Hipergeometrik Meixner-Pollaczek polinomların bazı özellikleri

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

HİPERGEOMETRİK MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARIN

BAZI ÖZELLİKLERİ

HASAN GÖKSU

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

YRD. DOÇ. DR. NEJLA ÖZMEN

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

HİPERGEOMETRİK MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARIN

BAZI ÖZELLİKLERİ

HASAN GÖKSU

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

YRD. DOÇ. DR. NEJLA ÖZMEN

T.C.

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

HİPERGEOMETRİK MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARIN

BAZI ÖZELLİKLERİ

Hasan Göksu tarafından hazırlanan tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından Düzce Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Tez Danışmanı

Yrd. Doç. Dr. Nejla ÖZMEN Düzce Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Prof. Dr. Esra ERKUŞ DUMAN

Gazi Üniversitesi _____________________

Prof. Dr. Mehmet Zeki SARIKAYA

Düzce Üniversitesi _____________________

Yrd. Doç. Dr. Nejla ÖZMEN

Düzce Üniversitesi _____________________

.

BEYAN

Bu tez çalışmasının kendi çalışmam olduğunu, tezin planlanmasından yazımına kadar bütün aşamalarda etik dışı davranışımın olmadığını, bu tezdeki bütün bilgileri akademik ve etik kurallar içinde elde ettiğimi, bu tez çalışmasıyla elde edilmeyen bütün bilgi ve yorumlara kaynak gösterdiğimi ve bu kaynakları da kaynaklar listesine aldığımı, yine bu tezin çalışılması ve yazımı sırasında patent ve telif haklarını ihlal edici bir davranışımın olmadığını beyan ederim.

16 Şubat 2018

.

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans öğrenimimde ve bu tezin hazırlanmasında gösterdiği her türlü destek ve yardımdan dolayı çok değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Nejla ÖZMEN’e en içten dileklerimle teşekkür ederim.

Bu çalışma boyunca yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili aileme ve çalışma arkadaşlarıma sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

16 Şubat 2018 Hasan GÖKSU

.

İÇİNDEKİLER

Sayfa No

SİMGELER ... IX

ÖZET ... X

ABSTRACT ... XI

1. GİRİŞ ... 1

2. TANIMLAR VE TEMEL KAVRAMLAR ... 3

2.1. GAMMA FONKSİYONU ... 3

2.2. POCHHAMMER SEMBOLÜ ... 4

2.3. HİPERGEOMETRİK SERİ VE HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR6 2.4. ÖNEMLİ BAZI ÖZELLİKLER ... 7

2.5. DOĞURUCU FONKSİYON ... 8

3. MEIXNER POLİNOMLARI ... 10

3.1. MEIXNER POLİNOMUNUN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ ... 10

3.2. MEIXNER POLİNOMUNUN BİLİNEER VE BİLATERAL DOĞURUCU FONKSİYONLARI ... 12

3.3. MEIXNER POLİNOMUNUN REKÜRANS BAĞINTISI VE İNTEGRAL GÖSTERİMİ ... 17

4. HİPERGEOMETRİK MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARI

……….20

4.1. MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMUNUN TANIMI ... 20

4.2. MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMUNUN DOĞURUCU FONKSİYONU VE ÖZELLİKLERİ ... 23

5. MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARI İÇİN BİLİNEER VE

BİLATERAL DOĞURUCU FONKSİYONLAR ... 29

5.1. BİLİNEER VE BİLATERAL DOĞURUCU FONKSİYONLAR-I ... 29

5.2. BİLİNEER VE BİLATERAL DOĞURUCU FONKSİYONLAR-II ... 32

5.3. BİLİNEER VE BİLATERAL DOĞURUCU FONKSİYONLAR-III... 34

6. MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARI İÇİN REKÜRANS

BAĞINTILARI ... 38

6.1. MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARI İÇİN TÜREV İÇERMEYEN REKÜRANS BAĞINTILARI ... 38

6.2. MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARI İÇİN TÜREV İÇEREN REKÜRANS BAĞINTILARI ... 40

6.3. MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARI İÇİN BAĞINTILAR ... 45

7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 49

8. KAYNAKLAR ... 50

.

SİMGELER

) , ( ) ( x s n g  Cesàro Polinomu ) (x  Gamma Fonksiyonu ) ; ; , ( 1

2F a b c x Gauss Hipergeometrik Fonksiyonu

 

x n H Hermite Polinomları

)

(

) , (

z

P

_n  Jacobi Polinomu  

_{ }

x n L ) (x P_n Laguerre Polinomları Legendre Polinomu ) , ; (z x n M  Meixner Polinomu  

_{ }

_

;

x

P

_n Meixner-Pollaczek Polinomları

 

 _n Pochhammer Sembolü

.

ÖZET

HİPERGEOMETRİK MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARIN BAZI ÖZELLİKLERİ

Hasan GÖKSU Düzce Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Nejla ÖZMEN Şubat 2018, 51 sayfa

Bu tez yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde önbilgiler ve diğer bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar ve lemmalar verilmiştir. Üçüncü bölümde, Meixner polinomları ve bu polinomlar için bilineer ve bilateral doğurucu fonksiyonları veren teoremler incelendi. Daha sonra bu polinomların bazı rekürans bağıntıları ve integral gösterimi incelendi. Dördüncü bölümde hipergeometrik Meixner-Pollaczek polinomu hakkında bilgi verildi ve bu polinomun bazı özellikleri verildi. Beşinci bölümde bu polinomun multilineer ve multilateral doğurucu fonksiyonlarını veren teoremler elde edildi ve bu teoremlerin uygulamalarına yer verildi. Altıncı bölümde, dördüncü bölümde tanımlanan Meixner-Pollaczek polinomların bazı rekürans bağıntıları verildi ve integral gösterimi elde edildi. Son bölümde bu tez için sonuç ve önerilere yer verildi.

Anahtar sözcükler: Doğurucu fonksiyon, Meixner-Pollaczek polinomları, Multilineer ve multilateral doğurucu fonksiyonlar, Rekürans bağıntıları.

.

ABSTRACT

SOME PROPERTIES OF HYPERGEOMETRIC MEIXNER-POLLACZEK POLYNOMIALS

Hasan GÖKSU Düzce University

Graduate School of Natural and Applied Sciences, Department of Mathematics Master’s Thesis

Supervisor: Assist. Prof. Dr. Nejla ÖZMEN February 2018, 51 pages

This thesis consists of seven chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, preliminaries, some definitions and lemmas used in the other chapters are given. In the third chapter, Meixner polynomials and theorems for bilinear and bilateral generating functions for these polynomials were examined. Then some recurrence relations and examined the integral representation of these polynomials. In the fourth chapter, the information about the hypergeometric Meixner-Pollaczek polynomial is given and some properties of this polynomial are given. In the fifth chapter, the theorems giving the multilinear and multilateral generating functions of this polynomial are obtained and the applications of these theorems are given. In the sixth chapter, some recurrence relations of the Meixner-Pollaczek polynomials defined in the fourth section will be given and integral representation will be obtained. In the last part, conclusions and recommendations for this thesis will be given.

Keywords: Generating function, Meixner-Pollaczek polynomials, Multilinear and multilateral generating functions, Recurrence relations.

.

1. GİRİŞ

Bu tez, hipergeometrik Meixner-Pollaczek polinomları üzerine yapılan bir çalışmadır. Son yıllarda bu polinomlar üzerine yapılan çalışmalar önemli bir yer tutmaktadır. Uygun koşullar altında hipergeometrik ortogonal polinomların farklı tip özellikleri hâlen çalışılmaktadır. Tek değişkenli ortogonal polinomların ilk örnekleri A. M. Legendre, P. S. Laplace, J. L. Lagrange ve N. H. Abel tarafından ele alınmıştır. Daha sonraları, P. L. Chebychev klasik ortogonal polinomların bazı önemli özel ve genel durumlarını araştırmış, bu polinomların genel teorisini geliştirmiştir. Tek değişkenli ortogonal polinomlar teorisi üzerine yapılan en önemli çalışmalar C. Jacobi, C. Hermite, E. Laguerre ve T. Stieltjes tarafından verilmiştir. Ortogonal polinomlar teorisi üzerinde klasik sonuçlar 1939 yıllarında Szegö tarafından ele alınmıştır.

Meixner-Pollaczek ortogonal polinomları ilk 1934 yılında J. Meixner tarafından verilmiş, literatüre T. S. Chihara tarafından ikinci tip Meixner polinomları olarak girmiştir [1], [2]. 1950 yılında bu polinom F. Pollaczek tarafından çalışılmış ve Meixner-Pollaczek polinomu  

_

_

_{  }

 n in



_{ } i



n e F n ix e n x P 2 1 , ;2 ;1 2 ! 2 ;      , 0   0  n0,1,2,3,... şeklinde tanımlanmıştır [3]. Burada,





_

   0 1 2 ! ) ( ) ( ) ( ; ; , n n n n n n x c b a x c b a F

hipergeometrik fonksiyondur. Meixner-Pollaczek polinomlarının temel özelliklerini Askey and Wilson, Chihara, Erdèlyi ve arkadaşları, Freilikher ve arkadaşları, Koekoek and Swarttouw, Rahman, Bender ve arkadaşları ve Koornwinder makalelerinde çalışmışlardır [2], [4], [6]-[11]. Bu polinomlar matematiğin birçok alanına yayılmıştır. Örneğin; kesikli operatörler teorisi, analitik fonksiyonlar, özel fonksiyonlar, elektrostatik, sayılar teorisi, matematiksel istatistik, kuantum mekaniği, yaklaşım teorisi gibi birçok alana uygulanabilir. Günümüzde daha hâlen Meixner-Pollaczek polinomuyla ilgili birçok

çalışma ve özelliklerini bulmak mümkündür [5], [21], [24]-[26].

Bu tezde ilk olarak Meixner polinomları incelendi. Meixner polinomlarının bazı özellikleri, bilineer ve bilateral doğurucu fonksiyonları, türev içeren ve türev içermeyen rekürans bağıntıları incelendi. Daha sonra, Meixner-Pollaczek polinomları incelenmiş olup, bu polinomlar için bilineer ve bilateral doğurucu fonksiyonları veren teoremler elde edildi. Bu teoremler kullanılarak bazı doğurucu fonksiyon bağıntıları verildi. Ayrıca bu polinomların türev içeren ve türev içermeyen rekürans bağıntıları elde edildi ve son olarak, bu polinomların başka polinomlarla ilişkisi verildi. Ayrıca bu polinomların integral gösterimi gösterildi.

.

2. TANIMLAR VE TEMEL KAVRAMLAR

2.1. GAMMA FONKSİYONU

) (x

 ile gösterilen Gamma fonksiyonu,

dt e t x



x t    1 0 ) (

genelleştirilmiş integrali yardımıyla tanımlanır. Gamma fonksiyonuna bazen genelleştirilmiş faktöriyel fonksiyonu da denir. Şöyle ki,

F u t utdt _u1 0 ) ( 



   (2.1)

integrali ile tanımlanan fonksiyonunu ele alalım. c0 olmak üzere bu integral her

d u

c  sonlu aralığında _u1 ’ya düzgün yakınsaktır. Denklem (2.1) eşitliğinden u’ya göre türevler alarak devam ettiğimizde 𝑛. mertebeden türev için

1 ! 0 ) ( ) 1 ( 



  _  n u n ut n_{e dt} t u Fn n

eşitliği elde edilir. Bu son eşitlikte 𝑢 = 1 alınırsa,

) 1 ( ! ( ) 1 0 0 1 _{ }       





_tn_et_{dt n t} n _e t_{dt n}

olur. Burada 𝑛 değerleri pozitif tamsayılar olarak alınmıştır. Halbuki 𝑛’nin n1 olan herhangi bir reel sayı olması halinde de bu genelleştirilmiş integral tanımlıdır. Yani yakınsaktır. O halde x1 olan herhangi bir reel sayı olmak üzere,

) 1 ( ! 0    

_

t e dt x x x t

yazılabilir. Buradan görülüyor ki, −1’den büyük olan tüm reel sayıların faktöriyel değerlerini sonlu bir reel sayı olarak tanımlamak mümkündür. Bundan dolayı Gamma

fonksiyonu genelleştirilmiş faktöriyel fonksiyonu olarak da adlandırılır. x0 olduğu zaman faktöriyel fonksiyonunun değeri,

1 ) 1 0 ( | ! 0 ₀ 0          



_e t_{dt e} t

dir. Elemanter matematikte 𝑛 faktöriyel, n!n(n1)(n2)...2.1 çarpımı ile verilir. Bu özellik, n!n(n1)! eşitliğini içerdiğine göre, eğer xn bir tamsayı ise,

) ( )! 1 ( ! ) 1 (n nn n n n  yazılabilir. ) 1 (   x txe tdt txe tdt b b  

_



   0 0 lim lim( )| 1 ( ) 0 0 x t e dt x x e tx t b x t b       

_

    olduğundan ( x) fonksiyonu ) ( ) 1 (x x x  (2.2)

eşitliğini tüm x0 değerleri için gerçekler. Bu özellik yardımıyla Gamma fonksiyonu için argümentin herhangi iki tamsayı arasındaki değerlerine karşılık gelen sonuçların bilinmesi halinde diğer aralıklardaki fonksiyon değerleri kolayca hesaplanabilir.

2.2. POCHHAMMER SEMBOLÜ

𝛼 reel ya da kompleks bir sayı, 𝑛 sıfır veya pozitif bir tamsayı olmak üzere ) 1 )...( 2 )( 1 ( ) ( _n       n (2.3) şeklinde tanımlanan

(



)

_n ifadesine Pochhammer sembolü denir ve ()₀ 1, ( 0) olarak tanımlanır.

Lemma 2.1. Pochhammer sembolünün bazı özellikleri aşağıdaki gibidir:

a) 𝛼 reel veya kompleks bir sayı 𝑛 doğal sayı olmak üzere

()_n _(_(₎n) (2.4)

b) 𝛼 reel veya kompleks bir sayı 𝑛 doğal sayı olmak üzere, ( ) ( 1) n! n n n         



(2.5) dir.

c) 𝛼 reel veya kompleks bir sayı 𝑛 doğal sayı olmak üzere,

(



)

_n1





(





1

)

_n (2.6) dir.

d) 𝑐 reel veya kompleks bir sayı 𝑛 ve 𝑘 doğal sayı olmak üzere

c n _k n c k n c ) ( ) ( ) (    _(2.7) dir.

e) n ve k doğal sayı olmak üzere

k k n k n n ) 1 ( ) ( )! ( !     (2.8) dir.

f)  reel veya kompleks bir sayı 𝑛 doğal sayı olmak üzere          n n n n _{ } ! ) ( ) 1 ( (2.9) dir.

g) 𝛼 reel ya da kompleks bir sayı, |x|1 için

n n x x n n ! ) ( 0 ) 1 ( 



    _  (2.10) dir.

h)  reel veya kompleks bir sayı 𝑛 ve 𝑚 doğal sayı olmak üzere

(



)

_nm



(



)

_n

(





n)

_m 0,1,... (2.11)

.

2.3. HİPERGEOMETRİK SERİ VE HİPERGEOMETRİK FONKSİYONLAR

𝛼, 𝛽 ve 𝛾 reel ya da kompleks sabitler olmak üzere

... ! 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ! 1 1_ x ___  x  (2.12)

olarak ifade edilen seriye Gauss hipergeometrik serisi veya hipergeometrik seri denir. Denklem (2.12)’den görülmektedir ki



değeri sıfır veya negatif bir tamsayı olmamalıdır.

Denklem (2.12) ifadesi 1xx2... geometrik serisinin bir genelleştirilmesi olduğundan bu adı alır. Denklem (2.12) hipergeometrik serisi |x|1 için yakınsak, |x|1 için ıraksaktır. |x|1 olduğu zaman    ise seri mutlak yakınsaktır. |x|1 iken

1    

 ise seri yakınsaktır.

Denklem (2.3) gösterimi dikkate alınarak Denklem (2.12) hipergeometrik serisi

! ) ( ) ( ) ( 0 1 2 ( , ; ; ) _n n x n n n n x F   



 _     (2.13) şeklinde yazılır.

Denklem (2.13)’ten görülen 𝐹’nin altındaki 2 ve 1 alt indisleri 𝐹’nin yapısında biri 𝛼 ve 𝛽 diğeri 𝛾 olmak üzere iki tip parametre bulunduğunu ifade eder. Denklem (2.13)’ün genelleştirilmiş ifadesi ! ) ...( ) 2 ( ) 1 ( ) ...( ) 2 ( ) 1 ( 0 1 1,..., ; ,..., ; ) ( n n x n q n n n p n n n q p q pF x      











   (2.14) dir.

Lemma 2.2. Hipergeometrik serilerin tanımında Denklem (2.13)’teki ifadesinde 



, , değerlerini bazı özel değerler alındığında aşağıdaki eşitlikler geçerlidir [17]:

a) (1z)a  ₂F₁(a,b;b;z) b) ln(1z)z ₂F₁(1,1;2;z) (2.15) c)

 

_{2 1}( , ; ; 2) 2 3 2 1 ₁ 2 1 1 ln z F z z z _  

.

2.4. ÖNEMLİ BAZI ÖZELLİKLER

Bilineer ve bilateral doğurucu fonksiyonlar konusunda sık sık kullanacağımız bazı seri özellikleri vereceğiz. Şimdi bahsi geçen serileri tanıyalım.

Lemma 2.3. Aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

a) ( , ) ( , ) ] / [ 0 0 0 0 pk n k A n k A p n k n k n  









       (2.16) b) ( , ) ( , ) 0 0 ] / [ 0 0 pk n k A n k A k n p n k n  









       (2.17) İspat: a) Ak n tn pk k n 





    ) , ( 0 0 (2.18)

serisini düşünelim. n pk yerine 𝑚 yazılacağından Denklem (2.18)’deki 𝑘 ve 𝑛 indisleri

k  j, nm pj (2.19)

olmak üzere yeni 𝑗 ve 𝑚 indisleri tanmlayalım. Denklem (2.18)’de n0 ve k 0 olup Denklem (2.19) sebebiyle 0 , 0   pj j m veya 0 , 0 pjm m yazılır. Böylece 0 j m_p

olup 𝑗, 0’dan m_p ’ye kadar değişen tamsayılardır. Bu durumda,

 

 





m pk n t pj m j A t n k A p m j m k n  









        , , / 0 0 0 0 (2.20) bağıntsına ulaşılır.

Böylece Denklem (2.20)’de t1 ve sağ taraftaki j ve 𝑚 indisleri yerine k ve n alınırsa Denklem (2.16) elde edilir.

b) Denklem (2.17) ifadesi Denklem (2.16) ifadesinin ispatına benzer şekilde gösterilir. Lemma 2.4. Aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

a) A

 

k n A



k n k



n k n k n  









       , , 0 0 0 0 (2.21) b) A

 

k n A



k n k



k n n k n  









       , , 0 0 0 0 (2.22)

İspat: Lemma 2.3’ün a) ve b) şıklarında p1 alınırsa ispat tamamlanır.

Lemma 2.5. Aşağıdaki eşitlik geçerlidir [12]:

 

 

k l   A



k pl l



A pl n p n p k n k l l k , , 0 0 0 0 / /  









     . (2.23) 2.5. DOĞURUCU FONKSİYON

)

;

,...,

,

(

x

₁

x

₂

x

t

G

_p fonksiyonu, n p n n n p t c f x x x t x x x G( , ,..., ; ) ( ₁, ₂,..., ) 0 2 1



  

şeklinde 𝑡𝑛 _{nin kuvvetlerine göre açılabilirse}

₍

_,

_...

_;

₎

2 1

x

x

t

x

G

_p fonksiyonuna

)

...

,

(

_{1 2 p} n

x

x

x

f

fonksiyonu için doğurucu fonksiyon denir.

Tanım: G(x,y,t) fonksiyonu n n n n n t y f x f c t y x G( , , ) ( ) ( ) 0



   şeklinde n

t nin kuvvetlerine göre açılabiliyorsa G(x,y,t)’ye bilineer doğurucu fonksiyon denir. Burada

c

n, x ve y’den bağımsızdır. Örneğin, Hermite polinomlarının bilineer doğurucu fonksiyonu ( ) ( ) (1 4 ) exp( ) 2 4 1 2 ) 2 2 ( 4 4 ! 2 1 2 0 t t y x xyt n n t _t y H x H_{n n} n        



şeklindedir [13].

Eğer G(x1,...,xr,t), r1 değişkenli fonksiyonu 𝑡’nin kuvvetlerine göre n r n n n n n r t d f x f x f x t x x G( ,..., , ) ( ₁) ( ₂)... ( ) 0 1



  

şeklinde bir seriye açılabiliyorsa G(x1,...,xr,t) fonksiyonuna

f

n

(

x

1

)

,

f

n

(

x

2

)

,…,

f

n

(

x

r

)

fonksiyonları için multilineer doğurucu fonksiyon denir.

Tanım: H(x,y,t) fonksiyonu n n n n n t y g x f h t y x H( , , ) ( ) ( ) 0



   şeklinde n

t nin kuvvetlerine göre açılabiliyorsa H(x,y,t)’ye bilateral doğurucu fonksiyon denir. Burada h_n, x ve y’den bağımsız, 𝑓_𝑛(𝑥) ve 𝑔𝑛(𝑦)’ler birbirinden farklı fonksiyonlardır. Bilateral doğurucu fonksiyonlar için

 

_         _{   } ) 1 )( 1 ( 1 ; ; exp ) ) 1 ( 1 ( ) 1 ( _{1 1} xy y y xyw y wy F y x y     





n y w L x n F _n n ) ( ; ; , ( 1) 1 2 0     



   (|𝑦| < 1, |(𝑥 − 1)𝑦| < 1) bağıntısı örnek olarak verilebilir [17].

Eğer H(x1,...,xr,t), 𝑟 + 1 değişkenli fonksiyonu 𝑡’nin kuvvetlerine göre

n r n r n n n n r t h f x f x f x t x x H( ,..., , ) _1, ( ₁) _2, ( ₂)... _, ( ) 0 1



  

şeklindeki bir seriye açılabiliyorsa H(x1,...,xr,t) fonksiyonuna

f

1,n

(

x

1

)

,

f

2,n

(

x

2

)

,…,

) (

,n r r x

.

3. MEIXNER POLİNOMLARI

Bu bölümde ilk olarak Meixner polinomunun tanımı ve doğurucu fonksiyonu verilecektir. Daha sonra Meixner polinomunun bazı özellikleri verilecektir. Bu bilgiler kullanılarak bilineer ve bilateral doğurucu fonksiyonları içeren bazı teoremler verilip bu teoremlerin uygulamaları yapılacaktır. Daha sonra Meixner polinomunun türev içeren ve içermeyen rekürans bağıntıları, Meixner polinomunun Jacobi polinomuyla bağlantısı ve Meixner polinomunun integralle olan ilişkisi verilecektir.

3.1. MEIXNER POLİNOMUNUN TANIMI VE ÖZELLİKLERİ

Meixner polinomu

M

n

(

z

;



,

x

)

ile gösterilir ve

k n k n n z x n x M k n z k z _                  







0 ! ) 1 ( ) , ; ( (3.1) şeklinde tanımlanır [17].

Ayrıca Meixner polinomunu başka bir ifadeyle

M

_n

(

z

;



,

x

)



(



)

_{n 2}

F

₁

(



n

,



z

;



;

1



x

1

)

(3.2) şeklinde verilir [15].

Teorem 3.1. Meixner polinomu, aşağıdaki doğurucu fonksiyon bağıntısına sahiptir [17]:

n z _xt z n t x z M ( ; , )t_nn_! (1 ) (1 ) 0     



  



, n0. (3.3)

İspat: Denklem (3.1) ifadesi Denklem (3.3)’ün sol tarafın da yerine yazılırsa ve lemma 2.1(f), Denklem (2.22) ile Denklem (2.10) ifadeleri kullanılırsa,

( ; , ) _! 0 n n t x z M_n n





  0 0 ! ! ) 1 ( n n t k n z k z k n k n n x n                     





 _! )! ( ) ( ) 1 ( ! ) ( ) 1 ( 0 0 ! ) 1 ( t_nn k n k n z k n k k z k k n k n n x n           





  

)! ( ! ) ( ) 1 ( ! ) ( ) 1 ( )! ( ) 1 ( 0 0 n k k t n t n n z n k k z k k k n k n x k n      _        





 _kz k z _n n x ktntk k n   





     ! ) ( ! ) ( 0 0  k k n xt k k z n n t n z ) ( ) ( _! ( _!) 0 0 





     





(

1



t

)

z

(

1



t_x

)

z ifadesi elde edilir ve ispat tamamlanır. ∎

Teorem 3.2. Meixner polinomları aşağıdaki toplam ifadesine sahiptir [14]:

( ; , ) ( 1; 1, ) ( 2; 2, ). 0 2 1 2 1 z x M z x M z x z M _{n m m} n m n m n     _          



(3.4)

İspat: Denklem (3.3) ifadesindeki doğurucu fonksiyonda zz₁z₂ ve  12

dönüşümü yapılır ve Denklem (2.21) ifadesi kullanılırsa

( _{1 2}; _{1 2}, ) _! 0 n n t x z z M_n n





 



  2 1 2 1 2 1 _{(1 )} ) 1 ( t   zz _xt z z    [(1 ) 1 z1(1 )z1][(1 ) 2 z2(1 )z2] xt x t _t t          ( ; , ) _! ( ₂; ₂, ) _! 0 1 1 0 m m t n n t _{M z x} x z M _m m n n









     ( ₁; ₁, ) ( ₂; ₂, ) _{! !} 0 0 nm m n t x z M x z M_{n m} m n 





    





( ₁; ₁, ) ( ₂; ₂, ) _! 0 0 n n t m n x z M x z M_{n m m} n m n





          





elde edilir. ! n tn

in katsayları eşitlenirse ispat tamamlanır. ∎

Teorem 3.3. Meixner polinomu için başka bir doğurucu fonksiyon aşağıdaki gibidir [17]:

( ; , ) (1 ) (1 ) ( ; , ). 1 ! 0 t t x xt n n t _{t M z} x z M_{n m m} n z m z          



   (3.5)

İspat: Denklem (3.3) eşitliğinin her iki tarafına

t



t



u

dönüşümü yapılır ve bulunan ifadenin sol tarafına Denklem (2.22) eşitliği uygulanırsa,

! ! ) , ; ( 0 0 nm m u n t x z M_{n m} m n  





    z z xu t

u

t

)

(

1

)

1

(











 z z z z xt x u xt t u t) (1 ) (1 ) (1 ) 1 ( 1 1   _      (1t)z(1 _xt)z[(1_1u_t)z(1 _xu_t)z] _                  z z z z tt x t u t u x t t) (1 ) (1 ) (1 ) 1 ( 1 1 1   _! ) 1 ( 1 ) , ; ( ) 1 ( ) 1 ( 0 m m t u tt x x t _{M z} t _m m z z  



      _{ m} t m m u t t x x t _{M z} t _m m z z ) 1 ( 1 ! 1 ) , ; ( ) 1 ( ) 1 ( 0   



     

_

(1 ) (1 ) (1 ) ( ; ,₁ ) _! 0 m m u tt x xt t t Mm z m m z z     _   



 





elde edilir. Eşitliğin her iki tarafında ! m um _{in katsayıları eşitlenirse,} ) , ; ( ) 1 ( ) 1 ( ) , ; ( _{! 1} 0 t t x x t n n t _{t M z} x z M_{n m m} n z m z          









ifadesi bulunur. Böylece ispat tamamlanır. ∎

3.2. MEIXNER POLİNOMUNUN BİLİNEER VE BİLATERAL DOĞURUCU FONKSİYONLARI

Bu kısımda Meixner polinomları için bilineer ve bilateral doğurucu fonksiyonların birkaç ailesi verildi. Burada kullanılan yöntem ve uygulamaları [18], [22], [23] ve [27] numaralı çalışmalarda bulmak mümkündür.

Teorem 3.4.



-üncü basamaktan 𝑠 kompleks değişkenli sıfıra denk olmayan



s ,...,1 sk













r r r k r k a s s s s  _{ }   _{, 1},..., ; : ₁,..., 0     



 ) C , , 0 (ar   ve p,nIN





 









)! ( ,..., , ; : ; ,..., ; , ; ₁ / 0 1 , , pr n s s x z M a s s x z r r pr n r p n k p n r k 



   _       _{ } (3.6) olsun. Bu durumda











   ; , ; 1,..., ; 1  1  1,..., ; , , 0 , k z n p k p n n s s x u u u u s s x z z                  



  (3.7) ifadesi gerçekleşir.

İspat: Denklem (3.7) ifadesinin sol tarafına 𝑇 diyelim. Denklem (3.6) ifadesi Denklem (3.7)’de yerine yazılır ve Denklem (2.17) eşitliğini kullanırsak,

 









n k r p n r n u pr n u s s x z M a T _pr r r pr n )! ( ,..., , ; ₁ / 0 0   





_{ }      _{ }  









)! ( ,..., , ; ₁ / 0 0 n pr u s s x z M a pr n r r pr n k r p n r n   





_{ }       _{ }









! ,..., , ; ₁ 0 0 n u s s x z M a n k n r n r r r    





   





r _r



k



r r n n s s a x z M ;



, u_nn _{  1},...,



0 0 !   





    1  

 

1 _,_ ₁,..., k; z z _{s s} u u_x     

ifadesi elde edilir. ∎

Sonuç 3.1. Teorem 3.4’te rIN₀ {0}IN, kIN, k 1, s₁  y ve

 

y g(s) _r( ,y) r         alınırsa,

 





 

r n p n r n u pr n u y g x z M a pr s r pr n r )! ( , , ; ( ) / 0 0   





      _{ } 1 u 

 

1 z _,,y; x u z _{ }    

olur. Burada kullanılan g_n(s)(



,y) genelleştirilmiş Cesàro polinomudur. Bu polinom



  _{ }   _   ) 1 ( ) 1 ( ) , ( 1 ) ( 0 yt t t y g_ns n s n (3.8)

doğurucu fonksiyonuna sahiptir [16].

Uyarı 3.1. Sonuç 3.1’de ar 1, 0,  1 alınırsa



_



 

_

_











_

_

_        





    ) 1 ( ) 1 ( 1 1 , , ; ( ) 1 0 0 ! y u y g x z M u_nn _rs r z u_x z s r n n elde edilir.

Teorem 3.5.



-üncü basamaktan 𝑠 kompleks değişkenli sıfıra denk olmayan

y ,...,1 y_r   fonksiyonu için, n_,_,p



z₁z₂;₁₂,x;y₁,...,y_r;



 









k r k p n k y y x z z M a _{n pk} ;  , _{ k} ,...,  : _{1 2 1 2 1} / 0      



 (3.9) C ak0, , ve n, pINolsun. Bu durumda  





l r p k l n k y y x z M x z M a _{n k k pl l} pl k pl n l ( 1;1, ) ( 2;2, )   1,...,  / 0 0            





  n_,_,p



z₁z₂;₁₂,x;y₁,...,y_r;



(3.10) ifadesi gerçekleşir.

İspat: Denklem (3.10) ifadesinin sol tarafına 𝑇 dersek ve Denklem (2.23), Denklem (3.4) ve Denklem (3.9) eşitliklerini kullanırsak,

 





l r l pl n k p n l y y x z M x z M a T _{n k pl k l} k pl n _{  }   ,..., ) , ; ( ) , ; ( _{1 1 2 2 1} 0 / 0           





   

 





l r pl n k p n l y y x z M x z M a_{l n k pl k l} k pl n _{  }   ,..., ) , ; ( ) , ; ( _{1 1 2 2 1} 0 / 0                





     





l r p n l y y x z z M a_{l n pl}( _{1 2};₁ ₂, ) _{ l 1},...,  / 0      



 _



1 2;1 2, ; 1,..., ;



, , z z x y yr p n _{ }  

olup, ispat tamamlanır. ∎

Sonuç 3.2. Teorem 3.5’te r1,

y

1



z

3 ve

 

z

₃

M

_k

(

z

₃

;

₃

,

y

)

k  



 







alınırsa,   l l p k l n k y z M x z M x z M a _{n k k pl l} pl k pl n _{   }   ( ; , ) ) , ; ( ) , ; ( _{1 1 2 2 3 3} / 0 0           





 



   



  1 2; 1 2, ; 3; 3, ; , , z z x z y p n _{ }   elde edilir.

Uyarı 3.2. Sonuç 3.2’de , 0, 1,  , 1

      y x p a l n l   ve  1 alınırsa, ) , ; ( ) , ; ( ) , ; ( _{1 1 2 2 3 3} 0 0 x z M x z M x z M_{n k k l l} l k l n l n k l n k    _               





  M_n(z₁z₂z₃;₁₂ ₃,x) elde edilir.

Teorem 3.6.



-üncü basamaktan 𝑠 kompleks değişkenli sıfıra denk olmayan

y ,...,₁ y_r   fonksiyonu için,













)! ( ,..., , ; : ; ,..., ; , ; ₁ 0 1 , , _nq n t r n n r t a M z x y y y y x z _{m qn pn} q p     



      a_n 0 C n,m,pIN  ve

 





k r k q n k r a y y y y _pk q p n qk n n _   ( ,..., ; ): _{ 1},..., / 0 1 , ,          



 (3.11) olsun. Bu durumda



; ,



( ₁,..., ; ) _! 0 , , _n n t r n y y x z M_nm





_{n p q}





 



q



t t t t x x t r q p z m z y y z t) (1 ) ; ,₁ ; ,..., ; (₁ ) 1 (    , ,  1      _{ }   (3.12) ifadesi gerçekleşir.

İspat: Denklem (3.12) ifadesinin sol tarafına 𝑇 diyelim. Denklem (3.11) ifadesi Denklem (3.12)’de yerine yazılır ve Denklem (3.5) ile Denklem (2.17) eşitlikleri kullanılırsa,





 



,...,



_! , ; 1 / 0 0 n n t qk n n _k r q n k n y y a x z M T nm   _k_pk        





  



; ,





₁,...,



_{( )!} 0 0 n qk qk n t n qk n k r k n y y a x z M_{n m qk k pk }            





   





_ (_{( )!})!_!



; ,





1,...,



_{( )!} 0 0 qk n qk t n t n qk qk n k r k n y y a x z M_{n m qk k pk }      





      _



; ,



_!



₁,...,



(_{( )!}) 0 0 qk k q t n n t r n k k y y x z M a _nmqk  _pk          





   









)! ( ) ( 1 ,..., , ; ) 1 ( ) 1 ( ₁ 0 qk k q t tt x xt z r k k y y z M t a z m qk _{m qk}  _pk    _           _{ } 



 _ 









)! ( ) 1 ( 1 ,..., , ; ) 1 ( ) 1 ( ₁ 0 qk k q t t t t x x t r k k z y y z M a t z m _{m qk pk}             



 _{ } _      



q



t t tt x x t r z _{z y y} t p q m z ) 1 ( 1 ; ,..., ; , ; ) 1 ( ) 1 (    , , _ _{1 }         ifadesi gerçekleşir. ∎

Sonuç 3.3. Teorem 3.6’da r 1,

y

₁



y

ve

 

y P _k( y) k        alınırsa,





! ) ; ( , ; , , 0 n t y x z M n q p n n m n   



 



q



t t t t x x t _{z y} t z m z _pq ) 1 ( 1 ; ; , ; ) 1 ( ) 1 (    _{, , } _    _  

elde edilir. Burada kullanılan

P

n

(x

)

polinomu Legendre polinomudur. Bu polinom aşağıdaki doğurucu fonksiyona sahiptir [17]:

. 2 1 1 ) ( 2 0 xt t t x P_n n n   



 

3.3. MEIXNER POLİNOMUNUN REKÜRANS BAĞINTISI VE İNTEGRAL GÖSTERİMİ

Bu bölümde Meixner polinomu için türev içeren ve türev içermeyen rekürans bağıntıları verilecektir. Denklem (3.3)’ün her iki tarafı 𝑥’e göre türevi alınır ve Denklem (2.10) ile Denklem (2.21) eşitlikleri kullanılırsa,

( ; , ) _! 0 n n t xMn z x n







 

)

(

)

1

(

)

1

(



 



1 1 2



t

 z

z

tx

z

tx



(

1



t

)

z

(

1



tx

1

)

z

z

(

1



tx

1

)

1

(

tx

2

)

_! (1) (_!) ₂ 0 0 ) , ; ( x zt m m x t m n n t m n n x z M





    



1 0 0 2( )! ) , ; (    



  



 n n m n t x z M m n m x z m n



n n m n t x z M m n m x z m n )! 1 ( 2 ) , ; ( 1 1 0 1     





    



n n m n t x z M m n m x x z m n ₍ 1 _1)! 2 1( ; , ) 1 0 1    





    



elde edilir. Eşitliğin her iki tarafında n

t nin katsayıları birbirine eşitlenirse

)! 1 ( ! 2 ( ; , ) ) , ; ( 1 1 0   



     m n m x n x z xM z x Mn m z x n m n  

elde edilir. Bulunan eşitliğin sağ tarafına Denklem (2.3) ifadesi uygulanırsa ve gerekli düzenlemeler yapılırsa Meixner polinomu için türev içeren rekürans bağıntısı

1 ) ( ) , ; ( 1( ; , ) 2 1 0      



  m m n x z M _m x x z m n M x z x n m n 



elde edilir.

Şimdi Denklem (3.3) ifadesindeki doğurucu fonksiyonu kullanarak eşitliğin her iki tarafı 𝑡’ye göre türevi alınır ve Denklem (2.21) ifadesinden yararlanılırsa,

( ; , ) _!1 1 n n t x z nM_n n 



 





(







z

)(

1



t

)

z1

(



1

)(

1



_xt

)

z



z

(

1



t_x

)

z1

(



1_x

)(

1



t

)

z



(





z

)(

1



t

)

z

(

1



t

)

1

(

1



_xt

)

z



z_x

(

1



t_x

)

z

(

1



t_x

)

1

(

1



t

)

z 1 0 1 0 ) 1 ( ) , ; ( ) 1 ( ) , ; ( ) ( _{! !}           





_xt n n t x z n n t _{t M z x} x z M z _n n n n







( ) ( ; , ) _! (1) ()_! ( ; , ) _! (1) ( )_! 0 0 0 0 p p xt n n t xz m m t n n t p p n n m m n n x z M x z M z









              _p x n p n t x z n m n t _{M z x} x z M z _{n n} p n m n ! ! ) , ; ( ) , ; ( ) ( 0 0 0 0  

_

_





              ! ! ( ; , ) ) , ; ( ) ( 0 0 0 0 n p x n t x z n n t _{M z x} x z M z _{n m n p} n p n n m n   





_





_         

elde edilir. Son eşitlikte

!

n n

t _{nin katsayıları birbirine eşitlenirse}

) , ; ( ) , ; ( ) ( ) , ; ( 0 0 1 z x z M z x x M z x M_{n n m} p _{n p} n p n m x z _         





  

şeklinde türev içermeyen rekürans bağıntısı elde edilmiş olur.

Teorem 3.7. Meixner polinomu ile Jacobi polinomu arasındaki bağıntı aşağıdaki gibidir [17]:

M

_n

(

z

;



,

x

)



n

!

P

_n(1,nz)

(

2_x



1

)

. (3.13) İspat: Klasik Jacobi polinomu

) ; 1 ; 1 , ( ) ( _{2 1} 1₂ ) , ( _z n n n n F z P_n               







  (3.14)

şeklinde tanımlanmıştır [17]. İspatı kolaylaştırmak için Denklem (3.13)’ün sağ tarafından başlanırsa,

 

          _{ }                        2 ) 1 2 ( 1 ; 1 1 ; 1 1 , 1 ! 1 ! ( 1, ) 2 ₂F₁ n n z n x n n n P n _n  n z _x     n!(_{( }n_1)!1_n)!_! 2F1( n, z; ;x_x1)   _{ }  _



( 1)...( n2)( n1)₂F₁(n,z;; x_x1)



()_n2

F

₁

(



n

,



z

;



;

1



x

1

)



M

_n

(

z

,



;

x

)

elde edilir. ∎

Teorem 3.8. Meixner polinomu için integral gösterimi aşağıdaki gibidir [14]:

. ) ( ) ( ) ( 1 ) , ; ( _{1 1} 1 ₂ 1 _{1 2} 0 0 2 ) 2 1 ( du du u u u e z z x z M_n n z z x u u u             _





    (3.15)

İspat: Bu ispatı yaparken Denklem (3.3) ifadesinin sağ tarafının integralle gösterimi için

 

v e t dt a v at v 1 0 1 _{ } 

_

   𝑅𝑒(𝑣) > 0 özdeşliğinden faydalanılırsa, ! ) , ; ( 0 n n t x z M_n n





  2 2 ) ( 0 1 1 1 ( 0 1 1 1 1 ) ₂ ) (1 ) ( 1 e u du e u du z x t z t u u z z          





     _  ( ) ) _{1 2 1 2} 0 0 1 1 2 1 ( 2 1 ) (1 ) ( 1 e e u u dudu z z t x u u u u z z         





     _  1 2 1 2 1 0 ) ( 0 0 1 2 1 ! ) 2 1 ( ) ( 1 ) ( 1 _e u u _tn_uz _u z _dudu n n x u u z z n          







      _ 

ifadesi elde edilir. 𝑡 𝑛

.

4. HİPERGEOMETRİK MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMLARI

Bu bölümde ilk olarak Meixner-Pollaczek polinomunun tanımı daha sonra doğurucu fonksiyonları verilecektir. Bu polinom yardımıyla 𝑛’nin farklı değerlerine karşılık gelen ifadeler ele alınacaktır.

4.1. MEIXNER-POLLACZEK POLİNOMUNUN TANIMI

Meixner-Pollaczek polinomu P_n 



x;



ile gösterilir ve

 

_{   }

_  n in



_{ } i



e ix n F e n x Pn 2 1 2 , ;2 ;1 ! 2 ;      (4.1) ( 0, 0 n0,1,2,3,...) olarak tanımlanır [3].

Denklem (4.1) ifadesini kullanarak bazı değerlerini bulalım. Denklem (2.13) ile verilen hipergeometrik fonksiyonun tanımı kullanılırsa,

 

   





e

in

F



n



ix



e

i



n

x

P

_n n _{2 1}

,

;

2

;

1

2

!

2

;











 

  

_{ }







! 1 2 ! 2 2 0 p e ix n e n p i p p p in n n p  







     



(4.2)

elde edilmiş olur. Denklem (4.2)’de 𝑛 = 0 alınırsa P₀ 

 

x;



1 olduğu aşikardır. Denklem (4.2)’de 𝑛 = 1 alınır ve Denklem (2.8) eşitliği uygulanırsa,

P

1 

 

x

;



  



 



!



2 1 2 1 1 0 2 p p i p p ix p i e p e     



       _ 

 

 





  



_







i i e ix e 1 2 2 1 1 2  











    i i i e ix e e 1 2 2 2 2     



2



e

i



e

i







ix





1



e

2i





2



e

i









ix





e

i



e

i





 



i i e e ix e e e i i i i i 2 2 2     

_



_{ }  _    2



ei 



ei 



ei



2

x

sin







ei 



ei 2xsin







  sin 2 2 2 x e ei  i _   2cos2xsin 2



cosxsin



ifadesi elde edilir.

Denklem (4.2)’de 𝑛 = 2 alınır ve Denklem (2.8) eşitliği kullanılırsa

P

2 

 

x

;



 

 i

_

_{ } i

_

e ix F e2 2, ;2 ;1 2 ! 2 2 1 2 2     

 



  



 



!



2 1 2 2 2 0 2 2 1 2 2 p p i e p p ix p p i e       _{  } 



  





 







  

_



_







               _        2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2            i i ix ix ix e e i e







 

















2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2      _{   }   i i i i e i ix ix e e ix e e   _{   }       

























2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2     _{   }   i i i e i ix ix e e ix e            











 

_

_

_

_



i i i

e

ix

ix

e

e

2 2 2 2 2

1

2

2

2



















_                2 2 1 2 4 2 2 2    _{   } i i i e e ix x ix ix e