Matrislerin singüler değer eşitsizlikleri

T.C.

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Matrislerin Singüler Değer Eşitsizlikleri

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Matrislerin Singüler Değer Eşitsizlikleri

Akın KALE

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Danışman

Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN

i ÖZET

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Matrislerin Singüler Değer Eşitsizlikleri

Akın KALE

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN Jüri: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN

Yrd. Doç. Dr. Ayşe NALLI

Sirkülant matrisler ve Singüler değerler, nümerik analiz, sayılar teorisi, geometri, fonksiyonel analiz ve lineer cebir gibi matematiğin çeşitli alanlarının yanısıra elektrik ve elektronik mühendisliği, makine mühendisliği ve genetik mühendisliği gibi çeşitli mühendislik alanlarında da kullanılmaktadır.

Bu çalışmada singüler değerler ile sirkülant matrisler incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Singüler Değerler, Singüler Değerler Eşitsizlikleri, Sirkülant Matrisler, Fibonacci ve Lucas Sayı Dizileri

ii ABSTRACT

MS. THESIS

Singular Value Inequalities of Matrices Akın KALE

Selcuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Asist. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN

Jury: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT

Asist. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN Asist. Prof. Dr. Ayşe NALLI

Not only have Circulant matrices and Singular values been used in various fields of mathematics such as numerical analysis, number theory, linear algebra, functional analysis, and geometry but also they have been used in various engineering fields, such as electrical and electronic engineering, mechanical engineering, and genetic engineering.

In this study, circulant matrices and singular values have been examined. Key Words: Singular Value Inequalities, Singular Values, Fibonacci and Lucas Numbers, Circulant Matrices

iii ÖN SÖZ

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde matrisler ile ilgili genel özellikler verilmiştir. İkinci bölümde singüler değerler ve singüler değer eşitsizlikleri ile ilgili bazı özellikler verilmiştir. Üçüncü bölümde sirkülant matrisler ile ilgili genel özellikler verilmiştir. Dördüncü bölümde Fibonacci-Lucas sayıları ile ilgili bazı özellikler ve elemanları Fibonacci-Lucas sayıları olan sirkülant matrislerin özdeğerleri ile singüler değerleri incelenmiştir. Beşinci bölümde de sonuç ve öneriler verilmiştir.

Bu tezin oluşmasında büyük katkıları olan danışman hocam Yrd. Doç. Dr. Ramazan Türkmen’e teşekkür ederim.

Akın KALE Konya, 2009

iv İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTACT ii ÖNSÖZ iii GİRİŞ 1 1.MATRİSLER 3 1.1 Matris Tipleri 3

1.2 Matrislerin Bloklara Ayrılması 5

1.3 Benzer Matrisler 6

1.4 Üniter Matrisler 7

1.5 Pozitif Yarı Tanımlı Matrisler 7

1.6 Fourier Matrisleri 8

1.7 Öz Değer ve Öz Vektörler 9

2. SİNGÜLER DEĞERLER 15

2.1 Bir Karesel Matrisin Köşegenleştirilmesi 16

3. SİRKÜLANT MATRİSLER 27

3.1 Sirkülantların Bloklara Ayrışımı 29

3.2 Sirkülant Matrislerin Köşegenleştirilmesi: 30

3.3 Ters Sirkülant Matrisler 34

3.4 Sirkülant Matrislerin Çarpımı 35

3.5 Sirkülant Matrislerin Rankı 35

3.6 Sirkülant Matrislerin İzi 36

4. FİBONACCİ ve LUCAS ELEMANLI SİRKÜLANT MATRİSLER 37

4.1 Fibonacci ve Lucas Sayı Dizileri 37

4.2 Fibonacci ve Lucas Elemanlı Sirkülant Matrislerin Öz Değerleri 40 4.3 Fibonacci ve Lucas Elemanlı Sirkülant Matrislerin Singüler Değerleri 48

5. SONUÇ ve ÖNERİLER 51

GİRİŞ

R. Bhatia ve F. Kittaneh (1990) çalışmalarında, aritmetik-geometrik ortalama eiştsizliğini kullanarak, A, B herhangi iki matris olmak üzere

( ) ( ) ( )

* * *

2s ABj ≤s AAj +s BBj

singüler değer eşitsizliğini ispatlamışlardır.

X. Zhan(2000) çalışmasında, A, B n-kare kompleks ve pozitif yarıtanımlı matrisler ve

A B⊕ blok köşegen matris olmak üzere,

(

)

(

)

j j

s A B− ≤s A B⊕

singüler değer eşitsizliğini ispatlamıştır.

F. Kittaneh(2001) çalışmasında, A, n-kare kompleks ve . spektral norm olmak üzere,

2

* * 2

A A AA− ≥ A − A

eşitsizliğini ispatlamıştır.

X. Zhan(2004) çalışmasında, A pozitif matris ve ₀ A₁, ,… A_k pozitif yarı tanımlı matris olmak üzere

2 1 0 1 0 j k i j j i tr A A trA − − = = ⎛ ⎞ < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑ ∑

eşitsizliğinden yararlanarak,

( ) ( ) ( )

* * * 2s ABj ≤s AAj +s BBj

(

)

(

)

j j s A B− ≤s A B⊕

singüler değer eşitsizlikleri için yeni çözüm yolları elde edilmiştir.

O. Hirzallah(2005) çalışmasında,

(

_{* *}1 2

)

_{1 2} 1 2 3 4 3 4 2 j j A A s A A A A s A A ⎛⎡ ⎤⎞ + _{≤ ⎜⎢ ⎥⎟} ⎣ ⎦ ⎝ ⎠

singüler değer eşitsizliğini ispatlamış ve bu eşitsizlikten yararlanarak bazı norm eşitsizlikleri ispatlamıştır.

Y. Tao (2006) çalışmasında, A, B n-kare pozitif yarı tanımlı matrisler olmak üzere

(

)

1 3 3 1 4 4 4 4 j j s A B⎛_⎜ +A B ⎞_⎟≤s A B+ ⎝ ⎠ , j=1, 2, ,… n singüler değer eşitsizliğini ispatlamıştır.

P. J. Davis(1979) kitabında, n. mertebeden,

1 2 1 1 1 2 2 3 1 ( , , , ) n n n n c c c c c c C circ c c c c c c − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = =_{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ …

1. MATRİSLER

Tanım 1.1. Herhangi bir F cisminin elemanlarından m n× tanesinin, m tane satır ve n tane sütun olarak dizilmesiyle elde edilen tabloya m n× tipinde matris denir.

Eğer burada m=n ise matrise kare matris, m n≠ ise matrise dikdörtgen matris denir. Böyle bir matrisi A ile gösterirsek, a_ij bu matrisin genel elemanı olmak üzere

A’yı 11 12 1 21 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ şeklinde yazabiliriz. 1.1 Matris Tipleri

Tanım 1.2. Herhangi bir A kare matrisinin a i_ii

(

=1, 2,3,...,n

)

elemanlarının bulunduğu doğrultuya bu matrisin esas köşegeni denir.

Tanım 1.3. Bir kare matrisin esas köşegeni üzerindeki elemanlarının dışındaki bütün elemanları sıfır ise bu matrise köşegen matris denir. Tanıma göre köşegen matrisi 11 22 11 22 ( , , , _nn) nn a a köş a a a a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎟ =} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … şeklinde yazabiliriz.

Tanım 1.4. A kare matrisinde, i j− ≥ için her 1 aij =0 ise A matrisine üst üçgen, j i− ≥1 için her aij =0 ise A matrisine alt üçgen matris denir.

Tanım 1.5. A matrisi m n× tipinde bir matris olsun. A matrisinin satırlarının sütun, sütunlarının da satır yapılmasıyla elde edilen, yeni n m× mertebeli matrise A matrisinin transpozesi (evriği) denir ve _{A ile gösterilir.} T

11 12 1 21 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

olarak alınırsa A matrisinin transpozesi

11 21 1 12 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . m m T n n mn a a a a a a A a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

şeklinde elde edilir.

Tanım 1.6. Esas köşegen üzerindeki elemanlarının hepsi 1 olan köşegen matrise birim matris denir ve

1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 n I ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ şeklinde gösterilir.

Tanım 1.7. A, n-kare matris olmak üzere _AT _{= ise A matrisine simetrik A}

matris (her i,j için a_ij =a_ji), eğer _AT _{= − ise A matrisine ters simetrik matris (her A}

Tanım 1.8. A matrisi kompleks elemanlı bir matris olsun. A , A matrisinin elemanlarının kompleks eşleniğini göstermek üzere _AH _=AT _{= ise A matrisine A}

hermityen matris denir.

Tanım 1.9. A n n× matrisi _{A A AA}H ₌ H _{şartını sağlıyorsa A matrisine normal}

matris denir.

Tanım 1.10. P matrisi _{P P PP}H ₌ H _{= olacak şekilde bir matris ise P I}

matrisine üniter matris, özel olarak P reel ve _{P P PP}T ₌ T _{= ise P matrisine I}

ortogonal matris denir.

1.2 Matrislerin Bloklara Ayrılması

Tanım 1.11. A herhangi bir matris olsun. A matrisinin bir kısım satır ve

sütunlarının silinmesiyle elde edilen matrise A matrisinin bir alt matrisi denir.

A, m n× matris olsun. Bu matrisi, yatay ve dikey çizgilerle çeşitli alt

matrislere ayırabiliriz. Bunu

11 12 13 14 15 21 22 23 24 25 31 32 33 34 35 ... a a a a a A a a a a a a a a a a ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (1.1)

şeklinde basit bir örnekle gösterebiliriz. (1.1) ile verilen A matrisini,

[

]

11 11 12 A = a a ,A₁₂ =

[

a₁₃ a₁₄ a₁₅

]

, ₂₁ 21 22 31 32 a a A a a ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦, 23 24 25 22 33 34 35 a a a A a a a ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ olmak üzere 11 12 21 22 A A A A A ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (1.2) şeklinde yazılabilir.

Tanım 1.12. (1.1) veya (1.2) formülleriyle verilen işleme, A matrisini bloklara ayırma işlemi denir.

1.3 Benzer Matrisler

A ve B n-kare matrisler olmak üzere 1

A S BS₌ − _(1.3)

eşitliğini sağlayan terslenebilir bir S matrisi varsa, A matrisi B matrisine benzerdir. Eğer

A, B ye benzerse, o zaman B de A ya benzerdir.

Özellik .1. Benzer matrislerin karakteristik denklemleri aynıdır ve dolayısıyla öz değerleri ve izleri de aynıdır.

Özellik .2. Eğer x, A’nın λ öz değerine karşılık gelen öz vektörü ve (1.3) sağlanıyorsa, o zaman Y = Sx; B nin aynı öz değerine karşılık gelen öz vektörüdür.

Teorem 1.1. Benzer matrislerin karakteristik denklemi ve öz değerleri aynıdır. Ayrıca _{B P AP=} −1 _{ve x, A matrisinin bir öz vektörü ise P x}−1 _{’de B matrisinin bir öz}

vektörüdür. İspat.

(

1

)

1 1

det(λI B₋ ) det₌ λI P AP₋ − ₌det(λP P P AP− ₋ − )

olur. Determinantların özelliklerinden _{det(P P}−1 _{) det=}

( )

_P−1 _{det( )P olduğundan}

(

)

(

) ( )

1 1

det(λI B₋ ) det(₌ P− λI A P₋ ) det(₌ P− ) det λI A₋ det P elde edilir. Buradan da

( ) (

)

(

)

(

)

1 1

det( ) det( ) det det det( ) det

det I B P P I A P P I A I A λ λ λ λ − − − = − = − = −

olur ki, A ile B nin karakteristik denklemleri aynıdır. Dolayısıyla öz değerleri de aynıdır.

x, A matrisinin bir öz vektörü ise Ax=λx olur. O halde

(

_{P AP P x}−1

)(

−1

) (

_{=B P x}−1

) (

_{=λ P x}−1

)

olur ki,

(

_{P x}−1

)

_{vektörü B matrisinin bir öz vektörüdür.}

1.4 Üniter Matrisler

Bir matrisin tersi, eşlenik transpozuna eşitse, bu matris üniterdir (ortogonaldir), yani eğer

1 H T

U− =U =U

ise U üniterdir. Üniter matrisler normaldir, çünkü

1 1

H H

UU ₌UU− _{= =}I U U U U− ₌

şeklindedir. Ayrıca, Üniter matrisler aşağıdaki özelliklere sahiptir.

Özellik 1. Aynı mertebeli üniter matrislerin çarpımı bir üniter matristir. Özellik 2. Eğer U üniter ise, o zaman tüm uygun mertebelerdenki X ve Y vektörleri için

, ,

UX UY X Y

〈 〉 = 〈 〉

eşitliği sağlanır.

Özellik 3. Bir üniter matrisin tüm öz değerlerinin mutlak değeri 1 dir. Özellik 4. Bir üniter matrisin determinantının mutlak değeri 1 dir.

Üniter matrisler benzerlik dönüşümleri oluşturmada çok önemlidir, çünkü bunların tersi çok kolay bulunabilir.

Bir ortogonal matris, tüm elemanları reel olan bir üniter matristir. Eğer P ortogonal ise, o zaman

1 T

P− ₌P

olur.

1.5 Pozitif Yarı Tanımlı Matrisler

Tanım 1.13. A, n-kare kompleks matris olmak üzere

* ₀

x Ax≥ , _x∈ n

Tanım1.14. A, n-kare kompleks ve U üniter matris olsun.

*

1

( ,..., )_n

A U diag= λ λ U

olmak üzere λ_i ≥ ler sıfırdan büyük ve eşit ise A ya pozitif yarı tanımlıdır denir. 0 Teorem 1.2 A matrisinin pozitif yarı tanımlı olması için gerek ve yeter şart A

nın esas alt matrislerinin determinantı pozitif olmalıdır [Zhang F]. 1.6 Fourier Matrisleri

n sabit tamsayı ven≥1 olsun.

2 _{2 2} cos sin i n w e i n n π _{π π} = = + , i= −1

birimin n. dereceden herhangi bir köküdür. Aşağıdaki özellikler vardır.

(a)_wn ₌ 1 (b)w w__= 1 (c)___{w w=} −1 (d)( )_w__ k _=w−k _=wn k− (e)_{1+ +w w}2_{+ +... w}n−1 _{= 0} n. mertebeden ( )F = F_n matrisi ( 1)( 1) 1 ( i j ) F w n − − = şeklinde veya 2 1 2 4 2( 1) 1 2( 1) ( 1)( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n w w w F w w w n w w w − − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = _{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dir.

k

w , (k =1, 2,...,) periyodiktir. Burada F nin n tane farklı elemanı vardır.

F ayrıca 2 1 1 2 4 ( 2) 2 1 ( 2) 1 1 1 1 1 1 1 n n n n w w w F n w w w w w w − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = _{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ olarak yazılabilir. F ve _{F simetrik olduğundan} * T F =F , _F* _=(F*₎T _{= , F F =}

( )

_F* T ifadeleri yazılabilir. 1.7 Öz Değerler ve Öz Vektörler 1.7.1 Karakteristik denklemler

A n-kare matris olmak üzere

AX =λX (1.4)

eşitliğini sağlayan λ skalerine A nın öz değeri ve X de λ öz değerine karşılık gelen öz vektör denir.

A, n n× matrisinin karakteristik denklemi, det(A−λI)

determinantının açılımından elde edilen n. dereceden bir monik polinomdur.

Karakteristik denklemin λ için çözümü, reel, kompleks veya birbirinin katları olabilen, A nın öz değerlerini verir. Bir öz değer belirlendiğinde, (1.4) de

yerine konulabilir ve sonra bu denklem ilgili öz vektörler için çözülebilir. det(A−λI) 0= denklemine A nın karakteristik denklemi denir.

Örnek. 2 5 5 3 1 4 5 6 9 A − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ − _⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦

matrisinin öz değer ve öz vektörlerini bulunuz.

Çözüm. 2 5 5 1 0 0 3 1 4 0 1 0 5 6 9 0 0 1 2 5 5 3 1 4 5 6 9 A λI λ λ λ λ − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − =_⎢ − −_{⎥ ⎢ ⎥} ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ − − _⎥ ⎢ − − ⎥ ⎣ ⎦ Böylece,

(

)

3 2 det A−λI =λ +6λ +9λ=0 olup, _{λ λ}

(

2_+6λ+9

)

_{= olur ve öz değereler, 0}

2 3 3

λ =λ = − olur.

Şimdi bu öz değerlere karşılık gelen öz vektörleri bulalım.

(

λI A x−

)

=0 denkleminde λ₁ = koyarsak, 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 5 5 0 3 4 0 5 6 9 0 x x x x x x x x x − − + = − − + = − − + =

sistemi elde edilir. Bu sistemden,

1 2 3 2 3 4 0 13 7 0 x x x x x − + = − =

denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin katsayılar matrisinin rankı 2 olduğundan bir tane değişkeni keyfi parametre olarak seçilir. x₃ =13a seçilirse x₁=15a ve x₂ =7a

çözümü bulunur. a=1 özel değeri için x₁ =15, x₂ = , 7 x₃ =13 özel çözümü elde edilir. Bu durumda λ₁ = öz değerine karşılık gelen öz vektör 0 v₁=

[

15,7,13

]

T vektörüdür.

Benzer şekilde

(

λI A x−

)

=0 denkleminde λ₂ =λ₃ = − koyarsak, 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 5 5 0 3 4 4 0 5 6 6 0 x x x x x x x x x − − + = − − + = − − + =

sistemini elde ederiz. Bu sistemden,

1 2 3 2 3 3 3 0 0 x x x x x + − = − =

denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin katsayılar matrisinin rankı 2 olduğundan bir tane değişkeni keyfi parametre olarak seçilir. b keyfi bir sabit olmak üzere x₃= b

seçersek x₁= , 0 x₂ = , b x₃= elde edilir. Özel olarak b b=1 ise x₁= , 0 x₂ = , 1

3 1

x = özel çözümü elde edilir. O halde A matrisinin λ₂ =λ₃ = − öz değerine 3 karşılık gelen gelen öz vektör v₂ =

[

0,1,1

]

T vektörüdür.

1.7.2 Öz Değerlerin ve Öz Vektörlerin Özellikleri:

Özellik 1. Bir matrisin öz değerlerinin toplamı matrisin izine eşittir, bu da esas köşegen üzerindeki elemanların toplamıdır.

Örnek: 2 5 5 3 1 4 5 6 9 A − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ − _⎥ ⎢ − ⎥ ⎣ ⎦

matrisinin özdeğerlerinin toplamının matrisin izine

eşit olduğunu gösteriniz.

Çözüm: A matrisinin özdeğerleri λ₁ = , 0 λ₂ =λ₃ = − olduğunu biliyoruz. O halde 3

1 2 3 0 ( 3) ( 3) 6

λ λ λ+ + = + − + − = − ve iz A

( )

= + + − = −1 2

( )

9 6 olur.

Özellik 2. Farklı öz değerlere karşılık gelen öz vektörler lineer bağımsızdır. İspat. λ λ₁, , ,₂ … λ_m, A matrisinin birbirinden farklı özdeğerleri ve X X₁, ₂, ,… X_m bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler olsun.

1 1 2 2 m m 0

denkleminin çözümünün c₁ =c₂ = =c_m = olduğunu göstermeliyiz. (1.5) 0 denklemini soldan A ile çarparsak,

1 1 2 2 m m 0 0

c AX +c AX + +c AX = A =

olur. Burada her vektör öz vektör olduğundan, AX =λX ifadesini kullanarak

1 1 1 2 2 2 m m m 0

c Xλ +c λ X + +c λ X = (1.6) olarak yazlılabilir. (1.6) denklemi soldan A ile çarpılır ve AX =λX ifadesi kullanılırsa

2 2 2

1 1 1 2 2 2 m m m 0

cλ X +cλ X + +c λ X =

elde edilir. Bu şekilde devam edilirse,

1 1 2 2 m m 0 c X +c X + +c X = 1 1 1 2 2 2 m m m 0 c Xλ +cλ X + +c λ X = 2 2 2 1 1 1 2 2 2 m m m 0 cλ X +cλ X + +c λ X = 3 3 3 1 1 1 2 2 2 m m m 0 cλ X +cλ X + +c λ X = 1 1 1 1 1m 1 2 2m 2 m mm m 0 cλ −X +c λ − X + +c λ − X =

denklem sistemi elde edilir. Bu sistem matris biçiminde yazılırsa,

1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 3 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 1 0 0 0 0 m m m m m m m m m c X c X c X c X λ λ λ λ λ λ λ λ λ − λ − λ − λ − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎣ ⎦} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.7)

Soldaki ilk matris m m× tipinde Q matrisi olsun. Q matrisinin determinantına Vandermonde determinantı denir.

(

2 1

)(

3 2

)(

4 3

)(

4 2

)(

4 1

) (

m 1

)

Q = λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ− − − − − λ −λ

olarak ifade edilir. Q ≠0 biçimindedir, çünkü tüm özdeğerler farklıdır. Böylece Q tekil değildir. (1.7) sistemi,

1 1 2 2 1 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 m m c X c X c X Q c X − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥_{⎣ ⎦ ⎣ ⎦} ⎣ ⎦

olarak yazılabilir. Böylece, c X_{i i} = 0

(

i=1, 2, ,… m

)

olur. Fakat her bir X_i ≠ bir öz 0 vektör olduğundan, sıfır değildir. Bu durumda her i için c_i = bulunur. 0

Özellik 3. Bir matrisin en az bir özdeğeri sıfır ise o matris tekildir.

İspat. det

(

A−0I

)

=0ise, A matrisinin bir öz değeri sıfırdır, bu durumda detA=0 olmalıdır. A matrisi tekildir.

Özellik 4. Eğer X, A matrisinin λ≠0 öz değerine karşılık gelen öz vektörü ve A nın tersi var ise, o zaman X, _A−1 _in 1

λ öz değerine karşılık öz vektördür.

İspat. Özellik 3 ten, λ≠0 olur. AX =λX ifadesinde eşitliğini soldan _A−1 _ile

çarparsak

(

)

( )

1 1

A− AX ₌ A− λX olarak yazılabilir. Buradan,

(

1

)

X =λ A X−

olur. Bu eşitliğin her iki tarafı λ ile bölünürse

1 1

A X X

λ

− _{= ⎜ ⎟}⎛ ⎞

⎝ ⎠ bulunur. Bu da istenen sonuçtur.

Özellik 5. Bir matrisin ve transpozunun öz değerleri aynıdır.

İspat. Eğer A bir kare matris ise, det_AT ₌det_{A olduğu biliniyor. Buradan,}

(

)

{

( )

}

(

)

(

)

0 det_{= A−λI =}det _AT T _−λIT ₌det _AT _−λI T ₌det _AT _−λI

olur. Böylece λ , _{A matrisinin öz değeri olur.} T

Özellik 6. Bir matrisin determinantı öz değerlerinin çarpımına eşittir. İspat. λ_i ler

(

i=1, 2, ,… n

)

, karakteristik denklemin kökü olduklarından

(

) (

1

)(

2

) (

)

det λI A− = λ λ λ λ− − … λ λ− _n

olacaktır. Burada λ =0 yazılırsa

( )

−1 detn

( ) ( )

A = −1 nλ λ_{1 2}… olur. Bu da λ_n istenendir.

2. SİNGÜLER DEĞERLER

Tanım 2.1. Eğer A M C∈ _n

( )

ise, o zaman _{A A 'nın öz değerleri} *

( )

* j A A λ olmak üzere

( )

* j A A λ

sayılarına A matrisinin singüler değerleri denir ve σ_j ile gösterilir. Yani

( )

*

j j A A

σ = λ

dır.

*

A A nın maksimum öz değerinin kareköküne A matrisinin spektral normu

denir. Bunu

{

}

( )

1 * ₂ * max s j A A A nın maksimum özdeğeri A A λ = =

şeklinde ifade edebiliriz.

Özellik 1. Eğer A M∈ _n( ) matrisinin öz değerleri λ_i (i=1, 2,..., )n ve singüler değerleri σ₁≥σ₂≥ ≥... σ_n ise, bu durumda

1

n i

σ ≤ λ ≤σ dir.

İspat. A matrisinin λ_i öz değerine karşılık gelen birim uzunluğundaki bir vektör (yani normu 1 olan bir vektör) x olsun. Bu durumda

i

Ax=λx

öz değer denklemini yazarız. Bundan dolayı

2

* _{, , ,}

i i i

A Ax x = Ax Ax =λ λ x x = λ

ifadesini yazabiliriz. Diğer taraftan _{A A hermityen olup} * _{A A matrisinin en büyük} *

ve en küçük öz değerleri sırasıyla 2 1

σ ve 2

n

2.1 Bir Karesel Matrisin Köşegenleştirilmesi

Λ bir n n× tipinde köşegen matris olmak üzere,

1

P AP− = Λ

olacak şekilde düzgün bir n-kare P matrisi varsa, o zaman A matrisine köşegenleştirilebilir denir.

Özellik 2. Düzgün n-kare P matrisi için, bir n n× A matrisinin

1

P AP− _{= Λ}

olacak şekilde bir Λ köşegen matrisine benzer olması için gerek ve yeter şart A matrisinin n tane lineer bağımsız öz vektöre sahip olmasıdır.

Örnek. 2 2 1 2 2 1 1 2 2 A ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

matrisinin spektral ayrışımı; A matrisinin karakteristik

polinomu,

(

)

3 2 2 2 1 det 2 2 1 6 5 1 2 2 I A λ λ λ λ λ λ λ − − − − = − − − = − + − − −

olup, matrisin öz değerleri λ₁=0,λ₂ = ve 1 λ₃ = olur. Bu öz değerlere karşılık 5

gelen öz vektörler sırasıyla, ₁ 1, 3,1 , ₂

[

1,1, 3

]

2 T T v =⎡_⎢ − ⎤_⎥ v = − ⎣ ⎦ ve 3

[

1,1,1

]

T v = dir.

Tanım 2.2. A herhangi bir kare matris olsun ve P pozitif yarıtanımlı matris ve U da üniter matris olsun. Bu taktirde

A PU=

Verilen ( ,..., )₁ n n

x= x x ∈ reel vektörünün bileşenlerini x_{[ ]1} ≥x_{[ ]2} ≥ ≥... x_{[ ]n} olarak düzenleyelim. Tanım 2.3. ( ,..., )₁ n n x= x x ∈ ve ( ,..., )₁ n n y= y y ∈ için [ ] [ ] 1 1 k k i i i i x y = = ≤

∑

∑

, k=1, 2, ,… n

ise x, y tarafından zayıf majorize ediliyor denir ve x≺_w y ile gösterilir. Eğer

[ ] [ ] 1 1 n n i i i i x y = = =

∑

∑

ise x, y tarafından majorize edilir denir ve x≺ y ile gösterilir. Örneğin,a_i ≥ ,0 1 1 n i a =

∑

buradan

(

1

)

1 1 ( ,..., ) a,...,a_n (1,0,...,0) n n ≺ ≺ dır.

Tanım 2.4. A ve E n n× tipinde hermityen matrisler ve E pozitif yarı tanımlı

olsun. Bu durumda λ₁ ≤ λ₂ ≤ ≤... λ_n olmak üzere

( )

(

)

i A i A E

λ ≤λ +

eşitsizliğine Weyl eşitsizliği denir.

Teorem 2.1 (Yunxing, 2006) M_* K

K N

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ pozitif yarıtanımlı herhangi bir blok matris olsun. M∈M_m,N M∈ _n, r≡min

{ }

m n, olsun. Buradan

* 2 ( )s K_j s_j M K K N ⎡ ⎤ ≤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , j=1,...,r dir.

İspat 1 0_* 0 K Q K ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ve 0 0 m n I I ⎡ ⎤ ⎢ ₋ ⎥

⎣ ⎦ matrisleri tanımlı olsun. Bu taktirde; *

M K

K N

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

matrisinin pozitif yarı tanımlılığından

* 0 0 0 0 0 m m n n I M K I I K N I ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ≥ ⎢ ₋ ⎥⎢ ⎥⎢ ₋ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ifadesi yazılır. Buradan * * * 0 0 0 2 0 0 m m n n I M K I M K M K Q I K N I K N K N − ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ≤_{⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥}=_{⎢ ⎥ ⎢}= _⎥− − _{⎣ ⎦} − _⎣− _{⎦ ⎣ ⎦} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ olur. Böylece 2Q M_* K K N ⎡ ⎤ ≤ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ sonucunu elde ederiz. Weyl’in monotonluk prensibinden * * 0 2 2 ( ) 0 j j j K M K Q K K N λ ⎡_⎢ ⎤_⎥= λ ≤λ ⎡_⎢ ⎤_⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦, j=1,...,m n+ (2.1) eşitsizliği yazılır.Matrislerin singüler değer ayrışımından

( )

1( ),..., ( ),..., 0,...,0,2 ( ),..., 1( ) T m n r r r Q s K s K s K s K λ + − ⎛ ⎞ =⎜_⎜ − − ⎟_⎟ ⎝ ⎠ (2.2)

eşitsizliği elde edilir.

Böylece (2.1) ve (2.2) den aşağıdaki sonucu elde ederiz.

* 2 ( )s K_j s_j M K K N ⎡ ⎤ ≤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦, j=1,...,r

İspat 2 0 0 m n I U I ⎡ ⎤ = ⎢ ₋ ⎥ ⎣ ⎦ ve * M K P K N ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ matrisleri tanımlansın. Böylece,

* * M K UPU K N − ⎡ ⎤ = ⎢₋ ⎥ ⎣ ⎦, * * 0 1 ( ) 0 2 K Q P UPU K ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥}= − ⎣ ⎦

olacaktır. P nin Jordan Ayrışımından

1 ( ) ( ) 2 j Q j P λ + _≤ λ _(2.3) * 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 j Q j UPU j P λ − _≤ λ ₌ λ _{, j=1,...,r (2.4)}

eşitsizlikleri elde edilir.

( ) ( ) ( )

j Q j Q s Kj

λ + ₌λ − _{= , j=1,...,r}

olmak üzere (2.2) ve (2.3) eşitsizliğinden,

* 2 ( )s K_j s_j M K K N ⎡ ⎤ ≤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦, j=1,...,r elde edilir.

Teorem 2.2 (Yunxing, 2006). Aşağıdaki bağıntılar denktir. i) A B M, ∈ _n pozitif yarıtanımlı olsun. Buradan

(

)

( )

j j

s A B− ≤s A B⊕ , j=1,...,n ii) Her ,X Y∈M_n için,

(

)

* * * 2 (s XYj )≤s X X Y Yj + , j=1,...,n iii) Her M_* K K N ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ pozitif yarıtanımlı matrisi M N M, ∈ n için,

* 2 ( )s K_j s_j M K K N ⎡ ⎤ ≤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦, j=1,...,n dir.

İspat.

( )i ⇒( )ii Herhangi iki ,X Y M∈ _n matrislerini ele alalım.C X Y ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ve X D Y ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥₋ ⎣ ⎦ matrisleri tanımlı olsun. (i) nin varlığını kabul ettiğimizden,

* * * * * * * * * * * * * * 0 0 2 2 ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 j j j j j j YX XY s s s CC DD XY YX CC C C s s DD D D X X Y Y s X X Y Y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ≤ _{⎢ ⎥}= _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ + ⎤ = ⎢ ₊ ⎥ ⎣ ⎦ yazabiliriz. Buradan da

(

)

* * * 2 (s XYj )≤s X X Y Yj + olduğu görülür. ( )ii ⇒( )iii M_* K 0 K N ⎡ ⎤_≥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ olduğunu biliyoruz. Burada S T, ∈M2 ,n n ve

* * * * * * ( , ) ( , )S T S T S S S T M K K N T S T T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥ ⎢}= _⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ tanımlı olsun. * 0 M K K N ⎡ ⎤ ≥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dan * * * * * * ( , ) ( , )S T S T S S S T M K 0 K N T S T T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ =_{⎢ ⎥ ⎢}= _⎥≥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (2.5) dır. X S Y ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦, X T Y ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥₋

⎣ ⎦ olmak üzere (ii) ve (2.5) denklemlerinden

(

)

* * * * * * * * 2 ( ) 2 (s K_j s S T_j ) s SS_j TT s_j S S S T s_j M K K N T S T T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ≤ + = _{⎢ ⎥}= _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , j=1,...,n elde edilir.

( )iii ⇒( )i A B M, ∈ _n pozitif yarıtanımlı herhangi iki matris olsun. 2 2 2 2 A B A B A B A B + − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ve I I I I ⎡ ⎤ ⎢₋ ⎥

⎣ ⎦ matrisleri pozitif yarı tanımlı olarak tanımlansın. Matrislerin benzerliğinden 0 1 2 2 1 0 2 2 2 2 A B A B I I I I A I I A B A B I I B + − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢₋ ⎥ _{− +} ⎢₋ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

olarak yazılabilir. Buradan da

0 2 2 0 2 2 A B A B A A B A B B + − ⎡ ⎤ ⎢ _{⎥ ⎡ ⎤} = ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} − + _{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ve 0 2 2 ₀ 0 2 2 A B A B A A B A B B + − ⎡ ⎤ ⎢ _{⎥ ⎡ ⎤} = ≥ ⎢ _{⎥ ⎢ ⎥} − + _{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dir.

(iii) deki eşitsizlikten

(

)

2 2 0 0 2 2 j j j A B A B A s A B s s A B A B B + − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ _{⎡ ⎤} − ≤ ⎢ ⎥= _{⎢ ⎥} − + _{⎣ ⎦} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , j=1,...,n olur.

Teorem 2.3 (Yunxing, 2006). ,A B M∈ _n ve m pozitif tamsayı olsun.Buradan,

(

)

(

)

1 1 1 2 2 2 ( ( )m ) m j j s A A B₊ − B _≤s A B_{+ , j=1,...,n} ve

(

)

1 3 3 1 4 4 4 4 ( ) j j s A B +A B ≤s A B+ , j=1,...,n eşitsizlikleri geçerlidir. İspat. 1 2 1 2 0 0 A X B ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

olarak tanımlansın. Buradan,

(

*

)

( ) 0 0 0 m m A B X X _{= ⎢}⎡ + ⎤_⎥ ⎣ ⎦ olur.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 * * * 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) m m m m m m A A B A A A B B XX X X X X B A B A B A B B − − − − − ⎡ ⎤ + + ⎢ ⎥ = _{= ⎢ ⎥} ⎢ _{+ +} ⎥ ⎣ ⎦

olur. Teorem 2.2 (iii) den

(

)

(

)

(

(

)

)

1 1 1 _{* *} 2 2 2 ( m ) (( ) )m (( )m m j j j j s A A B+ − B ≤s XX =s X X =s A B+ , j=1,...,n elde edilir. m= için, 2

(

)

(

)

1 3 3 1 2 2 2 2 2 2 (s A Bj +A B )≤sj A B+ , j=1,...,n

(

)

2 2 2 0 A≤ +B +AB BA− = A B− den

(

_{A B+}

)

2 _≤2(A2_+B2_{) yazılabilir.} Buradan,

(

)

(

)

(

)

1 3 3 1 2 _{2 2} 2 2 2 2 2 (s A Bj +A B )≤sj A B+ ≤2s Aj +B

dir. Şimdi A yerine 1 2 A , B yerine 1 2 B koyarsak,

(

)

1 3 3 1 4 4 4 4 ( ) j j s A B +A B ≤s A B+ , j=1,...,n olur.

Teorem 2.4 (Zhan, 2003). A ve B n n× tipinde herhangi iki kompleks matris olmak üzere,

( ) (

* * *

)

2s AB_j ≤s AA_j +BB 1, 2, ,j= … n eşitsizliği geçerlidir. İspat. 0 0 A X B ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠, * * 0 0 AB Y BA ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ olsun. Bu durumda, * * * 0 0 0 AA BB X X _{= ⎜}⎛ + ⎞_⎟ ⎝ ⎠ ve * * * * * AA AB XX BA BB ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ olur ve * _{* *} * * * 0 0 0 2 0 0 A A AA AB XX Y B B BA BB ⎛ − ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ≤_{⎜ ⎟⎜ ⎟} =_{⎜ ⎟}= − − − − ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ olur. Böylece, * 2Y ≤XX

olur. Weyl’in monotonluk prensibinden,

( )

(

*

)

2λj Y ≤λj XX , 1, 2, , 2j= … n

olur. Y matrisinin ilk n özdeğeri

( )

*

j

s AB , j= … iken, 1, ,n _{XX matrisinin ilk n} *

özdeğeri, yani _{X X in özdeğerleri,} *

(

* *

)

j s AA +BB , 1, ,j= … şeklinde olur. n

( )

(

*

)

2λ_j Y ≤λ_j XX eşitsizliğinden,

( ) (

* * *

)

2s AB_j ≤s AA_j +BB , 1, 2, , 2j= … n olur.

Lemma (Zhan, 2003).M , _n n n× tipindeki kompleks matrislerin uzayı olsun.

n

H M∈ , hermityen olsun. Bu durumda

( )

(

)

j j

s H =λ H⊕ −H olur.

Teorem 2.5 (Zhan, 2003). A ve B n n× tipinde herhangi iki kompleks matris olmak üzere,

(

)

(

)

j j s A B− ≤s A B⊕ , 1, ,j= … n eşitliği geçerlidir. İspat. s H_j

( )

=λ_j

(

H⊕ −H

)

eşitliğinden,

(

)

(

) (

)

j j s A B− =λ ⎡_⎣ A B− ⊕ B A− ⎤_{⎦ , 1, ,}j= … n olarak yazılır.

(

A B−

) (

⊕ B A−

) (

≤ A B⊕

)

olduğundan, Weyl monotonluk prensibine göre,

(

) (

)

(

)

j A B B A j A B λ ⎡_⎣ − ⊕ − ⎤_⎦≤λ ⊕ , 1, 2, , 2j= … n olur. λj

(

A B⊕

)

=s A Bj

(

⊕

)

, 1, 2, , 2j= … n, olduğundan,

(

)

(

)

j j s A B− ≤s A B⊕ , 1, ,j= … n olur.

Teorem 2.6 (Zhan, 2003). A pozitif matris ve ₀ A₁, ,… Ak pozitif yarı tanımlı matris

olmak üzere 2 1 0 1 0 j k i j j i tr A A trA − − = = ⎛ ⎞ < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑ ∑

dir.

İspat. 2 ₁ 1 1 0 0 0 j j j i j i i i i i tr A A tr A A − ₋ − − = = = ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ _≤ ⎪⎛ ⎞ ₋⎛ ⎞ ⎪ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ ⎪_⎩⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ ⎪_⎭, 1 j k≤ ≤

biçimindedir. X ve Y pozitif yarı tanımlı matrisler ise, ₂

( ) (

* * *

)

j j s AB ≤s AA +BB , eşitsizliğinden,

( )

_{1 2}

(

_{1 2}

)

*

(

_{1 2 2 1 2}

)

2s X_j =2s Y_j⎢⎡ XY− _⎥⎤≤s Y Y_j + − X Y− ⎣ ⎦ olur. Böylece,

( )

(

2 1

)

2tr X ≤tr Y X Y+ − olur. Burada, 1 0 j i i X A − = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ ve 1 1 0 j i i Y A − − = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ alınırsa, 1 2 _{1 1} 1 1 0 0 0 0 0 j j j j j i i i i i i i i i i tr A A A tr A A − − _{− −} − − = = = = = ⎧_{⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞}⎫ ⎧_{⎛ ⎞ ⎛ ⎞} ⎫ ⎪ ₋ ⎪_≤ ⎪ ₋ ⎪ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎬ ⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

∑

∑

∑

⎭ ⎩

∑

∑

⎭ elde edilir. 2 ₁ 1 1 0 0 0 j j j i j i i i i i tr A A tr A A − ₋ − − = = = ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ _≤ ⎪⎛ ⎞ ₋⎛ ⎞ ⎪ ⎨ ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ ⎪_⎩⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ _⎭⎪ ifadesinin j= … olan 1, ,k toplamı, 2 1 1 1 0 0 1 0 0 j k k i j i j i i tr tr A A trA tr A trA − − − − = = = ⎛ ⎞ _{≤ −} ⎛ ⎞ _< ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

∑

olur.

Lemma (Kittaneh, 2001). ,X Y M∈ _n pozitif yarı tanımlı matrisler ve . spektral norm olsun. Buradan,

(

)

1 2 1 2

max ,

X Y+ ≤ X Y + X Y

Teorem 2.7 (Zhan, 2003). ,A B M∈ _n olsun. Buradan,

* * * *

A A B B− ≥ A A B B⊕ − AB (2.6)

dir.

İspat. A UP= ve B QV= polar ayrışımlar olsun. P, Q pozitif yarı tanımlı ve U, V üniter matrisler olsun. Bu durumda (2.6) ifadesi

2 2 2 2

P −Q ≥ P ⊕Q − PQ (2.7)

biçimine indirgenir. _P2 _{≥ Q}2 _{olsun. Üçgen eşitsizliği ve Lemma (Kittaneh, 2001)}

den,

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P Q P P Q P P Q P P Q P Q − = − + ≥ − + ≥ − + = −

3. SİRKÜLANT MATRİSLER 1 2 1 1 1 2 2 3 1 ( , , , ) n n n n c c c c c c C circ c c c c c c − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ …

şeklindeki matrislere sirkülant matris denir.

1(mod )

( _jk) ( _{k j n} )

C= c = c _{− +}

şeklinde yazılabilir. Ayrıca,

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n

circ a a a circ b b b cir a b a b a b

circ a a a circ a a a α α α α + = + + + = … … … … … (3.1)

olduğu için Sirkülant matrisler, n. mertebeden matrislerin lineer altuzayıdır.

Teorem 3.1 (Davis Philip J.). A n n× tipinde bir matris olsun. A matrisinin sirkülant olması için gerek ve yeter şart

Aπ π= A

olacak şekilde bir π =circ(0,1,0, ,0)… matrisinin bulunmasıdır.

İspat. A=( )a_ij ve σ permütasyonu σ =(1, 2, , )… n olsun. Permütasyon matrislerden

*

( ), ( )

( _{i j} ) P AP_{σ σ} = a_{σ σ}

olarak yazıldığı biliniyor. Burada P_σ = şeklinde aldığımızda, A matrisinin sirkülant π olması içina_ij =a_{σ( ), ( )i σ j} olmalıdır. Yani,Aπ π= A ise _{π πA} * _{= dır. A}

Sonuç. A sirkülanttır ⇔ _{A sirkülant olmasıdır.} *

İspat. ⇒ : A sirkülant ise Aπ π= A olur. Bu durumda _{π πA} *_{= olur. Bu durumda A}

(

)

*

* * * * * * *

A A A A A A A

π π = ⇒ π π =π π = ⇒π = π

olur. Böylece _{A sirkülanttır.} *

⇐ : _{A sirkülant ise} * _πA* _{= A}*_{π dir. Yukarıdaki işlemlere benzer işlemler}

yapıldığında A nın sirkülant olduğu görülüyor.

Sirkülant matrisleri başka bir biçimde de gösterebiliriz.

k

π (k=1, 2, ,… n−1) permütasyon matrisi olsun.

1

1 2 1 2

( , , , ) n

n n

circ c c … c =c I c+ π+ +… cπ −

şeklindedir. Böylece, (3.1) den, C sirkülanttır diyebilmemiz için gerek ve yeter şart, herhangibir ( )p z polinomu için, C= p( )π olmalıdır. γ =( , , , )c c_{1 2} … c_n ve

( )

1

1 2 n n

p z_γ = +c c z+ +… c z −

biçimindedir ve p zγ( ) polinomuna sirkülant matrisin temsili gösterimi denir. Ayrıca ( 1) 1 2 ( ) ( ) i i n n c c eθ c e θ γ φ θ ₌φ θ _{= + + +…} −

sirkülant matrislerin temsili gösterimidir. Böylece, ( )

C circ= γ = p_γ π

şeklindedir.

Polinomlar aynı değişmeli matrisin içinde olduğundan dolayı aynı mertebeden bütün sirkülant matrisler değişmelidir. Eğer C sirkülant matris ise _{C da} *

sirkülanttır. Buradan C ve _{C değişmeli ve bütün sirkülant matrisler normal} *

3.1 Sirkülantların Bloklara Ayrışımı;Toeplitz Matrisler

n. mertebeden T =( )t_ij kare matrisinde

ij i j

t =t₋ ,i j =1, 2, ,… n

ise T ye Toeplitz matrisi denir.

Örnek: a b c d a b e d a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ toeplitz matristir.

Her sirkülant matris Toeplitzdir ama tersi doğru değildir. n= pq mertebeden bir C sirkülant matrisi otomatik olarak her bir bloğu Toeplitz olan bir blok sirkülant matristir. Blok matris .q mertebeden ise elemanlar p p× biçiminde düzenlenir.

Örnek: 6.mertebeden sirkülant matris,3 3× tipinde blok matis ve elemanları da 2 2× tipinde sıralanır. a b c d e f f a b c d e e f a b c d d e f a b c c d e f a b b c d e f a ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ve burada a b A f a ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠, c d B b c ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠, e f C d e ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

şeklide yazılırsa bu sirkülant maris

A B C C A B B C A ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ biçiminde yazılır.

Bir blok sirkülant matris, sirkülant matris olmak zorunda değildir. Bu sirkülant matris 2 3 3 3 a b c d e f I f a π b c π d e ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⊗_{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟}+ _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ gibi yazılabilir.

Eğer sirkülant matris n= pq mertebeden ise

1

0 1 p 1

p p p p

C I= ⊗A +π ⊗ + +A … π − ⊗A ₋ şeklinde yazılabilir ve burada I , _p j

p

π p mertebeden ve . A _j q mertebeden Toeplitz . matrislerdir.

3.2. Sirkülant Matrislerin Köşegenleştirilmesi Tanım 3.1. n≥1 olmak üzere,

2 _{2 2} cos( ) sin( ) i n w e i n n π _{π π} = = + , i= −1 için, 2 1 ( ) (1, , , , n ) n diag w w w − Ω = Ω = … olsun.

Not: _{Ω =}k _{diag(1,w w}k_, 2k_{, ,… w}(n−1)k_{) olduğuna dikkat ediniz.}

Teorem 3.2 (Davis Philip J.).

* F F π = Ω dir. İspat. *

F matrisi Fourier matrisidir ve Fourier matrisinin özelliğinden dolayı _F*

matrisinin .j satırı ( 1)0 ( 1)1 ( 1)( 1) 1 (_w j ,_w j , ,_w j n ) n − − _… − −

şeklindedir. Buradan _F*_{Ω nın .j satırı}

( 1)

1 1

( )(_w j r_wr) ( )(_wjr)

n n

− _{= , r=0,1, ,… n−1}

biçimindedir. F Fourier matrisinin k.sütunu

( 1) 1 ( )(wk r) n − ,r=0,1, ,… n−1 şeklindedir.

Böylece _F*_{Ω in ( , ).F j k satırı} 1 _{( 1)} 1 ( 1) 0 0 1 1 1 1 mod 0 1 n _{k r} n jr r j k r r j k ise w w w n n n j k ise − ₋ − − + = = = − ⎧ ⎪ = _{= ⎨} ⎪ _{≠ −} ⎩

∑

∑

olur. Böylece * * 1 ( ) ( ) ( (1), ( ), , ( n )) C circ= γ = pγ π = p Fγ ΩF =F diag pγ p wγ … p wγ − F ifadesini yazabiliriz.

Teorem 3.3 (Davis Philip J.). C sirkülant ise F Fourier matrisi tarafından köşegenleştirilebilir. Daha açık bir şekilde belirtirsek,

* C F F= Λ biçiminde yazılır ve burada Λ köşegen matrisi,

1

( (1), ( ), , ( n ))

c diag pγ p wγ p wγ −

Λ = Λ = …

biçimindedir.

Böylece C sirkülant matrisinin özdeğerleri,

1 2 ( 1) ( j ) ( ) j j p w n γ π λ ₌ − ₌φ − _{, j=1, 2, ,… n} olur.

Not: Özdeğerler farklı olmak zorunda değildir.

Teorem 3.4 (Davis Philip J.). C n n× tipinde sirkülant matris olmak üzere, C matrisinin özdeğerleri 1 0 n mk m k k c w λ − − = =

∑

, 2 i n w e π = , m=0, ,… n−1 olarak yazılır.

İspat. C sirkülant matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri, Cy=λy denkleminin ya da 1 1 0 m n n m k k k m k m k k m c y c y λy − − − + − = = + =

∑

∑

, m=0,1, ,… n−1

fark denkleminin kökleridir. Burada toplamların sınırlarında değişiklik yapılırsa

1 1 ( ) 0 n m n k k m k k n m m k k m c y c y λy − − − + − − = = + =

∑

∑

, 0,1, ,m= … n−1

elde edilir. Bu denklem sabit katsayılı lineer bir denklem olduğu için k k y =ρ dir. Bu denklemde k k y =ρ yazılırsa, 1 1 0 n m n k n k k k k k n m c ρ ρ c ρ λ − − − − = = − + =

∑

∑

elde edilir. ρ birimin n. dereceden primitif kökü olup, C sirkülant matrisinin özdeğerleri 1 0 n k k k c λ − ρ = =

∑

ve bu özdeğerlere karşlık gelen özvektörler ise

(

)

1 2 1 2 _{1, , , ,} n y n= − ρ ρ … ρ − dir. 2 i n w e π

= birimin n. dereceden primitif kökü olmak üzere

2 im m n m e w π ρ ₌ − ₌ −

olarak yazılırsa 0,1, ,m= … n−1 için C sirkülant matrisinin özdeğerleri

2 1 1 0 0 imk n n mk n m k k k k c e c w π λ − − − − = = =

∑

=

∑

(

)

( )m 1 _1, m_{, ,} m n( 1) y w w n − − − = … olur.

Teorem 3.5 (Davis Philip J.). A ve B ,n. mertebeden sirkülant matrisler ve

k

α skaler olsun. Buradan

T A ,_A*_, 1A 2B α +α , AB , r ₀ k k k= α A

∑

matrisleri sirkülanttır. Ayrıca, A ve B değişmelidir.

A matrisi singüler değilse, _A−1 _{matrisi de sirkülanttır.} * A F F= Λ ,Λ =diag( , , )λ₁ … λ_n olmak üzere, 1 * 1 A− ₌F _Λ− F şeklinde yazılır. 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Γ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

permütasyon matrisi olsun,

1 2 1 1 2 1 2 ( ( , , , ))T ( , , , , ) ( , , , )T n n n n circ c c … c =circ c c c ₋ … c = Γ c c … c olduğundan dolayı 1 1 1 1 1 2 ( , , , _n ) diag λ λ λ − − − − Λ = … eşitliği yazılır. 1 2 ( , , , )c c c_n γ = …

ise

(_circγ)T _=circ(_ΓγT) olarak yazılır.

3.3 Ters Sirkülant Matrisler

( , , , ) a b c d d a b c scirc a b c d c d a b b c d a ⎛ ⎞ ⎜₋ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜− − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜_{− − −} ⎟ ⎝ ⎠

biçimindeki matrislere ters sirkülant matris denir.

Sirkülant matrisler teorisi π matrisi ile ilgiliydi, ters sirkülant matris teorisinde, 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 n n I I I I η − π − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ _{⎛ ⎞ ⎛− ⎞} ⎜ ⎟ = =_{⎜ ⎟= ⎜ ⎟} − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜₋ ⎟ ⎝ ⎠

matrisi ile ilgilidir.

Ayrıca ters sirkülantlar , negacyclic matrisler olarak bilinir. Bu kavram

1 1 0 0 n k I kI η ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠, k =1

matrisini kullanarak biraz genişletilebilir.Bir ters

{ }

k −sirkülant, η_k ile değişmeli sirkülanttır.k =1 ve k = −1 için sırasıyla sirkülant ve ters sirkülantlar elde edilir.

Teorem 3.6 (Davis Philip J.).

( )

1 p q 12 pq G G w n ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = ,p=0,1, ,… n−1, q=0,1, ,… n−1 olsun. S matrisinin özdeğerleri

1 1 2 0 n _{m k} m k k s w μ − ⎛⎜⎝ + ⎞⎟⎠ = =

∑

, 0,1, ,m= … n−1 olmak üzere

S ters sirkülant matrisi

(

0, , ,1 1

)

H n S G diag= μ μ … μ ₋ G olarak yazılılabilir.

3.4 Sirkülant Matrislerin Çarpımı

Burada sirkülant matrislerin çarpımına biraz daha yakından bakalım. 1, 2, ,

k= … p için C sirkülant ve _k Λ , köşegen matris olmak üzere _k

k C nın köşegenleştirilmesi, * k k C =F Λ F olsun. Buradan, * * 1 1 1 p p p k k k k k k C F F F F = = = ⎛ ⎞ = Λ = _⎜ Λ _⎟ ⎝ ⎠

∏

∏

∏

biçimindedir. Buradan, 1 2 p

C C …C çarpımının özdeğeri,özdeğerlerin çarpımıdır.

* * 1 1 1 p p p k k k k k k C F F F F = = = ⎛ ⎞ = Λ = _⎜ Λ _⎟ ⎝ ⎠

∏

∏

∏

ifadesinin özel bir hali

*

k k

C =F Λ F (3.2)

olarak ifade edilebilir.

3.5 Sirkülant Matrislerin Rankı

Köşegenleştirilebilir bir matrisin rankı, sıfırdan farklı özdeğerlerin sayısına eşittir. Böylece, _{C F F=} *_{Λ ve}

(

)

1, , n

diag λ λ

Λ = … ise, r C

( )

, sıfırdan farklı λ özdeğerlerinin sayısına eşittir. Ayrıca, (3.2) ifadesinden

( )

k

( )

r C =r C k =1, 2,3… olarak yazılabilir.

3.6 Sirkülant Matrislerin İzi

(

)

*

1, , ,2 n

C circ c c= … c =F FΛ , Λ =diag

(

λ₁, ,… λ_n

)

olsun.Buradan,

1 1 n k k tr C nc λ = = =

∑

(

)

2 2 2 1 2 3 1 2 1 n T n n n k tr C n c c c c c₋ c c nγ γ λ = = + + + + = Γ =

∑

olarak yazılır ve burada γ =

(

c c₁, , ,₂ … c_n

)

biçimimdedir.

( ) ( )

2 * * , 1 n ij i j tr AA =tr A A =

∑

₌ a eşitliğinden,

( )

__ __ * * 2 2 2 1 2 2 1 n n k k tr CC tr F F tr n c λ λ λ = ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎜}Λ Λ_{⎟ ⎟}= _⎜Λ Λ_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + + + =

∑

olur.

4. FİBONACCİ ve LUCAS ELEMANLI SİRKÜLANT MATRİSLER 4.1 Fibonacci ve Lucas Sayı Dizileri

Tanım 4.1. F₁= ve 1 F₂ = olmak üzere; 1

1 2, 3

n n n

F =F₋ +F₋ n≥

lineer rekürans bağıntısı ile verilen,

{ }

F_{n n}∞₌₁ şeklindeki tamsayılar dizisine Fibonacci sayı dizisi denir.

1, 2,3,...

n= için Fibonacci sayıları 1,1, 2,3,5,8,13, 21,34, ... dır.

Ayrıca F_n dizisinin, 1 5 2

α = + ve 1 5

2

β = − olmak üzere, Binet formülü,

5

n n n

F =α −β

biçiminde verilmiştir.

Tanım 4.2. L₁= ve 1 L₂ = olmak üzere, 3

1 2, 3

n n n

L = L₋ +L₋ n≥

lineer rekürans bağıntısı ile verilen,

{ }

L_{n n}∞₌₁ şeklindeki tamsayılar dizisine Lucas sayı dizisi denir.

1, 2,3,...

n= için Lucas sayıları 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ... dır.

Ayrıca L_n dizisinin, 1 5 2

α = + ve 1 5

2

β = − olmak üzere, Binet formülü,

n n n

L =α +β

biçiminde verilmiştir. Şimdi de Fibonacci ve Lucas sayıları ile ilgili bazı özellikler verelim.

Özellik 1 (Lucas, 1876). 2 1 1 n i n i F F₊ = = −

∑

İspat: Fibonacci rekürans bağıntısından,

1 3 2 F =F − F 2 4 3 F =F − F 3 5 4 F =F − F 1 1 n n n F₋ =F₊ −F 2 1 n n n F =F₊ −F₊

olur. Bu ifadeler taraf tarafa toplandığında,

2 2 2 1 1 n i n n i F F₊ F F₊ = = − = −

∑

olarak bulunur. Özellik 2 (Lucas, 1876). 2 1 1 n i n n i F F F₊ = =

∑

İspat: İspatı tümevarım yöntemiyle yapalım. 1 n= için, 1 2 2 1 1 2 1 1 1.1 i i F F F F = = = = =

∑

n k= için iddianın doğru olduğunu kabul edelim. Yani

2 1 1 k i k k i F F F₊ = =

∑

olsun. n k= +1 için doğru olduğunu gösterelim,

(

)

1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 k k i i k i i k k k k k k k k F F F F F F F F F F F + + = = + + + + + + = + = + = + =

∑

∑

olur.