Bazı özel sayı tipleri ile tanımlanan Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel yapısındaki matrislerin normları için sınırlar

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAZI ÖZEL SAYI TİPLERİ İLE TANIMLANAN CAUCHY-TOEPLITZ VE CAUCHY-HANKEL

YAPISINDAKİ MATRİSLERİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR

Mehmet AKBULAK DOKTORA TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI KONYA

ÖZET

Doktora Tezi

BAZI ÖZEL SAYI TİPLERİ İLE TANIMLANAN CAUCHY-TOEPLITZ VE CAUCHY-HANKEL

YAPISINDAKİ MATRİSLERİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR

Mehmet AKBULAK Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT 2009, 73 sayfa

Jüri: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Prof. Dr. Hasan ŞENAY Prof. Dr. Hüseyin ALTINDİŞ Doç. Dr. Ahmet Sinan ÇEVİK Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN

Bu çalışmada matris ve sayı dizisi kavramlarını birleştirdik. Bazı sayı dizilerine bağlı olan Toeplitz, Hankel, Circulant, Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel yapısındaki matrisler tanımladık ve bu matrislerin Öklid ve spektral normları için alt ve üst sınırları araştırdık. Elde edilen sınır değerleri ve gerçek norm değerlerini tablolar üzerinde kıyasladık. Ayrıca bu matrislerin determinantını, Öklid ve spektral norm değerlerini hesaplayan Maple (Maple 12) prosedürlerini verdik.

Anahtar Kelimeler: Toeplitz matris; Hankel Matris; Circulant matris; Cauchy-Toeplitz matris; Cauchy-Hankel matris; Fibonacci dizisi; Lucas dizisi, Pell dizisi; Öklid normu; spektral norm.

ABSTRACT PhD Thesis

BOUNDS FOR NORMS OF MATRICES WHICH DEFINED WITH SOME SPECIAL NUMBER TYPES

SAME STRUCTURE TO CAUCHY-TOEPLITZ AND CAUCHY-HANKEL MATRICES

Mehmet AKBULAK Selçuk University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Depertment of Mathematics

Supervisor: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT 2009, 73 page

Jury: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Prof. Dr. Hasan ŞENAY Prof. Dr. Hüseyin ALTINDİŞ

Assoc. Prof. Dr. Ahmet Sinan ÇEVİK Assist. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN

In this study, we combined matrix and integer sequence consepts. We defined Toeplitz, Hankel, Circulant, Cauchy-Toeplitz and Cauchy-Hankel matrices depending on some integer sequences and investigated upper and lower bounds for the Euclidean and spectral norms of these matrices. We compared these upper and lower bound values with real values on tables. Also, we gave some Maple (Maple 12) procedures, which calculate determinants, Euclidean and spectral norm values of these matrices.

Keywords: Toeplitz matrix; Hankel Matrix; Circulant matrix; Cauchy-Toeplitz matrix; Cauchy-Hankel matrix; Fibonacci sequence; Lucas sequence, Pell sequence; Euclidean norm; spectral norm.

ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Durmuş BOZKURT yönetiminde hazırlanmış ve Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne Doktora Tezi olarak sunulmuştur.

Çalışma başlıca üç bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde çalışmamızın amaç ve kapsamı açıklanmış, matris normları ve özelikleri verilmiş, sayı dizileri ile çalışmamızda kullandığımız özel tipteki matrisler tanıtılmıştır.

Çalışmamızın esas kısmı olan ikinci bölümde ise bazı özel sayı dizilerine bağlı olan Toeplitz, Hankel, Circulant, Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrisleri tanımlanmış ve bu matrislerin spektral normları için alt ve üst sınırlar araştırılmıştır. Bu bölümde ayrıca tanımladığımız matrislerin determinant ve norm değerlerini hesaplayan Maple (Maple 12) prosedürleri çalışmamızın bilgisayar uygulaması olarak verilmiş ve matrislerin gerçek norm değerleri ile elde edilen alt ve üst sınır değerleri tablolar üzerinde kıyaslanmıştır.

Üçüncü bölümde çalışmamızla ilgili sonuç ve öneriler paylaşılmıştır.

Çalışma süresince yardımlarını esirgemeyen başta değerli hocam Sayın Prof. Dr. Durmuş BOZKURT olmak üzere Tez İzleme Komitesinin değerli üyeleri Sayın Prof. Dr. Hasan ŞENAY ve Sayın Prof. Dr. Hüseyin ALTINDİŞ hocalarıma teşekkürlerimi sunarım.

Mehmet AKBULAK Konya, 2009

SEMBOL TABLOSU [ ]_ij

A= a : Elemanları a_ij’ler olan A matrisi.

H

A : A matrisinin eşlenik transpozesi.

E

A : A matrisinin Euclidean normu.

2

A : A matrisinin spektral normu.

p

A : A matrisinin A_p normu.

i n

g : Genelleştirilmiş Fibonacci dizisinin iinci dizisinin ninci terimi.

i n

l : Genelleştirilmiş Lucas dizisinin iinci dizisinin ninci terimi.

(

gcd ,a b

)

: a ve sayılarının en büyük ortak böleni. b

( )

lcm ,a b : a ve sayılarının en küçük ortak katı. b

( )

1

r A : A matrisinin maksimum satır normu.

( )

1

c A : A matrisinin maksimum sütun normu.

n

F : Fibonacci sayısı. ninci

n

L : Lucas sayısı. ninci

\ : Reel sayılar cümlesi. ^ : Karmaşık sayılar cümlesi.

( ) n

M F : Elemanları cisminden alınan F n n× mertebeli matrislerin cümlesi.

, ( ) m n

M F : Elemanları cisminden alınan F m n× mertebeli matrislerin cümlesi.

( )

A

ρ : A matrisinin spektral yarıçapı.

İÇİNDEKİLER Özet i Abstract ii Önsöz iii Sembol Tablosu iv İçindekiler v 1. GENEL BİLGİLER 1 1.1. Amaç Ve Kapsam 1 1.2. Normlar 12 1.3. Sayı Dizileri 24

1.4. Circulant, Toeplitz, Hankel, Cauchy-Toeplitz Ve Cauchy-Hankel Matrisleri 34 2. SAYI DİZİLERİNE BAĞLI MATRİSLER VE MAPLE UYGULAMALARI 37 2.1. Özel Sayı Dizilerine Bağlı Olarak Tanımlanan Circulant, Toeplitz Ve Hankel Yapısındaki Matrislerin Normları İçin Sınırlar 37 2.2. Özel Sayı Dizilerine Bağlı Olarak Tanımlanan Cauchy-Toeplitz Ve Cauchy-Hankel Yapısındaki Matrislerin Normları İçin Sınırlar 50 2.3. Maple Uygulamaları 58

2.4. Nümerik Sonuçlar Ve Tablolar 67

3. SONUÇ VE ÖNERİLER 70 Kaynaklar 71

1. GENEL BİLGİLER 1.1. Amaç Ve Kapsam

Matris kavramı başta Fen ve Mühendislik olmak üzere birçok bilimsel alanda kullanılmaktadır. Kullanıldığı alana göre matrislerin uygulamaları da çeşitlilik göstermektedir.

[ ]ij

A= a , m n× tipinde bir matrisi ve _{A matrisi} H _{A matrisinin eşlenik} transpozesini göstermek üzere

1/2 2 1 1 m n ij E i j A a = = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝

∑∑

⎠ ve

{

}

2 max : 'ler ( ) matrisinin öz değerleri, 1, 2, , H

i i i

A = λ λ A A i= … n

ifadelerine sırasıyla A matrisinin Öklid normu ve spektral normu denir.

Tanımlardan da görüleceği üzere, bir matrisin Öklid normunu hesaplamak genellikle çok zor olmamakla beraber spektral normunu hesaplamak ise oldukça zordur. Bundan dolayı, teorik olarak spektral normun hesaplanamadığı durumlarda, bazı eşitsizlikler yardımı ile bu norm için alt ve üst sınırlar hesaplanmaktadır. Literatürde matris normlarının kullanıldığı birçok çalışma bulunmaktadır. Ağların ve çözümlerin kararlılık analizi, bazı denklemlerin yakınsaklığı ve öz değer ayrışımı, spektral norm kavramının kullanıldığı alanlardan sadece üçüdür.

Diziler ise tanım cümlesi doğal sayılar olan fonksiyonlardır. Dizi kavramı ise özellikle Matematik ve Bilgisayar alanlarında önemli bir yere sahiptir. Bilimsel veritabanlarında, ileride kullanacağımız Fibonacci, Lucas, Pell, Pell-Lucas, Mersenne, Fermat, Jacobsthal, Jacobsthal-Lucas, Modified Pell ve Catalan sayı dizilerini ve bazı uygulamalarını ihtiva eden çok sayıda çalışma bulunmaktadır. Bu sayı dizilerinden ardışık iki teriminin oranı sırasıyla “Altın Oran” ve “Gümüş Oran” olarak bilinen Fibonacci ve Pell dizisi oldukça popülerdir.

Bu çalışmada, yukarıda değinilen matris normu ve sayı dizisi kavramları birleştirilmiş ve bazı sayı dizilerine bağlı olan Circulant, Toeplitz, Hankel, Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrisleri tanımlanarak bu matrislerin Öklid ve spektral normları için sınırlar araştırılmıştır.

Aşağıda, çalışmamıza kaynak teşkil eden, bazı özel matrislerin Öklid ve spektral normları ile kullanacağımız sayı dizileri üzerine yapılmış bazı çalışmalar özetlenmiştir.

[43]’de Solak a_ij =F_{(mod (j i n−, ))} ve bij =L(mod (j i n−, )) olmak üzere, elemanları Fibonacci ve Lucas sayılarına bağlı olan n n× mertebeli A=[ ]aij ve B=[ ]bij Circulant matrislerini tanımlamış ve bu matrislerin spektral normları için alt ve üst sınırlar elde etmiştir.

[23]’de Karaduman, k dizisi [14]’de Er tarafından 1− ≤ ≤ için k n 0

1 1 0 diğer, i n i n g _{= ⎨}⎧ = − , ⎩

sınır koşulları ile n>0 ve 1≤ ≤ için i k

1 k i i n n j g g _−j = =

∑

şeklinde tanımlanan genelleştirilmiş k−Fibonacci sayılarından oluşturulmuş

1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 k n n n k n n n n k n k n k n k g g g g g g G g g g − − − − + − + − + 1 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =_{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

matrisinin determinantını hesaplamıştır.

[24]’de Karaduman, k dizisi 1− ≤ ≤ için k n 0

1 1 0 diğer, i n i n g _{= ⎨}⎧ = − , ⎩

sınır koşulları ile n>0 ve 1≤ ≤ için i k

1 k i i n j j g c g_{n j−} = =

∑

şeklinde tanımlanan genelleştirilmiş k−Fibonacci sayılarından oluşturulmuş

1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 k m m m k m m m m k m k m k m k g g g g g g G g g g − − − − + − + − + 1 1 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

[41]’de Solak ve arkadaşları, elemanları Fibonacci sayılarına bağlı olan hemen hemen Toeplitz, Hankel ve GCD matrislerini sırasıyla

( ) gcd , 1 , i j a i T _{i j} F ₋ j = ⎧ ⎪ = ⎨ _≠ ⎪ ⎩ , ( ) gcd 1 i j H F ₊ = , ve ( ) gcd , 1 i j G F =

şeklinde tanımlamışlar ve bu matrislerin spektral ve normları için bazı sınırlar elde etmişlerdir.

p

[11]’de Civciv ve Türkmen

1 2 1 1 2 3 1 n n n L L L L L L C L L L − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

şeklinde elemanları Lucas saylarına bağlı olan Circulant matrisi tanımlamışlar ve bu matrisin ve Hadamard inversinin Öklid ve spektral normları için alt ve üst sınırlar elde etmişlerdir.

[26]’da Kocer Modified Pell, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayılarının bazı özelikleri ile _x∈ n olmak üzere bu sayı dizilerine bağlı olarak

(mod ) ij j i n c =x ₋ , ( ) ( ) mod mod için, için, j i n ij j i n x j i n x j i − − ≥ ⎧⎪ = ⎨_{− <} ⎪⎩ ve 1 için, 0 i j i ij x j i s j i − + ≥ ⎧ = ⎨ _< ⎩ çin,

olmak üzere sırasıyla C=[ ]cij , N =[ ]nij ve S=[ ]sij şeklinde tanımladığı Circulant, negacyclic ve semicirculant matrislerin normlarını, öz değerlerini ve determinantlarını araştırmıştır.

[51]’de Yalçıner ve Taşkara M₀ = olmak üzere, elemanları 1 2 1 2 0 n n n k n k M M − − M M − −k = = +

∑

rekürans bağıntısı ile tanımlanan Motzkin sayılarına bağlı olan Hankel matrisinin Hadamard inversinin _p normu için alt ve üst sınır elde etmişlerdir.

[52]’de Yalçıner

(

1

)

mod

(

,

)

mod , 1 ij n a j i n j i n ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} − − _{+ ⎝ ⎠} ve

(

)

₍

₎

mod , mod , ij n b j i n j i n ⎛ ⎞ = − _{⎜ ⎟} − ⎝ ⎠

olmak üzere elemanları

2 1 1 n n C n n ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠

formülü ile verilen Catalan sayılarına bağlı n n× tipindeki A=[ ]a_ij ve B=[ ]b_ij

circulant matrislerinin spektral normları için alt ve üst sınırlar elde etmiştir.

[48]’de Tyrtyshnikov T_n =[1/ (i j− +1/ 2)] formundaki Cauchy-Toeplitz matrisinin bazı özeliklerini araştırmış ve mertebesinin artmasına rağmen matrisin en küçük singüler değerlerinin sıfıra yakınsadığını göstermiştir.

[5]’de Bozkurt hemen hemen Cauchy-Hankel matris tanımını vermiş ve bu matrisin normu için alt ve üst sınırlar elde etmiştir. Ayrıca bir Hankel matrisi ile hemen hemen Caucy-Toeplitz matrisin Hadamard çarpımının normu için bir üst sınır elde etmiştir. p p [6]’da Bozkurt

(

2

)

_{, 1} 1 2 n n i j T i j ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ −} ⎥ ⎣ ⎦

formundaki Cauchy-Toeplitz matrisinin 1 p< < ∞ olmak üzere normu için alt ve üst sınırlar elde etmişlerdir. Ayrıca

p

1≤ p q, ≤ ∞ olmak üzere bu matrisin normu için bir konjektür vermiştir.

pq

(

2

)

_{, 1} 1 2 n n i j T i j ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ −} ⎥ ⎣ ⎦ ve

(

2

)

_{, 1} 1 2 n n i j H i j ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{− +} ⎥ ⎣ ⎦

şeklindeki Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin Hadamard çarpımlarının normu için alt ve üst sınırlar elde etmiştir.

p

[46]’da Türkmen ve Bozkurt g =1/k ve olmak üzere şeklindeki genel Cauchy-Toeplitz matrisinin spektral normu için bir alt ve üst sınır ile

1 h= , 1 [1/ ( ( ) ]n n T = g+ −i j h _{i j=} i j, 1 [1/ ( ( ) ]n n H = g+ +i j h ₌ formundaki Cauchy-Hankel matrislerinin spektral normu için bir üst sınır elde etmişlerdir. Ayrıca tanımladıkları Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel formundaki matrislerin Hadamard çarpımlarının Öklid normları için de bir alt ve üst sınır elde etmişlerdir.

[39]’da Solak ve Bozkurt i+ ≡j k(mod )n olacak şekildeki tamsayıları için 0,1, , 1 k= … n−

(

)

(

)

_{, 1}

(

)

_{, 1} 1/ n 1/ n n _{i j i j} H g h i j g kh ₌ = ⎡ ⎤ =_⎣ + + _⎦ ≡⎡_⎣ + ⎤_⎦

şeklinde tanımladıkları Cauchy-Hankel matrisin ve spektral normu için sınırlar elde etmişlerdir.

p

[40]’da Solak ve Bozkurt,

(

)

(

)

_{, 1} 1/ n n _{i j} T a i j b = ⎡ ⎤ =_⎣ + − _⎦

formundaki Cauchy-Toeplitz matrisin spektral normu için bir alt ve üst sınır ile

(

)

(

)

_{, 1} 1/ n n _{i j} H a i j b = ⎡ ⎤ =_⎣ + + _⎦

formundaki Cauchy-Hankel matrisinin spektral normu için bir üst sınır elde etmişlerdir. [19]’da Güngör, sırasıyla

(

)

(

)

_{, 1} 1/ n n _{i j} T g i j h = ⎡ ⎤ =_⎣ + − _⎦ ve

(

)

(

)

_{, 1} 1/ n n _{i j} H g i j h = ⎡ ⎤ =_⎣ + + _⎦

formundaki Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin Öklid ve spektral normları için birer alt sınır elde etmiştir.

[18]’de Güngör ve Türkmen n n× mertebeli kompleks elemanlı bir A

matrisinin en küçük singüler değeri için bir alt sınır ve en büyük singüler değeri için bir üst sınır elde etmişlerdir. Ayrıca sırasıyla

, 1 1 1 n i j H i j ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ −} ⎥ ⎣ ⎦

şeklindeki Hilbert matrisi ve Hadamard karekökü ile sırasıyla

(

1

)

_{, 1} n n i j T g i j h ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ −} ⎥ ⎣ ⎦ ve

(

1

)

_{, 1} n n i j H g i j h ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ +} ⎥ ⎣ ⎦

şeklinde tanımlanan Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin en küçük ve en büyük singüler değerleri için birer alt ve üst sınır elde etmişlerdir.

[47]’de Türkmen ve Bozkurt sırasıyla

(

2

)

_{, 1} 1 2 n n i j T i j ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ −} ⎥ ⎣ ⎦ ve

(

2

)

_{, 1} 1 2 n n i j H i j ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{− +} ⎥ ⎣ ⎦

şeklindeki Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin spektral normları için birer üst sınır elde etmişlerdir. Ayrıca bu matrislerin Hadamard çarpımlarının spektral normu ve p normu için birer üst sınır elde etmişlerdir.

[12]’de Civciv ve Türkmen

(

2

)

_{, 1} 1 2 n n i j H i j ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ +} ⎥ ⎣ ⎦

formundaki Cauchy-Hankel matrislerinin Khatri-Rao çarpımlarının ve spektral normları için alt ve üst sınırlar elde etmişlerdir.

p [50]’de Wu sırasıyla

(

1

)

_{, 1} n n i j T g i j h ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ −} ⎥ ⎣ ⎦ ve

(

1

)

_{, 1} n n i j H g i j h ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ +} ⎥ ⎣ ⎦

formundaki Cauchy-Toeplitz ve Cauchy-Hankel matrislerinin Öklid ve spektral normları için alt sınırlar elde etmiştir.

[38]’de Roch ve Silbermann, sonsuz mertebeli genel bir Cauchy-Toeplitz matrisinin n×n mertebeli bir kısmı olan

, , 1 1 n g n i j T i j g ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{− +} ⎥ ⎣ ⎦

matrisinin en küçük singüler değerinin asimptotik davranışını araştırmışlardır.

[37]’de Parter, ( )f Θ ∈L_∞(−π π, ) reel değerli bir fonksiyon olmak üzere mertebeli Toeplitz matrislerinin öz değer dağılımı ile ilgili olarak 1920’de Szegö tarafından ispatlanan sonucu,

(n+ × + )1) (n 1 T f_n[ ]

0( )

f Θ reel değerli; R₀( )Θ sürekli, periyodik ( 2π periyotlu) ve R₀( ) 1Θ = olmak üzere

fonksiyonu ile tanımlanan matrisinin singüler değeleri için genelleştirmiştir. 0 0 ( ) ( ) ( ) f Θ = f Θ R Θ [ ] n T f

[42]’de Solak, Türkmen ve Bozkurt

, 1 1 1 n i j H i j ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ _{+ −} ⎥ ⎣ ⎦

şeklindeki Hilbert matrisinin ve bu matrisin Hadamard karekökünün normları için birer üst sınır elde etmişlerdir. Ayrıca

p

( )

_{, 1} gcd , n i j G= ⎡_⎣ i j ⎤_{⎦ =} ve

( )

_{, 1} 1 lcm , n i j L i j ₌ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

şeklindeki GCD ve reciprocal LCM matrislerinin Öklid normları için birer alt sınır elde etmişlerdir.

[33]’de Merikoski m n× mertebeli bir kompleks matris için, x ifadesi _E x vektörünün Öklid normunu göstermek üzere x vektörünü iyi bir şekilde seçerek

{

}

2 max : , 1

n

E E

A = Ax x∈ x =

şeklinde gösterilen spektral norm için basit ve iyi bir alt sınır elde etmiştir.

[2]’de Altınışık, Tuğlu ve Haukkanen, S ={ , , , }x x_{1 2} … x_n pozitif tamsayılar cümlesi üzerinde tanımlanan ve elemanları

(

1

)

lcm , ij i j s x x = şeklinde verilen 1 ij S− s ⎡ ⎤ ⎡ ⎤_{= ⎣ ⎦} ⎣ ⎦

reciprocal LCM matrisinin bazı normları araştırmışlardır. Ayrıca reciprocal LCM matrisinin bir genelleştirmesinin spektral normu için üst sınır elde etmişlerdir.

[20]’de Haukkanen, i ve j sayılarının en büyük ortak böleni ve en küçük ortak katı

gcd( , )i j

( )

lcm ,i j ile gösterilmek üzere, elemanları

( )

(

)

( )

(

)

gcd , lcm , s ij r i j a i j =

şeklinde tanımlanan A=[ ]aij matrisinin p normunu araştırmıştır.

[31]’de Mathias A=[ ]a_ij şeklinde verilen herhangi bir matris için A =[aij] matrisini tanımlamış ve bu matrisin maksimum satır ve sütun normunlarına bağlı olarak spektral norm için

( ) ( )

{

1 1

}

2 min :

A = r B c C A B C= eşitliğini göstermiştir.

1 1 0 diğer, i n i n g _{= ⎨}⎧ = − , ⎩

sınır koşulları ile n>0 ve 1≤ ≤ için i k

1 k i i n j j g c g_{n j−} = =

∑

şeklinde genelleştirilmiş k−ıncı mertebeden Fibonacci dizisini tanımlamıştır. Dizinin elemanları için bir matris temsili elde etmiş ve bu temsilden faydalanarak genelleştirilmiş Fibonacci sayıları için bazı formüller türetmiştir.

[21]’de Horadam Modified Pell sayılarının özeliklerini incelemiş ve bu sayılar için bazı uygulamalar yapmıştır.

[32]’de Melham; Fibonacci, Pell ve Pell-Lucas sayılarına bağlı bazı eşitlikler ve toplam formülleri elde etmiştir.

[9]’da Cahill ve arkadaşları üç bant matrislerin determinantları ve özdeğerleri yardımıyla Chebyshev polinomlarını kullanarak i= − olmak üzere Fibonacci ve 1 Lucas sayıları için

(

)

1 1 1 sin 1 cos 2 sin cos 2 n n i n F i i − + − ⎛ ₊ ⎛₋ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ⎠ = ⎛ ⎛₋ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ⎠ ve 1 2 cos cos 2 n n i L ₌ i ⎛n − ⎛₋ ⎞⎞ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ⎠

formüllerini elde etmişlerdir.

[4]’de Benoumhani, Lucas sayılarının

( )

, n n k L n k k n k − ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} − ⎝ ⎠

şeklindeki kombinasyonlu formülünden faydalanarak

( )

( )

0 , , k k L n x L n k x ≥ =

∑

şeklinde tanımlanan Lucas polinomlarının bütün köklerinin reel olduğunu göstermiş ve Lucas sayılarının bazı özeliklerini incelemiştir.

[29]’da Lee ve arkadaşları Fibonacci matrislerinden elde edilen birinci ve ikinci tür Stirling matrisleri ile Pascal matrisleri üzerinde çalışmışlardır. Ayrıca Fibonacci ve Pascal matrisleri ile birinci ve ikinci tür Strling matrislerinin temsillerinden yola çıkarak kombinasyon içeren eşitlikler elde etmişlerdir.

[30]’da Lee ve Kim için { ile gösterdikleri dizisini için 2 k≥ g k( ) }n k−Fibonacci 2 n k> ≥

( )

₁

( )

_{k 2} 0,

( )

_{k 1}

( )

1 g k = =g k ₋ = g k ₋ =g k _k = ve

( )

_n

( )

_{n 1}

( )

_{n 2}

( )

g k =g k ₋ +g k ₋ + +g k _{n k−}

şeklinde tanımlamışlardır. Genelleştirilmiş sayı dizisine bağlı olarak uygun sayıları için ve 2 k≥ 2 ( ) n n g =g k _{+ −}k 0,

( )

1 1 0, 0 1 i j ij g i j f k i j − + − + ≥ ⎧ = ⎨ _{− + <} ⎩

olmak üzere, elemanları bu dizinin elemanlarına bağlı olan mertebeli matrisini n n× Fibonacci k−

( )

_n

( )

_i F k _{= ⎣}⎡f k _j⎤_⎦ ve j≤0 için q k( )ij =0 iken

( )

( )

( )

( )

, 1 1 , 1 1 , , k i j l l ij k i i l l q k i j q k q k ji q k g i j − = − = ⎧ _{+ ≤} ⎪ = _{= ⎨} + = ⎪⎩

∑

∑

olmak üzere n n× mertebeli k− simetrik Fibonacci matrisini

( )

_n

( )

_i

n L k _{= ⎣}⎡q k _j⎤_⎦

tanımlamışlar ve bu matrislerin özeliklerini araştırmışlardır.

[44]’de Taşçı ve Kılıç k−ıncı mertebeden genelleştirilmiş Lucas sayılarının dizisini 1 0 için k k n − ≤ ≤ 2 2 1 1 0 diğer, i n i n l i , , n = − ⎧ ⎪ = −_⎨ = − ⎪ ⎩ sınır koşulları ile n>0 ve 1≤ ≤ için i k

1 k i i n n j l l _−j = =

∑

şeklinde tanımlamışlar ve bu dizinin bir matris temsilini elde etmişlerdir. Elde edilen matrisin determinantını hesaplamışlar ve bu matris temsili ile [23]’da verilen genelleştirilmiş Fibonacci dizisinin matris temsili arasında bir geçiş elde etmişlerdir.

[36]’da Öcal ve arkadaşları Miles tarafından 1960’da tanımlanan genelleştirilmiş Fibonacci sayıları için determinant ve permanent temsilleri elde etmişlerdir. Ayrıca bu dizi için Binet formülü türetmişlerdir.

[10]’da Cerin, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayılarının toplamsal ve çarpımsal özelikleri incelemiş ve yeni formüller türetmiştir.

1.2. Normlar

1.2.1. Vektör normları

Tanım 1.2.1.1. V , ( veya ) cismi üzerinde tanımlı bir vektör uzay olsun. F + pozitif reel sayılar cümlesi olmak üzere,

:V + ⋅ → dönüşümü i) (a) x V∀ ∈ için x > (b) 0 x = ⇔ = , 0 x 0 ii) ∀ ∈ ve a ∈F için axx V = a x , iii) ∀x y V, ∈ için x y+ ≤ x + y

şartlarını sağlıyorsa, negatif olmayan x sayısına x V∈ vektörünün normu denir. (i)-(b) özeliğini sağlamayan yukarıdaki dönüşüme ise yarı vektör normu denir. Tanımdan da görüleceği gibi norm işlemi, bir vektörü bir sayıya dönüştürmektedir.

1 2

( , , , ) n n

x= x x … x ∈ ve olmak üzere bu iki vektörün bir iç çarpımı

1 2 ( , , , ) n n y= y y … y ∈ 1 1 2 2 , _{n n} x y =x y +x y + +x y

şeklinde tanımlanabilir. Özel olarak y=x seçilirse yukarıdaki eşitlik 2 2 1 1 2 2 1 , n n n i i x x x x x x x x x x = = + + + =

∑

=

haline gelir ki, bu ifade norm ve iç çarpım arasındaki ilişkiyi gösterir. Şimdi de iyi bilinen bazı vektör normlarının tanımlarını verelim. Tanım 1.2.1.2. [15, 35] x=( , , , )x x1 2 … xn ∈ vektörü ve V 1 p≤ < ∞ için

1/ 1 p n p i p i x x = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠

şeklinde tanımlanan norma x vektörünün p−normu veya Hölder normu denir. Bu normun özel durumları olarak

i) _{1 1 2} 1 n n i i x x x =

= + + + =

∑

x (toplam veya ₁ normu),

ii)

(

)

1/ 2 1/ 2 2 2 2 2 1 2 2 1 n n xi ⎞

⎟ (Öklid veya 2 normu), i x x x x = ⎛ = + + + _{= ⎜} ⎝

∑

⎠ iii)

{

₁

}

1 max , , _n max _i i n x _∞ = x … x = x

≤ ≤ (maksimum norm veya ∞ normu) normları verilebilir.

V vektör uzayının herhangi bir x=( , , , )x x_{1 2} … xn vektörü için yukarıda tanımlanan normları arasında

i) 1 x ₂ x x ₂ n ≤ ∞ ≤ , ii) 1 x₁ x ₂ x₁ n ≤ ≤ , iii) x ₂ ≤ x ₁≤ n x , ₁ iv) 1 x ₁ x x₁ n ≤ ∞ ≤ , v) x _∞≤ x₁≤n x_∞, vi) x _∞ ≤ x ₂ ≤ n x _∞ ilişkileri mevcuttur.

Tanım 1.2.1.3. V bir iç çarpım uzayı olsun. x y V, ∈ ve 1 1 1

p q+ = olmak üzere,

, _{p q}

x y ≤ x y şeklinde tanımlanan eşitsizliğe Hölder eşitsizliği denir.

Teorem 1.2.1.1. V bir iç çarpım uzayı ve x y V, ∈ olsun. O halde i) x ,y ≤ x ₂ y ₂ (Schwarz Eşitsizliği),

ii) x y+ ₂ ≤ x ₂+ y ₂ (Minkowski veya Üçgen Eşitsizliği) dir.

1.2.2. Matris normları

Tanım 1.2.2.1. F bir cisim, M F_n( )’de elemanları F cisminden alınan n n× tipindeki kare matrislerin cümlesi olsun. ,A B M∈ n( )F ve a∈F için

ii) aA = a A , iii) A B+ ≤ A + B , iv) AB ≤ A B şartlarını sağlayan

( )

:M_n + ⋅ F →

şeklindeki dönüşüme matris normu denir ve bir A matrisinin normu A ile gösterilen pozitif reel sayıdır.

Yukarıda verilen dört şarttan ilk üçünü sağlayan dönüşüme genelleştirilmiş matris normu denir. Dolayısı ile her matris normu bir genelleştirilmiş matris normudur.

Örnek 1.2.2.1. A M∈ n olmak üzere _{1 , 1} n

ij i j

A =

∑

₌ a şeklinde tanımlanan dönüşüm bir matris normudur. Bu dönüşümün ilk üç özeliği sağladığı açıktır. Dolayısıyla son özeliği sağlatmamız yeterli olacaktır. ,A B M∈ n olmak üzere

1 , 1 1 , , 1 , 1 , 1 1 1 n n n ik kj ik kj i j k i j k n n ik mj i k j m AB a b a b a b A B = = = = = = ≤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤_{⎜ ⎟⎜ ⎟} ⎝ ⎠⎝ ⎠ =

∑ ∑

∑

∑

∑

elde edilir. Bu dönüşüm normu olarak adlandırılan matris normudur. 1

Teorem 1.2.2.1. Genelleştirilmiş bir matris normu daima matrisin elemanlarına bağlıdır. Yani, ε > olmak üzere her 0 ,i j için aij−bij <ε iken A − B <ε olacak şekilde δ δ ε= ( ) 0> sayısı vardır.

İspat. n n× tipindeki A ve B kare matrislerini alalım. E_ij matrisi ve diğer elemanları sıfır olan n mertebeli bir matris ise

1 ij e = n ×

(

)

, ij ij ij i j A B− =

∑

a −b E olur. , max_{i j} ij

m= E olarak seçersek matris normunun (i) aksiyomundan olacaktır. (ii) ve (iii) aksiyomlarından

0 m>

, ,

ij ij ij ij ij

i j i j

A B− ≤

∑

a −b E ≤m

∑

a − b

elde edilir. Herhangi bir ε > sayısı için 0 _{δ ε= / mn}2 seçelim. Eğer _{A ve B} matrislerini 1≤i j n, ≤ tamsayıları için

ij ij

a −b <δ olacak şekilde seçersek

2

A B− <mnδ ε=

elde ederiz. aij−bij <ε ve A B− ≥ A − B olduğundan A − B <ε elde edilir.

Tanım 1.2.2.2. F bir cisim, M F_n( )’de elemanları F cisminden alınan n n× tipindeki kare matrislerin cümlesi olsun. ,A I M∈ _n( )F (I birim matris) olmak üzere

(

)

det λI A− = 0 denkleminin köklerine A matrisinin öz değerleri denir.

Tanım 1.2.2.3. F bir cisim, Mm n_, ( )F ’de elemanları F cisminden alınan m n× tipindeki matrislerin cümlesi olsun. A M∈ m n, ( )F ve

H

A , A matrisinin eşlenik transpozesini göstermek üzere H matrisinin öz değerlerinin kareköküne

A A A

matrisinin singüler değerleri denir ve A matrisinin tüm singüler değerlerinin cümlesi

( )

{

: 'ler ( H ) matrisinin öz değerleri, 1, 2, ,

}

i i

A A A i n

σ = λ λ = …

şeklinde gösterilir.

Tanım 1.2.2.4. A, n n× tipinde bir matris olsun. λi’ler A matrisinin öz değerleri olmak üzere, A matrisinin mutlak değerce en büyük öz değerine A matrisinin spektral yarıçapı denir ve

( )

max

{ }

_i

i A

ρ = λ

şeklinde gösterilir.

O halde A matrisinin herhangi bir öz değeri için λ_i ≤ρ( )A olacaktır. Tanım 1.2.2.5. A, m n× tipinde bir matris olmak üzere;

1 ₁ 1 max m _ij j n _i A a ≤ ≤ ₌ =

∑

ifadesine A matrisinin maksimum sütun normu,

1 1 max n _ij i m j A _∞ a ≤ ≤ ₌ =

∑

ifadesine A matrisinin maksimum satır normu,

( )

(

( )

)

1/2 1/2 2 ₂ 1 1 1 , rank m n r ij i E i j i A a σ A r = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} =_{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ ⎝

∑∑

⎠

∑

A

ifadesine A matrisinin Öklid (Schur veya Frobenius) normu,

{

}

2 max : 'ler ( ) matrisinin öz değerleri, 1, 2, , H i i i A = λ λ A A i= … n ifadesine veya

{

}

2 max E : E 1 A = Ax x =

ifadesine A matrisinin spektral normu,

(

)

1/ 1 1 , 1 p m n _p ij p i j A a p = = ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} ≤ < ∞ ⎝

∑∑

⎠

ifadesine ise A matrisinin p normu denir.

Yukarıdaki tanımdan açık olarak görülmektedir ki, maksimum sütun normu ve Öklid normu _p normunun p=1 ve p=2 için özel durumlarıdır. Ayrıca

{

}

max : n, 1

p p

A = Ax x∈ x _p = şeklinde tanımlanan norma A matrisinin operatör normu denir.

Teorem 1.2.2.2. [3] Bir A matrisinin spektral yarıçapı ρ( )A ve herhangi bir normu A ile gösterilmek üzere

( )

A A

ρ ≤

eşitsizliği vardır.

Teorem 1.2.2.3. [45] i=1, 2, ,… n için λ ’ler bir i A matrisinin öz değerleri ve

1 2 n

σ ≥σ ≥…≥σ ’ler ise A matrisinin singüler değerleri ise 1

n i

eşitsizliği vardır.

Tanım 1.2.2.6. ⋅ , M_{m n,} cümlesi üzerinde tanımlanmış bir matris normu olsun. olmak üzere

, m n

A M

∀ ∈ U M∈ _m ve V∈M_n üniter matrisleri için A = UAV oluyorsa bu norma ünitarily invaryant matris normu denir.

Örnek 1.2.2.2. olmak üzere yukarıda tanımlanan Öklid normunu düşünelim. Eğer

n A M∈

A matrisinin sütunları n (1 i

a ∈ ≤ ≤ ) vektörlerinden elde edilmiş ise i n

2 2 1 n E E 2 E A = a + + a

yazılabilir. Öklid normu n üzerinde ünitarily invaryant bir norm olup

n U M∈ üniter matrisi için

2 2 1 2 2 1 2 n E E n E E E UA Ua Ua a a A = + + = + + = 2 E

olacaktır. ∀ ∈B M_n matrisi için H

E E

B = B olduğundan bu bize üniter matrisleri için

, _n U V M ∀ ∈ H H H E E E E UAV = AV = V A = A = A_E

olduğunu gösterir. Dolayısıyla Öklid normu M_n üzerinde bir ünitarily invaryant matris normudur.

Teorem 1.2.2.4. Tanım 1.2.2.6 ile verilen dönüşüm M_n üzerinde bir matris normudur. Ayrıca ∀ ∈A M_n ve _x∈ n için _{Ax ≤ A x olup I birim matrisi için}

1 I = ’dir.

İspat. A pozitif değerli fonksiyonların maksimumu olduğundan ve A=0 iken tüm x vektörleri için Ax = olup (i) aksiyomu sağlanır. c0 ∈ için

max max max

cA = cAx = c Ax = c Ax = c A olduğundan (ii) aksiyomu da sağlanır.

(

)

max max max max

olup (iii) aksiyomunun yani, üçgen eşitsizliğinin de sağlandığı görülür. Son olarak çarpım aksiyomunun sağlandığını gösterelim.

max max max max ABx AB x ABx Bx Bx x Ay Bx y x A B = = ≤ =

olup (iv) aksiyomu da sağlanmış olur. Dolayısıyla bu dönüşüm bir matris normudur. Bu norm maksimum olarak tanımlandığı için x≠ için 0 Ax x ≤ A olduğu görülür. Vektör normunun (iv) özeliğinden Ax ≤ A x elde edilir. Bu eşitsizlik

için de sağlanır. Bu norm ifadesine bağlı olarak 0 x= 1 1 max max 1 x x I Ix x = = = = = yazılır.

Herhangi bir ⋅ matris normu için

2 2

A = AA ≤ A A = A

olduğundan dolayı _A2 _{= A} olacak şekildeki sıfır matrisinden farklı bir _{A matrisi için} 1

A ≥ olmalıdır. Dolayısıyla herhangi bir matris normu için I ≥ yazılabilir. Eğer 1

A matrisi tersinir ise

1 1 I = AA− ≤ A A− olup 1 I 1 A A A − _{≥ =} elde edilir.

Tanım 1.2.2.7. ⋅ , n üzerinde tanımlanmış bir vektör normu olsun. n M üzerinde tanımlanan 1 max x A Ax = ≡

normuna ⋅ vektör normu ile uyuşan matris normu veya vektör normuyla birleştirilmiş operatör normu denir. Ax , x ’in sürekli fonksiyonu ve B_⋅ birim yuvarları kompakt bir cümle olduğundan tanımda kullanılan max kavramı sup kavramından daha uygundur. Bu norm ayrıca

1 1 0 max max max x x x A Ax Ax Ax x = ≤ ≠ = = = şeklinde de hesaplanabilir. Örnek 1.2.2.3. ₁ 1 1 max n _ij i j n A ₌ a ≤ ≤

=

∑

normu vektör normu ile uyuşan bir matris normudur. ’ler

1

(1 )

i

a ≤ ≤i n A M∈ _n matrisinin sütunlarını göstermek üzere yazarsak 1 2 [ _n A= a a … ]a ₁ 1 max _i i n 1 A a ≤ ≤

= olur. Eğer x=[ ]xj ise

(

)

1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 max n n n n i i i i i i n n i _{k n} k i i i Ax x a x a x a x a x a x a x x A = = ≤ ≤ = = = + + + ≤ = ≤ = =

∑

∑

∑

∑

A olur. Böylece 1 1 1 1 max x = Ax ≤ A

bulunmuş olur. Eğer k−ıncı birim baz vektör olarak x e= şeklinde seçilirse, bazı _k değerleri için 1, 2, , k= … n 1 1 1 1 max 1 _{k k} x = Ax ≥ a = a 1 ve 1 1 1 1 1 max max _k x = Ax ≥ ≤ ≤k n a = A 1

olur. Dolayısıyla A normu için hem bir alt sınır hem de bir üst sınır elde edilmiş ₁ oldu.

Örnek 1.2.2.4. ₁ 1

max_{i n} n_j ij

A _{∞ =} a

≤ ≤

=

∑

normu _∞ vektör normu ile uyuşan bir matris normudur. Gerçekten,

1 ₁ 1 ₁ 1 ₁

max n _{ij j} max n _{ij j} max n _ij i n _j i n _j i n _j Ax _∞ a x a x a x _∞ A _∞ x ≤ ≤ ₌ ≤ ≤ ₌ ≤ ≤ ₌ =

∑

≤

∑

≤

∑

= _∞ olup buradan 1 max

x_∞= Ax ∞ ≤ A ∞ olur. A= ise ispatlanacak bir şey yoktur. O halde 0 kabul edelim.

0

A≠ A matrisinin k−ıncısatırı sıfırdan farklı olsun ve vektörü [ ] n i z= z ∈ , 0 1, 0 ise ki ki ki i ki a a a z a ⎧ ≠ = ⎨ ₌ ⎩ ise

şeklinde tanımlansın. Bu durumda z _∞ = , her 1 j=1, 2, ,… n için a z_{kj j} = a_kj ve

1 1 1 1 1 max max n _{ij j} n _{kj j} n _kj x i n j j j Ax Az a z a z a ∞= ∞ ∞ ≤ ≤ _{= = =} ≥ =

∑

≥

∑

=

∑

olur. Böylece 1 1 1 max max n _kj x k n j Ax a ∞ A ∞ ∞ = ≥ ≤ ≤

∑

₌ = olduğu gösterilmiş olur.

Tanım 1.2.2.8. A=[ ]aij ve B=[ ]bij m n× mertebeli iki matris olsun. Elemanları şeklinde tanımlanan

ij ij ij

c =a b m n× mertebeli C=[ ]c_ij matrisine A ve B

matrislerin Hadamard çarpımı denir ve C=A B ile gösterilir.

Tanım 1.2.2.9. m n× tipindeki bir A matrisini göz önüne alalım. Bu matrisin satırlarının ve sütunlarının Euclidean uzunlukları sırasıyla ve

için 1, 2, , i= … m 1, 2, , j= … n 1/2 2 1 1 ( ) n _ij j r A a = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ ve 1/2 2 1 1 ( ) m _ij i c A a = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ şeklinde tanımlanır.

Teorem 1.2.2.5. [31] A, B ve C matrisleri m n× mertebeli matrisler olsun. Eğer şeklinde yazılabilirse A B C=

( ) ( )

1 1 2 A ≤r B c C (1.2.2.1) eşitsizliği geçerlidir.

1.2.3. Matris normları arasındaki bağıntılar

A, m n× tipinde bir matris olmak üzere

i) A₂ ≤ A _E ≤ n A , ₂ (1.2.3.1) ii) A_Δ ≤ A ₂ ≤ mn A_Δ;

(

A _Δ =max a_ij

)

, iii) A₂ ≤ A A_{1 ∞} , iv) 1 A A ₂ m A n ∞ ≤ ≤ ∞, v) 1 A₁ A₂ n A m ≤ ≤ 1 A

eşitsizlikleri vardır. Öklid normu ve spektral normun en önemli özeliği ortogonal dönüşümler altında invaryant kalmalarıdır.

1( )A 2( )A n( )

σ ≥σ ≥…≥σ değerleri A matrisinin singüler değerleri olmak üzere (i) ile verilen eşitsizlik kolayca gösterilebilir. Öklid ve spektral norm değerlerinin her ikisi de singüler değerlere bağlı olup

1 2 ( ) A =σ A ve 2 2 1 ( ) n i E i A σ A = =

∑

yazılabilir. Buradan

(

)

1 2 1/2 2 2 2 1 2 1/2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n i _E i A A A A A A A σ σ σ σ σ = = ≤ + + + ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} = ⎝

∑

⎠

2 ₂ 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i E i A A A A A n A n A σ σ σ σ σ = = ≤ + + + = =

∑

olduğu açıkça görülür. Her iki tarafın karekökü alınarak A _E ≤ n A₂ olduğu hemen görülür. Sonuç olarak A₂ ≤ A _E ≤ n A₂’dir.

Tanım 1.2.3.1. [28] Γ

( )

x Gamma Fonksiyonu

( )

1 0 t x x e t dt ∞ − − Γ =

_∫

olmak üzere

( )

x d

{

ln

( )

x

}

dx ψ = ⎡_⎣Γ ⎤_⎦

fonksiyonuna psi (digamma) fonksiyonu denir. Bu fonksiyonun m−inci türevi olan

(

m x,

)

dm_m

( )

x dm_m d

{

l

( )

x

}

dx dx dx n

ψ = ψ = ⎛_⎜ ⎡_⎣Γ ⎤_⎦ ⎞_⎟

⎝ ⎠

fonksiyonuna ise polygamma fonksiyonu denir. Burada m≥0’dır. Eğer m=0 ise

( )

0, x

( )

x

ψ =ψ

olur.

Özelik 1.2.3.1. [34] Δf x( )= f x( + −1) f x( ) fark operatörü ve 1 1 0 ( ) _ix ( ) f x − f − = Δ =

∑

i

ters fark operatörü olmak üzere

(

m x,

)

dm_m

(

ln

(

x 1

)

)

(m

dx 0)

ψ = ⎡_⎣Γ + ⎤_⎦ > eşitsizliğinin her iki tarafına ileri fark operatörü uygulanırsa

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 , ln 2 ln 1 ln 1 1 1 ( 1) ( 1)! ( 1) m m m m m m m m m m d m x x dx x d dx x d x dx d dx x m x ψ − − − Δ = Δ ⎡_⎣Γ +1 ⎤_⎦ ⎛Γ + ⎞ = _{⎜⎜ ⎟⎟} Γ + ⎝ ⎠ = + ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ − − = + olur. Her iki tarafa ters fark operatörü uygulanırsa

(

_,

)

1 ( 1) 1( 1)! _{( 1)} 1_{( 1)!} 1 ( 1) ( 1) m m m m m m x m x x 1 ψ _{= Δ}− ⎛ − − − ⎞_{= −} − _{− Δ} ⎛ ⎞ ⎜ ₊ ⎟ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ − elde edilir. Buradan

(

)

1 1 1 ( 1) _, ( 1) ( 1)! m m m x x m ψ − − ⎛ ⎞ − Δ _{⎜ ⎟}= + − ⎝ ⎠

yazılır. Ters fark operatörünün tanımından elde edilen son ifade bir asimptotik serinin polygamma fonksiyonu cinsinden değerini ifade eder.

Özelik 1.2.3.2. [40] ,a n_∈ + _{ve b∈ için}

(

)

lim , 0

n→∞ψ a n b+ = dır.

Tanım 1.2.3.2. s>1 olmak üzere

( )

1 1 s n s n ζ ∞ = =

∑

fonksiyonuna Riemann’ın zeta fonksiyonu denir.

1.3. Sayı Dizileri

Bu bölümde öncelikle dizi tanımı verilecek ve önceki bölümlerde bahsedilen tamsayı dizilerinin tanımları ve sık kullanılan bazı özelikleri verilecektir.

Tanım 1.3.1. [8] Tanım cümlesi pozitif tamsayılar, değer cümlesi reel sayılar cümlesi olan her fonksiyona dizi denir. Dizinin verilebilmesi için her 1,

doğal sayılarına reel sayıların karşılık getirilmesi gerekmektedir. sayılarına dizinin terimleri, doğal sayısına bağlı olan

2, , ,… n… 1, , , ,2 n

x x … x … 1, ,2

x x … n x ifadesine ise _n

dizinin genel terimi denir.

Tanım 1.3.2. [27, 49] F₁=F₂ =1 olmak üzere, n≥1 için 2 1

n n

F₊ =F₊ + F_n

rekürans bağıntısı ile tanımlanan { }F_{n n∈} dizisi Fibonacci Dizisi, bu dizinin terimleri ise Fibonacci Sayıları olarak bilinmektedir. Bu dizinin ilk 10 terimi 1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 şeklindedir. Ardışık iki Fibonacci sayısının oranı olan

1 1 5 _{1, 618} 2 n n F F τ ₌ + ₌ + _≅

değeri Altın Oran olarak bilinmektedir. Rekürans bağıntısı geriye doğru düşünülürse negatif indisli Fibonacci sayıları

1 ( 1)n n n F + F − = − şeklinde verilebilir.

Fibonacci sayı dizisi bilim dünyasında en çok kullanılan tamsayı dizisidir. Mimariden sanata, şifrelemeden mühendislik uygulamalarına ve Fiziğe kadar birçok alanda binlerce bilimsel makaleye konu olmuştur. Bu sayı dizisi ile ilk defa Fibonacci olarak bilinen Leonardo of Pisa (1170 – 1250) ilgilenmiştir. Fibonacci, yeni doğmuş bir çift tavşanın bir ayda olgunlaşıp bir çift tavşan doğurması varsayımı ile problemi ortaya atmıştır. Her yeni doğan tavşan çiftinin bir ay sonra bir çift tavşan doğurduğunu ve tavşanların ölmediğini düşünerek n−inci ay sonunda mevcut tavşan sayısının n−inci Fibonacci sayısına, yani F_n’e eşit olduğunu göstermiştir.

1718’de Fransız matematikçi Abraham De Moivre (1667 – 1754) n− inci Fibonacci sayısını hesaplamak için üreteç fonksiyonu kavramını ortaya atmıştır.

Tanım 1.3.3. [27] a a a …₀, , ,_{1 2} reel sayıların bir dizisi olsun. 2 0 1 2 ( ) n n g x =a +a x a x+ + +a x + fonksiyonuna {a_n} dizisinin üreteç fonksiyonu denir.

Örneğin, pozitif tamsayıların üreteç fonksiyonu 2

( ) 1 2 3 ( 1) n g x = + x+ x + + +n x + şeklindedir.

Üreteç fonksiyonları genellikle

2 2 1 1 1 n n ax a x a x ax = + + + + + − şeklinde kullanılmaktadır.

Teorem 1.3.1. [27] (Abraham De Moivre): F₁=F₂ = olmak üzere 1 için rekürans bağıntısı ile tanımlanan Fibonacci dizisi verilsin.

1 n≥ 2 1 n n F₊ =F₊ +F_n (1 5) / 2 α = + ve β = −(1 5) / 2 olmak üzere 5 n n n F =α −β dir.

İspat. Tanım 1.3.3’den Fibonacci dizisi için üreteç fonksiyonu 2 1 2 1 ( ) n n n n n g x F x F x F x ∞ F x = = + + + + =

∑

şeklinde yazılabilir. Buradan

2 3 1 1 2 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) n n n n xg x F x F x F x x g x F x F x F x + + = + + + + = + + + + olup 2 2 ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) g x xg x x g x x x g x x − − = − − =

ede edilir. α = +(1 5) / 2 ve β = −(1 5) / 2 olmak üzere

2 ( ) 1 1 1 1 1 1 5 x g x x x x x α β = − − ⎡ ⎤ = _⎢ − _⎥ − − ⎣ ⎦

yazılabilir. Üreteç fonksiyonu tanımından 0 0 1 1 ( ) 5 ( ) 5 n n n n n n n n n n g x x x x α β α β ∞ ∞ = = ∞ = ⎡ ⎤ = _⎢ − _⎥ ⎣ ⎦ − =

∑

∑

∑

elde edilir ki istenendir.

Yukarıdaki teoremde üreteç fonksiyonları yardımı ile 1718’de Abraham De Moivre tarafından ispatlanan formül, 1843’de Fransız matematikçi Jacques-Phillipe-Marie Binet (1786–1856) tarafından farklı bir yoldan ispatlanmıştır. Binet, α ve β sayıları sırasıyla karakteristik denkleminin pozitif ve negatif kökleri olmak üzere, için Fibonacci sayısını

2 _{1 0} x − − =x 1 n≥ n−inci n n n F α β α β − = −

şeklinde kesin olarak tanımlanmıştır. Şimdi bu tanımı bir teorem olarak verelim. Teorem 1.3.2. [27, 49] F₁ =F₂ = ve 1 α = +(1 5) / 2 ve β = −(1 5) / 2 olmak üzere n≥1 için F_n+2 =F_n+1+F_n Fibonacci rekürans bağıntısının genel çözümü

n n n F α β α β − = − şeklindedir.

İspat. Verilen rekürans bağıntısına (fark denklemine) karşılık gelen karakteristik denklem _x2_{− − =x 1 0 şeklindedir ve bu denklemin kökleri α = +(1 5) / 2 ve}

(1 5) / 2

β = − ’dir. Buradan α β+ =1 ve αβ = −1 olduğu görülür. Rekürans bağıntısının genel çözümü

n n

n

F =Aα +Bβ

şeklinde olup başlangıç şartları kullanılarak 1 2 2 2 1 1 F A B F A B α β α β = + = = + =

ifadesi elde edilir. Bu iki denklemden oluşan sistem çözülürse 2 1 1 5 A α α = = +

ve benzer olarak 2 1 1 5 B β β = = − +

bulunur. Bulunan değerler genel çözümde yerlerine yazılırsa n n n F α β α β − = − olduğu hemen görülür.

Tanım 1.3.4. [27] Teorem 1.3.2 ile verilen formül Fibonacci sayıları için Binet Formülü olarak bilinir.

Aşağıda Fibonacci sayıları ile ilgili çok kullanılan bazı özelikler verilmiştir [27, 49]. • 2 1 1 n i n i F F₊ = = −

∑

•

∑

_{1 +2} 0 k i j i i k j F₊ F₊ F₊ = + = • 2 1 2 1 n i n i F ₋ F = =

∑

• 2 2 1 1 1 n i n i F F ₊ = = −

∑

• 2 1 1 ( 1) n n n n F F_{− +} −F = − • 2 1 1 n i n n i F F F₊ = =

∑

(1.3.1) • 2 2 1 2 n n n F₊ +F =F ₊1 n n • 2 2 _2n 1 1 F₊ −F₋ F F_{− +} = + = • F_n F_{m n m 1} F F_{m−1 n−m} • 2 22 1 22 2 2 2 2 2 1 3 2 6 −2n−5

∑

n n n ₅ n n i i F F F F F + + + = + − = • 2 22 22 1 2 2 2 2 1 1 3 2 4 +2n−2

∑

n n n ₅ n n i i F F F F F − − − = + − = • _{2 2 1 2 2} 1 1 n i i n n i F F₊ F ₊F ₊ = = −

∑

• 22 2 22 1 2 2 1 1 2 5 n n n i i i F F n F F + + + = + − − =

∑

• (1.3.2) 2 1 2 1 çift ise, 1 tek ise n n i i i n F n F F F n − = ⎧ = ⎨ ₋ ⎩

∑

_, • 3 23 2 2 1 1 3 4 n n n i i F F F ₋ = + =

∑

• 3 22 1 2 1 2 1 3 2 4 n n n i i F F F + − = − + =

∑

• 3 32 31 1 3 3( 1) F +2

∑

n n n ₄ n n i i F F F + + = − + − = 1 1 [1 ( ) n i n n n i iF nF F₊ F = = − + + − •

∑

2 2 ₁n−1_{]/ 2}

Tanım 1.3.5. [27, 49] L₁=1 ve L₂ = olmak üzere, 3 n≥1 için 2 1

n n

L₊ =L₊ +L_n

rekürans bağıntısı ile tanımlanan { }L_{n n∈} dizisine Lucas Dizisi, bu dizinin terimlerine ise Lucas sayıları denir. Bu dizinin ilk 10 terimi 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123 şeklindedir. Rekürans bağıntısı geriye doğru düşünülürse negatif indisli Lucas sayıları

( 1)n

n n

L₋ = − L

formülü ile verilebilir.

Fibonacci sayıları kadar olmasa da Lucas sayıları da bilimsel makalelerde sıkça kullanılmaktadır. Literatürde Lucas sayıları ile ilgili çok sayıda makale bulunmaktadır.

Lucas sayıları için üreteç fonksiyonu

2 0 2 1 n n n x L x x x ∞ = − = − −

∑

şeklindedir. Bu üreteç fonksiyonu yardımı ile α = +(1 5) / 2 ve β = −(1 5) / 2 olmak üzere Lucas sayılarına ait Binet formülü

n n n

L =α +β şeklinde hesaplanmıştır.

Aşağıda Lucas sayıları ile ilgili sık kullanılan bazı özelikler verilmiştir [27, 49]. • ₂ 1 3 n i n i L L₊ = = −

∑

• _{2 1 2} 1 2 n i n i L ₋ L = = −

∑

• _{2 2 1} 1 1 n i n i L L ₊ = = −

∑

• 2 1 1 1 5( 1) n n n n L L L − − + − = − • 2 1 1 2 n i n n i L L L ₊ = = −

∑

(1.3.3) • _{1 2 1} ( 1)n n n n L L ₊ =L ₊ + − • e

∑

(1.3.4) 2 1 2 1 4 çift ise, 1 tek is , n n i i i n L n L L L n − = ⎧ − = ⎨ + ⎩ n = n + F + − − = − + +

Aşağıda Fibonacci ve Lucas sayılarını içeren ve iyi bilinen bazı özelikler verilmiştir [27, 49]. • L_n =F_n+1+F_n−1 • _L2 _5F2 _{4( 1−} )n • F_2n = _nL_n • F_{n 2} F_{n 2} L_n • L_{n 1} L_{n 1}=5F_n • 2 4n 5 2n 2 L = F + • 2 2 2 2 5 m n m n m n L ₊ −L ₋ = L F • F L_{m n}+F L_{n m} =2F_{m n+}

Tanım 1.3.6. [1] ve q sıfırdan farklı, aralarında asal ve olacak şekilde tamsayılar olsun. { ve { dizileri için

p _p2_{+4q≠ 0} 1 } n U V_n} n≥2 1 2 0 1 1 2 0 1 , 0, , 0, n n n n n n U pU qU U U V pV qV V V p − − − − = + = = + = = =

1 2 0 1 1 2 0 1 2 , 0, 2 , 0, n n n n n n P P P P P Q Q Q Q Q − − − − 1 2 = + = = = + = =

dizileri elde edilir. { ve { dizilerine sırasıyla Pell ve Pell-Lucas dizisi denir. Bu dizilerin terimlerine ise sırasıyla Pell ve Pell-Lucas sayıları denir. Bu dizilerin ilk 10 terimi sırasıyla 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985 ve 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786 şeklindedir. } n P Q_n} 1 α = + 2 ve β = −1 2, _x2_{−2x− =1 0 denkleminin} kökleri olmak üzere n−inci Pell, Pell-Lucas sayılarının Binet formülleri sırasıyla

n n n P α β α β − = − ve n n n Q =α +β şeklindedir. Ardışık iki Pell sayısının oranı olan

1 _{1 2 2, 414} n n P P + _{= + ≅}

değeri literatürde Gümüş Oran olarak bilinir. Pell dizisinin rekürans bağıntısı geriye doğru düşünülürse negatif indisli Pell sayıları

1 ( 1)n

n n

P₋ = − + P

formülü ile verilebilir. Benzer olarak Pell-Lucas dizisinin rekürans bağıntısı geriye doğru düşünülürse negatif indisli Pell-Lucas sayıları

( 1)n

n n

Q₋ = − Q

formülü ile verilebilir.

Tanım 1.3.7. [1] q₁=1 ve q₂ = olmak üzere 3 n≥1 için 2 2 1

n n

q ₊ = q ₊ + q_n

rekürans bağıntısı ile tanımlanan diziye Modified Pell dizisi, bu dizinin terimlerine ise Modified Pell sayıları denir. Bu dizinin ilk 10 terimi 1, 3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363 şeklindedir. Modified Pell dizisinin rekürans bağıntısı geriye doğru düşünülürse negatif indisli Modified Pell sayıları

( 1)n

n n

q₋ = − q

ile verilebilir. α= + 2 ve 1 β = −1 2, _x2_{−2x− =1 0 denkleminin kökleri olmak} üzere n−inci Modified Pell sayısının Binet formülü

n n n q α β α β + = + şeklindedir.

Aşağıda Pell, Pell-Lucas ve Modified Pell sayıları ile ilgili önemli bazı özelikler verilmiştir [1, 27]. • 2 2 2 1 1 ₄n n n n n Q P +P₋P₊ = =q Q P − + + = • Q Q n 2 2 1 1 16 n n n • 1 1 2 n n n P P q ₌ + + − • ₂ 1 1 2 n n n q q P ₌ + + − • 1 2 n n n q q P ₌ + − • 2 1 1 1 2( 1) n n n n q q q + + − − = − • 2 1 2 1 1 2 n n i i q q + = − =

∑

• 2 2 1 1 1 2 n n i i q q ₋ = − =

∑

• 1 1 1 n i n i q P₊ = = −

∑

• 1 1 1 2 n n i i q P + = − − =

∑

• P_{m n+} =P P_{m n+1}+P_m−1P_n n = n + n = n − • Q_n =2 q_n • _Q2 _2P2 _{( 1−} )n • _{Q Q}2 _{− )}n 2 2 ( 1 • 2 1 1 2 n n n k k P P P + = =

∑

• 2 2 1 1 2( 1) 4 2 n n n k k Q Q + = + − − =

∑

• 2 2 1 1 ( 1) 2 4 n n n k k q q + = + − − =

∑

Tanım 1.3.8. n∈ olmak üzere elemanları

( ) 2n 1 M n = −

bağıntısı ile tanımlanan diziye Mersenne Dizisi, bu dizinin terimlerine ise Mersenne Sayıları denir. Bu dizinin ilk on terimi 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023 şeklindedir.

Tanım 1.3.9. n∈ olmak üzere elemanları 2 ( ) 2 n 1 F n = +

bağıntısı ile tanımlanan diziye Fermat Dizisi, bu dizinin terimlerine ise Fermat Sayıları denir. Bu dizinin ilk beş terimi 5, 17, 257, 65537, 4294967297 şeklindedir. Tanım 1.3.10. n∈ olmak üzere elemanları

2 1 ( ) 1 (2 )! ( 1)! ! n C n n n n n n ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ = +

bağıntısı ile tanımlanan diziye Catalan Dizisi, bu dizinin terimlerine ise Catalan Sayıları denir. Bu dizinin ilk on terimi 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862 şeklindedir.

Tanım 1.3.11. J₁ =1 ve J₂ = olmak üzere 3 n≥1 için 2 1 2

n n

J ₊ =J ₊ + J_n

rekürans bağıntısı ile tanımlanan { }J_{n n∈} dizisine Jacobsthal dizisi, bu dizinin terimlerine ise Jacobsthal sayıları denir. Bu dizinin ilk on terimi 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683 şeklindedir. Jacobsthal dizisinin genel terimi

( )

2 1 3 n n n J = − − şeklindedir.

Tanım 1.3.12. j₁=1 ve j₂ = olmak üzere 3 n≥1 için 2 1 2

n n n