Test 62 Paralelkenar

www

.krakademi.com

1.

Bilgi:

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir. B C D A y x b b a x y Özellikler:

• Karşılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir. • Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. • Å + ß = 180° dir. • Çevre (ABCD) = 2(x + y) B C D E _x F bb a_{a a} A 69° • ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) .

m DCF m FCE m ECB a olsun m DAE m CDE b olsun

= = = = = % % % % % • ( ) ( ) . € m C m D oldu undan a b olur 180 3 2 180 c c + = + = W W

• DEC üçgeninin iç açıları toplamı 180° olduğun-dan,

( ) ( ) ( )

m DCE m CDE m DEC a b a b 180 2 69 180 2 111 c c c c + + = + + = + = % % %

• Denklem çözümü yapılarak b ile gösterilen açıyı bulalım. . b=27colur / / a b a b a b a b 2 3 2 180 6 4 360 3 2 111 6 3 333 & & $ $ + = + = - + = - - = -+

• Paralelkenarın karşılıklı açıları birbirine eşit oldu-ğundan, ( ) ( ) m B m D x 2b = = V W

2.

B E x C D A 6 3x – 2 6 6 Bilgi:

Z kuralı, iki paralel doğrunun iç bölgesinde kalan ve yönleri birbirine ters olan açılar birbirine eşittir.

d1 d2 d₂ d₁ a a b b d1 // d2

• Paralel kenarın karşılıklı kenarları birbirine eşit olduğundan |AD| = |BC| = 6 cm dir.

• [DC] // [AB] olduğundan, Z kuralından,

( ) ( )

m CDE% =m DEA ise |AD| = |AE| = 6 cm olur. • Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit

olduğun-dan, . AB DC x x x x x x cm bulunur 6 3 2 6 2 3 8 2 4 = + = -+ = -= = Cevap: D

www

.krakademi.com

3.

E x F x B C D A 9 14 9 9 5

• [AB] // [DC] olduğundan Z kuralından,

( ) ( )

m DAF% =m DFA% ise |AD| = |DF| = 9 cm dir. • Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit

olduğun-dan, 14 . AB DC AB DF FC FC FC FC cm olur 9 14 9 5 = = + = + = -=

• Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit olduğundan |AD| = |BC| = 9 cm dir.

• [AD] // [BC] olduğundan Z kuralından,

( ) ( )

m ABE% =m CEB% ise |BC| = |EC| = 9 cm olur. • . EC BC EF FC BC x x x cm olur ise 5 9 9 5 4 = + = + = -= = Cevap: C

4.

17 15 E F 17 – a 8 + a B C D A 15 8 a a

• m DEB(%)=m DFB(%)=90c ve |EB| = |BF| ise |DE| = |DF| = 15 cm olur.

• ADE üçgeninde pisagor bağıntısından,

. AD AE DE AD AD AD AD cm olur 8 15 64 225 289 17 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = + = + = = • |EB| = |BF| = a olsun.

• Paralel kenarın karşılıklı kenarları birbirine eşit olduğundan, |AB| = |DC| = 8 + a cm |AD| = |BC| = 17 cm • . BC BF FC a FC FC a cm olur 17 17 = + = + =

-• DFC üçgeninde pisagor bağıntısından

( ) ( ) . DC DF FC a a a a a a a a a cm olur a 8 15 17 64 16 225 289 34 16 34 514 64 50 450 9 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + -+ + = + - + + = -= = • Ç ( ) ( ) ( ) ( ) . evre ABCD AB AD a cm bulunur 2 2 8 17 2 25 9 2 34 68 $ $ $ $ = + = + + = + = = Cevap: B

www

.krakademi.com

5.

x E F B C D A 5 24 12 24 12

• Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşit olduğundan,

|AB| = |DC| = 24 cm |AD| = |BC| = 12 cm olur.

• Paralelkenarın alanı, tabanı ile o tabana ait yük-sekliğin çarpımına eşittir.

( ) . Alan ABCD AB DE BC DF x x x cm bulunur 24 5 12 2 5 10 2 $ $ $ $ $ = = = = = Cevap: E

6.

a E a b b H B C D A 9 6 4

• Paralelkenarda karşılıklı açıların açıortayları dik kesişir. Yani (m AEB%)=90c dir.

Bilgi:

Öklit bağıntıları, bir dik üçgende hipotenüse ait yük-seklik çizildiğinde kullanılan bağıntılardır.

A B m D n C c b h a • h2 _{= m·n} • b2 _{= n·a} • c2 _{= m·a} • a·h _{= m·n}

• AEB üçgeninde öklit bağıntısından,

. AH BH EH BH BH BH cm olur 9 6 9 36 4 2 2 $ $ $ = = = =

• [DC] // [AB] olduğundan, Z kuralından

( ) ( )

m DAE% =m DEA% ise |AD| = |DE| olur. |AD| = |DE| = a cm olsun.

• [DC] // [AB] olduğundan, Z kuralından,

( ) ( )

m ABE% =m CEB ise |EC| = |BC| olur. |EC| = |BC| = b cm olsun.

• Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşit olduğundan . DC AB DE EC AH BH a b a b cm olur 9 4 13 = + = + + = + + = • Ç ( ) ( ) evre ABCD a b a b 13 2 2 13 2 13 2 13$ = + + = + + = +

www

.krakademi.com

7.

E F 12 B C D A 8 3k 2k | | | | | | | | . BE EF BF EF 3k olur + = = | | | | _{| | | | .} | | , . , ( ) ( ) | | | | ( ) ( ) . , . , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . BF

BE _{ise BE k ise BF k olur}

k EF k

A ve F noktalar ndan bir AF do ru par as izilirse olu an AFE ve ABE genlerinin y kseklikleri ayn oldu undan alanlar taban uzunluklar ile do ru orant l olur Buna g re

A ABE A AFE EB EF A AFE k k A AFE cm olur

ABF geninin alan ABCD paralel kenar n n alan n n yar s na e ittir Buna g re

A ABCD A ABF A ABCD A AFE A ABE A ABCD A ABCD A ABCD cm bulunur 5 2 _{2 5} 2 5 8 2 3 2 8 3 ₁₂ 2 2 2 12 8 2 20 40 › € ç › ç fl üç ü › € › › € › › ö üç › › › › › › › fl ö 2 2 & & & $ $ = = = + = = = = = = = + = + = = % % % % % % % Cevap: A

8.

E F 3k 2k K B C D A 4S 21S • 2·|AF| = 3·|FK| ise FK AF 2 3

= , |AF| = 3k ise |FK| = 2k olur.

• [EF] // [DA] olduğundan KEF üçgeni ile KDA üçgenin tüm açıları aynı olduğundan bu üçgenler birbirine benzerdir. . › › KEF KDA Benzerlik oran AK FK Benzerlik oran k k olur 5 2 5 2 + = = = & &

• Benzer üçgenlerin alanları oranı benzerlik oranı-nın karesine eşittir. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) . › A KDA A KEF Benzerlik oran A KDA A KEF A KDA

A KEF A KEF S ise

A KDA S olur 5 2 25 4 4 25 2 2 = = = = = e e o o

• KDA üçgeninin alanı paralelkenarın alanının yarı-sına eşit olduğundan ve paralelkenarın alanı 100 cm2 _ise, ( ) ( ) A KDA A ABCD S S S 2 25 2 100 25 50 2 = = = =

• Buna göre, A(KEF) = 4S = 4·2 = 8 cm2 _bulunur.

www

.krakademi.com

9.

E F B C D A 2 4 2S 3S 6

• Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşit olduğundan, |AB| = |DC| = 6 cm dir.

• [AB] // [DC] olduğundan, DFC üçgeni ile BFE üçgeninin tüm açıları aynı olduğundan bu üçgen-ler benzer üçgenüçgen-lerdir.

. . DFC BFE FE FC BE DC dir BF DF olur BF DF 4 6 2 3 + = = = = & &

• BCF ve DFC üçgenlerinin yükseklikleri aynı oldu-ğundan, üçgenlerin alanları oranı tabanı uzunluk-larının oranına eşittir.

( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) . A DFC A BCF BF DF A DFC A BCF A BCF S ise A DFC S olur 2 3 3 2 = = = =

• DBC üçgeninin alanı, paralelkenarının alanının yarısına eşit olduğundan

( ) ( ) ( ) ( ) . A ABCD A DBC A ABCD S A ABCD S olur 2 2 5 10 = = =

• DFC üçgeninin alanı x cm2 _ise

A(DFC) = 2S = x dir. • ABCD paralelkenarın alanı,

( ) . A ABCD S S x x cm bulunur 10 5 2 5 5 2 $ $ = = = = 0 U Cevap: C

10.

E F B C D A 7 2 2S 2S 5S 2A 5A

• BFC ve BDF üçgenlerinin yükseklikleri aynı oldu-ğundan üçgenlerin alanları oranı taban uzunlukla-rının oranına eşittir. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . A BDF A BFC DF FC A BDF A BFC A BFC S ise A BDF S olur 7 2 2 7 = = = = ,

• Taralı üçgen alanları birbirine eşit olduğundan A(BFC) = A(DEF) = 2S olur. Buna göre, A(BEF) = 5S olur.

• DEF ve BEF üçgenlerinin yükseklikleri aynı oldu-ğundan üçgenlerin alanları oranı taban uzunlukla-rının oranına eşittir. ( ) ( ) . A BEF A DEF BE DE S S BE DE BE DE olur 5 2 5 2 = = =

• ADE ve AEB üçgenlerin yükseklikleri aynı oldu-ğundan üçgenlerin alanları oranı taban uzunluk-ları oranına eşittir.

( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) . A AEB A ADE EB DE A AEB

A ADE A ADE A ise

A AEB A olur 5 2 2 5 = = = =

• ABD üçgeninin alanı, paralelkenarın alanının yarısına eşit ve paralelkenarın alanı 126 br2 _ise,

( ) ( ) . A ABD A ABCD A A A cm olur 2 7 2 126 7 63 9 2 = = = =

Buna göre, A(ADE) = 2A = 2·9 = 18 cm2 _bulunur.

www

.krakademi.com

11.

E F H 4 4 5 B C D A

• ADE üçgeninin alanı, tabanı ile o tabana ait yük-sekliğin çarpımının yarısına eşit olduğundan

( ) ( ) ( ) . A ADE AE DH AF FE DH cm olur 2 27 2 4 5 4 9 2 18 2 2 $ $ $ $ = = + = + = =

• ABCD paralelkenarın alanı, ADE üçgeninin alanı-nın 4 katına eşit olduğundan,

( ) ( ) . A ABCD A ADE cm bulunur 4 4 18 72 2 $ $ = = = Cevap: E

12.

E F K L M B C D A 12 36

• ABCD paralelkenarının kenarlarına paralel olan [LF] ve [EK] doğruları ile ayrılmış dört tane paralel kenar alanları için, çarpraz paralelkenar alanları-nın çarpımı birbirine eşittir.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A EAFM A LMKC A FBKM A DEML A LMKC A DEML A LMKC A DEML 12 36 3 3 $ $ $ $ $ = = =

• ABCD paralelkenarının alanı 108 br2 _ise

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . A EAFM A FBKM A LMKC A DEML A LMKC A DEML A LMKC A DEML A LMKC A DEML A DEML A DEML A DEML A DEML br bulunur 108 12 36 108 108 48 60 3 60 4 60 15 2 $ $ + + + = + + + = + = -+ = + = = = 0 \ Cevap: D