Durağan olmayan çok bileşenli boğucu sinyaller için yeni bir uyarlanır karışma çıkarıcı analizi

(1)

DURA ˘

GAN OLMAYAN C

¸ OK B˙ILES¸ENL˙I BO ˘

GUCU S˙INYALLER ˙IC

¸ ˙IN

YEN˙I B˙IR UYARLANIR KARIS¸MA C

¸ IKARICI ANAL˙IZ˙I

L¨utfiye Durak

∗

, Orhan Arıkan

∗∗

ve Iickho Song

∗

_{Department of Electrical Engineering}

Korea Advanced Institute of Science and Technology

373-1 Guseong Dong, Yuseong Gu, Daejeon 305-701, Korea

lutfiye@ieee.org,

i.song@ieee.org

∗∗

_{Elektrik ve Elektronik Mühendisli˘gi Bölümü,}

Bilkent ¨

Universitesi, 06800 Bilkent Ankara, T¨urkiye

oarikan@ee.bilkent.edu.tr

¨ Ozetc¸e

Duraˇgan olmayan boˇgucu sinyallerin analizi için yeni bir uyarlanır kısa-süreli Fourier dönüs¸ümü (KSFD) uygu-laması sunulmaktadır. Onerilen zaman-frekans daˇgılı-¨ mı, sinyal biles¸enlerine ait bir genelles¸tirilmis¸ zaman-bant genis¸liˇgi çarpımına dayalı hesaplanan optimum KSFD’lerin birles¸tirilmesi sonucu olus¸turulur. Al-goritmada, sinyal biles¸enlerinin optimum KSFD’leri ayrı ayrı hesaplanıp es¸iklenmekte ve her bir biles¸ene ait op-timum KSFD destek imgeleri tümles¸tirilmektedir.

Abstract

A novel adaptive short-time Fourier transform (STFT) implementation for the analysis of non-stationary multi-component jammer signals is introduced. The pro-posed time-frequency distribution is the fusion of optimum STFTs of individual signal components that are based on the recently introduced generalized time-bandwidth prod-uct (GTBP) definition. The GTBP optimal STFTs of the components are combined through thresholding and ob-taining the individual component support images, which are related with the corresponding GTBP optimal STFTs.

1. G˙IR˙IS¸

Yayılı izge teknikleri geri toplama kazançları dolayısıyla yapısal olarak boˇgucu sinyallerin karıs¸masına kar-s¸ı dirençlidirler. Ancak eˇger karıs¸an sinyaller istek sinyalinden çok daha güçlüyse, bu durumda tek bas¸ına geri toplama kazancı sinyalin güvenilir bir s¸ekilde kodçözümüne yetmez. Karıs¸tırıcı istasyonlarının alıcıya vericiden çok daha yakın olması ya da gönderilen sinyalin iletim sürecinde sönümlenmesi bu duruma örnek olus¸turur. Dolayısıyla yayılı izge haberles¸mesinde alıcı performansını artırmak ve bit hata oranını azaltmak

için uyarlanır filtreleme ve zaman-frekans analizi gibi karıs¸ma çıkarıcı teknikler kullanılmaktadır [1–3]. Bu konuda [1]’de KSFD, [2]’de ise Wigner daˇgılımı (WD) kullanılarak duraˇgan olmayan boˇgucu çörp sinyal-lerinin çıkarımı yapılmıs¸tır. Ç örp sinyalleri anlık dar bantlı ama zaman içinde genis¸ bantlı oldukları için karıs¸ma çıkarıcı tekniklerde boˇgucu sinyal karakteristiklerinin zaman-frekans analiziyle belirlenmesi avantajlıdır.

Her iki karıs¸ma çıkarım tekniˇginde de zaman-frekans daˇgılımlarına has dezavantajlar sistem performansını et-kiler. Zaman-frekans gösterimleri için önemli bir kriter zaman-frekans düzleminde sinyallerin desteklerinin korun-masıdır. En çok kullanılan zaman-frekans gösterimlerinden olan WD tek biles¸enli sinyaller için bu açıdan en iyi daˇgılımdır. Ancak, WD karesel bir daˇgılım olduˇgu için çok biles¸enli sinyallerde olus¸an çapraz terimler istenmeyen parazit yankılar olus¸turur. Dolayısıyla bu s¸ekilde sinyalin desteˇgine ait bilgi de bozulmus¸ olur. Doˇgrusal KSFD ailesi ise çapraz terimler üretmediˇgi için avantajlıdır. Ancak bu kez sinyal biles¸enlerinin düs¸ük zaman-frekans lokalizasy-onuna sahip olması bir handikap olur.

Yakın zamanda KSFD çekirdeˇginin sinyal biles¸enlerinin zaman-frekans düzlemindeki desteklerine etkisi ince-lenerek optimal bir KSFD tanımı önerilmis¸tir [4]. Düs¸ük is¸lem karmas¸ıklıˇgına sahip bu optimal KSFD, tek biles¸enli sinyallerin zaman-bant genis¸liˇgi çarpımını (ZBÇ ) en küçükleyecek s¸ekilde tasarlanmıs¸tır. Bu makalede, genelles¸tirilmis¸ ZBÇ (GZBÇ ) optimal KSFD analizi çoklu sinyallere tas¸ınmakta ve bu analizin çok biles¸enli boˇgucu sinyallerin olduˇgu durumlardaki yayılı izge haberles¸mesi uygulamalarına aktarılabileceˇgi gösterilmektedir.

(2)

2. TEK B˙ILES¸ENL˙I S˙INYALLER ˙IC¸ ˙IN OPT˙IMAL KSFD ANAL˙IZ˙I

Bir x(t) sinyalinin ayrık KSFD’si s¸u s¸ekilde tanımlanır [4]:

KSFD_x(nT, mF ) = x(t)g∗(t− nT )e−2πmF tdt T n x(nT )g∗(nT − nT )e−2πmF nT. (1)

˙Ifadede gec¸en g(.) c¸ekirdek fonksiyonu, n, m, n _tam

sayılar, T ve F ise zaman ve frekanstaki örneklem aralıklarıdır. KSFD, FFT teknikleri kullanılarak ko-laylıkla hesaplanabilir. KSFD için zaman-frekans düzle-mindeki sinyal lokalizasyon özelliklerini g(t) fonksiyonu-nun seçimi belirler. T_xve B_xx(t) sinyalinin zaman ve bant

genis¸likleri olmak üzere, minimum ZBÇ ’yi veren çekirdek fonksiyonunun gT BP(t) = e−πt2Bx/Tx olduˇgu [5]’de gösterilmis¸tir. Bir çörp sinyali için S¸ekil 2-(a)’da çekirdek fonksiyonu 0. derece Hermite-Gauss (g(t) = e−πt2) olan, (b)’de ise ZBÇ optimal KSFD çekirdeˇgi olan iki KSFD kars¸ılas¸tırılmaktadır. S¸ekilde de görüldüˇgü gibi ZBÇ op-timal KSFD, zaman-frekans düzleminde çok daha lokalize sonuçlar üretir. −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1 time Re{x(t)}

S¸ekil 1: Bir c¸¨orp sinyali.

0.5 1 1.5 time frequency (a) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 0 0.5 1 1.5 2 time frequency (b) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

S¸ekil 2: (a) g(t) = e−πt2 ve (b) ZBC¸ opti-mal KSFD c¸ekirdeˇgi kullanılarak hesaplanmıs¸ iki KSFD kars¸ılas¸tırımı.

Ancak özellikle karesel FM sinyalleri söz konusu olduˇgunda sinyalleri zaman-frekans düzleminde sınırlayan dikdörtgensel bölge, S¸ekil 3’de gösterildiˇgi gibi sinyalin kendi desteˇginden çok daha büyük bir alanı kapsayabilir.

Bu durum için sinyalin desteˇgini daha dar bir alanda hesaplayacak bir genelles¸tirilmis¸ ZBÇ (GZBÇ ) tanımı

GTBP{x(t)} = min

0≤a<4 TBP{xa(t)} (2)

ortaya konulmus¸tur [4]. Bu tanım zaman-frekans düzle-minde sinyal desteˇgini kapsayan en dar dikdörtgenin alanını verir ve destek konusunda ZBÇ ’den çok daha lokalize bir destek bilgisi tas¸ır. Tanımda gecen, x_a(t), x(t) sinyalinin a. derece kesirli Fourier dönüs¸ümüdür (KFD) ve

a∈ , 0 < |a| < 2 ic¸in tanımı x_a(t) ≡ {Fax}(t) =

B_a(t, t)x(t)dt (3) s¸eklindedir. Dönüs¸üm çekirdeˇgi Ba(t, t)

B_a(t, t) = e

−j(πsgn(sin φ)/4+φ/2)

| sin φ|1/2

× ejπ(t2_{cot φ−2tt}_{csc φ+t}2_{cot φ)}

. (4)

olarak tanımlanır [6]. Burada dönüs¸üm açısı φ = aπ₂ ’dir. 1. dereceden KFD fonksiyonu Fourier dönüs¸ümünü ve 0. dereceden KFD ise kendisini verir. KFD, O(N log N ) is¸lem yoˇgunluˇguyla x(t)’nin örneklemleri kullanılarak yaklas¸ık olarak hesaplanmaktadır [6].

f

t

f

t

φ0

S¸ekil 3: ZBÇ sinyal desteklerinden daha büyük bir alana is¸aret edebilir. GZBÇ zaman-frekans düzleminde sinyal desteˇgini kapsayan en dar dikdörtgenin alanını verir.

Tek biles¸enli sinyaller için ZBÇ optimal KSFD’den yola çıkarak GZBÇ optimal KSFD analitik olarak elde edilmis¸ ve is¸lem karmas¸ıklıˇgının normal KSFD ile es¸deˇger olduˇgu [4]’de gösterilmis¸tir. Buna göre GZBÇ optimal Dx(nT, mF ) daˇgılımı normal bir KSFD gibidir:

D_x(t, f) = e−πψ

x(t) g_{GT BP}∗ (t− nT ) ·e−2πmF t

dt (5)

ve ifadedeki ψ = (t2 − f2) sin φ0cos φ0+ 2tf sin2φ0, optimal c¸ekirdek fonksiyonu

(3)

s¸eklindedir. Ayrıca, K =(1 +  cot φ0)/(γ +  cot φ0)

ve γ = B_x_a0/T_x_a0’dir. Bu daˇgılımın hesaplan-masında ZBC¸ ’yi minimize eden KFD parametresi

a₀ ve dönüs¸türülmüs¸ sinyalin bulunduˇgu bölgedeki genis¸lik bilgilerine ihtiyaç vardır. GZBÇ optimal KSFD’nin açık ifadesinin (5)’deki s¸ekliyle yazılması is¸lem karmas¸ıklıˇgını azaltır ve KFD parametresi olan a₀’in belirlenmesi hariç normal KSFD ile es¸deˇger olur.

3. Ç OK B˙ILES¸ENL˙I S˙INYALLER ˙IÇ ˙IN GZBÇ OPT˙IMAL KSFD ANAL˙IZ˙I

Bu bölümde GZBÇ optimal KSFD analizi x(t) = _N

k=1xk(t) formunda ve her bir xk(t) biles¸eni

kaydırılmıs¸ veya ölçeklenmis¸ Gauss, çörp ya da her-hangi yüksek dereceli frekansta kiplenmis¸ olan sinyallere genelles¸tirilmektedir. Ç ok biles¸enli sinyallerde iyi lokalize olmus¸ zaman-frekans gösterimleri elde etmek için önce-likle her bir biles¸enin düzlem üzerindeki yönelimi ve ilgili KFD bölgesindeki parametreleri belirlenir. Her bir biles¸enin optimal KSFD hesabının ardından da daˇgılımlar tümles¸tirilir. Bölüm 3.1’de sinyale baˇglı parametrelerin tespit süreçleri açıklanmakta ve bu gösterimlerin tümles¸im algoritması Bölüm 3.2’de verilmektedir.

3.1. Sinyale Baˇglı Deˇgis¸kenlerin Belirlenmesi

Her bir sinyal biles¸eninin optimal KFD parametresi olan

ak’nın biles¸enlerin y¨onelim ac¸ılarına olan ilis¸kisi φk =

a_kπ₂ s¸eklindedir. Bu çalıs¸mada yönelim açılarını be-lirlemek için deˇgis¸ik KFD derece parametreleriyle KFD deˇgerleri hesaplanmakta ve maksimum noktaların genlik bilgisinin ait olduˇgu açı deˇgeri seçilmektedir. Bu teknik, bir sinyalin Radon-Wigner dönüs¸ümü (RWD) ile KFD dönüs¸ümü arasındaki ilis¸kiyi esas alır [7]. Buna göre bir

x(t) sinyalinin RWD’si x(t)’nin WD’si olarak

tanımlan-maktadır:

RDN [Wx](r, φ) =

Wx(r cos φ−s sin φ, r sin φ+s cos φ)ds .

(7)

Burada (r, φ) kutupsal dönüs¸üm bölgesi deˇgis¸kenlerini temsil eder. RWD, 0 ≤ φ ≤ π aralıˇgındaki WD’nin izdüs¸ümlerini verir ve RDN [W_x](r, φ)’e de denk olan radyal dilimleri doˇgrudan x(t) kullanılarak

RDN[W_x](r, φ) = |{Fa(x)}(r)|2

= |xa(r)|2 (8) s¸eklinde hesaplanır. ˙Ifadede geçen RDN[W_x](r, φ), WD’nin (7)’de verilen φ-Radon izdüs¸ümüdür ve x_a(r), (3)’deki tanımıyla sinyalin a. derece KFD’sidir. Böyle-likle deˇgis¸en a dereceleri için hesaplanan|x_a(r)|2 fonksiy-onlarının deˇgerlerinin maksimum noktası sinyal destek-lerinin yönelimini gürbüz bir s¸ekilde verir [4]. Benzer s¸ekilde çok biles¸enli sinyallerdeki yönelim açılarının tespiti de kayan bir pencere yardımıyla otomatik olarak yapıla-bilmektedir. Pratikte sinyalin 10 ile 30 kadar farklı deˇgerde KFD hesaplamasının yapılması yeterlidir.

Bu teknik S¸ekil 4 ’de gösterilen iki biles¸enli ve sinyal gürültü oranı 5 dB olan Gauss gürültüsü içine gömülü bir sinyal üzerinde uygulanmıs¸tır. Bu sinyalin 0. derece Hermite-Gauss çekirdek fonksiyonuyla hesap-lanan KSFD’si yanda gösterilmektedir. S¸ekil 5 ’teki gibi KFD kullanılarak yapılan izdüs¸üm analizi sonucu sinyal biles¸enlerinin yönelim açılarının φ = 15◦ ve φ = 60◦ olduˇgu otomatik olarak belirlenmektedir.

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −0.5 0 0.5 1 time x(t) time frequency (b) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 0.5 1 1.5 2 2.5

S¸ekil 4: Sinyal gürültü oranı 5 dB olan Gauss gürültüsü içine gömülü bir sinyal ve KSFD’si.

−901 −60 −30 0 30 60 90 1.5 2 2.5 3 φ − π/2

Peak amplitude of the FrFT

(c)

S¸ekil 5: KFD kullanılarak yapılan izdüs¸üm analizi sonucu sinyal biles¸enlerinin yönelim açılarının φ = 15◦ ve φ = 60◦_{olduˇgu otomatik olarak belirlenmektedir.}

3.2. T ¨umles¸im Algoritması

Her bir sinyal biles¸eni için 1≤ k ≤ N arasında N yönelim açısı belirlenmesinden ve ilgili bölgedeki parametrelerin kestiriminin ardından N tane GZBC¸ optimal KSFD, (5) kullanılarak hesaplanır. Aynı örnek simülasyon için hesap-lanan optimal KSFD’ler S¸ekil 6’da gösterilmis¸tir.

GZBÇ optimal KSFD’lerin tümles¸imi uygulamaya baˇglı olarak deˇgis¸ebilir. Eˇger yayılı izge haberles¸me uygulamasında karıs¸tırıcı sinyal biles¸enleri birbirine yakın deˇgerde enerjiye sahipse, es¸ikleme yaparak boˇgucu sinyallerin desteklerinin belirlenmesi mümkündür. Ay-nı örne=kte, maksimum sinyal deˇgerinin %10’u olarak be-lirlenen bir es¸ik deˇger, S¸ekil 6 ’da gösterilen KSFD’ler için S¸ekil 7 ’deki destek imgelerini üretir. ˙Iki destek im-gesi üzerinden yapılan bir ”ve” is¸lemi sinyaller için iyi lokalize bir destek bilgisini S¸ekil 8 ’deki gibi verir. Bu is¸lemlerin ardından elde edilen desteklere, ilgili sinyal biles¸eninin KSFD daˇgılımı es¸les¸tirilerek S¸ekil 8 (b)’deki

(4)

time frequency (a) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 7 time frequency (b) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6

S¸ekil 6: Her bir sinyal biles¸enine ilis¸kin GZBC¸ optimal KSFD.

sonuç uyarlanır KSFD gösterimine ulas¸ılır. Alternatif ola-rak su bölüm çizgisi bölütleme algoritmaları kullanaola-rak da her bir sinyal biles¸eninin desteˇgi belirlenebilir [8].

time frequency (a) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 time frequency (b) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

S¸ekil 7: Es¸ikleme sonucu elde edilen sinyal destek bilgileri.

time frequency (a) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 time frequency (b) −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

S¸ekil 8: Desteklerin t¨umles¸tirimi ve ilgili KSFD’lerle es¸les¸tirim.

Sonuç olarak S¸ekil 4’deki KSFD ile kars¸ılas¸tırıldıˇgında her bir sinyal biles¸eninin zaman-frekans düzlemindeki lokalizasyonunun çok daha iyiles¸tiˇgi görülmektedir. Yayılı izge haberles¸me uygulamalarında ise karıs¸ma çıkarıcılar tasarlanırken yüksek enerjili boˇgucu sinyal destekleri çıkarılır ve geri kalan zaman-frekans içeriˇgi bilgisinden de sinyal geri çatılır.

4. SONUC¸

Bu makalede, tüm kesirli Fourier bölgelerindeki minimum ZBÇ ’lere dayalı, tek biles¸enli sinyaller icin gelis¸tirilmis¸ olan optimal KSFD uygulaması çok biles¸enli sinyallere genis¸letilmis¸ ve yayılı izge haberles¸me uygulamaları için önerilmis¸tir. Ç ok biles¸enli sinyaller için tanıtılan bu

uyarlanır iki boyutlu sinyal gösterimi, zaman-frekans düzleminde çapraz terimleri olmayan ve iyi lokalize olmus¸ sinyal destek bilgilerini üretir. S¸imdiye kadar öne sürülmüs¸ olan KSFD tabanlı karıs¸ım çıkarıcı algo-ritmalarıyla kars¸ılas¸tırıldıˇgında, bu teknik düs¸ük is¸lem karmas¸ıklıˇgına sahiptir ve WD tabanlı tekniklere göre gürbüz sonuçlar üretır. Ç ok biles¸enli boˇgucu sinyallerin olduˇgu ortamlarda karıs¸ma çıkarıcı algoritmalarında uygu-lanması avantajlıdır.

Tes¸ekk ¨ur

Brain Korea 21 Project kapsamında bu c¸alıs¸ma-yı destekleyen School of Information Technology, KAIST’e tes¸ekk¨ur ederiz.

5. KAYNAKC¸ A

[1] X. Ouyang and M. G. Amin, “Short-time Fourier trans-form receiver for nonstationary interference excision in direct sequence spread spectrum communications,”

IEEE Trans. Signal Process., vol. 49, pp. 851–863,

Apr. 2001.

[2] M. G. Amin, “Interference mitigation in spread spec-trum communication systems using time-frequency distributions,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 45, pp. 90–101, Jan. 1997.

[3] J. Yuan and J. Lee, “Narrow-band interference re-jection in DS/CDMA systems using adaptive (QRD-LSL)-Based Nonlinear ACM Interpolators,” IEEE Trans. Vehicular Tech., vol. 52, pp. 374–379, May

2003.

[4] L. Durak and O. Arıkan, “Short-time Fourier Trans-form: Two fundamental properties and an optimal im-plementation,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 51, pp. 1231–1242, May 2003.

[5] L. Durak and O. Arıkan, “Generalized time-bandwidth product optimal short-time Fourier transformation,”

Proc. IEEE Int. Conf. Acoust. Speech, Signal Process.,

Orlando, USA, vol. 2, pp. 1465–1468, May 2002. [6] H. M. Ozaktas, O. Arıkan, M. A. Kutay, and

G. Bozdagi, “Digital computation of the fractional Fourier transform,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 44, pp. 2141–2150, Sept. 1996.

[7] A. W. Lohmann and B. H. Soffer, “Relationships be-tween the Radon–Wigner and fractional Fourier trans-forms,” J. Opt. Soc. Am. A, vol. 11, pp. 1798–1801, June 1994.

[8] L. Vincent and P. Soille, “Watersheds in digital spaces: An efficient algorithm based on immersion simula-tions,” IEEE Trans. Pattern Analysis, Machine