Sayısal örnekler

KB mekanizması için 3, 3Ç mekanizması için ise 2 farklı parametre düzleminde ve her grafik için de iki farklı sönüm değerinde kararlılık kartları elde edilmiştir. Kararlılık kartlarını veren bütün parametre düzlemlerinde, düşey eksen, boyutsuz hız ekseni olarak göz önüne alınmış ve yatay eksende adım adım ilerlenerek, o parametre değerinde kararsızlık bölge sınırları belirlenerek işaretlenmiştir. Bu yapılırken, KB ve 3Ç mekanizmalarının biyellerini temsil eden (2.43) hareket denkleminde yer alan peryodik ifadeler, Fourier serisinde ilk 8 harmonik göz önüne alınarak hesaba katılmıştır. Bu, (3.26) denkleminde m=8 alınması anlamına gelmektedir.

Bu bölümde sıkça geçecek iki kavram olan mod sayısı ve bölge sayısına değinmek yerinde olacaktır.

Elastik biyellerin hareketini temsil eden Hill denklem takımında göz önüne alınan denklem sayısı, Galerkin açınımında kullanılan modal fonksiyonların sayısından ibaret olduğundan, mod sayısı olarak adlandırılmakta ve Bölüm 2.1’de ulaşılan (2.42) hareket denklemlerini tarayan i indisinin (i=1,2,...,N) alacağı N sayısı olarak karşımıza çıkmaktadır.

Bölge sayısı ise, yine Hill denklemlerinin kararlılığını incelemek üzere, Bölüm 3.2.1’de anlatılan hesap adımları sonunda ulaşılan (3.30) sonsuz boyutlu matrisinden alınacak sonlu boyutlu matrisi tanımlamak üzere, (3.24) çözüm kabulünün Fourier serisi açınımında görünen k indisinin, -K<k<K şeklinde alacağı K sınır değeridir. Bekleneceği üzere, KB ve 3Ç mekanizmalarının biyellerinin kararlılığının incelendiği bu bölümde, göz önüne alınan bütün parametre düzlemlerinde, kararsızlık bölgelerinin düşey boyutsuz hız ekseninden belirli yerlerden çıkmalı ve bu yerler, basit mesnet sınır şartlarına sahip, eğilme titreşimleri yapan bir çubuğun boyutsuz özdeğerleri ile orantılı olmalıdır. Böyle bir çubuğun özdeğerlerini veren frekans denkleminin sin_i=0 olduğu hatırlanırsa, bir dizi hesapla, i, mod sayısı; k, bölge numarası ve _i=i²2

olmak üzere T peryodik sınırlarla çevrili harmonik rezonans bölgelerinin

2T peryodik sınırlarla çevrili harmonikaltı rezonans bölgelerinin ise

2T

=2i/k i=1,2,...,N; k=1,2,...,K (4.4) noktalarından çıkacakları belirlenebilir. Bu yapılırsa, i=1 değerinde, harmonik rezonans bölgelerinin 9,869; 4,935; 3,289; 2,467; 1,974; ... , harmonik altı rezonans bölgelerinin ise, 19,739; 6,579; 3,948; 2,819; 2,191;... gibi noktalar civarından çıkmaları gerektiği ve Şekil 4.1-7 incelendiğinde kararsızlık bölgelerinin bu noktalar civarından çıktığı görülür.

Ancak gerek göz önüne alınan sönümün serbest titreşim frekanslarını düşürücü etkisinden, gerekse, düşey eksen üzerinde diğer parametrenin sıfır değerini alması ile birlikte, biyellerin (2.43) hareket denklemlerindeki serbest titreşimleri temsil eden terimler haricindeki terimlerin sıfırlanmaması nedeni ile bölgeler tam olarak çıkmaları beklenen noktalardan değil, bu noktalar civarından ve düşey eksende yukarıya doğru ilerledikçe, gittikçe genişleyerek çıkmaktadır.

Verilen kararlılık kartlarında koyu renk sınırlarla çevrilmiş taralı bölgeler harmonik, gri renk sınırlarla çevrili taralı bölgeler ise harmonik altı rezonans bölgeleridir. Bileşik rezonans bölgelerine ise, yapılan hesaplar sonucunda rastlanmamıştır.

Krank-Biyel Mekanizmasının kararlılığına eksantrisitenin etkisi: 3

. 0



 m, ₂ r₂/0.3, ^KB m₄/m₃ 0.5 şeklinde tanımlı bir KB mekanizması için boyutsuz eksantrisite(

 4 4 r   )-boyutsuz hız() parametre düzleminde elde edilen kararlılık kartları Şekil 4.1, 4.2 ve 4.3’te farklı mod sayıları ve sönüm değerleri için verilmiştir.

Parametre düzleminde eksantrisiteyi temsil eden yatay eksen mekanizmanın çalışma sınırı olan 0,7 değerine kadar alınmıştır. Görüleceği üzere, yatay eksende sağa doğru gidildikçe, yani eksantrisite arttıkça, kararlı bölge daralmakta ve tam çalışma sınırında mekanizma tümüyle kararsız hale gelmektedir. Boyutsuz hız ekseninde yukarı doğru çıkıldıkça kararsızlığın hızla arttığı ve bir yerden sonra mekanizmanın tümüyle kararsız hale geldiği, buna karşın pratik bakımdan anlamlı hız bölgelerinde,

O halde, bir tasarım parametresi olarak eksantrikliğin, kararlılık açısından oldukça önem taşıdığı görülmektedir.

Şekil 4.1 KB mekanizmasının kararlılığına eksantrisitenin etkisi (1 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01

Şekil 4.1’de yalnızca 1. mod (N=1), Şekil 4.2 ve 4.3’te ise, sırasıyla ilk 2 (N=2) ve 3 moda (N=3) ait kararlılık kartları verilmiştir.

Elde edilen kararlılık kartlarında, kararsızlık bölgelerinin sınırlarının yakınsamasına etki eden iki parametre vardır. Bunlar, bölge sayısı K ve mod sayısı N’dir. Ayrıca, bölge sayısı arttıkça daha düşük hız bölgelerine doğru gittikçe incelen yeni kararsızlık bölgeleri açığa çıkmaktadır.

Tablo 4.1 T peryodik sınırlar (4=0.3)

K N 4 8 12 16 1 6.554270 6.554891 6.554891 6.554891 2 6.517405 6.517985 6.517985 6.517985 3 6.517250 6.517828 6.517828 6.517828  4  4 (a) (b)

Tablo 4.2 2T peryodik sınırlar (4=0.3) K N 4 8 12 16 1 5.456263 5.457946 5.457946 5.457946 2 5.437181 5.438651 5.438651 5.438651 3 5.437027 5.438595 5.438596 5.438596

Tablo 4.3 2T peryodik sınırlar (4=0.6)

K

N 4 8 12 16

2 8.889018 9.113222 9.119715 9.119720

3 8.872950 9.092986 9.098708 9.098865

Tablo 4.1, 4.2 ve 4.3’ten de görülebileceği üzere (Tablo 4.1 ve 4.2, 1. modu temsilen verilen sırasıyla T ve 2T peryodik sınırlara ait , Tablo 4.3 ise 2. modu temsilen verilen 2T peryodik sınırlara ait sayısal örneklerdir) ele alınan uygulamalarda, K=8 alınması 1. moda ait gerek T peryodik, gerekse 2T peryodik sınırların yakınsaması açısından çok iyi sonuç vermekte, ancak, ilk 2 ve daha yüksek modların da (Şekil 4.2,3) hesaba katılması ile birlikte, yüksek modlara ait sınır değerlerinin yakınsaması açısından yetersiz kalmaktadır. Bu yetersizlik 2T peryodik sınırlar açısından daha da belirgindir.

Sonuçta görülmüştür ki, mod sayısı arttıkça, yüksek modlara ait kararsızlık bölge sınırlarının daha iyi yakınsayabilmesi için bölge sayısının da artırılması gerekmektedir. Bir dizi hesap sonucu yeterli bölge sayısı kolaylıkla saptanabilir. Yukarıda bahsi geçen sebeple, yapılan bir dizi hesap sonucu, N=1 için K=8, N=2 ve N=3 için ise K=16 alınmasının yakınsama açısından uygun olacağı saptanmıştır. Şekil 4.1, 4.2 ve 4.3 incelenirse, ilk iki modun göz önüne alınması ile birlikte, Şekil 4.1’de boyutsuz hız değerinin 12-14 değerleri arasında varolan kararlı bölgenin yok olduğu, ancak diğer kararlı bölgeleri kararsız bölgelerden ayıran sınırların pek değişmediği, zaten kararsız olan bölgeler içerisinde yeni kararsızlık bölgelerinin oluştuğu görülmektedir. Şekil 4.3’te ilk 3 modun göz önüne alınması halinde ise, yine kararlı bölge sınırlarının değişmediği, yalnızca kararsız olan bölgeler içerisinde 2. moda ait bölgeler üzerinde 3. modu temsilen yeni kararsızlık bölgelerinin oluştuğu

ve gerek aynı tipten, gerekse farklı tipten kararsızlık bölgelerinin üst üste bindiği görülmektedir.

Şekil 4.2 KB mekanizmasının kararlılığına eksantrisitenin etkisi (2 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01

Buradan farklı tipten üst üste binen bölgeler içerisindeki parametre değerlerinde, sistemin hem harmonik hem de harmonik altı kararsızlığa uğrayabileceği anlaşılmaktadır. Bu, teorik inceleme açısından bir anlam ifade etmekle birlikte , pratik bakımdan bir anlam ifade etmemektedir.

Ayrıca, kararsızlık bölge sınırları dikleştikçe, yatay eksende taranan parametrenin tarama sıklığına bağlı olarak eğriler kopmaktadır. Daha sık tarama adımı ile sürekli bir eğri etmek olası olmakla birlikte, bu, programın çalışma süresi bakımından bir olumsuzluğu da beraberinde getirmektedir.

Sonuç olarak, ele alınan problemler özelinde, hareket denkleminin ayrıklaştırılmasının bilinen en iyi yöntem olan Galerkin yöntemi ile yapılmasının bir sonucu olarak, yalnızca ilk iki modun göz önüne alınması (N=2) yeterli olmaktadır.



4



4

Şekil 4.3 KB mekanizmasının kararlılığına eksantrisitenin etkisi (3 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01

Yine, farklı iki sönüm değeri için verilen yukarıdaki grafikler incelenirse, sönümün artmasıyla birlikte başta ince ve yüksek dereceden olan bölgeler olmak üzere bütün kararsızlık bölgelerinin küçüldüğü, düşey boyutsuz hız ekseninden çıkan bölgelerin eksenden koptuğu, bölgelerin keskin köşelerinin yumuşadığı ve bölgelerin hafifçe aşağı doğru kaydığı (sönümün serbest titreşim frekanslarının düşmesine sebep olmasından ötürü) görülmektedir.

Krank-Biyel ve 3-Çubuk Mekanizmalarının kararlılığına  parametresinin etkisi:

25 . 0



 m, ₂ r₂/0.25, ₄ 0 şeklinde tanımlı bir KB mekanizması ve 4

. 0



 m, ₁r₁/1, ₂ r₂/0.3, ₄ r₄/0.9 şeklinde tanımlı, kol-sarkaç kol tipinde bir 3Ç mekanizması için, -boyutsuz hız() parametre düzleminde elde edilen kararlılık kartları Şekil 4.4 ve Şekil 4.5’te ilk iki mod (N=2) ve farklı iki sönüm değeri için verilmiştir.



4 

4

Şekil 4.4 KB mekanizmasının kararlılığına  parametresinin etkisi (2 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01

Şekil 4.4 ve 4.5’te verilen kararlılık kartlarından görüleceği üzere kararsızlık bölgeleri, boyutsuz hız ekseninden daha önce bahsedilen noktalar civarından çıkmaktadır.

 parametresini temsil eden yatay eksen üzerinde sağa doğru gidildikçe kararlı bölge daralmakta, düşey eksende daha yüksek hızlara çıkıldıkça da, bekleneceği üzere kararsızlığın da hızla arttığı ve bir süre sonra mekanizmaların tümüyle kararsız hale geldiği görülmektedir. Yani KB mekanizmasında piston kütlesi, 3Ç mekanizmasında sarkaç kol eylemsizlik momenti, mekanizmanın kararlılığı üzerinde olumsuz etkiye sahiptir. Ancak, pratik bakımdan anlamlı boyutsuz hız ve  değerlerinde mekanizmalar genelde kararlıdır.

Ayrıca sönümün etkisinin de kararlılığın lehine olduğu, kararsızlık bölgelerini hızla küçülttüğü görülmektedir.     (a) _(b)

Şekil 4.5 3Ç mekanizmasının kararlılığına  parametresinin etkisi (2 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01

Krank-Biyel ve 3-Çubuk Mekanizmalarının kararlılığına 2 parametresinin etkisi:

25 . 0



 m, ^KB m₄/m₃ 0.5, ₄ 0 şeklinde tanımlı bir KB mekanizması ve 0.4 m, ₁r₁/1, ₄ r₄/0.9, ^3Ç I₄/₄m₃² 0.5 şeklinde tanımlı kol-sarkaç kol tipinde bir 3Ç mekanizması için, 2-boyutsuz hız() parametre düzleminde elde edilen kararlılık kartları Şekil 4.6 ve Şekil 4.7’de ilk iki mod ve farklı iki sönüm değeri için verilmiştir.

Şekil 4.6 ve 4.7’de KB ve 3Ç mekanizmalarının kararlılığına ilişkin kartlarda yatay eksende yer alan 2 parametresinin krank boyunun biyel boyuna oranı olduğu hatırlanır ve pratikte kullanılan mekanizmalarda bu değerin 0,1-0,3 arasında değiştiği göz önüne alınırsa, pratik bakımdan anlamlı hız bölgelerinde mekanizmaların genelde kararlı olduğu, yüksek hız bölgelerine çıktıkça da, yine bekleneceği üzere, kararsızlığın hızla artarak, mekanizmaların sürekli kararsız hale geldiği

 





verilmiş bir biyel boyu için, artan krank yarıçapının mekanizmanın kararlılığı üzerinde olumsuz etkisi bulunduğunu göstermektedir.

Şekil 4.6 KB mekanizmasının kararlılığına 2 parametresinin etkisi (2 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01

Yine, beklenildiği üzere, kararsızlık bölgeleri düşey eksenden çıkmalarının beklendiği noktalar civarından çıkmaktadır. Sönümün de kararlılık lehine olan etkisi açıkça görülmektedir.  2  2 (a) (b)

Şekil 4.7 3Ç mekanizmasının kararlılığına 2 parametresinin etkisi (2 Mod) (a) =0.001, (b) =0.01