Orlicz uzaylarında polinomlarla yaklaşım

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ORLICZ UZAYLARINDA POLİNOMLARLA YAKLAŞIM

DOKTORA TEZİ

HÜSEYİN KOÇ

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ORLICZ UZAYLARINDA POLİNOMLARLA YAKLAŞIM

DOKTORA TEZİ

HÜSEYİN KOÇ

Bu tez çalışması Balıkesir Üniversitesi Rektörlüğü Bilimsel Araştırma Projeleri tarafından 2015/132 nolu proje ile desteklenmiştir.

i

ÖZET

ORLICZ UZAYLARINDA POLİNOMLARLA YAKLAŞIM DOKTORA TEZİ

HÜSEYİN KOÇ

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

(TEZ DANIŞMANI: DOÇ. DR. RAMAZAN AKGÜN) BALIKESİR, MAYIS 2015

Bu çalışma 4 bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, bazı temel tanım ve teoremler ile bu çalışmada bize gerekli eşitsizlikler verilmiştir.

İkinci bölümde önce klasik anlamda Orlicz sınıfı ve *

L_ϕ Orlicz uzayı tanımlanmıştır. Sonra *

L_ϕ Orlicz uzayından daha geniş ve benzer özelliklere sahip olan **

L_ϕ Orlicz uzayı tanımlanmış ve bu uzayın temel özellikleri ele alınmıştır. Üçüncü bölümde konvekslik olma şartı bulunmayan Young fonksiyonları ile üretilen **

L_ϕ Orlicz uzaylarında cebirsel/trigonometrik polinomlarla aynı anda yaklaşım problemleri ifade edilmiş ve elde edilen sonuçlar ispatlanmıştır.

Dördüncü bölümde ise Muckenhoupt koşulunu sağlayan ağırlıklarla oluşturulan Lϕ ω∗∗, ağırlıklı Orlicz uzaylarında aynı anda trigonometrik yaklaşım teoremleri ispatlanmıştır.

ANAHTAR KELİMELER: Orlicz sınıfı, Orlicz uzayı, cebirsel/trigonometrik

polinomlarla yaklaşım, aynı anda yaklaşım, Muckenhoupt ağırlıkları, düzgünlük modülü, Jackson ve Bernstein eşitsizlikleri.

ii

ABSTRACT

APPROXIMATION BY POLYNOMIALS IN ORLICZ SPACES PH. D. THESIS

HÜSEYİN KOÇ

BALIKESİR UNIVERSITY INSTITUTE OF SCIENCE MATHEMATICS

(SUPERVISOR: ASSOC. PROF. DR. RAMAZAN AKGÜN) BALIKESİR, MAY 2015

This thesis consists of four chapters.

In the first chapter, some basic definitions, theorems and some inequalities which are used in this thesis are given.

In second chapter firstly Orlicz classes and classical Orlicz spaces *

L_ϕ are

defined. Later definition of another class of functions which is wider than the classical Orlicz spaces *

L_ϕ is given. The wider class is denoted by **

L_ϕ and the generating function ϕ is not necessary to be convex. Moreover its general properties and some applications of the class **

L_ϕ are investigated.

In third chapter some theorems on simultaneous approximation by trigonometric or algebraic polynomials in Orlicz spaces **

L_ϕ constructed by

Young functions belonging to a reasonably wide class are proved.

In fourth chapter main theorems of simultaneous trigonometric approximation with Muckenhoupt weights in weighted Orlicz spaces **

,

L_{ϕ ω} with a

generating Young function ϕ that may be non convex are proved.

KEYWORDS: Orlicz class, Orlicz space, trigonometric/algebraic polynomial

approximation, simultaneous approximation, Muckenhoupt weights, modulus of smoothness, Jackson and Bernstein inequalities.

iii

İÇİNDEKİLER

Sayfa ÖZET ... i ABSTRACT ... ii İÇİNDEKİLER ... iii SEMBOL LİSTESİ ... iv ÖNSÖZ ... v 1. ÖN BİLGİLER ... 1 1.1 Sınırlı Küme ve Tamamen Sınırlılık ... 1 1.2 Kompakt Küme ... 1

1.3 Cebirsel Polinom ve Trigonometrik Polinom ... 1

1.4 Mutlak Sürekli Fonksiyon ... 2

1.5 Weierstrass Yaklaşım Teoremi ... 2

1.6 En İyi Yaklaşım ... 2

1.7 Aynı Anda Yaklaşım ... 3

1.8 Konveks Fonksiyon ... 3

1.9 N− Fonksiyonu ve Tümleyen N − Fonksiyonu ... 3

1.10 Young Eşitsizliği ... 4 1.11 ∆ Koşulu ... 4 2 1.12 Lipschitz Koşulu ... 4 2. ** L_ϕ ORLICZ UZAYI ... 5 2.1 Giriş ... 5 2.2 Gösterimler ... 6 2.3 ** L_ϕ Fonksiyon Uzayı ... 7 2.4 ** L_ϕ Uzayının Bazı Özellikleri ... 16

2.5 Uygulamalar ... 24

3. ORLICZ UZAYLARINDA POLİNOMLARLA AYNI ANDA YAKLAŞIM ... 28

3.1 Giriş ... 28

3.2 Ana Sonuçlar ... 31

3.3 L_ϕ∗∗ Uzayında K _{Fonksiyoneli ve Düzgünlük Modülü ... 31}

3.4 Ana Sonuçların İspatı... 40

4. AĞIRLIKLI ORLICZ UZAYLARINDA AYNI ANDA YAKLAŞIM... 50

4.1 Giriş ... 50

4.2 Ana Sonuçlar ve İspatları ... 55

5. SONUÇ VE ÖNERİLER ... 61

iv

SEMBOL LİSTESİ

Simge Adı

N Doğal sayılar kümesi

R Reel sayılar kümesi

I [ , ]a b ⊂ aralığı R

T 2π uzunluklu aralık

n

T n dereceli trigonometrik polinom

n

P n dereceli cebirsel polinom

ϕ Young fonksiyonu

ψ Tümleyen Young fonksiyonu

( )

n

E f En iyi yaklaşım sayısı

ω Ağırlık fonksiyonu

p

A Muckenhoupt sınıfı

L_ϕ Orlicz sınıfı

*

L_ϕ Klasik Orlicz uzayı

**

L_ϕ Genelleştirilmiş Orlicz uzayı

Lipα Lipschitz sınıfı

(

)

, , r Kυ_ϕ f t K− fonksiyoneli

(

)

, , r ϕ f t

ω f ∈L_ϕ∗∗ için r inci düzgünlük modülü

, ( , )

r f δ ϕ ω

Ω f Lϕ ω,

∗∗

∈ için r inci düzgünlük modülü

,

L_{ϕ ω}∗ Klasik ağırlıklı Orlicz uzayı

** ,

L_{ϕ ω} Genelleştirilmiş ağırlıklı Orlicz uzayı

( )

n

S f f nin Fourier serisinin .n kısmi toplamı

( ) n F u Fejer çekirdeği ( ) n K u Drichlet çekirdeği

v

ÖNSÖZ

Bu çalışmamda da engin matematik bilgisini ve deneyimini hiçbir zaman esirgemeyen; bilim öğrenmede ve üretmede rehberim, danışman hocam Doç. Dr. Ramazan AKGÜN’e gönülden teşekkürlerimi sunarım.

Lisansüstü eğitimim süresince kendimi geliştirmemde büyük katkıları olan değerli hocalarım; Prof. Dr. Daniyal İSRAFİLZADE, Prof. Dr. Ali GÜVEN ve Doç. Dr. Yunus Emre YILDIRIR’a teşekkür ederim.

Manevi desteklerini esirgemeyen ağabeyim Ahmet KOÇ, ablam Emine BERBEROĞLU ve anne-babama sevgi ve saygılarımı sunar teşekkür ederim.

Lisansüstü eğitimi yapmamda her zaman destek olan ve ailemle

geçirdiğim zamanımın bir kısmını doktora eğitimime ayırmamı sabırla karşılayıp hoşgörü gösteren meslektaşım, canım kızım Aybüke ile canım oğlum Aybars’ın annesi, çok kıymetli eşim Şefika KOÇ’a teşekkürlerimi sunarım. Var olun…

1

1.

_{ÖN BİLGİLER}

1.1 Sınırlı Küme ve Tamamen Sınırlılık

( , )M d bir metrik uzay ve A⊂M olsun. ∀x y, ∈ için ( , )A d x y < olacak c

şekilde bir c> sayısı varsa A ya sınırlı küme denir [1, s.29]. 0 0

ε > verildiğinde A⊆ ∪

{

B x( ; ) :1_k ε ≤ ≤k n

}

koşulunu sağlayan Anın sonlu bir

{

1, ,...,2 n

}

E= x x x altkümesine A için

ε

−ağ adı verilir. ε > verildiğinde A için 0

ε− ağ varsa yani herhangi bir ε > için 0 A, merkezleri A içinde olan ε yarıçaplı açık yuvarların sonlu bir birleşimi tarafından örtülebiliyorsa, A ya tamamen sınırlı küme denir [1, s.30].

1.2 Kompakt Küme

( , )M d bir metrik uzay olsun. Bir A⊂M kümesindeki her

{ }

xn dizisi A nın

bir elemanına yakınsayan bir alt diziye sahipse A ya kompakt küme denir [1, s.34].

1.3 Cebirsel Polinom ve Trigonometrik Polinom

0, ,...,1 n a a a ∈R ve an≠0 olmak üzere, 0 ( ) n k n k k P x a x = =

∑

fonksiyonuna n dereceli bir cebirsel polinom denir.

n∈ N , ,a b_{k k}∈R k, =1, 2,...,n ve a_n + b_n >0 olmak üzere,

(

)

0 1 ( ) cos sin 2 n n k k k a T x a kx b kx = = +

∑

+

2

fonksiyonuna n dereceli reel trigonometrik polinom denir [3, s.1].

1.4 Mutlak Sürekli Fonksiyon

[ ]

: ,

f a b →R fonksiyonu verilmiş olsun. Her ε > için 0

[ ]

a b, aralığının

(

)

1 n i i i b a δ = − <

∑

biçimindeki her

{

(

)

}

1 , n i i _i a b

= ayrık alt aralıkları için

1 ( ) ( ) n i i i f b f a ε = − <

∑

olacak şekilde bir δ > varsa f fonksiyonu 0

[ ]

a b, üzerinde mutlak süreklidir denir.

1.5 Weierstrass Yaklaşım Teoremi

Teorem 1.5.1:

[ ]

a b, aralığında sürekli f reel fonksiyonlarına düzgün yaklaşan bir P cebirsel polinomu vardır. Yani ∀ > için ε 0

( ) ( ) ,

f x −P x <

ε

a≤ ≤x b

koşulunu sağlayan n dereceli bir P cebirsel polinomu vardır [3, s.2].

Teorem 1.5.2 : T aralığında sürekli f fonksiyonlarına düzgün yaklaşan bir

T trigonometrik polinomu vardır. Yani ∀ > için ε 0 ( ) ( ) ,

f x −T x <

ε

x∈_T

koşulunu sağlayan n dereceli bir T cebirsel polinomu vardır [3, s.2].

1.6 En İyi Yaklaşım

X bir normlu uzay, Y uzayı X in bir lineer alt uzayı ve f ∈X olsun.

{

}

( ) : ( , ) : inf_X :

3

sayısına f nin Y alt uzayının elemanları ile en iyi yaklaşımı (yaklaşım hatası) denir [3, s.82].

1.7 Aynı Anda Yaklaşım

n

P cebirsel polinomu f fonksiyonuna yaklaşıyor iken P_n in türevi f nin türevine yaklaşıyor ise oluşan bu duruma aynı anda yaklaşım adı verilir [3, s.245].

1.8 Konveks Fonksiyon

Sürekli M R: → fonksiyonu verildiğinde bütün R u u₁, ₂∈R değerleri için

[

]

1 2 1 2 1 ( ) ( ) 2 2 u u M_ + _≤ M u +M u  

eşitsizliği sağlanıyorsa M fonksiyonuna konveks fonksiyon denir [2, s.1].

1.9 N− Fonksiyonu ve Tümleyen N − Fonksiyonu

Bir ( )Φ u fonksiyonu 0 ( ) : ( ) u u ϕ t dt Φ =

_∫

gösterimine sahipse ( )Φ u fonksiyonuna N− fonksiyonu denir. Burada ( ), ϕ t t≥ 0

için sağ sürekli, t> için azalmayan, pozitif ve (0) 0,0 ϕ = ( ) : lim ( )

t t

ϕ ϕ

→∞

∞ = = ∞ koşullarını sağlayan bir fonksiyondur.

( ) ( ) : sup , ( 0) t s s t s ϕ ψ ≤ = ≥ olmak üzere 0 ( ) : ( ) u u ψ s ds Ψ =

_∫

fonksiyonuna ( )Φu fonksiyonunun tamamlayıcı (tümleyen) fonksiyonu denir [2, s.11].

4

1.10 Young Eşitsizliği

( )u

ϕ ve ( )ψ u tümleyen N− fonksiyonları çifti ise

( ) ( )

uv≤ϕ u +ψ v

eşitsizliği bütün ,u v değerleri için geçerlidir. Buna Young eşitsizliği denir [2, s.12].

1.11 ∆ Koşulu 2

( )u

ϕ bir N− fonksiyon olsun. Eğer

0 (2 )u k ( ), (u u u )

ϕ ≤ ϕ ≥

olacak şekilde bir k >0 ve bir u0≥ varsa ( )0 ϕ u fonksiyonu ∆ koşulunu sağlar 2 denir [2, s.23].

1.12 Lipschitz Koşulu

f fonksiyonu

[ ]

a b, ⊂ aralığında tanımlı olsun. Eğer her R t t₁, ₂∈

[ ]

a b, için

1 2 1 2

( ) ( )

f x − f x ≤M x −x α

koşulunu sağlayacak biçimde ∃M > varsa f fonksiyonu Lipschitz koşulunu 0 ( Lipα koşulunu) sağlıyor denir [3, s.51].

5

2.

**

L_ϕ

ORLICZ UZAYI

2.1 Giriş

Bu bölümde klasik Orlicz uzayının bazı özelliklerini göz önüne alacağız. Negatif olmayan, konveks, orijinde 0 olan bir ( )ϕ u fonksiyonu u→ ∞ için

( )u u

ϕ _{→ ∞ özelliğini sağlasın. ( )}

u

ψ Young anlamında ( )ϕ u fonksiyonunun tümleyeni olsun.

( )u

ϕ bir N− fonksiyonu olsun. L_ϕ, : [ , ]I = a b ⊂Rolmak üzere

( ; ) : ( )

I

u u x dx

ρ ψ =

_∫

ϕ_ _ < ∞

koşulunu sağlayan ölçülebilir :u I → fonksiyonlarının kümesi olsun. LR _ϕ

sınıflarına Orlicz sınıfı denir. :

x I → fonksiyonu göz önüne alındığında ölçülebilir ( )R y t ∈L_ψ( , )a b

( , ) 1 sup ( ) ( ) y _I x_ϕ x t y t dt ρ ψ≤ =

_∫

< ∞ (2.1)

koşulunu sağlayan ölçülebilir :x I→ fonksiyonlarının sınıfı R L*_ϕ ile gösterilir.

Bu sınıf Orlicz uzayı olarak adlandırılır.

Eğer ( )ϕ u , ∆ koşulunu sağlarsa L_{2 ϕ} ve L*_ϕ denk olurlar (çakışırlar) [2, s.23].

Biz bu bölümde *

L_ϕ Orlicz uzayından daha geniş olan L**_ϕ fonksiyon uzayı

hakkında bilgi vereceğiz.

Kolaylık olsun diye bu çalışmada her yerde C ve c ile değişik yerlerdeki temel parametrelere bağlı farklı sabitler ifade edilecektir.

6

2.2 Gösterimler

(1) ϕ( ) ~ [ ,x p p_{1 2}], 0≤ p₁≤ p₂≤ ∞ ( ya da benzer şekilde −∞ ≤ p₁≤ p₂≤ ) 0

ile x, (0, )∞ aralığında artarken ϕ( )_{x x}−p1 azalmayan, ϕ( )_{x x}−p2 artmayan koşullarını sağlayan

ϕ

( ) 0x ≥ çift fonksiyonların sınıfını gösteririz.

(2) ϕ( ) ~x

[

p1,∞ ile , (0, )

]

x ∞ aralığında artarken ( ) 1

p

x x

ϕ − _{azalmayan ( )}

x

ϕ

fonksiyon sınıflarını gösteririz.

(3) ϕ( ) ~ [ ,x p1 ∞ ile öyle bir N ≥ p1 pozitif sabiti vardır ki ϕ( ) ~x

[

p N1,

]

özelliğinin sağlandığı ( )ϕ x fonksiyonlarının sınıfını gösteririz.

(4) ϕ( ) ~x p p1, 2 , 0≤ p1≤ p2< ∞ ( ya da benzer şekilde −∞ < p1≤ p2≤ ) 0 ile bir ε > için 0 ϕ( ) ~ [x p₁+ε,p₂+ε] koşulunun sağlandığı ( )ϕ x fonksiyonlarının

sınıfını gösteririz.

(5) Benzer şekilde p1> p2 için ϕ( ) ~ [ ,x p2 ∞ , ϕ( ) ~x p p1, 2] tanımlanır. ( , ), 1

M a b ≤ ≤ < ∞ ile 0 xa b ≤ < ∞ için (0) 0ϕ = ve u → ∞ için

ϕ(2 )u =c. ( )ϕ u ⇒ϕ(2 )u =O

{

ϕ( ) ,u

}

(2.2) _b( )₁ ( )_b , u t u dt O t u ϕ ϕ ∞ +   =    

∫

(2.3) ₁ 1 ( ) ( ) u a a t u dt O t u ϕ ϕ +   =    

∫

(2.4)

koşullarını sağlayan, sürekli, azalmayan ( ) 0ϕ x ≥ fonksiyonlarının ailesini gösteririz.

( , )

Z a b ile yukarıdaki (2.2) ve (2.4) koşullarına ek olarak u→0+ iken

ϕ(2 )u =O

{

ϕ( ) ,u

}

(2.5) 1 1 ( ) ( ) , b b u t u dt O t u ϕ ϕ +   =    

∫

(2.6) ₁ 0 ( ) ( ) u a a t u dt O t u ϕ ϕ +   =    

∫

(2.7)

7

koşullarını sağlayan ( )ϕ x ∈M a b( , ) fonksiyonlarının ailesini gösteririz.

2.3 **

L_ϕ Fonksiyon Uzayı

Önerme 2.3.1: Eğer ( ) ~ [ , , 0ϕ x a b ≤ < < ∞ ve N herhangi pozitif sayı a b

ise ( )ϕ x , (−N N, ) aralığında mutlak süreklidir. Eğer ( ) ~ϕ x −∞, 0] ve ε herhangi pozitif bir sayı ise ( )ϕ x , ( , )ε ∞ aralığında mutlak süreklidir.

İspat : Öncelikle ilk kısmı ispatlayalım. İkinci kısım ( ) ~ϕ x −∞, 0] için benzer bir yol izlenebilir. ( ) 0ϕ x = almak genelliği bozmaz. ( )ϕ x (0, )∞ aralığında artan olduğundan herhangi bir ε için öyle bir δ > bulunabilir ki 0

( , ), ( ) 2

δ δ ϕ ε ϕ δ= <ε olur.

( , )δ N aralığını göz önüne alalım. Eğer δ ≤x1<x2≤N ise

2 1 2 1 ( ) ( ) , b b x x x x ϕ ϕ ≤ (2.8)

(

)

{

}

1 2 1 2 2 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ). b 1 b b b x x x x x x x x x ϕ ϕ −ϕ ≤ϕ − ≤ −

{

( ) b

}

₂b ₁b _{, 2}b ₁b x x K_{δ ϕ} x x ϕ δ δ ≤ − = − (2.9) olur. (0, ) b

y=x N aralığında mutlak sürekli olduğunda, n herhangi bir tamsayı olmak üzere 1 1 ( , ), (0, ) n r r x ₊ −x <δ′=δ ϕ ε′ x∈ N

∑

ve _{1 , 1} 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 n n b b r r r r r r x x K_{δ ϕ} x x ε ε ϕ + ϕ ϕ δ + ε = = − ≤ + − ≤ + =

∑

∑

(2.10) elde ederiz. ( )x

8

Teorem 2.3.1: Eğer ( ) ~ϕ x a b, , 1≤ < < ∞ ise ( )a b ϕ x ∈Z a b( , )’dir.

{

}

: : ~ , , 1

A = f f a b ≤ < < ∞ , a b

{

}

: : , a ile b arasında düzensiz artan fonksiyonlar

B = f f Kx Kx olmak üzere A⊂ B

olur [4].

Biz şimdi *

L_ϕ Orlicz uzayından daha geniş ve benzer bazı özelliklere sahip olan **

L_ϕ uzayını tanımlayalım.

1 2 1 2

( ) ~ [ ,x p p ], 1 p p

ϕ ≤ ≤ ≤ ∞ ile t → ∞ ise ϕ1( )t =ϕ( )t t→ ∞ alalım (eğer koşul 1 p< ₁≤ p₂≤ ∞ ise ϕ₁( )t → ∞, t→ ∞ koşulu zaten sağlanır). ψ₁( )t ,

1( )t ( )t t

ϕ =ϕ fonksiyonunun ters fonksiyonu olsun. ψ₁( )t azalmayan, sürekli ve

pozitiftir. 1 1 0 ( ) : ( ) x x ϕ t dt Φ =

_∫

ve _{1 1} 0 ( ) : ( ) x x ψ t dt Ψ =

_∫

yazalım.

Buradan Φ Ψ konveks birer fonksiyon olurlar ve böylece 1, 1 Φ ile 1 Ψ Young 1 anlamında tümleyen fonksiyon olurlar.

( ) :

x t I→ fonksiyonu verildiğinde ( ) ( )R x t y t çarpımı I aralığı üzerinde her

1

( ) ( , )

y t ∈L_ψ a b için integrallenebilir olmak üzere

( ) sup ( ) ( )

y _I

x t _ϕ =

∫

x t y t dt (2.11)

Orlicz normunu tanımlayalım. Burada supremum

y 1( ( ) ) 1

I

y t dt

ρ = Ψ

_∫

≤ (2.12)

koşulunu sağlayan y ler üzerinden alınmaktadır.

Böyle ( )x t fonksiyonlarının oluşturduğu sınıfı L**_ϕ =L I**_ϕ( ) ile göstereceğiz.

Kolaylıkla görülebilir ki eğer ( ) p, 1

x x p

ϕ = > ise **

9

Önerme 2.3.2: Eğer ( )ϕ x negatif olmayan, konveks, (0) 0, (2 )x k ( )x

ϕ = ϕ ≤ ϕ koşulunu sağlarsa öyle bir m< ∞ bulunabilir ki ( ) ~ [1,x m

ϕ olur.

İspat : (0) 0, ( ) 0ϕ = ϕ x ≥ ve ϕ konveks olduğundan, x artarken ( )x

x

ϕ

azalmayandır. ( )_mx

x

ϕ

in azalan olduğunu göstermek için 0<x1<x2< ∞, 1<x2 x1< 2 durumunu göz önüne almak yeterlidir.

2 1 , 1

x =x + ∆ ∆ < yazarak ve negatif olmayan, azalmayan ( )x x x p t için [4, s.65]

0 ( ) ( ) x x p t dt ϕ =

_∫

yazalım. ( ,0) 0 F a = ve (1 )a 1 0 F x a x − a ∂ ∂ ≡ + − > olduğundan ( , ) (1 )a (1 ) F a x ≡ +x − +ax

fonksiyonu a> ve 1 x> için pozitiftir. 0

Buradan 1 1 1 1 2 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x p t dt x x x x x p t dt ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ +∆ + + ∆ = =

∫

∫

1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 ( ) 2 ( ) 1 1 , ( 2) ( 2) x x x x x p x dt p x x p x x p x dt +∆  ∆  < + = +      

∫

∫

(2.13) 1 1 1 1 4 2 1 2 1 1 1 2 0 2 3 3 1 3 1 1 0 2 ( ) 2 (2 ) ( ) (4 ) ( 2) ( ) ( 2) 2 x x x x x p x x p x p t dt x x k x k p t dt k p x ϕ ϕ   ≤ <_ + _ =   ≤ = ≤

∫

∫

∫

(2.14) elde ederiz. Buradan 3 2 1 1 ( ) ( 2) 4 p x ≤ k p x (2.15)

10 ve 1 3 1 2 m= + k alınarak

(

)

3 1 1 2 3 3 2 2 1 1 1 1 1 ( ) 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 2 k m x x x x k k x x x x x x ϕ ϕ + ∆   ∆   ∆  < + _{ }< +_ + _{ }<_ + _ =         (2.16) olur. 2 1 2

x x > durumunda

(

x₂ x₁

) (

= x₂ x₃

)(

x x_{3 4}

)

...

(

x_p x₁

)

şeklinde yazılabilir ve bu

3 1 1

2

m= + k ile Önerme 2.3.2 ispatı tamamlanır.

Önerme 2.3.3: ϕ( ) ~ [ ,x p p1 2], 1≤ p1≤ p2< ∞ alalım. O zaman

{

}

1 2 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x p p x t t dt t dt ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ≤ = = ≤ Φ

∫

∫

(2.17) olur.

İspat : ϕ( )_{x x}p1 azalmayan ve ϕ( )_{x x}p2 artmayan olduğundan, bu ifadelerin diferansiyelini aldığımızda, bütün x ler için

{

}

1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x p p t t t ϕ ϕ ϕ ϕ ′ ′ ≤ = ≤ (2.18) çıkar. ( )x

ϕ mutlak sürekli olduğundan

0

( ) ( )

x

x t dt

ϕ =

_∫

ϕ′ yazılabilir. Böylece sonuç bulunur.

Teorem 2.3.2:

a) Eğer ( )ϕ x ;

i. ( )ϕ x bir konveks fonksiyondur, ii. 0=ϕ(0)≤ϕ( )x ≤ϕ( ), 0y < < , x y

iii. ( )ϕ x x↑ ∞ , x → ∞ ,

iv.Bütün u> ’lar için (2 )0 ϕ u ≤Kϕ( )u ,

11 * **

L_ϕ =L_ϕ =L_ϕ

olur. Diğer bir ifadeyle,

{

ϕ( )x

}

konveks fonksiyonları için,

{ }

L_ϕ ,

{ } { }

L*_ϕ , L**_ϕ

uzaylarında bu tanımlar denktir.

b) Genel durumda,

{

ϕ( )x

}

sınıfının dışındaki her bir ( )ϕ x eğer aşağıdaki

koşulları sağlarsa:

i. ϕ( ) ~ [ ,x p p1 2], 1≤ p1≤ p2 < ∞ ; ii. ϕ1( )t =ϕ( )t t↑ ∞ t → ∞ ; , * **

L_ϕ ⊂L_ϕ olur. Tam olarak, (i) ve (ii) koşullarını sağlayan öyle bir ( )ϕ x fonksiyonu vardır ki * ** * **

,

L_ϕ ⊂L_ϕ L_ϕ ≠L_ϕ olur. Diğer bir ifadeyle

{ }

L*_ϕ uzaylarının sınıfı

{ }

L**_ϕ

uzaylarının sınıfının bir özalt sınıfı olur. (i) ve (ii) koşullarını sağlayan öyle bir ( )ϕ x

bulunabilir ki *

L_ϕ de tanımlanamaz. (Yani L*_ϕ de boş küme olur.)

İspat :

a) Eğer ( )ϕ x , ∆ koşulunu sağlarsa, ₂ L_ϕ ve L*_ϕ denk olurlar.[5, s. 172]

1 1

0

( ) ( )

x

x ϕ t dt

Φ =

_∫

azalmayan bir fonksiyonun integrali olduğundan, Φ₁( )x konveks

fonksiyon olur ve böylece Φ1( )x x azalmayandır. Önerme 2.3.2 ve Önerme 2.3.3 ten

{

ϕ( )x x

}

→ ∞ iken

{

Φ1( )x x

}

→ ∞ olur. Kolayca görülebilir ki

2 1 1 1 1 1 1 0 2 (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u u u u u ϕ t dt u K ϕ t dt K u Φ = Φ +

_∫

≤ Φ +

_∫

≤ Φ

olduğundan ∆ koşulunu sağlar. ₂ Böylece, bizim **

L_ϕ için yaptığımız tanımdan, ** *_{1 1}

L_ϕ =L_Φ =L_Φ olur ve Önerme 2.3.3 ten ** ₁

L_ϕ =L_Φ =L_ϕ elde ederiz. b) *

L_ϕ uzayında, konveks bir ϕ için x→ ∞ iken

{

ϕ( )x x

}

→ ∞ olur. ψ₁( )t

ve ( )ψ t fonksiyonları sırasıyla ϕ1( )t ve ( )ϕ′ t nin ters fonksiyonlarını ifade etsin. (2.18) ve Önerme 2.3.3 ün varsayımından ϕ₁( )t ≤ϕ′( )t olur. Böylece ψ( )t ≤ψ₁( )t ve

12 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ), ( 0) x x x ψ t dt ψ t dt x x Ψ =

_∫

≤

_∫

≤ Ψ > bulunur. Buradan * ** L_ϕ ⊂L_ϕ olur ve ** L_ϕ de tanımlı x in normu, * L_ϕ de tanımlı x in normu tarafından sınırlandırılmıştır. ** L_ϕ nin *

L_ϕ den daha geniş olduğunu göstermek için, ( ) ~ [1,ϕ x m

fonksiyonunu göz önüne alabiliriz. ( )ϕ x fonksiyonu konveks değilse, L*_ϕ

tanımlanamaz. ( ) ~ 2,3x

ϕ alalım. O zaman ( )ϕ′ x h.h. yerde mevcut olduğundan

d ( )₂x ( ) 2 ( )₂x ₃x 0, dx x x x ϕ ϕ′ ϕ   _{= −} _>         (2.19) d ( )₃x ( ) 3 ( )₃x ₄x 0 dx x x x ϕ ϕ′ ϕ   _{= −} _<         (2.20) olur ve 2

{

ϕ( )x x

}

=2 ( )ϕ1 x <ϕ′( ) 3 ( ) 3x < ϕ1 x =

{

ϕ( )x x

}

(2.21) dir.

Tersine, eğer (2.21) sağlanırsa 2 3

( )x x (artan), ( )x x (azalan)

ϕ ↑ ϕ ↓ ve

( ) ~ 2,3x

ϕ olur. Şimdi eğer biz öyle bir ( )ϕ x fonksiyonu inşa edersek öyle ki

( )x

ϕ′ her zaman azalmayan değilse ( ),ϕ′ x 2

{

ϕ( )x x

}

ve 3

{

ϕ( )x x

}

fonksiyonları

ile sınırlı olur. O zaman ( )ϕ x konveks olmaz. (Eğer ( )ϕ x konveks ise ( )p t

azalmayan olmak üzere

0

( ) ( )

x

x p t dt

ϕ =

_∫

olur.) Bunu sonlandırmak için (2.21) deki terimlerin her birini ( )ϕ x ile bölelim ve sonra x> için üç terimin 1 den x e 1 integralini alalım.

Buradan

2 _{( ) (1)} 3_{, ( 1)}

13 elde ederiz. (1) 1 ϕ = ve 5 2 9 4 , 0 1 ( ) , 1 x x x x x ϕ =  ≤ ≤ >  (2.23)

alalım. Böylece tanımlanan ( )ϕ x fonksiyonu (2.21) i sağlar. Diğer taraftan, ( )ϕ′ x ,

1

x= hariç her yerde mevcuttur. (1 ) 5 2ϕ′ − = ve (1 ) 9 4ϕ′ + = olduğundan ( )ϕ x

azalmayan fonksiyonun integraline eşit değildir. Böylece ( )ϕ x konveks bir fonksiyon değildir. Teorem 2.3.2 den **

L_ϕ nin Orlicz uzayından daha geniş olduğu ve

yukarıdaki tanımlanan p2 sonlu ise Lϕ nin

**

L_ϕ ye denk olmasını sonuçlandırırız.

Şimdi **

L_ϕ nin *

L_ϕ uzayının hemen hemen bütün özelliklerine sahip olduğunu göreceğiz. Gerçekten, [5, s.170-175]’deki benzer ifadelerle, ( )ϕ t t nin azalmayan

olması ve ϕ( )t t→ ∞, t→ ∞ olmasından dolayı L**_ϕ için benzer sonuçlar elde

edilebilir.

Teorem 2.3.3: **

L_ϕ uzayı bir tam uzaydır.

Eğer bir θ >0 sayısı bulunabilir ve ϕ( ) ~ [ ,t p p1 2], 1≤ p1≤ p2< ∞ için ( )

x t L_ϕ

θ ∈ ise _{( )} **

x t ∈L_ϕ olur. Tersine, eğer x t( )∈L**_ϕ ise sonlu bir p ile bir ₂ θ >0

bulunabilir ki θx t( )∈L_ϕ. Daha açıkçası şu Teoremi elde ederiz.

Teorem 2.3.4: Eğer x t( )∈L**_ϕ , p2< ∞ , x t( ) _ϕ ≠0 ise

{

( ) ( )

}

I x t x t _ϕ dt C ϕ ≤

∫

olur.

14

Teorem 2.3.5 [4]:

(a)Eğer her x t( )∈L I**_ϕ( ) için

( ) ( ) ( ) I u x =

∫

x t y t dt sınırlıysa **₁ ( ) y t ∈L_Ψ olur. (b)Eğer bütün x t( )∈L**_ϕ ler için ( ) ( ) ( ) n n I u x =

∫

x t y t dt dizisi sınırlıysa **₁ L_Ψ uzayında n→ ∞ için 1 ( ) (1) n y t _Ψ =O olur.

(c) Eğer (b) deki dizi her x t( )∈L_ϕ için sınırlıysa öyle bir θ >0 sabiti mevcuttur ki

n→ ∞ için

{

}

1 n( ) (1) I y t dt O θ Ψ =

∫

olur.

Biz şimdi eşlenik fonksiyonlarla ilgili [4] teki bazı sonuçların

karşılaştırmasını vereceğiz.

Negatif olmayan, konveks, ϕ(0) 0= için ϕ(2 )t ≤Kϕ( )t , t>0 ile tanımlı ϕ( )t

alalım. Aşağıdaki şekilde tanımlanan sınıfları ele alalım:

A sınıfı: ϕ′( )t konkav ve ( )ϕ tθ , bazı θ<1 ler için konvekstir.

B sınıfı: ϕ′( )t konveks öyle ki ϕ′(0) 0= [4, s. 69] ve bazı θ <1 ler için

1 (t θ)

ϕ − _konkavdır.

C sınıfı: ϕ ∈ ve 1 A ϕ ∈ iken 2 B ϕ( )t =ϕ1( )t +ϕ2( )t .

D sınıfı: ϕ ∈ oldu1 C ğunda bütün büyük t ’ler için 0< ≤a ϕ( )t ϕ1( )t ≤ < ∞ . b E sınıfı: 1< ≠p 2 olduğunda ve Karamata [4, kaynak 5,6] anlamındaL t( )

yavaş değişen olduğunda ( )ϕ t =t L tp ( ) olur.

Lamperti A∪ ⊂B C⊂D E, ⊂D olduğunu ispatlamıştır ve eğer ϕ( )t A dan E ye

herhangi bir sınıfa aitse, ( )f x ∈L_ϕ ve ( )f xɶ , f x( )fonksiyonunun eşleniği

olduğunda f x( ) C f x( )_ϕ

ϕ ≤

ɶ _olur.

Sonuçları karşılaştırmak için A ya da B ye ait fonksiyonları göz önüne almak

15

( )t

ϕ konveks olduğunda, ϕ(0) 0= , ϕ(2 )t ≤Kϕ( )t olur ve böylece sonuçlarımızdan ϕ( )t mutlak sürekli olur ve 1 m< < ∞ için ( ) ~ [1,ϕ t m olur. Eğer ϕ( )t ∈A ise ϕ′( )t konkav ve bazı θ <1'ler için ( )ϕ tθ konvekstir. Buradan

1 2

1 p< < p < ∞ için ( ) ~ [1,ϕ tθ m ve ϕ( ) ~ [1 ,t θ m θ =[ ,p p1 2 çıkar. Böylece 2

1 a< < p < ∞ iken ϕ( ) ~t a p, 2 olur. Teorem 2.3.1 ve [4, Karamata J., Teorem 1] den 1 a< < p₂< ∞ iken ϕ ∈Z a p( , ₂) olur.

Eğer ϕ( )t ∈B ise ϕ′( )t konveks ve bazı θ<1 ler için 1 (t θ)

ϕ − _{konkavdır. [4,} s.69] daki dipnottaki genelliği kaybetmeden ϕ′′( ) 0, t 0t > > ve ϕ′(0) 0= alabiliriz.

( )t

ϕ′′ ’nin azalmayan olması durumunda

0 ( ) ( )

t

t s ds

ϕ′ =

∫

ϕ′′ çıkar.

Şimdi B sınıfından bir anlamda daha geniş olma durumunda ϕ′( )t konveks

olduğunda ϕ′′( ) 0, t 0t > > olma durumunu göz önüne alacağız.

O zaman ϕ′(0) 0= , ϕ′( )x konveks, azalmayan ve ϕ′′( )x artan ise,

0 0 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) x x x s ds x ds x x x x x ϕ′ =

_∫

ϕ′′ ≤

_∫

ϕ′′ = ϕ′′ ϕ′ ≤ϕ′′ olur ve buradan 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , t t t t u du u u du t t u du ϕ =

_∫

ϕ′ ≤

_∫

ϕ′′ = ϕ′ −

_∫

ϕ′ (2.24) ϕ′( ) 2 ( )t ≥ ϕ t t (2.25)

elde ederiz. Buradan ϕ( )t t2 nin azalmayan olduğu ortaya çıkar. Diğer taraftan,

Önerme 2.3.2 den ϕ( )x konveks, ϕ(0) 0= , ϕ(2 )x ≤Cϕ( )x olduğundan ( ) ~ [1,x m , m

ϕ < ∞ olur. 2

( )x x

16

Teorem 1[4, s.64] , Önerme 2.3.1 ve Teorem 2.3.1 den dolayı ( ) ( ,3 1) 2

x Z m

ϕ ∈ +

olur.

Elde edilen sonuçları toplarsak, eğer ϕ( )x ∈A veya ϕ( )x ∈B ise

1 a b< < < ∞ için ϕ( )x ∈Z a b( , ) olur. Böylece Lamperti’nin sonuçları

Marcinkiewicz-Zygmund’un sonuçlarının özel durumları olur [4].

2.4 **

L_ϕ Uzayının Bazı Özellikleri

[

1 2

]

1 2

( ) ~x p p, , 1 p p

ϕ ≤ ≤ ≤ ∞ alalım ve (0, )∞ aralığında t artarken 1( )t ( )t t

ϕ =ϕ azalmayan olsun. ϕ1( )t nin ters fonksiyonu ψ1( )t olsun.

1 1 0 ( ) : ( ) u u ϕ t dt Φ =

_∫

ve 1 1 0 ( ) : ( ) u u ψ t dt Ψ =

_∫

yazalım. Eğer * ( ) , ( 1, 2,...) n u x ∈L_ϕ n= fonksiyon dizisi, * 0( ) u x ∈L_ϕ olmak üzere

[

0

]

lim _n( ) ( ) 0 n→∞

∫

Φ u x −u x dx= T

sağlarsa ( )u x fonksiyon dizisi _n u x fonksiyonuna ortalamada yakınsak denir [2, 0( ) s.75].

Tanım 2.4.1: Eğer u x_n( )∈L**_ϕ fonksiyonlar dizisi eğer

[

]

1 1 ( ;_n ) _n( ) I u u x dx ρ Φ = Φ

_∫

< ∞ iken 1 lim ( ;_n ) 0 n→∞ρ u Φ =

17

Teorem 2.4.1: Eğer ϕ( ) ~x

[

p p₁, ₂

]

, 1≤ p₁≤ p₂ ≤ ∞ ve eğer

{

u x_n( )

}

, L**_ϕ de

0 a ortalamada yakınsarsa

{ }

u_n , L_ϕ de 0 a ortalamada yakınsar.

İspat: Önerme 2.3.3’ten p2< ∞ için

p1Φ1( )x ≤ϕ( )x ≤ p2Φ1( )x (2.26) olur. Böylece ρ( ,un Φ → gösterir ki n → ∞ için ( , )1) 0 ρ un ϕ → olur. 0

Tanım 2.4.2: Öyle u0 ve k pozitif sabitleri bulunabilir ki [2, s.15]’de tanımlandığı gibi M u1( )≤M ku2( ), u>u0 olur yani M u1( )≺M u2( ) yu ifade ederiz.

Tanım 2.4.3: M u₁( ) ~M u ile ₂( ) M u₁( ) ve M u nun denk olu₂( ) ğunu

gösteririz. Yani M u₁( )≺M u₂( ) ve 1( ) 2( ) M u ≻M u olur. Kolaylıkla görülebilir ki i. u _ϕ = ⇔0 u x( ) 0= h.h.; ii. uα _ϕ = α u _ϕ , ∀ ∈ ; α R iii. u1+u2 _ϕ ≤ u1 _ϕ + u2 _ϕ .

Aşağıdaki Teorem, Teorem 2.3.3 ün bir sonucudur. ([2, s.72] ve [6, s.45 Teorem 1])

Teorem 2.4.2: Eğer ϕ( ) ~x

[

p p1, 2

]

, 1≤ p1≤ p2 ≤ ∞ ise **

L_ϕ bir normlu lineer uzay olur. Ayrıca **

L_ϕ bir Banach uzayıdır [4]. Önerme 9.2 [2] den şunu elde ederiz:

Teorem 2.4.3: Eğer ϕ( ) ~x

[

p p1, 2

]

, 1≤ p1≤ p2 ≤ ∞ iken u _ϕ ≤ ise 1

{

}

1 0 ( ) ( ) x x ϕ t t dt Φ =

_∫

ve ρ( ;u Φ ≤1) u _ϕ olduğunda u x( )∈LΦ1 olur. Dahası, eğer ** u∈L_ϕ ise ₁ ( ) 1 I u x dx u _ϕ     Φ ≤    

∫

(2.27) olur.

18 Ek olarak, (2.26) dan eğer p2< ∞ ise

2 ( ) I u x dx p u _ϕ ϕ  ≤    

∫

(2.28) çıkar.

Teorem 2.4.3 den eğer p2< ∞ ve eğer **

L_ϕ de

{

u xn( )

}

, u x0( )’e normda yakınsarsa

{

u x_n( )

}

L**_ϕ de u x0( ) e ortalamada yakınsar.

Ayrıca Teorem 2.3.4, (2.27) ve (2.28)’ten anlaşılır ki **

L_ϕ uzayı

1

L_Φ sınıfını

içeren en dar lineer küme olduğu görülür. Ayrıca 2

1(2 ) 1( ) 2 1( ) 1( )

p

u u u C u

Φ ≤ Φ + Φ = Φ olduğunda yani ∆ koşulunu sağladığında, ₂ 2

p < ∞ için L**_ϕ , L_ϕ yi içine alan en dar lineer küme olur. Diğer bir ifadeyle, eğer p 2 sonlu ise, **

L_ϕ uzayı L_Φ1 deki fonksiyonların lineer bileşimini içerir.

2

p < ∞ iken,

a) Eğer ϕ~

[

p p1, 2

]

, 1≤ p1≤ p2< ∞ ve

** ( )

f x ∈L_ϕ ise öyle bir k> 0 mevcuttur ki

1

kf ∈L_Φ olur.

b) _Eğer p₂< ∞ ve f x( )∈L_Φ1 ise herhangi pozitif k sabiti için kf ∈L**_ϕ olur.

Teorem 2.4.4: **

L_ϕ uzayının lineer uzay olması için gerek ve yeter şart ϕ

fonksiyonunun ∆ koşulunu sağlamasıdır [4]. 2

Teorem 8.2 [2] ve aşağıdaki Önerme 2.4.1 ile sonuç bulunur.

Önerme 2.4.1: Eğer ϕ( ) ~t

[

p p1, 2

]

, 1≤ p1≤ p2≤ ∞ ve eğer

{

}

1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) x x x ϕ t t dt ϕ t dt Φ =

_∫

=

_∫

ise Φ₁( )x in ∆ koşulunu sağlaması için gerek ve yeter şart ( )₂ ϕ x in ∆ koşulunu ₂

19

İspat : Eğer ( )ϕ x , ∆ koşulunu sağlarsa 2

{

}

{

}

2 2 1 1 1 0 0 2 1 1 2 (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x t dt x t t dt x K t t dt K x ϕ ϕ ϕ Φ = = Φ + ≤ Φ + ≤ Φ

∫

∫

∫

(2.29)

olur. Buradan Φ1( )x ’in ∆ koşulunu sağladığı görülür. 2

Tersine, eğer Φ₁( )x ∆ koşulunu sağlarsa, Önerme 2.3.2 ile öyle bir pozitif m sabiti ₂

mevcuttur ki Φ1( ) ~ [1,x m olur. 1( )x x

Φ ve 1( )

m

x x

Φ ’in diferansiyeli alınarak

1≤ Φ

{

1′( )t

[

Φ1( )t t

]

}

=

{

ϕ( )t Φ1( )t

}

≤m (2.30)

bulunur. Bunun anlamı ϕ( ) ~t Φ1( )t olmasıdır ve böylelikle ( )ϕ t , ∆ koşulunu 2 sağlar.

Aşağıdaki Teorem, Teorem 9.4 [2] ün bir sonucudur.

Teorem 2.4.5: Eğer ( )ϕ x , ∆ koşulunu sağlarsa 2 **

L_ϕ de normda yakınsama **

L_ϕde ortalamada yakınsama denk olur [4].

I

ℵ ⊂ kümesinin karakteristik fonksiyonu ( ; )χ xℵ olsun.

(9.11) [2] formülünden **_{( )} *_{1( )}

L I_ϕ =L_Φ I olduğundan şunu elde ederiz:

Teorem 2.4.6: 1 1 0 ( ) ( ) x x ψ t dt Ψ =

_∫

ve ψ₁( )t de ϕ₁( )t =ϕ( )t t’nin ters

fonksiyonu olduğunda ( ; )χ xℵ karakteristik fonksiyonunun normu

1 1 1 ( ; )x mes mes ϕ χ _{ℵ =} −   ℵ⋅ Ψ   ℵ   (2.31)

20

Teorem 2.4.7: Yukarıda tanımlanan **

L_ϕ uzayının ayrılabilir olması için gerek

ve yeter şart ( )ϕ t fonksiyonunun ∆ koşulunu sağlamasıdır. 2 Bu Önerme 2.3.1 ve Teorem 10.2 [2] den çıkar.

Teorem 2.4.8: Eğer **

L_ϕ uzayı 1 p≤ 1≤ p2≤ ∞ iken ϕ( ) ~t

[

p p1, 2

]

yardımı ile oluşturulmuş ise Φ₁( ) ~t

[

p p₁, ₂

]

olmak üzere

1 *

L_Φ bir Orlicz uzayıdır. Buradan

1 0 ( ) ( ) x x ϕ t t dt Φ =

_∫

olur [4].

Önerme 2.4.2: 1 p≤ 1≤ p2≤ ∞ iken ( )ϕ t fonksiyonu ϕ( ) ~t

[

p p1, 2

]

’yi sağlarsa, ₁

0

( ) ( )

t

t ϕ u u du

Φ =

_∫

olmak üzere Φ₁( )t özellikle Φ₁( ) ~t

[

p p₁, ₂

]

sağlanır.

İspat : Eğer ϕ( ) ~t

[

p p1, 2

]

, 1≤ p1≤ p2≤ ∞ ve 0 t< < ∞ ise

2 1 1 1 ( )x t p ( )t ( )x t p x x t x x ϕ   − _≤ϕ _≤ϕ   −         (2.32) olur.

{

}

2 0 1 1 ( ) 1 1 ( ) ( ) x x x t t dt p x x p x ϕ ϕ ϕ ≤

_∫

≤ (2.33) ve p1Φ1( )x x≤

{

ϕ( )x x

}

= Φ1′( )x ≤ p2Φ1( )x x (2.34) eşitsizliklerinden çıkar. Bunun anlamı 1 1( ) p x x− Φ azalmayan ve 2 1( ) p x x−

Φ ’nin artmayan olmasıdır. Böylece Φ1( ) ~x

[

p p1, 2

]

olur.

Şimdi eğer p₂= ∞ ise (2.32), (2.33), (2.34) eşitsizliklerinden biri bu

21

Tanım 2.4.4: (9.18) ve (9.19) [2] formüllerinden Lüksemburg normu

tanımları görülebilir. *

M

f∈L fonksiyonunun Lüksemburg normunu

_{( )M} : inf 0 : ( ); ( ) 1 I u x u x f k M M dx k k ρ  _{   }  =  > _ _= _ _ ≤  

∫

 (2.35) biçiminde tanımlayalım. 1 ** * f∈L_ϕ =L_Φ in Lüksemburg normunu _{[ ] ( )} 1 f _ϕ = f _Φ (2.36)

eşitliği ile tanımlarız.

(9.24) formülünden [2]

f _{[ ]ϕ} ≤ f _ϕ ≤2 f _{[ ]ϕ} (2.37)

olur ve genelleştirilmiş Hölder eşitsizliğinden, (ayrıntılı sonuçlar (9.26) ve (9.27) [2] formüllerinde elde edilmiştir) *₁ **_, *₁

u∈L_Φ =L_ϕ v∈L_Ψ iken _{( )} 1 ( ) ( ) ( ) ( ) I u x v x dx ≤ u x _ϕ v x _Ψ

∫

(2.38) ve ** *₁ , u∈L_ϕ v∈L_Ψ iken _{[ ]} 1 ( ) ( ) ( ) ( ) I u x v x dx ≤ u x _ϕ v x _Ψ

∫

(2.39) olur. Teorem 2.4.9: ** L_ϕ uzayındaki . _ϕ normu

[

]

{

}

( ) 1 0 1 ( ) 1 ( ) , u x I I u _ϕ ≤ + Φ

∫

u x dx= +

∫ ∫

dx ϕ t t dt (2.40)

22 ve

{

}

( ) 1 0 ( ) ( ) 1 u x u I I u x dx dx t t dt u ϕ ϕ ϕ     Φ = ≤    

∫

∫

∫

(2.41) ifadelerini sağlar.

Dahası, eğer u _ϕ ≤ ise, 1

{

}

( ) 1 0 ( ) ( ) u x I I u x dx dx ϕ t t dt u _ϕ Φ _ _ = ≤

∫

∫ ∫

(2.42) olur [4].

Bu sonuçlar (9.12), (9.14) ve (9.21) [2] in direkt sonuçlarıdır.

Teorem 2.4.10: **

L_ϕ uzayında normda yakınsama ile ortalamada yakınsamanın eşit olması için gerek ve yeter şart **

L_ϕ de ( )ϕ t fonksiyonunun ∆ 2 koşulunu sağlamasıdır [4].

1 * **

L_Φ =L_ϕ olduğunda, Önerme 2.4.1 deki ve [2, ch. 2, Sec. 6] ile direkt sonuç elde

edilir.

Tanım 2.4.5: E_ϕile Bölüm 10 [2] da olduğu gibi *

L_ϕ’de normda yakınsak

sınırlı fonksiyonlar ailesinin kapanışını ifade ederiz. Diğer deyişle, eğer

i. ( )u x ler sınırlı olmak üzere _n u xn( )→u x0( ),

ii. u xn( )−u x0( )_ϕ → n → ∞ , 0, ise u x0( )∈Eϕ olur. Eğer u x₀( )∈L_ϕ ve 0 0 0 ( ), ( ) ( ) 0, ( ) n u x u x n u x u x n  ≤  =  >  (2.43)

23 alırsak n→ ∞ iken

[

_{n 0}

]

[

_{n 0}

]

I

u u u u dx

ρ − =

_∫

ϕ − ifadesinin 0 a yaklaşmasına rağmen, 0

( ) ( )

n

u x −u x _ϕsıfıra yaklaşmayabilir [2, Önerme 10.1].

Tanım 2.4.6: E_ϕ′ ile normda yakınsak sınırlı fonksiyonlar ailesinin ** *₁

L_ϕ =L_Φ

kapanışını ifade ederiz.

Aşağıdaki Teorem, Önerme 10.1 [2] ve Önerme 2.4.1 in sonucudur:

Teorem 2.4.11: Eğer ( )ϕ x , ∆ koşulunu sağlamazsa, normda yakınsak ₂

sınırlı fonksiyonlar ailesi **

L_ϕ içinde hiçbir yerde yoğun değildir. Ama eğer ( )ϕ u , ∆ 2 koşulunu sağlarsa, * **

E_ϕ =L_ϕ =L_ϕ =E_ϕ′ olur [4].

E_ϕ, L_ϕ de *

L_ϕ nin maximal lineer alt uzayı olduğunda, E_ϕ′ kümesi L_Φ1 de **

E_ϕ nin maximal lineer alt uzayı olarak göz önüne alınabilir. Bu bütün λ değerleri için λu x( )∈L_ϕ olmasından görülür. Ayrıca ( )u x ∈E_ϕ olur [2, s.84]. Bunu

göstermek için herhangi bir ε > verildiğini düşünelim ve 0 λ ε= 2 yazalım. ( )

u x λ∈L_ϕ olduğundan öyle bir v x( )=u x₁( ) λ mevcuttur ki

_; 1( ) ( ) ₁ I u u x u x v dx ρ ϕ ϕ λ λ −  ₋ ₌   _≤      

∫

  (2.44) olur. u x₁( ) sınırlı bir fonksiyon olduğundan, v x( )−u x( ) λ=(λv u− ) λ=(u₁−u) λ

olur. Buradan

u x₁( )−u x( )_{( )ϕ} ≤ =λ ε 2. (2.45)

[2] deki formül (9.24) dolayısıyla

u x1( )−u x( )_ϕ < (2.46) ε

elde ederiz.

24

u x_n( )−u x( )_ϕ → , n → ∞ (2.47) 0

olur. Böylece ( )u x ∈E_ϕ olduğu görülür.

Önerme 2.4.1 ve Teorem 10.2 [2] den aşağıdaki teorem elde edilir:

Teorem 2.4.12: **

L_ϕ uzayının ayrılabilir olması için gerek ve yeter şart ϕ

fonksiyonunun ∆ koşulunu sağlamasıdır [4]. ₂

2.5 Uygulamalar

**

L_ϕ’de normun hesaplanmasında zorluklar olduğunda normun alternatif

formlarını göz önüne alabiliriz.

Teorem 2.5.1: _{( )} ** u x ∈L_ϕ ve * * 1 ( ( ) ) ( ) 1, I k u x k u x dx ϕ   Ψ _{ } =

∫

(2.48)

koşulunu sağlayan bir pozitif *

k sayısı var olsun.

Bu durumda

(

)

1 * * 1 ( ) I u u k u x dx k ϕ = Φ =

∫

ϕ  (2.49) olur.

Bu sonuçlar Teorem 10.4 [2] ün direkt sonuçlarıdır. **

L_ϕ de başka alternatif norm ifadesi verilebilir.

Teorem 2.5.2: ** ( ) u x ∈L_ϕ olsun. O zaman

(

)

1 0 1 1 ( ) ( ) inf 1 ( ) k I u x u x k u x dx k ϕ Φ _>     = =  + Φ _{ }  

∫

 (2.50) olur.

25

Bu, eğer Φ1( )u yerine M u( ) alırsak Teorem 10.5 [2] ile denk olur.

Teorem 2.5.3: E I_ϕ′( ) uzayında bir taban mevcuttur. Bu Teorem 12.1 [2] den ve ** *₁

( ) ( )

L I_ϕ =L_Φ I gerçeğinden çıkar.

E_ϕ′ uzayına ilişkin, ( )u x in E_ϕ′ ye ait olmasına dair gerekli ve yeterli koşul bulmakla

ilgilenelim.

Teorem 2.5.4: **

( )

u x ∈L_ϕ fonksiyonunun E_ϕ′ ’ye ait olması için gerekli ve yeterli şart **

L_ϕ uzayının mutlak sürekli norma sahip olmasıdır. Yani her ε > için 0 öyle bir δ > vardır öyle ki mes0 ℵ < iken δ

( ) ( ; )u x χ xℵ _ϕ < (2.51) ε

sağlanır. Bu Teorem 10.3 [2] ten çıkar.

E_ϕ′ ve

1

L_Φ uzaylarını karşılaştırmak için, (Π E r_ϕ′; ) ile

( , ) inf

W E

d u E u w r

ϕ

ϕ′ = ∈ ′ − ϕ < (2.52)

koşulunu sağlayan u fonksiyonlarının ailesini gösterelim.

Teorem 2.5.5: ( )ϕ x fonksiyonunun ∆ koşulunu sağlamadığını düşünelim. 2 O zaman

Π(E_ϕ′;1)⊂L_Φ1 ⊂ Π(E_ϕ′;1), Π(E_ϕ′;1)≠L_Φ1 ≠ Π(E_ϕ′;1) (2.53) olur.

Bu Önerme 2.4.1 ve Teorem 10.1 [2] den görülür.

E_ϕ uzayı için A. N. Kolmogorov’un kompaktlık kriteri düşünülecek olursa

E_ϕ′ uzayı için aşağıdaki kriteri Teorem 11.1 [2] den doğrudan elde ederiz:

Teorem 2.5.6: Eϕ′ uzayında bir ℜ fonksiyonlar ailesinin L**ϕ ye göre

kompakt olması için gerekli ve yeterli şart, a) ∀u x( )∈ℜ için u _ϕ <A,

26

b) Keyfi ε > için öyle bir 0 δ > bulunabilir ki r0 < iken ℜ nin her u δ

fonksiyonlar ailesi için u u− _{r ϕ} < . ε

Buradaki ur =u xr( ), ( ) 1 ( ) ( ) , r r r T x u x u t dt m =

_∫

ile tanımlanan Steklov fonksiyonudur. Burada ( )T x ; r yarıçaplı x merkezli açık _r

yuvardır ve m_r ise bu açık yuvarın uzunluğudur [2, (11.3) formülü].

F. Riesz’in E_ϕ uzayı için kompaktlık kriteri düşünülürse E_ϕ′ için aşağıdaki kriteri elde ederiz [2, Teorem 11.4]:

Teorem 2.5.7: E_ϕ′ uzayında bir ℜ fonksiyonlar ailesinin **

L_ϕ’ye göre kompakt olması için gerek ve yeter şart aşağıdaki koşulların sağlanmasıdır:

a) ∀u x( )∈ℜ için u _ϕ < A,

b) Keyfi ε > için öyle bir 0 δ > bulunabilir ki, ( , 0)0 d h , h ile 0 arasında

uzaklığı belirtmek üzere, bütün ( )u x ∈ℜ ler için ( , 0)d h < iken δ

( ) ( )

u x+h −u x _ϕ < . ε

Şimdi daha önce tanımlanan ₁

{

}

0 ( ) ( ) x x ϕ t t dx Φ =

_∫

olmak üzere Φ₁( )x ve 1( )x

Ψ karşılıklı tümleyen fonksiyonlar olsunlar. ( )

v x , L*_Φ1 uzayında bir fonksiyon olmak üzere,

[ ]

** ( ) , ( ) ( ) , ( ) I u u v u x v x dx u x L_ϕ ℑ = =

_∫

∈ (2.54) alalım. O zaman **_{( )}

L I_ϕ tam uzayında ( )ℑ u nun bir lineer fonksiyon tanımladığı

Banach-Steinhaus teoreminden [4, kaynak 8 s.135 ve kaynak 2 s.54] elde edilir.

1 sup ( ) u u ϕ ℑ ≤ = ℑ (2.55) alalım. (14.2) [2] formülünden

27 1 2 v ℑ ≤ _Ψ ≤ ℑ (2.56) elde ederiz. 1 ( ) K v = v _Ψ ℑ dersek. 1≤K v( ) 2≤ bulunur. ( )u uα, 1 ϕ = α> ile tanımlanırsa, **

L_ϕ için ( )K v ’nin değerinin hesaplanması

için, 1( )u u α _α Φ = olacağından, 1 1 1 1 1 I u u u dx α α β ϕ Φ α β   = = _ Φ  _{  } 

∫

 (2.57) kullanabilir.

Aşağıdaki ifade [2, s.125] deki sonuçtan elde edilmiştir.

1 1 1 1 1 sup ( ) ( ) . u _G v u x v x dx _{α β} α β Φ Ψ ≤ ℑ =

_∫

= (2.58) Böylece 1 ( ) v x ∈ ℑ_Ψ olmak üzere _{( )} 1 1 K v =α βα β (2.59) olur.

Teorem 2.5.8: ϕ fonksiyonunun ∆ koşulunu sağlamadığını düşünelim. O 2 zaman (2.54) **

L_ϕ de bir lineer fonksiyonelin genel formu olamaz.

Bu Teorem 14.1 [2] ve Önerme 2.4.1 den çıkar.

Teorem 2.5.9: _{( )} *₁

v x ∈L_Ψ olduğunda (2.54) formülü E_ϕ′ üzerinde bir lineer

fonksiyonelin genel formu olur.

28

3.

ORLICZ UZAYLARINDA POLİNOMLARLA AYNI

ANDA YAKLAŞIM

3.1 Giriş

Klasik Orlicz uzaylarında cebirsel/trigonometrik polinomlarla yaklaşım problemleri birçok matematikçi tarafından çalışılmıştır. [7] de Tsyganok

trigonometrik yaklaşımın Jackson eşitsizliklerini elde etmiştir. [8] de Kokilashvili trigonometrik yaklaşımın ters teoremlerini elde etmiştir. [9] da Ponomarenko, Fourier serilerinin kısmi toplamları ile trigonometrik yaklaşımın bazı düz teoremlerini ispatlamıştır. [10] da Cohen Fourier serilerinin kısmi toplamları ile trigonometrik yaklaşımın bazı düz teoremlerini ispatlamıştır. Diğer taraftan klasik Orlicz uzaylarında fonksiyonlara cebirsel/trigonometrik polinomlarla aynı anda yaklaşım [11] de Ramazanov ve [12] de Garidi tarafından çalışılmıştır. Bu sonuçlarda Orlicz uzaylarını üreten Young fonksiyonları konvekstir. Oluşturulan Young fonksiyonu kvazi-konvekslik koşulunu sağladığında benzer problemler R. Akgün [13,14,15] ve R. Akgün, D. M. İsrafilov [16,17] tarafından çalışılmıştır.

Bu bölüm **

Lϕ Orlicz uzaylarında cebirsel/trigonometrik polinomlarla aynı

anda yaklaşım problemlerini içerir.

p q

−∞ < ≤ < ∞ alalım ve _{Y p q ile ( , )}

[

,

]

−∞ ∞ aralığında tanımlanmış aşağıdaki iki koşulu sağlayan ϕ∈ Φ fonksiyonlarını ifade edelim.

i. u artarken,

_ϕ

( )

_u /_up _{azalmayandır:}

ii. u artarken,

( )

/ q

u u

ϕ

artmayandır.

p<q olduğunda Y p q, ile bir ,ε δ > için 0 ϕ∈Y p

[

+ε,q−δ

]

koşulunu

29

1 2 1 2

( ) ~ [ ,x p p ], 0 p p

ϕ ≤ ≤ ≤ ∞ ( ya da benzer şekilde −∞ ≤ p1≤ p2≤0) ile negatif olmayan ( )ϕ x çift fonksiyonlarını ifade ederiz öyle ki , (0, )x ∞ aralığında

artarken ϕ( )_{x x}−p1 azalmayan ϕ( )_{x x}−p2 artmayandır.

1 2 1 2

( ) ~ [ ,x p p ], 1 p p

ϕ ≤ ≤ ≤ ∞ ile t→ ∞ iken ϕ₁( )t =ϕ( )t t→ ∞ alalım.

1( )t

ψ , ϕ1( )t =ϕ( )t t fonksiyonunun ters fonksiyonu olsun. ψ1( )t azalmayan, sürekli, pozitiftir. 1 1 0 ( ) : ( ) x x ϕ t dt Φ =

_∫

ve 1 1 0 ( ) : ( ) x x ψ t dt Ψ =

_∫

yazalım. Buradan Φ₁( ), x Ψ₁( )x konveks birer fonksiyon olurlar ve böylece Φ₁( )x

ile Ψ1( )x Young anlamında tümleyen fonksiyon olurlar. ( ) ( )

f x g x çarpımı I aralığı üzerinde her g x( )∈L_ψ1( )I için integrallenebilir

koşulunu sağlayan f I: →R fonksiyonlarının ailesi L**_ϕ ile gösterilir.

**

L_ϕ uzayında norm

: _{( )I} : sup ( ) ( )

g _I

f _ϕ = f _ϕ =

∫

f x g x dx (3.1)

şeklinde tanımlanır. Burada supremum

( , ₁) ₁( ( ) ) 1

I

g g x dx

ρ Ψ = Ψ

_∫

≤ (3.2)

koşulunu sağlayan g ler üzerinden alınmıştır.

1 : : R | ( ) ( ) , . I L_ϕ∗∗ =f I→ f x g x dx< ∞ ∀ ∈g L_Ψ  

∫

 , f∈L∗∗_ϕ 1 g∈L∗∗_Ψ için ( )1 1 ( ) : inf 0 : g x ; 1 g k k

ρ

Ψ     = _ > _ Ψ ≤_{ }    

30 olmak üzere genelleştirilmiş Hölder eşitsizliği [4]

( )1 ( ) ( ) I f x g x dx f _ϕ g Ψ ≤

∫

(3.3) olur. 1984 te A. R. –K. Ramazanov [11] *

L_ϕ Orlicz uzayındaki fonksiyonlar için

Jackson tipli eşitsizlikleri elde etmiştir (ayrıntılı sonuçlar için (R. Akgün [13,14] ve

H. Koç, R. Akgün [18]). Daha sonra Wu Garidi [12] Ramazanov’un sonuçlarını genişletmiş ve Jackson tipli eşitsizlikleri türevler için

( )

{

}

, : | r r L∗_ϕ = f ∈L_ϕ∗ f ∈L∗_ϕ

Sobolev uzayında ispatlamıştır.

a= −π ve b=π için L∗∗_{ϕ π,} ve L_{ϕ π}∗∗_,,r notasyonlarını kullanacağız.

{

}

{

}

, ( ) , ( ) , , , : : , \ , : : , \ . r r r r L f f f L L L f f f L L ϕ ϕ ϕ ϕ π ϕ π ϕ π ∗∗ ∗∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗ = ∈ = ∈ Ama ** ** , ya da

L_ϕ L_{ϕ π} uzayında öyle fonksiyonlar bulunabilir ki L*ϕ ya da L*ϕ π, uzaylarına ait değildir.

Örneğin ( ) ~ 2,3

ϕ

x alarak ϕ( )x =x5 2, 0≤ ≤x 1 ve ϕ( )x =x9 4, x>1

tanımlanırsa [4, s. 67-68]

ϕ

konveks olmaz. **

L_ϕ tanımlanabildiği halde *

L_ϕ

tanımlanamaz.

Bu bölümün ana amacı Sobolev tipli uzaylarda fonksiyonlara

cebirsel/trigonometrik polinomlarla aynı anda yaklaşım problemlerini göz önüne

almaktır.

Kolaylık olsun diye bu çalışmada her yerde C sabiti ile değişik yerlerdeki

31

3.2 Ana Sonuçlar

Teorem 3.2.1:

ϕ

∈Y p q, , 1 p q< < < ∞ alalım. r=1, 2,3,… ve 0,1, 2, , r

υ

= … olsun. Herhangi bir _{f L} ,r

ϕ

∗∗

∈ için öyle bir n dereceli P cebirsel polinomu mevcuttur ki herhangi n≥1 tamsayısı için

( ) ( )

(

( )

)

, ,1/ r f υ Pυ C _{υ ϕ} f υ n ϕ ω− − ≤

sağlanır. Burada C sabiti sadece rve ϕ ye bağlıdır.

Teorem 3.2.2:

ϕ

∈Y p q, , 1 p q< < < ∞ alalım. r=1, 2,3,… ve 0,1, 2, , r

υ

= … olsun. Herhangi bir , ,

r

f∈L_{ϕ π}∗∗ için öyle bir n dereceli T trigonometrik

polinomu mevcuttur ki herhangi n≥1 tamsayısı için

( ) ( )

(

( )

)

, ,1/ r f υ Tυ C _{υ ϕ} f υ n ϕ ω− − ≤

sağlanır. Burada C sabiti sadece r ve ϕ ye bağlıdır.

3.3 L_ϕ∗∗ Uzayında K _{Fonksiyoneli ve Düzgünlük Modülü}

Varsayalım ki r=1, 2,3,... , υ=0,1, 2,... ,r t> ve 0 f ∈L∗∗_ϕ,r olsun. ( ) , , , 0 : i i r t r i f f t f υ ϕ ϕ _ϕ = = =

∑

(3.4) olmak üzere K fonksiyoneli

(

)

( ) ( )

{

,

}

, , : inf , _, : r r r r Kυ_ϕ f t f g _{υ ϕ} t g g L_ϕ υ υ ϕ ∗∗ + = − + ∈ (3.5) ile tanımlanır.

(

)

( )

(

)

0 , : 1 r r i r t i r f x f x it i − =   ∆ = − _{ } +  

∑