V l L D I Z ÜNİVERSİTESİ F E N BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ‘ ‘ İDİZ Ü ^ E R S İTESİ \
J
K O R I E W E G ~ D E V R İ E S D E N K L E M İ T Ü R Ü N D E K İ D E N K L E M L E R İ N İ N V E R S E S C A T T R İ Ng ( T E R S S A C I N I M ) M E T O D U İ L E C Ö Z Ü L E B İ L İ R L İ G İ D o k t o r a T e z i A l e m d a r D E M İ R E LKot Alındığı Yer
R 2U9
...4 9 ...
,P.en...3il«..
...
Tırık
ı arın 2 6 / 5 / l l § I... Patura1 2 00T 1.
r laıı 1 / 6A y n ıy aı r>ıo
Kayıt No U D C
CL
4 4 d i l .....515...İ5,
...J.7.Ö.»..2.42...
„.jL.
i ç i n d e k i l e r Ş A Y F -A Ö Z E T
SU M flARY
B Ö L Ü M I : K d V D E N K L E M İ V E T E R S S A C I N I M D Ö N Ü Ş Ü M Ü 1 . 1 . T a r i h i G e l i ş i m ... 1 1 . 2 . E l e m a n t e r Ö z e l l i k l e r ... 3 1 . 3 . S o l i t o n D a v r a n ı ş ... 6 1 . 4 . M i u r a D ö n ü ş ü m ü v e M K d V ...8 1 . 5 . T e r s S a ç ı n ı m D ö n ü ş ü m ü İ l e ( G G K M ) Ç ö z ü m ü . . . . 10 1. 6 . L i n e e r S c h r ö d i n g e r D e n k l e m i İ ç i n S a ç ı n ı m P r o b l e m i ... 12 1 . 7 . L a x F o r m a l i z m i ... 14 1 . 8 . Z a k h a r o v - S h a b a t S i s t e m i ... 20 B Ö L Ü M 2 : G E N E L L E Ş T İ R İ L M İ Ş İ K İ B İ L E Ş İ K L İ K d V B O U S S İ N E S G ) D E N K L E M İ V E S O L İ T O N B A Ğ L A N T I S I 2. 1 . C r y s t a l L a t t i c e ( K r i s t a l Ş e b e k e ) ... 26 2 . 2 . M a t r i s K d V ... 30 2 . 3 . Ç ö z ü m ... 35 2 . 4 . Y ü k s e k M e r t e b e d e n S a ç ı n ı m P r o b l e m i v e B o u s s i - n e s q D e n k l e m i ... 43 2 . 5 . B o u s s i n e s q D e n k l e m i n i n E l e m a n t e r Ç ö z ü m ü . . . . 50 B Ö L Ü M 3 : T A N İ U T i - W E İ İ N D İ R G E M E M E T O D U 3. 1 . G i r i ş ... 55 3 . 2 . G e n e l İ n d i r g e m e M e t o d u ... 59 3 . 3 . G e n e l l e ş t i r i l m i ş K d V D e n k l e m i n i n Y a k l a ş ı k Ç ö z ü m ü ... 68 3 . 4 . G e n e l l e ş t i r i l m i ş B o u s s i n e s q D e n k l e m i n i n Y a k l a ş ı k Ç ö z ü m ü ... 72 3 . 5 . Ö z e l H a l l e r ... 84 E K ... 1 0 0 S O N U Ç L A R ... 1 0 4 -. '-T E S E K K Ü R i ' . ... 1 05 K A Y N A K L A R ... ... . 106 Ö Z G E Ç M İ Ş ... . 1 1 2 X -/- • "i - ^In t h i s t h e s i s h a s b e e n s h o w n t h a t S o m e s p e c i a l c a s e s of c r y s t a l l a t t i c e e q u a t i o n J^2 lj . *- . * * 1 *
i)u t
"*
3 u
t
*
_3_ ıı _
3 ı u 3Ç l’V d C L i d l / S ~ e- * * 3 * Z 1 3v 3v Q d . * * 3 v e 2 İ 7 ' y 3 Ç + 6 3 C (u v ) ' e i ^ 3 “ =0 is t h e m a t r i x K d V e q u a t i o n a n d s o l v a b l e b y t h e m e t h o d of i n v e r s e s c a t t r e i n g t r a n s f o r m a t i o n , [ 4 , 1 5 , 1 9 ] a n d in t he o t h e r c a s e s in t h e c r y s t a l s l a t t i c e e q u a t i o n a s y m p t o t i c a 1 1 y r e d u c i b l e in to K o r d e w e g < - d e V r i es e q u a t i o n . I n t h e f i r s t c h a p t e r , t h e K d V e q u a t i o n Ql3[] a n d s o m e o f i t s p r o p e r t i e s i n t r o d u c e d . A l s o t h e m e t h o d of i n v e r s e s c a t t e r i n g t r a n s f o r m a t i o n a n d t h e f o r m a l i s m s of L a x [ l 5] a n d of A b 1 o w i t z - K o u p - N e w e 1 1 - S e g u r ( A K N S ) [4| h a v e b e e n d i s c u s s e d b r i e f l y . I n t h e s e c o n d c h a p t e r h a s b e e n shov/n t h a t t he G r y s t a l s - L a 1 1 i c e e q u a t i o n a r e in the t y p e of g e n e r e l i z e d K d V o r g e n e r a l i z e d B o u s s i n e s q e q u a t i o n a n d n o t g e n e r a l s o l v e b l e b y t h e d i r e c t u s e of t he i n v e r s e s c a t t e ı r i n g t r a n s - f o r m a t i o n . H o w o v e r in a s p e c i a l c a s e t h e c o e f f i c i e n t s of c r y s t a l l a t t i c e e q u a t i o n w i l l b e t r a n s f o r m e d i n t o t h e M a t r i x K d V e q u a t i o n . \\
i*'
In t h i s s p e c i a l f o r m c o n b e p o s s i b l e to s o l v e t h e e q u a t i o n b y i n v e r s e s c a t t e n i n g t r a n s f o r m a t i o n .
I n t h e t h i r d c h a p t e r , u s i n g of t h e a s y m p t o t i c
T a n i u t i - w e i r e d u c t i v e m e t h o d , t h e c r y s t a l L a t t i c e e q u a t i - o n r e d u c t e d a s y m p t o t i c l y in to t h e K d V o r N K d V e q u a t i o n
£ * ı av £2 3x K r i s t a l ş e b e k e d e n k l e m i n i n , k a t s a y ı l a r ı n ı n ö z e l d u r u m u n d a , m a t r i s K d V d e n k l e m i o l d u ğ u v e b u n u n t e r s s a ç ı n ı m m e t o d i y l e ç ö z ü l e b i l d i ğ i , g e n e l d u r u m d a p e r t ü r b a t i f y ö n t e m le K d V v e y a M K d V d e n k l e m i n e i n d i r g e n e b i l e c e ğ i v e ç ö z ü l e b i -Ç a l ı ş m a n ı n b i r i n c i b ö l ü m ü , d a h a z i y a d e t a n ı t m a n i t e l i ğ i n d e o l u p , b u b ö l ü m d e K d V d e n k l e m i v e b u n u n b a z ı ö z e l l i k l e r i y l e b i r l i k t e t e r s s a ç ı n ı m m e t o d u n u n L a x v e A - K - N - S İ k i n c i b ö l ü m d e k r i s t a l ş e b e k e d e n k l e m l e r i n i n g e n e l l e ş t i r i l m i ş K d V v e y a B o u s s i n e s q t i p i n d e o l d u ğ u g ö r ü l m ü ş , v e b u d e n k l e m l e r i n g e n e l o l a r a k t e r s s a ç ı n ı m d ö n ü ş ü m ü i le ç ö z ü l e m e d i ğ i , a n c a k k a t s a y ı l a r ı n ı n ö z e l d u r u m u n d a , ş e b e k e d e n k l e m l e r i m a t r i s K d V d e n k l e m i n e d ö n ü ş m ü ş o l u p b u ç ö z ü l e b i l i r d i r [ 2 1 , 2 6 , 3 8 ] . B u b ö l ü m d e a y r ı c a t e r s s a ç ı n ı m d ö n ü ş ü m ü i l e ç ö z ü l e b i l e c e k a l a n d e n k l e m l e r i ç ı k a r t ı l m ı ş t ı r . Ü ç ü n c ü b ö l ü m d e , a s i m t o t i k T a n u i t i - W e i i n d i r t o d u y l a , k r i s t a l ş e b e k e d e n k l e m l e r i K d V d e n k l e m i n e i n d i r -l e c e ğ i g ö s t e r i -l m i ş t i r
g e n m i ş a n c a k ç ö z ü m l e r ü z e r i n d e d u r u l m a m ı ş t ı r . Z i r a K d V d e n k l e m i n i n v e y a M K d V d e n k l e m i n i n ç ö z ü m l e r i d e ğ i ş i k y ö n t e m l e r l e b u l u n m u ş t u r . B u b a k ı m d a n b u r a d a ç ö z ü m l e r i v e r m e k e n t e r a s a n d e ğ i l d i r [ 4 4 - 4 6 - 4 8 - 4 9 | .
K O R T E W E G - D E V R I E S D E N K L E M İ V E T E R S S A C I N I M D Ö N Ü Ş Ü M Ü 1. 1 . T A R İ H İ G E L İ Ş İ M : J. S c o t t - R U S S E L L 'm , 1 8 4 4 de b i r k a n a l d a i l e r l e y e n b i r d a l g a i l e a t s ı r t ı n d a y a p t ı ğ ı y a r ı ş ı a n l a t a n " D A L G A L A R Ü Z E R İ N E R A P O R " u K o r t e w e g - d e V n e s ( K d V ) d e n k l e m i ü z e r i n e y a p ı l a n a r a ş t ı r m a l a r ı n ve y a y ı n l a n a n m a k a l e l e r i n g i r i ş i n d e y e r a l m a k t a d ı r . B i z b u g e n e l e ğ e u y a l ı m v e S C O T T - R U S S E L L 1 in s ö z l e r i n i b u r a d a i k t i b a s e d e l i m [5 İJ . D a r b i r k a n a l b o y u n c a i k i a t t a r a f ı n d a n h ı z l a ç e k i l e n b i r k a y ı ğ ı n h a r e k e t i n i g ö z l ü y o r d u m . K a y ı r b i r d e n d u r u n c a k a n a l d a k a y ı ğ ı n h a r e k e t e g e ç i r d i ğ i s u a y n ı ş e k i l d e d u r m a d ı . A r a c ı n a r k a s ı n d a ş i d d e t l e t a h r i k e d i l m i ş ş e k i l d e t o p l a n d ı s o n r a a n i d e n a r a c ı a r k a d a b ı r a k a r a k b ü y ü k b i r h ı z la i l e r i d o ğ r u y u v a r l a n d ı , h a r e k e t e d e n ş e y y u v a r l a k d ü z g ü n v e i y i t a n ı m l ı b i r s u t ü m s e ğ i b ü y ü k b i r s o l i t e r y ü k s e l - L i h a l i n i a 1 m x ş Lı, k a n a l b o y u n c a y o l u n u ve b i ç i m i n i d e ğ i ş t i r m e d e n ve h ı z ı n ı a z a l t m a d a n i l e r l i y o r d u , o n u at s ı r t ı n d a o l d u ğ u m h a l d e i z l e d i m ve s a a t d e 8 - 9 m i l l i k h ı z l a i l e r l e m e k te i k e n o n a y e t i ş t i m . B o y u 30 a y a k k a d a r ve y ü k s e k l i ğ i b i r b u ç u k a y a k k a d a r o l a n i l k ş e k l i n i k o r u y o r d u y ü k s e k l i ğ i y a v a ş y a v a ş a z a l d ı v e b i r y a d a i k i m i l l i k y a r ı ş t a n s o n r a o n u k a n a l ı n k ı v r ı m l a r ı a r a s ı n d a k a y b e t t i m , i ş t e b u t e k i l ve ş a h a n e g ü z e l o l a y l a i l k t a n ı ş m a m 1834'ü.n A ğ u s t o s a y ı n d a b ö y l e o l d u .
t
H
' l
b i ç i m i n d e y d i . B u r a d a x b i r b o y u t l u k a n a l b o y u n c a ö l ç ü l e n b i r d e ğ i ş k e n , t Z a m a n , n ( x , t ) s u y ü z e y i n i n , d e n g e s e v i y e s i n d e n y ü k s e k l i ğ i , g y e r ç e k i m i i v m e s i , a s ı v ı n ı n d ü z g ü n ( Ü n i f o r m ) h a r e k e t i i l e i l g i l i b i r k a t s a y ı , 1 s u y u n d e r i n l i ğ i » o ; a - i l 3 - — ( 1 . 1 .2 ) 3 P g i l e t a n ı m l ı i k i n c i b i r s a b i t , T y ü z e y g e r i l i m i , p y o ğ u n l u k t u r . ( 1 . 1 . 1 ) d e n k l e m i b u g ü n K d V d e n k l e m i o l a r a k b i l i n m e k t e d i r . H e m e n h e m e n 65 y ı l b o y u n c a K d V d e n k l e m i s a k i n b i r h a y a t y a ş a d ı , a r a s ı r a L i t e r a t ü r d e a d ı g e ç t i , a r a s ı r a u- n u t u l d u £ 7J
p a t l a m a 1 9 6 0 y ı l l a r ı n d a G a r d n e r v e M o r i k o v a d e n k l e m i ç a r p ı ş m a s ı z h i d r o m a n y e t i k d a l g a l a r ı n i n c e l e n m e s i n d e y e n i d e n b i r m o d e l o l a r a k k e ş f e t t i k l e r i z a m a n o l d u , b u t a r i h d e n b e r i K d V d e n k l e m i ç o k ç e ş i t l i f i z i k s e l o l a y l a rı t a s f i r e d e n b i r m o d e l d e n k l e m o l a r a k ç e ş i t l i k a l ı p l a r d a t e k r a r t e k r a r ç ı k a r ı l ı y o r . B u g ü n K d V d e n k l e m i n e m a t e m a t i k s e l f i z i ğ i n t e m e l d e n k l e m l e r i n d e n b i r i g ö z ü i l e b a k ı l a b i l i r a n c a k ş ö h r e t i s a d e c e b u n a d a y a n m a m a k t a d ı r . A y n ı ö l ç ü d e ö n e m l i b i r s e b e b de K d V d e n k l e m i n i n i n c e l e n m e s i n d e n ç ı k a n m a t e m a t i k y ö n t e m v e s o n u ç l a r d ı r . B u y ö n t e m v e s o n u ç l a r , d a l g a y a y ı l ı m ı n ı n " P r a t i k " s o r u n l a r ı n d a n c e b i r s e l g e o m e t r i d e k i d a h a " s a f " k o n u l a r a k a d a r u y g u l a m a s a h a l a r ı b u l m u ş t u r f 9 J . B u g ü n m e ş h u r o l a n b u d e n k l e m e a d l a r ı n ı v e r e n ş a h ı s l a r ı n k i m l e r o l d u ğ u ve n a s i l i ş b i r l i ğ i/
1
V h \
B u s o r u l a r a V a n d e r B i l j ( 1 9 7 8 ) d e b a z ı c e v a p l a r v a r d ı r . D i - e d r i k J o h a n n e s K o r t e w e g ( 3 1 . 3 . 1 8 4 8 5 . 1 0 . 1 9 4 1 ) A w s t e r d a m Ü n i v e r s i te s i 'n d e t a n ı n m ı ş b i r p r o f e s ö r v e b i r ç o k m a k a l e n i n y a z a r ı d ı r . r a t e z i y a z d ı v e o n u 1 A r a l ı k 1 9 8 4 de A w s t e r d a m Ü n i v e r s i t e s i n d e s u n d u . B u t e z H o l l a n d a d i l i n d e i d i v e 9 n c i s a h i f e s i n de b u g ü n K d V d e n k l e m i o l a r a k b i l i n e n d e n k l e m i i ç e r i y o r d u , ö y l e g ö r ü l ü y o r k i G. de V i r e s b u n d a n s o n r a k i m e s l e k h a y a t ı n ı n ç o ğ u n u b i r l i s e ö ğ r e t m e n i o l a r a k g e ç i r m i ş . S o n o l a r a k ş ö h r e t v e p o p ü l e r l i ğ i n e r a ğ m e n K d V d e n k l e m i n i n b i r k a n a l d a k i ( U z u n ) s u d a l g a l a r ı n ı n d a v r a n ı ş ı t e m s i l e d e n b i r m o d e l d e n k l e m o l a r a k r a k i p s i z k a l m a d ı ğ ı m d a b e l i r t e l i m . B o n a ve M a h o n y ( 1 9 7 2 ) b a ş k a b i r m o d e l ö n e r d i , b u k o n u l a r ı n m ü n a k a ş a s ı m e s e l a (^14~] de b u l u n a b i l i r . A y r ı c a K d V d e n k l e m i i l e t e m s i l e d i l e n o l a y l a r ı ş ö y le s ı r a l a m a k m ü m k ü n d ü r . S ı ğ s u d a 1 g a 1 a r ı - p 1 a s m a 1 a r d a I o n - A c o u s t i c d a l g a l a n , p l a z m a l a r d a M a g n e t o - h i d r o d y n a m i k d a l g a l a r ı , E l a s t i k o r t a m l a r d a ki b o y u n a d a l g a l a r v s. | 11 — 9 — 17j . 1 . 2 . E L E M E N T E R Ö Z E L L İ K L E R K d V d e n k l e m i n d e n b a ş l a n g ı ç t a k i f i z i k s e l p r o b l e m i n b ü t ü n i z l e r i n i s i l e c e k b i r d e ğ i ş k e n d ö n ü ş ü m ü i l e K d V d e n k l e m i n i n s t a n d a r t b i ç i m l e r i e l d e e d i l i r , e n ç o k k u l l a n ı l a n b i ç i m ( 1 . 1 . 1 ) d e n G u s t o v de W r i e s , K o r t e w e g ' i n g ö z e t i m i n d e b i r d o k t o
-(
1.
2.
1)
d ö n ü ş ü m l e r i i l e e l d e e d i l i r , v e K d V d e n k l e m iH a r ı n o n i k d a l g a l a r ı n ı ç ö z ü m k a b u l e t t i ğ i n i g ö r ü r ü z , f a z h ı zı s a b i t o l m a y a n ( d a l g a s a y ı s ı n ı n b i r f o n k s i y o n u o l a b i l i r ) d a l g a l a r a " D i s p e r s i y o n 1 lu" d a l g a l a r d e n i r , ( W l ı i t h a m 19 74) ( 1 . 2 . 7 ) b a ğ m 1 1 s ı n a d a D i s p e r s i y o n b a ğ ı n t ı s ı d e n i r . ( 1 . 2 . 6 ) d e n k l e m i l i n e e r o l d u ğ u n d a n ( f a r k l ı d a l g a s a y ı l a r ı n d a ) h a r m a n i k d a l g a l a r ı n h e r h a n g i b i r s ü p e r p o z i s y o n u y i n e ( 1 . 2 .6 ) n ı n b i r ç ö z ü m ü d ü r . L i n e e r l e ş t i r i l m i ş K d V d e n k l e m i n i n b ü t ü n d i s p e r s i y o n l u d a l g a ç ö z ü m l e r i n i n ( z a m a n i l e r l e r k e n ) s o l a d o ğ r u h a r e k e t e t d i k l e r i d i k k a t i m i z i ç e k i y o r . Ş i m d i y e n i d e n K d V d e n k l e m i n i n t a n ı m ı n a d ö n ü y o r ve k a l ı c ı t i p d e n e n k a l ı p t a ö z e l ç ö z ü m l e r i n v a r l ı ğ ı n ı a-r a ş t ı a-r ı y o a-r u z . B u n l a a-r a g e z e n v e y a i l e a-r l e y e n d a l g a l a a-r d a d e n i y o r . B u n l a r h a r e k e t e d e n ö z e l b i r k o o r d i n a t s i s t e m i n d e n b a k ı l d ı ğ ı n d a z a m a n l a ş e k l i n i d e ğ i ş t i r m e y e n d a l g a l a r d ı r . ^ - ] u ( x , t ) - u ( x - c t ) ( 1 . 2 . 9 ) k a b u l e d e r i z , b u K d V d e n k l e m i n d e y e r i n e k o n d u ğ u n d a ü s t l e r z = x - c t ye g ö r e t ü r e v l e r i g ö s t e r m e k ü z e r e d " - ( 6 u+ c ) u 1 =0 ( 1 .2 . 1 0 ) a d i l i n e e r o l m a y a n d i f e r a n s i y e l d e n k l e m i e l d e e d e r , b u n u b i r k e r e i n t e g r e e d e r e k m k e y f i b i r s a b i t o l m a k ü z e r e u " - 3 u ^ - c u = m ( 1 . 2 . 1 1 ) e l d e e d e r i z . B u n u u' i l e ç a r p ı p b i r k e r e d a h a i n t e g r e e d e r s e k , n t e k r a r k e y f i b i r s a b i t o l m a k ü z e r e u ' ^ - 2 u ^ - c u ^ - 2 m u = 8 ( 1 .2 . 1 2 ) e l d e e d i l i r , s o n a ş a m a d a u e l i p t i k i n t e g r e l l e r c i n s i n d e n k a p a l ı o l a r a k i f a d e e d i l e b i l i r . S o n u ç t a c n j a c o b i e l i p t i k f o n k s i y o n l a r ı c i n s i n d e n i f a d e e d i l e n , u ( z ) = u ( z + T) gfrürir''*~^. p e r i y o d i k ç ö z ü m l e r i n v a r l ı ğ ı s o n u c u n a g i d i l e u i l i r , b u n l a r a V b u y ü z d e n " c n o i d a l " d a l g a l a r d e n i r [~18]. - • . t ' X/ İ
2
= u2
( 2 u + c ) ( 1 . 2 . 1 3 ) d e n k l e m i e l d e e d i l i r . B u d e n k l e m d e k o l a y c a i n t e g r e e d i l e r e k x k e y f i b i r s a b i t o l m a k ü z e r e o u ( x , t ) = u ( x - c t ) » - ~ c S e c h “ r^-/c( x - c + x )~| ( 1 . 2 . 1 4 ) 2 '-2. o o J b u l u n u r . H a t t a 2 1 4 S e c h z = --- 7T- = ---- - . ( 1 . 2 . 1 5 ) , 2 . z ^ - z .2 C o s h z (e + e ) o l u r k î b u s o l i t e r d a l g a Z+ + 00 i ç i n ü s t e l o l a r a k a z a l ı r şu i k i g ö z l e m ö n e m l i d i r , a) S o l i t e r d a l g a ç ö z ü m ü s a d e c e c > o i ç i n m e v c u t t u r , b ö y l e c e K d V d e n k l e m i n i n h e r s o l i t e r d a l g a ç ö z ü m ü ( A r t a n t i ç i n ) s a ğ a d o ğ r u h a r e k e e d e r , b) S o l i t e r d a l g a n ı n y a y ı l m a h ı z ı d a l g a n ı n g e n l i ğ i i l e o r a n t ı l ı d ı r , b ö y l e c e b ü y ü k s o l i t e r d a l g a k ü ç ü k o l a n d a n d a h a h ı z l ı y a y ı lır. 1.3. S O L Î T O N D A V R A N I Ş K d V d e n k l e m i l i n e e r o l m a d ı ğ ı n d a n s o l i t e r d a l g a l a r ı n s ü p e r p o z i s y o n u d e n k l e m i n ç ö z ü m ü o l m ı y a c a k , b u y ü z d e n s o l i t e r d a l g a l a r ı n , K d V d e n k 1 e m i n ir, g e n e 1 t e o r i s i i ç i n d e k i r o l ü ç o k s ı n ı r l ı o l a c a ğ ı d ü ş ü n ü l e b i l i r , bu- k a n a a t a t e r s d o ğ r u l t u d a i l k b e l i r t i l e r I3 0 | d a g ö r ü l e b i l i r . L “ . »r ■ '•S o l i t e r d a l g a y ı t a n ı m l a y a n f o n k s i y o n u S ( z , c ) = - | c S e c h 2 ( ^ / c z) ( 1 . 3 . 1 ) i l e g ö s t e r e l i m v e a ş a ğ ı d a k i d e n e y i n y a p ı l d ı ğ ı n ı f a r z e d e l i m K d V d e n k l e m i n i n ç ö z ü m ü o l a n u ( x , t ) n i n t r o a n ı n d a k i d e ğ e r i o l a n u ( x , o ) n i n X > o ve y e t e r i k a d a r b ü y ü k , c ^ > c ^ o l m a k ü z e r e u ( x , o ) = S ( x , c I > + S ( x - X , c 2 ) ( 1 . 3 . 2 ) i l e v e r i l m i ş o l s u n , S o l i t e r d a l g a ü s t e l o l a r a k a z a l d ı ğ ı n d a n , z a m a n b a ş l a n g ı c ı n d a k i i k i s o l i t e r d a l g a b i r b i r i i ç i n e o k a d a r g i r m e m i ş t i r . Z a m a n l a o l d u ğ u n d a n b ü y ü k s o l i t e r d a l g a n ı n k ü ç ü k s o l i t e r d a l g a y ı y a k a l a m a y a ç a l ı ş a c a ğ ı g ö z l e n e c e k t i r . A c a b a g i r i ş i m i n e t k i s i n e o l a c a k t ı r ? Z a b u s k y v e K r u s k a l 1 m ç a l ı ş m a l a r ı n d a d e n e y m ü m e r i k a n a l i z i l e g e r ç e k l e ş t i r i l d i , t = T > o y e t e r i k a d a r b ü y ü k i k e n 0 ve 0 ^ s a b i t l e r o l m a k ü z e r e u ( x , T ) = S ( x - c 1T - 0 i , c 1 ) + S ( x - c 2 T - 0 2 , c 2 ) ( 1 . 3 . 3 ) e l d e e d i l i r , b ö y l e c e i k i s o l i t e r d a l g a g i r i ş i m i n d e n s o n r a ş e k i l b a k ı m ı n d a n d e ğ i ş m e m i ş i k i s o l i t e r d a l g a o l a r a k ç ı k a r l a r g i r i ş i m i n y e g a n e t e s i r i 0^ v e © 2 f a z k a y m a l a r ı i l e t e m s i l e d i l i r , ç a r p ı ş m a l a r d a ö z e l l i k l e r i n i k o r u d u k l a r ı i- ç i n K r u s k a l v e Z a b u s k y o n l a r a " S o l i t o n " d e d i l e r b u i s i m o n l a r ı n p a r ç a c ı k g i b i d a v r a n d ı k l a r ı n ı i m a e d i y o r , S o l i t o n t e r i m i b i l h a s s a m a t e m a t i k s e l i i z i k L e h e m e n p o p ü l e r o l d u , S o l i t o n u n n e o l d u ğ u n u n m a t e m a t i k s e l b i r t a n ı m ı o r t a d a g ö r ü l m ü y o r , t a n ı m g e n e l l i k l e ö z e l b i r p r o b l e m k a l ı b ı n d a b i r f o r m ü l v a s ı t a s ı i l e y a p ı l ı y o r £5 3^.
1 . 4 . M t U R A D Ö N Ü Ş Ü M Ü v e M O D Î F Î Y E K d V D E N K L E M İ M a t e m a t i k l i t e r a t ü r ü n d e ü y l e d ö n ü ş ü m l e r v a r d ı r ki b a z ı l i n e e r «I i f i r a ıı s i y e L d e n k l e m l e r i n y a r d ı m ı i l e b u n l a r a i l i ş k i n l i n e e r o l m a y a n d e n k l e m i n ç ö z ü m l e r i ü r e t i l i r , o l d u k ç a e l e m a n t e r b i r ö r n e k ş ö y l e v e r i 1 eb i 1 i n i r Ql 6 — 5 3^) , T E O R E M : ( 1 . 5 . 1 ) ' : v ( x ) v ~ u ( x ) v = 0 x x x v • • • • . X S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i n i n b i r ç ö z ü m ü o l s u n w = — i l e t a n ı m l a n a n W ( x ) f o n k s i y o n u 2 w + w = u X R i c c a t i d e n k l e m i n i n b i r ç ö z ü m ü d ü r , t e o r i m i n i s p a t i d o ğ r u d a n y e r i n e k o y m a i l e e l d e e d i l i r , ş i m d i b a s i t f a k a t ö n e m l i b i r g e n e l l e ş t i r m e d e n s ö z e d e c e ğ i z , y a n i v ( x ) , Â k e y f i b i r s a b i t o l m a k ü z e r e v x x “ [u ( x ) -n] v = ° ( 1 . 5 . 1 ) d e n k l e m i n i s a ğ l a r s a v w = i l e t a n ı m l a n a n w ( x ) v w x + w 2 = u - A ( 1 . 5 . 2 ) d e n k l e m i n i s a ğ l a r b u k a r m a ş ı k s o n u ç H o p f ve G o l e ( 1 9 5 1 ) t a r a f ı n d a n b u l u n d u . T e o r e m ( 1 . 5 . 2 ) - v ( x , t ) ; v = v v t X X v I s ı d e n k l e m i n i n b i r ç ö z ü m ü o l s u n o z a m a n w = - 2 v — — v c H O P F - C . O L E d ö n ü ş ü m ü i l e t a n ı m l a n a n w ( x , t ) f o n k s i y o n u
w*-+ww = v w ( 1 . 5 . 3 ) L X X X B u r g e r s s d e n k l e m i n i s a ğ l a r , i s p a t y i n e y e r i n e k o y m a i l e y a p ı l ı r . B u r g e r s d e n k l e m i n i n b i r d e r e c e y e ' k a d a r K d V d e n k l e m i n i t e m s i l o t d i ğ i ı ı i d i k k a t e d e l i m , t e o r e m 1 . 5 . 2 d e i f a d e e d i l e n s o n u ç l a r ı n v a r l ı ğ ı ı ş ı ğ ı n d a K d V d e n k l e m i i ç i n b e n z e r b i r d ö n ü ş ü m a r a m a k d o ğ a l o l a c a k t ı r . A ş a ğ ı d a k i so n u - M i u r a ( 1 9 6 8 ) e a i t d i r f 16] . 2 T e o r e m ( 1 . 5 . 3 ) w ( x , t ) w - 6 w w + w =0 t X X X X 2 M o d i f i y e K d V d e n k l e m i n i n b i r ç ö z ü m ü o l s u n o z a m a n u » w “ + w x M i u r a döniişüınii i le taıunılaııaıı w ’(x, t) f o n k s i y o n u K d V d e n k l e m i n i s a ğ l a r y a n i u - 6 u u + u rO t x X X X dı r . İ s p a t y i n e y e r i n e k o y m a i l e y a p ı l a b i l i r ; T e o r e m ( 1 . 5 . 1 ) v e ( 1 . 5 . 2 ) d e v e r i l e n s o n u ç l a r l a k a r ş ı l a ş t ı r d ı ğ ı m ı z d a M i u r a d ö n ü ş ü m ü n ü n t e r s b i r d o ğ r u l t u d a i ş l e d i ğ i g ö r ü l m e k t e d i r . L i n e e r o l m a y a n K d V d e n k l e m i n i n ç ö z ü m l e r i N o n l i n e e r t e s i d a h a k u v v e t l i b i r d e n k l e m i n ç ö z ü m l e r i t a r a f ı n d a n d o ğ r u l m a k t a d ı r . Ş i m d i M i u r a d ö n ü ş ü m ü n ü n t e r s d o ğ r u l t u d a y o r u m l a n d ı ğ ı n ı d ü ş ü n e l i m b u , d ö n ü ş ü m o l a r a k W y ı u c i n s i n d e n tanırala r o z a m a n W R i c c a t i d e n k l e m i n i n b i r ç ö z ü m ü d ü r , K d V d e n k l e m i G a l i l e t i p i i n v a r y a n t o l d u ğ u n d a n u - A = w ^ + w x ( 1 . 5 . 4 ) y a z ı l ı r s a 1 . 5 . 1 ( 1 . 5 . 2 ) ( 1 . 5 . 3 ) d e n k l e m l e r i ü z e r i n d e K d V d e n k l e m i n e i l i ş k i n o l a r a k u. p o t a n s i y e l i K d V d e n k l e m i n i s a ğ l a m a k ü z e r e ( 1 . 5 . 1 ) S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i i n c e l e m e d u r u m d a o l u r u z , o k u y u c u t e o r e m 1 . 5 . 3 ' ü i z l e y i n c e y u k a r ı d a k i i n c e l e
-
-10-m e l e r i t a t -10-m i n e d i c i b u l s a d a h i ö ğ r e t i c i b u l -10-m a y a b i l i r , m a m a f i [^14,53] k u l l a n ı l a n y o l ç o ğ u k e z b u d u r . G a r d n e r , G r e e n e , K r u s k a l v e M i u r a 1 9 6 7 K d V i ç i n b a ş l a n g ı ç d e ğ e r p r o b l e m i n i ç ö z m e y e y ö n e l t e n d ü ş ü n c e d e b u d u r [^10,14] . 1 . 5 . T E R S S A Ç I N I M D Ö N Ü Ş Ü M Ü Î L E G A R D N E R - G R E E N E - K R U S K A L - M İ U R A ( G G K M ) Ç Ö Z Ü M Ü T e r s s a ç ı n ı m d ö n ü ş ü m ü y ö n t e m i v e s o l i t o n l a r t e o r i si u y g u l a m a l ı m a t e m a t i k s a h a s ı n ı n e n y e n i v e b ü y ü l e c i g e - 1 i ş m e l e r i n d e n d i r . T e o r i n i n d a l ı a z i y a d e 15 y ı l i ç i n d e v u k u b u l a n g e l i ş m e s i p a t l a m a b i ç i m i n d e o l m u ş v e s o n u ç l a r ı g e n i ş e t k i l e r y a p m ı ş t ı r . A m a c ı m ı z ö n c e k o n u y a y a t k ı n o l m a y a n l a r , s o l i t a n l a n h i ç d u y m a m ı ş m a t e m a t i k ç i v e f i z i k ç i l e r v e y a b u g i b i y e n i k a v r a m l a r ı n u y a n d ı r d ı ğ ı h e y e c a n ı u z a k t a n i z l e y e n l e r i ç i n b i r g i r i ş y a p m a k t a d ı r [ 11J • B i r d i z i ş a ş ı r t ı c ı v e i l g i ç e k i c i b u l u ş l a r ı i l e G a r d n e r - G r e e n e K r u s k a 1 - M i u r a ( G G K M ) K d V d e n k l e m i i ç i n d a h a s o n r a ç e ş i t l i g e n e l l e ş t i r m e l e r l e t e r s s a ç ı n ı m d ö n ü ş ü m ü d e n e n ( b u n a S p e k t r a l d ö n ü ş ü m ü d e d e n i r ) b i r ç ö z ü m y ö n t e m i g e l i ş t i r m i ş l e r d i r . G G K M y ö n t e m i n i n b a ş l a n g ı ç n o k t a s ı V x x - W ( x , t ) - A } v = 0 x e ( - “ ,“ ) ( 1 . 5 . 1 ) S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i i ç i n d e k i p o t a n s i y e l l e r o l a r a k u t _ 6 u u x + u =n xe(-°°,°°) t > 0 ( 1 . 5 . 2 ) X X X > K d V d e n k l e m i n i s a ğ l a y a n u ( x , t ) f o n k s i y o n l a r ı ö n e r m e k t i r . ( 1 . 5 . 2 ) K d V d e n k l e m i n i n u ( x , 0 ) = u ( x )B a ş l a n g ı ç k o ş u l u a l t ı n d a ç ö z ü m ü n ü b u l m a k i s t i y o r u z . B u p r o b l e m e i l i ş k i n o l a r a k , v x x - { u ( x , t ) - A } v - 0 xe ( -°° ,°° ) ( 1 . 5 . 4 ) S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i n i g ö z ö n ü n e a l ı r ı z [J54 , 5 5_| . t = 0 i ç i n s p e k t r u m h e s a p l a n ı r . B u n l a r s o n l u s a y ı d a ( v e y a b e l k i d e s ı f ı r t a n e ) 2
.
2 A = ~ k ^ a y r ı k ö z d e ğ e r i i l e  = k g i b i b i r s ü r e k l i k ı s ı m d a n o l u ş u r . S o n r a C (t) = l i m e k n X tfj ( x , t ) = C n n x+°° i l e o l a r a k t a n ı m l a n a n C ^ ( t ) n o r m a 1 i z a s y o n k a t s a y ı s ı ve b ( k , t ) y a n s ı m a k a t s a y ı s ı h e s a p l a n ı r . D a h a ö n c e k i b i r t e o - r e m ' d e s p e k t r o m ' u n z a m a n a b a ğ l ı o l m a d ı ğ ı i s p a t l a n d ı , s a ç ı n ı m b i l g i s i n d e n 3 . 3 C ( t ) = C (0) e n t ; b ( k , t ) = b ( k , 0 ) e 8 l k C ( 1 . 5 . 5 ) n n o l d u ğ u g ö s t e r i l e b i l i r . S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i n i n p o t a n s i y e l i h e r h a n g i b i r t >0 a n ı n d a k i s a ç ı n ı m b i l g i s i n d e n t e r s s a ç ı n ı m p r o b l e m i ç ö z ü l e r e k b u l u n u r . B u a m a ç l a , N 00 K U , t ) z E C n 2 ( t ) e ' k n ^ 2L - / b ( k , t ) e lk d k ( 1 . 5 . 6 ) n : 1 -oo f o n k s i y o n u ve CO g ( x , y , t ) ' K ( x + y , t ) + / K ( z * y , t ) g ( x , z t ) d z = 0 ( 1 . 5 . 7 ) x G e 1 f a n d - L e v i t a n I n t e g r a l d e n k l e m i i t h a l e d i l i r . B u s o n d e n k l e m d e x v e t p a r a m e t r e l e r d e n K d V d e n k l e m i n i n b a ş l a n g ı ç d e ğ e r p r o b l e m i n i n ç ö z ü m ü u( x , t ) * - 2 K ( x , x , t ) ( 1 . 5 . 8 )■
}
•
•
•
V;..
\
oo / ti) 2 (x) d x = 1 x-*+°° i k e n ip ( x ) > 0 ( 1 . 6 . 4 ) n n — OO ş e k l i n d e n o r m a l i z e e d i l m i ş o l a r a k a l a c a ğ ı z . B u öz f o n k s i y o n l a r ı n x-*- + 0° i ç i n d a v r a n ı ş l a r ı ,, - k „ x .. C e n x >*“ i k e n n ( x ) 'v n i Ğ e n X x->-°°iken n i l e v e r i l m i ş t i r , b ö y l e c e n o r m a 1 i z a s y o n k a t s a y ı l a r ı C = L i m e k n X ıp (x) ( 1 . 6 . 5 ) n n x-*-°° ş e k l i n d e t a n ı m l a n m ı ş o l u r . S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i n i n A = k 2 V k e R k = 0 ( 1 . 6 . 6 ) i ç i n [_x^|*00 i ç i n s ı n ı r l ı ç ö z ü m l e r i de v a r d ı r . ıjt (x) i l e g ö s -— i k x ı k x t e r i l e c e k o l a n b u ç ö z ü m l e r x->-+0° i ç i n e i l e e in b i r l i n e e r k o m b i n e z o n u g i b i d a v r a n a c a k l a r d ı r . ıp, ( x ) ç ö z ü m l e r i -K n i a ş a ğ ı d a k i n o r m a l l e ş t i r m e l e r y a r d ı m ı i l e t a n ı m l a r ı z . -k x , . . i k x . . e * b ( k ) e x ı ç ı n ıpj, ( x ) ^ — i k x a ( k ) e x->--°° i ç i n ( 1 . 6 . 7 ) B u r a d a k i a ( k ) y a i l e t i m k a t s a y ı s ı b ( k ) y a d a y a n s ı m a k a t s a y ı s ı d ı r , b u i k i s i
[a | 2 + [V J 2 =1
( 1 . 6 . 8 )
K o r u n u m y a s a s ı i l e b i r b i r i n e b a ğ l ı d ı r . ıpn ve \p f o n k s i y o n l a r ı y u k a n d a k i n d e n f a r k l ı ş e k i l d e de t a n ı m l a n a b i l i r , b u ç e ş i t l i n o r m a l l e ş t i r m e l e r a r a s ı n d a k i b a ğ ı n t ı l a r ı n ü z e r i n de d u r m ı y a c a ğ ı z , g e n e l o l a r a k b e l l i b i r n o r m a l l e ş t i r m e n i nk u l l a n ı l m a s ı b i r z e v k m e s e l e s i ve b a z e n d e b i r k o l a y l ı k t ı r . C , a (k ), b (k ) k a t s a y ı l a r ı i l e b i r l i k t e S c h r ö d i n g e r d e n k - n l e m i n i n s p e k t r u m u n a , v e r i l e n u ( x ) p o t a n s i y e l i n i n s a ç ı n ı m b i l g i s i d e n i r . Ş i m d i t e r s s a ç ı n ı m p r o b l e m i n e d ö n ü y o r u z , b u r a d a p r o b l e m s a ç ı n ı m b i l g i s i n d e n y a r a r l a n a r a k U ( x ) p o t a n s i y e l i n e b u l m a k t ı r . B u ç ö z ü m ş ö y l e e l d e e d i l i r , N 00 • r B ( Ç ) = E C 2 e " k n ^ + ^ - / b ( k ) e l k Ç d k ( 1 . 6 . 9 ) , n L n = 1 y a r d ı m ı i l e b i r f o n k s i y o n u n u t a n ı m l a y a l ı m , b u r a d a N a y r ı k ö z d e g e r l e r i n s a y ı s ı d ı r . E ğ e r a y r ı k ö z d e ğ e r y o k s a ( 1 . 7 . 9 ) i f a d e s i n i n s a ğ ı n d a k i i l k t e r i m y o k o l a c a k t ı r . B i z b i r d e OO K ( x » y ) ( x + y ) + / ü ( z + y ) K ( x , z ) d z = 0 y > x ( 1 . 6 . 1 0 ) x i n t e g r a l d e n k l e m i n i n ç ö z ü m ü o l a r a k K ( x , y ) f o n k s i y o n u n u t a n ı m l a r ı z o z a m a n u ( x ) = - 2 - y - K ( x , x ) ( 1 . 6 . 1 1 ) d x o l u r , ( 1 . 7 . 1 0 ) i n t e g r a l d e n k l e m i n e G E L ' F A N - L E V I T 0 N d e n k l e m i d e n i r . B a z ı y a z a r l a r b u n a M A R C H E N K O d e n k l e m i d e d e r - i e r [ 12] . 1 . 7 . L A X Y A K L A Ş I M I L, F o n k s i y o n l a r ı n V B a n a c h u z a y l a r ı ü z e r i n d e t a r i f e d i l m i ş k a p a l ı o p a r a t ö r 1 e r i n b i r a i l e s i o l s u n . L s a b i t b i r o p a r a t ö r ve M ^ , t p a r a m e t r e s i i l e u ( x , t ) g i b i f o n k s i y o n l a r a i l e s i y l e ç a r p ı m o p a r a t ö r ü o l m a k ü z e r e , I. yi L = L^ + M y a p ı s ı n d a a l a l ı m . S a b i t b i r t a n ı n d a L uiıı s p e k t r u m u ; L 1 A o p e r a t ö r ü n ü n V n i n b ü t ü n d e ğ e r l e r i i ç i n s ı n ı r l ı , s ü r e k l i b i r t e r s i n i n b u l u n m a d ı ğ ı A d e ğ e r l e r i n i n t o p l u l u ğ u d u r . u ( x , t ) l e r e k a r ş ı l ı k g e l e n s p e k t r u m t ' y e b a ğ l ı d e ğ i l s e u ( x , t) 1 l e r e e ş s p e k t r u m l u p o t a n s i y e l l e r d e n i r .
G G K M a n a l i z i n i n ö n e m l i k e ş i f l e r i n d e n b i r i K d V d e n k l e m i n i n [ x ) -+°° i ç i n u y g u n a z a l ı r l ı k ö z e l l i k l e r i n e s a h i p ç ö z ü m l e r i n i n , S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i i ç i n e ş s p e k t r u m l u p o t a n s i y e l l e r o İ m a l a r ı d ı r . B u k e ş i f b i z i e n a z ı n d a n şu k a ç ı n ı l m a z , s o r u n l a r a g ö t ü r m e k t e d i r . 1. K d V d e n k l e m i n d e n b a ş k a , ç ö z ü m l e r i S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i i ç i n eş s p e k t r u m l u p o t a n s i y e l l e r o l a n b a ş k a d e n k l e m l e r v a r m ı d ı r ? 2. S c h r ö d i n g e r d e n k l e m i n d e n b a ş k a , b a z ı i l g i n ç e v o - l ü s y o n d e n k l e m l e r i n i n ç ö z ü m ü o l a r a k eş s p e k t r u m l u p o t a n s i y e l l e r i b u l u n a b i l e n ö z d e ğ e r p r o b l e m l e r i v a r m ı d ı r ? 3. u ( x , t ) f o n k s i y o n l a r ı i ç i n b i r e v o l ü s y o n d e n k l e m i v e r i l d i ğ i n d e u ( x , t ) eş s p e k t r u m l u p o t a n s i y e l l e r i o l a c a k ş e k i l d e b i r ö z d e ğ e r p r o b l e m i b u 1 u n a b i 1 i r m i ? P. L A X [ 1 5 | 1. s o r u y a o l u m l u o l a r a k c e v a p v e r d i , 2 . s o r u y a d a c e v a p l a m a y o l u n u i ş a r e t e d e n b i r f o r m a l i z i m g e l i ş t i r d i , 3. s o r u y a h e n ü z s i s t e m a t i k b i r c e v a p v e r i l e m e - d i . L A X ' ı n y a k l a ş ı m ı i k i o p e r a t ö r ü n a y n ı s p e k t r u m ' a s a h i p o l m a s ı o l a y ı n ı H i l b e r t u z a y l a r ı n d a k i S e l f a d j o i n t ( k e n d i n e e ş ) o p e r a t ö r l e r t e o r i s i n d e i y i b i l i n e n v e ü n i t e l e r eş d e ğ e r o p e r a t ö r l e r k a v r a m ı i l e a l â k a l ı b i r o l a y o l u ş u n u n g ö z l e n m e s i i l e b a ş l ı y o r . B u d ü z e n i ç e r i s i n d e L A X eş s p e k t - r u m ' l u p o t a n s i y e l l e r i n k a r a k t e r i z e e d i l m e s i n e i m k a n v e r e n b i r f o r m a l i z m g e l i ş t i r d i . B i z b u r a d a b u f o r m a l i z m ' i n m a t e m a t i k s e l a y r ı n t ı l a r ı n ı d e ğ i l , b a s i t b i r ö z e t i n i s u n a c a ğ ı z . A y r ı c a , b u b ö l ü m l e i l g i l i t e m e l t e o r e m l e r d e n b i r i n i n i s p a t ı n ı , c i ğ e r l e r i n i n i s e i f a d e s i n i v e r e c e ğ i z . T e o r e m : 1 . 7 . 1 V H i l b e r t u z a y ı i ç i n d e " Y o ğ u n o l a r a k t a n ı m l a n m ı ş " t p a r a m e t r e s i n e g ö r e s ü r e k l i t ü r e t i 1 e b i 1 e n b i r p a r a m e t r e l i k e n d i n e e ş L o p e r a t ö r ü n ü e l e a l a l ı m . L n i n
'■ .. ■
iti
a y r ı k ö z d e ğ e r l e r i n i n v e b u n l a r a k a r ş ı l ı k g e l e n öz f o n k s i y o n l a r ı n ı n t ' y e g ö r e s ü r e k l i t ü r e t i 1 e b i 1 d i k 1 e r i n i v a r s a y a l ı m . Ö y l e k i ; \p, ıp ^ e V <p. V o l s u n . A y r ı c a B , B L , L B , L , V n i n V a l t c ü m l e s i n d e " Y o ğ u n o l a r a k " t a n ı m l a n m a k k o ş u l u y l a o l a c a k ş e k i l d e b i r p a r a m e t r e l i o p a r a t ö r l e r a i l e s i n i n b i r B o p a r a t ö r ü n ü n v a r o l d u ğ u n u k a b u l e d e l i m . B u t a k d i r d e L n i n a y ı r ı k ö z d e ğ e r l e r i t y e g ö r e d e ğ i ş m e z k a l ı r . H a t t a ö z d e ğ e r - l e r b a s i t i s e b u n l a r a k a r ş ı l ı k g e l e n \p ö z f o n k s i y o n u G e l i ş i m d e n k l e m i n i s a ğ l a r k i b u r a d a C t ' n i n k e y f i f o n k s i y o n u d u r . Ş a y e t B-J-C A n t is i m e t r i k i s e || ıjj|| t ' d e n b a ğ ı m s ı z d ı r . İ S P A T Ç ( t ) ö z d e ğ e r ıp( , t ) ' d e b u n a k a r ş ı l ı k g e l e n ö z f o n k - s i y o n o l s u n o = (B + C H Lıp+ Ç ı p - 0 1 . 7 . 1 ) Ö z d e ğ e r p r o b l e m i n i d ü ş ü n ü p , t ' y e g ö r e t ü r e v a l ı r s a k ( 1 . 7 . 2 ) v e ( 1 . 7 . 3 ) o l d u ğ u n u b i l d i ğ i m i z d e n ; ( 1 . 7 . 4 ) b u l u n u r . ( 1 . 7 . 1 ) *e B o p a r a t ö r ü n ü n s o l d a n t a t b i k e d e r s e k
BLıp = -ÇBvp ( 1 . 7 . 5 ) e l d e e d i l i r . B ö y l e c e ( L + Ç ) ( | ^ - B ı p ) + | | ^ = 0 ( 1 . 7 . 6 ) e l d e e d i l i r . B u n u n i k i y a n ı n ı ip ö z f o n k s i y o n u i l e ç a r p a r ,2 <ıjj , \ p > = o l d u ğ u n a d i k k a t e d e r s e k İ £ 11,1, II2
— ■
L ' n i n s e l f a d j o i n d o l d u ğ u n u k u l l a n ı r s a k 9, II, 1.2 3t b u l u n u r . ( 1 . 7 . 1 ) ' e g ö r e ( 1 . 3 . 8 ) ' i n s a ğ y a n ı s ı f ı r o l d u ğ u n - d an f f = 0 ( 1 . 7 . 9 ) b u l u n u r . B u £ n m ; t = t 0 a n ı n d a k i ö z d e ğ e r i o l d u ğ u n u b i l i y o r s a k , b u n u n h e r t i ç i n ö z d e ğ e r o l d u ğ u n u , y a n i ö z d e ğ e r l e r i n t ' d e n b a ğ ı m s ı z o l d u ğ u n u g ö s t e r i r . Ş i m d i ( 1 . 7 . 6 ) ' y a d ö n e r o l d u ğ u n u d ü ş ü n ü r s e k , (L + Ç)(ı^t - B ^ ) = 0 ( 1 . 7 . 1 0 ) e l d e e d i l i r . B u i s e C . t ' n i n k e y f i s ü r e k l i b i r f o n k s i y o n u o l m a k ü z e r e / * ’ > * X ıp.-Bı(j = Cıb ( 1 . 7 . 1 1 )i
ff
,
i \
'
» I
o l d u ğ u n d a g e r ç e k l e n i r . B u r a d a n-d a ıp s a ç ı n ı m d a l g a s ı x->- + °° i k e n u o ( x ) d e n e l d e e d i l e c e k t i r ıp ' n i n x->+0° ' d e k i d a v r a n ı ş ı i) S ü r e k l i s p e k t r u m h a l i n d e , + - i k x „,, . i k x = e + R ( k , t ) e x+°° i k e n — ” i lc x ıp = T e x-*--°°iken i i) A y r ı k s p e k t r u m h a l i n d e . + + - k ,, x x ► + (p. - C e 11 b n iJj'V - „ - k „ x ıp, = C e 11 x ->--<« r b n + — f o r m u n d a d ı r . B u r a d a k i R, T, C ve C u ( x ,0) k u l l a n ı l a r a k n n t - 0 i ç i n e l d e e d i l i r l e r . G e l i ş i m d e n k l e m i i s e B o p a r a t ö r ü - n ü i h t i v a e d e n , (1. 7. 15) d e n e l d e e d i l i r . L ' n i n o z d e ğ e r 1 e r i n i n t ' d e n b a ğ ı m s ı z o l m a s ı ş a r t i y l e L A X ş a r t ı d e n e n - B L - L B = [ b , L ] ( 1 . 7 . 1 6 ) b a ğ ı n t ı s ı n d a n B o p a r a t ö r ü b u l u n u r . S o n o l a r a k ıj/(x,t) y a n i R( t) , T ( t ) ve C +( t) I n f o n k s i y o n o l m a k ü z e r e R ( t ) , T (t) ve C + (t) b e l l i o l d u ğ u n d a g ( x , y , t ) b i l i n m i y e n g ( x , y , t ) ' K ( x y , t ) ' / K ( y 'y . t ) g ( x , y ' , t ) d y '=Ü ( 1 . 7 . 1 7 )
y = x
G e l ' f a n t - L e v i t a n ( M a r c h e n k o ) d e n k l e m i n i ç ö z e c e ğ i z . B u r a d a . oo . , N K ( x , t ) = — / R ( k , t ) e 1 d k - E C n ( t ) e n * ( 1 . 7 . 1 8 ) -00 n - 1 o l u p , N a y r ı k ö z d e ğ e r l e r i n in s a y ı s ı d ı r .Ş a y e t a y r ı k ö z d e ğ e r y o k s a ( 1 . 7 . 1 8 ) de s o n t e r i m i n s ı f ı r o l a c a ğ ı a ş i k a r d ı r . S a ç ı n ı m t e o r i s i n d e u ( x , t ) = - i — K , ( x , x , t ) d e n e l d e e d i l m e k t e d i r . L a x B o p a r a t ö r ü B 3 ? “ ' 1 ? fh 3 2 j ~ l b y 3k 2 “ + 1 j ü l ' j 3x2 -İ-L j f o r m u n d a b u l m u ş t u r . ( q
=
0,
1, 2 , . . .
).
1.8. Z A K H A R A R - S H A B A T S İ S T E M İ L a x F o r m a l i t a s y o n u n d a L o p a r a t ö r ü g e n e l d i r , b u r a d a L o l a r a k K u a ıı t u m m e k a n i ğ i n i l i n e e r Sclırüdiııger o p a ra t ü r ü n ü a l a c a ğ ı z , Y a n i 9 2 L - - r + u ( x , t) 9x d i r . Z a k h a r o v S h a b a t S i s t e m i a ş a ğ ı d a k i b i ç i m d e d i r | 1 9 | . ^ l x = - i ^ l + u ( x ’ t ^ 2 'P 2 x = i ^ 2 + ^ l ( 1 . 8 . 1 ) B u L a x y a k l a ş ı m ı n d a k i L\p = Aıj> s a ç ı n ı m p r o b l e m i n i e ş d e ğ e r d e d i r , h a k i k a t e n ( 1 .8 . 1 ) s i s t e m i^ ı - ( nx 1 ^ ) ^2 f o r m u n d a y a z ı l a r a k e l i m i n e e d i l e r e k 2 l ^ 2 = Ç İ>2 2 b u l u n u r . t|ı7 = ıj;;Ç=Â d i y e c e k o l u r s a k ( 1 . 8 . 3 ) if a d e s i n i n ( 1 . 8 . 2 ) ye e ş d e ğ e r o l d u ğ u g ö r ü l ü r . Z a k h a r o v - S h a b a t s i s t e m i n i n g e n e l l e ş t i r i l m e s i A b l o - w i t z - K a u p - N e w e 1 1 - S e g u r f o r m u . B u b ö l ü m d e L a x y a k l a ş ı m ı n d a n f a r k l ı , a n c a k s o n u ç l a n e ş d e ğ e r b i r y a k l a ş ı m s o n u c u t e r s s a ç ı n ı m m e t o d u i l e ç ö z ü l e b i l e c e k l i n e e r o l m a y a n g e l i ş i m d e n k l e m i n i ç ı k a r a c a ğ ı z I 2 , 3 , 4 I . ^ l x = - i ^ l + u ( x ’ t ) '^2 u 2 x = i ^ 2 + u ( x ’ t H 1 g e n e l l e ş t i r i l m i ş Z a k l ı a r o v - S l ı a b a L s i s t e m i n i 4>= ( 1 . 8 . 4 ) \p2 o l m a k ü z e r e L ^ + i Çı^ = 0 f o r m u n d a y a z a b i l i r i z . B u r a d a L = r 'ö 3X - u ■ V 1 1 X p i
-1
o l a r a k d e n l e k e n d i n e eş o p a r a t ö r l e r i ç i n y a p t ı k l a r ı m ı z ı b u r a d a y a p a m a y ı z . A n c a k b e n z e r b i r y ö n t e m l e İL'İ1-3ty e r i n e k o n u r s a d ı f ; ^ z ( - i Ç d x - i a d t ) t J ^ + ( u d x - i b d t ) ^ 2 dıJ;2 = ( v d x - i c d t ) ı J ı 1+( i Ç d x + i a d t ) ( | ; 2 e l d e e d i l i r . 0 = i £ d x + i a d t 0 - u d x + i b d t 2 0 = - u d x + i c d t 1 - f o r m l a r ı o l m a k ü z e r e d ^ 1 = - 0 O ^ 1 - 0 İ ^ 2 dıp2 = - 0 2 (p1 + 0 Ü ^ 2 b u l u n u r
.
r*: \p-r =
e - 0 ( 1 . 8 . 1 3 ) ( 1 . 8 . 1 4 ) ( 1 . 8 . 1 5 ) d i y e c e k o l u r s a k ( 1 . 8 . 1 4 ) i f a d e s i m a t r i s f o r m u n d a dıp + rt|ı = 0 ş e k l i n d e y a z ı l ı r . |_4 3j E x t e r i o r ( d ı ş ) ç a r p ı m l a r d a d x A ı l x r O , d ( ı l x ) = ( ) , ıl x a d y = — d y/\ d x d ( w f ) = d w . f - w A d f o l d u ğ u d ü ş ü n ü l ü r sı d ( dıjj) = - d ( T^) = - d ( 1 . 8 . 1 6 ) 0° 0 1 ' ■♦ıl 02-00
H ( 1 . 8 . 1 7 ) b u l u n u r . ( 1 . 8 . 1 7 ) i f a d e l e r i ( 1 . 8 . 1 4 ) v e ( 1 . 8 . 1 5 ) d ü ş ü n ü l e r e kf o r m u n d a y a z ı l a b i l i r . Bu d e n k l e m d e n A K d S d e n k l e m l e r i n e e d e ğ e r ,10° ' 0 1a 0 2 ^o d 0 1 + 2 0 ° A e 1 =0 ( 1 . 8 . 1 9 ) d 0 2 - 2 0 ° A 0 2 = 0 d e n k l e m l e r i e l d e e d i l i r . 1 . 8 . 1 9 ) d a n g e l i ş i m d e n k l e m i bu l u n a r a k d e n k l e m i m i z ç ö z ü l e b i l i r (_43 J . Ö r n e ğ i n K d V i ç i n 0 1 1- f o r m l a r ı ı ° = ( - 4 i £ 2 + 2 i Ç u - u x ) d t + i Ç d x |1 r ( 4 Ç 2 u + 2 i Ç u - 2 u 2 - u ) d t + u d x X X X |2 = ( - 4 Ç 2 + 2 u ) d t - d x a l ı n ı r s a
d r + r Ar = 0
d e n k l e m i u + 6 u u + u = 0 t x X X X K d V d e n k l e m i n i g e r e k t i r m e k t e d i r . B ö y l e c e K d V n i n ç ü z ü l e b i l i r l i ğ i n i b u r a d a n d a g ö r m ü ş o l u y o r u z , d a h a g e n e l o l a r a k 0 C = ( 4 u • 2 u 2 ) d L - d x 0 ^ = ( u + 2 u + 2 u 2 + 6 u 2 + 4 u ) d t - ( u + l ) d x X X x 0 2 = (- u + u - 2 u 2 - 6 u 2 - 4 u ) d t + ( u + 1 ) d x X X X .<■ • ■ ' a l a c a k o l u r s ak t d r + F A T r O m a t r i s d e n k l e m i ? u + 1 2 uu + 6 u u + u =0 t x x X X X-»a*:*-d e n k l e m i n i g e r e k t i r m e k t e -»a*:*-d i r k i b u K -»a*:*-d V v e M K -»a*:*-d V -»a*:*-d e n k l e m l e r i n i n i k i s i n i d e i ç e r m e k t e d i r .
j 3u 3 ^ u 3"*u
B u r a d a % = 3 Î “ * x = 3^ “ x x x = 3Î T
-26-BÖLOM
2
G E N E L L E Ş T İ R İ L M İ Ş İ K İ B İ L E Ş İ K L İ K d V , B O U S S İ N E S Q D E N K L E M İ V E B U N L A R I N S O L İ T O N B A Ğ L A N T I S I 2 . 1 . K R İ S T A L Ş E B E K E ( C R Y S T A L L A T T I C E ) d e n k l e m i n u z u n d a l g a l i m i t i n d e K d V d e n k l e m i n i v e r d i ğ i b i - 1 i n m e k t e d ir ( A . J e f f r e y a n d T . K a k u t a n i 1 9 7 2 ) K d V d e n k l e m i k r i s t a l ş e b e k e l e r d e u y g u l a m a a l a n l a r ı b u l a n s o l i t o n t i p i ç ö z ü m l e r v e r d i ğ i i ç i n i l g i n ç b i r d e n k l e m d i r . Ş e b e k e d e n k l e m l e r i n i n i n c e l e n m e s i g ö s t e r i r k i , s ü r e k l i o r t a m f o r m u l a s - y o n u i ç i n s a d e c e l i n e e r o l m a y a n e t k i l e r i n d e ğ i l , a y n ı z a m a n d a y e r d e ğ i ş t i r ıue 1 e r i ıı 2 . g r a d y o ıı L 1 e r i n i n de a l ı n m a s ı g e r e k i r . B u g i b i t e o r i l e r 1 9 6 0 1ı y ı l l a r d a b i r h a y l i h e y e c a n u y a n d ı r m ı ş ve k ü p l e g e r i l m e t e o r i l e r i n e y ol a ç m ı ş l a r -B i r b o y u t l u ş e b e k e ( L a t t i c ) d i n a m i ğ i n i t e m s i l e d e n d ı r 1_2 1 |. B i r b o y u t l u ş e b e k e d e n k l e m i n i n i l e t e m s i l e d i l d i ğ i b i l i n m e k t e d i r (A. A ş k a r 1 9 8 1 ) . B u r a d a M 2 p = -r- , E z — , B z 2 k _d
a
B = 2 kd
3 ( 2 . 1 .2 ) ş e k l i n d e t a n ı m l a n m ı ş o l u p , M k ü t l e , a ^ j k ^ , k ^ de o r t a m l a i l g i l i s a b i t l e r d i r .v=-r-p d i y e r e k ( 2 . 1 .1 ) d e n k l e m i dç, 3
| 2 L + V | l
- eİ L i = û
( 2 . 1 . 1 ' )
9Ç a c 3 ş e k l i n e d ö n ü ş t ü r ü l ü r . B u r a d a C = / — , e = - y — —- a o l u p — — y i h m a l e d i l m i ş t i r . p 24 3 3x ( 2 . 1 . 1 ' ) K d V d e n k l e m i d i r . Ş a y e t a 2 u — i h m a l e d i l e m i y e c e k d u r u m d a i s e ( 2 . 1 . 1 ) g e n e l -3x l e ş t i r i l m i ş Û o u s s i n e s q d e n k l e m i n e d ö n ü ş ü r [2 1 ^ . B i r b o y u t l u ş e b e k e d e n k l e m i n e b e n z e r o l a r a k 3. b o y u t l u ş e b e k e d e n k l e m i 2 o .-,2 4 .2. . „2 d u „ 2 .) u 3 u . . . 3u 3 4 , ,, 3u 3 v P— 2 = t l — 2 - A , y ' l â î ~ 2 2 -()t J X J x J X t) X 3_2u - A ı 3 4 u 2 ()X " 3 x 4 3 v - A „ 3 4v .2 0 .2 4 .2 2 ( 2 . 1 . 3 ) 3 v _ 2 3 v . 3 v „ / 3 u 3 v 3 v 3 u. = p ° 2 t ? ■ A * i l e v e r i l i r . B u r a d a C^: e n i n e , C ^ : b o y u n a d a l g a n ı n h ı z ı v e n i n e u b o y u n a d a l g a y ı t e m s i l e d e r . A ^ , A ^ , B , B ^ de o r t a m l a i l g i l i b ü y ü k l ü k l e r d i r . ( 2 . 1 . 3 ) d e n b i r b a k ı m a g e n e l l e ş t i r i l m i ş K d V v e y a g e n e l l e ş t i r i l m i ş B o u s s i n e s q e l d e e t m e k i ç i n y a r ı k a r a k t e r i s t i k k o o r d i n a t l a r ı k u l l a n ı p 2 ,2 — — ^ v e — — X i h m a l e d i l i r s e 3x 3t 3u* * 3u 1 * 3v* 3 3 u’l‘ 0 7 T U 3Ç + 3 V 3 ? - £ l “ 3 =° oi , £l * * ^ 3 * ( 2 .1
9V 3V , „ / * 3 V nJÇ 'J
r \ İ T 7 T ^ ¥ t 3 ( u v V E ı 7 7 3 r 0 A * ' \ * o S l ' ■■ v • . • i »*i ' . ’ i b u l u n u r ki b u g e n e l l e ş t i r i l m i ş K d V o l u p , B u r a d a3 1 3 u , £ 2 . 1 /2 3v î ; x - c , t t: u = ^ v = (— ) ğ ç 2 ^2 d i r . Ş a y e t — — ve i h m a l e d i l e m i y e c e k b ü y ü k l ü k t e 9 t 9t i s e ( 2 . 1 .3 ) g e n e l l e ş t i r i l m i ş B o u s s i n e s q d e n k l e m i h a l i n e d ö n ü ş ü r . ( 2 . 1 .4 ) d e k i e , £ y v e $ o r t a m l a i l g i l i b ü y ü k l ü k l e r d i r .
-28-S o l i t o n b a ğ ı n t ı s ı :Q
^
^
0 = ( a u + a o v ) d t x x 0 - ( - u - o v ) d x + ( 2 a u *1 ^ + u + 4 a o u v + 2 a a ^ v * ^ + a v > ) dt X X X X 0 ^ z a d x - ( 2 a ^ u + 2 a ^ O v ) d t 1 . f o r m l a n a l ı n d ı ğ ı n d a dl’ + l’Aİ' = Ü d e n k l e m i **■
*
* *. * , * *r.
2 v * „ u + a v + u + ö v + 6 a u u + o a a ( u v) + 6 aa v v =0 t t X X X X X X x X X ( 2 . 1 . 5 ) d e n k l e m i n i g e r e k t i r m e k t e d i r . B u r a d a ki a ve 0 k a t s a y ı l a r ı n ı d e ğ i ş t i r m e k s u r e t i y l e ç ö z ü l e b i l i r g e l i ş i m d e n k l e m l e r i n i e l d e e t m e k m ü m k ü n d ü r . | a . l ! s = 0 ( 2 . 1 . 6 ) 9t dx . 3 9x . . 2 K d V d e n k l e m i n i d ü ş ü n ü p e =1 o l m a k ü z e r e w = u + e v d ö n ü ş ü m ü n ü y a p a r s a k ( 2 .1 .6 ) d a n *- * * 2-*-Xr * . ^ Jt, u t + u u +e v v + e v + e ( u v) x x t x ö z d e ş o l a r a k eş. il îr.h e r h a n g i b i r y o l l a e l d e e t m e n i n m ü m k ü n o l u p o l m a d ı ğ ı n ı a r a ş t ı r a l ı m , b u n u n i ç i n e l d e k i i m k a n l a r — * * u ► a u , v * b v , x > c x t > dt ( 2 . 1 .8 ) d ö n ü ş ü m l e r i n i y a p m a k t ı r . B u r a d a ( T -*■ t ; Ç-»-x) B u d u r u m d a - 2 - K 2 a . a a b — = 1 , = 1, — t= ~ £ .. — -8 d c c a 1 c b - Î 1 -n £ b _ _b___ ( 2 . 1 . 9 ) d' = c J Y " ° * c " 3 * 3 = _ e i 2 c o l m a l ı d ı r . ( 2 . 1 . 9 ) d e n k l e m l e r i n d e n a = d , a 2 = c; a ? - - l / e , b = / a 2 g d = a = b* — £ 1 /g zg v e b = - £ ^ c ^ e l d e e d i l i r . G ö r ü l d ü ğ ü g i b i b u r a d a b i 1 i n m i y e n d e n f a z l a d e n k l e m o l u p ç ö z ü m ü n m ü m k ü n o l a b i l m e s i i ç i n 3 = 1 ; e ^ = e 2 s - 1 , o l m a s ı g e r e k i r . B u d u r u m d a ( 2 . 1 . 4 ) d e n k l e m l e r i 3u*
-jpjr+u i£+ v V ç + u f = 0 (2. 1 . 1 0 -a)
v* + (u v* v* =0 ( 2 . 1 . 1 0 - b )
ş e k l i n e g e l i r . B u r a d a n da
( 2 . 1 . 1 0 - a ) ile ( 2 . 1 . 1 0 - b ) ç ı k a r t ı l a r a k
( u - v ) + ( u - v Y [ ( u - v ) 2 ]^-0 ( 2 . 1 . 1 1 -a)
