Üçgen geometrisinde bazı özel çemberler ve dörtgenler için kelebek teoremi

(1)

**KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ * FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ**

ÜÇGEN GEOMETRİSİNDE BAZI ÖZEL ÇEMBERLER VE

DÖRTGENLER İÇİN KELEBEK TEOREMİ

YÜKSEK LİSANS

Matematikçi Gülfer ACAR

Anabilim Dalı: Matematik

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Neşe ÖMÜR

(2)

(3)

ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR

Bu çalışmayı yürüten ve desteklerini esirgemeyen danışman hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Neşe ÖMÜR’ e, yüksek lisans öğrenimimin her aşamasında her türlü yardım ve desteği veren Eğitim Fakültesi Dekanı Sayın Prof. Dr. Servettin BİLİR’ e, değerli vakitlerini ayırarak Geometri alanındaki bilgilerini paylaşan ve hiçbir konuda desteklerini esirgemeyen Ortadoğu Teknik Üniversitesi öğretim üyesi Sayın Prof. Dr. Cem TEZER’ e, en içten teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca her zaman yanımda olan aileme de teşekkür ederim.

(4)

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR……… ... i İÇİNDEKİLER … ...ii ŞEKİLLER DİZİNİ... iv SİMGELER VE KISALTMALAR... vi ÖZET... ...vii ABSTRACT...viii BÖLÜM 1. GİRİŞ... 1 BÖLÜM 2. GENEL BİLGİLER ... 3

2.1. Bir Doğru Üzerindeki Noktaların Koordinatları... 3

2.2. Bir Üçgene Göre Homojen Barisantrik Koordinatlar ... 4

2.3. Bir Üçgene Göre Tam Barisantrik Koordinatlar... 8

2.4. Bir Üçgene Göre Trilineer Koordinatlar... 9

2.5. Trilineer Koordinatlar ile Homojen Barisantrik Koordinatlar Arasındaki İlişki 11 2.6. Conway Notasyonu ... 12

2.7. İzogonal Eşlenikler... 17

2.8. Harmonik Eşlenikler … ... 19

2.9. Genel Doğru Denklemi … ... 21

2.9.1. Doğrudaşlık …... 21

2.9.2. Noktadaşlık … ... 22

2.10. Sonsuzdaki Doğru, Paralel Doğrular ve Dik Doğrular … ... 22

2.10.1. Sonsuzdaki Doğru … ... 22

2.10.2. Paralel Doğrular … ... 23

2.10.3. Dik Doğrular … ... 24

BÖLÜM 3. ÜÇGEN DÜZLEMİNDE ÇEMBERLER VE PERSPEKTİVİTELER . 26 3.1. Üçgen Düzleminde Çemberler …... 26

3.1.1. Sonsuzdaki doğrunun izogonal eşleniği olarak ABC referans üçgeninin çevrelçemberi… ... 26

3.1.2. Genel çember denklemi …... 28

3.1.3. Dokuz-nokta çemberinin denklemi … ... 29

3.1.4. Miguel bağıntısı … ... 29

3.1.5. Cevian çevrelçember …... 31

3.1.6. Cyclocevian eşlenik … ... 32

3.1.7. ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin denklemi … ... 33

3.1.8. ABC referans üçgeninin dış teğet çemberleri … ... 35

3.1.9. Kuvvet merkezi … ... 37

3.1.10. ABC referans üçgeninin iç teğet çemberi ile dokuz-nokta çemberinini kuvvet ekseni... … ... 38

3.1.11. ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi ve dokuz-nokta çemberinin merkezinden geçen doğru … ... 39

(5)

3.1.12. Feuerbach teoremi …... 41

3.1.13. Brocard noktaları …... 41

3.1.14. Conway notasyonundan yararlanarak elde edilen üçüncü Brocard noktası... 43

3.1.15. (A(a),B(b),C(c)) çember üçlüsü … ... 45

3.1.15.1 Steiner noktası …... 46

3.1.16. Lucas çemberleri … ... 47

3.2. ABC Referans Üçgeninin Kenarları Üzerine Yerleştirilen Dikdörtgenler ile Elde Edilen Persrektiviteler …... 50

3.2.1. ABC referans üçgeninin kenarları üzerine yerleştirilen dikdörtgenler … ... 50

3.2.2. ABC referans üçgeninin köşe noktalarına bağlı AY Z , ₁ ₂ BZ X , ₁ ₂ CX Y ₁ ₂ üçgenlerinin kütle merkezleri …... 52

BÖLÜM 4. KELEBEK TEOREMİ … ... 58

4.1. Kelebek Teoremi ve Bu Teoremin Bazı Kanıtları … ... 58

4.2. Klasik Kelebek Teoreminin Bir Genellemesi … ... 75

4.3. Üç Kanatlı Kelebek Problemi … ... 77

4.4. Çift Kelebek Teoremi …... 79

4.4.1. Çift kelebek teoreminin farklı bir kanıtı … ... 82

4.5. Dörtgenler İçin Kelebek Teoremi … ... 84

4.6. İç İçe Girmiş Dörtgenler İçin Kelebek Teoremi … ... 88

4.7. t , t , t , t , t , t Üçgenlerinin Yükseklikleri … ... 96 ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ 4.8. t , t , t , t , t , t Üçgenlerinin Kütle Merkezleri ... 98 ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ 4.9. t , t , t , t , t , t Üçgenlerinin ÇevrelçemberlerininYarıçapları …... 100 ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ KAYNAKLAR … ... 103

(6)

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 2.1. Bir doğru üzerindeki noktaların koordinatları... … ... 3

Şekil 2.2. ABC üçgen düzleminde herhangi bir P noktasının homojen barisantrik koordinatları... … ... 4

Şekil 2.3. ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi...… ... 7

Şekil 2.4. ABC üçgen düzleminde herhangi bir P noktasının kenar doğrularına gerçek trilineer uzaklıkları(α₁ >0,β₁ >0,γ₁ >0)...… ... 11

Şekil 2.5. ABC üçgen düzleminde bir P noktası alındığında PCB, PCA, ABP üçgenlerinin alanları...…... 13

Şekil 2.6. ABC referans üçgeninin kenarları üzerine dıştan yerleştirilen kareler...…... 16

Şekil 2.7. ABC üçgen düzleminde herhangi bir P noktasının izogonal eşleniği...… ... 18

Şekil 2.8. ABC üçgen düzleminde herhangi bir P noktasının harmonik eşleniği...… ... 19

Şekil 3.1. ABC referans üçgenin çevrelçemberi...… ... 27

Şekil 3.2. ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin ABC üçgeninin kenar doğrularına değme noktalarının homojen barisantrik koordinatları...…... 34

Şekil 3.3. ABC referans üçgeninin A-dış teğet çemberinin ABC üçgeninin kenar doğrularına değme noktaları...… ... 36

Şekil 3.4. ABC referans üçgeninin Brocard açısı ile birinci ve ikinci Brocard noktası...… ... 44

Şekil 3.5. ABC referans üçgeninin Lucas çemberleri...…... 48

Şekil 3.6. ABC referans üçgeninin kenarları üzerine yerleştirilen dikdörtgenler...… ... 51

Şekil 3.7. G₁G₂G₃ üçgeni ile ABC üçgeninin perspektiflik merkezi...… ... 54

Şekil 4.1. Bir çemberin herhangi bir kirişinin orta noktasından geçen farklı iki kirişin oluşturduğu kelebek...… ... 58

Şekil 4.2. AB kirişine paralel çizilen CG kirişi...…... 59

Şekil 4.3. Birbirini kesmeyen CF ve ED kirişleri ile oluşturulan kelebek...… 60

Şekil 4.4. Bir çemberin kirişlerinden birine çizilen paralel doğru...… ... 61

Şekil 4.5. Bir kirişin AB kirişinin orta noktasından geçen çapa göre yansıması...…... 63

Şekil 4.6. Eş üçgenler...…... 64

Şekil 4.7. Paralel kirişler ve eşit yaylar...…... 65

Şekil 4.8. A, M, I, B noktalarının çifte oranı...… ... 66

Şekil 4.9. Dikdörtgensel koordinat sistemi...… ... 68

Şekil 4.10. Kesişen iki doğrununoluşturduğu dejenere konik...…... 69

Şekil 4.11. Çapraz doğrular...…... 71

Şekil 4.12. A, G, O, B noktalarının çifte oranı...…... 73

(7)

Şekil 4.14. AB kirişinin herhangi bir noktasından geçen farklı iki kiriş...….. 76

Şekil 4.15. Üç kanatlı kelebek...…... 78

Şekil 4.16. Aynı çember ile çevrelenen bir çift kelebek...… ... 80

Şekil 4.17. PQ kirişini a y xz = (sabit) olacak şekilde bölen kirişler...…... 82

Şekil 4.18. Bir çift kelebek...…... 83

Şekil 4.19. YXZ ve TZX üçgenlerinin alanlarının oranları...… ... 85

Şekil 4.20. ABC ve XYZ üçgenlerinin Z noktası BC doğrusu üzerinde B ile C noktasının arasında iken orantılı alanları...… ... 85

Şekil 4.21. ABC ve XYZ üçgenlerinin Z noktası BC doğrusu üzerinde B ile C noktasının dışında iken orantılı alanları...… ... 86

Şekil 4.22. ABCD dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktlarından geçen doğruların oluşturduğu kelebek...… ... 88

Şekil 4.23. Düzlemde sekiz kelebek...… ... 89

Şekil 4.24. Köşeleri A(0,0),B(f,g),C(1,1),D(p,q)(f,g,p,q∈R) olan ABCD dörtgeni...… ... 90

Şekil 4.25. ABCD dörtgeni ile çevrelenen A'B'C'D' dörtgeni...… ... 92

Şekil 4.26. D'AA,'D'A'E, EB'C,'CC'B,'ABD,CDB üçgenleri...…... 93

(8)

SİMGELER VE KISALTMALAR

z : y :

x veya (x,y,z) :Homojen koordinatlarıyla verilen nokta

0 z y x z y x z y x 2 2 2 1 1 1 = veya lx+my+nz=0 : doğru ∗

P : P noktasının izogonal eşleniği

ℒ_∞ : Sonsuzdaki doğru ) r , T (

h : T merkezli r oranlı homoteti

'

P : P noktasının Miguel noktası

∆ : ABC referans üçgeninin alanı

a : ABC referans üçgeninin BC kenarının uzunluğu

b : ABC referans üçgeninin CA kenarının uzunluğu

c : ABC referans üçgeninin AB kenarının uzunluğu

r : ABC referans üçgeninin iç teğet

çemberinin yarıçapı

R : ABC referans üçgeninin

çevrelçemberinin yarıçapı ) c b a ( 2 1

s= + + : ABC referans üçgeninin çevre

uzunluğunun yarısı

S :ABC referans üçgeninin alanının iki katı

C tan : B tan : A tan

H= :ABC referans üçgeninin yükseklik

merkezinin homojen barisantrik

koordinatları 1 : 1 : 1

G= : ABC referans üçgeninin kütle

merkezinin homojen barisantrik

koordinatları θ = θ Scot S : Conway notasyonu XYZ

∆ : XYZ üçgeninin alanı

A(a) : Merkezi ABC referans üçgeninin A köşesi, yarıçap uzunluğu a olan çember ] T , Z , Y , X

(9)

ÜÇGEN GEOMETRİSİNDE BAZI ÖZEL ÇEMBERLER VE DÖRTGENLER İÇİN KELEBEK TEOREMİ

Gülfer ACAR

Anahtar Kelimeler: Perspektivite, çemberler, referans üçgen, kelebek

Özet: Bu çalışmada üçgen geometrisindeki bazı çemberler ve bazı perspektiviteler ile “kelebek” türündeki teoremler ele alınmıştır. Birinci bölüm giriş bölümüdür. İkinci bölümde ilerideki bölümlerde kullanılacak olan temel sonuçlar gösterilmiştir. Üçüncü bölümde üçgen geometrisinde bazı önemli çemberler verilmiştir. Ek olarak ABC referans üçgeninin kenarları üzerine yerleştirilen dikdörtgenlerle ilgili perspektiviteler gösterilmiştir. Dördüncü bölümde klasik kelebek teoreminin bazı kanıtları verilmiş ve dörtgenler için kelebek teoremi ile bağlantılı bazı sonuçlar elde edilmiştir.

(10)

SOME SPECİAL CİRCLES in TRIANGLE GEOMETRY and BUTTERFLY THEOREM for QUADRİLATERALS

Gülfer ACAR

Keywords: Perspectivity, circles, reference triangle, butterfly

Abstract: This study is concerned with certain circles and perspectivities in triangle geometry and theorems of the “butterfly” type. The first chapter consists of an introduction. In the second chapter preliminary results are presented which will be used in the sequel. In the third chapter certain remarkable circles of triangle geometry are introduced. In addition certain perspectivities are presented that emerge in connection with rectangles erected on the sides of the reference triangle. In the fourth chapter, some proofs for classic butterfly theorem are given and some results related to butterfly theorem for quadrilaterals are obtained.

(11)

BÖLÜM 1. GİRİŞ

Bu çalışmada üçgen düzleminde bazı özel çemberler ve perspektiviteler ile kelebek teoremi verilmiştir. Bu çalışma birinci bölüm giriş olmak üzere dört bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde çalışmanın konusu ile ilgili temel tanımlar ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, homojen barisantrik koordinatlarda genel çember denklemi, ABC referans üçgeninin çevrelçemberi, dokuz- nokta çemberi, Cevian çevrelçember,ABC referans üçgeninin iç teğet ve dış teğet çemberleri ile Lucas çemberleri verilmiştir. Daha sonra ABC referans üçgeninin sırasıyla BC, CA, AB kenarları üzerine ∠CX₁B=θ, ∠AY₁C=ϕ ve ∠BZ₁A=ω (

2 , ,

0≤θ ϕ ω≤ π) olacak şekilde BCX₁X₂, CAY₁Y₂ veABZ₁Z₂ dikdörtgenleri yerleştirilmiştir. Bu dikdörtgenlerin köşe noktalarının koordinatları

2 A B 1 A 2 C 2 A 2 C 1 B C 2 2 B C 2 1 c : S S : S Z , S S : b : S Y , S : b : S S Y , S : S S : a X , S S : S : a X − + = + − = − + = + − = + − = ω ϕ ϕ θ θ (1.1) 2 A B 2 S S :S : c Z = + _ω −

olduğu gösterilmiştir. AY₁Z₂, BZ₁X₂, CX₁Y₂ üçgenlerinin kütle merkezleri olan

B C B C 1 S S S S 1: S : S G = + + _ϕ + _ω + − − , A C A C 2 S :S S S S 1: S G =− + _ω + + _θ + − , (1.2) 1 S S S S : S : S G₃ =− _B − _A _A + _B + _θ + _ϕ +

(12)

noktalarının oluşturduğu G₁G₂G₃ üçgeninin ABC referans üçgenine C tan : B tan : A tan

H= yükseklik merkezinden perspektif olduğu gösterilmiştir. Dördüncü bölümde, Kelebek teoremi ile ilgili literatür araştırması yapılarak bu teoremin çeşitli kanıtları verilmiştir. Zvonko Čerin’ in [1] bir çalışmasında köşeleri

) q , p ( D , ) 0 , 1 ( C , ) g , f ( B , ) 0 , 0 (

A (f,g,p,q∈ ) olan bir ABCD dörtgeni üzerinde R verdiği genelleştirilmiş kelebek teoreminin ve bu dörtgenle ilgili başka bazı bağıntıların bu dörtgenden farklı 7 dörtgen için de geçerli olduğu gösterilmiştir. Böylece Čerin’in çalışmasındaki kelebek dahil olmak üzere sekiz kelebek elde edilmiştir.

(13)

BÖLÜM 2. GENEL BİLGİLER

2.1. Bir Doğru Üzerindeki Noktaların Koordinatları

B ve C bir _l doğrusu üzerinde sabit iki nokta olsun. _l doğrusu üzerindeki her bir nokta aşağıdaki yollardan biri ile koordinatlanabilir:

1)

XC BX

t= bölme oranı,

2) Tam barisantrik koordinatlarda X noktası B ve C noktalarının bir konveks bileşkesi yani,

( )

1 t B tC

X= − + (2.1)

şeklinde ifade edilir.

3) P noktası _l doğrusunun dışında keyfi bir nokta ise PX vektörü → PB→ vePC→ vektörlerinin bir bileşimi olarak yazılabilir(Şekil 2.1).

B X C

l

P

(14)

Homojen barisantrik koordinatlarda X noktası B ve C deki kütlelerin BX XC

oranı ile

yazılabilir. Burada X noktası bu kütlelerin oluşturduğu sistemin denge noktasıdır[2, s. 1].

2.2. Bir Üçgene Göre Homojen Barisantrik Koordinatlar

ABC referans üçgeninin köşe noktalarının homojen barisantrik koordinatları sırasıyla 1:0:0, 0:1:0 ve 0:0:1 dir ve bu üçgen referans üçgeni olarak adlandırılır[3]. ABC üçgen düzleminde herhangi bir P noktasının homojen barisantrik koordinatları BCP, CAP ve ABP üçgenlerinin yönlü alanlarının oranlarıdır. Şimdi bu yönlü alanlar hesaplanacaktır(Şekil 2.2). A B C P Q 1 t 2 t 3 t 4

t

Şekil 2.2: ABC üçgen düzleminde herhangi bir P noktasının homojen barisantrik koordinatları 4 3 2 1,QC t ,BQ t , AP t t

PQ = = = = olsun. CAP ile CPQ üçgenlerinin alanlarının oranları 1 4 CPQ CAP t t = ∆ ∆ (2.2)

(15)

x t₄ CAP = ∆ (2.3) ve x t₁ CPQ = ∆ (2.4)

yazılır. Benzer şekilde ABP ve PBQ üçgenleri için de

1 4 PBQ ABP t t = ∆ ∆ (2.5)

olduğundan y≠ bir gerçel sayı olmak üzere 0

y t₄ ABP = ∆ (2.6) ve y t₁ PBQ = ∆ (2.7)

elde edilir. Buradan

, x t₄ CAP = ∆ (2.8) y t₄ ABP = ∆ (2.9) ve BCP üçgeninin alanı ∆_BCP =∆_PBQ +∆_CPQ olduğundan

) y x ( t₁ BCP= + ∆ (2.10)

(16)

x y x t x t y t y t 4 1 4 1 CAP CPQ PAB PBQ AQC ABQ = + + = ∆ + ∆ ∆ + ∆ = ∆ ∆ (2.11)

olur. Bununla birlikte

2 3 AQC ABQ t t = ∆ ∆ (2.12) olduğundan 2 3 t t x y = (2.13) yazılabilir. Buradan y t t x 3 2 = (2.14)

elde edilir. BCP, CAP ve ABP üçgenlerinin yönlü alanlarının oranları

1 : t t : t t y t : y t t t : y ) t t ( t y t : y ) t t ( t : ) y y t t ( t : y t : x t : ) y x ( t : : 3 2 3 1 4 3 2 4 3 4 1 4 3 2 4 3 2 1 4 4 1 ABP CAP BCP = = + = + = ∆ ∆ ∆ (2.15)

(17)

3 2 1 ABP CAP BCP:∆ :∆ =t :t :t ∆ (2.16)

elde edilir[3]. Sonuç olarak ABC referans üçgenine göre P noktasının homojen barisantrik koordinatları ABP CAP BCP : : z : y : x =∆ ∆ ∆ (2.17)

olacak şekildeki x:y:z sıralı üçlüsüdür[2, s.25].

Örnek 2.2.1: ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi I ve BC, CA, AB kenarlarının uzunlukları sırasıyla a, b, c olarak alınsın(Şekil 2.3). ABC üçgeninin içteğet çemberinin yarıçapı r olmak üzere BCI,CAI,ABI üçgenlerinin alanları sırasıyla rc 2 1 , rb 2 1 , ra 2 1 (2.18)

biçimindedir. Dolayısıyla bu üçgenlerin alanlarının oranları olan a:b:c üçlüsü I noktasının homojen barisantrik koordinatlarıdır[2, s.25].

I

A B

C

. .

(18)

2.3. Bir üçgene Göre Tam Barisantrik Koordinatlar

ABC referans üçgen düzlemindeki bir P noktasının homojen barisantrik koordinatları x:y:z olsun.

0 z y

x+ + ≠ (2.19)

ise yani, P noktası sonsuzdaki doğru üzerinde değil ise P noktasının tam barisantrik koordinatları z y x zC yB xA P + + + + = (2.20)

biçimindedir. P ve Q gibi iki noktanın tam barisantrik koordinatları verildiğinde [PQ] doğru parçasını

q p

XQPX = (2.21)

oranında bölen X noktasının tam barisantrik koordinatları

q p pQ qP + + (2.22)

biçimindedir. Buna göre homojen barisantrik koordinatlarda P=u:v:w ve ' w :' v :' u Q= noktaları ' w ' v ' u w v u+ + = + + (2.23)

koşulunu sağlıyorsa [PQ] doğru parçasını

q p

(19)

oranında bölen X noktasının homojen barisantrik koordinatları ' ' '_:_qv _pv _:_qw _pw pu qu+ + + (2.25) olur[2, s. 27].

Örnek 2.3.1: ABC referans üçgeninin yükseklik merkezi olan nokta H ile gösterilirse bu nokta Euler doğrusu üzerindedir ve [OG] doğru parçasını dıştan

2 3 HG OH − = (2.26)

oranında böler. O zaman, H noktasının homojen barisantrik koordinatları

tanA:tanB:tanC (2.27)

veya buna denk olarak

2 2 2 2 2 2 2 2 2 _a _b _c 1 : b a c 1 : a c b 1 − + − + − + (2.28) olur[2, s. 28].

2.4. Bir Üçgene Göre Trilineer Koordinatlar

ABC üçgen düzlemi ele alınsın. ABC üçgeninin BC kenarı bu düzlemi iki yarı-düzleme ayırır(Şekil 2.4). A köşesinin olduğu taraf BC kenarının pozitif tarafıdır ve diğer yarı-düzlem ise negatif tarafıdır. Bu üçgen düzleminde herhangi bir P noktası verilsin. P noktasının BC kenarına Öklid uzaklığı α olsun. P noktasının BC kenarına yönlü uzaklığı ⎩ ⎨ ⎧− = δ ise tarafında pozitif kenarının BC P, ise tarafında negatif kenarının , 1 BC , P , 1 (2.29)

(20)

olmak üzere δα olur. P noktasının CA ve AB kenarlarına olan yönlü uzaklıkları da benzer şekilde verilir. Bu uzaklıkların biri, ikisi veya üçü de negatif olabilir. Bu uzaklıklar gerçek(actual) trilineer uzaklıklardır. P noktasının BC, CA, AB kenarlarına olan gerçek trilineer uzaklıkları α₁, β₁, γ₁ olsun. k≠0 olacak şekilde

γ = γ β = β α = α₁ k , ₁ k , ₁ k (2.30)

eşitliklerini sağlayan α ::β γ üçlüsüne P noktasının homojen trilineer koordinatları veya kısaca trilineerleri denir. Bu noktanın trilineer koordinatları (α,β,γ) ile de gösterilebilir. [4, s. 25-26].

P noktası ABC üçgeninin içinde bir nokta olsun. PBC, PCA, PAB üçgenlerinin alanları sırasıyla ∆_PBC,∆_PCA,∆_PAB ve ABC referans üçgeninin alanı da ∆ olsun. Buna göre P noktasının sırasıyla BC, CA, AB kenarlarına olan gerçek trilineer uzaklıkları olan α₁,β₁,γ₁ sayıları için α₁ >0,β₁ >0,γ₁ >0 dır. P noktasının trilineer koordinatları P=α:β:γ olmak üzere

γ + β + α = γ + β + α = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ ck 2 1 bk 2 1 ak 2 1 c 2 1 b 2 1 a 2 1 1 1 1 PAB PCA PBC (2.31) olur. Buradan γ + β + α ∆ = c b a 2 k (2.32)

elde edilir[4, s. 27]. k= alındığı zaman 1 α₁:β₁:γ₁, P noktasının tam (exact) trilineer koordinatlarıdır[5].

(21)

1 α 1 β 1 γ A B C P . . .

Şekil 2.4: ABC referans üçgeni düzleminde herhangi bir P noktasının kenar doğrularına gerçek trilineer uzaklıkları (α₁ >0,β₁ >0,γ₁ >0)

2.5. Trilineer Koordinatlar ile Homojen Barisantrik Koordinatlar Arasındaki İlişki

ABC üçgen düzleminde herhangi bir P noktasının trilineer koordinatları γ

β

α: : olsun. P noktasının ABC referans üçgeninin sırasıyla BC, CA, AB kenarlarına yönlü uzaklıkları

γ = γ β = β α = α₁ k , ₁ k , ₁ k (2.33)

şeklindedir. Buna göre PBC, PCA ve PAB üçgenlerinin alanları sırasıyla

2 akα , 2 bkβ , 2 ckγ (2.34)

dır. Buradan P noktasının homojen barisantrik koordinatları

γ β α:b :c

(22)

olur. Dolayısıyla α:β:γ trilineer koordinatlarına karşılık gelen homojen barisantrik koordinatlar aα:bβ:cγ dır ve tersine olarak α:β:γ homojen barisantrik koordinatlarına karşılık gelen trilineer koordinatlar

c : b : a γ β α ’ dir[5]. 2.6. Conway Notasyonu ∆ = 2

S olmak üzere bir θ gerçel sayısı için θ

=

θ Scot

S (2.36)

ifadesi S ile gösterilir. Buradan kosinüs teoreminden faydalanarak bu notasyonun _θ

2 c b a S , 2 b a c S , 2 a c b S 2 2 2 C 2 2 2 B 2 2 2 A − + = − + = − + = (2.37)

özel durumları elde edilir. Burada θ ve ϕ keyfi iki gerçel sayı olmak üzere S_θS_ϕ yerine S alınarak gösterim kolaylığı sağlanır[2, s. 33]. _θϕ

Lemma 2.6.1: (1) 2 B A 2 A C 2 C B S a ,S S b ,S S c S + = + = + = . (2) 2 CA BC AB S S S S + + = [2, s. 33].

Şimdi yukarıdaki notasyonlar altında Conway formülü verilebilir.

ABC üçgeninin BC kenarı ile −π ≤

2 θ, 2

π ≤

ϕ olmak üzere ∠CBP=θ ve ∠PCB= ϕ açılarını yapacak şekilde BC kenarının üst tarafında bir P noktası alınsın(Şekil 2.5).

x CM ve h

PM = = olsun. ABC üçgeninin BC, CA, AB kenarlarının uzunlukları sırasıyla a, b, c olmak üzere MB =a−x olur.

(23)

P h . . B A H C M K a b c ϕ θ

Şekil 2.5: ABC üçgen düzleminde bir P noktası alındığında PCB, PCA, ABP üçgenlerinin alanları Buradan h x cotϕ= (2.38) ve h x a cotθ= − (2.39) olur. Böylece ϕ = coth x (2.40) ve θ = −x hcot a (2.41)

olduğundan bu iki eşitlikten

ϕ + θ = cot cot a

h elde edilir. Buradan

) C cot( PH

(24)

olur. CHK ile PMK üçgenlerinin benzerliğinden (Açı- Açı- Açı) CK PK CH PM = (2.43) dır. Buradan CK PM KM ) C cot( PH h ₌ 2 + 2 + ϕ (2.44) veya KM x h C cot h ) C cot( PH h 2 2 2 − + = + ϕ (2.45)

olur. Ayrıca (2.38)’ den

C cot h cot h KM

x− = ϕ− olduğundan gerekli düzenlemeler yapılırsa ) C cot (cot C sin h PH = ϕ+ (2.46)

olarak elde edilir. Buradan PCA üçgeninin alanı

2 ) C cot (cot C sin bh 2 PH b PCA + ϕ = = ∆ (2.47)

olarak elde edilir. BPM dik üçgeninde Pisagor teoreminden

2 2

2 ₍_a _x₎ _PB

h + − = (2.48)

(25)

2 2

2

2 _h _cot _PB

h + θ= (2.49)

olur. Gerekli düzenlemeler yapılarak

θ =

sin h

PB (2.50)

elde edilir. Buradan ABP üçgeninin alanı

2 ) B sin cot B (cos h c sin 2 ) B sin( h c ) B sin( BP AB 2 1 ABP θ + = θ θ + = θ + = ∆ (2.51)

olarak bulunur. Buna göre ABC üçgen düzlemindeki P noktasının homojen barisantrik koordinatları 2 ) B sin cot B (cos h c : 2 ) C cot (cot C sin h b : 2 h a : : P=∆_PCB ∆_PCA ∆_ABP = ϕ+ + θ (2.52) veya B sin ) B sin cot B (cos c : B sin ) C cot (cot C sin b : B sin a P= ϕ+ + θ (2.53)

olur. Gerekli düzenlemeler yapılırsa

) cot B (cot c : b ) C cot (cot c b : B sin a P= ϕ+ + θ (2.54) olur ve buradan da ) cot B (cot c : ) C cot (cot c : ac S a P= ϕ+ + θ (2.55)

(26)

bulunur. Son olarak bu koordinatlar S ile çarpılırsa ve c çarpanı sadeleştirilirse Conway notasyonundan θ ϕ + + =a :S S :S S P 2 _C _B _(2.56)

elde edilir. ∠CBPve∠CBA açılarının aynı yönlü olmaları durumunda θ açısı negatif, farklı yönde olmaları durumunda da pozitiftir[2, s. 34].

Örnek 2.6.1: ABC referans üçgeninin BC kenarı üzerine dıştan yerleştirilen

2 1X

BCX karesi ele alındığında BC kenarına göre X₁ noktası için ve 4 CBX₁ = π ∠ 2 BCX₁ = π ∠ olur(Şekil 2.6). A B C 1 X 2 X 1 Y 2 Y 1 Z 2 Z . . . . .

(27)

0 2 cot ve 1 4 cotπ = π= olduğundan S S : S : a X 2 _C _B 1 =− + (2.57) ve benzer şekilde B C 2 2 a :S S:S X =− + (2.58)

olarak elde edilir[2, s. 35].

2.7. İzogonal Eşlenikler

ABC üçgen düzleminde herhangi bir P noktası alınsın. AB, BP ve CP doğrularının sırasıyla A, B ve C açılarının açıortaylarına göre yansımaları olan doğrular bir noktada kesişir. Bu nokta P noktasının izogonal eşleniğidir ve P ile gösterilir. P ∗ noktasının homojen barisantrik koordinatları x:y:z, AP doğrusunun BC kenarını kestiği nokta X ve ∠BAP=θ olsun(Şekil 2.7). X noktasının koordinatları Conway notasyonu ile 2 A S : c S : 0 z : y : 0 X= = − _θ − (2.59) olur. Buradan z y c S S 2 A ₌ − − _θ (2.60)

bulunur. A açısının açıortayına göre AX doğrusunun yansımasının BC kenarını kestiği nokta 'X ile gösterilirse bu noktanın koordinatları

z c : y b : 0 y c : z b : 0 ) S S ( c : c b : 0 S S : b : 0 ' X 2 2 2 2 A 2 2 2 A 2 ₋ ₌ ₋ ₋ ₌ ₌ − = _θ _θ (2.61)

(28)

olarak elde edilir. Benzer şekilde B ve C açılarının açıortaylarına göre sırasıyla

CP ve

BP doğrularının yansımaları, CA kenarını

z c : 0 : x a ' Y 2 2 = noktasında ve AB kenarını :0 y b : x a ' Z 2 2

= noktasında keser. Buradan AX,'BY,'CZ' doğruları

xy c : zx b : yz a z c : y b : x a P∗ ₌ 2 2 2 ₌ 2 2 2 _(2.62)

noktasında kesişirler. Buna göre P=x:y:z noktasının izogonal eşlenik noktası

z c : y b : x a P∗ = 2 2 2 _(2.63) noktasıdır[2, s. 61].

A

B

C

P

∗

P

X

'

X

Y

'

Y

Z

'

Z

(29)

Örnek 2.7.1: ABC referans üçgeninin yükseklik merkezi C B A S 1 : S 1 : S 1 H=

noktasının izogonal eşleniği, ABC üçgeninin çevrelçemberinin merkezi olan

C 2 B 2 A 2_S _:_b _S _:_c _S a noktasıdır[2, s. 62]. 2.8. Harmonik Eşlenikler

X,Y,Z,T noktaları ABC üçgen düzleminde doğrudaş noktalar olsun(Şekil 2.8). Eğer

TY XT ZY

XZ = (2.64)

ise yani Z ve T noktaları

[ ]

XY doğru parçasını içten ve dıştan aynı oranda bölüyorsa o zaman Z ve T noktalarına X ve Y ye göre harmonik eşlenikler denir[6].

' Z Z T Y X ' X ' Y ' T

Şekil 2.8: ABC üçgen düzleminde herhangi bir noktanın harmonik eşleniği

X, Y, Z doğrudaş noktaları verildiğinde Z noktasının X ve Y noktalarına göre harmonik eşleniği olan T noktasını elde etmek için 'Y noktası XY üzerinde olmayan bir nokta ve 'X noktası ise, [ZY'] doğru parçası üzerinde Z ile 'Y noktaları arasında bir nokta olarak alınsın. Ayrıca 'Z'=XY'∩YX ve T'=XX'∩YY' olsun. O zaman

' T ' Z XY

T= ∩ olur. Z ve T noktalarının X ve Y ye göre harmonik eşlenik olduğunu yani Z ve T noktalarının

[ ]

XY doğru parçasını içten ve dıştan aynı oranda bölen noktalar olduğunu göstermek için önce XYZ üçgeni ve ' ZX'Y' doğrusuna göre Menelaus teoremi uygulanırsa

(30)

1 ' Z ' X Y ' X X ' Y ' Z ' Y ZX ZY ₌ (2.65)

eşitliği elde edilir. Daha sonra XYZ üçgeni ve '' T noktasına göre Ceva teoremi uygulanırsa 1 Y ' X ' Z ' X ' Z ' Y ' XY TX YT ₌₋ (2.66)

eşitliği elde edilir. Bu iki eşitlik taraf tarafa çarpılırsa

1 TX YT ZX ZY − = (2.67) olur. Buradan TY XT ZY XZ = (2.68)

elde edilir[6]. Böylece Z ve T noktalarının X ve Y noktalarına göre harmonik eşlenik noktalar olduğu görülür. X, Y ve Z (veya T) noktaları verildiğinde T (veya Z) noktasının koordinatlarının elde edilişi şu şekildedir:

γ β α = : :

X , Y=α:'β:'γ' ve Z=α+α:'β+β:'γ+γ' (2.69) noktaları verilsin. T=x:y:z alınırsa (2.68)’ den

' ' ' x ' x α − α − α α − α + α = − α α − (2.70)

(31)

olur. Buradan x=α−α' elde edilir. Benzer şekilde y=β−β' ve z=γ−γ' bulunur. O halde X=α:β:γ, Y=α:'β:'γ', Z=α+α:'β+β:'γ+γ' noktaları verildiğinde Z noktasının X ve Y noktalarına harmonik eşleniği olan T noktasının koordinatları

' :' :'

T=α−α β−β γ−γ (2.71)

olarak elde edilir[7].

2.9. Genel Doğru Denklemi

1 1 1:y :z

x ve x₂ :y₂ :z₂ gibi keyfi iki noktadan geçen doğru

0 z y x z y x z y x 2 2 2 1 1 1 = (2.72)

eşitliğini sağlayan x:y:z noktalar kümesidir ve denklemi

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1z z y , m z x x z , n x y y x y − = − = − = l (2.73)

olmak üzere _lx+my+nz=0 dir[4, s. 28].

2.9.1. Doğrudaşlık , z : y : x P₁ = ₁ ₁ ₁ P₂ =x₂ :y₂ :z₂, P₃ =x₃ :y₃:z₃ noktaları verilsin. 0 z y x z y x z y x 3 3 3 2 2 2 1 1 1 = (2.74)

(32)

2.9.2. Noktadaşlık 0 z n y m x ₁ ₁ 1 + + = l , _l₂x+m₂y+n₂z=0, 0_l₃x+m₃y+n₃z= doğruları verilsin. 0 n m n m n m 3 3 3 2 2 2 1 1 1 = l l l (2.75)

ise bu doğrular noktadaştır. Bu doğruların kesiştiği noktanın koordinatları ise

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2n n m :n n : m m m − _l −_l _l − _l şeklindedir[4, s. 28-29].

2.10. Sonsuzdaki Doğru, Paralel Doğrular ve Dik Doğrular 2.10.1. Sonsuzdaki doğru

Bir doğru üzerinde herhangi iki noktanın oluşturduğu doğru parçasının orta noktasının bu iki noktaya göre harmonik eşleniği sonsuzdaki doğru üzerindedir. Örneğin ABC referans üçgeninin B ve C köşe noktalarının oluşturduğu doğru parçasının orta noktasının tam barisantrik koordinatları

2 1 : 2 1 : 0 2 C B = + (2.76)

dir. Bu noktanın B ve C noktalarına göre harmonik eşleniği

2 1 : 2 1 : 0 2 C B − = − (2.77)

noktasıdır. Bu nokta sonsuzdaki doğru üzerindedir ve homojen barisantrik koordinatları 0:1:-1 şeklindedir. Dolayısıyla bir L doğrusunun sonsuzdaki noktasının homojen barisantrik koordinatları bu doğru üzerindeki farklı iki noktanın tam barisantrik koordinatlarının farkı alınarak bulunabilir[2, s. 46].

(33)

Örnek 2.10.1.1: ABC referans üçgeninin BC, CA, AB kenar doğrularının sonsuzdaki noktaları sırasıyla 0:−1:1, 1:0:−1, −1:1:0 dır. B=0:1:0 ve C=0:0:1

olduğundan BC doğrusunun sonsuzdaki noktası

1 : 1 : 0 0 : 1 : 0 1 : 0 : 0 B C− = − = − (2.78)

olarak elde edilir. Benzer şekilde CA ve AB doğrularının sonsuzdaki noktaları da elde edilir[2, s. 46].

Örnek 2.10.1.2: Genel olarak herhangi bir px+qy+rz=0 doğrusunun sonsuzdaki noktası q p : p r : r q− − − (2.79)

dir. Sonsuzdaki tüm noktalar bir doğru üzerinde kabul edilir. Bu doğruya sonsuzdaki doğru denir ve ℒ_∞ ile gösterilir. Denklemi ise aşağıdaki gibidir[2, s.46].

0 z y

x+ + = (2.80)

2.10.2. Paralel doğrular

Birbirine paralel doğruların sonsuzdaki noktası aynıdır. Yani paralel doğrular sonsuzdaki doğru üzerindeki bir noktada kesişmektedir. P=u:v:w noktasından geçen 0L:px+qy+rz= doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi

0 z y x w v u q p p r r q = − − − (2.81) şeklindedir[2, s. 47].

(34)

2.10.3. Dik doğrular

Bir 0L:px+qy+rz= doğrusu verilsin. L doğrusuna dik doğruların sonsuzdaki noktası şu şekilde belirlenir:

L doğrusunun CA ve AB kenar doğrularını kestiği noktaların koordinatları p

: 0 : r

Y=− ve Z=q:−p:0’ dır. A noktasından geçen ve L doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulmak için önce Y noktasından AB doğrusuna dik çizilen ve Z noktasından CA doğrusuna dik çizilen doğrunun denklemi bulunmalıdır. C noktasından AB kenarına çizilen yükseklik doğrusunun sonsuzdaki noktası

2 A B:S : c

S − ve B noktasından CA kenarına çizilen yükseklik doğrusunun sonsuzdaki noktası 2 _A

C : b :S

S − ’ dır. Böylece Y noktasından AB doğrusuna dik çizilen ve Z noktasından CA doğrusuna dik çizilen doğruların denklemleri sırasıyla

0 z y x p 0 r c S S 2 A B = − − ve 0 z y x 0 p q S b S 2 _A C = − − (2.82)

dır. Gerekli düzenlemeler yapılırsa

0 rz S y ) p S r c ( px S 2 _B _A A + − + = (2.83) ve 0 z ) p S q b ( qy S px S 2 _C A A + + − = (2.84)

olarak bulunur. Bu iki dik doğru AYZ üçgeninin yükseklik merkezinde kesişirler ve bu noktanın koordinatları ) r c p S q S ( p S : ) p S q b r S ( p S : S S p pq S b pr S c qr S ' X 2 B A A C 2 A A C B 2 B 2 C 2 2 ₋ ₋ ₊ ₋ ₊ ₊ ₋ = (2.85)

(35)

) p r ( S ) r q ( S : ) r q ( S ) q p ( S : S S p pq S b pr S c qr S ' X 2 _B _C _C _A _A _B B 2 C 2 2 ₋ ₋ ₊ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ = (2.86)

olarak elde edilir. AX doğrusu A noktasından geçer ve L doğrusuna diktir ve ' denklemi de 0 z y x ) p r ( S ) r q ( S ) r q ( S ) q p ( S S S p pq S b pr S c qr S 0 0 1 B A A C C B 2 B 2 C 2 2 ₋ ₋ ₊ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₋ ₌ _(2.87)

veya gerekli düzenleme yapılırsa

0 z )) r q ( S ) q p ( S ( y )) p r ( S ) r q ( S ( _A − − _B − + _C − − _A − = − (2.88)

olarak bulunur. Bu doğru ile sonsuzdaki doğrunun kesişim noktası

) p r ( S ) r q ( S : ) r q ( S ) q p ( S : ) q p ( S ) p r ( S_B − − _C − _C − − _A − _A − − _B − (2.89)

dir. Şimdi L doğrusunun sonsuzdaki noktasının q−r:r−p:p−q olduğu göz önünde bulundurularak aşağıdaki teorem verilebilir[2, s. 54].

Teorem 2.10.3.1: Bir L doğrusunun sonsuzdaki noktası f:g:h ise L doğrusuna dik olan doğruların sonsuzdaki noktası

g S f S : f S h S : h S g S ' h :' g :' f = _B − _C _C − _A _A − _B (2.90)

dir. Buna eş değer olarak sonsuzdaki noktaları f:g:h ve f :'g:'h' olan iki doğrunun birbirine dik olması için gerek ve yeter koşul

0 ' hh S ' gg S ' ff S_A + _B + _C = (2.91) olmasıdır[2, s. 55].

(36)

BÖLÜM 3. ÜÇGEN DÜZLEMİNDE ÇEMBERLER VE PERSPEKTİVİTELER

Bu bölümde ABC referans üçgeninin çevrelçemberi ve homoteti kavramı verilerek genel çember denkleminin nasıl elde edileceği gösterilmiş ve bazı çember örnekleri

verilmiştir. Daha sonra

2 , ,

0≤θ ϕ ω≤ π özelliğini sağlayan ∠CX₁B=θ, ∠AY₁C=ϕ ve ∠BZ₁A=ω açıları oluşacak şekilde ABC referans üçgeninin BC, CA, AB kenarları üzerine sırasıyla BCX₁X₂, CAY₁Y₂ ve ABZ₁Z₂ dikdörtgenleri yerleştirilmiştir. Daha sonraX₁ noktasından ABC referans üçgeninin CA kenar doğrusuna ve X₂ noktasından AB kenar doğrusuna paralel çizilen doğruların kesişim noktası A₁, Y₁ noktasından AB kenar doğrusuna ve Y₂ noktasından BC kenar doğrusuna paralel çizilen doğruların kesişim noktası B₁ olsun. Benzer şekilde Z₁

noktasından BC kenar doğrusuna ve Z₂ noktasından CA kenar doğrusuna paralel çizilen doğruların kesişim noktası C₁ olarak alınsın. O zaman A₁B₁C₁ üçgeni ABC üçgenine H=tanA:tanB:tanC yükseklik merkezinden perspektiftir. Ayrıca bu bölümde daha önce [8]’ de verilen ve AY₁Z₂, BZ₁X₂, CX₁Y₂ üçgenlerinin kütle merkezleri G , ₁ G , ₂ G olmak üzere ₃ G₁G₂G₃ üçgeninin ABC üçgenine

C tan : B tan : A tan

H= yükseklik merkezinden perspektif olduğunu gösteren bir teoremin farklı bir kanıtı verilmiştir.

3.1. Üçgen Düzleminde Çemberler

3.1.1. Sonsuzdaki doğrunun izogonal eşleniği olarak ABC referans üçgeninin çevrelçemberi

P , ABC referans üçgeninin çevrelçemberi üzerinde bir nokta olsun. AXveAP doğruları A açısının iç açıortayına göre, BYileBP doğruları da B açısının

(37)

açıortayına göre simetrik olsunlar(Şekil 3.1). Ayrıca ∠PAB=θve ∠PBA=ϕ olarak alınsın. Buradan θ+ϕ=C olur[2, s. 63].

o o Y X A B P C θ ϕ ϕ θ

Şekil 3.1:ABC referans üçgeninin çevrelçemberi

ve A XAB= +θ

∠ ∠YBA=B+ϕolduğundan ∠XAB açısı ile ∠YBA açısının ölçüleri toplamı 180o_{dir ve buradan AX doğrusu BY doğrusuna paraleldir. Benzer}

şekilde CP doğrusunun C açısının açıortayına göre simetriği CZ doğrusu ise o zaman

CZ doğrusu da AXveBY doğrularına paraleldir. O halde AX, BY, CZ doğrularının kesişim noktası, yani, çevrelçember üzerinde bulunan herhangi bir noktayı temsil eden P noktasının izogonal eşleniği sonsuzdaki doğru üzerindedir. Böylece çevrelçember üzerindeki bir noktanın izogonal eşleniği, sonsuzdaki bir noktadır. Bunun tersi de geçerlidir. Buradan sonsuzdaki doğrunun izogonal eşleniği çevrelçemberdir ve sonsuzdaki doğrunun denklemi

0 z y

x+ + = (3.1)

olduğundan çevrelçemberin denklemi

0 xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₌ _(3.2) olur[2, s. 63].

(38)

Tanım 3.1.1.1: Bir X noktasını 'X noktasına 1 r TX ' TX = bölmesiyle taşıyan )rh(T, benzerlik dönüşümüne “T merkezli ve r oranlı homoteti” denir[2, s. 15].

3.1.2. Genel çember denklemi

kP P ) k , T ( h = + − = + + + + + + + + + (3.3)

noktası çevrelçember üzerindedir. Bu nokta çevrelçember üzerinde olduğundan,

(

)(

)

(

)

(

yz t wy vz x y z t vw x y z

)

0 a çembersel 2 2 2 ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₌

∑

(3.4)

veya daha açık olarak

(

wy vz

)(

x y z

px qy rz

)

0 xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₌ _(3.6)

genel formunda gösterilir. Burada px+qy+rz=0, (C) çemberi ile ABC referans üçgeninin çevrelçemberinin kuvvet eksenidir[2, s. 68].

(39)

3.1.3. Dokuz-nokta çemberinin denklemi

Dokuz-nokta çemberinin denklemi ) 2 1 , G (

h − homotetisi uygulanarak ABC referans üçgeninin çevrelçemberinden elde edilir. P=x:y:z noktası dokuz-nokta çemberi üzerinde bir nokta ise o zaman

) z y x : y x z : x z y ( ) z 2 : y 2 : x 2 ( ) z y x : z y x : z y x ( ) z : y : x ( 2 ) 1 : 1 : 1 )( z y x ( P 2 G 3 Q − + − + − + = − + + + + + + = − + + = − = (3.7)

noktası çevrelçember üzerindedir. ABC referans üçgeninin çevrelçemberinin denkleminden 0 ) y x z )( x z y ( c ) x z y )( z y x ( b ) z y x )( y x z ( a2 ₊ ₋ ₊ ₋ ₊ 2 ₊ ₋ ₊ ₋ ₊ 2 ₊ ₋ ₊ ₋ ₌ _(3.8)

elde edilir. Buradan gerekli düzenlemeler yapılırsa dokuz-nokta çemberinin denklemi

∑

− + − =

∑

− − + = çembersel çembersel 2 2 2 2 2 2 2 2 2₍_x _y ₂_yz _z ₎ ₍_a _c _b ₎_x ₂_a _yz ₀ a (3.9) veya

∑

− = çembersel 2 2 Ax a yz 0 S (3.10)

olarak elde edilir[2, s. 67].

3.1.4. Miguel bağıntısı

ABC üçgen düzleminde herhangi bir P noktası alınsın. AP, BP ve CP doğrularının ABC üçgeninin sırasıyla BC, CA, AB kenarlarını kestiği noktalar bu P noktasının izleridir.

(40)

Teorem(Miguel Teoremi) 3.1.4.1: X,Y,Z noktaları ABC üçgen düzleminde bir P noktasının izleri olsun. A,Y,Z; B,Z,X;C,X,Ynoktalarından geçen C_AYZ, C_BZX,

CXY

C çemberleri ortak bir noktadan geçer[2, s. 69].

AYZ çemberinin denklemini bulmak için

0 ) rz qy px )( z y x ( xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₌ _(3.11)

genel çember denklemi ele alınsın. Bu çember A=1:0:0 noktasından geçtiği için 0 p= , (3.12) w : 0 : u

X= noktasından geçtiği için

u w u b r 2 + − = , (3.13)

veY=u:v:0 noktasından geçtiği için

v u u c q 2 + − = (3.14)

olur. O halde C_AYZ çemberinin denklemi,

0 ) z u w u b y v u u c )( z y x ( xy c zx b yz a 2 2 2 2 2 ₌ + + + + + − + + (3.15)

olarak elde edilir. Aynı şekilde diğer iki çemberin denklemleri de

0 ) y w v w a x u w w b )( z y x ( xy c zx b yz a : C , 0 ) z w v v a x v u v c )( z y x ( xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 2 CXY 2 2 2 2 2 BZX = + + + + + − + + = + + + + + − + + (3.16)

(41)

olarak elde edilir. Miguel teoreminden bu üç çember bir 'P noktasında kesişir. Bu nokta P nin “Miguel noktası” olarak adlandırılır ve 'P noktasının koordinatları

y w v w a x u w w b z w v v a x v u v c z u w u b y v u u c2 2 2 2 2 2 + + + = + + + = + + + (3.17)

eşitliklerini sağlar. O halde bu denklem sistemi çözülerek 'P noktasının koordinatları

) v u uv c u w wu b w v vw a ( v u c : ) v u uv c u w wu b w v vw a ( u w b : ) v u uv c u w wu b w v vw a ( w v a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + + + + + + + − + + + + + + + − + _(3.18) olarak bulunur[2, s. 69-70]. 3.1.5. Cevian çevrelçember w : v : u

P= noktasının cevian çevrelçemberi, P noktasının izlerinden geçen çemberdir. Genel çember denklemi

0 ) rz qy px )( z y x ( ) xy c zx b yz a ( 2 ₊ 2 ₊ 2 ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₌ _(3.19)

olduğundan P noktasının izleri olan 0:v:w, u:0:w, u:v:0 noktaları bu denklemde yerine konulursa

v u uv c vq up , u w wu b wr up , w v vw a wr vq 2 2 2 + − = + + − = + + − = + (3.20)

(42)

) v u uv c u w wu b w v vw a ( w 2 1 r ), v u uv c u w wu b w v vw a ( v 2 1 q ), v u uv c u w wu b w v vw a ( u 2 1 p 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + + + − = + + + − + − = + + + + + − − = (3.21)

elde edilir. O halde P=u:v:w noktasının cevian çevrelçemberi,

0 ) z )) v u uv c u w wu b w v vw a ( w 2 1 ( y )) v u uv c u w wu b w v vw a ( v 2 1 ( x )) v u uv c u w wu b w v vw a ( u 2 1 )(( z y x ( ) xy c zx b yz a ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + − + − + + − + + + − + + − + − + + + + + + (3.22) olarak bulunur[2, s. 70]. 3.1.6. Cyclocevian eşlenik w : v : u

P= noktasının ABC referans üçgeninin BC, CA, AB kenarları üzerinde bulunan izleri, sırasıyla X=0:v:w, Y=u:0:w ve Z=u:v:0 dır. P noktasının cevian çevrelçemberinin BC, CA, AB kenarları ile ikinci kesişim noktaları sırasıyla

'

X , Y , '' Z olsun. Cevian çevrelçemberin BC doğrusunu kestiği noktaların ilk koordinatları sıfırdır. Genel çember denkleminde x=0 alınırsa bu noktalar

0 ) rz qy )( z y ( yz a2 ₊ ₊ ₊ ₌ _(3.23)

denklemini sağlar. Bu denklem düzenlenirse,

0 rz yz ) a r q ( qy2 ₊ ₊ ₊ 2 ₊ 2 ₌ _(3.24)

olur. Her iki taraf _{z ’ ye bölünürse}2

0 r z y ) a r q ( ) z y ( q 2 ₊ ₊ ₊ 2 ₊ ₌ _(3.25)

(43)

elde edilir. Bu denklemin köklerinin çarpımı q r

olur. Denklemin köklerinden biri

w v

’ dir. Çünkü cevian çevrelçemberin BC doğrusunu kestiği noktalardan biri

w : v : 0 X= olduğundan diğer kök qv rw

dir. Böylece, ikinci kesişim noktası

rw 1 : qv 1 : 0 qv : rw : 0 ' X= = (3.26)

dir. Benzer şekilde XYZ cevian çevrelçemberinin diğer iki kenarla ikinci kesişim

noktaları da bulunabilir. AX,'BY'veCZ' cevianları

rw 1 : qv 1 : pu 1 noktasında kesişir.

Bu kesişim noktası P noktasının Cyclocevian eşleniği olarak adlandırılır ve c(P) ile gösterilir. O halde c(P)’ nin koordinatları

v u uv c u w wu b w v vw a 1 : v u uv c u w wu b w v vw a 1 : v u uv c u w wu b w v vw a 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − + + + + + + − + + + + + + − (3.27) dir[2, s. 71].

3.1.7. ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin denklemi

ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin BC, CA, AB kenarlarına değme noktaları sırasıyla X, Y, Z olsun(Şekil 3.2). ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin BC kenarına değme noktasının ilk koordinatı sıfır olacağı için genel çember denkleminde x=0 yazılırsa

0 ) rz qy )( z y ( yz a2 ₊ ₊ ₊ ₌ _(3.28) şeklini alır[2, s. 73].

(44)

A B C s-c s-b s-c s-a s-a s-b O X Y Z . . .

Şekil 3.2: ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin kenar doğrularına değme noktalarının homojen barisantrik koordinatları

s, ABC referans üçgeninin çevre uzunluğunun yarısı olmak üzere iç teğet çember BC

kenarına X=0:s−c:s−b noktasında değdiğinden , b s c s z y − − = 0 ) rz qy )( z y ( yz a2 ₊ ₊ ₊ ₌ _(3.29)

denkleminin tek köküdür. Buradan k bir skaler olmak üzere

2 2

2

2 ₍_q _r _a ₎_yz _rz _k₍₍_s _b₎_y ₍_s _c₎_z₎

qy + + + + = − − − (3.30)

olarak yazılabilir. Bu eşitlikten

2 2_, _r ₍_s _c₎ ) b s ( q , 1 k= =− − =− − (3.31)

bulunur. Benzer şekilde, çemberin CA doğrusuna teğet olduğu düşünülürse

2 2 _ve_r ₍_s _c₎ ) a s ( p=− − =− − (sabit olarak) (3.32)

(45)

elde edilir. O halde iç teğet çemberin denklemi, 0 ) z ) c s ( y ) b s ( x ) a s )(( z y x ( xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₋ ₊ ₊ ₋ 2 ₊ ₋ 2 ₊ ₋ 2 ₌ _(3.33) olur[2, s. 73-74].

3.1.8. ABC referans üçgeninin dış teğet çemberleri

ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin denklemini elde etmek için kullanılan yöntem dış teğet çemberlerin denklemlerini elde etmek için de kullanılır. 'X,'Y,'Z noktaları A- dış teğet çemberinin sırasıyla BC, CA ve AB kenarlarına değme noktaları olsun(Şekil 3.3). s, ABC referans üçgeninin çevre uzunluğunun yarısı olmak üzere AZ' =s, AY' =s, BZ' =s−c, BX' =s−c, CY' =s−b,

b s '

CX = − ’ dir. Buna göre X,'Y,'Z' noktalarının homojen barisantrik koordinatları sırasıyla 0:s−b:s−c, −(s−b):0:s, −(s−c):s:0’ dır. Buradan, A-dış teğet çemberinin denklemi

0 ) z ) b s ( y ) c s ( x s )( z y x ( xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₋ ₊ ₊ 2 ₊ ₋ 2 ₊ ₋ 2 ₌ _(3.34)

olarak elde edilir. Benzer şekilde B-dış teğet ve C-dış teğet çemberlerinin denklemleri de 0 ) z ) a s ( y s x ) c s )(( z y x ( xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₋ ₊ ₊ ₋ 2 ₊ 2 ₊ ₋ 2 ₌ _(3.35) ve 0 ) z s y ) a s ( x ) b s )(( z y x ( xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₋ ₊ ₊ ₋ 2 ₊ ₋ 2 ₊ 2 ₌ _(3.36) olarak bulunur[2, s. 74].

(46)

A B C X' ' Y ' Z

Şekil 3.3: ABC referans üçgeninin A-dış teğet çemberinin ABC üçgeninin kenar doğrularına değme noktaları

Buradan ABC referans üçgeninin çevrelçemberi ile dış teğet çemberlerinin kuvvet eksenleri

(

)

(

)

(

)

(

)

(

s b

)

x

(

s a

)

y s z 0 0 z a s y s x c s 0 z b s y c s x s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − + − = − + + − = − + − + (3.37) dir.

Bu üç doğru, köşe noktaları

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

(47)

olan bir üçgen belirtir. A'B'C' üçgeni Clawson noktası olarak bilinen C B A S c : S b : S a

noktasındaABC referans üçgenine perspektiftir[2, s. 78].

3.1.9. Kuvvet merkezi Denklemleri

(

x y z

)(

p x q y rz

)

0, i 1,2,3 xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₋ ₊ ₊ _i ₊ _i ₊ _i ₌ ₌ _(3.39)

olan C_i çemberleri ele alınsın. Bu çemberlerin kuvvet merkezi, üç çembere göre eşit kuvvetli olan noktadır. Bu noktanın koordinatları a∈R olmak üzere

a z r y q x p a z r y q x p a z r y q x p 3 3 3 2 2 2 1 1 1 = + + = + + = + + (3.40)

denklem sisteminin çözümüdür. Kuvvet merkezinin koordinatları P=u:v:w olarak alınsın. Bu denklem sisteminin katsayılar matrisi

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 r q p r q p r q p M (3.41)

olmak üzere P noktasının koordinatları sırasıyla

⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 q p 1 q p 1 q p , r 1 p r 1 p r 1 p , q q 1 r q 1 r q 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 (3.42) matrislerinin determinantlarıdır[2, s. 90].

(48)

3.1.10. ABC referans üçgeninin iç teğet çember ile dokuz-nokta çemberinin kuvvet ekseni(Feuerbach teğeti)

ABC referans üçgeninin iç teğet çemberi ile dokuz- nokta çemberinin denklemleri daha önce sırasıyla

0 ) z ) c s ( y ) b s ( x ) a s )(( z y x ( xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₋ ₊ ₊ ₋ 2 ₊ ₋ 2 ₊ ₋ 2 ₌ _(3.43) ve 0 ) z S y S x S )( z y x ( 2 1 xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₋ ₊ ₊ _A ₊ _B ₊ _C ₌ _(3.44)

olarak elde edilmişti. Bu çemberlerin kuvvet ekseninin denklemini bulmak için (3.43) ile (3.44) denklemleri taraf tarafa çıkarılırsa

0 z ) S 2 1 ) c s (( y ) S 2 1 ) b s (( x ) S 2 1 ) a s (( 2 _C B 2 A 2 ₋ ₊ ₋ ₋ ₊ ₋ ₋ ₌ − (3.45)

olur. Bu son eşitlikte x’ in katsayısı

) c a )( b a ( 2 1 ) bc ) c b ( a a ( 2 1 )) a c b ( ) a c b (( 4 1 S 2 1 ) a s ( 2 2 2 2 2 A 2 ₋ ₌ ₊ ₋ ₋ ₊ ₋ ₌ ₋ ₊ ₊ ₌ ₋ ₋ − (3.46)

dir. Benzer şekilde y’ nin ve z’ nin katsayıları sırasıyla

) c b )( a b ( 2 1 S 2 1 ) b s ( ₋ 2 ₋ _B ₌ ₋ ₋ _(3.47) ve ) b c )( a c ( 2 1 S 2 1 ) c s ( ₋ 2 ₋ _C ₌ ₋ ₋ _(3.48)

(49)

olur. Buradan, bu iki çemberin kuvvet ekseninin denklemi 0 z ) b c )( a c ( y ) c b )( a b ( x ) c a )( b a ( : L − − + − − + − − = (3.49) veya 0 b a z a c y c b x = − + − + − (3.50) elde edilir. _P₌₍_b₋_c₎2_:₍_c₋_a₎2_:₍_a₋_b₎2_ve_Q₌_a₍_b₋_c₎2_:_b₍_c₋_a₎2 _:_c₍_a₋_b₎2

noktaları L doğrusu üzerindedir. Bu noktaları kullanarak, L kuvvet ekseni üzerinde bulunan P dışındaki noktaların bir parametrik ifadesi bazı t değerleri için

2 2 2 _:₍_b _t₎₍_c _a₎ _:₍_c _t₎₍_a _b₎ ) c b )( t a ( z : y : x = + − + − + − (3.51) olarak bulunur[2, s. 75].

3.1.11. ABC referans üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi ve dokuz-nokta çemberinin merkezinden geçen doğru

İlk olarak ABC referans üçgeninin iç teğet çemberi ile dokuz- nokta çemberinin kuvvet ekseni olan L doğrusu ile I ve N merkezlerinden geçen doğrunun kesişim noktası elde edilsin. Dokuz-nokta çemberinin merkezinin koordinatları, koordinat toplamı 8S2 olmak üzere

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2₍_b _c ₎ ₍_b _c ₎ _:_b ₍_c _a ₎ ₍_c _a ₎ _:_c ₍_a _b ₎ ₍_a _b ₎ a N= + − − + − − + − − (3.52)

noktasıdır. NI doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta k bir gerçel sayı olmak üzere N+kI biçimindedir. Bu nokta daha açık olarak

(50)

kc ) b a ( ) b a ( c : kb ) a c ( ) a c ( b : ka ) c b ( ) c b ( a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − − + + − − + + − − + (3.53)

biçiminde yazılabilir. Bu noktanın hem IN üzerinde hem de L kuvvet ekseni üzerinde olması için gerekli k gerçel sayısı k=−2abc olarak elde edilir. Buradan NI doğrusu ile L kuvvet ekseninin kesişim noktasının ilk koordinatı

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) c b )( s a ( s 4 ) ) c b ( a ( ) c b ( ) c b ( ) c b ( a bc a 2 ) c b ( ) c b ( a − − = + − − = − − − = − − − + (3.54)

olur ve benzer şekilde a,b,c çembersel permütasyonuyla diğer iki koordinat da bulunur. O halde bu noktanın koordinatları

2 2 2 _:₍_s _b₎₍_c _a₎ _:₍_s _c₎₍_a _b₎ ) c b )( a s ( F= − − − − − − (3.55)

dir. Eğer st =− alınırsa L doğrusu üzerinde yine F noktası elde edilir. Bu nokta Feuerbach noktası olarak adlandırılır. F noktası [IN] doğru parçasını bölme oranı

FI NF dır. O zaman sabcI 4 N S 8 skI 2 N S 8 ~ F 2 ₊ ₌ 2 ₋ _(3.56)

dır. Buradan gerekli düzenlemeler yapılırsa R, ABC referans üçgeninin çevrelçemberinin yarıçapı ve r iç teğet çemberin yarıçapı olmak üzere

r : 2 R r 2 R S sR S 8 sRS 8 S 8 sabc 4 FI NF 2 2 = ₋ = − − = − = − = (3.57) olur[2, s. 75-76].

(51)

3.1.12. Feuerbach teoremi

Dokuz-nokta çemberi ve iç teğet çember F Feuerbach noktasında birbirine içten teğettir. F Feuerbach noktasını üzerinde bulunduran doğrunun denklemi

0 b a z a c y c b x ₌ − + − + − (3.58)

olur. Ayrıca dokuz-nokta çemberi ABC referans üçgeninin dış teğet çemberlerinin her birine dıştan teğettir[2, s. 77].

Teorem (Feuerbach teoremi)3.1.12.1: Dokuz- nokta çemberinin ABC referans üçgeninin üç dış teğet çemberine teğet olduğu noktalar,

c s ) b a ( : b s ) a c ( : a s ) c b ( ' F 2 2 2 − + − + − + = (3.59)

noktasında ABC üçgenine perspektif olan bir üçgen oluştururlar[2, s. 77].

3.1.13. Brocard noktaları

ABC referans üçgeninin A ve B noktalarından geçen ve A noktasında AC kenarına teğet olan çember ele alınsın. Bu çember A ve B noktalarından geçtiği için denklemi bazı r sabitleri için

0 ) z y x ( rz xy c zx b yz a2 ₊ 2 ₊ 2 ₋ ₊ ₊ ₌ _(3.60)

biçimindedir. Bu çember AC doğrusuna A noktasında teğet olduğu için bu denklemde y= değeri yerine konulursa denklem 0

0

z2 ₌_(3.61)

(52)

0 ) z y x ( z b xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 AAB + + − + + = (3.62)

olarak elde edilir. Benzer şekilde

0 ) z y x ( x c xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 BBC + + − + + = (3.63) ve 0 ) z y x ( y a xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 CCA + + − + + = (3.64)

çemberleri elde edilir. Bu üç çemberin kesişim noktası

2 2 2 _b 1 : a 1 : c 1 = Ω (3.65)

noktasıdır[2, s. 80-81]. Bu noktaya ABC referans üçgeninin birinci Brocard noktası denir. Bu nokta CA BC AB=∠Ω =∠Ω Ω ∠ (3.66) eşitliğini sağlar[9].

Tersine olarak C_ABB,C_BCC ve C_CAA çemberlerinin denklemleri sırasıyla

0 ) z y x ( x b xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 ABB + + − + + = , (3.67) 0 ) z y x ( y c xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 BCC + + − + + = (3.68) ve 0 ) z y x ( z a xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 CAA + + − + + = (3.69)

(53)

şeklindedir ve bu çemberlerin kesişim noktası 2 2 2 _a 1 : c 1 : b 1 '= Ω (3.70)

noktasıdır[2, s. 81]. Bu nokta ABC referans üçgeninin ikinci Brocard noktasıdır ve

BA ' CB ' AC ' =∠Ω =∠Ω Ω ∠ (3.71)

eşitliğini sağlar[9]. Bu iki Brocard noktası birbirinin izogonal eşleniğidir. O halde

BA ' CB ' AC ' CA BC AB=∠Ω =∠Ω =∠Ω =∠Ω =∠Ω Ω ∠ (3.72)

olur. Bu ortak açı değerine ABC referans üçgeninin Brocard açısı denir ve ω ile gösterilir[2, s. 81].

3.1.14. Conway notasyonundan yararlananarak elde edilen üçüncü Brocard noktası

A noktasından BC kenarına paralel bir doğru çizilsin ve bu doğru ile B doğrusu D Ω noktasında kesişsin. A ve D noktalarından BC kenarına inilen dik doğrular bu kenarı sırasıyla F ve E noktalarında kessin(Şekil 3.4). Buna göre

FA CE FC BF ED BE cotω= = + + (3.73)

dır. Bununla birlikte FA = ED olduğundan

C cot B cot A cot ED CE FA FC FA BF cotω= + + = + + (3.74) olur[10, s. 61].

(54)

ω

A

B

C

. .

D

Ω

E

F

' Ω

ω

Şekil 3.4: ABC referans üçgeninin Brocard açısı ile birinci ve ikinci Brocard noktası Buna göre bölüm 2’ de bahsedilen Conway notasyonunun bazı özel durumları

) a c b ( 2 1 S 2 2 2 A = + − ₌_S ₋_a2 ω , (3.75) ) b c a ( 2 1 S 2 2 2 B = + − 2 b S − = _ω , (3.76) ) c b a ( 2 1 S 2 2 2 C = + − 2 c S − = _ω (3.77)

olarak bulunur[11]. BΩveCΩ'doğrularının kesişim noktası A olsun. Benzer ₋_ω şekilde ' B A C ve ' A C B₋_ω = Ω∩ Ω ₋_ω = Ω∩ Ω (3.78)

(55)

noktaları verilsin. Köşe noktaları A₋_ω,B₋_ω,C₋_ω olan A₋_ωB₋_ωC₋_ω üçgeni 2 2 2 C B A c 1 : b 1 : a 1 S S 1 : S S 1 : S S 1 ) ( K = − − − = ω − ω ω ω (3.79)

noktasından ABC referans üçgenine perspektiftir[2, s. 81]. K(− noktası üçüncü ω) Brocard noktası olarak bilinir[9].

3.1.15. (A(a),B(b),C(c)) çember üçlüsü

İlk olarak ABC referans üçgeninin köşe noktası A merkezli a yarıçaplı A(a) çemberi ele alınsın. Bu çember AB doğrusunu c+a:-a:0 ve c-a:a:0 noktalarında keser. Aynı şekilde AC kenarını a+b:0:-a ve b-a:0:a noktalarında keser. O zaman bu çemberin denklemi 0 ) z ) b a ( y ) c a ( x a )( z y x ( xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 2 2 2 2 a + + + + + + − + − = (3.80)

S_A + = _C + (3.84)

elde edilir. Benzer şekilde ilk iki ifade toplanıp, birinci ifade ile üçüncü ifadenin toplamına eşitlenirse

(

z x

)

S ) y x ( S_C + = _B + (3.85)

elde edilir. Buradan

AB CA BC C B A S : S : S S 1 : S 1 : S 1 y x : x z : z y+ + + = = (3.86)

ve gerekli düzenlemeler yapılırsa kuvvet merkezi

AB CA BC CA BC AB BC AB CA S S :S S S :S S S S z : y : x = + − + − + − (3.87)

olur. Bu nokta ABC referans üçgeninin Longchamps noktası olarak adlandırılır. Aynı zamanda bu nokta ABC referans üçgeninin çevrelçemberinin merkezine göre yükseklik merkezinin yansımasıdır. Yani,

H O . 2 L= − (3.88) dır[2, s. 83]. 3.1.15.1. Steiner noktası

ABC referans üçgeninin çevrelçemberi ile denklemi (3.80) ile verilen C _a çemberinin kuvvet ekseni

(57)

(

a c

) (

y a b

)

z 0 x

a2 ₊ 2 ₋ 2 ₊ 2₋ 2 ₌ _(3.89)

doğrusudur. BC kenar doğrusu ile bu doğrunun kesişim noktası

2 2 2 2 _a _b 1 : a c 1 : 0 ' A − − = (3.90)

noktasıdır. Benzer şekilde C çemberinin kuvvet ekseni CA kenarını _b

2 2 2 2 _a _b 1 : 0 : c b 1 ' B − − = (3.91)

noktasında ve C çemberinin kuvvet ekseni AB kenarını _c

0 : a c 1 : c b 1 ' C ₂ ₂ ₂ ₂ − − = (3.92)

noktasında keser. Bu A,'B,'C' noktaları, koordinatları

2 2 2 2 2 2 _a _b 1 : a c 1 : c b 1 − − − (3.93)

olan noktanın izleridir. Bu nokta çevrelçember üzerindedir ve Steiner noktası olarak adlandırılır[2, s. 84].

3.1.16. Lucas çemberleri

ABC referans üçgeninin BC kenarı üzerine dıştan yerleştirilen CBXY karesinin X ve Y köşeleri ABC referans üçgeninin A köşesine birleştirilsin. AX ve AY doğrularının BC kenar doğrusu ile kesişim noktaları sırasıyla K ve L olsun. K noktasından geçen ve BC kenarına dik olan doğru AB kenarını N noktasında kessin. L noktasından geçen ve BC kenarına dik olan doğru AC kenarını M noktasında

(58)

kessin(Şekil 3.5). Böylece oluşan KLMN karesi ABC üçgeni tarafından çevrelenmektedir[12]. A B C X Y K L M N

Şekil 3.5: ABC referans üçgeninin Lucas çemberleri

KLMN karesi BC kenarı üzerine dıştan yerleştirilen CBXY karesinden ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + S a S , A h ₂

homotetisi ile elde edildiğinden A, M ve N noktalarından geçen çemberin denklemi

(

x y z

)

(

c y b z

)

0 S a a xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 2 2 2 A + + − ₊ + + + = (3.94)

dır[2, s. 93]. Bu çember Lucas A-çemberi olarak bilinir[12]. Aynı şekilde ABC referans üçgeninin diğer iki kenarı üzerine dıştan yerleştirilen karelere karşılık gelen Lucas çemberleri

(

x y z

)

(

c x a z

)

0 S b b xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 2 2 2 B + + − ₊ + + + = (3.95)

(59)

ve

(

x y z

)

(

b x a y

)

0 S c c xy c zx b yz a : C 2 2 2 2 2 2 2 C + + + = + − + + (3.96)

dir. Bu üç çemberin kuvvet merkezinin koordinatları

(

)

(

)

(

)

S c y a x b c S b x c z a b S a z b y c a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + = + + (3.97)

denklemlerini sağlar. Bu eşitlikteki ifadeler _a2_b2_c2_{’ ye bölünürse}

S c b y a x S b a x c z S a c z b y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + = + + (3.98) olur. Burada ) R k ( , k S c b y a x S b a x c z S a c z b y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∈ = + + = + + = + + (3.99) veya ) R k ( , k S c b y a x , k S b a x c z , k S a c z b y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∈ = + + = + + = + + (3.100) yazılabilir. Buradan ) S a ( k c z b y 2 2 2 + = + , _a k(b S) x c z 2 2 2 + = + , _b k(c S) y a x 2 2 2 + = + (3.101) veya