Esnek bck/bci cebirleri

GAZOSMANPA“A ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

ESNEK BCK/BCI CEBRLER EMEL TERZ

Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dal Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN

FEN BLMLER ENSTTÜSÜ MATEMATK ANABLM DALI

YÜKSEK LSANS TEZ

ESNEK BCK/BCI CEBRLER

EMEL TERZ

TOKAT 2010

Yüksek Lisans Tezi ESNEK BCK/BCI CEBRLER

EMEL TERZ Gaziosmanpa³a Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal

Dan³man : Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN

Esnek kümeler teorisi, ilk olarak 1999 ylnda Rus Matematikçi Molodtsov tarafndan belirsizlik içeren problemlerle ba³a çkmak için ortaya atld ve karar verme problemleri, bilgi sistemleri, cebirsel yaplar, optimizasyon teorisi ve matematiksel analiz gibi bir çok alana uyguland. Bu tez çal³masnda, önce BCK/BCI-cebirleri tantld. Daha sonra esnek kümeler üzerinde BCK/BCI-cebirleri incelenerek esnek BCK/BCI-cebirleri ve bunlarn temel özellikleri ara³trld.

2010, 56 sayfa

Anahtar kelimeler: Esnek Kümeler, BCK-Cebiri, BCI-Cebiri, BCK/BCI-cebirleri, Esnek BCK/BCI-cebirleri

Master Thesis

SOFT BCK/BCI ALGEBRAS EMEL TERZ

Gaziosmanpasa University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor : Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN

The soft set theory was produced by Russian Mathematician Molodtsov as a mathematical tool for dealing with uncertainties in 1999. It is applied to some elds such as; decision making problems, information systems, algebraic structures, optimization theory and basic mathematics analysis. In this thesis, we rst introduced BCK/BCI-algebras. We then studied soft BCK/BCI-algebras and their properties.

2010, 56 pages

Key words: Soft sets, BCK-algebras, BCI-algebras, BCK/BCI-algebras, Soft BCK/BCI-algebras.

Bu tez çal³masnda, deste§ini hiçbir zaman esirgemeyen, bilgilerini benimle cömertçe payla³an saygde§er hocam Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN'a minnettarl§m sunarm. Ayrca, kymetli zamann ve kirlerini esirgemeyen Matematik Bölüm Ba³kan Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU'na, e§itimimde büyük katklar olan Doç. Dr. Hac AKTA“'a çal³malarmn tamamlanmasnda ve düzeltilmesinde eme§i geçen Ar³. Gör. Serdar ENGNO‡LU'na, ismini zikretmedi§im di§er tüm hocalarma ve canm arkada³m Çi§dem e te³ekkür ederim.

Zamanndan çalp çal³malarmla geçirdi§im vakitlerde, anlay³la kar³layan ve hiç bir zaman deste§ini esirgemeyen sevgili e³im P. Kur. Yzb. Ertu§rul Terzi'ye, her türlü sknt ve mutlulukarmda yanmda olan anneme, babama, karde³lerime ve beni kzlar gibi seven e³imin ailesine te³ekkürlerimi sunarm.

ÖZET . . . i

ABSTRACT . . . ii

TE“EKKÜR . . . iii

1. GR“ . . . 1

2. ESNEK KÜMELER TEORS . . . 2

2.1 Esnek Kümeler . . . 2

2.2 Esnek Küme ³lemleri . . . 7

2.3 Esnek Çarpmlar . . . 12

3. BCK/BCI CEBRLER . . . 16

3.1 Temel Tanm ve Teoremler . . . 16

3.2 Pozitif Anlaml BCK-Cebirleri . . . 25

3.3 De§i³meli BCK-Cebiri . . . 32

3.4 Anlaml BCK-Cebiri . . . 36

4. ESNEK BCK-BCI CEBRLER . . . 38

4.1 Temel Tanm ve Teoremler . . . 38

4.2 Homomorzma . . . 43

4.3 Esnek BCK/BCI Alt Cebirleri . . . 44

5. SONUÇ . . . 46

KAYNAKLAR . . . 47

ÖZGEÇM“ . . . 48

Esnek kümeler teorisi, Molodtsov (1999) tarafndan belirsizlikle ba³a çkmak için bir matematiksel araç olarak ortaya atld. Molodtsov (1999), sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonlar, oyun teorisi, i³lem ara³trmalar, Riemann integrasyonu, Perron integrasyonu, olaslk, ölçüm teorisi vb. alanlarda esnek küme teorisini kullanarak, ba³arl çal³malar yapmi³tr. Ardndan, Maji ve ark. (2003) esnek küme i³lemlerini tanmladlar. Bu i³lemlerden yararlanarak esnek kümeler; karar verme problemleri, bilgi sistemleri, cebirsel yaplar, optimizasyon teorisi ve matematiksel analiz gibi belirsizlik içeren bir çok alana uyguland. Bu i³lemleri kullanarak Jun (2008) esnek BCK/BCI-cebirlerini tanmlad. Daha sonra Ça§man ve Engino§lu (2010) esnek küme i³lemlerinde olu³an problemleri göz önüne alarak, bu i³lemleri yeniden tanmlad ve bu tanmlara dayanarak uni − int karar verme metodunu in³a ettiler.

BCK Cebiri kavram ilk olarak 1966 ylnda Iseki (1966) tarafndan ortaya atlm³tr. Bu kavram iki farkl konudan do§mu³tur. Birincisi, küme teorisi; ikincisi, matematiksel lojik. Küme teorisinde Kantorovinç ve Livenson (1975) tarafndan temel üç i³lem; ke³i³im, birle³im ve fark i³lemleri tanmlanm³ ve bu i³lemlerin özelliklerinin genelle³tirilmesi yaplarak Boolean cebiri kavram çal³lm³tr. Birle³im ve kesi³im i³lemleri yardmyla latis kavram ortaya çkm³tr.

Matematiksel lojikte ise Meredith (1975) tarafndan B, C ve K aksiyomlar temel alnarak BCK-cebiri ortaya atlm³ ve bu konuda bir çok çal³malar yaplm³tr.

Bu tez çal³masnda, önce BCK/BCI-cebirleri incelendi. Jun (2008) tarafndan tanmlanan esnek BCK/BCI-cebirlerini Ça§man ve ark. (2010) tarafndan tanmlanan esnek küme i³lemleri kullanlarak yeniden çal³ld. Son olarak da bu yeni bak³ açsna göre esnek BCK/BCI-cebirlerinin temel özellikleri incelendi.

Bu bölümde, esnek kümelerin tanmladktan sonra temel özellikleri ve esnek küme i³lemleri verilecek. Bu bölüm, Engino§lu (2008) ve Ça§man ve Ark. (2010) kaynaklarndan yararlanalak hazrlanm³tr.

2.1 Esnek Kümeler

Esnek küme, bo³tan farkl bir kümenin alt kümelerinin verilen baz parametrelere göre snandrlmasdr. Bo³tan farkl bir X kümesi üzerinde A, B, C, ... parametre kümelerine göre tanml esnek kümeler srasyla FA, FB, FC, ...³eklinde gösterilecekler. E§er bütün

esnek kümeler ayn bir A parametre kümesi üzerinde tanmlanr ise bu sefer bunlar kar³klk olmamas için FA, GA, HA, ...³eklinde gösterilecekler.

Tanm 2.1.1. X bo³tan farkl key bir küme, P (X), X in bir kuvvet kümesi, E parametreler kümesi ve A ⊆ E olsun. X üzerinde bir FA esnek kümesi, e /∈ A için fA(e) = ∅olacak ³ekilde fA: E → P (X)fonksiyonu yoluyla tanmlanr ve

FA= {(e, fA(e)) : e ∈ E, fA(e) ∈ P (X)}

biçiminde gösterilir.

Burada, fA yakla³m fonksiyonu olarak isimlendirilir. e ∈ E parametreleri ile ili³kili

nesneleri içeren fA(e)kümesi, e-yakla³m de§er kümesi veya e-yakla³m kümesi olarak

adlandrlr.

fA notasyonunda ki A alt indisi, fA'nn FA esnek kümesinin yakla³m fonksiyonu

oldu§unu gösterir.

E§er (e, fA(e)), FAesnek kümesine aitse (e, fA(e)) ∈ FAaksi takdirde (e, fA(e)) /∈ FA

³eklinde yazarz. Di§er bir ifadeyle, her bir (e, fA(e)) eleman için sadece bir olaslk

Esnek küme teorisindeki temel kavram yakla³mdr. e1, e2 ∈ E için fA(e1) ⊂ fA(e2)ise

e2parametresinin yakla³m de§eri e1parametresinin yakla³m de§erinden daha büyüktür.

Bunun anlam, e2, X'da e1den daha fazla elemanla ili³kilidir.

Veriren tanm daha iyi anlayabilmek için bir örnek daha verelim. Bir i³yerine eleman alm için

U = {u1, u2, u3, u4, u5, u6}

kümesindekiler ba³vursun. Bu almda

E = {x1, x2, x3, x4, x5}

kümeside alnacak ki³ileri niteleyen parametrelerden ibaret olsun. Kabul edelim ki

x1 :deneyim

x2 :bilgisayar bilgisi

x3 :genç ya³

x4 :iyi e§itim

x5 :sa§lk

i³verenin dikkate alnd§ parametreler kümesi A = {x1, x3, x4} ⊆ E ve parametrelerin

niteledi§i kümeler yani yakla³m de§er fonksiyonun de§erleri a³a§daki gibi

fA(x1) = {u2, u4},

fA(x3) = U,

fA(x4) = {u1, u3, u5},

olsun. Bu durumda FAesnek kümesi a³a§daki gibi elde edilir,

Tanm 2.1.2. FA, X üzerinde bir esnek küme olsun. E§er e ∈ E için fA(e) = ∅ise fA(e) e-yakla³m kümesine, fA'nn bo³-de§eri denir ve (e, fA(e)), FA'nn bo³-eleman olarak

adlandrlr.

fA(e) = ∅olmasnn anlam X kümesindei elemanlarn hiçbirinin e ∈ E parametresi ile

ili³kili olmad§dr. Bu yüzden bu tür parametrelerin göz önüne alnmas anlamsz oldu§u için, biz böyle elemanlar bir esnek kümede göstermeyece§iz.

Tanm 2.1.3. E§er bir esnek kümenin bütün elemanlar bo³ ise o halde, esnek küme bo³ esnek küme olarak adlandrlr ve FΦ ile gösterilir. Açktr ki her e ∈ E için fΦ(e) = ∅

³eklindedir.

Tanm 2.1.4. FA, X üzerinde bir esnek küme olsun.E§er e ∈ E için fA(e) = X

oluyorsa, o halde fA(e) e-yakla³m kümesine, fA'nn mutlak-de§eri ve (e, fA(e)), FA'nn

mutlak-eleman olarak adlandrlr.

fA(e) = X olmasnn anlam, X'nun bütün elemanlarnn e ∈ E parametresi ile ilgili

oldu§udur.

Tanm 2.1.5. E§er bir FA esnek kümesinin tüm elemanlar mutlak ise, o halde bu esnek

küme, mutlak esnek küme olarak adlandrlr ve F_A˜ile gösterilir.

E§er A = E ise, mutlak esnek kümeye, evrensel esnek küme denir ve F_E˜ ile gösterilir.

Örnek 2.1.6. X = {u1, u2, u3, u4, u5}evrensel küme, E = {e1, e2, e3, e4}ise parametreler

kümesi olsun.

E§er A = {e2, e3, e4} ve fA(e2) = {u2, u4}, fA(e3) = ∅, fA(e4) = X ise, o halde FA

esnek kümesi FA= {(e2, {u2, u4}), (e4, U )}³eklinde yazlr.

E§er B = {e1, e3} ve fB(e1) = ∅, fB(e3) = ∅ise, o halde FB esnek kümesi bo³ esnek

kümedir. Yani FB = FΦ ³eklindedir.

E§er C = {e1, e2}ve fC(e1) = X, fC(e2) = X ise, o halde FC esnek kümesi mutlak

E§er D = E ve her ei ∈ E i = 1, 2, 3, 4için fA(ei) = Xise, FDesnek kümesine evrensel

esnek küme denir. Yani FD = F_E˜ ³eklindedir.

Tanm 2.1.7. FAve FB, X üzerinde iki esnek küme olsun. E§er her e ∈ E için

fA(e) ⊆ fB(e)

oluyorsa, FA'ya FB'nin esnek alt kümesidir denir ve FA⊆Fe Bile gösterilir.

Yorum 2.1.8. FA⊆FBe olmas, FA'nn her elemannn FB'nin eleman olmas anlamna

gelmez. Bu yüzden, klasik alt küme tanm esnek alt küme tanm için geçerli de§ildir. Örne§in, X = {u1, u2, u3, u4} evrensel küme ve E = {e1, e2, e3} tüm parametrelerin

kümesi olsun. E§er A = {e1}, B = {e1, e3} ve FA = {(e1, {u2, u4})}, FB = {(e1, {u2, u3, u4}), (e3, {u1, u5})}ise, o halde her e ∈ FAiçin fA(e) ⊆ fB(e)do§rudur.

Dolaysyla FA⊆Fe B. Açktr ki (e1, fA(e1)) ∈ FA fakat (e1, fA(e1)) /∈ FBdir.

Önerme 2.1.9. FAve FB, X üzerinde iki esnek küme olsun. O halde a³a§daki sonuçlar

geçerlidir.

i. FA⊆Fe _E˜

ii. FΦ⊆Fe A

iii. FA⊆Fe A

iv. FA⊆FBe ve FB⊆FCe ⇒ FA⊆FCe

spat . spatlar esnek kümelerin yakla³m fonksiyonlar kullanlarak yapalm. Her e ∈ E için,

i. fA(e) ⊆ U oldu§undan fA(e) ⊆ f_E˜(e)

ii. ∅ ⊆ fA(e)oldu§undan fΦ(e) ⊆ fA(e)

iii. fA(e) = fA(e)oldu§undan fA(e) ⊆ fA(e)

Önerme 2.1.10. X üzerinde a³a§daki sonuçlar geçerlidir.

i. Bo³ esnek küme tektir. ii. Evrensel esnek küme tektir.

spat . Tanm 2.1.3 ve 2.1.5'ten açktr.

Tanm 2.1.11. E§er FA⊆Fe Biçin, FB'de FA'nn eleman olmayan en az bir eleman varsa, FA'ya FB'nin öz esnek alt kümesi denir ve FA⊂Fe B ile gösterilir.

Tanm 2.1.12. FAve FB, X üzerinde iki esnek küme olsun. E§er her e ∈ E için

fA(e) = fB(e)

oluyorsa FAesnek kümesi FBesnek kümesine e³ittir denir ve FA= FB ile gösterilir.

Önerme 2.1.13. FA, FB ve FC, X üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki

sonuçlar geçerlidir.

i. FA = FBve FB = FC ⇔ FA= FC

ii. FA⊆Fe Bve FB⊆Fe A ⇔ FA= FC

spat . Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.

i. fA(e) = fB(e)ve fB(e) = fC(e) ⇔ fA(e) = fC(e)

ii. fA(e) ⊆ fB(e)ve fB(e) ⊆ fA(e) ⇔ fA(e) = fB(e)

Tanm 2.1.14. FAesnek kümesinin tüm alt kümelerinin kümesine, FAesnek kümesinin

kuvvet kümesi denir.

Tanm 2.1.15. FA, X üzerinde bir esnek küme olsun. O halde FAesnek kümesinin FA˜c

ile gösterilen tümleyeni

fA˜c(e) = f_Ac(e), her e ∈ E,

yakla³m fonksiyonu yoluyla elde edilir. Burada fc

Kar³kl§ önlemek için, “˜c_{” ³eklinde esnek tümleyen ve “}c_{” ³eklinde klasik tümleyen}

kullandk. Burada,A˜c_{bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece f}

A˜c'nn F_A˜c esnek kümesinin

yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur.

Önerme 2.1.16. FA, X üzerinde bir esnek küme olsun. O halde a³a§daki sonuçlar

geçerlidir.

i. (F˜c

A)c˜= FA

ii. F˜c

Φ = FE˜

spat . e ∈ E için esnek kümelerin yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispat kolayca yapabiliriz.

i. (fc

A(e))c = fA(e)

ii. fc

Φ(e) = X − fΦ(e) = X − ∅ = X = f_E˜(e)

2.2 Esnek Küme ³lemleri

Tanm 2.2.1. FAve FB, X üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FB esnek kümelerinin

birle³imi,

f_Ae∪B(e) = fA(e) ∪ fB(e), her e ∈ E,

yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr ve FA∪Fe Bile gösterilir.

Kar³kl§ önlemek için, “e∪” ³eklinde esnek birle³im ve “∪00 _{³eklinde klasik birle³im}

kullandk. Burada, Ae∪B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fAe∪B'nin FAe∪B esnek

Önerme 2.2.2. FA, FB ve FC, X üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki sonuçlar geçerlidir. i. FA∪Fe A= FA ii. FA∪Fe Φ = FA iii. FA∪Fe _E˜ = F_E˜ iv. FA∪Fe Ac˜ = FE˜ v. FA∪Fe B = FB∪Fe A vi. (FA∪Fe B)e∪FC = FA∪(Fe B∪Fe C)

spat . Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.

i. fAe∪A(e) = fA(e) ∪ fA(e) = fA(e)

ii. fAe∪Φ(e) = fA(e) ∪ fΦ(e) = fA(e)

iii. fAe∪ ˜E(e) = fA(e) ∪ f_E˜(e) = f_E˜(e)

iv. fA(e) ∪ fAc(e) = fE˜(e)

v. fAe∪B(e) = fA(e) ∪ fB(e) = fB(e) ∪ fA(e) = fB e∪A(e)

vi. f(Ae∪B)e∪C(e) = fAe∪B(e) ∪ fC(e)

= (fA(e) ∪ fB(e)) ∪ fC(e)

= fA(e) ∪ (fB(e) ∪ fC(e))

= fA(e) ∪ fB e∪C(e)

= f_{Ae∪(B e∪C)}(e)

Tanm 2.2.3. FAve FB, X üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FB esnek kümelerinin

kesi³imi,

f_Ae∩B(e) = fA(e) ∩ fB(e), her e ∈ E,

Kar³kl§ önlemek için, “e∩” ³eklinde esnek birle³im ve “ ∩ ” ³eklinde klasik birle³im kullandk. Burada, Ae∩B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece fAe∩B'nin FAe∩B esnek

kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur. Önerme 2.2.4. FA, FB ve FC, X üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki

sonuçlar geçerlidir. i. FA∩Fe A= FA ii. FA∩Fe Φ = FΦ iii. FA∩Fe _E˜ = FA iv. FA∩Fe Ac˜ = FΦ v. FA∩Fe B = FB∩Fe A vi. (FA∩Fe B)e∩FC = FA∩(Fe B∩Fe C) vii. FA⊆Fe B ⇒ FA∪Fe B = FBve FA∩Fe B = FA

spat . Her e ∈ E için, yakla³m fonksiyonlarn kullanarak ispatlayalm.

i. fAe∩A(e) = fA(e) ∩ fA(e) = fA(e)

ii. fAe∩Φ(e) = fA(e) ∩ fΦ(e) = fΦ(e)

iii. fAe∩ ˜E(e) = fA(e) ∩ f_E˜(e) = fA(e)

iv. fA(e) ∩ fAc(e) = fΦ(e)

v. fAe∩B(e) = fA(e) ∩ fB(e) = fB(e) ∩ fA(e) = fB e∩A(e)

vi. f(Ae∩B)e∩C(e) = fAe∩B(e) ∩ fC(e)

= (fA(e) ∩ fB(e)) ∩ fC(e)

= fA(e) ∩ (fB(e) ∩ fC(e))

= fA(e) ∩ fB e∩C(e)

vii. fA(e) ⊆ fB(e) ⇒ fA(e) ∪ fB(e) = fB(e)ve fA(e) ∩ fB(e) = fA(e)

Önerme 2.2.5. X üzerindeki FA ve FB esnek kümeleri için, De'Morgan kurallar

geçerlidir.

i. (FA∪Fe B)˜c= FA˜c∩Fe B˜c

ii. (FA∩FBe )˜c= FA˜c∪Fe B˜c

spat . Her e ∈ E için,

i. f_(Ae∪B)˜c(e) = fc

Ae∪B(e)

= (fA(e) ∪ fB(e))c

= (fA(e))c∩ (fB(e))c

ii. f_(Ae∩B)˜c(e) = f_Aec_∩B(e)

= (fA(e) ∩ fB(e))c

= (fA(e))c∪ (fB(e))c

Önerme 2.2.6. FA, FB ve FC, X üzerinde üç esnek küme olsun. O halde, a³a§daki

sonuçlar geçerlidir.

i. FA∪(Fe B∩Fe C) = (FA∪Fe B)e∩(FA∪Fe C)

ii. FA∩(Fe B∪Fe C) = (FA∩Fe B)e∪(FA∩Fe C)

spat . Her e ∈ E için,

i. f_{Ae∪(B e∩C)}(e) = fA(e) ∪ fB e∩C(e)

= fA(e) ∪ (fB(e) ∩ fC(e))

= (fA(e) ∪ fB(e)) ∩ (fA(e) ∪ fC(e))

= f_Ae∪B(e) ∩ f_Ae∪C(e) = f_{(Ae∪B)e∩(Ae∪C)}(e)

ii. f_{Ae∩(B e∪C)}(e) = fA(e) ∩ fB e∪C(e)

= fA(e) ∩ (fB(e) ∪ fC(e))

= (fA(e) ∩ fB(e)) ∪ (fA(e) ∩ fC(e))

= f_Ae∩B(e) ∪ f_Ae∩C(e) = f_{(Ae∩B)e∪(Ae∩C)}(e)

Buradaki birle³im ve kesi³im

i³lemleri, ikili i³lem olarak adlandrlr.

Tanm 2.2.7. FAve FB, X üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FB esnek kümelerinin

fark,

f_Ae\B(e) = fA(e) \ fB(e), her e ∈ E,

yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr ve FAe\FBile gösterilir.

Kar³kl§ önlemek için, “e\” ³eklinde esnek birle³im ve “ \ ” ³eklinde klasik birle³im kullandk. Burada, Ae\B bir küme i³lemi de§ildir. Bu sadece f_Ae\B'nin F_Ae\B esnek kümesinin yakla³m fonksiyonu oldu§unu göstermek için kullanlan bir notasyondur. Önerme 2.2.8. FA, FB ve FC, X üzerinde üç esnek küme olsun. O halde a³a§daki

sonuçlar geçerlidir.

i. FAe\FB = FA∩Fe B˜c

ii. FAe\FB = FΦ ⇔ FA⊆FBe

iii. A ∩ B = ∅ ⇒ FAe\FB = FAve FBe\FA = FB

spat . Her e ∈ E için,

i. f_Ae\B(e) = fA(e) \ fB(e) = fA(e) ∩ fB(e)c

ii. fA(e) \ fB(e) = fΦ(e) = ∅ ⇔ fA(e) ⊆ fB(e)

iii. A ∩ B = ∅ ⇒ fA(e) \ fB(e) = fA(e)ve fB(e) \ fA(e) = fB(e)

Tanm 2.2.9. FAve FB, X üzerinde iki esnek küme olsun. FAve FB esnek kümelerinin FA∆Fe B ile gösterilen simetrik fark,

yakla³m fonksiyonu yoluyla tanmlanr.

Tanm 2.2.10. FAve FBesnek kümeleri ayrktr ancak ve ancak FA∩FB = FΦolmasdr.

“imdi yukardaki tanm ve önermeleri örnekleyelim;

Örnek 2.2.11. X = {u1, u2, u3, u4, u5} evrensel küme ve E = {e1, e2, e3, e4} tüm

parametreler kümesi olsun. Kabul edelim ki A = {e1, e2} ve B = {e2, e3, e4}, gibi

E_{'nin iki alt kümesi için F}A = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u1, u3})}ve FB = {(e2, {u1, u2}),

(e3, {u1, u4}), (e4, U )} ³eklinde yazlsn. O halde biz bu esnek kümeleri a³a§daki gibi

yazabiliriz. F˜c A= {(e1, {u1, u3, u5}), (e2, {u2, u4, u5}), (e3, U ), (e4, U )} FA∪Fe B = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u1, u2, u3}), (e3, {u1, u4}), (e4, U)} FA∩FBe = {(e2, {u1})} (FA∪Fe B)c˜= {(e1, {u1, u3, u5}), (e2, {u4, u5}), (e3, {u2, u3, u5})} = FAc˜∩Fe B˜c (FA∩FBe )c˜= {(e1, U ), (e2, {u2, u3, u4, u5}), (e3, U ), (e4, U )} = FA˜c∪Fe B˜c FAe\FB = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u3})} = FA∩Fe B˜c FA∆Fe B = {(e1, {u2, u4}), (e2, {u2, u3}), (e3, {u1, u4}), (e4, U)} 2.3 Esnek Çarpmlar

“imdiye kadar, esnek kümeler üzerinde tek de§i³kenli yakla³m fonksiyonu yoluyla ikili i³lemler tanmland. “imdi, iki de§i³kenli yakla³m fonksiyonu kullanalak, esnek kümeler üzerinde bir ikili i³lem olan esnek çarpmlar tanmlayp, temel özelikleri incelenecektir.

Esnek küme teorisinde, VE çarpm, VEYA çarpm, DE‡L-VE çarpm, DE‡L-VEYA çarpm olmak üzere ba³lca dört tür çarpm vardr.

Tanm 2.3.1. FAve FB, X üzerinde fAve fByakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek

küme olsun. FAve FB esnek kümeleri arasnda V E-çarpm FA∧FBe ile gösterilir ve bu

çarpmn yakla³m fonksiyonu ∀(x, y) ∈ E × E için

f_Ae∧B : E × E → P (X), f_Ae∧B(x, y) = fA(x) ∩ fB(y)

biçiminde tanmlanr.

Tanm 2.3.2. FAve FB, X üzerinde fAve fByakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek

küme olsun. FAve FB esnek kümeleri arasndaki V EY A-çarpm FA∨FBe ile gösterilir

ve bunun yakla³m fonksiyonu ∀(x, y) ∈ E × E için

f_Ae∨B : E × E → P (X), f_Ae∨B(x, y) = fA(x) ∪ fB(y)

biçiminde tanmlanr.

Tanm 2.3.3. FA ve FB, X üzerinde fA ve fB yakla³m fonksiyonlar ile verilen iki

esnek küme olsun. FAve FB esnek kümeleri arasndaki DE‡L-VE-çarpm FAZ FBile

gösterilir ve bunun yakla³m fonksiyonu ∀(x, y) ∈ E × E için

fAZB : E × E → P (X), fAZB(x, y) = fA(x) \ fB(y)

biçiminde tanmlanr.

Tanm 2.3.4. FAve FB, X üzerinde fAve fByakla³m fonksiyonlar ile verilen iki esnek

küme olsun. FA ve FB esnek kümeleri arasndaki DE‡L-VEYA-çarpm FAY FB ile

gösterilir ve bunun yakla³m fonksiyonu ∀(x, y) ∈ E × E için

fAYB : E × E → P (X), fAYB(x, y) = fA(x) ∪ fBc(y)

biçiminde tanmlanr.

Yorum 2.3.5. Yakla³m fonksiyonlarnn alt indisi olarak kullanlan, e∧, e∨, Z, Y klasik küme i³lemi de§ildir. Onlar, fAe∧B, fAe∨B, fAZB ve fAYB'nin, srasyla, FAe∧B, FAe∨B, FAZB ve FAYBesnek kümelerinin yakla³m fonksiyonlar oldu§unu gösterir.

“imdi yukardaki tanmlar örnekleyelim.

Örnek 2.3.6. X = {u1, u2, u3, u4, u5} evrensel küme ve E = {e1, e2, e3, e4} tüm

parametrelerin bir kümesi olsun. Kabul edelim ki A = {e2, e3, e4} ve B = {e1, e3, e4},

E'nin iki alt kümesi için

FA = {(e2, {u2, u3, u4, u5}), (e3, {u1, u2, u3}), (e4, {u1, u2, u5})}

FB = {(e1, {u1, u2}), (e3, {u3, u4, u5}), (e4, U )}

³eklinde yazlsnlar. O halde FA∧Fe B,

FA∧Fe B =

½

((e2, e1), {u2}), ((e2, e3), {u3, u4, u5}), ((e2, e4), {u2, u3, u4, u5}),

((e3, e1), {u1, u2}), ((e3, e3), {u3}), ((e3, e4), {u1, u2, u3}),

((e4, e1), {u1, u2}), ((e4, e3), {u5}), ((e4, e4), {u1, u2, u5})

¾

³eklindedir. Burada liste biçiminde yazmaktan daha kullan³l oldu§u için tablo yöntemi kullanlabilir.

FA∧Fe B e1 e3 e4

e2 {u2} {u1, u2} {u1, u2}

e3 {u3, u4, u5} {u3} {u5}

e4 {u2, u3, u4, u5} {u1, u2, u3} {u1, u2, u5}

FA∨Fe Bve FAZ FB esnek çarpmlar benzer yolla elde edilebilir.

Önerme 2.3.7. X üzerindeki FAve FBesnek kümeleri için a³a§daki e³itlikler do§rudur.

i. FA∨Fe B = FB∨Fe A

ii. FA∧FBe = FB∧FAe

Dikkat edilirse, fA ∩ fBc 6= fB ∩ fAc ve fA ∪ fBc 6= fB ∪ fAc oldu§u için srasyla, FAZ FB 6= FBZ FAve FAY FB 6= FBY FA³eklindedir.

Önerme 2.3.8. FA, FBve FC, X üzerinde üç esnek küme olsun.O halde, a³a§daki ³artlar

geçerlidir.

i. FA∨(Fe B∨Fe C) = (FA∨Fe B)e∨FC

ii. FA∧(Fe B∧Fe C) = (FA∧Fe B)e∧FC

Dikkat edilirse, fA∩(fB∩fCc)c6= (fA∩fBc)∩fCcve fA∪(fB∪fCc)c6= (fA∪fBc)∪fCc oldu§u

için respectively, FAZ (FBZ FC) 6= (FAZ FB) Z FC ve FAY (FBY FC) 6= (FAY FB) Y FC

³eklindedir.

Önerme 2.3.9. FA ve FB, X üzerinde iki esnek küme olsun. O halde bu iki kümenin

esnek çarpmlar için De Morgan kurallar sa§lanr.

i. (FA∨FBe )˜c= FA˜c∧Fe B˜c

ii. (FA∧FBe )˜c= FA˜c∨Fe B˜c

iii. (FAY FB)c˜= FA˜c Z FB˜c

iv. (FAZ FB)c˜= FA˜c Y FB˜c

spat . spatlar, yakla³m fonksiyonlar kullanlarak a³a§daki gibi yaplabilir. Her (x, y) ∈ A × Biçin, i. f_(Ae∨B)˜c(x, y) = fc (Ae∨B)(x, y) = (fA(x) ∪ fB(y))c = fc A(x) ∩ fBc(y) = f_A˜c_e∧B˜c(x, y)

iii. f(AYB)˜c(x, y) = f_(AYB)c (x, y)

= (fA(x) ∪ fBc(y))c = fc A(x) ∩ fB(y) = fc A(x) ∩ (fBc(y))c = f_A˜c_ZB˜c(x, y)

Bu bölümde, BCK ve BCI cebirlerinin tanmlar verildikten sonra temel özellikleri verilmi³tir. Bu bölüm, Soysal (2006), Iseki ve Tanaka (1978), Chaudhry (1992), Cury ve Feys (1968) ve Daoji ve Ronggang (1985) kaynaklarndan yararlanarak hazrlanm³tr.

Bundan sonra bahsetti§imiz önerme hem BCI ve hemde BCK cebirleri için geçerli ise bu ikisinin yerine ksaca BCK/BCI cebiri diyece§iz.

3.1 Temel Tanm ve Teoremler

Tanm 3.1.1. ϕ, ψ, χ birer önerme olmak üzere sadece "ise" ba§lacn "→" kullanarak BCK lojik aksiyomlar olan B, C ve K aksiyomlar a³a§daki gibidir;

(B) (ϕ → ψ) → ((χ → ϕ) → (χ → ψ))

(C) (ϕ → (ψ → χ)) → (ψ → (ϕ → χ))

(K) ϕ → ϕ

and also BCI lojik icin gerekli I aksiyomu a³a§daki gibidir;

(I) ϕ → (ψ → ϕ)

"→" ba§lac yerine ∗ i³elemi

ϕ → ψ = ϕ ∗ ψ

³eklinde alnsn. O zaman X bir küme olmak üzere, ∗ bu küme üzerinde bir ikili i³lem ve 0 da bu kümenin bir eleman olsun. ∀x, y, z ∈ X için a³a§daki ³artlar sa§lanyorsa

BCI1 ((x ∗ y) ∗ (x ∗ z)) ∗ (z ∗ y) = 0 BCI2 (x ∗ (x ∗ y)) ∗ y = 0

BCI3 x ∗ x = 0

BCI4 x ∗ y = 0 ve y ∗ x = 0 ise x = y

E§er ek olarak bir BCI-cebiri ∀x ∈ X için

BCK5 0 ∗ x = 0

³artn da sa§lyorsa X kümesine bir BCK-cebiri denir.

Burada, X üzerindeki x ∗ y = 0 ba§nts yerine x ≤ y ba§nts alnrsa, ∀x, y, z ∈ X için BCK-cebirinin ³artlar a³a§daki gibi olurlar;

BCI10 _{(x ∗ y) ∗ (x ∗ z) ≤ z ∗ y,} BCI20 _{x ∗ (x ∗ y) ≤ y,} BCI30 _{x ≤ x,} BCI40 _{x ≤ y ve y ≤ x ise x = y,} ve BCK50_{0 ≤ x,}

“imdi BCK-cebirlerine örnekler verelim; Örnek 3.1.2. X ={0,1,2,...} kümeleri üzerinde

x ∗ y =    x − y, y < xise 0, di§er durumda

i³lemi verilsin. (X; ∗, 0) bir BCK-cebiridir.

Örnek 3.1.3. X, en küçük eleman 0 olan ksmi sral küme olsun.

x ∗ y =    x, y < xise 0, di§er durumda olarak verilsin. (X; ∗, 0) bir BCK-cebiridir.

Örnek 3.1.4. X 6= ∅ küme, P (X) kuvvet kümesi, A, B ∈ P (X) için;

A ∗ B =    A − B, B ⊆ Aise ∅, di§er durumda i³lemi verilsin. (P (X); ∗, ∅), bir BCK-cebiridir.

Örnek 3.1.5. A key bo³ olmayan bir küme ve X, A üzerinde tanml tüm reel de§erli negatif olmayan fonksiyonlarn kümesi yani

X = {ϕ|ϕ : A → R+_{∪ {0}}} olsun ve ∀ϕ, β ∈ X için; (ϕ ∗ β)(x) =    ϕ(x) − β(x), β(x) < ϕ(x)ise 0, _{di§er durumda}

ile tanmlansn. Bu durumda, (X; ∗, 0) bir BCK-cebiridir.

“imdi de BCK-cebirinin baz ³artlarn sa§layan ama BCK-cebiri olamayan örnekler verelim;

Örnek 3.1.6. X = {0, 1, 2, ...} kümesi üzerinde

x ∗ y =    1, y < xise 0, di§er durumda

i³lemi tanmlansn. (X; ∗, 0), BCI-2 d³ndaki özellikleri sa§lar. x = 3, y = 0 alnrsa; (x ∗ (x ∗ y)) ∗ y = (3 ∗ (3 ∗ 0)) ∗ 0 = (3 ∗ 1) ∗ 0 = 1 ∗ 0 = 1

Örnek 3.1.7. X = {0, 1, 2, ..., ω} kümesi üzerinde x ∗ y =        0, x ≤ y ise ω, y < x ve y 6= 0 ise x, y < x _{ve y = 0 ise}

i³lemi tanmlansn. (X; ∗, 0) BCI-1' sa§lamaz, di§er özellikleri sa§lanr. y < x, z = 0, y 6= 0, x 6= ωiçin BCI-1 :((x ∗ y) ∗ (x ∗ z)) ∗ (z ∗ y) = ω ∗ 0 = ω 6= 0 dr.

Örnek 3.1.8. X = {1, 2} kümesi üzerinde

∗ 0 1

0 0 0 1 1 1

i³lemi tanmlansn. (X; ∗, 0), BCI-4 ü sa§lamaz, di§er özellikleri sa§lar. 1 ∗ 0 = 0 ve 0 ∗ 1 = 0fakat 1 6= 0 dr. BCI-4 sa§lanmaz.

Örnek 3.1.9. X = {0, 1, 2} kümesi üzerinde

∗ 0 1 2

0 0 0 0 1 2 2 0 2 2 2 0

i³lemi tanmlansn. (X; ∗, 0), BCI-3 özelli§ini sa§lamaz, di§erlerini sa§lar. 1∗1 = 2 6= 0 dr.

Örnek 3.1.10. X = {0, 1, 2} kümesi üzerinde

∗ 0 1 2

0 0 0 2 1 1 0 2 2 2 2 0

i³lemi tanmlansn. (X; ∗, 0), BCI-5 özelli§ini sa§lamaz, di§erlerini sa§lar. 0∗2 = 2 6= 0 dr.

Önerme 3.1.11. (X; ∗, 0) bir BCK-cebiri olsun.

a) x ≤ y ⇒ z ∗ y ≤ z ∗ x b) x ≤ y ve y ≤ z ⇒ x ≤ z spat . a) x ≤ y olsun. BCI-1 ile

(z ∗ y) ∗ (z ∗ x) ≤ x ∗ y dir. Hipotezden , x ≤ y, x ∗ y = 0 oldu§undan , (z ∗ y) ∗ (z ∗ x) ≤ 0 (3.1) BCK − 50_den 0 ≤ (z ∗ y) ∗ (z ∗ x) (3.2) dr.(2.1), (2.2) ve BCI − 40 _den (z ∗ y) ∗ (z ∗ x) = 0 z ∗ y ≤ z ∗ x bulunur. b) x ≤ y ve y ≤ z olsun. (a)dan y ≤ z ⇒ x ∗ z ≤ x ∗ y ve x ≤ y, x ∗ y = 0 oldu§undan x ∗ z ≤ 0 (3.3)

bulunur. BCK − 50_den

0 ≤ x ∗ z (3.4)

elde edilir. (2.3), (2.4) den

x ∗ z = 0, x ≤ z

dir.

Önerme 3.1.12. (X; ∗, 0) bir BCK-cebiri olsun. Her x, y, z ∈ X için

(x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ y (3.5)

dir.

spat . BCI − 20 _{ile x ∗ (x ∗ z) ≤ z dir. Önerme 3.7.(a) kullanlrsa ,}

(x ∗ y) ∗ z ≤ (x ∗ y)∗ ≤ (x ∗ (x ∗ z))

elde edilir. BCL − 10_{den ;}

(x ∗ y) ∗ z ≤ (x ∗ z) ∗ y (3.6)

bulunur. Her x, y, z ∈ X key elemanlardr. y ve z nin yerini de§i³tirilirse ;

(x ∗ z) ∗ y ≤ (x ∗ y) ∗ z (3.7)

bulunur.(2.6), (2.7) ve BCI − 40 _{den ;}

(x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ y (3.8)

olur.

Önerme 3.1.13. (X; ∗, 0) bir BCK-cebiri olsun. ∀x, y, z ∈ X için ;

b) (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) ≤ x ∗ y c) x ≤ y ⇒ x ∗ z ≤ y ∗ z d) x ∗ y ≤ x

e) x ∗ 0 = x

ko³ullar sa§lanr.

spat . a) x ∗ y ≤ z olsun. Önerme 3. 8. den

(x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ y = 0 (3.9)

oldu§undan ve (BCI − 60_{)özelli§i ile x ∗ z ≤ y olur.}

b) BCI − 10 _den (x ∗ y) ∗ (x ∗ z) ≤ z ∗ y dr. a) kullanlrsa , (x ∗ y) ∗ (z ∗ y) ≤ x ∗ z bulunur. y ve z yi de§i³tirirsek , (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) ≤ x ∗ y elde edilir. c) x ≤ y olsun. x ∗ y = 0 dr. b) den (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) ≤ 0 olur. Ayrca 0 ≤ (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) dir. BCK − 50 _{ile ,} (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = 0 dir. O halde x ∗ z ≤ y ∗ z

dir.

d) Önerme 2.8. den (x ∗ y) ∗ z = (x ∗ z) ∗ y idi. z yerine x yazlrsa,

(x ∗ y) ∗ x = (x ∗ x) ∗ y = 0 ∗ y = 0

bulunur. Buradan

(x ∗ y) ∗ x = 0 ⇒ x ∗ y ≤ x olur.

e) BCI − 20 _{ile x ∗ (x ∗ y) ≤ y dir. y = 0 alnrsa;}

x ∗ (x ∗ 0)

olur. Ayrca

0 ≤ x ∗ (x ∗ 0) oldu§undan

x ∗ (x ∗ 0) = 0 ⇒ x ≤ x ∗ 0

bulunur. d) den y = 0 alnrsa; x ∗ 0 ≤ x olur. O halde x = x ∗ 0 dr.

NOT: Herhangi x, y ∈ Xiçin y ∗ (y ∗ x)ifadesi ksaca x ∧ y ile gösterilir. Yani

x ∧ y = y ∗ (y ∗ x)

dir.

Önerme 3.1.14. x ∧ y , x ile y nin bir alt snrdr. spat . BCI − 20 _{de x ile y yi yer de§i³tirirsek;}

y ∗ (y ∗ x) ≤ x

yani x ∗ y ≤ x olur. Önerme 2.9. d)den

olup x ile y yi yer de§i³tirirsek

y ∗ x ≤ y

bulunur. x yerine y ∗ x yazlrsa

y ∗ (y ∗ x) ≤ y yani x ∗ y ≤ y

bulunmu³ olur.

NOT: x ∧ x = x, x ∧ 0 = 0 ∗ x dir. Fakat genel olarak x ∧ y 6= y ∧ x dir. Önerme 3.1.15. Herhangi bir BCK-cebirinde

x ∗ (y ∧ x) = x ∗ y (3.10)

dr.

spat . x ∧ y ≤ y oldu§undan Önerme 3. 7. a) ile

z ∗ x ≤ z ∗ (y ∧ x)

olur. z yerine x yazlrsa

x ∗ y ≤ x ∗ (y ∧ x)

bulunur. BCK − 20_ile;

x ∗ (y ∧ x) = x ∗ (x ∗ (x ∗ y)) ≤ x ∗ y

elde edilir. Sonuç olarak;

x ∗ (y ∧ x) = x ∗ y

oldu§u görülür.

Tanm 3.1.16. (X; ∗, 0) bir BCK-cebiri ve Y kümesi de X'in bo³ olmayan bir alt kümesi olsun. E§er ∀x, y ∈ Y için x ∗ y ∈ Y oluyorsa Y kümesine X 'in bir altcebiri denir. Tanm 3.1.17. (X; ∗, 0) ve (Y ; ∗, 0) iki BCK-cebiri olsun. E§er bir

fonksiyonu, ∀x, y ∈ X için

f (x ∗ y) = f (x) ∗ f (y)

³artn sa§lyorsa, bu f fonksiyonuna BCK-cebirlerinin bir homomorzma denir. Bu homomorzmann çekirde§i de

Ker(f ) = {x ∈ X : f (x) = 0}

biçiminde tanmldr.

3.2 Pozitif Anlaml BCK-Cebirleri

Tanm 3.2.18. Her x, y, z ∈ X için;

(x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z (3.1)

e³itli§ini sa§layan (X; ∗, 0) BCK-cebirine pozitif anlaml BCK-cebiri denir. Önerme 3.2.19. X bir BCK-cebiri olsun. Her x, y, z ∈ X için ;

(x ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x) ≤ x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))) (3.2)

dir.

[(x ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x)] ∗ [x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x)))] = [(x ∗ (x ∗ y)) ∗ (x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))))] ∗ (y ∗ x) = [(x ∗ (x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))))) ∗ (x ∗ y)] ∗ (y ∗ x) = [(x ∗ (y ∗ (y ∗ x)) ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x)] ≤ (y ∗ (y ∗ (y ∗ x))) ∗ (y ∗ x) = (y ∗ (y ∗ x)) ∗ (y ∗ (y ∗ x)) = 0

dr. Di§er yandan BCK − 50 _kullanlarak

[(x ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x)] ∗ [x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x)))] = 0 (3.3)

dr. Buradan

(x ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x) ≤ x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))) (3.4) elde edilmi³ olur.

Önerme 3.2.20. (X; ∗, 0) bir BCK- cebiri olsun. A³a§daki ko³ullar birbirine dektir.

a) X pozitif anlamldr, b) x ∗ y = (x ∗ y) ∗ y, c) (x ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x) = x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))), d) x ∗ y = (x ∗ y) ∗ (x ∗ (x ∗ y)), e) x ∗ (x ∗ y) = (x ∗ (x ∗ y)) ∗ (x ∗ y), f) (x ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x) = (y ∗ (y ∗ x)) ∗ (x ∗ y).

spat . a) ⇒ b) : X pozitif anlaml olsun.

(x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

dir. O halde

x ∗ y = (x ∗ y) ∗ 0 = (x ∗ y) ∗ (x ∗ y) = (x ∗ y) ∗ y,

dir.

b) ⇒ c) : x ∗ y = (x ∗ y) ∗ yolsun. Bu e³itlikte y yerine x ∗ (y ∗ (y ∗ x)) alalm.

x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))) = (x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x)))) ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))) ≤ (y ∗ (y ∗ x)) ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))) = (y ∗ (y ∗ x)) ∗ (x ∗ y) = (y ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x) = ((y ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x)) ∗ (y ∗ x) = ((y ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x)) ∗ (y ∗ x) ≤ (x ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x)

elde edilir. Önerme 3. 2. göz önünde bulundurularak c) elde edilir.

c) ⇒ d) : (x ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x) = x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))),_{olsun. Bu e³itlikte x yerine} x ∗ yyazalm.

((y ∗ x) ∗ ((y ∗ x) ∗ y)) ∗ (y ∗ (y ∗ x)) = (y ∗ x) ∗ ((y ∗ x) ∗ (y ∗ (y ∗ (y ∗ x)))) = (y ∗ x) ∗ (y ∗ (y ∗ x))

bulunur. x ile y nin yerleri de§i³tirilse

(x ∗ y) = (x ∗ y) ∗ (x ∗ (x ∗ y)), (3.5) olur.

d) ⇒ e) : d)_{e³itli§inde y yerine x ∗ y yazalm.}

(x ∗ (x ∗ y)) = (x ∗ (x ∗ y)) ∗ (x ∗ (x ∗ (x ∗ y)))

dir. Bu ise e) verir.

e) ⇒ f ) : e)_{var olsun. Bu e³itli§in her iki yan sa§dan y ∗ x ile i³leme alalm.}

(x ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x) = ((x ∗ (x ∗ y)) ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x)

≤ (y ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ x) = (y ∗ (y ∗ x)) ∗ (x ∗ y)

ifadesi her x, y için sa§lanr. x ve y nin yerleri de§i³tirirse e³itli§in di§er ksm elde edilir ve e³itlik görülür.

f ) ⇒ b) : f )var olsun. f) de y yerine x ∗ y yazalm.

olur . Buradan

x ∗ y = (x ∗ y) ∗ (x ∗ (x ∗ y))

= (x ∗ (x ∗ (x ∗ y))) ∗ y = (x ∗ y) ∗ y

elde edilir ve b) sa§lanr.

b) ⇒ a) : b)sa§lansn. Bu durumda

((x ∗ z) ∗ (y ∗ z)) ∗ ((x ∗ y) ∗ z) = (((x ∗ z) ∗ z) ∗ (y ∗ z)) ∗ ((x ∗ y) ∗ z) = (((x ∗ z) ∗ (y ∗ z)) ∗ z) ∗ ((x ∗ y) ∗ z)

≤ ((x ∗ y) ∗ z) ∗ ((x ∗ y) ∗ z)

= 0

elde edilir. Böylece

(x ∗ z) ∗ (y ∗ z) ≤ (x ∗ y) ∗ z olur . Tersine olarak

((x ∗ y) ∗ z) ∗ ((x ∗ z) ∗ (y ∗ z)) = ((x ∗ z) ∗ y) ∗ ((x ∗ z) ∗ (y ∗ z)) ≤ (y ∗ z) ∗ y = (y ∗ y) ∗ z = 0 ∗ z = 0 dr. O halde (x ∗ y) ∗ z ≤ (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) dr. Böylece a) sa§lanr.

Önerme 3.2.21. (X; ∗, 0) bir BCK- cebiri olsun. A³a§daki ko³ullar birbirine denktir.

a) X pozitif anlamldr,

b) (x ∗ y) ∗ z = 0 ⇒ (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = 0 c) (x ∗ y) ∗ y = 0 ⇒ x ∗ y = 0

spat . a) ⇒ b) : X pozitif anlaml olsun.

(x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z dir. (x ∗ y) ∗ z = 0 oldu§undan (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = 0 olur. b) ⇒ c) : (x ∗ y) ∗ z = 0oldu§undan (x ∗ z) ∗ (y ∗ z) = 0

olsun. (x ∗ y) ∗ y = 0 oldu§unu kabul edelim.

(x ∗ y) ∗ z = 0

e³itli§inde z yerine y yazarsak;

(x ∗ y) ∗ y = 0 olur. O halde

(x ∗ y) ∗ (y ∗ y) = 0 ⇒ x ∗ y = 0 elde edilir.

c) ⇒ a) : (x ∗ y) ∗ y = 0oldu§undan x ∗ y = 0 olsun. u = (x ∗ y) ∗ y ile gösterelim.

((x ∗ u) ∗ y) ∗ y = ((x ∗ y) ∗ u) ∗ y = ((x ∗ y) ∗ y) ∗ u = 0

dir. x ∗ u 'yu x gibi dü³ünürsek; (x ∗ u) ∗ y = 0 yani;

(x ∗ ((x ∗ y) ∗ y)) ∗ y = 0

olur. Böylece

(x ∗ y) ∗ ((x ∗ y) ∗ y) = 0 ⇒ x ∗ y ≤ (x ∗ y) ∗ y elde edilir. Di§er taraftan;

((x ∗ y) ∗ y) ∗ (x ∗ y) = ((x ∗ y) ∗ (x ∗ y)) ∗ y = 0 ∗ y = 0 ⇒ (x ∗ y) ∗ y ≤ x ∗ y olur. Böylece x ∗ y = (x ∗ y) ∗ y

elde edilir. Bu da Önerme 4. 3. b) dir. ⇔ X pozitif anlamldr. Örnek 3.2.22. X = {0, a, b, 1} kümesi üzerinde

∗ 0 a b 1

0 0 0 0 0

a a 0 a 0 b b b 0 0

i³lemi tanmlansn. (X; ∗, 0) pozitif anlaml bir BCK - cebiridir. Çünkü x∗y = (x∗y)∗y e³itli§inde her x, y ∈ X için sa§lanr.

3.3 De§i³meli BCK-Cebiri

Tanm 3.3.23. (X; ∗, 0) bir BCK -cebiri olsun. ∀x, y, z ∈ X için;

y ∗ (y ∗ x) = x ∗ (x ∗ y) (3.1)

ise X 'e de§i³meli BCK - cebiri denir.

Burada, (3.1) e³itli§ini ksaca

x ∧ y = y ∧ x

biçiminde gösterebiliriz.

Önerme 3.3.24. (X; ∗, 0) bir BCK- cebiri olsun. A³a§daki denktir.

a) X de§i³melidir,

b) x ∗ (x ∗ y) ≤ y ∗ (y ∗ x), c) (x ∗ (x ∗ y)) ∗ (y ∗ (y ∗ x)) = 0.

spat . Temel özellikler kullanlarak kolayca ispatlanabilir. Örnek 3.3.25. X = {0, 1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde

∗ 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 3 3 1 1 0 0 4 4 3 2 1 0

i³lemi tanmlansn. (X; ∗, 0) de§i³meli de§irdir. Çünkü 2 ∧ 3 = 3 ∗ (3 ∗ 2) = 3 ∗ 1 = 1, 3 ∧ 2 = 2 ∗ (2 ∗ 3) = 2 ∗ 0 = 2 oldu§undan, 2 ∧ 3 6= 3 ∧ 2 dir.

Önerme 3.3.26. (X; ∗, 0) bir BCK- cebiri olsun. ∀x, y, z ∈ X için a³a§dakiler denktir;

a) x ≤ z ve z ∗ y ≤ z ∗ x ise x ≤ y, b) y ≤ z ve z ∗ y ≤ z ∗ x ise x ≤ y, c) x ≤ y ise x = y ∗ (y ∗ x),

d) X De§i³melidir,

e) x ∗ y = 0 ⇒ x ∗ (y ∗ (y ∗ x)) = 0.

spat . a) ⇒ b) : Kolayca ispat görünmektedir.

b) ⇒ c) : y ≤ zve z ∗ y ≤ z ∗ x oldu§unda x ≤ y olsun. x ≤ y alalm.

XBCKcebiri ise x ∗ y ≤ x önermesine göre,

y ∗ (y ∗ x) ≤ y

dir. Ayrca BCL − 20 _den

dir. c) de z yerine y , y yerinede y ∗ (y ∗ x) alrsak; x ≤ y, y ∗ (y ∗ x) ≤ y ve y ∗ (y ∗ (y ∗ x)) ≤ y ∗ x sa§land§ için x ≤ y ∗ (y ∗ x)

olur. Tersine olarak BCL − 20_den

y ∗ (y ∗ x) ≤ x olup BCL − 40_den x = y ∗ (y ∗ x) olur. c) ⇒ d) : x ≤ yoldu§undan x = y ∗ (y ∗ x)

olsun. X'in de§i³meli oldu§unu gösterelim. BCL − 20_{de c) yi kullanrsak}

olur. Di§er yandan; (y ∗ (y ∗ x)) ∗ (x ∗ (x ∗ y) = (x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x)))) ∗ (x ∗ (x ∗ y)) = (x ∗ (x ∗ (x ∗ y))) ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))) = (x ∗ y) ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x))) = (x ∗ (x ∗ (y ∗ (y ∗ x)))) ∗ y ≤ (y ∗ (y ∗ x)) ∗ y ≤ (y ∗ y) ∗ (y ∗ x) = 0 ∗ (y ∗ x) = 0 ⇒ (y ∗ (y ∗ x)) ∗ (x ∗ (x ∗ y)) ≤ 0 ⇒ (y ∗ (y ∗ x)) ≤ (x ∗ (x ∗ y))

oldu§undan Önerme 4. 2. den dolay X De§i³meli olur.

d) ⇒ a) :X de§i³meli olsun. x ≤ z ve z ∗ y ≤ z ∗ x oldu§unu kabul edelim. x ≤ y oldu§unu gösterelim. x ≤ z ⇒ x ∗ z = 0 ve z ∗ y ≤ z ∗ x ⇒ (z ∗ y) ∗ (z ∗ x) = 0 dr. x ∗ y = (x ∗ (x ∗ z)) ∗ y = (z ∧ x) ∗ y = (x ∧ z) ∗ y = (z ∗ (z ∗ x)) ∗ y = (z ∗ y) ∗ (z ∗ x) = 0 ⇒ x ∗ y = 0 ⇒ x ≤ y

e) ⇒ c) : x ∗ y = 0, x ≤ y ise x = y ∗ (y ∗ x)o halde

x ∗ (y ∗ (y ∗ x)) = 0

elde edilir. Bu da c) dir.

c) ⇒ e) : x ≤ y ⇒ x ∗ y = 0dir. Bu durumda

x ∗ (y ∗ (y ∗ x)) = 0

dr. O halde

x ≤ y ∗ (y ∗ x)

olur. BCK − 20_{den y ∗ (y ∗ x) ≤ x olup x = y ∗ (y ∗ x) elde edilir.}

3.4 Anlaml BCK-Cebiri

Tanm 3.4.27. (X; ∗, 0) bir BCK -cebiri olsun. ∀x, y, z ∈ X için;

x = x ∗ (y ∗ x) (3.1)

ise X 'e anlaml BCK- cebiri denir.

Önerme 3.4.28. Bir BCK-cebiri anlamldr, hem de§i³melidir hemde pozitif anlamldr. spat . (⇒) X anlaml BCK-cebiri olsun. x = x ∗ (y ∗ x) oldu§undan, bu durumda

x ∗ y = (x ∗ y) ∗ (y ∗ (x ∗ y)) = (x ∗ y) ∗ y

olur. Böylece Önerme 4. 3. den X pozitif anlaml olur. Üsteki e³itlikte y yerine x ∗ y yazarm.

x ∗ (x ∗ y) = (x ∗ (x ∗ y)) ∗ (x ∗ y) ≤ y ∗ (x ∗ y)

(⇒)X de§i³meli ve pozitif anlaml olsun. x ∗ (x ∗ (y ∗ x)) = (y ∗ x) ∧ x = x ∧ (y ∗ x) = (y ∗ x) ∗ ((y ∗ x) ∗ x) = ((y ∗ x) ∗ x) ∗ ((y ∗ x) ∗ x) = 0 di§er taraftan (x ∗ (y ∗ x)) ∗ x = (x ∗ x) ∗ (y ∗ x) = 0 ∗ (y ∗ x) = 0

Bu bölümde, Maji ve ark. (2003) tarafndan verilen tanmlara dayanarak Jun, (2008) tarafndan tanmlanan esnek BCK/BCI cebirleri, Ça§man ve Engino§lu (2010) tarafndan verilen esnek küme i³lemlerine dayanarak yeniden ele alnm³ ve temel özellikleri incelenmi³tir.

4.1 Temel Tanm ve Teoremler

Önce bir ön bilgi verelim. X ve A bo³tan farkl birer BCK/BCI-cebiri ve R de A dan X e herhangi bir ba§nt olsun. E§er bir küme de§erli fAfonksiyonu

fA : A 7→ P (X), fA(x) = {y ∈ X : xRy}

seklinde tanml ise

FA= {(x, fA(x)) : x ∈ A}

kümesi bir esnek küme olur. “imdi bu esnek kümeye dayanarak esnek BCK/BCI cebirini tanmlayalm.

Tanm 4.1.1. X üzerinde FA bir esnek küme olsun. E§er ∀x ∈ A için fA(x) de§er

kümeleri X in BCK/BCI alt cebiri ise FAesnek kümesine X üzerinde bir esnek BCK/BCI

cebiri denir.

“imdi baz esnek BCK/BCI cebir örnekleri verelim. Örnek 4.1.2. X = {0, a, b, c, d} kümesi ∗ 0 a b c d 0 0 0 0 0 0 a 0 a a a a b b 0 b b b c c c c 0 c d d d d d d

Cayley i³lem tablosuna göre bir BCK-BCI cebiridir. FAda X üzerinde bir esnek küme olsun. A = X ve I = {0, a} için fX : X → P (X), fX(x) = {y ∈ X : xRy ⇔ x ∧ y ∈ I} alnrsa, fX(0) = X fX(a) = X fX(b) = {0, a, c, d} fX(c) = {0, a, b, d} fX(d) = {0, a, b, c}

kümelerinin her biri X in BCK/BCI alt cebirleri oldu§undan FXesnek kümesi X üzerinde

bir esnek BCK/BCI cebiridir.

Örnek 4.1.3. Bir BCK cebiri olan X = {0, a, b, c} kümesinin Cayley i³lem tablosu a³a§daki gibi verilmi³tir,

∗ 0 a b c

0 0 a b c

a a 0 c b b b c 0 a c c b a 0

FAda X üzerinde bir esnek küme olsun. E§er burada A = X ve

fX : X → P (X), fX(x) = {y ∈ X : xRy ⇔ y = xn, n ∈ N}

ile tanmlanan bir fonksiyon olsun. Burada ∀x ∈ A için x in n kez tekrar etmesi

xn_{= x ∗ x ∗ x ∗ ... ∗ xdir. Buradan}

fX(0) = {0}

fX(a) = {0, a} fX(b) = {0, b} fX(c) = {0, c}

Örnek 4.1.4. X = {0, a, b, c} kümesinin yukarda verilen Cayley i³lem tablosuna göre bir BCK cebiridir. GAda X üzerinde bir esnek küme olsun. E§er burada A = X ve

gX : X → P (X), gX(x) = {y ∈ X : xRy ⇔ o(x) = o(y)}

ile tanmlanan bir fonksiyon olsun. Burada her bir x ∈ X için x in mertebesi o(x)

o(x) = min{n ∈ N : 0 ∗ xn _{= 0}}

biçiminde tanmldr. O halde buradan elde edilecek

gX(0) = gX(a) = gX(b) = gX(c) = {0}

kümesi X in BCI alt cebirleri oldu§undan GX bir esnek BCI cebiri olur.

Örnek 4.1.5. X = {0, a, b, c} kümesinin yukarda verilen Cayley i³lem tablosuna göre bir BCK cebiridir. HAda X üzerinde bir esnek küme olsun. E§er burada A = X ve

hX : X → P (X), hX(0) = hX(a) = hX(b) = hX(c) = {a, b, c}

ile tanmlanan bir fonksiyon olsun. Burada {a, b, c} kümesi X in BCI alt cebirleri olmad§ndan HX de bir esnek BCI cebiri de§ildir.

Örnek 4.1.6. X = {0, a, b, c, d, e, f, g} kümesi verilsin. A³a§daki Cayley tablosuna göre ∗ 0 a b c d e f g 0 0 0 0 0 d d d d a a 0 0 0 e d d d b b b 0 0 f f d d c c b a 0 g f e d d d d d d 0 0 0 0 e e d d d a 0 0 0 f f f d d b b 0 0 g g f e d c b a 0

X bir BCI cebiridir. X kümesi üzerinde FAbir esnek küme olsun. A = X olmak üzere fA : A → P (X)yakla³m de§er fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlansn.

fA(x) = {0} ∪ {y ∈ X : xRy ⇔ o(x) = o(y)}

Bu durumda ∀x ∈ A için,

fA(0) = fA(a) = fA(b) = fA(c) = {0, a, b, c}

kümesi X in bir BCI alt cebiridir. Fakat

fA(d) = fA(e) = fA(f ) = fA(g) = {0, d, e, f, g}

kümesi X in bir BCI alt cebiri olmad§ndan FA esnek kümesi X üzerinde esnek bir

BCK-BCI cebiri de§ildir.

Örnek 4.1.7. X = {0, a, b, c, d, e, f, g} kümesi yukarda verilen Cayley tablosuna göre bir bir BCI cebiridir. X kümesi üzerinde FBbir esnek küme olsun. B = {0, a, b, c} ⊂ X

olmak üzere fB : B → P (X)yakla³m de§er fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlansn.

fB(x) = {y ∈ X : xRy ⇔ o(x) = o(y)}

Bu durumda ∀x ∈ A için,

fB(0) = fB(a) = fB(b) = fB(c) = {0, a, b, c}

kümesi X in bir BCI alt cebiri oldu§undan FB esnek kümesi X üzerinde esnek bir

BCK-BCI cebiridir.

Tanm 4.1.8. X üzerinde bir FA esnek BCK/BCI cebiri verilsin. E§er ∀x ∈ A için fA(x) = {0}ise FAesnek kümesine basit esnek BCK/BCI cebiri denir.

Tanm 4.1.9. X üzerinde bir FA esnek BCK/BCI cebiri verilsin. E§er ∀x ∈ A için fA(x) = Xise FAesnek kümesine tam esnek BCK/BCI cebiri denir.

Örnek 4.1.10. Örnek 4.1.3 deki Cayley i³lem tablosuna göre bir bir BCK cebiri olan

burada A = X ve

fX : X → P (X), fX(x) = {0} ∪ {y ∈ X : xRy ⇔ o(x) = o(y)}

ile tanmlanan bir yakla³m de§er fonksiyonunu alrsak, ∀x ∈ A için

fX(x) = X

oldu§undan FX bir tam esnek BCI cebiridir.

Önerme 4.1.11. fAesnek kümesi X üzeründe bir esnek BCK/BCI cebiri ve B ⊆ A ise FB esnek kümesi de X üzerinde bir esnek BCK-BCI cebiridir.

Örnek 4.1.12. FA, Örnek 4.1.6 da verilen X üzerinde bir esnek küme olsun. Burada FA

esnek kümesi X üzerinde bir esnek BCI cebiri de§ildir, fakat B = {a, b, c} ⊂ A olarak alrsak FB esnek kümesi X üzerinde bir esnek BCI cebiridir.

Önerme 4.1.13. FA ve FB esnek kümeleri X üzerinde iki esnek BCK/BCI cebiri ise FA∩Fe Besnek kümeside X üzerinde bir esnek BCK-BCI cebiridir.

spat . Biliyoruz ki FA∩Fe Besnek kümesinin yakla³m fonksiyonu

f_Ae∩B(x) = fA(x) ∩ fB(x)

biçimindedir. Burada ∀e ∈ Xiçin fAe∩B(x)kümeleride X in birer alt cebiri oldu§undan FA∩Fe Besnek kümesi de X üzerinde bir esnek BCK-BCI cebiri olur.

Önerme 4.1.14. FA ve GA esnek kümeleri X üzerinde iki esnek BCK/BCI cebiri ise FA∩GAe esnek kümesi de X üzerinde bir esnek BCK-BCI cebiridir.

spat . Bir önceki önermenin ispatna benzer ³ekilde yaplr.

Önerme 4.1.15. E§er FAve FB esnek kümeleri X üzerinde iki BCK cebiri ise FA∧Fe B

esnek kümeside X üzerinde bir esnek BCK-cebiridir.

spat . Biliyoruz ki FA∧Fe Besnek kümesinin yakla³m fonksiyonu

biçiminde tanmldr. Burada fA(x)and fB(y),kümeleri X in birer BCK/BCI alt cebirleri

oldu§undan fAZB(x, y)kümesi de X in bir BCK/BCI alt cebiridir. O halde, FA∧FBe esnek

kümesi X üzerinde esnek bir BCK-BCI cebiridir.

4.2 Homomorzma

Bu alt bölümde homomorzma ile ilgili bir kaç temel teorem verilecek.

Önerme 4.2.16. h : X → Y fonksiyonu X ve Y gibi iki BCK-BCI cebirinin bir homomorzmas olsun. E§er FAesnek kümesi X üzerinde bir esnek BCK-BCI cebirleri

ise Fh(A)esnek kümesi de Y üzerinde bir esnek BCK cebiridir.

spat . ∀x ∈ A için fh(A)(x)de§er kümeleri Y nin birer BCK-BCI alt cebiridir. Çünkü fA(x)de§er kümeleri X in bir BCK-BCI alt cebiridir ve onun homomork görüntüsü de Y nin bir BCK alt cebiridir. Bu nedenle Fh(A)esnek kümeside Y üzerinde bir esnek BCK

cebiridir.

Önerme 4.2.17. h : X → Y fonksiyonu X ve Y gibi iki BCK-BCI cebirinin bir homomorzmas ve FAesnek kümesi X üzerinde bir esnek BCK-BCI cebiri olsun. E§er ∀x ∈ Aiçin fA(x) = Ker(h)ise Fh(A)esnek kümesi Y üzerinde bir basit esnek BCK/BCI

cebirdir.

spat . ∀x ∈ A için fA(x) = Ker(h) oldu§undan, fh(A)(x) = {0} olur. Buda, Fh(A)

esnek kümesinin Y üzerinde bir basit esnek BCK/BCI cebiri demektir.

Önerme 4.2.18. h : X → Y fonksiyonu X ve Y gibi iki BCK-BCI cebirinin bir homomorzmas ve FAesnek kümesi X üzerinde bir esnek BCK-BCI cebiri olsun. E§er fAbirebir ve örten ve FAtam ise Fh(A)esnek kümesi Y üzerinde bir tam esnek BCK/BCI

cebirdir.

spat . h fonksiyonu birebir ve örten ve FAtam bir BCK/BCI cebir oldu§undan fA(x) = Xolur ve ∀x ∈ A için fh(A)(x) = h(X) = Y olaca§ndan Fh(A)esnek kümesi Y üzerinde

4.3 Esnek BCK/BCI Alt Cebirleri

Tanm 4.3.19. FAve FBesnek kümeleri X üzerinde iki esnek BCK-BCI cebirleri olsun.

E§er a³a§daki ³artlar sa§lanrsa FAya FB nin bir esnek alt cebiri denir ve bu FA<FBe

³ekilde gösterilir.

i) A ⊆ B

ii) ∀x ∈ A için fA(x)kümesi fB(x)kümesinin bir BCK/BCI alt cebiridir.

Örnek 4.3.20. FA esnek kümesi Örnek 4.1.2 deki gibi X = {0, a, b, c, d} üzerinde bir

esnek BCK cebiri olsun. B = {a, c, d} ⊆ A ve

fB: B → P (X), fB(x) = {y ∈ X : xRy ⇔ y ∈ x−1I}

alalm. Burada, I = {0, a} ve x−1_{I = {y ∈ X : x ∧ y ∈ I}olarak verilmi³tir. Bu}

durumda

fB(a) = X

fB(c) = {0, a, b, d} fB(d) = {0, a, b, c}

kümeleri srasyla fA(a), fA(c) ve fA(d)kümelerinin BCK alt cebirleri oldu§undan FB

esnek kümesi FAesnek kümesinin bir esnek alt cebiridir.

Önerme 4.3.21. FAve FBesnek kümeleri X üzerinde iki esnek BCK-BCI cebirleri olsun.

E§er ∀x ∈ A için fA(x) ⊂ fB(x)ise

FA<FBe

spat . ∀x ∈ A için fA(x) ⊂ fB(x)ise A ⊆ B ve fA(x)kümesinin alt fB(x) nin bir

BCK/BCI alt cebiri olaca§ndan FA<FBe elde edilir.

Önerme 4.3.22. FAesnek kümesi X üzerinde bir esnek BCK-BCI cebiri olsun. E§er FB

ve FC esnek kümeleri FAnn iki esnek alt cebiri ise

spat . FB ve FC esnek kümeleri FA nn iki esnek alt cebiri oldu§undan ∀x ∈ B için fB(x) ⊆ fA(x)ve ∀x ∈ C için fC(x) ⊆ fA(x)elde edilir. Buradan fB(x) ∩ fC(x) ⊆ fA(x)sonucu çkar ki, bu da (FB∩Fe C)e<FAdemektir.

Önerme 4.3.23. h : X → Y fonksiyonu BCK-BCI cebir homomorzmas ve FAve FB

esnek kümeleri X üzerinde iki esnek BCK-BCI cebiri olsun. Bu durumda

FA<Fe B ⇒ Fh(A)<Fe h(B)

spat . FA<Fe B oldu§undan A ⊂ B ve FA esnek kümesinin FB nin bir BCK-BCI alt

cebiri çkar. h bir homomorzma oldu§undan ∀x ∈ A için fh(A) ⊆ fh(B) elde edilir.

Esnek kümeler teorisi, belirsizlik içeren problemlerle ba³a çkmak için 1999 ylnda Molodtsov tarafndan ortaya atld. Bu theori ksa zamanda karar verme problemleri, bilgi sistemleri, cebirsel yaplar, optimizasyon teorisi ve matematiksel analiz gibi bir çok alana ba³arl bir ³ekilde uyguland. Bu tez çal³masnda, önce BCK/BCI-cebirleri detayl bir ³ekilde tantld. Jun (2008) tarafndan tanmlanan esnek BCK/BCI-cebirlerini Ça§man ve ark. (2010) tarafndan tanmlanan esnek küme i³lemleri kullanlarak yeniden çal³ld. Son olarak da bu yeni bak³ açsna göre esnek BCK/BCI-cebirlerinin temel özellikleri incelendi.

KAYNAKLAR

Chaudhry, M. A., 1992. Branchwise commutative BCI-algebras, Math. Japon. 37/1, 163-170.

Cury, H. C. and Feys, R., 1968. Combinatory Logic Vol. 1, Amsterdam, North Holland. Ça§man, N., Engino§lu, S., 2010. Soft set theory and uni-int decision making. European

Journal of Operational Research, 207, 848 - 855.

Daoji M. and Ronggang, T., 1985. Some results on the BCI-algebras, Northeast Math., 1/2, 166-171.

Engino§lu, S., 2008. Esnek kümeler ve esnek karar verme metotlar. Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Gaziosmanpa³a Üniversitesi, Tokat.

Iseki, K.and Tanaka, S., 1978. An introduction to the teory of BCK-algebras, Math. Japon, 23, 1-26

Jun, Y. B., 2008. Soft BCK/BCI-algebras. Computers and Mathematics with Applications, 56(1), 1408-1413.

Maji, P. K., Bismas, R. and Roy, A.R., 2003. Soft set theory. Computers and Mathematics with Applications, 45/1, 555-562.

Molodtsov, D., 1999. Soft set theory-rst results. Computers and Mathematics with Applications, 37/1, 19-31.

Soysal, F., 2006. BCK/BCI-Cebirleri Üzerine, Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Cumhuriyet Üniversitesi, Sivas.

ÖZGEÇM“

Ki³isel Bilgiler

Ad Soyad: Emel TERZ

Do§um Tarihi ve Yer: 12.07.1982 Yusufeli Medeni Hali: Evli

Yabanc Dili: ngilizce Telefon: (506) 466 45 79

E-posta: emelterzi-24@hotmail.com

E§itim:

Derece E§itim Birimi Mezuniyet Tarihi Lisans Ondokuz Mayis Üniversitesi 2006 Lise Mustafa Yazc Lisesi (YDL) 2000

³ Deneyimi:

Yl Yer Görev

2008 - 2009 Nimetullah Mahruki lkö§retim Okulu Mat. Ö§rt. 2008 - 2009 Hac “akr Ülker lkö§retim Okulu Mat. Ö§rt.