1 5. AKIŞ SİSTEMLERİNİN MOMENTUM ANALİZİ
5.1. Momentumun Korunumu
Newton, cisimlerin hareketleri ile onlara etkiyen kuvvetler arasındaki ilişkileri aşağıda verilen üç yasa ile açıklamıştır.
1. Yasa: Cismin durumunu koruma isteğine eylemsizlik (atalet) denir. Bir dış kuvvet etkimedikçe durmakta olan bir cisim durmaya (durumunu korumaya), sabit hızla bir doğru boyunca hareket etmekte olan bir cisim ise hareketini sürdürmeye (durumunu korumaya) devam edecektir.
2. Yasa: Bir dış kuvvete maruz kaldığında, bir cismin hızının nasıl değiştiğini açıklamaktadır. Bu dış kuvvet, cismin momentumundaki zamana göre değişim hızına eşittir. Şayet cismin kütlesi (m) sabit ise, bu dış kuvvet, cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir.
3. Yasa: Bir cisim, ikinci bir cisme kuvvet (etki) uyguladığında, ikinci cismin de birinci cisme eşit ve ters yönde bir kuvvet (tepki) uygular.
Bu kurallar ışığında, kütlesi sabit m olan bir cisim için Newton’un 2. yasası aşağıdaki gibi yazılabilir.
Bu bağıntıda cisme etkiyen net kuvveti, ise kuvvetinin etkisindeki cismin ivmesini ifade etmektedir. Bir cismin kütlesi ile hızının çarpımı, cismin doğrusal momentumu ya da sadece momentumu olarak adlandırılır. hızı ile hareket eden m kütleli cismin momentumu ’dir. Bu durumda 2. yasa, “Bir cismin momentumunun zaman göre değişim hızı, cisme etkiyen net kuvvete eşittir” şeklinde de ifade edilebilir.
Bu ifade, akışkan akımlarındaki hız değişiminin bir sonucu olarak oluşan kuvvetler incelendiği için akışkanlar mekaniği ile daha çok bağdaşmaktadır. Bu sebeple Newton’un 2. yasası, akışkanlar mekaniğinde doğrusal momentum denklemi olarak bilinir.
Bir sisteme etkiyen net bir kuvvet bulunmuyorsa sistemin momentumu da sabit kalır yani korunmuş olur. Bu durum momentumun korunumu ilkesi olarak bilinir. Bu ilkenin, topların birbirleri ile çarpışmalarının; raket, kriket veya golf sopaları ile toplara vurulmasının; roketlerde, füzelerde ve silahlarda görülen patlamalar sonucu oluşan itkilerin analizlerinde çok kullanışlı bir yöntem olduğu ispatlanmıştır. Mesela dolu bir tüfeğin momentumu, tüfek ateşlendikten sonra sıfır olmalıdır çünkü ateşlemeden önceki momentumu sıfırdır. Bunun için tüfeğin momentumu, merminin momentumuna eşit ve ters yönlü olmalıdır ki bu ikisinin vektörel toplamı sıfır olsun.
2
Burada son olarak bahsedilmesi gereken husus kuvvet, ivme, hız ve momentumun vektörel büyüklükler olduğudur ve bileşenlerinin belirli yönlerdeki şiddetleri kullanılarak denklemin skaler bir denklemmiş gibi yazılabileceğidir. Mesela y-yönündeki denklem,
5.2. Bir Kontrol Hacmine Etkiyen Kuvvetler
Bir kontrol hacmine (KH) etkiyen kuvvetler, kontrol hacminin tümüne etkiyen kütle kuvvetleri (yerçekimi, elektrik alan, manyetik alan kuvvetleri gibi) ve kontrol yüzeyine (KY) etkiyen yüzey kuvvetlerinden (basınç, viskoz, tepki kuvvetleri gibi) meydana gelmektedir. KH analizinde belirli bir anda KH’ye etkiyen tüm kuvvetlerin toplamı aşağıdaki gibi ifade edilebilir.
Genel olarak elektrik ve manyetik alan kuvvetleri akışkanlar mekaniği problemlerinde çok rastlamadığımız kuvvetler oldukları için kütle kuvvetlerinden çıkarılabilirler. Geriye kalan kuvvet kütle kuvveti olan ağırlıktır. Diğer yandan, basınç ve viskoz kuvvetler dışında kalan yüzey kuvvetlerini de (kontrol yüzeyinin kestiği cıvatalardaki, kablolardaki, destek elemanlarındaki, çeperlerdeki v.b. kuvvetleri) diğer kuvvetler olarak isimlendirebiliriz. Bu durumda yukarıdaki ifade daha açık olan aşağıdaki ifadeye dönüşür.
Newton’un hareket yasaları uygulanırken yapılan yaygın bir basitleştirme de mutlak basınç yerine etkin basınç ile çalışılmasıdır. Aşağıda, bir lüle için bu basitleştirme gösterilmiştir. Tepki kuvveti (FR), lülenin ağırlığı (W) ve basınç kuvvetlerinin bulunduğu bir sistemin, etkin basıncın kullanılmasıyla (sağ taraftaki şekil), nasıl daha basit bir probleme dönüştürüldüğü bu örnekten açıkça görülmektedir.
Şekil 53. Lülenin mutlak (sol taraf) ve etkin basınçlar cinsinden tasviri
3
Bu bölümde de yine bir önceki bölümde olduğu gibi KH seçiminde dikkatli olmamız gerekir. Önceki KH seçimi tavsiyeleri, bu kısımda da aynen geçerliliğini korumaktadırlar. Buna ek olarak bu kısımda KH’yi sadece akışkan ile sınırlamak, genellikle tepki kuvvetlerinin hesaplanması gerektiğinden, doğru olmaz. Aşağıdaki musluk örneğini dikkate aldığımızda, şayet bizden cıvatalardaki net tepki kuvvetlerinin hesaplanması isteniyorsa KH-B, KH-A’ya göre daha uygun bir seçim olacaktır çünkü KH-A sadece akışkan ile sınırlandırılmıştır. KH-B ise cıvatalar gibi katı cisimlerden geçirilerek bu kısımlara etkiyen net tepki kuvvetlerini de hesaba katmıştır.
Şekil 54. Kontrol hacmi seçimi
Bilindiği gibi, akış sistemlerinin çoğu KH kullanılarak analiz edilir. Newton’un 2. yasası ise bir sistem (kontrol kütlesi) için yazılmıştır. Bir an için, sınırları kontrol kütlesinin (KK) sınırları ile çakışan bir kontrol hacmi (KH) olduğunu düşünelim. Bu durumda KK için elde ettiğimiz doğrusal momentumun zamana göre değişim hızı ile KH’ninki birbirine eşit olur. Yani,
olur. Elde edilen bu ifade, sabit, hareketli ya da şekil değiştiren kontrol hacimleri için doğrusal momentum denkleminin genel halini teşkil etmektedir. Bunu kelimelerle aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.
4
Elbette yukarıda elde ettiğimiz doğrusal momentum denkleminin genel hali, farklı koşullar altında farklı biçimler alabilmektedir. Bunlardan bir tanesi de daimi akışın olduğu durumdur. Bu durumda denklem aşağıdaki hale bürünür.
Dahası, bu denklemdeki yüzey integralini iki kısma ayırarak, biri KH’ye giren akımları diğeri de KH’den çıkan akımları temsil etmek üzere
şeklinde yazabiliriz. Seçeceğimiz KH’lerin, giriş-çıkışın olduğu yerlerdeki hız doğrultusunu dik olarak kesecek şekilde olması, giriş kısımlarındaki ifadesini 180°, çıkış kısımlarındaki ifadesini ise 0° yapacaktır. Bu durum bize yukarıdaki ifadenin aşağıdaki ifadeye dönüşmesi kolaylığını sağlayacaktır.
Üstelik hızı, giriş veya çıkış kesiti boyunca sabit kabul edersek yani ortalamasını alırsak (üniform hız), onu giriş veya çıkış kesit alanından bağımsız hale getirmiş oluruz ki böylelikle integral ifadesi kalkar ve ifade aşağıdaki formuna kavuşur.
5
Şekil 55. Sabit bir kontrol hacmi için momentumun korunumu
Mühendislik problemlerinin çoğunda, belirlenen bir KH’ye giren ya da çıkan akışkanın sahip olduğu hız profili üniform değildir fakat belirli basitleştirmelerle yapılabilir. Bu basitleştirme işlemi, yukarıda elde edilen denkleme çarpım yoluyla eklenerek yapılabilir ve buna momentum akısı düzeltme faktörü denilir (β).
Bu faktör, anlık ve ortalama hız arasındaki karesel oranı düzeltmek için verilir. Tam gelişmiş laminer akış için β=1,33, tam gelişmiş türbülanslı akış için β=1,025 alınabilir. Akış zaten üniform bir profile sahipse β=1’dir.
Tüm bunların dışında bahsedilmesi gereken son durum da şudur. Bu konu içerisinde, buraya kadar verilen tüm denklemler vektörel denklemlerdir. Son olarak elde etmiş olduğumuz daimi doğrusal momentum denklemini skaler olarak KH’nin x, y ve z eksenlerine göre düzenlersek denklem
halini alır.
6 Örnek 5.1.
Yatay bir borudan akmakta olan 14 kg/s debideki suyu (ρ=998 kg/m3) yatayla 30° açı yapacak şekilde saptırarak hızlandırmak için daralan bir dirsek kullanılmaktadır. Dirsek sol üst kısmından bir destek elemanı ile kaynaklanmıştır ve oluşan tepki kuvvetleri aşağıdaki şekil içerisinde gösterilmiştir. Su, daimi olarak dirsekten atmosfere atılmaktadır. Dirseğin giriş ve çıkış kesitlerinin alanları sırasıyla 113 cm2 ve 7 cm2’dir. Giriş ve çıkış kesitlerinin merkezleri arasındaki seviye farkı ise 30 cm’dir. Dirseğin ağırlığı 120 N’dir ve içerisindeki suyun ağırlığı da 105 N’dir.
Bunun dışında dirseğin hem giriş hem de çıkış kesitinde tam gelişmiş türbülanslı akış vardır. Bu durumda,
a) Dirseğin giriş kesitinin merkezindeki etkin basıncı bulunuz.
b) Dirseği yerinde tutmak için gereken kuvvet bileşenlerini hesaplayınız.
Çözüm 5.1.
a) Akışın daimi olduğu soru içerisinde verilmiştir. Uygun bir KH’de soru içerisinde kesikli çizgilerle bizlere verilmiştir. Sürtünme etkileri, soru içerisinde belirtilmediğinden büyük ihtimalle ihmal edilebilir yani Bernoulli denklemi burada geçerlilik sağlamaktadır. Çıkış kısmında su atmosfere atıldığından bu kısımdaki etkin basınç sıfırdır. Tek giriş ve tek çıkışın olduğu bu KH’ye kütlenin korunumu denklemi uygulanırsa ifadesi elde edilir. Dirseğin hem giriş hem de çıkış kesitinde tam gelişmiş türbülanslı akış olduğundan β=1,025 alınabilir.
Giriş kesitinin tam orta noktası 1 ve çıkış kesitinin tam orta noktası 2 olmak üzere, Bernoulli denklemini iki nokta arasında, yükler cinsinden uygularsak,
olur. Burada P1, V1 ve V2 bilinmemektedir. Hızlar, kütlesel debiler yardımı ile çıkarılabilir. Bu durumda,
7
olarak elde edilir ve Bernoulli denklemindeki yerlerine yazılırlarsa 1 noktasındaki basınç,
b) Dirseği yerinde tutmak için gereken x doğrultusundaki kuvvet, x doğrultusunda yazılan daimi doğrusal momentum denklemi ile bulunabilir.
x doğrultusunda kuvvet olarak sadece basınç kuvveti ve diğer kuvvetler içerisinde ele aldığımız destek kuvvetinin x bileşeni bulunmaktadır.
Tek giriş ve tek çıkış yazarak toplam ifadesini kaldırırsak, x doğrultusunda yazılan doğrusal momentum denkleminin son hali aşağıdaki gibi olur. Buradan destek kuvvetinin x bileşeni çekilirse,
Sonucun negatif işaretli çıkması, “bu dirseği yerinde tutabilmek için kaynağa yüklenilecek kuvvetin yatay doğrultudaki bileşeninin seçilen yönün tersi istikamette yani, sola doğru olması gerektiği” anlamını taşımaktadır.
8
Dirseği yerinde tutmak için gereken z doğrultusundaki kuvvet, z doğrultusunda yazılan daimi doğrusal momentum denklemi ile bulunabilir.
z doğrultusunda kuvvet olarak çeşitli yerçekimi kuvvetleri ve diğer kuvvetler içerisinde ele aldığımız destek kuvvetinin z bileşeni bulunmaktadır.
Tek çıkış yazarak toplam ifadesini kaldırırsak, z doğrultusunda yazılan doğrusal momentum denkleminin son hali aşağıdaki gibi olur. Buradan destek kuvvetinin z bileşeni çekilirse,
elde edilir. Sonucun pozitif işaretli çıkması, “bu dirseği yerinde tutabilmek için kaynağa yüklenilecek kuvvetin düşey doğrultudaki bileşeninin seçilen yön istikametinde yani, yukarı doğru olması gerektiği” anlamını taşımaktadır.
Örnek 5.2.
Yanda verilen şekil, bir yüzeyi su (ρ=999 kg/m3) ile soğutmak için kullanılan lüleyi ve onun su borusu ile yaptığı bağlantıyı göstermektedir. Soğutma işlemi esnasında su 0,6 L/s ile sabit debide akmaktadır. Lülenin giriş ve çıkış kısmının çapları sırasıyla 16 mm ve 5 mm’dir ve bu kısımlardan geçen akışkanın hız profili üniform kabul edilebilir. Lülenin kütlesi 0,12 kg, lüle içerisinde kalan suyun ağırlığı 0,0278 N, lüle giriş kısmındaki mutlak basınç 464 kPa, kontrol hacmi şekildeki kesikli bölge ve sürtünme etkileri ihmal edilebilir ise dişli bağlantıya etkiyen net kuvveti hesaplayınız.
9
Çözüm 5.2.
Akışın soğutma işlemi esnasında daimi olduğu soru içerisinde verilmiştir. Uygun bir KH’de soru içerisinde kesikli çizgilerle bizlere verilmiştir. Sürtünme etkileri de ihmal edilebilir denilmiştir.
Bu veriler bize Bernoulli denklemi lüle giriş ve çıkış kısımları arasında geçerlilik sağladığını göstermektedir.
Çıkış kısmında su atmosfere atıldığından bu kısımdaki etkin basınç sıfırdır. Bunun yanı sıra yan yüzeylerindeki etkin basınçta sıfırdır. Lüle giriş kısmındaki etkin basınç ise 464 kPa – 101,325 kPa = 362,675 kPa olmaktadır.
Daimi şartlar altında, tek giriş ve tek çıkışın olduğu lülenin iç yüzeyi KH olarak seçilip kütlenin korunumu denklemi uygulanırsa ifadesi elde edilir. Kütlesel debi,
olarak elde edilir. Bu sayede giriş ve çıkış hızları aşağıdaki gibi hesaplanırlar:
ve
Dişli bağlantıya etkiyen z doğrultusundaki net kuvvet, z doğrultusunda yazılan daimi doğrusal momentum denklemi ile bulunabilir. Buna uygun olarak seçilen KH şekil içerisinde kesikli çizgilerle gözükmektedir. Lülenin hem giriş hem de çıkış kesitinde hız profili üniform olduğundan β=1 alınır.
10
z doğrultusunda kuvvet olarak su ve lüle için yerçekimi kuvvetleri, basınç kuvveti ve diğer kuvvetler içerisinde ele aldığımız destek kuvveti bulunmaktadır.
Tek giriş ve tek çıkış yazarak toplam ifadesini kaldırırsak, z doğrultusunda yazılan doğrusal momentum denkleminin son hali aşağıdaki gibi olur.
Buradan dişli bağlantıya etkiyen z doğrultusundaki net kuvvet çekilirse,
olarak bulunur. Sonucun pozitif işaretli çıkması, “bu lüleyi yerinde tutabilmek için dişli bağlantıya yüklenilecek kuvvetin seçilen yön istikametinde yani, yukarı doğru olması gerektiği” anlamını taşımaktadır.
Örnek 5.3.
Ortalama hızı bir lüle ile 25 m/s’ye çıkartılan 8,5 kg/s debiye sahip su jeti, sabit, dairesel bir plakaya dik olarak çarpmaktadır.
Plaka yüzeyine çarpan su, plaka üzerinden ayrılmadan her yöne eşit şekilde dağılmaktadır.
Kontrol hacmi, şekil içerisinde kesikli çizgi ile belirtilmiştir ve akış daimidir. Momentum akısı düzeltme faktörünü β=1,03 alarak plakayı yerinde sabit tutabilmek için yatay yönde uygulanması gereken net kuvveti hesaplayınız.
11 Çözüm 5.3.
Akışın daimi olduğu soru içerisinde verilmiştir. Uygun bir KH’de soru içerisinde kesikli çizgilerle bizlere verilmiştir. Kütlesel debi de verilmiştir. Lüleden çıkan su jeti atmosfere çıkış yapmıştır dolayısıyla hem KH’ye giren hem de KH’den çıkan suyun basıncı Patm’dir. Plakanın ağırlığı yatay yönde etkimemektedir. Bu durumda x doğrultusunda yazılan daimi doğrusal momentum denklemi aşağıdaki gibi olur.
x doğrultusunda kuvvet olarak sadece diğer kuvvetler içerisinde ele aldığımız destek kuvvetinin x bileşeni bulunmaktadır.
Tek giriş yazarak toplam ifadesini kaldırırsak, x doğrultusunda yazılan doğrusal momentum denkleminin son hali ve çıkan sonuç aşağıdaki gibi olur.
Sonucun pozitif işaretli çıkması, “bu plakayı yerinde tutabilmek için yüklenilecek kuvvetin seçilen yön istikametinde yani, sola doğru olması gerektiği” anlamını taşımaktadır.
