DÜZLEMSEL ÜÇ İNDİSLİ DAĞITIM PROBLEMİNİN FORMÜLASYONU VE EŞDEĞER ÖZELLİKLERİ

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 3 Sayı: 2 sh. 51-57 Mayıs 2001

DÜZLEMSEL ÜÇ İNDİSLİ DAĞITIM PROBLEMİNİN

FORMÜLASYONU VE EŞDEĞER ÖZELLİKLERİ

(THE FORMULATION AND EQUIVALENT

CHARACTERIZATIONS OF THE PLANAR THREE INDEX

TRANSPORTATION PROBLEM )

Mustafa ÖZEL*

ÖZET/ABSTRACT

Bu çalışmada, m çıkışlı, n depolu ve p varışlı düzlemsel üç indisli dağıtım probleminin formülasyonu ve eşdeğer formülasyonları incelenmiştir. Problem ve eşdeğer problemlerin cebirsel özellikleri, katsayılar matrisinin genelleştirilmiş tersleri kullanılarak verilmiştir. Problem ve eşdeğer problemlerin ortak cebirsel özelliklere sahip oldukları görülmüştür.

In this paper, we investigate the equivalent formulations of the planar three index transportation problem, of order mxnxp, using the generalized inverse of its coefficient matrix, and give relations between the equivalent problems. It is then shown that the problem and its equivalent problems have common algebraic characterizations.

ANAHTAR KELİMELER/KEYWORDS

Dağıtım problemi, Doğrusal programlama problemi, Genelleştirilmiş tersler Transportation problem, Linear programming problem, Generalized inverses

1. GİRİŞ

Düzlemsel üç indisli dağıtım problemi, Hitchcock-Koopmans dağıtım probleminin bir genellemesidir(Bulut, 1998; Korsnikov, 1989, Vlach, 1986). Bu problem, ilk kez Hitchcock tarafından ortaya atılmış, Koopmans tarafında ayrıntılı olarak ele alınmış ve Dantzig tarafından Simplex yöntemine uygulanmıştır. Daha sonraları, Vlach tarafından çözümlerinin varlık koşulları ve Korsnikov tarafından da boyutu ile ilgili çalışmalar verilmiştir.

Bu çalışmada, düzlemsel üç indisli dağıtım problemi özel bir doğrusal programlama problemi olarak formüle edilerek eşdeğer formülasyonları verilecektir. Problemin çözümü ve bazı özellikleri, eşdeğer formülasyonun ATA _{katsayılar matrisinin özdeğer ve özvektörleri} cinsinden incelenecektir.

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Bu bölümde problemin eşdeğer formülasyonlarının elde edilmesinde kullanacağımız bazı temel tanım ve teoremleri vereceğiz.

A=[aij] , mxn ve B=[bij] , pxq matris olsun. mpxnq

A⊗B=[Abij] (1)

matrisine A ve B nin Kronecker çarpımı denir. mnxmn

A⊕B=A⊗In+Im⊗B (2)

matrisine de A ve B nin Kronecker toplamı denir. Burada, A ve B sırasıyla mxm ve nxn matrislerdir (Ben-Israel vd., 1974; Graybill, 1969).

Teorem 2.1 A mxm matrisinin λ_i özdeğerlerine karşılık gelen özvektörler x ve B nxn _i matrisinin µ_j özdeğerlerine karşılık gelen özvektörler y ise _j

) y x ( ) y x B)( (A⊗ _i⊗ _j =λ_iµ_{j i}⊗ _j (3)

(

)

(x y ) ) y x B)( (A⊕ _i⊗ _j = λ_i + µ_{j i}⊗ _j (4) dir (Brewer, 1978).

Fen ve Mühendislik Dergisi Cilt : 3 Sayı : 2 Sayfa No: 53 Teorem 2.2 A=[B,C] olsun. A nın genelleştirilmiş tersinin

        + − = + ₊ + ₊ + ₊ + + B KC N B CKC B B A _* * _* * ) (B ) (B ₍₅₎

olması için gerek ve yeter koşul

0 ) (B * * + + ₌ +_{NC B C} N (6) dir. Burada

(

_{* *}

)

1 ) (B K ve )C BB -(I + = + + + − = I C B C N (7)

dir (Bulut, 1998; Bulut, 1991).

Teorem 2.3 A kxk matrisi A=(a-b)I+bJ olsun. A nın tersi

(

)

      − + − − = − _J b k a b I b a A 1 1 1 ₍₈₎

dir. Burada a ≠ b ve a ≠ –(k–1)b ve J tüm elemanları 1 olan kxk matristir (Graybill, 1969).

3. PROBLEMİN FORMÜLASYONU

Bu bölümde, m çıkışlı (factories), n depolu (warehouses) ve p varışlı (wholesale outlets) düzlemsel üç indisli dağıtım problemini inceleyeceğiz.

Varsayalım ki, çıkışlar, depolar ve varışlar sırası ile

{

S S S_m

}

S = ₁, ₂,_L, ,D=

{

D₁,D₂,_L, D_n

}

ve P=

{

P₁,P₂,_L, P_p

}

kümeleri ile verilsin ve

) , , , (SxD SxP DxP SxDxP G= (9)

ağı (network) tanımlansın. Bu, geometrik olarak; kenarları S, D ve P ve yüzeyleri SxD, SxP ve DxP olan kübik bir yapı gösterir (Bulut, 1998; Korsnikov, 1989; Vlach, 1986). Bu ağda (network) ikili çarpımlar, ağın tepelerini (nodes) ve üçlü çarpım ise, ağın ayrıntılarını (arcs) ifade eder. Eğer S den _i D_j ye ve oradan P ya yapılan göndermeleri _k x_ijk, bir birim göndermenin taşıma maliyetlerini c_ijk ve ayrıtların kapasitelerini

0 )

(S_ixD_j =a_ij >

k , k(S_ixP_k)=a_ij =b_ik >0 , k(D_jxP_k)=h_jk >0 (10) ile tanımlarsak; üç indisli dağıtım problemini Eşitlik 9 biçiminde özel bir ağ akışı olarak formüle edebiliriz. Bu şekilde tanımlanan Eşitlik 9 ağına, düzlemsel üç indisli dağıtım problemi denir.

Eşitlik 9 ağını doğrusal programlama problemi olarak formüle edebiliriz. Bunun için

] , , , [ _{111 112 mnp} T _{x x x} L = x , _cT [c_111,c_{112, ,}c_mnp] L =

[

a ,a , ,a

]

a_iT = _{i1 i2 L in} , i =_{1 L},2, ,m

[

i i ip

]

T i b ,b , ,b b = _{1 2 L} , i=_{1 L},2, ,m

[

j j jp

]

T j h ,h , ,h h = _{1 2 L} , j=_{1 L},2, ,n ] a , , a , a [ aT = ₁T ₂T _{L m}T , bT = [b₁T,b₂T,_L,b_mT] , hT = [h₁T,h₂T,_L,h_nT ] ] , , [ T _aT _bT _hT β = vektörleri ile             ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ = T m n p m T n p m n T p I I I I I I A 1 1 1 (11)

matrisini ele alalım. Burada, mnp−(m−1)(n−1)(p−1) ranklı mnp(mn+mp+np)x A matrisi Eşitlik 9 ağ akışı probleminin bağlantı matrisi ve 1 tüm elemanları 1 olan 1xm T_m matrisdir.Böylece, Eşitlik 9’da verilen düzlemsel üç indisli dağıtım problemini

{

cTx|Ax=β, 1T_nma=1T_mpb=1T_nph, x≥0

}

Min (12)

Fen ve Mühendislik Dergisi Cilt : 3 Sayı : 2 Sayfa No: 55 Eşitlik 12, üç indisli düzlemsel dağıtım problemidir. A katsayılar matrisi özel bir matristir. Eğer, A matrisini,         ⊗ ⊗ = M I I A p nm T p 1 ,         ⊗ ⊗ = _T m n m T n I I M 1 1 ₍₁₃₎

biçiminde yazarsak, Eşitlik 12 probleminin m çıkış ve n varışlı bir dağıtım problemine bağlı olarak incelenebileceği ortaya çıkar.

Dikkat edilirse; m+n-1 ranklı mn(m+n)x M matrisi, m çıkış ve n varışlı bir dağıtım probleminin katsayılar matrisi ve

) , , ( 0 S D S D G = ×

ağının köşe-ayrıt bağlantı matrisidir (Bulut, 1990).

3. PROBLEMİN EŞDEĞER FORMÜLASYONLARI

Eşitlik 12 problemi özel bir doğrusal programlama problemidir. Bu problemi, β

x T

T _{A A}

A = ve A+Ax= A+β denklemlerinin eşdeğer özelliklerini kullanarak inceleyebiliriz.

Şimdi, Eşitlik 11 ve 13’de verilen A ve M matrislerini kullanarak ATA ve M MT matrislerini bulalım. m n p m n p m n p m n p T_{A J I I I J I I I J J J J} A = ⊗ ⊗ + ⊗ ⊗ + ⊗ ⊗ = ⊕ ⊕ (14) m n m n m n T_{M J I I J J J} M = ⊗ + ⊗ = ⊕ (15)

Bu sonuçlar, problemin J ,_p J_n ve J_m matrislerinin özellikleriyle incelenebileceğini ortaya koyar. Aşağıdaki teorem, ATA matrisinin özdeğerlerinin J ,_p J_n ve J_m matrislerinin özdeğerlerine bağlı olarak hesaplandığını göstermektedir. Teorem 2.1’i kullanarak

) -m (n ) -(m ) -(n ) -(p ) det(ATA− Iλ =λ(p-1)(n-1)(m-1) λ (n-1)(m-1) λ (p-1)(m-1) λ (p-1)(n-1) + λ (p-1) 0 ) -m n (p ) -n (p ) -m (p+ λ (n-1) + λ (m-1) + + λ = (16) elde edilir.

Eğer z_k,y_j ve x_i , sırası ile J ,_p J_n ve J_m matrislerinin özvektörleri ise, ATA nın özvektörlerinin i j k t z y x v = ⊗ ⊗ (17)

olduğu görülür. Burada, J ,_p J_n ve J_m matrislerinin özdenklemleri, sırası ile

0 ) ( ) det(J_p −γ I_p =γ p−1 p−γ = 0 ) ( ) det(J_n −βI_n =βn−1 n−β = 0 ) ( ) det(J_m −αI_m =αm−1 m−α = olarak hesap edilir.

β x=

A denklemi, AT Ax= ATβ denklemine eşdeğerdir. Eşitlik 14 kullanılarak

{

c x| (J ⊕J ⊕J )x=(1 ⊗1 ) a + b (1 ⊗1 ) +(h⊗1 ) 1 ,x≥0

}

Min T _{p n m p m o o n m m o m} (18)

elde edilir. Bu, Eşitlik 14 problemine eşdeğerdir, burada, _o Rao çarpımdır. Şimdi de A+ matrisini hesap edelim. Teorem 2.2 ve 2.3 ü kullanarak

A+=

(

)

[

1

{

(

)

(

) (

(

)

(

)

)

}

, 1 2 _{p n m} p p p n m Inm Jn Jm p n m Inm Jn Jm p + + ⊗ + + − ⊕ + + − ⊕

(

_n1 _m

)

(

J pI

)

1

(

J

(

n m

)

Im

)

_{p n}1 _mJ 1

(

J

(

p m

)

Im

)

, pn + p − p ⊗ n ⊗ m − + − + + p ⊗ n m − +

(

_n1 _m

)

(

Jp pIp

)

(

Jn

(

n m

)

In

)

1m _{p n}1 _mJp

(

Jn

(

p n

)

In

)

1m] pm + − ⊗ − + ⊗ − + + ⊗ − + ⊗ (19) ve dolayısıyla m n p J J J mnp A A+ = 1 ⊗ ⊗ (20)

Fen ve Mühendislik Dergisi Cilt : 3 Sayı : 2 Sayfa No: 57 elde edilir. Bu sonuç da, Eşitlik 12 probleminin A+A matrisinin özdeğer ve özvektörleriyle incelenebileceğini göstermektedir. Böylece

yazılır. Bu problem de, Eşitlik 12 ile verilen probleme eşdeğerdir.

Bu sonuç, düzlemsel üç indisli dağıtım probleminin, Jp, Jn ve Jm matrisleriyle

incelenebileceğini, problemin çözümünün bu matrislerinin özdeğer ve özvektörlerine bağlı olarak elde edilebileceğini ve problem ile eşdeğer problemlerin ortak cebirsel özelliklere sahip olduklarını göstermektedir.

KAYNAKLAR

Ben-Israel A., Grenville T.N.E. (1974): “Generalized inverses: theory and applications”, J.Wiley, New York.

Brewer J.M. (1978): “Kronecker Products and Matrix Calculus in System Theory”, IEEE Tran. on Circuits and Systems, Vol cas-25, no.9, 772-781.

Bulut H. (1991): “Algebriac Characterizations of the Singular Value Decompositions in the Transportation problem”, J. Math. Anal. Appl., 154, 13-21.

Bulut S.A. (1998): “Construction and Algebraic Characterizations of the Planar and Axial Transportation Problems, J. Math. Anal. Appl., 220, 535-552.

Graybill F.A. (1969): “Introduction to matrices with applications in statistics”, Wadsworth, Belmont, Calif.

Korsnikov A.D., Burkard R.E. (1989): “On the Dimension of Polytopes of Planar Three-Index Transportation Problems, Optimization 20, 1 , 107-116.

Vlach M. (1986): “Conditions for the Existence of Solutions of the Three-Dimensional Planar Transportation Problem, Discrete Applied Mathematics 13, 61-78.

(

)

{

cTx |J_p ⊗ J_n ⊗J_m x =pnm A+ β ,x ≥ 0

}

(21) Min