Birim Diskte Analitik, p-değerli Fonksiyonlar Üzerine Bir Çalışma

ÖNSÖZ

Yüksek lisans tezimi yöneten ve çalışmalarımda bana her türlü desteği ve ilgiyi gösteren hocam Yard. Doç. Dr. Yaşar Polatoğlu’na, yardımlarını esirgemeyen hocam Yard. Doç. Dr. Arzu Şen’e ve her zaman yanımda olduklarını bana fazlasıyla hissettiren aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER ŞEKİL LİSTESİ iv SEMBOL LİSTESİ v ÖZET vii SUMMARY viii 1. GİRİŞ 1 2. YALINKAT FONKSİYONLAR 7

3. YALINKAT FONKSİYONLARIN KLASIK DİSTORSİYON

TEOREMLERİ 13

4. SABORDİNASYON PRENSİBİ 33 5. POZİTİF REEL KISMA SAHİP FONKSİYONLAR 45 6. YILDIZIL FONKSİYONLAR 60 7. BİRİM DİSK CİVARINDA ANALİTİK, P-DEĞERLİ FONKSİYONLAR

ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA 72

KAYNAKLAR 91

ŞEKİL LİSTESİ Sayfa No Şekil 1.1 Şekil 1.2 Şekil 1.3 Şekil 1.4 Şekil 5.1 Şekil 5.2

: Basit bağlantılı bölge...

: Konveks bölge...

: Bir noktaya göre yıldız bölge ...

: Bir noktaya göre yıldız olan bölgenin üzerindeki çemberlerin incelenişi...

: z düzleminde z <1, Rez<0 bölgesinin w-düzlemindeki resim bölgesi...

: z düzleminde z <1, Rez<0 bölgesinin w-düzlemindeki resim bölgesi... 3 4 5 5 47 47

SEMBOL LİSTESİ

α : 0<α<1 kosuluna uyan bir sayı b : Sıfırdan farklı kompleks bir sayı b : ₀ E(g)nin konform merkez C(r) : Analitik Jordan eğrisi D : Birim dairenin içi

∆ : Birim dairenin dışı ∂D,∂∆ : Birim dairenin sınırı

d(x,y) : x ve y noktaları arasındaki uzaklık fonksiyonu

) ( ,E g

E : g(z)∈

∑

fonksiyonuyla yapılan tasvirde, resim bölgesinin kompakt tamamlayıcısı

ε : Pozitif bir reel sayı ve civarın yarıçapı

Γ_ε(x) : İki boyutlu reel Öklid uzayında bir x noktasının ε -civarı

h(ξ) : z noktasına göre ₀ f(z) fonksiyonunun Koebe transformasyonu

_p : Sabordine olma özelliği N_ε(x) : x noktasının ε -civarı

Ω : D ’de analitik,w(0)=0, w(z) <1 koşullarına uyan fonksiyonların sınıfı

P : Pozitif reel kısma sahip fonksiyonlar sınıfı

∑

: ∆ da yalınkat g(z) fonksiyonlar sınıfı S : D de yalınkat )f(z fonksiyonlar sınıfı S : D de yıldızıl * f(z) fonksiyonlar sınıfı X : Metrik uzay

Y : Metrik uzayın bir alt uzayı

ρ(r) : Yarıçap C(r) : Merkez

D : Birim dairede punctured bölge *

∑

p : Birim diskte tanımlı, analitik, p-değerli fonksiyonlar sınıfı

S_pλ(A,B) : Meromorfik Janowski Yıldızıl Fonksiyonların Sınıfı r : Yıldızıllık yarıçapı _s

Üniversitesi : İstanbul Kültür Üniversitesi

Enstitüsü : Fen Bilimleri

Anabilim Dalı : Matematik-Bilgisayar

Programı : Matematik-Bilgisayar

Tez Danışmanı : Yard. Doç. Dr. Yaşar POLATOĞLU Tez Türü ve Tarihi : Yükseklisans – Haziran 2005

ÖZET

BİRİM DİSKTE ANALİTİK, P-DEĞERLİ FONKSİYONLAR ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Hatice Esra ÖZKAN

Bu çalışma iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda birim disk D=

{

z z <1

}

de tanımlanmış, analitik, yalınkat olan fonksiyonlar ve bunların özel sınıfları araştırılmış ve bu güne kadar bu sınıflar için yapılan araştırmalar incelenmiş ve sistematik olarak yalınkat fonksiyonlar teorisinde yazılmış büyük eserlere bağlı kalarak bu sınıfların gerçekledikleri genel özellikler verilmiştir. Yukarıda sözü edilen araştırmalar incelenirken referans bölümünde de belirtilen A. W. Goodman, C. H. Pommenenke, P. T. Duren, Glenn Schober tarafından yazılan yalınkat fonksiyonlar adlı eserler gözönünde tutulmuştur.

Tezin ikinci bölümünde birim diskin bir civarı olan D* =

{

z 0< z <1

}

da

tanımlanmış, analitik, n p n n p a z z z f

∑

∞ − = + = 1 1 ) ( açılımına sahip ve _ + _ + + − ′ ₋ λ λ λ iSin Bz Az Cos pe z f z f z i 1 1 ) ( ) ( . p

sabordinasyonunu gerçekleyen fonksiyonların sınıfını ele alıp bu sınıf için genel olarak; yalınkat fonksiyonlar teorisinde bir sınıf için ele alınan öncelikli problemler olan; gösterilim teoremleri, yarıçap problemleri, distorsiyon özellikleri ve katsayı eşitsizlikleri incelenmiştir.

Anahtar Sözcükler : Yalınkat Fonksiyon, Sabordinasyon Prensibi, Gösterilim Teoremi, Yarıçap Problemi, Distorsiyon Teoremleri, Katsayı Eşitsizlikleri.

Bilim Dalı Sayısal Kodu : 30C45

University : Istanbul Kultur University Institute : Institute of Sciences

Science Programme : Mathematics-Computer

Programme : Mathematics-Computer

Supervisor : Ass. Prof. Dr. Yaşar Polatoğlu Degree Awarded and Date : MA – November 2004

ABSTRACT

SOME RESULTS ON ANALYTİC, p-VALENT FUNCTİONS IN THE UNIT DISC

Hatice Esra ÖZKAN

This study consists of two parts. In the first part, analytic, univalent functions that are defined in unit disc D=

{

z z <1

}

and their specific classes are inspected, and all the previous researches on these classes up to now are reviewed and the general properties that these classes satisfy are given systematically using the valuable work done on the univalent function theory. During the analysis of the researches that are mentioned above and also given in the reference section, the studies on univalent functions written by A.W. Goodman, C. H. Pommenenke, P. T. Duren, Glenn Schober are taken as base to our study.

In the second part of the thesis, after examining the classes of the functions that are defined in the punctured disc D* =

{

z 0< z <1

}

, analytic and that have the expansion

n p n n p a z z z f

∑

∞ − = + = 1 1 )

( and satisfying the _ + _ + + − ′ ₋ λ λ λ iSin Bz Az Cos pe z f z f z i 1 1 ) ( ) ( . _p

subordination, generally for this class, representation theorems, radius problems, distortion properties and coefficient inequalities are analyzed.

Key Words : Univalent Function, Subordination Principle, Representation Theorem, Radius Problem, Distortion Theorems, Coefficient Inequality.

1.GİRİŞ

Birim çemberde analitik ve yalınkat olan tek kompleks değişkenli fonksiyonlar ilk olarak 1907 yılında Koebe tarafından incelenmiştir. Daha sonra da çeşitli matematikçiler bu sınıfları genelleştirerek çeşitli yalınkat fonksiyon sınıfları ortaya atmışlar ve bu sınıfları incelemişlerdir. Tek kompleks değişkenli analitik fonksiyonların incelenmesinde temel amaç, ortaya atılan fonksiyon sınıfının Taylor açılımındaki an katsayısına ait modülün üst sınırını bulmak, fonksiyon sınıfına ait distorsiyon teoremlerini araştırmak ve Koebe bölgelerini ifade etmektir.

Bu çalışmada 2004 yılında V. Ravichandran, S. Sivaprasad Kumar ve G. Supramanian tarafından tanıtılan Meromorfik Janowski Yıldızıl Fonksiyonlar Sınıfı için gösterilim teoremi, distorsiyon teoremi, yıldızıllık yarıçapı ve katsayı eşitsizliği verildi.

Analitik fonksiyonların tanım bölgelerinden bahsetmek için, öncelikle elemanter topolojik kavramların tanımlarını vermek faydalı olacaktır.

1.1 Tanım ( Metrik Uzay ) : X boştan farklı herhangi bir cümle olsun. X cümlesinin

herhangi iki elemanı için d(x,y)∈R reel sayısı, aşağıdaki aksiyomları sağlamak üzere verilmiş olsun.

(i) ∀ x, y ∈ X , x≠ y için d(x,y)>0

(ii) ∀ x, y ∈ X , x= için y d(x,y)=0 (İdantik özelliği) (iii) ∀ x, y ∈ X , x≠ y için d(x,y)= d(y,x) (Simetrik özelliği) (iv) ∀ x,y,z ∈ X için d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z) (Üçgen eşitsizliği)

Bu takdirde :

tasviri, X cümlesi üzerinde bir metrik uzay yapısını belirtmiş olur. Yani (X,d) sıralı ikilisine bir metrik uzay denir.

Burada x,y,z,... ∈ X lere X metrik uzayının noktaları, )d(x,y reel sayısına da x

ve y noktaları arasındaki uzaklık fonksiyonu adı verilir. Burada belirtilmesi gerekir ki yukarıda sıralanan aksiyomlara metrik uzay aksiyomları denir.

1.2 Tanım ( Metrik Uzayların Alt Uzayları ) : X bir metrik uzay ve Y ⊂ X , X uzayının herhangi bir alt cümlesi olsun. X metrik uzay olduğundan, X uzayında bir

uzaklık fonksiyonu verilmiştir. Y cümlesinin her elemanı aynı zamanda X uzayının

elemanı olduğundan, X uzayında tanımlanan uzaklık fonksiyonu, Y alt cümlesinin

elemanları için aynı zamanda metrik uzay aksiyomlarını gerçekler. Bundan dolayı bir metrik uzayın her alt cümlesi de bir metrik uzaydır.

1.3.Tanım : X herhangi bir metrik uzay olsun . ε >0 reel sayısını ve x∈ X noktası

gözönüne alınsın. X uzayı d uzaklık fonksiyonu ile donatılmış ise )

(x

N_ε =

{

y d(x,y)< ,ε y∈R

}

nokta cümlesine x noktasının ε -civarı adı verilir. Burada ε >0 reel sayısına bu civarın yarıçapı denir.

1.4 Tanım : X herhangi bir metrik uzay ve A , X uzayının bir alt cümlesi olsun.

A

x∈ noktası için N_ε(x)⊂ A koşulunu sağlayan en az bir N_ε(x) civarı varsa, x∈A

noktasına A cümlesinin bir iç noktası denir.

1.5 Tanım : X herhangi bir metrik uzay ve A , X uzayının bir alt cümlesi olsun. A cümlesinin her noktası bir iç nokta ise, A cümlesine bir açık cümle denir.

1.6 Tanım : X herhangi bir metrik uzay ve A , X uzayının bir alt cümlesi olsun. X uzayına ait bir x noktası için, x noktasının her N_ε(x) civarında x≠ y, y ∈N_ε(x) olacak şekilde, A cümlesinin en az bir y elemanı varsa, x noktasına A cümlesinin

1.7 Tanım : X herhangi bir metrik uzay ve A , X metrik uzayının bir alt cümlesi olsun. A cümlesinin her yığılma noktası A cümlesinin bir noktası ise, A cümlesine kapalı cümle denir. (Yığılma noktalarını içinde bulunduran cümleye kapalı cümle denir.)

1.8 Tanım ( Bağlantılı Olmak ) : X bir metrik uzay ve A bu uzayın bir alt cümlesi olsun. A cümlesi; boştan farklı, ayrık, iki açık alt cümlenin birleşimi olarak

gösterilemezse, A cümlesine bağlantılıdır denir.

Yani bu demektir ki ; B≠ ∅ , B açık, B⊂ A

ve B ∩ C= ∅ olmak üzere A =B ∪ C C≠ ∅ , C açık, C⊂ A

olacak şekilde B ve C cümleleri bulunamıyorsa, A cümlesi bağlantılıdır denir.

1.9 Tanım : Boştan farklı, açık, bağlantılı bir cümleye bölge denir.

1.10 Tanım : Sonsuz noktasının düzleme katılmasıyla meydana gelen düzleme genişletilmiş düzlem denir.

1.11 Tanım : Bir bölgenin tamamlayıcısı, genişletilmiş düzleme göre bağlantılı ise, bu bölgeye basit bağlantılı bölge denir.

x y 0 Ω Basit bağlantılı eğri Basit bağlantılı bölge Genişletilmiş düzlem Şekil 1.1

1.12 Tanım : Bir bölgenin bir O noktasını herhangi bir A noktasına birleştiren doğru parçası tamamı ile bölge içinde kalıyorsa, bu bölgeye O noktasına göre yıldız bölge denir. (Bir bölgenin bir O noktasından çizilen herhangi bir doğru parçası bölgenin sınırını tek bir noktada kesiyorsa bölgeye O noktasına göre yıldız bölge denir.)

1.13 Tanım : Bir bölgenin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası tamamı ile bölge içinde kalıyorsa, bölgeye konveks bölge denir.

Şimdi de yıldız ve konveks bölge için analitik tanımlar verilsin.

1.14 Tanım : Ω bir bölge olsun. Bu takdirde 0≤t ≤1 olmak üzere, 0 z∈Ω0 için 0

.z∈Ω

t koşulu gerçekleniyorsa Ω bölgesine başlangıç noktasına göre yıldız bölge ₀ denir.

1.15 Tanım : Ω bir bölge olsun. 0≤t≤1 olmak üzere, ∀ 0 z1,z2∈Ω0 için 0

2

1 (1 )

.z + −t z ∈Ω

t oluyorsa, Ω bölgesine konveks bölge denir. ₀

1.16 Özellik : Yıldız bölge tanımından dolayı, bir O noktasına göre yıldız olan bölge, bölgenin bir başka noktasına göre yıldız bölge olmayabilir.

İspat : Şekil 1.3 O noktasına göre yıldız bir bölgedir, fakat A noktasına göre yıldız

x y A Konveks bölge 0 Ω B Şekil 1.2

Fakat konveks bölge tanımı gözönünde bulundurulacak olursa, konveks bölge her noktasına göre yıldız bölgedir.

1.17 Özellik : Ω ⊆C bölgesi O başlangıç noktasına göre yıldız bölge olsun. |z |=r 0

çemberleri gözönüne alınsın. Bu çemberler üzerindeki noktaları, başlangıç noktasına birleştiren doğrular bölgenin sınırını tam bir noktada keser.

İspat : İspatı geometrik düşünceyle yapmak yerinde olacaktır. Ω bölgesi O başlangıç 0

noktasına göre yıldız bölge olsun. Başlangıç noktasını merkez kabul eden bir z∈Ω0

olmak üzere z =r2 çemberi gözönüne alınsın. Şayet bu çember üzerindeki bir D

noktasını baslangıç noktasına birleştiren doğru ∂Ω sınırını bir noktada keser. Eğer ₀

1 r

z = çemberi gözönüne alınırsa, çember üzerindeki bir C₁ noktasını O₁ başlangıç noktasına birleştiren doğru ∂Ω sınırını A ve B gibi iki noktada keser. Halbuki yıldız ₀ bölge tanımından dolayı O₁Q₁ doğrusu tamamiyle bölge içinde kalamaz. Bu da bir çelişkidir. (Şekil 1.4)

Not : İspatta çelişkiye varabilmek için Ω bölgesi ₀ O₁ noktasına göre yıldız bölge farzedilmiştir.

1.18 Özellik : Ω bölgesi O başlangıç noktasına göre yıldız bölge olsun. A noktası ₀ bölgenin sınırını bir kez dolaştığı zaman OA nın argümanı daima aynı yönde 2π kadar değişir.

İspat : Özellik 1.17 den A noktasına çember üzerinde karşılık gelen nokta A′ olsun. Bu halde Arg OA = Arg OA′ olacağından, A′ noktası çember üzerinde 2π kadar dolaştığı zaman argümanı 2π kadar değişir. O halde Arg OA da 2π kadar değişir.

2. YALINKAT FONKSİYONLAR

2.1 Tanım : Bir f(z) fonksiyonu, genişletilmiş düzlemde bulunan, bir Ω basit 0

bağlantılı bölgesinde varolabilen bir kutup noktası dışında analitik ve z₁,z₂∈Ω₀

olmak üzere z1 ≠ z2 için f(z1)≠ f(z2) injektiflik koşulunu gerçeklerse, f(z)

fonksiyonuna Ω bölgesinde "yalınkat" tır denir. ₀

0

Ω bölgesinde yalınkat olan bir f(z) fonksiyonu, Ω ın her alt bölgesinde de 0

yalınkattır.

2.2 Özellik : Yalınkat iki fonksiyonun bileşke fonksiyonu da yalınkattır.

İspat : Önce, injektif iki fonksiyonun bileşke fonksiyonunun da injektif olduğu gösterilmelidir.

f : Ω →G injektif, g : G →H injektif olsun. Bu takdirde gof : ₀ Ω →H injektiftir. ₀ Gerçekten ; z1,z2∈Ω0 ise, f(z) fonksiyonunun injektifliğinden; z1 ≠ z2 ⇒

) ( )

(z₁ f z₂

f ≠ dir.

Diğer taraftan g(z) fonksiyonu G de injektif olduğundan, f(z₁)≠ f(z₂) için )) ( ( )) ( (f z₁ g f z₂

g ≠ dir. Bu ise gof fonksiyonunun injektif olduğunu gösterir.

Diğer taraftan ispatın tamamlanması için, analitik iki fonksiyonun bileşke fonksiyonunun da analitik olduğununun ispatlanması lazımdır.

) (z

      − − − − = − − → → _{( ) ( )} ) ( ) ( . )) ( ( )) ( ( lim )) ( ( )) ( ( lim 0 0 0 0 0 0 0 0 f z f z z f z f z z z f g z f g z z z f g z f g z z z z 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( lim . ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( lim ) ( ) ( : ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( lim 0 0 0 z z z f z f z f z f z f g z f g z f z f z z z f z f z f g z f g z z z z z z − − − − =       − − − − = → → → (2.1)

bulunur. Diğer taraftan w= f(z) dersek w0 = f(z0) olur. f(z) nin sürekliliğinden

0 z

z→ iken w→w₀ olur ve g(z) nin analitik olması nedeniyle

) ( ) ( ) ( lim 0 0 0 0 w g w w w g w g w w − = ′ − → (2.2)

dır. )f(z nin analitik olması nedeniyle;

) ( ) ( ) ( lim ₀ 0 0 0 z f z z z f z f z z ′ = − − → (2.3) dır.

Bulunan bu sonuçlar (2.1) ifadesinde yerine yazılırsa

) ( ). ( )) ( ( )) ( ( lim _{0 0} 0 0 0 z f w g z z z f g z f g z z ′ ′ = − − →

bulunur. Böylece ispat tamamlanmış olur.

2.3 Özellik : ) ( 1

z

İspat : Gereklik : ) ( 1

z

f fonksiyonu yalınkat olsun. Bu takdirde

z z

g( )= yalınkat fonksiyonu alınırsa, Özellik 2.2 den, 1 _      ) ( 1 z f g fonksiyonu da yalınkattır. ( ) ) ( 1 z f z f g _=      fonksiyonu yalınkattır.

Yeterlik : f(z) fonksiyonu yalınkat olsun.

z z

g( )= yalınkat fonksiyonu alınırsa, 1

Özellik 2.2 den g(f(z)) fonksiyonu da yalınkattır.

) ( 1 )) ( ( z f z f g = fonksiyonu yalınkattır.

2.4 Tanım : Eğer bir z₀∈A noktasının en az bir civarında z noktasından başka A ₀

cümlesine ait hiçbir nokta bulunmazsa, z noktasına A cümlesinin bir "izole noktası" 0

denir.

2.5 Özellik : Analitik bir fonksiyonun bir noktanın civarında injektif olması için gerek ve yeter şart bu noktada sıfır olmayan bir türeve sahip olmasıdır. Bu ise bir Ω ₀ bölgesinde analitik f(z) fonksiyonunun yalınkat olması için f′ z( )≠0 olması gerektiğini gösterir. Fakat bunun tersi doğru değildir.

2.6 Özellik : z noktası yalınkat )₀ f(z fonksiyonunun bir kutbu ise ) ( 1

z

f

fonksiyonu z ın bir civarında yalınkattır. ₀

İspat : z noktası ₀ f(z) yalınkat fonksiyonunun bir kutbu olduğundan 0 ) ( 1 0 = z f dır. O halde z noktası 0 ) ( 1 z

f fonksiyonunun basit bir sıfırıdır ve z ın bir civarında 0

2.7 Özellik : C:z(t)= x(t)+iy(t), α ≤t ≤β olmak üzere Ω da düzgün bir Jordan ₀ yayı ise (kırık olmayan, z′ t( )≠0 ve z(t) sürekli) f(C) de f(Ω₀)da düzgün bir Jordan yayıdır. )z0 = z(t0 olmak üzere f(z0)noktasındaki f(C) nin teğeti ile pozitif

reel eksen arasındaki açı

( ₀) ( ₀). (t₀) Argf (z₀) Argz (t₀) dt dz z dz df Arg z dt df Arg = ′ + ′      =

ile belirtilir. (z₀ =∞ ya da f(z₀)=∞ durumları hariç) Bu ise iki eğri aynı bir z ₀

noktasından geçtikleri zaman, bu iki eğri arasındaki açının, görüntü eğrileri arasındaki açıya eşit olduğunu gösterir. O halde yalınkat fonksiyonlar birer konform homeomorfizmalardır.

İspat : C₁:z(t), C₂:z(s) iki eğri olsun. Öyleki α ≤t≤β, α ≤s≤₁ β olsun. Üstelik ₁ )

( )

( 0 0

0 z t z s

z = = olsun. Yani C1 ve C2 eğrileri aynı bir z noktasından geçsinler. 0

) (z f w= yalınkat olsun. 0 ) ( ). ( ) ( 0 = ′ 0 ′ 0 ≠ ′ t f z z t

w dır. (f(C1) düzgün Jordan yayı olduğundan ) 0 ) ( ). ( ) ( ₀ = ′ ₀ ′ ₀ ≠ ′ s f z z s

w dır. ( f(C₂) düzgün Jordan yayı olduğundan )

) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s z Arg z f Arg s z z f Arg s w Arg t z Arg z f Arg t z z f Arg t w Arg s s s t t t ′ + ′ = ′ ′ = ′ ′ + ′ = ′ ′ = ′

}

) ( ). ( ) ( ) (t₀ Argw s₀ Argf z₀ z t₀ w

Arg _t′ − _s′ = ′ _t′ −Argf′(z₀).z′_s(s₀) = Argz_t′(t₀)−Argz_s′(s₀) ) ( ) ( ) ( )

(t₀ Argw s₀ Argz t₀ Argz s₀ w

Arg _t′ − _s′ = _t′ − _s′

⇒

bulunur ki bu ise açıların korunduğunu gösterir.

2.8 Özellik : A⊂ C , Ω ın kompakt bir alt cümlesi olsun. Üstelik yalınkat f nin ₀ kutup noktasını ihtiva etmesin. Bu takdirde resminin Öklidyen alanı;

İspat : f(z), Ω da yalınkat olduğundan analitiktir. Dolayısıyla ₀ f(z), Cauchy-Riemann denklemlerini gerçekler. Yani;

⇒ + = = f(z) u(x,y) iv(x,y) w x v y u y v x u ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ dir. Dolayısıyla ; f′ )(z = = ∂ ∂ + ∂ ∂ x v i x u y v y u i ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ − ∂ ∂ = y u i x u y v x v i ∂ ∂ + ∂ ∂ f′(z)2 = = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 ) ( ) ( x v x u 2 2 ) ( ) ( y v y u ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 ) ( ) ( y u x u ∂ ∂ + ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂ y v x u . y u x v ∂ ∂ ∂ ∂ . = y v x v y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( y x D v u D y x v u ₌ ∂ ∂ (2.4)

bağıntısı yazılabilir. Diğer taraftan;

Alan =

∫∫

) ( . ) ( A f dv du A f (2.5)

şeklindedir. Fakat çok katlı integrallerde değişken dönüşümü kuralı gözönünde bulundurulursa ⇒    = = ) , ( ) , ( y x v v y x u u eşitliklerinden dolayı = dv du. y v x v y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ dy dx. (2.6)

= dv du. y v x v y u x u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = dy dx. f ′(z)2.dx.dy (2.7) eşitliği bulunur. 0 .dy = dΩ dx

alan elemanı olarak yazılırsa ve (2.7) bağıntısı (2.5) bağıntısında yerine konulursa;

Alan =

∫∫

) ( . ) ( A f dv du A f

∫∫

∂ ∂ = A dy dx y x v u . ) , ( ) , ( =

∫∫

′ A dy dx z f ( )2 . =

∫∫

′ Ω A d z f ( )2 ₀ bulunur. Yani neticede

Alan f( A)=

∫∫

′ Ω A d z f 0 2 ) ( eşitliği bulunur.

3. YALINKAT FONKSİYONLAR İÇİN KLASİK DİSTORSİYON TEOREMLERİ

3.1 Gösterilimler :

{

z

D= z <1

}

birim dairenin içi

{

z = ∆ z >1

}

birim dairenin dışı = ∆ ∂ = ∂D

{

z z =1

}

birim dairenin sınırı 3.2 Tanım :S=

{

f(z) f(z)=z+a2z2+... , f′(0)=1,f(0)=0, f(z) D de yalınkat

}

cümlesi S sınıfı olarak adlandırılır.

3.3 Tanım :

∑

=

{

g(z) g(z)= z+b₀ +b₁z−1+b₂z−2 +..., g(z)∆ da yalınkat } cümlesi

∑

sınıfı olarak adlandırılır ve E=E(g)=C ∖g( ∆ ) da g(z)∈

∑

fonksiyonuyla yapılan tasvirde, resim bölgesinin kompakt tamamlayıcısıdır. Ayrıca b₀

katsayısına E(g) nin " konform merkezi " denir ve

θ π π θ _d re g b i

∫

= 2 0 0 ( ) 2 1

ifadesi ile verilir. b₀ =0 alınarak

∑

sınıfından elde edilen sınıf da

∑

₀ sınıfı olarak adlandırılır.

3.4 Teorem ( Alan Teoremi ) : g∈

∑

alalım. Buradan ) 1 ( 1 2

∑

∞ = − = n n b n AlanE π dir.

0 ) 1 ( 1 2 ≥ −

∑

∞ = n n b n π olduğundan 0 1 1 2 ≥ −

∑

∞ = n n b n 1 1 2 ≤ ⇒

∑

∞ = n n b n olur.

3.5 Sonuç : g∈

∑

alınsın. Buradan |b₁|≤1 dir. Bu eşitsizlikte eşitlik ancak ve

yalnız ( ) 0 2 1 − + + = z b e z z g iβ (b0∈C,β ∈R ) olması ile mümkündür.

Ancak burada belirtilmesi gerekir ki, verilen bir eşitsizlikte eşitliği gerçekleyen fonksiyona "ekstremal fonksiyon" adı verilir.

İspat : Alan teoreminde 1

1 2 ≤

∑

∞ = n n b n ifadesinde b₂ =...=b_n =...=0 alınırsa |b₁|≤1 bulunur. O halde g∈

∑

fonksiyonu g(z)=z+b₀ +b₁z−1 haline gelir. Fakat |b₁|=1 ise b₁ =e2iβ alınabilir. Zira |b₁|=e2iβ =1 dir. Yine alan teoremi kullanılırsa |b1|=1

koşulu altında )g(z fonksiyonu

1 2 0 ) (z =z+b +e z− g iβ

haline gelir. Bu fonksiyon verilen bir eşitsizlikte, eşitliği gerçeklediği için ekstremal fonksiyondur. Bu fonksiyon z >1 i gözönüne alınan düzlemde reel eksenle β açısı yapan doğrusal kesit üzerine resmeder.

Gerçekten; 1 2 0 ) (z =z+b +e z− g iβ

fonksiyonunda b sabiti şimdilik ihmal edilebilir. Zira bu fonksiyonla yapılan tasvirde, ₀ 0

b sabiti sadece bir paralel kayma verecektir. Dolayısıyla

1 2 ) (z =z+e z− g iβ fonksiyonu incelenirse:

θ i e z= alınsın. θ β θ θ i i i i e e e e g( )= + 2 1 =eiθ +e2iβ.e−iθ =eiθ +e2iβ−iθ =eiβ(eiθ.e−iβ +eiβ.e−iθ) ) 2 ( 2 ) ( ) (θ β θ β β − + − − = i ei e i e =2eiβCos(θ −β) 4 43 4 42 1 2 ) ( 2 2 ) ( . 2 . ≤ − ≤ − − = β θ β _{θ β} Cos i Cos e

olduğundan z >1 bölgesini reel eksenle β açısı yapan doğrusal kesit üzerine resmeder. b kadar kayma verilirse, asıl sonuç elde edilir. 0

3.6 Teorem : Eğer g∈

∑

ve w∈E ise o halde = ) ( * z g g(z2)− w= ( ) ... 2 1 1 0 − + + − z w b z ( z >1 ) fonksiyonu

∑

da tek ve yalınkat bir fonksiyondur.

Eğer f ∈ ise S f(z2) S de tek ve yalınkat bir fonksiyondur.

İspat : g∈

∑

olduğundan dolayı ; ( z >1 )

∑

∞ = − + = 0 . ) ( n n n z b z z g ⇒ − = +

∑

− ⇒ ∞ = − w z b z w z g n n n 0 2 2 2 . ) ( ⇒ + − = −

∑

∞ = − 0 2 2 2 . ) ( n n n z b w z w z g

∑

∞ = − − − − _{− = − +} 0 2 2 2 2 2 . 1 ) ) ( ( n n n z b z wz w z g z =1−wz−2 +z−2(b₀ +b₁z−2 +b₂z−4 +b₃z−6 +...) 1 3 8 ... 6 2 4 1 2 0 2 + + + + + − = − − − − − z b z b z b z b wz =1+(b −w)z−2 +b z−4 +b z−6 +b z−8 +...

fonksiyonu ∆ da analitik ve çift bir fonksiyondur.

Gerçekten açılımdan dolayı analitiktir, ∆ da daima sıfırdan farklıdır ve çift fonksiyon oluşu da ⇒ − = − ) ) ( ( ) (z z 2 g z2 w F ) ) ( ( 1 ) ) ) (( ( ) ( 1 ) ( ₂ 2 ₂ g z2 w z w z g z z F − − = − − = − = z−2(g(z2)−w)= F(z) ) ( ) ( z F z

F − = olduğundan dolayı iddianın doğruluğu gerçeklenmiş olur. Şimdi de

[

]

2 1 2 2 * ) ) ( ( ) (z z z g z w g = − − fonksiyonu düşünülsün. Bu fonksiyon ∞ < < z 1 da analitik ve ∞ da

[

]

2 1 2 2 * ) ) ( ( ) (z z z g z w g = − − ( ) ... 2 1 1 0 − + + = − z w b z ( z >1 ) açılımına sahiptir. Gerçekten;

[

]

2 1 2 2 ) ) ( (g z w z− −

[

]

2 1 8 3 6 2 4 1 2 0 ) ... ( 1+ − + + + + = − − − − z b z b z b z w b (3.1)

olduğu ispatlanmıştı. Bu ifadede z−2 =ε denilirse ikinci taraf

... ) ( 1+ b₀ −wε +b₁ε2 +b₂ε3+b₃ε4 + =(1+c₁ε+c₂ε2 +c₃ε3 +...)2 1 ... 2 2 2 3 3 ... 2 2 1 6 2 3 4 2 2 2 2 1 + + + + + + + + = c ε c ε c ε cε c ε c ε +2c₁c₂ε3 +2c₁c₃ε4 +... 1 2 ( 2 2) 2 ... 2 1 1 + + + + = cε c c ε katsayıları karşılaştırılırsa;

) ( 2 1 2 1 1 0 0 w c c b w b − = ⇒ = −

olur. Bu ifadeler (3.1) ifadesinde yerine yazılırsa;

[

]

2 1 2 2 ) ) ( (g z w z− −

[

]

2 1 2 2 0 ) ...) ( 2 1 1 ( + − + = − z w b ( ) ... 2 1 1+ 0 − 2 + = − z w b

olur. Bulunan eşitlik de z ile çarpılırsa;

[

]

2 1 2 2 * ) ) ( ( ) (z z z g z w g = − − = g(z2)−w = ( ) ... 2 1 1 0 − + + − z w b z

bulunur ki bu da iddianın doğruluğunu gösterir.

Bu fonksiyon tektir. Gerçekten;

[

−

]

⇒ = − 2 1 2 2 * ) ) ( ( ) (z z z g z w g

[

( ) ( (( ) ) ) ) ( ) ( 2 2 * w z g z z z g − = − − − − −

]

2 1 ) ( * z g − =

olduğundan bu da iddianın doğruluğunu gösterir.

Şimdi fonksiyonun yalınkat olduğu gösterilsin: 1< z <∞ bölgesi fonksiyonun hiçbir singülaritesini bulundurmaz. Dolayısıyla bu fonksiyon z >1 de analitiktir.

İnjektiftir. Gerçekten; ⇒ = ( ) ) ( ₁ * ₂ * z g z g z₁ z₁−2(g(z₁2)−w) = z₂ z₂−2(g(z₂2)−w) ⇒ ( − ( ( 12)− ))= 2 1 2 1 z g z w z ( ( ( 22) )) 2 2 2 2 z g z w z − − ⇒ g(z₁2)− w= g(z₂2)−w ⇒ g(z₁2)= g(z₂2)

ve g(z) yalınkat olduğundan z₁2 = z₂2 ⇒ z₁ =_m z₂ bulunur. Fakat ⇒ − ≠ ( ) ) ( * ₂ 1 * z g z g z₁ ≠-z₂

Buraya kadar bulunan neticeler toplanırsa g*(z)= g(z2)−w fonksiyonu

∑

da tek ve yalınkat bir fonksiyondur.

Şimdi ise ; f ∈ olsun. Bu halde S f(z)=z+a₂z2 +a₃z3+... ( z <1 ) dir. f(z), 1 < z de yalınkattır. ... ) ( 3 6 4 2 2 2 = + + + z a z a z z f ⇒ f(z2) 3 6 ... 4 2 2 + + + = z a z a z

fonksiyonu S de tek fonksiyondur. Gerçekten,

) (z2 f = z2 +a₂z4 +a₃z6 +... (1 3 4 ...) 2 2 2 + + + = z a z a z 1 3 4 ... 2 2 + + + = z a z a z ... 1+a₂z2 +a₃z4 + ifadesi ... 1+β₁z+β₂z2 + ifadesinin karesi olsun.

... 1+a₂z2 +a₃z4 + =(1+β₁z+β₂z2 +...)2 1 ... 2 2 ... 2 1 2 3 ... 2 2 1 4 2 2 2 2 1 + + + + + + + + = β z β z β z β z β β z 1 2 ( 2 ) 2 1 2 3 ... 2 2 2 1 1 + + + + + = β z β β z β β z Katsayılar eşitlenirse ; 0 2 0= β1 ⇒β1 = 2 2 2 2 1 2 2 1 2 a a =β + β ⇒β =

= ) (z F f(z2) = z 1+a₂z2 +... ₂ 2 ...)2 2 1 1 ( + + = z a z ... 2 1 3 2 + + = z a z = ) (z F ... 2 1 3 2 + + a z

z ⇒F(−z)=−F(z) olduğundan tek fonksiyondur. F(0)=0, 1 ) 0 ( = ′ F dir. = ) (z₁ F f(z₁2) , F(z₂)= f(z₂2) ⇒ F(z1)= F(z2) ⇒ ( ) 2 1 z f = f(z22) ⇒ f(z₁2)= f(z₂2)

olup f(z) yalınkat olduğundan injektiftir.⇒ z₁ =_mz₂ fakat F(z) tek olduğundan

2

1 z

z ≠− dir. O halde z1 = z2 bulunur ki bu da F(z) nin D de injektifliğini gösterir.

) (z

F nin z <1 de analitik olduğu açıktır. Buraya kadar bulunan neticeler toplanırsa da

) (z

F = f(z2) S de tek ve yalınkat bir fonksiyondur.

3.7 Lemma : g∈

∑

alınsın. Buradan E ⊂

{

w−b₀ ≤2

}

dir. Eşitlik ancak ve yalnız

E dört birim uzunluğunda bir parça ise gerçeklenir.

İspat : Sonuç 3.5 deki durum g*(z)= g(z2)−w ( ) ... 2 1 1 0 − + + = − z w b z

∑

da

tek bir fonksiyon olduğundan w∈E için bu fonksiyona uygulanırsa;

2 1 2 1 1 ) ( 2 1 0 0 0 −w ≤ ⇒ b −w ≤ ⇒ b −w ≤ b bulunur.

Eşitlik durumu incelenirse:

Yine Sonuç 3.5 deki eşitlik durum buraya uygulanırsa

1 0 ) ( 2 1 ) (z =z+ b −w z− g

bulunur. Eşitlik durumu yazılırsa β i e w b w b − = ⇒ ( − )=− 2 1 1 ) ( 2 1 0 0

alınabilir. Bu halde fonksiyon

1

)

(z =z−e z−

g iβ

haline gelir.

Fakat diğer taraftan

β β β i i i e w b e w b e w b w b ( ) 2 2 2 1 1 ) ( 2 1 0 0 0 0 − = ⇒ − =− ⇒ − =− ⇒ = −

bulunur. Bu b sabiti de Sonuç 3.5 deki eşitlik halinde bulunan fonksiyona ₀

uygulanırsa; 1 2 0 ) (z =z+b +e z− g iβ ⇒g(z)= z+(w−2eiβ)+e2iβz−1

bulunur. Burada b₀ =w−2eiβ sabiti gözönüne alınmazsa ,

1 2 ) (z =z+e z− g iβ bulunur. z =eiθ denilirse; θ β θ θ i i i i e e e e g( )= + 2 . − =eiθ +eiβ.eiβ.e−iθ =eiβ(eiθ.e−iβ +eiβ.e−iθ) ) 2 ( 2 ) ( ) (θ β θ β β − + − − = i ei e i e =2eiβCos(θ −β) 4 43 4 42 1 2 ) ( 2 2 ) ( . 2 . ≤ − ≤ − − = β θ β _{θ β} Cos i Cos e

3.8 Teorem : f ∈ alınsın. Buradan S a2 ≤2 ve 3 1 2

2 − a ≤

a dir. a2 =2 olması ancak ve yalnız f(z) fonksiyonunun, Koebe Fonksiyonunun bir rotasyonu olması ile mümkündür. Dahası f(z) tek fonksiyonsa, buradan a₃ ≤1dir. Eşitlik ancak ve yalnız

1 2 2 ) 1 ( ) (z = z −e z − f iβ olması ile mümkündür.

İspat : f ∈ olduğundan, S sınıfının tanımı gereği ...S f(z)= z+a2z2 + dir.

) (z F = f(z2) ... 2 1 3 2 + + =z a z

olduğundan, bu fonksiyon da S sınıfına aittir. Dolayısıyla

... 1 2 1 1 1 ) 1 ( 1 ) ( 3 2 + + = = z a z z F z g ...) 2 1 1 ( 1 1 2 2 + + = − z a z 2 ...) 1 1 ( 1 . 1 1 2 2 + + = − z a z ...) ...) 2 1 ( ...) 2 1 ( 1 ( 2 2 2 2 2 + + + − − = − − z a z a z ... 2 1 1 2 + − = − z a z

fonksiyonu da ∑ sınıfına ait olacaktır. O halde b1 ≤1 eşitsizliği bu fonksiyona uygulanırsa 2 1 2 1 2 2 ≤ ⇒ a ≤ a

bulunur. Bu da istenen ifadedir.

Diğer taraftan f(z)= z+a₂z2 +...∈S ise

= = ) 1 ( 1 ) ( z f z G ... 1 1 1 2 2 + + z a z ...) 1 1 ( 1 1 2 + + = z a z ... 1 1 1 1 . 1 1 2 3 2 + + + = z a z a z

...) 1 1 ( 1 1 . 2 3 2 + + + = z a z a z (1 1 1 ... 12 32 1₄ ...) 2 2 2 3 2 − + + + + − = z a z a z a z a z = − ₂ − ₃1−...+ ₂2 1+... z a z a a z =z−a₂ +(a₂2 −a₃)z−1 +...

fonksiyonu da ∑ sınıfına aittir. Bu fonksiyona da alan teoreminin sonucu b₁ ≤1 eşitsizliği uygulanırsa ; 3 1

2

2 − a ≤

a bulunur. Bu da istenen ifadedir.

Şimdi a₂ =2 olması hali ele alınsın. Bunun için aşağıdaki durumlar gözönünde bulundurulsun:

" Sonuç 3.5 : g∈∑ alınsın. Buradan b₁ ≤1 dir. Bu eşitsizlikte eşitlik ancak ve

yalnız ( ) 0 2 1 − + + = z b e z z g iβ (b0∈C,β ∈R ) olması ile mümkündür.”

" Teorem 3.6 : Eğer g∈

∑

ve w∈E ise o halde = ) ( * z g g(z2)− w= ( ) ... 2 1 1 0 − + + − z w b z ( z >1 ) fonksiyonu

∑

da tek ve yalınkat bir fonksiyondur. Eğer f ∈ ise S f(z2) S de tek ve yalınkat bir fonksiyondur."

" Lemma 3.7 : g∈∑ alalım. E ⊂{|w-b |≤2 } dir. Eşitlik ancak ve yalnız E nin ₀

dört birim uzunluğunda bir parça olması halinde gerçeklenir. Bu ifadelerin ışığı altında ; S f ∈ ⇒ ...f(z)= z+a2z2 + ⇒ F(z) ( ) 2 z f = ... 2 1 3 2 + + = z a z ∈S ve tek fonksiyondu. = = ) 1 ( 1 ) ( z F z g ... 2 1 1 2 + − − z a z ∈∑ dır ve 1 2 2 1 2 2 ≤ ⇒ a ≤ a dir.

Eşitlik ancak ve yalnız ispatlandı ki g(z)= 2 1 2 1 − − a z z olması ile mümkündür. O halde β i e b w b w w b a₂ = ₀ − ⇒ − ₀ =2⇒ − ₀ =2 alınabilir. Buradan b₀ =w−2eiβ (g(z)= 0 1 1 − + +b bz

z fonksiyonuyla karşılaştırarak) dır. Yukarıdaki sonuç kullanılırsa ; = ) ( * z g z+b0 +e2 z−1 ⇒ iβ = ) ( * z g z+(w−2eiβ)+e2iβz−1 bulunur. Fakat w∈E olduğundan w=0 alınabilir. O halde

= ) ( * z g z−2eiβ +e2iβz−1 = (1 2 2 1₂) z e e z z − iβ + iβ 2 ) 1 1 ( z e z − iβ = bulunur.

∑

= − = ⇒ ∈ 2 * * ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 ) ( z e z z g z g iβ (1 e z)2 z iβ −

∑

∞ = − = 1 ) 1 ( . n n n i z ne β ∈ dir. Bu da S

tanım gereği Koebe Fonksiyonunun rotasyonudur.

S

f ∈ tek ise a₃ ≤1 olduğunun ispatı: ⇒ + + = ... ) (z z a₂z2 f ... 2 1 ) ( 2 3 2 = + + z a z z f , S de tek fonksiyondur

(Bu daha önce ispatlandı) ve ikinci teriminin katsayısı sıfırdır. O halde bu ifade de 1

3 2

2 − a ≤

a eşitsizliğinde kullanılarak a₂ =0 alınırsa 0− a₃ ≤1 ⇒ a₃ ≤1 bulunur. Bir başka ispatla:

3 a 1 2 1 2 ≤ = a ⇒ a₃ ≤1 bulunur. 1 3 = a

eşitliği ancak ve yalnız

1 2 2 ) . 1 ( ) (z = z −e z − f iβ

Gerçekten;

[

1 ...

]

... . 1 1 . ) ( 2 2 4 4 2 3 4 5 2 2 = + + + = + + + − = z e z e z z e z e z z e z z f i i i i i β β β β β 2 1 3 = = β i e a dır. 3.9 Hazırlık : f(z)= z+a z +a3z3+...∈S 2 2 alınsın. ... 3 2 1 ) ( = + ₂ + ₃ 2 + ′ z a z a z f ⇒ f′(0)=1 ... 6 2 ) ( = ₂+ ₃ + ′′ z a a z f ⇒ f ′′(0)=2a₂ 2 2 ) 0 ( a f ′′ = ⇒ f ′′(0) =2a₂ ⇒ 2 2 ) 0 ( 2 ≤ = ′′ a f ⇒ 2 2 ) 0 ( ≤ ′′ f bulunur. Bu düşüncenin sıfır noktasından herhangi bir z₀∈D noktasına taşınması halinde

[

(1 ) ( ) 2 (1 ) ( )

]

... 2 1 ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 = + − ′ + − ′′ − − ′ + + + _{ε ε} ε ε z f z z z f z z f z z f z z f

fonksiyonu da D de analitik ve yalınkattır. Fakat S sınıfına ait değildir. Zira normalize edilmemiştir. O halde bu fonksiyonun S sınıfına ait olması için normalize edilmesi gerekir. Bunun için de;

= ) (ε h ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 0 2 0 0 0 0 z f z z f z z f ′ − − + + ε ε ... ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 ₂ 0 0 0 2 0  +      − ′ ′′ − + =ε z ε z f z f z

fonksiyonu h(0)=0 , h′(0)=1 koşullarını gerçeklediğinden S sınıfına aittir. h(ε) fonksiyonu z noktasına göre ₀ f(z) fonksiyonunun Koebe Transformasyonu olarak adlandırılır.

3.10 Lemma : Eğer f ∈S ise buradan

2 2 1 4 1 2 ) ( ) ( . z z z z z f z f z − ≤ − − ′ ′′ ( z <1 )

İspat : Yukarıdaki hazırlıktan yola çıkılarak, = ) (ε h ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 0 2 0 0 0 0 z f z z f z z f ′ − − + + ε ε ... ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 2 0 0 0 2 0  +      − ′ ′′ − + =ε z ε z f z f z

fonksiyonu S sınıfına ait olduğundan ikinci terimin katsayısı 2 den küçüktür.

2 ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 0 0 0 2 0 ′ − ≤ ′′ − z z f z f z

bulunur. Bu eşitsizliğin her iki tarafı

0 1 2 1 2 2 0 0 2 0 0 _> − = − z z z z ile çarpılırsa; 0 0 0 2 0 ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 z z f z f z − ′ ′′ − . 2 0 0 1 2 z z − 2 0 0 1 4 z z − ≤ ⇒ ) 1 2 )( ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 ( ₂ 0 0 0 0 0 2 0 z z z z f z f z − − ′ ′′ − ₂ 0 0 1 4 z z − ≤ ⇒ ₂ 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 1 2 1 2 . ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 z z z z z z f z f z − − − ′ ′′ − ₂ 0 0 1 4 z z − ≤ ⇒ ₂ 0 2 0 0 0 0 1 2 ) ( ) ( z z z f z f z − − ′ ′′ 2 0 0 1 4 z z − ≤

bulunur. Bu ifadede z yerine ₀ z yazılırsa;

2 2 1 2 ) ( ) ( z z z f z f z − − ′ ′′ 2 1 4 z z − ≤ ( z <1 )

3.11 Teorem ( 4 1 Distorsiyon Teoremi ) : w= f(z)= z+a z +a z3+...∈S 3 2 2

fonksiyonunun tasvir bölgesi dışındaki noktalarının w=0 noktasına olan uzaklıkları

4 1

den küçük olamaz.

İspat : c noktası f(z) fonksiyonunun birim dairesinin tasvir bölgesi dışında bir nokta olsun. = − ( ) ) ( z f c z cf ... ) 1 ( ₂ + 2 + + z c a z

fonksiyonu da S sınıfına aittir. İkinci terimin katsayısının modülü 2 den küçük olacağına göre 2 1 2 + ≤ c a

dir. Diğer taraftan 2 2 ≤ a dir ve = c 1 _{+ − ≤} 2 2 1 a a c 2 1 a c + +−a2 = 2 1 a c + + a2 ≤2+2⇒ ⇒ ≤ 4 1 c 4 1 4 1 ≥ ⇒ ≤ c c

bulunur ki bu da iddianın doğruluğunu gösterir.

3.12 Teorem : α ve β , D nin içinde f(z)∈S fonksiyonunun alamadığı herhangi iki değer olsun. Bu halde

α ) ( 1 ) ( ) ( z f z f z F − =

fonksiyonu da D de yalınkat olup α β β − 1 değerini alamaz.

İspat : f(z) D de yalınkat olduğundan ve α değerini alamadığından ( ) ≠1 α z f dir. Dolayısıyla 1− ( ) ≠0 α z f dır. O halde α ) ( 1 ) ( ) ( z f z f z F − = fonksiyonu D de analitiktir. ⇒ = ( ) ) (z₁ F z₂ F = − α ) ( 1 ) ( 1 1 z f z f ⇒ − α ) ( 1 ) ( 2 2 z f z f f(z₁)= f(z₂) ) (z

f , D de yalınkat olduğundan z₁ = z olur. O halde ₂

α ) ( 1 ) ( ) ( z f z f z F −

= fonksiyonu D de injektiftir. Bununla F(z) fonksiyonunun D de

yalınkat olduğu ispatlanmış olur.

α β β

− 1

sayısının tersinin modülü düşünülsün:

βα β − 1 = − = β α β β 1 _{− =} β α β β 1 1 α β 1 1 −

bulunur. Fakat bir önceki teoremden dolayı,

4 1 1 ≤ − α β

3.13 Teorem : f ∈S ise (i) ₃ ) 1 ( 1 z z + − ≤ ′ ≤ f (z) ₃ ) 1 ( 1 z z − + (ii) ₂ ) 1 ( z z + ≤ f(z) ≤ 2 ) 1 ( z z − (iii) z z + − 1 1 ≤ ′ ≤ ) ( ) ( z f z f z z z − + 1 1

dir. Bu eşitsizliklerde eşitlik ancak ve yalnız f(z), Koebe Fonksiyonunun uygun bir rotasyonu ise gerçeklenir.

İspat : Lemma 3.10 da ispatlandı ki;

2 2 1 2 ) ( ) ( z z z f z f z − − ′ ′′ 2 1 4 z z − ≤ (3.2)

dir. Diğer taraftan bir kompleks sayının reel kısmı ile modülü arsındaki

z z

z ≤ ≤

− Re bağıntısından hareket edilirse, (3.2) bağıntısı;

≤ − − ₂ 1 4 z z −       ′ ′′ ) ( ) ( . Re z f z f z ≤ − 2 2 1 2 z z 2 1 4 z z − şeklinde ifade edilebilir.

⇒ ₂ 1 4 z z − − ≤ − + ₂ 2 1 2 z z       ′ ′′ ) ( ) ( . Re z f z f z ₂ 1 4 z z − ≤ ₂ 2 1 2 z z − + ≤ − − 2 2 1 4 2 z z z       ′ ′′ ) ( ) ( . Re z f z f z ₂ 2 1 4 2 z z z − + ≤ (3.3)

      ′ ′′ ) ( ) ( . Re z f z f z = z z f log ) ( log ∂ ′ ∂ ⇒ = ⇒ =ρ θ θ ρ d e dz e z i i θ ρ i e ddz = ⇒ = ⇒ = d dt e e t e _i i i ρ ρ ρ θ θ_θ log ρ =ρ dt d olduğundan       ′ ′′ ) ( ) ( . Re z f z f z = z z f log ) ( log ∂ ′ ∂ = t z f ∂ ∂ ∂ ′ ∂ ρ ρ . ) ( log = ρ ρ ∂ ′ ∂log ( ) . f z log f ′(z) ∂ ∂ = ρ ρ

bulunur. Bunlar (3.3) eşitsizliğinde yerine yazılırsa, (3.3) eşitsizliği;

≤ − − 2 2 1 4 2 ρ ρ ρ ) ( log f ′ z ∂ ∂ ρ ρ 2 ₂ 1 4 2 ρ ρ ρ − + ≤ şeklinde yazılabilir. ⇒ ≤ − − 2 1 4 2 ρ ρ ) ( log f ′ z ∂ ∂ ρ 2 1 4 2 ρ ρ − + ≤

Bu ifade 0 dan ρ ya kadar integre edilirse;

≤ − −

∫

ρ ρ ρ ρ d 2 0 1 4 2 _ρ ρ ρ d z f ( ) log 0 ′ ∂ ∂

∫

ρ ρ ρ ρ d 2 0 1 4 2 − + ≤

∫

⇒ ₃ ) 1 ( 1 log ρ ρ + − _{≤ ′ ≤} ) ( log f z ₃ ) 1 ( 1 log ρ ρ − + ⇒ ₃ ) 1 ( 1 ρ ρ + − _{≤ ′ ≤} ) (z f ₃ ) 1 ( 1 ρ ρ − + , z =ρ

olduğundan 3 ) 1 ( 1 z z + − ≤ ′ ≤ f (z) 3 ) 1 ( 1 z z − +

bulunur ki, bu da (i) eşitsizliğidir.

(i) nin sağ tarafı , z ile orijini birleştiren doğru boyunca integre edilirse;

= ) (z f

∫

f′ z dz ≤ z ) ( 0 ≤ ′

∫

f (z)dz 0 ρ ρ ρ ρ ρ d 3 0 (1 ) 1 − +

∫

≤ ) (z f ₂ ) 1 ( ρ ρ − (3.4)

bulunur. f(z) için bir alt sınır elde etmek üzere, f(z) noktası ile orijini birleştiren doğru parçası z <1 içinde tamamen f(z) nin değerleriyle örtülür. Eğer L,

) (z

f

w= fonksiyonuyla bu doğru parçası üzerine tasvir edilen z <1 de bir yay ise L boyunca dw= f′(z)dz>0dır. Böylece ) (z f =

∫

f′ z dz ≥ L ( )

∫

L f′(z)dz≥ ρ ρ ρ ρ d 3 0 (1 ) 1 + −

∫

= ₂ ) 1 ( ρ ρ + (3.5)

bulunur. (3.4) ve (3.5) ifadeleri birleştirilirse;

2 ) 1 ( ρ ρ + ≤ f(z) ≤ 2 ) 1 ( ρ ρ − bulunur. z =ρ alınırsa 2 ) 1 ( z z + ≤ f(z) ≤ 2 ) 1 ( z z −

Son olarak ise , bundan önce Hazırlık 3.9 da = ) (ε h ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 0 2 0 0 0 0 z f z z f z z f ′ − − + + ε ε ... ) ( ) ( ) 1 ( 2 1 2 0 0 0 2 0  +      − ′ ′′ − + =ε z ε z f z f z

fonksiyonunun S sınıfına ait olduğu ispatlanmıştı. Bu fonksiyonda ε =−z0 alınırsa;

= − ) ( z0 h ) ( ) 1 ( ) ( ) ) ( 1 ( 0 2 0 0 0 0 0 0 z f z z f z z z z f ′ − − − + + − ) ( ) ( 1 1 0 0 2 0 f z z f z ′ − − = bulunur. = − ) ( z₀ h S z f z f z ∈ ′ − − ) ( ) ( 1 1 0 0 2 0 dir. S f ∈ için (ii) de ₂ ) 1 ( z z + ≤ f(z) ≤ 2 ) 1 ( z z − olduğu ispatlandı. h(ε)∈S olduğundan ε =−z₀ için bulunan h(−z₀)∈S dir ve (ii) eşitsizliğini gerçekler.

2 ) 1 ( z z + ≤ h(−z0) ≤ 2 ) 1 ( z z − ⇒ 2 ) 1 ( z z + ≤ ₋ ′( ) ≤ ) ( . ) 1 ( 1 0 0 2 0 f z z f z (1 z)2 z − ⇒ ≤ + − 2 2 0 ) 1 ( ). 1 ( z z z ≤ ′( ) ) ( 0 0 z f z f 2 2 0 ) 1 ( ). 1 ( z z z − − ⇒ ≤ + − 2 2 0 ) 1 ( ) 1 ( z z ≤ ′( ) . ) ( ₀ z f z z f 2 2 0 ) 1 ( ) 1 ( z z − − ⇒

≤ − − ) 1 ( ) 1 ( 2 0 2 z z ≤ ′ ) ( ) ( . 0 0 z f z f z ) 1 ( ) 1 ( 2 0 2 z z − + ⇒ ≤ + − − − ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 0 0 z z z z ≤ ′ ) ( ) ( . 0 0 z f z f z ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 0 0 z z z z + − + + ⇒ 0 z yerine z yazılırsa; ≤ + − − − ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( z z z z ≤ ′ ) ( ) ( . z f z f z ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( z z z z + − + + ⇒ z z + − 1 1 ≤ ′ ≤ ) ( ) ( . z f z f z z z − + 1 1

4. SABORDİNASYON PRENSİBİ

4.1 Tanım : f(z) ve g(z) fonksiyonları D de analitik olsun. Eğer

(i) D de analitik (ii) l(0)=0

(iii) z <1 için _l(z) <1

koşullarını gerçekleyen bir _l(z) fonksiyonu bulunabilir ve f(z)=g(_l(z)) bağıntısı gerçeklenirse, o takdirde f(z) fonksiyonu, g(z) fonksiyonuna “sabordine“ dir denir ve f(z)_pg(z) ile gösterilir.

4.2 Lemma (Schwarz Lemması): ...w(z)=c₁z+c₂z2 + fonksiyonu D=

{

z

}

1 <

z de tanımlanmış, analitik bir fonksiyon olsun ve w(0)=0, w(z) <1 eşitsizliklerini gerçeklesin. Bu halde w(z) ≤ z ve w′(0) ≤1 eşitsizlikleri gerçeklenir. Eşitsizliklerde eşitlik hali ancak w(z) fonksiyonunun w(z)=kz ,

1 =

k olması ile gerçeklenir.

İspat : ( ) ( ) .... _{1 2} ... 2 2 1 + + = + + = = c c z z z c z c z z w z h

fonksiyonu gözönüne alınsın. 0w(0)= olduğundan

0 ) 0 ( ) 0 ( lim ) 0 ( 0 − − + = ′ → _z w z w w z _z z w z ) ( lim 0 → =

olur. )h(z fonksiyonu z =0 da analitiktir. Buradan z z c z c z z w z h( ) ( ) .... 2 2 1 + + = =

fonksiyonunun D=

{

z z <1

}

basit bağlantılı bölgesinin her yerinde analitik olduğu söylenebilir. Bu ise maksimum prensibinden dolayı

z z w )(

fonksiyonunun maksimum değerini ancak ve yalnız D nin sınırında alacağını gösterir. 1 < < ρ z için ρ →1 alınırsa z z w z z w z z w z h( ) = ( ) ≤1⇒ ( ) ≤1⇒ ( ) ≤

bulunur. Böylece ilk eşitsizlik ispatlanmış olur. Öte yandan

z z w )(

fonksiyonu w′(0) türevi varolduğundan dolayı z =0 da analitiktir. z=0 noktası civarında Taylor Açılımı düşünülecek olursa

... ! 2 ) 0 ( ! 1 ) 0 ( ... ! 2 ) 0 ( ! 1 ) 0 ( ) 0 ( ) (z =w +w′ z+ w′′ z2 + = w′ z+ w′′ z2 + w

eşitliği yazılabilir. Diğer taraftan

0 ) 0 ( ) 0 ( lim ) ( 0 − − + = ′ → _z w z w z w z _z z w z ) ( lim 0 → =

olduğu da gözönüne alınarak

) 0 ( ) ( w z z w _′ =

olduğu da düşünülürse son iki bağıntıdan 1 ) 0 ( ≤ ′ w

bulunur. Bu ise ikinci eşitsizliktir.

Yine maksimum prensibinden dolayı sınırdaki bir z noktası için daima

⇒ = 1 ) ( z z w i_θ i_θ e z z w e z z w . ) ( . 1 ) ( = ⇒ = , k =eiθ

bulunur. Bu da eşitlik halini verir..

4.3 Teorem : f(z)_p g(z) olsun. Bu takdirde f(D)⊂ g(D) ve f(0)= g(0) dır.

İspat : f(z)p g(z) olduğundan dolayı tanım gereği; Dde (i) analitik

(ii) _l(0)=0 (iii) _l(z) <1

koşullarını gerçekleyen bir _l(z) fonksiyonu vardır. Öyle ki )) ( ( ) (z g z f = l

dir. Burada _l(z) fonksiyonu Schwarz Lemmasının koşullarını gerçeklediğinden; z z) ≤ ( l dir.

Eşitlik ancak ve yalnız

z e z)= iθ (

l

olduğu zaman geçerlidir. O halde z₁∈_l(D) alalım. Buradan z₁ =_l(z) olacak şekilde bir z∈ bulunur. D

D z z z z z z z₁ =_l( )⇒ ₁ = _l( ) ≤ <1⇒ ₁ <1⇒ ₁∈

O halde ) ( 1 D z ∈_l için z₁∈D⇒_l(D)⊂ D dir. ) (z

g ve f(z) fonksiyonları D de analitik olduğundan, )f(z)_pg(z ve

D D)⊂ ( l bağıntısından ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) (D g D g D f D g D f = _l ⊂ ⇒ ⊂ bulunur. Aynı zamanda 0 ) 0 ( = l ve f(z)=g(_l(z))⇒ f(0)= g(_l(0))= g(0)⇒ f(0)= g(0) dır. 4.4 Teorem: f(z)_pg(z) olsun. Bu takdirde

{

f(z) z <r

} {

⊂ g(z) z <r

}

(0< r<1) dir.

İspat : f(z)_pg(z) olsun. Bu takdirde tanımdan dolayı D de ; yalınkat olması gerekmeyen ve yine D de

(i) analitik (ii) _l(0)=0 (iii) l(z) <1

koşullarını gerçekleyen bir _l(z) fonksiyonu vardır. )_l(z , Schwarz Lemmasının koşullarını gerçeklediğinden _l(z) ≤ z dir. O halde _l(z) ≤ z <r<1dir.

) (

1 Dr

z ∈_l alınsın. Bu takdirde z₁ =_l(z) olacak şekilde en az bir z∈D_r

vardır. z1 =l(z) ⇒ z1 = l(z) ≤ z <r<1 ⇒ z1∈Dr olup l(Dr)⊂Dr dir.

Buradan

{

f(z) z <r

} {

= g(_l(z)) z <r

}

yazılabilir. _l(D_r)⊂D_r olduğundan )

(z

g de D_r de analitik olduğundan g(_l(D_r))⊂ g(D_r) dir. (0< r<1) ⇒

{

f(z) z <r

} {

= g(_l(z)) z <r

}

=

{

g(_l(D_r)) r<1

}

{

g D_r r <

}

=

{

g z z <r

}

⊂ ( ) 1 ( )

⇒

{

f(z) z <r

} {

⊂ g(z) z <r

}

bulunur ki bu da istenen ifadedir.

4.5 Teorem : f(z)_p g(z) olsun. Bu takdirde ) ( max ) ( max f z g z r z r z≤ ≤ ≤ dir.

İspat : Teorem 4.3 de f(D)⊂g(D) olduğu ispatlandı ve aynı zamanda f(z) ve )g(z fonksiyonları D de analitik olduklarından maksimum modül teoremi kullanılırsa ;

) (z

f maksimum değerini ancak sınırda alabilir )

(z

g maksimum değerini ancak sınırda alabilir ve f(D)⊂ g(D) olduğundan ) ( max ) ( max f z g z r z r z≤ ≤ ≤ sonucuna varılabilir.

4.6 Lemma : _l(z) aşağıdaki koşulları gerçekleyen analitik bir fonksiyon olsun.

(i) z <1 için analitik (ii) z <1 için _l(z) <1.