Fuzzy topolojik uzaylar kategorisinde homoloji teori

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ * FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

FUZZY TOPOLOJİK UZAYLAR KATEGORİSİNDE

HOMOLOJİ TEORİ

DOKTORA TEZİ

Kubilay TOPKAYA

Anabilim Dalı: Matematik

Danışman: Doç. Dr. Sadi BAYRAMOV

ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR

Bana bu konuda çalışma olanağı sağlayan, bilgi ve tecrübelerinden faydalandığım, çalışmalarımda daima destek ve yardımlarıyla yanımda olan danışman hocam Sn. Doç. Dr. Sadi BAYRAMOV´a, akademik çalışmalarımda beni yüreklendiren ve desteğini esirgemeyen hocam Sn. Prof. Dr. Halis AYGÜN´e ve Sn. Doç Dr. Ahmet KÜÇÜK´e teşekkür ederim.

Ayrıca daima özverili ve sevgi dolu olan anneme, babama, kardeşlerime ve mutluluk kaynağım öğrencilerime teşekkür ederim.

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR...i İÇİNDEKİLER ...ii SEMBOLLER... iii ÖZET ...v İNGİLİZCE ÖZET...vi BÖLÜM 1. GİRİŞ...1 BÖLÜM 2. ÖN BİLGİLER ...6 2.1. Ters ve Düz Spektrler ...6

2.2.Spektral Homoloji Teori ...10

2.3.Singüler Homoloji Teori ...12

2.4.Fuzzy Topolojik Uzaylar ...14

2.5.Fuzzy Homotopiler ...22

2.6.Fuzzy Modüller...31

2.7.Fuzzy Zincir Kompleksler ...33

2.8. Tensör Çarpımları ...36

2.9. Ters Limitler ...40

BÖLÜM 3. FUZZY KÜMELERDE HOMOLOJİ TEORİ ...42

BÖLÜM 4. SPEKTRAL HOMOLOJİ TEORİ...57

4.1.Fuzzy Topolojik Uzayların Homoloji Grubu...57

4.2. Kesme Aksiyomu...65

4.3.Homotopi Aksiyomu...69

4.4.Sınır Operatörü ve Tamlık Aksiyomu...74

4.5. Süreklilik ...80

BÖLÜM 5. FUZZY MODÜLLERİN ZİNCİR KOMPLEKSİ...88

KAYNAKLAR ...99

SEMBOLLER

λ

A : A fuzzy kümesinin λ kesimi

α

a : L- fuzzy nokta

(

)

[

X Z

]

B_n ,τ , :

(

X,τ

)

uzayının singüler n- sınırı

CC : zincir kompleksler kategorisi

(

)

[

X Z

]

Cn ,τ , :

(

X,τ

)

uzayının singüler n- zincir grubu

( )

X

C_q : q- boyutlu zincir grup

( )

X

Cov : X uzayının açık örtümlerinin kümesi

( )

Top

Dir : topolojik uzayların düz spektirler kategorisi

q

∆ : q- boyutlu simpleks

E : fuzzy ekspiyonensal dönüşüm f : ters spektirin morfizması f′ : f kümesinin tümleyeni

o

f : f kümesinin içi f : f kümesinin kapanışı

Z

fgm_Λ : fuzzy derece sol Λ−modüllerin kategorisi

0

G : G fuzzy kümesinin destek kümesi

(

)

[

X Z

]

H_n ,τ , :

(

X,τ

)

uzayının singüler n- homoloji grubu

( )

C

H θ : fuzzy derece modülü

q

H : homoloji funktoru

q

H : kohomoloji funktoru

( )

X

H_q : X uzayının q- boyutlu homoloji grubu

( )

L

I : monoton azalan dönüşümlerin kümesi

( )

L In

: L- fuzzy esas n-küp

( )

Top

Inv : topolojik uzayların ters spektirler kategorisi

A

χ : A kümesinin karakteristik fonksiyonu

n

ξ : L-fuzzy singüler n- küp

I

ξ : I üzerinde Öklid alt uzay topolojisi X

←

lim : ters spektrin limiti

X

→

lim : düz spektrin limiti

( )

L

M : L latisinin indirgenemez elemanlarının kümesi

( )

X

L

M : X kümesinin L-fuzzy noktalarının kümesi

(

M,µ

)

: fuzzy modül

µ : derece fonksiyonu N

M ⊗ : M ve N modüllerinin tensör çarpımı

ν

µ⊗ : µ ve ν derece fonksiyonlarının tensör çarpımı

nervf : f örtümünün simplisial kompleksi

(

X,τ

)

P : fuzzy yolların ailesi

(

X,τ

)

Sn : L-fuzzy singüler n- küpler kümesi

( )

M

S : derece fonksiyonların kümesi

n

τ : çarpım topolojisi

2

Top : topolojik uzayların çiftler kategorisi

C

θ : fuzzy zincir kompleks

(

X,τ

)

: fuzzy topolojik uzay

X : X topolojik uzayının ters spektiri X : X topolojik uzayının düz spektiri

(

)

[

X Z

]

FUZZY TOPOLOJİK UZAYLAR KATEGORİSİNDE HOMOLOJİ TEORİ

Kubilay TOPKAYA

Anahtar Kelimeler: Fuzzy topolojik uzay, Fuzzy homotopi, Fuzzy homoloji grup, Fuzzy modüller, Fuzzy zincir kompleks.

Özet: Tezde fuzzy topolojik uzaylarda ve fuzzy kümelerde verilen fuzzy homotopi kavramını kullanarak fuzzy topolojik uzaylar kategorisinde homoloji gruplar tanımlanmaktadır ve bu gruplar için homoloji teorinin aksiyomlarının sağlandığı gösterilmektedir. Daha sonra inşa edilen Cech homoloji teorinin süreklilik özelliği ispatlanmaktadır. Son olarak fuzzy zincir kompleksler kategorisinde fuzzy homoloji modüllerin dizisinin tamlığı ispatlanmaktadır.

HOMOLOGY THEORY IN THE CATEGORY OF FUZZY TOPOLOGICAL SPACES

Kubilay TOPKAYA

Keywords: Fuzzy topological space, Fuzzy homotopy, Fuzzy homology group, Fuzzy modules, Fuzzy chain complex.

Abstract: In this thesis, homology groups in the category of fuzzy topological spaces are defined by using fuzzy homotopy concept given in the fuzzy sets and the fuzzy topological spaces. It is shown that axioms of homology theory are provided for these groups. Afterwards, the continuity property of Cech homology theory that was built is proved. Finally, the exactness of the sequence of fuzzy homology modules with the category of fuzzy chain complexes is shown.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

Cebirsel topolojinin temel amaçlarından biri ele alınan topolojik problemin cebirsel probleme dönüştürülmesi ve bu cebirsel problemin çözümünden yararlanarak topolojik problem hakkında bilgi elde etmektir. Cebirsel topolojinin bu tür problemlerin çözümünde yıllardan beri gelişen kendine özgü yöntemleri vardır. Bu yöntemlerden en önemlileri homoloji ve kohomoloji homotopik teorilerdir. Homoloji ve kohomoloji gruplar için ele alınan topolojik nesnenin invaryantları olarak yedi aksiyomun sağlanması gerekmektedir. Bu aksiyomlardan en önemlileri homotopi, tamlık ve kesme aksiyomlarıdır.

Bilindiği gibi matematikte en önemli problemlerden biri topolojik uzayın alt uzayında verilen fonksiyonun tüm topolojik uzaya genişletilmesi problemidir. Bu problem hakkında çok fazla sonuç elde edilmemiştir. Bununla ilgili en önemli teorem Tietze genişletilme teoremidir. Cebirsel topolojinin yöntemleriyle bu problem daha kolay hale getirilebilir. Diğer topoloji problemlerinden kaldırım problemi de cebirsel topolojinin yöntemleriyle çözülebilir.

Cebirsel topoloji yöntemlerin sadece topolojide değil matematiğin ve fen bilimlerinin çeşitli alanlarında da uygulamaları vardır. Örneğin uygulamalı matematiğin varyasyonel hesabında homotopik teori kullanılmaktadır. Ayrıca kuantum fiziğinde kohomoloji teorinin sonuçları önemli bir yer tutmaktadır.

Cebirsel topolojik uzaylar kategorisinde üç önemli homoloji ve kohomoloji teori inşa edilmiştir. Bunlardan biri poliyedirler kategorisinde tanımlı geometrik yapısı olan simplisial homoloji teoridir. Bu teorinin tüm topolojik uzaylar kategorisine genişletilme problemi bir çok matematikçi için güncel bir probleme dönüşmüştür. Bu tür genişletilme problemi biri Cech diğeri ise shape teorisi olmak üzere iki farklı

yöntemle çözülmeye çalışılmıştır. Simplisial homoloji teorinin iyi yönü homoloji ve kohomoloji grupların geometrik yapı kullanılarak daha kolay hesaplanmasıdır. Kötü yönü ise bu teorinin tüm topolojik uzaylarda tanımlı olmayışı ve bunun sonucu olarak genişletilmede tamlık ve homotopi aksiyomlarında problemlerin ortaya çıkmasıdır.

İkinci önemli teori olan singüler homoloji teori tüm topolojik uzaylar kategorisinde tanımlanmıştır. Fakat singüler homoloji grupların topolojik uzaylar için hesaplanması oldukça zor bir problemdir.

Üçüncü önemli teori olan spektral homoloji teori, simplisial ve singüler homoloji teorilerin iyi özelliklerini içermektedir. Bu teori hem singüler homoloji teoride olduğu gibi tüm topolojik uzaylar kategorisinde tanımlı hem de bu teorinin inşasında poliyedirler kullanıldığı için homoloji grupların hesaplanması daha kolaydır.

İlk olarak 1965 yılında Zadeh, L. A., fuzzy (bulanık) küme tanımını vermiştir [44]. Daha sonra topolojiciler fuzzy kümelerde topoloji tanımlayarak klasik topolojik uzaylardaki kavramları ve teoremleri fuzzy topolojik uzaylarda vermeye ve ispatlamaya çalışmışlardır. Fuzzy kümelerde topoloji kavramı ilk olarak Chang, C. L. tarafından verilmiştir [4].

Yapılan taramalar ve incelemeler fuzzy topolojik uzaylar kategorisinde cebirsel topolojinin yöntemlerinin neredeyse hiç kullanılmadığını gösterdi. Bunun nedeni uygun homotopi kavramının verilmemesidir. Aslında fuzzy topolojik uzaylarda homotopi kavramının verilmesinde üç farklı yaklaşım izlenmektedir.

Birinci yaklaşım verilen topolojik uzayın topolojisi fuzzy kümelerin bir desteği olarak ele alınan fuzzy topolojiden yararlanarak fuzzy birim aralığını tanımlayarak homotopi bağıntısının verilmesidir [33,34].

İkinci yaklaşım monoton azalan fonksiyonları kullanarak fuzzy birim aralığının tanımlanması ve bundan yararlanarak fuzzy topolojik uzaylar kategorisinde fuzzy

homotopi kavramının verilmesidir [5,12,30,32,41]. Bu verilen fuzzy homotopinin bir denklik bağıntısı olup olmadığı bilinmemektedir.

Üçüncü yaklaşım [18] deki fuzzy kümelerle kümeler arasındaki bağlantıyı kullanarak fuzzy kümelerde farklı bir topoloji tanımlayarak fuzzy kümeler arasındaki dönüşümlerde fuzzy homotopinin verilmesidir [7,13,15]. Bu homotopi bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğu ispatlanmamaktadır ve bu bağıntı tüm fuzzy topolojik uzaylara genişletilememektedir. Fuzzy topolojik uzaylar kategorisinde Wang-Jin, L. , Chong-You, Z. [38] tarafından verilen fuzzy birim aralığını kullanarak singüler homoloji grup tanımlanmış ve bu grubun fuzzy homomorfizma altında invaryant olduğu ispatlanmıştır. Daha sonra Salleh A.R. tarafından bu singüler homoloji grubun fuzzy homotopi bağıntısına göre invaryant olduğu ispatlanmıştır [32]. Daha sonra Salleh, A., R. tarafından bu singüler homoloji grubun fuzzy homotopi bağıntısına göre invaryant olduğu ispatlanmıştır [32].

Görüldüğü gibi cebirsel topolojinin yöntemleri fuzzy topolojik uzaylar kategorisinde pek fazla yer almamıştır. Burada fuzzy topolojik uzaylar kategorisinde ele alınan fuzzy homotopilerden yararlanarak homoloji teorinin tüm aksiyomlarını sağlayan bir teori inşa etmek amaçlanmaktadır.

Ayrıca Salleh, A. , R. [33,34] tarafından verilen homotopiden yararlanarak tüm topolojik uzaylar kategorisinde Cech homoloji teori inşa edilmektedir

Çuvalcıoğlu-Citil [7] tarafından verilen homotopiden yararlanarak fuzzy kümelerde başka bir homotopi inşa edilmektedir.

Bu çalışmalar için fuzzy topolojik uzaylar kategorisinde gerekli olan fuzzy normallik, fuzzy dönüşümler uzayı, fuzzy uzayların ters düz spektirleri hakkında incelemeler yapmak gerekmektedir. Fuzzy normallikle ilgili [20,40] çalışmaları yapılmıştır. Fuzzy dönüşümler uzayı ile ilgili [1,22] çalışmaları yapılmıştır. Fuzzy uzayların ters düz spektirleri ile ilgili [10,11] çalışmaları yapılmıştır.

Homoloji teorilerin inşasında en fazla kullanılan yöntem topolojik uzaylar kategorisinden zincir kompleksler kategorisine ulaşma yöntemidir. Bundan ötürü

fuzzy gruplar ve fuzzy modüller konusunda da incelemeler yapılmıştır. Fuzzy gruplar ve modüllerle ilgili [21,23,24,29,31,46,47] çalışmaları yapılmıştır. [2] de Ameri ve Zahedi tarafından fuzzy zincir kompleks, fuzzy zincir homotopi ve fuzzy homoloji gruplar tanımlanmıştır. Fakat fuzzy homoloji grupların tam dizisi oluşturulmamıştır. Bundan dolayı tezin son bölümünde fuzzy modüllerin fuzzy zincir komplekslerinin fuzzy homoloji tam dizisi ile ilgili araştırma yapılmıştır.

Tez, birinci bölüm giriş olmak üzere beş bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde tez çalışmasıyla ilgili ön bilgiler verilmektedir. Üçüncü bölümde fuzzy kümelerde [7] de verilen topolojiden yararlanarak fuzzy kümeler kategorisinde homoloji teori inşa edilmektedir. Tez çalışmasının temel bölümü olan dördüncü bölümde fuzzy topolojik uzayların fuzzy açık örtümlerinden yararlanarak Cech homoloji (kohomoloji) gruplar tanımlanır ve bu gruplar için kesme, homotopi ve tamlık aksiyomlarının geçerli olduğu ispatlanır. Bölümün sonunda ise tanımlanan homoloji grubun süreklilik özelliği araştırılmaktadır. Beşinci bölümde ise fuzzy zincir komplekslerin fuzzy homoloji gruplarının tam dizileri oluşturulmaktadır.

BÖLÜM 2. ÖN BİLGİLER

2.1. Ters Düz Spektirler

Eğer

(

A,≤

)

yarı sıralı kümesinde her x,y∈A için x≤ z, y≤ z sağlanacak şekilde

A

z∈ varsa

(

A,≤

)

kümesine yönlendirilmiş küme denir. A yönlendirilmiş bir küme, her α∈A için X bir topolojik uzay ve her _α α <α′∈A için p_αα′ :X_α′ → X_α sürekli bir fonksiyon olsun.

Tanım 2.1.1. Eğer

1) Her α∈A için _αα _{α α}

α X X

p =1_X : → 2) Her α <α′<α′′ için p_αα′′ = p_αα′o p_αα_′′′

koşulları sağlanıyorsa X =

(

{ }

X_{α α∈A},

{

p_αα′:X_α′ → X_α

}

_α<α′∈A

)

ailesine topolojik uzayların ters spektri denir [9].

A yönlendirilmiş bir küme, her α∈A için X bir topolojik uzay ve her α α <α′∈A

için q_αα′:Xα → Xα′ sürekli bir fonksiyon olsun.

Tanım 2.1.2. Eğer

1) Her α∈A için q_αα =1_Xα :Xα → Xα

koşulları sağlanıyorsa X =

(

{ }

Xα _α∈A,

{

q_αα′ :Xα →Xα′

}

_α<α′∈A

)

ailesine topolojik uzayların düz spektri denir [9].

(

X,≤

)

,

(

Y,≤′

)

iki yarı sıralı küme ve f :X →Y bir fonksiyon olsun. Eğer her

X y

x≤ ∈ için f

( )

x ≤′ f

( )

y sağlanıyorsa f fonksiyonuna izoton fonksiyon denir.

{ }

{ }

(

X A p A

)

Y

(

{ }

Y B

{ }

r B

)

X = _{α α∈} , _αα′ _α<α′∈ , = _{β β∈} , _ββ′ _β<β′∈ topolojik uzayların ters spektrleri,

A B→

:

ϕ izoton örten dönüşüm ve her β ∈B için f_β : X_{ϕ( )β} →Y_β sürekli bir fonksiyon olsun.

Tanım 2.1.3. Eğer her β <β′∈B için

( ) ( ) ( ) ( ) β β β β β ϕ β ϕ β β β ϕ β ϕ Y Y f f X X r p →  ↓ ↓   →  ′ ′ ′ ′ ′ (2.1)

diyagramı komütatif ise

(

{

_{( )}

}

)

B Y X f A B f = ϕ: → , _β : _{ϕ β} → _{β β∈} ailesine X ters spektrinden Y ters spektrine giden dönüşüm denir [9].

Tanım 2.1.4.

(

{ }

{ }

)

(

{ }

{ }

)

B B A A q Y Y r X X ∈ ′ < ′ ∈ ∈ ′ < ′ ∈ = = β _{β β} β β β α α α α α α _{, , , topolojik uzayların}

düz spektrleri, φ: A→B izoton örten dönüşüm ve her α∈A için fα :Xα →Yφ( )α

sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer her α <α′∈A için

( ) ( )( ) ( )α φ α φ α α α α α φ α φ α α ′ ′ ′   →  ↓ ↓ →  ′ ′ Y Y f f X X r q (2.2)

diyagramı komütatif ise f =

(

φ:A→B,

{

fα :Xα →Yφ( )α

}

_α∈A

)

ailesine X düz spektrinden Y düz spektrine giden dönüşüm denir [9].

Tanım 2.1.5. X =

(

{ }

X_{α α∈A},

{

p_αα′:X_α′ →X_α

}

_α<α′∈A

)

topolojik uzayların ters spektri olsun.

∏

∈A

X

α α

topolojik çarpım uzayının

{ }

( )

      _{∈ ∀ < ′∈ =} ′ ′ ∈

∏

αα α α α α α X α α A için p x x x A :

alt uzayına X ters spektrinin limiti denir ve X

←

lim ile gösterilir [9].

Tanım 2.1.6. X =

(

{ }

Xα _α∈A,

{

q_αα′ :Xα → Xα′

}

_α<α′∈A

)

topolojik uzayların düz spektri,

α α X X A ∈ ⊕ = topolojik toplam ve

{

α

}

α α α X X i A ∈ ⊕ →

: gömme fonksiyonların ailesi

olsun. Ayrıca X uzayında denklik bağıntısı aşağıdaki biçimde verilsin,

α α α α _∈ ′_∈ ′ X x X

x , için x ~α xα′ ⇔q_αα′′

( )

xα =q_αα_′′′

( )

xα′ koşulunu sağlayan

α α α

α′′> , ′′> ′ olacak biçimde α′′∈A vardır.

X uzayının bu denklik bağıntısına göre bölüm uzayına X düz spektrinin limiti

denir ve X

→

lim ile gösterilir [9].

Tanım 2.1.7. X bir topolojik uzay , A⊂ X olmak üzere nesneleri

(

X ,A

)

şeklindeki çiftler, morfizmaları ise

(

,

)

(

,

)

,

: X A Y B

f → f :X →Y, f

( )

A ⊂B (2.3)

şeklindeki dönüşümler olan kategoriye çiftler kategorisi denir ve 2

Top ile gösterilir

[35] .

Tanım 2.1.8. f,g:X →Y topolojik uzayların sürekli dönüşümleri olsun. Eğer aşağıdaki koşulları sağlayanF: X×I →Y dönüşümü varsa

{ }0 f,

F _X× = F _{X×{ }1} = g (2.4)

F dönüşümüne f ile g arasında homotopi, f ve g dönüşümlerine homotop

dönüşümler denir [35]. ( )

{

}

(

B A f X Y B

)

f = π : → , _β : _{π β} → _{β β∈} , ( )

{

}

(

B A g X Y B

)

g= ρ: → , _β : _{ρ β} → _{β β∈} (2.5)

ters spektrlerin morfizması için aşağıdaki tanım verilir.

Tanım 2.1.9. Eğer her β∈B için α >π

( )

β ,α >ρ

( )

β koşulunu sağlayan α∈A

varsa ve f o_β p_πα_{( )β} ile g o_β pα_{p( )β} homotopik ise f,g: X →Y morfizmalarına spektral homotopik morfizmalar denir. Eğer f o_β p_πα_{( )β} =g o_β pαp_{( )β} ise bu durumda

f ve g morfizmalarına kanonik spektral homotop morfizmalar denir f g

s

~ ile

gösterilir [14].

Benzer olarak topolojik uzayların düz spektirler kategorisinde homotopi bağıntısı tanımlanır.

Teorem 2.1.10. Inv

( )

Top

[

Dir

( )

Top

]

topolojik uzayların ters (düz) spektrler kategorisinde spektral homotopi bağıntısı denklik bağıntısıdır [14].

Teorem 2.1.11. Inv

( )

Top ve Dir

( )

Top kategorilerinde bileşke işlemi spektral homotopi bağıntısına göre invaryanttır [14].

2.2. Spektral Homoloji Teori

Top topolojik uzaylar kategorisi olsun. Her X ∈Toptopolojik uzayı için Cov

( )

X

olarak X uzayının tüm açık örtümlerinin ailesi gösterilir.∀α∈Cov

( )

X için

( )

{ i }i∈I,

= α

α ∀i∈I için α açık kümedir ve

( )

i

U

( )

i X

∈

=

Tanım 2.2.1. α ={α( )i}i∈I, β =

{

β

( )

j

}

j∈J, X uzayının iki örtümü olsun. Eğer her

( )

β

β j ∈ için β

( )

j ⊂α

( )

i sağlanacak biçimde en az bir α

( )

i ∈α varsa bu durumda

β örtümüne α örtümünün bir inceltilmesi denir [9].

Başka bir ifadeyle her j∈J için β

( )

j ⊂α

(

p

( )

j

)

koşulunu sağlayan p:J →I

dönüşümü varsa β örtümüne α örtümünün bir inceltilmesi denir ve β >α biçiminde gösterilir.

X uzayının tüm Cov

( )

X açık örtümler kümesi “>” bağıntısına göre yönlendirilmiş bir kümedir.

( )

{ i }i I ∈Cov( )X

= α ∈

α keyfi açık örtüm olsun. Her α

( )

i ∈α kümesine karşı bir nokta alınsın ve tepe olarak düşünülen bu nokta i ile gösterilsin, yani I indisler kümesi tepeler kümesidir.

(

i₁,i₂,K,i_k

)

için α

( )

i₁ ∩α

( )

i₂ K∩α

( )

i_k ≠0 koşulu sağlanıyorsa

(

i₁,i₂,K,i_k

)

bir simpleks olur. Bu şekildeki simpleksler ailesi bir simplisial kompleks oluşturur ve bu simplisial kompleks nervα ile gösterilir.

( )

{

j

}

j∈J

= β

β >α ={α( )i }i∈I, olsun, yani β

( )

j ⊂α

(

p

( )

j

)

olacak biçimde p:J →I dönüşümü vardır. p dönüşümü nerv simplisial kompleksinin tepelerini β nervα

simplisial kompleksinin tepelerine taşır [9].

Teorem 2.2.2. Eğer β >α ise keyfi

α β nerv nerv

p

p, ′: → (2.6)

dönüşümleri simplisial denktirler, yani her s∈nervβ simpleksi için p

( )

s ve p

( )

s′

simpleksleri nervα simplisial kompleksinde aynı simpleksin sınırlarıdır [9].

{

}

( )

{

[ ]

}

(

nervα α∈Cov X , pαβ :nervβ →nervα α<β

)

(2.7)

simplisial kompleksler ve simplisial dönüşümlerin denklik sınıfları bir ters spektir oluşturur. Bu ters spektre H homoloji funktoru uygulanırsa grupların ters spektri q

elde edilir. Bu spektrin limitine X topolojik uzayının q−boyutlu homoloji grubu denir. Ters spektrlerin homoloji grupları için homoloji teorinin aksiyomları sağlanır [9].

2.3. Singüler Homoloji Teori

Tanım 2.3.1. Rq+1 öklid uzayında ∆q =

(

d0,d1,K,dq

)

q boyutlu birim simpleks ele

alınsın. Bu simpleksin tepeleri koordinat eksenlerinin birim noktalarıdır. Eğer R q

uzayı Rq+1 uzayının xq =0 koşulu altında bir alt uzayı olarak ele alınırsa ∆q−1

simpleksi ∆_q simpleksinin sınırıdır ve onun tepeleri d₀,d₁,Kd_q−1 biçimindedir.

(

i q

)

l q q i q :∆ −1 →∆ , =0,1,K (2.8) simplisial dönüşümü tepelerde

( )

   ≥ < = ₊ i j d i j d d l _j j j i q , , 1 (2.9)

şeklinde tanımlanır. Böylece i q

l dönüşümleri tepelerin yönünü koruyarak ∆q−1

simpleksini ∆q simpleksinin

(

q−1

)

boyutlu sınırına götürür ve bu sınıra j

d tepesi

ait değildir [9].

Tanım 2.3.3. Her T :∆_q → X sürekli dönüşümüne X uzayının q -boyutlu singüler simpleksi denir. T( ) Tli _q X

q

i = ∆ →

−1

: dönüşümüne T simpleksinin .i sınırı denir

[9].

Önerme 2.3.4. Eğer 0≤ j≤i≤q ise

( )

T( )i ( )j =

( )

T( )j ( )i−1 [9].

Tanım 2.3.5. X uzayının tüm q -boyutlu singüler simplekslerinden üretilen serbest

gruba X uzayının q -boyutlu singüler zincir grubu denir ve C_q

( )

X ile gösterilir. 0

<

q için Cq

( )

X =0 sağlanır ve ∂q :Cq

( )

X →Cq−1

( )

X sınır operatörü,

( )

∑

( )

( ) = − = ∂ q i i i q T T 0 1 (2.10)

şeklinde tanımlanır. Burada ∂q−1∂q =0 sağlanır.

Y X

f : → sürekli dönüşüm olsun. Her q≥0 tam sayısı için fq :Cq

( )

X →Cq

( )

Y

dönüşümü f_q

( )

T = fT olarak tanımlanır ve

{ }

f_q :SX →SY zincir komplekslerin morfizmasıdır [9]. Teorem 2.3.6.

( )

{

Cq X q

}

SX X a = ,∂ a Y X f : →

{ }

f_q :SX →SY (2.11)

karşı gelmesi topolojik uzaylar kategorisinden zincir kompleksler kategorisine giden bir kovaryant funktordur [9].

Tanım 2.3.7.

(

X ,A

)

çiftinin singüler kompleksine S

(

X,A

)

=

{

C_q

( )

X C_q

( )

A

}

faktör kompleksi denir [9].

(

X,A

)

a S

(

X,A

)

karşı gelmesi 2

Top topolojik uzayların çiftler kategorisinden

CC zincir kompleksler kategorisine giden bir kovaryant funktordur [9].

Tanım 2.3.8. Her

(

X ,A

)

∈Top çifti için 2 Hq

(

X,A

)

=Hq

(

S

(

X,A

)

)

grubuna

(

X ,A

)

çiftinin q−boyutlu singüler homoloji grubu denir [9].

Singüler homoloji gruplar için homoloji teorinin aksiyomları sağlanır [9].

2.4. Fuzzy Topolojik Uzaylar

Tanım 2.4.1.

(

L,≤

)

kısmi sıralı bir küme olsun. Her x,y∈L için

{ }

x y

y

x∨ =sup , ve x∧y=inf

{ }

x,y varsa L kümesine latis denir ve L=

(

L,≤,∧,∨

)

ile gösterilir. Eğer L latisinin her alt kümesinin supremum ve infimumu varsa L

latisine tam latis denir [40].

Tanım 2.4.2.

(

L,≤,∧,∨

)

latisinin en büyük elemanı ∨L=1 en küçük elemanı 0

=

∧L olmak üzere her x∈L için x∧x′=0 ve x∨x′=1 olacak şekilde bir x′ elemanı varsa x′ elemanına x elemanının tümleyeni denir. Aşağıdaki özellikleri sağlayan , : / L L→ xa x′ (2.12)

dönüşümüne sırayı tersine koruyan dönüşüm denir [40].

i) a≤b⇒b′≤a′

ii)

( )

a′ ′ =a.

Tanım 2.4.3.

(

L,≤,∧,∨

)

bir latis olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanıyorsa L

latisine dağılımlı latis denir [40].

ii) ∀x,y,z∈L için x∧

(

y∨z

) (

= x∧y

)

∨

(

x∧z

)

Tanım 2.4.5.

(

L,≤,∧,∨

)

bir tam latis olsun. Eğer

{

}

{

ai,j : j∈Ji :i∈F

}

⊂℘

( )

L −

{ }

φ

(

F ≠

{ }

φ

)

ailesi için aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa L latisine tam dağılımlı latis denir [40].

i)

(

_{i ( )i}

)

F i J j i J j F i a a F i i i ϕ ϕ , , _∈ ∈ ∈ ∈ = ∏∨ ∧    ∨ ∧ ∈ ii)

(

_{i ( )i}

)

F i J j i J j F i a a F i i i ϕ ϕ , , ∈ ∈ ∈ ∈ = ∏∧ ∨    ∧ ∨ ∈

Tanım 2.4.6. Sırayı tersine koruyan dönüşüm ile birlikte tam dağılımlı bir latise fuzzy latis denir ve L=

(

L,≤,∧,∨,′

)

biçiminde gösterilir [40].

Tanım 2.4.7. L bir latis ve α∈L olsun. Eğer

∀ a,b∈L için α ≤a∨b ⇒ α ≤a veya α ≤b

ise α elemanına L latisinin indirgenemez elemanı denir. L latisinin sıfırdan farklı indirgenemez elemanlarının kümesi M

( )

L ile gösterilir [40].

Tanım 2.4.8. X bir küme ve A∈℘

( )

X olmak üzere

{ }

0,1, :X → A χ

( )

   ∉ ∈ = A x A x x x A , 0 , 1 χ a (2.13)

biçiminde tanımlı χ foksiyonuna A kümesinin karakteristik fonksiyonu denir _A [40].

Tanım 2.4.9. A⊂ X olmak üzere A kümesinin tümleyeni A′ kümesinin karakteristik fonksiyonu

{ }

0,1, : → ′ X A χ

( )

   ∈ ∉ = ′ _{x A} A x x x _A , 0 , 1 χ a (2.14) biçiminde tanımlıdır [40].

Tanım 2.4.10. f : X →L fonksiyonuna X üzerinde L-fuzzy küme denir. X üzerindeki L-fuzzy kümelerin ailesi L ile gösterilir. X f ∈LX L-fuzzy kümesinin tümleyeni

f

f′=1− (2.15)

biçiminde tanımlanır [40].

Tanım 2.4.11. M

( )

L L latisinin sıfırdan farklı indirgenemez elemanlarının kümesi olsun. Bu durumda

( )

L

{

x x X M

( )

L

}

M X = _α : ∈ ,α∈ (2.16)

kümesinin elemanlarına X kümesinin L -fuzzy noktaları denir. Burada,

, :X L x_α →

( )

   ≠ = = x y x y y x y , 0 , α α a (2.17)

şeklinde tanımlıdır. x elemanına x fuzzy noktasının desteği denir ve _α suppx_α ile gösterilir [40].

Tanım 2.4.12. X ,Y iki küme ϕ:X →Y bir fonksiyon olsun. X

L

f ∈ L -fuzzy kümesinin ϕ fonksiyonu altındaki görüntüsü,

( )

f :Y →L,

ϕ yaϕ

( )( )

f y =sup

{

f

( )

x :x∈X,ϕ

( )

x = y

} (

∀y∈Y

)

(2.18)

biçiminde ve g∈LY L -fuzzy kümesininϕ fonksiyonu altındaki ters görüntüsü,

( )

: , 1 L X g → − ϕ xaϕ−1

( )

g

( )

x =

(

g

(

ϕ

( )

x

)

)

(

∀x∈X

)

biçiminde tanımlıdır [40].

Tanım 2.4.13. X boştan farklı bir küme ve L bir fuzzy latis olsun. Eğer τ ⊂LX

ailesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa τ ailesine X üzerinde bir L -fuzzy topoloji denir, i) 0,1∈τ ii) f ,g∈τ ⇒ f ∧g∈τ iii)

{

∈

}

⊂τ ⇒ ∨ ∈τ ∈ i J i i i J f f : .

(

X,τ

)

ikilisine L -fuzzy topolojik uzay (Chang) denir[4].

Tanım 2.4.14.

(

X,τ

)

ve

( )

Y,τ∗ iki L -fuzzy topolojik uzay ve ϕ:

(

X,τ

)

→

( )

Y,τ∗ fuzzy dönüşüm olsun. Her g∈τ∗ için ϕ−1

( )

g ∈τ sağlanıyorsa ϕ:

(

X,τ

)

→

( )

Y,τ∗ dönüşümüne fuzzy süreklidir denir [40].

Tanım 2.4.15. X boştan farklı bir küme ve L bir fuzzy latis olsun. Eğer τ ⊂LX

ailesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa τ ailesine X üzerinde bir L -fuzzy topoloji denir,

i) Her α :X →L sabit fonksiyonu için α∈τ ii) f ,g∈τ ⇒ f ∧g∈τ

iii) Her m∈M için ∈τ ⇒ ∨ ∈τ

∈M m

m

m f

(

X,τ

)

ikilisine L -fuzzy topolojik uzay (Lowen) denir[4].

Tanım 2.4.16.

(

X,τ

)

bir L -fuzzy topolojik uzay ve f ∈LX olsun. f fuzzy kümesinin içi,

{

⊂ ∈τ

}

∨

= g g f g

fo : , (2.19)

şeklinde ve f fuzzy kümesinin kapanışı,

{

⊃ ∈τ′

}

∧

= h h f h

f : , (2.20)

şeklinde tanımlanır [40].

Tanım 2.4.17.

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzayının her P kapalı L− fuzzy alt kümesi ve

U

P≤ koşulunu sağlayan açık U alt kümesi için

U V V

P≤ ≤ − ≤ (2.21) koşulunu sağlayan V L− fuzzy açık alt kümesi varsa,

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzayına normal fuzzy topolojik uzay denir [40].

Tanım 2.4.18.

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzay A,B∈LX olsun. Eğer ∨℘≥A ise ℘ ailesine A kümesinin bir örtümü denir. Eğer ℘,

−

1 in bir örtümü ise ℘ ailesine

(

LX,δ

)

uzayının örtümü denir. Eğer A⊂τ için ℘, A kümesinin bir örtümü ise ℘ örtümüne A kümesinin bir açık örtümü denir. A kümesinin ℘ örtümü için eğer

℘ ⊂

l ise ve l , A nın örtümü ise l ailesine A kümesinin alt örtümü denir [40].

Tanım 2.4.19.

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzay olsun. Her α∈

[

0,1

)

için ve her x∈X

için A

( )

x >α olacak şekilde A∈℘ varsa ℘⊂IX ailesine α -örtüm denir. Eğer

℘ ⊂ ℘0 ve ℘0 α -örtüm ise X I ⊂

Her x∈Xiçin A

( )

x ≥α olacak biçimde A∈℘ varsa ℘ örtümüne α -örtüm denir. ∗ Eğer ℘⊂τ ve ℘, α -örtüm ise ∗ ℘ örtümüne açık α -örtüm denir. Eğer ∗ ℘₀ ⊂℘ ve ℘₀ α -örtüm ise ∗ ℘₀ ⊂IX örtümüne ℘ örtümünün alt α -örtümü denir [40]. ∗

Tanım 2.4.20.

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzayının her açık örtümünün sonlu alt örtümü varsa

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzayına C−kompakt denir [40].

Tanım 2.4.21. α∈

[

0,1

)

olsun. Eğer her açık α -örtümün sonlu alt α -örtümü varsa

(

X,τ

)

uzayına α kompakt uzay denir [40]. −

Tanım 2.4.22. α∈

[

0,1

)

olsun. Eğer her açık α -örtümün sonlu alt ∗ α -örtümü varsa ∗

(

X,τ

)

uzayına α∗ −kompakt uzay denir [40].

Tanım 2.4.23.

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzayı her α∈

[

0,1

)

için α kompakt uzay ise −

(

X,τ

)

uzayına güçlü kompakt uzay denir [40].

( )

{

x X A

( )

x a

}

A_a = ∈ : > olmak üzere her

(

X,τ

)

L-fuzzy topolojik uzayı, her

X

L

⊂

℘ ve her a∈L için ι_a

( )

℘ =

{

A_{( )a} :A∈℘

}

biçimindedir.

U

( )

L a a ∈ τ ι alt tabanından üretilen X üzerindeki klasik topoloji ι_L

( )

τ ile gösterilir.

Tanım 2.4.24. Eğer

(

X ,ι_I

( )

τ

)

kompakt uzay ise (X,τ) uzayına ultra kompakt uzay denir [40].

Tanım 2.4.25. Eğer ∨℘=1 koşulunu sağlayan her ℘⊂δ için ve her ε >0 için

ε

− ≥ ℘

∨ 0 1 koşulunu sağlayan ℘0 ⊂℘ sonlu alt ailesi varsa (X,τ) uzayına zayıf

Tanım 2.4.26. Eğer

−

≥ ℘

∨ 0 α koşulunu sağlayan her α∈

[ ]

0,1 için ve her ε∈

(

0,α

)

için ∨℘₀ ≥α−ε koşulunu sağlayan sonlu ℘₀ ⊂℘ alt ailesi varsa

(

X,τ

)

uzayına fuzzy kompakt uzay denir [40].

Tanım 2.4.27.

(

X,τ

)

L-fuzzy topolojik uzay, A∈LX , Φ⊂LX olsun. Eğer her

( )

A p

x∈sup için x_{A( )x} <U koşulunu sağlayan U∈Φ varsa Φ ailesine A kümesinin Q -örtümü denir. Eğer Φ⊂τ ise ve Φ, A kümesinin Q -örtümü ise Φ ailesine A kümesinin açık Q -örtümü denir. Eğer Φ₀ ⊂Φ ise ve Φ₀, A kümesinin

Q -örtümü ise Φ0 ⊂ LX örtümüne alt Q -örtüm denir. Eğer Φ,

−

1 kümesinin Q

-örtümü ise Φ ailesine

(

X,τ

)

uzayının Q -örtümü denir [40].

Tanım 2.4.28.

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzay ve A∈IX olsun. Eğer A kümesinin her açık Q -örtümünün sonlu alt Q -örtümü varsa A kümesine Q -kompakt denir [40].

Tanım 2.4.29.

(

X,τ

)

L-fuzzy topolojik uzay, A∈LX ,C∈δ, Φ⊂ LX , α∈M

( )

L

olsun. Eğer her x_α < A için C∈Q

( )

x_α ise C elemanına A kümesinin α −Q

komşuluğu denir. Eğer her x_α < A için x_α <U koşulunu sağlayan U∈Φ varsa Φ ailesine A kümesinin α −Q örtümü denir ve ∨ΦqˆA

( )

α ile gösterilir. Eğer Φ⊂τ ve Φ A kümesinin α−Q örtümü ise Φ ailesine A kümesinin açık α−Q örtümü denir. Eğer Φ₀ ⊂Φ ise ve Φ₀, A kümesinin α−Q örtümü ise Φ₀ ⊂LX ailesine

Φ ailesinin alt α −Q örtümü denir. Eğer Φ, A kümesinin γ −Q örtümü olacak şekilde γ ∈β∗

( )

α varsa Φ ailesinin A kümesinin α−−Q örtümü denir ve

( )

α A qˆˆ

Φ

∨ ile gösterilir [40].

Tanım 2.4.30.

(

X,τ

)

L-fuzzy topolojik uzay, A∈LX olsun. Eğer her α∈M

( )

L ve

A kümesinin her açık α −Q örtümünün A kümesinin α− −Q örtümü olacak şekilde sonlu alt ailesi varsa A kümesine N -kompakt denir. Eğer

−

1, N -kompakt

Tanım 2.4.31. X ,Y fuzzy topolojik uzay ve YX =

{

f :X →Y : f fuzzy süreklidir.

}

olsun.

{

K I K X K X , : ∈

= üzerinde fuzzy kompakttır.

}

,

{

V I : V,

V = ∈ Y

Y üzerinde fuzzy açıktır.

}

alınsın. Her Κ∈ℜ ve V∈ℵ için NK,V =

{

f ∈YX : f

( )

K ≤V

}

olsun.

{

NK,V :Κ∈ℜ,V ∈ℵ

}

ailesi fuzzy alt taban alınarak

X

Y üzerinde üretilen fuzzy

topolojiye bir fuzzy kompakt –açık topoloji denir. Bu topoloji ile birlikte Y X

uzayına fuzzy kompakt açık topolojik uzay denir [40].

2.5. Fuzzy Homotopiler

Tanım 2.5.1. I~aşağıdaki koşulları sağlayan tüm λ:R→L monoton azalan dönüşümlerin kümesi olsun,

1) λ

( )

t =1, t <0 için 2) λ

( )

t =0, t >1 için. I ~ ,µ∈ λ için

( ) ( )

− ₌ − ∈ ∀ ⇔ ≅µ t R λ t µ t λ , ve λ

( ) ( )

t+ =µ t+ (2.22) tanımlansın, burada

( )

t inf

( )

s ,

t s λ λ < − ₌

( )

_t

_{( )}

_s t s λ λ > + _{=sup dir [20].} I ~

üzerinde “≅” bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. I~ ≅ bölüm kümesine L -fuzzy birim aralık denir ve I

( )

L ile gösterilir . Ayrıca λ∈I~ dönüşümünün denklik sınıfı

[ ]

λ ile gösterilmektedir.

{

L_t,R_t :t∈R

}

alt taban gibi alınarak I

( )

L üzerinde

bir τ , L -fuzzy topoloji tanımlanır.L_t

( )

[ ]

λ =

(

λ

( )

t−

)

′∈L, R_t

( )

[ ]

λ =λ

( )

t+ ∈L. τ ya I

( )

L üzerinde standart topoloji denir [20].

Tanım 2.5.2. n≥1için I₁

( )

L ,I₂

( )

L , . . .,I_n

( )

L L -fuzzy birim aralıkların çarpımına L fuzzy esas n -küp denir veIn

( )

L ile gösterilir. τ ,₁ τ ,. . .,₂ τ sırasıyla _n standart topolojiler olmak üzere çarpım topolojisi τ ile gösterilir. n

:

i

P In

( )

L → I_i

( )

L

(

i =1,2,...,n

)

doğal izdüşüm olsun bu durumda

( )

( )

( )

( )

{

P_i−1 L_ti ,P_i−1 R_ti :t∈R,i=1,2,...,n

}

, τ topolojisinin bir alt tabanıdır.Ayrıca n burada

{

L( ) R( )i t R

}

t i

t , : ∈ , Ii

( )

L üzerinde τ standart topolojilerin bir alt tabanıdır i

[20].

Tanım 2.5.3.

(

X,τ

)

L -fuzzy topolojik uzay olsun bu durumda

(

X,τ

)

uzayında bir

L -fuzzy singüler n -küp bir

( )

:

n

ξ (In

( )

L ,τ )n →

(

X,τ

)

, n≥0 (2.23)

L -fuzzy sürekli dönüşümdür.

(

X,τ

)

uzayında tüm L -fuzzy n -küpler kümesi

(

X,τ

)

Sn ile gösterilir [5].

Tanım 2.5.4. Her 1≤i≤n,

[ ] [ ]

λ ,_i µ_i ∈I_i

( )

L için ξ (...,( )n

[ ]

λ ,...)=_i ξ (...,( )n

[ ]

µ ,...) _i koşulunu sağlayan en az bir i varsa yani ξ (( )n

[ ]

λ ...,1

[ ]

λ ,...i

[ ]

λ ), n

[ ]

λ sınıfına bağlı i değilsen≥1için ξ( )n ∈

(

τ

)

,

X

S_n L -fuzzy singüler n -küpüne dejenere denir[5].

Tanım2.5.5.

(

X,τ

)

L -fuzzy topolojik uzay ve Z tamsayıların toplamsal grubu olsun. n≥0 için Q_n

[

(

X,τ

)

,Z

]

ile

(

X,τ

)

uzayıdaki tüm L fuzzy singüler n -küplerin S_n

(

X,τ

)

kümesinden üretilen serbest abelian grubu gösterilir, yani her

(

)

[

X Z

]

cˆ_n ∈ ,τ , elemanının L -fuzzy singüler n -küplerinin sonlu lineer kombinasyonu olarak bir tek gösterimi vardır,

( )

∑

= α α α ξ , ˆ n n a c a_α ∈Z, ξ_α( )n ∈S_n

(

X,τ

)

. (2.24)

Bir ξ L -fuzzy singüler n -küp ve 1( )n ξ( )n ∈

[

(

)

]

Z X

Q_n ,τ , arasında bir ayrışım yapılamaz ve 0 ile

∑

α 0 ( )n α ξ ∈Qn

[

(

X,τ

)

,Z

]

gösterilir. 1 ≥

n için D_n

[

(

X,τ

)

,Z

]

ile tüm dejenere L -fuzzy singüler n -küplerden üretilen

(

)

[

X Z

]

Q_n ,τ , grubunun alt grubu gösterilsin ve D₀

[

(

X,τ

)

,Z

]

=

{ }

0 alınsın n≥0 için

(

)

[

]

[

_[

(

₍

)

₎

]

_]

Z X D Z X Q Z X C n n n , , , , , , τ τ τ = (2.25)

grubu tanımlanır ve buna

(

X,τ

)

uzayında singüler n -zincir grup denir [5].

Tanım 2.5.6

(

X,τ

)

bir fuzzy topolojik uzay olsun.

(

)

[

X, ,Z

]

= Ker

( )

∂∗ =

{

c ∈C

[

(

X,

)

,Z

]

:∂∗c =0

}

,n≥1 Zn τ n n n τ n n

(

)

[

X, ,Z

]

=Im

( )

∂∗₊₁ =∂∗₊₁

{

C ₊₁

[

(

X,

)

,Z

]

}

,n≥0 B_n τ _{n n n} τ

ifadelerine

(

X,τ

)

uzayının singüler n-çemberi ve singüler n-sınırı denir. Ayrıca

(

)

[

]

[

_[

(

₍

)

₎

]

_]

, 0 , , , , , , = n≥ Z X B Z X Z Z X H n n n _τ τ τ (2.26)

grubuna

(

X,τ

)

uzayının singüler n-homoloji grubu denir [5].

n i=1,2,..., için d_i0 :

(

In−1

( )

L ,τn−1

)

→

(

In

( )

L ,τn

)

fuzzy dönüşümü

[ ] [ ]

(

)

(

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

1

)

0 1 1 1 1 0 , , , , , , , , n− = i− i n− i d λ K λ λ K λ ν λ K λ

biçimindedir. Burada

[ ]

ν₀ ∈I

( )

L dir ve d fuzzy süreklidir. _i0

Benzer olarak i=1,2,...,n için di :

(

In

( )

L,τn

)

(

In

( )

L ,τn

)

1 1 1 − − → fuzzy dönüşümü

[ ] [ ]

(

)

(

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

1

)

1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , n− = i− i n− i d λ K λ λ K λ ν λ K λ

biçimindedir. Burada

[ ]

ν₁ ∈I

( )

L olmak üzere t <1 için ν₁

( )

t =1 ve t>1 için

( )

0

1 t =

ν sağlanır. Bu durumda d fuzzy süreklidir [5]. _i1

Tanım 2.5.7. n≥1 için

(

X,τ

)

L -fuzzy topolojik uzay olsun.

(

)

[

X

]

Q

[

(

X

)

Z

]

Qn n n : ,τ → −1 ,τ , ∂ homomorfizması ξ( ) Sn

(

X,τ

)

n ∈ için ( )

∑

_{( )}

[

]

= − − = ∂ n i i i i n n d d 1 0 1 1 ξ (2.27) olarak tanımlanır [5].

Teorem 2.5.8. n>1 için ∂_n−1∂_n =0 sağlanır [5].

Tanım2.5.9. f,g:

(

X,τ

) (

→ Y,σ

)

L -fuzzy sürekli dönüşümler olsun.

(

X,τ

)

uzayında her a _α L -fuzzy noktası için F

(

a_α,

[ ]

λ₀

)

= f

( )

a_α veF

(

a_α,

[ ]

λ₁

) ( )

=g a_α olacak biçimde sürekli L -fuzzy F:

(

X,τ

)

×

(

I

( )

L ,τ

)

→

(

Y,σ

)

dönüşümü varsa f ,g dönüşümleri fuzzy homotopiktir denir. Burada i=0,1 için

( )

   > < = i t i t t i 0 1 λ (2.28)

Teorem2.5.10. f,g:

(

X,τ

) (

→ Y,σ

)

L -fuzzy sürekli dönüşümler olsun. Eğer f ve g fuzzy homotop ise bu dönüşümlerden üretilen

(

)

[

X Z

]

H

[

(

Y

)

Z

]

H g f_∗, _∗ : _n ,τ , → _n ,σ , , n≥0 (2.29) homomorfizmaları eşittir [5].

Bir A∈F

( )

X fuzzy kümesi ve λ∈I için A kümesinin λ kesimi ve güçlü λ kesimi sırasıyla aşağıdaki gibi tanımlanır,

( )

{

λ

}

λ = x∈X A x ≥

A : , A_<λ> =

{

x∈X :A

( )

x >λ

}

(2.30)

λ kesimi ve güçlü λ kesimi için aşağıdaki özellikler sağlanır.

(

A∪B

)

λ = Aλ ∪Bλ . 1

(

A∩B

)

λ = Aλ ∩Bλ . 2 . X

x∈ ve λ∈

[ ]

0,1 için Aλ fuzzy kümesi

( )( )

λA x =λ∧A

( )

x (2.31) biçiminde tanımlanır. Böylece

[ ]

U

[ ]

U

1 , 0 1 , 0 ∈ > < ∈ = = λ λ λ λ λ λA A A . (2.32)

Her x∈X, λ∈

[ ]

0,1 ve x fuzzy noktası için eğer _λ A∈F

( )

X bir fuzzy küme ise

( )

{

}

U

x x X

A= _{A x} : ∈ (2.33)

Tanım 2.5.11. A∈F

( )

X , B∈F

( )

Y ve f ⊆ A×B fuzzy bağıntısını ele alalım. Eğer herλ∈

[ ]

0,1 için f , _λ A kümesinden _λ B kümesine bir dönüşüm ise f _λ

dönüşümüne A fuzzy kümesinden B fuzzy kümesine giden bir fuzzy dönüşüm denir ve f :A→B biçiminde gösterilir [18].

Eğer her λ∈

[ ]

0,1 için f , _λ A kümesinden _λ B kümesine bire bir dönüşüm ise _λ B

A

f : → dönüşümüne fuzzy bire bir dönüşüm denir. Eğer her λ∈

[ ]

0,1 için

( )

λ λ

λ

λ f A B

B_{< >} ⊆ ⊆ sağlanıyorsa f dönüşümüne fuzzy örten dönüşüm denir [18].

Tanım 2.5.12.

(

X,τ

)

bir topolojik uzay A∈F

( )

X ve τ∗ ⊂F

( )

X olsun.

{

}

{

}

[

τ∗ = G:ν →Iν ∈τ ,τ_λ∗ = G_λG∈τ∗ ,λ∈I

]

alınsın. Eğer her λ∈

[ ]

0,1 için

(

∗

)

λ λ,τ

A bir topolojik uzay ise

( )

A,τ∗ ikilisine fuzzy topolojik uzay denir [7].

( )

X B F

( )

Y F A∈ , ∈ için A×B=

(

)

[ ]

U

1 , 0 ∈ × λ λ λ λ A B biçimindedir ve buna A ve B fuzzy kümelerinin kartezyen çarpımı denir [18].

Tanım 2.5.13. A∈F

( )

X , B∈F

( )

Y ,

(

A,τ₁

)

,

(

B,τ₂

)

iki topolojik uzay ve

B A

f : → bir fuzzy dönüşüm olsun. Eğer her λ∈

[ ]

0,1 için f_λ :A_λ →B_λ sürekli ise f dönüşümüne fuzzy sürekli dönüşüm denir [7].

Tanım 2.5.14.

(

A,τ₁

)

ve

(

B,τ₂

)

fuzzy topolojik uzaylar ve f,g:A→B fuzzy sürekli fonksiyonlar olsun. Eğer ∀λ∈I için aşağıdaki koşulları sağlayan

B I A

F : × → fuzzy sürekli dönüşüm varsa f , g ile fuzzy homotoptur denir.

( )

x f

( )

x F_λ ,0 = _λ

( )

x g

( )

x F_λ ,1 = _λ

( )

x t f

( )

x F_λ , = _λt . (2.34)

B A g

f, : → fuzzy homotop dönüşümler olsun bu durumda her λ∈I için

λ λ λ

λ g A B

f , : → dönüşümleri homotoptur [7].

Tanım 2.5.15.

(

A,τ₁

)

ve

(

B,τ₂

)

fuzzy topolojik uzaylar olsun. x₀ ⊂ X ve her

X

x₀∈ için f

( ) ( )

x₀ = g x₀ olacak şekilde f,g:X →Y fonksiyonları var olsun. Eğer aşağıdaki koşulları sağlayan F :A×I →B fonksiyonu varsa f ve g , x ₀

elemanına göre göreceli homotoptur denir [7].

( )

( ) ( )

( )

( )

x t f

( ) ( )

x g x x X F X x x g x F x f x F ∈ ∀ = = ∈ ∀ = = 0 0 0 0, 1 , , 0 , λ λ λ (2.35)

Teorem 2.5.16. Fuzzy homotopi bağıntısı bir denklik bağıntısıdır [7].

Teorem 2.5.17. A∈F

( )

X ,B∈F

( )

Y ,C∈F

( )

Z fuzzy topolojik uzaylar ve ,

B A

f ⊂ × g ⊂B×C fuzzy sürekli dönüşümler olsun. Eğer g ~h ise g o f ve

f

h o fuzzy süreklidir ve g o f ~ h o f [7].

Tanım 2.5.18. A ve B ,

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzayında fuzzy kümeler olsun. Eğer,

{ }

φ ∩ =

{ }

φ = ∩ ⊂ ⊂F B G A G B F A , , , (2.36)

olacak biçimde F ve G kapalı kümeleri varsa A ve B ye Q−ayrılabilir denir [33].

X üzerinde bir fuzzy küme bir F: X →I fonksiyonudur. Eğer F sadece 0 ve 1 değerlerini alıyorsa F fonksiyonuna X üzerinde crisp küme denir.

( )

{

: 0

}

0 = x∈X F x >

F crisp kümesine F kümesinin desteği denir [33].

Tanım 2.5.19 F ,

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzayında fuzzy küme ve F₀, F kümesinin

destek kümesi olsun.

(

)

0

,

0 F

F τ alt uzayında boştan farklı Q−ayrılabilir A ve B kümeleri için A∪B= F sağlanıyorsa

(

X,τ

)

uzayına bağlantısız uzay denir. Eğer

Tanım 2.5.20.

(

X ,T

)

klasik topolojik uzay olsun. T~=

{

G:G,X üzerinde fuzzy küme ve G₀ ∈T

}

ailesi X üzerinde bir fuzzy topolojidir ve buna T den üretilen fuzzy topoloji denir.

( )

X,T~ ikilisine

(

X ,T

)

den üretilen fuzzy topolojik uzay denir.

Böylece eğer ξ , I üzerinde Öklid altuzay topoloji ise bu durumda _I

( )

I,ξ~_I ile

(

I,ξI

)

klasik topolojik uzayından üretilen fuzzy topolojik uzay gösterilir [33].

Lemma 2.5.21

(

X,τ

)

ve

(

Y,σ

)

fuzzy topolojik uzaylar olsun. A ve B , X üzerinde sadece 0 ve 1 değerini alan fuzzy kümeler olsun ve A∪B= X sağlansın.

(

,τ

)

(

,σ

)

: A Y

f _A → ve g:

(

B,τ_B

)

→

(

Y,σ

)

fuzzy sürekli fonksiyonlar olsun. Eğer

B A B A g f _∩ = _∩ ise bu durumda

( )

_{( )}

( )

   ∈ ∈ = B x x g A x x f x h (2.37)

biçiminde tanımlanan h:

(

X,τ

) (

→ Y,σ

)

fuzzy sürekli fonksiyondur [33].

Tanım 2.5.22. a ve _λ b , _η

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzayında iki fuzzy nokta olsun. :

α

( )

I ξI

~

, →

(

X,τ

)

fuzzy sürekli fonksiyon olsun. A ,

( )

I,ξ~_I uzayında bağlantılı ve

( )

0 >0,A

( )

1 >0

A olsun. Bu durumda

(

X,τ

)

uzayında eğer

( )

(

α 0

)

A( )0 =α

( )

0A( )0 =aλ ve

(

α

( )

1

)

A( )1 =α

( )

1A( )1 =bη ise α

( )

A fuzzy kümesine a λ

fuzzy noktasından b fuzzy noktasına giden fuzzy yol denir. _η

(

X,τ

)

fuzzy topolojik uzayındaa fuzzy noktasından _λ b fuzzy noktasına giden tüm _η

fuzzy yolların ailesi P

(

X,τ

)

(

a_λ,b_η

)

ile gösterilir.

(

X,τ

)

uzayında tüm fuzzy yolların ailesi P

(

X,τ

)

ile gösterilir [33].