T.C.
SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
ĠKĠ ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARDA ELEKTRĠK ALAN ETKĠSĠNĠN
PERTÜRBASYON YÖNTEMĠYLE ĠNCELENMESĠ
Ahmet TÜRKER YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
Fizik Anabilim Dalı
Mayıs-2016 KONYA Her Hakkı Saklıdır
iv ÖZET
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ
ĠKĠ ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARDA ELEKTRĠK ALAN ETKĠSĠNĠN PERTÜRBASYON YÖNTEMĠYLE ĠNCELENMESĠ
Ahmet TÜRKER
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı
DanıĢman: Doç Dr. Bekir ÇAKIR 2016, 80 Sayfa
Jüri
Doç. Dr. Bekir ÇAKIR Prof. Dr. Ayhan ÖZMEN
Prof. Dr. Yusuf YAKAR
Bu tez çalışmasında iki elektronlu kuantum nokta yapının dış elektrik alan etkisi altında elektronik özellikleri pertürbasyon yöntemiyle incelendi. Hesaplamalarda sonsuz derinlikli küresel simetrik sınırlayıcı potansiyel ile sınırlandırılmış Helyum benzeri safsızlık olan iki elektronlu kuantum nokta yapı göz önüne alındı. Sistemin dalga fonksiyonları tek elektron spin orbitallerinden oluşan Slater determinantı ile tanımlandı. Tek elektron spin orbitalleri ise Slater Tipi Orbitallerin (STO) lineer bileşimleri olarak kuruldu. Her bir durum için dalga fonksiyonu bir Slater determinantı ile tanımlandı. Kuantum Genetik Algoritma (KGA) tekniği ile Schrödinger denkleminin olası çözümleri olan dalga fonksiyonları belirlendi ve bu dalga fonksiyonları kullanılarak iki elektronlu kuantum nokta yapının taban ve bazı uyarılmış durumların enerjilerinin beklenen değerleri Hartree-Fock-Roothaan Metodu (HFR) ile hesaplandı. İki elektronlu kuantum nokta yapının dış elektrik alan etkisinde iken bu enerji seviyelerine gelen katkı pertürbasyon yöntemiyle hesaplandı. Taban durum (1s2) için ikinci mertebeden pertürbasyon
etkisi ile uyarılmış durumların birinci mertebeden pertürbasyon etkileri hesaplandı.
Anahtar Kelimeler: Hartree-Fock Roothaan Metod, Kuantum nokta yapı, Kuantum Genetik Algoritma
v ABSTRACT MS THESIS
INVESTIGATION OF THE EFFECT OF ELECTRIC FIELD ON THE TWO- ELECTRON QUANTUM DOT STRUCTURES USING PERTURBATION
METHOD Ahmet TÜRKER
THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY
THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN DEPERTMENT OF PHYSĠCS Advisor: Assoc. Prof. Dr. Bekir ÇAKIR
2016, 80 Pages Jury
Advisor: Assoc. Prof. Dr. Bekir ÇAKIR Prof. Dr. Ayhan ÖZMEN
Prof. Dr. Yusuf YAKAR
In this thesis we have investigated an external electric field influence on electronic structure of two-electron quantum dot by using perturbation method. We have considred a spherical QD with two electrons confined by infinite potential barier. The wave function of the system is defined by a Slater determinant constructed one-electron spin orbitals. The one electron-spin orbitals are created as linear combinations of basis function. In each state wave function have been defined by a Slater determinant. The wave functions which are the possible solutions of the Schrödinger equation are determined by using Quantum Genetic Algorithm (QGA) and Hartree-Fock-Roothoon Method (HFR). The contributions coming from the external electric field on energy states of two electron quantum dot are performed using perturbation method. While the effect of the second order for the graund state (1s2) is calculated from perturbation method, we use the first-order perturbation for the excited states.
Keywords: Hartree-Fock Roothaan Method, Quantum dot, Quantum Genetik Algorithm,
vi ÖNSÖZ
Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans tezi olarak sunulmuştur. Bu çalışmada günümüz teknolojisinde oldukça önemli olan Kuantum nokta yapıların elektrik alan etkisi altındaki elektronik özellikleri teorik olarak incelendi.
Teknolojideki son gelişmeler, yük taşıyıcıları üç boyutta sınırlandıran kuantum nokta yapıların üretilmesini mümkün hale getirmiştir. Atomik özellikler sergilediği için yapay atomlar diye de adlandırılan sıfır boyutlu kuantum noktaları üzerinde yapılan çalışmalar hızla artmıştır. Bu yapıların fiziksel özelliklerinin incelenmesiyle bu alandaki teorik ve deneysel çalışmalar giderek ivme kazanmaktadır. Kuantum nokta yapılar teknolojik sahada tek elektron transistörleri, infrared detektörleri, hafıza elemanları ve iletişim gibi çeşitli alanlarda teknolojik cihazların üretilmesinde kullanılmaktadır. Kuantum nokta yapılar düşük boyutlu kuantum mekaniksel sistemler oldukları ve günümüz teknolojisine uyarlanabildikleri için bilim adamalarının ilgi odağı haline gelmiştir. Yapılan bu çalışma kuantum nokta yapıların elektrik alan etkisi altındaki elektronik özelliklerinin anlaşılması için olumlu katkılar sağlayacaktır.
Çalışmalarım boyunca beni her zaman sabırla destekleyen ve teşvik eden aileme teşekkürlerimi bir borç bilirim.
Bu çalışmam sürecinde bilgi ve tecrübeleriyle bana her konuda yardımcı olan ve yön gösteren danışman hocam Sayın Doç. Dr. Bekir ÇAKIR‟a en içten teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca çalışmamın her safhasında bana sürekli yardımcı olan ve her konuda destek veren bölümümüz öğretim üyelerinden Prof. Dr. Ayhan ÖZMEN hocama yardımlarından dolayı teşekkür ediyorum.
Ahmet TÜRKER KONYA-2016
vii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... vii SĠMGELER VE KISALTMALAR ... ix 1. GĠRĠġ ... 1 2. DÜġÜK BOYUTLU YAPILAR ... 9 2.1. Giriş ... 9
Şekil 2.1. Kuantum heteroyapısı (kuantum kuyusu)‟nın şematik gösterimi. ... 10
2.2. Düşük Boyutlu Yapılar ... 11
2.2.1. Kuantum Kuyuları ... 11
2.2.2. Kuantum Telleri ... 12
2.2.3. Kuantum Nokta Yapılar ... 13
2.4. Durum Yoğunluğu ... 14
2.5. Sonsuz Küresel Simetrik Potansiyelde İki Elektronlu Kuantum Nokta Yapının Elektronik Özellikleri ... 17
3. KÜRESEL KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONĠK YAPISI VE HESAPLAMA YÖNTEMLERĠ ... 22
3.1. Kuantum Nokta Yapının Elektronik Yapısı ... 22
3.2. Etkin Kütle Yaklaşımı ... 22
3.3. Genetik Algoritma ... 23
3.3.1.Yeniden Oluşum (Üretme) ... 25
3.3.2. Çaprazlama (Crossover) ... 27
3.3.3. Mutasyon ... 28
3.4. Pertürbasyon Yöntemi ... 29
3.4.1. Zamandan Bağımsız Pertürbasyon ... 29
4.ELEKTRĠK ALAN ĠÇĠNDEKĠ ĠKĠ ELEKTRONLU KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONĠK ÖZELLĠKLERĠ ... 33
4.1. Sonsuz Küresel Simetrik Potansiyelde İki Elektronlu Kuantum Nokta Yapıda Elektrik Alan Etkisi ... 33
4.2. Pertürbasyon Teriminin Beklenen Değeri ... 35
5. HESAPLAMA SONUÇLARI VE TARTIġMA ... 41
5.1. Giriş ... 41
5.2. Taban Durum 1S (1s2)‟ ye Elektrik Alan Etkisi ... 45
viii
5.3.1. 1P (1s2p) Singlet Duruma Elektrik Alan Etkisi ... 48
5.3.2. 3P (1s2p) Triplet Duruma Elektrik Alan Etkisi ... 52
5.4. Uyarılmış D (1s3d) Duruma Elektrik Alan Etkisi ... 56
5.4.1. 1D (1s3d) Singlet Duruma Elektrik Alan Etkisi ... 56
5.4.2. 3D (1s3d) Triplet Duruma Elektrik Alan Etkisi ... 59
KAYNAKLAR ... 63
EK Analitik Ġfadeler….……….…………..……….70
ix
SĠMGELER VE KISALTMALAR Kısaltmalar
Simgeler :
Z Safsızlıktaki Pozitif Yük Sayısı :
i
r Elektron ile Safsızlık Arasındaki Uzaklık :
j i
r Elektronlar Arası Uzaklık : ) (r V Dış Sınırlayıcı Potansiyel * :
a Etkin Bohr Yarıçapı : Dalga fonksiyonu : Dielektrik Sabiti F: Elektrik Alan R Nokta Yarıçapı : i Orbital Üsteli c : Açılım Katsayısı e: Elektron Yükü * m : Etkin Kütle Kısaltmalar
MOS: Metal Oxide Semiconductor
MOSFET: Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor STM: Taramalı Tünelleme Mikroskopu
2BEG: İki Boyutlu Elektron Gazı STO: Slater Tipi Orbital
GA: Genetik Algoritma
KGA: Kuantum Genetik Algoritma HF: Hartree Fock
HFR: Hartree Fock Roothaan H: Hamiltoniyen
MBE: Moleküler Demet Epitaksi
1. GĠRĠġ
İletişim ve haberleşme alanlarında yoğun talep deneysel ve teorik çalışmaları hız kazandırmıştır. Hafıza ve hesaplama sistemlerine olan ihtiyaç, sinyal iletim hızlarının yükseltilmesine yönelik araştırmaların yanı sıra yarı iletken malzeme bilimi ve teknolojisinde gelişmeler optoelektronik ve mikroelektronik aygıtların geliştirilmesine zemin hazırlamıştır.
Mikroelektronik, üretimi kolay Silisyum temelli, yüksek mekanik ve ısısal iletkenliğe sahip bir malzeme bilimidir. Bu malzemelerin çok küçük yasak enerji aralığına sahip olması pratik uygulamalara elverişli hale getirmiştir. Mikroelektronik malzemelerin bu özelliği sonucunda farklı elektronik özelliklere sahip amorf, polikristal ve tek-kristal gibi malzemeleri elementlerle alaşım ve katkı yapılarak üretilmektedir. Entegre devre teknolojisinde Silisyum yaygın olarak kullanılmaktadır.
Yalıtkanlar ile yarı iletkenler arasındaki temel fark yalıtkanlar elektriksel iletkenlik özelliğini çok yüksek sıcaklıkta kazanırken yarı iletkenler elektriksel iletkenliği oda sıcaklığında kazanır. Yarı iletken bilimi 1873 yılında fotoiletkenliği bulunmasıyla başlamıştır (Smith, 1873). Kimyasal ve farklı fiziksel özelliklere sahip tarnsistörlerin 1940‟lı yılların sonunda keşfedilmesi yarı iletken malzeme biliminde yeni dönemin başlamasına neden olmuştur (Bardeen ve Brattain, 1948); (Shockley, 1949).
1950‟li yıllara gelindiğinde kuantum sınırlandırmasının yarı iletken aygıtlar üzerinde etkilerine ilişkin araştırmalar başlanmıştır. Schrieffer ve Kingston elektronları bir potansiyel kuyu içerisinde hapsedildiğinde klasik olarak davranamıyacakları ve elektronların enerjilerinin de sınırlandırmanın olduğu boyutta kesikli değerler alacağını ileri sürmüştür (Schrieffer ve Kingston, 1957). Hall ve ark. tarafından yarı iletken lazerin icat edilmesi, birbirinden farklı en az iki yarı iletken kullanılarak oluşturulan hetero eklemlerin ortaya çıkışı (Hall ve ark., 1962), 1960 yıllarda kuantum mekaniğinin katıhal elektroniği üzerinde etkin bir rol oynamasına neden olmuştur . 1975 yılında Cho ve Arthur tarafından Moleküler Demet Kaplama (Molecular Beam Epitaxy(MBE)) yönteminin bulunuşu çoklu eklem kuantum yapıların üretilmesinde önemli gelişmelere ışık tutmuştur (Cho ve Arthur, 1975).
Kristal büyütme ve üretim teknolojilerindeki gelişmeler düşük boyutlu sistemler olarak bilinen nanoyapıların üretimine geçilmesi özelikle fizik ve mühendislik bilimlerinde değil, biyoloji, tıp, kimya gibi bilim dallarının disiplinler arası bir araştırma alanı ortaya çıkmıştır. Bu alana sadece fizik açısından bakılırsa, kuantum kuyuları,
kuantum telleri, kuantum noktaları gibi taşıyıcı hareketlerinin bir, iki ve üç boyutta sınırlandırıldığı nano ölçekli yarıiletken heteroyapılar üzerinde yaygın bir şekilde çalışıldığı görülür (Bimberg, 1999b); (Jacak ve Krasnyj, 1998). Elektronlar bu yapılar içinde hapsedilmesi kuantum mekaniksel davranışlar sergilemelerini dolayısıyla elektronik ve optik özellikleri üzerinde baskın rol oynamaktadır (Bimberg, 1999a).
Malzeme boyutları nano mertebesine inildiğinde özellikleri makroskobik ölçekten farklı olup nano boyutlarına yaklaştıkça yeni özellikler ile birlikte kuantum mekaniğinin kuralları geçerli hale gelir. Bunun sonucu olarak düşük boyutlu sistemler araştırma alanı geniştir. Boyutları 1 ile 100 nm arasında olan düşük boyutlu kuantum mekaniksel sistemlere veya nanoyapılar denir. Bu yapılar kuantum mekaniksel özellik gösterir. Sonuç olarak bu yapıların enerjileri ve durum yoğunlukları ile birlikte pek çok özelliği kuantumludur. Optik, elektronik ve manyetik davranışları klasik olmayıp kuantum mekanikseldir. Elektronun içinde bulunduğu ortamı, farklı şekillerde küçülterek oluşturulan nanoyapılara, iki boyutlu kuantum halkaları, iki boyutlu kuantum kuyuları, tek boyutlu kuantum telleri ve boyutsuz kuantum noktaları örnek verilebilir.
Kuantum kuyusu olarak adlandırılan iki boyutta sınırlandırılmış elektronik yapılar, daha yüksek iletim bandı enerjisine sahip aynı iki düzlem yarı iletken tabaka arasına düşük bant aralıklı yarı iletken bir düzlem tabakanın eklenmesiyle elde edilir. Kuantum kuyusunun çok ince bir yapıya sahip olması ve elektronun bu yapı içinde tutulması sistemin elektronik özelliklerinin incelenmesi açısından araştırmacıların ilgisini çekmiştir. Bu da yarı iletken teknolojisinin hızlı bir şekilde gelişmesine yol açmıştır. Literatürde kuantum kuyularının enerji seviyelerinin kesikli olduğuna dair yapılmış çok sayıda çalışma vardır (Esaki ve Tsu, 1970); (Chang, 1974); (Dingle ve ark., 1974); (Dingle ve ark., 1978). Kuantum kuyusunun sınırlanması etkisine dayalı olarak çalışan rezonans tünelleme diyodu (Chang, 1974) ve kuantum kuyu lazeri (Van der Ziel ve ark., 1975) optoelektronik cihazların ilk örnekleri olarak verilebilir.
İnce film büyütme tekniklerindeki gelişmeler, özellikle elektron demeti ve x-ışını litografisi gibi hassas malzeme üretim ve analiz tekniklerinin gelişimi, farklı boyutlarda ve şekillerde kuantum yapılarının üretilmesine imkan sağlamıştır. Kısa zaman içerisinde bu gelişmeler kuantum tel olarak adlandırılan tek boyutlu yapıların üretilmesine olanak sağlamıştır (Petroff ve ark., 1982); (Smith ve ark., 1987); (Hansen ve ark., 1987). Kuantum telleri, teknolojik olarak, kuantum kuyusu içeren bir malzemeden, litografik yöntemlerle çok dar şeritler kesilerek veya elektromanyetik yöntemlerle, elektron hareketi kısıtlanarak elde edilir. Daha sonraki zamanlarda,
kuantum kuyuları ve kuantum telleri kullanılarak üretilen yüksek elektron Mobiliteli Transistörler (HEMT), İki Boyutlu Elektron Gazı Alan Etkili Transistör (TEGFET), çok eklemli alan etkili transistör (HFET), kuantum kuyu lazerleri, MOS ve MOSFET yapılar gibi cihaz uygulamaları gerçekleştirilmiş ve teorik olarak da yoğun şekilde çalışılmıştır (Lai ve Dassarma, 1986).
Elektronların serbest hareketinin tüm boyutlarda sınırlandırılması, kuantum nokta yapılar olarak adlandırılan, sanki sıfır boyutlu nanoyapıların ortaya çıkmasına yol açmıştır. Bir kuantum noktasında, elektron hareketi tüm boyutlarda sınırlıdır ve bu, atomlardaki gibi kesikli enerji seviyeleri ile keskin durum yoğunluklarının oluşmasına yol açar. Atomlara olan bu benzerliklerinden dolayı bu yapılar, yapay atomlar, süper atomlar veya kuantum nokta atomları olarak da adlandırılır. Reed ve ark. ilk defa 250 nm kenar uzunluğu olan kare biçiminde bir geometrik yapıya sahip kuantum nokta yapısını ürettiler (Reed ve ark., 1986). Aynı yıl içerisinde Cibert ve ark., Temkin ve ark., 30-45 nm boyutlarına kadar kuantum nokta yapıları farklı geometrik (kübik, ellipsoid, küresel ve piramit) şekillerde ürettiler (Cibert ve ark., 1986); (Temkin ve ark., 1987). Daha sonraları bu kuantum nokta yapılar teknolojinin farklı kollarında kullanılmaya başlandı. Reed, kuantum nokta yapılar çok verimli ve tam kontrol edilebilir laserlerin yapımında kullandı (Reed, 1993). Böyle yapıların şekil ve boyutlarının deneysel olarak kontrol edilmesi teknolojik uygulamada çok geniş bir alan açmıştır (Kouwenhoven ve Marcus, 1998). Bu dönemde sıfır boyutlu nano yapılar olarak adlandırılan kuantum nokta yapıları daha çok teorik olarak çalıştılar ve sonrasında deneysel olarak gerçekleştirdiler (Ashoori ve ark., 1992); (Ashoori ve Silsbee, 1992); (Ashoori ve ark., 1993); (Murray ve Bawendi, 1993; Katari ve ark., 1994). Maksym ve Chakraborty, Fujito ve ark. tüm boyutlarda güçlü bir sınırlandırma sonucu elde edilen kuantum nokta yapıları kesikli enerji seviyelerine ve kabuk yapılarına sahip olduklarından dolayı yapay atom olarak da adlandırılabileceğini söylemişlerdir (Maksym ve Chakraborty, 1990); (Fujito ve ark., 1996). Ryzhii, Nomoto ve ark. Choi ve ark. Gammon, Sim ve ark. kuantum nokta yapıları kullanılarak kızıl ötesi foto dedektörler (QDIP), tek elektron transistorler, hafıza elemenları ve kuantum bilgisayarları gibi cihazları geliştirmeye başladılar (Ryzhii ve ark., 1996); (Nomoto ve ark., 1998); (Choi ve ark., 1998); (Yusa ve Sakaki, 1999); (Gammon, 2000; Sim ve ark., 2004b).
Kuantum nokta yapılarının fiziksel özelliklerini inceleyen çok sayıda teorik ve deneysel çalışmalar yapılmıştır. Bu çalışmalarda farklı hesaplama yöntemleri ve dalga
fonksiyonları kullanılmıştır. Teorik hesaplamalardan biriside varyasyonel yöntem olup, bu tür kuantum mekaniksel yapıların incelenmesinde yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. Bastard, hidrojenik safsızlığın bağlanma enerjisini varyasyonel yöntemle hesapladı (Bastard, 1984). Marin ve Cruz direkt varyasyonel metodunu kullanarak sonsuz küresel bir kuyuda sınırlandırılmış hidrojen atomu ve harmonik salınıcı gibi sistemlerin Shrödinger denklemlerine karşılık gelen çözümlerini bularak, enerji seviyelerini belirlediler (Marin ve Cruz, 1991). Brownstein, sınırlandırılmış sistemlerin enerji özdeğerlerini Gauss teoremini kullanarak lineer varyasyon yöntem ile hesapladı (Brownstein, 1993). Varshni, varyasyonel yöntemle küresel kuantum nokta yapının ve merkezindeki bir safsızlığın taban durum enerjilerini basit bir dalga fonksiyonu ile hesapladı (Varshni, 1999). Szafran ve ark. Slater Tipi Orbitalleri kullanarak iki ve üç elektronlu kuantum nokta yapısının elektronik özelliklerini incelediler (Szafran ve ark., 1998). Bednarek ve ark. ve Gauss Tipi Orbitalleri kullanarak çok elektronlu kuantum nokta yapının elektronik yapısını lineer varyasyonel yöntemle incelediler (Bednarek ve ark., 1999; 2001). Jaskolski, Connerade ve ark. Reusch ve Grabert Hartree-Fock yöntemini kullanarak çeşitli kuantum nokta yapılarının fiziksel özelliklerini incelediler (Jaskolski, 1996); (Connerade ve ark., 2000); (Reusch ve Grabert, 2003). Lee ve ark., Şahin ve Tomak yoğunluk fonksiyonel teorisini (DFT) kullanarak çeşitli kuantum nokta yapılarının fiziksel özelliklerini incelediler (Lee ve ark., 1998); (Sahin ve Tomak, 2005). Ceperley, Sim ve ark. Monte-Carlo yöntemini kullanarak çeşitli kuantum nokta yapılarının fiziksel özelliklerini incelediler (Ceperley, 1978); (Sim ve ark., 2004a). Bose ve Sarkar pertürbasyon yöntemini kullanarak çeşitli kuantum nokta yapılarının fiziksel özelliklerini incelediler (Bose ve Sarkar, 1998).
Tek elektronlu ya da çok elektronlu kuantum nokta yapıların elektronik özelliklerini araştırmak için varyasyon yöntemi, pertürbasyon yöntemi, matris köşegenleştirme yöntemi, yoğunluk fonksiyonel teorisi, Hartree-Fock yöntemi gibi birçok değişik teknik kullanılmaktadır. Her bir yöntemin, ele alınan probleme ve yapılmak istenen hesaplamalara bağlı olarak birbirinden daha etkin, daha başarılı olduğu durumlar vardır. Böyle durumlarda da birden çok tekniğin, problemin farklı aşamalarında ayrı ayrı veya birlikte kullanılması gerekebilir. Son zamanlarda nano yapılı sistemlerin elektronik yapılarının ve fiziksel özelliklerinin incelenmesinde en iyileme yöntemi olan Genetik Algoritma (GA) tekniği kullanılmaya başlanmıştır. GA, ortama iyi uyum sağlayan bireylerin hayatta kalması ve sağlayamayan bireylerin ise elenmesi olarak tanımlanabilen bir tekniktir. GA tekniği ilk kez (Holland, 1975)
tarafından kullanılmış olup, mühendislik ve malzeme biliminde yaygın olarak kullanılmaktadır (Venugopal ve Narendran, 1992); (Homaifar ve ark., 1994); (Sahin ve ark., 2000); (Castro ve ark., 2004). Kuantumlu yapılarda kullanıldığında Kuantum Genetik Algoritma (KGA) olarak da adlandırılan bu yöntem varyasyon yönteminde olduğu gibi enerji minimizasyon ilkesine dayanır ve son zamanlarda fiziğin bir çok alanında, özellikle kuantum mekanik sistemlerin elektronik yapılarının belirlenmesinde kullanılmaya başlanılmıştır (Grigorenko ve Garcia, 2000); (Grigorenko ve Garcia, 2001); (Grigorenko ve Garcia, 2002); (Saha ve ark., 2001); (Chaudhury ve Bhattacharyya, 1998); (Sahin ve Tomak, 2002); (Safak ve ark., 2003); (Coley, 2001). Kuantum Genetik Algoritma yöntemiyle Hartree-Fock-Roothaan yöntemini birleştirerek sonlu ve sonsuz potansiyelle sınırlandırılmış bir elektronun küresel kuantum nokta yapının elektronik yapısını incelediler (Sahin ve ark., 2005); (Cakir ve ark., 2007).
Özmen ve ark. küresel bir kuantum nokta yapıda osilatör gücünü, bantlar arası lineer ve nanileer geçişleri ve soğurma katsayılarını hesapladılar (Özmen ve ark., 2009). Çakır ve ark. parabolik potansiyel ile sınırlandırılmış küresel bir kuantum nokta yapıda deşiklerin kırılma indislerini ve soğurma katsayılarını hesapladılar (Çakır ve ark., 2012). Özmen ve ark. bir elektronlu küresel kuantum nokta yapıların lineer ve nanileer optiksel özelliklerini (Özmen ve ark., 2013). Yakar ve ark. rölativistik düzeltme terimlerini hesapladılar (Yakar ve ark., 2013b). ve off-center problemini incelemişlerdir (Yakar ve ark., 2013a). Yakar ve ark. iki elektronlu sonsuz parabolik küresel kuantum nokta yapısının taban ve bazı uyarılmış durum enerjilerini nokta yapının yarıçapına göre hesapladılar (Yakar ve ark., 2015b). Çakır ve ark. sonsuz parabolik kuantum nokta yapısının taban ve bazı uyarılmış durumlar için optiksel geçişleri hesapladılar (Çakır ve ark., 2015). Yakar ve ark. sonsuz küresel kuantum nokta yapısının çizgisel ve çizgisel olmayan soğurma katsayılarını hesapladılar (Yakar ve ark., 2015a).
Teknolojideki son gelişmeler kuantum nokta yapının elektronik özelliklerini anlaşılması noktasında ilerlemeler kaydedilmiştir. Özellikle kuantum nokta yapının dış elektrik alan etkisi altında elektronik özellikleri anlaşılması için kuramsal çalışmalar gerçekleştirilmektedir. Vazquez ve ark. sonsuz küresel kuantum nokta yapıda elektrik alan etkisini sonsuz sınırlandırılmış potansiyel kuyu modelini kullanarak yük taşıyıcılarının enerji taban durumları üzerine incelediler (Vázquez ve ark., 2004). Huangfu ve ark. dış elektrik alan altındaki küresel kuantum nokta yapıda bağ polaranlarının taban durum enerjilerini varyosyonel yöntemle incelediler (Huangfu ve Yan, 2008). Dane ve ark. z- yönünde düzgün bir elektrik alan uygulayarak GaAs/AlAs
bir küresel kuantum nokta yapının bağlanma enerjilerini varyasyonel yöntemle incelediler (Dane ve ark., 2008). Shao ve ark. dış elektrik alan altında silindirik kuantum nokta yapının üçüncü harmonik jenerasyon katsayılarını yoğunluk matris yaklaşıklılığı ve iterative yöntemleri kullanarak incelediler (Shao ve ark., 2010). He ve Xie küresel parabolik bir kuantum nokta yapıda sınırlandırılmış hidrojenik safsızlık durumları üzerine elektrik alan etkilerini pertürbasyon yöntemiyle hesapladılar (He ve Xie, 2010). Duque ve ark. bir kuantum kuyusuna elektrik ve manyetik alan uygulayarak optiksel özelliklerini incelemişlerdir (Duque ve ark., 2011). Sadeghi üç boyutlu kuantum nokta yapısının optiksel özellikleri üzerine elektrik alan ve impurity etkilerini araştırdı (Sadeghi, 2011). Karimi ve ark. sonlu yarı parabolik kuantum nokta yapının çizgisel (lineer) ve çizgisel olmayan (nanlineer) optiksel özellikleri üzerine dış elektrik ve manyetik alan etkilerini yoğunluk matris yaklaşıklılığı altında incelediler (Karimi ve Rezaei, 2011). Yesilgul ve ark. V- şekilli kuantum kuyusunda çizgisel ve çizgisel olmayan optiksel soğurma katsayıları ve kırılma indisleri üzerine elektrik ve manyetik alan etkisini yoğunluk matris yaklaşıklılığı altında hesapladılar (Yesilgul ve ark., 2011). Rezaei ve ark. küresel parabolik kuantum nokta yapıda optiksel kırılma katsayısına dış elektrik alan etkisinin matris köşegenleştirme metodunu kullanarak hesapladılar (Rezaei ve ark., 2011). Kirak ve ark. dış bir elektrik alan altındaki küresel kuantum nokta yapıdaki bir donor safsızlığın bağlanma enerjisi ve optiksel enerjisi üzerine hidrostatik basınç ve sıcaklığın etkisini varyasyonel yöntemle incelediler (Kirak ve ark., 2013). Çakır ve ark. sonsuz küresel bir kuyuda sınırlandırılmış hidrojen atomunun enerji seviyelerini, statik ve dinamik kutuplanabilirlilikleri üzerine oscillator strenght ve elektrik alan etkisini kuantum genetik algoritma yöntemiyle incelediler (Çakır ve ark., 2013).
İki elektronlu kuantum nokta yapıların dış elektrik alan etkisi altında elektronik özellikleri üzerine de birçok deneysel ve teorik çalışma yapılmıştır. Fry ve ark. fotolüminesans ve tamamlayıcı fotoakım spektroskopisini kullanarak InAs/GaAs kuantum nokta yapıda elektrik alan etkisini incelediler. GaAs kuantum noktasının taşıyıcı yakalamada yüksek alan uygulandığında duyarlı olduğunu buldular (Fry ve ark., 2000). Park ve Mokerov InAs kuantum nokta yapı ile modülasyon katkılı AlGaAs kuantum nokta yapının heteroyapıları incelediler. Bu yapıları kullanarak, modülasyon katkılı alan etkili transistörler imal ve analiz ettiler. Sonuçta doygunluk geleneksel eğrisi tersine akım-voltaj eğrisinde anormal iki aşamalı bir şekle sahip olduğu gözlemlediler (Park ve Mokerov, 2001). Seufert ve ark. tek bir öz monte CdSe / ZnS
kuantum nokta kuantum sınırlı pertürbasyon terimi etkisini yüksek uzaysal çözünürnüklü fotoluminesans spektroskopisi vasıtasıyla incelediler (Seufert ve ark., 2001). Robinson ve ark. tek bir InGaN kuantum nokta olarak sınırlı bir eksiton üzerine haricen uygulanan dış elektrik alan etkisini microphotoluminescence spektroskopisi kullanarak incelediler (Robinson ve ark., 2005). Tang ve ark. 4.2 K sıcaklğında tek öz uyumlu InAs/GaAs kuantum nokta yapısında fotolümünesans spektroskopisiyle yük seviyelerini hesapladılar (Tang ve ark., 2014).
Ribeiro ve Latge GaAs-Ga0.7Al0.3Askuantum nokta yapıda dış manyetik ve elektrik alan etkisi altında bağlanma enerjilerine etkisini ve doner safsızlığı üzerindeki etkisini incelediler (Ribeiro ve ark., 1997). Chang ve Xia küresel kuantum noktanın elektronik yapısı üzerine dış elektrik alan etkisini etkin kütle zarf fonksiyonu teorisi çerçevesinde incelediler. Uygulanan dış elektrik alan ve kuantum nokta yapısının boyutuna bağlı olarak incelediler (Chang ve Xia, 1998). Wang ve ark. dış elektrik alan altında kuantum nokta yapılarda optiksel geçiş enerjileri üzerine izotop oluşumlarının iç geçişleri üzerine etkisini teorik olarak incelediler (Wang ve ark., 2006). Karabulut ve Baskoutas bir elektrik alana maruz kalan safsızlığın varlığında parabolik sınırlandırma ve nanlineer optiksel sağurma katsayılarını ve kırılma indislerini hesapladılar (Karabulut ve Baskoutas, 2008). Hakanson ve ark. taramalı tünelleme mikroskobu (STM) ve tarama tünelleme lüminesans spektroskopisi yardımıyla InP kuantum noktaları emisyon spektrumları ile topografya ilişkisini incelediler. Taramalı Tünelleme Mikroskobu (STM) tarafından uyarılan elektrik alanın kuantum nokta yapıya nasıl etkilediğini araştırdılar (H kanson ve ark., 2003). Paspalakis ve Terzis A.C. ve D.C. dış elektrik alan içinde iki elektron bir çift kuantum nokta yapısında etkileşimi incelediler. (Paspalakis ve Terzis, 2004). Pokutnyi ve ark. yarıiletken kuantum noktalarında dış elektrik alanındak bir nanokristalin Pertürbasyon terimini incelediler (Pokutnyi ve ark., 2004). Li ve Chang teorik olarak tek bir manyetik iyon içeren yarıiletken çiftlenmiş kuantum nokta yapıda extion seviyelerindeki spin yarılmalarını incelediler (Li ve Chang, 2008). Jiang ve ark. GaN/AlGaN silindirik kuantum nokta yapısında hidrojenik donor safsızlığın bağlanma enerjisini etkin kütle geliştirilmiş fonksiyon teorisi ile yüzey dalga fonksiyonlarını kullanarak hesapladılar (Jiang ve ark., 2009). Wang ve ark. etkin kütle yaklaşımı altında varyasyonel yaklaşımla enerjiler üzerine elektrik alanın etkisini ve dalga fonksiyonlarını silindirik kuantum nokta yapısında uyarılmaları incelediler (Wang ve ark., 2006). Lin ve ark. düşük sıcaklık bölgesinde (30-100 K) InAs/GaAs
kuantum nokta yapısında elektron emisyonunun dış elektrik alanına bağlılığını incelediler (Lin ve ark., 2010). Xia ve ark. InGaN/GaN asimetrik çiftlenmiş kuantum nokta yapısında sığ donor safsızlığın seviyelerini teorik olarak hesaplanmasını dış elektrik alanının varlığında hesapladılar (Xia ve ark., 2010b) . Xia ve ark. etkin kütle yaklaşımı altında GaN/AlGaN simetrik çiftlenmiş kuantum nokta yapısının yüzeyine yerleştirilmiş safsızlığın taban durum bağlanma enerjisini dış elektrik alanının ve hidrostatik basıncın varlığında incelediler (Xia ve ark., 2010a). Kırak ve ark. taban ve bazı uyarılmış durumların elektronik özellikleri üzerine dış elektrik alanın etkisini incelediler (Kırak ve ark., 2011). Dujardin ve ark. ince kuantum diskinde sınırlandırılmasında üzerine dış elektrik alanın etkilerini etkin kütle ve varvasyonel yaklaşımla hesapladılar (Dujardin ve ark., 2012) Vinolin ve Peter silindirik GaAsP/GaAsP sınırlandırılmış kuantum yapısında dot yarıçapının bir fonksiyonu olarak extion bağlanma enerjilerine elektrik ve manyetik alan etkisini incelediler (Vinolin ve Peter, 2014).
Yukarıda verilen litaratür özetinde yapılan çalışmalardaki nano yapıların tek elektronlu olup , iki ve çok elektronlu yapılar için yapılan çalışmalar azdır. Ayrıca iki elektronlu yapılardaki çalışmalar ise genellikle taban durum için yapılmış olup uyarılmış seviyeler için yapılmış çalışmalar neredeyse yok denecek kadar azdır. Bu yapıların uyarılmış durumların elektronik özelliklerinin incelenmesinde uygulamalar açısından önemlidir.
Biz bu tez çalışmasında, helyum benzeri safsızlık olan sonsuz derinlikli küresel simetrik sınırlayıcı potansiyel ile sınırlandırılmış iki elektronlu kuantum nokta yapıyı göz önüne aldık. Bu yapının taban ve bazı uyarılmış durumların üzerine dış elektrik alan etkisini Pertürbasyon yöntemiyle inceledik. Sistemin dalga fonksiyonları tek elektron spin orbitallerinden oluşan bir Slater determinantı ile tanımladık. Tek elektron spin orbitalleri ise Slater Tipi Orbitallerin (STO) lineer bileşimleri olarak oluşturduk. Kuantum Genetik Algoritma (KGA) tekniği ile Schrödinger denkleminin olası çözümleri olan dalga fonksiyonları belirledik ve bu dalga fonksiyonları kullanılarak iki elektronlu kuantum nokta yapıların taban ve bazı uyarılmış durumların enerjilerinin beklenen değerlerini Hartree-Fock-Roothaan Metodu (HFR) ile hesapladık. Taban ve bazı uyarılmış seviyelerin enerjilerini ve dalga fonksiyonlarını kullanarak iki elektronlu kuantum nokta yapının dış elektrik alan etkisinde iken taban ve bazı uyarılmış bu enerji seviyelerine gelen katkıyı Pertürbasyon yöntemiyle inceledik.
2. DÜġÜK BOYUTLU YAPILAR
2.1. GiriĢ
Nano teknolojideki ve üretim tekniklerindeki gelişmeler düşük boyutlu sistemlerin üretilmesine mümkün hale getirmiştir. İşte bu gelişmeler sonucunda, kuantum kuyuları, kuantum telleri, kuantum noktaları gibi taşıyıcı hareketlerinin bir, iki ve üç boyutta sınırlandırıldığı nano ölçekli yarıiletken hetero yapıların üretilmesine zemin hazırlamıştır (Bimberg, 1999b); (Jacak ve Krasnyj, 1998). Bu ilerlemelerin sebebi haberleşme ve iletişim teknolojilerinde gözlenen aşırı talep ve değişik özel uygulamaların ivme kazandırdığı deneysel ve teorik çalışmalardır. Hafıza ve hesaplama sistemlerine olan yoğun ve sürekli talep ve ayrıca sinyal iletim ve işleme hızlarının yükseltilmesi yönündeki araştırmalar, özel ve yeni mikroelektronik ve optoelektronik aygıtların geliştirilmesine zemin hazırlamıştır (Mitin ve Stroscio, 1999). (Davies, 1999). Kuantum kuyuları aynı türden iki yarıiletken tabakanın arasına farklı tür yarıiletken tabakanın eklenmesiyle oluşturulur. Kuantum kuyularına örnek olarak
x xAl
Ga1 /GaAs/Ga1xAlxAsyapısı verilebilir. Burada x alüminyum konsantrasyonudur. Kuantum kuyularında yük taşıyıcıları iki boyutta serbest parçacık gibi hareket edebilirken, farklı tabakaya doğru (kristalin büyütme yönünde) hareketleri bir boyutta sınırlanır ve enerjileri kuantize olur. Taşıyıcıların hareketleri iki boyutta kuantize olduğu yapılar kuantum telleri olarak adlandırılır. Kuantum tellerine örnek olarak
As Al
Ga1x x çevrelenmiş kare, üçgen veya silindir kesitli bir GaAsteli verilebilir. Kuantum noktalarında ise taşıyıcının hareketi ise taşıyıcının hareketi üç boyutta da kuantize olur. Ga1xAlxAsile çevrelenmiş küp veya küresel biçimli GaAs kuantum noktaları oluşturulabilir.
Mezoskopik yapılar taşıyıcıların hareketlerinin engelleyici bir potansiyel ile sınırlandırılması ile deneysel olarak oluşturulabilmektedir. Yarı iletken ve dielektrik malzemelerin yasak enerji aralıklarının farklılığından dolayı ara yüzeyde bir potansiyel engeli oluşur. Bu potansiyel engeli yarı iletken içerisindeki yük taşıyıcılarının hareketlerini sınırlandırabilir. Şekil.2.1‟de görüldüğü gibi yasak enerji aralığı (Eg1) büyük olan bir yarı iletken malzeme içerisine, daha düşük yasak enerji aralığına (Eg2) sahip başka bir yarı iletken malzeme atom katmanları olarak büyütülür. Böylece yasak enerji aralıklarının farkından dolayı ara yüzeyde bir potansiyel engeli oluşur.
ġekil 2.1. Kuantum heteroyapısı (kuantum kuyusu)‟nın şematik gösterimi.
Boyut sayısına bağlı olarak taşıyıcı hareketlerinin sınırlandırıldığı nano yapılar, kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum noktaları olmak üzere 3 ayrı grupta sınıflandırılabilir. Bu yapılar Şekil 2.2‟de şematik olarak gösterilmiştir. Buradaki ilk şekil (a) parçacığın tüm yönlerde serbestçe hareket edebildiği hiçbir sınırlandırmanın olmadığı hacimsel bir aygıtı temsil eder. İkinci şekil (b) ise, parçacığın hareketi iki boyutta serbest iken, bir boyutta sınırlandırılmıştır ve kuantum etkisi tek boyutta görülür. Üçüncü şekil (c) ise bir kuantum telini göstermektedir ve böyle bir yapıda parçacığın hareketi iki boyutta sınırlandırılmış ve bir boyutta serbest bırakılmıştır. Sınırlandırılmanın yapıldığı iki boyutta kuantum etkileri gözlenir. Dördüncü şekil ise her üç boyutta sınırlandırılmış olduğu bir kuantum noktasını göstermektedir.
ġekil 2.2. Sınırlandırılmış yapılar; (a) Üç boyutlu hacimsel (bulk) malzeme, 3D; (b)Bir boyutta
sınırlandırılmış kuantum kuyusu, 2D; (c) İki boyutta sınırlandırılmış kuantum teli, 1D;
(d) Üç boyutta sınırlandırılmış kuantum noktası, 0D (Çakır, 2007).
AlGaAs AlGaAs Valans bandı Eg1 Eg1 Eg2 Kesikli enerji seviyeleri (a) (b) (c) (d)
2.2. DüĢük Boyutlu Yapılar 2.2.1. Kuantum Kuyuları
Kuantum kuyusu, elektronun hareketinin bir boyutta sınırlandırıldığı, diğer iki boyutta serbestçe hareket edebildiği yapılardır. Bu yapılar yasak enerji aralığı büyük olan bir malzemenin içine, yasak enerji aralığı küçük olan bir malzemenin ince bir tabaka halinde yerleştirilmesiyle elde edilir. Şekil 2.3‟de elektronların hareketinin y-doğrultusunda sınırlandırıldığı bir kuantum kuyusu verilmiştir. Elektronun hareketinin bir boyutta sınırlandırıldığı, diğer iki boyutta serbestçe hareket edebildiği için bu yapıya elektron gazı (2BEG) da denir. Sınırlandırma sadece y-doğrultusunda olduğu için kuantum etkisi sadece bu doğrultuda görülür.
ġekil 2.3 Bir kuantum kuyusunun şematik gösterimi (Çakır, 2007).
Elektron y-doğrultusunda sadece Ly aralığında hareket edebilirken, x- ve z-doğrultusunda herhangi bir sınırlandırmanın olmadığı böyle bir yapı için dalga
fonksiyonu (y) z) ik x exp(ik z) y, (x, x z (2.1)
yazılabilir. Burada kx ve kz , x- ve z-doğrultusundaki dalga vektörünün bileşkesidir. (y)
ise sınırlandırmanın olduğu doğrultuya karşılık gelen dalga fonksiyonudur. Kuantum etkisinin görüldüğü y-doğrultusu için Schrödinger dalga denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir. 0 ) ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 m E V y dy y d y y . (2.2)
Burada Ey ve Vy sırasıyla, y-doğrultusundaki hareketin enerjisi ve enerji boyutunda sınırlayıcı potansiyeldir. Sınırlayıcı potansiyel sınırlarda sonsuz yükseklikte alınırsa,
x z
y
kuyu içinde Vy=0 olur. Kuyu sınırlarında sınır şartları uygulandığında dalga vektörünün y-doğrultusundaki bileşeni
y y n L n k y (2.3)
değerlerini alır. Görüldüğü gibi dalga vektörü bileşeni kesikli değerleri aldığı için kuyu içinde kesikli enerji özdeğerleri
2 2 2 y y n L n m E y (2.4)
olur. Bu durumda parçacığın toplam enerjisi,
2 2 2 2 2 y y z x L n k k m E (2.5) ile verilir. 2.2.2. Kuantum Telleri
Kuantum telleri, elektronların hareketinin iki boyutta sınırlı, tek boyutta serbestçe hareket edebildiği sistemlere denir. Böyle bir sistemde elektronların hareketlerinin sınırlandığı iki boyutta kuantum etkisi görülür. Şekil 2.4‟de y- ve z-doğrultusunda sınırlandırmanın olduğu bir kuantum telinin şematik gösterimi verilmiştir. Böyle bir sistem içindeki elektron, tek serbestlik derecesiyle karakterize edilir. Bu yapı içinde hareket eden bir elektrona eşlik eden dalga fonksiyonu,
z) (y, x) exp(ik z) y, (x, x (2.6)
biçiminde yazılabilir. Burada (y,z)sınırlandırmanın olduğu doğrultulara karşılık gelen dalga fonksiyonudur. Sınırlandırmanın olduğu iki boyut için Schrödinger denklemi
) , ( ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 , 2 2 2 2 z y E z y z y V z y dz d dy d m yz (2.7)
biçiminde yazılır. y- ve z-doğrultusunda uygulanan sınırlayıcı potansiyelleri sonsuz yüksek alırsak, kuyu içinde V(y,z)=0 olur. Bu durumda dalga fonksiyonuna sınır şartları uygulanırsa, y y n L n k y , ve z z n L n k z (2.8)
elde edilir ve kesikli enerji özdeğerleri ise,
2 2 2 2 2 z z y y x L n L n k m E (2.9)
şeklinde ifade edilebilir.
ġekil.2.4. İki boyutta hareketi sınırlı, tek boyutta serbest olan bir kuantum telinin şematik
gösterimi (Çakır, 2007).
2.2.3. Kuantum Nokta Yapılar
Kuantum nokta yapılar, elektron hareketlerinin üç boyutta (tüm boyutlarda) sınırlandığı hetero yapılardır. Şekil 2.5‟de bir kuantum nokta yapısı gösterilmiştir. Böyle bir sistemde her üç boyutta da kuantum etkisi görülür. Kuantum nokta yapısı için Schrödinger denklemi ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x E z y x z y x V z y x dz d dy d dx d m (2.10) biçiminde yazılabilir. Ly z y x Lz
ġekil 2.5. Kuantum nokta yapısının şematik gösterimi (Çakır, 2007).
Tüm boyutlardaki sınırlandırıcı potansiyeli sonsuz alırsak, kuyu içinde V(x,y,z)=0 olur. Sınır şartlarından dalga vektörü bileşenleri
x x n L n k x , y y n L n k y ve z z n L n k z (2.11)
dir. Enerji özdeğerleri ise
2 2 2 2 2 z z y y x x L n L n L n m E (2.12) elde edilir. 2.4. Durum Yoğunluğu
İstatistiksel sistemlerde durum yoğunluğu E ile E+dE enerji aralığında mevcut girilebilir durum sayısı olarak tanımlanır. Başka bir ifadeyle birim hacimdeki birim enerji başına düşen enerji seviyesi sayısıdır. Bunun sonucu olarak durum yoğunluğu enerjinin bir fonksiyonudur. Boyutları Lx, Ly ve Lz olan bir bulk yapıda 3-boyutlu durum yoğunluğunu kartezyen koordinatlarda;
E m E N 2 / 3 2 2 2 ) ( (2.13)
şeklinde olur. 3-boyutlu sistem için durum yoğunluğunun enerji ile değişimi Şekil 2.6„da gösterilmiştir (Davies, 1999).
Ly z y x Lx Lz
) (E
N
ġekil 2.6. 3-boyutlu bir sistemde N(E) durum yoğunluğu enerji ile değişimi.
Parçacığın hareketinin bir boyutta sınırlandırıldığı (iki boyutlu) bir sistem için yani kuantum kuyusu için,
) ( ) ( 1 2 i n i E E m E N
(2.14)şeklinde olur. Burada (EEi) Heaviside step (basamak) fonksiyonudur ve 0
Ei
E için 1 , EEi0 için 0 değeri alır. Kuantum kuyu durum yoğunluğunun enerji ile değişimi Şekil 2.7‟de gösterilmiştir.
ġekil 2.7. Kuantum kuyu durum yoğunluğunun enerji ile değişimi.
Parçacığın iki boyutta hareketinin sınırlandırıldığı (1 boyutlu) bir sistem için (kuantum teli) durum yoğunluğu,
E ) (E N E 1 E 2 E 3 E E z L 2 m 2 2 m 2 3 m 1 n 2 n 3 n 4 n
i
z y z y E E dE m L L n n E N 22 ) ( (2.15)şeklinde olur. İki boyutlu durum yoğunluğu N(E) nin enerji ile değişimi Şekil 2.8‟de gösterilmiştir.
ġekil 2.8. Kuantum telindeki durum yoğunluğunun enerji ile değişimi.
Parçacığın üç boyutta hareketinin sınırlandığı (0 boyutlu) bir sistem için yani kuantum nokta yapı için durum yoğunluğu,
T
k k k z y x E E L L L E N z y x 2
, , ) ( (2.16)şeklinde olur. Burada ET sistemin toplam enerjisidir. N(E)’ nin enerji ile değişimi
Şekil 2.9 „da gösterilmiştir (Mitin ve Stroscio, 1999).
ġekil 2.9. Kuantum nokta yapıda durum yoğunluğunun enerji ile değişimi.
) (E N E E ) (E N
2.5. Sonsuz Küresel Simetrik Potansiyelde Ġki Elektronlu Kuantum Nokta Yapının Elektronik Özellikleri
Merkezinde helyum tipi bir safsızlık bulunan küresel iki elektronlu bir kuantum nokta yapının elektronik Hamiltoniyeni ,H, etkin kütle yaklaşımıyla atomik birimlerde,
2 1 2 1 2 1 * 2 ) ( 2 , i i j ij m m ij i i i r V K J r Z m H s s (2.17)dir. Burada Z safsızlıktaki yük sayısını, r elektronun safsızlığa olan uzaklığı, i r ij elektronlar arasındaki uzaklığı, m*
etkin kütleyi, ortamın dielektrik sabitini göstermektedir. Buradaki V(r) de dış sınırlayıcı potansiyeli olup, R nokta yarıçapı olmak üzere, R r R r r V , , 0 ) ( (2.18)
biçiminde sonsuz küresel simetrik potansiyel alınmıştır. Hamiltoniyen için Schrödinger denklemi, ) 2 , 1 ( ) , 2 , 1 ( E H (2.19)
ile verilir. Burada E Hamiltoniyen operatörünün enerji özdeğeri ve de bu operatörün öz fonksiyonudur. Antisimetrik öz fonksiyonu, kapalı kabuk sistemler için tek-elektron spin orbitallerinden ,p, oluşan Slater determinant dalga fonksiyonu şeklinde ifade edilebilir ve kısaca,
1/2! (1) (2) ) 2 , 1 ( 1 2 2 / 1 (2.20)biçiminde gösterilebilir. Burada
1/2! 2 /
1 normalizasyon katsayısı1,2 sayıları da elektronları göstermektedir. Kuantum nokta yapının enerjisinin beklenen değeri HFR yönteminde,
2 , 2 1 2 1 p q pq m m pq p p p p V J K T H E s s (2.21)ile verilir. Burada Tp kinetik enerji, Vp potansiyel enerji, Jpq Coulomb enerjisi ve Kpq Exchange enerjisidir. Bu enerji integralleri tek-elektron spin orbitalleri üzerinden atomik birimde, 1 3 * ) 1 ( ) 1 ( d r r Z Vp p p
(2.22) 1 3 * 2 * ) 1 ( 2 ) 1 ( d r m Tp
p p (2.23) 2 3 1 3 12 * * , (1) (2) 1 ) 2 ( ) 1 ( d rd r r Jpq
p q p q (2.24) 2 3 1 3 12 * * , (1) (2) 1 ) 2 ( ) 1 ( d rd r r Kpq p q q p
(2.25)şeklinde yazılabilir. Burada p ve q tek-elektron spin orbitallerinin kuantum sayılarını (n,l,m) 1 ve 2 rakamları da elektronları göstermektedir r ise elektronlar arası 12 uzaklıktır .
12
1
r nin Lablace açılımı EK‟te verilmiştir. Denk.(2.20) ile verilen Slater determinantını oluşturan tek-elektron spin orbitallerinin uzaysal kısmı ,p, kile gösterilen STO‟ların lineer toplamı ile
1 k k pk p c (2.26)biçiminde yazılabilir. Burada k, k inci STO‟ ları, kn k kmk STO lar için kuantum sayılarını, baz seti sayısını ve cpk orbitallerin lineer toplam katsayılarını göstermektedir. STO ların genel formu,
) , ( ) , ( 1 k k i k k k k lm r n k m l n r r e Y (2.27)
ile verilir (Slater, 1930). Burada k orbital üsteli, (,)
k km
l
Y de Condon-Shortly fazında kompleks küresel harmonik fonksiyonları göstermektedir, açık ifadesi EK‟te verilmiştir. Denk.(2.26) ve (2.27), Denk.(2.22) ve Denk.(2.23) de yerlerine konulursa nükleer atraction potansiyel ve kinetik enerji integralleri overlap (örtüşme) integralleri cinsinden,
j i n n i j j i m n m n j i j i m n p m n p p p n n e S n n c c V j i j i j j j i i i j j j i i i R ) , ( a ) ( 1 1 , 2 1 (2.28)
1 1 , 2 2 1 ) , ( ) 1 )( ( 2 ) ( ) 1 ( ) 1 ( i j j i m n m n j i j i j i j j j j m pn m pn p p i i i j j j S i i i j j j n n n n n n c c T
1 ( )R (2.29) ) 1 ( 2 R ) 1 ( ) 1 ( ( )R 1 j i j i j i n n j j j j n n n n e n n i j i j ( ) n m,n m ( i, j) j i j i j j j j j i i i S n n n ) , ( 2 ) ( R , 2 a ) ( j i m n m n j n n j i j j j j j i i i j i j i S e n n n yazılabilir. Denk.(2.28) ve (2.29) de verilen n m,n m ( i, j)j j j i i i S integrali R yarıçaplı bir helyum benzeri safsızlık için örtüşme integrali olup, tam olmayan gama fonksiyonları cinsinden r d R R S a j m n i m n j i m n m ni i i j j j i i i j j j 3 0 * , ( , )
( , ) ( , )
1
) ( ) ( , 1 j i j i j i n n j i m m j i j i n R n (2.30)Şeklinde tanımlanabilir. Burada (a1,x) lar tam olmayan (incomplete) gama fonksiyonları olup,
x a t dt t e x a 0 ) , 1 ( (2.31)yazılır (Arfken, 1985). ij kronecker delta fonksiyonudur. Aynı şekilde Denk.(2.26) ve (2.27), Denk.(2.24) de yerine taşınırsa Coulomb integrali tam olmayan gama fonksiyonları cinsiden
1 1 1 1 * 2 1 2 i k m qn j l m pn m qn m pn p p q pq c i i ic k k kc j j jc l l l J j l j j l l k i k k i i L m m L m m m m L m m L l j k i l j k i
, , ) 1 2 ( 4 1 1 1 , min , max ) 2 ( 1
1 1 ) ( ) ( , ) ( )! ( 1 1 1 L n n l j l j l j L n n k i k i l j k i L n n L n n
1 1 0 1 ) ( ! ) ( , ) ( L n n t L t n n l j k i l j k i l j t k i k i l j t R L t n n (2.32)
1 1 1 0 1 1 1 1 ) ( ) ( , 1 ! ) ( )! 1 ( L t n n l j k i l j k i l j L n n t t L n n k i k i l j k i k i R L t n n t L n n
j l k i l j k i m m m m L n n l j l j l j a t n n L R e R 1 , 1 1 ) ( ) ( , 1 şeklinde elde edilebilir. Benzer şekilde iki elektronlu bir sistem için değiş-tokuş integrali
1 1 1 1 * i k m qn j l m pn m qn m pn pq c i i ic k k kc j j jc l l l K j k j j k k l i l l i i L m m L m m m m L m m L l j k i l j k i
, , ) 1 2 ( 4 1 1 1 , min , max ) 2 ( 1
1 1 ) ( ) ( , ) ( )! ( 1 1 1 L n n k j k j k j L n n l i k i k j l i R L n n L n n
(2.33) ) ( ! ) ( , ) ( 1 1 0 1
L n n t L t n n l j k i l j k i k j t l i l i k j t R L t n n
1 1 1 0 1 1 1 1 ) ( ) ( , 1 ! ) ( )! 1 ( L t n n l j k i l j k i k j L n n t t L n n l i l i k j l i l i R L t n n t L n n
j k l i k j l i m m m m L n n k j k j k j R t n n L R e R , 1 1 1 ) ( ) ( , 1 .yazılabilir. Burada imilml LM Gaunt katsayılarıdır. M miml ve
M,i l
Li lifadesi EK ‟te verilmiştir. Denk. (2.31) ve (2.32) nın elde edilmesinde iki küresel harmoniğin çarpımının açık ifadesi yine EK„te verilmiştir.
3. KÜRESEL KUANTUM NOKTA YAPILARIN ELEKTRONĠK YAPISI VE HESAPLAMA YÖNTEMLERĠ
3.1. Kuantum Nokta Yapının Elektronik Yapısı
Atomlarda bulunan çekirdeğin çekici Coulomb potansiyelinden dolayı elektronları atoma bağlı tutmaktadır. Bunun sonucu olarak baş kuantum sayısı n yörünge açısal momentum kuantum sayısı den hiçbir zaman küçük olamaz. Açısal momentum kuantum sayısı l 0.1…….(n-1) değerlerini alabilir. Baş kuantum sayısı n ve yörünge açısal momentum kuantum sayısı olan nin alacağı değerlere bağlı olarak atomlarda kabuk yapısı 1s, 2s, 2p,… şeklinde oluşur. Elektronun hareketinin üç boyutta sınırlandırıldığı kuantum nokta nokta yapıda çekirdeğin elektronlara uyguladığı coulomb potansiyeline ihtiyaç duyulmadan kuantum nokta yapıyı bir sınırlandırıcı engelinin olması elektronları tutmaya yetecektir. Elektronlar küresel kuantum nokta yapıda çekici bir potansiyel olmadığı için yörünge açısal momentum kuantum sayısında bir kısıtlama yapmamıza gerek yoktur Yani açısal momentum kuantum sayısı l 0.1…….(n-1) değerlerini alabilir. Bunun sonucu olarak küresel bir kuantum noktasındaki bağıl durumların kabuk yapısı 1s, 1p, 1d, 2s, 1f,…şeklinde oluşur. Seviyelerin enerjileri ise En, biçiminde etiketlenebilir.
Kuantum nokta yapılarının kabuk yapılarının gösterilmesinde kullanılan diğer bir gösterim ise, baş kuantum sayısı n yi n+ şeklinde ifade edilmesidir. Dolayısıyla 1s kabuğu aynı kalırken 1p kabuğunu yerine 2p olarak ve 1d kabuğunun yerine 3d olarak adlandırılmaktadır. Küresel bir kuantum nokta yapıda bağlı durumlar için kabuk yapısı 1s, 2p, 3d, 2s, 4f, 3p, …. şeklinde gösterilmektedir. Enerji seviyeleri ise En, şeklinde etiketlenir.
3.2. Etkin Kütle YaklaĢımı
Serbest bir parçacığın enerji ile dalga vektörü arasındaki ilişkiyi göz önüne alacak olursak, momentumu pk olan serbest bir elektronun kinetik enerjisi
m k E 2 2 2 (3.1)
dir. Elektron kristal yapı içindeki periyodik bir potansiyel altında hareket ettiği için kristal yapı içinde elektronun momentumu serbest haldeki momentumundan farklıdır. Bu momentuma kristal momentumu denir. Kristal yapıda örgü noktalarının periyodik
potansiyeli altında hareket eden bir elektrona dışarıdan bir Fd kuvvet uygulanırsa, elektron a m dt v d m F Fd i (3.2)
kuvveti altında ivmelenecektir. Buradaki Fi, kristal yapının hareketli elektrona uyguladığı kuvvettir. Fi iç kuvvetini de kapsayacak şekilde toplam bir dış kuvvet tanımlanırsa elektronun hareket denklemi
a m dt v d m FT * * (3.3)
olur. Buradaki m*, iç kuvveti de içine alan elektronun kristal yapı içindeki kütlesidir ve etkin kütle olarak tanımlanır.
Diğer taraftan kristal yapı içinde dış kuvvetin etkisi altında hareket eden elektronun grup hızı dk dE E dk d dk d vg 1 (3.4)
biçiminde yazılabilir. Denk.(3.1), Denk.(3.3) ve Denk.(3.4) birleştirilirse kristal yapı içindeki elektronun etkin kütlesi
2 2 2 * dk E d m (3.5)
bulunur. Denk.(3.5) kütle boyutunda olmakla birlikte E(k) fonksiyonunun ikinci türevine bağlıdır.
3.3. Genetik Algoritma
Araştırma ve sayısal bir optimizasyon yöntemi olan Genetik algoritma (GA), ortama iyi uyum sağlayan bireylerin hayatta kalması, sağlayamayan bireylerin ise elenmesi olarak tanımlanır (Coley, 2001). Mühendislik ve malzeme biliminde yaygın olarak kullanılan bu yöntemi ilk kez (Holland, 1975) tarafından kullanılmıştır. (Venugopal ve Narendran, 1992; Homaifar ve ark., 1994; Yang ve Gen, 1994; Sen ve Sahin, 2001; Castro ve ark., 2004; Kulkarni ve ark., 2004; Samanta, 2004). Fizik biliminin bir çok alanında kullanılan bu yöntem özellikle kuantum mekaniksel
sistemlerin taban enerji seviyesini belirlenmesinde kullanılmaya başlanmıştır (Judson ve ark., 1994; Wanschura ve ark., 1996; Kariuki ve ark., 1997; Pullan, 1997; Zacharias ve ark., 1998; Sahin ve ark., 2000; Kim ve ark., 2001; Aydin ve Yildirim, 2004; Kudla, 2004). Kuantum Genetik Algoritma (KGA) olarakta bilinen bu yöntem varyasyonel yöntemindeki gibi enerjinin minimizasyonu ilkesine dayanır. Ayrıca kuantum mekaniksel sistemler için Schrödinger denkleminin çözümlerini bulmak içinde kullanılmaya başlanmıştır (Chaudhury ve Bhattacharyya, 1998) (Garcia ve ark., 2000; Grigorenko ve Garcia, 2000; Nakanishi ve Sugawara, 2000; Grigorenko ve Garcia, 2001; Saha ve ark., 2001; Sahin ve Tomak, 2002; Safak ve ark., 2003; Sahin ve ark., 2005). Genel bir araştırma ve optimizasyon yöntemi olan KGA, varyasyon tekniğinden oldukça farklıdır. KGA tekniği varyasyon tekniğinden çok farklı özelliklere sahiptir. KGA tekniği rastgeleliğe varyasyonel yöntem ise belli kurallara bağlıdır. Varyasyon yöntemi çözüme tek bir noktadan (analitik ifadeden elde edilen bir sonuçtan) başlarken, KGA tekniği problemin olası çözümlerini oluşturan noktalar topluluğu (başlangıç popülasyon) ile işe başlar. Analitik ifadeler varyasyonel yöntemde sınırlanırken KGA tekniğinde analitik ifadelerde sınırlama yoktur. KGA tekniğinde parametrelerle iligili sıralama olmazken varyasyonel yöntemde parametreler sıralı biçimde değiştirilir. Tüm parametreler aynı anda değiştirilebilir. Varyasyonel yöntemde genelde ikilik kodlama sistemi kullanılırken, KGA parametreler farklı şekillerde kodlanabilir.
KGA yeniden oluşum ( kopyalama), çaprazlama ve mutasyon olmak üzere üç temel üzerine kurulmuştur (Coley, 2001) İlk süreç olan yeniden oluşum sürecinde ilk olarak her bireyin hayatta kalma olasılığı belirlenir. Bu olasılığın yüksek olduğu bireyler bir sonraki nesle aktarılırken düşük olasılıklı bireyler ise elenir. Yeni nesil belirlenirken bir önceki nesillerden bazı seçim operasyonunun uygulanması gerekir. Biyoloji biliminde de kullanılan diğer bir süreç olan Çaprazlama (Crossover) sürecinde doğal çaprazlama işlemine benzer bir sürece tabi tutulur. Bu işlem, yeniden oluşum sonucu oluşan bireyler üzerine uygulanır. elde edilen bireyler üzerine uygulanır. Bu bireyler içinden rastgele seçilen iki birey üzerinden yürütülür. Bu iki bireyin genetik bilgileri rastgele bir noktadan kesilerek, birinci bireyin kesilen noktanın solunda kalan bilgiler ikinci bireyin kestiğimiz noktanın sağında kalan bilgilerle, birinci bireyin kesilen noktanın sağında kalan bilgiler ikinci bireyin kestiğimiz noktanın solunda kalan bilgilerle eşleştirilir. Böylece her iki bireyde birbirlerinin genetik bilgilerini taşımış olurlar. Genetik Algoritmada son aşama olan Mutasyon işlemi yerel minimumlardan kurtulmak için uygulanan bir süreçtir. Mutasyon işlemi nüfus içinden rastgele seçilen
