Diferansiyel Denklemler I

Çalışma Soruları –3 1/13 Diferansiyel Denklemler I

Çalışma Soruları –3 19.12.2014

A. Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulunuz.

1. x dy^. -(y+y dx²)^. = 0 2. 2

. ex

y y

¢ + = y , y( )0 = 1

3. 1 ₂

2 ( )

x xyy

n x y

+ ¢=

+

 4. y¢-e^{x y+} +e^x = 0 5. yy¢-x y² ¢²=0 6. (x²-y y) ¢+ =x 0

7. xy¢+ = y n y( )¢ 8. x y³ ¢-y²-x y² =0 9. xy¢²+yy¢=xy¢+y

10. y ²

x y

y ^¢

- =

¢

11. (x xy dy- )^.. -(y+y dx²)^. = 0 12. y=xy¢²+1

Not: Çözüm metodu olarak: “Tam dif.denk”. ve “integrasyon çarpanı belirleyerek Tam dif.

hale getirme” sınıflandırma ve metotları kullanılmayacak!

B.

2

1 y y2

y¢ = + -x x denkleminin y₁=x^k şeklinde bir özel çözümünü belirleyerek genel çözümünü bulunuz.

C. Aşağıdaki denklemlerin C-diskriminant eğrilerini belirleyiniz, integral eğrilerinin zarfı var mı? varsa bulunuz, sonuç olarak tekil çözüm hakkında ne söylenebilir? Açıklayınız.

1. A10 daki denklem 2. y xy- ¢=e^y¢ (önce genel çözüm bulunacak)

D. y¢ = ^.xy denkleminin aşağıdaki başlangıç koşullarını sağlayan çözümlerinin varlık ve tekliğini araştırınız

Not: “yöntem olarak: yalnızca V-T. Teoremleri kullanılacak”; “Teoremlerin sonuç vermediği durumlar, bu durumda ne söylenebileceği ile birlikte açıklanmalı”; “Genel çözümler

bulunmayacak”

1. y(1) 1= , 2. (0) 1y = , 3. 1

( 1) 2

y - =-

Çalışma Soruları –3 2/13 Çözümler…

(son güncelleme : 19.12.2014)

Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs.. olabilir..

kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız..

Bazı soruların tam çözümleri yapılacak, bazılarının ise yol göstermelerle birlikte genel çözümler sorunun başında verilecektir. y

y d p

x

¢ =d = gösterimini kullanacağız!

A1. x dy^. -(y+y dx²)^. = : 0 1 y cx

= cx -

I. yol : Değişkenlerine Ayrılabilir Denklem : ^{. 1} ₂ ^.1.

.dy dx

y y = x

ò

+

ò

^{(y ¹ - ) 0, 1}

II.yol : Bernoulli Denklemi: Denklemin her iki tarafı x dx^. e bölünürse,

1 1 2

y y y

x x

¢- = y¢ +p(x)y=q(x)yⁿ

 ( ) 1

p x = - , x ( ) 1 q x = x

III.yol : Guruplandırma:

2

2

( )

. .

y

x d x

x dy y dx y dx



=

- =  ₂ ^. ( .

1 y)

d dx

y x x æ ö÷ = ç ÷ç ÷ çè ø

A2. (Bernoulli Denklemi)

2 .

ex

y y

¢ + = y



2 2

y x

y y

¢ + = e (1)

) (

( ) ⁿ

y¢ +p x y=q x y 

( 21 ) p x = ,

.

( ) 2^x q x =e

(1) denkleminin her iki tarafını y ile çarpalım, daha sonra aşağıdaki dönüşümü yapalım:



.

2

2.

1 2

ex

yy¢ + y = y² = , z z=z x( ) 2yy¢ =z¢

Çalışma Soruları –3 3/13



..

1 1

2 2 2

x

z¢+ z=e her iki tarafı ile 2^.. çarpıyoruz z¢ + =z e^x (lineer denklem)  y¢ +p( )x y=q( )x  p x( )= , 1 q x( )=e^x

Şimdi lineer denklemi, z=uv dönüşümü ile çözelim:

z=uv, ( )u=u x , ( )v=v x z¢ + =z ex

z^¢=u v uv^¢ + ^¢

üïï ýï

ïþ ^

^{(0 )}

v v x

u uv u v u u uv e

=

¢ + ¢+ = ¢+ + ¢=

 u¢ + =u 0

 u=e^-ò ^{p x( ).dx}=e^-ò^.dx=e^-x (dikkat, integral sabiti 0 seçiliyor)

 uv^¢=e^x  v^¢=e e^{x x}=e^2x  v=

ò

^.e^2x.dx

 1 ² 2

e x

v= +c ( v nin tespitinde: c integral sabitini eklemeyi UNUTMAYINIZ! )

 z=uv den ^.1 ² 2

x

z=e^-xçèæçç e +cøö÷÷÷ .

Şimdi denklemin verilen Başlangıç-Koşulundan sağlayan çözümünü bulalım.

(0) 1

yani y0 için 1 ...

x y

= üïï

= = ýïïþ  genel çözümden: ² 1 ^{0 0}

1 =2e +ce^-  1 c =2

2 idi z y=

 ² 1 2

x x

y = e +ce^- _[Genel Çözüm_]

O halde istenilen çözüm : ² 1 1

2 2

x x

y = e + e^-

Çalışma Soruları –3 4/13

A3. 1 ₂

2 ( )

x xyy

n x y

+ ¢=

+

 : ^(x+y2)

(

^{- +1 n x( +y2)}

)

^{= +c n x}

2

(1 2 ) 1

( )

u u

x yy

n x y

= ¢

=

+ ¢ =

+

 



ß xu 1

¢ = nu



x+y2= u

ß (x-e göre türev) 1 2 y+ y ¢ =u¢

A4. y¢-e^{x y+} +e^x= : 0 ^.1 1 . 1

y x

e e

n e

 ^{- -} -

- =

Değişkenlerine Ayrılabilir Denklem :

x y x 0

y¢-e e +e =  y¢ =e e^x( ^y- 1)

 ^. 1 . ^.

1 .

x

y dy e dx

e =

ò

-

ò

^{(y ¹ ) 0}

A5. (Birinci Mertebeden Türeve göre Çözülemeyen (Kapalı formda) Denklem / Çarpanlara Ayırma M.) yy¢-x y² ¢²=0

2 2 0

p

y -x p =  p(y-px²)=0 

ìïïï íï ïïî

p= 0  y¢ =0 (1)

2 0

y-px =  y-y x¢ ²=0 (2)

Şimdi (1) ve (2) denklemlerini ayrı ayrı çözelim:

(1) : y¢ =0

in G.Ç.

(1) y=c₁

(2) : y-y x¢ ²=0  ^..1 ^.. 1₂

dy dx

y ⁼ x

ò ò

^{(y ¹ ) 0} _{(2) nin G.Ç.}^{ y=c e2 -1/x}

Çalışma Soruları –3 5/13

A6. (x²-y y) ¢+ =x 0 : 2x²+ =1 2y ce+ ^-2y

Bernoulli Denklem ( x in y-e göre):

dx y

dy^{+ = -}x x

dx ( ) ( ) ⁿ x

dy+p y =q y x  p y( )= , 1 q y( )= - y

A7. (Lagrange Denklemi) xy¢+ = y n y( )¢

xp+ = y np  y=- +xp np (1) y=x^.j( )p +y( )p (Lagrange D.)  ( )j p =-p, ( )y p =np

Şimdi (1) de p= p x( ) olarak düşünüp, denklemin her iki tarafının x-e göre türevini alalım:



1

p

d d d

d xd

x x

y p

p p dx

p

=

-

=- +  ( 1)^.d 2

x dp

p x p

- + =

Şimdi son denklemin her iki tarafını p ye böleceğiz ve düzenlediğimizde lineer bir denklem edeceğiz! [p= durumunu incelemek gerekir ise: denklemin bu durumda tanımsız olacağı 0 açıktır, dolayısıyla bu durumdan bir çözüm elde edilemez!]

0

p¹ ^{1 1}₂

2 2

p p

dx x

d + = p

(x in p ye göre lineer denk.) (p) ( )

dx x

y r q p

d ^{+ =}

ve nin

. . G.Ç.den

(1) (2)

 .

1 2 1/

(y c- )(y c e- ^{- x})=0 [Çözüm]

Çalışma Soruları –3 6/13 Lineer denklemin G.Ç.:

.

1 p p. x= - + c

İnceleyip ara işlemleri yapınız!

Kontrol için: x=uv dönüşümünden

. .

u 1

= p ,

. .

1 c

v= - p + bulmalısınız!



ìïïï íï ïïî

.

1 p p.

x c

= - + (2)

p np x

y=- + (1)

Son olarak (2) deki x i, (1) de yerine yazılır ve düzenlenirse,



ìïïï íï ïïî

. .

1 c x= - +p p

1 .

y= -c p+ np

Parametrik Çözüm elde edilir.

A8. x y³ ¢-y²-x y² =0 : x²- =y cxy

Bernoulli Denklem:

2 3

1 1

y y y

x x

¢- =

y¢ +p(x)y=q(x)yⁿ

 ( ) 1

p x = - , x ( 1₃ )

q x = x

A9. xy¢²+yy¢=xy¢+y : (y x c xy c- - ₁)(^. - ₂)=0

Birinci Mertebeden Türeve göre Çözülemeyen (Kapalı formda) Denklem /

Çarpanlara Ayırma M.  (y 1)^.(y ^y) 0

¢- ¢+x =

Çalışma Soruları –3 7/13 A10. (x=j( , )y p Formundaki Denklem) y ²

x y

y ^¢

- =

¢

x 2 y

p p

= + (1)

Şimdi (1) de p= p( )y olarak düşünüp, denklemin her iki tarafının y-ye göre türevini alalım:

 ²

1/

2 1

p

d d d

d d

p p

p y

p p x

y dy

y

=

= + -

 (2 y₂)^. p 0

p d

p dy

- = (2)

Şimdi (2) nin çözümü ile ilgileneceğiz:

I.Durum: (2p ₂) 0 p

- y =

 2 ³₂ p y 0

p - =



ìïïï íï ïïî

2p3- =y 0 (3)

x 2 y

p p

= + (1)

(3) den p çekilir, (1) de yerine yazılıp düzenlenirse;

3/ 2

2 3

y= æ ö÷çç ÷çè øx÷ elde edilir. Dikkat edilirse bu denklemin bir çözümüdür.

II.Durum: dp 0

dy⁼  _

ìïïï íï ïïî

p= c (4)

x 2 y

p p

= + (1)

Dikkat edilirse, yukarıdaki bağıntılarda p yi yok elde etmek mümkün: (4) deki p, (1) de yerine yazılırsa;

 ² y x c

= + c [Genel Çözüm]

Çalışma Soruları –3 8/13 A11. (Darboux Denklemi)

.. .

(x xy dy- ) -(y+y dx2) = 0 

( )

2dx d 0

y -xy y+ xdy-ydx =

-

( )

( , )dx ( , )dy ( , ) 0 M x y +N x y +P x y xdy-ydx =

2

( , ) t2 2 t

M x tyt = - y = M, N tx ty( , )= -t²xy=t²N

 M , N: 2.mertebeden, P:0.mertebeden homojen fonksiyonlar (Darboux D.)

y=xz dönüşümü, ² y ²

xdy ydx x d x dz

x æ ö÷ç

- = ç ÷çè ø÷= ^dy=zdx xdz+ denklemde yazalım:

 -

( )

xz dx x xz zdx² -

( )(

+xdz

)

+x dz² =0

 -2x z dx x zxdz^{2 2} - ² = -x dz² , şimdi her iki tarafı _{2 2}¹ 2x z dz

- ile çarpalım (z ¹0)

 ^{1 1}₂ 2

dx x

dz+z = - z (Lineer D.) elde edilir.

Bu denklem çözülür ise 1 1 ^{.. .}

x 2 n z c

zæç  ö÷

= ççè- + ÷÷ø bulunur, y z= idi x

(z =0 dan çözüm gelir mi? inceleyiniz.)

A12. y=xy¢²+1 : ^{y= +1 x}

(

^{1-c x}

)

²

I. yol : Birinci Mertebeden Türeve göre Çözülemeyen Denklem /

( , )

y=j x p , özel olarak Lagrange Denklemi y=x^.j( )p +y( )p

II. yol : y=xy¢²+1  y 1

y x

¢ =  -

Değişkenlerine Ayrılabilir Denklem

B. (Riccati denklemi) Öncelikle,

2

1 y y2

y¢ = + -x x denkleminin özel çözümünde (yani

1 k

y =x da ) sözü geçen k yı belirleyelim: y denklemi sağlar ₁

 1 ^{.. .} 2

y n y c

 x

= - + _[Genel Çözüm_]

Çalışma Soruları –3 9/13



1 12

1 1 y y2

y¢ = + x - x den ^. _

0 .

1 2

2. 1 .

k k

x

k x

k xx

x x

-

=

= + -

( )

.

.

1

1 1 2 2

1 1 1

. 0

. 1

k k

k k

k

k

k x k

x x x x

x k

x x

- - -

- + -

- -

=

= + -





+ -

1 1

.k x^{- +k} 1 x^k-

 = + - den k =1 olduğu görülür!

I.Aşama: Şimdi denklemi, y= +z y₁ dönüşümü ile bir Bernoulli denk.i haline getirelim:

y= +z x, ( )z=z x

2

2 z 2 2

y = + xz+ x 1 y¢ =z¢+

üïïï ýï ïïþ



y²₂ y 1 y¢ + x - =x

 ² 2₂ ²

1 z x x

x x

z x z

z¢+ + + + - + =

1₂ ² 2 1

1 1 1 1

z z

z x x x

æ ö÷

= +¢ +çççè - ÷÷ø + - + =

 z ¹z ¹₂ ²

x z

+ = -x

¢ (Bernoulli denklemi)

II.Aşama: Şimdi Bernoulli denk.i, lineer denk. haline getirip çözelim:

Bernoulli denk.nin her iki tarafını z² ile bölelim, daha sonra aşağıdaki dönüşümü yapalım:

 1₂ 1 ¹ 1₂

z z

z x x

+ - = -

¢ z^-1=u , ( )u=u x

z z^-2 ¢ =u¢ -

 1 1₂

u u

x x

- +¢ = - _..

-1

her iki tarafı ile çarpıyoruz u ¹u ¹₂

x x

¢- = (lineer denklem)

 y¢ +p( )x y=q( )x  ( ) 1

p x = - , x ( 1₂ )

q x = x

Şimdi lineer denklemi, integrasyon çarpanı bulma metodu ile çözelim :

Çalışma Soruları –3 10/13

( ).dx 1x.^dx nx 1

e p x e e

v x

-ò -

= ò = = ^ = bulunur.

Şimdi lineer denklemin her iki tarafını 1

v= x ile çarpalım:



( )

2 3

1 oldugu görülür!

1 1 1

xu vu

u u

x x x

æ ö÷¢

= ¢=çççè ø÷÷

¢- =



 ¹u ¹₃

x x

æ ö÷¢

ç ÷ = ç ÷ çè ø

Şimdi son denklemin her iki tarafının integralini alalım:

. .

3

1 1

x dx

xu=

ò

^ 2

1 2

1 2

u x c

x =- +

 1₂ 2 2

u x c

x

æ ö÷

= -çççè + ÷÷ø



1 1 idi u= =z y x

-

 1 1₂ 2 2

x c

y x x

æ ö÷

= -çççè + ÷÷ø

- , düzenlenirse::

C1. y ²

x y

y ^¢

- =

¢ denkleminin genel çözümü: ² y x c

= + idi. c

 2 ₂

1 y x x

= + cx

- + ^[Genel Çözüm^]

Çalışma Soruları –3 11/13

² y 0

x c c

f= - - = (1)

_c 2 y₂ 0 c c

f = - + =

(2)

üïïï ýï ïïþ



(2) den c çekilir 2 y₂

c=c  ³ 2 c = y

(1) düzenlenip, bu değer kullanılırsa,

 ² y ³

c c

x c y

f = = + = c+

 2

3

x y 2y

c = + =y

 küpünü alalım, ^{.. 3 3 3}

/ 2

27

y 8 c x y

=

=  4x³-27y²=0 (C-dis. eğri)

Şimdi C-dis. Eğrisi: integral eğrilerin zarfı olabilir mi araştıralım. Derste verilen yeter koşulun sağlanıp sağlanmadığına bakacağız:

.

.

2 2

1.

0

1 1

. 1 0

x y

xc yc

c c c

f f

f f = = ¹

-

, _cc 2 ²₃y 0

f = - -c ¹ (y¹c³ için)

 Teoremin koşullar sağlanacaktır

 4x³-27y²=0 : intg.eğrilerinin zarfıdır  Tekil çözümdür.

(Ek gözlem: zarf varsa: c-dis. tarafından içerileceğinden, int.eğrilerin başka zarfı yoktur diyebiliriz.)

C2. (Clairaut denklemi) y=xp e+ ^p (1)  y=x^.p+y( )p .

Şimdi (1) de p= p x( ) olarak düşünüp, denklemin her iki tarafının x-e göre türevini alalım:



p p

d d d

d xd

x x

p p

p e dx

y

=

+ +

=  ( ^p)^.d 0 e

x p

+ dx =



(

^{x e+ p= 0}

)

çè^æçç^dp_dx ^{= ÷0}ø^ö÷÷ ^ bu soruda amaç genel çözümü belirlemek olduğu için dp 0

dx = bölümünden devam edelim.

Çalışma Soruları –3 12/13 p= c

y=xp+e^p (1)

üïïï ýï ïïþ



Genel çözüm: y=cx e+ ^c

f= y-cx e- ^c=0 (2)

f_c= - -x e^c =0 (3)

üïïï ýï ïïþ



(3) den c çekilir - =x e^c c=n^.(-x)

(2) yazılırsa, y x- -xn^.(-x)= (C-dis. eğri) 0

Şimdi C-dis. Eğrisi: integral eğrilerin zarfı olabilir mi araştıralım. Derste verilen yeter koşulun sağlanıp sağlanmadığına bakacağız:

.

.

. 0 .

1 1

1 0

x y

xc yc

f f c

f f

- =

- ¹

= , f_cc= -e^c¹0  Teoremin koşullar sağlanacaktır

 y x- -xn^.(-x)= : intg.eğrilerinin zarfıdır 0  Tekil çözümdür.

D. y¢ = f x y( , ),

f = .xy 2 .

x f

y= xy

¶

¶

üïï ýï

ïþ

Bu fonksiyonlar

{

( , ) ²:

⁽

0, 0

^{) (}

0, 0 de Süreklidir.

⁾ }

ve

.G= x y Î x> y>  x< y<



0< <e 1 için (1,1) in civarı G nin içerisinde kalır yani U_e(1,1)ÍG 



ßVarlık-Teklik Teo.(Sonuç Teorem) den, D=U_e(1,1) Denklemin; (1) 1y = koşulunu sağlayan x₀=1 in bir civarında

{ }

(

^.xÎ^:. x- <¹ h^. , yeterin.h ce küçük

)

çözümü var ve tektir.

(0,1) noktası için: süreklilik bozulacağından; derste Sonuç Teorem olarak verilen Varlık- Teklik Teoreminin koşulları sağlanmayacaktır. Dolayısıyla bu Teo. uygulanamaz ve çözümün varlığı-tekliği hakkında bir şey söyleyemeyiz.

Çalışma Soruları –3 13/13 [Ek gözlem: Şimdi özel olarak yalnızca Varlık Teo (Peano) bakarsak ((0,1) de: f

y

¶

¶ tanımsız ancak f tanımlı, bu nedenle çözümün varlığını inceleme gereği duyduk) : f fonksiyonu

( ) ( )

{

^{( , )x y Î2: x³0,y> 0 x£0,y<0}

}

da süreklidir. Dikkat edilirse, (0,1) bu kümenin elemanıdır ancak, bu küme (0,1) in bir civarını içermez. (gözlemlemek gerekir ise: x =0 ın

 deki her civarında negatif değerler de bulunur  “x₀<0 için kümenin tanımı gereği ( ,1)x0 noktasını içermez” ) . O halde Varlık-Teo.nin koşulu sağlanmaz dolayısıyla sadece çözüm varlığı hakkında bir şey söyleyemiyoruz.]

( 1, 1)

- -2 noktası için: (1,1) için yapılanlara benzer şekilde (ancak bu sefer, 1 0< < e 2 alınacak), denklemin; ( 1)y - = - koşulunu sağlayan 1 x₀=-1 in bir civarında

{ }

(

^.xÎ^:. x+ <¹ h^. , yeterin.h ce küçük

)

çözümü var ve tektir.