Skaler ve operatör-değerli Poisson çekirdeği kavramlarının bazı genellemeleri

T.C.

BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

SKALER VE OPERATÖR-DEĞERLİ POISSON ÇEKİRDEĞİ KAVRAMLARININ BAZI GENELLEMELERİ

DOKTORA TEZİ

Serap BULUT

ÖZET

SKALER VE OPERATÖR-DEĞERLİ POISSON ÇEKİRDEĞİ KAVRAMLARININ BAZI GENELLEMELERİ

Serap BULUT

Balıkesir Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı

(Doktora Tezi / Tez Danışmanı : Doç. Dr. Nihal YILMAZ ÖZGÜR) Balıkesir, 2007

Bu çalışmanın amacı skaler ve operatör-değerli Poisson çekirdeği kavramlarının bazı genellemelerini vermektir.

Çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, diğer bölümlerde kullanılacak olan temel kavramlara yer verilmiştir. İkinci bölümde, skaler Poisson çekirdeğinin ortaya çıkışı ele alınmış ve bu kavramın bazı genellemeleri incelenmiştir. Üçüncü bölümde ise operatör-değerli Poisson çekirdeği kavramı ele alınıp bu kavramın yeni bir genellemesi elde edilmiştir.

Birinci bölümde Banach uzayı, sınırlı doğrusal operatör, Hilbert uzayı, spektral yarıçap, Riesz-Dunford integrali ve Banach cebiri gibi temel kavramlara yer verilmiştir.

İkinci bölüm, iki kesimden oluşmaktadır. Birinci kesimde ilk olarak skaler Poisson çekirdeği kavramının ortaya çıkışı ele alınmış ve bununla ilgili elde edilen bazı sonuçlara ve genellemelere yer verilmiştir. İkinci kesimde ise skaler Poisson çekirdeğinin yeni bir genellemesi tanımlanmıştır.

Üçüncü bölüm, iki kesime ayrılmaktadır. Birinci kesimde skaler Poisson çekirdeği yardımıyla tanımlanan operatör-değerli Poisson çekirdeği kavramı incelenmiştir. Ardından bir polinom yardımıyla operatör-değerli Poisson çekirdeği için elde edilen bir integral eşitliğinin ispatı polinomdan bağımsız olarak verilmiştir. İkinci kesimde ise operatör-değerli Poisson çekirdeği tanımının bir genellemesi ve buna bağlı olarak elde edilen bazı sonuçlar yer almaktadır.

ANAHTAR KELİMELER : Skaler Poisson çekirdeği / Operatör-değerli Poisson çekirdeği

ABSTRACT

SOME GENERALIZATIONS OF THE CONCEPTS OF SCALAR AND OPERATOR-VALUED POISSON KERNEL

Serap BULUT

Balıkesir University, Institute of Science, Department of Mathematics

(Ph. D. Thesis / Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Nihal YILMAZ ÖZGÜR) Balıkesir - Turkey, 2007

The purpose of this work is to give some generalizations of the concepts of the scalar and the operator-valued Poisson kernel.

The work consists of three chapters. The first chapter is assigned for basic concepts related to second and third chapters. In the second section, it is introduced the scalar Poisson kernel and investigated some generalizations of this concept. In the third section, the concept of the operator-valued Poisson kernel is introduced and a new generalization of this concept is obtained.

In the first chapter, it is assigned for basic concepts like Banach space, bounded linear operator, Hilbert space, spectral radius, Riesz-Dunford integral and Banach algebra.

The second chapter consists of two sections. In the first section, firstly it is introduced the concept of scalar Poisson kernel. Afterwards some results and generalizations related to this are considered. In the second section, it is defined a new generalization of the scalar Poisson kernel.

The third chapter is seperated into two sections. In the first section, the concept of the operator-valued Poisson kernel defined by means of the scalar Poisson kernel is investigated. Following, the proof of an integral equation obtained by means of a polynomial is given independently from the polynomial. The second section is assigned for a generalization of the definition of the operator-valued Poisson kernel and some results obtained related to this.

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ii ABSTRACT iii İÇİNDEKİLER iv SEMBOL LİSTESİ v ÖNSÖZ vi 1. ÖN BİLGİLER 1 1.1 Hilbert Uzayları 1 1.2 Spektral Teori 6

2. SKALER POISSON ÇEKİRDEĞİ 12

2.1 Skaler Poisson Çekirdeği 12

2.2 Skaler Poisson Çekirdeğinin Yeni Bir Genellemesi 21

3. OPERATÖR-DEĞERLİ POISSON ÇEKİRDEĞİ 28

3.1 Operatör-değerli Poisson Çekirdeği 29 3.2 Operatör-değerli Poisson Çekirdeğinin Yeni Bir Genellemesi 34

SONUÇ 40

SEMBOL LİSTESİ

Simge Adı

_{Kompleks düzlem}

D {z∈
: z <1} birim diski

B(X, Y ) (X, ⋅ ) normlu uzayından (Y, ⋅ ) normlu uzayına bütün sınırlı doğrusal dönüşümlerin uzayı

*

T T operatörünün Hilbert-eşleği

) (T

ρ T operatörünün rezolvent kümesi )

(T

σ T operatörünün spektrumu )

(T

r T operatörünün spektral yarıçapı

Н

_{Hilbert uzayı}

L

(Н )

Н

_’dan

Н

_{’ya bütün sınırlı doğrusal operatörlerin cebiri}

) ( , θ i t r e

P Skaler Poisson çekirdeği

) ( , T

ÖNSÖZ

Skaler Poisson çekirdeği P(r,θ), analizde önemli bir yere sahip olan kavramlardan biridir. En iyi bilinen özellikleri 2π-periyotlu, çift ve pozitif bir

fonksiyon olması ve ( , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ

π P r d integral eşitliğini sağlamasıdır. Bu integral

eşitliği skaler Poisson çekirdeğinin tanımı yardımıyla elementer olarak elde edilebilir. Ancak Taylor farklı bir bakış açısıyla bu integral eşitliğinin yeni bir ispatını vermiştir, [11].

Haruki ve Rassias, skaler Poisson çekirdeği tanımını önce Q(θ;a,b) sonra da

) , , , ; ( a b c d

Rθ olarak genellemişler ve dolayısıyla yukarıdaki ( , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π P r d

integral eşitliğinin de genellemelerini elde etmişlerdir, [7]. Aynı çalışmada Haruki ve Rassias, skaler Poisson çekirdeğinin genellemesi olan Q(θ;a,b)’nin kuvvetlerinin

∫

+ π θ θ π 2 0 1 ) , ; ( 2 1 d b a

Q n şeklindeki integralinin çözümünü bir açık problem olarak

bırakmışlardır. Bu integral

∫

+ π θ θ π 2 0 1_{( , )} 2 1 d r

Pn integralinin bir genellemesidir, [6].

Ayrıca bu açık problemin çözümü [8] numaralı kaynakta verilmiştir.

Bu tez çalışmasında öncelikle skaler Poisson çekirdeğinin yeni bir ) , , , , , ; ( x y z t u v

S θ genellemesi verilmiş ve buna bağlı olarak bir integral eşitliği elde edilmiştir, [1].

Diğer taraftan operatör-değerli Poisson çekirdeği, skaler Poisson çekirdeği yardımıyla tanımlanan yeni bir kavramdır, [2]. Bu kavram operatör teori ve harmonik analizde pek çok uygulamaya sahiptir.

Skaler Poisson çekirdeği P(r,θ) için elde edilen ( , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π P r d integral

eşitliğine benzer olarak operatör-değerli Poisson çekirdeği Kr,t(T) için de bir

polinom yardımıyla

∫

K_rt T dt= I π π 2 0 , ( ) 2 1

integral eşitliği elde edilmektedir, [2].

Bu tez çalışmasında operatör-değerli Poisson çekirdeği ile ilgili olarak

I dt T K_rt =

∫

π π 2 0 , ( ) 2 1

integral eşitliğinin ispatı bir polinomdan bağımsız olarak

verilmiştir. Ayrıca operatör-değerli Poisson çekirdeği tanımının yeni bir genellemesi verilerek buna bağlı bazı sonuçlar elde edilmiştir. Bu sonuçlar [2]’deki sonuçları genelleştirmektedir.

Hem danışmanım olarak atanmadan önce hem de atandıktan sonra bana her konuda yardımcı olan değerli hocam Doç. Dr. Nihal YILMAZ ÖZGÜR’e teşekkürlerimi sunarım.

1. ÖN BİLGİLER

Bu bölümde, 2. ve 3. bölümlerde yararlanacağımız bazı temel kavramları ele alacağız.

1.1 Hilbert Uzayları

1.1.1 Tanım: X bir reel yada kompleks vektör uzayı olsun. Eğer ⋅ :X → dönüşümü, her x,y∈X vektörleri ve herhangi bir α skaleri için

(i) x ≥0

(ii) x =0⇔x=0 (iii) αx = α x

(iv) x+ y ≤ x + y (üçgen eşitsizliği)

koşullarını sağlıyorsa bu dönüşüme X üzerinde bir norm, (X, ⋅ ) ikilisine de bir

normlu uzay adı verilir, [9, s.58].

1.1.2 Tanım: Eğer bir normlu uzay, normunun indirgediği metriğe göre bir tam metrik uzay ise bu normlu uzaya bir Banach uzayı denir, [9, s.58].

1.1.3 Tanım: X ve Y bir K sayı cismi üzerinde birer vektör uzayı olsun. Eğer

Y X

T : → dönüşümü, her x,y∈X ve her α∈K için (i) T(x+ )y =Tx+Ty

(ii) T(αx)=αTx

koşullarını sağlıyorsa T dönüşümüne X ’den Y ’ye bir doğrusal operatör denir, [9, s.82].

1.1.4 Not: X üzerinde bir doğrusal operatör, X ’den X ’e tanımlı bir doğrusal operatördür.

1.1.5 Tanım: X, Y birer normlu uzay ve T :X →Y bir doğrusal operatör olsun. Eğer her x∈X için

Tx ≤M x (1.1.1)

olacak şekilde bir M ≥0 sayısı varsa T ’ye sınırlı operatör denir. 0

=

x için Tx=0 elde edilir. Bu nedenle x ≠0 için

M

x Tx

≤

olur. Bu eşitsizlik M ’nin en küçük değerinin, eşitsizliğin solundaki ifadenin }

0 { −

X üzerinden alınan supremumu kadar olacağını gösterir. Bu değer T ile

gösterilir. Böylece x Tx T x X x 0 sup ≠ ∈ =

olur. T sayısına T operatörünün normu (yada T ’nin operatör normu) denir. Eğer }

0 { =

X ise T =0 olarak tanımlanır; bu durumda T0 =0 olduğundan T =0’dır. (1.1.1)’de M = T alınırsa

Tx ≤ T x

elde edilir, [9, s.91].

1.1.6 Yardımcı Teorem: T sayısının bir diğer eşiti

T Tx x X x 1 sup = ∈ = sayısıdır, [9, s.92].

1.1.7 Yardımcı Teorem: X, Y birer normlu uzay ve T :X →Y bir sınırlı doğrusal operatör olsun. Eğer her x∈X için Tx ≤M x oluyorsa T ≤M elde edilir.

1.1.8 Teorem: X, Y birer normlu uzay ve T :X →Y bir doğrusal operatör olsun. Bu durumda

(i) T süreklidir

(ii) T, 0 noktasında süreklidir (iii) T sınırlıdır

koşulları denktir, [12, s.71].

1.1.9 Teorem: X normlu uzayından Y normlu uzayına tanımlı bütün sınırlı doğrusal operatörlerin vektör uzayı B(X,Y),

Tx x Tx T x X x x X x 1 0 sup sup = ∈ ≠ ∈ = =

şeklinde tanımlanan operatör normuna göre bir normlu uzaydır, [9, s.118].

1.1.10 Teorem: Eğer Y bir Banach uzayı ise B(X,Y) de Banach uzayıdır, [9, s.118].

1.1.11 Uyarı: T :X →Y ve S:Y →Z operatörlerinin bileşimini ST ile göstereceğiz. Böylece eğer x∈X ise STx=S(Tx)∈Z olur.

1.1.12 Teorem: X, Y ve Z birer normlu uzay olsun. Eğer T∈B(X,Y) ve ) , ( ZY B S∈ ise ST∈B(X,Z)’dir ve ST ≤ S T (1.1.2) olur, [12, s.72].

1.1.13 Uyarı: B(X,X) yerine kısaca B( X) yazacağız. T∈B( X) için TT,

TTT,… yerine ise sırasıyla _T2,_T3,K gösterimini kullanacağız.

1.1.14 Sonuç: X bir normlu uzay ve T∈B( X) olsun. Bu durumda herhangi bir n∈IN için

_Tn _{≤ T} n _(1.1.3)

1.1.15 Not: Bir X normlu uzayı üzerindeki birim operatör I yada kısaca I X ile gösterilir.

1.1.16 Not: T ne olursa olsun 0

T birim operatör olarak tanımlanmaktadır.

1.1.17 Tanım: X, Y birer normlu uzay ve T∈B(X,Y) olsun. Eğer TS =I_Y ve ST = I_X

olacak şekilde bir S∈B(Y,X) varsa T ’ye terslenebilirdir denir. Böyle bir S varsa tektir ve buna T ’nin inversi adı verilir, T−1 ile gösterilir, [12, s.72].

1.1.18 Teorem: X bir Banach uzayı ve T∈B( X) olsun. Eğer T <1 ise

T

I− terslenebilirdir ve B( X) normlu uzayında,

∑

∞ = − = − 0 1 ) ( n n T T I (1.1.4) olur, [12, s.73].

1.1.19 Sonuç: X bir Banach uzayı olsun. X üzerinde terslenebilir olan operatörlerin kümesi B( X)’de açıktır, [12, s.75].

1.1.20 Tanım: X, K sayı cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. Bir 〈⋅,⋅〉:X×X →K

dönüşümü, her x,y,z∈X ve her α∈K için (i) 〈x+ y,z〉=〈x,z〉+〈y,z〉

(ii) 〈αx,y〉=α〈x,y〉 (iii) 〈x,y〉=〈y,x〉 (iv) 〈 xx, 〉≥0

(v) 〈x,x〉=0⇔ x=0

koşullarını sağlıyorsa bu dönüşüme bir iç çarpım, (X,〈⋅,⋅〉) ikilisine de bir iç

1.1.21 Teorem: X bir iç çarpım uzayı olmak üzere x,y∈X için

〈 ,x y〉 ≤ x y (1.1.5)

eşitsizliği gerçeklenir. Bu eşitsizliğe Cauchy-Schwarz eşitsizliği adı verilir.

(1.1.5)’de eşitliğin sağlanması için gerekli ve yeterli koşul x ve y’nin doğrusal bağımlı olmalarıdır, [12, s.7].

1.1.22 Yardımcı Teorem: Bir (X,〈⋅,⋅〉) iç çarpım uzayı üzerinde,

1/2 , 〉 〈 = → x x x x

biçiminde tanımlanan ⋅ dönüşümü X üzerinde bir normdur, [9, s.128].

1.1.23 Tanım: Eğer bir iç çarpım uzayı iç çarpımının indirgediği metriğe göre bir tam metrik uzay ise bu iç çarpım uzayına bir Hilbert uzayı denir, [12, s.23].

1.1.24 Teorem: X ve Y birer Hilbert uzayı olmak üzere T ∈B(X,Y) olsun. Her x∈X ve her y∈ için Y

〈Tx y〉Y =〈xT y〉X * , , olacak şekilde * ( , ) X Y B

T ∈ operatörü vardır ve tektir. *

T operatörüne T ’nin

Hilbert-eşleği denir, [12, s.76].

1.1.25 Teorem: X, Y birer Hilbert uzayı olmak üzere T∈B(X,Y) olsun. Bu durumda

T** =T ve T* = T

olur, [12, s.78].

1.1.26 Yardımcı Teorem: X, Y ve Z birer Hilbert uzayı olsun. (i) Eğer T∈B(X,Y) ve S∈B( ZY, ) ise _{( )}* * *

S T

ST = olur.

(ii) Eğer T,S∈B(X,Y) ve λ,µ∈
_{ise (λT +µS)}* _=λT*_+µS* _olur, [12, s.78].

1.1.27 Yardımcı Teorem: X, Y birer Hilbert uzayı olmak üzere T∈B(X,Y) olsun. Bu durumda aşağıdakiler sağlanır.

(i) I* = I olur. (ii) T yada *

T terslenebilir ise diğeri de terslenebilirdir ve 1 * * 1 ) ( )

(_T− _{= T} − olur, [5, s.480].

1.1.28 Tanım: T bir X iç çarpım uzayı üzerinde sınırlı doğrusal bir operatör olsun. Eğer her x∈X için 〈Tx,x〉≥0 oluyorsa T ’ye pozitif operatör denir.

T operatörünün pozitif olduğu T ≥0 şeklinde gösterilir. T ≥S ifadesi ise 0

≥ − S

T olduğu anlamına gelir. Denk olarak, her x∈X için T ≥S ⇔〈Tx,x〉≥〈Sx,x〉

olur, [12, s.141].

1.1.29 Tanım: X, Y birer Hilbert uzayı ve T∈B(X,Y) olsun. Eğer T ≤1 ise T ’ye bir daralma, T <1 ise kesin daralma denir, [12, s.143].

1.1.30 Tanım: X bir Hilbert uzayı ve T∈B(X) olsun. Eğer T*T =TT* =I

oluyorsa T ’ye birimsel (unitary) operatör denir, [9, s.206].

1.2 Spektral Teori

1.2.1 Tanım: X ≠{0} bir kompleks Banach uzayı ve T∈B(X) olsun. T operatörünün rezolvent kümesi,

ρ(T)={λ∈
_{: λI−T terslenebilirdir}}

şeklinde tanımlanır. Bu kümenin tümleyenine T ’nin spektrumu adı verilir ve σ(T) ile gösterilir, yani σ(T)=
-_{ρ(T)’dir. (}λI_{− T)}−1 fonksiyonuna T ’nin rezolvent

fonksiyonu (yada rezolvent operatörü) veya kısaca rezolventi denir. Bir λ∈σ(T)

1.2.2 Yardımcı Teorem: X bir kompleks Banach uzayı ve T∈B(X) olsun. Bu durumda ρ(T) rezolvent kümesi açıktır, [9, s.376].

1.2.3 Sonuç: σ(T) kapalıdır, [9, s.376].

1.2.4 Teorem: X bir kompleks Banach uzayı ve T∈B(X) olsun. Her ) ( 0 ρ T λ ∈ için 1 ) (_{λI− T} − _rezolventi

∑

∞ = + − − _{= − −} − 0 1 1 0 0 1 _{( ) [( ) ]} ) ( j j j T I T I λ λ λ λ

açılımına sahiptir. Bu seri,

₁ 0 0 ) ( 1 − − < − T I λ λ λ

ile belirtilen açık diskteki her λ için mutlak yakınsaktır. Bu disk ρ(T)’nin bir alt kümesidir, [9, s.377].

1.2.5 Teorem: σ(T) kompakttır ve

λ ≤ T (1.2.1)

ile verilen diskte bulunur. Bu nedenle ρ(T) boştan farklıdır, [9, s.377].

1.2.6 Tanım: X bir kompleks Banach uzayı ve T ∈B(X) olsun. T operatörünün spektral yarıçapı,

λ σ λ ( ) sup ) ( T T r ∈ =

şeklinde tanımlanır. Yani spektral yarıçap, λ-kompleks düzleminde merkezi orjinde olan ve σ(T)’yi içeren en küçük kapalı diskin yarıçapıdır, [9, s.378].

1.2.7 Not: (1.2.1)’den açıktır ki bir T∈B(X) operatörünün spektral yarıçapı için

r(T)≤ T

1.2.8 Teorem (Polinomlar için spektral dönüşüm teoremi): X bir kompleks Banach uzayı, T∈B(X) ve ( ) 0 ( 0) 1 1 + + ≠ + = − − n n n n n p λ α λ α λ L α α olsun. Bu durumda σ(p(T))= p(σ(T)) olur, yani p T _nTn _n Tn 0I 1 1 ) ( =α +α − + +α − L

operatörünün spektrumu olan σ(p(T)), p polinomunun T ’ nin σ(T) spektrumu üzerinde aldığı bütün değerlerinden oluşur; burada

p( Tσ( ))={µ∈
_{: µ = p(λ),λ∈σ(T)}} dir, [9, s.381].

1.2.9 Yardımcı Teorem: X bir kompleks Banach uzayı ve T∈B(X) olsun. Bu durumda _{(λI− T)}−1_{, ρ(T) rezolvent kümesindeki her}

0

λ noktasında analitiktir. Dolayısıyla ρ(T) üzerinde yerel olarak analitiktir, [9, s.389].

1.2.10 Not: ρ(T), T ’nin rezolventinin yerel olarak analitik olduğu en geniş kümedir. Gerçekten rezolvent, spektrumun noktalarına analitik olarak devam ettirilemez.

Bu aşağıdaki teoremden görülebilir.

1.2.11 Teorem: X bir kompleks Banach uzayı, T∈B(X) ve λ∈ρ(T) olsun.

s T s − = ∈ λ λ δ σ( ) inf ) ( olmak üzere ) ( 1 ) ( 1 λ δ λ_I−_T − ≥ _,

λ’nın σ(T) spektrumuna olan uzaklığıdır. Dolayısıyla δ(λ)→0 iken (λI−T)−1 →∞

1.2.12 Teorem: Eğer X ≠{0} bir kompleks Banach uzayı ve T∈B(X) ise

φ

σ(T)≠ ’dir, [5, s.567].

1.2.13 Teorem: X bir kompleks Banach uzayı ve T∈B(X) olsun. T operatörünün spektral yarıçapı r(T) için

n n n T T r ∞ → = lim ) (

elde edilir. Bu eşitliğe Gelfand formülü adı verilir, [9, s.391].

1.2.14 Tanım: f bir E bölgesi üzerinde analitik olan kompleks değerli bir fonksiyon, D⊂ E bir açık küme ve C=∂D pozitif yönlü basit kapalı sonlu uzunluklu bir çevre olsun. T∈B(X) olmak üzere σ(T)⊆D olduğunu varsayalım. Bu durumda f(T) operatörü ₌

∫

₋ − C dz T zI z f i T f ( )( ) 1 2 1 ) ( π (1.2.2)

eşitliği ile tanımlanır. (1.2.2) eşitliğine Riesz-Dunford integrali adı verilir, [5, s.568].

Spektra, Banach cebirleri kavramı ile de bağlantılıdır. Bir Banach cebiri hem cebir hem de Banach uzayı yapılarına sahiptir. Şimdi, ilgili bazı kavramları ele alacağız.

1.2.15 Tanım: A, bir K cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. A üzerinde A×A→A, (x,y)→xy

şeklinde tanımlanan çarpma işlemi, her x,y,z∈A ve α∈K için (i) (xy)z=x(yz)

(ii) x(y+ )z = xy+xz

(iii) (x+ )y z=xz+ yz

(iv) α(xy)=(αx)y =x(αy)

özelliklerini sağlıyorsa A’ya K cismi üzerinde bir cebir adı verilir. Eğer çarpma işlemi değişmeli ise yani her x,y∈A için xy= yx

Eğer her x∈A için ex= xe= x

olacak şekilde bir e∈ elemanı varsa A’ya birimli cebir denir. Bu e elemanına ise A A’nın bir birimi adı verilir.

Eğer A’nın bir birimi varsa bu birim tektir, [9, s.394].

1.2.16 Tanım: A hem bir normlu uzay hem de her x,y∈A için

xy ≤ x y (1.2.3)

eşitsizliği gerçeklenen ve eğer bir e birimi varsa bu birimi e =1

koşulunu sağlayan bir cebir olsun. Bu durumda A’ya bir normlu cebir denir, [9, s.395].

1.2.17 Tanım: Eğer bir normlu cebir, normlu uzay olarak göz önüne alındığında tam ise bu normlu cebire bir Banach cebiri denir, [9, s.395].

1.2.18 Not: Bir X ≠{0} kompleks Banach uzayı üzerindeki bütün sınırlı doğrusal operatörlerden oluşan B(X) Banach uzayı, birimi I (X üzerindeki birim operatör) olan ve çarpma işlemi operatörlerin bileşkesi olarak tanımlanan bir Banach cebiridir. (1.2.3) bağıntısı,

T1T2 ≤ T1 T2

şeklindedir ((1.1.2)’ye bakınız), [9, s.396].

1.2.19 Tanım: A birimli bir cebir ve x∈A olsun. Eğer x, A’da bir inverse sahip ise yani

x−1x=xx−1 =e

olacak şekilde bir x−1∈A elemanı varsa x’e terslenebilirdir denir. Eğer x terslenebilir ise inversi tektir, [9, s.396].

1.2.20 Tanım: A bir birimli kompleks Banach cebiri olsun. Bu durumda bir

A

x∈ elemanının ρ(x) rezolvent kümesi ρ(x)={λ∈
_{: λe−x terslenebilirdir}}

şeklinde tanımlıdır. x ’in spektrumu olan σ(x), ρ(x)’in kompleks düzlemde tümleyenidir, yani σ(x)=
-_{ρ(x)’dir. Herhangi bir λ}∈_σ(x) sayısına x’in bir

spektral değeri denir, [9, s.396].

O halde x∈ elemanının spektral değerleri A λe−x’i terslenemez yapan bu λ

değerleridir.

Eğer X bir kompleks Banach uzayı ise B(X) bir Banach cebiridir, dolayısıyla Tanım 1.2.20 uygulanabilir. Böylece görülmektedir ki Tanım 1.2.20 ile Tanım 1.2.1 birbiri ile örtüşür.

2. SKALER POISSON ÇEKİRDEĞİ

Bu bölümde öncelikle iki boyuttaki skaler Poisson çekirdeği kavramının ortaya çıkışını ele alacağız.

Birinci kesimde bu kavramla ilgili bazı çalışmaları inceleyeceğiz. Bu çalışmaların ilki bize skaler Poisson çekirdeğine bağlı bir integral eşitliğinin farklı bir ispatını sunmaktadır. Bir diğer çalışmada ise skaler Poisson çekirdeğinin bazı kuvvetlerine bağlı bir integralin çözümü yer almaktadır. Bunların ardından her iki integral eşitliğinin genellemelerinden bahsedeceğiz.

İkinci kesimde ise skaler Poisson çekirdeğinin yeni bir genellemesini tanımlayıp buna bağlı olarak elde ettiğimiz bazı sonuçları ele alacağız.

2.1 Skaler Poisson Çekirdeği

f fonksiyonu, orjin merkezli pozitif yönlü bir C₀ çemberinin içinde ve

üzerinde analitik olsun.

∫

− = 0 ) ( 2 1 ) ( C s z ds s f i z f π (2.1.1)

Cauchy integral formülü, [3, 4, 10], f fonksiyonunun C0 içindeki herhangi bir z noktasındaki değerini, f ’nin C0 üzerindeki s noktalarında aldığı değerler yardımıyla ifade eder. Bu kesimde (2.1.1) formülünden, f fonksiyonunun reel kısmı için karşılık gelen bir formül elde edeceğiz ve bu sonucu Dirichlet probleminin birim disk için çözümünde kullanacağız.

0

r , C0’ın yarıçapını belirtsin ve 0<r<r0 olmak üzere

θ i

re

üzerinde bulunan ve z1 z =r02 koşulunu sağlayan z noktasıdır. Böylece eğer s, 1

0

C üzerinde bir nokta ise

z s s z r e r r z = i = = 2 0 2 0 1 θ _(2.1.2)

olur. z1, C0 çemberinin dışında olduğundan (2.1.1)’deki integrandda z yerine z1 alınırsa Cauchy-Goursat teoremi, [3], gereği integralin değeri sıfır bulunur. Bundan dolayı

∫

_      − − − = 0 ) ( 1 1 2 1 ) ( 1 C ds s f z s z s i z f π

yazılabilir. C₀ için s=r₀eit (0≤t≤2π) kutupsal gösterimi kullanıldığında

∫

_      − − − = π π 2 0 1 ) ( 2 1 ) ( f s dt z s s z s s z f olur. Burada it e

r₀ yerine sadelik için s kullanılmıştır.

Dikkat edilirse parantez içindeki çarpan, (2.1.2) ifadesinin son kısmına göre

₂ 2 2 0 ) / ( 1 1 z s r r z s z z s s z s z s s − − = − + − = − − − (2.1.3)

şeklinde yazılabilir. Bu nedenle (2.1.1) Cauchy integral formülünün bir başka ifadesi, 0<r<r0 iken

∫

− − = π θ π 2 0 2 0 2 2 0 ( ) 2 ) ( dt z s e r f r r re f it i _(2.1.4)

olur. Bu ifade r=0 iken de geçerlidir ve bu durumda

=

∫

π π 2 0 0 ) ( 2 1 ) 0 ( f re dt f it

biçimine gelir ki bu, (2.1.1) denkleminin z=0 için kutupsal biçimidir.

Diğer taraftan, 2 0 2 0 2 ) cos( 2rr t r r z s− = − −θ + (2.1.5)

eşitliği geçerlidir. Dolayısıyla eğer u, f analitik fonksiyonunun reel kısmı ise (2.1.4) formülünden

( ) ) cos( 2 ) , ( ) ( 2 1 ) , ( 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 0 r r dt r t r r r t r u r r r u < + − − − =

∫

π θ π θ (2.1.6)

bulunur. Buna r=r0 çemberi ile sınırlanan açık diskte u harmonik fonksiyonu için

Poisson integral formülü denir.

(2.1.6) formülü, u(r₀,t)’den u(r,θ)’ya bir doğrusal integral dönüşümü tanımlar. Bu dönüşümün çekirdeği, 1 (2π) çarpanı hariç, reel değerli

2 0 2 0 2 2 0 0 ) cos( 2 ) , , ( r t r r r r r t r r P + − − − = − θ θ (2.1.7)

fonksiyonudur. Bu fonksiyon Poisson çekirdeği olarak bilinir. (2.1.5) eşitliği gereği ayrıca ₂ 2 2 0 0, , ) ( z s r r t r r P − − = −θ (2.1.8)

eşitliği de yazılabilir. r<r0 olduğundan P’nin pozitif bir fonksiyon olduğu açıktır. Üstelik z (s−z) ve bunun kompleks eşleniği olan z (s−z)’nin reel kısımları aynı olduğundan (2.1.3)’teki ikinci eşitlikten

      − + =       − + − = − z s z s z s z z s s t r r P( 0, , θ) Re Re (2.1.9)

bulunur. Böylece C0 üzerindeki sabit tutulan her bir s için P(r0,r,t−θ), C0 içindeki r ve θ’nın bir harmonik fonksiyonudur. (2.1.7) eşitliğinden görülmektedir ki P(r0,r,t−θ), t−θ’nın bir çift periyodik fonksiyonudur ve periyodu 2π ’dir. Ayrıca r=0 iken değeri 1’dir.

(2.1.6) Poisson integral formülü,

( , , ) ( , ) ( ) 2 1 ) , ( 0 2 0 0 0 r t u r t dt r r r P r u =

∫

− < π θ π θ (2.1.10)

şeklinde yazılabilir. f(z)=u(r,θ)=1 iken (2.1.10) denklemi, P’nin

( , , ) 1 ( ) 2 1 0 2 0 0 r t dt r r r P − = <

∫

π θ π (2.1.11)

Özel halde r0 =1 alınırsa birim disk için Poisson çekirdeği ( ) ) cos( 2 1 1 ) , , 1 ( 2 , 2 θ θ θ i t r tn e P r t r r t r P = + − − − = − (2.1.12)

olarak elde edilir.

Bu eşitlik daha sade olarak

₂ 2 cos 2 1 1 ) , ( r r r r P tn + − − = θ θ (2.1.13)

biçiminde de ifade edilebilir.

Biz bundan böyle (2.1.7) Poisson çekirdeğinin (2.1.12) ve (2.1.13)’teki ifadelerini kullanacağız ve bunları skaler Poisson çekirdeği olarak adlandıracağız.

Dikkat edilirse (2.1.7),

∑

∞ = −       + = − 1 0 0, , ) 1 2 cos ( ) ( n n t n r r t r r P θ θ

serisi yardımıyla da ifade edilebilir.

Şimdi (2.1.13) yardımıyla Dirichlet probleminin D birim diski için çözümünü ifade edelim.

2.1.1 Teorem: f :∂D→ _{sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda} (i) z∈∂D için u(z)= f(z)

(ii) u, D’de harmonik

olacak şekilde bir u:D → _{sürekli fonksiyonu vardır. Üstelik u tektir ve 0≤ r<1,}

π θ 2 0≤ ≤ için

∫

− − = π π θ _θ π P r t f e dt re u i ( , ) ( it) 2 1 ) (

Şimdi (2.1.11) integral eşitliğinin [11] numaralı kaynakta yer alan farklı bir ispatını vereceğiz. Ancak sadelik için (2.1.13)’ü ele alacağız. Bu ispat metodunu Teorem 3.1.6’da kullanacağız.

2.1.2 Teorem: 0≤ r<1 için ( , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π P r d (2.1.14) olur.

İspat: Öncelikle yukarıdaki (2.1.14) integral eşitliğinin sol tarafını F(r) ile gösterelim. Bu durumda F(r), 0≤ r<1 iken r’ye bağlı sürekli bir fonksiyondur. Ayrıca, F(0)=1 olduğu da açıktır.

Şimdi, =

∫

+

∫

π π π π θ θ π 2 0 ) , ( 2 1 ) , ( 2 1 ) (r P r d P r x dx F

yazalım. İkinci integralde x=θ +π değişken değişimi yapılmasının ardından iki integral birleştirildiğinde

∫

− + − = π θ θ π ₀ 2 2 2 2 4 cos 4 ) 1 ( 1 1 ) ( d r r r r F

elde edilir. Diğer taraftan,

2 2 2 2 2 2 4 ) 1 cos 2 ( 2 1 cos 4 ) 1 ( +r − r θ = − r θ− +r ve 2cos2θ 1 cos2θ = −

eşitliklerini göz önüne alalım. Bu durumda, φ =2θ değişken değişimi ile

( ) cos 2 1 1 2 1 ) ( 2 2 0 4 2 4 r F d r r r r F = + − − =

∫

π φ φ π bulunur.

Benzer şekilde F(r)’nin tanımı gereği

∫

∫

+ − − = = π π θ θ π θ θ π 2 0 4 2 4 2 0 2 2 cos 2 1 1 2 1 ) , ( 2 1 ) ( d r r r d r P r F

elde edilir. Bu şekilde devam edilerek _F(_r)_=F(_r2n), _n=1,2,K

eşitliğinin sağlandığı görülür. Bundan dolayı, eğer 0≤ r<1 ise ( ) lim ( 2 ) (0) 1 = = = ∞ → F r F r F n n

elde edilir. Böylece (2.1.14) ispatlanmış olur.

Son olarak, dikkat edilirse 0< r ≠1 ise F(r)=−F(1/r) eşitliği sağlanır. Bu sonuç ve (2.1.14), bize

∫

P(r, )d =−1, 1<r 2 1 2 0 π θ θ π eşitliğini verir. ◊

Şimdi Teorem 2.1.2’deki integralde P(r,θ) yerine P(r,θ)’nın bazı

kuvvetlerinin alınması durumunda elde edilen integralin çözümünü vereceğiz.

2.1.3 Teorem: Eğer 2 /(1 2) r r x= + ve n=0,1,2,K ise _      − ⋅ ⋅       + − = + +

∫

2 1/2 1 2 2 2 0 1 ) 1 ( ! 1 1 1 ) , ( 2 1 x x dx d n r r d r P n n n n n π θ θ π (2.1.15) olur, [6].

Özetleyecek olursak, D birim diski için skaler Poisson çekirdeği

∑

∞ = + = + − − = 1 2 2 cos 2 1 cos 2 1 1 ) , ( n n n r r r r r P θ θ θ şeklinde tanımlıdır ve ( , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π P r d

integral eşitliğini sağlar. Burada r, 0≤ r <1 özelliğinde bir reel sayıdır. (2.1.13) ayrıca ) 1 )( 1 ( 1 ) , ( 2 θ θ θ _{i i} re re r r P ₋ − − − = şeklinde de yazılabilir.

Diğer taraftan, ( 1 1) cos 2 1 1 cos 2 1 ₂ 2 1 < < − + − − = +

∑

∞ = a a a a n a n n θ θ

eşitliği göz önüne alınırsa (2.1.13)’ün, −1<r<1 özelliğindeki reel sayılar için de geçerli olduğu görülür. Yani

( 1 1) ) 1 )( 1 ( 1 ) , ( 2 < < − − − − = ₋ r re re r r P θ _{iθ iθ} (2.1.16)

eşitliği geçerlidir ve dolayısıyla (2.1.16) için

( , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π P r d (2.1.17)

integral eşitliği sağlanır.

Eğer (2.1.13) yerine (2.1.12) kullanılırsa, −1<r<1 özelliğindeki reel sayılar için bu kez ) 1 )( 1 ( 1 ) cos( 2 1 1 ) ( 2 2 2 , _{θ θ} θ θ it i it i i t r e re e re r r t r r e P _{− −} − − − = + − − − = (2.1.18)

elde edilir ve (2.1.18) için

( ) 1 2 1 2 0 , =

∫

π θ π P e dt i t r

integral eşitliği sağlanır.

Şimdi amacımız ilk olarak (2.1.16) ve (2.1.17) eşitliklerinin genellemelerini vermektir.

2.1.4 Tanım: a ve b, sırasıyla a <1 ve b <1 özelliğinde birer kompleks sayı olmak üzere

) 1 )( 1 ( 1 ) , ; (θ tn _{iθ iθ} be ae ab b a Q ₋ − − − = (2.1.19) tanımlanır, [7].

2.1.6 Teorem: a ve b, sırasıyla a <1 ve b <1 özelliğinde birer kompleks sayı olmak üzere

( ; , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π Q a b d (2.1.20)

integral eşitliği sağlanır, [7].

2.1.7 Uyarı: (2.1.20)’de a=r ve b= alınırsa (2.1.20)’nin (2.1.17)’nin bir r

genellemesi olduğu görülür, [7].

2.1.8 Uyarı: Dikkat edilirse (2.1.18)’in genellemesi, ) 1 )( 1 ( 1 ) ( , , θ θ θ i it i it i t b a e be e ae ab e Q _{− −} − − − = (2.1.21) şeklinde olacaktır.

Şimdi de (2.1.19) ve (2.1.20)’nin genellemelerini vereceğiz.

2.1.9 Tanım: a, b, c ve d, sırasıyla a <1, b <1, c <1 ve d <1 özelliğinde birer kompleks sayı olmak üzere

) 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( ) , , , ( ) , , , ; (θ _{iθ iθ iθ iθ} de ce be ae d c b a L d c b a R _{− −} − − − − = (2.1.22) tanımlanır; burada abcd cd bc ad ab d c b a L tn − − − − − = 1 ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( ) , , , ( dir, [7].

2.1.10 Uyarı: Eğer (2.1.22)’de c=0 ve d =0 alınırsa (2.1.22)’nin (2.1.19)’un bir genellemesi olduğu görülür, [7].

2.1.11 Teorem: a, b, c ve d, sırasıyla a <1, b <1, c <1 ve d <1 özelliğinde birer kompleks sayı olmak üzere

( ; , , , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π R ab c d d (2.1.23)

olur, [7].

2.1.12 Sonuç: Eğer Teorem 2.1.11’de c= ve a d = alınırsa b

ab ab d b a Q − + =

∫

( ; , ) ₁1 2 1 2 0 2 π θ θ π

elde edilir; burada a ve b, sırasıyla a <1 ve b <1 özelliğinde birer kompleks sayı olmak üzere ) 1 )( 1 ( 1 ) , ; (θ _{iθ iθ} be ae ab b a Q ₋ − − − = dır, [7].

Haruki ve Rassias, Teorem 2.1.6 ve Sonuç 2.1.12’den hareketle aşağıdaki tanımı vermişlerdir.

2.1.13 Tanım: a ve b, sırasıyla a <1 ve b <1 özelliğinde birer kompleks

sayı olmak üzere

∫

∫

_ =      − − − = = + − + π θ θ π θ π θ θ π 2 0 1 2 0 1 ) , 1 , 0 ( ) 1 )( 1 ( 1 2 1 ) , ; ( 2 1 K n d be ae ab d b a Q I n i i n tn n (2.1.24) tanımlanır, [7].

Şimdi, Teorem 2.1.6 ve Sonuç 2.1.12 göz önüne alındığında

I0 =1 (2.1.25) ve ab ab I − + = 1 1 1 (2.1.26) elde edilir.

Bunun sonucunda Haruki ve Rassias aşağıdaki Açık Problemi bırakmışlardır.

Açık Problem: _n=2,3,4,K için n

2.1.14 Teorem: a ve b sırasıyla a <1 ve b <1 özelliğinde birer kompleks

sayı ve n=0,1,2,K olmak üzere (2.1.24)’de tanımlanan In’in değeri,

∑

= −       − − − = n j j n n ab ab j n j j n I 0 !(( )!)2 1 )! 2 ( (2.1.27) olur, [8].

2.1.15 Uyarı: (2.1.27)’de n=0 ve n=1 alınırsa sırasıyla (2.1.25) ve (2.1.26) elde edilir, [8].

2.2 Skaler Poisson Çekirdeğinin Yeni Bir Genellemesi

Şimdi benzer şekilde (2.1.22) ve (2.1.23)’ün yeni genellemelerini vereceğiz, [1].

2.2.1 Tanım: x, y, z, t, u ve v, x <1, y <1, z <1, t <1, u <1 ve v <1 özelliğinde birer kompleks sayı olmak üzere

) 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( ) , , , , , ( ) , , , , , ; (θ _{iθ iθ iθ iθ iθ iθ} ve ue te ze ye xe v u t z y x L v u t z y x S _{− − −} − − − − − − = (2.2.1) tanımlayalım; burada ) , , , , , ( ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( ) , , , , , ( v u t z y x K uv tu zv zt yu yz xv xt xy v u t z y x L tn _{− − − − − − − − −} = ve 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 ) )( ( ) ( ) ( ) ( [ ) ( ) ( ) ( [ ) ( ) ( 1 ) , , , , , ( v u t z y x xyztuv ytv v yt tv y xzu u xz zu x z x u u x z u z x ytv t y v v y t v t y xzu tv yv yt zu xu xz v u t z y x K + + + + + + − + + + + + + + + + + + + + + + + − = dir.

2.2.2 Not: Eğer (2.2.1)’de u =0 ve v=0 alınırsa (2.2.1)’in (2.1.22)’nin bir genellemesi olduğu görülür.

Bu yeni tanıma bağlı olarak aşağıdaki teorem elde edilir.

2.2.3 Teorem: x, y, z, t, u ve v, x <1, y <1, z <1, t <1, u <1 ve v <1 özelliğinde birer kompleks sayı olmak üzere

( ; , , , , , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π S x y z t u v d olur. İspat: Öncelikle

∫

∫

− − − − − − = − − − − − − − − − π θ θ θ θ θ θ θ θ π θ θ θ θ θ θ θ π θ π 2 0 2 2 0 ) )( 1 )( )( 1 )( )( 1 ( ) ( 2 1 ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( 2 1 d ie v e ue t e ze y e xe e i ve ue te ze ye xe d i i i i i i i i i i i i i i (2.2.2)

elde edilir. Eğer iθ

e

w= değişken değişimi yapılırsa

ieiθd_{θ =}dw _(2.2.3) olur. Şimdi ) )( 1 )( )( 1 )( )( 1 ( ) ( 2 v w uw t w zw y w xw w w f − − − − − − = (2.2.4)

diyelim. Dikkat edilirse f(w) fonksiyonu w= , y w= ve t w= noktaları hariç v

1 ≤

w ’de analitiktir; bu noktaların her biri f(w)’nun bir kutup noktasıdır. Bu kutup noktaları için beş durum söz konusudur:

1) y≠t,t≠v,y ≠v

2) y=t≠v

3) y=v≠t

4) t=v≠ y

5) y=t=v

1. Durum: y ≠t,t≠v,y≠v olsun. Bu durumda (2.2.2), (2.2.3) ve (2.2.4) gereği

∫

∫

= − − − = − − − − − − 1 2 0 ) ( 2 1 ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( 2 1 w i i i i i i dw w f i ve ue te ze ye xe d π θ π π θ θ θ θ θ θ (2.2.5)

elde edilir; burada w =1 birim çemberi boyunca f(w) fonksiyonunun integrali

pozitif yöndedir.

1

R , R ve ₂ R₃, f(w) fonksiyonunun sırasıyla w= , y w= ve t w= v

noktalarındaki rezidülerini belirtsin. Dikkat edilirse bu noktaların her biri f(w) fonksiyonunun birer basit kutbudur. Bu durumda rezidü teoremi, [3, 10], gereği

_{1 2 3} 1 ) ( 2 1 R R R dw w f i _w

∫

₌ = + + π (2.2.6)

elde edilir. Şimdi R₁, R₂ ve R₃ rezidülerini hesaplayalım. Sırasıyla

, ) )( 1 )( )( 1 )( 1 ( ) )( 1 )( )( 1 )( 1 ( lim ] ) ( ) ( [ lim 2 2 1 v y uy t y zy xy y v w uw t w zw xw w w f y w R y w y w − − − − − = − − − − − = − = → → (2.2.7) ) )( 1 )( 1 )( )( 1 ( ) )( 1 )( 1 )( )( 1 ( lim ] ) ( ) ( [ lim 2 2 2 v t ut zt y t xt t v w uw zw y w xw w w f t w R t w t w − − − − − = − − − − − = − = → → (2.2.8) ve ) 1 )( )( 1 )( )( 1 ( ) 1 )( )( 1 )( )( 1 ( lim ] ) ( ) ( [ lim 2 2 3 uv t v zv y v xv v uw t w zw y w xw w w f v w R v w v w − − − − − = − − − − − = − = → → (2.2.9)

bulunur. O halde (2.2.6), (2.2.7), (2.2.8) ve (2.2.9)’dan ) , , , , , ( 1 ) ( 2 1 1 L x y z t u v dw w f i _w

∫

₌ = π (2.2.10) elde edilir. Böylece (2.2.1), (2.2.5) ve (2.2.10)’dan ( ; , , , , , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π S x y z t u v d sonucuna ulaşılır. 2. Durum: y =t≠v olsun. Bu durumda (2.2.4), ) )( 1 )( 1 ( ) )( 1 ( ) ( ₂ 2 v w uw zw y w xw w w f − − − − − = (2.2.11) biçimindedir. O halde (2.2.2), (2.2.3) ve (2.2.11) gereği

∫

∫

∫

= − − − − − = − − − − − = − − − − − − 1 2 0 2 2 0 ) ( 2 1 ) 1 )( 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 1 ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( 2 1 w i i i i i i i i i i i dw w f i ve ue ze ye xe d ve ue te ze ye xe d π θ π θ π π θ θ θ θ θ π θ θ θ θ θ θ (2.2.12)

elde edilir; burada w =1 birim çemberi boyunca f(w) fonksiyonunun integrali pozitif yöndedir.

Dikkat edilirse f(w), w= ve y w= noktaları hariç v w ≤1’de analitik bir fonksiyondur. Ayrıca f , w= ’de bir çift katlı kutba ve y w= ’de ise bir basit v

kutba sahiptir. ) (w

f ’nun w= ’deki rezidüsüne y R ve 1 w= ’deki rezidüsüne v R diyelim. 2 Rezidü teoremi, [3, 10], gereği

olur.

Önce R ’i hesaplayalım. Cauchy türev formülü, [3, 10], gereği 1

) )( 1 )( 1 )( 1 ( 1 1 1 2 ) )( 1 )( 1 )( 1 ( ) ( ) )( 1 )( 1 )( 1 ( 2 1 2 1 2 2 1 v y uy zy xy v y y yu yu zy zy xy xy y v w uw zw xw w dw d dw y w v w uw zw xw w i R y w w − − − −       − − − + − + − + =             − − − − = − − − − − = = =

∫

π (2.2.14) bulunur. 2 R hesaplandığında ise

[

]

) 1 )( 1 ( ) )( 1 ( ) 1 )( 1 ( ) )( 1 ( lim ) ( ) ( lim 2 2 2 2 2 uv zv y v xv v uw zw y w xw w w f v w R v w v w − − − − = − − − − = − = → → (2.2.15) elde edilir. O halde (2.2.13), (2.2.14) ve (2.2.15) gereği ) , , , , , ( 1 ) 1 )( 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) , , , , , ( ) ( 2 1 2 2 2 1 v u y z y x L zv uv xv yu zy xy v u y z y x K dw w f i _w = − − − − − − =

∫

= π (2.2.16)

bulunur. Böylece (2.2.1), (2.2.12) ve (2.2.16) gereği

( ; , , , , , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π S x y z y u v d olur. 3. Durum ve 4. Durum:

3. ve 4. durumlar için sırasıyla

( ; , , , , , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π S x y z t u y d ve

( ; , , , , , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π S x y z t u t d

integral eşitliklerinin ispatları 2. durumun ispatı ile aynıdır.

5. Durum: y =t=v olsun. Bu durumda (2.2.4), ) 1 )( 1 ( ) )( 1 ( ) ( ₃ 2 uw zw y w xw w w f − − − − = (2.2.17)

biçimindedir. Böylece (2.2.2), (2.2.3) ve (2.2.17) gereği

∫

∫

∫

= − − − − = − − − − = − − − − − − 1 2 0 3 2 0 ) ( 2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 1 ) 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ( 2 1 w i i i i i i i i i i dw w f i ue ze ye xe d ve ue te ze ye xe d π θ π θ π π θ θ θ θ π θ θ θ θ θ θ (2.2.18)

elde edilir; burada w =1 birim çemberi boyunca f(w) fonksiyonunun integrali

pozitif yöndedir. ) (w

f , w= noktası hariç y w ≤1’de analitik bir fonksiyondur. Dikkat edilirse f(w), w= ’de 3. mertebeden bir kutba sahiptir. y f(w)’nun w= ’deki y

rezidüsüne R diyelim. Bu durumda rezidü teoremi, [3, 10], gereği

f w dw R

i _w

∫

₌₁ ( ) =

2 1

π

olur. O halde R’yi hesaplamalıyız: Cauchy türev formülü, [3, 10], gereği

) , , , , , ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) , , , , , ( ) 1 )( 1 )( 1 ( ! 2 1 ) ( ) 1 )( 1 )( 1 ( 2 1 ) ( 2 1 3 3 3 2 2 2 1 3 2 1 y u y z y x L uy zy xy y u y z y x K uw zw xw w dw d dw y w uw zw xw w i dw w f i y w w w = − − − =             − − − = − − − − = = = =

∫

∫

_π π (2.2.19)

elde edilir. Bu durumda (2.2.1), (2.2.18) ve (2.2.19) gereği ( ; , , , , , ) 1 2 1 2 0 =

∫

π θ θ π S x y z y u y d bulunur.

Böylece ispat biter. ◊

2.2.4 Sonuç: Eğer Teorem 2.2.3’te z= , x u= ve x t= y, v= y alınırsa

₂ 2 2 2 0 3 3 3 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 xy y x xy d ye xe xy i i − + + = − − −

∫

− π θ θ θ π elde edilir.

İspat: Teorem 2.2.3 gereği

=

∫

π θ θ π 2 0 ) , , , , , ; ( 2 1 1 S x y z t u v d

olduğunu biliyoruz. O halde z= , x u = ve x t= y, v= y için

∫

∫

∫

∫

∫

∫

− − − − − − − − ⋅ + + − = − − − ⋅ + + − − = − − − ⋅ − = − − − = − − = = π θ θ π θ θ π θ θ π θ θ π θ θ π θ π θ π θ π θ π θ π θ θ π 2 0 3 3 3 2 2 2 2 0 3 3 3 2 2 4 6 2 0 3 3 3 6 2 0 3 3 9 2 0 3 3 2 0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 4 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 4 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) , , , , , ( ) 1 ( ) , , , , , ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) , , , , , ( 2 1 ) , , , , , ; ( 2 1 1 d ye xe xy y x xy xy d ye xe xy y x xy xy xy d ye xe xy y x y x y x K xy d y x y x y x K ye xe xy d ye xe y x y x y x L d y x y x y x S i i i i i i i i i i

elde edilir; burada

( , , , , , ) (1 )4(1 4 2 2) y x xy xy y x y x y x K = − + + dir. Böylece ₂ 2 2 2 0 3 3 3 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 xy y x xy d ye xe xy i i − + + = − − −

∫

− π θ θ θ π bulunur. ◊

3. OPERATÖR-DEĞERLİ POISSON ÇEKİRDEĞİ

Bu bölümde operatör-değerli Poisson çekirdeği kavramı üzerine yapılan bazı çalışmaları ele alacağız.

Operatör-değerli Poisson çekirdeği kavramı skaler Poisson çekirdeği kavramı yardımı ile tanımlanmaktadır. Operatör-değerli Poisson çekirdeği ile skaler Poisson çekirdeği arasındaki bağlantı [2] numaralı kaynakta ayrıntılı olarak yer almaktadır.

Biz bu tez çalışmasında operatör-değerli Poisson çekirdeği için elde edilen bazı sonuçları inceleyeceğiz, [2]. Bu sonuçlardan biri operatör-değerli Poisson

çekirdeğinin sağladığı

∫

K_rt T dt =I π π 2 0 , ( ) 2 1

integral eşitliğidir. Bu eşitlik,

∈ =

∫

p e K T dt p rT p ( it) _rt( ) , 2 1 ) ( 2 0 , π

π
[z]D integral eşitliğinde p polinomunun 1’e özdeş olması durumunda elde edilir.

Bu bölümdeki ilk amacımız bu integral eşitliğinin ispatını bir polinomdan bağımsız olarak vermektir. Böylece yukarıda bahsettiğimiz kısıtlama ortadan kalkmış olur. İkinci amacımız ise operatör-değerli Poisson çekirdeğinin bir genellemesini vermektir. Böylece hem [2]’de elde edilen bazı sonuçlar genelleştirilmiş olur hem de ikinci bölümde skaler Poisson çekirdeği için verilen ilk genellemenin operatör-değerli versiyonu elde edilir.

Bundan böyle bir kompleks Hilbert uzayını

Н

_ile,

Н

_’dan

Н

_{’ya bütün sınırlı}

3.1 Operatör-değerli Poisson Çekirdeği

Hatırlanacak olursa, reit _∈D _{için skaler Poisson çekirdeği}

t r P_, , 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 0 int 0 int 2 2 , − + = − − = − − + − =

∑

∑

≥ − ≥ − − − − n in n n in n i it i it i it i t r e e r e e r e re r e re e re e P θ θ θ θ θ θ şeklinde tanımlıdır.

Operatör-değerli Poisson çekirdeği ise _, ( iθ) t r e

P yardımıyla aşağıdaki şekilde

tanımlanmaktadır. 3.1.1 Tanım: ∈T

L

(Н )

_{öyle ki σ(T)⊂D ve re}it _D ∈ için operatör-değerli Poisson çekirdeği Kr,t(T)∈

L

(Н )

, K_rt T = I−reitT* −1+ I−re−itT −1−I , ( ) ( ) ( ) (3.1.1) şeklinde tanımlanmaktadır, [2].

3.1.2 Not: Dikkat edilirse ( ( )) , ( ) * , T K T K_rt = _rt ve ( ) ( *) , , T K T K_r−t = _rt olur, [2].

Skaler Poisson çekirdeği için olduğu gibi operatör-değerli Poisson çekirdeği için de aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

3.1.3 Yardımcı Teorem: ∈T

L

(Н )

_{öyle ki σ(T)⊂D için}

* 1 2 * 1 , ( ) ( ) ( )( ) − − − − − − = I re T I r T T I re T T K_rt it it (3.1.2) ₍ − ₎−1₍ 2 *₎₍ *₎−1 − − − = I re itT I r TT I reitT (3.1.3)

r e T r e T I n n itn n n n itn n − + =

∑

∑

≥ − ≥0 0 * _(3.1.4) olur, [2]. ∈ T

L

(Н )

_{ve bir =}

∑

_∈ = n k k kz a z p 0 ) (
D z] [ polinomu için p(T)∈

L

(Н )

_,

∑

= = n k k kT a T p 0 ) ( şeklinde tanımlanır.

Aslında, 0≤ r<1 için p(rT)’yi tanımlamanın bir başka yolu daha vardır. O da operatör-değerli Poisson çekirdeğini kullanmaktır.

3.1.4 Yardımcı Teorem: ∈T

L

(Н )

_{öyle ki σ(T)⊂D olsun. Her r∈}

[

_0,1

)

için p rT =

∫

p(eit)K_rt(T)dt, p∈ 2 1 ) ( 2 0 , π π
[z]D elde edilir, [2].

Bir ∈T

L

(Н )

_{operatörünün daralma dönüşümü olmasını karakterize etmenin}

de başka bir yolu daha vardır. O da yine operatör-değerli Poisson çekirdeğini kullanmaktır.

3.1.5 Yardımcı Teorem: T ≤1 olması için gerekli ve yeterli koşul

D

T)⊂

(

σ ve her reit ∈D için Kr,t(T)≥0 olmasıdır, [2].

Yardımcı Teorem 3.1.4’te p polinomunun 1’e özdeş olması durumunda aşağıdaki teoremi elde ederiz.

3.1.6 Teorem: 0≤ r<1 ve ∈T

L

(Н )

_{öyle ki σ(T)⊂D için}

∫

K_rt T dt =I π π 2 0 , ( ) 2 1 (3.1.5) olur.

Şimdi amacımız Teorem 2.1.2’deki ispat yönteminin benzerini kullanarak (3.1.5)’in ispatını farklı bir şekilde vermektir. Böylece (3.1.5)’deki integral eşitliğinin bir polinomdan bağımsız olarak elde edilebileceğini ispatlamış olacağız.

İspat: reit ∈D, 0≤ r<1 ve ∈T

L

(Н )

_{öyle ki σ(T)⊂D olsun.}

=

∫

π π 2 0 , ( ) 2 1 ) (rT K T dt F _rt tn (3.1.6)

tanımlayalım. Bu durumda F sürekli bir fonksiyondur. Ayrıca, r=0 için F(0)=I

olduğu açıktır. =

∫

+

∫

π π π π π 2 , 0 , ( ) 2 1 ) ( 2 1 ) (rT K T dt K T dx F _{rt rx}

yazalım. İkinci integralde x= t+π değişken değişimi yapılıp (3.1.1) kullanılarak

∫

∫

− + + + + − − + − = − − − − − − π π π π 0 1 1 * 0 1 1 * ] ) ( ) [( 2 1 ] ) ( ) [( 2 1 ) ( dt I T re I T re I dt I T re I T re I rT F it it it it

elde edilir. Buradan,

∫

∫

∫

− + + − + + + − = − − − − − − π π π π π π 0 0 1 1 0 1 * 1 * 2 2 1 ] ) ( ) [( 2 1 ] ) ( ) [( 2 1 ) ( Idt dt T re I T re I dt T re I T re I rT F it it it it (3.1.7)

yazılabilir. Diğer taraftan,

₍ *₎−1 ₍ *₎−1 ₂₍ 2 2 *2₎−1 − = + + −re T I re T I r e T I it it it (3.1.8) ve _(I−re−it_T)−1_+(I+re−it_T)−1_=2(I−r2_e−2it_T2₎−1 _(3.1.9)

eşitliklerini göz önüne alalım. Böylece (3.1.8) ve (3.1.9) gereği (3.1.7), =

∫

− − + − − − − π π ₀ 1 2 2 2 1 2 * 2 2 ] ) ( ) [( 1 ) (rT I r e T I r e T I dt F it it

biçimine gelir. Yukarıdaki integralde φ=2t değişimi yapılırsa

=

∫

− − + − − − − π φ φ _φ π 2 0 1 2 2 1 2 * 2 ] ) ( ) [( 2 1 ) (rT I r e T I r e T I d F i i olur. (3.1.1) gereği =

∫

π φ φ π 2 0 2 , ( ) 2 1 ) (rT K 2 T d F r (3.1.10)

yazılabilir. (3.1.6) ve (3.1.10) göz önüne alınırsa ( ) ( 2 2) T r F rT F = (3.1.11) elde edilir.

Benzer şekilde (3.1.6) gereği

=

∫

π π 2 0 2 , 2 2 ) ( 2 1 ) (r T K 2 T dt F t r

yazabiliriz. Bu son integrale yukarıdaki yöntem uygulandığında ( 2 2) ( 4 4) T r F T r F =

elde edilir. Bu şekilde devam edilerek _F(_rT)_=F((_rT)2n), _n=1,2,K eşitliğine ulaşılır. rT <1 olduğundan

F rT F rT n F I n = = = ∞ → (( ) ) (0) lim ) ( 2 elde edilir.

Böylece ispat tamamlanır. ◊

3.1.7 Sonuç: F(rT*)=I

’dır.

Tanım 3.1.1 kullanılarak aşağıdaki yardımcı teoremin ispatı kolayca elde edilebilir.