T.C.
GAZİOSMANPAŞA ÜNİVERSİTESİ
Bilimsel Araştırma Projeleri Komisyonu
Sonuç Raporu
Proje No: 2009/10
FARKLI AKI DĠNAMĠĞĠ ETKĠLERĠ ĠÇĠN YÜKSEK SICAKLIK SÜPERĠLETKENLERĠN MĠKRODALGA YÜZEY DĠRENCĠNĠN MODELLENMESĠ
Proje Yöneticisi Doç. Dr. Uğur KÖLEMEN
Birimi Fizik
Araştırmacılar ve Birimleri
Doç. Dr. Fedai ĠNANIR Fizik AraĢ. Gör. ġükrü YILDIZ Fizik
ÖZET
FARKLI AKI DĠNAMĠĞĠ ETKĠLERĠ ĠÇĠN YÜKSEK SICAKLIK SÜPERĠLETKENLERĠN MĠKRODALGA YÜZEY DĠRENCĠNĠN
MODELLENMESĠ(*)
Bu projenin amacı; kritik hal modelleri çerçevesinde farklı akı dinamiği etkilerini dikkate alarak II. tip süperiletkenlerin mikrodalga yüzey direncini ayrıntılı bir Ģekilde incelemektir.
Bu projenin birinci ve ikinci bölümünde, üçüncü bölümün bilimsel alt yapısı için gerekli olan, süperiletkenlikle ilgili temel kavramlar ve II. tip süperiletkenlerin elektrodinamik özellikleri ile ilgili geniĢ bir literatür araĢtırması ve hesaplamalarda kullanılan yöntemler sunulmuĢtur.
Projenin üçüncü bölümü, akı dinamiği etkileri bakımından dört ana kısma ayrılmıĢtır. Birinci kısımda Meissner akımının II. tip süperiletkenlerin mikrodalga yüzey direnci üzerine etkisi incelenmiĢtir. Yüzeyde dolanan Meissner akımını içerecek Ģekilde genel üs yasası ve eksponansiyel modeller modifiye edilmiĢ ve farklı parametreler için mikrodalga yüzey direnci eğrileri çizdirilmiĢtir. Seçilen parametrelerin eğrilerin biçimini nasıl etkileyeceği de sunulmuĢtur. Ġkinci kısımda, farklı soğutma iĢleminden sonra eksponansiyel bir kritik akım yoğunluğu göz önüne alınıp dıĢ manyetik alan ve/veya geçirilen akım arttırılarak mikrodalga yüzey direnci eğrileri elde edilmiĢtir. Üçüncü kısımda, akı sürüklenmesi etkisi göz önünde bulundurularak mikrodalga yüzey direnci hesaplanmıĢtır. DeğiĢken bir dıĢ manyetik alan altında değiĢik çivilenme parametreleri için elde edilen kalıcı mikrodalga yüzey direncinin frekansla ve gevĢeme zamanı ile değiĢimleri incelenmiĢtir. Dördüncü kısımda ise mikrodalga yüzey direncinin sıcaklık bağlılığında ortaya çıkan tuhaf pik etkisi rapor edilmiĢtir. Bu pik etkisinin açıklanması için kritik akım yoğunluğunun sıcaklık bağlılığı üzerine bir model önerilmiĢ ve yüzey direnci pikinin büyüklüğünün, geniĢliğinin ve pozisyonunun sıcaklığa bağlılığını açıklamak için modele üç deneysel parametre eklenmiĢtir. Teorik modelden elde edilen sonuçlar, DyBaCuO süperiletkenin için literatürde yayınlanan deneysel verileri yeniden türetmek için kullanılmıĢtır.
2011, 113 Sayfa
Anahtar Kelimeler: Mikrodalga yüzey direnci, Kritik hal modelleri, II. tip süperiletkenler, Meissner Akımı, Geçen DC akım, Akı Sürüklenmesi, Pik Etkisi.
(*) Bu proje, GaziosmanpaĢa Üniversitesi Bilimsel AraĢtırma Projeleri Komisyonu tarafından desteklenmiĢtir (Proje No: 2009/10)
ABSTRACT
MODELLING of MICROWAVE SURFACE RESISTANCE of TYPE II SUPERCONDUCTORS for DIFFERENT FLUX DYNAMICS EFFECTS
The purpose of this project is to comprehensively investigate the microwave surface resistance of type II superconductors by considering different flux dynamics effects in framework of critical-state models.
In the first and second chapters, procedures used in calculations and extensive literature investigation relating to the basic concepts of superconductivity and electrodynamics properties of type II superconductor necessary for the scientific background of the third chapter was introduced.
The third chapter was divided into four sections based on the flux dynamic effects. In the first section, the influence of Meissner current on the microwave surface resistance of type II superconductors was investigated. General power-law and exponential models were modified to include Meissner current circulating on the surface of superconductor and the microwave surface resistance curves were drawn for different parameters used in the modified models. How the selected parameters would affect the shape of the curves was also presented. In the second section, microwave surface resistance curves were obtained by increasing the external magnetic field and/or transport current after different cooling processes with considering exponential critical current density. In the third section, microwave surface resistance was calculated by considering flux creep effect. Under an alternating external magnetic field, variation of remnant microwave surface resistance obtained for different pinning parameters was examined with frequency and relaxation time. In the fourth section, anomalous peak effect appeared in temperature dependency of microwave surface resistance was reported. In order to explain this peak effect, a model on the temperature dependency of critical current density was suggested and three empirical parameters were added to this model to explain the temperature dependent amplitude, width and position of the surface resistance peaks. Results obtained from the theoretical model were used to reproduce microwave surface resistance measurements on DyBaCuO superconductor presented in the literature.
2011- 113 Pages
Keywords: Microwave surface resistance, Critical state models, Type II superconductors, Meissner current, DC transport current, Flux creep, Peak effect.
ÖNSÖZ
Projenin yürütülmesi esnasında gösterdiği özverili çalıĢmalar dolayısıyla projede görev alan değerli meslektaĢım yardımcı araĢtırmacı Doç. Dr. Fedai ĠNANIR ’a en içten teĢekkürlerimi sunarım. Yine projede yardımcı araĢtırmacı olarak görev alan AraĢ. Gör. ġükrü YILDIZ ’a da teĢekkür ederim.
Projemizin desteklenerek hayata geçmesini sağlayan Bilimsel AraĢtırma Projeleri Komisyonuna teĢekkürü bir borç bilirim. Ayrıca, projenin bütçe harcamalarında ve gerekli diğer hususlarda yakın ilgi ve alakalarından dolayı Bilimsel AraĢtırma Projeleri personeline teĢekkür ederim.
Proje Yürütücüsü Doç. Dr. Uğur KÖLEMEN
İÇİNDEKİLER ÖZET ... i ABSTRACT ... ii ÖNSÖZ…….………... iii ĠÇĠNDEKĠLER ...………... iv SĠMGE ve KISALTMALAR DĠZĠNĠ………..………..……….. vi
ġEKĠLLER LĠSTESĠ…...………... xiii
GİRİŞ………...…...…………. 1
1. SÜPERİLETKENLERİN TEMEL ÖZELLİKLERİ………. 4
1.1. London Denklemleri………...………...…….... 9
1.1.1 Meissner Etkisi ve London Girme Derinliği………..…………...…….. 11
1.2. Pippard EĢuyum Uzunluğu………..………….. 13
1.3. Süperiletkenlik Durumunun Enerji Kararlılığı……….……… 15
1.4. Ginzburg-Landau Teorisi……….…………. 16
1.4.1. Süperiletken-Normal (S-N) Ara Yüzeyindeki Yüzey Enerjisi….….…………... 20
1.5. Anizotropik Ginzburg Landaau Teorisi……….…………... 21
1.6. BCS Teorisinin Ana Hatları……….……….… 22
1.7. Girdap Örgüsünün Özellikleri………..…………. 26 1.7.1. Girdap Örgüsü………..……….. 26 1.7.2. Abrikosov Örgüsü………..………… 26 1.7.3. Çivilenme Merkezleri………..………... 28 1.7.4. Kritik Hal………..………….. 29 1.8. Tersinmezlik Çizgisi………..……… 33
1.9. Manyetik GevĢeme ve Girdap Hareketleri………..……….. 35
1.9.1. Akı Sürüklenmesi………...……. 35
1.9.2. Akı AkıĢı………... 37
1.10. Süperiletkenlerin Elektrodinamiği………...…... 39
1.10.1. Meissner durumundaki elektrodinamikler………..….. 40
1.10.2.1. Gittleman-Rosenblum Modeli ………....………. 43
1.10.2.2. Coffey ve Clem Modeli ………..………..………... 46
1.10.3. Yüzey Empedansı ………..……….….…... 51
1.10.3.1. Meissner Durumundaki Süperiletkende Yüzey Empedansı …………... 52
1.10.3.2. KarıĢık Durumdaki Süperiletkendeki Yüzey Empedansı ………….….…... 2. MATERYAL ve YÖNTEM ………..……… 55 59 2.1. Mikrodalga Yüzey Direnci Üzerine Kritik Hal Etkisi ………... 59
3. YAPILAN ÇALIŞMALAR VE BULGULAR……….……… 62
3.1. Yüksek Sıcaklık Süperiletkenlerinde Mikrodalga Yüzey Direnci Üzerine Meissner Akımının Etkisi………... 62 3.1.1. Modellemenin Temel Çerçevesi………...….. 64
3.1.2. Meissner Akımı Etkisini Ġçeren Mikrodalga Yüzey Direnci Analizi………....… 67
3.2. Mikrodalga Yüzey Direnci Üzerine Geçirilen Akımının Etkisi ……….…..… 76
3.2.1. SAS ĠĢleminden Sonra Yalnızca DC Akım Geçirilen Süperiletkenin Mikrodalga Yüzey Direnci Hesabı ………...………. 76
3.2.2. AS ĠĢleminden Sonra Yalnızca DC Akım Geçirilen Süperiletkenin Mikrodalga Yüzey Direnci Hesabı ………...………. 81 3.2.3. SAS ĠĢleminden Sonra Uygulanan DıĢ Manyetik Alan ile Birlikte Geçirilen DC Akımın Mikrodalga Yüzey Direnci Hesabı ………...…… 83 3.2.4. Mikrodalga Yüzey Direnci Üzerine Geçirilen Akımının Etkisinin Analizi …... 86
3.3. Mikrodalga Yüzey Direnci Üzerine Akı Sürüklenmesi Etkisi………... 88
3.3.1. II. Tip Süperiletkenlerin Mikrodalga Yüzey Direnci Üzerine Akı Sürüklenmesinin Etkisinin Analizi……….. 89 3.4. II. Tip Süperiletkenlerin Mikrodalga Yüzey Direnci Üzerine Pik Etkisi………… 94
3.4.1. II. Tip Süperiletkenlerin Mikrodalga Yüzey Direncideki Pik Etkisinin Analizi……….. 95 3.4.2. Deneysel Verilerle KarĢılaĢtırma……….. 99
4. Sonuçlar ve Tartışma…...……….. 101
SİMGE ve KISALTMALAR DİZİNİ
Simgeler Açıklama
B Manyetik akı yoğunluğu
D Numune geniĢliği
E Elektrik Alan
-e Elektronun yükü
FL Lorentz kuvveti
H* Tam nüfuz alanı
Hc Kritik manyetik alan
Hc1 Alt kritik manyetik alan
Hc2 Üst kritik manyetik alan
HFC Soğutma alanı
Htmez Tersinmezlik alanı
IM Meissner yüzey akımı
IT Geçirilen akım
J Akım yoğunluğu
Jc Kritik akım yoğunluğu
Jn Normal yük taĢıyıcılarının akım yoğunluğu
Js Süperiletkenlik yük taĢıyıcılarının akım yoğunluğu
kB Boltzman sabiti
kp Potansiyel kuyusunun geri çağırıcı kuvvet sabiti
M Manyetizasyon
ɳ AkıĢkansı sürüklenme katsayısı
n Toplam yük taĢıyıcı yoğunluğu
nn Normal yük taĢıyıcı yoğunluğu
ns Süperiletkenlik yük taĢıyıcı yoğunluğu
p Çivilenme parametresi
Rn Normal durum yüzey direnci
Rs Yüzey direnci
Tc Kritik sıcaklık
U Engel enerjisi
Xs Yüzey reaktansı
Zs Yüzey empedansı
Δ Süperiletkenlik enerji aralığı
v
δ Kompleks deri kalınlığı
δ0 Klasik deri kalınlığı
κ Ginzburg-Landau parametresi
Kompleks girme derinliği
λ Girme derinliği
Λ London parametresi
λL London girme derinliği
μ0 BoĢluğun manyetik geçirgenliği
ξ Düzen parametresi
ρ Özdirenç
ρf Akı-akıĢ direnci
φ0 Manyetik akı kuantumu
χ Manyetik alınganlık
ψ Dalga fonksiyonu
ω0 Çivilenmenin bozulduğu frekans
Kısaltmalar Açıklama
AGLT Anizotropik Ginzburg-Landau teorisi
AS Alanlı soğutma
BCS Bardeen, Cooper ve Schrieffer
GL Ginzburg-Landau
SAS Sıfır Alanlı soğutma
S-N Süperiletken-Normal
ŞEKİLLER LİSTESİ
Şekil Sayfa ġekil 1.1. Hacimsel I. tip süperiletkenin manyetizasyon eğrisi 5 ġekil 1.2. Hacimsel II. tip süperiletkenin manyetizasyon eğrisi 6 ġekil 1.3. Bir girdaptaki süperelektron yoğunluğu, ns, ile yerel
manyetik alanın, h, radyal değiĢimi
6 ġekil 1.4. I. tip süperiletkenler için Hc(T) ’nin Ģematik gösterimi 7
ġekil 1.5. II. tip süperiletkenler için Hc1(T) ve Hc2(T) ’nin Ģematik
gösterimi
8 ġekil 1.6. II. tip süperiletkenlerin düĢük, orta ve yüksek Ģiddette maruz
kaldığı manyetik alan altındaki davranıĢlarının temsili
8 ġekil 1.7. London girme derinliğinin sıcaklık bağlılığı. , T = 0 K
’deki girme derinliğinin değeridir
13 ġekil 1.8. I. tip süperiletken ile normal metal ara yüzeyindeki manyetik
indüksiyon, B, ve süperelektron yoğunluğunun, ns uzaysal
değiĢimi
20
ġekil 1.9. (a) S-N ara yüzeyinde B ve ns ’nin uzaysal değiĢimine, (b)
serbest enerji yoğunluğunun ve (c) toplam serbest enerji yoğunluğunun katkısı
21
ġekil 1.10. Süperiletkendeki enerjinin (E) bir fonksiyonu olarak elektronların durum yoğunluğu (N(E)). EF Fermi enerjisini vurgulamaktadır. Taralı alan T = 0 K ’de iĢgal edilmiĢ durumları temsil etmektedir
24
ġekil 1.11. Abrikosov girdap örgüsü 27
ġekil 1.12. Çivilenmenin mevcut olduğu basit dengesiz girdap dağılımındaki geçen akım ve sürücü kuvveti
30 ġekil 1.13. DıĢ manyetik alana maruz kalan alansız soğutulmuĢ bir
süperiletken için Bean modelinden beklenen indüksiyon alanının ve akım yoğunluğunun (a) artan ve (b) azalan alanlar için profili
31
ġekil 1.14. YBa2Cu3O7 süperiletkeninin manyetik faz diyagramı 34 ġekil 1.15. Akı yığınlarının engeller üzerinden komĢu çivilenme
bölgelerine sıçramasının Ģematik gösterimi. DüĢey koordinat, akı yığınlarının merkezi konumlarının bir fonksiyonu olarak toplam serbest enerjinin göreceli değerini temsil etmektedir
36
ġekil 1.16. Frekansın bir fonksiyonu olarak alt kritik akımlar için karıĢık haldeki güç soğurması (Gittleman ve Rosenblum, 1966) 45 ġekil 1.17. Sıcaklığın bir fonksiyonu olarak iletkenliğin sanal ve gerçek
bileĢenleri
54 ġekil 1.18. Bir süperiletkenin yüzey empedansının dirençsel ve reaktif
bileĢenlerinin sıcaklık bağlılığı. T=0’da Rs=0’dır
54 ġekil 1.19. 15 GHz lik manyetik alandaki yüzey direnci, Rs, (a) ve yüzey
reaktansı, Xs, (b) için sıcaklık bağlılığı (Matsuda ve ark., 2002)
56 ġekil 1.20. 15 GHz’de H’ın taranarak ölçüldüğü yüzey direnci, Rs, (a) ve
yüzey reaktansı, Xs, (b) için alan bağlılığı (Matsuda ve ark.,
2002)
56
(0)
ġekil 1.21. Çivilenmeden kurtulma frekansının manyetik alana bağlılığı (Bonura ve ark.,2008)
57 ġekil 1.22. T = 81.2 K’de YBaCuO numunesindeki Rs’nin alan bağlılığı.
Kesikli çizgilerle gösterilen eğriler çivilenme rejimindeki girdap hareketi için beklenen davranıĢları; kesikli noktalı eğriler ise akı akıĢı rejiminden beklenen eğrileri vurgulamaktadır (Owliaei ve ark., 1992)
58
ġekil 3.1. Teorik yaklaĢım için kabul edilen süper iletken dilimin Ģematik çizimi
64 ġekil 3.2. Meisner akımlı alan dağılımının Ģematik çizimi. Meisner akımı
her zaman uygulanan alanı azaltıcı yönde etki eder
65 ġekil 3.3. ÇeĢitli n değerleri için Rs/Rn ’in uygulanan alana karĢı
davranıĢı. Kritik akım yoğunluğunun alan bağlılığı için genel üs yasası (Xu ve ark., 1990) kullanılmıĢtır. n=1 değeri Kim modelini temsil etmektedir. ġekil için Ģu parametreler kullanılmıĢtır: Bc2=3 Bp, T/Tc=0.5, λ0/δ0 = 0.01, B0=1 Bp,
Bc1=0.1 Bp, Bmaks=3 Bp, s=1, n=0.1, 1, 5, 10. Burada, Bmaks,
uygulanan alanın maksimum değeridir
68
ġekil 3.4. ÇeĢitli B0 değerleri için Rs/Rn ’in uygulanan alana karĢı
davranıĢı. Kritik akım yoğunluğunun alan bağlılığı için genel üs yasası (Xu ve ark., 1990) kullanılarak hesaplanmıĢ mikro dalga yüzey direnci. ġekil için Ģu parametreler kullanılmıĢtır: Bc2=3 Bp, T/Tc=0.5, λ0/δ0 = 0.01, n=1, s=1, Bc1=0.1 Bp,
Bmaks=3 Bp, B0=10 Bp, 1 Bp, 0.2 Bp, 0.1 Bp. Burada, n=1
kullanılarak kritik akım yoğunluğu için kullanılan denklem, Kim modeline indirgenmiĢtir. Ayrıca, yüzey direnci ekseni T=Tc ’deki yüzey direnci Rn ile normalize edilmiĢtir
69
ġekil 3.5. Farklı alt kritik alan Bc1, değerleri için mikrodalga yüzey
direncinin alan bağlılığı. Kritik akım yoğunluğunun alan bağlılığı için genel üs yasası (Xu ve ark., 1990) kullanılmıĢtır. ġekil için Ģu parametreler kullanılmıĢtır: Bc2=3 Bp, T/Tc=0.5,
λ0/δ0 = 0.01, B0=1 Bp, n=1, Bmaks=3 Bp, s=1, Bc1=0.01 Bp, 0.1
Bp, 0.25 Bp, 0.5 Bp
70
ġekil 3.6. Üst kritik alan değeri ile oranlandırılmıĢ farklı tam nüfuz alanı değerleri için elde edilen yüzey direnci eğrileri. Kritik akım yoğunluğunun alan bağlılığı için genel üs yasası (Xu ve ark., 1990) kullanılmıĢtır. ġekil için Ģu parametreler kullanılmıĢtır: T/Tc=0.5, λ0/δ0=0.01, B0=1 Bp, n=1, s=1, Bc1=0.1 Bp,
Bmaks=Bc2, Bp=Bc2/5, Bc2/10, Bc2/20, Bc2/30
71
ġekil 3.7. Farklı çivilenme parametresi, p için mikrodalga yüzey direncinin alan bağlılığı. Kritik akım yoğunluğunun alan bağlılığı için eksponansiyel model (Fietz ve ark., 1964) kullanılarak hesaplanmıĢ mikro dalga yüzey direnci. ġekil için Ģu parametreler kullanılmıĢtır: Bc2=3 Bp, T/Tc=0.5, λ0/δ0=0.01,
s=0.1, Bc1=0.1 Bp, Bmaks=3 Bp, p=0.1, 1, 5, 10
72
ġekil 3.8. Üst kritik alan değeri ile oranlandırılmıĢ farklı tam nüfuz alanı değerleri için elde edilen yüzey direnci eğrileri. Kritik akım
yoğunluğunun alan bağlılığı için exponansiyel model (Fietz ve ark., 1964) kullanılmıĢtır. ġekil için Ģu parametreler kullanılmıĢtır: T/Tc=0.5, λ0/δ0=0.01, B0=1 Bp, n=1, s=1,
Bc1=0.1 Bp, Bmaks=Bc2, Bp=Bc2/5, Bc2/10, Bc2/20, Bc2/30
ġekil 3.9. Süperiletken dilimin yapısına bakıĢ. Mikrodalga akım x-z düzleminde akmaktadır. Ġndüklenen DC manyetik alan mikrodalga alana dik olacak Ģekilde z yönündedir
77
ġekil 3.10. Uygulanan alanın i= ic/3, i=2ic/3 ve i=ic. değerleri için alan dağılımının makroskobik Ģeması
78 ġekil 3.11. Farklı çivilenme parametreleri için Rs’nin geçen akıma
bağlılığı. Normalize edilmiĢ geçen akım, i, ic ile indirgenmiĢtir
81 ġekil 3.12. Geçen akımın alanlı soğutulmuĢ numunede oluĢturduğu akı
yoğunluğu profili
82 ġekil 3.13. Farklı çivilenme parametreleri için alanlı soğutulmuĢ
numunedeki Rs ’nin geçen akımla teorik değiĢimi
83 ġekil 3.14. Akı çivilenmesi ile hacimsel bir süperiletkende meydana gelen
alan dağılımının Ģematik gösterimi. Alan ve akım aynı anda uygulanmıĢtır, fakat dilimin dıĢındaki uygulanan alanın Ģiddeti geçirilen akım tarafından oluĢturulan manyetik alan Ģiddetinden daha büyüktür
84
ġekil 3.15. Farklı çivilenme parametreleri için mikrodalga yüzey direncine karĢı geçen akım
85 ġekil 3.16. Farklı çivilenme parametreleri için elde edilen yüzey direnci
eğrileri 91
ġekil 3.17. Farklı çivilenme parametreleri için kalıcı yüzey direncinin frekans bağlılığı
92 ġekil 3.18. DeğiĢik kurtulma zamanları (t = 0, 0.5, 1, 2 ve 3) için numune
içerisinde meydana gelen akı profili
92 ġekil 3.19. Farklı çivilenme parametreleri için kalıcı yüzey direncinin
zamanla değiĢimi
93 ġekil 3.20. Sabit bir manyetik alan altında farklı sıcaklıklar için elde
edilen akı profili
96 ġekil 3.21. Farklı λ0/δ0 oranları için pik etkisini içeren yüzey direncinin
sıcaklık bağlılığı
97 ġekil 3.22. Farklı J parametresi için pik etkisini içeren yüzey direncinin
sıcaklık bağlılığı
98 ġekil 3.23. Farklı tw parametresi için pik etkisini içeren yüzey direncinin
sıcaklık bağlılığı
98 ġekil 3.24. (a) Banerjee ve ark. (2004) tarafından DyBaCuO numunesinin
Rs-T eğrileri. (b) Bu numune için teorik hesaplamalarla elde edilen en uygun eğriler
GİRİŞ
Süperiletkenlerin mikrodalga yanıtının incelenmesi hem temel bilimler hem de teknoloji açısından çok önemlidir. Zira, temel bilimler açısından olaya bakıldığında, mikrodalga süperiletkenliği elektron çiftlenme mekanizmasının anlaşılmasında, kompleks elektriksel iletkenlik ve alanın girme derinliğinin belirlenmesinde, enerji kayıplarının tahmin edilmesinde ve akı dinamiğinin araştırılmasında bize çok yararlı bilgiler sunmaktadır. Öte yandan teknolojik açıdan bakıldığında, günümüzde 3G/4G baz istasyonlarında kullanılan filtreler veya yeni nesil manyetik rezonans sistemlerindeki algılayıcılar süperiletken malzemelerden yapılmaktadır.
Lineer rejimde mikrodalga yanıt yüzey empedansının, Zs=Rs+iXs ölçülmesi ile
incelenmektedir. Reel bileşen Rs mikrodalga enerji kayıpları ile orantılıdır; sanal kısım
Xs ise numune yüzeyinde depo edilen enerjiyi tanımlar ve mikrodalga alanın girme
derinliği ile orantılıdır. Zs ’nin sıcaklığın ve dış manyetik alanın bir fonksiyonu olarak
ölçülmesi süperiletkenlik durumunun çeşitli özelliklerinin belirlenmesine izin verir. Örneğin, dış manyetik alanın yokluğunda Zs’nin sıcaklıkla değişiminin incelenmesi
süperiletkenlerde yoğunlaşmış akışkan yoğunluğu hakkında çok önemli bilgiler verebilir. Diğer taraftan, karışık durumdaki süperiletkende alanın fonksiyonu olarak Zs
ölçümleri, hem girdapların varlığı hem de onların hareketi ve çivilenme mekanizmaları hakkında bilgiler sunar. Dolayısıyla, Zs ’nin incelenmesi süperiletkenlerin akı dinamiği
hakkında önemli bilgiler sağlayabilmektedir.
Bilindiği gibi, II. tip süperiletkenlerin manyetik özellikleri manyetik alan - sıcaklık (H-T) faz diyagramı içerisinde bulunan tersinmezlik çizgisi Htmez(T)’e çok bağlıdır. Yani bu
çizginin altında kalan alan ve sıcaklıklarda süperiletkenin manyetik özellikleri tersinmez davranış gösteriyorken bu çizginin üzerindeki alan ve sıcaklık değerlerinde hemen hemen tersinir yada yarı-tersinir süreçler gözlemlenebilir. Süperiletkene alt kritik manyetik alandan büyük ancak tersinmezlik alanı Htmez(T) ’den daha küçük bir DC
merkezlerinin varlığından ileri gelmektedir. Kritik halin esas önemi, akı dağılımının tüm numune içerisinde tekdüze olmamasıdır. Yani girdapların, numunenin kenarına doğru daha yoğun, numunenin merkezine ilerledikçe yoğunlukları giderek azalacak şekilde dağılım göstermesidir. Bununla beraber, artan ya da azalan manyetik alanlar için aynı manyetik alan değerinde numune içerisindeki akı yoğunluğu farklıdır. Yani girdap dağılımı süperiletkenin manyetik geçmişine de bağlıdır. Sonuç olarak, girdapların varlığını kapsayan bütün süperiletkenlik özelliklerinde manyetik histerezis gözlemlenir.
Rs(H) ’ın histeretik davranışı çok yoğun bir biçimde incelenmiş ve bu histeretik davranış
kritik hale atfedilmiş olsa da, Rs(H) ’daki kritik halin etkisinin nicel bir analizi ancak
son yıllarda başarılabilmiştir. Rs(H) üzerine kritik halin etkisinin nicel olarak
incelenmesi için 2006 yılında Bonura ve arkadaşları, Coffey ve Clem teorisi çerçevesinde numune üzerindeki manyetik indüksiyonun dağılımının hesaba katılmasına izin veren davranışsal bir model ileri sürmüşlerdir. Bu modelde, artan ve azalan alan kollarında, kritik halden kaynaklanan ve ayrıca mikrodalga yüzey direncinde alanın meydana getirdiği histeritik davranışa neden olan düzensiz B dağılımının, Rs(H) eğrisinin şeklini algılanabilir bir büyüklükte etkileyebileceği
beklenmektedir. Modelin geçerliliğini göstermek için Bonura ve arkadaşları değişik süperiletken malzemelerin mikrodalga yüzey direncinde alanın meydana getirdiği değişimi hem deneysel hem de teorik olarak detaylı bir şekilde incelemişlerdir. Yaptıkları çalışmalarda deneysel sonuçların önerilen model ile iyi bir şekilde hesaplanabildiği sonucuna varmışlardır. Bu incelemelerin, manyetizasyon ölçümlerine alternatif olarak mikrodalga yüzey direncinde alanın meydana getirdiği değişimler ile kritik haldeki girdap örgüsünün karakteristik parametreleri hakkında bilgi elde etmek için elverişli bir yöntem olduğu görülmüştür.
Özellikle yüksek sıcaklık süperiletkenlerinin keşfi ile birlikte büyük ilgiye sahip olan mikrodalga yüzey direnci araştırılmalarında, alanın meydana getirdiği değişim kadar sıcaklığın meydana getirdiği değişimde oldukça büyük öneme sahiptir. Deneysel incelemelerin büyük kısmını oluşturan kavite pertürbasyon yönteminde kavitenin kalitesinin sahip olduğu önem süperiletkenlerden imal edilmiş kavitelerin yapımına olan
özelliğinden dolayı bu malzemelerden üretilen kaviteler sadece mikrodalga yüzey direncinin sıcaklık bağlılığının incelenmesine müsaade etmektedir. Bununla birlikte, süperiletken bir malzeme ile imal edilmiş kavitelerin vermiş olduğu sonuçların daha kesin değerleri ortaya koyması bu tür araştırmaların günümüze kadar güncelliğini korumasına neden olmuştur.
Mikrodalga yüzey direncinin sıcaklık bağlılığı sonuçlarına bakıldığında çoğu sonucun geleneksel ρ-T sonuçlarına oldukça benzer olduğu söylenebilir. Bununla birlikte, elde edilen bazı tuhaf sonuçlar (pik etkisi) bu konu üzerine yapılan tartışmaların artarak süperiletkenlik mekanizmasının anlaşılmasına yönelik çalışmalara katkı sağlamıştır. Bu durum, her ne kadar değişik modellerle izah edilmeye çalışılmışsa da kritik hal çerçevesinde yapılmış bir çalışmanın bulunmaması dikkat çekicidir.
Bu projenin literatüre orijinal katkısı, yukarıda da geniş olarak bahsedildiği gibi farklı akı dinamiği etkilerini mevcut kritik hal modellerini de dikkate alarak mikrodalga yüzey direncinin daha detaylı bir şekilde analizinin sağlanması ve deneysel ölçümlerde karşılaşılan bazı sıra dışı durumların türetilebilmesidir.
Sunulan Proje dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde süperiletkenlerin temel özelliklerini, süperiletkenlik mekanizması için kabul gören modelleri, karışık durumdaki bir süperiletkendeki akı dinamiği ve süperiletkenlerin elektrodinamiğini içermektedir.
İkinci bölümde ise yapılan hesaplamalar için kullanılan yöntem anlatılmıştır.
Üçüncü bölümde ise mikrodalga yüzey direncinin sıcaklık ve alan bağlılığı için elde edilen sonuçlar sunulmuştur.
1. SÜPERİLETKENLERİN TEMEL ÖZELLİKLERİ
Süperiletken malzemeler iki ayırt edici özelliğe sahiptir; sıfır DC elektriksel direnç ve içerisinde sıfır manyetik indüksüyon. Her iki özellikte kritik sıcaklık, Tc, diye
adlandırılan belirli bir sıcaklığa düşüldüğünde gerçekleşmektedir. İlk özellik, 1911 yılında Kamerling Onnes (1911) tarafından düşük sıcaklıklarda civanın DC elektriksel direnci ölçülürken, direncin 4.2 K ’de aniden deneysel teçhizat tarafından ölçülemeyecek kadar düşmesi ile keşfedilmiştir. Mükemmel diyamanyetizma ise 1933 yılında Meissner ve Ochsenfeld (1933) tarafından; kritik sıcaklığın altına soğutulan bir süperiletkenin, uygulanan zayıf bir manyetik alanın oluşturduğu manyetik akıyı dışarılaması ile bulunmuştur.
Süperiletkenlik sıcaklığın, uygulanan manyetik alanın ve materyal boyunca akan akımın arttırılması ile yok edilebilir. Her bir durum için eşik değeri malzemelerin karakteristik özelliği olarak karşımıza çıkmaktadır.
Süperiletken olur olmaz manyetik akıyı tamamen dışarlayan süperiletken malzemelere I. tip süperiletkenler denilmektedir. Mükemmel diyamanyetizma durumunu tamamen yok etmek için gerekli manyetik alan büyüklüğüne termodinamik kritik alan, Hc,
denilmektedir. Uygulanan manyetik alanın, Ha, termodinamik manyetik alandan küçük
olduğu durumlarda numune yüzeyinde M = -Ha durumuna sebebiyet vererek numune
içerisindeki manyetik indüksiyonu dengeleyen ve süperiletkenin Meissner durumunda olduğunu gösteren perdeleyici akımlar meydana gelir. Uygulanan manyetik alanın termodinamik manyetik alandan büyük olduğu durumlarda ise numune normal duruma geçer.
II. tip süperiletkenler ise, alt kritik alan, Hc1, ve üst kritik alan, Hc2, olmak üzere iki
kritik alan tarafından karakterize edilir. Ha< Hc1 için numune Meissner durumundadır.
Hc1 < Ha < Hc2 için numune manyetik akının kısmen nüfuz ettiği karışık hal denilen
süperiletkenler için ideal manyetizasyon eğrileri sırası ile Şekil 1.1 ve 1.2’de gösterilmiştir.
Şekil 1.1. Hacimsel I. tip süperiletkenin manyetizasyon eğrisi
Normal ve süperiletken bölgelerin bir arada bulunduğu karışık durumda, girdap olarak adlandırılan numune içerisindeki B akısı ϕ0= 2.067x10-15 Wb şeklinde
kuantumlanmıştır. Akı göbeği olarak adlandırılan silindir şeklindeki normal bölgelerin yarıçapları eşuyum uzunluğuna, ξ, eşittir ve ekseni uygulanan manyetik alana paraleldir. Her bir akı göbeği, alanın girme derinliği, λ, kalınlığı boyunca bir süperakım girdabı ile çevrelenmiştir. Şekil 1.3 girdabın etrafındaki bir bölgedeki süperiletkenlik elektronlarının yoğunluğu, ns’nin ve yerel manyetik alanın değişimini göstermektedir.
Karakteristik alanlar Hc, Hc1 ve Hc2 sıcaklığa bağlıdır ve bir süperiletkenin faz
diyagramı H-T çizimi ile şematik olarak gösterilebilir. Şekil 1.4 ve Şekil 1.5 sırası ile I. tip ve II. tip süperiletkenlerin faz diyagramını göstermektedir. Çoğu süperiletken malzeme için kritik alanların sıcaklık bağlılığı, numune karakteristiği Hc0’a bağlı olarak
Şekil 1.2. Hacimsel II. tip süperiletkenin manyetizasyon eğrisi
Şekil 1.3. Bir girdaptaki süperelektron yoğunluğu, ns, ile yerel manyetik alanın, h,
Şekil 1.4. I. tip süperiletkenler için Hc(T) ’nin şematik gösterimi
Sonsuz uzunlukta kabul edilen II. tip bir süperiletken numune, en büyük yüzeyine paralel olan Ha < Hc1 şeklindeki bir DC manyetik alana maruz kaldığında, manyetik
alanın eksponansiyel olarak azaldığı numune yüzeyindeki λ kalınlığında bir perdeleme akımı, J, meydana gelir. Ha, Hc1 değerine ulaştığında numune yüzeyinde ilk girdap
meydana gelir ve numune içerisine doğru hareket eder. Dış manyetik alanın Hc2’den
daha düşük değerlere kadar arttırıldığı bir durumda, çok daha fazla girdap numune içerisine nüfuz edecektir. Uygulanan manyetik alan Hc2’ye ulaştığında ise normal
göbekler üst üste biner ve süperiletken normal duruma geçer. Şekil 1.6, girdap dağılımının, içerisinde düzen parametresi, ξ, boyutunda herhangi bir kusur ya da kirlilik içermediğinden dolayı tekdüze olduğu manyetik alan altındaki ideal bir II. tip süperiletkeni temsil etmektedir.
Şekil 1.5. II. tip süperiletkenler için Hc1(T) ve Hc2(T) ’nin şematik gösterimi
Şekil 1.6. II. tip süperiletkenlerin düşük, orta ve yüksek şiddette maruz kaldığı manyetik alan altındaki davranışlarının temsili
1.1. London Denklemleri
Süperiletkenlerin elektrodinamiği ile ilgili ilk davranışsal teori 1935 yılında F. London ve H. London (1935) tarafından verilmiştir. Bu teori süperiletkenler ile normal metalleri ayıran iki temel özelliği tanımlamaktadır: mükemmel elektriksel iletkenlik ve mükemmel diyamanyetizma. London teorisi, süperiletkenlik durumunun normal ve süperiletkenlik elektronları olmak üzere iki çeşit elektriksel taşıyıcının bir arada bulunması ile karakterize edilen iki akışkan modeli çerçevesinde geliştirilmiştir (Gorter ve Casimir, 1934). Normal elektronlar bir metaldeki elektron gibi davranırlar ve Ohm kanununa uyan fonon ve örgü kusuru saçılmalarına tabidirler. Buna karşın, süperiletkenlik elektronları herhangi bir sürtünme olmadan akabilirler. Toplam elektron yoğunluğu, n, normal elektron yoğunluğu, nn, ile süperiletkenlik elektron
yoğunluğunun, ns, toplamıdır. Bu iki yoğunluğun sıcaklık ile değiştiği kabul
edilmektedir. Gorter ve Casimir modelinde nn ve ns’nin sıcaklık bağlılığı aşağıdaki
denklemler ile verilmektedir.
4 n c T n n T n T (1)
1 4 s c T n n T n T (2)Burada
T normal elektron kesrini göstermektedir.Kabul edildiği gibi, T=0 ’da ns=n ve nn=0; T=Tc ’de ns=0 ve nn=n olmaktadır. Toplam
akım yoğunluğu, J, alt indisler n ve s ’in sırası ile normal ve süperiletken akışkanlardan gelen katkıları temsil etmek üzere J=Jn+Js olacaktır.
n n
dv v
m m eE
dt (3)
Burada vn, normal elektronların hızı, m, onların kütlesi, -e yükleri ve τ elektron fonon etkileşiminden kaynaklanan gevşeme zamanıdır.
Süperiletkenlik elektronları için, durumunda, benzer bir denklem, Denklem 3’ün indirgenmesi ile aşağıdaki gibi elde edilebilir.
s
dv
m eE
dt (4)
Denklem 4’de Js n evs s olduğu düşünüldüğünde birinci London denklemi aşağıdaki gibi elde edilir.
s E J t (5)
Burada m n es 2, London parametresidir.
Denklem 5’e operatörünü etki ettirirsek ve Faraday kanununu kullanırsak sırasıyla aşağıdaki denklemleri elde ederiz.
s E J t (6) h E t (7)
h Js
0 t (8)Burada h yerel akı yoğunluğunu göstermektedir.
Deneysel olarak süperiletken içerisinden gözlenen akı çıkışları ile uyum sağlamak için London, Denklem 8’deki integral sabitini sıfır alarak aşağıdaki denklemi elde etmiştir.
s
h J (9)
Denklem 9, ikinci London denklemidir ve h A bağıntısı kullanılarak daha öz ve düzenli bir şekilde de yazılabilir, burada A vektör potansiyelidir:
1
s
J A
(10)
Bu durumda, özel bir düzenleme (London düzenlemesi) seçilmiştir. London düzenlemesinde . A 0 ve A n.ˆ0 olması gereklidir. Burada ˆn numune yüzeyine dik vektörü temsil etmektedir.
London denklemleri, normal ve süperiletken akışkan yoğunluklarının etkilenmediği zayıf elektrik ve manyetik alanlarda doğru bir şekilde çalışır. Bununla birlikte, model bu iki akışkanın uzaysal değişimini önemsemez ve yüksek manyetik alanlarda süperiletkenlik özelliğinin yok olmasını öngöremez.
1.1.1. Meissner Etkisi ve London Girme Derinliği
Daha önceden de bahsedildiği gibi I. tip (II. tip) süperiletkenler Hc (Hc1) ’den daha
düşük manyetik alanda içerilerindeki manyetik alanı dışarlamaktadırlar. Bu özellik materyallerin mükemmel iletkenliğinin bir sonucu değildir. Aslında, geleneksel iletkenler için sıfır direnç bir hipotez ise, bu hipotez indüksiyonun zamana göre türevinin, B , malzeme içerisinde sıfır olması zorunluluğu ile sonuçlanır. Yani,
indüksiyon alanı, B, sabit kalır fakat onun değeri sıfırdan farklı olabilir. London denklemlerinin basit bir uygulaması bir süperiletkenden B ’nin dışarlanmasının doğrulanmasına izin verir. Sonsuz uzunluklu süperiletken dilimin x0 bölgesini kapsayan yarım hacmini düşünelim. Dış bir manyetik alan süperiletken yüzeyine paralel olacak şekilde ˆz ekseni boyunca yönlenmiş olsun. Dış elektrik alanın olmadığı kararlı bir durumda olduğumuzdan dolayı, Denklem 5, süperiletken içerisinde E = 0 olacağını gösterir ve buna uygun olarak Jn nE0. London ’un ikinci denklemi Amper kanunu ile birleştirildiğinde, h 0J 0 sJ aşağıdaki denklem elde edilir.
2 0 2 L h h h (11) Burada L2 0’dır.
Düzlemsel simetri düşünülerek Denklem 11 ’in çözülmesi aşağıdaki sonucu verir.
0 L
x
h H e
(12)
London girme derinliği olarak adlandırılan ve aşağıdaki denklemle verilen L ’lik bir karakteristik uzunluk boyunca manyetik alan üssel (eksponansiyel) olarak azalır.
2 0 0 L s m n e (13)
Girme derinliğinin süper akışkan yoğunluğu ns ’den dolayı sıcaklığa bağlı olması dikkat
çekicidir. ns 1
T n olduğundan dolayı, Gorter ve Casimir modelinden beklendiği gibi L’nin sıcaklık bağlılığı şu şekildedir.
4 0 1 L L c T T T (14)Şekil 7, L’nin sıcaklık bağlılığını göstermektedir. Geleneksel süperiletkenler için
0L
100 nm civarındadır ve bu yüzden perdeleme akımı süperiletken yüzeyindeki çok ince bir bölgede dönmektedir. Makroskobik numunedeki bu neredeyse tamamen akı dışarlanması Meissner etkisi olarak görülür.
Şekil 1.7. London girme derinliğinin sıcaklık bağlılığı. (0) , T = 0 K ’deki girme derinliğinin değeridir
1.2. Pippard Eşuyum Uzunluğu
London teorisi, Jc
r ’nin aynı noktadaki ( r ) vektör potansiyeli ile orantılı olduğunu kabul ettiği için yerel bir teoridir. Dahası, teori girme derinliğinin sadece temel sabitlere ve Denklem 13 ile verilen ns’ye bağlı olduğunu belirlemektedir. Teorinin doğruluğunuyaptığı bu incelemede, girme derinliğinin artan katkı konsantrasyonu ile arttığını, özellikle oldukça fazla indiyum katkısının (yaklaşık %3) kritik alan Hc(T) ve kritik
sıcaklık Tc gibi termodinamik özellikleri değiştirmediğini ancak girme derinliğinin
yaklaşık iki katına çıkmasına neden olduğunu bulmuştur. Girme derinliğindeki bir artış ns ve buna bağlı olarak serbest enerji ve diğer termodinamik özelliklerde azalmayı
vurguladığı için, bu tür davranışlar London teorisi çerçevesinde anlaşılamazlar. Bu ve buna benzer nedenlerden dolayı, Pippard Denklem 10 için Jc
r ’nin r noktası civarındaki ξ boyutundaki bir bölge üzerinden A r
’nin uzaysal ortalamasının belirlediği yerel olmayan bir genelleştirme önermiştir. Aşırı katkılanmış bileşikler için ξ, normal metallerdeki elektronların ortalama serbest yolu, l, ile aynı mertebededir. Bu parametre saf metaller için Pippard eşuyum uzunluğu, ξ0, olarak ta bilinen karakteristikbir uzunluğa dönüşür. Pippard özel bir seçim yaparak;
0 1 1 1 l (15) ve
3
4 0 . 1 3 4 R s R R A r J r d r e R
(16)olduğunu kabul etti. Burada R r r ’dir.
Denklem 16 indüklenen akım ile vektör potansiyeli arasındaki ilişkiyi kurmaktadır. Ancak, daha önceden de tartışıldığı gibi bir süperiletkene bir manyetik alan uygulandığında bu manyetik alan genellikle Denklem 13 ile verilen London girme derinliği ile özdeş olmayan belirli bir girme derinliğine, λ, kadar numune içerisine nüfuz edecek ve böylece vektör potansiyeli aynı uzaysal ölçekte değişecektir. ξ << λ olduğunda vektör potansiyeli ξ mertebesinde yavaşça değişir ve Denklem 16’yı Denklem 10’a indirgeyerek λL(0) ’ı aşağıdaki denkleme dönüştürür.
0
0 0 L (17)Denklem 17, l << ξ0 olan katkılı bileşikler için girme derinliğinde gözlenen artışı hesaplar. Pippard, girme derinliğinin deneysel sonuçlarına eşleşme (fit) yaparak aşağıdaki sonucu bulmuştur.
0 0.15 F B c v k T (18)
ξ >> λ olduğunda yerel London denklemi (Denklem 10) kullanılabilirken, Pippard tarafından hesaplanmış yerel olmayan denklem (Denklem 16) ξ << λ olan bütün durumlarda kullanılmalıdır. II. tip süperiletkenlerin çoğunda ve Tc ’ye yakın
süperiletkenlerin tamamında λ(T), ξ(T) ’den çok daha büyüktür.
1.3. Süperiletkenlik Durumunun Enerji Kararlılığı
Bir süperiletkenin manyetizasyon durumu sadece uygulanan dış manyetik alanın ve sıcaklığın değerine bağlı olup bu dış koşullara nasıl ulaşıldığına bağlı değildir. Sonuç olarak, süperiletkenlik durumuna termodinamik kanunların uygulanması sıcaklığın ve manyetik alanın termodinamik değişkenler olarak kullanılması ile mümkündür.
Bir süperiletken, sadece sıcaklık Tc ’den daha düşük olduğunda kendi süperiletkenlik
özelliklerini sergiler. Bu, Tc ’nin altında süperiletkenlik durumundaki serbest enerjinin
normal durumdakinden daha düşük olduğunu vurgular:
için , 0 , 0 c s n T T g T g T (19)
için , 0 , 0 c s n T T g T g T (20)Burada gs(T,0) ve gn(T,0) sırası ile Ha = 0 için süperiletken durum ile normal durumdaki serbest enerji yoğunluğunu temsil eder.
Eğer bir DC manyetik alan uygulanırsa serbest enerjiye ilave bir katkı gelir:
0 0 0 0 H g H MdH
(21)T < Tc ve Ha < Hc1 olduğunda M = -Ha olur ve böylece Denklem 21 aşağıdaki ifadeyi verir.
0 2 0 0 1 2 g H H (22)Normal durumda, M = χH ’dir ve burada χ alınganlıktır. χ çok küçük (~10-5) olduğundan dolayı süperiletkenlik durumundaki serbest enerji artarken normal durumdaki serbest enerjiye ilave katkı ihmal edilir. gs(T,Ha) = gn(T,0) olduğu Ha değeri termodinamik
kritik alan Hc ’ye karşılık gelmektedir.
, 0
, 0
n s c
g T g T g H T (23)
Serbest enerji yoğunluğunun miktarı Δg(Hc)=1/2μ0Hc2 süperiletkenlik durumunun enerji
kararlılığı olarak adlandırılır.
1.4. Ginzburg-Landau Teorisi
Süperiletkenlik geçişi, bir manyetik alan uygulandığında birinci dereceden bir faz geçişi iken, dış manyetik alanın yokluğunda ikinci dereceden bir faz geçişidir (Rose-Innes ve Rhoderick, 1969).
Faz geçişleri üzerine Landau’nun ilk çalışmalarından başlayarak 1950 yılında Ginzburg ve Landau (GL) (1950) süperiletkenlik için yeni bir teori ileri sürmüşlerdir. London teorisi gibi GL teoriside fenomenolojik bir teoridir, fakat şekil olarak bir kuantum teorisidir.
Tc’nin altına soğutulan bir süperiletkendeki faz geçişi, elektronların sürtünmesiz bir
süper akışkan içerisinde kısmen yoğunlaştığı düzenli bir durumun görünmesini vurgular. GL teorisi karmaşık bir düzen parametresi,
r , ile yoğunlaşmayı tanımlamaktadır, burada 2 süperelektron yoğunluğu ns ’yi tanımlar. Ginzburg veLandau serbest enerjiyi, F, dış manyetik alanın varlığını da düşünerek ns’nin üssü ile
geliştirmişler ve serbest enerji için şu denklemi önermişlerdir:
2
2 4 2 0 1 1 * 2 * 2 2 n h F F i e A a T b m (24)Burada m* ve e* sırası ile yük taşıyıcılarının etkin kütlesi ile etkin yükü, a(T) ve b deneyler tarafından belirlenen parametrelerdir. Özellikle a(T) = a'(T-Tc), T < Tc için
negatif ve T=Tc de sıfır iken, b pozitif ve sıcaklıktan bağımsızdır.
GL teorisinin bir sonraki adımı denge durumunu belirlemek için serbest enerjiyi minimize etmektir. Ψ tekdüze olmayabileceğinden dolayı ilk önce Ψ ’yi keyfi küçük değişikliklere göre minimize etmemiz gerekmektedir. Ψ ’nin
i n e A* n
0 (25)şeklindeki sınır koşulları ile aşağıdaki denkleme uyduğu bulunmuştur:
2 22 1
* 0
Denklem 26 birinci GL denklemidir.
Manyetik alandaki küçük değişikliklere göre F minimize edilerek, süperiletken akım yoğunluğu denklemini veren ikinci GL denklemi elde edilir:
* 2 2 * * * 2 * * s e e J A im m (27)Homojen sistemlerde yani *0 olduğunda Denklem 27’nin ikinci London denklemine (Denklem 10) indirgendiğini belirtmekte fayda vardır. Dahası, Denklem 26’dan şu ifade çıkartılır:
2 a
b
(28)
a(T) negatif olduğunda T<Tc için başka bir çözüm yoktur, diğer bir deyişle
süperiletkenlik sadece Tc ’nin altında görülür. T=0 K’de F-Fn = -a2/2b elde ederiz ve
Denklem 22 ’den a ve b ile termodinamik kritik alan arasında direk bir bağıntı elde ederiz: 2 2 0 c a H b (29)
GL teorisi süperiletkenliğin, manyetik alan değişiminin uzaysal ölçeği ve düzen parametresi olmak üzere iki karakteristik uzunluğunu tanımlamaktadır. Zayıf bir manyetik alana maruz kalmış homojen bir süperiletken düşünelim. Denklem 27, Denklem 10 ’a eşitlenirse GL girme derinliği denklemi elde edilir:
2 0 * 4 * m b T e a T (30)Ayrıca, dış bir manyetik alan olmadan bir boyutlu durum için elde edilen birinci GL denklemi (Denklem 26) ile düzen parametresinin değiştiği uzunluk bulunabilir:
2
2 * T
m a T
(31)
ξ, GL eşuyum uzunluğu olarak adlandırılmaktadır.
GL eşuyum uzunluğunun öneminin daha iyi anlaşılmasını sağlamak için Şekil 1.8 ’de gösterildiği gibi normal bir metal ile I. tip bir süperiletken arasındaki ara yüzeyi düşünelim. Eğer Hc’den düşük bir dış manyetik alan uygulanırsa süperiletken
içerisindeki manyetik alan λ kalınlığındaki bir katman boyunca azalacaktır. Bu duruma uygun olarak 2, maksimum olduğu süperiletkenin içerisinden, süperelektronların bulunma ihtimalinin sıfır olduğu normal materyalin içerisine doğru düzgün bir şekilde değişir. ξ, bu yoğunluk değişimini tanımlayan uzunluktur. Bir sonraki bölümde, süperiletkenin manyetik davranışlarını belirleyen, κ=λ/ξ olarak tanımlanan ve GL parametresi olarak bilinen parametreyi göreceğiz.
λ ve ξ termodinamik kritik alan ile birbirlerine bağlıdır:
0 2 2 c B (32)
II. tip süperiletkenler için, üst kritik alan ξ ile direk olarak ilişkilidir:
0 2 2 2 2 c c B B (33)
Alt kritik alan ise hem λ hem de ξ ile ilişkilidir; yüksek κ değerleri için (Waldram, 1996) bu ilişki aşağıdaki gibidir.
1 ln 0.08 2 c c B B (34)Şekil 1.8. I. tip süperiletken ile normal metal ara yüzeyindeki manyetik indüksiyon, B, ve süperelektron yoğunluğunun, ns uzaysal değişimi
1.4.1. Süperiletken-Normal (S-N) Ara Yüzeyindeki Yüzey Enerjisi
Şekil 1.9 (a) ’da verildiği gibi bir S-N ara yüzeyi düşünerek, GL teorisi çerçevesinde bu ara yüzeyin serbest enerjisini hesaplayalım. Şekil 1.9 (b) ’de gösterildiği gibi, toplam serbest enerjiyi değiştirebilecek iki katkı vardır. Düzenli süperelektronların varlığından dolayı süperiletkendeki serbest enerji yoğunluğu 2
0 1
2 Hc miktarınca düşecek, içerisindeki akı yoğunluğunu yok etmek için süperiletken bölge manyetizasyon kazanacak ve serbest enerji yoğunluğuna pozitif bir 1 0 2
2 Hc katkı gelecektir. B ve ns sınırda farklı karakteristik uzunluklarla değiştiğinden dolayı, serbest enerjiye ara yüzeyin varlığından dolayı net bir katkı gelir. Abrikosov (1957), serbest enerjiye gelen net katkının, GL parametresi , 1 2’den küçükse pozitif olacağını göstermiştir.
Buna karşın, κ > 1 2 ise yüzey enerjisi negatiftir ve sonuç olarak, II. tip süperiletkenlerde olduğu gibi, S-N ara yüzeyine sahip bölgeler meydana getirmek süperiletkenler için avantajlı olmaktadır. Bu yüzden κ parametresi I. tip ve II. tip süperiletkenleri ayırt etmede kullanılır:
κ < 1
κ > 1
2
ise II. tip ve S-N ara yüzeyinde yüzey enerjisi negatiftir. 1.5. Anizotropik Ginzburg Landau Teorisi
Şimdiye kadar analizleri, λ, ξ, Hc1, Hc2 gibi karakteristik parametrelerinin değerlerinin,
kristalin simetri eksenine göre, manyetik alanın yönüne bağlı olmadığı izotropik süperiletkenler için kısıtladık. Ancak çoğu süperiletken, onların süperiletkenlik özelliklerini etkileyen anizotropik bir kristal yapısına sahiptir. Anizotropik süperiletkenler genellikle izotropik GL denkleminde GL serbest enerjisindeki etkin kütlenin, m* (Ginzburg ve Landau, 1950), kristalin asal eksenleri boyunca m*a, m*b ve
m*c değişen bir etkin kütle tensörü (Caroli ve ark., 1963; Ginzburg, 1952) ile
değiştirilmesi ile elde edilen anizotropik Ginzburg-Landau teorisi (AGLT) çerçevesinde tanımlanırlar. Eksensel simetri durumunda m*a=m*b=m*ab şeklinde düşünülebilir ve
anizotropi parametresi, c ab m m (35)
tanımlanarak anizotropi hesaba katılabilir. Burada alt indisler, c ve ab, sırası ile ĉ-ekseni ve ona dik düzlemler boyunca ölçülen değişimleri vurgulamaktadır.
Şekil 1.9. (a) S-N ara yüzeyinde B ve ns ’nin uzaysal değişimine, (b) serbest enerji
yoğunluğunun ve (c) toplam serbest enerji yoğunluğunun katkısı
Anizotropik süperiletkenlerin ĉ-ekseni boyunca etkin kütleleri ab düzlemlerindekinden daha büyük olduğundan dolayı, γ ≥ 1 ’dir. Serbest enerji değişimlerinden γ parametresi aşağıdaki gibi yazılır:
1 2 1 2 c c ab c ab c c c H H H H (36)
Burada “” ve “ ” sembolleri dış manyetik alanın ĉ-eksenine sırası ile dik ve paralel olduğu durumları vurgulamaktadır.
AGLT çerçevesinde, alt ve üst kritik alanlardaki açısal bağlılıklar aşağıdaki gibi beklenir:
1 1 , 2 2 2 cos sin c c H T H T (37)
2 2 , 2 2 2 cos sin c c H T H T (38)Burada θ, alan ve numunenin ĉ-ekseni arasındaki açıdır.
1.6. BCS Teorisinin Ana Hatları
Süperiletkenlik ile ilgili ilk mikroskobik teori, 1957 yılında Bardeen, Cooper ve Schrieffer (1957) tarafından formülize edilmiştir. Teorinin çıkartılmasına izin veren iki esas deneysel bulgu vardır. Süperiletkenlerde ısı kapasitesi, C, üzerine yapılan çalışmalarının, T << Tc için C’ye gelen elektronik katkının eksponansiyel bir sıcaklık
aşağıda verilen denkleme uygun olarak (çoğu malzeme için α ≈ 0.5) kritik sıcaklığın süperiletken elementin izotopik kütlesine bağlı olmasıdır:
c
M T sabit (39)
Bu deneysel gözleme izotopik etki veya izotop etkisi denir. Isı sığasının sıcaklık bağlılığı, süperiletkenlik durumuna ulaşıldığında elektronik enerji durumlarının değişeceğini, dahası enerji spektrumunda bir boşluk olduğunda ısı sığasında eksponansiyel bir bağlılık bekleneceğini vurgulamaktadır. İzotopik etki ise süperiletkenlikte kristal örgünün önemli bir rol oynayacağını vurgulamaktadır.
Mikroskobik bir teorinin ortaya çıkmasında ilk adım, 1950 yılında Fröhlich’in (1950) metaldeki iki elektronun sanal bir fonon değişiminden dolayı net bir çekici kuvvet hissedebileceğine dikkat çekmesidir. Cooper, Fermi seviyesi üzerindeki iki elektronun, spin ve momentumları zıt yönlü ise, toplam enerjilerinin Fermi enerjisinden, EF, iki kat
daha düşük olduğu bir bağlı çift (Cooper çifti) oluşturabileceğini başarılı bir şekilde göstermiştir.
Bardeen, Cooper ve Schrieffer, sadece etkileşen iki elektron için elde edilen Cooper’ın sonucunu birçok elektron için genişletebilmişlerdir. Daha fazla çift oluşursa, daha düşük enerjili bir durum elde edilir. Bose-Einstein istatistiğine uyan ve zıt spinli elektronlar tarafından oluşturulan Cooper çiftleri aynı enerji seviyesinde yoğunlaşabilirler. Cooper çiftlerinin kararlı bir durumda olduğu bu yeni çoklu yapıya yoğunlaşmış durum denir. Cooper çiftleri şeklinde karışmış elektronlar sadece Fermi seviyesi civarındaki ≈ ħωD
enerji aralığındadırlar. Burada ωD kristal örgüsünün Debye frekansıdır. Sonuç olarak,
süperiletkenlik sadece Fermi seviyesine çok yakın enerjiye sahip toplam elektronların bir bölümünü içermektedir.
Şekil 1.10 bir süperiletkendeki enerjinin bir fonksiyonu olarak tek (çiftlenmemiş) elektron yoğunluğu durumunu göstermektedir. 2Δ genişliğindeki bir bölgedeki Fermi enerji seviyesi civarında mevcut bir tek elektron durumu yoktur. Bunun yerine Fermi
yüzeyi civarındaki elektronlar Cooper çiftlerini oluştururlar ve enerjileri süperiletkenlik aralığı Δ ’ya eşit olacak şekilde azalır. Bütün Cooper çiftleri, durum yoğunluğunda EF-
Δ şeklinde bir farka sebebiyet vererek aynı enerji seviyesinde yoğunlaşırlar. Bir Cooper çiftini kırmak için en azından 2Δ eşit bir enerji gereklidir. EF + Δ’dan daha büyük
enerjili durumlar sistemin elektron benzeri sanki parçacık durumudur. Sanki parçacıklar, çiftlerin kırılmasından meydana gelen normal elektronlardır.
Şekil 1.10. Süperiletkendeki enerjinin (E) bir fonksiyonu olarak elektronların durum yoğunluğu (N(E)). EF Fermi enerjisini vurgulamaktadır. Taralı alan T = 0 K ’de işgal edilmiş durumları temsil etmektedir
Δ ’nın değeri T = 0 ’da maksimumdur. Termal uyarmalardan dolayı ve buna bağlı olarak saçılma işlemi için mevcut tek elektron durumlarının azalmasıyla, sonlu bir sıcaklıkta EF+Δ ’dan daha yüksek enerjili bazı durumlar sanki parçacıklar tarafından
işgal edilmiştir. Bu sebepten, yoğunlaşmayı daha az kararlı yapan sıcaklık artışı Cooper çiftlerinin bağlanma enerjisini düşürür. T << Tc ’de enerji azalması küçüktür; Tc ’ye
yaklaşıldıkça Δ gittikçe daha küçük olur ve T = Tc ’de Δ = 0 olur. BCS teorisi,
süperiletkenlik aralığı için aşağıdaki denklemi verir:
2 2 2 2 0 tanh 2 1 0 D B E k T N V dE E
(40)Burada enerji, E, Fermi enerjisini, N(0) Fermi seviyesindeki durum yoğunluğunu, ħωD
Debye enerjisini, V saçılma işlemlerinden kaynaklanan etkileşim enerjisini ve kB
Boltzmann sabitini temsil etmektedir.
T = 0 K ’de Denklem 40 ’dan N(0)V << 1 (zayıf çiftlenme limiti) kabul edilerek, aralık için aşağıdaki denklem elde edilir:
01 0 2 cosh 1 0 N V D De N V (41)T = Tc ’de Δ = 0 olduğundan dolayı, Denklem 40’dan zayıf çiftlenme limitinde
aşağıdaki bağıntı elde edilir:
01 1.13 N V B c D k T e (42)
Denklem 41 ile Denklem 42 karşılaştırılarak T = 0’daki aralık ile kritik sıcaklık arasında incelenen süperiletkenin özelliklerinden bağımsız olarak şu oran belirlenir:
0 1.76 B c k T (43)Denklem 43, BCS teorisinin evrensel karakterini vurgular. Ancak, bu teorinin geçerliliği zayıf çiftlenme hipoteziyle sınırlandırılmıştır.
Yoğunlaşmış durum düzen parametresi aşağıdaki şekilde verilen kompleks dalga fonksiyonu, ψ, ile tanımlanmaktadır:
i
e
Ψ konuma bağlıdır ve mutlak karesi çiftlenmiş elektronların yoğunluğunu verir. 1μm çapındaki bölgede (geleneksel süperiletkenler için) tek elektron için de Broglie dalga paketine benzer bir faz uyumu vardır. Bu mesafe BCS eş uyum uzunluğudur ve GL ve Pippard eş uyum uzunluklarına benzer olarak ξ ile gösterilir. Cooper çiftlerinin uzaysal mesafesi ile ilişkili olabilen bu parametre, aşağıdaki denklem ile tanımlanır:
F 0.18 F B c v v T T k T (45) Burada vF Fermi hızıdır.Örgü aralıkları 10 nm boyutunda olduğundan dolayı, ξ ’nın değeri bir Cooper çiftini oluşturan elektronların birkaç örgü adımından sonra ayrılacağını vurgulamaktadır.
Denklem 45 ile Denklem 18 karşılaştırılarak tamamen farklı bir yaklaşımla elde edilen Pippard eş uyum uzunluğu ile BCS teorisi çerçevesinde elde edilen eş uyum uzunluğu denklemlerinin oldukça benzer olduğu vurgulanabilir.
Şunu belirtmekte fayda vardır ki, daha genel bir bakış açısıyla BCS teorisi, elektronlar arasındaki çekici etkileşmeyi belirleyen özel etkileşme mekanizmalarından bağımsızdır. Ancak, şimdiye kadar yapılan deneysel ve teorik çalışmalar, süperiletkenliği yöneten gerçek mekanizmanın fonon esaslı çekimler olduğunu teyit etmektedir.
1.7. Girdap Örgüsünün Özellikleri
1.7.1. Girdap Örgüsü
Alt kritik manyetik alan değerinden daha yüksek bir manyetik alana maruz kalmış II. tip süperiletkenlerde normal ve süperiletken bölgeler mevcuttur. Her bir normal bölge girdap (vortex, fluxon) denilen bir süperakım girdabı ile çevrelenmiştir. Bu girdaplar süperiletken içerisinde girdap örgüsü ya da akı göbeği örgüsü olarak adlandırılan bir düzende sıralanırlar.
1.7.2. Abrikosov Örgüsü
Karışık durumdaki II. tip süperiletkenlerde girdaplar aynı yönlü süperakım taşıyan bobinler şeklinde resmedilebilir ve bu nedenle iki komşu girdap aralarındaki mesafeyi arttırmak için birbirlerini iterler. Bir girdap, diğer girdaplar tarafından oluşturulan süperakım yoğunluğunun J olduğu bir süperiletkene yerleştirilirse, bu girdap birim s uzunluk başına fL Js0 şeklinde bir Lorentz kuvveti hisseder. Burada 0 uygulanan manyetik alanla aynı yönlü olan akı kuantumu büyüklüğüne sahip bir vektördür (Tinkham, 1997). Eğer girdaplar numune içerisinde tekdüze dağılmışlarsa denge durumunda olacaklardır. 1957’de Abrikosov (1957) ideal bir süperiletkende (kusursuz ve safsızlık atomu içermeyen) girdaplar, sistemin serbest enerjisini minimize ederek termodinamik denge durumuna ulaşmak için Abrikosov örgüsü denilen üçgensel bir örgüde sıralanırlar. Şekil 1.11 Abrikosov örgüsü şeklindeki girdap dağılımını göstermektedir.
Şekil 1.11. Abrikosov girdap örgüsü
İzotropik süperiletkenler için çıkartılmış Abrikosov teorisi, yüksek sıcaklık bakırlı süperiletkenler gibi anizotropik süperiletkenler için de genelleştirilebilir. Bu malzemeler zayıf bir şekilde çiftlenmiş süperiletken katmanlardan oluşurlar ve girdapların yapısından oldukça fazla etkilenirler. Anizotropi etkileri üçgensel Abrikosov örgüsünün ortaya çıkmasını engellerler. Bu yüzden, H-T faz diyagramının kısıtlı bir bölgesinde katı bir akı çizgisi dağılımı gerçekleşmesine rağmen, girdap dizilimi genellikle düzensiz ya
da amorftur ve sıcaklık ve manyetik alana bağlı olarak girdap camı ya da girdap sıvısı denilen durumlarla karakterize edilirler.
1.7.3. Çivilenme Merkezleri
Gerçek bir süperiletkende eş uyum uzunluğu kadar büyük kusurlar yada safsızlıklar, numune içerisindeki girdap dağılımını etkileyen ve akı çizgilerinin hareketini kısıtlayan çivilenme merkezleri olarak rol oynayabilirler. Kusurlarla meydana gelen çivilenmenin esası, süperiletkenlik durumunun kararlılık enerjisi ile ilişkilidir (Denklem 22). Gerçektende numunede bir kusur var ise serbest enerjide bir miktar artış olur;
2 0 2 c H V (46)
Burada V kusurun hacmidir.
Diğer taraftan numuneye bir girdap girerse serbest enerjide daha fazla bir artış meydana gelir; 2 2 0 2 c H L (47)
Burada L girdap çizginsinin boyudur. Buna karşın, girdap göbeği kusur üzerine yerleşirse serbest enerjideki artış daha düşüktür. Özellikle bu artış kusur boyutlarına bağlıdır ve girdap göbeği ile kusurun boyutları aynı olursa sıfır olur. Bu sebeplerden dolayı, girdabın kusur üzerinde kalması enerji bakımından elverişlidir. Bir girdabın çivilenme merkezinden ayrılmayı denemesi sonucunda girdap üzerinde net bir geri yükleme kuvveti meydana gelir ve kusurun boyutu ile girdap göbeğinin boyutu benzer
ise bu kuvvet maksimum olur. Çivilenme merkezlerinin etkisi, girdapların çivilenme merkezleri tarafından oluşturulan ve çivilenme potansiyel kuyuları olarak adlandırılan potansiyel kuyularının minimumunda kalacak şekilde gösterilebilir.
1.7.4. Kritik Hal
Girdap eksenlerine paralel olarak geçen bir akımla karışık durumda bulunan bir II. tip süperiletken düşünelim. Eğer süperiletken, girdapların sonsuz küçük bir akımla bile hareket edebileceği kadar mükemmel bir şekilde homojense, akım girdaplar üzerinde etkili olan bir Lorentz kuvveti meydana getirir. Çivilenme merkezlerinin varlığında ise, girdap çizgisini hareket ettirmek için girdapları çivilenme potansiyelinden kurtaracak büyüklükte bir Lorentz kuvvetini meydana getirecek sonlu bir geçen akıma ihtiyaç vardır. Bunu başarabilecek minimum akım yoğunluğu kritik akım yoğunluğu, Jc’dir.
Jc’nin değeri süperiletken malzemeye, dış manyetik alana ve sıcaklığa bağlıdır.
Birçok çivilenme merkezi içeren ve kritik sıcaklığın altındaki bir sıcaklığa sıfır alanlı soğutulan bir süperiletken düşünelim. Bir dış manyetik alan alt kritik alandan, Hc1, daha
büyük olacak şekilde arttırıldığında, çivilenme merkezlerinin varlığından dolayı girdaplar numune yüzeyinde çekirdeklenirler ve alandaki artışla süperiletkenin daha iç bölgelerine girerler. Yüzey civarındaki girdapların bu girişi yerel akım yoğunluğunda bir artış meydana getiren akı değişimine neden olur ve bunun sonucunda iç bölgelerdeki girdaplar üzerine etkiyen Lorentz kuvveti çivilenme kuvvetinin üstesinden gelir. Net kuvvet, girdapları numune içerisine hareket ettirir ve artık Lorentz kuvvetinin hiçbir noktada çivilenme kuvvetini aşamadığı ve kararlı bir girdap yapısına kadar azalan bir akı değişimi meydana getirir. Numunenin tamamındaki girdap yapısında akı dağılımından kaynaklanan Lorentz kuvvetinin çivilenme kuvveti tarafından dengelenmesi girdap örgüsünün kritik hali olarak adlandırılır.
Kritik haldeki bir süperiletkenin girdap dağılımı nitel olarak Şekil 1.12 deki gibi gösterilebilir. Akı dağılımından dolayı numunede sadece Jc net akım yoğunluğu
mevcuttur. Dış manyetik alandaki bir değişikliğin, Lorentz kuvveti ile çivilenme kuvveti arasındaki dengeyi, akı çizgilerinin geçici hareketinin yeni bir kritik hal oluşturuncaya kadar bozacağı açıktır.
Şekil 1.12. Çivilenmenin mevcut olduğu basit dengesiz girdap dağılımındaki geçen akım ve sürücü kuvveti
Girdap örgüsünün kritik halini tanımlamak için farklı modeller öne sürülmüştür. Bunlardan ilki, süperiletken alaşımlardaki manyetizasyon eğrisinin histeretik davranışını doğrulamak için 1962 yılında Bean (1962) tarafından sunulmuştur. Bean modelinin çıkış noktası, çivilenme kuvvetinin girdap örgüsünü devam etmesini sağlayacak maksimum akı dağılımını belirlemesidir. Bu sayede, süperiletkende girdap hareketi olmadan taşınabilecek en yüksek akım yoğunluğu, Jc akacaktır. Bean modeli
numunede girdapların olduğu bölgelerde kalıcı bir Jc akım yoğunluğunun olduğunu
diğer bölgelerde ise bu akım yoğunluğunun sıfır olduğunu kabul eder. Akımın yönü, Lenz kanunu ile yönetilen manyetik alanın nihai değişimine bağlıdır.
x = ±D/2 düzlemleri ile sınırlandırılmış ˆy ve ˆz boyunca sonsuz olan düzlemsel simetriye sahip bir süperiletken düşünelim. Eğer ( ˆy , ˆz ) düzlemine paralel bir alanın arttığı ve başarılı bir şekilde azaltıldığı bir durumu Bean hipotezi çerçevesinde düşünürsek, Amper kanunu ile verilen akı yoğunlu profili eğimi ±μ0Jc olan düz bir
