oys1991matematiksorularivecozumleri

Tam metin

(1)Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 16 Haziran 1991 Matematik Soruları Ve Çözümleri. 1 1. 0,80 + (0,2 + ).0,5 işleminin sonucu kaçtır? 5 A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. Çözüm 1 I. Yol 1 80 2 1 5 0,80 + (0,2 + ).0,5 = + ( + ). 5 100 10 5 10 =. 80 2+2 5 +( ). 100 10 10. =. 80 4 5 + . 100 10 10. =. 80 20 + 100 100. =. 100 100. =1 II. Yol 1 0,80 + (0,2 + ).0,5 = 0,80 + (0,2 + 0,2).0,5 5 = 0,80 + 0,4.0,5 = 0,80 + 0,20 =1.

(2) 2. a, b, c birer pozitif gerçel sayı ve 2a = 3b , 2b = c olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a < b < c. B) a < c < b. C) c < b < a. D) c < a < b. Çözüm 2. ⇒. 2a = 3b. a 3 3.k = = b 2 2.k. ⇒. a = 3.k. ⇒. b = 2.k. b = 2.k olduğuna göre, 2b = c. ⇒. c = 2.2.k. Buna göre, 2k < 3k < 4k. 3.. ⇒ ⇒. c = 4k b < a < c elde edilir.. a b c = = ve 3a − b + c = 8 olduğuna göre, c kaçtır? 4 2 6. A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. Çözüm 3. a b c = = =k 4 2 6. 3a − b + c = 8. ⇒. a = 4.k. ⇒. b = 2.k. ⇒. c = 6.k. ⇒. 3.4.k − 2.k + 6.k = 8. ⇒. 16.k = 8. ⇒. k=. 1 2. c = 6.k olduğuna göre, c = 6.. 1 2. ⇒. c = 3 elde edilir.. E) b < a < c.

(3) 4.. bc ca ab =1 , =2 , = 3 olduğuna göre, a ² + b ² + c ² kaçtır? a b c. A) 7. B) 8. C) 9. D) 10. E) 11. Çözüm 4 Eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa,. bc ca ab . . = 1 .2 . 3 a b c bc =1 a. ⇒. ⇒. a.b.c = 6 olur.. b.c = a. a.b.c = 6 olduğuna göre, a.a = 6 ca =2 b. ⇒. ⇒. a² = 6. c.a = 2.b. a.b.c = 6 olduğuna göre, 2.b.b = 6 ab =3 c. ⇒. ⇒. b² = 3. ⇒. 3.c ² = 6. a.b = 3.c. a.b.c = 6 olduğuna göre, 3.c.c = 6 Buna göre, a ² + b ² + c ² = 6 + 3 + 2. ⇒. ⇒. c² = 2. a ² + b ² + c ² = 11 elde edilir..

(4) 5. x , y birer gerçel sayı ve 3xy² + x³ = 9 3x²y + y³ = 18 olduğuna göre, x + y kaçtır? A). 3. 9. B) 3 3. C). 3. D) 3. Çözüm 5 3xy² + x³ = 9 3x²y + y³ = 18 3xy² + x³ + 3x²y + y³ = 9 + 18 x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 27 (x + y)³ = 3³. ⇒. x + y = 3 elde edilir.. E) 1.

(5) 6.. x ² − y ² = 27 1 1 4 + = x+ y x− y 9. olduğuna göre, y aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 3. B) 4. C) 5. D) 7. E) 8. Çözüm 6 1 1 4 + = x+ y x− y 9. ⇒. 1 1 4 + = x+ y x− y 9 x− y. x+ y. ⇒. x− y+x+ y 4 = ( x + y ).( x − y ) 9. ⇒. 2x 4 = x² − y² 9. x ² − y ² = 27 olduğuna göre,. ⇒ x ² − y ² = 27. 2x 4 = 27 9. ⇒. 6² − y ² = 27. ⇒. 36 − y ² = 27. ⇒. ⇒. x=6. y = 3 elde edilir.. 7. Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, üç basamaklı en büyük sayı ile rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, üç basamaklı en küçük sayının farkı kaçtır? A) 123. B) 432. C) 741. D) 864. E) 987. Çözüm 7 Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, üç basamaklı en büyük sayı = 987 Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı, üç basamaklı en küçük sayı = 123 Buna göre, 987 – 123 = 864 elde edilir..

(6) 8. Birbirinden hızı öbürünün hızının 2 katı olan iki koşucu, bir çembersel pistin başlangıç noktasından, aynı anda koşmaya başlıyorlar. Bu iki koşucu, ilk kez, aynı anda pistin başlangıç noktasına geldiklerinde hızı daha fazla olan koşucu kaç tur yapmış olur? A) 2. B) 4. C) 6. D) 8. E) 12. Çözüm 8 I. Yol. Çembersel pistin çevresi = x olsun. Aynı zamanda koşmaya başladıklarına göre, x = v.t x X = v 2v. ⇒. ⇒. t=. x v. X = 2x. II. Yol Hızı v olan koşucu tekrar başlangıç noktasına gelinceye kadar, hızı 2v olan koşucu 2 tur atmış olacaktır..

(7) 9. Parasının kalanın. 3 sini harcadıktan sonra, 7. 1 ünü kardeşine veren Ali’nin geriye 16 000 lirası kalmıştır. 3. Buna göre, Ali’nin başlangıçtaki parası kaç liradır? A) 32 000. B) 36 000. C) 38 000. D) 40 000. E) 42 000. Çözüm 9 Ali’nin başlangıçtaki parası = x olsun. Parasının. 3x 3x 4x sini harcadıktan sonra, kalan parası = x − = 7 7 7. Kardeşine verdiği miktar =. Ali de kalan miktar = 8x = 16 000 21. ⇒. 1 4x 4x . = 3 7 21. 8x 4x 4 x 12 x − 4 x – = = 21 21 21 7. x = 42 000.

(8) 10. Yağ dolu bir şişenin ağırlığı 732 gramdır. Yağın. 1 ü boşaltıldığında şişe 613 gram gelmektedir. 4. Buna göre, şişe kaç gram almaktadır? A) 478. B) 476. C) 474. D) 472. E) 470. Çözüm 10 Şişenin boş ağırlığı = x Sadece yağın ağırlığı = y olsun. x + y = 732. Yağın. x+. 1 y 3y ü boşaltıldığında kalan miktar : y − = 4 4 4. 3y = 613 4. x + y = 732 olduğuna göre,. y−. 3y = 732 – 613 4. ⇒. y = 119 4. ⇒. y = 476 gram.

(9) 11. Bir sepetteki güller 5 er 5 er demetlenince 2 gül, 7 şer 7 şer demetlenince de 3 gül artmaktadır. Buna göre, sepette en az kaç gül vardır? A) 17. B) 24. C) 27. D) 37. E) 38. Çözüm 11 I. Yol Gül sayısı = G olsun. G = 5.k + 2 = 7.t + 3 Eşitliğin her üç tarafına 18 eklenirse, G + 18 = 5.k + 2 + 18 = 7.t + 3 + 18 G + 18 = 5.k + 20 = 7.t + 21 G + 18 = 5.(k + 4) = 7.(t + 3) G + 18 = 5.m = 7.n. ⇒. G + 18 = okek(5 , 7).s. ⇒. okek(5 , 7) = 35. ( s ∈ Z+ ). Gül sayısının en az olması için : k = 1 ise G + 18 = 35. ⇒. G = 17 elde edilir.. II. Yol Gül sayısı = G olsun. G = 5.k + 2 = 7.t + 3 5 ile bölündüğü zaman 2 kalanını veren sayılar : 2 , 7 , 12 , 17 , 22 , . . . 7 ile bölündüğü zaman 3 kalanını veren sayılar : 3 , 10 , 17 , 24 , 31 , . . . Ortak olan ilk sayı 17 dir..

(10) 12. Bir malın etiket fiyatı, maliyeti üzerinden % 40 karla hesaplanmıştır. Bu mal, etiket fiyatı üzerinden % 15 indirimle satılırsa, elde edilen kar yüzde kaç olur? A) 30. B) 27. C) 25. D) 22. E) 19. Çözüm 12 Maliyet fiyatı = x olsun. Etiket fiyatı = x + x .% 40 = x +. Đndirimli fiyatı =. 2x 7x = 5 5. 7x 7x 7x 21x 119 x – .% 15 = – = = x + x.% 19 5 5 5 100 100. Buna göre, elde edilen kar yüzde 19 olur.. 13. Hızları farkı 8 km / saat olan iki bisikletli, aynı noktadan, aynı anda, zıt yönde hareket ediyorlar. Hareketinden 1 saat sonra aralarındaki uzaklık 40 km olduğuna göre, daha yavaş giden bisikletlinin hızı kaç km/saat tir? A) 8. B) 10. C) 14. D) 16. E) 20. Çözüm 13. x = v.t. x1 = v.1. ⇒. x 2 = (v + 8).1. x1 = v ⇒. x2 = v + 8. x1 + x 2 = 40 olduğuna göre, v + (v + 8) = 40. ⇒. v = 16 elde edilir..

(11) 14. Hacmi 2560 litre olan bir depo, 20 ve 17 litrelik iki bidonla su taşınarak doldurulmuştur. Toplam 140 bidon su taşınınca depo tam doldurulduğuna göre, 17 litrelik bidon ile kaç bidon su taşınmıştır? A) 50. B) 60. C) 70. D) 80. E) 90. Çözüm 14 17 litrelik bidonun kullanılma sayısı = x olsun. 20 litrelik bidonun kullanılma sayısı = 140 – x 17.x + 20.(140 – x) = 2560. 15. Ahmet parasının. ⇒. 3x = 240. ⇒. x = 80. 1 ünü yıllık % 40 tan, 3. geri kalanını ise yıllık % 60 tan 6 aylığına faize veriliyor. Eğer tersini yapsaydı, yani; parasının. 1 ünü yıllık % 60 tan, 3. geri kalanını ise yıllık % 40 tan 6 aylığına faize verilseydi 100000 lira daha az faiz alacaktı. Buna göre, Ahmet’in faize verdiği toplam para kaç liradır? A) 3750000. B) 3500000. C) 3000000. D) 2500000. Çözüm 15 Ahmet’in parası = x olsun.. 2x 2x x  x  .60.6   .60.6 .40.6   .40.6 3  –3  = 100000 + 3 + 3 1200   1200 1200   1200         80 x + 240 x − 120 x − 160 x = 1200.100000 40 x = 1200.100000. x = 3000000. E) 2225000.

(12) 16. M ve N kümeleri M = {a , b , {1 , 2}, ∆} N = {a , 1 , 2 , {∆}} olduğuna göre, M – N fark kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 2. B) 3. C) 4. D) 5. E) 6. Çözüm 16 M – N = {b , {1 , 2} , ∆} s(M – N) = 3  3 M – N fark kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı =   = 3  2 {b , {1 , 2}} {b , ∆} {∆ , {1 , 2}}.

(13) 17. A ve B kümeleri A = {(x , y)y – x² ≤ 0 ; x , y ∈ R} B = {(x , y)x² + y² – 4 ≤ 0 ; x , y ∈ R} olduğuna göre, A ∩ B kümesi aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? A). B). C). D). E).

(14) Çözüm 17 A = {(x , y)  y ≤ x² ; x , y ∈ R} y = x² parabolü çizilir. y ≤ x² ise parabol ve dış bölgesi olduğuna göre,. B = {(x , y)x² + y² – 4 < 0 ; x , y ∈ R} x² + y² – 4 ≤ 0. ⇒. x² + y² ≤ 4. Başlangıç noktası : O(0 , 0) , yarıçapı : 2 birim olan çember ve iç bölgesi olduğuna göre,.

(15) Buna göre, A ∩ B kümesi. elde edilir.. 18. Tamsayılar kümesi üzerinde her a, b için a ∗ b = ab − b işlemi tanımlanmıştır. Buna göre, (3 ∗ 2) ∗ 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 4. B) 5. C) 6. D) 7. E) 8. Çözüm 18 (3 ∗ 2) ∗ 1 = ? a ∗ b = ab − b. ⇒. 3 ∗ 2 = 32 − 2. ⇒. 3∗ 2 = 7. ⇒. 7 ∗ 1 = 71 − 1. ⇒. 7 ∗ 1 = 6 bulunur.. (3 ∗ 2) ∗ 1 = 7 ∗ 1.

(16) 19. 161991 ≡ x (mod 7) olduğuna göre, x aşağıdakilerden hangisidir? A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. E) 5. Çözüm 19 I. Yol 16 ≡ 2 (mod 7) 161991 ≡ x (mod 7). ⇒. 21991 ≡ x (mod 7). ⇒. 21991 ≡ x (mod 7). ⇒. (2 ). ⇒. 161991 ≡ x (mod 7). ⇒. (16 ). 21 ≡ 2 (mod 7) 2 2 ≡ 4 (mod 7) 2 3 ≡ 1 (mod 7) 1991 = 3 × 663 + 2. 3 663. .2 2 = 1.4 ≡ 4 (mod 7). II. Yol 161 ≡ 2 (mod 7) 16 2 ≡ 2 (mod 7) 16 3 ≡ 4 (mod 7) 16 4 ≡ 1 (mod 7) 1991 = 4 × 497 + 3. 4 497. .16 3 = 1.4 ≡ 4 (mod 7).

(17) 20. x. 0,4 = 1 olduğuna göre, x kaçtır?. A). 5. 5 2. B). 5 3. C). 5 4. D). E). 5 6. Çözüm 20 I. Yol. x. 0,4 = 1. ⇒. x.. 4 =1 10. ⇒. x.. 2 =1 5. ⇒. x.. ⇒. x. 2 = 5. ⇒. x=. 5. ⇒. x.. 4 =1 10. ⇒. x.. 2 =1 5. 2 5. =1. ⇒. 2. x=. 5 elde edilir. 2. II. Yol. x. 0,4 = 1. x=. 5 . 2 2 5 5 2. 1. ⇒. x=. ⇒. x=. 5 elde edilir. 2. 1 2 5.

(18) 21.. x + x + x − x = 2 olduğuna göre, x kaçtır?. A). 2. B) 2. C) 1. D). 1 3. E). 4 3. Çözüm 21 x+ x + x− x =2 Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa, 2.  x + x + x − x  = 2 2   2. 2.  x + x  + 2. x + x . x − x  +  x − x  = 4       . x + x + 2. ( x + x ).( x − x ) + x − x = 4 2 x + 2 x² − x = 4 x + x² − x = 2 x² − x = 2 − x Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa,. (. x² − x. ). 2. = (2 − x) 2. ⇒. x² − x = 4 − 4 x + x². ⇒. 3x = 4. ⇒. x=. 4 bulunur. 3.

(19) 22. e doğal logaritmanın tabanı ve f ( x) = [[ x. ]] − [[ x ]]. olduğuna göre,. f (− e) değeri kaçtır? A) – 2. B) – 1. C) 0. D) 1. E) 2. Çözüm 22. e = 2,71 olduğuna göre, f ( x) = [[ x. ]] − [[ x ]]. ⇒. f (− e) = [[ − e. ⇒. f (− e) = [[ − 2,71. ⇒. f (− e) = [[ 2,71. ⇒. f ( − e) = 2 − 3. ⇒. f ( − e) = – 1. Not : Tam değer fonksiyonu. ⇒. [[x]] = a. B) 12. C) 10. D) 8. ]] −. ⇒. 23. f (x) : R → R , f ( x) = x. f ( x + 1) , f (4) = A) 14. ]] − [[ − e ]] ]] − [[ − 2,71 ]] −3. a≤x<a+1. 4 olduğuna göre, f (2) değeri kaçtır? 3. E) 6. Çözüm 23 f ( x) = x. f ( x + 1) x = 3 için : f (3) = 3. f (3 + 1) f ( 4) =. ⇒. 4 4 olduğuna göre, f (3) = 3. 3 3. x = 2 için : f (2) = 2. f (2 + 1). ⇒. f (3) = 4 olduğuna göre, f (2) = 2.4. f (3) = 3. f (4) ⇒. f (3) = 4. f (2) = 2. f (3) ⇒. f (2) = 8 elde edilir..

(20) 24. log 3 5 = a olduğuna göre, log 9 25 in değeri kaçtır? A) a. B) 2a. C) a². D). a 2. E). a. Çözüm 24 log 9 25 = log 32 5 2 =. 2 . log 3 5 = log 3 5 2. log 9 25 = log 3 5 log 3 5 = a olduğuna göre, log 9 25 = log 3 5 = a bulunur.. 25. i ² = −1 olduğuna göre, (1 + i ).(1 + i 3 ).(1 + i 5 ).(1 + i 7 ) çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 2. B) 4. C) 1 + i. D) 1 – i. E) 4i. Çözüm 25 (1 + i ).(1 + i 3 ).(1 + i 5 ).(1 + i 7 ) = (1 + i ).(1 + i 2 .i ).(1 + i 4 .i ).(1 + i 6 .i ) = (1 + i ).(1 + i 2 .i ).(1 + (i 2 ) 2 .i ).(1 + (i 2 ) 3 .i ) i ² = −1 olduğuna göre, = (1 + i ).(1 + (−1).i ).(1 + (−1) 2 .i ).(1 + (−1) 3 .i ) = (1 + i ).(1 − i ).(1 + i ).(1 − i ) = (12 − i 2 ).(12 − i 2 ) = (1 − i 2 ).(1 − i 2 ) = (1 − i 2 ) 2 = (1 − (−1)) 2 = 22 =4.

(21) 26. Karmaşık düzlemde A(4 + 6i) , B(– 2 – i) , C(4 + 5i) noktaları veriliyor. A nın [BC] nin ortasına olan uzaklığı kaç birimdir? A) 5. B) 4. C) 3. D) 3 2. E) 3 3. Çözüm 26 A(4 + 6i). B(– 2 – i). C(4 + 5i). A(4 ,6). B(– 2 , – 1). C(4 , 5).  − 2 + 4 −1+ 5  [BC] nin orta noktası D =  ,  2   2. ⇒ D = (1 , 2). A(4 ,6) ve D(1 , 2) ise AD=. (4 − 1)² + (6 − 2)². ⇒. AD =. ⇒. AD = 5. 9 + 16. Not : Karmaşık Düzlem z = a + b.i karmaşık sayısı için Re ( z ) = a sayısını x ekseninde, Đm ( z ) = b sayısını y ekseninde alarak oluşan (a , b) noktası, a + b.i karmaşık sayısını gösterir.. x : Reel Eksen y : Sanal Eksen. Böylece karmaşık sayılarla bire – bir eşlenmiş düzleme karmaşık düzlem denir..

(22) 27.. f ( x) =. 1 1 − x x +1. fonksiyonunun en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) R – [– 1 , 0]. B) R. C) (– 1 , ∞). D) (0 , 1). E) (0 , ∞). Çözüm 27. f ( x) =. 1 1 − x x +1. ⇒. f ( x) =. 1 1 − x x +1. x +1. x. ⇒. f ( x) =. x +1− x x.( x + 1). ⇒. f ( x) =. 1 x.( x + 1). 1 > 0 olmalıdır. x.( x + 1) 1 fonksiyonu paydanın sıfır olduğu yerde tanımsızdır. x.( x + 1) x.( x + 1) = 0. ⇒. x=0. ⇒. x = −1. En geniş tanım aralığı = R – [– 1 , 0] olur..

(23) 28. ( x + t )² + 2b.( x + t ) + c = 0 , t ∈ R denkleminde köklerin gerçel olmaması için b ile c arasındaki bağıntı ne olmalıdır? A) b² + c > 1. B) b² + c < 1. C) b² > c. D) b² < c. E) b² = c. Çözüm 28 I. Yol Denkleminin gerçel köklerinin olmaması için ∆ < 0 olmalıdır. Ayrıca her t için yanıt değişmeyeceğinden t için uygun bir sayı seçilir. t = 1 olsun. ( x + t )² + 2b.( x + t ) + c = 0. ∆<0. ⇒. ( x + 1)² + 2b.( x + 1) + c = 0. ⇒. x ² + 2 x + 1 + 2b.x + 2b + c = 0. ⇒. x ² + 2(b + 1).x + 2b + c + 1 = 0. ⇒. (2(b + 1))² − 4.1.(2b + c + 1) < 0. ⇒. 4.(b ² + 2b + 1) − 4.(2b + c + 1) < 0. ⇒. b ² + 2b + 1 − 2b − c − 1 < 0. ⇒. b² − c < 0. ⇒. b ² < c elde edilir.. II. Yol ( x + t )² + 2b.( x + t ) + c = 0. ⇒. x + t = u olsun.. u ² + 2b.u + c = 0 denkleminin köklerinin gerçel olmaması için ∆ < 0 olmalıdır. ∆<0. ⇒. (2b)² − 4.1.c < 0. ⇒. 4.b ² − 4.c < 0. ⇒. b² − c < 0. ⇒. b ² < c elde edilir..

(24) 29. P ( x − 1) + P ( x + 1) = 4x² – 2x + 10 olduğuna göre, P (x) polinomu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 x ² − x − 3. B) 2 x ² + x − 3. C) 2 x ² − x + 3. D) 4 x ² + x − 1. E) 4 x ² − x + 1. Çözüm 29 P ( x) = ax ² + bx + c olsun. P ( x − 1) = a.( x − 1)² + b.( x − 1) + c. ⇒. P ( x − 1) = ax ² + (b − 2a ).x + a − b + c. P ( x + 1) = a.( x + 1)² + b.( x + 1) + c. ⇒. P ( x + 1) = ax ² + (b + 2a ).x + a + b + c. Eşitlik taraf tarafa toplanırsa, P ( x − 1) + P ( x + 1) = 2a.x ² + 2b.x + 2(a + c) P ( x − 1) + P ( x + 1) = 4x² – 2x + 10 olduğuna göre, 2a.x ² + 2b.x + 2(a + c) = 4x² – 2x + 10. P ( x) = ax ² + bx + c. ⇒. ⇒. 2a = 4. ⇒. ⇒. 2b = −2. ⇒. 2(a + c) = 10. ⇒. a=2 b = −1 ⇒. c=3. P ( x) = 2 x ² − x + 3 bulunur.. 30. Denklemi x² – 6x + y² = 7 olan çemberin çapının uzunluğu kaç birimdir? A) 3. B) 5. D) 6. D) 7. E) 8. Çözüm 30 x² – 6x + y² = 7. ⇒. (x – 3)² – 9 + y² = 7. ⇒. (x – 3)² + (y – 0)² = 16. ⇒. (x – 3)² + (y – 0)² = 4². Buna göre, çemberin merkezi (3 , 0) noktası ve yarıçapı 4 birim bulunur. Çemberin çapının uzunluğu ise : 2 × 4 = 8 birim olur..

(25) 31.. Kenar uzunlukları şekilde verilen dik yamuk, bir doğru parçasıyla, çevreleri eşit bir üçgen ile bir dikdörtgene ayrılmıştır. Buna göre, x kaç birimdir? A) 1. B) 1,5. C) 2. D) 2,5. E) 3. Çözüm 31. çevre(DEA) = çevre(DEBC) 5 + 4 + (5 − x) = x + 4 + x + 4. ⇒. 3x = 6. ⇒. x=2.

(26) 32. ABCD bir yamuk F, [DC] üzerinde E, [AB] üzerinde [EF] ⊥ [DC] AE = EB AB = 4 birim BC = 5 birim AD = 2 birim Yukarıdaki verilere göre, EF kaç birimdir? A) 2,8. B) 3. C) 3,5. D) 3,6. E) 4.

(27) Çözüm 32. DH çizilirse, CH = 3 AB = DH = 4 CHD dik üçgeninde pisagor teoremine göre, CD² = 3² + 4². ⇒. CD = 5. DE ve CH çizilirse,. Alan(ABCD) = Alan(ADE) + Alan(DEC) + Alan(EBC) EF .5 5.2 (2 + 5).4 2 .2 = + + 2 2 2 2 14 = 2 +. EF .5 2. +5. ⇒. EF =. 14 = 2,8 olur. 5.

(28) 33.. [AB] çaplı yarım çember AT = 3 birim TB = 2 birim. ∩. Şekildeki O merkezli çember [AB] ye T de, AB ye S de teğettir. Buna göre, bu çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 1,0. B) 1,2. C) 1,3. D) 1,6. E) 1,8.

(29) Çözüm 33. Yarıçap teğete değme noktasında dik olduğuna göre, ∩. O merkezli çember [AB] ye T de, AB ye S de teğet olduğundan, MS ⊥ S ve OS ⊥ S. ⇒. M , O , S noktaları aynı doğru üzerinde olur.. ve OT ⊥ AB olur. OT = OS = r AB = 5. MS =. 5 2. ⇒. ⇒. MA = MB =. MO =. 5 2. 5 –r 2. MTO dik üçgeninde pisagor teoremine göre, 2. 5  1 2  − r = r +  2  2. 2. ⇒. 25 1 − 5r + r ² = r ² + 4 4. ⇒. r=. ⇒. r = 1,2 elde edilir.. 6 5.

(30) 34.. Kenar uzunlukları a ve b olan bir ABCD dikdörtgeninde bir çember [BC] ye B de, [AC] ye E de teğettir. AD=AE olduğuna göre,. A). 3 2. B). 4 3. C). 5 3. a oranı kaçtır? b. D). 2. E). 3. Çözüm 34. Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşit olduğuna göre, ABCD dikdörtgeninde bir çember [BC] ye B de, [AC] ye E de teğet olduğundan, AD = AE = CE = CB = b ADC dik üçgeninde pisagor teoremine göre, (2b)² = b ² + a ². ⇒. 3b ² = a ². ⇒. a² =3 b². ⇒. a = 3 b.

(31) 35.. A). sin 3 x cos 3 x + = 1 olduğuna göre, cos ² x aşağıdakilerden hangisine eşittir? sin x cos x 5 8. B). 3 4. C). 2 3. D). 1 3. E). 1 2. Çözüm 35 sin 3 x cos 3 x + =1 sin x cos x. ⇒. sin 3x cos 3x + =1 sin x cos x cos x. ⇒. sin x. sin 3 x. cos x + cos 3 x. sin x =1 sin x. cos x. Đki açının toplamının trigonometrik değerinden, sin(A + B) = sinA.cosB + cosA.sinB olduğuna göre, ⇒. sin(3 x + x) =1 sin x. cos x. ⇒. sin 4 x = sin x. cos x. Eşitliğin her iki tarafını 2 ile genişletelim. ⇒. 2. sin 4 x = 2. sin x. cos x. sin 2 x = 2. sin x. cos x olduğuna göre, ⇒. 2.(2. sin 2 x. cos 2 x) = sin 2 x. ⇒. 4. cos 2 x = 1. ⇒. cos 2 x =. 1 4. cos 2 x = 2 cos ² − 1 olduğuna göre, ⇒. 2 cos ² x − 1 =. ⇒. cos ² x =. 5 8. 1 4.

(32) 36. ABC bir üçgen D, [AB] üzerinde CD açıortay BC = 1 birim DB = k birim Yukarıdaki verilere göre, AC= x in k türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 + k. B) 1 + k². C). 1+ k 1− k. D). 1+ k 2 1− k 2. Çözüm 36 I. Yol ABC üçgeninde iç açıortay teoremine göre, AD x = 1 k. ⇒. AD = k .x. ABC dik üçgeninde pisagor teoremine göre, x ² = (k .x + k )² + 1². ⇒. ( x − 1).( x + 1) = k ².( x + 1)². ⇒. x − 1 = k ².x + k ². ⇒. x.(1 − k ²) = k ² + 1. ⇒. x=. 1+ k² 1− k². E). 1+ k 3 1− k 3.

(33) II. Yol ABC üçgeninde iç açıortay teoremine göre, AD x = 1 k. ⇒. AD = k .x. Yarım açı formüllerinden, tan 2a = k k .x + k 1 = 2 1 k 1−   1. 2.. 2 tan a ise 1 − tan ² a. 2k 1− k². ⇒. kx + k =. ⇒. x +1 =. ⇒. x=. 2 −1 1− k². ⇒. x=. 2 − 1 + k² 1 − k². ⇒. x=. 1+ k² 1− k². 2 1− k².

(34) 37. ABC bir üçgen D, [BC] üzerinde BD = DC AB = 2 birim AC = 2 2 birim m(BAD) = 45° m(DAC) = θ Yukarıdaki verilere göre, sin θ nın değeri kaçtır? A). 2 2. B). 3 2. C). 3 3. D). 1 2. E). 1 3. Çözüm 37 Taban uzunlukları ve yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları eşit olacağından, BD = DC. ⇒. alan(ABD) = alan(ADC). ⇒. 1 1 . AB . AD . sin 45 = . AD . AC . sin θ 2 2. ⇒. 1 2 1 = . AD .2 2 . sin θ .2. AD . 2 2 2. ⇒. sin θ =. 1 2. Not : Đki kenarı ve aradaki açısı verilen üçgenin alanı 1 .b.c.sin(A) 2 1 Alan (ABC) = .a.c.sin(B) 2 1 Alan (ABC) = .a.b.sin(C) 2 Alan (ABC) =.

(35) 38.. Yukarıdaki şekilde denklemi 2 x + y = 6 olan doğru. x – eksenini K de, y – eksenini L de kesmektedir. KA=AB=BL →. →. → →. olduğuna göre, OA ve OB vektörlerinin OA . OB skaler (iç) çarpımı kaçtır? A) 6. B) 8. C) 10. D) 12. E) 16.

(36) Çözüm 38 2x + y = 6. ⇒. x = 0 için : y = 6. →. L(0 , 6). y = 0 için : x = 3. →. K(3 , 0). KOL dik üçgeninde pisagor teoremine göre, LK² = 6² + 3². ⇒. LK = 3 5. KA = AB = BL =. 5.

(37) A( a , b ) ve B( c , d ) ise benzerlikten, 6−d 5 = 6 3 5. ⇒. d =4. 6−b 2 5 = 6 3 5. ⇒. b =2. 3−a 5 = 3 3 5. ⇒. a =2. 3−c 2 5 = 3 3 5. ⇒. c =1. O(0 , 0) ve A(2 , 2). ⇒. O(0 , 0) ve B(1 , 4). ⇒. →. OA = (2 – 0 , 2 – 0) →. OB = (1 – 0 , 4 – 0). Buna göre, → →. OA . OB = 2.1 + 2.4 = 10 elde edilir.. ⇒ ⇒. →. OA = (2 , 2) →. OB = (1 , 4).

(38) veya. OA² = 2² + 2². ⇒. OA = 2 2. OB² = 4² + 1². ⇒. OB = 17. →. →. OA ve OB vektörleri arasındaki açı α olsun.. → →. OA . OB = OA.OB. cos α. Kosinüs teoremine göre,. ( 5 ) = ( 17 ) + (2 2 ) 2. 2. 2. − 2. 17 .2 2 . cos α. 5 = 17 + 8 – 2. 17 . 2 2 . cos α → →. OA . OB = 2 2 . 17 . → →. OA . OB = 10 olur.. 5 34. ⇒. cos α =. 5 34.

(39) →. →. →. Not : A = ( x1 , y1 ) , B = ( x 2 , y 2 ) vektörleri için AB vektörünü bulmak için, bitim noktasının koordinatlarından başlangıç noktasının koordinatları çıkarılır. →. Buna göre, AB = ( x 2 − x1 , y 2 − y1 ) olur.. Not : Vektörlerin skaler (iç) çarpımı →. →. Öklid iç çarpımı denilen bu iç çarpım A = ( x1 , y1 ) , B = ( x 2 , y 2 ) vektörleri için →. →. A . B = x1 .x 2 + y1 . y 2 biçiminde tanımlanır.. Sonuç bir skaler (sayı) çıktığından bu çarpıma skaler çarpım da denir.. Not : Đç (skaler) Çarpım. →. →. Sıfırdan farklı A = ( x1 , y1 ) , B = ( x 2 , y 2 ) vektörleri arasındaki açı θ ise →. →. →. →.  A . B .cosθ gerçel sayısına A ve B vektörlerinin iç (skaler) çarpımı denir ve →. →. →. →. A . B ya da < A , B > biçiminde gösterilir.. ⇒. →. →. →. →. A . B =  A . B .cosθ. Not : Kosinüs teoremi Bir ABC üçgeninde, a² = b² + c² – 2.b.c.cos(A) b² = a² + c² – 2.a.c.cos(B) c² = b² + a² – 2.a.b.cos(C).

(40) 39.. ∩. Yukarıdaki şekilde denklemi y = 4 − x ² olan parabolün birinci dördüldeki AB yayı verilmiştir. B den geçen bir doğru yayı P de, x eksenini Q da kesmektedir. BP=PQ olduğuna göre, BQ doğrusunun eğimi kaçtır? A) − 3. B) − 2. C) −. 4 3. D) −. 3 4. E) – 1.

(41) Çözüm 39 y = 4 − x². ⇒. x = 0 için : y = 4. →. B(0 , 4). y = 0 için : x = 2. →. A(2 , 0). P( a , b ) = P( a , 4 − a ² ) Q( c , 0) olsun. BP=PQ olduğuna göre, P noktası orta noktadır. a=. c+0 2. 4 − a² =. ⇒. 4+0 2. c = 2a. ⇒. a = 2 bulunur.. P( 2 , 2) Q( 2 2 , 0) B(0 , 4) olduğuna göre, iki noktası bilinen doğrunun eğiminden, BQ doğrusunun eğimi =. 4−0 0−2 2. =. −2 2. = − 2 elde edilir.. Not : Đki noktası bilinen doğrunun eğimi A( x1 , y1 ) ve B( x2 , y 2 ) ⇒. m AB =. y1 − y 2 x1 − x 2.

(42) 40. Denklemi x – 2y = 0 ve x – 2y + 5 = 0 olan doğrular arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 3. B) 4. C) 5. D). 3. E). 5. Çözüm 40 I. Yol. Paralel iki doğru arası uzaklık : d =. c − c1 a ² + b². olduğuna göre,. x – 2y = 0 x – 2y + 5 = 0 d=. 0−5 1² + 2². ⇒. d=. 5 5. ⇒. d = 5 elde edilir..

(43) II. Yol Paralel doğrulardan birine ait bir noktanın diğer doğruya olan uzaklığına göre, x – 2y = 0 doğrusu üzerinden bir nokta seçilirse, x = 0 için : y = 0. ⇒. (0 , 0) noktasının x – 2y + 5 = 0 doğrusuna uzaklığı,. bir noktanın bir doğruya uzaklığından, d=. 0 − 0 .2 + 5 1² + 2 ². ⇒. d=. 5 5. ⇒. d=. 5 bulunur.. Not : Bir noktanın bir doğruya uzaklığı P( x1 , y1 ) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna uzaklığı,. ⇒ PH = d =. ax1 + by1 + c a ² + b². dir..

(44) 41.. ∩. Şekildeki AB Hata! Yer işareti tanımlanmamış., O merkezli dörtte bir çember yayı, [BC] de B(0 , 2) , C(– 1 , 0) noktalarını birleştiren doğru parçasıdır. Buna göre, aşağıdaki integrallerden hangisi taralı alanı verir?. ∫(. ). 1. A). 4 − x 2 − (2 + 2 x) dx. −2.  y−2  B) ∫  + ( 4 − y 2 )  dy 2  0 2. ∫(. 4 − x 2 + (2 + 2 x) dx. ). ∫(. 4 − x 2 − (2 + 2 x) dx. 1. C). 0. ). −1. D). −2.  y −2 2 E) ∫   dy + ∫ 4 − y dy 2  0 0 1. 2.

(45) Çözüm 41. Taralı kısmın bulunduğu bölgedeki dörtte bir çemberin denklemi : Merkezi O(0 , 0) ve yarıçapı 2 olduğundan ve taralı alan II. bölgede bulunduğundan, x ² + y ² = 2². ⇒. x² + y ² = 4. ⇒. y = 4 − x². ⇒. x = − 4 − y². B(0 , 2) ve C(– 1 , 0) noktalarının oluşturduğu doğru denklemi : y−2 x−0 = 2 − 0 0 − (−1). ⇒. ⇒. y = 2x + 2 y−2 2. x=. Taralı alan y fonksiyonuna göre yazılırsa, yukarıdakinden aşağıdaki çıkarılır. 0. Taralı alan =. ∫. −2. 0. 4 − x ² dx –. ∫ (2 x + 2) dx. −1. Taralı alan x fonksiyonuna göre yazılırsa, sağdakinden soldaki fonksiyon çıkarılır..   y − 2   − (− 4 − y ² ) dy 2   0 2. Taralı alan =. ∫ .   y − 2  = ∫   + 4 − y ²  dy elde edilir. 2   0  2.

(46) 1. 42. ∫ (2 x − 3)( x 2 − 3 x + 2) 4 dx aşağıdakilerden hangisine eşittir? 0. A) −. 32 5. B) – 3. C) 0. D) 3. E). 243 5. Çözüm 42 Değişken değiştirme yöntemine göre, x 2 − 3x + 2 = u. ⇒. (2 x − 3) dx = du. ⇒. dx =. du 2x − 3. integralin alt sınırı : x = 0 için : 0² – 3.0 + 2 = u. ⇒. u=2. integralin üst sınırı : x = 1 için : 1² – 3.1 + 2 = u. ⇒. u=0. 1. ∫ (2 x − 3)( x 0. 0. 2. − 3 x + 2) dx = ∫ (2 x − 3)(u ) 4 4. 2. du (2 x − 3). 0. = ∫ u 4 du 2. u 4+1 = 4 +1. 0. 2. u5 = 5. 0. 2. 05 25 32 − = − bulunur. = 5 5 5.

(47) 1. 43.. A). d (x2 ) ∫0 x 2 + 1 aşağıdakilerden hangisine eşittir?. π 4. B). π 2. C) ln 2. D) ln 3. E) 2. Çözüm 43. x 2 = u olsun. integralin alt sınırı : x = 0 için : 0² = u. ⇒. u=0. integralin üst sınırı : x = 1 için : 1² = u. ⇒. u=1. 1. d (x2 ) ∫0 x 2 + 1 =. 1. du. ∫ u +1 0. 1. = ln u + 1 0. = ln 1 + 1 − ln 0 + 1 = ln 2 − ln 1 = ln 2.

(48) 44. f ( x) = ( x − 1)².(2 x − t ) ve f // (0) = 0 olduğuna göre, t kaçtır? A) 4. B) 2. C) 0. D) – 2. E) – 4. Çözüm 44 I. Yol. f ( x) = ( x − 1)².(2 x − t ). ⇒. f / ( x) = 2.( x − 1).(2 x − t ) + 2.( x − 1)². ⇒. f // ( x) = 2.[(2 x − t ) + 2.( x − 1)] + 2.2.( x − 1). ⇒. f // ( x) = 2.(2 x − t ) + 8.( x − 1). f // (0) = 0 olduğuna göre, ⇒. f // (0) = 2.(2.0 − t ) + 8.(0 − 1). ⇒. 0 = −2.t − 8. ⇒. t =–4. ⇒. f ( x) = ( x ² − 2 x + 1).(2 x − t ). ⇒. f ( x) = 2 x ³ − 4 x ² + 2 x − t.x ² + 2tx − t. ⇒. f ( x) = 2 x ³ − (4 + t ).x ² + (2 + 2t ) x − t. ⇒. f / ( x) = 6 x ² − 2.(4 + t ).x + (2 + 2t ). ⇒. f // ( x) = 12 x − 2.(4 + t ). II. Yol. f ( x) = ( x − 1)².(2 x − t ). f // (0) = 0 olduğuna göre, ⇒. f // (0) = 12.0 − 2.(4 + t ). ⇒. 0 = 2.(4 + t ). ⇒. t =–4.

(49) 45.. Köşesi A(6 , 3) olan şekildeki dik açının kenarları koordinat eksenlerini E ve F de kesmektedir. Buna göre, EF nin en küçük değeri kaçtır? A) 2 5. B) 3 5. C) 2 3. D) 5. E) 4. Çözüm 45 I. Yol. EF en küçük değerini, AE ile AF en küçük değerini aldığında olur. AF ⊥ Oy. ⇒. AF = 6. AE ⊥ Ox. ⇒. AE = 3. AF = 6 ve AE = 3 ise pisagor bağıntısına göre, EF² = 6² + 3². ⇒. EF = 3 5.

(50) II. Yol. FOE dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, EF² = x ² + y ². ⇒. x² + y². EF =. A(6 , 3) ve E(x , 0) ise eğim : m AE =. 3−0 6− x. ⇒. m AE =. 3 6− x. A(6 , 3) ve F(0 , y) ise eğim : m AF =. 3− y 6−0. ⇒. m AF =. 3− y 6. AE ⊥ AF. m AE .m AF = −1 olduğuna göre,. ⇒. 3 3− y . = −1 6−x 6. ⇒. 3− y = −1 12 − 2 x. ⇒. y = −2 x + 15. EF nin en küçük değeri alması için : ( EF ) / = 0 olmalıdır. EF =. x² + y². ( EF ) / = 0. ⇒. ⇒. EF =. ( EF ) / =. (. x ² + (−2 x + 15)² x ² + (−2 x + 15)². ). /. =0. 2 x + 2(−2 x + 15).(−2). =0. 2. x ² + (−2 x + 15)². x + 4 x − 30 = 0 y = −2 x + 15 olduğuna göre, y = −2.6 + 15 EF =. x ² + y ² olduğuna göre, EF = EF =. ⇒. ⇒. x=6. y = 3 bulunur.. 6² + 3² 45. ⇒. EF = 3 5 elde edilir..

(51) III. Yol. Đki nokta arası uzaklığa göre, AF² = (0 – 6)² + (y – 3)² AE² = (x – 6)² + (0 – 3)² EAF dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, EF² = AF² + AE² EF² = [(0 – 6)² + (y – 3)²] + [(x – 6)² + (0 – 3)²] EF² = 36 + (y – 3)² + (x – 6)² + 9 EF² = (y – 3)² + (x – 6)² + 45 EF nin en küçük değeri için, tam kareli terimler sıfıra eşit olacağına göre, x = 6 ve y = 3 olur. Buna göre, EF² = 0 + 0 + 45. ⇒. EF² = 45. ⇒. EF = 3 5 bulunur..

(52) IV. Yol. a + b = 90. 3− x y = 6 3. ⇒. tan a =. ⇒. x = 3 − 2 y elde edilir.. FOE dik üçgeninde pisagor bağıntısına göre, EF² = x ² + (6 + y )². ⇒. EF =. x ² + (6 + y )². EF nin en küçük değeri alması için : ( EF ) / = 0 olmalıdır. EF =. x ² + (6 + y )². ( EF ) / = 0. ⇒. ⇒. EF =. ( EF ) / =. (. (3 − 2 y )² + (6 + y )². (3 − 2 y )² + (6 + y )². ). /. =0. (−2).2.(3 − 2 y ) + 2.( y + 6) 2. (3 − 2 y )² + ( y + 6)². =0. 5y − 6 + 6 = 0. x = 3 − 2 y olduğuna göre, x = 3 − 2.0 EF =. ⇒. x ² + (6 + y )² olduğuna göre, EF = EF =. x = 3 bulunur.. 3² + (6 + 0)² 45. EF = 3 5 elde edilir.. ⇒. y=0.

(53) a  2 46. [1 2 a 5].   = [0] olduğuna göre, a kaçtır? 3   4 A) – 6. B) – 4. C) 3. D) 4. E) 5. Çözüm 46 a  2 [1 2 a 5].   = [0] 3   4. ⇒. [1.a + 2.2 + a.3 + 5.4] = [0]. ⇒. 4a + 24 = 0. ⇒. a=–6.

(54) 47. Bir geometrik dizinin ilk terimi A) 28. B) 30. C) 32. 3 , ikinci terimi 3 olduğuna göre, altıncı terimi kaçtır? 2. D) 39. E) 48. Çözüm 47. a1 =. 3 2. a2 = 3 a6 = ?. a 2 = a1 .r Geometrik dizinin ortak çarpanı : r =. a2 a1. ⇒. r =. ⇒. 3 a 6 = .2 5 2. a 3 = a 2 .r. ⇒. a3 = 3.2. ⇒. a3 = 6. a 4 = a 3 .r. ⇒. a 4 = 6.2. ⇒. a4 = 12. a 5 = a 4 .r. ⇒. a5 = 12.2. ⇒. a5 = 24. a 6 = a 5 .r. ⇒. a6 = 24.2. ⇒. a6 = 48 elde edilir.. a 6 = a1 .r 5. ⇒. 3 3 2. a6 = 48 elde edilir.. veya. ⇒. r =2.

(55) 48. n elemanlı bir kümenin r - li bütün kombinasyonlarının (kombinazonlarının) sayısı C(n , r) ile gösterildiğine göre, C (n , 2) + C (n , 3) = 4.C (n ,1). eşitliğinde n kaç olmalıdır? A) 3. B) 4. C) 5. D) 6. E) 7. Çözüm 48 C (n , 2) + C (n , 3) = 4.C (n ,1) n! n! n! + = 4. (n − 2) !.2 ! (n − 3) !.3! (n − 1) !.1! n.(n − 1) n.(n − 1).(n − 2) + = 4.n 2 3 .2. 3.n.(n − 1) + n.(n − 1).(n − 2) = 4.n 6 n.(n − 1).[3 + (n − 2)] = 24.n. (n − 1).(n + 1) = 24 n ² − 1 = 24 n ² = 25 n=5.

(56) ∞. 49.. k =0. A). 1. ∑3. 2k. 9 8. ifadesinin değeri kaçtır?. B). 3 8. C). 3 5. D). 3 4. E). 4 3. Çözüm 49 ∞. 1. ∑3 k =0. 2k. ∞. =. 1. ∑9 k =0. k. =. 1 1 1 1 + + + + ........ 9° 9¹ 9² 9³. = 1+. 1. =. 1−. =. =. 1 1 1 + + + ........ 9¹ 9² 9³. 1 8 9 9 8. 1 9.

(57) 50. lim x →1. A) −. ln x x2 −1. 1 2. değeri kaçtır?. B) – 1. C) 0. D). 1 2. E) 1. Çözüm 50. lim x →1. ln x x −1 2. =. ln 1 1² − 1. 0 belirsizliği vardır. 0. =. L’Hospital kuralı uygulanırsa,. lim x →1. (ln x). 1 x 2x. /. ( x 2 − 1) /. = lim x →1. 2 x² − 1  1 2 x2 −1   = lim . x →1  x  2 x  . = lim x →1. 1² − 1 1². =. =. x2 −1 x². 0 1. =0. Not : L’ Hospital Kuralı lim. x→ x0. f / ( x) 0 ∞ f ( x) f ( x) limitinde veya belirsizliği varsa , lim = lim / olur. x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) g ( x) 0 ∞.

(58) 51. limπ x→. A) 0. sin x + cos x. π. 6. 3 B). değeri kaçtır?. −x. 3 −1. 1 (1 − 3 ) 2. C). Çözüm 51. lim x→. π. 6. sin x + cos x. π 3. sin =. π 6. π. −x. 3. + cos −. π 6. 1 3 + = 2 2. π. 6 1+ 3 2 =. π. 6 =. 3. π. (1 + 3 ). π 6. D). 3. π. (1 + 3 ). E). π 3.

(59) 52. n elemanlı bir kümenin r - li bütün kombinasyonlarının (kombinazonlarının) sayısı C(n , r) ile gösterildiğine göre, C (n ,1) .C (n , 4) n →∞ C ( n , 2) .C ( n , 3). lim. değeri kaçtır? A). 1 4. B). 1 3. C). 1 2. D) 1. E) 2. Çözüm 52 n! (n − 4) !.4 ! C (n ,1) .C (n , 4) lim = lim n →∞ C ( n , 2) .C ( n , 3) n →∞ n! n! . (n − 2) !.2 ! (n − 3) !.3! n.. n .(n − 1).(n − 2).(n − 3) 4 .3 . 2 .1 = lim n →∞ n.( n − 1) n.( n − 1).( n − 2) . 3 .2 . 1 2 .1 n.. (n − 3) = lim 2 n →∞ ( n − 1) 1 = lim. n →∞. =. n−3 2n − 2. 1 2. Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@yahoo.com AMASYA.

(60)