workshop on High Energy
Physics and Quantum Field Theory, Moscow, Russia, 27 May-2 June 1999.
[66] Abbiendi G. et al. [OPAL Collaboration], Measurement of the Branching Ratio for Ds Decays, Phys. Lett. B, 2001, 516, 236-248.
[67] Pham T. N., η-η` Mixing Angle from Vector Meson Radiative Decays, Phys.
Lett. B, 2010, 694, 129-133.
[68] Ioffe B. L., QCD at Low Energies, Prog. Part. Nucl. Phys., 2006, 56, 232. [69] Veliev E. V., Azizi K., Sundu H., AkĢit N., Investigation of Heavy-Heavy
Pseudoscalar Mesons in Thermal QCD Sum Rules, J. Phys. G: Nucl. Part.
Phys., 2012, 39, 015002.
[70] Veliev E. V., Azizi K., H. Sundu, G. Kaya, Türkan A., Thermal QCD Sum Rules Study of Vector Charmonium and Bottomonium States, Eur. Phys. J.
A., 2011, 47, 110.
[71] Wang Z. G., Analysis of Hadronic Coupling Constants GBcBc and GB*cBc with QCD Sum Rules, Phys. Rev. D, 2014, 89, 17-34.
[72] Azizi K., Türkan A., Veliev E. V., Sundu H., Thermal Properties of Light Tensor Mesons via QCD Sum Rules, http://arxiv.org/abs/1410.5237 (Ziyaret tarihi:20 Ekim 2014).
[73] Azizi K., Sundu H., Türkan A., Veliev E. V., Thermal Properties of D*2(2460) and D*s2(2573) Tensor Mesons Using QCD Sum Rules, J. Phys. G:
Nucl. Part. Phys., 2014, 41, 035003.
[74] Veliev E. V., Azizi K., Sundu H., Kaya G., Türkan A., Decay Constants of Heavy Vector Mesons at Finite Temperature, J. Phys.: Conf. Ser., 2012, 347, 012034.
[75] Veliev E. V., Sundu H., Azizi K., Bayar M., Scalar Quarkonia at Finite Temperature, Phys. Rev. D, 2010, 82, 056012.
[76] Morita K., Lee S. H., Heavy Quarkonium Correlators at Finite Temperature: QCD Sum Rule Approach, Phys. Rev. D, 2010, 82, 054008.
[77] Veliev E. V., Kaya G., The Mass and Leptonic Decay Constant of Ds0(2317) Meson in the Framework of Thermal QCD Sum Rules, Act. Phys. Pol. B,
[78] Veliev E. V., Kaya G., Leptonic Decay Constants of Ds and Bs Mesons at Finite Temperature, Eur. Phys. J. C, 2009, 63, 87-91.
[79] Veliev E. V., Aliev T. M., Thermal QCD Sum Rules for (600) Meson, J.
Phys. G, 2008, 35, 125002.
[80] Dominguez C. A., Loewe M., Rojas J. C., Heavy-Light Quark Pseudoscalar and Vector Mesons at Finite Temperature, JHEP, 2007, 08, 040.
[81] Veliev E. V., Operator Product Expansion for the Thermal Correlator of Scalar Currents, J. Phys. G: Nucl. Part. Phys.,2008, 35, 035004.
[82] Veliev E. V., Kaya G., Türkan A., Thermal Behaviors of the Heavy Strange Mesons, Türk Fizik Derneği 28. Uluslararası Fizik Kongresi, Bodrum, Türkiye, 6-9 Eylül 2011.
[83] Veliev E. V., Kaya G., Tunçel A., The Contribution of Two-Loop Perturbative Correction to Heavy-Light Mesons Parameters at Finite Temperature, Turkish Physics Society 26th International Physics Congress, Bodrum, Turkey, 24-27 September 2009.
[84] Azizi K., Türkan A., Sundu H., Veliev E., Yazici E., Thermal behaviors of Light Unflavored Tensor Mesons in the Framework of QCD Sum Rule,
Ek A. SU(3) Grubu ve Gell-Mann Matrisleri
Yüksek enerji fiziği hesaplamalarında iĢlemlerin kolaylaĢması açısından ıĢık hızı ve Planck sabiti 1 birim olarak alınır ħ=c=1. Dört boyuta genelleĢtirilmiĢ kontravaryant koordinat x=(t,x) ile tanımlanır. Kovaryant koordinat da metrik tensör yardımıyla tanımlanır x=gx =(t,-x). Metrik tensör,
1 0 0 0 0 1 0 0 g g 0 0 1 0 0 0 0 1 (A.1)
matrisiyle tanımlanır. Minkovski uzayında skaler bir değiĢmez,
22 2
ds dx dx g dx dx dt dx (A.2)
ile verilir. Burada Einstein toplama kuralı, yani tekrar eden indis üzerinden toplama kuralı uygulanır. ĠĢlemlerde 4×4 Dirac matrisleri,
i 0 5 0 i I 0 0 I I , , 0 I I 0 I (A.3)
Ģeklinde ifade edilirler. Bu1rada I matrisi 2×2 birim matrisiĢeklinde, i‟ler ise 2×2 Pauli matrisleridir. Dirac matrisleri aĢağıdaki cebre uygun olarak belirlenir ve
,
2g , (A.4)
0 i
g , , , i 1, 2,3 , (A.5)
0 i
5 0 1 2 3 , , i (A.6)ifadelerine göre iĢlem yapılır. KRD kuramı, SU(3) simetrisine sahip, Abelyen olmayan bir ayar kuramıdır. Üç boyutlu karmaĢık bir vektör uzayını ele alalım. Bu uzayda,
1 2 3 (A.7)
üç karmaĢık sayıyla temsil edilen bir vektör olsun. Bu uzayda her hangi bir dönme operasyonu,
j i Ui j
(A.8)
Ģeklinde yazılabilir. Burada U üniter operatörü temsil eder. Üniterlik Ģartı,
† †
U UUU 1 (A.9)
yeni vektörünün orijinal vektörüyle aynı norma sahip olduğunu garantiler. Bu uzayda matris çarpım iĢlemleri altında bütün 3×3 üniter matrisleri bir U(3) grubu oluĢtururlar. U(3) matrisinin determinantı birim norma sahip olduğu için |det(U)|=1 olur ve det(U)=ei olarak tanımlanabilir. U(3) dönüĢümünün oluĢturduğu ve |det(U)|=1 olan altküme SU(3) grubunu oluĢturur. U†U=UU†=1 ve |det(U)|=1 Ģartları U matrisinin 8 bağımsız parametreye bağlı olacağını belirler. Bu parametreleri a(a=1,2,3,…,8) Ģeklinde gösterelim. Bu parametreleri a
=0 olacak Ģekilde seçebiliriz. Böylece U matrisi birim matrise indirgenmiĢ olur. Eğer a‟lar yeterince küçükse, a
=0 etrafında U matrisini seriye açabiliriz ve
8 a a a 1 U I i t
(A.10)ifadesini elde ederiz. Burada ta ifadeleri 3×3 Hermityen matrislerdir ve SU(3) grubunun üreticileri olarak adlandırılırlar. Doğal olarak, ta
matrislerinin seçimi, parametrelerin nasıl seçildiğine bağlıdır. Geleneksel olarak ta
üreticileri Gell-Mann matrisleri olarak adlandırılan a‟lar cinsinden ifade edilir: ta=a
/2 Gell-Mann matrisleri,
1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 0 0 i 0 1 0 0 1 0 0 i 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 i 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 i 0 1 0 0 i 0 0 0 2 (A.11)
Ģeklinde tanımlanır. Üreticiler aĢağıdaki komütasyon kuralına uyarlar ve
a b c abc , if 2 2 2 (A.12)
bu ifadedeki fabc antisimetrik yapı sabitlerini temsil eder.
Bütün i matrisleri SU(3) grubunun 3 boyutlu temel bir temsilidir ve bu temsil |3| ile gösterilsin. KarmaĢık eĢlenik tüm U*
matrisleri de SU(3) grubunun baĢka bir temsilidir. Bu da |3̄| ile gösterilsin. Elbette i uzayı bir |3̄| tanımlar. Ġki kuarka renk yükü eklensin ve qi
ile gösterilsinler. Toplama iĢleminin en kolay yolu, tensör metodu denilen yöntemi kullanmaktır. Üç boyutlu iki uzayı çarpınca qi
qj bazı tarafından gerilen 9 boyutlu uzay elde edilir. ij simetrik kısım olan,
i j j i
1
q q q q
2 (A.13)
ifadesi 6 boyutlu bir altuzayı oluĢturur. i ve j indislerine göre antisimetrik kısım olan,
i j j i
1
q q q q
2 (A.14)
ifade ise 3 boyutlu bir alt-uzay oluĢturur. Ancak bu uzay, kuarkın 3 boyutlu renk uzayı ile aynı Ģey değildir. Çünkü SU(3) grubunda dönme altında bu yeni 3 boyutlu uzay, orijinal kuarkların karmaĢık eĢleniği gibi döner. Bu yüzden, artık yeni bir |3̄| yük durumuna sahibiz. Sonuç olarak, eğer iki-triplet renk yükünü topladığımızda bir
|6| ve |3̄| uzayı elde ederiz. Kısaca, |3|×|3|=|6|×|3̄| yazabiliriz. Eğer bir kuark ile bir antikuark renk yükleri toplanmak istenirse ne olur?
q1q-1+ q2q-2+ q3q-3 kombinasyonu SU(3) dönüĢümü altında değiĢmezdir ve |1| ile gösterilen bir renk singlet durumudur. Literatürde bu renk singlet durumuna beyaz veya renksiz durum denir. qiqj ile renksiz durumun çıkarıldığı kombinasyonlar 8 boyutlu bir SU(3) grubu temsili oluĢturur: |8|. Bu yüzden |3|×|3̄|=|1|+|8| olur.
Ek B. KRD için Feynman Kuralları
KRD etkileĢiminin Ģiddeti, güçlü etlileĢim sabiti gs=√4s ile ifade edilir ve bu nicelik renk yükünün temel birimi olarak düĢünülebilir. Renk yükü taĢıyıcısı olan kuarkların rengi, bir kuark-gluon köĢesinde değiĢime uğrar. Kuarkın kuark-gluon köĢesine girmeden önceki ve girdikten sonraki renginin farkı, bir gluon tarafından taĢınır. Böylece kuark-gluon köĢesinde renk yükü korunmuĢ olur.
q örtlü momentumuna sahip kuark ilerletici,
: i
2q 2m
q m (B.1)olarak verilir. Gluon ilerletici ise,
: ig 2 q (B.2)
Ģeklinde ifade edilir. Kuark-gluon etkileĢim köĢesi,
: igs 2
(B.3)
olarak elde edilir. KRD‟de KED‟den farklı olarak ayar bozonları birbirleriyle etkileĢime girerler. Bu yüzden üç gluon köĢesi gibi kavramların da matematiksel ifadelerinin belirlenmesi gerekir. Bahsedilen köĢe için,
:
s 1 2 2 3 3 1 g f g k k g k k g k k (B.4)ifadesi yazılır. KRD kuramına göre dörtlü gluon köĢeleri de mümkündür. 4 gluon etkileĢim köĢesi için,
:
2 s ig f f g g g g f f g g g g f f g g g g (B.5)ifadesi kullanılır. KöĢelere gelen [köĢelerden ayrılan] s spinli p momentumlu ve c rengine sahip kuarklar, u(p)[u(p)c†] ifadesiyle, antikuarklar ise, v(p)[v(p)c] ifadesiyle verilir. KöĢeye gelen [köĢeden ayrılan] p momentumlu polarizasyonuna sahip a renkli gluonlar (p)a[*(p)a*] ifadesiyle belirtilir.
Geri kalan her Ģey, KED Feynman kurallarıyla aynıdır. Her köĢede enerjinin korunumu göz önüne alınır. Her fermiyon çizgisinin gösterdiği okun tersi yönde takip edilir, çizgilere karĢılık gelen matematiksel ifadeler yazıldıktan sonra integral alınarak delta fonksiyonu yok edilir ve sonuç -iM ifadesine eĢitlenir. Bu Feynman kurallarıyla herhangi bir KRD süreci hesaplanabilmektedir.
Ek C. Operatör Çarpım Açılımı (OÇA) ve YoğunlaĢmalar
OÇA, kısa mesafelerde yerel operatörlerin çarpımını ifade eden bir yöntemdir. Kuantum alan kuramında bu operatörlerin uzay-zaman noktası çakıĢtığı zaman çarpımları singüler olur. Kuantum alan kuramında pek çok uygulama operatörlerin çarpımını kullanmayı gerektirir. Bazı uygulamalarda yerel operatörlerin çarpımının singüler davranıĢlarını kontrol altında tutmak gerekir.
OÇA kısa ve uzun mesafeli katkıları birbirinden ayırabilmemizi sağlar. Uzun mesafeden katkılar vakum yoğunlaĢmaları ile temsil edilirken, kısa mesafe katkıları katsayı fonksiyonları ile dâhil edilir. OÇA‟yı elde ederken, bir Ģekilde yapay bir sınır () koymak gerekir. Buna genelde normalizasyon noktası denir. Bu değerinden yüksek frekanslı tüm dalgalanmalar katsayı fonksiyonları içinde varsayılır. Daha düĢük frekanslı modlar ise yoğunlaĢmalarda tutulur. Bütün OÇA yoğunlaĢmaları ve katsayıları 'ya bağımlıdır. Ancak tüm fiziksel gözlemlenebilirler 'dan bağımsızdır; yoğunlaĢmaların normalizasyon noktası bağımlılığı katsayı fonksiyonları tarafından kompanse edilir.
KRD toplam kurallarının kuramsal temeli, iki veya daha fazla akımın iliĢkilendirme fonksiyonu için operatör çarpım açılımıdır. Koordinat uzayında iki akım için OÇA,
(C.1)
Ģeklinde yazılır ve uygun kuantum sayılarına sahip yerel ayar değiĢmez (kuark- gluon) operatörlerinin tam setleri üzerinden toplam alınır. Yerellik derecesi ile belirlenir. EĢitliğin sağındaki seri sonsuzdur. Operatörler normal boyutlarına göre sıralanabilirler. Katsayı fonksiyonları temelde Pertürbasyon kuramıyla hesaplanır. Pek çok durumda iliĢkilendirme fonksiyonları için momentum uzayında OÇA kullanmak daha uygundur. Örneğin, vektör akımı ud için,
(C.2)
ve q vakuma enjekte edilen kuark-antikuark çiftinin toplam momentumu olmak üzere, akım korunumundan dolayı ,
0
0 n( ; ) n( ) x n T J x J C x Ô
4 iq x 0 0 0 i d xe T J x J
(C.3)
enine olarak tanımlanır. Böylece OÇA,
(C.4)
Ģeklini alır. Bu ifadede, operatörler boyutlarına göre sıralanırlar. En düĢük boyutlu operatör, pertürbatif katkıyla iliĢkilendirilen d=0 boyutlu birim operatördür.
2 pert
20 ˆ0
C q q , 0 | O | 0 1 (C.5)
EĢitlik (Ek C.4)‟te verilen KRD vakum alanları, vakum yoğunlaĢmaları olarak adlandırılır ve kuark, gluon alanlarından oluĢan d 0 boyutlu operatörlerin vakumda beklenen değerlerini ifade ederler. Sıfır boyutlu birim operatöre ek olarak, en düĢük boyutlu operatörler, vakum ortalamaları sırasıyla kuark ve gluon yoğunlaĢmaları olarak bilinen,
3
ˆO qq , ˆO G G4 a a (C.6)
ifadeleridir. 1 ve 2 boyutlu renksiz operatör olmadığı için KRD‟de daha düĢük boyutlu yoğunlaĢma yoktur. 5 ve 6 boyutlu operatörler,
a a 5 ˆO q G q 2 , (C.7)
q 6 r s G a b c 6 abc ˆO q q q q , ˆO f G G G (C.8)ifadeleriyle verilen, sırasıyla kuark-gluon, dörtlü kuark ve üçlü gluon operatörleridir. Daha yüksek mertebeli operatörler genelde ihmal edilebilecek kadar düĢük katkı yaptıkları için göz ardı edilirler.
Vakum yoğunlaĢmaları tamamıyla pertürbatif olmayan etkilerden kaynaklanan parametrelerdir. Dolayısıyla sayısal değerleri doğrudan hesaplanamaz ve farklı yöntemler kullanılarak elde edilmelidirler.
2 2 2 2 2 2 (q q q g ) (q ), D Q( ) (4 )Q d dQ 2 ( ) n( ; ) n( ) n D Q
C q Ô Kuark yoğunlaĢmaları KRD‟deki kendiliğinden kiral simetri kırılmasından doğrudan sorumlu oldukları için çok önemlidir. KRD toplam kuralları yönteminden çok önce de kuark yoğunlaĢma değeri biliniyordu,
2 2 3 u d f m qq 240 10MeV 2 m m (C.9)fakat bu ifade sadece hafif kuarklar için geçerlidir. Diğer yoğunlaĢmaları hesaplamak için örgü KRD ve instanton vakum modelleriyle bir takım hesaplamalar bulunsa da ilk prensiplere dayalı yöntemlerle henüz tam olarak kavranabilmiĢ değiller. Bu yüzden ampirik bazı yöntemlerle elde edilen sonuçları kullanmak hâlâ en güvenilir yol olarak görünüyor.
Gluon yoğunlaĢmasını bulmak için, laboratuarlarda kolayca tespit edilebilen iki c kuark içerikli vektör mezonlarının bilinen kütle ve leptonik bozunum sabitleri ile hadronik spektal yoğunluk kullanılmıĢtır. Kuark-hadron ikilemi kullanılarak iliĢkilendirme fonksiyonu ekstrapole edilmiĢ ve gluon yoğunlaĢması için bir değer,
a a 4 sG G 0.012GeV %30 (C.10)elde edilmiĢtir. Kuark-gluon yoğunlaĢmaları baryon akımları için iliĢkilendirme fonksiyonları kullanılarak üretilmiĢtir ve geleneksel olarak kullanılan parametrizasyon, a a 2 s 0 g q G q m qq 2 (C.11)
Ģeklinde elde edilmiĢtir. m2
0 fadesinin sayısal değeri elde edilmiĢtir:
2 2
0 1 0.8 0.2
m GeV GeV (C.12)
Ek D. Borel DönüĢümü
Borel dönüĢümü yöntemi, esasta Q2‟ye göre belli bir sayıda türev almaktır. Ancak Q2 sonsuza ıraksar ise türev sayısı da artar. Bu yüzden Q2