Lineer adi diferensiyel denklemler için kesin fark şemaları

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

LİNEER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN KESİN FARK

ŞEMALARI

NEVİN YILDIZ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

DOÇ. DR. İLHAME AMİRALİ

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

LİNEER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN KESİN FARK

ŞEMALARI

Nevin YILDIZ tarafından hazırlanan tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS

TEZİ olarak kabul edilmiştir. Tez Danışmanı

Doç. Dr. İlhame AMİRALİ Düzce Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Doç. Dr. İlhame AMİRALİ

Düzce Üniversitesi

Doç. Dr. Şerif AMİROV

Karabük Üniversitesi

Yrd. Doç. Dr. Yıldırım ÖZDEMİR

Düzce Üniversitesi

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

16 Haziran 2017 Nevin YILDIZ

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimimde ve bu tezin hazırlanmasında gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Doç. Dr. İlhame AMİRALİ’e en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Tez çalışmam boyunca değerli katkılarını esirgemeyen değerli hocam Prof. Dr. Gabil AMİRALİ’e de şükranlarımı sunarım.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme ve çalışma arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Bu tez çalışması, Düzce Üniversitesi BAP-2017.05.04.562 numaralı Bilimsel Araştırma Projesiyle desteklenmiştir

Canım Aileme…

İÇİNDEKİLER

SİMGELER ... VI

ÖZET ... IX

ABSTRACT ... VIII

1.

GİRİŞ ... 1

2.

GENEL BİLGİLER ... 3

2.1. Tanımlar ...

3

2.2. Kuadratur Formülleri ...

8

3.

LİNEER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN KESİN FARK ŞEMALARI ...

14

3.1. Kesin Fark Şemaları ...

14

3.1.1. Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklem ...

14

4.

SİNGÜLER PERTÜRBE ÖZELLİKLİ BİRİNCİ MERTEBEDEN DENKLEM İÇİN BAŞLANGIÇ-DEĞER PROBLEMİ

... 20

4.1.

Sürekli Problemin Değerlendirilmesi

... 21

4.2. Fark Şemasının Kurulması ...

24

5.

SELF-ADJOINT SINIR-DEĞER PROBLEMİ

... 28

5.1. Fark Şemasının Kurulması ...

32

6. NÜMERİK SONUÇLAR ... 35

7. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 40

8. KAYNAKLAR ... 41

SİMGELER

A,B Sabit

C Genel sabit

   

x , f x

 Sürekli fonksiyonlar

 Singüler pertürbasyon parametresi

h Şebeke adımı

i Şebekedeki nokta indisi  Fark operatörü L Diferansiyel operatör

 

x p Ağırlık fonksiyonu  1  2 , _i i R R Kalan terimler

   

x u t u , Kesin çözüm

 

x u Sürekli problemin çözümü

 

x

u₀ Uygun indirgenmiş problemin çözümü

i x

u , 𝑢(𝑥) fonksiyonunun 𝑥𝑖 noktasındaki ileri fark türevi

i x

u

, 𝑢(𝑥) fonksiyonunun 𝑥𝑖 noktasındaki geri fark türevi

i x

u

,

0 𝑢(𝑥) fonksiyonunun 𝑥𝑖 noktasındaki merkezi fark türevi i

x x

u

, 𝑢(𝑥) fonksiyonunun 𝑥𝑖 noktasındaki ikinci fark türevi

x, Bağımsız değişkenler t i x Şebeke düğüm noktaları  Reel parametre

 

x i  Baz fonksiyonu

ÖZET

LİNEER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN KESİN FARK

ŞEMALARI

NEVİN YILDIZ Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Doç. Dr. İlhame AMİRALİ Haziran 2017, 45 sayfa

Bu çalışmada, birinci, ikinci mertebeden diferansiyel denklemler ve singüler pertürbe olmuş lineer başlangıç-değer ve sınır-değer problemlerinin sonlu farklar metodu ile nümerik çözümleri ele alınmıştır. Singüler pertürbe olmuş adi diferansiyel denklemlere yönelik fark metotları kurulup, incelenmiştir. Düzgün şebekede kesin fark şemaları yöntemi kullanılarak elde edilen eksponansiyel katsayılı uyarlanmış fark şemaları ele alınmıştır. Fark şemaları eksponansiyel baz fonksiyonlarından, kalan terimleri integral şeklinde olan ve ağırlık fonksiyonu içeren interpolasyon kuadratür formüllerinden yararlanılarak kurulmuştur. Son olarak, ele alınan diferansiyel denklemlerin nümerik sonuçlarının teorik sonuçlarla uyumlu olduğu görülmüştür.

Anahtar sözcükler: Singüler pertürbe olmuş problemler, Kesin fark şemaları, Adi

ABSTRACT

FITTED DIFFERENCE SCHEMES FOR ORDINARY LINEAR

DIFFERENTIAL EQUATIONS

Nevin YILDIZ Düzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master Thesis

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ilhame AMIRALI June 2017, 45 pages

In this study, we investigate the numerical solutions of first-order and second-order differential equations and singularly perturbed linear initial and boundary-value problems. By the method of integral identities with the using exponential basis functions and interpolating quadrature rules with the weight and remainder term in integral form an exponentially fitted difference scheme on an uniform mesh has been developed. Finally, we show that numerical results are in agreement with the theoretical results.

Keywords: Singularly perturbation problem, Exact difference scheme, Ordinary differential equations, Uniform Convergence.

1. GİRİŞ

Diferansiyel denklemler için singüler pertürbe olmuş problemler, uygulamalı bilim dallarının birçok değişik alanlarında kullanılmaktadır. Örneğin, arıtılmış-gaz dinamik, oşinografi, aerodinamik, meteoroloji, akışkanlar dinamiği, elastik kuantum mekaniği, plastik, akışkanlar mekaniği, yayılma teori ve reaksiyon-difüzyon süreçlerinde karşılaşılmıştır [1], [2].

Singüler pertürbe olmuş problemlere ilgi yaklaşık olarak yirminci yüzyılın başlarında başlamıştır. Araştırmalar esasen asimptotik açılımlar üzerine yoğunlaşmış ve 1960’lı yıllardan sonraki dönemlerde çok iyi sonuçlar elde edilmiştir. Buradaki esas zorluk sınır katlarında kesin çözüm özelliklerinin hızlı bir şekilde kötüleşiyor olmasıdır. Çözüm fonksiyonun türevleri parametrenin küçük değerleri için ince geçiş katlarında sonsuza ıraksar ve klasik nümerik yöntemlerin uygulanması kararsızlıktan dolayı imkansız olur [3]-[5]. Dolayısıyla, kararlı ve küçük parametreye göre düzgün yakınsaklık özelliğine sahip nümerik metotların kurulması büyük önem taşımaktadır.

Singüler pertürbe olmuş lineer başlangıç-değer ve sınır-değer problemlerinin farklar metodu ile nümerik çözümleri ele alınırken ağırlıklı olarak iki tip yaklaşım kullanılmaktadır:

1. Düzgün (eşit aralıklı düğümlerden oluşan) şebekede üstel katsayılı fark şemalarının uygulanması;

2. Sınır katları dahilinde özel kuralla belirlenen düzgün olmayan şebekenin seçimine dayalı fark metotları.

Bunların her ikisinde de amaç diferansiyel problemin özelliklerini daha iyi şekilde ifade edebilecek nümerik metodun kurulmasıdır [6]-[14].

Bu tezde birinci ve ikinci mertebeden diferansiyel denklemler için düzgün şebekede kesin fark şemaları verilmiştir. Kesin fark şemaları yöntemi olarak da bilinen bu yöntem, verilerin düşük düzgünlüklü olması veya diferansiyel çözümün kötü davranışlı olması durumlarında yakınsak fark şemalarının kurulmasına imkan sağlayan bir yaklaşımdır [15]-[19].

Ayrıca, kesin fark şemaları yönteminin, bu kısımdaki diferansiyel operatörlerin ve bu kısımda olmayan diferansiyel operatörlerin singüler pertürbe olmuş durumlarına yönelik uygulamaları da ele alınmıştır [20]-[23].

Bu çalışma 7 bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde konuya giriş yer almaktadır.

İkinci bölümde tez çalışmasında kullanılan genel bilgiler ve özet verilmiştir.

Çalışmanın üçüncü bölümünde aşağıdaki birinci mertebeden adi diferansiyel denklem için başlangıç-değer problemi ele alınmıştır:

(0) , 0 ), ( ) ( ' :       u x x f u x a u Lu

burada a(x) ve f(x)sürekli fonksiyonlardır. x_i ih,ih0,1,... düğümleri kullanılarak uygun kesin fark şeması kurularak nümerik çözüm elde edilecektir [24]-[28].

Dördüncü bölümde singüler pertürbe olmuş birinci mertebeden lineer başlangıç-değer problemi ele alınmıştır [29], [30]:

. ) 0 ( < 0 ), ( ) ( ' : A u l x x f u x a u Lu     

Beşinci bölümde aşağıdaki ikinci mertebeden self-adjoint sınır-değer problemi incelenmiştir:

 

 

 

0 ,

 

, < < 0 , ' ' B l u A u l x x f u x a u Lu       

burada  küçük pozitif parametre, a(x)a0, f(x) yeterince düzgün fonksiyonlar, A _ve B verilmiş sabitlerdir. Her bir durum için problemin bir tek çözümünün varlığı kabul edilmektedir. Bu problemin çözümü genel olarak x0 ve xl _{noktalarında}

olmak üzere iki sınır katına sahiptir. Problemin çözümü için üstel katsayılı fark şeması kurulmuş, yakınsaklık hızı değerlendirilmiştir.

Altıncı bölümde elde edilen sonuçlar değerlendirilmiştir.

2. GENEL BİLGİLER

2.1. Tanımlar

2.1.1. Diferansiyel Denklem

İçerisinde bir değişkenin bilinmeyen bir fonksiyonu ve bu fonksiyonun değişkene göre çeşitli basamaklardan türevleri bulunan denklemlere diferansiyel denklemler denir. Bir diferansiyel denklemde bir veya daha fazla bağımlı değişken olmasına karşılık yalnız bir bağımsız değişken varsa bu denkleme adi diferansiyel denklem denir. Eğer diferansiyel denklem bir tek bağımlı değişkenin iki veya daha fazla sayıda bağımsız değişken cinsinden türevlerini içeriyorsa, böyle denkleme kısmi diferansiyel denklem denir [31], [32]. 2.1.2. Lineer Denklemler Genel şekli ( ) ( ) ... ( ) 0( ) ( ) 1 1 1 1 x y a x y a x y b x a y x a n n n n        şeklinde olan

denklemlere n. mertebeden lineer denklemler denir. b(x)0 ise denkleme homojen

lineer denklem denir [31].

2.1.3. Başlangıç-Değer ve Sınır-Değer Problemleri

Bilinmeyen fonksiyon ve onun türevlerinin bağımsız değişkenlerinin bir tek noktasında beliren yardımcı şartları, başlangıç şartlarıyla birlikte denklemi oluşturan probleme

başlangıç-değer problemi denir. Bilinmeyen fonksiyonun ve onun türevlerinin bağımlı

değişkenin birden fazla noktasında beliren yardımcı şartlara sınır şartları denir. Bu tür şartların olduğu problemlere sınır-değer problemleri denir [31], [32].

2.1.4. Şebeke ve Şebeke Fonksiyonu

i) Düzgün şebeke:

 

0,l aralığında tanımlanan düzgün şebeke

      _{  }  N l h N i ih x_i h , 0,1,2,..., ; 

şeklindedir.

Burada h şebeke adımı, x -şebeke düğümü, _i y  yi  y(xi), h şebekesinde tanımlı şebeke fonksiyonudur [33]-[36].

ii) Düzgün olmayan şebeke:

 

0,l aralığında tanımlanan



x_i  x x x x x l



 0 ₀ < ₁ < ₂ <...< _N-1 < _N



ayrık noktalar kümesine düzgün olmayan şebeke denir. x_i noktalarına şebeke düğümleri

denir. Şebeke adımı h_i x_i x_i1 şeklinde tanımlanır [23], [37], [38], [39].

2.1.5. Fark Türevleri

 

0,l aralığında tanımlı u(x)fonksiyonunun düzgün şebeke için fark türevleri

aşağıdaki gibidir [40]-[43]: i) h u u uxi i i   1

, - 𝑢(𝑥) fonksiyonunun 𝑥𝑖 noktasındaki ileri fark türevi,

ii) h u u u i i i x 1 ,  

 - 𝑢(𝑥) fonksiyonunun 𝑥_𝑖 noktasındaki geri fark türevi,

iii) h u u u i i i x o 2 1 1 ,   

 - 𝑢(𝑥) fonksiyonunun 𝑥𝑖 noktasındaki merkezi fark türevi,

iv) 2 1 1 , , , 2 h u u u h u u u xi xi i i i i x x        - 𝑢(𝑥) fonksiyonunun 𝑥_𝑖 noktasında ikinci mertebeden merkezi fark türevi.

2.1.6. Regüler ve Singüler Pertürbe Olmuş Problem



P problemi  parametresine bağlı bir problem olsun. Bu problemin u_ çözümünün

0 ) , (u  

L denklemi ile belirlendiği kabul edilsin. Bu tür probleme genelde pertürbe

olmuş problem denir.  0 durumundaki P probleminin çözümü, başka bir deyişle ₀

0 ) 0 , (u0 

L bağıntısı ile tanımlanan problemin çözümü, u olsun. ₀ P problemine ₀ P _

problemine uygun indirgenmiş problem denir. Eğer indirgenmiş P problemi verilmiş ₀

problemle aynı tipe ve mertebeye sahipse, ayrıca her iki problemin de bir tek çözümü varsa, o halde P problemine regüler pertürbe olmuş problem, aksi durumda ise _ singüler pertürbe olmuş problem denir [37], [44]-[49].

Örnek 2.1.1. 1 ) 0 ( 1 < 0 , 0 ) ( ) (      u x x u x u 

başlangıç-değer problemi verilsin. Çözüm fonksiyonu

x

e x u_( ) 

şeklindedir. Uygun indirgenmiş problem

1 ) ( 1 < 0 , 0 ) (     x u x x u

şeklinde olup ’ un pozitif kuvvetlerine göre ... 2 1 1 ) (x   x 2x2  u  

gibi bir seri ile ifade edilmektedir. Ayrıca, keyfi x₀

 

0,l sabiti için limlim ( ) limlim ( ) 1

0 0 0 0      x u x x x u x x  

olur. İndirgenmiş problem ana problemle aynı mertebeden olup, çözümü u₀(x)1 şeklindedir. Dolayısıyla ele alınan bu başlangıç-değer problemi regüler pertürbe olmuş problemdir.

Örnek 2.1.2. 1 ) 0 ( 1 < 0 , 0 ) ( ) (      u x x u x u 

başlangıç-değer problemi verilsin. Çözüm fonksiyonu

_ 

x

e x

u ( ) 

şeklindedir. Burada ’a bağlı olmayan keyfi x₀



0,l



için limlim ( ) limlim ( ) 1

0 0 0 0      x u x x x u x x  

olduğu görülür. Fakat tekrarlı limitlerin eşitliği x0 noktası için söz konusu değildir: 0 limlim ( ) limlim ( ) 1.

0 0 0 0        u x x u x x  

Bu tip eşitsizlikler singüler pertürbe olmuş diferansiyel problemlere has bir özelliktir ve başlangıç veya sınır katının varlığının belirtisidir. Böylece ele alınan problem x0 noktasında bir başlangıç katına sahiptir. Uygun indirgenmiş problemin çözümü

0 ) (

0 x 

u şeklindedir ve bu durumda başlangıç şartı gereksiz bir hal almaktadır.

2.1.7. Ayrık Maksimum Norm

      _{  }  N l h N i ih xi h , 0,1,2,..., ; 

şebekesinde tanımlı ayrık maksimum norm

y   y ,h  y c h max₀iN y

 

xi

şeklindedir.

2.1.8.

 

0,l aralığında Sürekli Maksimum Norm

 

0,l aralığındaki sürekli maksimum norm

u   u , 0,l  y c 0,l max0xl u

 

x

2.1.9. Düzgün Yakınsaklık

 

x

u diferansiyel problemin çözümü, y uygun fark probleminin çözümü, . da belli _i

bir şebeke normu olsun. Eğer ’dan ve h ’dan bağımsız bir C sabiti için yu Ch , p0

p

şeklinde bir eşitsizlik söz konusu ise, bu durumda yaklaşık çözüm kesin çözüme

 

p

h O

hızıyla ’a göre düzgün yakınsaktır denir [37].

2.1.10. Kararlılık

Lineer

Lu f

 

x, xG (2.1) denkleminin

u

 

x, x (2.2) şartını sağlayan çözümün bulunması istensin, burada f

   

x, x _{belirli fonksiyonlar, L}

ve  diferansiyel operatördür.

GG bölgesinde herhangi bir

h h h

şebekesinin kurulduğunu varsayalım.

(2.1)-(2.2) problemine karşılık gelen fark problemi

(2.3)

_hy _h, x_h (2.4) şeklindedir.

Bu problemin belli sınıflardan olan her bir _h, _h

başlangıç veri fonksiyonları ve yeteri kadar küçük hh₀ için bir tek çözüme sahip olduğunu varsayalım.

h h

hy x

(2.1)-(2.2) probleminin başlangıç veri fonksiyonları _h, _h olan çözümü y ile belirlensin. Yeteri kadar küçük _{h ve h ’dan bağımsız} C₁ ve C sabitleri ₂ için

3 2 2 1 1 C h h C h h y y      

eşitsizliği varsa (2.3)-(2.4) fark şeması sağ tarafa ve sınır şartına göre kararlıdır denir. Böylece kararlılık, fark şemasının çözümünün başlangıç veri fonksiyonlarına sürekli şekilde bağlı olduğunu, hem de bu bağlılığın h ’a göre düzgün olduğunu ifade eder [50].

2.2. Kuadratur Formülleri

Fark şemalarının kurulmasında ve incelenmesinde aşağıdaki kuadratür formülleri kullanılacaktır [51]:

   

 



  

  



 



 



_{ }

_{ }

f R dx x p x x b a f a f b f dx x p dx x f x p n b a b a b a            







_{ }  , 1 , (2.5)

burada  reel parametre, p

 

x C

 

a,b ağırlık fonksiyonu, f belirli bir fonksiyondur.





   b _ a n n n b a n f p x dx f K x d f C n veya R ( ) ( ) () ₁( ,) , , 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( )( ) , 0,1 1         s b a x a b x T x Ks  s   s (1 ) , [ , ] ( ( ) ( )) ( ) ) ( a b a f b f b a f a b x       () !,  0; s()0,  <0 s s s T T

   

x f xdx f

 

a,b p

 

xdx R *

 

f , p n b a b a   

_



(2.6)





     b _ a n n n b a n f p x dx f K x d f C n veya R *( ) ( ) () ₁( ,) , , 1 2 (2.7) . , ) , ( ) ( ) ( ) ( ₀ 2 *





    b a b a n f p x dx f K x d f C R    (2.8)

(2.7) ve (2.8) formüllerinde aynı K_s

 

x, fonksiyonunun bulunduğunu belirtelim. Ayrıca,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x K

 

x K

 

x K

 

x K x K x K b x K a x K b K a K b K a K , , , , , , , , , 0 , , , , , 0 , , 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0

























              

olduğu kolayca görülebilir.

Bazı uygulamalarda (2.5) formülü, sağ tarafındaki ikinci terimin kalan terime dahil edilmiş şekliyle kullanılmaktadır.

   

x f x dx p

 

x dx



f

  

b 1

  

f a



R

 

f , p n b a b a          





  burada

 

 



 



_{ }

_{ }

. ,



   b a n n f f a b x x p x R f R  0 

n _{durumu için} Rn

 

f kalan terimi, daha kısa şekilde aşağıdaki gibi yazılabilir:

 





    















b a b a n f dxp x f T x d R  ₀   . Ayrıca n0,p

 

x 1için

 



_

b 

 



 









a d a b b f f R1     olur. p

 

x 1için

  



_

 



_





_



_

 



 

_{ }

_{ } d f a b b n b b a f a b f R n b a n n n 1 1 2 2 1 ! 1 , 2 1  



                     ve ,

 

1 2 1 , 1    p x n  durumu için

 



_

b 

 













a n f f a b d R     2 1

şeklinde yazılabilmektedir.

   

 

 

  , . n b a b a R x f dx x p dx x p x f _       





 burada

 

 

_{   }

  

 



_{ }

 

 

_{   }

 





_{ }

1 , 0 , , , , , * 1 * 1 .        













  n dx x p x x b a nf d x K f dx x p dx x p x x x f n d x K f dx x p R b a b a n n b a b a b a b a n n n         

  

 







 





 

 



 





 



        x K x x n x K x K x T x T x x K n n n n , , , , 0 * * 0 0 *         olduğundan R_nT_n



x



T_n



x  



n



ba

 

1 b



n



x  x



olur.

Asimptotik değerlendirmelerin bulunmasında bazen aşağıdaki diferansiyelleme formülünden yararlanılır: ( ) ( ₀; ₁) ₀( , ) ( ) , g C2, _{0 1}. 1 0                 x g

_

K x g d x g (2.9)

2.3. Klasik Fark Şemaları

Fark şeması bir lineer cebirsel denklem sistemidir.

Herhangi bir fark probleminin uygulanmasında aşağıdaki aşamalar söz konusu oluyor: i. Fark şemasının kurulması

ii. Ele alınan problemin çözümünün varlığı ve tekliği iii. Fark şemasının kararlılığı

iv. Fark probleminin yakınsaklığı ve yakınsama hızının belirlenmesi v. Fark problemi için uygun bir realizasyon algoritmasının belirlenmesi.

Genelde klasik fark şemaları düzgün şebekede kararsızlıkları ve ’a göre düzgün yakınsak olmamaları nedeniyle kullanışlı olmamaktadırlar.

Diğer yandan, fark şemasının önemli özelliklerinden biri diferansiyel problemin sağladığı özelliklerin ayrık benzerini sağlamasıdır.

Sonlu Fark Yöntemleri

Diferansiyel denklemlerin sonlu farklar metodu ile çözümünde klasik fark şemalarının düzgün şebekedeki uygulanması kapalı bölgede kesin çözümün belli türevlerinin sınırlı olmasını gerektirir. Fakat birinci türevler bile genelde sınırlı değildirler. Bu nedenle de klasik fark şemalarının düzgün şebekede uygulanışı ya kararsız ya da ıraksak olmaktadır. Verilen bir diferansiyel problemde türevlerin belli bir yolla fark problemine dönüştürülmesi sonucu elde edilen metoda sonlu fark metodu denir [37], [52]-[55]. Metodun faydası: Diferansiyel denklemlerin çözümüne her zaman ulaşılamayabilir, fakat lineer sistemler her zaman çözülebilirdir.

2.3.1. Euler Şemaları Hakkında Genel Bilgi

Birinci mertebeden

 

 

A u l x u x f u     0 < < 0 , 0 , 

başlangıç-değer problemi için klasik fark şemalarını ele alalım.

Burada u

 

x çözüm, f

 

x,u _{verilen fonksiyon,} A _{sabit ve}  0.

 

a u f

2.3.1.1. Açık Euler Şeması





A y N i y x f h y y i i i i        0 1 _{, 0, 0,1,..., 1}  şeklindedir.

Burada y ,_i x_i düğüm noktalarındaki yaklaşık çözümdür. Bu şemanın kapalı aralıkta yakınsak olabilmesi için u

 

x C olmalıdır. Fakat kapalı aralıkta birinci türevlerin

bile sınırsız olduğu bilinmektedir.

Örnek 2.3.1.

 

0 1. 0 , 0      u x u u  Kesin çözüm

 

 x e x u   şeklindedir. Birinci türev fark türevi ile ifade edilirse,

1 , ,..., 1 , 0 , 0 0 1        y ih x i y h y y i i i i 

olur. Yaklaşık çözümün hatası x noktasında ₁ y₁ u

 

x₁ şeklindedir.

 

1 ,  h e x u    h y₁ 1

olduğu dikkate aldığında, özel olarak ℎ = 𝜀 alınırsa

 

1 1 1 1       u x h e e y h  

elde edilir, yani düzgün yakınsama yoktur. Sonuç olarak, Açık Euler şeması ne kararlı ne de yakınsaktır.

Aşağıda vereceğimiz Kapalı Euler ve Crank-Nicolson şemaları ise kararlı fakat yakınsak değildirler. Çünkü kalan terimleri h0için sıfıra gitmiyor.

2.3.1.2. Kapalı Euler Şeması





A y N i y x f h y y i i i i      _ 0 1 ,..., 1 , 0 , 0 , 

şeklindedir. Bu, her bir i için bir nonlineer skaler denklemdir ve nonlineer eşitlikler için uygun algoritma uygulanarak çözülebilir. Bu şema mutlak kararlıdır fakat yakınsak değildir.

Yakınsak olması için şemanın kararlı olması ve kalan teriminin sıfıra gitmesi gerekmektedir. 2.3.1.3. Crank-Nicolson Şeması



 





f x y f x y



i N h y y i i i i i ,..., 1 , 0 , 0 , , 2 1 1 1 1          şeklindedir.

Bu şemanın hatası daha az, kararlılık performansı ve kesinliği daha yüksektir. Klasik fark şemalarının kullanımı singüler pertürbasyon parametresi  _{küçük olduğu zaman} zorluk çıkarabilir. Bu sebepten böyle problemler için daha kullanışlı metotlar geliştirmek önemlidir. Aşağıdaki çok kullanılan bir yaklaşımdan bahsedelim.

2.3.1.4. Üstel Katsayılı Fark Şemaları

   

 

 

0 A, u x f u x a x u     

başlangıç-değer problemine karşılık kurulan







     h a a N i f y a h y y y L i i i i i i i i i i N           , exp 1 ,..., 1 , 1

fark şeması küçük parametreye göre düzgün yakınsak şemadır. Yaklaşım hatası



i i i



i Lu R f R  

   





   

_



 

 



 



          i i i i x x i i i x x i i i i h a x a x u x x dx h f x f x x dx R 1 1 1 1 1 1    

şeklindedir. Buradaki baz fonksiyonları

 

x ai



x_i x



i N i exp , 1,...,      _{ }   

şeklindedirler. Hata değerlendirmesi için

yu  Ch

3. LİNEER ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER İÇİN KESİN

FARK ŞEMALARI

3.1. Kesin Fark Şemaları

Bu kısımda birinci, ikinci mertebeden diferansiyel denklemler ve singüler pertürbe olmuş diferansiyel denklemler için düzgün şebekede kesin fark şemaları verilmektedir. Kesin fark şemaları yöntemi, verilerin düşük düzgünlüklü olması veya diferansiyel çözümün kötü davranışlı olması durumlarında yakınsak fark şemalarının kurulmasına imkan sağlamaktadır.

Verilen şebekenin düğüm noktalarında fark şemasının çözümü uygun diferansiyel problemin çözüm değerleri ile çakışıyorsa, bu fark şemasına kesin fark şeması denir [35], [37].

3.1.1. Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklem İçin

0 ) 0 ( 0 ), ( ) ( :       u x x f u x a u Lu

başlangıç-değer problemi verilsin. Burada a(x) ve f(x)sürekli fonksiyonlardır.

,... 1 , 0 ,  ih i

x_i düğümleri kullanılarak kurulan uygun kesin fark şeması aşağıdaki gibidir.

İlk önce klasik şema ve kesin fark şemasını tanımlayalım. Klasik şema

 

, , 0 , ,..., 2 , 1 0 2 0 1        _ y T C u N i f y a h y y i i i i i

kesin fark şeması ise

    0 , , 1,2,... u i F u A u B _{i i i} i x i (3.1)

şeklindedir. Burada





, ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 dx x x f h F dx x x a h A dx x x a x x h dx x h B i x x i i x x i i x x i x x i i i i i i i i i i    









             ) (x i  fonksiyonu ise ( ) 1 < < , 0 ) ( 1      _ x x x x x a i i i   

başlangıç-değer probleminin çözümü olup

 

   i x x d a e x i    ( )

şeklinde açık ifadesi de yazılabilir. (3.1)’ in doğruluğunu gösterelim. dx x x f h dx x x Lu h _i x x x x i i i i i ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1  





    _

özdeşliğinden başlayalım. (2.5) formülü n1, p(x)i(x) için kullanılırsa





1 (1) 1 1 1 1 ) ( ) ( , ) ( ) ( _i x x i x x i i i x dx f x x h f x x dx R x u h i i i i           





     _{ }





   

_xi i i i i i i u x x x f x f x x f _, 1 1 1,        ) 1 ( 1 , 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( _i x x i x x i x i x dx u h f x x dx R x u h i i i i           





    _{ }

) 2 ( 1 , 1 1 ) ( ) )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 i i x x i i x i x x i x x i i x dx h a x x dx u u h a x x x x dx R x u x a h i i i i i i                    

_





      _{  } eşitlikleri yazılabilir.

(2.7) formülünden R_i(1)kalan teriminin ifadesi



( ) ( )



, ) ( ) ( 1 1 1 1 0 1 ) 1 ( _{   } d x x h x T u dx x h R i i i i x x x x i i i





      _{   }  

(2.8) formülünden de R_i(2)kalan teriminin ifadesi







   x dx u T x h x x d x a h R i i i i x x x x i i i





     _{   }  1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ 1 ₁ 1 ) 2 ( şeklinde yazılır. ax ax i i

e

x

)



 

(



çözümü dikkate alındığında , ) ( ) ( ) ( ) exp( 1 ) ( ) ( ) ( ) exp( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp( ) exp( ) exp( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp( ) exp( 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 ) 1 (













                                      _                  i i i i i i i i i i i i x x i x x i x x i i i i x x x x x x i i i d x T u h u h x x h ah h h u h x x d x T u h ah h h u x x h d x T u a ax a ax h ax a d u x x h d x T u dx ax h ax a R              





















                      _           _                 i i i i i i i i i i i i x x i x x i i i i x x i i i i x x x x x x i i i d x T u h u h x x h ah h h u h x x d x T u ax ax h ax h u x x h d x T u ax ax h ax d u x x h d x T u dx ax x a h ax R 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) exp( 1 ) ( ) ( ) ( exp( ) exp( ) exp( ) ( ) ( ) ( ) ( exp( ) exp( ) exp( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp( ) ( ) exp( 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) 2 (              

elde edilir. Böylece R_i(1)R_i(2) 0 ifadesinin doğruluğu, dolayısıyla (3.1) kesin şemasının doğruluğu tespit edilmiş olur.

Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklem İçin Özellikler

a)



 

 





  

         i i i i x x i i x x i i i x dx x h x x x h 1 1 1 1 1   

bağıntısı ve _i

 

x başlangıç-değer problemi dikkate alınırsa B_i _i

 

x_i1 şeklinde ifade edilir. İspat.

 



    

 



  



    

, , 1 1 1 1 1 1 1 1 1









                  i i i i i i i i x x i i x x i i i i i x x i i x x i i dx x x a x x h x x x h x B dx x x a x x h dx x h B     



    



  

 

 

, 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a h a h e h dx e e x dx xe e a h dx e x dx xe a h dx x x dx x x a h dx x x x a h dx x x a x x h ah x x ax ax i x x ax ax x x x x ax ax i ax ax i x x i x x i x x i i x x i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i                                                        

















           



  

 

 

a h a h e h dx xe ae x h dx e ae x h dx xae h dx e a x h dx x x h dx x x h x x x h ah x x ax ax i x x ax ax i x x ax ax x x ax ax i x x i x x i i x x i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1                       _{ }           















         

olup B_i _i

 

x_i1 şeklindedir.

b) a, f ‘nin sabit olması durumunda 

 

ax ax i i e x     

 

ax x  ah i i i x e e B  ii      1 1  , 

   

 









, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ah e a A ih x e e ah e dx e h e dx e h dx e h dx x x a h A ah i i ax ax ax x x ax ax x x ax ax x x x x a x x i i i i i i i i i i i i i i i i i i i                          









 , 

   

 









ah e f F ih x e e ah e dx e h e dx e h dx e h dx x x f h F ah i i ax ax ax x x ax ax x x ax ax x x x x a x x i i i i i i i i i i i i i i i i i i i                          









1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  olur.

Fark şemasının her iki tarafı _        ah e ah 1 ifadesine bölünürse, 1 , , au  f i u _i i x  elde edilir. Burada

ah ah e e ah     1  şeklindedir.

4. SİNGÜLER PERTÜRBE ÖZELLİKLİ BİRİNCİ MERTEBEDEN

DENKLEM İÇİN BAŞLANGIÇ-DEĞER PROBLEMİ

Bu kısımda singüler pertürbe olmuş

Lu:ua

 

xu  f

 

x , 0<xl (4.1) u

 

0  A (4.2) problemi ele alınacaktır. Burada -küçük pozitif parametre, 

 

x 0, f

 

x

yeterince düzgün fonksiyonlar, A verilmiş sabittir. Düzgünlük derecesi yeri geldiğinde somutlaştırılacaktır ve her bir durum için (4.1)-(4.2) probleminin bir tek çözümünün varlığı kabul edilecektir. (4.1)-(4.2) probleminin çözümü genel olarak, x0 noktasında bir sınır katına sahiptir [3], [56].

Örnek 4.1.

 

0 1 0 , 0      u x u u  (4.3) probleminin x0 noktasında başlangıç katı içerdiği bilinmektedir.

 

x



x l



u 1 0 

olmasına rağmen bu fonksiyon x0 civarında ani değişme göstermektedir ve  0 iken türevler sınırsız olmaktadır. Gerçekten de, (4.3) probleminin çözümünün

 

        x x u exp (4.4)

olduğu göz önünde bulundurulursa

 

_{   }

_{1 exp }  

_{ }

_{0  , 0}          k u ve x x u k k k k  k  

elde edilir. (4.4) fonksiyonunun

 

1  x u

şartını sağlayabilmesi için xln olması gerekmektedir.

Şimdi de (4.1)-(4.2) probleminin nümerik çözümü için kesin fark şemaları yöntemi yardımıyla üstel katsayılı fark şeması kurularak, bunun şebeke adımının birinci derecesiyle düzgün yakınsak olduğu ispatlanacaktır.

4.1. Sürekli Problem

Fark şemasının yakınsaklığının incelenmesinde u(x) _{çözümü için bazı asimptotik}

değerlendirmelere ihtiyaç vardır.

Lemma 4.1.1. ( Maksimum Prensibi)

 

x C

 

l

v  1 0, fonksiyonu Lv

 

x 0



0 xl



, v

 

0 0 şartlarını sağlayan fonksiyon olsun. Bu durumda v

 

x 0



0 xl



olur.

İspat. Aksini varsayalım: öyle bir x₁ 0 noktası vardır ki, v

 

x₁ <0. v

 

0 0 olduğundan v

 

x₀ 0 ve v

 

x <0



x₀ <x<x₁



şartlarını sağlayan bir x₀ noktası

vardır. Bu durumda Ortalama Değer Teoremi’ ne göre, öyle bir x₂



x₀, x₁



bulunur ki,

     

<0 0 1 0 1 2 x x x v x v x v    

olur. Buradan ve v

 

x₂ <0olduğundan Lv

 

x₂ <0 olur. Bu ise Lemma 4.1.1’in hipotezi ile çelişir.

Lemma 4.1.2. Her v

 

x C1

 

0,l fonksiyonu için

v

 

x v

 

Lv

 

s x l l s        0 , max 0 0 1  (4.5) değerlendirmesi doğrudur.

İspat. Kolayca görülebilir ki, 

 

x v

   

x  v  sl Lv

 

s xl  0 , max 0 0 1  fonksiyonu için

 

0 0  ve

 

       

0 max

 

0 0 1          s Lv x a v x a x Lv x L l s 

olur. Buradan ise Lemma 4.1.1’e göre 

 

0 0



x₀ <x<x₁



olur. Bu da (4.5) eşitsizliğini verir.

Lemma 4.1.3. (4.1)-(4.2) probleminin çözümü için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır:

u

 

x C, 0xl; 

   

x ,f x C

 

0,l ise, (4.6) u

 

x C 1 1exp ax , 0xl ;a

   

x ,f x C1

 

0,l                  ise, (4.7) u

 

x C, 0 xl ;a

   

x ,f x C1

 

0,l ,a

 

x A f

 

0 ise. (4.8)

İspat. Önce (4.6)’nın doğruluğunu gösterelim. (4.1)-(4.2)’ ye göre Lemma 4.1.2’ yi

uygularsak, u

 

x A a sl f

 

s    0 1 max

elde ederiz. Bu da (4.6) eşitsizliğinin doğruluğunu gösterir.

Şimdi (4.7)’nin doğruluğunu gösterelim. (4.1) denkleminden

 

   

  C A a f x u  1 0  0  (4.9)

yazılabilir. Ayrıca (4.1) denkleminin türevi alınırsa

elde edilir. Burada

v

 

x u

 

x ve

 

x  f

     

x ax u x 

olur. (4.10) eşitliğinden v

 

x için

   

 

 



 

       s ds _ s ds d v x v x x x







_                0 0 1 exp 1 1 exp 0 (4.11)

eşitliği elde edilir. (4.11) ifadesinin sağ tarafındaki birinci terim (4.9) eşitsizliğine göre değerlendirilirse

 

 

             



     x C ds s v x exp 1 exp 0 0 (4.12)

olur. (4.11) eşitliğinin sağ tarafındaki ikinci terim (4.6)’ ya göre değerlendirilirse,

 

 

_{ }

     





 

     

C ax a x u x a x f d x a x u x a x f d ds s a l x l x x                              _             







             exp 1 1 max 1 exp max 1 1 exp 1 1 , 0 0 , 0 0 0 (4.13)

ifadeleri bulunur. (4.12) ve (4.13) eşitsizlikleri (4.11) ifadesinde yerine yazılırsa, (4.7)’ nin doğruluğu görülür. (4.8)’ e gelince;

 

0 

   

0  0 0   A a f u

olduğundan, bu eşitsizliğin doğruluğu (4.11) ve (4.13)’ den çıkar.

4.2. Fark Şemasının Kurulması

Genelde klasik fark şemaları düzgün şebekede, kararsızlıkları ve ’a göre düzgün yakınsak olmamaları nedeniyle (4.1)-(4.3) probleminin çözümüne uygulanamazlar.

Diğer yandan, fark şemalarının önemli niteliklerinden biri, diferansiyel problemin sağladığı özelliklerin ayrık benzerlerini sağlamalarıdır. Klasik fark şemalarının genelde belirtilen özelliklere sahip olmadığını ifade eden bir örnekle başlayalım.

Örnek 4.2.1.

 

0 1 0 , 0      u x u u 

problemini ele alalım ve bu problem için Açık Euler şemasını yazalım:

1 ,... 1 , 0 , 0 0 ,      y i y y ly_i  _{xi i} (4.14) burada , 1 , h y y y i i i x   

h şebeke adımıdır. (4.14)’den





i i y  1 bulunur          h . Buradan y_i 



1



i, i0,1,... yaklaşık çözümünün 1

durumunda istenmeyen salınımlı özellik taşıdığı görülmektedir. y’ler sırasıyla pozitif ve negatif değer almaktadırlar. Buna karşın kesin çözümün

 

i

i e

x

u   değerleri azalan pozitif bir grafik çizmektedir. Ayrıca (4.4) ifadesinden u

   

x₁ u h exp

 

 _bulunur. Buradan  1



h



kabul edilirse,

lim ₁

 

exp

 

1

0   

 y u h

h

olur. Başka bir deyişle, ’a göre düzgün yakınsaklık yoktur. y_i fark operatörünü

0 , 1 1 1 1        _   y_ y i y_{i i i}   

şeklinde yazalım. Buradan da, maksimum prensibinin sağlanabilmesi için  1 olması gerektiği anlaşılmaktadır. 1 şartı ise pratik olmayan ağır bir şarttır. Eğer (4.3) probleminin çözümü için 1 0 , 0 0 1 ,     _ y i y yxi i 

Kapalı Euler şeması kullanılırsa, ayrık maksimum prensibi koşulsuz sağlanacaktır, fakat yine de ’a göre düzgün yakınsaklık olmayacaktır.

Örneğin, y₁ 



1



1 ve  1 için

 

exp

 

1 2 1 1u h    y olur.

Şimdi (4.1)-(4.2) problemi için fark şemasının kurulmasına geçelim.

 

0,l aralığında       _{   }  N l h N i ih xi h , 1,2,..., 1,  şebekesini kuralım ve

   

x x dx h f

   

x xdx i N Lu h i i i i x x i i x x i i , 1,2,... 1 1 1 1 1 1 _{ }





      _{  }  (4.15)

özdeşliğini ele alalım. Burada

 

x



xi x



i N i i exp , 1,2,...      _{ }     ,

 





        h x dx h i i x x i i i i     



  , exp 1 1 1 .

 

x i  fonksiyonunun

   

 

1 < < , 0 1      _ i i i i x x x x x x a     (4.16)

probleminin çözümü olduğunu da belirtelim. (4.15) eşitliğini aşağıdaki şekilde düzenleyelim:

   

   

, 1 1 1 1 1 1





          i i i i x x i i i i x x i i i h  u x xdx a  h u x x dx f R  (4.17)

   



x x



u

   

x x dx h



f

   

x f x



 

x dx h R _i x x i i i x x i i i i i i i      

_

_

          1 1 1 1 1 1 . (4.18)

(4.17) eşitliğinin sol tarafına kesin fark şemaları yöntemi uygulanarak ve (4.16) bağıntısı göz önünde bulundurularak

   

 

     

   

x

 

  

_xi x i i i x x i x x i x x x x i i x i u dx x x x x a h u dx x x a h dx x x u x a h dx x h u dx x x u h i i i i i i i i i i , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 ,                             











              

eşitlikleri elde edilir.

(4.17) eşitliğinin sol tarafına kesin fark şemaları yöntemi uygulandığında

 

   

 

  



  

xi i i x x i i i i x x i i i i x i x x i i x x i i i x u a u dx x x x a h dx x x x x a h u u dx x x a h dx x h u i i i i i i i i                                       









             , 1 1 1 , 1 1 , 1 1 1 1 1             (4.19)

eşitliği elde edilir. Basit işlemler sonucunda



  













_              _       _{ }   





  i i i i i i i x x i x x i i x x x x dx x x x x dx x x x i i i i          exp exp 1 1



  

_

_{ }

_i



i i x x i i i i i i dx x x x h             



    exp exp 1 1 1 1 1 1

olduğu görülebilir. (4.17) ve (4.19) bağıntıları göz önüne bulundurulursa, (4.1)-(4.3) probleminin

A y N i f y a y y _{i i i} i x i i      0 , 1,2,..., :  

fark şeması sunulabilir. Burada



 

i



i i i _        exp exp 1 şeklindedir.