• Sonuç bulunamadı

Burkulma Esnasındaki Dış Yük Davranışının Hesaba Katıldığı Değişken Kesitli Dairesel Çubukların Taşıma Matrisi Yardımıyla Düzlem İçi Burkulma Yükü Hesabı

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Burkulma Esnasındaki Dış Yük Davranışının Hesaba Katıldığı Değişken Kesitli Dairesel Çubukların Taşıma Matrisi Yardımıyla Düzlem İçi Burkulma Yükü Hesabı"

Copied!
77
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ  FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BURKULMA ESNASINDAKİ DIŞ YÜK DAVRANIŞININ HESABA KATILDIĞI DEĞİŞKEN KESİTLİ DAİRESEL ÇUBUKLARIN TAŞIMA MATRİSİ

YÖNTEMİYLE DÜZLEM İÇİ BURKULMA YÜKÜ HESABI

YÜKSEK LİSANS TEZİ İnş. Müh. Özgür ÖZÇIKRIKÇI

Anabilim Dalı : İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ Programı : YAPI MÜHENDİSLİĞİ

(2)

ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ  FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

BURKULMA ESNASINDAKĠ DIġ YÜK DAVRANIġININ HESABA KATILDIĞI DEĞĠġKEN KESĠTLĠ DAĠRESEL ÇUBUKLARIN TAġIMA MATRĠSĠ

YÖNTEMĠYLE DÜZLEM ĠÇĠ BURKULMA YÜKÜ HESABI

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠnĢ. Müh. Özgür ÖZÇIKRIKÇI

(501001220)

HAZĠRAN 2003

Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 5 Mayıs 2003 Tezin Savunulduğu Tarih : 29 Mayıs 2003

Tez DanıĢmanı : Prof.Dr. Reha ARTAN

Diğer Jüri Üyeleri Prof.Dr. Necla KADIOĞLU (Ġ.T.Ü.) Prof.Dr. Faruk YÜKSELER (Y.Ü.)

(3)

ÖNSÖZ

Tez çalışmam süresince, araştırma konusunun ve kapsamının oluşturulmasında beni yönlendiren ve sürekli destek veren hocam Sayın Prof. Dr. Reha ARTAN’a şükranlarımı sunarım. Ayrıca bu tezin hazırlanması süresince, çizimleri yapan Tuncay ACAR ve İnş. Müh. Nesrin TARLACI’ya, yüksek lisans yapmama önayak olan ve gerekli bütün olanakları sağlayan Yük. Müh. Göncer AYALP’e ve GAMB Müh. Müş. Ltd. Şti. çalışanlarına sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

(4)

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ii TABLO LİSTESİ iv ŞEKİL LİSTESİ v SEMBOL LİSTESİ vi ÖZET vii SUMMARY ix 1. GİRİŞ 1

1.1. Giriş ve Çalışmanın Amacı 1

2. KABULLER VE TEMEL DENKLEMLER 2

2.1. Kabuller 2

2.2. Genel Esaslar 2

2.2.1. Dış Yüklerin Davranışı 4

2.2.2. Burkulma Yükünün Elde Edilişi 6

2.3. Uniform Radyal Yüke Maruz Dairesel Çubuk İçin Temel Denklemler 8 2.3.1. Dış Yüklerin Çubuk Eksenine Dik Kalması 9 2.3.2. Dış Yüklerin İlk Doğrultularına Paralel Kalması 10

3. SABİT KESİTLİ ÇUBUKLAR İÇİN TAŞIMA MATRİSİNİN ELDE

EDİLMESİ 11

3.1. Dış Yüklerin Çubuk Eksenine Dik Kalması Durumu İçin Taşıma Matrisi 11 3.2. Dış Yüklerin İlk Doğrultularına Paralel Kalması Durumu İçin Taşıma

Matrisi 13

4. YAKLAŞIK YÖNTEM İLE TAŞIMA MATRİSİNİN ELDE EDİLMESİ 15

4.1. Dış Yüklerin Çubuk Eksenine Dik Kalması İçin Yaklaşık Taşıma Matrisi 17 4.2. Dış Yüklerin İlk Doğrultularına Paralel Kalması İçin Yaklaşık Taşıma

Matrisi 24

5. YAKLAŞIK YÖNTEMİN DEĞİŞKEN KESİTLİ RADYAL YÜKLÜ

DAİRESEL KEMERLERE UYGULANMASI 27

5.1. Dış Yüklerin Çubuk Eksenine Dik Kalması İçin Burkulma Yükü 30 5.2. Dış Yüklerin İlk Doğrultularına Paralel Kalması İçin Burkulma Yükü 37

6. BURKULMA YÜKÜNÜ HESAPLAYAN PROGRAM 39

7. SONUÇ 42

(5)
(6)

TABLO LİSTESİ

Sayfa No

Tablo 4.1 Burkulma katsayıları - Timoshenko... 23

Tablo 4.2 Burkulma katsayıları - Özbek ... 23

Tablo 4.3 Burkulma katsayıları - Yaklaşık yöntem ile bulunan... 24 Tablo 5.1 İki ucu mafsallı ve değişken kesitli kemer için burkulma

katsayıları... 34

Tablo 5.2 İki ucu ankastre ve değişken kesitli kemer için burkulma

katsayıları... 35

Tablo 5.3 Tip 1 – Tip 3 kemerleri için burkulma katsayıları... 36

Tablo 5.4 Tip 2 – Tip 4 kemerleri için burkulma katsayıları... 36

Tablo 5.5 İki ucu mafsallı ve değişken kesitli kemer için burkulma

katsayıları... 37

Tablo 5.6 İki ucu ankastre ve değişken kesitli kemer için burkulma

(7)
(8)

ŞEKİL LİSTESİ Sayfa No Şekil 2.1 Şekil 2.2 Şekil 2.3 Şekil 3.1 Şekil 4.1 Şekil 4.2 Şekil 4.3 Şekil 4.4 Şekil 4.5 Şekil 4.6 Şekil 4.7 Şekil 4.8 Şekil 4.9 Şekil 4.10 Şekil 5.1 Şekil 5.2 Şekil 5.3 Şekil 5.4 Şekil 5.5 Şekil 5.6 Şekil 5.7 Şekil 5.8 Şekil 5.9 Şekil 6.1 Şekil 6.2 Şekil 6.3 Şekil 6.4 Şekil 6.5

: Burkulmuş çubuk üzerindeki dış yükler...3

: Radyal yüklü dairesel çubuk...8

: Dış yüklerin burkulma anındaki durumu...9

: Taşıma matrisi...13

: Elde edilen yaklaşık taşıma matrisi...20

: Bölüm 3.1’de anlatılan yöntemle elde edilen taşıma matrisi...20

: Farklı yöntemlerle elde edilen iki matris arasındaki fark...20

: Belirli lamda değerleri için hesaplanan determinant değerleri...21

: Lamda değerleri...22

: Daha küçük aralıklı lamda değerleri için hesaplanan determinant değerleri...22

: Lamda değerleri...23

: Elde edilen yaklaşık taşıma matrisi...26

: Bölüm 3.2’de anlatılan yöntemle elde edilen taşıma matrisi...26

: Farklı yöntemlerle elde edilen iki matris arasındaki fark...26

: Radyal yüklü dairesel iki ucu mafsallı çubuk...27

: Tip 1 Perspektif ve plan...28

: Tip 2 Perspektif ve plan...29

: Belirli lamda değerleri için hesaplanan determinant değerleri...32

: Lamda değerleri...33

: Daha küçük aralıklı lamda değerleri için hesaplanan determinant değerleri...33

: Lamda değerleri...33

: Radyal yüklü dairesel iki ucu ankastre çubuk...34

: Sabit kesitli kemer (Tİp 3, Tip 4)...36

: Diferansiyel geçiş matrisinin programa giriliş şekli...39

: Ara taşıma matrisinin oluşturulması...39

: λ değerine bağlı olarak ilgili minörün determinantının hesaplanması..40

: Determinant sonuçlarının tablo haline getirilmesi...41

(9)
(10)

SEMBOL LİSTESİ

Db : Eğilme rijitliği

D :Diferansiyel geçiş matrisi ds : Birim çubuk boyu

F :Taşıma matrisi Mb : Eğilme momenti Mo : Kolon eğilme momenti

mo : Başlangıç konumundaki dış moment M* : Şekil değiştirmiş haldeki moment vektörü m* : Şekil değiştirmiş haldeki dış moment vektörü n : Merkez açısını belirleyen katsayı

po : Başlangıç konumundaki dış kuvvet p* : Şekil değiştirmiş haldeki dış kuvvet R : Yarıçap

To : Başlangıç konumundaki kuvvet vektörü to : Şekil değiştirmemiş çubuktaki teğet vektör T* : Şekil değiştirmiş haldeki kuvvet vektörü t* : Şekil değiştirmiş çubuktaki teğet vektörü Tt : Teğet doğrultusundaki iç kuvvet

Tn : Normal doğrultusundaki iç kuvvet Ut : Teğet doğrultudaki yer değiştirme Un : Normal doğrultudaki yer değiştirme u : İncelenen noktanın yer değiştirme vektörü

: Kesitin dönme vektörü

b : Binormal etrafındaki dönme

: Merkez açı

: Aranan kesitin açısı

: Dış yükleri içeren boyutsuz parametre (2.26) X : Sistem koordinatları (4.16)

(11)

BURKULMA ESNASINDAKİ DIŞ YÜK DAVRANIŞININ HESABA KATILDIĞI DEĞİŞKEN KESİTLİ DAİRESEL ÇUBUKLARIN TAŞIMA MATRİSİ YÖNTEMİYLE DÜZLEM İÇİ BURKULMA YÜKÜ HESABI

ÖZET

Bu çalışmada değişken kesitli, radyal yüklü dairesel çubukların düzlem içi burkulması incelenmiştir. Çalışma 6 bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, tez konusu kısaca açıklanmıştır.

İkinci bölümde, eğri eksenli uzaysal çubukların temel denklemleri verilmiş, çubuğa etkiyen dış yüklerin burkulma sırasındaki konum değişiklikleri incelenmiş ve son olarak dairesel çubukların düzlem içi burkulma yüklerinin hesaplanabilmesi için gerekli olan temel denklemler verilmiştir.

Üçüncü bölümde, bir başlangıç değer yöntemi olan taşıma matrisi metodu kullanılarak sabit kesitli dairesel çubukların düzlem içi burkulma yüklerinin hesaplanabilmesi için gerekli olan taşıma matrisi kapalı bir şekilde elde edilmiştir. Dördüncü bölümde, değişken kesitli dairesel çubukların düzlem içi burkulma yüklerini hesaplayabilmek için Picard iterasyonu kullanılarak yaklaşık bir yöntem oluşturulmuştur. Oluşturulan bu yöntemin sabit kesitli çubuklara uygulanmasıyla elde edilen taşıma matrisleri, üçüncü bölümde kapalı yöntem ile elde edilen taşıma matrisleriyle karşılaştırılarak kontrol edilmiştir. Ayrıca her iki yöntemle sabit kesitler için elde edilen burkulma yüklerinin, literatürdeki kaynaklarda elde edilmiş değerlerle çakıştığı gösterilmiştir.

Beşinci bölümde, bölüm dörtte oluşturulan yaklaşık yöntem kullanılarak aşağıda görülen seçilmiş fonksiyonlar ile tanımlanan değişken kesitli radyal yüklü dairesel çubukların düzlemleri içerisindeki burkulma yükleri elde edilmiş ve bunlar belirli açılar için tablo haline getirilmiştir.

f ( ) 2 Sin(n ) f ( ) 2 Sin(n )

   

   

Yapılan bu işlem bölüm iki de anlatılan dış yüklerin burkulma sonrasındaki konum değişikliklerinden seçilen iki tip için ayrı ayrı yapılmıştır. Sonuçlar karşılaştırıldığında, dış yüklerin bu iki konumu için elde edilen burkulma yüklerinin

(12)

Son bölümde, yukarıda yapılan işlemlerin gerçekleştirildiği Mathematica adındaki matematiksel yazılım programında yazılmış olan program açıklanarak verilmiştir.

(13)

THE CALCULATION OF BUCKLING LOADS OF PLANE CIRCULAR BARS WITH VARIABLE CROSS-SECTION BY USING INITIAL VALUE METHOD CONSIDERING THE BEHAVIOUR OF EXTERNAL LOADS DURING BUCKLING

SUMMARY

In this thesis the buckling of radialy loaded plane circular bars have been studied. This thesis consists of six parts.

In the first part, the subject of the study has been explained briefly.

In the second part, by considering the basic equations for curved space bars, the behaviour of external loads during bukcling and in relation with it the necessary equations to calculate buckling loads of circular plane bars have been examined and results given.

The third part is devoted to obtain the carry-over matrix necessary for the calculation of plain circular bars with constant cross-section by applying initial value method.

In the fourth part, an approximation method has been introduced by using Picard iteration to calculate buckling load of plane circular bars with variable cross-section. The results obtained by applying the developed method to the constant cross-section bars have been controlled by comparing with the carry-over matrixes calculated as in the third part. In addition to that, the buckling loads calculate by both approximation method and the results obtained from the present literature coincides with each other has been shown.

In the fifth section, the buckling loads of radialy loaded plane circular bars which sections are determined by applying the following functions have been calculated by using approximation method explained as in fourth part and a table has been formed for selected angles.

f ( ) 2 Sin(n ) f ( ) 2 Sin(n )

   

   

As it is explained in the second part, two behaviour types of external load during buckling have been selected and above-mentioned method of calculation repeated

(14)

In this thesis, a computer programme is developed by using a software named Mathematica. In the last part, this computer programme has been explained.

(15)

1. GĠRĠġ

1.1 GiriĢ ve ÇalıĢmanın Amacı

Bu çalışmada radyal yüklü dairesel çubukların, kendi düzlemi içerisinde burkulma yükleri, literatürde çok kullanılan kapalı bir yöntemle elde edilen taşıma matrisi yardımıyla hesaplanacaktır. Bu işlem yapılırken dış yüklerin burkulma esnasındaki davranışları iki ayrı durum için göz önünde tutulacaktır. Daha sonra değişken kesitli ve radyal yüklü dairesel çubukların düzlemi içerisindeki burkulma yüklerinin hesaplanabilmesi için yaklaşık bir taşıma matrisi elde edilecektir. Elde edilen bu yaklaşık taşıma matrisi bir önceki adımda kapalı yöntemle elde edilen taşıma matrisiyle sabit kesitli kesitler için karşılaştırılacaktır. Son olarak bu yaklaşık yöntem yardımıyla, yukarıda bahsedilen dış yüklerin davranışları da göz önünde tutularak, değişken kesitli dairesel çubuklarda düzlemi içerisindeki burkulma yükü elde edilecektir.

(16)

2. KABULLER VE TEMEL DENKLEMLER

2.1 Kabuller

 Çubuk malzemesi elastik, homojen ve izotrop kabul edilmektedir. Hook kanunu geçerlidir.

 Çubuk enkesitinin boyutları çubuk boyu ve eğriliği yanında küçük kabul edilmektedir.

 Çubuk merkezinin kayma merkezi ağırlık merkezi ile çakışmaktadır.

 Yükleme sebebiyle çubukta meydana gelecek ilkel deformasyonlar ihmal edilmektedir.

 Normal ve kesme kuvvetinin burkulmaya etkisi ihmal edilecektir.

2.2 Genel Esaslar

Bu çalışmanın konusu düzleminde radyal yüklü dairesel çubukların burkulmasıdır. Bu halin en genel durumu olan 3 boyutlu uzayda herhangi bir uzay eğrisine ait çubuğun genel denklemlerinin çıkarılış yöntemi burada anlatılmayacaktır.[2,3] Ancak, bu çalışma içerisinde dış yüklerin burkulma esnasındaki çeşitli konumları da gözönüne alındığı için genel denklemlerin çıkarılışı esnasında dış yüklerin ne şekilde denklemlere girdiğinden kısaca bahsedilecektir.

Şekil değiştirmemiş durumdaki denge denklemleri [2]: o o o o d x 0 ds    M t T m (2.1)

(17)

o o d 0 ds   T p (2.2)

Burada M0 ve T0 başlangıç konumundaki iç kuvvetler, mo ve po başlangıç konumundaki dış kuvvetler, to da şekil değiştirmemiş çubuk eksenindeki teğet vektörüdür. Şimdi benzer denklemleri burkulmadan sonraki Şekil 2.1 de görüldüğü üzere sonsuz küçük şekil değiştirmiş hal üzerinde yazarsak ve çubuğun boy kısalması ihmal edildiği için dso

=ds*=ds eşitliğini gözönünde tutarsak * * * * d x 0 ds    M t T m (2.3) * * d 0 ds   T p (2.4)

Şekil 2.1 Burkulmuş çubuk üzerindeki dış yükler

Burada M* ve T* şekil değiştirmiş haldeki iç kuvvetler, m* ve p* dış kuvvetler ve t* de şekil değiştirmiş çubuk eksenindeki teğet vektörü, u vektörü incelenen noktanın yerdeğiştirmesi,  vektörü de kesitin dönmesini göstermektedir.

(18)

oluştuğu kabul edilebilir:

1. Başlangıçtaki vektörlerin şiddetlerini değiştirmeden çubuk enkesiti ile birlikte dönmeleri.

2. Dönmüş vektörlerin şiddet ve doğrultuca sonsuz küçük değişmeleri

Herhangi bir A vektörünün dönmesi sonucundaki değeri A+xA olduğu bilinerek

aşağıdaki denklemler yazılabilir.

* o o x   M M + Ω M M (2.5) * o o x  T = T + Ω T T (2.6) * o o x  t = t Ω t (2.7)

(2.5)-(2.7) denklemleri (2.3) ve (2.4) de yerine konursa ve gerekli düzenlemeler yapılırsa [3], aşağıdaki denklemler elde edilir.

o o d x x 0 ds    M ω M + t T m (2.8) o d x 0 ds   T ω T + p (2.9) Burada * o o ( x )    m m m Ω m (2.10) * o o ( x )    p p p Ω p (2.11)

değerlerini göstermekte ve dış yüklerin burkulma sırasındaki davranışları ile ilgili olarak farklı değerler almaktadırlar. Ayrıca  birbirine birim uzaklıktaki iki kesitin relatif dönmesini göstermektedir. Şimdi bunları ayrıntılı olarak inceliyelim.

2.2.1 DıĢ Yüklerin DavranıĢı

(19)

kabul edilmiştir. Bu her zaman bu şekilde meydana gelmediği gibi dış yükler çubuğun çubuk enkesitinin dönmesine katılır veya katılmazlar. Böylece dış yüklerin burkulma sırasında çok çeşitli davranışları söz konusu olur. Mesela bunlardan üç tanesi aşağıdaki şekildedir.

I. Dış yüklerin çubuk eksenine dik kaldığı durum. Bu durumda dış yükler çubukla birlikte hareket eder ve çubuk kesitinin dönmesine katılırlar, yani burkulma sırasında çubuk enkesitine göre konumlarını değiştirmezler. Hidrostatik basınca maruz kemerler bu duruma örnek olarak gösterilebilir. Bu durumda burkulmuş eleman üzerindeki kuvvetler:

* o o x   m m Ω m (2.12) * o o x   p p Ω p (2.13)

Bu nedenle (2.10), (2.11) denkleminde m ve p değerleri yerine sıfır konur.

0  m (2.14) 0  p (2.15)

II. Dış yüklerin ilk doğrultusuna paralel kaldığı hal. Bu durumda dış yükler çubukla birlikte hareket eder ancak doğrultularını değiştirmezler. Düşey yüklü bir kemerin kendi düzlemi içinde burkulmasını bu duruma örnek olarak verebiliriz. Bu halde burkulmuş eleman üzerindeki kuvvetler

* o

m m (2.16)

* o

p p (2.17)

değerlerini alır. Bunun durumda (2.10), (2.11) denklemlerindeki m ve p değerleri aşğıdaki şekilde ifade edilir.

o x   m Ω m (2.18) o x   p Ω p (2.19)

(20)

III. Bir üçüncü halde dış yüklerin hem ilkel konumlarını hem de doğrultularını koruması durumudur. Bu durumda burkulmuş eleman üzerindeki kuvvetler:

x   * o o m m u p (2.20)  * o p p (2.21)

Burada u yer değiştirme vektörü Şekil 2.1 de görülmektedir. Bu halde m ve p değerleri: x x   oo m u p Ω m (2.22) x   o p Ω p (2.23)

(2.22) denklemleri yukarıda bahsedilen üç halide içerdiği için bundan sonra kullanılacak temel denklemler bu m ve p değerlerine göre çıkarılacak, diğer haller bu denklemlerde u ve  yerine sıfır konarak elde edilecektir.

2.2.2 Burkulma Yükünün Elde EdiliĢi

Burkulma yükünün elde edilmesi için gerekli olan denge denklemleri, şekil değiştirme denklemleri ve bünye denklemlerinden oluşan denklem takımı [3] aşağıdaki şekildedir: o o d x x 0 ds    M ω M + t T m (2.24) o d x 0 ds   T ω T + p (2.25) o d x 0 ds   u t Ω (2.26) d 0 ds   Ω ω (2.27) -1  ω D .M (2.28)

(21)

Buradaki denklemlerde normal kuvvet ve kesme deformasyonlarının burkulma deformasyonuna katlmadığı kabul edildiği için =O olduğu gözönünde tutulmalıdır.

Burada  çubuğun birim boyunun relatif şekil değiştirmesidir. Bünye

denklemlerinden gelen  diğer denklemlerde yerine konursa:

-1 o o d ( )x x 0 ds    M D .M M + t T m (2.29) -1 o d ( . )x 0 ds   T D M T + p (2.30) o d x 0 ds   u t Ω (2.31) -1 d ( . ) 0 ds   Ω D M (2.32)

Böylece dört adet diferansiyel denklem elde edilmiş olur. Bu denklemlerde bilinmeyenler u, , M ve T vektörleri olmak üzere dört adettir. (2.29)-(2.32) denklemlerinde geçen m ve p vektörleri dış yükleri değil, dış yüklerin değişimini ifade etmekte olup bunlar bölüm 2.2.1 de açıklanmıştır. Bilinmeyenlerin sıfır olması halinde diferansiyel denklemlerin bütün terimleri sıfır eder, bu da (2.29)-(2.32) diferansiyel denklem takımının lineer homojen bir denklem takımı olduğunu gösterir. Sınır şartları ise çubuğun s=0 ve s=s1 için her bir ucunda ikişerden dört vektörel şart

yazmak mümkündür. Böylece (2.29)-(2.32) denklem takımı homojen sınır şartları ile bir karakteristik değer problemi teşkil eder ve u, , M ve T bilinmeyenlerinin sıfır olmaları hali trivial çözüme karşı gelir. Öyle ise karakteristik değer probleminin çözümü, (2.29)-(2.32) homojen diferansiyel denklem takımının, homojen sınır şartları altında trivial olmayan çözümlerinin bulunabilmesi için katsayılarının sağlaması gereken şartların belirlenmesi olacaktır. Bu katsayılarda dış yüklere bağlı olduklarına göre dış yüklerin bağlanabiliceği bir  parametresinin oluşturulup bunun en küçük değerinin bulunması mümkün olacaktır.

(22)

2.3 Uniform Radyal Yüke Maruz Dairesel Çubuk Ġçin Temel Denklemler

Şekil 2.2 Radyal yüklü dairesel çubuk

Burada (2.29)-(2.32) denklemlerinden aşağıda verilecek denklemlere nasıl geçildiği anlatılmayacak, sadece referans verilmekle yetinilecektir, [3]. Ancak denklemlerin elde edilişi esnasında kullanılan birkaç eşitlik verilecektir. Şekil 2.2 de görüldüğü üzere, dairesel çubuk için eğrilik yarıçapı =R sabittir ve d/ds=(1/R)(d/d) olarak alınırsa ilgili denklem takımı:

t n dU U 0 d   (2.33) n t b dU U r 0 d     (2.34) b b b d r M 0 d D     (2.35) b n dM rT 0 d   (2.36) 2 n n t b b dT p r T M 0 d   D  (2.37)

(23)

t

n n b dT

T p r 0

d     (2.38)

Burada Ut teğet doğrultudaki yerdeğiştirmeyi, Un normal doğrultudaki

yerdeğiştirmeyi, b binormal etrafındaki dönmeyi, Tt, Tn ve Mb kesit tesirlerini Db

eğilme rijitliğini göstermektedir. Şimdi bu denklem takımını dış yüklerin burkulma esnasındaki davranışına göre, Bölüm 2.2.1 de anlatılanlardan ilk iki hal için (I, II) tekrar oluşturalım.

2.3.1 DıĢ Yüklerin Çubuk Eksenine Dik Kalması

Dış yükler çubuk eksenine dik kalıyorsa, bakınız Bölüm 2.2.1 madde I, dış yükler b

dönmesini çubukla birlikte yapacak ve yüklerin b dönmesinden dolayı (Şekil 2.3)

oluşan etkiler ortadan kalkacaktır, dolayısıyla yukarıdaki pnrb terimi sıfır olacaktır.

Şekil 2.3 Dış yüklerin burkulma anındaki durumu

Bu durumda Ut’yi temel bilinmeyen olarak seçersek diğer denklemleri Ut cinsinden

aşağıdaki şekilde yazabiliriz:

t n dU U d   (2.39) 2 t b t 2 1 d U (U ) r d     (2.40)

(24)

3 t t b b 3 3 D dU d U M ( ) d r d     (2.41) 2 4 t t b n 3 2 4 D d U d U T ( ) r d d      (2.42) 3 5 3 t t t t b t 3 3 5 n 3 D d U d U dU d U T ( ) p ( ) r d d d d         (2.43)

Bu durumda Ut nin sağlayacağı diferansiyel denklem; (2.40), (2.42) ve (2.43)

denklemlerinin, (2.38)’da yerine konmasıyla elde edilir.

6 4 2 t 2 t 2 t 6 4 2 d U d U d U (1 ) 0 d   d  d  (2.44) Burada 3 2 n b p r 1 D    (2.45)

denklemiyle ifade edilen  boyutsuz parametresi Bölüm 2.2.2 de bahsi geçen dış yüke bağlı boyutsuz terimdir.

2.3.2 DıĢ Yüklerin Ġlk Doğrultularına Paralel Kalması

Dış yükler ilk doğrultularına paralel kalıyorsa, b dönmesine iştirak etmediklerinden

b terimi aynen kalacaktır. Böylece yukarıdaki temel denklemlerde yalnızca (2.38)

değişecek ve Bölüm 2.3.1’deki diğer denklemler aynı kalmak kaydıyla sadece (2.44) aşağıdaki şekli alacaktır.

6 4 2 t 2 t 2 t 2 t 6 4 2 d U d U d U (1 ) (2 1) ( 1)U 0 d   d    d     (2.46)

(25)

3. SABĠT KESĠTLĠ ÇUBUKLAR ĠÇĠN TAġIMA MATRĠSĠNĠN ELDE EDĠLMESĠ

Taşıma matrisinin elde edilme yönteminin açıklanması, bu konuyla ilgili literatürde birçok kaynak, bkz.[1], olduğu için bu tez kapsamına alınmamıştır. Ancak elde edilen taşıma matrisi bir sonraki bölümde elde edilecek yaklaşık matris ile karşılaştırılacağından, matrisin elde edilmesi için gerekli işlemler aşağıda basitçe verilecektir. Bu bölümde anlatılan yöntem dairesel çubuk kesitinin sabit olduğu durum için geçerlidir, kesitin değişken olması durumu Bölüm 4 de anlatılacaktır.

3.1 DıĢ Yüklerin Çubuk Eksenine Dik Kalması Durumu Ġçin TaĢıma Matrisi

(2.44) diferansiyel denklemi çözülürse:

i i t 1 2 3 2 4 2 5 6 e e U ( ) C sin C cos C C C C                (3.1)

denklemi elde edilir. Burada Ut nin genel değişken olarak seçilip (2.39), (2.40),

(2.41), (2.42) ve (2.43) denklemlerinde yerine konulmasıyla:

i i n 3 4 6 1 2 ie ie U C C C C cos C sin             (3.2)

i 2 i i 2 2 b 2 3 4 5 6 e C ( 1) e (C e ( 1) (C C )) r                 (3.3)

i 2 2i 2 i b b 2 3 4 6 e D M C i( 1) C ie ( 1) C e r              (3.4)

i 2 2i b n 3 3 4 e ( 1)D T C e C r        (3.5)

(26)

bütün bilinmeyenler Ci (i=1,2..6) integrasyon sabitleri cinsinden elde edilmiş olur.

Hesap kolaylığı için boyutsuz büyüklere geçelim.

ı t t 1 U U r  (3.7) ı n n 1 U U r  (3.8) ı b b    (3.9) ı b b b r M M D  (3.10) 2 ı n n b r T T D  (3.11) 2 ı t t b r T T D  (3.12)

Yukarıdaki 6 denklemde =0 konulup başlangıçtaki değerlere ulaşılır. Bu değerler “o“ alt indisiyle gösterilirse ve 6 adet C sabiti bu 6 denklemden çözülerek aşağıda

gösterildiği şekilde başlangıç değerlerine bağlı olarak elde edilir.

4 ı ı 2 ı ı ı 2 ı bo b bo b bo b to b no b no 1 2 b ( pr M rD M r D M rD T rD U r D U ) C ( 1)D             (3.13) ı ı 2 ı ı 2 ı 2 2 no to to bo bo 1 C (rT rU r U r r ) ( 1)             (3.14) 4 ı ı ı bo b no b to 3 2 b i(pr M ir D T rD T ) C 2 ( 1)D        (3.15) 3 ı ı ı bo b no b to 4 2 b ir(pr M i D T D T ) C 2 ( 1)D         (3.16) ı 2 ı no bo rT r C       (3.17)

(27)

4 ı 2 ı ı bo b bo b to 6 2 b pr M r D M rD T C D       (3.18)

Bulunan C sabitleri (3.7), (3.8), (3.9), (3.10), (3.11) ve (3.12) denklemlerinde yerine konduktan sonra herhangi bir  açısındaki aranan değerler =0 başlangıç değerleri cinsinden elde edilir. Bu 6 denklem matris formunda yazılırsa,

t n b b n t 2 2 2 3

sin( ) 1 cos cos( ) ( 1) sin sin( )

cos sin 1 cos

3 2 2 3 2

( 1) ( 1)

2 2

1 cos( ) sin( ) sin 1 cos cos( )

sin cos sin

2 3 2( 2 1) 2 ( 1) si 0 0 1 U U M T T                                                                      to no bo n( ) cos( ) 1 sin( ) 3 2 3 2

1 ( 1) cos( ) sin( ) 1 cos( )

0 0 0 2 2 2 ( 1) sin( ) sin( ) 0 0 0 cos( ) 2 2 2

2( 1) sin ( / 2) sin( ) 1 cos( )

0 0 0 2 2 U U                                                                                    bo no to M T T                    

Şekil 3.1 Taşıma matrisi

yukarıdaki şekilde elde edilir. Şekil 3.1 denkleminde görülen 6x6 boyutundaki matris aradığımız taşıma matrisidir. Yalnız bu denklemde sağ ve sol kolon matrislerde boyutsuzlaştırılmış denklemler yerine aranan ilk değerler yazılmıştır, bu durum denklemde hiçbir değişiklik yaratmaz. Şekil 3.1 da görülen taşıma matrisi [1] de verilen taşıma matrisiyle aynıdır.

3.2 DıĢ Yüklerin Ġlk Doğrultularına Paralel Kalması Durumu Ġçin TaĢıma Matrisi

(2.46) diferansiyel denklemi çözülürse:

2 2

1 1

t 1 2 3 4 5 6

U e  C e  C  C  C Cos( ) (C   C )Sin( ) (3.19) elde edildikten sonra Bölüm 3.1’de belirtilen yöntem izlenerek taşıma matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir. Bu durumda başlangıç değerleri cinsinden elde edilen

(28)

gösterilmemiş, sadece sonuçların verilmiştir. Elde edilen taşıma matrisi EkA da verilmiştir.

2 2 1 2 2 1 n 1 2 4 5 6 3 4 6 U e 1 e C C C C C Cos( ) C C C Sin( )                    (3.20)

2

2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 6 b 1 4 2 e C C 2e C Cos( ) e r 2e C Sin( )                     (3.21)

2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 4 b 2 b 1 6 1 ( 2 ) e C C 2e C Cos( ) e M D r 2e C Sin( )                            (3.22)

2

2 2 2 2 4 1 1 1 1 2 6 n 3 b 1 4 (2 2 ) e C C 2e C Cos( ) e T D r 2e C Sin( )                      (3.23) 2 2 2 1 3 1 4 6 b t 3 2 2 1 3 2 1 2 b 2e (C Cos( ) C Sin( ))(pr D ) e T r 1 ( 2)(e C C )( pr ( 1)D )                            (3.24)

(29)

4. YAKLAġIK YÖNTEM ĠLE TAġIMA MATRĠSĠNĠN ELDE EDĠLMESĠ

Bölüm3’de taşıma matrisi sabit kesitli kemerler için elde edilmişti, ancak bu yöntem değişken kesitli kemerler için uygun değildir. Dolayısıyla bu bölümde değişken kesitli çubukların taşıma matrisini elde edebilmek için yaklaşık bir yöntem kullanılacak ve bu yöntemin sabit kesitli hali Bölüm3 de bulunan taşıma matrisleriyle karşılaştırılacak ve bu yöntemle elde edilen burkulma yükleri daha önce çeşitli kaynaklarda bulunanlarla karşılaştırılarak kontrol edilecektir. Şimdi yaklaşık taşıma matrisini elde edelim.

Sistem koordinatları xi (i=1,2,3..,n) matris notasyonunda X ile gösterilecek olursa,

diferansiyel geçiş matrisi aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

dX

D.X

dt  (4.1)

Bu denklem n’inci mertebeden bir diferansiyel denklemi göstermektedir. Bu diferansiyel geçiş notasyonu aynen F ile gösterilen taşıma matrisi için de geçerli olduğu [1] de gösterilmiştir.

dF D.F

dt  (4.2)

Burada D matrisinin sabit olduğu durumlarda taşıma matrisinin çözümü Dt

Fe (4.3)

den ibarettir. Ancak D matrisinin sabit olmaması için çözüm bu kadar basit değildir. Bu durum için taşıma matrisinin elde edilmesi için birçok yöntem vardır. Biz burada Picard İterasyon yöntemini kullanacağız. Bu yöntemde taşıma matrisi adım adım hesaplanır. Adım aralığı nekadar küçükse elde edilen matris o kadar doğru olacaktır. Bu durumda taşıma matrisinin F değeri belli ise daha iyi bir değere geçmek için

(30)

k

k 1

dF

D.F

dt   (4.4)

Taşıma matrisinin t=0 için birim matrise eşit olduğuna göre yukarıdaki denklem integre edilirse;

t

k k 1 0 0

0

F  I

F D(  )d (4.5)

(4.5) elde edilir. Başlangıç değeri olarak Fo=I seçilip (4.5) yardımıyla iterasyona

başlanırsa 1 2 o t 1 0 o o t t 2 1 0 o 1 o o t t t t 0 o 1 0 o 1 2 1 0 o 1 2 o o o o o o F I F I D( )d F I D( ) I D( )d d . . F I D( )d D( ) D( )d d D( ) D( ) D( )d d d ...                                   

(4.6)

serisi elde edilir. D matrisinin elemanlarının sürekli olması durumunda (4.6) serisinin sürekli olduğu [5] de gösterilmiştir. D nin sabit olması halinde seri

2 3 Pt (Pt) (Pt) F I P.t ... e 2! 3!       (4.7) olarak bulunur.

Taşıma matrisinin ileride kullanılacak bir özelliğinden bahsedelim: 0t1t2... tntolmak kaydıyla; n 1 n n 1 0 t t t t o t t t F F .F ...F (4.8)

(31)

k k 1 k i i 1 i t t t t 0 o 1 0 o 1 t t F I D( )d D( ) D( )d d ...    

  

    (4.9) ifadesini göstermektedir.

Bir sonraki adımda Bölüm3 de her iki dış yük durumu için oluşturulan taşıma matrisleri (4.8) denklemi kullanarak seçilen bir adım aralığı için tekrar oluşturulacak ve sonuçlar karşılaştırılacaktır.

4.1 DıĢ Yüklerin Çubuk Eksenine Dik Kalması Durumu Ġçin YaklaĢık TaĢıma Matrisi

Burada önce (4.1) de görülen diferansiyel geçiş matrisini elde etmek gerekmektedir. Bu işlem için öncelikle (2.33)(2.38) denklemlerini, bu denklemlerde b yi içeren

terimin sıfır olduğunu, (3.7)(3.12) boyutsuzlaştırma işlemini ve (2.45) eşitliğini göz önünde tutarak aşağıdaki denklemler elde edilir

ı ı t n dU U d  (4.10) ı ı ı n t b dU U d     (4.11) ı ı b b d M d    (4.12) ı ı b n dM T d   (4.13) ı ı 2 ı n t b dT T ( 1)M d      (4.14) ı ı t n dT T d  (4.15)

(32)

t n b b n t U U X M T T                      (4.16) Bu durumda D matrisi: 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 D 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0                        (4.17)

olarak elde edilir.

Artık elimizde D matrisi olduğuna göre aradığımız taşıma matrisini elde edebiliriz. Öncelikle (4.9) ifadesi ti= ve tk= başlangıç ve bitiş değerleri için ilk 6 terim

(33)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 5 2 1 1 F (720 (360 ( 30 ( ) )( ) , (120 ( 20 ( ) )( ) )( ), 720 120 1 1 1 (360 (30 ( ) )( ) )( ) , ( 20 ( ) )( ) , ( 30 720 120 720 1 1 (1 )( ) )( ) , ( ) , (120 (20 ( ) )( ) 120 120                                                                      



2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 1 , (720 720 1 (360 ( 30 ( ) )( ) )( ) ), (120 ( 20 ( ) )( ) )( ), 120 1 1 (360 ( 30 ( ) )( ) )( ) , ( 20 (1 )( ) )( ) , 720 120 1 1 ( 30 (1 )( ) )( ) , 0, 0,1, (120 ( 1)( 720 120                                                                   

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 ( ) )( ) ) 1 1 ( ), (360 ( 30 ( ) )( ) )( ) , ( 20 ( ) )( ) , 720 120 1 1 0, 0, 0, (720 ( 1)(360 ( 30 ( ) )( ) )( ) ), (120 ( 20 720 120 1 ( ) )( ) )( ), (360 ( 30 720                                                                     





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) )( ) )( ) , 0, 0, 0, 120 1 ( 1)(120 ( 20 ( ) )( ) )( ), (720 (360 ( 30 ( ) ) 720 1 1 ( ) )( ) ), (120 ( 20 ( ) )( ) )( ) , 0, 0, 0, ( 1)(360 120 720 ( 30 ( ) )(                                                                     

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) )( ) , (120 ( 20 ( ) )( ) )( ), 120 1 (720 (360 ( 30 ( ) )( ) )( ) ) 720                                     (4.18)

Bu işlemden sonra belirlenen bir adım aralığı ile, mesela 0,1 rad, (4.8) ifadesi yardımıyla istenen bir açı () için taşıma matrisi elde edilecektir. Bu bölümdeki gaye daha önce Bölüm 3.1 de bulunan taşıma matrisiyle karşılaştırmak olduğu için bu işlem gösterim kolaylığından dolayı belirli bir  değeri için yapılacaktır. Burada =8 seçilmiştir. Şimdi adım aralığı 0.1 radyan ve ulaşılmak istenen açı ise 0.7 radyan seçilirse yapılacak işlem:

0.7 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

F F .F .F F .F .F .F (4.19) olarak gösterilebilir. Bu işlemin ara adımları çok uzun ifadeler olduğu için burada sadece bulunan sonuç gösterilecektir.

(34)

i

k

0.764842 0.644218 0.235158 0.0121703 -0.00367707 0.000692254 -0.644218 0.764842 0.644218 0.00350233 -0.0114781 0.00367707 0. 0. 1. -0.0667312 -0.00350233 0.0121703 0. 0. 0. 0.779353 0.0789016 0.00350233 0. 0. 0. -4.9708 0.775851 0.0789016 0. 0. 0. 0.220647 -0.0789016 0.996498

y

{

Şekil 4.1 Elde edilen yaklaşık taşıma matisi

Aynı  ve  değerleri Şekil 3.1 de görülen taşıma matrisinde yerine konursa:

i

k

0.764842 0.644218 0.235158 0.0121704 -0.003677 0.000692252 -0.644218 0.764842 0.644218 0.00350678 -0.0114782 0.003677 0 0 1 -0.0667379 -0.00350678 0.0121704 0 0 0 0.779073 0.0789083 0.00350678 0 0 0 -4.97122 0.775566 0.0789083 0 0 0 0.220927 -0.0789083 0.996493

y

{

Şekil 4.2 Bölüm 3.1 de anlatılan yöntemle elde edilen taşıma matrisi

ifadesi bulunur. İkisi arasındaki fark ise:

i

k

-7.98444´ 10-11 1.13634´ 10-10 7.98445´10-11 -1.05668´ 10-7 -7.07049´ 10-8 1.67547´ 10-9 -1.13634´ 10-10 -7.98444´ 10-11 1.13634´10-10 -4.45433´ 10-6 1.07344´10-7 7.07049´ 10-8 0. 0. 0. 6.65711´ 10-6 4.45433´10-6 -1.05668´ 10-7 0. 0. 0. 0.000280623 -6.76278´ 10-6 -4.45433´ 10-6 0. 0. 0. 0.000426055 0.000285077 -6.76278´ 10-6 0. 0. 0. -0.000280623 6.76278´10-6 4.45433´ 10-6

y

{

Şekil 4.3 Farklı yöntemlerle elde edilen iki matris arasındaki fark

olarak bulunur. Burada farkın en büyük olduğu elemanda bile binde 4 mertebesindedir. Bu yaklaşıklık yeterlidir ancak, daha yaklaşık çözümler aranıyorsa (4.18) ifadesindeki terim sayısı arttırılmalı ve (4.19) ifadesindeki adım aralığı daraltılmalıdır. Şimdi bu yaklaşık yöntemin iyi çalıştığını göstermek için literatürde daha önce hesaplanmış burkulma yüklerini, bu yöntemle hesaplayacağımız değerlerle karşılaştıralım.

Burkulma yükleri nümerik yöntemle hesaplanacaktır. Bunun nedeni Bölüm 5.1 de detaylı olarak anlatılacaktır. Şimdi bu nümerik yöntemi kısaca anlatalım.

(35)

oluşturulacaktır. Bu işlemden sonra [1] ve [3] de verilen yöntemle sınır şartlarına göre ilgili minörler oluşturularak bunun determinantı alınacaktır. Bu işlem sonucunda belirli bir lamda değeri için taşıma matrisinin ilgili minörünün determinantı elimizde olacaktır. Bunu bilgisayar yardımıyla istediğimiz aralıkta ve istediğimiz sıklıkta lamda değeri için yapabiliriz. Elde ettiğimiz bu lamda değerleri ve determinant değerlerini bir grafikte gösterirsek determinantı sıfır yapan lamda değerini belirlemiş oluruz. Gerekli kesinliği sağlayabilmek için başta kabaca belirlenen bu bölgede lamda aralığını sıklaştırırsak aranan lamda değerini istenen yaklaşıklıkta elde ederiz.

Burada hesap adımlarına örnek olarak Şekil 5.1 de görülen ve (4.18) de geçiş taşıma matrisi verilen iki ucu mafsallı kemerin, =/2 merkez açısı için burkulma yükünü hesaplayalım. Kemerin sabit eğilme rijitliği Db=Dbo olsun.

Şekil 4.4 de yukarıda anlatıldığı şekilde, belirlenen aralıktaki lamda değerleri için hesaplanan determinant sonuçları görülmektedir

88

8

0.5,-0.160225

<

,

8

0.6,-0.157376

<

,

8

0.7,-0.154062

<

,

8

0.8,-0.150307

<

, 0.9,-0.14614

<

,

8

1.,-0.141593

<

,

8

1.1,-0.136698

<

,

8

1.2,-0.131491

<

,

8

1.3,-0.126011

<

,

8

1.4,-0.120295

<

,

8

1.5,-0.114385

<

,

8

1.6,-0.108321

<

,

8

1.7,-0.102143

<

,

8

1.8,-0.0958928

<

,

8

1.9,-0.0896098

<

,

8

2.,-0.0833333

<

,

8

2.1,-0.0771013

<

,

8

2.2,-0.07095

<

,

8

2.3,-0.0649136

<

,

8

2.4,-0.0590244

<

,

8

2.5,-0.0533118

<

,

8

2.6,-0.047803

<

,

8

2.7,-0.042522

<

,

8

2.8,-0.03749

<

,

8

2.9,-0.0327251

<

,

8

3.,-0.0282421

<

,

8

3.1,-0.0240528

<

,

8

3.2,-0.0201658

<

,

8

3.3,-0.0165864

<

,

8

3.4,-0.0133172

<

,

8

3.5,-0.0103575

<

,

8

3.6,-0.00770411

<

,

8

3.7,-0.00535108

<

,

8

3.8,-0.00329007

<

,

8

3.9,-0.00151055

<

,

8

4.,-9.77257´ 10-10

<

,

8

4.1, 0.00125581

<

,

8

4.2, 0.0022726

<

,

8

4.3, 0.00306728

<

,

8

4.4, 0.00365774

<

,

8

4.5, 0.00406251

<

,

8

4.6, 0.0043006

<

,

8

4.7, 0.00439116

<

,

8

4.8, 0.00435328

<

,

8

4.9, 0.00420578

<

,

8

5., 0.00396698

<

<

Şekil 4.4 Belirli lamda değerleri için hesaplanan determinant değerleri

Yukarıdaki ifade de parantez içindeki değerlerden ilki lamda ikincisi ise taşıma matrisinin ilgili türevinin determinantıdır. Burada lamda değerleri 0.5 ile 5 arasında 1/10 artımla alınmıştır. Bu değerleri düşey ekseni determinant değerlerini, yatay ekseni ise lamda değerlerini gösteren bir grafikte gösterirsek:

(36)

1 2 3 4 5 -0.15 -0.125 -0.1 -0.075 -0.05 -0.025

Şekil 4.5 Lamda değerleri

Determinantın yaklaşık 3.5 ile 4.5 arasında ilk defa sıfır olduğu görülür. Şimdi lamdanın kesin değerine yeterince yaklaşabilmek için lamda aralığı 3.5 ile 4.5 arası seçersek ve artış aralığını 1/50 olarak alırsak:

88

8

3.5,-0.0103575

<

,

8

3.52,-0.00980248

<

,

8

3.54,-0.00925967

<

, 3.56,-0.00872904

<

,

8

3.58,-0.00821054

<

,

8

3.6,-0.00770411

<

,

8

3.62,-0.00720971

<

,

8

3.64,-0.00672727

<

,

8

3.66,-0.00625673

<

,

8

3.68,-0.00579802

<

,

8

3.7,-0.00535108

<

,

8

3.72,-0.00491582

<

,

8

3.74,-0.00449217

<

,

8

3.76,-0.00408006

<

,

8

3.78,-0.00367939

<

,

8

3.8,-0.00329007

<

,

8

3.82,-0.00291202

<

,

8

3.84,-0.00254514

<

,

8

3.86,-0.00218934

<

,

8

3.88,-0.00184451

<

,

8

3.9,-0.00151055

<

,

8

3.92,-0.00118735

<

,

8

3.94,-0.000874814

<

,

8

3.96,-0.000572818

<

,

8

3.98,-0.000281253

<

,

8

4.,-9.77258´ 10-10

<

,

8

4.02, 0.000271057

<

,

8

4.04, 0.000532042

<

,

8

4.06, 0.000783078

<

,

8

4.08, 0.00102429

<

,

8

4.1, 0.00125581

<

,

8

4.12, 0.00147776

<

,

8

4.14, 0.00169028

<

,

8

4.16, 0.00189351

<

,

8

4.18, 0.00208756

<

,

8

4.2, 0.0022726

<

,

8

4.22, 0.00244874

<

,

8

4.24, 0.00261614

<

,

8

4.26, 0.00277493

<

,

8

4.28, 0.00292527

<

,

8

4.3, 0.00306728

<

,

8

4.32, 0.00320113

<

,

8

4.34, 0.00332695

<

,

8

4.36, 0.00344489

<

,

8

4.38, 0.0035551

<

,

8

4.4, 0.00365774

<

,

8

4.42, 0.00375294

<

,

8

4.44, 0.00384087

<

,

8

4.46, 0.00392168

<

,

8

4.48, 0.00399551

<

,

8

4.5, 0.00406251

<

<

Şekil 4.6 Daha küçük aralıklı lamda değerleri için hesaplanan determinant değerleri

(37)

3.6 3.8 4.2 4.4 -0.01 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0.002 0.004

Şekil 4.7 Lamda değerleri

Böylece determinantı sıfır yapan değerlerlerin yeterli yaklaşıklıktaki değerleri bulunmuş olur. Burada Bölüm 6 da anlatılan şekilde Şekil 4.2 deki grafikten faydalanarak aranan lamda değeri 4 olarak bulunur. Bu yöntemle belirli açılar için hesap edilen lamda ve lamdaya bağlı olarak (5.25) formülünden elde edilen burkulma katsayıları () Tablo 4.3 de verilmiştir. Literatürde yer alanlar ise, Tablo 4.1 de Timoshenko’nun, Tablo 4.2 de ise Özbek’in bulduğu değerler verilmiştir. Tablo 4.1 Burkulma Katsayıları-Timoshenko [4]

 İki Ucu Ankastre İki Ucu Mafsallı

30 294 143

60 73,32 35

90 32,4 15

Tablo 4.2 Burkulma Katsayıları-Özbek [3]  İki Ucu Ankastre İki Ucu Mafsallı

30 - 141,90

60 73,334 35,008

(38)

Tablo 4.3 Burlulma katsayıları-Yaklaşık Yöntem ile Bulunan  İki Ucu Ankastre İki Ucu Mafsallı

30 294,2589 143

60 73,3275 35

90 32,430946 15

Yukarıdaki tablolardan da görüldüğü üzere yaklaşık yöntem literatürdeki sonuçları tam olarak tutmaktadır.

4.2 DıĢ Yüklerin Ġlk Doğrultularına Paralel Kalması Durumu Ġçin YaklaĢık TaĢıma Matrisi

Burada da aynen bölüm 4.1 de yapıldığı şekilde önce (4.1) de görülen diferansiyel geçiş matrisini elde etmek gerekmektedir. Bu işlem için öncelikle (2.33)(2.38) denklemlerini, (3.7)(3.11) boyutsuzlaştırma işlemini ve (2.45) eşitliğini göz önünde tutarak aşağıdaki denklemler elde edilir

ı ı t n dU U d  (4.20) ı ı ı n t b dU U d     (4.21) ı ı b b d M d    (4.22) ı ı b n dM T d   (4.23) ı ı 2 ı n t b dT T ( 1)M d      (4.24) ı dT

(39)

(4.1) de görülen X matrisi aşağıdaki şekildedir. t n b b n t U U X M T T                      (4.26) Bu durumda D matrisi: 2 2 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 D 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0                          (4.27)

olarak elde edilir.

Artık elimizde D matrisi olduğuna göre aradığımız taşıma matrisini elde edebiliriz. Öncelikle (4.9) ifadesi aynen bölüm 4.1 deki şekilde 6 terim alınarak hesaplanır. Bu ifade Ek B de verilmiştir.

Bu işlemden sonra belirlenen bir adım aralığı ile mesela 0,1rad, (4.8) ifadesi yardımıyla istenen bir açı () değerindeki taşıma matrisi elde edilecektir. Bu bölümdeki gaye daha önce Bölüm 3.1 de bulunan taşıma matrisiyle karşılaştırmak olduğu için bu işlem gösterim kolaylığından dolayı belirli bir  değeri için yapılacaktır.Burada =15 seçilmiştir. Şimdi adım aralığı 0.1radyan ve ulaşılmak istenen açı ise 0.7 radyan seçilirse yapılacak işlem:

0.7 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

F F .F .F F .F .F .F (4.28) olarak gösterilebilir. Bu işlemin ara adımları çok uzun olduğu için burada sadece bulunan sonuç gösterilecektir.

(40)

i

k

0.764842 0.644218 0.226462 0.00314884 -0.000985755 0.000229889 -0.644218 0.764842 0.592723 0.00565286 -0.00291895 0.000985755 0. 0. 0.770495 -0.057973 -0.00565286 0.00314884 0. 0. -0.705339 -0.495745 0.0611218 0.00565286 0. 0. 1.26624 -12.9859 -0.501397 0.0611218 0. 0. -144.305 -3.10516´ 10-16 0.644218 0.764842

y

{

Şekil 4.8 Elde edilen yaklaşık taşıma matisi

Aynı  ve  değerleri için Ek A da görülen taşıma matrisi çözülürse:

i

k

0.764842 0.644218 0.226462 0.00314904 -0.000985751 0.000229888 -0.644218 0.764842 0.592723 0.0056538 -0.00291916 0.000985751 0 0 0.770496 -0.058019 -0.0056538 0.00314904 0 0 -0.705386 -0.495954 0.061168 0.0056538 0 0 1.26645 -12.9963 -0.501608 0.061168 0 0 -144.305 0 0.644218 0.764842

y

{

Şekil 4.9 Bölüm 3.2 de anlatılan yöntemle elde edilen taşıma matrisi

ifadesi bulunur. İkisi arasındaki fark ise:

i

k

1.11022´10-14 -1.56541´10-14 4.22087´10-9 -2.06368´10-7 -4.22092´ 10-9 9.25417´10-10 1.56541´10-14 1.11022´10-14 -2.07293´ 10-7 -9.41266´10-7 2.07293´10-7 4.22092´10-9 0. 0. -9.41266´ 10-7 0.0000460201 9.41266´10-7 -2.06368´ 10-7 0. 0. 0.0000462264 0.000209902 -0.0000462264 -9.41266´ 10-7 0. 0. -0.000210844 0.0103085 0.000210844 -0.0000462264 0. 0. 3.49587´10-12 -3.10516´ 10-16 -1.4877´10-14 1.12133´10-14

y

{

Şekil 4.10 Farklı yöntemlerle elde edilen iki matris arasındaki fark

olarak bulunur. Burada farkın en büyük olduğu elemanda bile on binde 2 mertebesindedir. Bu yöntemle ilgili olarak literatürde daha önce yapılmış bir çalışma olmadığı için, Bölüm 4.1 de yapıldığı gibi burkulma yükleri hesaplanmamış, taşıma matrislerinin çok yakın değerler vermesi yeterli görülmüştür.

(41)

5. YAKLAġIK YÖNTEMĠN DEĞĠġKEN KESĠTLĠ RADYAL YÜKLÜ DAĠRESEL KEMERLERE UYGULANMASI

Kesitin değişim fonksiyonuna f() dersek kesitin eğilme rijitliğini

bo b D D f ( )   (5.1)

olarak tanımlayalım. Burada Dbo kemerin belirli bir kesitinin düzlemi içindeki eğilme

rijitliğidir. Şimdi eğilme rijitliği için uygun bir değişim fonksiyonu seçelim. Bu seçimi yaparken genel olarak iki tip belirleyebiliriz.

Tip1: Kemerin ortasında minimum, mesnetlerde maksimum eğilme rijitliği. Tip2: Kemerin mesnetlerinde minimum, ortasında maksimum eğilme rijitliği. Bu seçimlerin dışında kemer rijitliği değişimi için yükleme durumuna ve bu yüklemeler altında oluşan değişik kesit tesirlerinin gerektireceği birçok alternatif fonksiyon düşünülebilir, ancak biz burada sadece yukarıda verilenleri inceleyeceğiz.

Şekil 5.1 Radyal yüklü dairesel iki ucu mafsallı çubuk

(42)

f ( )  2 Sin(n ) (5.2) Burada n merkez açısını belirleyen katsayıdır, şöyle ki; =/n. Mesela n=3 için merkez açı =/3, fonksiyon f()=2+Sin(3) olur. (5.2) fonksiyonu için kemerin rijitlik değişimi şöyle olur.

bo b D 0 f ( ) 2 D 2        (5.3) bo b D f ( ) 3 D 2n 3         (5.4) bo b D f ( ) 2 D n 2         (5.5)

Seçilen Tip1 fonksiyonu için oluşan kemer Şekil 5.2 de görülmektedir.

Şekil 5.2 Tip1 Perspektif ve plan

Tip2 için seçilen fonksiyon ise:

f ( )  2 Sin(n ) (5.6) (5.6) fonksiyonu için rijitlik değişimi:

bo b D 0 f ( ) 2 D 2        (5.7) b bo f ( ) 1 D D 2n         (5.8)

(43)

bo b D f ( ) 2 D n 2         (5.9)

Seçilen Tip2 fonksiyonu için oluşan kemer Şekil 5.3 de görülmektedir.

Şekil 5.3 Tip2 Perspektif ve plan

Şimdi yukarıda seçmiş olduğumuz fonksiyonları kullanarak burkulma yüklerini hesaplayalım. Denklem (4.1) de görülen diferansiyel geçiş matrisini elde etmek için önce (2.33)-(2.38) denklemlerinde (5.1) denklemini yerine koyarsak

t n dU U d  (5.10) n t b dU U r d     (5.11) b b b d r f ( ) M d D     (5.12) b n dM rT d   (5.13) 2 n n t b b dT p r T f ( ) M d     D (5.14) t n n b dT T p r d    (5.15)

(44)

işlemini yaparsak ve (2.45) eşitliğini hesaba katarsak: ı ı t n dU U d  (5.16) ı ı ı n t b dU U d     (5.17) ı ı b b d f ( )M d     (5.18) ı ı b n dM T d   (5.19) ı ı 2 ı n t b dT T f ( )( 1)M d       (5.20) ı ı 2 t n b dT T ( 1) d      (5.21)

Bu durumda diferansiyel geçiş matrisi:

2 2 f ( ) ( 1)f ( ) ( 1) 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 D 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0                             (5.22)

Bir sonraki bölümde dış yüklerin davranışlarına göre burkulma yükleri hesap edilecektir.

5.1 DıĢ Yüklerin Çubuk Eksenine Dik Kalması Durumu Ġçin Burkulma Yükü

(5.22) formülünde D matrisi genel durum için elde edilmişti, ancak dış yüklerin çubuk eksenine dik kalması durumunda, aynen Bölüm 2.3.1 de yapıldığı şekilde, dış

(45)

2 f ( ) ( 1)f ( ) 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 D 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0                           (5.23)

şeklini alır. Burada taşıma matrisi aynen Bölüm 4.1 deki yöntemle elde edilecektir, ancak Bölüm4.1 den farklı olarak burada farklı  açıları için, farklı f() fonksiyonları kullanılacağı için her açı değeri için taşıma matrisi farklı olacaktır. Oluşturulan bu matris değerleri çok uzun olduğu için sadece bir  değeri için denklemler verilecek, diğer açılar için sadece sonuçlar verilecektir.

Örnek olarak Tip1 fonksiyonu için, =/2 değeri verilecektir. Burada f()=2+Sin(2) olur. Bu fonksiyon D matrisinde yerine konur ve bu matriste ti=

ve tk= başlangıç ve bitiş değerleri için (4.9) ifadesinde yerine konursa Ek C de

verilen geçiş matrisi elde edilir.

Bundan sonraki adımda Ek C de elde edilen bu matris belirli  ve  değerleri ile (4.8) denkleminde yerine konarak taşıma matrisi oluşturulacaktır. Ancak burada amacımız burkulma yükünün belirlenmesi, yani taşıma matrisinin sınır şartlarına bağlı ilgili minörünün determinantını sıfır yapacak lamda değerini aramaktır. Bunu bulabilmek için normalde ilgili minörün karakteristik denklemi bulunup, bunun köklerinin bulunması gerekmektedir. Fakat ara taşıma matrisinin boyutları Ek C de görülmektedir. Bugün için elimizdeki bilgisayar programları, bu matrisi denklem (4.8)’e sokup taşıma matrisini belirsiz bir lamda değeri için oluşturamamaktadır. Dolayısıyla burada nümerik bir yöntemle burkulma yükü hesaplanacaktır.

Bölüm 4.1’de de açıklandığı gibi, burada ilk olarak lamdaya değer verilecek, belirli bu lamda değeri için Ek C de görülen matrisi oluşturulacak ve bu matris denklem (4.8) de yerine konarak taşıma matrisi oluşturulacaktır. Bu işlemden sonra [1] ve [3] de verilen yöntemle sınır şartlarına göre ilgili minörler oluşturularak bunun determinantı alınacaktır. Bu işlem sonucunda belirli bir lamda değeri için taşıma matrisinin ilgili minörünün determinantı elimizde olacaktır. Bunu bilgisayar

(46)

Elde ettiğimiz bu lamda değerleri ve determinant değerlerini bir grafikte gösterirsek determinantı sıfır yapan lamda değerini belirlemiş oluruz. Gerekli kesinliği sağlayabilmek için başta kabaca belirlenen bu bölgede lamda aralığını sıklaştırırsak aranan lamda değerini istenen yaklaşıklıkta elde ederiz.

Yukarıda anlatılan işlemler Mathematica programında bir program yazılarak gerçekleştirilmiştir. İlgili program Bölüm6 da detaylı olarak anlatılacaktır.

Yukarıda anlatılan yöntem Şekil 5.1 de görülen iki ucu mafsallı kemer için uygulanacaktır. Hesap adımları bütün tipler için yapılmayacak sadece ara taşıma matrisi Ek C de verilen, değişim fonksiyonu Tip1 ve merkez açısı =/2 olan kemer için yapılacaktır. Diğer açı ve tipler için sadece sonuçlar verilecektir.

Tip1, =/2 değişim fonksiyonu:

f ( )  2 Sin(2 ) (5.24) Şekil 5.4 de, yukarıda anlatıldığı şekilde, belirlenen aralıktaki lamda değerleri için hesaplanan determinant sonuçları görülmektedir.

88

8

0.5,-0.55122

<

,

8

0.6,-0.526551

<

,

8

0.7,-0.49855

<

,

8

0.8,-0.46774

<

,

8

0.9,-0.43468

<

, 1.,-0.399959

<

,

8

1.1,-0.364174

<

,

8

1.2,-0.327917

<

,

8

1.3,-0.291763

<

,

8

1.4,-0.256256

<

,

8

1.5,-0.221893

<

,

8

1.6,-0.189119

<

,

8

1.7,-0.158319

<

,

8

1.8,-0.129805

<

,

8

1.9,-0.10382

<

,

8

2.,-0.0805329

<

,

8

2.1,-0.060038

<

,

8

2.2,-0.0423603

<

,

8

2.3,-0.0274584

<

,

8

2.4,-0.0152314

<

,

8

2.5,-0.00552665

<

,

8

2.6, 0.00185191

<

,

8

2.7, 0.00713412

<

,

8

2.8, 0.010574

<

,

8

2.9, 0.0124399

<

,

8

3., 0.0130053

<

,

8

3.1, 0.0125402

<

,

8

3.2, 0.0113031

<

,

8

3.3, 0.00953418

<

,

8

3.4, 0.00745022

<

,

8

3.5, 0.00524022

<

,

8

3.6, 0.00306273

<

,

8

3.7, 0.00104452

<

,

8

3.8,-0.000719509

<

,

8

3.9,-0.00216518

<

,

8

4.,-0.00325691

<

,

8

4.1,-0.00398473

<

,

8

4.2,-0.00436061

<

,

8

4.3,-0.00441442

<

,

8

4.4,-0.00418965

<

,

8

4.5,-0.00373906

<

,

8

4.6,-0.00312055

<

,

8

4.7,-0.00239337

<

,

8

4.8,-0.00161472

<

,

8

4.9,-0.000836954

<

,

8

5.,-0.000105417

<

,

8

5.1, 0.000543127

<

,

8

5.2, 0.00108136

<

,

8

5.3, 0.0014917

<

,

8

5.4, 0.00176603

<

,

8

5.5, 0.00190491

<

,

8

5.6, 0.00191651

<

,

8

5.7, 0.0018152

<

,

8

5.8, 0.00161992

<

,

8

5.9, 0.00135265

<

,

8

6., 0.00103673

<<

Şekil 5.4 Belirli lamda değerleri için hesaplanan determinant değerleri

Yukarıdaki ifade de parantez içindeki değerlerden ilki lamda ikincisi ise taşıma matrisinin ilgili türevinin determinantıdır. Burada lamda değerleri 0.5 ile 6 arasında 1/10 artımla alınmıştır. Bu değerleri düşey ekseni determinant değerlerini, yatay

(47)

1 2 3 4 5 6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1

Şekil 5.5 Lamda değerleri

Determinantın yaklaşık 2.3 ile 2.7 arasında ilk defa sıfır olduğu görülür. Şimdi lamdanın kesin değerine yeterince yaklaşabilmek için lamda aralığı 2.3 ile 2.7 arası seçersek ve artış aralığını 1/100 olarak alırsak:

88

8

2.3,-0.0270733

<

,

8

2.31,-0.0257326

<

,

8

2.32,-0.0244188

<

, 2.33,-0.0231317

<

,

8

2.34,-0.0218712

<

,

8

2.35,-0.0206371

<

,

8

2.36,-0.0194294

<

,

8

2.37,-0.0182477

<

,

8

2.38,-0.017092

<

,

8

2.39,-0.0159622

<

,

8

2.4,-0.0148579

<

,

8

2.41,-0.013779

<

,

8

2.42,-0.0127255

<

,

8

2.43,-0.011697

<

,

8

2.44,-0.0106933

<

,

8

2.45,-0.00971441

<

,

8

2.46,-0.00875996

<

,

8

2.47,-0.0078298

<

,

8

2.48,-0.00692371

<

,

8

2.49,-0.00604149

<

,

8

2.5,-0.00518292

<

,

8

2.51,-0.00434779

<

,

8

2.52,-0.00353587

<

,

8

2.53,-0.00274694

<

,

8

2.54,-0.00198078

<

,

8

2.55,-0.00123715

<

,

8

2.56,-0.000515815

<

,

8

2.57, 0.000183454

<

,

8

2.58, 0.000860899

<

,

8

2.59, 0.00151676

<

,

8

2.6, 0.00215129

<

,

8

2.61, 0.00276472

<

,

8

2.62, 0.00335732

<

,

8

2.63, 0.00392933

<

,

8

2.64, 0.004481

<

,

8

2.65, 0.00501259

<

,

8

2.66, 0.00552436

<

,

8

2.67, 0.00601657

<

,

8

2.68, 0.00648948

<

,

8

2.69, 0.00694336

<

,

8

2.7, 0.00737846

<

<

Şekil 5.6 Daha küçük aralıklı lamda değerleri için hesaplanan determinant değerleri

ve tekrar lamda-determinant grafiğini çizersek

2.4 2.5 2.6 2.7 -0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0.005

(48)

yukarıdaki grafik elde edilir. Artık determinantı sıfır yapan lamda değerinin yeterli yaklaşıklıktaki değeri bulunmuş olur. Burada Bölüm 6 da anlatılan şekilde Şekil 5.7 grafiğinden faydalanarak aranan lamda değeri 2.567 olarak bulunur. Bu değerin yeterli yaklaşıklıkta olduğu daha küçük aralıklar seçilmesi sonucunda, bulunan yeni değerin bir önceki adımda bulunan ile karşılaştırılması yoluyla belirlenmiştir.

Bazı açılar için bulunan lamda değerleri ve burkulma katsayıları Tablo 5.1 de özetlenmiştir.

Tablo 5.1 İki Ucu Mafsallı ve Değişken Kesitli Kemer İçin Burkulma Katsayıları

Merkez Açı:  Kemer Tipi Fonksiyon: f()  

30 Tip1 2+Sin(6) 7,3690 53,30 60 Tip1 2+Sin(3) 3,7476 13,04 90 Tip1 2+Sin(2) 2,5670 5,59 30 Tip2 2-Sin(6) 10,4125 107,42 60 Tip2 2-Sin(3) 5,2240 26,29 90 Tip2 2-Sin(2) 3,5032 11,27

Yukarıdaki tabloda kemer tipi; Bölüm 5 in ikinci paragrafında açıklanan tipleri göstermektedir.  ise (2.45) formülünde verilmiştir, son sütundaki  ise aşağıda verilmiş olan burkulma katsayısıdır.

2 bo n 3 2 D p ( 1) r ( 1)        (5.25)

(49)

Aynı tabloyu Şekil 5.8 de görülen ankastre kemer için oluşturalım.

Tablo 5.2 İki Ucu Ankastre ve Değişken Kesitli Kemer İçin Burkulma Katsayıları

Merkez Açı:  Kemer Tipi Fonksiyon: f()  

30 Tip1 2+Sin(6) 10,6168 111,72 60 Tip1 2+Sin(3) 5,3730 27,87 90 Tip1 2+Sin(2) 3,6530 12,34 30 Tip2 2-Sin(6) 14,8962 220,90 60 Tip2 2-Sin(3) 7,4810 54,96 90 Tip2 2-Sin(2) 5,0250 24,25

Şekil 5.2 ve Şekil 5.3 de görülen değişken kesitli kemer tiplerinin en kalın kesitinin eğilme rijitliğine sahip olan sabit kesitli kemerlerin burkulma katsayılarını hesaplayarak, değişken kesitli kemer için hesaplanan burkulma katsayılarıyla karşılaştıralım. Bu karşılaştırma yapılan kesit değişimlerinin burkulmaya ne mertebede etkidiği hakkında bir fikir sahibi olmak için yapılacaktır.

Tip1 için maksimum kesit Şekil 5.2 ve formül (5.3) de görüldüğü üzere mesnetlerdedir ve değeri Dbo/2 dir. Tip2 için ise maksimum kesit ortada ve değeri,

formül (5.8), Dbo dır.

Bu durumda Tip1 e eşdeğer sabit kemere Tip3, Tip2 ye eşdeğer sabit kemere Tip 4 dersek, bunların rijitliklerini değişim fonksiyonuna sabit sayılar koyarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

Tip3 f ( ) 2(sabit) Tip4 f ( ) 1(sabit)

  

   (5.26)

(50)

Şekil 5.9-Sabit kesitli kemer(Tip3, Tip4)

Böylece bu kemerlerin D matrisleri, (5.26) sabit fonksiyonların (5.23) ifadesinde yerine konulmasıyla hesaplanır. Bu işlemden sonra aynı hesap adımları takip edilerek burkulma yükleri hesaplanır.

Tablo 5.3 Tip1–Tip3 Kemerleri İçin Burkulma Katsayıları

 Mesnet Tipi  (Tip1)  (Tip3)

30 60 Uçlar Mafsal 53,30 71,42 60 Uçlar Mafsal 13,04 17,50 90 Uçlar Mafsal 5,59 59 7,50 30 Uçlar Ankastre 111,72 147,10 60 Uçlar Ankastre 27,87 36,66 90 Uçlar Ankastre 12,34 16,22

Tablo 5.4 Tip2–Tip4 Kemerleri İçin Burkulma Katsayıları

 Mesnet Tipi  (Tip2)  (Tip4)

30 60 Uçlar Mafsal 107,42 143 60 Uçlar Mafsal 26,29 35 90 Uçlar Mafsal 11,27 15 30 Uçlar Ankastre 220,90 294,26 60 Uçlar Ankastre 54,96 73,33

(51)

Hesaplanan bu değerler Tip3 için Tablo 5.3 de, Tip4 için Tablo 5.4 de benzerleri değişken kesitli kemerlerin değerleri ile karşılaştırmalı olarak görülmektedir.

5.2 DıĢ Yüklerin Ġlk Doğrultularına Paralel Kalması Durumu Ġçin Burkulma Yükü

(5.22) formülünde oluşturulan D matrisi burada aynen kullanılabilir. D matrisi belirli iken, Bölüm 5.1 de verilen yolla ve verilen kemer tipleri için burkulma yükleri hesaplanır. Burada bu hesap adımları tekrar verilmeyecek, yapılan işlemler sonucunda oluşan tablolar verilecektir. Şekil 5.1 de görülen mafsallı ve değişken kesitli kemer için burkulma katsayıları:

Tablo 5.5 İki Ucu Mafsallı ve Değişken Kesitli Kemer İçin Burkulma Katsayıları

Merkez Açı:  Kemer Tipi Fonksiyon: f()  

30 Tip1 2+Sin(6) 7,3936 53,67 60 Tip1 2+Sin(3) 3,7940 13,39 90 Tip1 2+Sin(2) 2,6290 5,91 30 Tip2 2-Sin(6) 10,4478 108,16 60 Tip2 2-Sin(3) 5,2911 26,99 90 Tip2 2-Sin(2) 3,5928 11,91

Şekil 5.8 da görülen ankastre ve değişken kesitli kemer için burkulma katsayıları: Tablo 5.6 İki Ucu Ankastre ve Değişken kesitli Kemer İçin Burkulma Katsayıları

Merkez Açı:  Kemer Tipi Fonksiyon: f()  

30 Tip1 2+Sin(6) 10,6452 112,32

60 Tip1 2+Sin(3) 5,4275 28,46

90 Tip1 2+Sin(2) 3,7300 12,91

(52)

Yukarıdaki tablolardaki burkulma değerleri ile Tablo 5.1 ve Tablo 5.2 deki değerler karşılaştırıldığında, bunların birbirine çok yakın olduğu görülür. Bu durum hesaplarda kullanılan tarzdaki kemerler için Bölüm 2.2.1 deki davranış farkının, kemerlerin burkulma yüklerine büyük bir etkisinin olmadığını göstermiştir.

Referanslar

Benzer Belgeler

[r]

Kemal Tahir, bir ucu OsmanlI'nın ku­ ruluş döneminde, bir ucu İttihatçıların nerede başlayıp nerede bittiği bilinme­ yen iç kavgasına ve bir ucu da Anado­ lu

lere dayanıyor. Siyasaİ kamp­ taki yerini daha gençliğinde al­ dığı belli. Gerçi, başbakan ol­ duktan sonra bir yandan siya­ sal yelpazedeki yeri ile ilgili so­ rulara

Grain size, HI: Harvest index, PH: Panicle length, NSP: Number of spikelet panicle, NGP: Number of grain panicle, GWP: Grain weight panicle, SR: Starch rate, OR: Oil rate, PR:

Farklı dikim zamanı, azot dozu ve bitki sıklığının uygulanan R250 çeltik çeşidinde bitki boyu bakımından dikim zamanı ve bitki sıklığı istatistiksel olarak

In this respect, the book examines the importance and effec- tiveness of the military in the political processes by studying several Middle Eastern states, such as Iran, Israel,

Şekil 5.17: Araştırma Kapsamında İncelenen Projelerin “Proje Fizibilitesi (Marj)” Araştırma kapsamında incelenen projelerin Proje Fizibilitesinde Marja göre dağılımı

Devansh Shah et al, [11] compared various machine learning classifiers for prediction of heart disease .KNN algorithm achieved a highest accuracy of 90% and rest algorithms like