ÖNSÖZ
Tezin hazırlanma aşamasında büyük katkılarını gördüğüm değerli hocam sayın Doç. Dr. Özgür Turhan’a teşekkür ederim.
ĠÇĠNDEKĠLER
KISALTMALAR v
TABLO LĠSTESĠ vi
ġEKĠL LĠSTESĠ vii
SEMBOL LĠSTESĠ viii
ÖZET ix
SUMMARY x
1 GĠRĠġ 1
1.1 Çalışmanın Amacı 1
1.2 Dinamik Kararlılığı İncelenecek Sistemler 2
1.2.1 Krank-biyel ve 3-çubuk mekanizmaları 2
1.2.2 Kam mekanizması 4
1.3 Konuya İlişkin Diğer Çalışmalar ve Bu çalışmanın Katkısı 4
2 HAREKET DENKLEMLERĠNĠN ELDE EDĠLMESĠ 7
2.1 Krank-Biyel ve 3-Çubuk Mekanizmaları 7
2.1.1 Genel yaklaşım 7
2.1.2 f(x) yayılı ve F uç kuvvetinin etkisindeki stasyoner kirişin hareket
denklemi 9
2.1.3 Biyelin kinematiği göz önüne alınarak f(x) yayılı kuvvetinin hesabı 11 2.1.4 Mekanizmanın tipine göre F uç kuvvetinin hesabı 15 2.1.5 Krank-biyel ve 3-çubuk mekanizmalarında biyel titreşimlerinin kısmi
türevli diferansiyel denklemi 18
2.1.6 Galerkin Yöntemi ile hareket denklemlerinin bir Hill denklem takımına
dönüştürülmesi 19
2.2 Kam Mekanizması 23
2.2.1 Genel yaklaşım 23
3 HĠLL DENKLEMLERĠNĠN KARARLILIĞI 30
3.1 Floquet Kuramı ve Kararlılık Sınırları 30
3.1.1 Floquet Kuramı 30
3.1.2 Kararlılık sınırları 32
3.2.2 Sınır belirleme yöntemi 38
4 SAYISAL UYGULAMA VE SONUÇLAR 42
4.1 Krank-Biyel ve 3-Çubuk Mekanizmaları 42
4.1.1 Krank-biyel ve 3-çubuk mekanizmaları için kararlılık probleminin
formüle edilmesi 42
4.1.2 Sayısal örnekler 43
4.2 Kam Mekanizması 52
4.2.1 Kam mekanizması için kararlılık probleminin formüle edilmesi 52
4.2.2 Sayısal örnekler 53
5 SONUÇ 57
KAYNAKLAR 58
EKLER 62
KISALTMALAR
3Ç : 3-Çubuk Mekanizması KB : Krank-Biyel Mekanizması
TABLO LĠSTESĠ
Sayfa No Tablo 4.1 : T peryodik sınırlar (4=0.3)... 45
Tablo 4.2 : 2T peryodik sınırlar (4=0.3)... 46
ġEKĠL LĠSTESĠ
Sayfa No
ġekil 1.1 : Krank-biyel mekanizması... 3
ġekil 1.2 : 3-çubuk mekanizması... 3
ġekil 1.3 : Kam mekanizması...… 4
ġekil 2.1 : a. Rijid krank-elastik biyel, b. Kelvin-Voight malzeme modeli...…. 7
ġekil 2.2 : Hareket denklemi elde edilecek çubuk... 9
ġekil 2.3 : Genel düzlemsel hareket yapan biyel...…. 12
ġekil 2.4 : Krank-biyel mekanizması...…. 16
ġekil 2.5 : 3-çubuk mekanizması...…. 17
ġekil 2.6 : Kam mekanizması...….. 23
ġekil 4.1 : KB mekanizmasının kararlılığına eksantrisitenin etkisi (1 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01...…... 46
ġekil 4.2 : KB mekanizmasının kararlılığına eksantrisitenin etkisi (2 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01...…... 47
ġekil 4.3 : KB mekanizmasının kararlılığına eksantrisitenin etkisi (3 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01 ...….. 48
ġekil 4.4 : KB mekanizmasının kararlılığına parametresinin etkisi (2 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01...…... 49
ġekil 4.5 : 3Ç mekanizmasının kararlılığına parametresinin etkisi (2 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01...…... 50
ġekil 4.6 : KB mekanizmasının kararlılığına 2 parametresinin etkisi (2Mod) (a) =0.001, (b) =0.01...…... 51
ġekil 4.7 : 3Ç mekanizmasının kararlılığına 2 parametresinin etkisi (2 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01...…... 52
ġekil 4.8 : Kam mekanizmasının kararlılığına parametresinin etkisi (=0.002, =0.001, =1, =1, =0.0001)...….. 53
ġekil 4.9 : Kam mekanizmasının kararlılığına parametresinin etkisi (=0.1, =0.05, =1, =1, =0.0001)...….. 55
SEMBOL LĠSTESĠ A : Biyel kesit alanı Ci : cosi
Cij : cos(i-j)
EI : Biyelin eğilme rjidliği Gi : i/2
i
G : i.uzvunivmesi/22
gi(2) : Bilinmeyen ağırlık fonksiyonları
I4 : 3Ç mekanizmasında 4 nolu uzvun B0 mafsalına göre kütlesel atalet momenti : Biyel boyu
m4 : K-B mekanizmasında pistonun kütlesi ri : i. rijid uzvun boyu
Si : sini
Sij : sin(i-j)
x4 : KB mekanizmasında pistonun konumu i : i. uzvun açısal ivmesi
: Viskoz sönüm orantı katsayısı i : i. uzvun açısal konumu
: Boyutsuz yük parametresi
i : i. rijid uzuv boyunun biyel boyuna oranı (i=ri/)
i : i. uzvun açısal hızı : Boyutsuz hız parametresi
i(x) : Hareketsiz çubuğun öz fonksiyonları : Biyel malzemesinin yoğunluğu i : Floquet üsleri
i : Floquet çarpanları
ELASTĠK UZUVLU MAKĠNALARIN DĠNAMĠK KARARLILIĞI ÖZET
Mekanizmaların her geçen gün daha yüksek hızlarda çalıştırılmaları ve daha hafif olmaları eğilimi, makine dinamiği incelemelerinde rijid uzuvlu mekanizma kabulünü giderek yetersiz hale getirmekte ve yüksek hızlarda çalışan makinaların karşılaştığı bir çok olay ancak elastik uzuvlu makina modelleri kullanılarak açıklanabilmekte ve öngörülebilmektedir. Bu tür olaylardan, mühendislik bakımından büyük önem taşıyan bir tanesi de mekanizmaların belli hızlarda çalıştırıldıklarında şiddetli ve tahrip edici titreşimler yapmalarıdır. Bir çok durumda bunun elastik cisimler olarak davranan uzuvların dinamik kararsızlılığının sonucu olarak ortaya çıktığı ve bu tip sistemlerin dinamik davranışının matematiksel model olarak peryodik katsayılı, lineer adi diferansiyel denklemlerle (Mathieu-Hill denklemleri) temsil edildiği bilinmektedir. Bu sistemler, parametre tahrikli sistemler adıyla anılırlar. Peryodik yük altındaki yapı elemanları, içinden peryodik akış geçen borular, peryodik hareket yapan esnek uzuvlu mekanizmalar, hep bu tip sistem örnekleridir.
Bu çalışmada, pratikte çok karşılaşılan ve peryodik hareket yapan mekanizmalardan krank-biyel(KB), 3-çubuk(3Ç) ve kam mekanizmaları ele alınmıştır. Bu mekanizmalardan KB ve 3Ç mekanizmalarında biyeller birer Euler-Bernouilli kirişi olarak; kam mekanizmasında ise mil kütlesiz bir burulma yayı olarak modellenmiş ve bu uzuvların titreşimlerinin kararlılığı incelenmiştir.
Bu amaçla, KB ve 3Ç mekanizmalarında biyelin hareket denklemi elde edilmiş, kısmi türevli bir diferansiyel denklem olan hareket denklemi, bilinen en iyi yöntem olan Galerkin Yöntemi ile bir adi diferansiyel denklem takımına dönüştürülmüştür. Kam mekanizmasında ise, hareket denklemleri yazılmış ve her üç mekanizma için Hill denklemleri adını alan bu peryodik katsayılı denklemlerin kararlılığı Bolotin Yöntemi yardımıyla incelenip, sonuçlar, somut mekanizmalara uygulanarak, biri mekanizmanın hızını diğeri mekanizmanın önemli bir parametresini karakterize eden boyutsuz parametreler düzleminde kararlılık kartları elde edilmiştir.
DYNAMIC STABILITY OF MECHANISMS WITH ELASTIC MEMBERS SUMMARY
Study of a number of problems encountered in high-speed machinery necessitate the elasticity of the links to be taken into account in dynamics of machinery calculations. One such problem is the onset of strong vibrations at certain running speeds. In most cases this is due to the loss of dynamic stability of a certain elastic link whose dynamical behaviour is described by differential equations with periodically varying coefficients (Mathieu-Hill equations). Vibrations of such systems are referred to as parametrically excited vibrations.
In this study, parametrically excited vibrations of the elastic connecting rod of otherwise rigid slider-crank and four-bar mechanisms and of the elastic drive-shaft of cam mechanisms is studied.
In slider-crank and four-bar mechanisms the partial differential equation of the transverse vibrations of the elastic connecting rod is first derived. Then Galerkin's Method is used to approximate this partial differential equation by a finite system of ordinary differential equations. In cam mechanisms, the drive-shaft is modelled as a massless torsional spring driving a mechanism with position dependent inertia. In both cases the motions are shown to be governed by Mathieu-Hill equations. The theory of this class of equations (The so-called Floquet Theory) and a method for their stability analysis (A Generalised Bolotin Method) are outlined. Stability analysis problems are then formulated for the three kinds of mechanisms considered. Numerical examples of stability analyses are presented in the form of stability charts constructed on various two-dimensional parameter spaces.
1 GĠRĠġ
1.1 ÇalıĢmanın Amacı
Uygulamalı mekaniğin farklı alanlarında karşılaşılan bir çok sistemin dinamik davranışı, matematiksel model olarak peryodik katsayılı, lineer adi diferansiyel denklemlerle (Mathieu-Hill denklemleri) temsil edilir. Bu sistemler parametre tahrikli sistemler adıyla anılırlar.
Günlük yaşamın ayrılmaz bir parçası olan bir çok makinada çok sık kullanılan KB, 3Ç ve kam mekanizmaları da bu tip sistemlere örnek gösterilebilir.
Bu çalışmada, çok karşılaşılan bu mekanizmaların dinamik kararlılığı incelenecektir. İlk olarak biyelleri elastik, diğer uzuvları rijid olarak kabul edilen KB ve 3Ç mekanizmaları ele alınacaktır. Bu mekanizmaların biyelleri, çalışma koşulları açısından büyük benzerlik göstermektedir. Her iki mekanizma türünde de biyel, her ikisi de peryodik olarak değişmek üzere, kendi atalet kuvvetlerinin ve komşu uzuvlardan gelen mafsal tepkilerinin etkisi altındadır. Bu yayılı ve tekil kuvvetlerin etkisi altında biyel enine titreşimler yapar ve bu titreşimler bazı koşullarda kararsız hale gelebilir. İki mekanizma türünün ortak özelliklerinden yararlanılarak biyelin enine titreşimlerinin hareket denklemi tek bir form halinde elde edilecek, kısmi türevli bir diferansiyel denklem olan bu denklem Galerkin Yöntemi ile bir adi diferansiyel denklem takımına dönüştürülecektir. Bu denklem takımı, peryodik katsayılı denklemlerden oluştuğu için bir kararlılık probleminin formüle edilmesine olanak vermektedir. Bütün çalışma, mekanizmanın giriş uzvunun sabit hızla dönmesi haliyle sınırlı olarak yürütülecek, ayrıca biyelin düzgün kesitli, homojen bir Euler-Bernouilli çubuğundan ibaret olduğu varsayılacaktır. Buna ek olarak kararlılık analizine geçilirken, mekanizmanın çıkış uzvuna herhangi bir direnç kuvveti etkimediği varsayılacak ve böylece problem keyfi olarak konulacak böyle bir kuvvetin etkisinden soyutlanacaktır. Bu kabuller altında biyelin kararlılığı Bolotin Yöntemi ile incelenerek biri mekanizmanın hızını, diğeri mekanizmanın önemli bir parametresini karakterize eden iki boyutsuz parametrenin oluşturduğu parametre
düzleminde kararlılık sınırları belirlenerek somut bazı mekanizma örnekleri için kararlılık kartları elde edilecektir.
Aynı şekilde, kam mekanizması ele alınacak, bu mekanizmaya ait hareket denklemleri elde edilecek, Hill denklemleri formunda olan bu denklemlerin kararlılığı Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemi yardımıyla incelenip uygun bir parametre düzleminde kararlılık kartları verilecektir.
1.2 Dinamik Kararlılığı Ġncelenecek Sistemler 1.2.1 Krank-biyel ve 3-çubuk mekanizmaları
Bu çalışmada, KB ve 3Ç mekanizmalarının biyelleri, yoğunluğu, A kesit alanı, ve
uzunluğuna sahip, düzgün kesitli, homojen bir Euler-Bernouilli kirişi olarak ele alınacak ve biyelin enine titreşimlerinin kararlılığı incelenecektir. Bu inceleme, yalnızca biyelin elastik, diğer uzuvların rijid olması, krank milinin sabit hızla dönmesi, çıkış uzvuna herhangi bir direnç kuvveti etkimemesi ve ağırlık kuvvetlerinin ihmal edilmesi gibi kabuller altında yapılacaktır.
KB mekanizmasında (Şekil 1.1), krank boyunun biyel boyuna oranı pratikte 0.2-0.3 arasındadır ve bunun sonucu olarak krankın biyelden daha rijid olduğu söylenebilir. Aynı şekilde 3Ç mekanizmasında da (Şekil 1.2), pratikteki uygulamalara bakıldığında, krankın daha rijid olduğu görülebilir. Bu sebeple bu tip mekanizmalarda, krankın doğal frekanslarının, biyelin doğal frekanslarından mertebe olarak daha yüksek olduğu, bunun sonucu olarak da, ilk olarak biyelin kararlılığını yitireceği ve yalnızca biyelin elastik olarak ele alınacağı böyle bir modelin de, bu tür bir incelemede tutarlı olacağı aşikardır.
Ele alınan mekanizmaların biyellerinin kararsızlığına sebep olan etkilerin, biyelin kendi atalet kuvveti ve komşu uzuvdan gelen mesnet tepki kuvveti olduğu göz önüne alınırsa, kararsızlığa sebep olan şartların ancak yüksek hızlarda etkin hale geleceği ve ağırlık kuvvetlerinin, bu etkilerin yanında çok küçük mertebede kalacağı öngörülebilir. Bu nedenle, ağırlık kuvvetlerinin ihmal edilmesi yerinde bir kabul olmaktadır.
Şekil 1.1 Krank-biyel mekanizması
Şekil 1.2 3-çubuk mekanizması
Yine mekanizmaların rejim halinde çalışma esnasındaki kararlılığının incelenmek istenmesi sebebiyle, giriş uzvunun sabit hızla döndüğü varsayılacaktır. Ayrıca çıkış uzvuna herhangi bir kuvvet etkimediği kabul edilecektir. Böylece, problem keyfi olarak alınacak böyle bir kuvvet etkisinden soyutlanarak, mekanizmanın boşta çalışma kararlılığı problemine indirgenecek ve yalnızca mekanizma tipinin yapısal özelliğini yansıtacaktır.
Ayrıca, incelenen mekanizmaların biyellerinin, düzlem dışı titreşimler açısından 3 A 3 r2 2 2 A0 ,A, x4 r4 B 1 m4 4 1 3 A 3 r2 2 2 A0 1 ,A, B0 B 1 4 4 r4 I4 r1
koşullarına sahip olmasından (ankastre sınır koşullarında doğal frekansları, mertebe olarak, basit mesnet sınır koşullarına göre daha yüksektir) dolayı yalnızca düzlem içi titreşimlerinin kararlılığı incelenecektir.
1.2.2 Kam mekanizması
Çalışmanın bu bölümünde, pratikte çok karşılaşılan ve özellikle otomobillerde supap tahrik mekanizmasında kullanılan kam mekanizması ele alınacaktır. Şekil 1.3’te tek silindirli bir motorun supap tahrik mekanizmasının basitleştirilmiş bir modeli gösterilmiştir. Bu modelde, kütlesi ihmal edilen ve değişik kısımları birer ki burulma yayı ve ri burulma viskoz sönüm elemanı olarak modellenen mil, aralarında 1800 faz farkı bulunacak biçimde yerleştirilmiş ve basitlik bakımından, dairesel profilli birer eksantrikten ibaret oldukları varsayılmış iki kam taşımaktadır. Kamların tahrik ettiği mekanizmalar ise sabit birer meş eşdeğer kütlesi ve kuvvet kapalılığı sağlamak üzere sisteme katılmış olan yayları modelleyen birer keş eşdeğer yay katsayısı ile temsil edilmiştir.
Şekil 1.3 Kam mekanizması
1.3 Konuya ĠliĢkin Diğer ÇalıĢmalar ve Bu çalıĢmanın Katkısı
Mekanizmalarda, elastik uzuvların dinamik kararsızlığı sonucu ortaya çıktığı bilinen problemler, birçok araştırmacıyı bu alanda çalışmaya yöneltmiştir. Parametre
z x y k1, r1 k2, r2 0 keş keş meş meş I I
yönelik bir çok yöntem mevcuttur. Bu yöntemler dayandıkları esaslara göre üç ana grupta toplanabilir: Lyapunov yöntemleri, pertürbasyon yöntemleri ve Floquet yöntemleri. Yine aynı yöntemler, kararlılık diyagramlarının oluşturulmasına yönelik yaklaşımlarına göre de iki grupta toplanabilir. Bunlar, parametre düzleminin belli bir düzende seçilmiş noktalarının teker teker sınanarak, kararlı (ya da kararsız) olduğu belirlenen noktaların işaretlenmesini öngören ‘noktalama yöntemleri’ ve doğrudan doğruya kararlı ve kararsız bölgelerin sınırlarını veren ‘sınır belirleme yöntemleri’dir.
Literatürdeki çalışmalar, pratikte çok karşılaşılan KB ve 3Ç mekanizmaları ile tahrik millerinin kararlılığı üzerinde yoğunlaşmaktadır. Bu çerçevede, Tadjbakhsh ve Younis [1,2], Turhan [3] 3Ç ve KB mekanizmalarında elastik biyelin, yine Turhan [4] 3Ç ve KB mekanizmalarında visko-elastik biyelin, Mesurekar ve Gupta [5] yalnızca 3Ç mekanizmasında elastik ve visko-elastik biyelin kararlılık sınırlarını Floquet esaslı bir yöntem olan Bolotin Yöntemi yardımıyla, Smith ve Maunder [6] 3Ç mekanizmasında, Badlani ve Kleinhenz [7], Zhu ve Chen [8], Wang [9] ve Jasinski, Lee ve Sandor [10] KB mekanizmasında elastik biyelin kararlılık sınırlarını pertürbasyon yöntemleri ile incelemişlerdir.
Ayrıca, Badlani ve Midha [11] KB mekanizmasında visko-elastik biyelin kararlılık sınırlarına malzeme sönümünün etkisini bir pertürbasyon yöntemi ile, Chivate ve Farhang [12] kayış-kasnak mekanizması ile tahrik edilen visko-elastik biyelli bir KB mekanizmasında malzeme sönümünün etkisini Floquet esaslı monodromi matrisi yöntemi ile incelemişlerdir. Nagarajan ve Turcic [13] elastik uzuvlu mekanizmalarda kritik devir sayısı ve kararsızlık bölgelerinin hesaplanması problemlerinin sonlu elemanlar yöntemine dayalı genel ve karşılaştırmalı bir formülasyonunu vermişlerdir. Lu, Haque ve Lakshmikumaran [14] ise zemine elastik olarak bağlı rijid bir krank ve elastik biyelden oluşan krank-biyel mekanizmasında biyelin kararlılık sınırlarını bir pertürbasyon yöntemi ile incelemişlerdir.
Bu konuda bir diğer önemli çalışma alanı da, değişken ataletli bir mekanizmayı tahrik ettiklerinde parametre tahrikli bir sistem haline gelen tahrik millerinin burulma titreşimlerinin dinamik kararlılığının incelenmesidir. Bu konuya ilişkin ilk ciddi çalışma zur Capellen [15] tarafından yapılmış, iki serbestlik dereceli bir sistem için tahrik milinin burulma titreşimlerinin kararlılık kartları verilmiştir. Zadoks ve Midha
Bajaj [18] tarafından verilen monodromi matrisi yöntemi ile, Kostyra ve Weyh [19,20], ise çok silindirli içten yanmalı motorlarda krank milinin burulma titreşimlerinin kararlılığını kendi verdikleri bir monodromi matrisi yöntemi ile incelemişlerdir.
Bu çalışmada ise, KB, 3Ç mekanizmalarında visko-elastik biyelin ve burulma elastikliğine sahip kam millerinin kararlılık sınırları, Floquet esaslı bir sınır belirleme yöntemi olan Bolotin Yönteminin [21] kombinasyon rezonanslarını da içeren bir genelleştirmesi [22] ele alınarak elde edilecek ve bu mekanizmalara ait kararlılık kartları verilecektir.
Bu kapsamda, KB mekanizmasının kararlılığına eksantrisitenin etkisi ve kam milinin burulma titreşimlerinin kararlılığının incelenmesi ilk kez ele alınacak ve uygulamaya yönelik bu hesaplarda Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemi ilk kez kullanılacaktır.
2 HAREKET DENKLEMLERĠNĠN ELDE EDĠLMESĠ
2.1 Krank-Biyel ve 3-Çubuk Mekanizmaları 2.1.1 Genel yaklaĢım
İnceleme, KB ve 3Ç mekanizmaları özelinde yapılacağından, bu mekanizmaların her ikisinde de geçerli olacak bir formülasyon ortaya koymak amacıyla, Şekil 2.1-a’daki rijid tahrik uzvu ve Kelvin-Voight malzeme (Şekil 2.1-b) özelliğine sahip visko-elastik biyelin oluşturduğu mekanizma kısmını göz önüne alarak her iki mekanizma tipinde ortak olan bu konfigürasyon içerisinde biyelin enine titreşimlerinin hareket
Şekil 2.1 a. Rijid krank-elastik biyel i j A 3 r2 2 2 A0 1 y B ,A,E,I Fy Fx F x fx(x) f(x) fy(x) 3 (a) E E (b)
denklemini elde etmeye yönelelim. Bu durumda, elde edilecek hareket denklemi, biyelin kendi atalet kuvvetini temsilen peryodik olarak değişen f(x)fxifyj yayılı kuvveti ve yine peryodik olarak değişen mafsal tepki kuvvetini temsilen
j i
FFx Fy uç kuvvetinin etkisindeki basit mesnetli bir çubuğun hareket denkleminden ibaret olacaktır.
Ayrıca, sönüm modeli olarak hesaplara katılacak Kelvin-Voight malzeme modelini temsil eden Şekil 2.1-b göz önüne alınırsa malzemenin gerilme( ) -birim şekil değiştirme() ilişkisi, E:Young modülü ve :viskoz sönüm orantı katsayısı olmak üzere, ) dt d ( E (2.1)
2.1.2 f(x) yayılı ve F uç kuvvetinin etkisindeki stasyoner kiriĢin hareket denklemi
Şimdi, düzgün kesitli, homojen, visko-elastik bir Euler-Bernouilli çubuğunun, düzlemsel, küçük genlikli enine titreşimlerinin hareket denklemini xy bir Galile eksen takımı oluşturmak kaydıyla Newton’un 2. Yasası ile elde edelim.
Şekil 2.2 Hareket denklemi elde edilecek çubuk
Bu amaçla ilk olarak dm elemanının (Şekil 2.2-b) y doğrultusundaki hareket denklemini yazalım. S dx dx/2 M N dx x N N S xSdx dx x M M dm=Adx (b) x Fx Fy fx(x) f(x) fy(x) y(x,t) dx
y , A, EI x i j (a) F) dx x sin( ) dx x S S ( sin S dx ) x ( f ) dx x cos( ) dx x N N ( cos N t ) t , x ( y Adx y 2 2 (2.2)
Burada, nın çok küçük olduğu (küçük genlikli titreşimler) kabulü altında
1 cos x ) t , x ( y sin x ) t , x ( y tan 1 (2.3)
ve y/x yazılabileceği göz önüne alınarak
1 dx x sin sin dx x cos cos ) dx x cos( (2.4) dx x ) t , x ( y x ) t , x ( y dx x sin cos dx x cos sin ) dx x sin( 2 2 (2.5)
tespitleri yapılır ve (2.2) ifadesinde yerlerine yazılırsa ve dx2
çarpanına sahip terimler ihmal edilirse, dx x ) t , x ( y x S dx x ) t , x ( y S dx ) x ( f dx x N t ) t , x ( y Adx 2 2 y 2 2 (2.6)
ifadesine ulaşılır. Buradan da gerekli düzenleme ile
x ) t , x ( y x S x ) t , x ( y S ) x ( f x N t ) t , x ( y A 2 2 y 2 2 (2.7)
ifadesine gelinir. dm elemanının moment dengesinden ise, ince çubuk kabulü ile dönme eylemsizliği gözardı edilerek
0 2 dx dx x N Ndx ) dx x M M ( M (2.8)
yazılıp gerekli düzenlemeler yapılır ve dx2
li terimler ihmal edilirse,
x M N (2.9) ifadesine ulaşılır.
Diğer taraftan Kelvin-Voight malzeme için
) t x y x y ( EI M 2 3 2 2 (2.10)
yazılabileceği ve Şekil 2.2-a’dan açısının küçük olduğu kabulü altında
x x x( )d F f ) x ( S (2.11) ) x ( f x S x (2.12)olduğu göz önüne alınarak (2.7) ifadesi yerine
f (x) 0 x y ) x ( f x y ] F d ) ( f [ y )] t 1 ( x [ EI t y A x y 2 2 x x x 4 4 2 2
(2.13)yazılabilir. Elde edilen (2.13) ifadesi f(x) yayılı ve F uç kuvveti etkisindeki stasyoner kirişin hareket denklemidir.
2.1.3 Biyelin kinematiği göz önüne alınarak f(x) yayılı kuvvetinin hesabı
(2.13) hareket denkleminden farklı olarak Şekil 2.1-a’daki biyelin titreşimleri genel düzlemsel hareket yapan bir xy eksen takımı (Şekil 2.3) içerisinde gerçekleşmektedir.
Şekil 2.3 Genel düzlemsel hareket yapan biyel
Bunun sonucu olarak (2.13) denkleminin ilk terimi olan 2
2
t y
artık mutlak ivmeyi değil, bağıl ivmeyi göstermektedir. Buna eklenmesi gereken as sürüklenme ve ac Coriolis ivmeleri ise çubuğun x konumundaki birim boya sahip kısmında doğuracakları atalet kuvvetlerinin f(x) yayılı kuvveti olarak alınması ile hesaba katılabilir. Bu durumda, ) x ( A )] x ( ) x ( [ A ) x ( as ac a f (2.14) j i a(x)ax(x) ay(x) (2.15)
yazılabilir. Anlaşılabileceği üzere a(x) ifadesi, biyel üzerindeki herhangi bir P noktasının mutlak ivmesiyle bağıl ivmesinin farkının xy eksen takımındaki ifadesidir.
O halde gelinen noktada, Şekil 2.3 ten yararlanarak (x)a ivmesini xy eksen takımında ifade etmeye yönelelim. (2.15) ifadesi
A
a : Genel düzlemsel hareket yapan xy eksen takımının orijininin mutlak ivmesinin xy eksen takımındaki ifadesi,
X x r P 3 2 1 2 3 A Y A0 y i0 j0 j i r2
ω k dt d 3
3
: xy eksen takımının açısal hızı,
k α 2 3 2 3 dt d
: xy eksen takımının açısal ivmesi,
k k
ω2 2 2 : Krankın açısal hızı, α2 2kα2k : Krankın açısal ivmesi,
j i
r x y : P noktasının xy eksen takımında tanımlı yer vektörü, 0 2 2 0 2 2 2 r cos i r sin j
r : A noktasının XY eksen takımındaki yer vektörü, j v t y p b
: P noktasının xy eksen takımındaki bağıl hızı
olmak üzere, p b 3 3 3 3 A ( ) 2 ) x ( a α r ω ω r ω v a (2.16) şeklinde yazılabilir.
Şimdi, (2.16) ifadesinde eşitliğin sağ tarafındaki terimleri sırasıyla elde edelim. Şekil 2.3’ten A noktasının ivmesi için
) ( 2 2 2 2 2 A α r ω ω r a (2.17)
ya da XY eksen takımındaki açık ifadesi olarak
0
0 j
i
aA r2(22cos22sin2) r2(22sin2 2cos2) (2.18)
elde edilir. Şimdi, A
a ifadesini xy eksen takımında ifade edelim. Bu amaçla XY eksen takımından xy eksen takımına dönüşümü tanımlayan
3 3 3 3 cos sin sin cos R (2.19)
dönüşüm matrisi kullanılırsa, (2.18) ifadesi yerine,
) cos sin ( r ) sin cos ( r cos sin sin cos a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 A y A x (2.20) den hareketle j i a )] cos( ) sin( [ r )] sin( ) cos( [ r 3 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 A (2.21) elde edilir.
(2.16) dan geriye kalan a*α3 rω3 (ω3 r)2ω3 vpb kısmı ise
j k j i k k j i k a t y ω 2 ] ) y x ( [ ω ) y x ( α3 3 3 3 * (2.22) şeklinde yazılabilir.
Sonuç olarak, (2.21) ve (2.22) ifadeleri (2.16)’da yerlerine yazılırsa, a(x) ivmesinin (2.15)’de tanımlı bileşenleri
t y 2 y x )] sin( ) cos( [ r ) x ( a 3 3 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 x (2.23) x y )] cos( ) sin( [ r ) x ( ay 2 22 23 2 2 3 32 3 (2.24)
şeklinde elde edilmiş olur.
(2.13) denklemini non-lineer hale getirdiği için (2.23) ifadesinin son iki terimi ihmal edilir ve (2.23) ve (2.24) bağıntıları ile (2.14) ve (2.15)’e dönülürse, f(x) yayılı kuvveti için
j i f } x y )] cos( ) sin( [ r { A } x )] sin( ) cos( [ r { A ) x ( 3 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 (2.25) elde edilir.
İnceleme, mekanizmanın düzgün hareket hali ile sınırlanmak üzere 2 0 alınırsa, bu özel halde geçerli f(x) ifadesi olarak
j i f } x y ) sin( r { A } x ) cos( r { A ) x ( 3 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 (2.27) elde edilir.
2.1.4 Mekanizmanın tipine göre F uç kuvvetinin hesabı
Şimdi, ele alınan mekanizmaların tipini göz önüne alarak F uç kuvvetini hesaplayalım. Bu amaçla, önce, bu ve bundan sonraki hesaplarda kullanılması uygun olacak 2 i i / G , 2 2 i i.uzvunivmesi/ G , , sin Si i , cos Ci i / ri i , ), sin( Sij i j ), cos( Cij i j i i i, ,
r i. rijid uzvun uzunluğu, açısal hızı, açısal ivmesi tanımlarını yapalım.
İlk olarak KB mekanizmasını ele alalım. Şekil 2.4’te gösterilen KB mekanizmasında, biyeli rijid kabul ederek (aksi halde, hesaplanacak F uç kuvveti (2.13) hareket denklemini non-lineer hale getirecektir), hareketini D’Alembert İlkesi’nden
hareketle, G3, biyelin kütle merkezi olmak üzere, A noktasına göre moment alarak inceleyelim.
2 /
a3 : Biyelin kütle merkezinin A noktasına uzaklığı,
A
m3 : Biyelin kütlesi,
Şekil 2.4 Krank-biyel mekanizması
m 12
1
IG3 32 : Biyelin G3 noktasına göre kütlesel atalet momenti,
3 3 23 2 2 2 y 3 G r S a
: Biyelin kütle merkezinin y doğrultusundaki ivme bileşeni olmak üzere 0 F a m IG33 3G3y 3 y (2.28) yazılabilir. Buradan 3 2 2 23 2 3 y r S )m 2 1 3 1 ( F (2.29)
olarak elde edilir.
3 A 3 r2 2 2 A0 1 B ,A, F y Fx Fy Fx B 1 m4 x4 r4 4 a3 G3
Şimdi pistonun hareketini Newton’un 2. Kanunu ile inceleyelim. Bu durumda yine Şekil2.4’ten yararlanarak
3 3 y 4 4 x C S F x m F (2.30) yazılabilir.
Gelinen noktada, (2.29) ifadesi (2.30)’da yerine yazılırsa KB mekanizması için Fx uç kuvveti 3 3 2 2 2 23 2 3 3 2 2 4 4 KB x C S 6 A ) S 3 G 2 ( C G m F (2.31)
şeklinde elde edilir.
Şimdi de 3Ç mekanizmasını (Şekil 2.5) ele alalım.
Şekil 2.5 3-çubuk mekanizması
KB ve 3Ç mekanizmalarının biyellerinin benzer kinematiğe sahip olduklarını göz 3 A 3 r2 2 2 A0 1 B ,A, Fy Fx Fy Fx B0 B 1 4 4 r4 I4 r1 (4-3)
ve 4 nolu uzuv olan sarkacın hareketi Hareket Miktarı Momenti Teoremi yardımı ile incelenirse, r4 sarkacın boyu, I4 sarkacın B0 noktasına göre kütlesel atalet momenti olmak üzere
I44 Fxr4S34 Fyr4C34 (2.32)
ifadesi yazılabilir. Buradan da,
34 4 34 4 y 4 4 x S r C r F I F (2.33)
olarak elde edilir.
(2.29) ifadesi (2.33)’de yerine konulursa 3Ç mekanizması için Fx uç kuvveti,
34 34 2 2 2 3 23 2 34 4 2 2 4 4 Ç 3 x S C A ) G 2 S 3 ( 6 1 S G I F (2.34)
şeklinde elde edilir.
2.1.5 Krank-biyel ve 3-çubuk mekanizmalarında biyel titreĢimlerinin kısmi türevli diferansiyel denklemi
(2.27) ifadesi olarak elde edilen f(x) yayılı kuvveti, (2.13) ifadesinde yerine konularak gerekli hesaplar yapılırsa,
0 ] y x S r [ A x y ] x C r [ A x y } F )] x ( 2 1 ) x ( C r [ A { y )] t 1 ( x [ EI t y A 2 3 3 23 2 2 2 2 3 23 2 2 2 2 2 x 2 2 2 3 23 2 2 2 4 4 2 2 (2.35) elde edilir. Burada, t 2 2 ,
/ y u
değişken dönüşümleri yapılarak (2.35) denklemi yeniden düzenlenirse visko-elastik
biyelin enine titreşimlerinin hareketini tanımlayan, lineer
0 ] S r x G ( 1 u G x u ) x G C r ( x u ] A F ) x ( G 2 1 ) x ( C r [ u )] 1 ( x [ A EI u ) u ( L 23 2 3 2 3 2 3 23 2 2 2 2 2 x 2 2 2 3 23 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 (2.36a)
kısmi türevli diferansiyel denklemi ve (biyeli komşu uzuvlara bağlayan mafsalların basit mesnet özelliği taşıdığı dikkate alınarak yazılan)
0 x ) , ( u x ) , 0 ( u 0 ) , ( u ) , 0 ( u 2 2 2 2 2 2 2 2 (2.36b)
sınır şartlarının oluşturduğu sınır-değer problemine ulaşılır.
Gelinen noktada, (2.36a,36b) sınır-değer problemi hem KB hem de 3Ç mekanizmalarının biyellerinin hareketini tanımlamaktadır. Genel yapıdaki bu denklemleri KB ve 3Ç mekanizmaları özelinde kullanabilmek için bu denklemlerdeki Gi, Gi, Sij, Cij gibi kinematik değişkenlerle (Bkz. Ek A1, A2), Fx mafsal kuvveti yerine ilgili mekanizmaya özgü ifadelerin konulması yeterlidir.
2.1.6 Galerkin Yöntemi ile hareket denklemlerinin bir Hill denklem takımına dönüĢtürülmesi
Elde edilen (2.36a,36b) sınır-değer problemi, kararlılığı incelenecek mekanizmaların elastik biyellerinin hareketini tanımlayan, peryodik katsayılı, kısmi türevli bir diferansiyel denklemdir. Ancak kısmi türevli diferansiyel denklemler teorisi çerçevesinde, bu tip diferansiyel denklemlerin ne analitik çözümünü verecek, ne de kararlılığını incelemeye olanak sağlayacak bir teori bulunmaktadır. Varolan teori, Hill denklemleri adı verilen, katsayıları peryodik değişen adi lineer diferansiyel
Hill denklemleri formuna getirmek için ayrıklaştırmak yerinde olacaktır. Bu amaçla, bilinen en iyi yöntem olan Galerkin Yöntemini kullanalım.
Bu durumda (2.36a,36b)’nin tanımladığı sınır değer probleminin yerine Galerkin Yöntemi yardımı ile, onu belli bir yaklaşıklıkla temsil edecek, sonlu sayıda denklemden oluşan bir adi diferansiyel denklem takımı konulabilir. Bu amaçla
) (
gi 2 ’ler bilinmeyen ağırlık fonksiyonları, i(x) sin(i x)
fonksiyonları ise
(2.36b) sınır şartlarını sağlayan ve hareketsiz çubuğun öz fonksiyonları olan bir ortogonal fonksiyonlar takımı olmak üzere sınır değer probleminin çözümü,
N 1 i 2 i 2 x i sin ) ( g ) , x ( u ~ (2.37)sonlu serisi ile yaklaşık olarak temsil edilebilir. Bu çözüm (2.36a)’da yerine konulup
0 0 dx x j sin ) u ~ ( L j=1,2,...,N (2.38)şeklinde N adet ortogonalizasyon şartı yazılırsa,
,...,N 2 , 1 j 0 } xdx j sin S xdx j sin x G 1 xdx j sin x i cos x g i G xdx j sin x i cos g i C xdx j sin x i sin x g i G 2 1 xdx j sin x i sin x g i C xdx j sin x i sin } g ] G i A F i G 2 1 i C i A EI [ g i A EI g { { 0 23 2 0 3 0 i 2 3 0 i 23 2 0 2 i 2 2 2 2 3 0 i 2 2 23 2 0 i 2 3 2 2 2 2 2 x 2 2 2 3 2 2 23 2 4 4 4 2 2 i 4 4 4 2 i N 1 i
(2.39)elde edilir. Burada, ler 2’ye göre kısmi türevi göstermektedir.
(2.39) denklem takımında integraller (Bkz. Ek B), i j ve i j halleri için hesaplanıp 4 A EI (2.40)
şeklinde bir boyutsuz sönüm parametresi ve
4 2 A EI / (2.41)
şeklinde bir boyutsuz hız parametresi de tanımlanarak gerekli düzenlemeler yapılırsa, ele alınan mekanizmaların biyellerinin titreşim hareketlerini yöneten
,...,N 2 , 1 i } G ) 1 ( S ] ) 1 ( 1 {[ i 2 } g } G ) 1 ( C ] ) 1 ( 1 {[ ) j i ( j i ij 2 { g } G 4 5 ) i ]( A F G 3 1 C 2 1 [ i 1 { g i g 3 i 23 2 i N ) i j ( 1 j i 2 3 j i 23 2 j i 2 2 2 2 2 i 2 3 2 2 2 2 x 2 3 23 2 4 4 2 i 4 4 i
(2.42)peryodik katsayılı (gi’lerin katsayıları mekanizmaların kinematiğinden gelen ve peryodik olan Gi’leri, ve trigonometrik ifadeleri içermektedir), adi diferansiyel denklem takımı olan Hill denklemleri takımına ulaşılır. Burada Fx uç kuvveti, yerine göre, KB mekanizması için (2.31), 3Ç mekanizması için ise (2.34) ifadelerinden alınmalıdır.
İstenirse, (2.42) hareket denklemleri matris-vektör formunda
) ( )] ( Ω 1 [ 2 2 2 Eg E P g q g (2.43)
şeklinde de gösterilebilir.
Bu gösterilimde, g, elemanları gi(2)’ler olan N boyutlu bilinmeyenler vektörü;E,
elemanları 4
ii ( i)
e olan sabit bir köşegen matris; P(2), köşegen elemanları KB mekanizması için 2 3 2 3 4 KB 3 3 3 2 3 3 3 23 23 2 2 KB ij 4G 5 ) i ]( C G ) G C S G ( 3 1 ) C S S C ( 2 [ ) ( P , i=j (2.44) 3Ç mekanizması için 2 3 2 34 4 Ç 3 3 34 34 2 3 34 34 23 23 2 2 Ç 3 ij 4G 5 ) i ]( S G ) G S C G ( 3 1 ) S C S C ( 2 [ ) ( P , i =j (2.45)
köşegen dışı elemanları ise her iki mekanizma için
} G ) 1 ( C ] ) 1 ( 1 {[ ) j i ( j i ij 2 ) ( P i j 2 23 i j 23 2 2 2 2 2 2 ij , ij (2.46)
olan NxN bir matris, q(2) ise elemanları
} G ) 1 ( S ] ) 1 ( 1 {[ i 2 ) ( qi 2 i 2 23 i 3 (2.47)
olan NxN boyutlu köşegen bir matristir.
(2.44) ve (2.45) denklemlerinde yer alan parametreleri ise,
3 4 KB m m (2.48) 2 3 4 4 Ç 3 m I (2.49) şeklinde tanımlıdır.
2.2 Kam Mekanizması 2.2.1 Genel yaklaĢım
Çalışmanın bu aşamasında, Şekil 1.3’te gösterilen kam mekanizmasının hareket denklemi elde edilecektir. Bu tip mekanizmalara, içten yanmalı motorların subap tahrik mekanizması örnek olarak gösterilebilir.
Şekil 2.6 Kam mekanizması
Kamın tahrik ettiği mekanizma, Şekil 2.6-b’de görüldüğü üzere, bir meş eşdeğer kütlesi ve kuvvet bağlılığı sağlamak üzere mekanizmaya katılmış yayları modelleyen bir keş eşdeğer yay katsayısı ile temsil edilebilir.
Çalışmanın teorik bir çalışma olması nedeni ile ve hesap basitliği açısından bazı kabullerin yapılması yerinde olacaktır. Buna göre, mekanizmada, eylemsizlik
ki-1,i, ri-1,i ki,i+1, ri,i+1
0 i i. eksantrik I(i) Eylemsizlik çarkı I0 (a) 0 i e r x y meş keş (b) I xi
çarkının, I0 eylemsizlik momentinin yeterince büyük olduğu ve 0 sabit hızı ile döndüğü varsayılacaktır.
Yürek hesap basitliği açısından, e eksantrisitesine sahip, r yarıçaplı, dönme eksenine göre atalet momenti I olan dairesel bir disk olarak göz önüne alınacaktır.
Kam mili, kütlesi ihmal edilerek, ki burulma yayları ve ri viskoz sönüm elemanları ile modellenecektir.
Mil kütlesinin ihmal edilmesi sonucu, ele alınan modelin serbestlik derecesi (içten) mile bağlanan mekanizma sayısına eşit olacaktır.
Bütün bu kabuller altında i. mekanizma, Şekil 2.6-a’da gösterildiği üzere kütlesiz burulma miline bağlı I(i) değişken ataletine sahip bir disk olarak göz önüne alınacaktır.
Burada, 0 ve i, sırasıyla, eylemsizlik çarkının ve i. eksantriğin dönme açısı, ki-1,i, ri-1,i, ki,i+1, ri,i+1 i. eksantriğe bağlı mil kısımlarını temsil eden burulma yay ve viskoz sönüm katsayılarıdır.
2.2.2 Hareket denklemlerinin elde edilmesi
Şekil 2.6’yı göz önüne alarak, dairesel, r yarıçaplı, e eksantrisitesine sahip bir dizi eksantrik disk taşıyan kam milinde, xyz bir mutlak eksen takımı olmak üzere i. eksantiriğin mutlak hareketi,
) ( Q d ) ( dI 2 1 ) ( I 2i i i i i i i (2.48)
şeklinde ifade edilen Eksergian Hareket Denklemleri [23] kullanılarak elde edilebilir. Ancak, bu durumda ulaşılacak hareket denklemleri sisteme ait rijid cisim hareketini de içerecektir. Milin yalnızca burulma titreşimleri ile ilgilenildiğinden, bu hareketi denklemlerden düşürmek amacıyla, hesabın, disklerin mutlak dönme açıları üzerinden değil, eylemsizlik çarkına göre bağıl dönme (burulma) açıları üzerinden devam ettirilmesi yerinde olacaktır. Şimdi, ilk olarak bazı tanımlamalar yapalım:
i : i. diskin mutlak açısal konumu,
Qi : Genelleştirilmiş kuvvet,
i : i. disk yerleştirme (faz) açısı.
Bu tanımlar altında, hem diskler, hem de 0=0=0 ile eylemsizlik çarkı için geçerli olmak üzere
i i 0 i t , i 0 i , (2.49) i i , i=0,1,2,.... yazılabilir.
Ayrıca, Şekil 2.6-b yardımıyla
i i r ecos x , i i i esin x , (2.50) i i i esin x yazılabilir.
Şimdi, kam mekanizmasının I(i) genelleştirilmiş eylemsizliği ile Qi(i) genelleştirilmiş kuvvetini tespit edelim. I(i),
i 2 2 eş 2 i i eş i) I m (x / ) I m e sin ( I (2.51)
şeklinde tanımlıdır. Burada,
2 e m I I 2 eş , I 2 e meş 2 , ~I(i)cos2i (2.52)
)] ( I ~ 1 [ I ) ( I i i (2.53)
ifadesine gelinir. Buradan gerektiğinde kullanılmak üzere
) ( I ~ I ) ( I ) ( I ~ I ) ( I i i i i (2.54)
ifadeleri de yazılabilir. Burada üsler i’ye göre türevleri göstermektedir.
Qi(i) genelleştirilmiş kuvvetinin, biri mekanizmadan kaynaklanan Mi(i), diğeri, burulma milinden kaynaklanan Ti(i) şeklinde iki kısımdan oluştuğu düşünülürse,
Qi(i)= Mi(i)+ Ti(i) (2.55)
yazılabilir. Burada, Mi(i), Şekil 2.6 ve (2.50) ifadeleri yardımıyla
i 2 eş i eş i i i eş i i sin2 2 e k sin ) r s ( e k x ) x s ( k ) ( M (2.56)
şeklinde elde edilir. s, keş yayının, yayın disk ile olan temas noktası dönme ekseninde iken sahip olduğu ön gerilmedir.
Ti(i)’nin ise, burulma milinden kaynaklandığı ve yalnızca i burulma açılarına bağlı olduğu dikkate alınarak, Şekil 2.6-a yardımıyla
) ( r ) ( r ) ( k ) ( k ) ( T 1 i i 1 i , i i 1 i i , 1 i 1 i i 1 i , i i 1 i i , 1 i i i (2.57) yazılabilir.
(2.49), (2.56) ve (2.57) ifadeleri ile (2.48)’e dönülürse, i. eksantriğin hareket denklemi olarak,
0 ) ( r ) ( r ) ( k ) ( k ) t ( M ) )( t ( I 2 1 ) t ( I ) , , ( f 1 i i 1 i , i i 1 i i , 1 i 1 i i 1 i , i i 1 i i , 1 i i i 0 i 2 i 0 i i 0 i i i 0 i i i i (2.58)
elde edilir. Görüldüğü üzere (2.58) hareket denklemleri lineer değildir. Lineerleştirmek üzere, (2.58) ifadesini, i ,i ,i nin küçük olduğu kabulü altında McLaurin Serisi’ne açalım ve
i i i i i i i i i i i i i i ) 0 , 0 , 0 ( f ) 0 , 0 , 0 ( f ) 0 , 0 , 0 ( f ) 0 , 0 , 0 ( f ) , , ( f (2.59)
şeklinde yalnızca birinci dereceden terimleri alıkoyarak lineerleştirelim. Bu yapılırsa, i. eksantriğin lineer hareket denklemi olarak,
2 0 i 0 i 0 i 1 i 1 i , i 1 i i , 1 i 1 i 1 i , i 1 i i , 1 i i 1 i , i i , 1 i i 0 i 2 0 i 0 i 1 i , i i , 1 i 0 i 0 i i 0 ) t ( I 2 1 ) t ( M k k r r ] k k ) t ( M ) t ( I 2 1 [ ] r r ) t ( I [ ) t ( I (2.60) ifadesine gelinir.
Şimdi incelememizi sadece 2 eksantrik taşıyan bir mil ile sınırlandıralım (Şekil 1.3) ve 1=0, 2=, r0,1=r1, r1,2=r2, k0,1=k1, k1,2=k2 alalım. Buna ek olarak =0t(=0) değişken dönüşümü yapılır ve kararlılık analizi için denklemlerin homojen kısmının yeterli olduğuna dikkat edilirse
0 k r ] k ) ( M 1 ) ( I ~ I 2 1 [ ] r ) ( I ~ I [ )) ( I ~ 1 ( I 0 k r ] k k ) ( M 1 ) ( I ~ I 2 1 [ ] r r ) ( I ~ I [ )) ( I ~ 1 ( I 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 1 0 2 1 1 (2.61)
elde edilir. (2.61) hareket denklemleri için I / k2 0 : Boyutsuz hız parametresi, I k 2 r 2 2 : Boyutsuz sönüm parametresi, (2.62) 2 1 r r , 2 1 k k , 2 k M M
şeklinde boyutsuz parametrelerin tanımlanması ile de
0 1 2 1 )] 1 ( 1 ) ( M 1 ) ( I ~ 2 1 [ ] ) 1 ( 2 1 ) ( I ~ [ )) ( I ~ 1 ( 2 2 2 1 2 2 1 1 (2.63) 0 1 2 1 ] 1 ) ( M 1 ) ( I ~ 2 1 [ ] 2 1 ) ( I ~ [ )) ( I ~ 1 ( 1 2 1 2 2 2 2 2 (2.64)
ifadelerine gelinir. Burada, (2.52)’den
2 cos 4 ) ( I ~ ) ( I ~ , 2 sin 2 ) ( I ~ ) ( I ~ , 2 cos ) ( I ~ ) ( I ~ (2.65) ve 2 eş k ) r s ( e k , 2 2 eş k e k (2.66)
2 cos cos ) ( M , 2 sin 2 sin ) ( M 2 cos cos ) ( M , 2 sin 2 sin ) ( M (2.67) dir.
Gelinen noktada hareket denklemleri, (2.63) ve (2.64) olarak elde edildi. Bu denklemler matris formunda,
0 )] ( 1 ) ( [ )] ( 1 ) ( [ 2 P Q θ R S θ θ (2.68)
olarak yazılabilir. Burada, P, Q, R, S matrisleri,
) ( I ~ 1 ) ( I ~ 0 0 ) ( I ~ 1 ) ( I ~ ) ( P , (2.69) ) ( I ~ 1 1 ) ( I ~ 1 1 ) ( I ~ 1 1 ) ( I ~ 1 1 2 ) ( Q , (2.70) ) ( I ~ 1 ) ( I ~ 0 0 ) ( I ~ 1 ) ( I ~ 2 1 ) ( R , (2.71) ) ( I ~ 1 ) ( M 1 ) ( I ~ 1 1 ) ( I ~ 1 1 ) ( I ~ 1 ) ( M 1 ) ( S (2.72) şeklindedir.
3 HĠLL DENKLEMLERĠNĠN KARARLILIĞI
3.1 Floquet Kuramı ve Kararlılık Sınırları 3.1.1 Floquet Kuramı [24]
Floquet kuramı, Hill denklemleri adı verilen peryodik katsayılı, adi, lineer diferansiyel denklemlerin çözümlerinin formu hakkında bilgi verir. Burada kuram, birinci mertebeden, adi, lineer, diferansiyel denklem takımları için verilecektir. Diferansiyel denklem teorisinden bilindiği üzere m. mertebeden n adet diferansiyel denklemden oluşan bir denklem takımı, mxn adet birinci mertebeden diferansiyel denklemden oluşan bir diferansiyel denklem takımı şeklinde ifade edilebilir. Bu durumda, kuramın birinci mertebeden bir diferansiyel denklem takımı için verilmesi genel hali, herhangi bir m. mertebeden diferansiyel denklem veya denklem takımını da kapsayacaktır.
O halde, n adet birinci mertebeden adi, lineer diferansiyel denklemden oluşan bir diferansiyel denklem takımını temsilen A(t) nxn bir matris olmak üzere
x A
x (t) (3.1)
matris diferansiyel denklemini göz önüne alalım. Öyle ki, katsayılar matrisi A(t),
A(t+T)=A(t) (3.2)
olacak şeklinde, T peryoduyla peryodik bir fonksiyon olsun. Floquet Kuramının (3.1,2) denklemleriyle tanımlanan diferansiyel denklemin çözümleri ile ilgili sonuçlar aşağıdaki gibi bir teorem altında toparlanabilir.
Teorem: Eğer (t), (3.1) ve (3.2) ile tanımlanan sistemin bir temel çözüm matrisi ise,
Q(t)= Q(t+T) (3.3)
olacak şekilde T peryoduyla peryodik regüler bir matris, R de sabit bir matris olmak üzere R Q(t)et ) t ( (3.4) şeklinde yazılabilir.
Şimdi yukarıdaki teoremin kanıtlanmasına yönelelim.
a) Temel çözüm matrisi olan (t) (3.1)’i sağlamak zorunda olduğuna göre
) t ( ) t ( ) t ( A (3.5)
yazılabilir. (3.5) ifadesi her t anında geçerlidir. İfade t+T anı için yazılır ve (3.2) gözönüne alınırsa ) T t ( ) t ( ) T t ( ) T t ( ) T t ( A A (3.6)
elde edilir. Buradan (3.1)’i sağladığı anlaşılan (tT)’nin de bir temel çözüm matrisi olduğu sonucuna varılır. Böylece Teoremin (a) şıkkı kanıtlanmış olmaktadır. b) (3.1)’in her çözümü, temel çözüm matrisi olan (t) cinsinden yazılabilir. Bu, bir çözüm matrisi olduğunu gördüğümüz (tT) için de böyledir ve
S ) t ( ) T t ( (3.7)
yazılabilir. Buradaki sabit, regüler bir matris olan S matrisi, monodromi matrisi adını alır. Öte yandan, istenirse
S=eTR (3.8)
yazılabilir. Şimdi,
R R Q
Q(t)(t)et (t) (t)et (3.10)
olacak biçimde bir Q(t) matrisi tanımlayalım. (3.10)’da t yerine t+T konur ve (3.9) dikkate alınırsa ) t ( e ) t ( e e ) t ( e ) T t ( ) T t ( (t T) T (t T) t Q Q R R R R (3.11)
elde edilir. Buradan, (3.10)’da tanımlanan Q(t)’nin T peryoduyla peryodik bir matris olacağı anlaşılmaktadır. Ayrıca, (3.10)’da ne (t) ne de e-tR tekil olduğundan Q(t) de tekil olmayıp regüler bir matristir. Böylece Teoremin (b) şıkkı da kanıtlanmış olmaktadır.
3.1.2 Kararlılık sınırları
(3.8) ifadesinden, monodromi matrisi S ile, üstel matris R arasındaki ilişki
R=1/TlogS (3.12)
şeklinde yazılabilir. Bunun yanında, temel çözüm matrisi (t)
(0)=I (3.13)
olacak biçimde normalize edilirse (3.7) ifadesinden monodromi matrisi
S=(T) (3.14)
olarak elde edilir.
S’nin i özdeğerleri Floquet çarpanları, R’nin i özdeğerleri ise Floquet üsleri diye adlandırılır. Genel halde karmaşık sayılardan oluşan bu iki karakteristik sayı takımı arasında (3.12)’den yararlanılarak
] k 2 ) [arg( T / 1 ) Im(( )], log[mod( T / 1 ) Re(i i i i (3.15)
bağıntıları yazılabilir ve bu takımlardan herhangi biri (3.1) sisteminin kararlılığı hakkında hükme varmak için yeterlidir. Özel olarak sistem, ancak ve ancak bütün i’ler için mod(i)1 ya da Re(i)0 ise kararlıdır. Kolayca anlaşılabileceği gibi eşit işaretli haller, kararlılıktan kararsızlığa geçiş sınırları için de bir gerek koşul oluşturur. Ancak, bizim amacımız açısından, Floquet üslerinin kararlılık sınırlarında sahip olacakları ayırdedici özellikler hakkında biraz daha fazla bilgiye ihtiyaç vardır. Gerekli bilgi şu iki teoremden çıkartılabilir [22].
i)Eğer A(t) gerçel ise, Floquet çarpanları ancak kompleks eşlenik çiftler halinde bulunabilir.(i,j *i; i j).
ii)Eğer dinamik sistem kanonik (yani hareketi Hamilton’un kanonik denklemleri ile temsil edilebilecek biçimde ideal holonomik bağ şartlarına sahip, korunumlu bir sistem ise) Floquet çarpanları ancak ters çiftler halinde bulunabilir. (i,j i1; i j).
Bu iki teoremden yapılan çıkarsamalarla, kararlılık sınırları ile ilgili olarak, aşağıdaki sonuçlara ulaşılabilir. Bu sonuçlar, dinamik sistemin kanonik olup olmamasına bağlı olarak önemli farklılıklar göstermektedir.
1. Kanonik sistemlerde herhangi tipten bir kararlılık sınırının ortaya çıkması için gerek koşul
/ , ; i j 0 Im( ) T 0 i,j j i (3.16)
olmasıdır. Burada Im(i,j) üzerine konulan kısıt, (3.15) denkleminde var olan belirsizliği gidermek amacına yöneliktir.
2. Kanonik olmayan sistemlerde bir kararlılık sınırının ortaya çıkması için gerek koşul , , ; i) k 1,2,... i 1 T k 2 ( 0 2 i (3.17) veya
, ; i) k 1,2,... T k 2 ( Ti / i (3.18) ya da / , ; i j 0 Im( ) T 0 i,j j i (3.19)
olmasıdır. Bu koşullar, sırasıyla, harmonik, harmonikaltı ve bileşik rezonans bölgelerinin sınırlarına karşılık gelmektedir. Harmonik rezonans bölgelerinin sınırlarında T peryoduyla peryodik, harmonikaltı rezonans bölgelerinin sınırlarında ise sanki peryodik (kuaziperyodik) hareketlerin söz konusu olduğu gösterilebilir. Bu nedenle harmonik ve harmonikaltı rezonans bölge sınırlarına, sırasıyla, T peryodik ve 2T peryodik sınırlar adı verilir. Burada (3.17) ve (3.18), tek Floquet üsleri yerine birbirine eşit Floquet üssü çiftleriyle, kanonik sistemlerde de geçerlidir.
(3.18) ve (3.19)’un birleştirilmesiyle / , ; i j 0 Im( ) T 0 i,j j i (3.20) ve (3.17), (3.18) ve (3.19)’un birleştirilmesiyle de / , ; i veya j 0 Im( ) T 0 i,j j i (3.21)
yazılabilir. Bu sonuncusu, kanonik olmayan sistemlerde herhangi tipten bir kararlılık sınırının ortaya çıkması için gerek koşulu oluşturmaktadır.
Çalışmanın bundan sonraki aşaması, kanonik olmayan sistemler özelinde devam edecek ve (3.17-21) denklemleriyle ifade edilen bir sınır belirleme yöntemi verilecektir.
3.2 GenelleĢtirilmiĢ Bolotin Yöntemi [22]
Floquet kuramı ve Fourier serileri esasına dayalı bir sınır belirleme yöntemi olan Bolotin Yöntemi, kararlılığın inceleneceği parametre düzleminde yalnızca parametrik rezonans sınırlarını vermektedir. Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemi ise,
kanonik olmayan sistemlerde, (3.21) ile ifadesini bulan ve parametrik rezonans sınırları yanında kombinasyon rezonans sınırlarını da veren bir yöntemdir.
3.2.1 Matematik formülasyon
Dinamik davranışı, C(t) ve K(t) T peryodlu nxn matrisler olmak üzere
0 x K x C x (t) (t) (3.22)
ile temsil edilen (3.22) ifadesi Hill denklemleri takımının genel formu olarak ele alınabilir) kanonik olmayan n serbestlik dereceli bir sistem ele alınsın. Burada, peryodu T den 2’ye dönüştüren =t; =2/T değişken dönüşümü yapılınca
0 x K x C x 1 ( ) 1 ( ) 2 (3.23) denklemine ulaşılır.
(3.4) ile ifade edilen Floquet çözümü, (t) temel çözüm matrisi yerine tek bir özel çözüm ve Q(t) peryodik ifadesi yerine de Fourier serisi açınımı göz önüne alınarak, Dk nx1 bilinmeyen kompleks Fourier katsayıları vektörü olmak üzere
k ik ke e ) ( D x (3.24)şeklinde yazılabilir. Bu çözüm (3.23)’de yerine yazılırsa
D
C K D 0 k ) ik ( k k ) ik ( k 2 2 e ] ) ( ) ( ) ik ( [ e ) ik ( (3.25)ifadesine ulaşılır. Bu denklemde yer alan C() ve K() peryodik ifadelerinin m. harmoniğe kadar içeren
şeklindeki kompleks Fourier serisi açınımları da göz önüne alınırsa (3.25) ifadesi 0 D K C D
)] p k ( i [ k p m m p k p k ) ik ( k 2 2 e ] ) ik ( [ e ) ik ( (3.27)olarak elde edilir.
Burada, (3.27) ifadesinin harmonik dengesi göz önüne alınır ve ifadeyi e(ik) ortak parantezine almak amacıyla [i(kp)]
e ifadesini e(ik) ya dönüştürecek indis dönüşümü k yerine, k-p yazılarak yapılırsa
0 D K C D
} ] )) p k ( i ( [ ) ik ( { e m m p p k p p k k 2 2 ) ik ( (3.28) ya da, 0 D K C D
m m p q p p k 2 2( ik) [ ( iq)) ] (3.29) k=....,-1,0,1,... , q=k-pifadesine gelinir. Göz önüne alınan harmonik denge, (3.27) ile ifade edilen sonsuz denklemlik cebirsel denklem takımının sağlanmasını gerektirir. Bu takım 0 ile hiper vektör matris formunda yazılarak
0 D F F F E E I [ 1/ ] [ 1/ 1/ ]] [ 2 0 1 0 1 2 2 (3.30) şekline getirilebilir.
Burada D{...DT2,DT1,D0T,D1T,D2T,...}T sonsuz boyutlu bir sütun matris, I sonsuz boyutlu birim matris Ei, Fi’ler ise
p k,q 2 p k,q 1 kq 2 k,q 0 p k,q 1 kq k,q 0 , iq , k , ik 2 K F C F I F C E I E (3.31)
şeklinde tanımlı sonsuz boyutlu bölümlenmiş matrislerdir. Burada kq Kronecker deltası, i2
=1, k ve q üst indisleri ise ilgili matrisin , sırasıyla, satır ve sütün indisleridir. (3.30) denkleminin trivial olmayan çözümlere sahip olabilmesi için, için ikinci dereceden bir matris polinomu olan katsayılar matrisinin determinantı sıfır olmalıdır. ’ya göre lineerleştirmeyle bu koşul
0 ] ] / 1 / 1 det[[U0 U1 2U2 I (3.32) buradan da 2 2 1 0 1/ U 1/ U U R (3.33) tanımı yapılarak 0 ] [ det R-I (3.34)
şeklinde yazılabilir. Burada Ui ler
0 0 0 , 0 0 , 0 2 2 1 1 1 0 0 0 F -U E -F -U E -F -I U (3.35)
şeklinde tanımlı iki kat sonsuz boyutlu matrislerdir. Böylece Floquet üslerinin R matrisinin özdeğerleri olacakları, buradan da bu matrisin 2nx2n boyutlu R matrisinin sonsuz boyutlu bir karşılığı olduğu anlaşılmaktadır. Buradaki H[RI] matrisi ise problemin Hill matrisi olarak adlandırılır. (3.15) denkleminden de görüldüğü gibi Floquet üslerinin ancak i
T 2
(T=2) farkıyla belirli oluşu ile uyumlu olarak bu matris bakımından i peryodiktir.
Bu noktada, Bolotin’i [21] izleyerek, (3.32) dan çıkartılacak sonlu boyutta -söz gelimi (3.29) da -KkK; K=1,2,... konularak elde edilecek 2n(2K+1) inci mertebeden- determinantların, Floquet üslerini kabul edilebilir yaklaşıklıkla vereceği düşünülebilir. Ancak böyle bir hesap yapılacaksa, bu şekilde elde edilecek 2n(2K+1) adet özdeğerden yalnızca 2n adedinin aranan i ; |Im(i)| 1/2 özdeğerleri için K ıncı mertebeden yaklaşık çözümler oluşturacağı, geri kalanların ise i i;
K ,..., 2 , 1
değerleri için K inci mertebeden yaklaşımlar olacağı dikkate alınmalıdır.
3.2.2 Sınır belirleme yöntemi
Üzerinde kararlılık diyagramının oluşturulacağı parametre düzleminin bir bileşeni, parametrik tahrikin frekansı olarak alınsın. Bu durumda sınır belirleme yöntemi, kararlılık sınırlarına karşılık gelen değerlerini veren denklemlerden ibaret olacaktır. Parametrik rezonans sınırları için böyle denklemler kolayca verilebilir: (3.17) denkleminden =0’ın (3.30) da yerine konulması ile harmonik rezonans sınırları için 0 ] / 1 / 1 [ det F0 F1 2F2 (3.36)
(3.18) denkleminden T=2 ile elde edilen =1/2 i nin (3.30) da yerine konulması ile de (=-1/2 i de konulabilirdi) harmonik altı rezonans sınırları için
0 ] / 1 ] i 2 / 1 [ / 1 ] 4 / 1 i 2 / 1 det[[F0 E0 I F1 E1 2F2 (3.37)
elde edilir. (3.36) ve (3.37) denklemleri orijinal Bolotin yönteminin değişik bir biçim altında yinelenmesinden başka bir şey değildir.
Bileşik rezonans bölgeleri için de benzer denklemler elde edilebilmesi için (3.19-21) denklemlerine göre , (3.33)’deki R matrisinin toplamı sıfır eden özdeğerlere sahip olma koşullarının ifade edilmesi gereklidir. Bu matematiksel olarak, özdeğerleri R ’3in özdeğerlerinin ikişerli toplamlarından ibaret olan bir matrisin bulunması ve determinantının sıfıra eşitlenmesi ile eş anlamlıdır. Böyle matrisler gerçekten vardır
