GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ESNEK BİRLEŞİMSEL GRUPLAR Zeynep KAYA TÜRK
Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN
Yrd. Doç. Dr. A. S. SEZER (2. Danışman) 2013
GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
ESNEK BİRLEŞİMSEL GRUPLAR
Zeynep KAYA TÜRK
TOKAT 2013
Tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu tezin yazılmasında bilimsel ahlâk kurallarına uyulduğunu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunulduğunu, tezin içerdiği yenilik ve sonuçların başka bir yerden alınmadığını, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapılmadığını, tezin herhangi bir kısmının bu üniversite veya başka bir üniversitedeki başka bir tez çalışması olarak sunulmadığını beyan ederim.
Yüksek Lisans Tezi
ESNEK BİRLEŞİMSEL GRUPLAR Zeynep KAYA TÜRK
Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN Yrd. Doç. Dr. A. S. SEZER (2. Danışman)
Bu çalışmada, ilk olarak grup teorisi ve esnek kümelerle ilgili kullanacağımız temel tanım ve teoremler verildikten sonra esnek birleşimsel grupların tanımı verildi. Daha sonra, normal esnek birleşimsel alt grup, karakteristik esnek birleşimselgrup, eşlenik esnek birleşimsel grup, esnek normalleyen kavramları verildi ve grup theorsindeki bazı sunuçlardan yararlanarak bunlarla ilgili bazı temel özellikler incelendi. Bunlara ilaveten, esnek birleşimsel gruplar ve esnek kesişimsel gruplar arasındaki ilişkiler araştrıldı.
2013, 56 sayfa
Anahtar Kelimeler: Esnek küme, Esnek birleşimsel grup, Esnek birleşimsel alt grup, Normal esnek birleşimsel alt grup, Karakteristik esnek birleşimsel grup, Eşlenik esnek birleşimsel grup, Esnek normalleyen.
M.Sc. Thesis SOFT UNION GROUPS
Zeynep KAYA TÜRK Gaziosmanpasa University
Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics
Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Naim ÇAĞMAN
In this thesis, we first introduce the basic definitions and theorems of group theory and soft sets. We then define soft union groups. After that we give the notion of soft normal union subgroups, characteristic soft union group, conjugate soft union groups, soft normalizer and study their basic properties by doing analogue of some results in group theory. Moreover, we investigate the relationship between soft union groups and soft intersection groups.
2013, 56 pages
Keywords: Soft sets, Soft uni-groups, Soft uni-subgroups, Soft normal uni-subgroups, Characteristic soft uni-group, Conjugate soft uni-groups, Soft normalizer.
ÖZET . . . i ABSTRACT . . . ii ÖNSÖZ . . . iv SİMGE ve KISALTMALAR DİZİNİ . . . v 1. GİRİŞ . . . 1 2. GRUP VE ÖZELLİKLERİ . . . 3 3. ESNEK KÜMELER . . . 8 4. EB-GRUPLAR . . . 13
5. EB-GRUPLARIN BAZI KARAKTERİZASYONLARI . . . 31
6. SONUÇ . . . 42
KAYNAKLAR . . . 43
ÖZGEÇMİŞ . . . 46
Bu çalışmayı yapmamda bana destek olan, bilgisini ve tecrübesini paylaşan tez danışmanım, kıymetli hocam Doç. Dr. Naim ÇAĞMAN’a, ikinci tez danışmanım değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Aslıhan SEZGİN SEZER’e, zaman ayırıp yardımını esirgemeyen Arş. Gör. İrfan ŞİMŞEK’e ve yüksek lisans eğitimim boyunca emeği geçen tüm hocalarıma minnettarlığımı sunarım.
Ayrıca bu yoğun süreçte tüm sıkıntılarımı paylaşan, maddi ve manevi destekleriyle her zaman yanımda olan sevgili eşime, canım anneme, babama, kızlarım Merve ve Sude’ye teşekkürlerimi sunarım.
Simgeler Açıklamalar U Evrensel küme E Parametreler kümesi EB-grup Esenek Birleşimsel Grup EK-grup Esenek Kesişimsel Grup
P(U) U’nun kuvvet kümesi
SE(U) U üzerinde E parametreli esnek kümelerin kümesi
fΦ Boş esnek küme
fA˜ A Evrensel esnek küme
fE˜ Evrensel esnek küme
fA⊆f˜ B fB, fA’yi esnek kapsar
fA∩f˜ B fA ve fB esnek kümelerinin esnek kesişimi
fA∪f˜ B fA ve fB esnek kümelerinin esnek birleşimi
fAe fB fA ve fB esnek kümelerinin kısıtlanmış esnek kesişimi
fAd fB fA ve fB esnek kümelerinin kısıtlanmış esnek birleşimi
fec
A fA esnek kümesinin esnek tümleyeni
A ≤ G A alt grup G
A ¢ G A Normal alt grup G fH≤fufG fH, fG nin EB-altgrubu
fN/eufG fN, fG nin normal EB-altgrubu
x ˆG fG esnek kümesinin sol yan kümesi
N(fG) fG nin esnek normalleyeni
fA∧ fB fA ve fB’nin esnek ∧-çarpımı
fA∨ fB fA ve fB’nin esnek ∨-çarpımı
EB-grup esnek birleşimsel grup EK-grup esnek kesişimsel grup
GfG G’nin e kümesi
x ˆfG x ve fG tarafından belirlenen sol yan küme
GfˆG fG nin e-sol yan kümesi
A A
Ψ−1(f
B) fB nin Ψ altında esnek ön görüntüsü
Ψ?(f
A) fA nın Ψ altında esnek ters görüntüsü
Belirsizlik içeren bazı problemleri Aristo mantığına dayalı klasik matematikle model-lemek çok zordur. Günlük hayatta kullandığımız cümleler içerisinde çok sıcak, yüksek hız, güzel kız, orta boy gibi ölçüm değerleri kişiden kişiye değişen belirsiz ifadelerdir. Hayatımızda, buna benzer belirsizlikler içeren birçok olay vardır. Gün geçtikçe, etrafımızda bulunan belirsizliğin objektif olarak incelenmesi için klasik yöntemlerin dışında belirsizliği de inceleyen metotlara ihtiyaç duyulmaktadır. Belir-sizliğin birçok türüne özellikle sosyal bilimler, tıp bilimleri, biyoloji, ekonomi ve mühendislik gibi alanlarda sıkça rastlanmaktadır. Bu yüzden bilim adamları belirsiz-liği anlamak ve elverişli çözümler sağlamak için bir hayli teori geliştirmeye başlamış-lardır. Aralık matematiği, olasılık teorisi, bulanık kümeler teorisi (Zadeh, 1965), yaklaşımlı kümeler teorisi (Pawlak, 1982), esnek kümeler teorisi (Molodtsov, 1999) en iyi bilinen ve belirsizliği modellemek için sık kullanılan matematiksel teorilerden birkaçıdır.
Belirsizlikleri modellemede kullanılan teorilerden biri esnek kümelerdir. Esnek kümeler ilk defa Molodtsov tarafından 1999 yılında ortaya atıldı. Esnek küme teorisi bulanık küme teorisindeki reel değerli bir fonksiyon yerine küme değerli bir fonksiyonla belirsizliği ortadan kaldırmayı amaçlamıştır. Molodtsov (1999, 2004, 2006) sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonlar, oyun teorisi, yöneylem araştırması, Rienmann integrali, Peron integrali, olasılık teori, ölçüm teori gibi bir çok kavramı esnek kümeler üzerinde çalıştı. Maji ve arkadaşları (2003) esnek küme işlemlerini tanımladı. Daha sonra Çağman ve Enginoğlu (2010) esnek küme işlemlerini yeniden tanımladılar. Maji ve ark. (2002, 2003) , Pawlak (1982)’ın yaklaşımlı küme teorisi yardımıyla, bir karar verme probleminde esnek kümelerin bir uygulamasını yaptı ve esnek kümelerde birtakım işlemleri tanımladı. Xiao ve ark. (2003) esnek küme bazlı iş rekabet kapasitesi için yapay bir hesaplama metodu hakkında çalışma yaptı. Yang ve ark. (2004), esnek kümeler ve yaklaşımlı kümelere dair klinik teşhisin karar analizi ve indüksiyon başlıklı bir çalışma yaptı. Chen ve ark. (2003, 2005) ile Kong ve ark. (2008) esnek kümelerde parametre indirgemesi üzerine çalışmalar yaptı. Xiao ve
ark. (2005) ile Pei ve Miao (2005), esnek tabanlı bilgi sistemleri üzerine çalışmalar sundular. Mushrif ve ark. (2006), esnek küme temelli sınıflandırmalar üzerine bir makale yayımladı. Molodtsov ve ark. (2006) tarafından, esnek küme teorisi üzerine dayalı bir analiz geliştirerek, esnek sayı, esnek türev, esnek integral gibi kavramlar formüle edildi. Bu analiz, Kovkov ve ark. (2007) tarafından optimizasyon teorisi ile ilgili problemlere uygulandı.
Esnek kümeler üzerindeki cebirsel ilk olarak Aktaş ve Çağman (2007) tarafından esnek grupların tanımını vermesiyle başlamıştır. Jun (2008) esnek BCK/BCI-cebirleri ve esnek alt cebir kavramlarını ortaya atarak, onların birtakım temel özeliklerini meydana getirdi. Feng ve ark. (2008) esnek küme teorisini değerlendirerek esnek yarı halkalar çalışmasını sundu ve ilgili bazı özeliklerini inceledi. Sun ve ark. (2008) esnek modüllerin tanımını verdi. Ayrıca modülleri ve Molodtsov’un esnek küme tanımını kullanarak bazı temel özelikleri inşa etti. Acar ve ark. (2010) esnek küme ve esnek halkalar çalışmasını yayımladı. Normalistik esnek grup ve normalistik esnek grup homomorfizmini konu alan çalışma Sezgin ve Atagün (2011) tarafından çalışıldı. Ayrıca halka, cisim ve modüllerin esnek alt yapıları da Atagün ve Sezgin (2011a, 2011b) tarafından ele alındı.
Bu tez çalışmasında, ilk önce kullanacağımız grup teorisi ve esnek kümelerle ilgili temel tanım ve teoremler verildikten sonra esnek birleşimsel grupların tanımı verildi. Daha sonra, normal esnek birleşimsel alt grup, karakteristik esnek birleşimselgrup, eşlenik esnek birleşimsel grup, esnek normalleyen kavramları verildi ve grup theorsindeki bazı sunuçlardan yararlanarak bunlarla ilgili bazı temel özellikler incelendi. Bunlara ilaveten, esnek birleşimsel gruplar ve esnek kesişimsel gruplar arasındaki ilişkiler araştrıldı.
Bu bölümde, Taşçı (2007), Asar (2009), Rotman (1999) ve Dummit (1999) kaynaklarında yer alan grup teorisi ile ilgili diğer bölümlerde kullanacağımız temel tanım ve teoremler verilecektir.
Tanım 2.1. G boş olmayan bir küme olmak üzere
? : G × G → G
dönüşümüne G üzerinde bir ikili işlem denir. Eğer ?, G üzerinde bir ikili işlem ise (G, ?) ifadesine G’de bir cebirsel yapı denir.
Tanım 2.2. G boş olmayan bir küme ve ? bu küme üzerinde bir ikili işlem ise aşağıdaki şartları sağlayan (G, ?) cebirsel yapısına bir grup denir.
G1) ∀a, b, c ∈ G için (a ? b) ? c = a ? (b ? c)
G2) Öyle bir e ∈ G vardır ki ∀a ∈ G için a ? e = e ? a = a olmalıdır (e elemenına G’nin birim elemanı denir).
G3) e, G nin birim elemanı olmak üzere, G kümesindeki herbir a elemanı için
a ? a0 = a0? a = e
olacak şekilde bir tek a0 ∈ G vardır (a0 elemenına a elemanının tersi denir ve a−1 ile
gösterilir).
Burada;
• (G1) şartını sağlayan (G, ?) cebirsel yapısına yarı grup denir.
• ∀a, b ∈ G için a ? b = b ? a şartını sağlayan (G, ?) grubuna değişmeli grup denir. Örnek 2.3. Bir n kenarlı düzgün çokgende, r merkez etrafında saat yönünde dönmeyle elde edilen keyfi bir permütasyon ve s yansımalarla elde edilen keyfi bir permütasyon olmak üzere rn = 1, s2 = 1 ve rs = srn−1 şartlarını sağlayan r ve s permütasyonları
tarafından üretilen
D2n= {1, r, r2, ..., rn−1, s, sr, sr2, ..., srn−1}
kümesi bileşke işlemine göre bir gruptur. Bu gruba Dihedral grup denir.
Tanım 2.4. (G, ?) bir grup ve H, G nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ?) cebirsel yapısı bir grup ise bu gruba (G, ?) grubunun bir alt grubu denir ve H ≤ G şeklinde gösterilir.
Teorem 2.5. (G, ?) bir grup ve H, G’nin boştan farklı bir alt kümesi olsun. Buna göre H ≤ G olması için gerek ve yeter şart
i) ∀a, b ∈ H için a ? b ∈ H ii) ∀a ∈ H için a−1 ∈ H
şartlarının sağlanmasıdır.
Not 2.6.Bundan sonra aksi belirtilmedikce ve karışıklığa neden olmadığı durumlarda (G, ?) şeklinde gösterilen cebirsel yapılar kısaca G şeklinde gösterilecektir ve ayrıca a, b ∈ G için a ? b gösterimi yerine ab gösterimi kullanılacaktır.
Tanım 2.7. G bir grup olmak üzere
M (G) = {a ∈ G : ∀x ∈ G için ax = xa} şeklinde tanımlanan kümeye G grubunun merkezi denir.
Teorem 2.8. Bir grubun merkezi o grubun bir alt grubudur. Yani G bir grup ve G nin merkezi M (G) ise M (G) ≤ G dir.
Tanım 2.9. G bir grup ve a, G nin sabit bir elemanı olmak üzere a elemanının merkezleyicisi
M (a) = {g ∈ G : ag = ga} olarak tanımlanır ve M (a) ile gösterilir.
Teorem 2.10. Bir G grubundaki her bir a elemanı için a elemanın merkezleyicisi G nin bir alt grubudur. Yani M (a) ≤ G dir.
Tanım 2.11. G bir grup, H ≤ G ve a ∈ G olmak üzere
aH = {ah : h ∈ H} kümesine H’nın G’deki a’yı kapsayan sol yan kümesi ve
Ha = {ha : h ∈ H}
kümesine H’nın G’deki a’yı kapsayan sağ yan kümesi denir.
Tanım 2.12. G bir grup ve H ≤ G olsun.
NG(H) = {g ∈ G : gH = Hg}
şeklinde tanımlanan kümeye H’nın G içindeki normalleyeni denir.
Teorem 2.13. G bir grup, H ≤ G ve NG(H) , H nın G içindeki normalleyeni
olsun. O halde NG(H) ≤ G dir.
Tanım 2.14. G bir grup ve H ≤ G olsun. Eğer H nın G deki bütün sağ ve sol yan kümeleri eşitse, yani ∀a ∈ G için aH = Ha oluyorsa o takdirde H alt grubuna G nin normal alt grubu denir ve H ¢ G şeklinde gösterilir.
Teorem 2.15. G bir grup ve N ≤ G olsun. Buna göre aşağıdaki önermeler birbirine denktir.
i) ∀g ∈ G için ve ∀n ∈ N için gng−1 ∈ N dir.
ii) ∀g ∈ G için gNg−1 ⊆ N dir.
iii) ∀g ∈ G için gNg−1 = N dir.
iv) ∀g ∈ G için gN = Ng dir.
Teorem 2.16. Bir grubun merkezi o grubun bir normal alt grubudur. Yani G bir grup ve G nin merkezi M (G) olmak üzere M (G) C G dir.
Teorem 2.17. G bir grup, H ≤ G ve NG(H) , H nın G içindeki normalleyeni
olsun. O halde NG(H) C G dir.
Tanım 2.18. (G, ?) ve (H, ◦) iki grup olmak üzere eğer ϕ : G → H dönüşümü ∀x, y ∈ G için
ϕ (x ? y) = ϕ (x) ◦ ϕ (y)
şartını sağlarsa ϕ ye bir grup homomorfizması ya da kısaca bir homomorfizma denir.
Eğer,
• ϕ, örten bir grup homomorfizması ise ϕ ye bir epimorfizma denir. • ϕ, 1 − 1 bir grup homomorfizması ise ϕ ye bir monomorfizma denir. • ϕ, 1 − 1 ve örten bir grup homomorfizması ise ϕ ye bir izomorfizma denir. • ϕ : G → G bir grup homomorfizması ise ϕ ye bir endomorfizma denir. • ϕ : G → G bir grup izomorfizması ise ϕ ye bir otomorfizma denir.
Tanım 2.19. G ve H iki grup olsun. ϕ : G → H bir grup homomorfizması olmak
üzere ϕ dönüşümünün görüntü kümesi
Im(ϕ) = {ϕ(g) : g ∈ G} olarak tanımlanır.
Bu bölümde, (Molodtsov, 1999) tarafından ortaya atılan esnek kümelerle ilgili kullanacağımız temel tanım ve teoremlere yer verilecektir.
Tanım 3.20. U ve E boştan farklı herhangi iki küme ve P (U), U’nun kuvvet kümesi olmak üzere
fE : E → P (U)
fonksiyonuna U üzerinde bir esnek küme denir ve
fE = {(x, fE(x)) : x ∈ E}
şeklinde ikililer kümesi olarak ifade edilebilir.
Burada; U ya evrensel küme, E ye parametrelerin kümesi ve her x ∈ E için fE(x)
değerine fE esnek kümesinin x-yaklaşımı denir (Molodtsov, 1999).
U üzerinde tanımlı bir fE esnek kümesi, U evrensel kümesinin elemanlarını E
parametre kümesinin elemanlarıyla sınıfladırmaktadır.
Bundan sonra, U evrensel ve E parametre kümesi üzerinde tanımlı bütün esnek kümelerin kümesi SE(U) ile gösterilecektir.
Örnek 3.21. U = {u1, u2, u3, u4, u5} evrensel kümesi bir araba galerisindeki arabaların
kümesi ve e1 "konforlu", e2 "ekonomik", e3 "geniş", e4 "hızlı", e5 "lüks", e6 "güzel
renkli" parametresini göstermek üzere E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} bu arabaları niteleyen
parametreler kümesi olsun. Buna göre araba almaya gelen kişi için fE esnek kümesini
oluşturalım. Bunun için önce verilen parametrelere göre arabaları sınıflandıralım. fE(e1) = ∅
fE(e2) = {u2, u4}
fE(e3) = {u2, u3, u5}
fE(e5) = {u1, u2}
fE(e6) = ∅
O halde f esnek kümesi
fE = {(e2, {u2, u4}), (e3, {u2, u3, u5}), (e5, {u1, u2})}
şeklinde yazılabilir. Burada görüntüsü boş küme olan elemanlar yazılmamıştır ve bundan sonra da yazmayacağız.
Not 3.22. U evrensel ve E parametere kümesinin bir A alt kümesi üzerinde tanımlı esnek küme fA ile gösterilecektir.
Tanım 3.23. fA∈ SE(U) olsun. Eğer her x ∈ E için fA(x) = ∅ ise fA’ya boş esnek
küme denir ve fΦ ile gösterilir (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.24. fA∈ SE(U) olsun. Eğer her x ∈ A için fA(x) = U ise fA’ya A evrensel
esnek küme denir ve fA˜ ile gösterilir (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.25. fA∈ SE(U) olsun. Eğer her x ∈ E için fA(x) = U ise fA’ya evrensel
esnek küme denir ve fE˜ ile gösterilir (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.26. fA, fB ∈ SE(U) olsun. Eğer her x ∈ E için fA(x) ⊆ fB(x) ise fA
esnek kümesine fB’nin esnek alt kümesi denir ve fA⊆fe B ile gösterilir (Çağman ve
Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.27. fA, fB ∈ SE(U) olsun. Eğer her x ∈ E için fA(x) = fB(x) ise fA ve
fB esnek kümelerine esnek eşit kümeler denir ve fA = fB ile gösterilir (Çağman ve
Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.28. fA ∈ SE(U) olsun. fAesnek kümesinin esnek tümleyeni fAec, her x ∈ E
için fec
A(x) = U \ fA(x) şeklinde tanımlanır (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Tanım 3.29. fA, fB ∈ SE(U) olsun. fA ve fB esnek kümelerinin esnek birleşimi
fA∪fe B, her x ∈ E için
(fA∪fe B)(x) = fA(x) ∪ fB(x)
Tanım 3.30. fA, fB ∈ SE(U) olsun. fA ve fB esnek kümelerinin esnek kesişimi
fA∩fe B, her x ∈ E için
(fA∩fe B)(x) = fA(x) ∩ fB(x)
şeklinde tanımlanır (Çağman ve Enginoğlu, 2010).
Önerme 3.31. fA∈ SE(U) olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:
1. (f˜c A)˜c= fA 2. f˜c Φ = fE˜ 3. fA∪fe A= fA 4. fA∩fe A= fA 5. fA∪fe Φ = fA 6. fA∩fe Φ = fΦ 7. fA∪fe E˜ = fE˜ 8. fA∩fe E˜ = fA 9. fA∪fe A˜c = fE˜ 10. fA∩fe A˜c = fΦ (Çağman ve Enginoğlu, 2010)
Önerme 3.32. fA, fB, fC ∈ SE(U) olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır:
1. fA∪fe B = fB∪fe A
2. fA∩fe B = fB∩fe A
4. (fA∩fe B)˜c= fA˜c∪f˜ B˜c 5. (fA∪fe B)e∪fC = fA∪(fe B∪fe C) 6. (fA∩fe B)e∩fC = fA∩(fe B∩fe C) 7. fA∪(fe B∩fe C) = (fA∪fe B)e∩(fA∪fe C) 8. fA∩(fe B∪fe C) = (fA∩fe B)e∪(fA∩fe C) (Çağman ve Enginoğlu, 2010)
Tanım 3.33. fA, fB ∈ SE(U) olsun. fA ve fB esnek kümelerinin esnek ∧-çarpımı
fA∧ fB, her (x, y) ∈ E × E için
(fA∧ fB)(x, y) = fA(x) ∩ fB(y)
şeklinde tanımlanır (Maji ve ark., 2003).
Burada dikkat edilecek olursa (fA∧ fB)(x, y) ∈ SE×E(U) dur.
Tanım 3.34. fA, fB ∈ SE(U) olsun. fA ve fB esnek kümelerinin esnek ∨-çarpımı
fA∨ fB, her (x, y) ∈ E × E için
(fA∨ fB)(x, y) = fA(x) ∪ fB(y)
şeklinde tanımlanır (Maji ve ark., 2003).
Yine burada dikkat edilecek olursa (fA∨ fB)(x, y) ∈ SE×E(U) dur.
Önerme 3.35. fA, fB, fC ∈ SE(U) olsun. Bu durumda aşağıdakiler geçerlidir:
1. (fA∧ fB) ∧ fC = fA∧ (fB∧ fC)
(Maji ve ark., 2003)
Tanım 3.36. fA, fB∈ SE(U) olsun. fAve fBkümelerinin kısıtlanmış esnek kesişimi
fAe fB her x ∈ A ∩ B 6= ∅ için
(fAe fB)(x) = fA(x) ∩ fB(x)
şeklinde tanımlanır (Ali ve ark., 2009).
Tanım 3.37. fA, fB ∈ SE(U) olsun. fA ve fB kümelerinin kısıtlanmış esnek
birleşimi fAd fB her x ∈ A ∩ B 6= ∅ için
(fAd fB)(x) = fA(x) ∪ fB(x)
şeklinde tanımlanır (Ali ve ark., 2009).
Tanım 3.38. G bir grup ve fG ∈ SG(U) olsun.
1. Her x, y ∈ G için fG(xy) ⊇ fG(x) ∩ fG(y)
2. Her x ∈ G için fG(x−1) = fG(x)
şartları sağlanıyorsa fG esnek kümesine U üzerinde bir esnek kesişimsel grup denir
(Çağman ve ark., 2012)
Bu tez çalışması boyunca, "esnek kesişimsel gruplar" yerine kısaca "EK-grup" kullanacağız.
Tanım 4.1. G bir grup ve fG ∈ SG(U) olsun.
1. Her x, y ∈ G için fG(xy) ⊆ fG(x) ∪ fG(y)
2. Her x ∈ G için fG(x−1) = fG(x)
şartları sağlanıyorsa fG esnek kümesine U üzerinde bir esnek birleşimsel grup denir.
Bunda sonra tez çalışması boyunca, "esnek birleşimsel gruplar" yerine kısaca "EB-grup" kullanacağız.
Örnek 4.2. Kabul edelim ki U = S3 evrensel küme ve
G = D2 = {< x, y >: x2 = y2 = e, xy = yx} = {e, x, y, yx}
dihedral grubu parametreler kümesi olsun. Bilindiği gibi D2’nin grup tablosu aşağıdaki
gibidir : . e x y yx e e x y yx x x e yx y y y yx e x yx yx y x e
Eğer fG esnek kümesini,
fG(e) = {(13)}
fG(x) = {e, (12), (13)}
fG(y) = {e, (13), (23)}
fG(yx) = {e, (12), (13), (23)}
Örnek 4.3. U = Z10 evrensel küme ve G = Z10 parametreler kümesi olsun. fG
esnek kümesini her x ∈ Z10 için
fG(x) = {y ∈ Z10 : y ∈< x >}
şeklinde tanımlayalım. Burada fG(0) = {0} , fG(1) = fG(3) = fG(7) = fG(9) = Z10
fG(2) = fG(4) = fG(6) = fG(8) = {0, 2, 4, 6, 8}, fG(5) = {0, 5} olur.
fG(4 + 5) = fG(9) = Z10 * fG(4) ∪ fG(5) = {0, 2, 4, 5, 6, 8} olduğundan fG, Z10
üzerinde bir EB-grup değildir.
Grup olarak G = {e} yi aldığımızda fG ve U nasıl tanımlanırsa tanımlansın fG, U
üzerinde bir EB-grup olur.
Önerme 4.4. fG , U üzerinde bir EB-grup ise, her x ∈ G için fG(e) ⊆ fG(x) dir.
İspat . fG, U üzerinde bir EB-grup olduğundan, her x ∈ G için
fG(e) = fG(xx−1) ⊆ fG(x) ∪ fG(x−1) = fG(x) ∪ fG(x) = fG(x)
sağlanır.
Teorem 4.5. U üzerinde bir fG esnek kümesinin bir EB-grup olması için gerek ve
yeter şart her x, y ∈ G için fG(xy−1) ⊆ fG(x) ∪ fG(y) olmasıdır.
İspat . Kabul edelim ki fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O halde her x, y ∈ G
için
fG(xy−1) ⊆ fG(x) ∪ fG(y−1) = fG(x) ∪ fG(y)
dir.
Tersine her x, y ∈ G için fG(xy−1) ⊆ fG(x) ∪ fG(y) olsun.
fG(yy−1) = fG(e) ⊆ fG(y) ∪ fG(y) = fG(y) olduğundan x = e seçersek
fG(ey−1) = fG(y−1) ⊆ fG(e) ∪ fG(y) = fG(y)
olur. Benzer şekilde
olup böylece her y ∈ G için fG(y−1) = fG(y) olur. Ayrıca kabulümüzden
fG(xy) ⊆ fG(x) ∪ fG(y−1) = fG(x) ∪ fG(y)
olduğundan fG, U üzerinde bir EB-gruptur.
Teorem 4.6. fG, U üzerinde bir EB-grup ve x ∈ G olsun. O halde her y ∈ G için
fG(xy) = fG(y) olması için gerek ve yeter şart fG(x) = fG(e) olmasıdır.
İspat . Kabul edelim ki her y ∈ G için fG(xy) = fG(y) olsun. O zaman y = e
seçersek fG(x) = fG(e) olduğunu elde ederiz.
Tersine fG(x) = fG(e) olsun. Önerme 4.4’den her y ∈ G için
fG(e) = fG(x) ⊆ fG(y)
olur. fG, U üzerinde bir EB-grup olduğundan her y ∈ G için
fG(xy) ⊆ fG(x) ∪ fG(y) = fG(y)
olur. Ayrıca, yukarıdaki ifadeden her y ∈ G için
fG(y) = fG((x−1x)y)
= fG(x−1(xy))
⊆ fG(x−1) ∪ fG(xy)
= fG(x) ∪ fG(xy)
= fG(xy)
olduğundan her y ∈ G için fG(xy) = fG(y) sağlanır.
Teorem 4.7. fG, U üzerinde bir EB-grup ve x ∈ G olsun. O halde her y ∈ G için
fG(x) = fG(e) ⇒ fG(xy) = fG(yx)
İspat . Teorem 4.6 dan, fG(x) = fG(e) ise her y ∈ G için fG(xy) = fG(y) dir. Bu
yüzden ispatı tamamlamak için her y ∈ G için fG(yx) = fG(y) olduğunu göstermek
yeterlidir. x ∈ G olsun, o halde her y ∈ G için
fG(yx) = fG(yx(yy−1))
= fG(y(xy)y−1)
⊆ fG(y) ∪ fG(xy) ∪ fG(y−1)
= fG(y) ∪ fG(xy)
= fG(y) ∪ fG(y) ( T eorem 4.6)
= fG(y)
olur. Ayrıca her y ∈ G için
fG(y) = fG(y(xx−1))
= fG((yx)x−1)
⊆ fG(yx) ∪ fG(x)
= fG(yx)
dir. Böylece fG(yx) = fG(y) ve her y ∈ G için fG(xy) = fG(yx) elde edilir.
Sonuç 4.8. fG, U üzerinde EB-grup ve x ∈ G ise her y ∈ G için
fG(xy) = fG(yx) = fG(y) olması için gerek ve yeter şart fG(x) = fG(e) olmasıdır.
Teorem 4.9. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman x, y ∈ G için
fG(y) ( fG(x) ise
fG(xy) = fG(x) = fG(yx)
dir. Burada fG(y) ( fG(x) , fG(y) ⊆ fG(x) fakat fG(y) 6= fG(x) olmasıdır.
İspat . fG, U üzerinde bir EB-grup olduğundan
olur. Diğer taraftan,
fG(x) = fG(x(yy−1))
= fG((xy)y−1)
⊆ fG(xy) ∪ fG(y)
fG(y) ( fG(x) ve fG(x) ⊆ fG(xy) ∪ fG(y) olduğundan, fG(y) ⊆ fG(xy) dir. Böylece,
fG(x) ⊆ fG(xy) dir ve her y ∈ G için fG(xy) = fG(x) olur. fG(yx) = fG(x) in bu
varsayımla sağlandığı ve böylece ispatın tamamlandığı kolayca görülebilir.
Not 4.10. Eğer hipotezde fG(y) ( fG(x) yerine fG(y) ⊆ fG(x) alırsak Teorem 4.9
geçersiz olur.
Örnek 4.11. Kabul edelim ki G = {1, −1, i, −i} evrensel küme ve G parametre kümesi olsun. Eğer her x ∈ G için fG esnek kümesini
fG(x) = {y ∈ G : y = xn, n ∈ N}
ile tanımlarsak fG(1) = {1}, fG(−1) = {−1, 1}, fG(i) = fG(−i) = {−1, 1, i, −i} =
G olup fGnin U üzerinde bir EB-grup olduğu kolayca gösterilebilir. Burada fG(i) ⊆
fG(−i), fakat fG(i.(−i)) = fG((−i).i) 6= fG(−i) dir.
Teorem 4.12. fG ve fH, U üzerinde EB-gruplar olsun. O zaman fG ∨ fH, U
üzerinde EB-gruptur.
İspat . Tanım 3.34 den her (x, y) ∈ E × E için (fG∨ fH)(x, y) = fG(x) ∪ fH(y) dir.
(x1, y1), (x2, y2) ∈ G × H alalım. O halde, (fG∨ fH)((x1, y1)(x2, y2)−1) = (fG∨ fH)(x1x2−1, y1y2−1) = fG(x1x2−1) ∪ fH(y1y2−1) ⊆ (fG(x1) ∪ fG(x2)) ∪ (fH(y1) ∪ fH(y2)) = (fG(x1) ∪ fH(y1)) ∪ (fG(x2) ∪ fH(y2)) = (fG∨ fH)(x1, y1) ∪ (fG∨ fH)(x2, y2)
olur. Böylece fG∨ fH, U üzerinde bir EB-gruptur.
fGve fH, U üzerinde birer EB-grup olduğunda aşağıdaki örnekte de gösterildiği gibi
fG∧ fH ın U üzerinde bir EB-grup olmak zorunda olmadığına dikkat edilmelidir.
Örnek 4.13. fG Örnek 4.2 deki S3 üzerinde bir EB-grup ve E = Z6 parametreler
kümesi olsun. Ayrıca H = {0, 3} ≤ Z6ve fH(0) = {(13)}, fH(3) = {(13), (23), (132)}
ile tanımlansın. fH ın S3 üzerinde bir EB-grup olduğu kolayca görülebilir. Şimdi
de S3 üzerinde fG∧ fH kümesini ele alalım. O zaman
(fG∧ fH)((x, 3)(yx, 0)) = (fG∧ fH)(y, 3)
= {(13), (23)}
(fG∧ fH)(x, 3) ∪ (fG∧ fH)(yx, 0) = (fG(x) ∩ fH(3)) ∪ (fG(yx) ∩ fH(0))
= {(13)} ∪ {(13)} = {(13)}
olur. (fG∧ fH)((x, 3)(yx, 0)) * (fG∧ fH)(x, 3) ∪ (fG∧ fH)(yx, 0) olduğu açıktır. Bu
yüzden fA∧ fB, U üzerinde bir EB-grup değildir.
Teorem 4.14.fGve fH, U üzerinde birer EB-grup olsun. O zaman her (x1, y1), (x2, y2) ∈
G × H için,
dir.
İspat . (x1, y1), (x2, y2) ∈ G × H olsun. Tanım 3.33 den,
(fG∧ fH)((x1, y1)(x2, y2)−1) = (fG∧ fH)(x1x2−1, y1y2−1) = fG(x1x2−1) ∩ fH(y1y2−1) ⊆ (fG(x1) ∪ fG(x2)) ∩ (fH(y1) ∪ fH(y2)) ⊆ (fG(x1) ∪ fG(x2)) ∪ (fH(y1) ∪ fH(y2)) = (fG(x1) ∪ fH(y1)) ∪ (fG(x2) ∪ fH(y2)) = (fG∨ fH)(x1, y1) ∪ (fG∨ fH)(x2, y2) elde edilir.
Teorem 4.15.fGve hG, U üzerinde iki EB-grup ise fG∪he G de U üzerinde EB-gruptur.
İspat . x, y ∈ G olsun. Tanım 3.30 dan,
(fG∪he G)(xy−1) = fG(xy−1) ∪ hG(xy−1)
⊆ (fG(x) ∪ fG(y)) ∪ (hG(x) ∪ hG(y))
= (fG(x) ∪ hG(x)) ∪ (fG(y) ∪ hG(y))
= (fG∪he G)(x) ∪ (fG∪he G)(y)
olur. Böylece fG∪he G, U üzerinde EB-gruptur.
Aşağıdaki teorem U üzerinde EK-grup ve EB-grup arasındaki temel ilşkiyi vermektedir. Teorem 4.16.fG, U üzerinde bir esnek küme olsun. fG nin U üzerinde bir EB-grup
olması için gerek ve yeter şart fec
İspat . fG U üzerinde bir EB-grup olsun.O halde her x, y ∈ G için fec G(xy−1) = U \ fG(xy−1) ⊇ U \ ((fG(x) ∪ fG(y)) = (U \ fG(x)) ∩ (U \ fG(y)) = fec G(x) ∩ fGec(y) olup bu fec
G nin U üzerinde bir EK-grup olduğunu gösterir.
Tersine, fec
G U üzerinde bir EK-grup olsun. O halde her x, y ∈ G için
fG(xy−1) = U \ fGec(xy−1) ⊆ U \ (fec G(x) ∩ fGec(y)) = (U \ fec G(x)) ∪ (U \ fGec(y)) = fG(x) ∪ fG(y)
Böylece fG U üzerinde bir EB-gruptur.
Teorem 4.16 bir esnek kümenin U üzerinde bir EB-grup olması halinde, onun tümleyeninin U üzerinde bir EK-grup olduğunu ve tersinin de doğru olduğunu gösterir.
Tanım 4.17. G bir grup, H ≤ G ve fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. Eğer fH
(fG nin esnek alt kümesi) kendi başına U üzerinde bir EB-grup ise o zaman fH ın
U üzerinde fG nin bir esnek birleşimsel-alt grubu olduğu söylenir ve bu fH≤fufG ile
gösterilir.
Örnek 4.18. U = Z yi evrensel küme olarak ve toplamsal grup G = Z4 ü parametre
kümesinin alt kümesi olarak düşünelim. Esnek küme fG yi fG(0) = {0, 2}, fG(1) =
fG(3) = {0, 1, 2, 3} ve fG(2) = {0, 2, 3} ile tanımlayalım. O zaman fGnin U üzerinde
bir EB-grup olduğu açıktır. H = {0, 2} ≤ Z4 ve Z üzerinde fH, fH(0) = {0} ve
fH(2) = {0, 2} ile tanımlansın. fH, fG nin bir esnek alt kümesi olduğundan ve
Teorem 4.19. U üzerinde fH≤fufG ve fK≤fufG olsun. O zaman U üzerinde
fH d fK≤fufG
dir.
İspat . Tanım 3.37 den, her x ∈ H ∩ K 6= ∅ için (fHd fK)(x) = fH(x) ∪ fK(x) dir.
Ayrıca H, K ≤ G olduğundan H ∩ K ≤ G dir. x, y ∈ H ∩ K olsun,
(fH d fK)(xy−1) = fH(xy−1) ∪ fK(xy−1)
⊆ (fH(x) ∪ fH(y)) ∪ (fK(x) ∪ fK(y))
= (fH(x) ∪ fK(x)) ∪ (fH(y) ∪ fK(y))
= (fH d fK)(x) ∪ (fH d fK)(y)
olur. Bu yüzden, U üzerinde fH d fK≤fufG olur.
Sonuç 4.20. Eğer fG, U üzerinde bir EB-grup, fN≤fufG ve fH≤fufG ise o zaman
fN ∨ fH, U üzerinde fG nin bir esnek birleşimsel-altgrubu değildir. Çünkü eğer N
ve H, G nin altgrupları ise N × H, G nin bir altgrubu olmaz. Ayrıca, fN ve fH U
üzerinde fG nin iki esnek birleşimsel-altgrubu ise o zaman fN ve fH ın kısıtlanmış
kesişimi U üzerindeki fG nin bir esnek birleşimsel-altgrubu olması gerekmez. Ancak
şöyle olur:
Teorem 4.21. U üzerinde fH≤fufG ve fK≤fufG olsun. O zaman her x, y ∈ H ∩ K
için
(fH e fK)(xy−1) ⊆ (fH d fK)(x) ∪ (fH d fK)(y)
İspat . x, y ∈ H ∩ K olsun. Tanım 3.36 dan,
(fH e fK)(xy−1) = fH(xy−1) ∩ fK(xy−1)
⊆ (fH(x) ∪ fH(y)) ∩ (fK(x) ∪ fK(y))
⊆ (fH(x) ∪ fH(y)) ∪ (fK(x) ∪ fK(y))
= (fH(x) ∪ fK(x)) ∪ (fH(y) ∪ fK(y))
= (fH d fK)(x) ∪ (fH d fK)(y)
elde edilir.
Tanım 4.22. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. Eğer, her x, y ∈ G için fG(xy) =
fG(yx) oluyorsa fG, U üzerinde bir abelyan esnek birleşimsel-grup olarak adlandırılır.
Açıktır ki G abelyan ise fG de U üzerinde abelyandır.
Tanım 4.23.fG, U üzerinde bir EB-grup ve fN≤fufGolsun. Eğer fN, U üzerinde bir
abelyan EB-grup ise fN nin U üzerinde fGnin bir normal esnek birleşimsel-altgrubu
olduğu söylenir. Bu fN/eufG ile gösterilir.
Eğer G bir abelyan grup ve fN≤fufG ise fN, U üzerinde fG nin bir normal esnek
birleşimsel-altgrubudur. Bu durum, şayet G bir abelyan grup ise G nin bir H altgrubunun G de normal olduğu gerçeğiyle benzerlik gösterir.
Örnek 4.24. U = Z8 evrensel küme ve G = S3 parametrelerin kümesi olsun. Bir
fG esnek kümesini fG(e) = {2, 3}, fG((12)) = fG((23)) = fG((13)) = {1, 2, 3, 5, 7}
ve fG((123)) = fG((132)) = {1, 2, 3, 5} şeklinde oluşturalım. fG nin U üzerinde
bir EB-grup olduğu kolayca gösterilebilir. N = A3 = {e, (123), (132)} ≤ S3
alterne grup olsun ve S3 üzerinde fN esnek kümesi; fN(e) = {3} ve fN((123)) =
fN((132)) = {2, 3, 5} şeklinde olsun. Bu durumda fN≤fufGve fN/eufGolduğu kolayca
gösterilebilir.
Teorem 4.25. U üzerinde fH/eufG ve fK/eufG olsun. O zaman U üzerinde
dir.
İspat . Teorem 4.19 da, fG nin iki esnek birleşimsel-altgrubunun kısıtlı birleşiminin
U üzerinde fG nin bir esnek birleşimsel-altgrubu olduğu gösterilmiştir. Tanım 3.37
den her x ∈ H ∩ K 6= ∅ için (fH d fK)(x) = fH(x) ∪ fK(x) idi. Şimdi x, y ∈ H ∩ K
ise
(fH d fK)(xy) = fH(xy) ∪ fK(xy)
= fH(yx) ∪ fK(yx), fH, fK/eufG
= (fH d fK)(yx)
olur. Böylece U üzerinde fH d fK/eufG dir.
Teorem 4.26. U üzerinde fH≤fufG öyleki her x ∈ H için fH(e) = fH(x) ve fK/eufG
olsun. O zaman, U üzerinde fH d fK/eufG dir.
İspat . fG nin iki esnek birleşimsel-altgrubunun kısıtlı birleşiminin U üzerinde fG
nin bir esnek birleşimsel-altgrubu olduğu gerçeği Teorem 4.19 da gösterilmiştir. Şimdi biz fHdfKnın fGnin bir normal esnek birleşimsel-altgrubu olduğunu gösterelim.
Teorem 4.7 den her y ∈ H için fH(xy) = fH(yx) idi. Şimdi,
(fH d fK)(xy) = fH(xy) ∪ fK(xy)
= fH(yx) ∪ fK(yx)
= (fH d fK)(yx)
Bu nedenle, U üzerinde fH d fK/eufG elde edilir.
Bu bölümde anti görüntüyü ve bir esnek kümenin e-sol kosetini tanımlayıp bu tanımların esnek birleşimsel gruplarla olan ilişkisini inceleyeceğiz. Ayrıca esnek birleşimsel grubun grup teoriye bazı uygulamalarını vereceğiz.
Tanım 4.27. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O halde fG nin e-kümesi GfG ile
gösterilir ve
şeklinde tanımlanır.
Teorem 4.28. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman GfG, G nin bir
altgrubudur.
İspat . e ∈ GfG olduğu açıktır ve ∅ 6= GfG ⊆ G dir. Her x, y ∈ GfG için xy
−1 ∈
GfG olduğunu göstermeliyiz. x, y ∈ GfG olduğundan fG(x) = fG(y) = fG(e) dir.
Önerme 4.4 den her x, y ∈ GfG için fG(e) ⊆ fG(xy
−1) dir. f
G, U üzerinde bir
EB-grup olduğundan her x, y ∈ GfG için, fG(xy
−1) ⊆ f
G(x) ∪ fG(y) = fG(e) dir.
fG(xy−1) = fG(e) olup xy−1 ∈ GfG dir. O halde GfG, G nin bir altgrubudur.
Eğer G abelyan ise GfG nin G nin bir normal altgrubu olduğuna dikkat edilmelidir.
Önerme 4.29. fG, U üzerinde bir abelyan EB-grup olsun. O zaman GfG, G nin
bir normal altgrubudur.
İspat . g ∈ G ve x ∈ GfG olsun. O zaman
fG(gxg−1) = fG(gg−1x)
= fG(x)
= fG(e)
Bu yüzden, gxg−1 ∈ G
fG dir. Böylece GfG, G de normaldir.
Tanım 4.30. fG, U üzerinde bir EB-grup ve x ∈ G olsun. Her g ∈ G için
x ˆfG : G → U
x ˆfG(g) = fG(gx−1) dönüşümünü tanımlayalım. x ˆfG, x ve fG tarafından belirlenen
sol yan küme olarak adlandırılır.
Tanım 4.31. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman GfˆG ile ifade edilen fG
nin e-sol koset kümesi
GfˆG = {x ∈ G : x ˆfG = e ˆfG}
şeklinde tanımlanır.
Teorem 4.32. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman GfˆG, G nin bir
altgrubudur.
İspat . e ∈ GfˆG olduğu açıktır ve ∅ 6= GfˆG ⊆ G dir. Her g ∈ G ve x, y ∈
GfˆG için xy−1 ∈ GfˆG olduğunu yani fG(g(xy−1)−1) = fG(ge−1) = fG(g) olduğunu
göstermeliyiz. x, y ∈ GfˆG ve fG, U üzerinde bir EB-grup olduğundan, g ∈ G
ve x, y ∈ GfˆG için fG(gx−1) = fG(gy−1) = fG(ge−1) = fG(g) olduğunu biliyoruz.
Böylece her g ∈ G ve x, y ∈ GfˆG için
fG(g(xy−1)−1) = fG(g(yx−1)) = fG(gy(g−1g)x−1) = fG(g(yg−1)(gx−1)) ⊆ fG(g) ∪ fG(yg−1) ∪ fG(gx−1) = fG(g) ∪ fG((gy−1)−1) ∪ fG(g) = fG(g) ∪ fG(gy−1) ∪ fG(g) = fG(g) ∪ fG(g) ∪ fG(g) = fG(g)
olur. Benzer şekilde fG(g) ⊆ fG(g(xy−1)−1) olduğu gösterilebilir. Böylece her g ∈ G
ve x, y ∈ GfˆG için fG(g(xy−1)−1) = fG(g) dir. O halde xy−1 ∈ GfˆG olup GfˆG, G nin
bir altgrubudur.
Teorem 4.33. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O halde GfG = GfˆG dir.
İspat . a ∈ GfˆG olsun. O zaman a ˆfG = e ˆfG dir. Yani, her g ∈ G için
dir. Eğer g = e seçersek,
fG(a−1) = fG(e)
olur. Bu da a−1 ∈ G
fG anlamına gelir ve dolayısıyla a ∈ GfG olur. Çünkü GfG, G
nin bir altgrubudur. Böylece
GfˆG ⊆ GfG
olur. Diğer taraftan, b ∈ GfG olsun. O zaman
fG(b) = fG(e)
dir. b ∈ GfˆG olduğunu göstermek için, b ˆfG = e ˆfG yani her g ∈ G için
fG(gb−1) = fG(g)
olduğunu göstermeliyiz. g ∈ G olsun. O zaman
fG(gb−1) ⊆ fG(g) ∪ fG(b)
= fG(g) ∪ fG(e)
= fG(g)
Yine, her g ∈ G için
fG(g) = fG(g(b−1b))
= fG((gb−1)b)
⊆ fG(gb−1) ∪ fG(b)
= fG(gb−1) ∪ fG(e)
= fG(gb−1)
Tanım 4.34. fA ve fB ortak evrensel küme U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, A dan
B ye bir fonksiyon olsun. O halde U üzerinde her b ∈ B için
(Ψ(fA))(b) =
S
{fA(a) | a ∈ A ve Ψ(a) = b}, b ∈ Ψ(A)
∅, diger
şeklinde tanımlanan Ψ(fA) esnek kümesine fA nın Ψ altında esnek görüntüsü denir.
Ayrıca her a ∈ A için U üzerinde
(Ψ−1(fB))(a) = fB(Ψ(a))
şeklinde tanımlanan Ψ−1(f
B) esnek kümesine fB nin Ψ altında esnek ön görüntüsü
denir.
Tanım 4.35. fA ve fB ortak evrensel küme U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, A dan
B ye bir fonksiyon olsun. O halde U üzerinde her b ∈ B için
(Ψ?(f A))(b) = T
{fA(a) | a ∈ A ve Ψ(a) = b}, b ∈ Ψ(A)
∅, diger
şeklinde tanımlanan Ψ?(f
A) esnek kümesine fA nın Ψ altında esnek ters görüntüsü
denir.
Teorem 4.36. A1, A2 ⊆ A olmak üzere fA1 ve fA2 ortak evrensel küme U üzerinde
iki esnek küme ve Ψ, A dan B ye bir fonksiyon olsun. O zaman
a) Ψ?(f A1∩fe A2) = Ψ ?(f A1)e∩Ψ ?(f A2)
b) Eğer fA1⊆fe A2 ise Ψ?(fA1) e⊆Ψ?(fA2) dir.
b) b ∈ B olsun, o zaman (Ψ?(f A1))(b) = \ {fA1(a) : a ∈ A1, Ψ(a) = b} ⊆ \{fA2(a) : a ∈ A2, Ψ(a) = b} = (Ψ?(f A2))(b)
olur ki bu ispatı tamamlar.
Teorem 4.37. fΦ boş esnek küme, fA˜, A-evrensel esnek küme ve Ψ, A dan A ya
bir fonksiyon olsun. O zaman,
a) Ψ(fΦ) = fΦ, Ψ−1(fΦ) = fΦ ve Ψ?(fΦ) = fΦ dir.
b) Ψ−1(f ˜
A) = fA˜ dır ve eğer Ψ bir örten fonksiyon ise o zaman Ψ(fA˜) = fA˜ ve
Ψ?(f ˜
A) = fA˜ dır.
İspat . Tanım 3.23, Tanım 4.34 ve Tanım 4.35 den ispat açıktır.
Teorem 4.38.fAve fB, U üzerinde esnek kümeler, fAec, fBec sırasıyla onların tümleyen
esnek kümeleri ve Ψ, A dan B ye bir fonksiyon olsun. O zaman,
a) Ψ−1(fec
B) = (Ψ−1(fB))ec
b) Ψ(fec
A) = (Ψ?(fA))ec ve Ψ?(fAec) = (Ψ(fA))ec
dır.
İspat . a) a ∈ A olsun. O zaman
(Ψ−1(fBec))(a) = fBec(Ψ(a)) = U \ fB(Ψ(a))
= U \ Ψ−1(fB(a))
olup böylece Ψ−1(fec B) = (Ψ−1(fB))ec elde edilir. b) b ∈ B olsun. O zaman (Ψ(fec A))(b) = [ {fec A(a) : a ∈ A, Ψ(a) = b} = [{U \ fA(a) : a ∈ A, Ψ(a) = b} = U \ {(\fA(a)) : a ∈ A, Ψ(a) = b} = U \ Ψ?(f A)(b) = (Ψ?(f A))ec(b) olur böylece Ψ(fec A) = (Ψ?(fA))ec dır ve benzer şekilde (Ψ?(fec A))(b) = \ {fec A(a) : a ∈ A, Ψ(a) = b} = \{U \ fA(a) : a ∈ A, Ψ(a) = b} = U \ {([fA(a)) : a ∈ A, Ψ(a) = b} = U \ Ψ(fA)(b) = (Ψ(fA))ec(b) olur ve Ψ?(fec A) = (Ψ(fA))ec elde edilir.
Teorem 4.39. fG ve fH, U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, G den H a bir grup
izomorfizması olsun. Eğer fG, U üzerinde bir EK-grup ise Ψ(fG), U üzerinde bir
EK-gruptur (Çıtak, 2011).
Teorem 4.40. fG ve fH, U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, G den H a bir grup
homomorfizması olsun. Eğer fH, U üzerinde bir EK-grup ise o zaman Ψ−1(fH), U
üzerinde bir EK-gruptur (Çıtak, 2011).
Teorem 4.41. fG ve fH, U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, G den H a bir grup
homomorfizması olsun. Eğer fH, U üzerinde bir EB-grup ise o zaman Ψ−1(fH), U
İspat . fH, U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman Teorem 4.16 dan fHec, U
üzerinde bir EK-gruptur ve Teorem 4.40 dan Ψ−1(fec
H), U üzerinde bir EK-gruptur.
Böylece,Teorem 4.38 (a) dan Ψ−1(fec
H) = (Ψ−1(fH))ec, U üzerinde EK-gruptur. Bu
nedenle, Teorem 4.16 dan Ψ−1(f
H), U üzerinde bir EB-gruptur.
Teorem 4.42. fG ve fH, U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, G den H a bir grup
izomorfizması olsun. Eğer fG, U üzerinde bir EB-grup ise o zaman Ψ?(fG), U
üzerinde bir EB-gruptur.
İspat . fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O halde, Teorem 4.16 dan fGec, U üzerinde
bir EK-grup ve Teorem 4.39 dan Ψ(fec
G), U üzerinde bir EK-gruptur. Böylece,
Teorem 4.38 (b) den Ψ(fec
G) = (Ψ?(fG))ec, U üzerinde bir EK-gruptur. Bu nedenle,
Teorem 4.16 dan Ψ?(f
G), U üzerinde bir EB-gruptur.
Teorem 4.43. fG ve fH, U üzerinde esnek kümeler ve Ψ, G den H a bir grup
homomorfizması olsun. Eğer U üzerinde fH/eufG ise U üzerinde Ψ−1(fH) e/ufG dir.
İspat . Eğer U üzerinde fH/eufG ise fH ın kendisi U üzerinde bir EB-gruptur.
Teorem 4.41 den Ψ−1(f
H), U üzerinde bir EB-gruptur. Bu yüzden biz sadece her
x, y ∈ G için Ψ−1(f
H)(xy) = Ψ−1(fH)(yx) olduğunu göstereceğiz. x, y ∈ G olsun, o
halde Ψ−1(fH)(xy) = fH(Ψ(xy)) = fH(Ψ(x)Ψ(y)) = fH(Ψ(y)Ψ(x)), fH/eufG = fH(Ψ(yx)) = Ψ−1(fH)(yx)
elde edilir. Böylece, U üzerinde Ψ−1(f
Tanım 5.1. fG, U üzerinde bir EB-grup ve Θ, G den kendisine bir dönüşüm olsun.
fΘ
G : G → P (U)
her x ∈ G için fΘ
G(x) = fG(Θ(x)) dönüşümünü tanımlayalım. O zaman, G nin
herbir Θ otomorfizması için fΘ
G = fG ise fG, U üzerinde bir karakteristik esnek
birleşimsel-grup olarak adlandırılır.
Teorem 5.2. fG, U üzerinde bir EB-grup ve Θ, G nin bir homomorfizması olsun.
O zaman fΘ
G, U üzerinde bir EB-gruptur .
İspat . Her x, y ∈ G için fΘ
G(xy) ⊆ fGΘ(x) ∪ fGΘ(y) olduğunu göstermeliyiz. Her
x, y ∈ G için
fGΘ(xy) = fG(Θ(xy))
= fG(Θ(x)Θ(y)), Θ homomorf izma
⊆ fG(Θ(x)) ∪ fG(Θ(y)), fG EB − grup = fΘ G(x) ∪ fGΘ(y) olur. Yine, fΘ G(x−1) = fG(Θ(x−1)) = fG(Θ(x))−1 = fG(Θ(x)−1) = fG(Θ(x)), fG EB − grup = fΘ G(x) elde edilir.
Teorem 5.3. fG, U üzerinde bir EB-grup, fG bijektif bir dönüşüm ve Θ, G nin bir
epimorfizması olsun. O halde, fΘ
G nın U üzerinde bir abelyan EB-grup olması için
İspat . fG, U üzerinde bir EB-grup, Θ, G nin bir epimorfizması ve G bir abelyan
grup olsun. Önceki teoremde fG nin U üzerinde bir EB-grup olması ve Θ nın G
nin bir homomorfizması olması halinde fΘ
G nın U üzerinde bir EB-grup olduğunu
gösterdik. Bu yüzden şimdi sadece fΘ
G nın U üzerinde bir abelyan EB-grup olduğunu
göstereceğiz. Her x, y ∈ G için
fΘ G(xy) = fG(Θ(xy)) = fG(Θ(yx)) = fΘ G(yx) olur. Bu da fΘ
G nın U üzerinde bir abelyan EB-grup olduğunu gösterir.
Tersine, Θ nın G nin bir epimorfizması olduğu yerde fΘ
G, U üzerinde bir abelyan
EB-grup olsun. O zaman her x, y ∈ G için
fGΘ(xy) = fGΘ(yx) ⇒ fG(Θ(x)Θ(y)) = fG(Θ(y)Θ(x))
⇒ Θ(x)Θ(y) = Θ(y)Θ(x), fG bijektif
Buradan G nin bir abelyan grup olması sonucu çıkar.
Teorem 5.4. fG, U üzerinde bir karakteristik EB-grup ise o zaman fG bir abelyan
EB-gruptur.
İspat . Her x, y ∈ G için fG(xy) = fG(yx) olduğunu göstermeliyiz. Θ, x ∈ G ve
her g ∈ G için
Θ(g) = x−1gx
ile tanımlanmış G nin bir otomorfizması olsun. Θ nın iç otomorfizma olarak adlandırılan G nin bir otomorfizması olduğu açıktır. fG, U üzerinde bir karakteristik EB-grup
olduğundan fΘ G = fG dir. Bu nedenle fG(xy) = fGΘ(xy) = fG(Θ(xy)) = fG(x−1(xy)x) = fG((x−1x)(yx)) = fG(yx)
Bu yüzden fG bir abelyan EB-gruptur.
Tanım 5.5. fG, U üzerinde bir EB-grup, fH ve fK, fG nin EB-altgrupları olsun.
Her g ∈ G ve bazı x ∈ G için
fH(g) = fK(x−1gx)
oluyorsa fH, fK ya esnek eşleniktir denir.
Teorem 5.6.Eşleniklik, bir esnek birleşimsel-grubun esnek birleşimsel-altgruplarının ailesinde bir denklik bağıntısıdır.
Bu teoremin bir sonucu olarak bir esnek birleşimsel-grubun esnek birleşimsel-altgruplarının ailesi, birbirine eş esnek birleşimsel-altgruplardan oluşan esnek birleşimsel-altgrupların ikili ayrık sınıflarının bir birleşimidir. Şimdi bir esnek birleşimsel-grubun farklı eşleniklerinin sayısını veren bir ifade elde edeceğiz.
Sonuç 5.7. fG, U üzerinde bir EB-grup ve g ∈ G olsun. fGg dönüşümünü
fGg : G → P (U)
Teorem 5.8. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O halde, her g ∈ G için fGg, U
üzerinde bir EB-gruptur.
İspat . Her x, y ∈ G için fGg(xy) ⊆ fGg(x) ∪ fGg(y) olduğunu göstermeliyiz. x, y ∈ G olsun. O zaman fGg(xy) = fG(g−1(xy)g) = fG(g−1x(gg−1)yg) = fG((g−1xg)(g−1yg)) ⊆ fG(g−1xg) ∪ fG(g−1yg)) = fGg(x) ∪ fGg(y) olur. Yine, fGg(x−1) = f G(g−1x−1g) = fG((g−1xg)−1) = fG(g−1xg), fG EB − grup = fGg(x) elde edilir.
Tanım 5.9. Teorem 5.8 de ki fGg EB-grubuna fG ve x ∈ G tarafından belirlenen U
üzerindeki eşlenik esnek birleşimsel-grup denir.
Tanım 5.10. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman,
N(fG) = {g ∈ G : fGg = fG}
kümesine fG nin esnek normalleyeni denir.
Teorem 5.11. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. O zaman N(fG), G nin bir
İspat . e ∈ N(fG) olduğundan N(fG) 6= ∅ dır. a, b ∈ N(fG) olsun. O halde her x ∈ G için fab G(x) = fG((ab)−1x(ab)) = fG(b−1a−1xab) = fG(b−1(a−1xa)b) = fb G(a−1xa) = fG(a−1xa), b ∈ N(fG) = fa G(x) = fG(x), a ∈ N(fG) olur. Böylece fab G = fG ve ab ∈ N(fG) dir.
Yine x ∈ N(fG) ve y = x−1 olsun. y ∈ N(fG) olduğunu göstermeliyiz.
Herhangi bir w ∈ G için,
fGy(w) = fG(y−1wy) = fG(xwx−1) = fG((x−1w−1x)−1) = fG(x−1w−1x) = fx G(w−1) = fG(w−1), fGx = fG = fG(w)
olur. Böylece fGy = fG ve bu yüzden y ∈ N(fG) dir. Dolayısıyla N(fG), G nin bir
altgrubudur.
Teorem 5.12. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. fG nin U üzerinde bir abelyan
İspat . fG, U üzerinde bir abelyan EB-grup ve g ∈ G olsun. O zaman herhangi bir
w ∈ G için
fGg(w) = fG(g−1wg)
= fG((g−1g)w), fG abelyan
= fG(w)
olur. Böylece fGg = fG ve dolayısıyla g ∈ N(fG) dir. Buradan N(fG) = G sonucu
çıkar.
Tersine, N(fG) = G ve x, y ∈ G olsun. fG nin bir abelyan EB-grup olduğunu
göstermek için her x, y ∈ G için
fG(xy) = fG(yx)
olduğunu göstermeliyiz. N(fG) = G olup x ∈ G için x−1 ∈ N(fG) olduğundan
fG(xy) = fG(xy(xx−1))
= fG((x−1)−1(yx)x−1)
= fGx−1(yx) = fG(yx)
olur. Böylece fG bir abelyan EB-gruptur.
Teorem 5.13. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. G bir sonlu grup olmak üzere fG
nin farklı eşleniklerinin sayısı [G : N(fG)] ye eşittir. Yani, N(fG) nin G içindeki
indeksidir.
İspat . G nin ayrışımını N(fG) nin yan kümelerinin birleşimi olarak ifade edelim.
k farklı yan kümelerin sayısı yani [G : N(fG)] olmak üzere
olur. x ∈ N(fG) olsun ve 1 ≤ i ≤ k olacak şekilde bir i ∈ Z seçelim. Daha sonra g ∈ G için, fxix G (g) = fG((xix)−1g(xix)) = fG(x−1(x−1i gxi)x) = fx G(x−1i gxi) = fG(x−1i gxi), x ∈ N(fG) = fxi G(g)
olur. Böylece her x ∈ N(fG) ve 1 ≤ i ≤ k için
fxix
G (g) = fGxi(g)
olur. Aynı xiN(fG) yan kümesinde yer alan G nin her hangi iki elemanı fG nin
aynı fxi
G eşleniğini verir. Şimdi iki farklı yan kümenin fG nin iki farklı yan kümesini
vereceğini göstereceğiz. Bunun için i 6= j ve 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ k olmak üzere
fxi
G = f xj
G
olduğunu kabul edelim. Böylece her g ∈ G için
fxi G = f xj G ⇔ fGxi(g) = f xj G(g) ⇔ fG(x−1i gxi) = fG(x−1j gxj)
olur. Eğer g = xjtx−1j seçersek, her t ∈ G için
fG(x−1i xjtx−1j xi) = fG(x−1j xjtx−1j xj) ⇒ fG((x−1j xi)−1t(x−1j xi)) = fG(t) ⇒ fx−1j xi G (t) = fG(t) ⇒ x−1 j xi ∈ N(fG) ⇒ xiN(fG) = xjN(fG)
elde edilir. Fakat eğer i 6= j ise, G nin ayrışımını N(fG) nin yan kümelerinin
birleşimi olarak kabul ettiğimizde bu mümkün olmamaktadır. Bu nedenle fG nin
farklı eşleniklerinin sayısı [G : N(fG)] ye eşittir.
Teorem 5.14. fG, U üzerinde bir EB-grup ve fN, fG nin bir EB-altgrubu olsun.
fN nin fG nin bir normal EB-altgrubu olması için gerek ve yeter şart fN nin N nin
herbir eşlenik sınıfında sabit olmasıdır.
İspat . Kabul edelim ki fN/eufG olsun. O zaman her x, y ∈ N için
fN(y−1xy) = fN(y−1yx) = fN(x) dir.
Tersine fN, N nin herbir eşlenik sınıfında sabit olsun. fN≤fufG olduğundan fN bir
EB-gruptur. Bu nedenle fN nin abelyan olduğunu göstermek yeterlidir. x, y ∈ N
olsun. O zaman
fN(xy) = fN(xy(xx−1))
= fN(x(yx)x−1)
= fN(yx)
olup bu fN nin fG nin bir normal EB-altgrubu olduğunu gösterir.
Teorem 5.15. fG, U üzerinde bir EB-grup ve fN, fG nin bir normal EB-altgrubu,
β ⊆ U ve β ⊇ fN(e) olsun. O halde
fN⊆β = {x ∈ N | fN(x) ⊆ β}
kümesi N nin bir normal altgrubudur.
İspat . β ⊇ fN(e) olduğundan e ∈ fN⊆β ve ∅ 6= fN⊆β ⊆ N dir. Şimdi x, y ∈ fN⊆β
olsun. O zaman fN(x) ⊆ β ve fN(y) ⊆ β dır. Buradan
fN(xy−1) ⊆ fN(x) ∪ fN(y)
sonucu çıkar ki bu da xy−1 ∈ f⊆β
N olduğunu gösterir. Şimdi x ∈ fN⊆β ve n ∈ N
olduğunu kabul edelim. fN/eufG olduğundan Teorem 5.14 den fN, N nin her eşlenik
sınıfında sabittir. O halde her n ∈ N ve x ∈ fN⊆β için
fN(nxn−1) = fN(x) ⊆ β
olup nxn−1 ∈ f⊆β
N elde edilir ki bu ispatı tamamlar.
Şimdi bir grubun komütatörleri açısından EB-grubun alternatif formülasyonunu veriyoruz. Öncelikle G herhangi bir grup x, y ∈ G olduğunda x−1y−1xy elemanı
genellikle [x, y] ile gösterilir ve bu x ve y nin “komütatörü" olarak adlandırılır. Eğer G abelyan ise her x, y ∈ G için [x, y] = e dir.
Önerme 5.16. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun.
i) Eğer fG, U üzerinde bir abelyan EB-grup ise her x, y ∈ G için fG[x, y] = fG(e)
dir.
ii) fG nin bijektif fonksiyon olduğu yerde eğer her x, y ∈ G için fG[x, y] = fG(e)
ise o zaman fG, U üzerinde bir abelyan EB-gruptur.
İspat . i) fG, U üzerinde bir abelyan EB-grup olsun. O halde,
fG[x, y] = fG(x−1y−1xy)
= fG(x−1(y−1y)x)
= fG(e)
olur. ii) Her x, y ∈ G için
fG[x, y] = fG(x−1y−1xy) = fG(e) ⇔ x−1y−1xy = e, ( fG bijektif )
⇔ yx = xy
olup bu fG nin U üzerinde bir abelyan EB-grup olduğunu belirtmektedir.
Teorem 5.17. fG, U üzerinde bir EB-grup olsun. fN nin fG nin bir normal
EB-altgrubu olması için gerek ve yeter şart her x, y ∈ N için fN[x, y] ⊆ fN(x)
olmasıdır.
İspat . Kabul edelim ki her x, y ∈ N için fN, fG nin bir normal EB-altgrubu olsun.
O zaman,
fN[x, y] = fN(x−1y−1xy) ⊆ fN(x−1) ∪ fN(y−1xy)
= fN(x) ∪ fN((y−1y)x)
= fN(x) ∪ fN(x)
= fN(x)
olur. Tersine her x, y ∈ N için fN[x, y] ⊆ fN(x) olsun. Teorem 5.14 den fN/eufG
olduğunu göstermek için fN nin N nin herbir eşlenik sınıfında sabit olduğunu göstermek
yeterlidir. x, z ∈ N olsun.
fN(x−1zx) = fN((zz−1)x−1zx)
⊆ fN(z(z−1x−1zx))
⊆ fN(z) ∪ fN[z, x]
= fN(z)
elde edilir. Böylece
olur. Yine fN(z) = fN((xx−1)z(xx−1)) = fN(x(x−1zx)x−1) ⊆ fN(x) ∪ fN(x−1zx) ∪ fN(x−1) = fN(x) ∪ fN(x−1zx) ∪ fN(x) = fN(x) ∪ fN(x−1zx)
elde edilir. Eğer fN(x) ∪ fN(x−1zx) = fN(x) ise her x, z ∈ N için fN(z) ⊆ fN(x)
olduğunu elde ederiz. Bu da fN nin bir sabit fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu
durumda açıkça görülüyorki fN(x−1zx) ⊆ fN(z) dir. Bu nedenle sonuç hemen alınır.
Bu yüzden fN(x) ∪ fN(x−1zx) = fN(x−1zx) olduğunu göz önüne alalım. O halde,
fN(z) ⊆ fN(x−1zx) ve böylece fN(x−1zx) = fN(z) dir. Dolayısıyla fN, fG nin bir
esnek normal birleşimsel-altgrubudur.
Not 5.18. fN≤fufG ve fN U üzerinde bir abelyan EB-grup olsun. O halde fN/eufG
olduğu açıktır. Aslında fN bir abelyan EB-grup olduğundan, Önerme 5.16 dan her
x, y ∈ N için fN[x, y] = fN(e) ⊆ fN(x) dir. fN[x, y] ⊆ fN(x) olduğundan fN/eufG
Bu tez çalışmasında, öncelikle grup teorisi ve esnek kümelerle ilgili kullanacağımız temel tanım ve teoremler verildikten sonra esnek birleşimsel grupların tanımı verildi. Daha sonra, normal esnek birleşimsel alt grup, karakteristik esnek birleşimsel grup, eşlenik esnek birleşimsel grup, esnek normalleyen kavramları verildi ve grup teorisin-deki bazı sunuçlardan yararlanılarak bunlarla ilgili bazı temel özellikler incelendi. Bunlara ilaveten, esnek birleşimsel gruplar ve esnek kesişimsel gruplar arasındaki ilişkiler araştrıldı. Bu çalışmalar kullanılarak esnek kümeler üzerinde diğer cebirsel yapılar çalışılabilir.
Acar, U., Koyuncu, F. and Tanay, B., 2010. Soft sets and soft rings. Computers and Mathematics with Applications, 59, 3458-3463.
Aktaş, H. and Çağman, N., 2007. Soft sets and soft groups. Information Sciences, 177(1), 2726-2735.
Asar, A. O., Arıkan, A., Arıkan, A., 2009. Cebir , Eflatun Yayınları, Ankara.
Aygünoğlu, A. and Aygün, H., 2009. Introduction to fuzzy soft groups. Computers and Mathematics with Applications, 58, 1279-1286.
Atagün, A.O. and Sezgin, A., 2011 Soft substructures of rings, fields, and modules. Computers and Mathematics with Applications, 61 (3), 592-601.
Babitha, K. V. and Sunil, J. J., 2010. Soft set relations and functions. Computers and Mathematics with Applications, 60, 1840-1849.
Chen, D., Tsang, E.C.C., Yeung, D.S., 2003. Some notes on the parameterization reduction of soft sets. International Conference on Machine Learning and Cybernetics, 3, 1442-1445.
Dummit, D. S., Foote, R.,M., 2009. Abstract Algebra, John Wiley and Sons, United States of America.
Çağman, N., Çıtak, F. and Aktaş, H., 2012 Soft int-groups and its applications to group theory. Neural Computing and Applications, 21, 151-158.
Çağman, N., and Enginoğlu, S., 2010. Soft set theory and uni-int decision making. European Journal of Operational Research, 207, 848-855.
Çağman, N., Sezgin, A. and Atagün, A. O., 2011 α-inclusions and their applications to group theory. submitted.
Feng, F., Liu, X. Leoreanu-Fotea, V. and Jun, Y. B., 2011. Soft sets and soft rough sets. Information Sciences, 181, 1125-1137.
Feng, F., Jun, Y. B. and Zhao, X., 2008 Soft semirings. Computers and Mathematics with Applications, 56(10), 2621-2628.
Gong, K., Xiao, Z. and Zhang, X., 2010. The bijective soft set with its operations. Computers and Mathematics with Applications, 60, 2270-2278.
Jun, Y. B., 2008 Soft BCK/BCI-algebras. Computers and Mathematics with Applications, 56(1), 1408-1413.
Jun, Y. B. and Park, C. H., 2008 Applications of soft sets in ideal theory of BCK/BCI-algebras. Information Sciences, 178 (1), 2466-2475.
Kaygısız, K., 2012a. On soft int-groups, 4(2), 365-375.
Kaygısız, K., 2012b. 2012. Normal soft int-groups, arXiv:1209.3157v1
Maji, P.K., Biswas, R. and Roy, A.R., 2001. Fuzzy soft sets. Journal of Fuzzy Mathematics, 9(3), 589-602.
Maji, P.K., Roy, A.R. and Biswas, R., 2002 An application of soft sets in a decision making problem. Computers and Mathematics with Applications, 44 (1), 1077-1083.
Maji, P. K., Bismas, R. and Roy, A.R., 2003 Soft set theory. Computers and Mathematics with Applications, 45 (1), 555-562.
Maji, P.K., Roy, A.R. and Biswas, R., 2004. On Intuitionistic Fuzzy soft sets. J. Fuzzy Math, 12(3) 669-683.
Majumdar, P. and Samanta, S. K., 2010. Generalised fuzzy soft sets. Computers and Mathematics with Applications, 59, 1425-1432.
Molodtsov, D., 1999. Soft set theory-first results. Computers and Mathematics with Applications, 37(1), 19-31.
Molodtsov, D., 2004. The Theory of Soft Sets (in Russian). URSS Publishers, Moscow. Molodtsov, D. A., Leonov V. Yu. and Kovkov D. V., 2006. Soft Sets Technique and Its
Mushrif, M.M., Sengupta, S. and Ray, A.K., 2006. Texture Classification Using a Novel, Soft-Set Theory Based Classification, Algorithm. Lecture Notes In Computer Science, 3851 246-254.
Park, C.H., Jun, Y.B. and Öztürk, M.A., 2008 Soft WS-algebras. Communation of Korean Mathematical Society 23(3), 313-324.
Pawlak, Z., 1982. Rough sets. International Journal of Information and Computer Sciences, 11(1), 341-356.
Rotman, J. J., 2009. An Introduction to the Theory of Groups, Springer, United States of America.
Sezgin, A. and Atagün, A.O., 2011a Soft groups and normalistic soft groups. Computers and Mathematics with Applications, 62 (2), 685-693.
Sezgin, A., Atagün, A.O. and Çağman, N., 2011b Soft intersection near-rings with applications. Neural Computing and Applications, 21 (Issue 1-Supplement), 133-143.
Taşçı D. ,2007. Soyut Cebir, Alp Yayınevi, Ankara,
Yang, C., 2011 Fuzzy soft semigroups and fuzzy soft ideals. Computers and Mathematics with Applications, 61, 255-261.
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Adı Soyadı : Zeynep Kaya Türk
Doğum Tarihi : 01.03.1984 Gümüşhane-Kelkit Medeni Hali : Evli
Yabancı Dili : İngilizce Telefon : 0530 9526880
E-posta : zeynepkaya.topoloji@hotmail.com
Eğitim:
Derece Eğitim Birimi Mezuniyet Tarihi
Yüksek Lisans Gaziosmanpaşa Üniversitesi 2013 Lisans Ondokuz Mayıs Üniversitesi 2007
