Singüler değerler için alt ve üst sınırlar

İÇİNDEKİLER ÖZET . . . . . . I ABSTRACT . . . . . . .II SİMGELER . . . ...III İÇİNDEKİLER . . . .. . . . . . .1 1.GENEL TANIMLAR . . . .. . . . . . . .2 2. SİNGÜLER DEĞERLER . . . .. . . . . . . 7

3. MATRİS SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN TAHMİNLER. . . . .. . . 10

4. EN KÜÇÜK SİNGÜLER DEĞERLER İÇİN SINIRLAR. . . .. . . 19

4.1. En Küçük Singüler Değer İçin Alt Sınırlar. . . . . . .. .. . . . 19

4.2.En Küçük Singüler Değer İçin Başka Alt Sınırlar. . . …… . . . . …28

5. SPEKTRAL YARIÇAP İÇİN ALT SINIRLAR . . . .37

6. EN BÜYÜK SİNGÜLER DEĞER İÇİN SINIRLAR . . . . . .. . . 41

7. MATRİS ÇARPIMLARININ SİNGÜLER DEĞERLERİ . . . . . . 45

8. BİR MATRİSİN SPEKTRAL NORMUNUN ŞART SAYISI İÇİN BİR ÜST SINIR. . . .. . . . . . 52

9. DOKUZUNCU BÖLÜM. . . .. . . 56

9.1.Singüler Değerler İçin Bazı Eşitsizlikler. . . .. . . . . . …….. 56

9.2. Bir Çarpımın Schur Ayrışımının Singüler değerleri İçin Sınırlar. . . . . 59

1. GENEL TANIMLAR

Bazı n. mertebeden karesel bir A matrisi ve n bileşenli birx≠0 sütun vektörü verilsin. Eğer Ax çarpımı λx şeklinde ( λ herhangi bir skaler ) yazılabilirse, bu durumda cebirde dikkate değer bir basitlik söz konusu olacaktır. Buna göre

( )

n n ij a A ×

= matrisi ile x, n×1vektörünün çarpımı sonucunda elde edilen vektör orijinal vektöre paralel olacaktır. Yani,

λ =

Ax x (1.1)

olsun. Bu durumda (1.1) denklemi; I , n×n birim matris olmak üzere

(

A −

λ

I

)

x = 0 (1.2)

şeklinde yazılabilir. Halbuki (1.2) denklemi n bilinmeyen ve n denklemden oluşan homojen bir lineer denklem sistemidir. Diğer taraftan homojen bir lineer denklem sisteminin aşikar olmayan çözümünün olması için katsayılar matrisinin tekil olması gerekir. Bundan dolayı (1.2) denklem sisteminin aşikar olmayan çözümü

0 )

det( A −

λ

I = A −

λ

I = (1.3)

olması halinde mevcuttur. (1.3) ifadesini açık şekilde yazarsak

0 ) det( 2 1 2 22 21 1 12 11 = − − − = − λ λ λ λ nn n n n n a a a a a a a a a I A
   … … (1.4) olur.

)

det( A −

λ

I ’nın hesaplanması sonucunda λ’ya bağlı n’inci dereceden monik bir polinom elde edilir. Bu polinoma A matrisinin karakteristik polinomu denir ve

( )

λ

A

K ile gösterilir. Yani,

( )

λ A K = det( A −

λ

I) dır. Ayrıca

( )

λ A K =0

denklemine de A matrisinin karakteristik denklemi denir. Bu karakteristik denklemin köklerine A matrisinin öz değerleri (yada karakteristik değerleri) denir. Hemen hatırlatalım ki; KA

( )

λ =0 n. dereceden bir denklem olduğundan cebirin esas teoreminden tam olarak n tane köke sahiptir. Tabiatıyla bunların hepsinin farklı olması gerekmez.

x

Ax =

λ

veya

(

A − λI

)

x = 0denkleminde sıfır olmayan x çözümlerine A’nın λ öz değerlerine karşılık gelen öz vektörleri (karakteristik vektörleri ) denir. Öz değer ve öz vektörler, bu tanımından doğrudan

) ,..., 2 , 1 (i n x Ax _i = λ_{i i} = temel formülü elde edilir.

Örnek 1.1.           − = 3 2 2 1 2 1 1 0 1

A matrisinin öz değerlerini ve bu öz değerlere

karşılık gelen öz vektörlerinin bulalım

Çözüm: Önce A matrisinin karakteristik polinomunu bulalım. Buna göre

λ λ λ λ λ − − − − = − = 3 2 2 1 2 1 1 0 1 ) det( ) ( A I K_A = 3 6 2 11 6 + − + − λ λ λ =−(λ−1)(λ−2)(λ−3)

( )

λ

A

K =−(λ−1)(λ−2)(λ−3)=0

şeklinde olup buradan A matrisinin öz değerleri 1

1 =

λ

,

λ

₂ = 2 , λ ₃ = 3

olarak bulunur. Şimdi ise, bu öz değerlere karşılık gelen öz vektörleri bulalım. Bunun için

( A − λ I ) x = 0

homojen denklem sistemini açık olarak aşağıdaki gibi yazarız.

(

)

     = − + + = + − + = − + − 0 ) 3 ( 2 2 0 ) 2 ( 0 0 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x λ λ λ (1.6)

daha sonra

λ

₁ = 1öz değerine karşılık gelen öz vektörü bulmak için (1.6) denkleminde λ =1 koyarak      = + + = + + = − + 0 2 2 2 0 0 0 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x (1.7)

homojen lineer denklem sistemini elde ederiz. Bu homojen lineer denklem sisteminin çözümü bize

λ

₁ = 1 öz değerine karşılık gelen öz vektörü verecektir. (1.7) lineer denklem sisteminin katsayılar matrisinin rankı 2 olup

(

n− r=3−2=1

)

bir keyfi bilinmeyen sözgelimi x1=a alırsak o zaman

0 0x2− x3 =

a x x2 + 3 =−

olup buradan x₂ =−a ve x3 =0 bulunur. Böylece

λ

1 = 1 öz değerine karşılık

          − − =           − =           = 0 1 1 0 3 2 1 1 a a a x x x X (0≠ ∈b )

olarak bulunur. Şimdi

λ

2 = 2 öz değerine karşılık gelen öz vektörü bulalım. Bunun için (1.6) denklem sisteminde λ =2 yazarak

     = + + = + + = − + − 0 2 2 0 0 0 0 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x

homojen lineer denklem sistemini elde ederiz. Bu homojen lineer denklem sisteminin katsayılar matrisinin rankı da 2 olup bir keyfi bilinmeyen sözgelimi x3 =b seçeriz. Buna göre b x x1+0 2 =− b x x1 +2 2 =− 2

olup bu lineer denklem sisteminin çözümünden x1 =−b , x2 =b 2 değerlerini elde

ederiz. Böylece

λ

2 = 2 öz değerine karşılık gelen öz vektöre X2dersek, o zaman

         − =          − =           = 1 2 / 1 1 2 / 3 2 1 2 b b b b x x x X (0≠ ∈b )

buluruz. Son olarak λ 3 = 3 öz değerine karşılık gelen öz vektörü bulmak için yine (1.6) homojen lineer denklem sisteminde λ =3 koyarak

     = + + = + − = − + − 0 0 2 2 0 0 0 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x

homojen lineer denklem sistemini elde ederiz. Bu denklem sisteminin de rankı 2 olduğundan yine bir tane keyfi bilinmeyen seçeriz. Buna da x3 =c diyelim. O takdirde x1 =−c/2 ve x2 =c/2 olarak buluruz. Eğer λ 3 = 3 öz değerine

karşılık gelen öz vektöre X3 dersek, o zaman

         − =          − =           = 1 2 / 1 2 / 1 2 / 2 / 3 2 1 3 c c c c x x x X (0≠ ∈c ) buluruz.

Tanım 1. 1. A, n. mertebeden karesel bir matris olmak üzere

( )

A max{

λ

:

λ

, A

ρ

= ’nın öz değeri}

kümesine A matrisinin spektral yarıçapı denir.

Bir A kare matrisinin spektral yarıçapı, o matrisin normundan küçük veya eşittir. Yani,

( )

A ≤ A

ρ

2. SİNGÜLER DEĞERLER

Tanım 2. 1. Eğer A∈Mn

( )

 A∈Mn

( )

 ise, o zaman A A

* _{’nın öz değerleri}

(

A A

)

j *

λ

olmak üzere ) ( * A A j λ (j=1,2,…,n)

sayılarına A matrisinin singüler değerleri denir ve σ ile gösterilir. Yani j

(

A A

)

j j * λ σ =

dır. Burada hemen not edelim ki, A*A’nın özdeğerlerinden mutlak değerce maksimum olanının kareköküne A matrisinin spektral normu denir ve

= s A j

(

A A

)

i * max λ şeklinde gösteririz. Örnek 2.1. =A _      + i i i 1 2

1 _{matrisinin singüler değerlerini bulalım}

= A A* _      + − =       +       − − − 3 2 2 5 1 2 1 1 2 1 i i i i i i i i olup, buradan 10 8 3 2 2 5 ₂ * + − = − − − + − − = − λ λ λ λ λ i i A A I

yazılır. Böylece A*A matrisinin öz değerleri

≅

+

=

24₄ 2 8 1

λ

6,44

55 , 1 4 24 2 8 2 = − ≅ λ

olarak bulunur. Singüler değer tanımı gereğince buradan A matrisinin singüler değerleri 53 , 2 1 ≅ σ ve σ2 ≅1,24

bulunur.Burada ilgi çekelim ki, A matrisinin spektral normu

1

σ

=

s

A

dır. Sıfırdan farklı bir x vektörü için

0 , , 2 * ≥ >= >=< < A Ax x Ax Ax A

yazılır. Buradan A*A ve dolayısıyla AA*matrisinin pozitif yarı tanımlı olduğu sonucu çıkar. Hemen not edelim ki, A*A’ın öz değerlerinin hepsi negatif olmayan sayılardır ve A*A (dolayısıyla *

AA ) matrisleri hermityen olduğundan öz değerlerinin hepsi reeldir.

Bir A normal matrisi için A’nın singüler değerleri ve öz değerleri arasında yakın bir bağıntı vardır. Eğer A normal matris ise, o takdirde A’nın singüler değerleri mutlak değerce A’nın öz değerlerine eşittir. Yani, j∈{1,2,...,n} için

(

A A

)

_j

( )

A

j λ

λ * =

dır.

Şimdi bir A∈M_n

_{( )}

 matrisinin öz değerleri ile singüler değerleri arasındaki bağıntıyı aşağıdaki teoremle ifade edelim.

Teorem 2.1. Eğer A∈Mn

( )

 matrisinin öz değerleri λ i ( i=1,2,…,n ) ve

singüler değerleri σ1 ≥σ2 ≥...≥σ_n ise,

1

σ

λ

σ

_n ≤ _i ≤ dir.

İspat: A matrisinin λ _i öz değerine karşılık gelen birim uzunluğundaki bir vektör ( yani normu 1 olan bir vektör ) x olsun. Bu durumda

x Ax = λ_i

öz değer denklemini yazarız. Bundan dolayı

2 * , , ,x Ax Ax i i x x i Ax A >=< >= λ λ < >= λ <

ifadesini yazabiliriz. Diğer taraftan A*A hermityen olup A*A matrisinin en büyük ve en küçük öz değerleri sırası ile 2

1

σ ve 2

n

3. MATRİS SİNGÜLER DEĞERLERİ İÇİN TAHMİNLER

Teorem 3.1. (Li 1999) A=

( )

aij n. mertebeden bir kompleks matris olsun.

( )

nxn

ij

B= b ∈  matrisi, A’dan büyük olsun. Yani, b_ij ≥ a_ij olsun. Buradan A’nın bütün öz değerleri

( )

}

{

∪

n i ii ii B b a z C z 1 : = − ≤ − ∈ ρ (3.1) nin içindedir.

Singüler değerlerin tahmini, pratikte önemlidir. A’nın singüler değerleri için tahminler elde etmek maksadıyla A*A matrisi yukarıdaki teoremde kullanılır. Bu yaklaşım bizi aşağıdaki teoreme götürür.

Teorem 3.2. (Li 1999)

( )

nxn ij

A= a ∈  olsun. A’nın bütün singüler değerleri

∪

n i i B 1 = ,B_i

₍

a_i s_i

₎

,a_i s_i +   =_ − + _⊆ (3. 2) içindedir. Burada

∑

≠ = i j ij i a r , =

∑

_≠ i j ji i a c ) , 0 max( u u₊ = , si =max

(

ri,ci

)

ve ai = aii , i=1,2,...,n (3. 3) dir. Teorem 3.3. (Li 1999)

( )

nxn ij A= a ∈  ve

( )

nxn 0 ij B= b ∈ ≥ , negatif olmayan matris olsun. Öyle ki,

}

{

ij ji

ij a a

b ≥max , ,

(

∀i≠ j

)

olsun. Buradan A’nın bütün singüler değerleri;

{

_{( )}

_}

1 : n i ii i z z a ρ B b + = − ≤ − ∩ 

∪

(3. 4)

birleşimi içindedir. Burada; ρ

( )

B , B’nin spektral yarıçapıdır ve a_i, a_ii

(

i = 1,2,..., n

)

ile gösterilir._+_{, negatif olmayan reel sayıları gösterir.}

Teorem 3.4. (Li 1999)

( )

nxn ij

A= a ∈  olsun. A’nın bütün singüler değerleri

{

}

∪

n j i j i j i j i z a s s R a z z ≠= + ∩ ≤ − − 1 , . : (3. 5) içerisindedir.

Lemma 3.1. (Li 1999) ,cη∈  ,η ≤1 ve σ∈  olsun. Buradan;

}

{

c c c ≤ − − − σ η ησ σ max , (3. 6) dır.

İspat: Eğer σ ≥ c ise,

c c c ≤ − ≤ − − ησ ησ σ ve eğer σ ≤ cise, c c c σ η σ η σ − ≤ − ≤ −

olup ispat tamamdır.

Teorem 3.3’ün ispatı: σ , A’nın bir singüler değeri olsun. Buradan;

(

x x xn

)

x= 1, 2,..., T ve y=

(

y1,y2,...,yn

)

T vektörleri y A x = * σ , σy = Ax (3. 7) sağlayacak şekilde bulunabilir.

Farz edelim ki; B=

( )

bij ≥0 olsun ve Teorem 3.3’ü sağlasın. İlk olarak B >0’ı alalım. Bu durumda aşağıdaki teorem verilebilir.

Teorem 3.5. (Li 1999) u =

(

u1,u2,...,un

)

T _{, >0} i u olmak üzere ) ( , 0 i u_i > ∀ ve Bu=

σ

( )

Bu şartını sağlayan bir u vektörü vardır.

i i u x xˆ= , i i i u y yˆ = olsun. Burada (3.7)’den;

∑

= = n j i j j ji i u u y a x 1 ˆ ˆ σ ,

∑

= = n j i j j ij i u u x a y 1 ˆ ˆ σ , i=1,2,…,n dir. Buradan

∑

≠ ≤ − i j i j i ji i ii i u u y a y a xˆ ˆ ˆ σ (3. 8)

∑

≠ ≤ − i j i j j ij i ii i u u x a x a yˆ ˆ ˆ σ (3. 9) dur. z_i =max

{

xˆ_i, yˆ_i

}

dir. z_p =max

{

z_j :1≤ j≤n

}

olsun. z_p ≥0 olduğu açıktır. Genelliği bozmadan zp = yˆ ≥p xˆp olsun. (zp = xˆ ≥p yˆp olduğu zaman benzer

argümanlar kullanılır.) p p y x ˆ ˆ =

η alalım. (3.8) ve (3.9)’da p.inci eşitsizlikler;

∑

≠ ≤ − p j p j j jp p pp u u y a z a ˆ ση

∑

≠ ≤ − p j p j j pj p pp u u x a z a η ˆ σ olur. Buradan;

∑

≠ ≤ − p j p j jp pp u u a a ση (3. 10)

∑

≠ ≤ − p j p j pj pp u u a a η σ (3. 11)

olur. ajp ≤bpj olsun. Bu=σ

( )

B u’nın p. bileşeni;

( )

∑

∑

≠ ≠ − = ≤ p j j p p pp p j pj j jpu b u B u b u a ρ (3.12) dir. (3.10) ve (3.12) eşitsizlikleri gereği ;

( )

pp

pp B b

a ≤ −

− ρ

ση ˆ (3.13) elde edilir. Benzer şekilde; a_pj ≤b_pj ve (3.11)’den

( )

pp

pp B b

a ≤ −

− η ρ

σ (3.14) elde edilir. η ≤1 idi. (3. 6) ,(3.13) ve (3. 14) ile

( )

pp

p B b

a ≤ −

− ρ

σ (3.15) olur. Buradan

σ

’nın (3. 4)’te olduğu görülür.

Son olarak B≥0 olsun ve benzer durumları sağlasın. ε ≥0 keyfi sayısı için

( )

ε =

(

b_ij +ε

)

B pozitif ve diğer kabulleri sağlasın. B

( )

ε ’a yukarıdaki durumları uygularsak;

( )

(

ε

) (

− +

ε

)

→

ρ

( )

− ( →

ε

0)

ρ

B bii B bii

olur. Bu ise ispatı tamamlanır.

Teorem 3.6. (Li 1999) Teorem 3.3’teki kabulleri alalım. d₊ =max

{

0,d

}

, d∈  olmak üzere

( )

( )

ii i B B b l =

ρ

− ve

( )

(

)

( )

[

a l B a l B

]

V_i = _i − _{i +}, _i + _i (3.16) olsun. Buradan a) bütün singüler değerler

_∪

n i i i V V 1 : = dedir.

b) Eğer, V intervalinin n bileşeni varsa, n− intervallerinden bağımsız k ise, V~’de A’nın k singüler değeri vardır.

İspat: (a)’ nın ispatı, Teorem 3.3’ten görülür. (b)’ nin ispatı aşağıdaki gözlemlere dayanır.

(b.1)

ε

∈

[ ]

0,1 ve A

( )

ε

=D+

ε

C olsun. Burada; D=diag

(

a11,a22,...,ann

)

,

D A

C= − olsun. B

( )

ε =G+εF olsun. Burada; G=diag

(

b11,b22,...,bnn

)

,

G B F = − olsun. Buradan;

( )

D A0 = , B

( )

o =G, A

( )

1 = A ve B

( )

1 =B

dır. B

( )

ε ,A

( )

ε ’a göre daha geniş bir spektral yarıçapa sahiptir. (a)’ya göreA

( )

ε ’nun bütün singüler değerleri

( )

[

(

(

( )

)

)

(

( )

)

]

∪

n

( )

i i i i i i i a l B a l B V V 1 : = + + − = ε ε ε ε aralığındadır. s, ∈t

[ ]

0,1 , s≤ için; t

(

B(s)

)

ρ

(

B(t)

)

ρ ≤

dır. B

( ) ( )

t,B s ’ye göre daha geniş bir spektral yarıçapa sahip olduğundan (bak[1])

(

B(s)

)

l

(

B(t)

)

l_i ≤ _i ve V_i

( )

s ⊆V_i

( )

t ⊆V_i

( )

1 ≡V_i dir.

(b.2) A’nın singüler değerleri sürekli fonksiyonlardır. A(0)’ın singüler değerleri, örneğin ) ,..., 2 , 1 (i n a_i = , a_i∈V_i (i=1,2,…,n) sağlanır.

(b.3)

ε

, 0’dan 1’e değiştiği zaman, sürekli olarak, A

( )

ε

’un

σ

i

( )

ε

singüler

değeri, aji’den σ

( )

1 ’e değişir.

Teorem 3.4’ün ispatı: A’nın bir singüler değeri σ olsun ve

(

x x xn

)

x= 1, 2,..., T_,

₍

₎

n y y y y= 1, 2,..., T_{, (3.7)’yi sağlasın.}

_{

_}

i i i =max x , y

ω

olsun.

} { max 1i n i p ω ω ≤ ≤

= olup ω_p ≠0 olduğu açıktır. max{ i}

p i

q ω

ω

≠

= olsun. (3.7)’de p.inci denklem;

∑

≠ ≤ − p j j jp p pp p a y a y x σ (3.17)

∑

≠ ≤ − p j j jp p pp p a x a x y σ (3.18)

olur. Genelliği bozmadan, ω_p = y_p ≥ x_p olsun. Buradan ; y_p ≠0 dır.

p p y x =

η

yazalım. (3. 17) ve (3. 18) eşitsizliklerinden;

∑

≠ ≤ ≤ − p j p q jp q p pp a s a

ω

ω

ω

ση

∑

≠ ≤ ≤ − p j p q pj q p pp a s a

η

ω

ω

ω

σ

olur. Lemma 3.1’i uygularsak;

p q p p s a ω ω σ − ≤ (3.19)

elde edilir.Eğer

ω

q =0 ise

σ

=ap ve

σ

, (3.5)’tedir.

ω

q ≠0 olsun. Benzer

argümanlarla (3. 19)’da q p q q s a ω ω σ − ≤ (3.20) olur. Sonuçta; q p q p a s s a − ≤ − σ σ

elde edilir. Böylece Teorem 3.4 ispat edilmiş olur.

Örnek 3.1: _      − = 2 1 1 6 A ise σ1(A)=6.1231, σ2 =2.1231 olur.       = 2 1 1 6 B

negatif olmayan matrisi ve ρ

( )

B =6.2361, A matrisinden daha geniş bir spektral yarıçapa sahiptir. Teorem 3.3’e uygularsak; A’nın bütün singüler değerler

[ 0, 6.2361 ] aralığında olur. Diğer taraftan

2361 . 6 ) ( max A ≤

σ

dir. Bu ise ∞ ≤ A A A ₁ max( ) σ =7

tahmininden daha iyidir.

Teorem 3.3’ü uygulayarak; _      = 6 1 1 6 1

B ise, bütün singüler değerlerin:

[ ] [ ]

1 ∪,3 5,7 ’de olduğunu biliyoruz. Buradan;

σ

min ≥1’dir. Bu ise;

( )

      + − ≥ 2 min min i i i c r a A

σ

ile aynıdır. Burada;

∑

≠ = i j ij i a r ,

∑

≠ = _{j i} ji i a c dir. Şart

sayısı için bir üst sınır,

( )

(

)

(

) }

{

2 min ) ( ) ( 1 12 min max i i i r c a A A A A A + − ≤ = Κ ∞ σ σ (3.21) olarak verilir.

Sonuç olarak; A’nın şart sayısı için üst sınır; Κ A

( )

≤6.2361 olarak bulunur. Bu ise; (3.21) ile verilen sınırdan daha iyidir.

Örnek 3.2:           = 3 1 0 1 10 1 0 0 6

A ise, A’nın singüler değerleri 10.2137, 5.9588 ve

2.8590’dır.           = 3 1 0 1 10 1 0 1 6

B negatif olmayan matris ve ρ(B)=10.3649 olup A’ya göre

daha geniş bir spektral yarıçapa sahiptir. Teorem 3.3’ten biliyoruz ki; A’nın bütün singüler değerleri [0,10.3649] aralığındadır. Buradan Teorem 3.3’ü uygulayarak

          = 12 1 0 1 10 1 0 1 9 1

B matrisi daha geniş bir spektral yarıçapa sahip bir matris

ise;

ρ

( )

B1 =12.4605 (Perron kök) tir.

Bu durumda A’nın bütün singüler değerleri; [2.5395,12.4605] aralığındadır. Son olarak Teorem 3.5’i ;

          = 10 1 0 1 10 1 0 1 10 2

B negatif olmayan matrisine uygularsak;

ρ

(B2)=11.4142

(Perron kök) olur. Bu durumda bütün singüler değerler

[

1.5858,4.4142

] [

∪ 4.5858,7.4142

] [

∪ 8.5858,11.4142

]

aralığındadır. Bu üç aralığın her biri A’nın bir singüler değerini içerir. (3.3)’ü uygulayarak

( )

11.4891 max A ≤

σ

ve

( )

2 min A ≥

σ

elde edilir.Teorem 3.3 ve Teorem 3.5’den;

( )

10.3649

max A ≤

σ

ve

σ

min

( )

A ≥2.5395 olur. A’nın şart sayısı için bir üst sınır

( )

≤4.0815 Κ A olup, (3.21)’den

( )

≤5.7446 Κ A sağlanır.

Teorem 3.4’i uygulayalım. (3.5)’ten;

[

2.6972,3.3820

] [

∪ 5.5505,6.5858

] [

∪ 9.4142,10.4495

]

ve

( )

≤3.8742

Κ A dir. A’nın şart sayısının daha dar bir alt sınırı elde edilir. Bizim nümerik deneylerimizden; Teorem 3.4’in Teorem 3.3’ten daha iyi bir sınır verdiği görülür. Fakat bu durumda Kuadrik eşitsizlikleri çözmek için efor sarf etmek gerekir.

Örnek 3. 3: _      = = 1 0 1 1 ) (aij

A olsun. A’nın en küçük singüler değeri;

( )

(

5 1

)

2 0.6180

2 A = − ≅

σ

dir. (3.3) veya (3.4)’ten

( )

min

{

(

)

2

}

0.5

2 A ≥ ai− ri+ci =

σ

elde edilir. Ancak; Teorem 3.4’ten σ2

( )

A için 0’ın alt sınır olduğu açıktır. Teorem 3.3 ve daha geniş spektral yarıçaplı negatif olmayan matristen;

( )

      = = y x b B _ij 1 1 (3.22)

alalım.

ρ

( )

B =_x+ y+

(

x− y

)

2 +4_ 2 elde edilir. σ₂

( )

A ’nın keyfi bir alt sınırını elde etmek için,

( )

B x

a11 >

ρ

− , a22 >

ρ

( )

B −y (3.23)

elde edilmelidir. Fakat bu (3.23) ile çelişir;x> y ve y> . x

Teorem 3.7. (Li 1999)

( )

nxn ij C

a

A= ∈ , indirgenemez ve C(A), aşikar olmayan Γ

( )

A çemberinin kümesi γ olsun. Buradan A’nın her özdeğerini,

       ≤ − ∈

∏

∏

∈ ∈ ∈ _{γ γ} γ C A _Pi ii _Pi i r a z C z : ) ( ∪ (3.24) bölgesindedir. Örnek 3.4.           = 0 0 1 . 0 1 . 0 0 0 0 1 0

A indirgenemez bir matris olsun. Teorem 3.2,

Teorem 3.3 ve Teorem 3.6’ yı alalım. A’nın bütün singüler değerleri

}

{

1 2 3 3 0 : 0 z ss s z≥ − ≤ =[0,0.4642] (3.25)

kümesi içindedir. Ancak A’nın singüler değerleri, σ1 =1,

σ

2 =

σ

3 =0.1’dir ve

4. EN KÜÇÜK SİNGÜLER DEĞER İÇİN SINIRLAR

4.1. En Küçük Singüler Değer İçin Alt Sınırlar

A=

( )

nxn ij a ∈  olsun. k=1,2,...,n için;

( )

∑

≠ = k j kj k A a r ,

∑

≠ = k j jk kj a c

tanımlansın.

σ

_n

( )

A ile, A matrisinin en küçük singüler değerini, G

( )

A ile de A’nın dolaylı grafını göstersin.

Teorem 4.1.1. (Li 2001) A=

( )

nxn ij C a ∈ ve;

(

)

(

( )

( )

) ( )

(

( )

)

[

]

( )

2 2 . 2 1 2 A g A c A r A c A r a a a a_{ii jj ii jj i i j j ij} = + + + − − + olsun. Buradan;

( )

A

{

g_ij

( ) }

A j i n ≠ ≥ min σ (4.1.1)

dır. A’nın dolaylı grafı altında, (4.1.1)’deki alt sınırı bu çalışmada, geliştireceğiz. A=

( )

nxn

ij

a ∈  için G

( )

A grafını tanımlayalım. V= {1,2,…,n} , G

( )

A ’ nın uçlarının bir kümesi olsun.

(

i,j

) (

= j,i

)

kenarının , E

( )

A dolaylı uçlarının kümesi olması için gerek ve yeter şart i ≠ j ve en az bir a_ij ≠0, a_ji ≠0 sağlanmasıdır. Eğer;

( )

( ) }

{

j i, j ∈E A ≠∅ ise, G

( )

A ’da i bir uç noktadır.

Teorem 4.1.2. (Li 2001) A=

( )

nxn ij

a ∈  olsun. σ

( )

A ’nın uç noktası olmasın. Buradan;

( )

( ) ( )

{ }

g

( )

A A ij A E j i n γ σ ≥ ≡ ∈ ,min (4.1. 2) dır.

Not: (4.1.2)’nin sağ taraf, (4.1.1)’dekinden daha büyük değildir. Üstelik (4.1.2)’ deki hesaplama (4.1.1)’ dekinden daha karmaşık değildir. Örnek olarak; A, m<n nin birleşimi veya bir matris örnek 4.1.1’deki gibi verildiği zaman, (4.1.1)’ deki

ij

g ’nin niceliği

( )

2

n

O olacaktır. (4.1.2)’deki k ise O

( )

n olacaktır. Diğer taraftan ‘‘

( )

A

G ’nın uç noktasının olmaması’’ kabulünden sağlanabilir.

İspat: k∈

{

1,2,...,n

}

için i k kk

e

a

θ =a_kk ve i= −1olmak üzere;

(

i i n

)

A diag e e D ₌ θ1,..., θ olsun. D A’nın birimsel ve σn

(

ADA

)

=σn

( )

A olduğu

açıktır. N2

( )

A =∅ olması için gerek ve yeter şart

(

ADA

)

N₂ =∅ ⇔

( )

i, j ∈E

(

AD_A

)

olmasıdır.

(

)

( )

( )

2 A c A r H r i i A i + ≤ , r_i

(

AD_A

)

=r_i

( )

A ve c_i

(

AD_A

)

=c_i

( )

A dır. Buradan

β

(

AD

_A

)

≥

γ

( )

A

’dır. Lemma 4.1.1. (Li 2001)

( )

nxn ij

H = h ∈  hermityen olsun. Farz edelim ki;

a) h_ij ≥0 ,

(

i=1,2,...,n

)

b) h_iih_jj ≥r_i

( ) ( )

H r_j H ,

(

( )

i, j ∈E

( )

H

)

olsun. Bu durumda H, pozitif yarı tanımlı tanımlıdır.

İspat: λ < 0, H’ nın bir öz değeri olsun ve

(

)

T n x x x x= 1, 2,..., ; Hx=λx (4.1.3) eşitliğini sağlayan öz vektör olsun. x_p = max1_≤i≤n

{

xi

}

olsun.x_p ≠0 olduğu açıktır. G

( )

A ’daki p ucu, izole edilmemelidir. Diğer taraftan, (4.1.3)’ün p’inci denkleminden, h_ppx_p =λ x_p olur ve buradan h_pp =λ< 0’dır. Buradan q, xp =max₍p,i₎∈E_{( )}H {xi}’yi sağlasın. (4.1.3)’ün p. denklemi;

∑

≠ ≤ − p k pk p p pp x x h h λ (4.1.4) olur. λ< 0 olduğundan h_pp −λ > h_pp≥ ’dır ve (4.1.4)’ ten 0

q p pp x x

h < r_p

( )

H (4.1.5) olur. xq ≠0’a sahip olmalıyız. Diğer taraftan, (4.1.4) hpp

( )

λ <0’ın çelişki olduğunu

gösterir. Buradan (4.1.3)’teki q. denklem

p qq x

h < h_qq − λ x_q ≤ x_p r_p

( )

H (4.1.6)

olur. Sonuçta (4.1.5) ve (4.1.6)’dan

< qq pph h r_p

( ) ( )

H r_q H olduğu görülür.

(

p,q

)

∈E

( )

H ’tır. nxn A∈  için

(

)

(

*

)

2 1 A A H _A ≡ + olur.

( )

A f_ij =

[

(

)

(

) (

)

]

2 4 Re Re Re Re 2 12 A j A i jj ii jj ii a a a r H r H a + − − + (4.1.7)

tanımı verilsin. N₁

( )

A , G

( )

A ’daki izole olmayan uçların kümesidir. N₂

( )

A ,

( )

A

G ’daki izole edilmiş uçların kümesidir.

( )

A

1

β =

( )i,minj∈E( )A{fij

( )

A}, 2

( )

iminN2( )A{Re ii}, a A

∈

= β

( )

{

( )

( )

}

( )

1 2 1 m in , , , A A A A β β β β  =  

( )

( )

2 2 N A N A ≠ Φ = Φ (4.1.8) olarak tanımlansın. Lemma 4.1.2. (Li 2001)

( )

nxn ij

H = h ∈  bir hermityen matris olsun. Buradan

( )

H H −

β

I yarı pozitif tanımlıdır.

İspat: Lemma 4.1.1 ile

a) i∀ için h_ii −β

( )

H ≥0,

b) ∀ ,

( )

i j ∈E

( )

H için

(

h_ii −β

( )

H

)

(

h_jj −β

( )

H

)

≥r_i

( ) ( )

H r_j H , olduğunu göstermeliyiz.

Eğer; i∈N2(H)ise ; β

( )

H ≤ β 2

( )

H ≤ hii ve (a) sağlanır. Şimdi

( )

H N

i∈ ₁ olsun ve

( )

i, j ∈E

( )

H olsun. Buradan;

( )

H h

( )

H h_ii −β ≥ _ii −β₁ ≥h_ii − f_ij(H) =

(

)

[

(

( ) ( )

)

]

2 4 ) ( 2 12 H r H r h h h h h h_ii − _jj − _ii + _jj − _{ii jj} − _{i j}

{

(

)

}

2 jj ii jj ii h h h h − + − ≥ 0≥ dır. Buradan (a) sağlanır.

( )

i,j ∈E

( )

H için;

( )

( )

(

) (

[

)

(

( ) ( )

)

]

2 4 12 2 H r H r h h h h h h H f H ≤ _ij = ii − jj − ii + jj − ii jj − i j β dır. f

( )

x =x2 −bx+c reel fonksiyonu ,         _{− −} ≤ 2 4 2 c b b

x için negatif olmayan

( )

(

)

( )

(

( ) ( )

)

0 2 ≥ − + + − h h H h h r H r H H _{ii jj}

β

_{ii jj i j}

β

olur.

( )

(

h_ii −β H

)

.

(

h_jj −β

( )

H

)

≥r_i

( ) ( )

H r_j H eşitliği (b)’yi sağlar.

Lemma 4.1.3. (Li 2001) A=

( )

nxn ij

a ∈  ve α∈  olsun. HA −αI’nın pozitif tanımlı olduğunu kabul edelim. Buradan σ_n

( )

A ≥α’dır.

İspat: σn

( )

A ≥ λmin

(

H A

)

olduğundan ispat açıktır.

Lemma 4.1.4. (Li 2001) A=

( )

nxn ij

a ∈  olsun.G

( )

A ’nın izole edilmiş uçları olmasın. Buradan;

(

*

)

( )

( )

* A A A A β β β + ≥ + (4.1.9) dır. İspat: Öncelikle,

( )

( )

* A E A E = ;

( )

( )

* A f A f_ij = _ij ve

(

*

)

( )

( )

* A f A f A A f_ij + = _ij + _ij ,

(

i≠ j

)

alalım.N2

( )

A =∅’olmasına rağmen,

(

)

*

2 A A

N + ’ın boş olması gerekmez. Bu yüzden (4. 9)’u iki durumda ispatlayalım.

Durum 1.

( )

(

*

)

,t E A A s ∈ + için

(

)

(

*

)

(

*

)

1 * A A f A A A A+ = β + = _st + β olsun. Bu durumda, ast +ats ≠ ve 0 a st

ve a sıfır olmayabilir. Buradan _ts

( )

s,t ∈E

( )

A = E

( )

A* ve buradan

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

*

( )

( )

* 1 1 * * * A A A A A f A f A A f A A _{st st st} β β β β β + = + = + ≥ + = + dır. Durum 2. s∈

{

1,2,...,n

}

için

(

)

(

*

)

2 * A A A A + = β + β = ( *)

{

}

2 min Re( ii ii) i N A A a a ∈ + + =2Rea_ss

Öyle ki

( )

ss st A a f −Re =

[

(

)

(

) (

)

]

2 4 Re Re Re Re 2 12 A j A i ss tt ss tt a a a r H r H a − − − + ≤

(

)

2 Re Re Re Rea_tt − a_ss − a_tt − a_ss 0≤

Buradan, β

( )

A = β1

( )

A = fst

( )

A ≤ Re ass ’dır. Benzer şekilde;

( )

A Reass * ≤ β ’dir. Sonuçta ;

( )

( )

*

(

*

)

Re 2 a A A A A + β ≤ _ss = β +

β ’dır. Buradan ispat tamamlanır.

Teorem 4.1.3. (Li 2001) A=

( )

nxn ij

a ∈  olsun. G

( )

A ’nın izole edilmiş ucu olmasın. Buradan

( )

A

( )

A

n β

σ ≥ (4.1.10) dır.

İspat: Lemma 4.1.3 ile A A* 2β

( )

A −

+ I nın pozitif yarı tanımlı olduğunu göstermek yeterlidir.Gerçekten, G

( )

A ’nın izole edilmiş ucu olmadığından

( )

( )

( )

*

( )

* 1 1 A A A A β β β β = = = ve

( )

A A A * 2β − + I = *

(

( )

( )

*

)

A A A A + − β + β I dır.

Diğer taraftan, Lemma 4.1.2 gereği

( )

( )

(

*

)

* A A A A+ − β + β I

pozitif yarı tanımlıdır. Lemma 4.1.4’ ü uygulayarak

( )

( )

(

*

)

* A A A A + − β + β I

nın pozitif yarı tanımlı olması gerektiği görülür. İspat burada tamamlanır.

Teorem 4.1.4. (Li 2001) A=

( )

nxn ij

a ∈  ve N2

( )

A =∅ olsun.

a) Eğer

γ

( )

A , A ’nın bir singüler değeri ise;

γ

( )

A , AD_A’nın bir öz değeri olmalıdır. Üstelik

( )

A

γ

=

{

i

(

A

) }

n İ≤ λ AD ≤ 1 min

γ

( )

A =

{

(

i

(

A

)

) }

n i Re λ AD min 1≤ ≤ (4.1.11) dır.

b) Eğer

β

( )

A , A’nın bir singüler değeri ise,

β

( )

A , A’nın bir öz değeri olmalıdır. Üstelik

( )

A

β

=

{

_i

( ) }

A n i≤

λ

≤ 1 min ,

β

( )

A =

{

(

_i

( )

A

) }

n i Re λ min 1≤≤ (4.1.12) dır. İspat:

a)

γ

( )

A , A’nın bir singüler değeri ise

σ

_n

( )

A =

γ

( )

A ve

( )

A

γ

≥0 olmalıdır. B=

( )

bij = AD A −

γ

( )

A I olsun. Buradan,

( )

n

(

A

)

n A AD 2 2 σ σ =

( )

(

)

(

( )

)

[

B γ A I B γ A I

]

λ + + = _min *

( )

(

)

( )

[

B*B A B B* 2 A I

]

min

γ

γ

λ

+ + + =

( )

(

)

[

B*B A B B*

]

2

( )

A min

γ

γ

λ

+ + + = (4. 13) dır. H_B ≡ 2 * B

B+ _{’ın pozitif yarı tanımlı matris olduğunu gösterelim.}

( )

A a b_ii = _ii −

γ

≥ a_ii −g_ij

( )

A

[

(

)

(

( )

( )

) ( )

(

( )

)

]

2 2 1 2 A c A r A c A r a a a a_ii − _jj + _ii − _jj + _i + _{i j} + _j = (4.1.14)

dır. (4.1.14)’teki son terim

(

)

0 2 ≥ − + − jj ii jj ii a a a a

dan daha küçük değildir. Bu ise Lemma 4.1.1 (a)’yı sağlar.

( )

i,j ∈E

( )

HB ’yi sağlar.

(

H

)

E

(

B B

)

E

( )

B E

(

AD

)

E

( )

A E _B = + * ⊆ = _A = ’dır. (4.1.14)’ü kullanarak;

( )

( )

(

r A c A

) ( )

(

r A c

( )

A

)

4 b b_{ii jj} ≥ _i + _{i j} + _j

(

( )

( )

) ( )

(

( )

)

4 B c B r B c B r_i + _{i j} + _j = ≥r_i

(

H_B

) (

r_j H_B

)

(4.1.15)

dır. Buradan Lemma 4.1.1 (b) sağlanır. Buradan H ve _B B+B*, pozitif yarı tanımlıdır.

σ

_n

( )

A =

γ

( )

A ’dan dolayı , (4.1.13) eşitliği

( )

(

)

[

* *

]

0

min B B +

γ

A B + B =

λ

eşitliğini ortaya koyar.

γ

( )

A ≥ 0 ,B* ve B B+B*, pozitif yarı tanımlıdır. Buradan B

B* ve buradan B = AD_A −

γ

( )

A I , singüler olmalıdır.

γ

( )

A , AD_A’nın bir öz değeri olmalıdır. Diğer taraftan, *

B

B+ ’ın pozitif yarı tanımlılığı,

( )

(

)

0

Re

λ

_i B ≥ olduğunu gösterir. λ_i

(

AD _A

)

=

λ

_i

( )

B +

γ

( )

A ile

( )}

{

λ

_i B ’den kompleks düzlemde min

{

Re

λ

_i

( )}

B = 0 ,

(

)}

{

λ

i AD A elde edilir. (4.1.11) kolayca elde edilir. Teoremin (a) kısmı

( )

A I

A −

β

ile (a)’da B’yi yer değiştirirsek, benzer argümanlarla (b) elde edilir. Örnek 4.1.1.

σ

4

( )

A =0.4861 ile A=             1 0 0 2 0 1 0 5 . 1 0 0 2 1 . 0 1 5 . 0 1 . 0 6 olsun.

( )

A =

{

( ) ( ) ( )}

1,2,1,3, 1,4 E dır. g12 =1.9360, g13=0,5251 ,g14 =0,3141

elde edilir. Teorem 4.1.2 ile ,

σ

4

( )

A ≥0,3141 alt sınırı vardır. Eğer Teorem 4.1.1 uygulanırsa, g_ij, 1≤i≠ j≤4 için hesaplanabilir ve unutulmamalıdır ki,

0

34 <

g ’dan ve Teorem 4.1.1 ile

σ

4

( )

A ’nın aşikar olmayan bir alt sınırını elde edemeyiz. Örnek 4.1.2.

σ

₄

( )

A =0.5108 ile A=             3 9 . 0 0 0 1 . 0 1 9 . 0 0 0 1 . 0 3 1 0 0 1 1

üçlü bant matrisi verilsin.

( )

A

E =

{

( ) ( ) ( )}

1,2, 2,3, 3,4 ’dır ve g12=0.4189, g23=0.4189, g34=0.7753 elde

edilir. Buradan,

σ

4

( )

A ≥0.4189’dır. g31=0 olduğundan, Teorem 4.1.1 ile aşikar

4.2.En Küçük Singüler Değer İçin Başka Alt Sınır

( )

aij

A= , n× tipinde kompleks matris ve n k =1,2,...,n için;

( )

∑

≠ = k j j k k A a P ve

( )

∑

≠ = k j k j k A a Q

şeklinde tanımlansın.

σ

_n

( )

A ile A’nın en küçük singüler değerini gösterelim. Gersgorin teoremini kullanarak;

( )

A

{

a_kk

[

P_k

( )

A Q_k

( )

A

]

}

j i n ≥ − + ≠ 2 1 min σ (4.2.1)

yazılır. Burada; Ostrowski, Brauer ve Gudkov teoremleri ile

σ

_n

( )

A için üç yeni sınır elde edilir. Bu yeni sınırlar, biraz karışık açıklamalar içeriyor. Fakat, bu sınırlar genel olarak, daha büyük alt sınırlar olarak verilir ve karşılıklı olarak karşılaştırılamazlar. Bir singüler olmayan belirteç olarak Gersgorin teoreminin optimalliğine rağmen, değişkenler, ilişki kurulan durumlarda kullanışlı olabilir.

Bizim sonuçlarımız, kare matrislere dayanarak elde edilmiştir. Bu bölümün kapanışını Gudkov’un singüler olmama şartı ile yapalım. Bu durum, Ostrowski veya Brauer teoremlerine benzerlik göstermeyebilir.

Teorem 4.2.1. (Johnson and Szulc 1998) R1

( )

A =P1

( )

A ve

( )

∑

−

( )

∑

= =+ + = 1 1 1 i k n i k k i k k k k i i a a A R a A R i=1,2,...,n

( )

A

n

σ

İçin Ostrowski-Tipi Alt Sınır

Teorem 4.2.2. (Johnson and Szulc 1998) A’nın en küçük singüler değeri ,

( )

{

{

[

( )

( )

]

}

[

( )

( )

]

      _{+ + − +} − ≥ ≤ ≤ a a P A Q A P A Q A A _{kk kk k k k k} n k n 2 1 2 2 2 1 2 1 1min 4.

σ

(4.2.2) yi sağlar. İspat:

( )

( )

     − − I A A A I A n n σ σ

* singüler olmayan matrisini alalım. Ayrıca;

( )

( )

( )

( )

     − − =             − − * * 0 0 A I A I A A I I I A A A I A n n n n

σ

σ

σ

σ

(4.2.3) dır.

Ostrowski teoremi ile matrisin singülerliğini birleştirirsek, 1≤i≤ n olacak şekilde en az bir i için

( )

( )

[

P A A

]

[

Q

( )

A

( )

A

]

a_ii 2 ≤ _i +σ_{n i} +σ_n (4.2.4) elde ederiz. Bunun üzerine (4.2.4)

( )

[

( )

( )

]

( )

( ) ( )

2

2 _.

0≤σ_n A + P_i A +Q_i A σ_n A +P_i A Q_i A − a_ii olur.

Gözlem 1. (4.2.2)’nin sınırı daima en az (4.2.1)’in sınırı kadar geniştir. Üstelik,

{

a_kk

[

P_k

( )

A Q_k

( )

A

]

}

a_rr

[

P_r

( )

A Q_r

( )

A

]

n k − + = − + ≤ ≤ ≤ 2 1 2 1 1min 0

olacak şekilde A matrisi için P_r

( )

A ≠Q_r

( )

A ile, ilk sınır, aşikar değildir ve bir sonrakinden daha iyidir.

( )

A

n

σ

İçin Brauer-Tipi Alt Sınır

Bir önceki bölümün analizinde Ostrowski teoremi ile Brauer teoremini yer değiştirelim.

( )

[

( )

( )

]

}

[

( )

( )

]

}

               + − − + ≥ ≠ ≤ ≤ a a P A P A P A P A A _{ii jj i j i j} j i n j i n ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 min 2 1 2 2 1 2 , 1 σ (4.2.5)

sınırı elde edilir. Burada       = _* 0 0 ~ A A A dır.

(4.2.2) ile (4.2.5)’i karşılaştırırken, ilk sınırın sağ tarafı, bir sonrakinin sağ tarafı kadar büyüktür. Bu yüzden, (4.2.1)’in ilginç eklerinin listesini (4.2.5)’e eklemeyelim. σ_n

( )

A niceliği;

( )

(

)

(

) (

)

          _{+ − − + + +} = ≠ ≤ ≤ * * 2 2 1 2 , 1min Rea Rea Rea Rea P A A P A A A _{kk jj kk jj k j} j k n j k n α ile tanımlanır.

Bir lemma ile başlayalım.

Lemma 4.2.1. (Johnson and Szulc 1998) C=

( )

c_ij , n× tipinde hermityen n bir matris olsun. Buradan C−α_n

( )

C I’nın bütün öz değerleri negatif değildir.

İspat: C−α_n

( )

C I’nın hermityen olduğu açıktır. Bu yüzden bütün öz değerleri reeldir. Bu öz değerlerin negatif olmadıklarını göstermek için, Brauer singüler olmama şartını uygulayalım. C−α_n

( )

C I için yukarıdaki spektral özelliklere sahip olmak ,

c_qq −α_n

( )

C ≥0 (q=1,...,n) (4.2.6) şartını sağlamayı gerektirir ve

( )

dir. C−α_n

( )

C I’nın q.’inci

(

1 ≤ q≤n

)

köşegenini alalım.

( )

= _ + −

(

−

)

+

( ) ( )

_ − C c c c c P C P C c_{qq αn 2}1 _{qq rr qq rr} 2 4 _{q r}

[

]

(

)

( ) ( )

}

{

c_kk c_jj c_kk c_jj P_k C P_j C j k n j k 4 min ₂1 2 , 1 + − − + − ≠ ≤ ≤

(

)

( ) ( )

_   _{− + − +} +12 c_qq c_rr c_qq c_rr 2 4P_q C P_r C ≥

(

c_qq −c_rr

)

+₂1 c_qq −c_rr 2 1 0≥

elde edilir. (4.2.7) için reel f λ =λ2−aλ+b ) ( fonksiyonunu bulalım. 2 4 0 ≥ − b a ,

(

−∞, a 2

)

aralığında azalan ve

(

(

2 4

)

)

0 2 1 _{a− a − b =} f ’dır. Buradan her

(

a a2 4b

)

2 1 _{− −} ≤ λ için f

( )

λ ≥0 dır.

Teorem 4.2.3. (Johnson and Szulc 1998) A matrisinin en küçük singüler değeri;

( )

A _n

( )

A

n α

σ ≥

eşitsizliğini sağlar.

İspat: B =A−α_n

( )

A I olmak üzere; *

B B+ ’ın bütün öz değerleri negatif değildir.

( )

( )

*

(

*

)

A A A A _{n n} n +σ =α + α olup

( )

( )

[

A A

]

I A A

(

A A

)

I A A B B+ *= + *− α _n +α _n * = + *−σ_n + * elde edilir ve lemma 4.2.1’den spektral özelliği sağlar.

Özellik 4.2.1. (Johnson and Szulc 1998) A’nın en küçük singüler değeri

( )

{

(

)

[

( )

( )

]

[

( )

( )

]

         _{− + + +} − + ≥ ≠ ≤ ≤ a a a a P A Q A P A Q A A _{kk jj kk jj k k j j} j k n j k n 2 2 1 , 1min σ (4.2.8) dir.

Özellik 4.2.2. (Johnson and Szulc 1998) (4.2.8) sınırı, en az (4.2.1) sınırı kadar büyüktür. Üstelik,

{

a_kk

[

P_k

( )

A Q_k

( )

A

]

}

a_rr

[

P_r

( )

A Q_r

( )

A

]

n k − + = − + ≤ ≤ ≤ 2 1 2 1 1min 0 < a_jj −1₂

[

P_j

( )

A +Q_j

( )

A

]

_(4.2.9) eşitsizliği ∀j∈

{

1,2,...,n

}

−{r} için sağlanır. Bir sonraki sınır keyfi değil ve bir öncekinden daha iyidir.

İspat:

{

(

)

[

( )

( )

]

[

( )

( )

]

         _{− + + +} − + ≠ ≤ ≤ akk ajj akk ajj Pk A Qk A Pj A Qj A j k n j k . min ₂1 2 , 1

(

)

[

( )

( )

]

[

( )

( )

]

      + + + − − + =₂1 a_ss a_tt a_ss a_tt 2 P_s A Q_s A .P_t A Q_t A ve buradan özellikle σ_n

( )

A ≥

(

)

[

( )

( )

]

[

( )

( )

]

      + + + − − + a a a P A Q A P A Q A a_{ss tt ss tt} 2 _{s s} . _{t t} 2 1 _(4.2.10)

dır. Hiçbir sıralamaya gitmeden;

( )

( )

[

+

]

≤ − P A Q A a_{tt 2}1 _{t t} a_ss −₂1

[

P_s

( )

A +Q_s

( )

A

]

kabulünden

( )

( )

[

P_s A +Q_s A

]

≤ 2 1 _{a a}

[

_P

( )

_{A Q}

( )

_A

]

t t t t s s − + 2 + 1 _(4.2.11) yazılabilir. (4.2.11)’den

( )

A ≥ n σ

(

)

(

)

[

( )

( )

]

[

( )

( )

]

      + + + − + − − + 2 2 2 1 _{a a a a 2 a a .P A Q A P A Q A} t t t t t t ss tt ss tt ss

(4.2.12) elde edilir. (4.2.11) ile

( )

( )

[

+

]

≥0 + − a P A Q A a_{ss tt t t} gösterilir ve (4.2.12)’den

( )

A ≥ n σ a_tt −₂1

[

P_t

( )

A +Q_t

( )

A

]

{

a_kk

[

P_k

( )

A Q_k

( )

A

]

}

n k − + ≥ ≤ ≤ 2 1 1min (4.2.13)

olur. Aşağıdaki iki durum alınarak ispat tamamlanır.

Durum1. a_tt −1₂

[

P_t

( )

A +Q_t

( )

A

]

_a

[

_P

( )

_{A Q}

( )

_A

]

s s s s − + < ₂1

olsun. Burada (4.2.11)’den

( )

A > n σ a_tt −₂1

[

P_t

( )

A +Q_t

( )

A

]

{

a_kk

[

P_k

( )

A Q_k

( )

A

]

}

n k − + ≥ ≤ ≤ 2 1 1min 0≥ dır. Durum2. a_tt −1₂

[

P_t

( )

A +Q_t

( )

A

]

_a

[

_P

_{( )}

_{A Q}

_{( )}

_A

]

s s s s − + = 1₂

olsun. Burada (4.2.9) ile

{

−

[

( )

+

( )

]

}

< ≤ ≤ ≤k n akk 2 Pk A Qk A 1 1min 0 a_tt −₂1

[

P_t

( )

A +Q_t

( )

A

]

dır ve (4.2.13)’ten

( )

A ≥ n σ a_tt −₂1

[

P_t

( )

A +Q_t

( )

A

]

{

a_kk

[

P_k

( )

A Q_k

( )

A

]

}

n k − + > ≤ ≤ 2 1 1min 0≥ olur ki, ispat tamamlanır.