İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
AĞUSTOS 2013 Emre ŞAHİN
Uçak ve Uzay Mühendisliği Anabilim Dalı Uçak ve Uzay Mühendisliği Programı
Anabilim Dalı : Herhangi Mühendislik, Bilim Programı : Herhangi Program
UÇAKLARIN GİRDAP KAFES YÖNTEMİYLE AERODİNAMİK ANALİZİ
İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
AĞUSTOS 2013
Tez Danışmanı: Prof. Dr. M. Adil YÜKSELEN
Bez (mavi-siyah) cillte bu bölüm olmayacaktır.
Emre ŞAHİN (511091159)
Uçak ve Uzay Mühendisliği Anabilim Dalı Uçak ve Uzay Mühendisliği Programı
Anabilim Dalı : Herhangi Mühendislik, Bilim Programı : Herhangi Program
UÇAKLARIN GİRDAP KAFES YÖNTEMİYLE AERODİNAMİK ANALİZİ
iii
Tez Danışmanı : Prof. Dr. M. Adil YÜKSELEN ... İstanbul Teknik Üniversitesi
Jüri Üyeleri : Yrd. Doc.Dr. Duygu ERDEM ... Yıldız Teknik Üniversitesi
Prof. Dr. Erol Uzal ... İstanbul Üniversitesi
İTÜ, Fen Bilimleri Enstitüsü’nün 511091159 numaralı Yüksek Lisans Öğrencisi
Emre ŞAHİN, ilgili yönetmeliklerin belirlediği gerekli tüm şartları yerine
getirdikten sonra hazırladığı “UÇAKLARIN GİRDAP KAFES YÖNTEMİYLE
AERODİNAMİK ANALİZİ ” başlıklı tezini aşağıda imzaları olan jüri önünde
başarı ile sunmuştur.
Teslim Tarihi : 21 Ağustos 2013 Savunma Tarihi : 27 Ağustos 20013
v
ÖNSÖZ
Bu tez çalışmasında özellikle büyük emeği geçen Prof. Dr. M. Adil Yükselen’e sabırla benimle ilgilendiği için teşekkür ederim. Ayrıca mühendislik olarak kendimi büyük ölçüde geliştirmemi sağlayan emeği geçen diğer İstanbul Teknik Üniversitesi Uçak ve Uzay Bilimleri Fakültesi öğretim üyelerine de teşekkürlerimi iletirim. Bu uzun süren tez çalışması süreci boyunca bana gösterdikleri ilgi ve bana verdikleri cesaretten dolayı aileme büyük teşekkürlerimi iletirim.
Ağustos 2013 Emre ŞAHİN
vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖNSÖZ ... viii İÇİNDEKİLER ... ix KISALTMALAR ... xi
ÇİZELGE LİSTESİ ... xiii
ŞEKİL LİSTESİ ... xv ÖZET ... xvii SUMMARY ... xix 1. GİRİŞ ... 1 1.1 Konunun Önemi ... 1 1.2 Tarihsel Gelişimi ... 1 1.3 Tezin Amacı ... 7r 2. SONLU KANATLAR İÇİN MATEMATİKSEL PROBLEM, KLASİK ÇÖZÜM TEKNİKLERİ, GİRDAP KAFES YÖNTEMİ ... 9
2.1 Matematiksel Problem ... 9
2.2 Prandtl Taşıyıcı Çizgi Yöntemi ... 10
2.3 Sayısal Taşıyıcı Çizgi Yöntemi ... 12
2.4 Girdap Kafes Yöntemi ... 13
3. ÇOK ELEMANLI BİR TAŞIYICI YÜZEY SİSTEMİNDE GİRDAP KAFES YÖNTEMİNİN UYGULANMASI ... 15
3.1 Giriş ... 15
3.2 Çok Elemanlı Taşıyıcı Yüzey Sisteminde Paneller ve Atnalı Girdapları ... 15
3.3 Yüzey Üzerindeki Sınır Koşulu, Lineer Denklem Takımı... 15
3.4 Atnalı Girdabının Bir Kontrol Noktasındaki İndüklemesinin Hesaplanması .. 18
3.5 Bir Girdap Parçasıın İndüklemesinin Biot-Savart Yasası İle Hesaplanması ... 19
3.6 Aerodinamik Katsayıların Hesaplanması ... 21
3.7 Taşıyıcı Yüzey Sisteminin Geometrisi... 23
4. TEST ÇALIŞMALARI VE ÖRNEK UYGULAMALAR ... 27
4.1 Giriş ... 27
4.2 Dikdörtgensel Üstgörünümlü Kanat İçin Test Çalışmaları ... 27
4.3 Trapez Üstgörünümlü Düzlemsel Kanat İçin Uygulamalar ... 26
4.4 Kamburluklu Kanatlar İçin Test Çalışmaları ... 29
4.5 Çift Kanat Sistemleri İçin Test Çalışmaları ... 31
4.6 Genel Bir Örnek Uygulama ... 34
5. SONUÇ ... 53
KAYNAKLAR ... 57
ix
KISALTMALAR
Aij : Lineer denklem takımı katsayılar matrisi An : Fourier katsayısı
AR : Açıklık oranı
a : 2-boyutlu taşıma eğrisi eğimi
c : Veter uzunluğu
CL : Taşıma katsayısı
CDi : İndüklenmiş sürükleme katsayısı cp : Basınç katsayısı
Di : İndüklenmiş sürükleme F : Bileşke aerodinamik kuvvet iC, jC, kC : Panel kontrol noktası için indisler iV, jV, kV : Atnalı girdabı için indisler
L : Taşıma kuvveti
n : Yüzey birim normal vektörü
NI : Veter doğrultusunda panel sayısı NJ : Açıklık doğrultusunda panel sayısı NW : Taşıyıcı yüzey sayısı
Ri : Lineer denklem takımı sağ taraf vektörü s : Kanat yarı açıklığı
S : Üst görünüm alanı
V : Hız vektörü
Vn : Yüzey normal hız bileşeni
ind
v : indüklenmiş hız vektörü V : Serbest akım hız vektörü w : Aşağı sapma hızı
x : Hücum açısı
0 : Sıfır taşıma hücum açısı k
j i
F,, : Bir panele etkiyen aerodinamik kuvvet : Potansiyel fonksiyonu
: Serbest akımın potansiyel fonksiyonu : Sirkülasyon şiddeti
: Kanat kesit parametresi ( =a c/8s) : Grad vektörü
: Yoğunluk
: Kanat açıklığı boyunca açısal konum koordinatı
PLL : Prandtl Taşıyıcı Çizgi (Prandtl Lifting Line)
xi
ÇİZELGE LİSTESİ
Sayfa
xiii
ŞEKİL LİSTESİ
Sayfa
Şekil 2.1 : Sonlu kanat için atnalı girdap modeli. ... 10
Şekil 2.2 : Sonlu kanat için sayısal taşıyıcı çizgi modeli. ... 12
Şekil 2.3 : Girdap kafes yönteminde paneller ve atnalı girdapları. ... 13
Şekil 3.1 : Çok elemanlı taşıyıcı yüzey sistemi. ... 16
Şekil 3.2 : Çok elemanlı taşıyıcı yüzey sisteminde atnalı girdaplarının ve kontrol noktalarının indisleri. ... 17
Şekil 3.3 : Bir atnalı girdabının parçaları ... 19
Şekil 3.4 : Doğru parçası şeklindeki bir çizgisel girdabın indüklemesi. ... 20
Şekil 3.5 : Bir panele etkiyen aerodinamik kuvvet ... 22
Şekil 3.6 : Serbest akıma bağlı eksen takımı ... 23
Şekil 3.7 : Uçağa bağlı eksen takımı. ... 24
Şekil 3.8 : Örnek taşıyıcı yüzey sistemi geometrisi … ... 26
Şekil 4.1 : NJ nin düz levha kanadın taşıma katsayısı üzerindeki etkisi (NI=1) ... 28
Şekil 4.2 : NJ nin düz levha kanadın indüklenmiş sürükleme katsayısı üzerindeki etkisi (NI=1) ... 29
Şekil 4.3 : NI nin düz levha kanat taşıma katsayısı üzerindeki etkisi (NJ=20). ... 29
Şekil 4.4 : NI nin düz levha kanat indüklenmiş sürükleme katsayısı üzerindeki etkisi (NJ=20). ... 30
Şekil 4.5 : Düz levha kanat taşıma katsayısının hücum açısıyla değişimi (NI=1, NJ=20) ... 30
Şekil 4.6 : Düz levha kanat indüklenmiş sürükleme katsayısının hücum açısıyla değişimi (NI=1, NJ=20) ... 31
Şekil 4.7 : NJ nin trapez düzlemsel kanadın taşıma katsayısı üzerindeki etkisi (NI=1) ... 32
Şekil 4.8 : NJ nin trapez düzlemsel kanadın indüklenmiş sürükleme katsayısı üzerindeki etkisi (NI=1) ... 32
Şekil 4.9 : NI nin trapez düzlemsel kanat taşıma katsayısı üzerindeki etkisi (NJ=20) ... 33
Şekil 4.10 : NI nin trapez düzlemsel kanat indüklenmiş sürükleme katsayısı üzerindeki etkisi (NJ=20) … ... 33
xiv
Şekil 4.11 : Trapez düzlemsel kanat taşıma katsayısının hücum açısıyla değişimi
(NI=1, NJ=20). ... 33
Şekil 4.12 : Trapez düzlemsel kanat indüklenmiş sürükleme katsayısının hücum açısıyla değişimi (NI=1, NJ=20) ... 34
Şekil 4.13 : NI nin dikdörtgensel kamburluklu kanat taşıma katsayısı üzerindeki etkisi (NJ=20). ... 35
Şekil 4.14 : NI nin dikdörtgensel kamburluklu kanat indüklenmiş sürükleme katsayısı üzerindeki etkisi (NJ=20) ... 35
Şekil 4.15 : NJ nin dikdörtgensel kamburluklu kanat taşıma katsayısı üzerindeki etkisi (NI=10) ... 36
Şekil 4.16 : NJ nin dikdörtgensel kamburluklu kanat indüklenmiş sürükleme katsayısı üzerindeki etkisi (NI=10) ... 36
Şekil 4.17 : Yer etkisi için çift kanat konfigürasyonu ... 37
Şekil 4.18 : Kanatlar arası mesafenin taşıma katsayısı üzerindeki etkisi ... 38
Şekil 4.19 : Kanatlar arası mesafenin indüklenmiş sürükleme katsayısı üzerindeki etkisi ... 38
Şekil 4.20 : Yan yana çift kanat konfigürasyonu … ... 39
Şekil 4.21 : Yan yana kanatlar arası mesafenin taşıma katsayısı üzerindeki etkisi ... 39
Şekil 4.22 : Yan yana kanatlar arası mesafenin indüklenmiş sürükleme katsayısı _üzerindeki etkisi ... 39
Şekil 4.23 : F16 uçağının genel görünümü ... 41
Şekil 4.24 : F16 uçağı için VLM modeli … ... 41
Şekil 4.25 : F16 uçağı taşıma katsayısının hücum açısıyla değişimi ... 42
Şekil 4.26 : F16 uçağı indüklenmiş sürükleme katsayısının hücum açısıyla değişimi … ... 42
xv
UÇAKLARIN GİRDAP KAFES YÖNTEMİYLE AERODİNAMİK ANALİZİ ÖZET
Türkiye’nin Savunma Sanayisinde son yıllarda görülen önemli gelişmeler, 2023 hedefleri doğrultusunda Havacılık Sanayisine de yansımıştır. Bu çerçevede IHA, Başlangıç Eğitim Uçağı Hürkuş ve geleceğin yerli savaş ve eğitim uçağına ilişkin TX/FX projesi gibi çalışmalar gündeme oturmuştur.
Bu gibi uçak geliştirme çalışmalarının kavramsal ve başlangıç tasarım aşamalarında basit ama hızlı aerodinamik araçlarına ihtiyaç duyulmaktadır. Aerodinamik analiz çalışmalarında, günümüzde her ne kadar çok kabiliyetli CFD yöntemleri uygulamak mümkün gibi gözükse de bu gibi yöntemlerin karmaşık uçak geometrileri etrafındaki akımlar için uygulanmasında çözüm süreleri günler hatta aylara kadar çıkarak çok büyük kullanım zorluğu içermektedir. Ayrıca bu gibi hesaplamalar için çok büyük bilgisayar hızları ve hafızaları gerekmekte olup süper bilgisayarlara ihtiyaç duyulmaktadır. Kavramsal ve başlangıç tasarım aşamaları boyunca optimizasyon amacıyla uçak geometrisinin sıklıkla değişeceği de hesaba katılırsa CFD çalışmalarının maliyetinin ne kadar büyük olacağı ortaya çıkar. Bu nedenlerle uçak kavramsal ve başlangıç tasarımı aşamaları için olabildiğince basit, yaklaşık, ama hızlı aerodinamik analiz araçlarının kullanılması tercih edilir. CFD çalışmaları ise daha ziyade ayrıntılı tasarım ve geliştirme aşamalarında tercih edilir.
Uçak ve benzeri hava araçlarının kavramsal ve başlangıç tasarım çalışmalarındaki aerodinamik analiz ihtiyacına yönelik basit yöntemler arasında en ön sırayı panel yöntemleri almaktadır. Bu tip yöntemlerden önemli birisi de Girdap Kafes Yöntemi olup geçmiş yıllarda çok kullanılan bu yöntem günümüzde de halen kullanılmaktadır. Bu tez çalışmasında uçak ve benzeri vasıtalar gibi çok sayıda taşıyıcı elemana (kanat, kuyruk, winglet vb) sahip taiyıcı yüzey sistemlerine ses altı hızlarda ve akım ayrılması görülmeyen hücum açılarında etkiyen aerodinamik kuvvetleri hesaplayabilecek bir yazılım geliştirilmesi amaçlanmıştır. Yazılımın trapez üst görünümlü, ok açılı, dihedral açılı çok sayıda taşıyıcı yüzeyi modellemesi hedeflenmiştir.
Girdap Kafes Yönteminde her bir taşıyıcı yüzey açıklık ve veter doğrultusunda küçük panellere bölünerek her bir panel üzerine birer atnalı girdabı yerleştirilmektedir. Atnalı girdabının ön kolu panelin aerodinamik taşımasını modelleyen ve genellikle “bağlı girdap” olarak adlandırılan taşıyıcı bir girdap olup panelin çeyrek-veter çizgisi üzerinde yer almaktadır. Atnalı girdabının yan kolları firar kenarına kadar kanat simetri düzlemine paralel olarak yüzeyi izleyip firar kenarından itibaren serbest akım doğrultusunda sonsuza uzanmaktadır. Atnalı girdaplarının şiddetleri her bir panelin üç-çeyrek veter çizgisinin ortasında yer alan bir kontrol noktasında yüzeye dik akım hızının olmayacağı şeklindeki yüzey sınır koşulu uygulanarak elde edilen bir lineer denklem takımı çözülerek elde edilmektedir. Her bir panele etkiyen aerodinamik kuvvet bu panelin bağlı girdap orta noktasında bileşke akım hızları hesaplanıp Joukowsky taşıma kanunu uygulanarak
xvi
elde edilmektedir. Sistemdeki tüm panellere etkiyen kuvvetler toplanarak her bir taşıyıcı yüzeye ve sistemin tamamına etkiyen taşıma ve indüklenmiş sürükleme kuvvetleriyle bunlara ilişkin aerodinamik katsayılar elde edilmektedir.
Yöntem MatLab için programlanmış olup, formülasyonun ve programın doğruluğu çeşitli örnek çalışmalarla test edilmiştir. Tek kanat ve çift kanat üzerinde yapılan test çalışmaları simetrik kesitli kanatlarda taşıma katsayısı için yeterince doğru sonuçlar elde edebilmek için açıklık doğrultusunda en az 20 civarında panel alınması gerektiğini, veter doğrultusundaki panel sayısının taşıma için önemli olmadığını göstermiştir. Bu panel sayıları indüklenmiş sürükleme içinde uygun gözükmektedir. Ancak kambur kesitli kanatlar için veter boyunca panel sayısının önemli olduğu ve en az 10 civarında panel alınması gerektiğini ortaya koymuştur. Ayrıca VLM yöntemi sonuçları tek kanat halinde PLL yöntemi sonuçlarıyla karşılaştırılmış olup büyük açıklık oranlarında sonuçların yakın olduğu, açıklık oranı azaldıkça arada farklıkların ortaya çıktığı görülmüştür.
xvii
AERODYNAMIC ANALYSIS OF AIRCRAFTS BY VORTEX LATTICE METHOD
SUMMARY
In recent years there are important improvements in the defense industry, and these important improvements also affected Aeronautical Industry in the direction of 2023 goals. In this context, projects like UAV, preliminary training aircraft Hürkuş and future fighter and training aircraft TX/FX have been started to consider.
For these kinds of aircraft improvement works, at the stage of preliminary and conceptual design, simple and fast aerodynamics tools have been needed. Although, it looks like possible to apply very talented CFD methods , but the application times of these methods for complex aircraft geometries can be more than days or months and because of this reason using these methods has very big application difficulties. Additionally for this kind of calculations very big computer speed and memories are necessary and supercomputers have been needed. At the conceptual and preliminary design stage if it is also considered that the geometry of the aircraft will changed many times for the optimization purpose, it can be understood that how big the cost of using CFD. For this reason, for the conceptual and preliminary aircraft design stages, very simple, approximate but fast aerodynamic analysis tools have been chosen. CFD methods are rather chosen for detailed design and improvement stages. Panel methods take place in the front row among the simple aerodynamic analysis methods for the preliminary and conceptual design studies of aircraft and other air vehicles similar to aircrafts. One of the most important one of these methods is Vortex Lattice Method and it is also widely used in the past and it is still used in nowadays. Nowadays, about this topic, many package programs have been developed in order to use in the conceptual and preliminary design stage. One of these programs as mentioned in the literature summary is Tornado program. With these programs it is possible to calculate aerodynamics forces and moment coefficients at subsonic and supersonic speeds. These programs can also work at linear flow and nonlinear flow regime which is seen after the flow separation. It is possible to simulate aircrafts and air vehicles similar to aircrafts which has many lifting components like wing, tail, and winglet. These lifting components can have tapered planform, sweep angle, and dihedral angle, and twist angle.
In this thesis, it is aimed to develop a computer program that can calculate aerodynamics forces at subsonic and linear flow conditions for aircrafts and air vehicles similar to aircrafts which has many lifting components like wing, tail, winglet and vs. It is aimed to simulate many lifting surfaces which can have tapered planform, sweep angle, and dihedral angle. So, our program is not capable of simulating twisted wings and nonlinear, supersonic flow conditions in contrast to other programs. With our program it is possible to simulate interaction of lifting surfaces like wing-canard and wing-tail. It is not only possible to simulate the interaction of lifting surfaces but it is also possible to simulate the interaction of
xviii
airplanes which fly close to each other. In the literature these kinds of studies have been done to increase the fuel efficiency of the airplanes.
The idea of the VLM starts with PLL theory. The idea of modeling flow filed with the Vortex lines first came with the PLL. In the PLL infinite numbers of horseshoe elements are used. The forward arms of the horseshoe elements are placed on the quarter chord line. The side arms of the horseshoe elements start from the quarter chord line and go to infinity. In the PLL method the distribution of the vortex along the span direction is the unknown the problem. The distribution of the vortex along the span direction is represented by a Fourier series. By writing these equations on every cross section of the wing an equation system can be written and the coefficients of the Fourier series can be solved. From these coefficients lift and induced drag coefficients can be found.
The PLL method is improved as Numerical Lifting Line Method. In the Numerical Lifting Line Method instead of using infinite number of vortex elements, finite number of vortex elements is used. The wing is divided into panels and along the chord direction only one panel is placed but in the span direction as many panels as wanted can be placed. The horse shoe elements have been put side by side along the span direction. Similar to PLL the forward arm of the horseshoe element has been placed to quarter chord line and the side arms of the horseshoe elements has been sent to infinity. The unknown of the problem is again the strength of the vortex elements. The formulation of the Numerical Lifting Line method is similar to the VLM and it can be found in the following parts of the thesis.
In both PLL and Numeric Lifting Line method along the chord direction there is only one horseshoe element and the distribution of the lift and induced drag force is not taking into account in these methods. These models also do not give any information about the pitching moment. In order to solve these problems VLM was developed. In VLM every single lifting surface has been divided into small panels in the span and chord direction and a vortex lattice has been placed on every panel. The aerodynamic lifting of the panel has been modeled with the forward arm of the vortex lattice and this forward arm has generally been called “bound vortex” and it has been placed to the quarter chord line of the panel. Side arms of the vortex lattice follow the surface in parallel to the wing symmetry until the trailing edge and after the trailing edge it goes to infinity in the direction of free stream. The strength of the vortex has been calculated by solving a linear equation system which has been obtained by applying a boundary condition which says that there is no normal velocity component at a control point which is at the middle of the three quarter chord line of every panel. In order to create linear equation system an influence coefficient matrix has to be formed. Every single element of this matrix represents the induced velocity at a control point which is created by another horseshoe element by assuming every single horseshoe element has unit strength. In order to calculate induced velocity which is created by horseshoe element Bot-Savart law which is also used in electromagnetic theory has been used. In order to calculate the induced velocity by the Bot-Savart law every little part of the horseshoe element is calculated and then they are summed. After finding the strength of the horseshoe elements again by using the Biot-Savart law the velocity field and the induced velocities at the middle of the bond vortexes can be calculated. The resultant velocity at the middle of the bound vortex is the sum of free stream velocity and the induced velocity which is created by summing all of the single horseshoe elements. The aerodynamic forces for every panel have been obtained by using the resultant velocity at the middle of bound
xix
vortex and using Joukowsky lifting law. However these aerodynamic forces have to be transformed in the direction of the free stream to calculate the lift and induced drag coefficient. By summing forces on every panel in the system, the lifting and induced drag forces and related aerodynamic coefficients for every lifting surface and for the whole system can be obtained.
The method has been programmed for the Matlab© and the accuracy of the formulation and the program have been tested for various examples. In order to use the program the geometry input for the every lifting surface has to be entered. This geometry input includes number of panels in the chord and span direction, wing root cord length, wing tip cord length, wing span, dihedral angle, sweep angle, incidence angle according to body frame, wing camber, and x,y,z position of the wing according to body frame. After entering these parameters, the program calculates lift and induced drag coefficient for any complex lifting surface planforms. The test work which has been done on the single and double wing planforms has shown that for symmetric cross-section wings in order to obtain lift coefficient accurately at least 20 panels has to be taken in the span direction, and it is also show that the number of panels in the chord direction is not important for the lift. This panel numbers also looks appropriate for the induced drag coefficient. However for cambered cross-sectioned panels it has been shown that the number of panels in the chord direction is important and at least around 10 panels have to be taken. Also VLM method results has been compared with PLL method results and it has been shown that at high aspect ratio the two results are close and at low aspect ratio the difference between results is getting bigger.
For testing the correctness of the program another test case has been done on the F16 fighter airplane. For this study the geometry of the F16 can not be found exactly. However, by using the reference figure an approximate geometry has been obtained. The geometry of the airplane has been simplified to be used in the program and additionally to the wings, the fuselage is also modeled as a wing. No information about the camber of the wings has been found so the wings has been approximated as flat. In order to model the curved surfaces in the fuselage, many low aspect ratio wings have been used. This study has shown that complex F16 geometry which compose of totally 18 wings, which are 9 of them at the left side and 9 of them at the right side, can be modeled and solved. The simulation results show similarity with the literature data. It is considered that the difference between the simulation results and literature data is caused by the insufficient information and approximations which are made about the geometry. This study has also show that the program can not only solve single wing and biplane wing configurations but also can solve complex planforms which composed of many lifting surfaces.
1
1. GİRİŞ
1.1. Konunun Önemi
Türkiye’nin Savunma Sanayisinde son yıllarda görülen önemli gelişmeler, 2023 hedefleri doğrultusunda Havacılık Sanayisine de yansımıştır. Bu çerçevede IHA, Başlangıç Eğitim Uçağı Hürkuş ve geleceğin yerli savaş ve eğitim uçağına ilişkin TX/FX projesi gibi çalışmalar gündeme oturmuştur.
Bu gibi uçak geliştirme çalışmalarının kavramsal ve başlangıç tasarım aşamalarında basit ama hızlı aerodinamik araçlarına ihtiyaç duyulmaktadır. Aerodinamik analiz çalışmalarında, günümüzde her ne kadar çok kabiliyetli CFD yöntemleri uygulamak mümkün gibi gözükse de bu gibi yöntemlerin karmaşık uçak geometrileri etrafındaki akımlar için uygulanmasında çözüm süreleri günler hatta aylara kadar çıkarak çok büyük kullanım zorluğu içermektedir. Ayrıca bu gibi hesaplamalar için çok büyük bilgisayar hızları ve hafızaları gerekmekte olup süper bilgisayarlara ihtiyaç duyulmaktadır. Kavramsal ve başlangıç tasarım aşamaları boyunca optimizasyon amacıyla uçak geometrisinin sıklıkla değişeceği de hesaba katılırsa CFD çalışmalarının maliyetinin ne kadar büyük olacağı ortaya çıkar. Bu nedenlerle uçak kavramsal ve başlangıç tasarımı aşamaları için olabildiğince basit, yaklaşık, ama hızlı aerodinamik analiz araçlarının kullanılması tercih edilir. CFD çalışmaları ise daha ziyade ayrıntılı tasarım ve geliştirme aşamalarında tercih edilir.
Bu çalışmada savaş uçağı ve benzeri hava araçlarının kavramsal ve başlangıç tasarım çalışmalarındaki aerodinamik analiz ihtiyacına yönelik basit bir yöntem olan Girdap Kafes Yöntemi ele alınarak çok sayıda taşıyıcı yüzeye sahip herhangi bir uçak için analizin kolaylıkla yapılabileceği bir yazılım geliştirilmesi amaçlanmıştır.
1.2. Tarihsel Gelişimi
Geçmişte ve günümüzde hızlı ve ucuz şekilde aerodinamik analiz yapmak için uçak tasarım çalışmalarında olduğu gibi, pervane, rüzgar türbini ve benzeri aerodinamik araçların analizinde de geniş şekilde kullanılan Girdap Kafes Yöntemlerinin ilk
2
örnekleri olarak Falkner [1] ve Weissinger [2] tarafından yapılan çalışmalar gösterilebilir. Falkner [1], ok açılı kanat üzerinde açıklık doğrultusunda yan yana ve veter doğrultusunda ardı ardına yer alan atnalı girdapları kullanarak sapma açılı hal de dahil olmak üzere aerodinamik yüklerin hesabını yapmıştır. Weissinger [2] ise Prandtl taşıyıcı çizgi yönteminin nümerik bir uygulamasını yaparak kanatları sonsuz sayıda iç içe atnalı girdapları yerine yan yana sonlu sayıda atnalı girdapları ile modellemiştir. Günümüzde halen bazı çalışmalarda yer alan bu yöntem Nümerik Taşıyıcı Çizgi Yöntemi olarak da adlandırılmakta olup, viskozite etkilerinin kanat profillerine ait 2-boyutlu deneysel verilerden alınarak işleme iteratif olarak katıldığı non-lineer nümerik taşıyıcı çizgi yöntemlerine ait uygulamalar açıklık oranı yüksek kanatlar için hayli tatminkar sonuçlar vermektedir [3,4].
Weissinger yönteminde (veya nümerik taşıyıcı çizgi yöntemi) kanat, açıklığı boyunca paneller ayrılarak her bir panel üzerine bir atnalı girdabı yerleştirilmektedir. Bu şekilde yapılan hesaplamalar, taşıyıcı çizgi modellerinde olduğu gibi yunuslama katsayısı için doğrudan bir sonuç vermemektedir. Aynı dönemlerden itibaren taşıyıcı yüzey yöntemleri veya günümüzdeki yaygın adıyla Girdap Kafes Yöntemlerinde kanat, açıklık boyunca olduğu gibi veter doğrultusunda da panellere ayrılarak her bir panel üzerine bir atnalı girdabı yerleştirilmek suretiyle işlem yapılmaktadır. Böylece veter doğrultusundaki akım gelişiminin etkisi de hesaba katılmış olmaktadır.
Girdap kafes yöntemlerinin popülerliğinin bilgisayarların gelişimiyle birlikte arttığını söylemek mümkündür. 1970 li yıllarda Kalman ve diğ. [5] Girdap Kafes Yöntemi kullanarak indüklenmiş sürüklemenin kanat açıklığı boyunca dağılımını bulmaya çalışmışlardır. Çalışmalarında eliptik üst-görünümlü kanatlar için başarılı sonuçlar bulmuşlar fakat hiperbolik kanatlar için kanat uç noktaları yakınlarında hatalı sonuçlarla karşılaşmışlardır.
Hough [6] yine 70 li yıllarda Girdap Kafes Yöntemi üzerine çalışmalar yapan bir diğer isimdir. Hough, Girdap Kafes yöntemlerinde genel olarak panellerin çeyrek veter çizgilerine yerleştirilen atnalı girdap elemanlarının ve panel üç-çeyrek orta noktalarında yer alan kontrol noktalarının yerini değiştirmeye çalışmıştır. Fakat değişik konfigürasyonlar sonucunda görmüştür ki atnalı girdaplarının bağlı girdap çizgilerinin panel çeyrek-veter çizgisi üzerinde ve kontrol noktalarının da panel üç-çeyrek veter orta noktasında yer alması bu yöntemin bir gereğidir.
3
Almosnimo ve diğ. [7] birden çok taşıyıcı yüzey elemanın yüksek hücum açılarında birbirleriyle olan non-lineer etkileşimlerini incelemişlerdir. Burada kanard/kanat etkileşimi ve kanard üzerinden oluşan girdapların kanat üzerinde oluşturdukları non-lineer taşıma kuvvetleri incelenmiş ve yüksek hücum açılarında deneysel sonuçlarla yüksek uyum gözlenmiştir. Sadece kanarda dihedral verildiği zaman yüksek hücum açılarında hata göze çarpmaktadır.
Zorea ve diğ. [8] düşük açıklık oranına sahip dikdörtgen kanatlar ve delta kanatlarda, kanat üzerinde ve kanat iz bölgesinde görülen girdap akımlarından oluşan non-lineer taşıma kuvvetlerini açıklamaya çalışmışlardır. Bunu yapmak için klasik girdap kafes yönteminden farklı olarak tüm kaçma girdaplarını kanat firar kenarından serbest akıma paralel olacak şekilde sonsuza göndermek yerinde, kanat hücum kenarında ve kanat uçlarında yer alan paneller üzerindeki kaçma girdaplarını panel uç noktalarından ve diğer paneller üzerindeki kaçma girdaplarını da firar kenarından akıma göndermişlerdir. Ayrıca kaçma girdaplarını serbest akıma paralel olacak şekilde değil de kanat üzerinde oluşan akım yapısına uygun olacak şekilde sonsuza göndermişlerdir. Böylece açıklık oranı küçük olan dikdörtgen kanatlarda ve açıklık oranı birden büyük olan delta kanatlarda deneysel verilere çok yakın sonuçlar bulmuşlardır. Sadece açıklık oranı birden küçük olan delta kanatlar hatalı sonuçlar vermiştir.
Rusak ve diğ. [9]. Zorea’nın çalışmasına benzer olarak iz bölgesinde oluşan girdaplı akımı daha iyi modelleyebilmek için kaçma girdaplarını bu girdapları takib edecek şekilde göndermek istemişlerdir. Bu ise bir non-lineer problem anlamına gelmektedir ve bu non-lineer problemin çözümü için bir iterasyon kullanılması gerekmektedir. Rusak ve ekibi çalışmasında bu iterasyonun yakınsaması için gerekli şartları incelemişlerdir. Çalışmaya göre bu iterasyonun yakınsaması, çözüm için kullanılan iz bölgesi kofigürasyonunun başlangıç koşulu ve çözüm için kullanılan integrasyon yönteminden bağımsız olmakla birlikte, yüzeyde kullanılan at-nalı girdap ağı yapısının iyileştirilmesine ve iz bölgesi ağ yapısı oluşturulurken deneysel verilere yakın sonuçlar etrafında ağ yapısı kurulmasına bağlı olduğu görülmektedir.
Rajeswari ve diğ. [10] girdap kafes yöntemini daha iyi flap modellemesi için kullanmıştır. Normalde kanatlar ile aynı hizada olan flaplar açıldıkları zaman flap kenarları ile kanat arasında açıklık meydana gelmektedir. Normal olarak bu boşluk dikkate alınmamakta ve flap modellenirken aynı kanat gibi bir ekstra flap açısı
4
verilerek üzerine at nalı girdapları yerleştirilmektedir. Fakat flap kenarlarında akış süreksizlikleri olmaktadır ve bu şekilde kanat ve flapları modellemek hata içermektedir. Rajeswari ve ekibi ise flap ve kanadın ayrılma hizasına gelen kaçma girdaplarını doğrudan flap üzerinden sonsuza göndermek yerine kanat ile flap arasındaki boşluğu dolduracak şekilde yayarak sonsuza göndermiştir. Kaçma girdapları kanat ile flap arasına yerleştirilirken kanadın hücum kenarına en yakın olan girdap flaba en yakın olacak şekilde döndürülmüştür. Kanadın hücum kenarına en uzak olan girdap ise kanadı takip edecek şekilde döndürülmüştür. Bu şekilde modelleme yapıldığı zaman daha doğru sonuç alındığı gözlemlenmiştir.
Ramamurthy [11] tarafından yapılan çalışmada kanat hücum ve firar kenarlarında kanat açıklığı boyunca yan yana birden fazla flap yer alması hali incelenmiştir. Farklı sivrilme, ok-açısı ve dihedral açısına sahip çeşitli kanatlar için kanat hücum ve firar kenarlarına yerleştirilen farklı büyüklük ve sayılardaki flaplar ile ilgili yapılan çalışmalarda deneysel sonuçlara yakın değerler elde edilmiştir.
Rossow [12] önde giden bir uçak tarafından oluşturulan iz bölgesi akımının onu takip eden bir diğer uçak üzerinde oluşturmuş olduğu kuvvetleri Girdap Kafes yöntemini kullanarak incelemiştir. Çalışma sonucunda görülmüştür ki kanat açıklığı öndeki uçağın kanat açıklığının 0.2 katı ve daha küçük olan uçaklarda hesaplanan taşıma kuvvetleri ve yalpa momentlerinde büyük benzerlik görülmektedir. Kanat açıklığı öndeki uçağın kanat açıklığının 0.2 katından daha büyük olan uçaklarda ise girdap kafes yöntemiyle hesaplanan kuvvetler gerçek kuvvetlerle benzerlik gösterse de giderek artacak şekilde normal değerlerden daha büyük değerler bulunmaya başlanmıştır.
Sultan [13], özellikle savaş uçaklarında sıklıkla kullanılan delta kanatları incelemiştir. Bu çalışmasında savaş uçaklarının sadece ses üstü hızlara göre tasarlandığını vurgulamakta ve bunun ses altı durumda bir dezavantaj olduğunu belirtmektedir. Bundan dolayı çalışmasında girdap kafes yöntemini kullanarak delta kanatların sesaltı performanslarını incelemiş ve dihedral açısız ve burulmasız kanatların daha iyi ses altı performansları ve dihedral açılı kanatların ise daha iyi manevra performansları olduğunu tespit etmiştir.
Melin [14] günümüzde de yaygın olarak kullanılan aerodinamik programı Tornado’yu geliştirmiştir. Bu çalışmasıyla sesaltı hızlarda ve akım ayrılması
5
görülmeyen lineer bölgede uçak üzerindeki aerodinamik kuvvetleri hesaplayabilmektedir. Tornado programı trapez üstgörünümlü, ok açılı, dihedral açılı ve burulmalı kanatlar ile aynı zamanda firar kenarında birden fazla kontrol elemanı olan kanatları simüle edebilmektedir.
Mukherjee ve diğ. [15] yüksek hücum açılarında kanat üzerinde oluşan akım ayrılmalarından dolayı taşıma katsayısındaki non-lineer etkileri Girdap Kafes yöntemini kullanarak incelenmiştir. Küçük hücum açılarında akım kanat üzerinde ince bir sınır tabaka oluşturmakta ve akım kanat üzerine tutunarak akmaktadır. Bu durumda profil taşıma ve moment katsayılarını potansiyel teoriyle bulmak mümkündür. Yüksek hücum açılarında ise akım kanat üzerinden ayrılmakta ve vizkoz etkiler işin içine girdiği için potansiyel teori çalışmamaktadır. Mukherjee’nin çalışmasında akım ayrılma etkisi profil kamburluğu azaltılarak hesaba katılmaya çalışılmıştır. Elde edilen sonuçlar deneysel verilerle uyum göstermektedir.
Fritz ve diğ. [16] sonlu kanatların salınımlı plunging, yunuslama, burulma ve çırpma hareketlerini zamana bağlı girdap kafes yöntemiyle incelenmiştir. Bu çalışmanın potansiyel uygulamaları, küçük insansız hava araçlarının tasarım ve analizi ve yüksek frekansta kanat çırpma hareketi yapan kuşların ve diğer uçan ufak canlıların uçuşunun anlaşılması olarak görülebilir. Bu çalışmanın sonucunda plunging ve yunuslama hareketleri için elde edilen sonuçlar deneysel sonuçlarla ve teorik verilerle uyum göstermektedirler. Yine bu çalışmanın sonucunda görülmüştür ki karmaşık çırpma hareketi ile gerçekleştirilen uçuşların birçok kısmı hassas olarak simüle edilebilmektedir.
Paiva [17] kanat ön tasarımı amaçlı ve disiplinler arası tasarım optimizasyonu yapabilen bir yazılım geliştirmiştir. Kanat ön tasarımında, kanat aerodinamiği ve kanat yapısı birbiri ile etkileşim halinde olduğu için bunları birbirlerinden ayrı düşünerek tasarım yapmak doğru bir yaklaşım olmamaktadır. Bundan dolayı bu ikisinin birbirleriyle etkileşimini de işin içine katan bir yazılım geliştirilmiştir. Bu yazılımda aerodinamik kuvvetler yine girdap kafes yöntemiyle bulunmaktadır.
Mukherjee’nin çalışmasına büyük benzerlik gösteren bir diğer çalışma Wu ve diğ. [18] tarafından yapılmıştır. Bu çalışmada Wu, Mukherjee’nin çalışmasındaki yöntemi kullanarak akım ayrılması yakınlarında ve akım ayrılmasından dolayı kaynaklanan non-lineer taşıma ve moment katsayılarını hesaplamıştır. Yüksek
6
hücum açılarında akım ayrılmasından dolayı kanat kontrol yüzeyleri ayrılmış kısımda kalmaktadır. Aynı zamanda küçük hücum açılarından yüksek hücum açılarına geçerken, akım alanında bir geçiş bölgesi oluşmaktadır. Bu durumlar uçağın kontrolü açısından büyük zorluklar çıkarmaktadır. Bu çalışmada bu nonlineer bölgelerdeki taşıma ve moment katsayıları önceden tahmin edilerek uçağın kontrolü ve performansı geliştirilmiştir.
Lazos ve diğ. [19] kanat açıklığı boyunca düzlemsel olan klasik kanatlardan farklı olarak, kanat açıklığı boyunca hiper-eliptik bükümlü kanatların taşıma ve sürükleme açısından performanslarını deneysel olarak incelemiştir. Deneysel çalışmalara destek olarak kanat wingletleri tasarımı sırasında Mellin [14] tarafından geliştirilen Tornado programı kullanılmıştır.
Bir diğer çalışmada Boschetti ve diğ. [20] kanadın belli bir kısmına burulma vererek taşıma kuvvetinin sürüklemeye oranını arttırmaya çalışmışlardır. Normal olarak burulmalı kanatların burulmasız kanatlara göre taşıma kuvvetlerinin sürüklemeye oranları daha düşük olmaktadır. Fakat bu çalışmasında Boschetti burulmayı kanadın tamamı üzerinde almak yerine, kanadın kökünden başlayarak belli bir kısmını burulmasız geri kalan kısmını ise burulmalı almış, taşıma kuvvetinin sürükleme kuvvetine oranını arttırmaya çalışmıştır.
Mukherjee [15] ’nin çalışması Gopalarathnam ve diğ. [21] tarafından geliştirilmiştir. Bu çalışmada Newton iterasyonu için gerekli olan Jacobian ve hata değerleri taşıma kuvveti dağılımının süperpozisyonu kullanılarak bulunmuştur. Bu sayede akım ayrılması sonrasındaki değerler girdap kafes yönteminin iterasyon içinde kullanılmasına gerek kalmadan bulunabilmiştir.
Bir diğer çalışmada Pinzon [22] girdap kafes yöntemini kullanarak kanat aerodinamik optimizasyonu yapmıştır. Bu çalışmada yatay uçuş hızında en yüksek taşıma kuvvetinin sürükleme kuvvetine oranını veren ve aynı zamanda maksimum yatay uçuş mesafesi ve minimum kanat ağırlığını veren kanat optimize edilmeye çalışılmıştır.
Saban ve diğ. [23] birbirlerine yakın mesafede olan hava araçlarının birbirleri ile etkileşimlerini incelemiştir. Bu etkileşim öndeki aracın yaratmış olduğu iz bölgesinden kaynaklanmakta olup hava alanı kalkışları veya havada yakıt ikmali gibi durumlarda istenmemektedir. Fakat Saban ve ekibi çalışmalarında bu durumun
7
avantajlarından faydalanmak istemektedirler. Bu avantaj ise iz bölgesi yardımı ile arkadaki araçta oluşan indüklenmiş sürükleme kuvvetini azaltmaktır. Böylece yakıt tasarrufu sağlamak ve gidilebilecek maksimum mesafeyi attırmak hedeflenmektedir. Bu yol ile NASA Dytran Uçuş Merkezinde gösterilmiştir ki % 18’e kadar yakıt tasarrufu sağlamak mümkündür.
Girdap kafes yönteminin havacılık uygulamalarından farklı olarak Fluck ve diğ. [24] yat tasarımı için denizcilik uygulamalarında kullanmışlardır. Denizcilik uygulamalarında yazılan Girdap kafes yöntemiyle ilgili yazılımların testi için genellikle kuvvet ölçümüne dayalı rüzgar tüneli verileri kullanılmaktadır. Fakat kuvvet ölçümü verileri basınç ölçümü verileri kadar detaylı bilgi verememektedirler. Deniz yüzeyi etkilerini de modellemek için genellikle ayna yüzeyi kullanılmaktadır ve bu ayna yüzeyinin yeri sonuçları büyük ölçüde değiştirmektedir. Yazılımı bu kadar detaylı test etmek için ise sadece basınç ölçüm verileri yeterli bilgi vermektedir. Bu çalışmada görülmüştür ki şu ana kadar bu alanda yazılan bir yazılımı test edecek kadar detaylı bir rüzgar tüneli basınç ölçüm verisi henüz yayınlanmamıştır. Bu çalışmada ise bu açığı kapatmak için yazılan girdap kafes yöntemi kodunu test edilebilmesini sağlayacak rüzgar tüneli basınç ölçümü verisi elde edilmiştir. Görülmüştür ki elde edilen rüzgar tüneli verileri ile girdap kafes yönteminden elde edilen veriler yüksek uyum göstermektedir.
1.3. Tezin Amacı
Bu tez çalışmasında Mellin’in [14] çalışmasına benzer olarak ses altı hızlarda ve akım ayrılması görülmeyen lineer bölgede aerodinamik kuvvetler ve momentleri hesaplayabilecek bir yazılım geliştirilmeye çalışılmıştır. Bu program vasıtası ile trapez üst görünümlü, ok açılı, dihedral açılı kanatlar simüle edilmeye çalışılacaktır. Yazılım aynı zamanda birden çok taşıma yüzeyini modelleyebilecek şekilde yazılmıştır. Bu sayede kanard-kanat ve kanat-kuyruk etkileşimlerini incelemek mümkün olmaktadır. Birden çok taşıma yüzeyi modellenebildiği için yine Rossow [12]’un ve Saban ve diğ. [23] ‘nın çalışmalarına benzer olarak farklı uçakların birbirleriyle etkileşimlerini incelemek mümkün olacaktır.
9
2. SONLU KANATLAR İÇİN MATEMATİKSEL PROBLEM, KLASİK ÇÖZÜM TEKNİKLERİ, GİRDAP KAFES YÖNTEMİ
2.1. Matematiksel Problem
Vizkoz etkilerin ihmal edildiği düşük hızlı akım halinde bir kanat etrafındaki akımın sıkıştırılamaz, potansiyel olduğu ve bu akımın daimi halde potansiyel fonksiyonu için yazılan;
0 2
(2.1)
Laplace denklemi ile modellenebileceği bilinmektedir. Sonlu kanat probleminde bu denklemin çözümü sırasında uygulanacak sınır koşulları yüzey üzerinde akımın yüzeye teğet olması, yani, diğer bir deyişle yüzeye dik hız bileşeni olmaması;
0
n (2.2)
ve kanadın çok uzaklarında potansiyel fonksiyonun değerinin serbest akım koşullarında olması,
(2.3)
şeklindedir. (2.1) denkleminin (2.2) ve (2.3) sınır koşullarıyla çözümü sonucu elde edilen f potansiyel fonksiyonu türetilerek
V (2.4) şeklinde hız vektörü ve 2 2 1 V V cp (2.5)
şeklinde de basınç katsayıları elde edilebilir. Akım içerisinde yer alan bir cismin yüzeyi üzerinde bu şekilde elde edilen basınç katsayıları yüzey boyunca integre edilerek cisme etkiyen aerodinamik kuvvet ve momentler bulunur.
10
(2.1) denkleminin çözümünde kullanılan çeşitli yöntemler vardır. Bunlardan en popüler olanlar Prandtl taşıyıcı çizgi yöntemi ve bunun türevleri ile girdap kafes yöntemini ve çeşitli panel yöntemlerini saymak mümkündür.
2.2. Prandtl Taşıyıcı Çizgi Yöntemi
Sonlu kanat probleminin çözümü için geçmişte en çok uygulanan yöntem Prandlt taşıyıcı çizgi yöntemi olup, bu yöntemde kanat ve oluşturduğu kaçma girdabı sistemi, Şekil 2.1a da gösterildiği gibi üniform paralel akım içerisinde yer alan bir atnalı girdabı sistemi ile modellenmektedir. Bu modelde sonsuz sayıda atnalı girdabının Şekil 2.1b de gösterildiği gibi ön kolları kanat açıklığı boyunca bir çizgi üzerinde çakışacak şekilde yer aldığı varsayılmaktadır.
(a) (b)
x y
V V
Şekil 2.1 : Sonlu kanat için atnalı girdap modeli.
Böylece kanat şekildeki y ekseni üzerinde yer alan bir girdap çizgisi ile temsil edilmekte, bu çizginin geriye doğru dallanan kolları ise (atnalı girdabının yan kolları) kanat gerisindeki kaçma girdaplarını modellemektedir.
Taşıyıcı çizgi modelinin tüm ayrıntılarını çeşitli aerodinamik kitaplarında bulmak mümkündür. [25-29]. Bu model yardımıyla kanada etkiyen taşıma ve indüklenmiş sürükleme kuvvetleri sırasıyla;
s s y dy V L ( ) (2.6) s s i w y y dy D ( ) ( ) (2.7)
11
şeklinde hesaplanır. Buradaki (y) kanat açıklığı boyunca kesit sirkülasyonlarını,
w(y) yine kanat açıklığı boyunca aşağı sapma hızlarını, s kanadın yarı açıklığını
belirtmektedir. Aşağı sapma hızları için, Biot-Savart kanunu yardımıyla;
s s y y dy dy d y w 1 1 / 4 1 ) ( (2.8)
şeklinde bir bağıntı yazmak mümkündür.
(2.6)-(2.8) bağıntılarındaki integralleri hesaplayabilmek için kanat açıklığı boyunca (y) sirkülasyon dağılımının bilinmesi gerekir. Oysa bu değişken problemin asıl bilinmeyenlerinden birisidir. Kanat açıklığı boyunca sirkülasyonun nasıl bir değişim göstereceğini ise kanadın genel geometrisi ve serbest akım hızına göre yönelimi ( hücum açısı) belirler. Genel bir çözüm tekniği olarak kanat açıklığı boyunca sirkülasyon dağılımı; 1 sin 4 ) ( n n n A sV (2.9)
şeklinde bir Fourier serisi ile temsil edilerek kanadın herhangi bir kesiti etrafındaki koşullardan hareketle s c a n A n n n 8 , ) ( sin sin 1 0 1 (2.10)
denklemi elde edilir. Burada a (y), c(y), (y), 0(y) kanadın açıklığı boyunca
denklemin yazıldığı y istasyonundaki kesit profilinin sırasıyla iki-boyutlu taşıma eğrisi eğimini, veter uzunluğunu, lokal hücum açısını ve sıfır taşıma hücum açısını göstermektedir. Ayrıca açısı da bu kesitin konumunu açısal bir koordinat sisteminde gösteren bir parametre olup y koordinatına
cos
s
y (2.11)
şeklinde bağlıdır.
(2.5) denkleminde bilinmeyenler Fourier serisinin An katsayıları olup, pratikte bu denklemin çözümü için öncelikle Fourier serisinde kaç adet terim alınacağına karar
12
verilir. Daha sonra kanat açıklığı boyunca katsayılar sayısınca kesitte bu denklem bir kez yazılarak elde edilen lineer denklem takımı çözülür. An Fourier katsayıları elde edildikten sonra kanadın taşıma ve indüklenmiş sürükleme katsayıları sırasıyla
1 A R A CL (2.12) 2 2 1 2 ) / ( , ) 1 ( n n L Di n A A R A C C (2.13) şeklinde hesaplanır.
Bu tez çalışmasında Prandtl taşıyıcı çizgi yöntemi, çalışmanın esasını teşkil eden girdap kafes yöntemine ait formülasyonun ve geliştirilen bilgisayar programının test çalışmalarında kullanılmıştır.
2.3. Sayısal Taşıyıcı Çizgi Yöntemi
Sayısal taşıyıcı çizgi modelinde Prandtl taşıyıcı çizgi modelinden farklı olarak sonsuz sayıda değil sonlu sayıda girdap elemanı kullanılmaktadır. Ayrıca atnalı girdap elemanları Prandtl taşıyıcı çizgi modelinde olduğu gibi üst üst binerek değil de Şekil 2.2 de gösterildiği üzere kanat açıklığı boyunca tek sıra halde yan yana dizilmektedirler. Yani kanat, açıklık boyunca küçük panellere ayrılarak her bir panel üzerine bir at nalı girdabı yerleştirilmektedir.
V∞
z y
x
13
Burada atnalı girdaplarının şiddetleri problemin bilinmeyenleri olup, panel sayısınca bilinmeyen mevcuttur. Bu bilinmeyenlerin değerleri her bir panel üzerinde yer alan bir kontrol noktasında yüzey sınır koşulu uygulanmak suretiyle elde edilen bir denklem takımı çözülerek bulunmaktadır.
2.4. Girdap Kafes Yöntemi
Gerek Prandtl taşıyıcı çizgi modelinde, gerekse sayısal taşıyıcı çizgi modelinde atnalı girdaplarının ön kolları daima çeyrek veter çizgisi üzerinde yer almaktadır. Kanat çeyrek veter çizgisi üzerinde yer alan bir çizgi (taşıyıcı çizgi) ile temsil edildiğinden taşıma ve indüklenmiş sürükleme kuvvetlerinin de bu çizgi üzerinde oluştuğu kabul edilmekte, böylece veter boyunca taşıma ve sürükleme dağılımı dikkate alınmamaktadır. Bu model ayrıca yunuslama momenti hakkında da bilgi vermemektedir. Bu zaafları gidermenin bir yolu kanadı Şekil 2.3 de gösterildiği gibi veter boyunca da küçük parçalara (panel) ayırarak her bir panel üzerine ayrı bir atnalı girdabı yerleştirmektir. Bu şekildeki uygulamalar literatürde Girdap Kafes Yöntemi (Vortex Lattice Method) olarak bilinmektedir.
V∞ α J=1 J=2 J=NJ i=1 i=2 i=NI
14
Girdap kafes yönteminde her bir panel üzerinde yer alan atnalı girdabının şiddeti bir bilinmeyen olup, açıklık boyunca panel sayısı NJ ve veter doğrultusunda panel sayısı NI olmak üzere toplam NI NJ adet bilinmeyen bulunmaktadır. Bu bilinmeyenler her bir panel üzerinde seçilen bir kontrol noktasında yüzey sınır koşulu yazılarak elde edilen denklem sistemi çözülmek suretiyle elde edilmektedir.
Bu çalışmada birden fazla taşıyıcı yüzeyin yer aldığı taşıyıcı sistemlerin analizi amaçlandığından girdap kafes yönteminin ayrıntıları bu bölümde incelenmeyecek olup, izleyen bölüme bırakılmıştır.
15
3. ÇOK ELEMANLI BİR TAŞIYICI YÜZEY SİSTEMİNDE GİRDAP KAFES YÖNTEMİNİN UYGULANMASI
3.1. Giriş
Uçak ve benzeri hava araçları üzerinde kanat, kuyruk ve benzeri bazı taşıyıcı yüzeyler tasarım sonucu seçilen bir yerleşme düzeninde birlikte çalışarak uçağın taşıma kuvvetini ve diğer kuvvet ve momentleri yaratırlar. Bazen bu yüzeyler, sivrilme, ok açısı, dihedral açısı, winglet vb gibi uygulamalarla daha karmaşık hale gelebilir. Öyle ki bunları taşıyıcı çizgi modeli gibi basit bir yöntemle hesaplamak imkansız hale gelir. Oysa girdap kafes yöntemiyle bütün bu karmaşıklıklara rağmen çok elemanlı bir taşıyıcı yüzey sisteminin aerodinamik analizini gerçekleştirmek mümkündür. Bu bölümde çok elemanlı bir taşıyıcı yüzey sistemi için girdap kafes yönteminin uygulanmasına yönelik formülasyon geliştirilecektir.
3.2. Çok Elemanlı Taşıyıcı Yüzey Sisteminde Paneller ve Atnalı Girdapları
Çok elemanlı bir taşıyıcı yüzey sisteminde Şekil 3.1 de gösterildiği gibi NW adet taşıyıcı yüzey bulunduğunu varsayalım. Bu elemanların her birinin yine Şekil 3.1 de gösterildiği gibi veter doğrultusunda NI(k) adet ve açıklık doğrultusunda da NJ(k) adet panele ayrıldığını düşünelim. Girdap kafes yöntemi gereği her bir panel üzerinde ön kolu panelin çeyrek veter çizgisi üzerinde yer alan ve yan kolları da panel kenarları boyunca geriye firar kenarına kadar gittikten sonra burada bükülerek serbest akım doğrultusunda sonsuza giden birer atnalı girdabı yer alacaktır. Şekilde
k=2 taşıyıcı yüzeyi üzerinde i=3, j=3 paneline bağlı atnalı girdabı bir örnek olarak
gösterilmiştir.
3.3. Yüzey Üzerindeki Sınır Koşulu, Lineer Denklem Takımı
Taşıyıcı yüzey sisteminde yer alan her bir eleman üzerindeki her bir panele yerleştirilmiş olan atnalı girdabının şiddeti problemin bir bilinmeyenidir. Daha önce
16
de belirtildiği gibi bu bilinmeyenleri çözmek için yüzey üzerindeki sınır koşulundan yararlanılır. Yüzey üzerindeki sınır koşulu akımın yüzeyi teğet olarak izlemesi
V∞ k=1 k=2 k=3 NJ(1) NI(1) NJ(2) NI(2) k=4 k=7 k=6 k=5 (3,3,2) paneline bağlı atnalı girdabı
Şekil 3.1 : Çok elemanlı taşıyıcı yüzey sistemi.
şeklinde olup, bu sınır koşulu akımın yüzeye dik bir hız bileşeninin olmayacağı şeklinde de ifade edilebilir.
Buna göre Şekil 3.2 deki gibi bir taşıyıcı yüzey sistemindeki kC indisli yüzeyin herhangi bir panelinin kontrol noktası (iC,jC,kc) indisiyle belirtilmek üzere bu kontrol noktasındaki yüzey sınır koşulu
0 ) ( , , , , c c c c c c j k i j k i ind n V v n V (3.14)
şeklinde ifade edilebilir. Burada
c c
c j k
i ind
v , , , sistemde yer alan tüm atnalı girdaplarının
bu kontrol noktasında indükledikleri hızlar toplamını,
c c c j k i n , ,
ise bu panelin birimi normal vektörünün temsil etmektedir. Görüldüğü gibi bu sınır koşulunun uygulanabilmesi için taşıyıcı yüzeyler üzerindeki her bir panelin birim normal vektörlerinin önceden hesaplanmış olması gerekmektedir. Bu konu geometriyle ilgili kısımda izah edilecektir.
17
kC kontrol noktasını içeren
yüzey . . . k=1 (ic,jc,kc) kontrol noktası . . .
kV atnalı girdabını iceren
yüzey (iV,jV,kV) paneline bağlı atnalı girdabı k=NW k=kC k=kV Vn=0
Şekil 3.2 : Çok elemanlı taşıyıcı yüzey sisteminde atnalı girdaplarının
ve kontrol noktalarının indisleri. Ayrıca c c c j k i ind
v , , toplam indüklenmiş hızını bulmak için taşıyıcı yüzey sisteminde yer alan her bir atnalı girdabının kontrol noktası üzerinde indükledikleri hızların hesaplanarak toplanması gerekmektedir. Buna göre herhangi bir kV indisli taşıyıcı yüzey üzerinde (iV,jV,kV) indisli panele bağlı atnalı girdabının indüklemesi
) , , ( ) , , (ic jckc ,iV jVkV v olmak üzere NW k k NI i k NJ j k j i k j i k j i ind V V V V V V V V c c c c c c v v 1 ) ( 1 ) ( 1 ) , , ( ) , , ( , , , (3.15)
şeklinde hesaplanabilir. Bu durumda (3.1) denklemi her bir kontrol noktasında ayrı ayrı bir kez yazılarak aşağıdaki denklem sistemi elde edilir:
) ( , 1 ) ( , 1 , 1 , , , 1 ) ( 1 ) ( 1 , , ) , , ( ) , , ( C C C C C k j i NW k k NI i k NJ j k j i k j i k j i k NJ j k NI i NW k n V n v c c c V V V V V c c c V V V c c c (3.16)
18 i N j j ij R A 1 (3.17)
şeklinde ifade etmek mümkündür. Burada
NW k V V V k k C C C k k k NJ k NI N j k NJ i k NJ k NI j j k NJ i k NJ k NI i V C 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( (3.18)
olup Aij katsayısı j indisli atnalı girdabının birim şiddette olmak kaydıyla i indisli
kontrol noktasında yüzeye dik doğrultuda indüklediği hızı belirtmektedir:
c c c V V V c c c j k i j k i j k i j ij v n A ( , , ),( , , ) , , (3.19) Ayrıca c c c j k i i V n R , , (3.20)
ve j de j indisli atnalı girdabının aranan şiddetidir. (3.3) denklem sistemi Aij ve Ri
katsayıları hesaplandıktan sonra Gauss eliminasyon yöntemi kullanılarak j için
kolaylıkla çözülebilir.
(3.3) denklem takımının oluşturulabilmesi için şimdi herhangi bir atnalı girdabının herhangi bir kontrol noktasındaki indüklemesi olan v(ic,jc,kc),(iV,jV,kV)
büyüklüğünün hesaplanması gerekmektedir.
3.4. Atnalı Girdabının Bir Kontrol Noktasındaki İndüklemesinin Hesaplanması
Taşıyıcı yüzey sistemindeki kV indisli yüzey elemanının (iV,jV,kV) indisli paneline bağlı atnalı girdabının kC indisli yüzey elemanının (iC,jC,kC) indisli kontrol noktasında indüklediği hızı hesaplamak için atnalı girdabının çeşitli parçalarının Şekil 3.3 de gösterildiği gibi numaralandırıldığını düşünelim. Buna göre indükleme hızı 5 4 3 2 1 ) , , ( ) , , ( , v v v v v v V V V c c c j k i j k i (3.21)
19 z y x V(ic,jc,kc), (iv,jv,kv) kv yüzeyi (iC,jC,kC) kontrol noktası (iv,jv,kv) atnalı girdabı 1 2 3 4 5 kC yüzeyi
Şekil 3.3 : Bir atnalı girdabının parçaları.
şeklinde küçük girdap parçalarının indüklemelerinin toplamı olarak yazmak mümkündür. Buradaki her bir küçük girdap parçasının indüklemesi Biot-Savart kanunun yardımıyla hesaplanabilir.
3.5. Bir Girdap Parçasının İndüklemesinin Biot-Savart Yasası İle Hesaplanması
Bir akım alanı içerisinde yer alan bir çizgisel girdabın herhangi bir noktada indüklediği hız vektörünü hesaplamak için manyetik alanların hesaplanmasında kullanılan Biot-Savart kanunundan yararlanılır. Burada kanunun ayrıntısına girilmeyecek sadece sonucundan uygulamada nasıl yararlanılacağı izah edilecektir. Şekil 3.4 de gösterildiği gibi akım alanının P1(x1, y1, z1) ve P2(x2, y2, z2) gibi iki
noktası arasında yer alan şiddetindeki bir girdabın bir P(xP, yP, zP) noktasında indüklediği hız için 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 r r r r V r 4 r r r r (3.22)
20 z y x P(xP,yP,zP) P1(x1,y1,z1) P2(x2,y2,z2) r1 r0 r2
Şekil 3.4 : Doğru parçası şeklindeki bir çizgisel girdabın indüklemesi.
yazılabilir [Katz-Plotkin, 1991]. Buna göre (3.8) bağıntısı vasıtasıyla atnalı girdabının indüklemesi hesaplanırken sırasıyla girdabın her bir parçası için başlangıç ve bitim noktalarının koordinatları belirlendikten sonra (3.9) bağıntısı uygulanacak ve herbir parça için elde edilen sonuçlar (3.8) bağıntısı gereği olarak toplanacaktır. (3.9) bağıntısının uygulanmasında aşağıdaki yol izlenmektedir:
1- r1 r2 vektörel çarpımının ve mutlak değerinin hesaplanması:
1 P1 P1 P1 2 P2 P2 P2 r x i y j z k r x i y j z k (3.23) , , , , P1 P 1 P1 P 1 P1 P 1 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 x x x y y y z z z x x x y y y z z z (3.24)
olmak üzere vektörel çarpım
1 2 P1 P1 P1 v v v P2 P2 P2 i j k r r x y z x i y j z k x y z (3.25)
şeklinde düzenlenebilir. Burada
v P1 P2 P1 P2 v P1 P2 P1 P2 v P1 P2 P1 P2 x y z z y y z x x z z x y y x (3.26)
21 2 2 2 1 2 v v v v r r x y z (3.27) şeklinde hesaplanır. 2- r1 ve r2 uzaklıkları, 2 2 2 1 1 P1 P1 P1 2 2 2 2 2 P 2 P 2 P 2 r x y z r x y z (3.28)
3- Skaler çarpımların hesaplanması
, 0 12 12 12 r x i y j z k (3.29) , , 12 2 1 12 2 1 12 2 1 x x x y y y z z z (3.30) 0 1 0 2 1 2 0 01 02 1 2 1 2 r r r r r r s r s s r r r r (3.31) olmak üzere 0 1 12 P1 12 P1 12 P1 01 1 1 0 2 12 P2 12 P2 12 P2 02 2 2 r r x x y y z z s r r r x x y y z z s r (3.32)
4- Böylece indüklenmiş hız vektörü
12 V u i v j w k (3.33) olmak üzere , , , v v v 2 2 2 v v v x s y s z s u v u 4 4 4 (3.34) elde edilir.
22
NOT: P noktası girdap çizgisinin üzerinde ise tekillik söz konusu olup bu durumun kontrol edilmesi ve girdap çizgisinin çok yakınında özel bir uygulama yapılması gerekmektedir. Sayısal hesaplamada bu yakınlık yarıçaplı bir bölge ile tayin edilir. Yani
, ,
1 2 1 2
r r r r
olması durumlarına bakılır. Bu durum gerçekleşiyorsa üç hız bileşeni için de
u v w 0
alınır [25,26].
3.6. Aerodinamik Katsayıların Hesaplanması
Taşıyıcı yüzey sistemine etkiyen aerodinamik kuvvet Joukowsy taşıma kanunu yardımıyla hesaplanabilir. Bu amaçla, Şekil 3.5 de gösterildiği gibi taşıyıcı yüzey elemanlarından k indisli birisi üzerindeki (i,j,k) indisli panel çeyrek veter çizgisinde yer alan bağlı girdabı göz önüne alalım. Bu bağlı girdabın şiddeti i,j,k ve Mi,j,k
(xM,i,j,k,yM,i,j,k,zM,i,j,k) orta noktasında bileşke akım hızı Vi,j,k V VInd,(i,j,k)
olmak üzere etkiyen aerodinamik kuvvet Joukowsky taşıma kanunu yardımıyla
) ( ,, , , , , , ,jk i jk i jk i jk i V s F (3.35) k=1 k k =NW z y x Fz Fx Fy
.
.
.
i,j,k Fi,j,k V.
.
.
23
şeklinde hesaplanabilir. Bütün taşıyıcı yüzey elemanlarının tüm panellerine etkiyen kuvvetler toplanarak sisteme etkiyen bileşke aerodinamik kuvvet için
NW k k NI i k NJ j k j i F F 1 ) ( 1 ) ( 1 , , (3.36) yazılabilir.
(3.11) bağıntısıyla elde edilen aerodinamik kuvvetin bileşenleri gövdeye bağlı eksen takımında eksenler doğrultusundaki kuvvetleri verecektir. Oysa bizi ilgilendiren kuvvet bileşenleri taşıma ve indüklenmiş sürüklemedir. Bu bileşenleri elde etmek için (3.11) bağıntısıyla tanımlanan kuvvet vektörünü serbest akım hızına bağlı bir eksen takımına aktarmak gerekir.
Serbest akımın Şekil 3.6 da gösterildiği gibi taşıyıcı yüzey sistemine ait bir x-z düzlemi içerisinde x ekseni ile bir açısı yaptığını varsayalım. Serbest akım yani sürükleme doğrultusundaki eksen xD ve buna dik yani taşıma doğrultusundaki eksen
de xL olsun. Bu eksenler doğrultusundaki birim vektörleri sırasıyla eD
ve eL olarak adlandıralım. Bu durumda aerodinamik taşıma ve indüklenmiş sürükleme kuvvetleri için L D e F L e F D (3.37) V xD xL x y eD eL
Şekil 3.6 : Serbest akıma bağlı eksen takımı.
yazılabilir. Buradaki birim vektörler için
j e i e
24 sin cos , , z D x D e e cos sin , , z L x L e e (3.39) olacağı gösterilebilir.
Aerodinamik kuvvetler bu şekilde elde edildikten sonra taşıma ve indüklenmiş sürükleme katsayıları sırasıyla
ref D S q D C (3.40) ref L S q L C (3.41)
şeklinde elde edilir. Burada q serbest akımın dinamik basıncıdır. Sref ise bir referans
alan olup, uçaklarla ilgili uygulamalarda genel olarak kanadın üst görünüm alanıdır.
3.7. Taşıyıcı Yüzey Sisteminin Geometrisi
Buradaki çalışma esas itibariyle uçakların taşıyıcı yüzeylerinin aerodinamik incelenmesine yönelik olup, bu bakımdan inceleme için en uygun eksen takımının uçağa bağlı olacağı değerlendirilmektedir. Ancak herhangi bir taşıyıcı yüzey geometrisinin kendine bağlı özel bir eksen takımında oluşturulması daima daha kolaydır.
Buna göre Şekil 3.5 de gösterildiği gibi uçağın gövde eksenine ve burnuna bağlı bir (x,y,z) eksen takımı ile taşıyıcı yüzey elemanlarından herhangi biri üzerinde kök kesit veteri ve hücum kenarına bağlı bir (xP,yP,zP) eksen takımını göz önüne alalım. Taşıyıcı yüzey elemanına ait eksen takımı başlangıç noktasının gövdeye bağlı eksen takımında Ok(x0,k,y0,k,z0,k) noktasında yer aldığını varsayalım. Bu durumda taşıyıcı yüzey elemanı üzerinde bu elemana bağlı eksen takımında P(xP,yP,zP) şeklinde tanımlanan herhangi bir noktanın koordinatları gövdeye bağlı eksen takımına
P P P z z z y y y x x x 0 0 0 (3.42) şeklinde aktarılabilir.
