Bertrand Eğri Çiftine Ait Frenet Çatısına Göre Smarandache Eğrileri

I T.C.

ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BERTRAND EĞRİ ÇİFTİNE AİT FRENET ÇATISINA GÖRE

SMARANDACHE EĞRİLERİ

ÜNZİLE ÇELİK

YÜKSEK LİSANS TEZİ

III

IV ÖZET

BERTRAND EĞRİ ÇİFTİNE AİT FRENET ÇATISINA GÖRE SMARANDACHE EĞRİLERİ

Ünzile ÇELİK

Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, 2015

Yüksek Lisans Tezi, 79s.

Danışman: Yrd. Doç. Dr.Süleyman ŞENYURT

Bu çalışma altı bölüm halinde düzenlenmiştir. Giriş Bölümünde çalışmanın amacı ve konunun ele alınma nedeni tartışıldı. Önceki Çalışmalar Bölümünde Smarandache eğrileri ile ilgili çalışmalara yer verildi. Genel Bilgiler Bölümünde Öklid uzayı ile ilgili bilgilerden söz edildi. Materyal ve Yöntem Bölümünde Öklid uzayında Bertrand eğri çiftleri ve Smarandache eğrileri ile ilgili temel kavramlar anlatıldı.

Bulgular Bölümü çalışmamızın orijinal kısmını oluşturmaktadır. Bertrand eğrisine ait partner eğrisinin Frenet vektörleri ve birim Darboux vektörü konum vektörü olarak alındığında elde edilen Smarandache eğrilerinin eğrilik ve burulmaları hesaplandı ve bulunan bu değerler, Bertrand eğrisine bağlı olarak ifade edildi.Son olarak elde edilen Smarandache eğrilerinin Bertrand eğri çiftine dahil olup olmadığı incelendi.

V ABSTRACT

SMARANDACHE CURVES OF BERTRAND CURVE PAİR ACCORDING TO FRENET FRAME

Ünzile ÇELİK

University of Ordu

Institute for Graduate Studies in Science andTechnology Department of Mathematic, 2015

MSc. Thesis, 79p.

Supervisor: Asst. Prof. Dr. Süleyman ŞENYURT

This study consist six fundamental chapters. In the introduction chapter, theaim of study and the reasons why this subject is interestedare given. Then extchapter is covered with literatüre review of Smarandache curve. In general formation chapter is included with some information about Euclidean space. The basic consepts of Bertrand curve pair and Smarandache curves on Euclidean space are given in the material and method chapter.

The Findings chapter is theoriginal part of the study. In this chapter, when the Frenet vectors and the unit Darboux vector of the partner curve of Bertrand curve are taken as the position vectors, the curvature and the torsion of Smarandache curves are calculated. These values are expressed depending upon the Bertrand curve and it is examined whether the resulting Smarandache curves have relations with Bertrand curves.

VI TEŞEKKÜR

Tüm çalışmalarım boyunca her zaman bilgi ve deneyimleriyle yardımlarını esirgemeyen saygıdeğer hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Süleyman ŞENYURT’ a en samimi duygularım ile teşekkürlerimi sunarım.

Ayrıca benim bu günlere gelmemde büyük pay sahibi olan aileme en içten şükranlarımı sunuyorum.

VII İÇİNDEKİLER Sayfa TEZ BİLDİRİMİ ……….………..…….…… I ÖZET………..…….………..………… II ABSTRACT………...…..…... III TEŞEKKÜR………..….... IV İÇİNDEKİLER………..……….…..…… V ŞEKİLLER LİSTESİ………..………. VI

SİMGELER ve KISALTMALAR………...……….…..….…… VII

1. GİRİŞ………...……….…………...……….………..…… 1

2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR……….……….……..………...… 2

3. GENEL BİLGİLER……….………...…………...…... 4

4. MATERYAL ve YÖNTEM………...….………...…....……... 15

4.1. Öklid Uzayında Bertrand Eğri Çifti…………..………..………..…...……...…………. 15

4.2. Öklid Uzayında Smarandache Eğrileri…………..………...………..…...……. 23

5. BULGULAR…………...……….……….………... 43 5.1. T N Smarandache Eğrisi………...………....…………...……..….. 43 5.2. N B Smarandache Eğrisi………...……….….. 48 5.3. T B Smarandache Eğrisi………...……....……….….…. 53 5.4. T N B  Smarandache Eğrisi………...……..…....………... 59 5.5. N C Smarandache Eğrisi………..…...…………...….…….…..…….……… 65 6. SONUÇ ve ÖNERİLER………...…….….…………..……...……. 75 6.1. Sonuçlar………...……….………..………...……… 75 6.2. Öneriler………...……….……….…..….…...……… 76 7. KAYNAKLAR………...……….…………..….………...……… 77 ÖZGEÇMİŞ………...….……….. 79

VIII

ŞEKİLLER LİSTESİ

Şekil No Sayfa

Şekil 3.1. Darboux Vektörü……...……… 9

Şekil 4.1. Bertrand Eğri Çifti……..………...….…..…..………… 15

Şekil 4.2. Bertrand Eğri Çiftine Ait Frenet Çatılarının Gösterimi….….……….…..………… 18

Şekil 4.3.



 

s Eğrisi……….…...……….….……… 41

Şekil 4.4. TN-Smarandache Eğrisi………….……….………..………...….….……… 42

Şekil 4.5. NB-Smarandache Eğrisi……….………..………… 42

Şekil 4.6. TNB-Smarandache Eğrisi……….….……… 42

Şekil 4.7.NC-Smarandache Eğrisi………..…….……… 42

Şekil 5.1. Bertrand Eğri Çifti……….…... 74

Şekil 5.2. T N  -Smarandache Eğrisi………..…...…….……… 74

Şekil 5.3. T B -Smarandache Eğrisi……….…..……....………..……… 74

Şekil 5.4. N B  -Smarandache Eğrisi………...……….……….……… 74 Şekil 5.5. T N B   -SmarandacheEğrisi………..……….……..……… 74 Şekil 5.6. N C  -Smarandache Eğrisi………...………..……….…..…….……… 74

IX

SİMGELER ve KISALTMALAR LİSTESİ 3

E : 3-boyutlu Öklid uzayı 2

S : Öklid Uzayında Birim küre 2

S : Dual Uzayında Birim Küre : Norm   : İç çarpım  : Vektörel çarpım T : Teğet Vektör N : Aslinormal Vektör B : Binormal Vektör

C : Birim Darboux vektörü W : Darboux vektörü

 : Eğrinin eğriliği

 : Eğrinin burulması (torsiyon)

1

: T N



  -Smarandache Eğrisi 2

: N B



  -Smarandache Eğrisi 3

: T B



  -Smarandache Eğrisi 4

: T N B



   -Smarandache Eğrisi 5

: N C



  -Smarandache Eğrisi

1 1. GİRİŞ

3-boyutlu Öklid uzayında eğrilerin diferansiyel geometrisi üzerinde birçok çalışmalar yapılmaktadır. Özellikle eğrilerin karşılıklı noktalarında Frenet çatıları arasında bağıntılar kurularak, birçok yeni teoriler elde edilmektedir. Bunlardan biriside Bertrand eğrisidir.

Bertrand eğrisi ilk olarak 1850yılında Bertrand Russel tarafından tanımlanmıştır.



ve *

eğrilerinin aslinormal vektörleri birbiriyle lineer bağımlı ise



eğrisine Bertrand eğrisi, *

eğrisine



eğrisinin Bertrand partner eğrisi,



 , *



ikilisine de Bertrand eğri çifti denilmektedir.

2008 yılında Turgut ve Yılmaz tarafından yapılan çalışmada Smarandache eğrileri tanımlanmıştır. Smarandache eğrileri; eğrinin Frenet vektörleri konum vektörü olarak ele alındığında elde edilen regüler eğrilerdir.

Bu çalışmada



 , *



Bertrand eğri çifti olmak üzere *

Bertrand partner eğrisinin Frenet vektörleri

T N

*

,



ve

B

*, birim Darboux vektörü Cile gösterilirse bu vektörler tarafından oluştulan T N ,N B ,T B ,T N B   ve N C Smarandache eğrilerinin tanımları verilerek eğrilikleri hesaplandı. Daha sonra bu eğrilikler



Bertrand eğrisinin eğrilikleri cinsinden ifade edildi.

2 2. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR

Turgut ve Yılmaz 2008 yılında “Smarandache Curves in Minkowski space-time” isimli çalışmada Minkowski uzayında Smarandache eğrisinin tanımını ifade ederek ,

4 1

E

de

TB

₂ Smarandache eğrisine ait bazı özel durumlarını incelemiş ve bu eğrinin Frenet elemanlarını hesaplanmıştır.

Ali, 2010 yılında, “Special Smarandache Curves in Euclidian Space” isimli çalışmada bazı özel Smarandache eğrilerini tanımlayarak bu eğrilere ait Frenet-Serret invaryantlarının özel durumlarını çalışmıştır.

Çetin ve ark., (2010), “SmarandacheCurvesAccordingtoBishopFrame in Euclidian 3-Space” isimli çalışmada Öklid uzayında Bishop çatısına göre özel Smarandache eğrilerini araştırmışlar ve bu eğrilerin bazı diferansiyel geometrik özelliklerini vermişlerdir. Ayrıca Smarandache eğrisine aitoskülatör kürenin merkezini ve kürenin eğriliği ile ilgili sonuçlar bulmuşlardır.

Şenyurt ve Sivas, (2013), “Smarandache Eğrilerine Ait Bir Uygulama” isimli çalışmada



eğrisinin Frenet vektörleri T N B, , ve birim Darboux vektörüC olmak

üzere NC Smarandache eğrisini tanımlamışlar ve bununla birlikte NB ve TNB -Smarandache eğrilerinin eğriliklerini hesaplamışlardır.

Bektaş ve Yüce, (2013), “Special Smarandache Curves According to Darboux Frame in Euclidian 3-Space” isimli çalışmada Öklid uzayında Darboux çatısına ait Smarandache eğrilerini incelemişler ve bu eğrilere ait bazı karakterizasyonları ve sonuçları vermişlerdir.

Bayrak ve ark., (2013), “Special SmarandacheCurves in

E

₁3” isimli çalışmada Minkowski uzayında regüler bir eğriye ait Frenet vektörleri tarafından oluşturulan Smarandache eğrilerini inceleyerek bazı sonuçlar bulmuşlardır.

Taşköprü ve Tosun, (2014), “Smarandache Curves According to Sabban Frame on 2 S ” isimli çalışmada 2

S birim küresi üzerinde Sabban çatısına göre Smarandache eğrilerini incelemişler ve bu eğrilerin karakterizasyonları ile ilgili sonuçlar elde etmişlerdir.

3

Çalışkan ve Şenyurt, (2015), “SmarandacheCurves in Terms of Sabban Frame of Spherical Indicatrix Curves” isimli çalışmada, küresel gösterge eğrilerinin Sabban çatısına göre Smarandache eğrilerini araştırmışlar ve bu eğrilerin bazı karakterizasyonlarıyla ilgili sonuçlar elde etmişlerdir.

Çalışkan ve Şenyurt, (2015), “Smarandache Curves in Terms of Sabban Frame of Fixed Pole Curves” isimli çalışmada, Birim Darboux vektörünün küre yüzeyinde çizdiği eğrinin Sabban çatısına göre Smarandache eğrilerini araştırmışlar ve bu eğrilerin bazı karakterizasyonlarıyla ilgili sonuçlar elde etmişlerdir.

4 3. GENEL BİLGİLER

Bu bölümde3 -boyutlu Öklid uzayına ait temel kavramlara yer verilmiştir.

Tanım 3.1. A  bir cümle ve V de Kcismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. :

f A A V fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa Aya V ile birleştirilmiş

Afin uzay denir:

A1:P Q R, , A için f P Q( , ) f Q R( , ) f P R( , )

A2: P Ave   V için f P Q( , ) olacak şekilde bir tek QA noktası vardır.

Tanım 3.2. V ,Aile birleşen bir afin uzay olsun.

P P

0

, ,...,

1

P

n



A

noktaları için



P P P P0 1, 0 2,...,P P0 n



cümlesi V nin bir bazı ise



P P0, ,...,1 Pn



nokta

 

n1 -lisineA afin

uzayının bir afin çatısı denir. Burada

P

₀ noktasına çatının başlangıç noktası ve

, 1

,

i

P

 

i n

noktalarına da çatının birim noktaları denir. boyV niseAya

n

-boyutlu bir Afin uzay denir.

Tanım 3.3. V , A ile birleşen bir afin uzay olsun.

, :V V IR

   

fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları sağlarsa bu fonksiyona bir iç çarpım fonksiyonu denir: , ,x y zVve  ,a bIR için i) Bilineerlik Aksiyomu; , , , , , , , , ax by z a x z b y z x ay bz a x y b x z                  

ii) Simetri Aksiyomu;

, , ,

x y y x

    

iii) Pozitif Tanımlılık (Kararlılık) Aksiyomu;

, 0, , 0 0.

x x x x x

5

Tanım 3.4. Reel standart afin uzayı _IRn _{olmak üzere,}



_,

_{X Y}



_IR

n_için

1 , : , , n n n i i i IR IR IR X Y x y        



şeklinde tanımlı fonksiyon bir iç çarpım fonksiyonudur. Bu iç çarpıma _IRn_{de standart}

iç çarpım veya Öklid iç çarpım denir. Standart iç çarpımın tanımlı olduğu n

IR vektör

uzayı ile birleşen afin uzayına

n

-boyutlu standart Öklid uzayıdenir ve n

E ile gösterilir.

Örnek 3.1.

X Y IR

,



2olmak üzere

2 2

, :IR IR IR, X Y, X Y cos , 0



 

        

şeklinde tanımlı fonksiyon bir iç çarpım fonksiyonudur. Tanım3.5. n

XE noktasının afin koordinat sistemine göre koordinatları



x x1, ,...,2 xn



olsun.

:

, 1

,

n i

x E



IR

 

i

n

fonksiyonuna _En_{nin i-yinci koordinat}

fonksiyonu denir. Tanım 3.6.









2 1 : , , n n n i i i d E E IR d X Y y x    





şeklinde tanımlanan d fonksiyonuna n

E Öklid uzayında uzaklık fonksiyonu ve



,



d X Y IR sayısına daX ileY noktaları arasındaki uzaklık denir. Tanım3.7. n

IR iç çarpım uzayı ile birleşen Öklid uzayı n

E olmak üzere,



0, ,...,1



n n

P P P E nokta

 

n1 -lisi için,



P P P P_{0 1}, _{0 2},...,P P_{0 n}



cümlesi _En_{nin bir}

ortonormal bazı ise



P P0, ,...,1 Pn



cümlesine

n

E de bir Öklid çatı veya dik çatı denir.

Tanım 3.8. : n

I IR E

   _,



 

t 





1

   

t ,



2 t ,...,



n

 

t



diferensiyellenebilir

fonksiyona n

E de bir eğri denir. Burada I aralığına



eğrisinin parametre aralığı ve

6 Tanım 3.9. : n

I IR E

   diferensiyellenebilir bir eğri olsun.

: I IR



  , 

 

t  

 

t

şeklinde tanımlı



 fonksiyonuna skaler hız fonksiyonu, 

 

t IRsayısına



eğrisinin



 

t noktasındaki skaler hızı,

 

1

 

2

 

 

|_t d t ,d t ,...,d n t |_t d t dt dt dt dt       _{ } _  

vektörüne de



eğrisinin hız vektörü denir.

Tanım 3.10. :I IREn eğrisi için 

 

s 1ise eğriye birim hızlı eğri, s I

parametresine de eğrinin yay parametresi denir. Tanım 3.11. :IIREn bir eğri vea b, I için

 

b

a

s



 t ds

 

3.1

reel sayısına



 

a ile



 

b noktaları arasındaki yay uzunluğu denir.

Tanım 3.12. :I IREn bir eğri ve  



    , , ,...( )r



cümlesi lineer bağımsız olsun.

 

( ) , k Sp k r









olmak üzere cümlesinden Gram Schmidt ortogonalleştirme yöntemi ile elde edilen

   

 



V s V s1 , 2 ,...,V sr



ortonormal sistemine



eğrisinin



 

s noktasındaki Serret

7

Teorem 3.1. 3

: I IR E

   eğrisinin



 

s noktasındaki Frenet 3-ayaklısı; 1) sI yay parametresi ise

 

 

 

_{ }

 

 

 

 

1 2 3 1 V s s V s s s V s T s N s     _{ }    _{ }  _       

 

3.2

2) sI yay parametresi değilse

 

_{   }

 

 

 

 

_{ }

_{ }



 

 



1 2 3 1 1 V s s s V s B s N s V s s s s s        _{ }  _          _{ }    _{  } 

 

3.3

Şeklinde verilir (Hacısalihoğlu,1983).

Tanım 3.13. :IEneğrisinin



 

s noktasındaki Frenetr-ayaklısı

   

 



V s V s1 , 2 ,...,V sr



olsun.

:

i

k I



IR

, k s_i

 

 V_i

 

s V, _i1

 

s , 1 i r,

şeklinde tanımlı

k

i fonksiyonuna i-yinci eğrilik fonksiyonu ve k si

 

IR sayısına

eğrinin



 

s noktasındaki i-yinci eğriliği denir.

Teorem 3.2.:I Eneğrisinin Frenetr-ayaklısı



V s V s1

   

, 2 ,...,V sr

 



,

i-yinci eğriliğik si

 

olsun. Bu durumda Frenet vektörleri ile bunların türev vektörleri

8

 

   

 

   

   

 

   

1 1 2 1 1 1 1 , 1 i i i i i r r r V s k s V s V s k s V s k s V s i r V s k s V s                         bağıntısı vardır(Hacısalihoğlu,1983). 3

n özel halinde  eğrisinin



 

s noktasındaki Frenet 3 -ayaklısı



T N B, ,



ile gösterilir. Burada Tye teğet vektör, N ye aslinormal vektör ve Bye de binormal vektör denir.  eğrisinin birinci ve ikinci eğrilikleri de sırasıyla ve olmak üzere

Frenet formülleri

 

   

 

       

 

   

, , T s s N s N s s T s s B s B s s N s       _             _{ } 

 

3.4

şeklinde olur (Hacısalihoğlu,1983).

Diğer yandan eğrisi üzerinde



 

s noktası eğriyi çizerken bu noktadaki



T N B, ,



Frenet3 -ayaklısı her s anında, (bir eksen etrafında) ani bir helis hareketi yaptığı kabul

edilir ve bu eksene eğrinin



 

s noktasındaki Darboux (ani dönme) ekseni denir. Bu eksenin yön ve doğrultusunu veren vektör,

, WNN

WTB

 

3.5

9 Şekil 3.1.Darboux vektörü

W Darboux vektörü ile Bvektörleri arasındaki açı



ile gösterilirse şekilden, sin , cos

W W

 

  

 

3.6

dır. W Darboux vektörü yönündeki birim vektör C ile gösterilirse

C T B

W W





 uur  uur

olur. Burada ile nun yerine

 

3.6 deki karşılıkları yazılırsa

sin cos

C T B

 

3.7

bulunur (Fenchel,1951).

Tanım 3.14. :IEn eğrisinin



 

s noktasındaki birinci ve ikinci eğrilikleri sırasıylak s₁

 

ve k s₂

 

olsun. : H IIR,

 

 

 

1 1 2 k s H s k s 

şeklinde tanımlı

H

1 fonksiyonuna  eğrisinin 1-inci harmonik eğriliği denir.

Tanım 3.15. : n

I E

  eğrisinin



 

s noktasındaki hız vektörü sabit bir U vektörü ile sabit açı yapıyorsa eğriye eğilim çizgisi (helis) ve S UP

 

ya da eğilim çizgisinin

10 Teorem 3.3. 3

: I E

  eğrisi bir eğilim çizgisidir



H s1

 

sbt,

(Hacısalihoğlu,1983).

İspat:



Kabul edelim ki  bir eğilim çizgisi olsun. eğrisinin



 

s noktasındaki Frenet vektörleri



T s N s B s

     

, ,



olmak üzere, eğilim çizgisi tanımına göre

 

, cos

T s U  

olur. Bu ifadenin s ye göre türevi alınırsa

 

, 0

 

, 0

T s U   N s U 

N U

 

olduğu görülür. Buradan US T s B s_p



   

,



olduğundan

 

 

U aT s bB s

şeklinde yazılabilir. Bu ifade sırasıyla T ve B ile iç çarpılırsa

 

, cos , U T s  a 

 

3.8

 

, sin U B s  b  olur ve buradan

 

 

cos sin U 



T s 



B s bulunur. Diğer yandan

 

, 0

N s U

  

11

 

 

       

       

   

   

 

, , 0 , 0 , 0 , , 0 co N s U N s U s T s s B s U s T s s B s U s T s U s B s U s                           

 

 

 

 

1 s sin 0 . s s sbt s H s sbt            elde edilir.

""Kabul edelim ki  s I için H s₁

 

sbtolsun. İddia ediliyor ki  bir eğilim çizgisidir.

 

1

H s sbtiseH s₁

 

tan



sbtalınabilir. Buradan

 

 

cossin

 

cos

 

sin 0

s s s s   _{   }       olur.

 

cos

 

sin

 

U s 



T s 



B s

vektörünü tanımlayalım. Açının sabit olduğu dikkate alınır ve türev alınırsa

 

 

 

0 cos sin , os sin , 0 . U T B U s c s N s U U sbt                          bulunur. Buradan da

12

 

 

 

 

 

, , = , cos sin =cos =sbt s U T s U T s T s B s       

olur ki bu da  bir eğilim çizgisi olması demektir. Teorem 3.4. 3

: I E

  eğrisinin düzlemsel bir eğri olması için gerek ve yeter şart 0

  olmasıdır(Hacısalihoğlu,1983).

İspat: ""Kabul edelim ki  birim hızlı düzlemsel bir eğri olsun. Bu durumda

s I

  için



 

s noktalarının tümü bir E düzlemi içinde bulunur. Düzlemin normali q, düzlem üzerinde herhangi bir nokta polsun. Bu durumda

 

s p q, 0

  

olur. Bu ifadenin türevi alınırsa

 

 

 

 

, , 0 , 0 , 0 s q s p q s q T s q           

olur ve tekrar türev alınırsa

 

   

 

, 0 , 0 , 0 s q s N s q N s q       

bulunur. Buradanq vektörününTve N vektörlerine dik olduğu görülür. Bu durumda

q vektörü B ye paralel olur. Dolayısıyla

 

q

B s

q

 

13 0 B  bulunur ve

 

   

B s  



s N s eşitliğinden

 

s 0



 elde edilir.

""Kabul edelim ki



 

s 0 olsun. B s

 

 



   

s N s idi. Buradan

 

 

0, . B s B s c sbt    

olur.F I: IR F s,

 

 

 

s 

   

0 ,B s fonksiyonunu tanımlayalım.s0ise

 

0 0

F  dır. F nin

s

ye göre türevi alınırsa

 

   

 

   

   

 

   

 

, 0 , = , , =0, . F s s B s s B s T s B s T s s N s F s sbt               dır. Buna göre

 

s

   

0 ,B s 0   

eşitliği eğrisinin



 

0 noktasından geçen ve B vektörüne dik olan düzlem içinde olduğunu gösterir.

Teorem 3.5. 3 : I E

  eğrisinin doğru olması için gerek ve yeter şart 0olmasıdır (Hacısalihoğlu, 1983).

14 İspat: 3

: I E

  birim hızlı bir eğri olsun.

 

s

 

s    dir. Bu durumda

 

 

 

 

 

0 0, 0, , , , . s s s s b s bs c b c IR                   

15 4. MATERYAL ve YÖNTEM

Bu bölümde Öklid uzayında Bertrand eğri çifti ve Smarandache eğrileri ile ilgili temel kavramlara yer verildi.

4.1. Öklid Uzayında Bertrand Eğri Çifti Tanım 4.1.1. 3

: I E

  ve * 3

: I E

  diferensiyellenebilir iki eğri, bu eğrilerin Frenet3 -ayaklıları sırasıyla



T s N s B s

     

, ,



ve



*

 

*

 

*

 



, , T s N s B s olsun. s I   için

 

 



*



, N s N s

lineer bağımlı ise



*



,

  ikilisine bir Bertrandeğri çifti denir(Hacısalihoğlu,1983).

Şekil 4.1.Bertrand Eğri Çifti

Teorem 4.1.1.



 , *



Bertrand eğri çifti olsun. sabit bir sayı olmak üzere *  eğrisi *

( )

s

( )

s

( ) ( )

s N s











 

4.1 şeklindedir (Sabuncuoğlu,2006). İspat: 3 : I E

  birim hızlı bir eğri olsun. Bertrand eğri çifti tanımına göre

 

     

*

s s u s N s









 

4.2

16

 

*





u N uN u N u T B            ve buradan

 

*





1 u T u N u B



 



  



 

4.3 bulunur.

 

 *

 

s vektörü *

 

T s vektörüne paralel olduğundan

 

* *

 

N s



 

dir.N*

 

s vektörüN s

 

vektörüne paralel olduğundan

 

*

 

N s    olur. Öyleyse

 

* ,N 0    dır. Burada

 



* 

ın yerine yukarıda bulunan eşiti yazılırsa 0,

u 

usbt

bulunur.ualınırsa



4.1.2



ifadesinden

 

 

 

*

s s N s











elde edilir.

Teorem 4.1.2.



ve  eğrileri

 

I,



ve



I,



koordinat komşuluğu ile verilsin.



eğrisinin



 

s noktası ile 

eğrisinin





 

s noktaları arasındaki uzaklık sabittir (Hacısalihoğlu,1983; Sabuncuoğlu,2006).

17

 

   

 

 

. ' ' . . ' d ds s s N s s N s ds ds   _{  }    

 

 

     

       



  

   

 

. ' . . . 1 . ' . . . ds T s T s s N s s s T s s B s ds T s s N s B s          _{     }      

 

.ds ,

 

'

 

T s N s s ds      

 

' s 0









 

s sabit.

Teorem 4.1.3.



 , *



Bertrand eğri çiftinin karşılıklı noktalarındaki birim teğet

vektörleri arasındaki açı sabittir (Hacısalihoğlu,1983). İspat : 3

: I E

  ve * 3

: I E

  diferensiyellenebilir iki eğri, bu eğrilerin Frenet 3-ayaklısı sırasıyla



T s N s B s

     

, ,



ve



*

 

*

 

*

 



, , T s N s B s olsun. Bu durumda

   

* * * * * * * * * * * * * , , , . = , , = , , d dT dT ds T s T s T T ds ds ds ds ds N T T N ds ds N T T N ds         yazılabilir.



 

*

 



,

N s N s sistemi lineer bağımlı olduğundan

*

, 0

N T  ve *

, 0

T N 

dır. Bu neticeler yukarıda kullanılırsa

 

*

 

, 0 d T s T s ds  bulunur. O halde

18

 

*

 

, sabit

T s T s 

olur. Kabul edelim kiT s

 

ile T s*

 

arasındaki açı  olsun. O zaman

 

*

 

, cos

T s T s   sbt

bulunur. Bu ise ispatı tamamlar. Teorem 4.1.4.



*



,

  Bertrand eğri çiftlerinin birim teğet vektörleri arasındaki açı  olmak üzere Frenet vektörleri arasında

* * * cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos T T N N B B       _{    }  _{    }   _{    }  _{      }  

bağıntısı vardır (Sabuncuoğlu,2006). İspat:



*



,

  Bertrand eğri çifti olduğundan teğetler arasındaki açı ile binormaller arasındaki açı aynı olur (Şekil 4.2.). Bu durumda çatılar arasında

* * * cos sin sin cos T T B N N B T B            _{ } 

 

4.4

bağıntıları yazılabilir. Bu da ispatı tamamlanır.

19

Teorem 4.1.5.



 , 



Bertrand eğri çifti olsun.



eğrisinin eğrilikleri  ve



ise bunlar arasında

1 , cot

     

 

4.5

bağıntısı vardır (Hacısalihoğlu,1983).

İspat:  ve * _eğrilerinin



 

_{s ve}



*

 

_{s noktalarında Frenet 3-ayaklıları sırasıyla}

     



T s N s B s, ,



ve



*

 

*

 

*

 



, ,

T s N s B s olsun. Buna göre T s

 

ile T s*

 

arasındaki açı  olmak üzere

*

cos sin

T  T B yazılabilir. Diğer yandan





* * * 1 ds T T B ds      dir. Buradan





cos 1 sin ds ds ds ds        _{ }    _ 

bulunur. Bu ifade taraf tarafa oranlanırsa

cot 1

  

veya  cot alınırsa 1

   , bulunur.

Teorem 4.1.6.



*



,

  Bertrand eğri çifti olsun.  eğrisinin eğrilikleri  ve ,

*

 eğrisinin eğrilikleri *

20 2 * 2 * 2 sin , (1 ) sin              _      

 

4.6

bağıntısı vardır (Sabuncuoğlu,2006). İspat:



*



,

  Bertrand eğri çifti olsun.

 

 

* * * T     

olduğundan

 



*  v T* *dır.

 

4.4 eşitliğinden yararlanarak

 

* * *

cos sin

v T v B



 







bulunur.

 

4.3 eşitliğine göre

 

*





1 u T u N u B



 



  



olduğundan

 

 

 

 

* * cos 1 sin v s s v s s           _{ } 

 

4.7 olur. 3 : I E

  eğrisinin yay uzunluğu fonksiyonu

f

* olmak üzere

 

_* 1 _*

f  h

olsun. f*

 

s tiseh t*

 

s olur. f*

 

I Jolmak üzere * * 3 :

h J E

   eğrisi birim

hızlı bir eğri olur.



*

( )

s





( )

s





N s

( )

eşitliğinin her iki yanının *

h fonksiyonu ile bileşkesi alınarak





* * * * h h N h     

21





* * * * h h N h      elde edilir. * N Nolduğundan bu eşitlik





* * * * * h h N h     

şeklinde yazılabilir. Bu durumda * h

 eğrisi ile * * h

  eğrisi Bertrand eğri çifti oluşturur.



_*

  

_* 1

h h

   ve birim hızlı bir eğri olduğundan * h  eğrisinin yay uzunluğu fonksiyonu * h dir. f*

 

s tolsun.

 

*

 

 

*

 

*

 

f  s  f  s v s ,

 

*

 



*



 

 

h  t 



h  t v t ,

 

 

 

 

 

* * * 1 1 h t v s f s  _{ }  olduğundan

 

*

_{ }

1 v t v s  olur. Şimdi * h  eğrisi ile * * h

  eğrisinin Bertrand eğri çifti oluşturduğunu göz önüne alarak

 

4.7 eşitliklerinde  yerine ,  yerine  yazılırsa

 

 

 

 

* * cos 1 , sin v t t v t t









     

elde edilir. Burada *

 

_{t ve}*

 

_{t ile} * * h

  birim hızlı eğrisinin eğrilik ve burulması olmak üzere *

 

_t *

 

_{s ve} *

 

_t *

 

_{s olduğundan}

22

 

 

 

 

* * cos 1 sin v t s v t s           _{ } 

 

4.8

olur.



4.1.7



ve



4.1.8



ifadelerindeki birinci eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa









2 * cos   1  1 , 2 * sin (1 )        

elde edilir. Benzer şekilde

 

4.7 ve

 

4.8 ifadelerindeki ikinci eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa 2 2 * 2 * 2 sin sin          _      

 

4.9 elde edilir. Teorem 4.1.7.



*



,

  Bertrand eğri çifti olsun.  eğrisinin eğrilikleri  ve ,

*

 eğrisinin eğrilikleri * ve *

olmak üzere bu eğrilikler arasında

= cos sin = sin cos

 

 



 

 



       



4.10



bağıntısı vardır(Kasap E.1996). İspat:



*



,

  Bertrand eğri çifti olsun.

, , T N N B          _{ }  _       

23 = cos sin , , sin cos T B N N T B













                

bulunur.

 

3.4 eşitliğine göre yukarıdaki bağıntı





= cos sin , = , sin cos N N T B T B                         olduğundan = cos sin = sin cos

 

 



 

 



        elde edilir.

4.2. Öklid Uzayında Smarandache Eğrileri

Tanım 4.2.1. Konum vektörü, herhangi bir



eğrisinin Frenet çatıları tarafından oluşturulan ve bu vektör tarafından çizilen regüler eğriye Smarandache eğrisi denir (Turgut ve Yılmaz,2008).

Bu tanım şu şekilde de verilebilir: Tanım 4.2.2. 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



T N B, ,



olsun. Konum vektörü

             

 

 

 

2 2 2 a s T s b s N s c s B s s a s b s c s



    



4.11



olan vektörün çizdiği regülereğriye Smarandache eğrisi denir (Şenyurt ve Sivas,2013).

Tanım 4.2.3. 3 : I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



T N B, ,



olsun.

 

1





2

TN s T N

24

eğrisiTN -Smarandache eğrisi olarak adlandırılır (Ali, A.,2010).

Teorem 4.2.1. 3 : I E

  eğrisinin Frenet çatısı



T N B, ,



,eğriliği ve torsiyonu



olsun.TN -Smarandache eğrisinin

TN 



eğriliği ve TN 



torsiyonu sırasıyla;





















































2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 , 2 2 2 2 2 2 2 TN TN                                              _{ }  _  _      _{       }   _                _{ }    _                  _{ } 

şeklinde verilir. Burada









 











2 2 2 1 2 2 2 3 1 2 2 1 2 (2 3 2 2                               _{      }         









3 2 1 3 2 1 2 3 1 3 3 3 2                            _{      }            

dir (Ali, A.,2010).

İspat:

_{ }

1

_

_

2

TN s T N

   Smarandache eğrisinin

s

_TN yay parametresine göre

türevi alınırsa





2 TN TN ds T N B T ds         

olur ve norm alınırsa ds TN

ds

25 2 2 2 2 TN ds ds  _  

şeklinde bulunur. Bu ifade yukarıda yerine yazılırsa



_TNeğrisinin teğet vektörü

  

_{2 2}



2 TN T N B T_ s          



4.12



olur. Bu ifadenin tekrar türevi alınırsa katsayılar











 











2 2 2 1 2 2 2 3 1 2 2 1 2 2 3 2 2                         _     _   _{       }  _{ }        _    _  olmak üzere TN

T

_



türevi

 



_{2 2}



2



1 1 1



2 2 TN T_ s T N B       



4.13



şeklinde bulunur.



TNeğrisinin eğriliği



_TNile gösterilirse



4.13



bağıntısından



_TN

eğriliği





2 2 2 1 1 1 2 2 2 , 2 2 TN TN TN T                

olur.



_TNeğrisinin aslinormali

TN

N

_ ile gösterilirse 1 1 1 2 2 2 1 1 1 , TN TN TN TN T N T T N B N                   şeklinde bulunur. TN TN TN

B

_



T

_



N

_ olduğundan TN

B

_ vektörü

26



 













1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 TN T N B_                     

olur.



_TNeğrisinin ikinci ve üçüncü türevleri sırasıyla



2

 

2 2







2 TN T N B                  ve 1 _{1 1} 2 TN T N B       

şeklinde bulunur. Burada1,



₁ ve



₁









3 2 1 3 2 1 2 3 1 3 3 3 2                             _{       }            

şeklinde birer katsayıdır.



TNeğrisinin torsiyonu



_TN ile gösterilirse



_TN torsiyonu için

2 , TN TN TN TN TN TN               _ 

yazılır. Burada



TN eğrisinin birinci, ikinci ve üçüncü türevleri yerlerine yazılır ve

gerekli işlemler yapılırsa

TN 



torsiyonu









































2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 TN                                                        

şeklinde elde edilir. Tanım 4.2.4. 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



T N B, ,



olsun.

 

1





2

NB s N B

27

eğrisi NB -Smarandache eğrisi olarak adlandırılır (Ali, A.,2010).

Teorem 4.2.2. 3 : I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



T N B, ,



,eğriliği

ve torsiyonu



olsun.NB -Smarandache eğrisinin

NB 



eğriliği ve NB 



torsiyonu sırasıyla ;





































2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{2 2} 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 NB NB                                       _  _     _{ }              _{ }                  _{   } 

şeklinde verilir. Burada,











 





 



2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2                                _{       }         





















2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3                               _{       }          

şeklinde birer katsayıdır (Şenyurt ve Sivas,2013). İspat:

_{ }

1

_

_

2

NB s N B

   Smarandache eğrisinin

NB

s

_ yay parametresine göre türevi alınırsa





1 2 NB NB ds T T N B ds       olur ve norm alınırsa ds NB

ds  _ifadesi 2 2 1 2 2 NB ds ds  _{   }

28

şeklinde bulunur. Bu ifade yukarıda yerine yazılırsa



_NB eğrisinin teğet vektörü

 

2 2 2 NB T N B T_ s          



4.14



olur. Bu ifadenin tekrar türev alınırsa katsayılar



















 



2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2                                  _{ }           _{    }  olmak üzere NB

T

_



türevi

 







2 ₂ 2 ₂



2 2 2 2 NB T N B T_ s          



4.15



şeklinde bulunur.



NBeğrisinin eğriliği



_NBile gösterilirse



4.15



bağıntısından



_NB

eğriliği NB TNB      ,





2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 NB           

olur.



NB eğrisinin aslinormali

N

_NB ile gösterilirse bu vektör

 

 

NB NB NB T s N T s       , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 NB T N B N_            şeklinde bulunur. NB NB NB

B

_



T

_



N

_ olduğundan NB

B

_ vektörü

29



 













2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 NB T N B B_                       

olur.



_NB eğrisinin ikinci ve üçüncü türevleri sırasıyla,















2 2 2



1 2 NB T N B            ve 2 _{2 2} 2 NB T N B        dır. Burada 2,



₂ ve



₂





















2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3                                 _{       }     _{      } 

şeklinde birer katsayıdır.



NB eğrisinin torsiyonu



_NBile gösterilirse

2 , NB NB NB NB NB NB               _ 

dir. Burada



_NB eğrisinin birinci, ikinci ve üçüncü türevleri yerlerine yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa NB 



torsiyonu

































2 2 2 2 2 _{2 2} 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 NB                             _{           }                      

şeklinde elde edilir. Tanım 4.2.5. 3

: I E

30

 

1





2

TB s T B

  

eğrisiTB-Smarandache eğrisi olarak adlandırılır(Ali, A.,2010). Teorem 4.2.3. 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



T N B, ,



,eğriliği

ve torsiyonu



olsun. TB-Smarandache eğrisinin

TB 



eğriliği ve TB 



torsiyonu sırasıyla;













2 2 3 3 4 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 TB TB                                _     _{ }       _     _  _ _   _{   }  olur. Burada, 4 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3 4 3 3 3 0 3 3                       _        3 3 2 2 3 3 3 3 ' 2 ' ' '' '' ' 2 ' 3 '                        _{     }      

şeklinde birer katsayıdır. İspat:

  



2 TB T B s    Smarandache eğrisinin TB

s

_ yay parametresine göre türevi alınırsa





2 TB TB ds N T ds     

31 olur ve norm alınırsa ds TB

ds  _ifadesi





2

2

TB

ds

ds



_

 



şeklinde bulunur. Bu ifade yukarıda yerine yazılırsa



TBeğrisinin teğet vektörü

 

TB

T_ s N



4.16



olur. Bu ifadenin tekrar türevi alınırsa

 

2





TB T_ s T B       



4.17



şeklinde bulunur.



_TB eğrisinin eğriliği

TB





ile gösterilirse



4.17



bağıntısından

TB 



eğriliği



2 2



, 2 TB TB TB T              

olur.



_TBeğrisinin aslinormali

TN

N

_ ile gösterilirse 2 2 , TB TB TB TB T N T T B N                şeklinde bulunur. TB TB TB

B

_



T

_



N

_ olduğundan TB

B

_ vektörü 2 2 TB T B B_       

32



2









2



2 TB T N B                ve 3 _{3 3} 2 TB T N B        dır. Burada 3,



3 ve



3 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 3                         _{      }   _{    } 

şeklinde birer katsayıdır.



_TBeğrisinin torsiyonu

TB 



ile gösterilirse TB 



torsiyonu için 2 , TB TB TB TB TB TB               _ 

yazılır. Burada



_TB eğrisinin birinci, ikinci ve üçüncü türevleri yerlerine yazılır ve gerekli işlemler yapılırsa

TB 



torsiyonu





















3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 TB                             

şeklinde elde edilir. Tanım 4.2.6. 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



T N B, ,



olsun.

 

1





2

TNB s T N B

   

eğrisiTNB -Smarandache eğrisi olarak adlandırılır (Ali, A.,2010). Teorem 4.2.4. 3

: I E

  birim hızlı regüler eğrinin Frenet çatısı



T N B, ,



,eğriliği

ve torsiyonu



olsun.TNB -Smarandache eğrisinin



_TNBeğriliği ve



TNBtorsiyonu

33





2 2 2 4 4 4 2 2 2 3 4 TNB              ,









3 2 2 2 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 TNB                                                                                           olur. Burada

































2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2                                                       _{   }                _{          } 



 







3 2 4 3 3 4 2 3 4 3 2 3 3 2                                      _{          }     _{      } 

şeklinde birer katsayıdır (Şenyurt ve Sivas,2013).

İspat: 1

_

_

3 TNB T N B     Smarandache eğrisinin TNB

s

_ yay parametresine göre türevi alınırsa





1 3 TNB TNB ds T T N B ds          olur ve norm alınırsa dsTNB

ds  _ifadesi 2 2 6 3 TNB ds ds  _   