Yenileme Süreçleri ve İntegral Denklemler
Halil AYDOĞDU1, Cemal ATAKAN1
..
Özet: Bu çalışmada, çözüm fonksiyonu bir yenileme sürecinin ortalama değer fonksiyonuna
bağlı olan integral denklemleri üzerinde durulmaktadır. Bir yenileme sürecinin varyans fonksiyonu için bir integral denklem elde edilir. Bu integral denklem yardımıyla tanımlanan fonksiyonlar dizisinin varyans fonksiyonuna monoton yakınsamasına bağlı olarak varyans fonksiyonu için bazı sınır fonksiyonları verilir.
Anahtar Kelimeler: Yenileme süreci, yenileme fonksiyonu, varyans fonksiyonu,
yenileme denklemi
Renewal Processes and Integral Equations
Abstract: In this study, integral equations are considered such that their solution functions are dependent on the mean value function of a renewal process. Then, an integral equation is given for the variance function of the process. Depending on the monotone convergence of the obtained sequence of the functions with the help of this integral equation, some bounds are found for the variance function of the process.
Key Words: Renewal process, renewal function, variance function, renewal equation
1. GİRİŞ
Bir yenileme süreci, olaylar (yenilemeler) arası geçen zaman süreleri pozitif değerli, bağımsız ve aynı F dağılım fonksiyonuna sahip rasgele değişkenleri üzerine kurulu bir sayma sürecidir; yani,
X X
1,
2,.
X n
nS
0=
0
, S
n=
X
1+ +
...
,
≥
1
ve t anına kadar yapılan yenilemelerin sayısıN t
( )
=
maks
{ :
n S
n≤
t
}
rasgele değişkeni olmak üzere{ ( ),
N t t
≥
0
}
stokastik sürecidir. rasgele değişkeni (n-1).nci yenileme yapıldıktan sonra n.nci yenileme yapılıncaya kadar geçen zaman süresini temsil eder.X
n{ ( ),
N t t
≥
0
}
yenileme süreci ile ilgili iki önemli fonksiyon,(1)
M t
E N t
P S
nt
F
t
t
n n n( )
=
( ( ))
=
(
≤ =
)
( ) ,
= ∞ ∗ = ∞∑
∑
1 10
≥
≥
0
sürecin ortalama değer fonksiyonu (yenileme fonksiyonu) veV t
( )
=
E N t
(
2( ))
−
M t
2( )
=
M t
( )(
1
−
M t
( ))
+
2
M M t
∗
( ) ,
t
(2) sürecin varyans fonksiyonudur. Burada∗
Stieltjes konvolüsyon işlemini göstermek-tedir ve , F dağılım fonksiyonunun kendi kendisiyle olan n kez Stieltjes konvolüsyonudur [1].F
n∗M yenileme fonksiyonu sağdan sürekli ve azalmayandır.
M ( )
∞ = ∞
olması dışında dağılım fonksiyonu özelliklerine sahiptir. Fakat, V varyans fonksiyonu iki azalmayan fonksiyonun farkı olarak ifade edildiğinden azalmayan bir fonksiyon olmak zorunda değildir. Ayrıca V hiçbir zaman azalan bir fonksiyon olamaz.A bilinmeyen bir fonksiyon ve F dağılım fonksiyonu ile bir a fonksiyonu bilinmek üzere
(3)
A t
a t
A t x dF x
t
t( )
=
( )
+
∫
(
−
)
( ) ,
≥
00
integral denklemini gözönüne alalım. Bu integral denklemin çözümü M yenileme fonksiyonuna bağlıdır. Bu nedenle (3) tipindeki bir integral denklem yenileme denklemi olarak adlandırılır. Gerçekte, a sınırlı bir fonksiyon iken (3) yenileme denkleminin sonlu aralıklar üzerinde sınırlı bir ve yalnız bir A çözümü vardır ve bu çözüm olan fonksiyon
(4)
A t
a t
a t x dM x
t
t( )
=
( )
+
∫
(
−
)
( ) ,
≥
00
ile verilir [2].F dağılım fonksiyonu bir f olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip ise (3) yenileme denklemi
0
,
)
(
)
(
)
(
)
(
0≥
−
+
=
a
t
∫
f
t
x
A
x
dx
t
t
A
tintegral denklemine dönüşür. Bu denklem literatürde konvolüsyon çekirdekli lineer ikinci çeşit Volterra integral denklemi olarak bilinir [3].
Birinci yenileme yapılıncaya kadar geçen zaman süresi olan rasgele değişkeni üzerinden koşullandırma ile
1
X
∫
∞=
=
=
=
0 1 1)
(
)
)
(
(
]
)
)
(
(
[
))
(
(
)
(
x
dF
x
X
t
N
E
X
t
N
E
E
t
N
E
t
M
olur.
>
≤
−
+
=
=
t
x
t
x
x
t
N
E
x
X
t
N
E
,
0
,
))
(
1
(
)
)
(
(
1 (5)olduğundan M yenileme fonksiyonu için
(6)
0
,
)
(
)
(
)
(
)
(
0≥
−
+
=
F
t
∫
M
t
x
dF
x
t
t
M
tM yenileme fonksiyonu düzgün, üstel, iki parametreli üstel, hiper üstel ve şekil parametresi
doğal sayı olan gamma gibi bazı özel dağılımlar için (1) ya da (6) denkleminden analitik olarak elde edilebilir. Örneğin, F dağılım fonksiyonu
α
=
j
,
j
∈
N
veλ
>
0
parametreli gamma dağılım fonksiyonu ise (6) integral denkleminin çözümü0
,
)
(
1≥
+
=
∑
= −c
e
t
e
j
t
t
M
j i t m i t i λλ
dır [4]. Burada
m ,...,
1m
j lerm
j−
λ
j=
0
denkleminin kökleri ve1
≤
i
≤
j
olmak üzere leri
c
0
))
(
(
))
(
)
(
0 1 1 0=
=
= − − = t j t j t tdt
t
M
e
t
t
M
e
λ0
,...,
λ 0=
= td
(
,
0
tdt
M
e
d
λşartlarını sağlayan sabitlerdir. Bu çalışmada bir yenileme sürecinin varyans fonksiyonu için bir integral denklem elde edilir. Bu integral denklem yardımıyla tanımlanan fonksiyonlar dizisinin varyans fonksiyonuna monoton yakınsamasına bağlı olarak varyans fonksiyonu için bazı sınır fonksiyonları verilir.
2. VARYANS FONKSİYONU İÇİN BİR İNTEGRAL DENKLEM
Birinci yenileme yapılıncaya kadar geçen zaman süresi olan rasgele değişkeni üzerinden koşullandırma ile
1
X
)
(
)
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
(
2
)
(
)
(
]
))
(
)
(
[(
))
(
)
(
(
)
(
1 0 2 1 0 2 0 1 2 2x
dF
x
X
t
N
E
x
dF
x
X
t
N
E
t
M
t
M
x
dF
x
X
t
M
t
N
E
t
M
t
N
E
t
V
=
+
=
−
=
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
∞ ∞ ∞ olur.
>
≤
−
+
=
=
t
x
t
x
x
t
N
E
x
X
t
N
E
,
0
,
))
(
1
(
)
)
(
(
2 1 2 (7)dır. Bu durumda (5), (6) ve (7) ifadelerinin kullanılmasıyla
V
=
−
+
∗
+
∫
−
tx
dF
x
t
N
E
t
F
M
t
M
t
M
t
0 2 2(
)
(
)
(
(
))
(
)
)
(
)
(
bulunur. Yukarıdaki integralin içine
M
2(
t
−
x
)
in eklenip çıkarılmasıyla V varyans fonksiyonu için (8)0
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0 2 2+
∗
+
−
≥
−
∗
+
=
M
t
M
F
t
M
t
M
F
t
∫
V
t
x
dF
x
t
t
V
tintegral denklemi elde edilir.
(8) integral denklemi bir yenileme denklemidir. Bundan dolayı bu integral denklemin sonlu aralıklar üzerinde bir tek çözümü vardır ve bu çözüm olan fonksiyon aşağıda verilir. (4)’de
ve alınarak, Stieltjes konvolüsyon işleminin bazı matematiksel özelliklerinin ve (6) dan olduğunun gözönüne alınmasıyla
)
(
)
(
t
V
t
A
=
a
(
t
)
=
M
(
t
)
+
M
∗
F
(
t
)
−
M
2(
t
)
+
M
2∗
F
(
t
)
∗
)
t
(
)
(
)
(
t
F
M
F
t
M
=
+
∗
)
(
2
))
(
1
)(
(
)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2 2 2 2t
M
M
t
M
t
M
t
F
M
M
t
F
M
t
M
t
M
t
F
M
M
t
M
M
t
F
M
M
t
M
M
t
F
M
t
M
t
F
M
t
M
t
V
∗
+
−
=
∗
∗
+
∗
+
−
=
∗
∗
+
∗
−
∗
∗
+
∗
+
∗
+
−
∗
+
=
dır. Böylelikle, V varyans fonksiyonunun (2) ifadesine (8) integral denkleminin çözümüyle de ulaşılmış olur.
V varyans fonksiyonu için (8) integral denklemini ele alalım. F mutlak sürekli bir dağılım
fonksiyonu olsun.
V
1 herhangi bir fonksiyon olmak üzereV
k+1 fonksiyonu,...
2
,
1
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0 2 2 1=
+
∗
−
+
∗
+
∫
−
=
+t
M
t
M
F
t
M
t
M
F
t
V
t
x
dF
x
k
V
t k k (9)ile tanımlansın. Bu durumda Xie’nin [5] (3) tipindeki bir yenileme denklemiyle ilgili olarak verdiği sonuçlardan
(
V
k)
k=1,2,... fonksiyonlar dizisi için aşağıdakiler yazılabilir.Her
t
≤
T
içinV
1(
t
)
≤
(
≥
)
V
(
t
)
⇒
Herk
≥
1
vet
≤
T
içinV
k(
t
)
≤
(
≥
)
V
(
t
)
(10)dır. Burada T sonsuz olabilir. Ayrıca,
V
sınırlı bir fonksiyon olmak üzere olacak şekildeki her t içinV
noktasal olarak V varyans fonksiyonuna yakınsar. Her içinise
V
nin V ye yakınsaklığı monotondur, yani her ve hert
için1
F
(
t
)
<
1
1
k)
(t
T
t
≤
)
(
)
(
2 1t
V
V
≤
≥
kk
≥
≤
T
(11)V t
1( )
≤
V t
2( )
⇒
V t
1( )
≤
V t
2( ) ...
≤ ≤
V t
k( )
≤
V
k+1( ) ...
t
≤ ≤
V t
( )
ve (12)V t
1( )
≥
V t
2( )
⇒
V t
1( )
≥
V t
2( ) ...
≥ ≥
V t
k( )
≥
V
k+1( ) ...
t
≥ ≥
V t
( ).
3. VARYANS FONKSİYONU İÇİN BAZI SINIRLAR V varyans fonksiyonu için (2)’de verilen
V
(
t
)
=
M
(
t
)(
1
−
M
(
t
))
+
2
M
∗
M
(
t
)
,
t
≥
0
ifadesini gözönüne alalım. M pozitif değerli ve azalmayan bir fonksiyon olup olacağından varyans fonksiyonu için
)
(
)
(
0
≤
M
∗
M
t
≤
M
2t
(13)0
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
−
M
2t
≤
V
t
≤
M
t
+
M
2t
t
≥
M
eşitsizliği bulunur. Bu eşitsizlikten görüldüğü gibi
V
nin komşulu-ğunda bulunmaktadır. Yenilemeler arası geçen zaman sürelerinin)
(t
M
(t
)
M
2(
t
)
µ
ortalamasına göre küçük t değerleri içinM
2 fonksiyonu küçük bir değer alacağından M ile V fonksiyonları birbirlerine yakın değerler alabileceklerdir. (9)’daV t
1( )
=
M t
( )
−
M t
2( )
alalım.(
)
(
)
[
]
(
)
V t
M t
M F t
M t
M
F t
M t x
M t x dF x
M t
M t
M F t
M t
M t
M t
F t
t 2 2 2 2 0 2 22
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
+ ∗
−
+
∗
+
− −
−
=
−
+
∗
=
−
+
−
∫
dir. (13) den
V
1(
t
)
≤
V
(
t
)
olup (10) danV
2(
t
)
≤
V
(
t
)
olacaktır.F
(
t
)
≤
M
(
t
)
olduğundan)
(
)
(
))
(
)
(
(
2
)
(
)
(
t
M
2t
M
t
F
t
M
t
M
2t
)
)(
(
2
))
(
1
)(
(
)
(
1 1t
M
t
M
t
M
F
t
V
k i k k∑
= ∗ +=
−
+
∗
fonksiyonu bulunur. V için bu fonksiyon, (11) ifadesinin gözönüne alınmasıyla daha önceki adımlarda bir öncekine göre daha iyi bir sınır olarak elde edilen alt sınırlardan daha iyi bir alt sınırdır. Bu durum aynı zamanda M fonksiyonunun (1)’de verilen konvolüsyon serisi ifadesinin V fonksiyonunun (2) ifadesinde kullanılmasıyla da görülür.
Her
t
≥
0
için olduğundan M yenileme fonksiyonu için (6) yenileme denkleminin kullanılmasıyla)
(
)
(
)
(
0
≤
M
∗
F
t
≤
M
t
F
t
F t
M t
F t
F t
( )
( )
( )
( )
≤
≤
−
1
,t
≥
0
eşitsizliği elde edilir. Bu durumda F dağılım fonksiyonuna bağlı olarak V varyans fonksiyonu için, (13) ve yukarıdaki eşitsizliğin gözönüne alınmasıyla
(
)
2(
)
2)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
t
F
t
F
t
V
t
F
t
F
t
F
−
≤
≤
−
−
,t
≥
0
eşitsizliğine ulaşılır. Bu eşitsizliğin alt sınırı genelde kullanışlı değildir. Özellikle, F dağılımının
2 5
3− .nci kantilinden büyük veya eşit tüm t değerleri için anlamsızdır.
Teorem 1. Her
t
≥
0
için:(i)
F
∗
(
M
2+
2
M
)(
t
)
≤
M
2(
t
)
⇒
V
(
t
)
≤
M
(
t
).
(ii)
F
∗
(
M
2+
2
M
)(
t
)
≥
M
2(
t
)
⇒
V
(
t
)
≥
M
(
t
).
İspat (i). Kısım 2 den, V varyans fonksiyonu için (8) integral denkleminin çözümü olan fonksiyon,
olmak üzere
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
t
M
t
M
F
t
M
2t
M
2F
t
a
=
+
∗
−
+
∗
0
,
)
(
)
(
)
(
)
(
0≥
−
+
=
a
t
∫
a
t
x
dM
x
t
t
V
tdır. Her
t
≥
0
içinF
∗
(
M
2+
2
M
)(
t
)
≤
M
2(
t
)
olduğundana
(
t
)
≤
F
(
t
)
olur. Bu durumda)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0 0t
M
x
dM
x
t
F
t
F
x
dM
x
t
a
t
a
t
V
t t=
−
+
≤
−
+
=
∫
∫
bulunur. Böylelikle (i)’nin ispatı tamamlanır. Ayrıca, yukarıdaki eşitsizliklerin yön değiştirmesiyle (ii)’de verilen ifade elde edilir.
{ ( ),
N t t
≥
0
}
yenileme süreciλ
oranlı bir Poisson süreci olsun. Bu süreç için0
,
)
(
t
=
t
t
≥
M
λ
ve0
,
)
(
t
=
t
t
≥
V
λ
dır [2]. olup her için olduğu kolaylıkla gösterilir. Bu durumda Teorem 1 den, bilinen
V
0
,
1
)
(
t
=
−
e
−t
≥
F
λtt
≥
0
(
)
(
)
)(
2
(
M
2M
t
M
2t
F
∗
+
=
0
,
t
≥
t
)
=
t
λ
ifadesine tekrar ulaşılır.Teorem 2.
(i)
c
≥
1
olmak üzere hert
≤
T
için(
)
M t
( )
≤
c
+
1
F t
( )
⇒
V t
( )
≤
M t c M t
( )
−
( )
2
.(ii) c pozitif bir sabit olmak üzere her
t
≤
T
için(
)
M t
( )
≥
c
+
1
F t
( )
⇒
V t
( )
≥
M t c M t
( )
−
( )
2
.(iii) c pozitif bir sabit olmak üzere her
t
≤
T
içinM t
( )
≤
1
F t
( )
+
c
F t
( )
⇒
V t
( )
≤ −
c M t
( )
2
2
2 .
İspat (i).
V t
1( )
=
M t c M t
( )
(
−
( )
)
alalım.(
)
(
(
)
)
V t
M t
M F t
M t
M
F t
M t x c M t x dF x
cM t
M t
M t
c
F t
t 2 2 2 0 22
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) (
) ( ).
=
+ ∗
−
+
∗
+
−
−
−
=
−
+
− +
∫
Hert
≤
T
içinM t
( )
≤
c
+
1
F t
( )
2
olduğundan2
M t
( ) (
≤ +
c
1
) ( )
F t
olup)
(
)
(
)
(
)
(
1 2 2t
V
t
M
t
cM
t
V
=
−
≤
dir. Bu durumda (12) den her
t
≤
T
içinV t
elde edilir. Böylece (i)’nin ispatı tamamlanır. Ayrıca (ii) de yukarıdaki eşitsizliklerin yön değiştirmesiyle kolayca ispatlanır.(
M t c M t
( )
≤
( )
−
( )
)
(iii).
V t
1( )
= −
c M t
2( )
olsun. Hert
≤
T
için)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2 2 2 0 1 2 2 2t
V
t
M
c
t
M
t
cF
t
F
t
F
c
t
F
t
M
t
cF
t
F
t
M
x
dF
x
t
V
t
F
M
t
M
t
F
M
t
M
t
V
t=
−
=
−
+
−
+
≤
−
+
−
=
−
+
∗
+
−
∗
+
=
∫
bulunur. Böylece (12)’den ispat tamamlanır. Her
t T
≤
içinc
+
1
F t
≤
M t
≤
d
+
F t
2
1
2
( )
( )
( )
olacak biçimde c ve d sabitleri varsa Teorem 2 (i) ve (ii)’den hert T
≤
için(
)
(
M t c M t
( )
−
( )
≤
V t
( )
≤
M t d
( )
−
M t
( )
)
dir. Dikkat edilirse Teorem 2’nin (ii) şıkkında
c
≤
1
olmak üzere M t( )≥c+1F t( )V t
( )
≥
M t
( )
−
M t
2( )
1( )
eşitsizliğine tekrar ulaşılır. Ayrıca Teorem 2’nin (i) şıkkının ispatını gözönüne aldığımızda
V t
ve olmak üzere (i)’deki hipotez altındaV t
dir. (12)’denV t
(
)
M t c M t
( )
( )
=
−
2( )
≤
V t
2( ) (
= +
c
2
) ( ) (
M t
− +
c
1
) ( )
F t M t
−
2( )
V t
1( )
( )
≤
V t
2( ) V t
≤
1( )
2M (
−
1
olduğundan üst sınırı üst sınırından daha iyidir. Benzer olarak (ii) şıkkında da aynı şeyler geçerlidir. (12)’den dolayı fonksiyonu V(t) için (iii)’de verilen sınırından daha iyidir. Özel olarakc
alınırsa, her(
c
+
2
) ( ) (
M t
− +
c
1 ( )
)
F t
−
M t
2( )
c M t
−
2( )
(
)
M t c M t
( )
−
( )
2
M t
( ) (
+ −
c
1
) ( )
F t
=
t)
t T
≤
içinM(t) 1/2 ise V(t) 2M(t)- dir. Gerçekte, (11) ve (12) ifadelerinin yardımıyla her defasında daha iyi bir sınır elde edilebilir. Fakat, bu sınırlar iyileştikçe karmaşıklaşmaktadırlar.
≤
≤
M t
2( )
KAYNAKLAR
1. Grimmett, G. R. and Stirzaker, D. R., Probability and Random Processes. Oxford University Press Inc., New York, (1992).
2. Karlin, S. and Taylor, H. M., A First Course in Stochastic Processes. Second edition. Academic Press. New York, (1975).
3. Moiseiwitsch, B. L., Integral Equations. Longman Group Limited, New York, (1977).
4. Aydoğdu, H., Yenileme Süreçlerinde İntegral Denklemler. Yüksek Lisans Tezi, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, (1990).
5. Xie, M., “Some results on the renewal equations.” Commun. Statist. Theory Meth. 18(3), 1159-1171, (1989).
