Ünivalent fonksiyonlar teorisinde geometrik fonksiyonların özellikleri

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÜNİVALENT FONKSİYONLAR TEORİSİNDE GEOMETRİK

FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ

ÜMRAN MENEK

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

PROF. DR. İSMET YILDIZ

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÜNİVALENT FONKSİYONLAR TEORİSİNDE GEOMETRİK

FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ

Ümran MENEK tarafından hazırlanan tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Tez Danışmanı

Prof. Dr. İsmet YILDIZ Düzce Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Prof. Dr. İsmet YILDIZ

Düzce Üniversitesi _____________________ Doç. Dr. Hüseyin BUDAK _____________________ Düzce Üniversitesi

Doç. Dr. Erol YILMAZ

AİB Üniversitesi _____________________ Tez Savunma Tarihi: 11/02/2020

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

11 Şubat 2020

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans tezim olan bu çalışmam Düzce Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde yapılmıştır.

Yüksek Lisans öğrenimimde ve bu tezin hazırlanmasında bilgisinden faydalandığım, çalışmalarımda beni yönlendiren, karşılaştığım zorlukları bilgi ve tecrübesi ile beni aydınlatan, yanında çalışmaktan onur duyduğum ayrıca çalışmam boyunca gösterdiği hoşgörü ve sabırdan dolayı değerli hocam, tez danışmanım Prof. Dr. İsmet YILDIZ’a şükranlarımı sunarım. Matematik Bölümü’nde gerekli ilgi ve yardımlarını esirgemeyen Matematik Bölümü’nün değerli hocalarına sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme özellikle her daim bana yol gösteren, yalnız bırakmayan sevgili abim Emrah MENEK’e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER

ŞEKİL LİSTESİ ... vııı

SİMGELER ... ıx

ÖZET ... x

ABSTRACT ... xı

1.

GİRİŞ ... 1

2.

KAVRAMLAR ... 2

2.1.13. Basit Bağlantılı Küme ... 3

2.1.14. Kutup Noktası ... 3 2.1.15. Singüler Nokta ... 4 2.1.16. Yakınsaklık ... 4 2.1.17. Düzgün Yakınsaklık ... 4 2.1.18. Mutlak Yakınsaklık ... 4 2.1.19. Süreklilik ... 4 2.1.20. Eğri Çeşitleri ... 4 2.1.21. Konveks Bölge ... 5 2.1.22. Starlike Bölge ... 5 2.1.23. Seri ... 6

2.2. ANALİTİKLİK KAVRAMI VE ÜNİVALENT FONKSİYONLAR…………...6

2.2.1. Analitik Fonksiyon ... 6 2.2.2. Konveks Fonksiyon ... 6 2.2.3. Starlike Fonksiyon ... 6 2.2.4. Ünivalent Fonksiyon ... 7 2.2.5. Meromorf Fonksiyon ... 7 2.2.6. Laurent Serisi ... 7 2.2.7. Taylor Serisi ... 7 2.2.8. Macluarin Serisi ... 7

2.2.10. S Sınıfı ... 8

2.2.11. Cauchy Riemann Eşitliği ... 8

2.2.12. Riemann Alan Teoremi ... 8

2.2.13. Konvekse Yakın Fonksiyonlar ... 8

2.2.14. Schwarz Lemması ... 8

2.2.15. Alan Teoremi ... 9

3. MATERYAL VE YÖNTEM ... 10

3.1. CAUCHY TEOREMİ VE CAUCHY İNTEGRAL FORMÜLÜ ... 10

3.1.1. Tanım ... 10

3.1.2. Cauchy İntegral Formülü ... 10

3.2. ROUCHE'S TEOREMİ ... 11

3.2.1. Jordon Eğrisi ... 11

3.2.2. Teorem ... 11

3.3. RİEMANN ALAN TEOREMİ ... 11

3.3.1. Teorem ... 11

3.3.2. Carethéodory Genişleme Teoremi ... 13

3.4. SCHWARZ LEMMASI VE UYGULAMALARI ... 13

3.4.1. Noneuclindea Metriği ... 13

3.4.2. Schwarz Toplama Teoremi ... 15

3.4.3. Teorem ... 15 3.5. KONVEKS BÖLGELER ... 15 3.5.1. Tanım ... 15 3.5.2 Teorem ... 15 3.6. KOEBE FONKSİYONU ... 16 3.7. BİEBERBACH TAHMİNİ ... 16

3.8. GEOMETRİK FONKSİYONLAR TEORİSİ ... 16

3.8.1. Temel Koşullar ... 16 3.8.2. Hurwitz's Teoremi ... 17 3.8.3. Teorem ... 17 3.8.4 Normal Sınıflar ... 18 3.8.5 Tanım ... 18 3.8.6. Montel Teoremi ... 18 3.8.7. Teorem ... 18 3.8.8. Vitali Teoremi ... 18 3.8.9. Teorem ... 19

3.8.10. Carathéodory Uzatma Teoremi ... 19

3.8.11. Harmonik ve Subharmonik Fonksiyonlar ... 19

3.8.12. Tanım ... 19

3.8.13. Pozitif Harmonik Fonksiyonlar ... 21

3.9. ÜNİVALENT FONKSİYONLARIN GENEL TEORİSİ ... 21

3.9.1. Tanım ... 21

3.9.2. Koebe Bir-Çeyrek Teoremi ... 22

3.9.3. Tanım ... 22

3.9.4. Bieberbach Teoremi ... 22

3.10. GENİŞLEME VE BÜKÜLME TEOREMİ ... 23

3.10.1. Teorem ... 23

3.10.2. Bükülme Teoremi ... 23

3.10.3. Genişleme Teoremi ... 24

3.10.5. Bieberbach Konjektörü ... 26

3.11. KONVEKS VE STARLİKE FONKSİYONLAR ... 26

3.11.1. Carathéodory Lemması ... 26 3.11.2. Teorem ... 27 3.11.3. Teorem ... 28 3.11.4. Teorem ... 29 3.11.5. Alexander Teoremi ... 30 3.11.6. Teorem ... 30 3.11.7.Teorem ... 31

3.12. KONVEKSE YAKIN FONKSİYONLAR ... 32

3.12.1. Tanım ... 32 3.12.2. Noshiro-Warschawski Teoremi ... 32 3.12.3. Teorem ... 33 3.12.4. Kaplan Teoremi ... 33 3.13. SPİRALLİKE FONKSİYONLAR ... 34 3.13.1. Tanım ... 34 3.13.2. Teorem ... 34

3.14. GENEL REEL(GERÇEK) FONKSİYONLAR ... 34

3.14.1. Rogosinski Teoremi ... 35

3.14.2. Teorem ... 36

3.15. ÜNİVALENT FONKSİYONLARIN HADAMARD ÇARPIMI ... 36

3.15.1. Tanım ... 36

3.16. BASİT BİR VARYASYON YÖNTEMİ ... 37

3.16.1. Tanım ... 37

3.17. İNTEGRAL GENİŞLEME TEOREMİ ... 38

3.17.1. Prawitz Teoremi ... 39

3.18. TEK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR ... 41

3.18.1. Littlewood-Paley Teoremi ... 42

3.18.2. Robertson Konjektörü ... 43

3.19. ASİMPTOTİK BİEBERBACH KONJEKTÖRÜ ... 43

3.19.1. Tanım ... 43

3.19.2. Nehari Teoremi ... 43

3.20. GRONWALL-BİEBERBACH ... 45

3.21. KOEBE-BİEBERBACH TEOREMİ ... 46

3.22. GROWTH VE DİSTORTİON TEOREMLERİ ... 46

3.22.1. Teorem ... 46

3.22.2. Distortion Teoremi ... 47

3.22.3. Growth Teoremi ... 49

3.23. α DERECESİNİN KONVEKSE YAKINLIĞI ... 50

3.23.1. Teorem ... 50

4. BULGULAR VE TARTIŞMA ... 52

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 58

6. KAYNAKLAR ... 59

ŞEKİL LİSTESİ

Sayfa No

Şekil 2.1. Eğri çeşitleri 5

Şekil 2.2. Konveks bölge 5

Şekil 2.3. Starlike bölge 6

Şekil 4.1. f(z) fonksiyonun görüntüsü 51

SİMGELER

A Analitik Olan Fonksiyon

C Kompleks Sayılar Kümesi

D Bölge

𝜀𝜀 Komşuluk

𝑓𝑓(𝑧𝑧), 𝜑𝜑(𝑧𝑧) Z’ye Bağlı Fonksiyon

𝑓𝑓, 𝜑𝜑, 𝜓𝜓 Bir Fonksiyon

𝔉𝔉 Normal Sınıflar Kümesi

K Konveks Fonksiyon

lim Limit

Imz Kompleks Sayılarda İmajiner Kısım

R Reel Sayılar Kümesi

Rez Komleks Sayılarda Reel Kısım

S Normalize Edilmiş Ünivalent Fonksiyonlar

𝑆𝑆∗ _{Starlike(Yıldızıl) Fonksiyon}

U Birim Disk

𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2, 𝑧𝑧0, 𝑧𝑧 Bir Nokta

w Kompleks Sayılar

∑ Toplam Sembolü

x(t),y(t) T’ye Bağlı Değişken

ÖZET

ÜNİVALENT FONKSİYONLAR TEORİSİNDE GEOMETRİK FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ

.

Ümran MENEK Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Prof. Dr. İsmet YILDIZ Şubat 2020, 59 sayfa

Bu çalışmada S sınıfının bir alt sınıfı olan A sınıfına ait iki foksiyonunun ünivalent olduğunu ve birim disk 𝑈𝑈 = {𝑧𝑧 ∈ 𝐶𝐶: |𝑧𝑧| < 1} üzerinde analitiklik koşulunu sağlayan bu iki fonksiyonun aynı zamanda bileşkelerinin de her zaman ünivalent olabileceği gösterildi.

ABSTRACT

PROPERTIES OF GEOMETRIC FUNCTIONS IN THE THEORY OF UNIVALENT FUNCTIONS

Ümran MENEK Duzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematic Master’s Thesis

Supervisor: Prof. Dr. İsmet YILDIZ February 2020, 59 pages

In this article, it was shown that the two functions of class A, which is a subclass of class S, are univalent and that the components of these two functions, which provide the condition of analyticity on unit disk 𝑈𝑈 = {𝑧𝑧 ∈ 𝐶𝐶: | 𝑧𝑧 | < 1}, can also always be univalent.

1. GİRİŞ

Fonksiyon kavramı matematikte önemli bir yere sahiptir ve birden fazla fonksiyon çeşidi bulunmaktadır. Fonksiyon çeşitlerinden biri olan ünivalent fonksiyonlar eski bir konu olmasına rağmen günümüzde önemli bir yere sahiptir. Tartışmalara konu olan ünivalent fonksiyonlar tüm konuyu içerisinde barındıran geometri ve analiz arasındaki etkileşimi gösteren bazı özel durumlara sahiptir. Bu durumlar matematikçileri uğraştırmış ve sürekli yeni problemlere zemin hazırlamıştır.

Bu çalışmada S sınıfına ait fonksiyonların bileşkelerininde alt sınıflarına ait olan bazı özellikleri sağladığı gösterilmiştir.

2. KAVRAMLAR

Bölüm 1, Tezin Giriş kısmıydı. Bölüm 2 ve sonrası tezin içeriğindeki bölüm başlıklarını ve alt başlıkları içerir.

2.1.TEMELKAVRAMLAR

Bu kısımda çalışmamız için önemli olan tanım ve bazı teoremleri ele alacağız.

2.1.1. Tanım (Bölge)

Bir kompleks düzlemde bağlantılı açık kümelere bölge denir

2.1.2. Tanım (Açık Bölge)

∀𝑧𝑧 ∈ 𝐷𝐷 iken |𝑧𝑧| < 𝑅𝑅 < ∞ olup tüm noktalar iç kısımda kalıyorsa açık bölge denir.

2.1.3. Tanım (Kapalı Bölge)

∀𝑧𝑧 ∈ 𝐷𝐷 iken |𝑧𝑧| < 𝑅𝑅 < ∞ olup bölge sınırında noktaların hepsini içeriyorsa bu bölgeye kapalı bölge denir.

2.1.4. Tanım (𝛆𝛆 − 𝐊𝐊𝐊𝐊𝐊𝐊ş𝐮𝐮𝐮𝐮𝐮𝐮ğ𝐮𝐮)

𝑧𝑧0 ∈ 𝐶𝐶 noktası verilmiş olsun. 𝐷𝐷(𝑧𝑧0, 𝜀𝜀) = {𝑧𝑧 ∈ 𝐶𝐶 ∶ |𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0| < 𝜀𝜀}

kümesine 𝑧𝑧0 noktasının ε komşuluğu denir.

2.1.5. Tanım (İç Nokta)

𝑈𝑈 ⊂ 𝐶𝐶 olmak üzere bir 𝑧𝑧0 ∈ 𝑈𝑈 noktası verilsin. Eğer 𝑈𝑈 kümesi 𝑧𝑧0’ın bir ε komşuluğunu içeriyorsa, başka bir ifadeyle, 𝑧𝑧0’ın bir 𝜀𝜀 komşuluğu tamamıyla 𝑈𝑈 kümesine ait ise o zaman bu 𝑧𝑧0 noktasına 𝑈𝑈’nun bir iç noktası denir.

2.1.6. Tanım (Dış Nokta)

2.1.7. Tanım (Sınır Noktası)

𝑈𝑈 ⊂ 𝐶𝐶 olmak üzere bir 𝑧𝑧0 ∈ 𝑈𝑈 noktası verilsin. Eğer 𝑧𝑧0 noktasının 𝑈𝑈 kümesine ait olan veya olmayan noktaları içeren bir komşuluğu mevcutsa bu 𝑧𝑧0 noktasına 𝑈𝑈 kümesinin sınır noktası denir.

2.1.8. Tanım (Kapanış Noktası)

𝑈𝑈 kümesinde ki tüm noktalarla birlikte 𝑈𝑈’nun sınır noktalarını da içeren küme U’nun kapanışı olarak adlandırılır ve 𝑈𝑈� ile gösterilir.

2.1.9. Tanım (Yığılma Noktası)

𝑈𝑈 ⊂ 𝐶𝐶 olmak üzere bir 𝑧𝑧0 ∈ 𝑈𝑈 noktası verilsin. Eğer 𝑧𝑧0’ın her bir 𝐷𝐷(𝑧𝑧0, 𝜀𝜀) komşuluğu ile 𝑈𝑈 kümesinin arakesitinde 𝑈𝑈’ya ait en az bir eleman mevcut ise 𝑧𝑧0 noktasına 𝑈𝑈 kümesinin bir yığılma noktası denir.

2.1.10. Tanım (Açık Küme)

Hiçbir sınır noktası olmayan kümelere açık küme denir.

2.1.11. Tanım (Kapalı Küme)

Tüm sınır noktalarını içeren kümelere kapalı küme denir.

2.1.12. Tanım (Bağlantılı Küme)

U, X ve Y ,C kompleks sayılar kümesinin bir alt kümesi olsun. Eğer 𝑈𝑈 ⊂ 𝑌𝑌 ∪ 𝑍𝑍, 𝑈𝑈 ∩ 𝑍𝑍 ≠

∅, 𝑈𝑈 ∩ 𝑋𝑋 ≠ ∅ ve 𝑈𝑈 ∩ 𝑋𝑋 ∩ 𝑌𝑌 ≠ ∅ olacak biçimde Y ve C gibi boş olmayan iki açık ve ayrık küme yok ise 𝑈𝑈 ⊂ 𝐶𝐶 kümesine bağlantılı küme denir.

2.1.13. Tanım (Basit Bağlantılı Küme)

𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2 ∈ 𝑈𝑈 ve 𝑈𝑈 ⊂ 𝐶𝐶 olsun. Eğer 𝑈𝑈 kümesi içindeki iki noktayı birleştiren bütün yollar yine aynı küme içerisinde kalıyorsa bu kümeye basit bağlantılı küme denir.

2.1.14. Tanım (Kutup Noktası)

𝑓𝑓 fonksiyonu, 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧0 noktasında analitik olmasın. Eğer f fonksiyonu 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑧𝑧→𝑧𝑧0(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0)

𝑚𝑚_{𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑈𝑈 ≠ 0} ifadesini sağlıyorsa ve 𝑛𝑛 ∈ ℤ+ _{sayısı mevcut ise 𝑧𝑧 = 𝑧𝑧}

kutup noktası denir.

2.1.15. Tanım (Singüler Nokta)

𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑧𝑧) kompleks fonksiyonun analitik olmayan bir z noktasına 𝑓𝑓 fonksiyonunun singüler noktası denir.

2.1.16. Tanım (Yakınsaklık)

Kompleks sayılarda bir 𝑧𝑧𝑛𝑛 dizisi ve 𝑧𝑧0 ∈ 𝐶𝐶 olsun. Her 𝜀𝜀 > 0 için 𝑛𝑛 ≥ 𝑛𝑛0 iken |𝑧𝑧𝑛𝑛− 𝑧𝑧0| < 𝜀𝜀 olacak şekilde bir 𝑛𝑛0 doğal sayısı varsa, 𝑧𝑧𝑛𝑛 dizisi 𝑧𝑧0 kompleks sayısına yakınsıyor denir. 𝑧𝑧𝑛𝑛 dizisinin 𝑧𝑧0 kompleks sayısına yakınsaması 𝑧𝑧𝑛𝑛 → 𝑧𝑧0 biçiminde gösterilir.

2.1.17. Tanım (Düzgün Yakınsaklık)

𝑈𝑈 ⊂ 𝐶𝐶 ve 𝑓𝑓𝑚𝑚: 𝑈𝑈 → 𝐶𝐶 fonksiyonlarının 𝑓𝑓𝑚𝑚 dizisi verilsin. Her 𝜀𝜀 > 0 ve tüm 𝑧𝑧 ∈ 𝑈𝑈 için 𝑛𝑛 ≥ 𝑛𝑛0 iken |𝑓𝑓𝑚𝑚(𝑧𝑧) − 𝑓𝑓(𝑧𝑧)| < 𝜀𝜀 ise 𝑓𝑓𝑚𝑚 dizisi f fonksiyonuna düzgün yakınsıyor denir.

2.1.18. Tanım (Mutlak Yakınsaklık)

� |𝑎𝑎𝑛𝑛| ∞ 𝑛𝑛=1 serisi yakınsak ise

� |𝑎𝑎𝑛𝑛| ∞ 𝑛𝑛=1 serisine mutlak yakınsak denir.

2.1.19. Tanım (Süreklilik)

𝑈𝑈 ⊂ 𝐶𝐶 olmak üzere 𝑓𝑓: 𝑈𝑈 → 𝐶𝐶 ye tanımlı bir fonksiyon ve 𝑧𝑧, 𝑧𝑧0 ∈ 𝑈𝑈 olsun. 𝜀𝜀 > 0 keyfi bir sayı olmak üzere |𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0| < 𝛿𝛿 iken |𝑓𝑓(𝑧𝑧) − 𝑓𝑓(𝑧𝑧0)| < 𝜀𝜀 olacak şekilde bir 𝛿𝛿 > 0 sayısı bulunabiliyorsa f(z) fonksiyonu 𝑧𝑧0’da süreklidir denir.

2.1.20. Tanım (Eğri Çeşitleri)

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥(𝑡𝑡) ve 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦(𝑡𝑡) sürekli reel fonksiyonlar olmak üzere 𝑥𝑥(𝑡𝑡), 𝑦𝑦(𝑡𝑡), 𝑎𝑎 ≤ 𝑏𝑏 denklemlerinin kümesinin, düzlemde parametrelenmiş bir C eğrisi olduğunu kabul edelim. C nin başlangıç ve bitiş noktaları (𝑥𝑥(𝑎𝑎), 𝑦𝑦(𝑎𝑎)) 𝑣𝑣𝑣𝑣 (𝑥𝑥(𝑏𝑏), 𝑦𝑦(𝑏𝑏)) sırasıyla, 𝐴𝐴 ve

(i) Eğer x′ ve y′ , [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] kapalı aralığı üzerindeki sürekli ve (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) açık aralığında aynı anda sıfır değerlerini almıyorlar ise C’ye düzgün eğri denir.

(ii) Eğer C eğrisi sonlu sayıda 𝐶𝐶1, 𝐶𝐶2, … , 𝐶𝐶𝑛𝑛 düzgün eğrilerinin uç uca eklenmesi ile oluşan, yani, bir 𝐶𝐶𝑘𝑘 eğrisinin bitiş noktası bir sonraki 𝐶𝐶𝑘𝑘+1 eğrisinin uç noktası ile çakışıyorsa C’ye düzgün parçalı bir eğri denir.

(iii) t=a ve t=b noktaları hariç C eğrisi kendisi ile kesişmiyorsa C ye basit bir eğri denir.

(iv) Eğer A=B ise C ye kapalı bir eğri denir.

(v) Eğer C kendisi ile kesişmiyor ve A=B ise, yani, C basit ve kapalı bir eğri ise C ye

basit kapalı eğri denir [1].

Şekil 2.1. Düzlemde eğri tipleri.

2.1.21. Tanım (Konveks Bölge)

D ⊂ C olmak üzere her 𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2 ∈ D ⊂ C için bu iki noktayı birleştiren bütün yollar D

içerisinde kalıyorsa buna C’de bir konveks bölge denir.

Şekil 2.2. Konveks bölge.

2.1.22. Tanım (Starlike Bölge)

D ⊂ C olmak üzere 𝑧𝑧0 ∈ D ⊂ C verilsin. Eğer her 𝑧𝑧 ∈ D ⊂ C noktası yani her bir nokta

Şekil 2.3. Starlike bölge.

2.1.23. Tanım (Seri)

𝑢𝑢𝑛𝑛 ∈ C olmak üzere,

𝑢𝑢1+𝑢𝑢2+... +𝑢𝑢𝑛𝑛 +…= ∑∞𝑛𝑛=1𝑢𝑢𝑛𝑛

şeklinde ki toplama sonsuz seri denir. 𝑢𝑢𝑛𝑛 serinin genel terimidir [2].

2.2. ANALİTİK KAVRAMI VE ÜNİVALENT FONKSİYONLAR

Şimdiki bölümde konumuzun içeriğini oluşturan tanımları ve teoremleri ele alacağız.

2.2.1. Tanım (Analitik Fonksiyon)

f(z)’nin 𝑧𝑧0’da 𝑓𝑓′(𝑧𝑧0) türevi mevcut ve 𝑧𝑧0’ın bir 𝐷𝐷𝜀𝜀(𝑧𝑧0) = {z : |z −𝑧𝑧0| < ε} komşuluğundaki her noktada türevi varsa bu durumda f , 𝑧𝑧0’da analitiktir (veya holomorfiktir) denir [3].

2.2.2. Tanım (Konveks Fonksiyon)

f(z), |z|<1 de analitik ve konveks fonksiyondur ancak ve ancak

𝑅𝑅𝑣𝑣 �1 +𝑧𝑧𝑓𝑓′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓′′(𝑧𝑧)� > 0} ve 𝑓𝑓′′(𝑧𝑧) ≠ 0 dır.

2.2.3. Tanım (Starlike Fonksiyon)

f(z), |z|<1 de starlike bir fonksiyondur ancak ve ancak

𝑅𝑅𝑣𝑣 � 𝑧𝑧𝑓𝑓(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓′(𝑧𝑧)} � > 0 ve 𝑓𝑓′(𝑧𝑧) ≠ 0 dır.

2.2.4. Tanım (Ünivalent Fonksiyon)

D kompleks düzlem üzerinde bir bölge olmak üzere

𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 + � 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 𝑛𝑛≥2

fonksiyonu analitik ve birebir ise bu f fonksiyonuna ünivalent fonksiyon denir.

2.2.5. Tanım (Meromorf Fonksiyon)

D kompleks düzlem üzerinde bir bölge olsun. Eğer bu bölge üzerinde kutup

noktalarından başka singüler noktası olmayan fonksiyonlara meromorf fonksiyon denir.

2.2.6. Tanım (Laurent Serisi)

Herhangi bir f kompleks fonksiyonu z=𝑧𝑧0 noktasında analitik değilse bu noktaya f fonksiyonun tekil noktası denir. Örneğin z=3i ve z=-3i sayıları 𝑧𝑧 (𝑧𝑧� 2_{+ 9)} fonksiyonun tekil noktalarıdır. Çünkü f bu noktalarda süreksizdir.

2.2.7. Tanım (Taylor serisi)

f fonksiyonu her dereceden türevli ve a karmaşık ya da bir gerçel sayı olmak üzere D(z,r)

bölgesinde ki taylor serisini şu şekilde gösterilir: 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + 𝑓𝑓′_{(𝑎𝑎)(𝑧𝑧 − 𝑎𝑎) +}𝑓𝑓′′(𝑎𝑎)

2ǃ (𝑧𝑧 − 𝑎𝑎)2+….+ 𝑓𝑓𝑛𝑛_(𝑎𝑎)

𝑛𝑛ǃ (𝑧𝑧 − 𝑎𝑎)𝑛𝑛 + ⋯

2.2.8. Tanım (Maclaurin Serisi)

Bu seri ise a=0 olma durumunda, Maclaurin serisi olarak adlandırılır. Yani, 𝑓𝑓(0) + 𝑓𝑓′_{(0)(𝑧𝑧) +}𝑓𝑓′′(0) 2ǃ (𝑧𝑧)2+….+ 𝑓𝑓𝑛𝑛₍₀₎ 𝑛𝑛ǃ (𝑧𝑧)𝑛𝑛+ ⋯ şeklinde tanımlanır. 2.2.9. Tanım (A Sınıfı)

f kompleks düzlem üzerinde bir fonksiyon ve |z|<1 üzerinde analitik olsun. Eğer

𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 + � 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 𝑛𝑛≥2

ile tanımlanan f fonksiyonu f(0)=0, f ′(0)=1 şartlarını sağlıyor ise bu fonksiyonların kümesine A sınıfı denir.

2.2.10. Tanım (S Sınıfı)

f kompleks düzlem üzerinde bir fonksiyon ve |z|< 1 üzerinde analitik olsun. Eğer

𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 + � 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 𝑛𝑛≥2

ile tanımlanan f fonksiyonu ünivalent ve f(0)=0, f ′(0)=1 ise bu fonksiyonların kümesine

S sınıfı denir.

2.2.11. Tanım (Cauchy-Riemann Eşitliği)

𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) + 𝑙𝑙𝑣𝑣(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) fonksiyonu alalım. Burada f fonksiyonu z=x+iy noktasında türevli ise u ve v fonksiyonlarının türevleri vardır. Bu türevler de Cauchy-Rieamann denklemlerini sağlar. Yani:

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 ve 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕= − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕.

2.2.12. Tanım (Riemann Alan Teoremi)

D, C kompleks düzleminde basit bağlantılı bir bölge ve 𝑧𝑧0 ∈D olsun. Eğer f(𝑧𝑧0) = 0 ve

f ′(𝑧𝑧0) > 0 olacak şekilde D yi birim disk üzerine konform olarak dönüştüren sadece f

konfor dönüşümü vardır.

2.2.13. Tanım (Konvekse Yakın Fonksiyonlar)

g bir konveks fonksiyon ve f de birim disk üzerinde analitik olsun. Eğer,

𝑅𝑅𝑣𝑣 �𝑓𝑓 ′(𝑧𝑧)_{𝑔𝑔 ′(𝑧𝑧)� > 0}

ise f(z) konvekse yakın fonksiyon denir. Ayrıca her konvekse yakın fonksiyon

ünivalenttir.

2.2.14. Tanım (Schwarz Lemması)

D birim disk içerisindeki f analitik ve f(0)=0, |f(z)|<1 olsun. O halde |f ′(0)|≤1 ve f(z)≤|z| elde edilir. 𝑓𝑓′ de öngörülemeyen kesin eşitsizlikler disk de dönme yapılırsa

f(z)=𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_𝑧𝑧 elde edilir.

2.2.15. Tanım (Alan Teoremi) 𝑓𝑓 ∈ ∑ ve yalnızca f∈ ∑� ise � 𝑘𝑘|𝑎𝑎𝑘𝑘|2 ≤ 1 ∞ 𝑘𝑘=1 eşitliği vardır. İspat

Burada f ünivalent fonksiyonlar teorisinde alan teoremi ile ifade edilir. E, f fonksiyonunu içermeyen bir küme olsun. r >1 için, 𝐷𝐷𝑟𝑟 |z|=r dairesinin f altındaki bir görüntüsü olsun. f ünivalent bir fonksiyon olup 𝐷𝐷𝑟𝑟, 𝐸𝐸𝑟𝑟 ⊂ 𝐸𝐸 alanını saran bir eğridir. Green teoreminin 𝐸𝐸𝑟𝑟 alanı r>1 için, 𝐵𝐵𝑟𝑟=_2İ1 ∫ 𝑤𝑤�𝑑𝑑𝑤𝑤_{𝐷𝐷𝑟𝑟} = _2𝑖𝑖1 ∫_{|𝑧𝑧|=𝑟𝑟}𝑓𝑓(𝑧𝑧)������𝑓𝑓 ′(𝑧𝑧)𝑑𝑑𝑧𝑧 =1_{2 � �𝑟𝑟𝑣𝑣}−𝑖𝑖𝑖𝑖_{+ � 𝑎𝑎} 𝑘𝑘 ���𝑟𝑟−𝑘𝑘_𝑣𝑣𝑖𝑖𝑘𝑘𝑖𝑖 ∞ 𝑘𝑘=0 � 2𝜋𝜋 0 𝑥𝑥 �1 − � 𝑣𝑣𝑎𝑎𝜕𝜕𝑟𝑟−𝜕𝜕−1𝑣𝑣−𝑖𝑖(𝜕𝜕+1)𝑖𝑖 ∞ 𝑘𝑘=1 � 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_{𝑑𝑑𝑑𝑑} = 𝜋𝜋 �𝑟𝑟2_{− � 𝑘𝑘|𝑎𝑎} 𝑘𝑘|2𝑟𝑟−2𝑘𝑘 ∞ 𝑘𝑘=1 �

r’nin 1 sayısına eşit olduğunu düşünerek buradan,

𝑙𝑙(𝐸𝐸) = 𝜋𝜋 �1 − � 𝑘𝑘|𝑎𝑎𝑘𝑘|2 ∞

𝑘𝑘=1

� burada 𝑙𝑙(𝐸𝐸), E’nin bir dış ölçüsüdür.

3. MATERYAL VE YÖNTEM

г basit bir eğri ve f(z), г üzerinde düzenli ve D alanında da analitiktir. z noktası D üzerinde ve ϛ, г’dedir. O halde,

� 𝑓𝑓(ϛ)𝑑𝑑ϛ г

= 0

Burada Cauchy, 𝑓𝑓′(𝑧𝑧) nin г ∪ 𝐷𝐷 şartlarını sağladığını varsaymıştır. Goursat bu hipotezi kaldırmış ve dolayısıyla bazı yerlerde bu teorem Cauchy-Goursat Teoremi olarakta geçmektedir.

3.1.2. Teorem (Cauchy İntegral Formülü)

𝑛𝑛 = 1 için 𝑓𝑓𝑛𝑛_{(𝑧𝑧) =} 𝑛𝑛ǃ 2𝜋𝜋𝑙𝑙 � 𝑓𝑓(ϛ) (ϛ − 𝑧𝑧)𝑛𝑛+1 г 𝑑𝑑ϛ

|𝑧𝑧| < 𝑅𝑅 için 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = ∑ 𝑎𝑎∞0 𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 ise o halde 0 < г < 𝑅𝑅 ve n=0,1,2,… için 𝑎𝑎𝑛𝑛 =_{2𝜋𝜋𝑙𝑙 �}1 𝑓𝑓(ϛ)_ϛ𝑛𝑛+1𝑑𝑑ϛ 𝑐𝑐г =_{2𝜋𝜋 �}1 𝑓𝑓(𝑟𝑟𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_𝑟𝑟)𝑣𝑣_𝑛𝑛 −𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 2𝜋𝜋 0 𝑑𝑑𝑑𝑑

Daha genel olarak, 𝑎𝑎 < |𝑧𝑧| < 𝑏𝑏 bölgesinde düzenli olduğunu ve Laurent genişlemesinin 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = � 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛

∞ 𝑛𝑛=−∞

olduğunu varsayalım. Sonra (a,b) de ki her 𝑟𝑟 için ve her bir 𝑛𝑛 tamsayısı için 𝑎𝑎𝑛𝑛 yukarıdaki denklemi verir [4].

3.2. ROUCHE’S TEOREMİ 3.2.1. Tanım (Jordon Eğrisi)

Jordon eğrisi arakesiti olmayan basit kapalı eğrilerdir. Jordon eğrileri her zaman düzlemi iki parçaya böler. Eğrinin içte kalan kısmını da Jordon bölgesi denir.

3.2.2. Teorem (Rouche’s Teoremi)

Jordon eğrisi C üzerinde ve içinde f ve g analitik olsun. C üzerinde |𝑔𝑔(𝑧𝑧)| < |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| dir. O halde 𝑓𝑓 ve (𝑓𝑓 + 𝑔𝑔) benzer sıfırların numarasına sahiptir ve C içinde çoğunluğa göre göz önüne alınır.

İspat

∆𝑐𝑐arg(𝑓𝑓 + 𝑔𝑔) = ∆𝑐𝑐𝑎𝑎𝑟𝑟𝑔𝑔𝑓𝑓 + +∆𝑐𝑐(1 + 𝑔𝑔 𝑓𝑓⁄ ) = ∆𝑐𝑐𝑎𝑎𝑟𝑟𝑔𝑔𝑓𝑓

D alanında bulunan {𝑓𝑓𝑛𝑛} fonksiyonları analitik ise D’nin kısılmış bütün alt kümeleri 𝑓𝑓

fonksiyonunun eşit oranlarda yakınsaması söz konusu olduğunda f, D içerisinde analitiktir. Bu ise bize Cauchy integral formülüyle daha kolay ispat yaptırır.

3.3. RİEMANN ALAN TEOREMİ

1851 gibi erken bir tarihte Riemann, basit bir şekilde bağlanmış her alanın birim diske uygun bir şekide eşlenebileceği temel teoremini duyurdu. Riemann’ ın kanıtı, Dirichlet integrali için belirli bir uç soruna bir çözümün varlığını tam anlamıyla varsaydı ve bu nedenle eksik kaldı. Yarım asır sonra Koebe, aşırı işlevsellik varoluşunun güvence altına alındığı, normal bir aile üzrinde aşırı bir sorun teşkil ederek zorluğu önleyen bir kanıt buldu. Koebe’nin kanıtı, geometrik fonksiyon teorisindeki varoluş kanıtları için standart bir model haline geldi [5].

3.3.1. Teorem

D, kompleks düzlemin bir alt kümesi olan basit bağlantılı bir alan olsun. ϛ, D’de verilen

bir nokta olsun. Özel bir f fonksiyonu seçersek birim disk üzerinde konform D dönüşümü yaparsak 𝑓𝑓(ϛ) = 0 ve 𝑓𝑓(ϛ) > 0 özellikleri elde edilir.

İspat

Hipotezdeki D bütün düzlemin temelini oluşturmaz çünkü Liouville teoreminde her sınır bütün fonksiyonlarda sabit kalır. Bu tez kolaylıkla bulunur. Gerçekten de eğer g’nin

verilen diğer özel dönüşümü kendi üzerindeki birim diske olan konform dönüşümü kendi üzerindeki birim diske olan konform dönüşümü ℎ = 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑓𝑓−1 _{fonksiyonu ve bu nedenle} doğrusal kesir dönüşümlerinin Bölüm 2.2.11 sonunda olduğu görülür. Fakat ℎ = 0 ve

ℎ′_{(0) > 0, yani h birimdir(özdeştir). Burada 𝑓𝑓 = 𝑔𝑔 ve dönüşüm özgündür. İspata} bakarsak D içerisinde 𝔉𝔉 ailesi sınıfının 𝑓𝑓 fonksiyonu analitik ve ünivelanttır ve ve tüm .Bu 𝔉𝔉 nin boş olmadığını görmek için 𝑧𝑧 ∈ 𝐷𝐷 için 𝑓𝑓(ϛ) = 0 ve 𝑓𝑓′_{(ϛ) > 0 ve |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| < 1} olur. Bu sınıf D’ye ait konform dönüşümlerini birim diske dönüştürür. Monteli teoremine örnek alırsak, 𝔉𝔉 normal sını olur. Bu 𝔉𝔉 sınıfının boş olmadığını görmek için, 𝛼𝛼 ∉ 𝐷𝐷 sonlu olan bir nokta seçersek ve 𝑔𝑔(𝑧𝑧) = (𝑧𝑧 − 𝛼𝛼)1 2⁄ _{fonksiyonunu önemseriz. D basit bağlantılı} olduğunda, g tek değerli kısım olur. Bu g fonksiyonu D içerisinde 𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2 noktaları için ünivelant ve analitik olup 𝑔𝑔(𝑧𝑧1) ≠ −𝑔𝑔(𝑧𝑧2) olur. Çünkü g’nin bazı diskler içerisindeki bütün değerlerini farz edelim |𝑤𝑤 − 𝑔𝑔(ϛ)| ≤ 𝜀𝜀, bütün diski dikkate almazsak |𝑤𝑤 + 𝑔𝑔(ϛ)| ≤ 𝜀𝜀. Birim disk üzerinde 𝜓𝜓�𝑔𝑔(ϛ)� = 0 ve 𝜓𝜓′_{�𝑔𝑔(ϛ)� > 0 üzerinde |𝑤𝑤 + 𝑔𝑔(ϛ)| > 𝜀𝜀} bölgesinde lineer kesir dönüşümü olan 𝜓𝜓 alalım. O halde 𝜓𝜓𝑔𝑔𝑔𝑔 ∈ 𝔉𝔉. Şimdi 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑠𝑠𝑓𝑓∈𝔉𝔉𝑓𝑓′(ϛ) = 𝑀𝑀 ≤ ∞ olsun ve seçilen 𝑓𝑓𝑛𝑛 ∈ 𝔉𝔉 ardışık fonksiyonu için 𝑓𝑓′_𝑛𝑛(ϛ) → 𝑀𝑀 olur. 𝔉𝔉 normal sınıf olduğundan dolayı, bazı alt diziler sıkışık analitik f fonksiyonu üzerindeki eşit yakınsak ünivalent ya da sabit olur. Limit fonksiyonu 𝑓𝑓′_{(ϛ) = 0 olur ve 𝑓𝑓}′_{(ϛ) = 𝑀𝑀 > 0 dır. Bu} durumda 𝑀𝑀 < ∞ ve f sabit değildir. Yani 𝑓𝑓 ∈ 𝔉𝔉 olur.

Extremal uç fonksiyon 𝑓𝑓’nin D üzerinde birim diskin konform dönüşümüne gerek duyulur. Eğer yoksa, 𝑓𝑓 bazı 𝑤𝑤 ∈ 𝐷𝐷 noktalarını görmez ve bazı kümeleri

𝐹𝐹(𝑧𝑧) = �𝑓𝑓(𝑧𝑧) − 𝑤𝑤 1 − 𝑤𝑤𝑓𝑓(𝑧𝑧)���������

1 2⁄

analitik ve D içerisinde tek değerlidir. D içerisinde 𝑓𝑓 ünivalenttir ve |𝐹𝐹(𝑧𝑧)| < 1 olur. Fonksiyon

𝐺𝐺(𝑧𝑧) = 𝑣𝑣−𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐹𝐹(𝑧𝑧)−𝐹𝐹(ϛ) 1−𝐹𝐹(𝜁𝜁)������𝐹𝐹(𝑧𝑧),

𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_{= 𝐹𝐹}′_{(ϛ) 𝐹𝐹⁄} ′_{(ϛ), bundan dolayı F’ye aittir. Açık hesaplar verir ki} 𝐺𝐺′_{(ϛ) =} |𝐹𝐹′(ϛ)|

1 − |𝐹𝐹′_(ϛ)|2 =

1 + |𝑤𝑤| 2 + �|𝑤𝑤|𝑓𝑓

′_(ϛ),

ve 𝐺𝐺′_{(ϛ) > 𝑓𝑓}′_{(ϛ). 𝑓𝑓 deki özel uç noktalar gösterir ki birim disk içerisinde bulunan 𝑓𝑓} herhangi bir noktayı ihmal etmez. Eğer D Jordan alanı ise Riemann dönüşümünde sınırın

genişletilmiş sürekliliği ve birim çemberde genişletilmiş sınırlı fonksiyon dönüşümlerinin sınırlı bükeyliği birebir yapılır. Caratheodory Denklem (3.4)’de ki önemli sonuç yeterlidir [6].

3.3.2.Teorem(Carathéodory Genişleme Teoremi)

Jordan eğrisi olan C, D alanında sınırlandırılmış olduğunu varsayalım ve birim disk olan

D üzerinde f’nin konform dönüşümü olsun. Kapalı disk 𝐷𝐷� üzerinde 𝑓𝑓’nin genişletilmiş

homomorfizması ise 𝐷𝐷� = 𝐷𝐷 ∪ 𝐶𝐶 olur.

İspat

Varsayalım kanıtta ∆� üzerinde genişletimiş homomorfizması olan 𝐷𝐷� ∆ Jordan alanında,

D Jordan alanı üzerinde bulunan konform dönüşümü olur. 3.4. SCHWARZ LEMMASI VE UYGULAMALARI 3.4.1. Noneuclindea Metriği

𝑆𝑆(𝑧𝑧) =𝑎𝑎𝑧𝑧 + 𝑏𝑏

𝑏𝑏�𝑧𝑧 + 𝑎𝑎� (3.1) |𝑎𝑎|2_{− |𝑏𝑏|}2 _{= 1 ile olan fraksiyonel doğrusal dönüşümü, 𝐷𝐷 = {𝑧𝑧; 𝐼𝐼𝑧𝑧𝑙𝑙 < 1} birim} diskini içeriyorsa kendisiyle eşleştirir. Ayrıca 𝑧𝑧0 = 𝑆𝑆−1 (0) ve 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑔𝑔 𝑆𝑆′(0) değerlerine sahip olan

𝑆𝑆(𝑧𝑧) = 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑎𝑎 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0

1 − 𝑧𝑧� 𝑧𝑧 (3.2)0 Denklem (3.1)’de tanımlandığı gibi de yazılabilir. 𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2 ∈ 𝐷𝐷 olmak üzere 𝑤𝑤1 = 𝑆𝑆(𝑧𝑧1), 𝑤𝑤2 = 𝑆𝑆 (𝑧𝑧2) alalım. Denlem (3.1) 𝑤𝑤1− 𝑤𝑤2 = _{(𝑏𝑏�𝑧𝑧} 𝑧𝑧1− 𝑧𝑧2 1+ 𝑎𝑎�)(𝑏𝑏�𝑧𝑧2+ 𝑎𝑎�) 1 − 𝑤𝑤����𝑤𝑤1 2 = _{(𝑏𝑏𝑧𝑧} 1 − 𝑧𝑧� 𝑧𝑧1 2 1 � + 𝑎𝑎)(𝑏𝑏�𝑧𝑧2+ 𝑎𝑎�) olup �𝑧𝑧1− 𝑧𝑧2 1 − 𝑧𝑧� 𝑧𝑧1 2� = � 𝑤𝑤1− 𝑤𝑤2 1 − 𝑤𝑤����𝑤𝑤1 2� (3.3)

elde edilir.

𝛿𝛿(𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2) = �_{1 − 𝑧𝑧}𝑧𝑧1− 𝑧𝑧2 1

� 𝑧𝑧2� (3.4) değişmeyen bir konformal olsun. 𝛿𝛿(𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2) < 1 olmak üzere Denklem (3.2) ve (3.4)’den

1 − 𝛿𝛿(𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2)2 =(1 − |𝑧𝑧1|

2_{)(1 − |𝑧𝑧} 2|2) |1 − 𝑧𝑧� 𝑧𝑧1 2|2 olduğu görülür. 𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2’ye yaklaşırsa

|𝑑𝑑𝑧𝑧| 1 − |𝑧𝑧|2 =

|𝑑𝑑𝑤𝑤| 1 − |𝑤𝑤|2 elde edilir. Burada uzunluğu

𝑑𝑑𝑠𝑠 =_{1 − |𝑧𝑧|}2|𝑑𝑑𝑧𝑧|₂ (3.5) olan Riemann metriğinin kendi kendine eşleşmeleri altında değişmediğini gösterir. Bu metrikte tüm düzeltilebilir 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎ɣ değişmeyen bir uzunluğa sahip olup ve

�_{1 − |𝑧𝑧|}2|𝑑𝑑𝑧𝑧|₂ ɣ

ve ölçülebilir her A kümesinin değişmeyecek olan bir �_{(1 − |𝑧𝑧|}4𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦₂₎₂

𝐸𝐸

alanı vardır. 0 dışında herhangi bir noktaya en kısa olan yay yarıçaptır. 0’dan 𝑟𝑟 > 0 olan noneuclidean mesafesi şu sekilde olur:

�𝑟𝑟_{1 − 𝑟𝑟}2𝑑𝑑𝑟𝑟₂ = 𝑙𝑙𝑔𝑔𝑔𝑔1 + 𝑟𝑟_{1 − 𝑟𝑟}

0 .

𝛿𝛿(0, 𝑟𝑟) = 𝑟𝑟 olduğu için noneuclidean mesafesinin 𝑑𝑑(𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2), 𝛿𝛿(𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2) ile 𝛿𝛿 = tanh (𝑑𝑑 2⁄ )’yi takip ettiği görülür. Nouclidean geometrisi aynı zamanda 𝐻𝐻 = {𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑙𝑙𝑦𝑦; 𝑦𝑦 > 0}. Denklem (3.5)’den gelen uzunluk

𝑑𝑑𝑠𝑠 =|𝑑𝑑𝑧𝑧|_𝑦𝑦 olur.

3.4.2. Teorem (Schwarz Toplama Teoremi)

Klasik Schwarz Lemması şu şekildedir: f, analitik ise ve |𝑧𝑧| < 1 için |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| < 1 ise ve

𝑓𝑓(0) = 0 ise o halde |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| ≤ |𝑧𝑧| ve |𝑓𝑓′_{(0)| ≤ 1 dır. |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| = |𝑧𝑧| ile 𝑧𝑧 ≠ 0 ya da} |𝑓𝑓′_{(0)| = 1 olduğunda sadece gerçek bir sabit için 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑣𝑣}𝑖𝑖𝑖𝑖_{𝑧𝑧 olduğu görülür.}

3.4.3. Teorem

Birim diskin kendi içinde analitik bir şekilde eşleşmesi, iki nokta arasında kalan noneuclindea mesafesini, noneuclindea uzunluğunu ve bir kümenin noneuclindea bölgesini azaltır. İspat Açık eşitsizlikler �𝑓𝑓(𝑧𝑧1) − 𝑓𝑓(𝑧𝑧2) 1 − 𝑓𝑓(𝑧𝑧�������𝑓𝑓(𝑧𝑧1) 2)� ≤ � 𝒛𝒛𝟏𝟏− 𝒛𝒛𝟐𝟐 1 − 𝑧𝑧� 𝑧𝑧1 2� |𝑓𝑓′_(𝑧𝑧)| 1 − |𝑓𝑓(𝑧𝑧)|2 ≤ 1 1 − |𝑧𝑧|2.

Özel eşitlik kesirli bir doğrusal dönüşüm olduğunda geçerli olur.

3.5. KONVEKS BÖLGELER 3.5.1. Tanım

Bir küme, iki nokta arasında bir doğru parçası içeriyorsa konvekstir. Konveks bir bölgede birim disk üzerinde birebir olan analitik bir f fonksiyonu tanımlayalım. Basit olması için, bu tür fonksiyonlara konveks ünivalent denir [7].

3.5.2. Teorem

D’de f analitik bir fonksiyon olsun eğer konveks ise ünivelanttır. Sadece her 𝑧𝑧 ∈ 𝐷𝐷 olmak

üzere

𝑅𝑅𝑣𝑣𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓′(𝑧𝑧) ≥ −1} dir. O halde,

eşitsizlikleri elde edilir.

3.6. KOEBE FONKSİYONU

S sınıfında yer alan,

𝑘𝑘(𝑧𝑧) =_{1 − 𝑧𝑧}𝑧𝑧 ₂ = 𝑧𝑧 + 2𝑧𝑧2_{+ 3𝑧𝑧}3 _{+ ⋯ = � 𝑛𝑛𝑧𝑧}𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=1

Şeklinde belirtilen fonksiyona Koebe fonksiyonu denir. Bu fonksiyon birim çemberi 𝐶𝐶 − �−∞, −1₄� bölgesine dönüştürür.

3.7. BİEBERBACH TAHMİNİ

S sınıfından olan bir 𝑓𝑓(𝑧𝑧) fonksiyonu

𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 + 𝑎𝑎2𝑧𝑧2+ 𝑎𝑎3𝑧𝑧3+ 𝑎𝑎4𝑧𝑧4 + ⋯ = 𝑧𝑧 + � 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=2

biçiminde bir açılıma sahiptir. 𝑛𝑛 ≥ 2 için |𝑎𝑎𝑛𝑛| ≤ 𝑛𝑛 eşitsizlikleri Bieberbach tahmini olarak adlandırılır.

3.8. GEOMETRİK FONKSİYONLAR TEORİSİ

Bu bölümdeki amacımız univalent fonksiyonlar teorisinin temelini oluşturan karmaşık analizin genel koşullarından bazılarını gözden geçirip bir araya toplamaktır.

3.8.1. Temel Koşullar

Bir karmaşık düzlemin f fonksiyonun 𝑧𝑧0’da 𝑓𝑓′_(𝑧𝑧

0) = lim_{𝑧𝑧→𝑧𝑧}

0

𝑓𝑓(𝑧𝑧) − 𝑓𝑓(𝑧𝑧0) 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0

türevine sahipse, 𝑧𝑧0 ∈ 𝐶𝐶 noktasında değişkenlik gösterebilir. Aynı zamanda burada f fonksiyonu 𝑧𝑧0’ın bir bölgesinde her noktada değişkenlik gösteriyorsa 𝑧𝑧0’da analitiktir. f fonksiyonu 𝑧𝑧0 merkezli açık olan bir diskte

𝑓𝑓(𝑧𝑧) = � 𝑎𝑎 (𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 )2 ∞

𝑎𝑎𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(𝑘𝑘)(𝑧𝑧0) 𝑘𝑘⁄ ǃ olmak üzere yakınsak bir Taylor serisine sahiptir. Taylor serisi, C’nin bir Jordon eğrisi olduğu, f fonksiyonun içinde ve C’de analitik olduğu ayrıca z’nin C içerisinde yer aldığı Cauchy integral formülü olan

𝑓𝑓(𝑘𝑘)_{(𝑧𝑧) =} 𝑘𝑘ǃ 2𝜋𝜋𝑙𝑙 �

𝑓𝑓(ϛ) (ϛ − 𝑧𝑧)𝑘𝑘+1𝑑𝑑ϛ 𝐶𝐶

ile kolayca elde edilir. 𝑘𝑘 = 0 için Cauchy integral teoreminden � 𝑓𝑓(ϛ)𝑑𝑑ϛ = 0

𝐶𝐶 elde edilir.

3.8.2. Hurwitz’s Teoremi

𝑓𝑓𝑛𝑛, D alanında analitik olduğunu varsayalım ve 𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑧𝑧) → 𝑓𝑓(𝑧𝑧) için 𝑛𝑛 → ∞, aynı şekide D düzenli altkümelere sahip olsun. O halde ya D içinde 𝑓𝑓(0) = 0 ya da 𝑓𝑓’nin bütün sıfırları 𝑓𝑓𝑛𝑛 fonksiyonlarının ardışık olan sıfırlarının limit noktasını oluşturur.

İspat

Kabul edelim ki 𝑓𝑓(𝑧𝑧0) = 0 fakat 𝑓𝑓(𝑧𝑧) ≡0 olsun. Sıfırın bazı fonksiyonların 𝑧𝑧0 komşuluğunu göstermek yeterli olur. 𝛿𝛿 > 0 olsun. D içerisinde disk |𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0| ≤ 𝛿𝛿 ve 𝑓𝑓(𝑧𝑧) ≠ 0 C birim çemberinde |𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0| = 𝛿𝛿 olarak gösterilmiştir. 𝑙𝑙, |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| nin C üzerinde ki minumum noktası olsun. O halde tüm 𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 için C üzerinde,

|𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑧𝑧) − 𝑓𝑓(𝑧𝑧)| < 𝑙𝑙 ≤ |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| elde edilir.

3.8.3. Teorem

D bölgesinde 𝑓𝑓𝑛𝑛 ünivalent ve analitik bir fonksiyon olsun, 𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑧𝑧) → 𝑓𝑓(𝑧𝑧) olacak şekilde

𝑛𝑛 → ∞ olduğunu varsayarsak D sıkıştırılmış alt kümeyi oluşturur. O halde 𝑓𝑓, D içerisinde ünivalent ya da sabit olur.

İspat

Kabul edelim ki aksi taktirde, 𝑓𝑓(𝑧𝑧1) = 𝑓𝑓(𝑧𝑧2) = 𝛼𝛼 bazı ayrı iki noktalarda D içerisinde 𝑧𝑧1 ve 𝑧𝑧2 noktaları olsun. Eğer 𝑓𝑓(𝑧𝑧) ≠ 𝛼𝛼 olursa Hurwitz’s teoreminde ya da kanıtına bakılarak bu 𝑛𝑛 ≥ 𝑁𝑁 için 𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑧𝑧) − 𝛼𝛼 fonksiyonu 𝑧𝑧1ve 𝑧𝑧2 noktalarının ayrık komşuluğunda

kaybolur. Bu da 𝑓𝑓’nin ünivalentlığının önemsenmediği, yani aslında 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝛼𝛼 olduğu görülür.

3.8.4. Normal Sınıflar 3.8.5. Tanım

D alanında analitik olan fonksiyonlar ailesine 𝔉𝔉, her 𝑓𝑓𝑛𝑛 ∈ 𝔉𝔉 fonksiyon dizisi D’nin her

kompakt alt kümesinde düzgün bir şekide birleşen bir alt diziye sahipse normal bir sınıf olarak adlandırılır. Kompakt D alt kümeleri üzerinde her ne kadar 𝑓𝑓𝑛𝑛 ∈ 𝔉𝔉 ve 𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑧𝑧) − 𝑓𝑓(𝑧𝑧) eşitse, 𝔉𝔉 ailesi 𝑓𝑓 ∈ 𝔉𝔉’yi takip eder. Fonksiyonların her bir kapalı disk 𝐵𝐵 ⊂ 𝐷𝐷’ye eşit olacak şekilde bağlanması durumunda, D’de ki analitik fonksiyonlar sınıfının 𝔉𝔉 lokal olarak bağlandığı söylenir; yani diğer bir ifade ile eğer |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| ≤ 𝑀𝑀, tüm 𝑧𝑧 ∈ 𝐵𝐵 için ve her 𝑓𝑓 ∈ 𝔉𝔉 için, burada M, sadece B’ye bağlıdır. Eğer 𝔉𝔉 yerel olarak bağlı bir analitik fonksiyonlar ailesi ise, Cauchy integral formülü ile türevlerin ailesi {𝑓𝑓′_{: 𝑓𝑓 ∈ 𝔉𝔉} de yerel} olarak bağlanır. Burada normallik için faydalı bir kriter sağlayan Montel teoremi verilsin. 3.8.6. Teorem (Montel Teoremi)

Yerel olarak bağlı her analitik fonksiyon ailesi normaldir.

3.8.7. Teorem

Her normal aile yerel olarak sınırlıdır.

İspat

𝔉𝔉 bir D bölgesinde analitik fonksiyonların ailesi olsun. Eğer 𝔉𝔉 yerel olarak bağlı değilse, bazı kompakt bölgeler 𝐾𝐾 ⊂ 𝐷𝐷 üzerinde düzgün şekilde bağlanamaz. Böylece bazı fonksiyonlar için 𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑧𝑧𝑛𝑛) → ∞, 𝑧𝑧𝑛𝑛 ∈ 𝐾𝐾 ve 𝑓𝑓𝑛𝑛 ∈ 𝔉𝔉 noktaları olur. Fakat o halde hiçbir {𝑓𝑓𝑛𝑛} dizisi 𝐾𝐾 üzerinde eşit olarak birleşemez, bu nedenle 𝔉𝔉 normal bir aile değidir. Normal bir ailedeki fonksiyonlar için, noktadan yakınsaklık aslında her bir kompakt alt kümede düzgün yakınsama anlamına gelir. Vitali teoremi olarak bilinen bu teoremi takip eder.

3.8.8. Teorem (Vitali Teoremi)

𝑓𝑓𝑛𝑛 fonksiyonlarının analitik ve lokal olarak D etki alanında sınırlandırılması sağlansın ve {𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑧𝑧)}’nin D’de kümelenme noktası olan bir kümenin her noktasını birleştirdiği varsayılsın. O halde {𝑓𝑓𝑛𝑛(𝑧𝑧)}, D’nin her bir alt kümesinde düzgün bir biçimde birleşir.

3.8.9. Teorem

Ünivalent fonksiyonların S sınıfı, kompakt ve normal bir ailedir.

3.8.10. Teorem (Carathéodory Uzatma Teoremi)

D bir Jordon eğrisi C ile sınırlanan bir alan olsun ve 𝑓𝑓, D’yi birim 𝔻𝔻 diskine uygun bir

şekilde eşleştirsin. O halde 𝑓𝑓, kapalı disk 𝔻𝔻� üzerinde 𝐷𝐷� = 𝐷𝐷 ∪ 𝐶𝐶 nin homomorfizmine genişletilebilir.

3.8.11. Harmonik ve Subharmonik Fonksiyonlar 3.8.12. Tanım

Burada Green Teoremi ile başlamak daha uygun olacaktır. D, pozitif anlamda

yönlendirilmiş sınırlı sayıda düzgün Jordan eğrilerinden oluşan 𝐶𝐶 = 𝜕𝜕𝐷𝐷 sınırındaki düzlemde bir alan olsun.

𝑃𝑃 = 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ve 𝑄𝑄 = 𝑄𝑄(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), 𝐷𝐷 � de sürekli kısmi türevlere sahip olmalı. Green teoremi C üzerinde integralli bir çizgiyi D üzerinde integralli bir alana bağlar:

� 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑥𝑥 𝐶𝐶 + 𝑄𝑄𝑑𝑑𝑦𝑦 = � �𝜕𝜕𝑄𝑄 𝜕𝜕𝑥𝑥 − 𝜕𝜕𝑃𝑃 𝜕𝜕𝑦𝑦� 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐷𝐷 Eşdeğer olarak � 𝐹𝐹. 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑠𝑠 𝐶𝐶 = � 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑣𝑣 𝐹𝐹 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝐷𝐷 burada 𝐹𝐹 = 𝑢𝑢𝑙𝑙 + 𝑣𝑣𝑣𝑣 olup, 𝑑𝑑𝑙𝑙𝑣𝑣𝐹𝐹 =𝜕𝜕𝑢𝑢_{𝜕𝜕𝑥𝑥 +}𝜕𝜕𝑣𝑣_{𝜕𝜕𝑦𝑦}

farklılığına sahip vektör değerli bir fonksiyondur, n C üzerindeki birim dış normal vektördür ve 𝑑𝑑𝑠𝑠 yay uzunluğunun elemanıdır. Bu formülü 𝐹𝐹 = 𝜑𝜑∇𝜓𝜓 fonksiyonuna uygulayarak ∇𝜓𝜓 nin 𝜓𝜓 gradyanı olduğu için

� 𝜑𝜑𝜕𝜕𝜑𝜑_{𝜕𝜕𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑠𝑠 = �}�𝜕𝜕𝜑𝜑_{𝜕𝜕𝑥𝑥}𝜕𝜕𝜓𝜓_{𝜕𝜕𝑥𝑥 +}𝜕𝜕𝜑𝜑_{𝜕𝜕𝑦𝑦}𝜕𝜕𝜓𝜓_{𝜕𝜕𝑦𝑦}� 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐷𝐷

𝐶𝐶

+ � 𝜑𝜑∆𝜓𝜓𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐷𝐷

∆𝜓𝜓 =𝜕𝜕_{𝜕𝜕𝑥𝑥}2𝜓𝜓₂ +𝜕𝜕_{𝜕𝜕𝑦𝑦}2𝜓𝜓₂,

𝜓𝜓 Laplasianını belirtir. 𝜓𝜓 ve 𝜑𝜑 nin birbirinin yerine geçmesi ve karşılık gelen formülün çıkarılması ile

� �𝜑𝜑𝜕𝜕𝜓𝜓_{𝜕𝜕𝑛𝑛 − 𝜓𝜓}𝜕𝜕𝜑𝜑_{𝜕𝜕𝑛𝑛}� 𝑑𝑑𝑠𝑠 = �(𝜑𝜑∆𝜓𝜓 − 𝜓𝜓∆𝜑𝜑)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 𝐷𝐷

𝐶𝐶

elde edilir. Bu Green’in formülü olarak bilinir. Sürekli ikinci kısmi türevli 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) fonksiyonunun, D bölgesinde her yerde D nin ∆𝑢𝑢 = 0 olması durumunda harmonik olduğu söylenir. Cauchy-Riemann denklemleri

𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑦𝑦 , 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑦𝑦 = − 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝜕𝜕𝑥𝑥

göz önüne alındığında, 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑢𝑢(𝑧𝑧) + 𝑙𝑙𝑣𝑣(𝑧𝑧) analitik fonksiyonunun gerçek ve imajiner kısımları D’de harmoniktir. 𝑣𝑣 fonksiyonu Cauchy-Riemann denklemlerini sağladığında, 𝑣𝑣 fonksiyonu bir harmonik eşleneği denir; yani, eğer 𝑢𝑢 + 𝑙𝑙𝑣𝑣 analitik ise. Eğer 𝑣𝑣, 𝑢𝑢 nun bir harmonik eşleniği ise, −𝑢𝑢, 𝑣𝑣 nin harmonik eşleniğidir. Analitik bir fonksiyonun harmonik bir fonksiyonu harmoniktir: 𝑢𝑢 harmonik ise ve 𝑔𝑔 analitik ise, o zaman 𝑢𝑢 ∘ 𝑔𝑔 bileşkesi de harmoniktir. Şimdi D’nin sınırlı sayıda Jordon eğrilerinden oluşan bir 𝐶𝐶 sınırına sahip olduğunu ve 𝐷𝐷�’de harmonik olacağını varsayalım. Daha sonra Green teoremi tarafından uygulanan 𝑢𝑢,

�𝜕𝜕𝑢𝑢_{𝜕𝜕𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑠𝑠 = � ∆𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0} 𝐷𝐷

𝐶𝐶

Budan, 𝑢𝑢 integralinin belirli bir 𝑧𝑧0 ∈ 𝐷𝐷 noktasında ortalanan tüm küçük daireler üzerinde sabittir; yani

� 𝑢𝑢�𝑧𝑧0+ 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝜋𝜋

0

𝑟𝑟 yarıçapından bağımsızdır. 𝑟𝑟 → 0 olsun, o halde

𝑢𝑢(𝑧𝑧0) =_{2𝜋𝜋 � 𝑢𝑢�𝑧𝑧}1 0+ 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝜋𝜋

𝑃𝑃𝑅𝑅(𝑟𝑟, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 2_{− 𝑟𝑟}2 𝑅𝑅2_{− 2𝑅𝑅𝑟𝑟𝑎𝑎𝑔𝑔𝑠𝑠𝑡𝑡 + 𝑟𝑟}2 Poisson çekirdeği olduğu Poisson formülü

𝑢𝑢�𝑧𝑧0+ 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖� =_{2𝜋𝜋 � 𝑃𝑃}1 𝑅𝑅(𝑟𝑟, 𝑡𝑡 − 𝑑𝑑)𝑢𝑢�𝑧𝑧0+ 𝑅𝑅𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖�𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝜋𝜋

0

tarafından |𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0| = 𝑅𝑅 dairesinde bulunan bir halka üzerinde geri kazanılabilir. Bu, diskin kendi kendini eşlemesiyle 𝑢𝑢 nun bileşimini dikkate alarak, ortalama değer teoreminden kolayca çıkarılabilir. Ortalama değer teoremine dayanarak, D’de sürekli ve 𝐷𝐷�’de sürekli olan bir fonksiyonun sınırda maksimum ve minimum değerlere ulaşması gerektiği gösterilebilir. D aynı şekilde sabit olmadıkça, ne yerel maksimum ne de yerekl minimum değer elde edilir. Bu harmonik fonksiyonlar için maksimum prensibi olarak bilinir [8].

3.8.13. Pozitif Harmonik Fonksiyonlar

2. Bölümde, ünivelant fonksiyonlarının S sınıfının çeşitli alt sınıflarını göz önünde bulundurulacaktır. Bu alt sınıfların bir çoğu, belirli bir analitik fonksiyonun pozitif bir kısmı olması koşuluyla analitik olarak tanımlanmaktadır. Daha spesifik olarak, birim 𝔻𝔻’de analitik fonksiyonlar sınıfını içerir, 𝔻𝔻 ve 𝑓𝑓(0) = 1 de 𝑅𝑅𝑣𝑣{𝑓𝑓(𝑧𝑧)} > 0 ile. Dolayısıyla 𝔻𝔻’de ki normal harmonik fonksiyonları 𝑢𝑢(0) = 1 koşuluyla normalize edilmiş olarak düşünmemize yol açar [9].

3.9. ÜNİVALENT FONKSİYONLARIN GENEL TEORİSİ 3.9.1. Tanım

𝐷𝐷 ⊂ 𝐶𝐶 olmak üzere, D içinde 𝑧𝑧1 ≠ 𝑧𝑧2 ve tüm 𝑧𝑧1, 𝑧𝑧2 noktaları için 𝑓𝑓(𝑧𝑧1) ≠ 𝑓𝑓(𝑧𝑧2) ise ünivalent olur. 𝐷𝐷 = {𝑧𝑧: |𝑧𝑧| < 1} diski içinde S sınıfının analitik ve ünivelant olan f fonksiyonunun 𝑓𝑓(0) = 0 ve 𝑓𝑓′_{(0) = 1 koşullarını sağlamasıyla normalleştirebiliriz.} Yani |𝑧𝑧| < 1 bölgesinde 𝑓𝑓 fonksiyonu ünivalent ise aynı zamanda A sınıfının da bir elemanı olur. 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆 Taylor serisi açılımı şeklinde |𝑧𝑧| < 1 olmak üzere,

Örnek

𝑓𝑓(𝑧𝑧) =_{1 − 𝑧𝑧}𝑧𝑧 ₂ fonksiyonu incelensin.

(1 + 𝑧𝑧)−1_{= 1 − 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧}2_{− 𝑧𝑧}3 olduğu göz önüne alınırsa,

(1 − 𝑧𝑧2₎−1 _{= (1 + (−𝑧𝑧}2₎₎−1 = 1 − (−𝑧𝑧2_{) + (−𝑧𝑧}2₎2_{− (−𝑧𝑧}2₎3_{+ ⋯}

= 1 + 𝑧𝑧2_{+ 𝑧𝑧}4_{+ 𝑧𝑧}6_{+ ⋯} 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧(1 + 𝑧𝑧2 _{+ 𝑧𝑧}4_{+ 𝑧𝑧}6_{+ ⋯ )}

= 𝑧𝑧 + 𝑧𝑧3_{+ 𝑧𝑧}5 _{+ 𝑧𝑧}7_{+ ⋯}

şeklinde 𝑓𝑓 fonksiyonunun açılımı yazıbilir. Şimdi 𝑓𝑓(𝑧𝑧) fonksiyonunun türevi alınsın. 𝑓𝑓′_{(𝑧𝑧) = 1 + 3𝑧𝑧}2_{+ 5𝑧𝑧}4_{+ ⋯}

burada,

𝑓𝑓(0) = 0 ve 𝑓𝑓′_{(0) = 1 şartları sağlanıp ve 𝑓𝑓 univalent ve analitik bir fonksiyon} olduğundan fonksiyonun hem A sınıfına hemde S sınıfına ait olduğu görülür.

3.9.2. Teorem (Koebe Bir-Çeyrek Teoremi)

S sınıfından olan her bir fonksiyonun aralığı �𝑤𝑤: |𝑤𝑤| <1₄� diskini gösterir.

3.9.3. Tanım

S ile yakından ilişkili olan bir bölge sınıfı,

∑= �𝑔𝑔: 𝐷𝐷 → 𝐶𝐶: 𝑔𝑔, 𝐷𝐷 ü𝑧𝑧𝑣𝑣𝑟𝑟𝑙𝑙𝑛𝑛𝑑𝑑𝑣𝑣 ü𝑛𝑛𝑙𝑙𝑣𝑣𝑎𝑎𝑙𝑙𝑣𝑣𝑛𝑛𝑡𝑡, lim_{𝑧𝑧→∞}𝑔𝑔(𝑧𝑧) = ∞, 𝑔𝑔′_{(∞) = 1 �} sınıfıdır.

3.9.4. Teorem (Bieberbach Teoremi)

Eğer 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆 ve |𝑎𝑎2| ≤ 2, Koebe fonksiyonu dönüşümü olan 𝑓𝑓 ancak bu şekilde eşit olur.

olsun.

ℎ(𝑧𝑧) = �𝑓𝑓(𝑧𝑧2_{) = 𝑧𝑧 +}𝑎𝑎2

2 𝑧𝑧3+ ⋯

elde etmek için karekök dönüşümü uygulansın. Bölgeye ℎ inversiyonu uygulanırsa, 𝑔𝑔(𝑧𝑧) =_{ℎ(1 𝑧𝑧)}1_{⁄ =} 1 𝑓𝑓(1 𝑧𝑧_⁄ 2₎1 2⁄ = 1 1 𝑧𝑧⁄ + 𝑎𝑎2 2𝑧𝑧3+ ⋯ = 𝑧𝑧 � 1 1 + 𝑎𝑎2 2𝑧𝑧2+ ⋯ � = 𝑧𝑧 −𝑎𝑎₂21_{𝑧𝑧 + ⋯}

elde edilir. Burada 𝑔𝑔 bölgesi ∑’ya aittir. Böylece sonuç 3.24’de |𝑎𝑎2| ≤ 2 dir. Eğer |𝑎𝑎2| = 2 ise 𝑔𝑔,

𝑓𝑓(1 𝑧𝑧2_{) =} 𝑧𝑧2

𝑧𝑧4_{− 2𝑣𝑣}𝑖𝑖𝑖𝑖_𝑧𝑧2_{+ 𝑣𝑣}2𝑖𝑖𝑖𝑖 �

ile eşdeğer olan

𝑔𝑔(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 − 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_{⁄ 𝑧𝑧}

formuna indirgenir. D’de ki 𝑤𝑤 = 1 𝑧𝑧_{⁄ koordinatı kullanılarak} 2

𝑓𝑓(𝑤𝑤) = 𝑤𝑤

(1 − 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_𝑤𝑤)2 = 𝑣𝑣−𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_𝑤𝑤

(1 − 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_𝑤𝑤)2 = 𝑣𝑣−𝑖𝑖𝑖𝑖𝑘𝑘�𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑤𝑤�, sonucu çıkarıldı, burada 𝑘𝑘 Koebe fonksiyonudur.

3.10. GENİŞLEME VE BÜKÜLME TEOREMLERİ 3.10.1.Teorem

Her 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆 için,

�𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓′(𝑧𝑧) −1 − 𝑟𝑟}2𝑟𝑟2₂� ≤_{1 − 𝑟𝑟}4𝑟𝑟 ₂, |𝑧𝑧| = 𝑟𝑟 < 1 (3.6)

3.10.2. Teorem (Bükülme Teoremi)

Her 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆 için,

_{(1 + 𝑟𝑟)}1 − 𝑟𝑟₃ ≤ |𝑓𝑓′_{(𝑧𝑧)| ≤} 1 + 𝑟𝑟

(1 − 𝑟𝑟)3, |𝑧𝑧| = 𝑟𝑟 < 1. (3.7) Her 𝑧𝑧 ∈ 𝐷𝐷, 𝑧𝑧 ≠ 0 eşitliğin sağlanması için ancak Koebe fonksiyonunun uygun bir

dönüşümüyle oluşur.

İspat

Eşitsizlikte |𝑎𝑎| ≤ 𝑎𝑎 değinilen −𝑎𝑎 ≤ 𝑅𝑅𝑣𝑣{𝑎𝑎} ≤ 𝑎𝑎, o halde Denklem (3.6)’dan 2𝑟𝑟2_{− 4𝑟𝑟} 1 − 𝑟𝑟2 ≤ 𝑅𝑅𝑣𝑣 � 𝑧𝑧𝑓𝑓′′_(𝑧𝑧) 𝑓𝑓′_{(𝑧𝑧) � ≤} 2𝑟𝑟2_{+ 4𝑟𝑟} 1 − 𝑟𝑟2

Çünkü 𝑓𝑓′_{(𝑧𝑧) ≠ 0 ve 𝑓𝑓}′_{(0) = 1, tek değerli log 𝑓𝑓′(𝑧𝑧) alırsak orjinden kaybolabilir. O} halde

𝑅𝑅𝑣𝑣 �𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓′(𝑧𝑧) � = 𝑟𝑟𝜕𝜕𝑟𝑟 𝑅𝑅𝑣𝑣}𝜕𝜕 {log 𝑓𝑓′(𝑧𝑧)}, 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖 Buradan,

2𝑟𝑟 − 4_{1 − 𝑟𝑟2} ≤ _{𝜕𝜕𝑟𝑟 log�𝑓𝑓}𝜕𝜕 ′_{�𝑟𝑟𝑣𝑣}𝑖𝑖𝑖𝑖_{�� ≤}2𝑟𝑟 + 4

1 − 𝑟𝑟2 (3.8) 𝑑𝑑 sabit olursa, 0’dan 𝑅𝑅’ye olan 𝑟𝑟’nin integrali alınır. Bulunan eşitsizlikte

log_{(1 + 𝑅𝑅)}1 − 𝑅𝑅₃ ≤ log�𝑓𝑓′(𝑅𝑅𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_{� ≤ log} 1 + 𝑅𝑅 (1 − 𝑅𝑅)3

ve üstel takip ile bükülme teoremi devam eder. Koebe fonksiyonun uygun dönüşümüyle 𝑘𝑘′_{(𝑧𝑧) =} 1 + 𝑧𝑧

(1 − 𝑧𝑧)3,

|𝑓𝑓′_{(𝑧𝑧)| nin tahmininde mümkün olduğunu gösterir. 𝑧𝑧 = 𝑅𝑅𝑣𝑣}𝑖𝑖𝑖𝑖 _{eşitliği için en üst veya en} alt sonuç Denlem (3.7) eşitliğinde tüm sayılar 𝑟𝑟 için uyan Denklem (3.8)’de 0 ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑅𝑅 olur. Özellikle,

𝑅𝑅𝑣𝑣 �𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖𝑓𝑓′′(0)

𝑓𝑓′(0)� = ∓4

burada |𝑎𝑎2| = 2. Bieberbach teoreminden 𝑓𝑓 Koebe fonksiyonunun bir dönüşü olmalıdır. Bükülme teoremi |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| için alt ve üst sınırları elde etmek için uygulanır.

3.10.3. Teorem (Genişleme Teoremi)

Her 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆 için,

Her 𝑧𝑧 ∈ 𝐷𝐷, 𝑧𝑧 ≠ 0 eşitliğinin sağlanması için ancak Koebe fonksiyonun uygun bir dönüşümüyle oluşur. İspat 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆 ve 𝑧𝑧 = 𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖 _{ile 0 < 𝑟𝑟 < 1. Burdan} 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = � 𝑓𝑓′(𝜌𝜌𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_)𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_{𝑑𝑑𝜌𝜌} 𝑟𝑟 0 , 𝑓𝑓(0) = 0 olduğunda elde ederiz. Böylece genişleme teoremi

|𝑓𝑓(𝑧𝑧)| ≤ � |𝑓𝑓′_{�𝜌𝜌𝑣𝑣}𝑖𝑖𝑖𝑖_{�𝑑𝑑𝜌𝜌 ≤ �} 1 + 𝜌𝜌 (1 − 𝜌𝜌)3𝑑𝑑𝜌𝜌 = 𝑟𝑟 (1 − 𝑟𝑟)2 𝑟𝑟 0 𝑟𝑟 0

olur. Eğer |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| ≥1₄ ise 𝑟𝑟(1 + 𝑟𝑟)−2_<1

4 için 0 < 𝑟𝑟 < 1. Eğer |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| < 1

4 ise Koebe bir-çeyrek teoreminde elde edilen 𝑓𝑓 fonksiyonu 0’dan 𝑓𝑓(𝑧𝑧)’ye tamamen dairesel dilimini verir. C burada 0’dan 𝑓𝑓(𝑧𝑧)’ ye dairesel dilimi olur ve

𝑓𝑓(𝑧𝑧) = � 𝑓𝑓′_{(ϛ)𝑑𝑑ϛ} 𝐶𝐶

.

Fakat 𝑓𝑓′_{(ϛ)𝑑𝑑ϛ, C boyunca sabit bir işarete sahiptir, dolayısıyla bükülme teoremi} |𝑓𝑓(𝑧𝑧)| = �|𝑓𝑓′_{(ϛ)||𝑑𝑑ϛ| ≥ �} 1 − 𝜌𝜌 (1 + 𝜌𝜌)3𝑑𝑑𝜌𝜌 = 𝑟𝑟 (1 + 𝑟𝑟)3 𝑟𝑟 0 𝐶𝐶

verir. Denklem (3.9)’da ki bazı bölümler Denklem (3.7)’den elde edildiği için 𝑓𝑓’nin Koebe fonksiyonu dönüşümü olduğu gözlemlenmiş olur.

3.10.4. Teorem Her 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆 için 1 − 𝑟𝑟 1 + 𝑟𝑟 ≤ � 𝑧𝑧𝑓𝑓′_(𝑧𝑧) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) � ≤ 1 + 𝑟𝑟 1 − 𝑟𝑟, |𝑧𝑧| = 𝑟𝑟 < 1

Her 𝑧𝑧 ∈ 𝐷𝐷, 𝑧𝑧 ≠ 0 eşitliğinin sağlanması için ancak Koebe fonksiyonun uygun bir dönüşümüyle oluşur.

3.10.5. Bieberbach Konjektörü

𝑛𝑛 = 1,2,3, … için 𝑓𝑓 fonksiyonunun tüm katsayıları için 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆’de 𝑓𝑓 Koebe fonksiyonu veya dönüşümlerinden biri olduğu durumda tüm 𝑛𝑛 için eşitsizlikler sağlanabilir.

3.11. KONVEKS VE STARLIKE FONKSİYONLAR

Eğer E kümesinin içindeki her 𝑤𝑤1 ve 𝑤𝑤2 noktaları için 𝑤𝑤1 ve 𝑤𝑤2’ yi birleştiren doğru parçası da E’nin içindeyse, düzlemdeki bir küme konveks olarak adlandırılır.𝑓𝑓(𝑧𝑧) fonksiyonu E’yi konveks bir bölge üzerinde eşlerse, 𝑓𝑓(𝑧𝑧)’ye konveks fonksiyon adı verilir. Eğer E kümesi içerisindeki tüm 𝑤𝑤 ∈ 𝐸𝐸 noktaları 𝑤𝑤0’ın lineer segmenti ise 𝑤𝑤0 ∈ 𝐸𝐸 noktasında 𝐸𝐸 ⊂ 𝐶𝐶 starlike olur. S’nin altsınıfı olan konveks fonksiyonlar C olarak ifade edilir ve 𝑆𝑆∗ _{starlike fonksiyonların altsınıfı olur. Yani 𝐶𝐶 ⊂ 𝑆𝑆}∗ _{⊂ 𝑆𝑆 olur. P sınıfının analitik} olan tüm 𝜑𝜑 fonksiyonları C ve 𝑆𝑆∗ _{sınıfları ile alakalıdır. 𝜑𝜑(0) = 1 de D’nin pozitif gerçek} kısımları bulunur. Herglotz formülü bunun 𝜑𝜑 ∈ 𝑃𝑃 olmak üzere Poisson-Stieltjes integralinde uygulanırsa,

𝜑𝜑(𝑧𝑧) = � 𝑣𝑣_𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_{𝑖𝑖𝑖𝑖}+ 𝑧𝑧_{− 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑}(𝑡𝑡) (3.10) 2𝜋𝜋

0 burada 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) ≥ 0 ve ∫ 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) = 1 dir.

3.11.1. Tanım (Carathéodory Lemması)

Eğer 𝜑𝜑 ∈ 𝑃𝑃 ve

𝜑𝜑(𝑧𝑧) = 1 + � 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=1 |𝑎𝑎𝑛𝑛| ≤ 2 olmak üzere tüm 𝑛𝑛 = 1,2,3, … için.

İspat

𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖_{+ 𝑧𝑧}

𝑣𝑣𝒊𝒊𝒊𝒊_{− 𝑧𝑧 = 1 + 2 � 𝑣𝑣}−𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑧𝑧𝑛𝑛 ∞

𝑛𝑛=1 Denlem (3.10)’den yola çıkarak, |𝑎𝑎𝑛𝑛| ≤ 2 olmak üzere

𝑎𝑎 = 2 � 𝑣𝑣−𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖_{𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡), 𝑛𝑛 = 1,2, …} 2𝜋𝜋

eşitliğinde ancak 𝑣𝑣−𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖 _{sabit işaretler için 𝑑𝑑𝑑𝑑 ölçümünde olur. Tüm 𝑛𝑛 için fonksiyonu} 𝜑𝜑(𝑧𝑧) =1 + 𝑧𝑧

1 − 𝑧𝑧 = 1 + 2 � 𝑧𝑧𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=1 şeklinde elde edilir.

3.11.2. Teorem

𝑓𝑓 ,𝔻𝔻’de analitik 𝑓𝑓(0) = 0 ve 𝑓𝑓′_{(0) = 1 olsun. Eğer 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆}∗ _{ve sadece 𝑧𝑧𝑓𝑓′(𝑧𝑧) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) ∈ 𝑃𝑃⁄} ise.

İspat

İlk olarak 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆∗ _{varsayalım. Sonra 𝑓𝑓’nin her bir alt diski z starlike gibi bir etki alanına} eşlediği varsayılsın. Eşdeğer bir varsayım, 𝑔𝑔(𝑧𝑧) = 𝑓𝑓(𝑠𝑠𝑧𝑧)’nin D’deki starlike gibi olmasıdır. Başka bir deyişle, her sabit 𝑡𝑡(0 < 𝑡𝑡 < 1) için ve her 𝑧𝑧 ∈ 𝐷𝐷 için 𝑡𝑡𝑔𝑔(𝑧𝑧) noktasının 𝑔𝑔 aralığında olduğunu göstermeliyiz. Ancak 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆∗ _{den beri, Schwarz} lemmasının bir uygulaması, D’deki analitik 𝑤𝑤 ve |𝑤𝑤(𝑧𝑧)| ≤ |𝑧𝑧| ‘ye yeterli olan bazı fonksiyonlar için 𝑡𝑡𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑓𝑓(𝑤𝑤(𝑧𝑧))’yi verir. Böylece

𝑡𝑡𝑔𝑔(𝑧𝑧) = 𝑡𝑡𝑓𝑓(𝜌𝜌𝑧𝑧) = 𝑓𝑓�𝑤𝑤(𝜌𝜌𝑧𝑧)� = 𝑔𝑔�𝑤𝑤1(𝑧𝑧)�

burada 𝑤𝑤1(𝑧𝑧) = 𝑤𝑤(𝜌𝜌𝑧𝑧) 𝜌𝜌⁄ ve |𝑤𝑤1(𝑧𝑧)| ≤ |𝑧𝑧|. Bu 𝑓𝑓’nin her daireyi |𝑧𝑧| = 𝜌𝜌 < 1 starlike bir alanı sınırlayan bir 𝐶𝐶𝑝𝑝 eğrisi üzerine eşlediğini kanıtlar. z, |𝑧𝑧| = 𝜌𝜌 dairesi etrafında pozitif yönde hareket ettikçe, 𝑓𝑓(𝑧𝑧) argümanının arttığını belirtir. Başka bir deyişle,

𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 �𝑎𝑎𝑟𝑟𝑔𝑔𝑓𝑓�𝜌𝜌𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖�� ≥ 0 Ancak 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 �𝑎𝑎𝑟𝑟𝑔𝑔𝑓𝑓(𝜌𝜌𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖)� = 𝐼𝐼𝑙𝑙 � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 log 𝑓𝑓(𝜌𝜌𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖)� = 𝐼𝐼𝑙𝑙 �𝑙𝑙𝑧𝑧𝑓𝑓′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓(𝑧𝑧) � = 𝑅𝑅𝑣𝑣 �}𝑧𝑧𝑓𝑓′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓(𝑧𝑧) � , 𝑧𝑧 = 𝜌𝜌𝑣𝑣}𝑖𝑖𝑖𝑖

Böylece, 𝑧𝑧𝑓𝑓′(𝑧𝑧) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) ∈ 𝑃𝑃⁄ harmonik fonksiyonlar için maksimum prensip olur. Tersine, 𝑓𝑓’nin 𝑧𝑧𝑓𝑓′(𝑧𝑧) 𝑓𝑓(𝑧𝑧)⁄ ile normalize edilmiş bir analitik fonksiyon olduğunu varsayalım. Daha sonra 𝑓𝑓, başlangıç noktasında basit bir sıfıra sahiptir ve diskin başka hiçbir yerinde sıfır yoktur. Yukarıdaki hesaplama geri çekildiğinde, her 𝜌𝜌 < 1 için

𝜕𝜕

𝜕𝜕𝑑𝑑 �𝑎𝑎𝑟𝑟𝑔𝑔𝑓𝑓�𝜌𝜌𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖�� > 0, 0 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 2𝜋𝜋 olduğu görülür.

Bu nedenle z, |𝑧𝑧| = 𝜌𝜌 dairesinin etrafında saat yönünün tersine doğru ilerlerken, 𝑓𝑓(𝑧𝑧) noktası, artan bir argümanla kapalı bir 𝐶𝐶𝑝𝑝 eğrisini geçer. 𝑓𝑓, |𝑧𝑧| = 𝜌𝜌 dairesinde tam olarak bir sıfıra sahip olduğundan, argüman prensibi bize 𝐶𝐶𝑝𝑝’nin orjini tam olarak bir kez çevrelediğini söyler. Fakat eğer 𝐶𝐶𝑝𝑝, artarak argümanlarla bir kez yükselirse, hiçbir kesişme noktası olamaz. Bu nedenle 𝐶𝐶𝑝𝑝,starlike bir bölgede 𝐷𝐷𝑝𝑝’yi sınırlayan basit bir kapalı eğridir ve 𝑓𝑓, her bir değeri 𝑤𝑤 ∈ 𝐷𝐷 tam olarak disk |𝑧𝑧| < 𝜌𝜌’de varsayar. Bu her 𝜌𝜌 < 1 için doğru olduğundan 𝑓𝑓’nin D’de univalent ve starlike olduğunu gösterir. Konveks fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanabilir.

3.11.3. Teorem

𝑓𝑓 ,𝔻𝔻’de analitik 𝑓𝑓(0) = 0 ve 𝑓𝑓′_{(0) = 1 olsun. Eğer 𝑓𝑓 ∈ 𝐶𝐶 ve sadece [1 +} 𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧) 𝑓𝑓′(𝑧𝑧)] ∈ 𝑃𝑃⁄ ise.

İspat

İlk olarak 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆∗ _{varsayılsın. 𝑓𝑓’nin her alt disk |𝑧𝑧| < 𝑟𝑟 konveks bir etki alanı üzerinde} eşlemesi gerektiği varsayılsın. Bunu göstermek için, |𝑧𝑧1| ≤ |𝑧𝑧2| < 𝑟𝑟 ile 𝑧𝑧1 ve 𝑧𝑧2 noktaları seçilsin.

𝑤𝑤1 = 𝑓𝑓(𝑧𝑧1) ve 𝑤𝑤2 = 𝑓𝑓(𝑧𝑧2) olsun.

𝑤𝑤0 = 𝑡𝑡𝑤𝑤1+ (1 − 𝑡𝑡)𝑤𝑤2, 0 < 𝑡𝑡 < 1 olsun.

𝑓𝑓 konveks bir bölge olduğundan 𝑓𝑓(𝑧𝑧0) = 𝑤𝑤0 için 𝑧𝑧0 ∈ 𝐷𝐷 noktası vardır. Bunu |𝑧𝑧0| < 𝑟𝑟 olarak gösterilir. Fakat

𝑔𝑔(𝑧𝑧) = 𝑡𝑡𝑓𝑓(𝑧𝑧1𝑧𝑧 𝑧𝑧⁄ 2) + (1 − 𝑡𝑡)𝑓𝑓(𝑧𝑧)

fonksiyonu 𝑔𝑔(0) = 0 ve 𝑔𝑔(𝑧𝑧2) = 𝑤𝑤0 ile D’de analitiktir. 𝑓𝑓 ∈ 𝐷𝐷 olduğundan ℎ(𝑧𝑧) = 𝑓𝑓−1_{(𝑔𝑔(𝑧𝑧))}

fonksiyonu iyi tanımlanmıştır. ℎ(0) = 0 ve |ℎ(𝑧𝑧)| ≤ 1’den, Schwartz Lemması bize |ℎ(𝑧𝑧)| ≤ |𝑧𝑧|’yi söyler. O halde, gösterilecek olan

Bu nedenle 𝑓𝑓 her daireyi |𝑧𝑧| = 𝑟𝑟 < 1, konveks bir bölgeyi sınırlayan C eğrisi üzerine eşler. Konvekslik, tanjantın C eğrisine eğimin pozitif yönde ilerledikçe azaldığını gösterir. Analitik olarak, bu durum

𝑅𝑅𝑣𝑣 �1 +𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓′(𝑧𝑧) � ≥ 0,} |𝑧𝑧| = 𝑟𝑟 koşuluna indirgeyen 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑�𝑎𝑎𝑟𝑟𝑔𝑔 � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑟𝑟𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖�� ≥ 0 veya 𝐼𝐼𝑙𝑙 �_{𝜕𝜕𝑑𝑑 log�𝑙𝑙𝑟𝑟𝑣𝑣}𝜕𝜕 𝑖𝑖𝑖𝑖_{𝑓𝑓′(𝑟𝑟𝑣𝑣}𝑖𝑖𝑖𝑖_{)�� ≥ 0} dir. Bu durumda harmonik fonksiyonlar için maksimum prensibi

[1 + 𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧) 𝑓𝑓′(𝑧𝑧)⁄ ] ∈ 𝑃𝑃.

Tersine 𝑓𝑓’nin [1 + 𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧) 𝑓𝑓′(𝑧𝑧)⁄ ] ∈ 𝑃𝑃 ile normalize edilmiş bir analitik fonksiyon olduğunu varsayılsın. Yukarıdaki hesaplama, teğetin C eğrisine eğimin monoton bir şekilde arttığını göstermektedir. Ancak bir nokta tam bir 𝐶𝐶𝑟𝑟 devresi yapar, teğet vektör argümanı � _{𝜕𝜕𝑑𝑑}𝜕𝜕 �𝑎𝑎𝑟𝑟𝑔𝑔 �_{𝜕𝜕𝑑𝑑 𝑓𝑓(𝑟𝑟𝑣𝑣}𝜕𝜕 𝑖𝑖𝑖𝑖_{�� 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑅𝑅𝑣𝑣 �1 +}𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧) 𝑓𝑓′(𝑧𝑧) � 𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝜋𝜋 0 2𝜋𝜋 0 = � � �1 +𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓′(𝑧𝑧) �}𝑑𝑑𝑧𝑧_{𝑙𝑙𝑧𝑧} |𝑧𝑧|=𝑟𝑟 � = 2𝜋𝜋, 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑣𝑣𝑖𝑖𝑖𝑖

net bir değişimine sahiptir. Bu, 𝐶𝐶𝑟𝑟’nin konveks bir alanı sınırlayan basit bir kapalı eğri olduğunu göstermektedir. Bu ise 𝑟𝑟 < 1 için, 𝑓𝑓’nin konveks aralık ile ünivalent bir fonksiyon olduğu anlamına gelir. Önceki iki teorem, konveks ve starlike bölgeler arasında şaşırtıcı derecede yakın bir analitik bağlantı olduğunu ortaya koymaktadır [10].

3.11.4. Teorem

𝑓𝑓(𝑧𝑧) kapalı disk 𝐸𝐸����: |𝑧𝑧| ≤ 𝑅𝑅’de düzenli ve ünivalent olsun. Öyleyse 𝑓𝑓, 𝐸𝐸𝑅𝑅 ���� ‘yi konveks 𝑅𝑅 bir bölgeye dönüştürür ancak ve ancak

𝑅𝑅𝑣𝑣 �1 +𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓′(𝑧𝑧) � ≥ 0, (3.11)} için z, 𝐶𝐶𝑟𝑟: |𝑧𝑧| = 𝑅𝑅 ise.

𝑓𝑓(0) = 0 olduğu varsayılsın. O halde 𝑓𝑓, 𝐸𝐸����’ yi 𝑤𝑤𝑅𝑅 0’ a göre starlike bir bölgeye dönüştürür ancak ve ancak

𝑅𝑅𝑣𝑣 �𝑧𝑧𝑓𝑓′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓(𝑧𝑧) � ≥ 0, (3.12)} için z, 𝐶𝐶𝑟𝑟: |𝑧𝑧| = 𝑅𝑅 ise.

3.11.5. Teorem (Alexander Teoremi)

Konveks ve ilk Alexander tarafından fark edilen starlike fonksiyonlar arasında temel ve güzel bir ilişki vardır. Herhangi bir 𝑓𝑓(𝑧𝑧) için

𝐹𝐹(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧𝑓𝑓′(𝑧𝑧) yazılır. O halde 𝑧𝑧𝐹𝐹′(𝑧𝑧) 𝐹𝐹(𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 𝑓𝑓′_{(𝑧𝑧) + 𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧)} 𝑧𝑧𝑓𝑓′(𝑧𝑧) ve burada 𝐹𝐹(𝑧𝑧) ≠ 0 olduğundan dolayı

𝑧𝑧𝐹𝐹′(𝑧𝑧)_{𝐹𝐹(𝑧𝑧) = 1 +}𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓′(𝑧𝑧) (3.13)} 𝑓𝑓, orjin noktasında sıfırıncı bir sıraya sahipse, Denklem (3.13)’ün her iki tarafı orjine göre düzenli olur. Şimdi Denklem (3.13) konveks ve starlike fonksiyonlar için Denklem (3.11) ve (3.12) eşitsizlikleri karşılaştırılmıştır. O halde doğrudan doğruya,

𝑅𝑅𝑣𝑣 �𝑧𝑧𝐹𝐹′(𝑧𝑧)_{𝐹𝐹(𝑧𝑧) � = 𝑅𝑅𝑣𝑣 �1 +}𝑧𝑧𝑓𝑓′′(𝑧𝑧)_{𝑓𝑓′(𝑧𝑧) �} olur.

3.11.6. Teorem

Her bir fonksiyonun 𝑓𝑓 ∈ 𝑆𝑆∗ _{katsayısı 𝑛𝑛 = 1,2, … için |𝑎𝑎}

𝑛𝑛| ≤ n olduğunu ifade eder. 𝑓𝑓 Koebe fonksiyonun bir dönüşümü olmadıkça, eşitsizlik her zaman için geçerlidir.