ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
NESNESEL PROGRAMLAMA YÖNTEMLERĠ ĠLE YAPI SĠSTEMLERĠNĠN DOĞRUSAL OLMAYAN ANALĠZĠ
DOKTORA TEZĠ Murat YILMAZ
(501032103)
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 28 Eylül 2009 Tezin Savunulduğu Tarih : 12 Ocak 2010
Tez DanıĢmanı : Prof. Dr. A. Yalçın AKÖZ (Maltepe Ü.) Diğer Jüri Üyeleri : Prof. Dr. Ġbrahim BAKIRTAġ (ĠTÜ)
Prof. Dr. Surkay AKBAROV (YTÜ) Prof. Dr. Hasan ENGĠN (ĠTÜ) Prof. Dr. Semih TEZCAN (BÜ)
iii
v
ÖNSÖZ
Günümüzde yapı sistemlerinin analizinde sonlu elemanlar yönteminin kullanımı kaçınılmaz hale gelmiştir. Gelişen ihtiyaçlar dahilinde, analizler karmaşıklaştıkça yapılan modellemeler ve bu modelleri programlama ortamına aktarmak zorlaşmıştır. Bilgisayar teknolojileri açısından bakıldığında bir yandan bilgisayarlar hızlanmakta ve kapasiteleri artmakta olup, diğer yandan programlama teknikleri gelişmektedir. Programlama tekniklerinin en başarılı ve yaygın kullanılanlarından biri de nesne yönelimli programlamadır. Bu programlama tekniği doğal yapısı itibari ile sonlu eleman yöntemindeki mevcut kavramlarla büyük bir uyum sağlamaktadır.
Bu teknik ile sonlu eleman programlamak için, modellemede kullanılan tüm araçları birer nesne gibi düşünmek ve bu nesnelerin birbirleri ile iletişimini kurgulamak gerekmektedir.
Tez kapsamında sonlu eleman geliştiricileri için nesnesel yapıya sahip yeni bir programlama dili geliştirilmiş (FEMLANG) ve bu dili kullanmanın avantajları ortaya konulmaya çalışılmıştır.
Sonlu eleman geliştiricileri için gerekli araçlar dilin yapısında olmak durumundadır. Dilin geliştirme sürecinde bu araçları belirlemek için örnek problemlere ihtiyaç duyulmuştur. Örnek problem olarak büyük ölçüde çubuk sistemlerin büyük yer değiştirme hesabı ele alınmış olup ―MyBeam‖ adlı oldukça iyi performanslı yeni bir çubuk eleman geliştirilmiştir.
Tez bu haliyle bir başlangıç niteliğindedir. Geniş bir konuda çözüm üreten yetenekli bir programlama dili yazmak ucu daima gelişmeye açık olacak bir konudur. Bu yüzden tezin bir noktada bitirilmesi zorunlu olmuştur.
Tezin mevcut haline gelmesinde bana en büyük desteği veren sayın danışman hocam Prof. Dr. Yalçın AKÖZ‘e önemli bir teşekkür borçluyum. Ayrıca tez izleme komitesindeki sayın hocalarım Prof. Dr. İbrahim BAKIRTAŞ ve Prof. Dr. Surkay AKBAROV ‗un da eleştirileri sayesinde özellikle tezin teorik çalışmalar içeren kısımlarının şekillenmesinde önemli katkıları olmuştur. Bu yüzden kendilerine teşekkür ederim. Ayrıca diğer hocalarıma, aileme ve tüm arkadaşlarıma bana karşı göstermiş oldukları sabır ve destekten ötürü teşekkür etmek istiyorum.
Ve son olarak TÜBİTAK Bilim İnsanı Destekleme Daire Başkanlığına üç yıl boyunca bana vermiş oldukları burs desteği için sonsuz teşekkürlerimi sunmak istiyorum.
Umarım kendimde bu tezin devamını getirme gücü bulabilirim.
Ocak 2010 Murat YILMAZ
vii ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÖNSÖZ...v ĠÇĠNDEKĠLER ... vii KISALTMALAR... ix ÇĠZELGE LĠSTESĠ ... xi
ġEKĠL LĠSTESĠ ... xiii
SEMBOL LĠSTESĠ ... xv ÖZET...xvii SUMMARY ... xix 1. GĠRĠġ...1 1.1 Tezin Amacı ... 1 1.2 Literatür Özeti ... 3 1.3 Yol Haritası ... 4
2. GEOMETRĠK YADDOĞRUSAL HESAP... 5
2.1 Deformasyon Gradyanının Hesaplanması ... 6
2.2 Diferansiyel Hacim ve Alan Bağıntıları ... 7
2.3 Green-Lagrange Genleme Tansörü ... 9
2.3.1 Birim boy değişimleri ... 9
2.3.2 Açı değişimleri ... 11
2.4 Cauchy ve Piola-Kirchhoff Gerilme Tansörleri ... 13
2.5 Virtüel İş Denklemi ... 14
2.5.1 Virtüel iş denkleminin başlangıç konumunda ifade edilmesi ... 15
2.5.2 Virtüel iş denkleminin doğrusallaştırılması ... 16
2.6 Sonlu Elemanlar Formülasyonu ... 19
2.7. Sonlu Elemanlarda Newyon-Raphson Yöntemi ... 21
2.7. Yaddoğrusal Hesap Uygulaması ... 22
3. ÇUBUK SĠSTEMLER ĠÇĠN BÜYÜK YER DEĞĠġTĠRME HESABI ... 25
3.1 Sadece Normal Kuvvet Taşıyan Sistemler ... 25
3.1.1 Şekil değiştirme ölçüsünün seçimi ... 25
3.1.2 Sürekli ortam formülasyonu (sabit alan) ... 28
3.1.3 Sürekli ortam formülasyonu (sıkışmaz malzeme) ... 34
3.1.4 Sonlu eleman denklemlerinin oluşturulması ... 35
3.1.5 Birinci mertebe burkulma yükünün belirlenmesi... 37
3.1.6 Örnek kafes sistem analizleri ... 39
3.1.6.1 Örnek 1 39
3.1.6.2 Örnek 2 41
3.2 Eğilmeye Çalışan Elemanlar ... 43
3.2.1 Kinematik bağıntılar ... 43
3.2.2 Sonlu eleman denklem takımının elde edilmesi ... 49
3.2.3 Bünye denklemleri ve iç yük vektörünün elde edilmesi ... 51
3.2.4 Örnek problemler ... 53
viii
3.2.4.2 Örnek 2 54
3.2.5 Doğrusal burkulma problemi ... 57
3.2.6 Burkulma problemi ... 59
3.2.6.1 Örnek 1 59
3.2.7. Bezier eğrileri ile yaddoğrusal kiriş problemi ... 61
3.2.7.1 Bezier eğrileri 62
3.2.7.2 Sonlu yer değiştirme hesabı 63
3.2.7.3 Virtüel iş teoremi ve yönsel türev 66
3.2.7.4 Yaddoğrusal denklem takımını çözümü 68
3.2.7.5 Dönme sınır koşulunun denklem takımına etkisi 68
3.2.7.6 Sayısal uygulamalar 70
Doğru eksenli ankastre kiriş ... 70
Eğri eksenli ankastre kiriş ... 71
3.2.8 Malzeme yaddoğrusallığı ... 72
3.2.8.1 Düzlem gerilme elemanı 73
3.2.8.2 Doğrusal olmayan bünye bağıntısı 75
3.2.8.3 Hesap algoritması 77
3.2.8.4 Akma yüzeyine taşınma 79
3.2.8.5 Elasto-plastik gerilmelerin hesaplanması 80
3.2.8.6 Örnek 80
4. BÜYÜK YER DEĞĠġTĠRME YAPAN ÇUBUK SĠSTEMLERĠN DĠNAMĠK ANALĠZĠ ... 83
4.1 İntegrasyon Yönteminin Seçimi ... 83
4.2 Dinamik Denge Denklemi ... 83
4.3 Açık Dinamik Analiz ... 84
4.3.1 Doğrusal ivme kabulü ... 84
4.3.2 Sabit ivme kabulü ... 85
4.4 Kapalı Dinamik Analiz ... 86
4.5 Kütle Matrisinin Elde Edilmesi ... 88
4.6 Örnek Problemler ... 89
4.6.1 Örnek 1 ... 89
4.6.2 Örnek 2 ... 92
5. SONLU ELEMAN GELĠġTĠRME VE ANALĠZ ÇATISI (SEGAÇ) ... 93
5.1 Genel Sonlu Eleman Altyapısı (FEMWORKS) ... 96
5.1.1 Düğüm noktası nesnesi (Node) ... 97
5.1.2 Eleman nesnesi (Element) ... 99
5.1.3 Sonlu eleman yapı sisteminin oluşturulması (Structure)... 103
5.1.4 Sistem denklem takımının oluşturulması (FEMAssembler) ... 104
5.1.5 Yaddoğrusal çözücü (Solver) ... 105
5.2 Yeni Bir Sonlu Eleman Yaratma ve Çözümleme Dili (FEMLANG) ... 106
5.2.1 Programlama dilinin yapısı ... 108
5.2.2 Örnek kafes sistem düğüm noktasının tanımlanması ... 108
5.2.3 Örnek kafes elemanın tanımlanması ... 110
5.2.4 Kafes sistemin yaratılması ... 112
5.2.5 Çözücü nesnesinin yaratılması (Solver) ... 114
5.2.6 Sistemin çözümü ve sonuçların görüntülenmesi (Run)... 114
5.3 FEMBIND Hakkında ... 115
6. SONUÇLAR ... 117
KAYNAKLAR ... 119
ix
KISALTMALAR
SEY : Sonlu Elemanlar Yöntemi NYP : Nesne Yönelimli Programlama
SEGAÇ : Sonlu Eleman Geliştirme ve Analiz Çatısı PK : Piola-Kirchhoff
xi
ÇĠZELGE LĠSTESĠ
Sayfa Çizelge 3.1 : Eğri eksenli kiriş ... 72 Çizelge A.3.1 : Bezier eğrileri ile konsol kiriş problemi...129
xiii
ġEKĠL LĠSTESĠ
Sayfa
ġekil 1.1 : SEGAÇ temel bileşenleri ... 3
ġekil 2.1 : Başlangıç ve güncel konumlarda diferansiyel doğru parçaları ... 5
ġekil 2.2 : Yer değiştirme vektörü ... 9
ġekil 2.3 : Güncel konumda açı değişimi ... 11
ġekil 3.1 : Kafes eleman uç kuvvetleri ve normal kuvvet ... 25
ġekil 3.2 : Normal kuvvet çubuğunun sürekli ortam modeli ... 28
ġekil 3.3 : İki boyutta normal kuvvet çubuğu... 29
ġekil 3.4 : Uzama ve rijit dönme-öteleme yapan bir çubukta kayma şekil değiştirmeleri ... 31
ġekil 3.5 : Uzama ve rijit dönme-öteleme yapan bir çubukta asal şekil değiştirme .. 32
ġekil 3.6 : İki çubuklu normal kuvvet sistemi ... 39
ġekil 3.7 : Örnek 1 e ait çeşitli şekil değiştirme ölçüleri için kuvvet-yer değiştirme grafikleri ... 40
ġekil 3.8 : İki boyutlu kafes sistem ... 41
ġekil 3.9 : n6 düğüm noktasının düşey yer değiştirme-kuvvet grafiği ... 41
ġekil 3.10 : Stabilite kaybı öncesi kafes sistem yerdeğiştirmesi (A noktası) ... 42
ġekil 3.11 : Stabilite kaybı sonrası kafes sistem yerdeğiştirmesi (B noktası) ... 42
ġekil 3.12 : Dönmüş lokal eksen takımında elemanın merkezsel ekseni ... 43
ġekil 3.13 : Merkezsel eksenin vektörel ifadesi ... 44
ġekil 3.14 : Eleman kesit koordinat vektörü ... 46
ġekil 3.15 : Referans sistemde merkezsel eksenin vektörel ifadesi... 47
ġekil 3.16 : Eleman uç kuvvetleri ve kesit tesirleri ... 49
ġekil 3.17 : Eleman moment dengesi ... 50
ġekil 3.18 : Elemanın açısal bilinmeyenleri ... 52
ġekil 3.19 : Konsol kiriş örneği ... 54
ġekil 3.20 : Konsol kiriş statik analizi : ANSYS, Sap2000 ve MyBeam ... 54
ġekil 3.21 : Çerçeve statik analizi... 55
ġekil 3.22 : Çerçeve sistem yük-deplasman grafiği (C noktası düşey) ... 55
ġekil 3.23 : Çerçeve sistemin eğilme çizimleri ... 56
ġekil 3.24 : Değişik eleman sayıları için yük-deplasman grafikleri ... 56
ġekil 3.25 : Değişik eleman sayıları için yük-deplasman grafikleri ... 57
ġekil 3.26 : Şekil değiştirmiş elemana ait diferansiyel parçada kesit tesirleri... 58
ġekil 3.27 : Konsol kiriş hareketli burkulma örneği ... 59
ġekil 3.28 : Konsol kiriş düşey uç deplasman grafiği (stabil durum) ... 60
ġekil 3.29 : Konsol kiriş düşey uç deplasman grafiği (burkulma durumu) ... 60
ġekil 3.30 : Konsol kiriş kritik hareketli burkulma yükü – eleman saysı grafiği ... 61
ġekil 3.31 : Üçüncü mertebe Bezier eğrisi ve dört kontrol noktası ... 62
ġekil 3.32 : Üçüncü mertebe Bernstein polinomları ... 63
ġekil 3.33 : Yer değiştirmiş konum ve referans konum ... 64
ġekil 3.34 : Koordinat parametreleri ... 66
xiv
ġekil 3.36 : Bezier eğrisi ve kontrol noktaları ... 69
ġekil 3.37 : Yer değiştirmiş ve referans konumlara ait Bezier eğrileri ... 69
ġekil 3.38 : Ankastre mesnetli doğru eksenli kiriş ... 70
ġekil 3.39 : Örnek program çıktısı ... 70
ġekil 3.40 : PL2/EI = 2, 10 ve 15 için yer değiştirmiş konumlar ... 71
ġekil 3.41 : Konsol kiriş statik analizi Sap2000 ile karşılaştırma ... 71
ġekil 3.42 : Ankastre mesnetli eğri eksenli kiriş... 72
ġekil 3.43 : Bir nolu düğüm noktasında yer değiştirme alanları... 73
ġekil 3.44 : Gerilmenin akma yüzeyine taşınması ve elasto plastik gerilmelerin hesaplanması ... 79
ġekil 3.45 : Akma fonksiyonun ya bağlı noktasal değerleri ... 79
ġekil 3.46: Konsol kiriş boyutlar ve yükleme ... 81
ġekil 3.47: P = 3.3 kN değeri için 10 kat büyütülmüş yer değiştirmeler ve plastikleşme bölgesi ... 81
ġekil 3.48: Çevrimsel yükleme davranışı (konsol serbest uç yer değiştirmesi esas alınmıştır) ... 82
ġekil 4.1 : Konsol kiriş örneği ... 89
ġekil 4.2 : Konsol kiriş ani yükleme ... 90
ġekil 4.3 : Düşey yer değiştirme –zaman grafiği (açık şema / 1 eleman / yayılı kütle) ... 90
ġekil 4.4 : Değişen eleman sayıları için dinamik davranış grafikleri (MyBeam) ... 91
ġekil 4.5 : Değişen eleman sayıları için dinamik davranış grafikleri (Sap2000)... 91
ġekil 4.6 : Serbest çerçeve dinamik analizi ... 92
ġekil 4.7 : Serbest çerçeve anlık yükleme ... 92
ġekil 5.1 : SEGAÇ temel bileşenleri ... 94
ġekil 5.2 : Düğüm noktası nesnesi ve örnek kod yapısı ... 94
ġekil 5.3 : Nesne yapısı ... 95
ġekil 5.4 : SEGAÇ‘ ın çalışma şekli ... 96
ġekil 5.5: Düğüm noktalarında tanımlanan yapılar ... 98
ġekil 5.6 : Düğüm noktası nesnesi yapısı ... 99
ġekil 5.7 : Eleman nesnesi ... 102
ġekil 5.8 : Structure nesnesi ... 104
ġekil 5.9 : FEMAssembler nesnesi ... 105
ġekil 5.10 : Solver nesnesi ... 106
ġekil 5.11 : İki boyutlu kafes nesnesi ... 107
ġekil 5.12 : İki boyutlu kafes düğüm noktası nesnesi ... 108
ġekil 5.13 : İki boyutlu kafes eleman nesnesi ... 110
ġekil 5.14 : İki boyutlu kafes sistem ... 112
ġekil 5.15 : İki boyutlu kafes sistemin yaratılması ... 112
ġekil 5.16 : Çözücü parametrelerinin ayarlanması ... 114
ġekil 5.17 : Analiz ve çıktıların görüntülenmesi ... 114
ġekil A.1 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 0.1) ... 124
ġekil A.2 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 0.2) ... 124
ġekil A.3 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 0.4) ... 125
ġekil A.4 : Düşey Yerdeğiştirme (L=1000 , P = 1.0) ... 125
xv
SEMBOL LĠSTESĠ
F : Deformasyon gradyanı
x : Şekil değiştirmiş konum vektörü 0
x : Referans konum vektörü J : Jacobien matrisi
H : Yer değiştirme gradyanı
Ε : Şekil değiştirme tansörü (Langrange-Green)
ζ : Cauchy gerilme tansörü
P : Birinci Piola-Kirchoff gerilme tansörü S : İkinci Piola-Kirchoff gerilme tansörü k : İç yük vektörü
q, r : Dış yük vektörleri K : Teğet rijitlik matrisi
G
K : Geometrik rijitlik matrisi C : Elastisite matrisi p C : Plastisite matrisi x, d, u : Bilinmeyenler vektörleri T : Dönüşüm matrisi M : Kütle matrisi
: Çubuk diferansiyel boyu
: Çubuk boyu
L : Çubuk düğüm noktaları arası mesafe A : Çubuk kesit alanı
m
v : Elastik eğri
: Birim boy kütlesi
EI : Eğilme rijitliği
EA : Normal kuvvet rijitliği
v : Poisson oranı
( )
Tr A : AMatrisinin izi a : a Vektörünün boyu
xvii
NESNESEL PROGRAMLAMA YÖNTEMLERĠ ĠLE YAPI SĠSTEMLERĠNĠN DOĞRUSAL OLMAYAN ANALĠZĠ
ÖZET
Sonlu Elemanlar Yöntemi yapı sistemlerinin modellenmesinde yaygın ve başarılı bir biçimde kullanılmaktadır. Gelişen ihtiyaçlar dahilinde bir çok problemin çözümünde hız ve doğruluk büyük önem kazanmıştır. Sonlu eleman geliştiricileri için hem zaman hem de maliyet açısından en büyük zorluklardan biri, eleman geliştirme sürecinde yapılan teorik hesaplamaları test etmek üzere elemanı ve bu elemanlardan oluşan sistemi programlamaktır. Tez kapsamında doğrusal olmayan sistemlerin hesabı için kullanılmak üzere tasarlanan ―Sonlu Eleman Geliştirme ve Analiz Çatısı‖ (SEGAÇ) adında yeni bir programlama platformu geliştirilmiştir.
ŞEGAÇ, yeni sonlu eleman türetmek ve bu elemanlardan oluşan sistemlerin çözümü için özel olarak tasarlanmış genişletilebilir araçlar içermektedir. SEGAÇ ın en önemli bileşeni FEMLANG adı ile geliştirilmiş nesne yönelimli yeni bir programlama dilidir. Öğrenmesi ve kullanımı oldukça kolay olan bu dil sayesinde SEGAÇ içerisindeki tüm araçlara erişilebilmektedir. SEGAÇ ‗ın en büyük avantajı eleman geliştirme ve problem çözme sürecini herhangi bir programlama platformundan çok daha hızlı bir şekilde gerçekleştirme olanağı sunmasıdır.
SEGAÇ yaratılırken çubuk sistemlerin büyük yer değiştirme hesabına yönelik uygulamalar üzerine yoğunlaşılmıştır. Bu yeni programlama ortamının sunduğu avantajlardan faydalanılarak ―MyBeam‖ adlı yeni bir sonlu eleman geliştirilmiştir. MyBeam, iki boyutlu çubuk sistemlerin büyük yerdeğiştirme kabulü ile elastik çözümlemesini yüksek performanslı bir şekilde yapabilmektedir. Bu elemanın statik, dinamik ve burkulma analizleri çeşitli örnek problemlerle test edilmiştir.
SEGAÇ ın gelişim süreci sürmektedir. Bu yüzden sonlu elemanlar yöntemi ile ilgili daha pek çok konunun incelenerek platformun eksiklerinin ortaya konması ve güncellenmesi gerekmektedir. Gelecekte çubuk sistemlerin dışında iki ve üç boyutlu sistemlerin çözülmesi, malzeme yaddoğrusallığı için araçlar ve otomatik sistem türetme ve çıktıları görüntülemek için çeşitli araçların SEGAÇ bünyesine katılarak daha kullanışlı bir platform yaratılması hedeflenmektedir.
xix
NONLINEAR ANALYSIS OF STRUCTURAL SYSTEMS WITH OBJECT ORIENTED PROGRAMMING TECHNIQUES
SUMMARY
The Finite Element Method is widely used for modeling of structural systems and gained a great success. Within the evolving needs, speed and accuracy in the solution of the problem has gained importance. One of the biggest challenges for finite element developers are both time and cost of element development process, especially to write a computer program to test the theoretical calculations for creation of elements. In the context of this thesis, a new programming platform has been designed and developed for the solution of nonlinear systems called "Finite Element Development and Analysis Framework" (FEDAF).
FEDAF is composed of special, extensible tools to derive new finite elements for the solution of structural systems. The most important component of FEDAF is the new programming language developed in object oriented architecture called FEMLANG This is a quite easy to learn and easy to use language accessing all the tools available within FEDAF. FEDAF 's biggest advantage is, it offers a very quick way to perform problem-solving process when compared with other programming platforms.
During the creation period of FEDAF, big deformation of elastic beams is considered of importance as a good sample problem. With the benefits offered by this new programming environment a new finite element called "MyBeam" has been developed. MyBeam has the capability to perform two-dimensional elastic analysis large displacements included with a very high performance compared with its counterparts. Static, dynamic and buckling analysis have been included for testing purposes.
Development process of FEDAF continues. Therefore, many other issues related to the finite element method must be examined to complete the missing parts of FEDAF. For the future development, two and three dimensional systems, material nonlinearities, tools for atomatic mesh generation and other stuff is going to be considered for a complete finite element framework.
1
1. GĠRĠġ
1.1 Tezin Amacı
Bu tezde yapı sistemlerinin yaddoğrusal (doğrusal olmayan) analizlerini gerçekleştirmek üzere Sonlu Elemanlar Yöntemlerini uygulayan modern programlama araçları ve yüksek performanslı elemanlar geliştirilmiştir. Geliştirilen araçlarla düzlem çerçeve sistemlerin ve kafes sistemlerin büyük yer değiştirmeleri dikkate alınarak statik, dinamik ve burkulma hesapları yapılmıştır. Sayısal yöntem olarak Sonlu Elemanlar Yöntemi (SEY) kullanılmıştır. Geliştirilen çubuk elemanlarda:
Bilinmeyenler deplasman tipi seçilmiştir.
Şekil değiştirmelerin küçük, bünye bağıntılarının doğrusal olduğu varsayılmıştır.
Eğilmede Bernoulli-Navier hipotezinin geçerli olduğu varsayılmış ve kayma gerilmelerinden kaynaklanan etkiler göz ardı edilmiştir.
Ayrıca iki boyutlu düzlem gerilme elemanları için küçük yerdeğiştirme kabulü ile plastik hesap incelenmiş ve dönme serbestliği bulunan bir düzlem gerilme elemanı geliştirilmiştir.
Statik problemlerde oluşturulan yaddoğrusal denklem takımı Newton-Rapson yöntemi ile sabit yük adımlaması uygulanarak çözülmüştür. Dinamik problemler zaman tanım alanında sabit ivme ve değişken ivme kabullerine göre açık (explicit) ve kapalı (implicit) ilerleme şemaları kullanılarak çözülmüştür. Burkulma problemi yaddoğrusal burkulma ve doğrusal burkulma olarak iki ayrı başlıkta incelenmiştir. Günümüz bilgisayar teknolojisindeki gelişmelerle doğru orantılı olarak yapı sistemlerinin hesabında Sonlu Elemanlar Yönteminin kullanım alanı yaygınlaşmıştır. Gerek doğrusal gerekse yaddoğrusal hesaplamalar için oldukça başarılı çözümler sunan bir çok yazılım, uygulamacılar tarafından kullanılmaktadır. Bununla beraber artan teknolojik ihtiyaçlar doğrultusunda yapılan modellemelerin karmaşıklığı ve bilgisayarlara getirdiği yük sürekli artmaktadır. Artan bu ihtiyacı karşılamak üzere;
2
Bilgisayarların sürekli hızlanması ve kapasitelerinin artması
Denklem takımı çözüm yöntemlerinin geliştirilmesi ve paralelleştirilmesi
Az serbestlik derecesi ile yüksek çözüm doğruluğu sunan yeni elemanların geliştirilmesi
gerekmektedir. Tez kapsamında geliştirilen MyBeam elemanı çubuk sistemlerin büyük yer değiştirme hesabı için oldukça yüksek doğruluk sunmaktadır. Bu elemanla yapılan hesaplamalar literaratürde sıklıkla rastlanan ve güvenilirlikleri bir çok araştırmacı tarafından test edilmiş olan ANSYS ve SAP2000 programları ile karşılaştırılmış ve oldukça başarılı sonuçlar elde edilmiştir.
Paket programlar kullanıcıya, uzman teorisyenler tarafından oluşturulmuş birçok sonlu eleman modeli ve bu elemanlardan oluşan sistemleri oluşturmak, çözmek ve çözümleri değerlendirmek için güçlü araçlar sunmaktadır. Bununla birlikte kendi sonlu elemanını geliştirmek ve paket programa dahil etmek isteyen kullanıcılara (teorisyen kullanıcı) yönelik yapıları sunmakta yetersiz kalmaktadırlar. Sonlu Eleman geliştiricileri teorilerini test etmek üzere bir programlama dili öğrenerek, kendi programlarını yazmak veya mevcut açık kaynak kodlarını çözümleyip değiştirmek zorunda kalmaktadırlar. Her iki durumda da harcanacak emek ve zaman oldukça dikkate değerdir.
Bu tez kapsamında Sonlu Eleman Geliştirme ve Analiz Çatısı (SEGAÇ) adı altında bahsedilen yöntemler, işaret edilen bu probleme çözüm üretmek amacıyla geliştirilmiştir. SEGAÇ genel anlamda, Sonlu Eleman geliştiricilerine yardımcı olmak üzere Nesne Yönelimli Programlama (NYP) teknikleri kullanılarak yazılmış gelişkin araçlardan oluşan bir paket olarak algılanabilir. Bu paket
Rutin matematik ve SEY işlemlerini yürüten temel programlar (FEMWORKS)
Kullanıcı özel sonlu eleman yaratmak üzere geliştirilmiş yeni bir programlama dili (FEMLANG)
Kullanıcı elemanları ve SEGAÇ yapısını birleştiren bir geliştirme ortamı (FEMBIND)
3
ġekil 1.1 : SEGAÇ temel bileşenleri.
Bu bağlamda sonlu elemanlar teorisine hem geliştirilen elemanlar ile hem de kullanılan programlama teknikleri ve geliştirilen programlama dili ile katkı sağlaması tezin temel amacıdır.
1.2 Literatür Özeti
Yaddoğrusal sonlu elemanlar problemleri ilk olarak doğrusal burkulma hesaplamaları ile gündeme gelmiştir. Daha sonra büyük yer değiştirme hesaplamaları için geometrik rijitlik matrisi kullanımı ve artımsal formülasyon teknikleri geliştirilmiştir [1, 2]. Artımsal tenkniklerle yapılan hesaplamalarda hata birikiminin fazla olması nedeni ile iteratif bir teknik olan Newton-Raphson yöntemleri Mallet, Marshal, Oden ve diğer araştırmacılar tarafından uygulanmaya başlanmıştır [3-5]. Newton-Raphson yönteminde zaman içerisinde iterasyonun hızlandırılması amacıyla modifiye edilmiş ve teğet rijitlik matrislerinin güncellenmesini denetleyen Modifiye Newton-Raphson metotları Oden ve Zienkiewicz tarafından kullanılmıştır [6, 7]. Bir çok araştırmacı yaddoğrusal sonlu elemanlar üzerine sayısız makale ve kitaplar yayımlamışlardır. Bunlardan bazıları çubuk teorileri üzerine yoğunlaşmış olup diğerleri sürekli ortamlar için yaddoğrusal yöntemleri incelemiştir [8-20].
Sonlu elemanlar teorisi yapı sistemlerinin bilgisayarla analizini oldukça uygun hale getirmektedir. Teorik çalışmaların yanında sonlu eleman programlama üzerine de yoğunlaşan yine birçok araştırmacı mevcuttur [21-26].
FEMWORKS
Sonlu Eleman GeliĢtirme ve
Analiz Çatısı
FEMLANG FEMBINDER
4
Zaman içerisinde programlama tekniklerinin gelişmesi ile nesnesel programlama yöntemleri sonlu eleman programcıları tarafından kullanılmaya başlanmıştır. Nesnesel programlamanın doğal yapısının sonlu elemanlar teorisi ile son derece uyumlu olması bu çalışmaları hızlandırmış ve bir çok değerli çalışma gündeme gelmiştir [27-35].
Nesnesel programlama yöntemleri kullanılarak yazılmış bir çok açık ve kapalı kodlu uygulama mevcuttur. Bunlar arasında KASKADE, FEMSTER, FER System, SIFFEA, MEF, FrameView, MODIFY, OSW, MUIApp, FEMLIB, ALAMODE, FEView, FELyX sayılabilir.
Yaddoğrusal problemlerin dinamik analizlerinin yapılabilmesi için doğrudan integrasyon yöntemleri Wilson ve Newmark tarafından önerilmiş ve birçok araştırmacı tarafından geliştirilmiştir [36-44].
1.3 Yol Haritası
Geometri bakımından büyük yerdeğiştirmlerin hesabı büyük ölçüde sürekli ortam mekaniği kavramlarına dayanmaktadır. Bu bakımdan tezin başlangıcı, sürekli ortam mekaniği kavramlarının özet tanıtımına ayrılmıştır. Tez kapsamında kullanılan veya geliştirilen yaddoğrusal elemanların davranış modelini ortaya koyan sürekli ortam mekaniği kavramları (deformasyon gradyanı, kullanılan şekil değiştirme ölçüleri vb...) detaylı bir şeklide örneklerle açıklanmıştır. Bu açıklamalardaki temel hedef sürekli ortam mekaniğindeki tıkız (kompakt) formülasyonları uygulamada açık halleri ile göstererek tezden faydalanmak isteyen araştırmacılara ek bir görüş sağlamaktır.
Yapılan sayısal hesaplamalarda kullanılan tekniklerin açıklanması tezin bütünlüğü açısından gerekli görülmüştür. Statik, dinamik ve burkulma hesaplarında kullanılan yöntemler detaylı şekilde açıklanmıştır.
5
2. GEOMETRĠK YADDOĞRUSAL HESAP
Yer değiştirmelerin büyük olduğu durumda çeşitli büyüklüklerin ifade edildiği referans koordinat sistemi büyük önem kazanır. Hesaplar Maddesel (Lagrangian) koordinat takımında yapılmıştır. Şekil 2.1 cismin başlangıç durumu ve güncel durumunu göstermektedir. Başlangıç durumuna ait büyüklükler ―0‖ üst indisi ile gösterilmiştir.
ġekil 2.1 : Başlangıç ve güncel konumlarda diferansiyel doğru parçaları. Güncel durum üzerindeki herhangi bir p noktası maddesel koordinatlar cinsinden (2.1) ile ifade edilir.
0
( ) xi i xi i (i 1, 2,3)
0 0 0
x x x x e x e (2.1)
p
noktasına komşu q noktası dx diferansiyel vektörü yardımıyla tarif edilir. Maddesel koordinatlar cinsinden dx vektörü (2.2) ile ifade edilir.
0 0 0 i i j j i ij j x dx dx x d d x F x 0 x F x (2.2) 0 x dx0 dx x 1
x
e
1 2x
e
2 3x
e
3 0p
0q
p q6
Burada F matrisi deformasyon gradyanı adını alır. Deformasyon gradyanı başlangıç durumundaki bir diferansiyel doğru parçasının güncel duruma geçişini sağlamaktadır.
2.1 Deformasyon Gradyanının Hesaplanması
Herhangi bir deformasyon durumu için güncel koordinatlar, başlangıç koordinatlarının fonksiyonu şeklinde verildiği durumda deformasyon gradyanı kolaylıkla hesaplanabilir. Fakat genellikle sonlu elemanlar formülasyonunda durum böyle değildir. Formülasyonda sadece elemanın başlangıç ve güncel durumuna ait düğüm noktası (nod) koordinatları mevcuttur. Uygun yaklaşım fonksiyonları kullanarak başlangıç ve güncel durum koordinatları, nodal koordinatlar cinsinden (2.3) deki gibi ifade edilebilir.
0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , 1, 2,3) ( 1, 2,..., NS) NS : i j k j ik i j k j ik x N x x N x i j k Nod Sayısı (2.3)
Burada ―x ‖ k numaralı nodun ik x koordinatını temsil etmektedir. Başlangıç i koordinatlarında diferansiyel doğru parçası;
0 0 i i j j x dx d d d 0 0 x J ξ (2.4)
Güncel koordinatlarda diferansiyel doğru parçası;
i i j j x dx d d d x J ξ (2.5)
şeklinde tanımlanır. (2.4) denklemi (2.2) de yerine yazılarak (2.6) elde edilir.
dxFJ ξ 0d (2.6)
(2.6) ile (2.5) karşılaştırıldığında (2.7) eşitliği bulunur.
0
FJ J (2.7)
(2.7) eşitliğinin her iki tarafı sağdan J0 matrisinin tersiyle çarpılarak deformasyon gradyanı
7 1 [ ] 0 F J J (2.8) şeklinde hesaplanır.
2.2 Diferansiyel Hacim ve Alan Bağıntıları
Bir A matrisinin determinantı eijk permütasyon sembolü olmak üzere indis notasyonu kullanılarak (2.9) ile hesaplanır.
1
det( ) det( )
6e eijk lmnA A Ali mj nk elmn e A A Aijk li mj nk
A A (2.9)
Aynı zamanda a ve b ile gösterilen iki vektörün vektörel ve skaler çarpımları indis notasyonuyla (2.10) ile hesaplanır.
. i ijk j k i j ij c e a b d d a b c a b a b (2.10)
Başlangıç ve güncel durumda diferansiyel hacimler
0 1 2 3 1 2 3 ( ). ( ). dV d d d dV d d d 0 0 0 x x x x x x (2.11)
şeklinde üç farklı doğrultuda seçilen diferansiyel doğru parçaları cinsinden (2.11) ile ifade edilir. (2.11) ifadeleri (2.10) da belirlenen şekilde indis notasyonuyla yazılırsa
0 0 0 0 1 2 3 ijk j k m im dV e dx dx dx (2.12a) 1 2 3 ijk j k m im dV e dx dx dx (2.12b)
eşitlikleri elde edilir. Başlangıç ve güncel diferansiyel hacimleri arasındaki bağıntıyı bulmak için (2.2) bağıntısından faydalanarak diferansiyel doğru parçaları arasında (2.13) bağıntıları yazılabilir. 0 1 1 0 2 2 0 3 3 j js s k kt t m mn n dx F dx dx F dx dx F dx (2.13)
8
0 0 0
1 2 3
ijk js kt mn s t n im
dV e F F F dx dx dx (2.14)
elde edilir. (2.14) eşitliğinin indisleri düzenlenirse
0 0 0
3 1 2
ijk in js kt n s t
dV e F F F dx dx dx (2.15)
olduğu kolaylıkla görülebilir. (2.9) bağıntıları göz önüne alındığında
0 0 0
3 1 2
det( )
nst n s t
dV e FT dx dx dx (2.16)
ve son olarak (2.12a) eşitliği indisleri değiştirerek (2.16) da yerine yazıldığında
0
det( )
dV FT dV (2.17)
sonucuna ulaşılmış olur.
Başlangıç ve güncel duruma ait diferansiyel alanlara ilişkin bağıntıyı elde etmek üzere diferansiyel alanlar (2.18) deki gibi tarif edilirse
0 1 2 1 2 dA d d dA d d 0 0 x x x x (2.18)
diferansiyel hacimler (2.19) şeklinde ifade edilirler.
0 0 3 3 dV dA d dV dA d 0 0 n x n x (2.19)
n vektörü diferansiyel alanlara dik birim vektörleri göstermekte olup (2.20) bağıntıları ile tanımlanmışlardır.
1 2 1 2 1 2 1 2 d d d d d d d d 0 0 0 0 0 x x n x x x x n x x (2.20)
(2.19) bağıntıları (2.17) de yerlerine yazılarak
0
3 det( ) ( ) 3
dAnTdx FT dA n0 Tdx0 (2.21)
eşitliği elde edilmiş olur. (2.2) bağıntısı (2.21) de kullanılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa
9 0 3 3 0 3 3 0 ( ) det( ) ( ) ( ) det( ) ( ) det( ) dA d dA d dA d dA d dA dA T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T T 0 n F x F n x F n x F n x F n F n (2.22a)
Eşitliği elde edilir. (2.22a) nın her iki tarafı soldan 1
[FT] ile çarpılarak düzenlenirse
1 0
det( )[ ]
dA T T 0dA
n F F n (2.22b)
sonucuna ulaşılır.
2.3 Green-Lagrange Genleme Tansörü 2.3.1 Birim boy değiĢimleri
Başlangıç ve güncel koordinatlar Şekil 2.2 deki gibi göz önüne alındığında 0
p noktasının p ye hareketi u yer değiştirme vektörüyle gösterilebilir.
ġekil 2.2 : Yer değiştirme vektörü. Yer değiştirme vektörü (2.23) şeklinde tanımlanır.
0
u x x (2.23)
0
p a komşu q noktasının yer değiştirmesi 0
( ) ( )
d d d d d d
0 0 0
u u x x x x u x x (2.24)
olduğu görülmektedir. (2.2) ifadesi (2.24) de kullanılırsa
( ) du F dx0dx0 du F I dx 0 (2.25) 0 x dx0 dx d u u 1 xe 1 2 x e2 3 xe 3 0 p 0 q p q u x
10
ifadesi elde edilir. Burada I 3 3 lük birim matristir. Yer değiştirme vektörünün tam diferansiyeli başlangıç koordinatları türünden
0
i ij j
du H dx du H dx 0 (2.26)
şeklinde yazılabilir. Burada H matrisi yer değiştirme gradyanı adını alır. (2.25) ile (2.26) ifadeleri karşılaştırıldığında
H F I F H I (2.27)
olduğu görülmektedir.
Keyfi bir dx0 doğrultusundaki genleme (birim boy değiştirme) (2.28) ile tanımlanabilir. 1 d d d d d d d d 0 0 x 0 0 0 x x u x x x x (2.28)
(2.28) ifadesindeki sabit terim ―1‖ sol tarafa geçirilip eşitliğin her iki tarafının kareleri alındığında 2 ( d 1) d d d d x0 0 0 x x x x (2.29)
olduğu görülür. (2.29) da soldaki terim açık yazılarak
2 ( d ) 2 d 1 d d d d x0 x0 0 0 x x x x (2.30)
(2.30) eşitliğinin solundaki terimler incelendiğinde boy değiştirmenin karesinin 1 in yanında çok küçük olduğu durumda eşitlik aşağıdaki gibi yeniden düzenlenirse
2 1 ( ) 0 2 1 2 d d d d d d d d d d d d d 0 0 0 0 0 x x 0 0 x 0 0 x x x x x x x x x x (2.31)
şeklinde bulunur. Burada dx0 ifadesi d
0
x yönündeki Lagrange-Green genlemesi olarak bilinir. (2.31) vektörel formda yazılırsa
2 2 2 1 ( ) ( ) 2 ( ) d d d d 0 0 0 x x x x (2.32)
11
elde edilir. (2.32) indis notasyonunda
0 2 0 2 ( ) 1 ( 1, 2,3) 2 ( ) j k jk d dx dx dx k dx 0 i i i i x i (2.33)
(2.31) de i indisi seçilen genleme doğrultusunu göstermektedir. (2.2) bağıntısı (2.33) de kullanıldığında 0 0 0 2 0 2 ( ) 1 2 ( ) j k jk d F dx F dx dx dx 0 i i i i i i x i (2.34) (2.34) düzenlenerek sadeleştirilirse 1 ( 1) ( 1, 2,3) 2 T k k d F F k 0 i i i x (2.35)
ifadesine ulaşılmış olur. 2.3.2 Açı değiĢimleri
Küçük genleme durumunda başlangıçta birbirine dik iki diferansiyel doğru parçası arasındaki açı değişimini ifade etmek üzere Şekil 2.3 den
ġekil 2.3 : Güncel konumda açı değişimi.
sin( ) sin( ) cos( )
2
a b a b c c
ij (2.36)
şeklinde yazılabilir. (2.36) ifadesi güncel durumdaki diferansiyel doğru parçaları cinsinden cos( )c d d d d i j i j x x x x (2.37)
skaler çarpımıyla ifade edilebilir. (2.37) de paydadaki ifadeler (2.28) eşitliğinden
dx0i dx 0j dx i dxj a b c
12 (1 ) (1 ) d d d d d d 0 i 0 j 0 i x i 0 j x j x x x x (2.38)
şeklinde hesaplanabilir. (2.38) ve (2.2) ifadeleri (2.37) de yerlerine yazılır ve indis notasyonu kullanılırsa 0 0 cos( ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) k s ks k k d d d d d d F F dx dx c d d d d 0 0 0 0 i j i j i j i j i j 0 0 0 0 i j i j x x x x x x x x x x (2.39)
elde edilir. Açı ve boy değişimlerinin küçük olduğu göz önünde bulundurulursa
, 1 Tk k
d d F F
0 0
i j ij i j
x x (2.40)
bağıntısı elde edilmiş olur. Nihayet Green-Lagrange genleme tansörü (2.35) ve (2.40) bağıntıları göz önüne alındığında
1
( )
2
T
Ε F F I (2.41)
şeklinde tanımlanır ve bu durumda genleme ve açı değiştirme bileşenleri (2.41) in elemanları cinsinden ( 1, 2,3) ( , 1, 2,3 ) ii d ii ij ij ji e i ve i j i j i x (2.42)
şeklinde gösterilebilir. (2.27) ifadesi (2.41) de kullanılarak
1 1 ( ) ( ) 2 2 T T T Ε H I H I I H H H H (2.43)genleme-yer değiştirme bağıntıları elde edilir. (2.43) de
1
2
T
H H (2.44)
terimi doğrusal olup
1 2
T
H H (2.45)
13
2.4 Cauchy ve Piola-Kirchhoff Gerilme Tansörleri
Büyük yer değiştirme durumunda gerilmeyi tarif ederken cismin başlangıç ve güncel durumu arasındaki farkı gözetmek gerekmektedir. Cismin güncel konumunda tarif edilen gerilme bileşenleri (2.46) Cauchy gerilme tansörüyle gösterilir.
2 3 12 22 23 3 23 33 ζ (2.46)
Güncel konumda n normalli diferansiyel bir alana etkiyen kuvvet vektörü
dfn tndA ζ ndA (2.47)
şeklinde ifade edilir. (2.47) de t güncel konumdaki gerilme vektörüdür. (2.22) n ifadesi (2.47) de kullanılırsa 1 0 det( ) [ ] dA T T dA n 0 t F ζ F n (2.48)
elde edilir. n vektörü başlangıç duruma ait diferansiyel alan normalidir. Başlangıç 0 ve güncel konumda gerilme vektörleri arasında
0 0 1 d dA dA d dA dA 0 0 0 n n n n n n f t F t F f t F t (2.49)
ilişkisi olduğu kabulüyle (2.48) ve (2.49) bağıntıları bir arada düşünüldüğünde
0 1 0 det( ) [ ] dA dA 0 T T n 0 F t F ζ F n (2.50)
ifadesi bulunur. (2.49) ifadesi incelendiğinde başlangıç konumunda tarif edilen kuvvet vektörünün de aynen sürekli ortamdaki herhangi bir diferansiyel doğru parçası gibi deformasyon gradyanı ile güncel konumdaki kuvvet vektörüne dönüştüğü kabulünün yapıldığı görülmektedir. Nihayet (2.50) bağıntısından birinci Piola-Kirchhoff gerilme tansörü (2.50) eşitliğinden
1
det( ) [ ]
T T
14
şeklinde tanımlanır. (2.51) tansörü simetrik yapıda değildir. Bu tansör deformasyon gradyanının tersiyle çarpılarak simetrik yapılabilir. Bu işlem sonucunda oluşan simetrik tansöre ikinci Piola-Kirchhoff gerilme tansörü adı verilir.
1 1 1
det( ) [ ]
T T
S F P F F ζ F (2.52)
(2.52) tansörü (2.47) ile benzer olarak başlangıç konumda
0 0
dA dA 0
n 0
t S n (2.53)
bağıntısını kurar. Piola-Kirchhoff gerilme tansörleri matematiksel dönüşümlerle elde edilmiş büyüklüklerdir. Güncel konumdaki gerçek gerilme bileşenleri sadece Cauchy tansörü ile ifade edilir. Piola-Kirchhoff gerilme tansörlerinden Cauchy gerilmelerine geçiş aşağıdaki dönüşümlerle yapılabilir.
1 det( ) T T ζ P F F (2.54a) 1 det( ) T T ζ F S F F (2.54b) 2.5 Virtüel ĠĢ Denklemi
Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda başlangıç ve güncel durum arasındaki fark önem kazanır. Kuvvetler etkisi altındaki cisim güncel konumda dengede olmak durumundadır. (2.46) ile tanımlanan Cauchy gerilme tansörü bileşenleri cinsinden güncel konumda denge denklemi
0 ( 1, 2,3) ij i j b i x (2.55)
şeklindedir. Burada
b
i hacim kuvvetlerinin bileşenlerini temsil etmektedir. (2.55) denklemleri sınır koşullarıyla uyumlu (kabul edilebilir), küçük ve keyfi (virtüel, sanal) yer değiştirme alanları ile çarpılarak tüm hacim boyunca integre edilirse( ij i i i) 0 j V u b u dV x
(2.56)15
eşitliğinin sağlanması cismin dengede olması durumunda mümkündür. Green-Gauss teoremi kullanılarak (2.26) ifadesi
( i ) 0 ij j i ij i i j S V u n u dS b u dV x
(2.57)şeklinde yazılabilir. Cisim sınırlarındaki dış kuvvet vektörü q ile gösterilirse
ijnj qi
(2.58)
olduğuna göre (2.57) nin son hali
ij ij i i i i
V S V
e dV q u dS b u dV
(2.59)olacaktır. Burada eij (2.26) ya benzer biçimde, güncel konumda tanımlanan virtüel yer değiştirme gradyanının bileşenlerini temsil etmektedir. (2.59) da eşitliğin solundaki terim iç kuvvetlerin virtüel işi, sağdaki terim ise dış kuvvetlerin virtüel işidir. (2.60) tanımları yapılarak
11 22 33 12 12 21 23 23 32 13 13 31 22 33 2 23 13 { , , , , , } { , , , , , } e e e e e e e e e T T e ζ (2.60)
(2.59) denklemi vektörel formda
. . . V S V dV dS dV
T
T
T e ζ u q u b (2.61)yazılabilir. Yapılan hesaplarda hacim kuvvetlerinin sıfır olduğu kabul edilmiştir. 2.5.1 Virtüel iĢ denkleminin baĢlangıç konumunda ifade edilmesi
Virtüel iş denklemi güncel konumda geçerlidir. Fakat cismin güncel konumu bilinmemektedir. Bu sebeple (2.61) denkleminin başlangıç konumunda ifade etmek gerekecektir. İlk adımda yüzey kuvvetlerini içeren terim ele alınırsa
1 0 0
det( )[ ]
dS dS T T 0dS 0dS
q ζ n ζ F F n P n (2.62)
şeklinde yazılabilir. (2.63) tanımı yapılarak
0
dS
0 0
16 yüzey kuvvetleri 0 0 . . S S dS dS
T
T 0 u q u q (2.64)şeklinde başlangıç konumunda ifade edilmiş olur. (2.61) de virtüel iç iş terimi tansörel formda : iç V W dV
e ζ (2.65)şeklinde yazılabilir. ―:‖ sembolü (2.66) şeklinde tanımlanır.
: Tr( )
T
e ζ e ζ (2.66)
(2.65) ifadesi başlangıç koordinatlarında (2.41) ve (2.53) ifadelerinden yararlanarak
0 0 : iç V W dV
E S (2.67)şeklinde ifade edilebilir.
2.5.2 Virtüel iĢ denkleminin doğrusallaĢtırılması
(2.67) ifadesi yer değiştirmeler cinsinden yaddoğrusal türdendir. İkinci Piola-Kirchhoff tansörü, Green-Lagrange şekil değiştirme tansörünün fonksiyonu olarak yazılabilir ve bu tansör de (2.43) ifadesi incelendiğinde yer değiştirmelerin yaddoğrusal fonksiyonudur. 0 0 ( ) : ( ( )) iç V W dV
E u S E u (2.68)Yer değiştirme vektöründeki değişim u ile gösterilirse (2.68) in u yönündeki yönsel türevi sembolik olarak
0 0 { ( ) : ( ( )) ( ) : ( ( ))} iç V DuW
DuE u S E u E u DuS E u dV (2.69) şeklinde yazılabilir. E terimine Lagrange-Green tansörünün varyasyonu olarak bakılabilir. Bu durumda (2.41) den yararlanılarak1
( )
2
T T
17
şeklinde ifade edilebilir. (2.27) bağıntısından yararlanarak
F = H + I F H (2.71)
olduğu görülebilir. Nihayet (2.70) ifadesi yer değiştirme gradyanın fonksiyonu olarak
1
( ( ) ( ) )
2
T T
E H H I H I H (2.72)
şeklinde belirlenir. (2.72) nin yönsel türevi
0 1 ( ( ) ( ) ) 2 h d D h h dh T T u E H H H I H H I H (2.73) şeklinde hesaplanarak 1 ( ) 2 DuE HT H HTH (2.74)
ifadesine ulaşılmış olur. Burada
0 0 ( ) ( ) i ij j i ij j u H x u H x (2.75)
şeklinde tanımlıdır. İkinci Piola-Kirchhoff tansörünün yönsel türevi zincir kuralı ile sembolik olarak ( ( )) : : D D D u u u S S E u E C E E (2.76)
şeklinde ifade edilir. (2.76) daki sembolik kısmi türev ikinci Piola-Kirchhoff tansörünün tüm elemanlarının Lagrange-Green tansörünün tüm elemanlarına göre kısmi türevini ifade etmektedir. Bu türevler indis notasyonunda
ij ijkl kl S C (2.77)
şeklinde tanımlanabilir. Burada C dördüncü mertebeden bir tansördür ve Elastisite Tansörü adını alır. (2.76) daki Lagrange-Green tansörünün yönsel türevi (2.43) ifadesinden faydalanarak
18
0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 h d D h h h h dh T T uE H H H H H H H H (2.78)şeklinde alınarak düzenleme yapıldığında
1 2
DuE H FT FTH (2.79)
elde edilir. Hesaplanan yönsel türev ifadeleri (2.69) da yerlerine yazılarak virtüel iç iş ifadesinin yönsel türevi
0 0 1 1 1 { ( ) : ( ) : : } 2 2 2 iç V DuW
HT H HTH S H F FT TH C H F FT TH dV (2.80)bulunur. (2.80) ifadesi düzenlenirse
0 0 { : : : } iç V DuW
H HS F TH C FTH dV (2.81)sonucuna ulaşılır. Virtüel iş teoremi hatırlanacak olursa
iç dış
W W
(2.82)
ifadesinin yönsel türevi alarak
iç iç dış dış
W D W W D W
u u (2.83)
yazılabilir. Dış kuvvetlerin yer değiştirmelerden bağımsız olduğu kabulu ile
0
dış
DuW (2.84)
dış kuvvetlerin virtüel işinin yönsel türevi sıfır olur. Bu durumda yönetici ifade
iç dış iç
DuW W W (2.85)
olacaktır. (2.68) ve (2.81) bağıntıları (2.85) de yerlerine yazılarak
0 0 0 0 { : : : } dış : V V dV W dV
T T
H HS F H C F H E S (2.86)19
2.6 Sonlu Elemanlar Formülasyonu
(2.81) ifadesindeki tansörel işlemleri bilgisayarda hesaplayabilmek için ifadelerin açılarak matris formda yazılması gerekmektedir. S için (2.87) tanımı yapılarak
11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 12 13 21 22 23 31 32 33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S (2.87)
(2.86) da ikinci Piola-Kirchhoff tansörünü içeren terim
:
T
H HS H S H (2.88)
şeklinde yazılabilir. Burada yer değiştirme gradyanı tansörü vektörel formda
11 12 13 21 22 23 31 32 33
{H ,H ,H ,H ,H ,H ,H ,H ,H }T
H (2.89)
şeklinde ifade edilmiştir. (2.81) de elastisite tansörünü içeren terimi hesaplamak üzere 11 21 31 12 22 32 13 23 33 12 11 22 21 32 31 13 12 23 22 33 32 13 11 23 21 33 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F (2.90)
tanımı yapılarak (2.81) ifadesi matris formda
0 0 { } iç V DW
T T T dV u H S H H F CF H (2.91)şeklinde yazılır. Yer değiştirme artımları uygun yaklaşım fonksiyonları ile ifade edilebilir.
20 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 3 2 3 1 1 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... d u N N d u N N d u N d T u N d (2.92)
Burada dij ifadesi j nolu düğüm noktasının i yönündeki yer değiştirme artımını ifade etmektedir. yer değiştirme gradyanı vektörel formda
1 1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 2 0 0 0 2 2 3 1 1 2 0 0 3 3 2 0 1 2 0 2 2 0 3 3 0 1 3 0 2 3 0 3 ( ) 0 0 0 ... ( ) 0 0 0 ... ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u N N x x x u N N x x x u N N x x u x u x u x u x u x u x 0 3 1 2 1 0 0 1 1 1 1 2 1 2 1 0 0 3 2 2 2 1 1 2 0 0 3 3 1 0 1 1 0 2 1 0 3 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... x N N d x x d N N d x x d N N x x N x N x N x T H B d (2.93)
şeklinde hesaplanabilir. yer değiştirme gradyanının varyasyonu
T
H B d (2.94)
şeklinde alınarak (2.91) ifadesinde yerine yazılırsa
0 0 { } iç V DuW dT
BSBTBF CFBT T dV d (2.95) halini alır. Hesaplamalarda basitlik olması için sistemde sadece nodal yüklerin olduğu varsayılırsa (2.86) ifadesi21 0 0 0 0 { } V V dV dV T
T T T T T
T dıĢ d BSB BF CFB d d r d BF S (2.96)şeklinde yazılabilir. rdıĢ dış kuvvet vektörünü temsil etmektedir. (2.96) da
11 22 33 12 23 13
{S ,S ,S ,S ,S ,S }T
S (2.97)
şeklinde tanımlanmıştır. (2.96) denklem takımı yer değiştirmeler türünden lineerdir. Bu denklem takımı sembolik olarak
(KSKC) d rdıĢriç (2.98) gösterilebilir. (2.98) de 0 0 0 1 1 1 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 1 1 1 det( ) det( ) det( ) V V V dV dr dr dr dV dr dr dr dV dr dr dr
T T S T T T T C T T iç K BSB BSB J K BF CFB BF CFB J r BF S BF S J (2.99)2.7. Sonlu Elemanlarda Newyon-Raphson Yöntemi
Büyük yer değiştirme teorisi ile oluşturulan (2.86) yönetici denklemi sonlu eleman teknikleri kullanılarak seçilen nodal bilinmeyenler cinsinden (2.100) deki gibi yazılabilir.
( ) E
K d r (2.100)
Burada d nodal yer değiştirme vektörü, r ise dış kuvvet vektörüdür. Newton-E Raphson yöntemi uyarınca nodal yer değiştirmelere di şeklinde bir başlangıç çözümü önerilerek (2.101) ardışık yaklaşım şeması uyarınca adım adım çözüme gidilir. ( i 1 ) ( )i iT i E K d K d K d r ( ) i i i T E K d r K d 1 i i i d d d (2.101)
22 Burada ( / ) i i T K K d (2.102) şeklinde tanımlanır. Elde edilen i 1
d nodal büyüklükleri yaddoğrusal denklem takımında yerlerine yazılarak
( i 1 ) i 1
K d r (2.103)
elde edilen i 1
r kuvvet vektörü r dış kuvvet vektörüne belirli bir yakınsaklık ölçütü E uyarınca yakın olana kadar ardışık yaklaşıma devam edilir. Uygulanan yakınsaklık ölçütü (2.104) de verilmiştir. 2 2 1 h i 1 E E r r r (2.104)
Çözülen problemlerde h toleransı 0.01 seçilmiştir. r vektörünün normunun sıfıra E yakın olması durumunda sıfıra bölmeyi engellemek için paydaya 1 eklenmiştir.
2.7. Yaddoğrusal Hesap Uygulaması
Hesaplar aşağıdaki adımlar ardışık olarak tekrarlayarak yapılır. 1. Problemin sınır koşulları ile uyumlu bir i
d başlangıç yer değiştirme vektörü seçilir. Hesaplarda başlangıç yer değiştirme vektörünün tüm bileşenleri sıfır seçilmiştir.
2. Bu noktada elemanların başlangıç ve güncel konumları bilinmektedir. Her iki konumda da Jacobian matrisleri bilindiğine göre F deformasyon gradyanı (2.8) bağıntısından hesaplanabilir.
3. (2.41) bağıntısı kullanılarak Ε Lagrange-Green şekil değiştirme tansörü hesaplanır.
4. Bünye bağıntıları kullanılarak ikinci Piola-Kirchhoff gerilme tansörü (S ) hesaplanır.
5. Bu aşamada (2.86) yönetici denkleminde yer alan tüm ifadeler bilinmektedir. (2.100) denklem takımı oluşturularak i
d yer değiştirme vektörü hesaplanır. 6. di 1 di di ile yer değiştirme vektörü güncellenir.
23
7. Güncellenen yer değiştirme vektörü ( i 1
d ), (2.103) bağıntısında yerine yazıldığında i 1
iç
r vektörü, (2), (3) ve (4) nolu adımlarda belirtilen işlemler yapılarak hesaplanır.
8. h küçük bir sabit sayı olmak üzere (2.104) yakınsama kriteri sağlanıyorsa hesap durdurulur. Aksi takdirde (5) nolu adıma dönülerek ardışık hesaba devam edilir.
25
3. ÇUBUK SĠSTEMLER ĠÇĠN BÜYÜK YER DEĞĠġTĠRME HESABI 3.1 Sadece Normal Kuvvet TaĢıyan Sistemler
3.1.1 ġekil değiĢtirme ölçüsünün seçimi
Bir kafes sistem çubuğunun şekil değiştirmeden önceki ve sonraki durumu Şekil 3.1 de verilmektedir.
ġekil 3.1 : Kafes eleman uç kuvvetleri ve normal kuvvet. Şekil 3.1 dikkate alındığında (3.1) eşitlikleri kolaylıkla yazılabilir
0 0 2 1 0 0 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) L Cos u u LCos L Sin w w LSin (3.1)
Yukarıdaki eşitliklerin kareleri alınıp alt alta toplanarak şekil değiştirmiş konumdaki çubuk boyu
2 2 2
0 0 2 1 0 0 2 1
[ ( ) ] [ ( ) ]
L L Cos u u L Sin w w (3.2)
elde edilir. (3.2) de eşitliğin her iki tarafının varyasyonu alınarak
0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 2 1 1 1 [ ( ) ]( ) [ ( ) ]( ) L L Cos u u u u L Sin w w w w L L (3.3)
şekil değiştirmiş boyun varyasyonu bulunabilir. (3.1) eşitlikleri (3.3) de yerlerine yazıldığında 2
