Sinir sistemi modelinin analizi

(1)

KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MATEMATİK ANABİLİM DALI

DOKTORA TEZİ

SİNİR SİSTEMİ MODELİNİN ANALİZİ

BERRAK ÖZGÜR

(2)

(3)

i ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR

Gerçek hayatta oluşan birçok durum ve karşılaşılan problemlerin çözümü aşamasında kullanılan matematiksel modeller çok yaygın şekilde karşımıza çıkmaktadır. İzlenen yol genel olarak, karşılaşılan durumu tanımlayarak matematiksel olarak ifade etmek, çözümü için bir yol geliştirmek ve elde edilen sonuçlar yardımıyla olayı yorumlamak olarak özetlenebilir.

İnsan vücudunda gerçekleşen birçok olayın da matematiksel açıdan modellemesi yapılmıştır. Bu modellerden biri de omurgalı beyninde yer alan nöronların birbiriyle iletişimini konu alan sinir sistemi modelidir. Bu iletişimin gerçekleşmesi, biyolojik temellere dayandırılarak matematiksel anlamda modellenmiştir.

Bu tezde, sinir sistemi modelinin kararlılık analizi yapılmıştır.

Bu tez çalışması süresince bana yol gösteren, görüşlerini benimle paylaşan, karşılaşılan durumlara farklı bir gözle de bakabilmemi sağlayan ve destek olan değerli hocam Doç. Dr. Ali Demir’e çok teşekkür ederim.

Tez çalışması sırasında fikirlerini paylaşan ve aynı zamanda bir yol gösterici olan hocalarım Prof. Dr. Zahir Muradoğlu ve Yrd. Doç. Dr. Ali Fuat Yeniçerioğlu’na çok teşekkür ederim.

Ayrıca değerli hocam Prof. Dr. Halis Aygün’e desteği için çok teşekkür ederim. Doktora boyunca birlikte çalıştığım arkadaşım Dr. Sertaç Erman’a değerli fikirleri ve desteği için çok teşekkür ederim.

Kocaeli Üniversitesi Matematik Bölümü’nde çalıştığı süre boyunca bana destek olan, deneyimlerini benimle paylaşan ve iyi bir dinleyici olan değerli arkadaşım Yrd. Doç. Dr. Vildan Çetkin’e çok teşekkür ederim.

Son olarak bu meşakkatli süreçte her zaman bana destek olan, güler yüzlerini eksik etmeyen, sonuca ulaşmam için sabırla yanımda olan çok değerli annem Gülnur Özgür ve babam Turhan Özgür’e sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

(4)

ii İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR ... i İÇİNDEKİLER ... ii ŞEKİLLER DİZİNİ ... iii SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ... iv ÖZET ... v ABSTRACT ... vi GİRİŞ ... 1 1. GENEL BİLGİLER ... 3

1.1. Kavram Olarak ‘Dinamik’ ... 3

1.2. Dinamik Sistemler ... 4

1.2.1. Lineer dinamik sistemler ... 6

1.2.2. Lineer olmayan dinamik sistemler ... 11

1.3. D-Parçalanma Metodu ile Kararlılık Analizi ... 14

2. GECİKMELİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 16

3. SİNİR SİSTEMİ ... 21

3.1. Nöronlar ve Sinir Sistemi ... 21

3.2. Sinir Ağı ve Modelleri ... 23

4. SİNİR SİSTEMİ MODELİ VE KARARLILIK ANALİZİ ... 25

4.1. Sinir Sistemi Modelinin Tanıtılması ... 25

4.1.1. Tek nöron popülasyonu için uygulama ... 27

4.1.2. İki nöron popülasyonu için uygulamalar ... 38

5. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ... 62

KAYNAKLAR ... 64

KİŞİSEL YAYIN VE ESERLER ... 67

(5)

iii ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil 1.1. Örnek 1.1 de verilen sistemin faz portresi ... 7

Şekil 1.6. Örnek 1.6 da verilen sistemin faz portresi ... 11

Şekil 1.7. Lineer (sol tarafta) ve lineer olmayan sistemin faz portresi ... 13

Şekil 3.1. Nöron ... 21

Şekil 3.2. Şekillerine göre nöronlar ... 22

Şekil 4.1. Sistem (4.3) ün  1 ve 2   J için kararlılık haritası ... 36

Şekil 4.2. Sistem (4.3) ün  2 ve 2   J için kararlılık haritası ... 37

Şekil 4.3. Sistem (4.18) in  0,5,F₁l₂ 1 parametreleri için kararlılık haritası ... 42

Şekil 4.4. Sistem (4.18) in  F₁ l₂ 1 parametreleri için kararlılık haritası ... 43

Şekil 4.5. Sistem (4.18) in  2, F₁ l₂ 1 parametreleri için kararlılık haritası ... 43

Şekil 4.6. Sistem (4.31) için D eğrileri ve kararlılık haritası ... 49

Şekil 4.7. Sistem (4.42) için kararlılık haritası ... 53

Şekil 4.8. Sistem (4.56) için D eğrileri ve kararlılık haritası



 0,5



... 59

Şekil 4.9. Sistem (4.56) için D eğrileri ve kararlılık haritası



 1



... 60

(6)

iv SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ







n



R r

C  0,  :



r,0



aralığından R ye tanımlı sürekli fonksiyonlar

uzayı

R : Reel uzay

2

R : İki boyutlu reel uzay n

R : n boyutlu reel uzay

 : Gecikme terimi

Kısaltmalar

EEG : Elektroensefalografi

(7)

v SİNİR SİSTEMİ MODELİNİN ANALİZİ ÖZET

Bu tezde bir ve iki nöron popülasyonu için oluşturulan sinir sistemi modelleri ele alınmıştır. Sistemler için karakteristik denklem oluşturularak D-parçalanma metodu yardımıyla kararlılık analizi yapılmıştır. Stepan formülleri kullanılarak asimptotik kararlılık bölgeleri belirlenmiştir. Ayrıca sistemde yer alan gecikme teriminin kararlılık üzerine etkisi araştırılmıştır. Elde edilen sonuçlar çizilen grafiklerde gösterilmiştir.

(8)

vi

THE ANALYSIS OF NEURAL FIELD MODEL ABSTRACT

In this thesis, neural field models for one and two neural populations are considered. Constructing the characteristic equations for these models and by using the D-partition method, the stability analysis of the system is made. The asymptotic stability regions are determined by using the Stepan’s formula. Further, the effect of the delay term on the stability is investigated. The observations made are shown on the graphics.

(9)

1 GİRİŞ

Dinamik sistem terimi, hareketin diferansiyel denklemlerle ve fark denklemleriyle tanımlandığı mekanik sistemler için kullanılmıştır. Bu sistemler için temel kavramları Lyapunov ve Poincaré vermiştir (Kuznetsov, 1998).

Birçok fiziksel, kimyasal, biyolojik, ekonomik hatta sosyal olayın gelecekteki ya da geçmişteki durumları şu anki durumlarına ilişkin bilgi ve olayın değişimini gösteren kurallar yardımıyla tahmin edilebilir. Bahsedilen durum, bu olayları tanımlamak için kurulan dinamik sistem modellerinin oluşturulmasına bağlıdır.

Bir dinamik sistemin evrimini, tT zamanında sistemde meydana gelen değişimler olarak tanımlarız. T  alındığında sürekli dinamik sistemlerden, R T  Z alındığında ayrık dinamik sistemlerden bahsedilmektedir.

Sürekli dinamik sistemlerin gösteriminde diferansiyel denklemler, ayrık dinamik sistemlerin gösteriminde fark denklemleri kullanılır.

Sürekli dinamik sistemler, lineer ya da lineer olmayan diferansiyel denklemler ile gösterilir. Lineer olmayan dinamik sistemin davranışı denge noktası civarında, sistemin lineerleşmiş halinin davranışı incelenerek yorumlanabilmektedir.

Bu tezde, beyindeki sinir hücresi (nöron) popülasyonlarının birbiriyle iletişiminin modellendiği sinir sistemi modelleri (neural field models) ele alınmaktadır. Bu modelin kararlılığı çeşitli indirgeme metotları ve nümerik metotlar kullanılarak incelenmiş ve sistemin çözümlerinin varlığı ve tekliğinin incelendiği çalışmalar yapılmıştır (Veltz ve Faugeras, 2011), (Veltz, 2011), (Veltz, 2013), (Veltz ve Faugeras, 2013).

Bu çalışmada ele alınan sistem lineer hale getirilerek öncelikle sisteme ait karakteristik denklem oluşturulmuş ve bu denklemden yararlanarak D-parçalanma metodu yardımıyla sistemin hangi bölgelerde kararlı yapıya sahip olduğu bulunmuştur. Çizilen grafiklerde, karakteristik denklemde bulunan parametrelerdeki

(10)

2

değişimin sistemin kararlılığı üzerindeki etkileri yorumlanmıştır. Model gecikme terimi içerdiğinden gecikme terimindeki değişimin sistem üzerindeki etkisi de araştırılmıştır.

Tezin birinci bölümünde dinamik sistemler ile ilgili temel bilgiler, dinamik sistemler için kararlılık analizi ve tezde kullanılan metot olan D-parçalanma metodu hakkında bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, gecikme teriminin dinamik sistemlerdeki rolünden bahsedilmiş ve gecikmeli diferansiyel denklemler anlatılmıştır. Nöronlar ve sinir sistemi ile ilgili bilgiler üçüncü bölümde verilmiştir. Son bölümde ise, önce üzerinde çalışılan model tanıtılmış daha sonra da bir ve iki nöron popülasyonu için D-parçalanma metodu kullanılarak modelin kararlılık analizi yapılmıştır.

(11)

3 1. GENEL BİLGİLER

1.1. Kavram Olarak ‘Dinamik’

Dinamik, zaman değiştikçe sistemde oluşan değişimi konu alan bir kavramdır. Bu kavram üzerine yapılan çalışmalarda; sistemin davranışının dengeye ulaşması, tekrar eden davranışlar sergilemesi ya da daha karmaşık bir davranışın ortaya çıkması konuları incelenmektedir.

Dinamik kavramı disiplinler arası bir konu olmasına rağmen, ilk olarak fizikte ortaya çıkmıştır. 1600’lerin ortasında Newton, Kepler’in gezegenlerin hareketi kuralını açıklamak için diferansiyel denklemleri kullanmıştır. Dünyanın güneş etrafındaki hareketi problemini (iki cisim problemi) çözmüştür. Daha sonra üç cisim problemi (güneş, dünya, ay) ele alınmış fakat üç cismin hareketi için açık (explicit) formüller bulunamadığı anlaşılmıştır.

Bu problemlere farklı bir yönden bakan Poincaré 1800’lerin sonunda, gezegenlerin kesin yerlerini bulmak yerine güneş sisteminin kararlılığını araştırmıştır. Burada irdelenen konulardan biri de bazı gezegenlerin sonsuzluğa gidebilir olup olmadığıdır. Ayrıca, Poincaré kaos olasılığını ilk ortaya atan kişidir. Bu çalışmalarda, başlangıç koşullarına duyarlı olan, periyodik olmayan davranış gösterdiği için uzun bir zaman sonrasında davranışı tahmin edilemeyecek olan sistemlerin varlığı araştırılmıştır (Strogatz, 1994).

Diferansiyel denklemler yardımıyla tanımlanan dinamik sistemler için ayrıntılı bilgiler (Hirsch ve Smale, 1974), (Guckenheimer ve Holmes, 1983), (Wiggins, 1990), (Strogatz, 1994), (Perko, 1991), (Kuznetsov, 1998), (Nayfeh ve Balachandran, 2004) ve (Hassan Khalil, 1992) kaynaklarında bulunabilir.

Ayrıca lineer ve lineer olmayan sonsuz boyutlu dinamik sistemler üzerinde de çalışılmıştır. Bu tip sistemlerin çözümlerinde bazı indirgeme metotlarından faydalanılarak matematiksel modeli sonlu boyuta indirgeme ya da sistemin davranışına katkısı olmayan terimleri elimine etme yoluna gidilmektedir.

(12)

4

Bu yöntemlerden biri olan normal form teorisinde, çatallanma (bifurkasyon) görülen bir sistemin çözümlerindeki değişimi görebileceğimiz normal form denen bir yapı oluşturulur. Ayrıntılı bilgi için (Wiggins, 2003) ve (Nayfeh ve Balachandran, 2004) kaynakları incelenebilir.

Warner, Sethna P. R. ve Sethna J. P. (1996), normal form teorisinin, lineer olmayan dinamik sistemleri tanımlayan adi diferansiyel denklemleri standart forma dönüştürmek için kullanılan bir teknik olduğunu ve bazı koordinat dönüşümleri kullanılarak, yüksek mertebe lineer olmayan terimlerin sisteme çok etkisi olmayan kısımlarının çıkarıldığını belirtmiştir.

Merkez manifold teorisinde, incelenen sistem lineerleştirilir ve merkez manifold yapısı oluşturulur. Elde edilen sistemin bu yapıdaki davranış incelenerek ilk sistemin genel davranışı hakkında bilgi edinilir. Teorinin ayrıntıları için (Carr, 1981), (Wiggins, 2003), (Perko, 1991) ve (Nayfeh ve Balachandran, 2004) kaynakları incelenebilir.

Veltz ve Faugeras (2013), yayınladıkları makalede gecikmeli sinir sistemi modelini incelemişler ve bu modelin kararlılık analizinde merkez manifold teorisinden yararlanmışlardır.

1.2. Dinamik Sistemler

Nayfeh ve Balachandran (2004), t zamanına göre durumu değişen sisteme dinamik sistem adını vermiştir.

Dinamik sistemin iki ana bileşeni; durum vektörü _x__Rn_{ve zamanın değişimi ile} sistemin durumunu tanımlayan fonksiyon __:_Rn__Rn_dir.

Dinamik sistemlerde diferansiyel denklemler ve fark denklemleri kullanılmaktadır. Diferansiyel denklemlerde sistemdeki değişim sürekli zamanda, fark denklemlerinde ise ayrık (discrete) zamanda incelenmektedir (Strogatz, 1994).

Tanım 1.1: Bir dinamik sistemin tüm durumlarını belirten noktalar kümesine sistemin durum uzayı (state space) denir (Kuznetsov,1998).

(13)

5

Örnek olarak bir sarkacın durumu, sarkacın ipinin dikey pozisyonuna göre yaptığı açı

 ve bu açıya bağlı hızı  ile belirlenir.

X durum uzayı üzerinde, sistemin tT zamanındaki durumunu belirten dönüşüm

X X

t_: _

 olsun. Sistem için verilen x₀X başlangıç koşulunu göz önüne alındığında bu dönüşüm t zamanında 0 0 : x x X X t t    

işlemini gerçekleştirir.  dönüşümü aşağıdaki iki koşulu sağlar:

i) 0 : X üzerinde birim operatör

ii) _ts __t_o_s

Yani her xX ve t,sT için tsxt

 

sx dir (Kuznetsov, 1998).

Tanım 1.2: T zaman kümesi, X durum uzayı ve (i) ve (ii) koşullarını sağlayan X

X

t_: _

 dönüşümü verilsin.

 

_X_,_t _, _t__T_{bir dinamik sistem tanımlar} (Kuznetsov, 1998).

Tanım 1.3: Her tT için xtx₀ şeklinde tanımlanan tüm xX lerin oluşturduğu küme x dan başlayan bir yörünge (orbit) olarak adlandırılır ₀ (Kuznetsov, 1998).

Tanım 1.4: Her tT için tx₀ x₀ denklemini sağlayan x₀X noktasına denge noktası (sabit nokta) denir (Kuznetsov, 1998).

Lineer olmayan dinamik sistemin davranışı denge noktası civarında, sistemin lineerleştirilmiş halinin davranışı incelenerek yorumlanabilir.

(14)

6 1.2.1. Lineer dinamik sistemler

Bir boyutlu ve adi diferansiyel denklemler ile modellenen lineer dinamik sistemlerin çözümleri bulunabilmekte ve bu sayede sistemin davranışı incelenebilmektedir. Örneğin,

 

0 ₀ , x x b ax x  

sistemini inceleyelim. b0 durumu için xax sisteminin analitik çözümü

0

x e

x at olur. Eğer a0 ise x başlangıç koşuluna bağlı olmaksızın ₀ )

(

0 

 t

x olmaktadır. Eğer a0 ise x₀0 için x olmakta, eğer 0x₀ ise x0 (t) olmaktadır. Eğer a0 ise her zaman x

 

t 0 olur.

Şimdi b0 durumuna bakalım.

 

0 ₀ , x x b ax x   sisteminin çözümü a b a b x e x at       _

 ₀ dır. Eğer a0 çözüm için x dan ₀

bağımsız olarak

 

a b t x   yazılır. a b x  

~ _{sistemin kararlı sabit noktasıdır. Eğer}

0 

a ise başlangıç durumuna göre sistemin çözümü değişmektedir.

a b x x₀  ~ 

ise x

 

t  olur. Eğer

a b x₀   ise sistem a b  da kalacaktır. Böylece a b x   ~

sistemin kararsız sabit noktasıdır. x~ daki çok küçük bir değişim, çözümü çok fazla etkilediğinden kararsız nokta denmektedir (Scheinerman, 2015).

Şimdi, xR2 ve 2x2 lik A matrisini ele alalım ve x Ax lineer sistemine bakalım. Sistemin çözümlerinin



x₁,x₂







x₁

   

t ,x₂ t



, t şeklinde parametrik

eğriler ile kartezyen düzlemde gösterilmesi sistemin faz portresini oluşturur. Faz portresi, verilen diferansiyel denklem sisteminin çözümlerinin asimptotik davranışı ile ilgili görsel olarak bilgi vermektedir. Üzerinde eğrilerin yer aldığı düzlem faz düzlemi adını alır. Çözümleri temsil eden parametrik eğriler yörünge olarak

(15)

7

adlandırılır. Bu denklem sistemi için x0 eşitliğini sağlayan noktalara denge

noktası adı verilir (Tseng).

Denge noktalarının kararlılık durumlarına göre genel sınıflandırılması aşağıdaki gibidir (Tseng, 2015), (Ross, 1984):

Ax

x , xR2 lineer sisteminin denge noktası orijin olsun.

Durum 1: A katsayılar matrisinin ₁₂ , ₁₂0, ₁,₂R olacak şekilde iki özdeğeri varsa sistemin denge noktasına düğüm noktası (node) adı verilir. Eğer her iki özdeğer de pozitif ise denge noktası kararsızdır. Eğer her iki özdeğer de negatif ise denge noktası kararlıdır.

Örnek 1.1: (Tseng, 2015) y x y x x 4 2      

lineer sistemi için katsayılar matrisinin özdeğerleri ₁2,₂ 4

şeklindedir. Sistemin faz portresi Şekil 1.1 de verilmiştir.

Şekil 1.1. Örnek 1.1 de verilen sistemin faz portresi

Durum 2 : A katsayılar matrisinin ₁₂, ₁₂ 0, ₁,₂R olacak şekilde iki özdeğeri varsa sistemin denge noktasına eyer noktası (saddle point) adı verilir. Negatif özdeğer yardımıyla bulunan çözüm denge noktasına yaklaşacaktır. Pozitif

(16)

8

özdeğer yardımıyla bulunan çözüm ise denge noktasından uzaklaşarak sonsuza doğru gidecektir. Eyer noktası her zaman kararsızdır.

Örnek 1.2: (Tseng, 2015) y y x x     

lineer sistemi için katsayılar matrisinin özdeğerleri ₁1,₂1

Şekil 1.2. Örnek 1.2 de verilen sistemin faz portresi

Durum 3: A katsayılar matrisi tekrarlı özdeğerlere sahip olsun. Bu özdeğerler için;

a ) İki lineer bağımsız özvektör varsa denge noktası düzgün düğüm (proper node) adını alır.

0 

 ise yörüngeler denge noktasından sonsuza doğru gider. Bu durumda sistemin davranışı denge noktası komşuluğunda kararsızdır. 0 ise yörüngeler denge noktasına doğru gider. Bu durumda sistem denge noktası komşuluğunda asimptotik kararlı yapıdadır. A katsayılar matrisinin _      a a 0 0

(17)

9 Örnek 1.3: (Tseng, 2015) y y x x      

lineer sistemi için katsayılar matrisinin özdeğerleri ₁₂1

Şekil 1.3. Örnek 1.3 te verilen sistemin faz portresi

b ) Tek lineer bağımsız özvektör varsa denge noktası düzgün olmayan düğüm (improper node) adını alır.

0 

 ise yörüngeler denge noktasından sonsuza doğru gider. Bu durumda sistemin davranışı denge noktası komşuluğunda kararsızdır. 0 ise yörüngeler denge noktasına doğru gider. Bu durumda sistem denge noktası komşuluğunda asimptotik kararlı yapıdadır. Örnek 1.4: (Tseng, 2015) y y y x x        2

lineer sistemi için katsayılar matrisinin özdeğerleri ₁ ₂ 1

(18)

10

Durum 4: A katsayılar matrisinin ₁a₁ib₁, ₂ a₁ib₁ olacak şekilde iki özdeğeri varsa sistemin denge noktasına spiral nokta adı verilir. Re0 ise yörüngeler denge noktasından sonsuza doğru spiral yaparak gider ve kararsız yapı oluşur. Re 0 ise yörüngeler denge noktasına doğru spiral yaparak yaklaşır ve denge noktası asimptotik kararlı olur.

Örnek 1.5: (Tseng, 2015) y x y y x x       8 8

lineer sistemi için katsayılar matrisinin özdeğerleri

i

i , 1 8

8

1 ₂

1    

 şeklindedir. Sistemin faz portresi Şekil 1.5 de verilmiştir.

(19)

11

Durum 5: A katsayı matrisinin ₁ ib₁, ₂ ib₁ olacak şekilde iki özdeğeri varsa sistemin denge noktasına merkez adı verilir. Faz portrede eliptik ya da çembersel yörüngeler oluşur. Bu durumda denge noktası her zaman kararlıdır.

Örnek 1.6: (Tseng, 2015) x y y x      3

lineer sistemi için katsayı matrisinin özdeğerleri ₁ 3i , ₁ 3i

şeklindedir. Sistemin faz portresi Şekil 1.6 da verilmiştir.

Şekil 1.6. Örnek 1.6 da verilen sistemin faz portresi

1.2.2. Lineer olmayan dinamik sistemler

Lineer olmayan diferansiyel denklemlerle tanımlanan sistemlere lineer olmayan dinamik sistemler denmektedir (Nayfeh ve Balachandran, 2004).

 

x F x

lineer olmayan otonom sistemini ele alalım. _x__Rn_ve_F_:_Rn __Rn_düzgün (smooth) fonksiyon olsun. Bu sistemin kararlılık analizi, denge noktası civarında lineerleştirilmiş hali üzerinde çalışılarak yapılır ve sistemin lokal davranışı hakkında bilgi edinilir.

(20)

12

Önce hiperbolik denge noktası tanımını ve ardından da açıkladığımız durumu ifade eden teoremi verelim.

Tanım 1.5: xF

 

x sistemi için x*(x₁*,x₂*,...,x*_n) denge noktası olmak üzere

 

*

x

J_F Jacobien matrisinin reel kısmı 0 olan (tamamen sanal) özdeğeri yok ise bu denge noktasına hiperbolik nokta denir (Jones, 2015).

Teorem 1.1 (Grobman – Hartman Teoremi) : (x₁*,x₂*,...,x_n*) noktası xF

 

x , n

R

x lineer olmayan sistemi için hiperbolik denge noktası olsun. ((x₁*,x₂*,...,x*_n) noktası kullanılarak oluşturulan Jacobian matrisin özdeğerlerinin reel kısımları sıfırdan farklı olsun.) Bu durumda lineerleştirilmiş sistem ve lineer olmayan sistemin faz portreleri lokal olarak homeomorfiktir (Jones, 2015).

Bu teorem, lineer olmayan sistemin lineerleştirilmiş halinin özdeğerlerinin tamamen sanal olmaması koşuluyla bu iki sistemin çözümlerinin birbirine benzer yapıda olduğunu söylemektedir (Jones, 2015).

 

_x _x _Rn F

x , 

lineer olmayan sistemi verilmiş olsun. x*(x₁*,x₂*,...,x_n*) noktası sistemin denge noktası olsun. Bu nokta komşuluğunda sistemi,

 

n k j k j F x x F x J ,..., 1 , * *            

Jacobian matrisi kullanılarak

 

_x* _y _, _y _x _x*

J

y _F  

şeklinde lineer hale getirilir.

Şimdi kararlılık ile ilgili iki teorem verelim.

(21)

13

 

x F x

sisteminin denge noktası x*(x₁*,x₂*,...,x_n*) olsun. Sistemin lineerleştirilmiş hali için Jacobian matrisin özdeğerleri için eğer Re

 

 0 oluyorsa denge noktası asimptotik kararlıdır (Jones, 2015).

Teorem 1.3 : x*(x₁*,x₂*,...,x_n*) noktası xF

 

x sistemi için denge noktası olsun. Jacobian matrisin özdeğerlerinden en az bir tanesi pozitif reel kısma sahip ise denge noktası kararsızdır (Jones, 2015).

Örnek 1.7: (Jones, 2015) 3 2x x y y x     

lineer olmayan sisteminin denge noktası (0,0) dır. Jacobian matrisi _       0 1 1 0 |₍₀_,₀₎ J

olur. Bu matrisin özdeğerleri _{ dir. Sistem, reel kısmı pozitif olan bir özdeğere}1 sahip olduğu için (0,0) denge noktası kararsız yapıdadır. Grobman – Hartman teoremine göre denge noktası hiperbolik olduğundan, her iki sistem için faz portrelerinin benzer yapıda olduğu Şekil 1.7 de görülmektedir.

(22)

14

1.3. D-Parçalanma Metodu ile Kararlılık Analizi

Otonom sistemlerde D-parçalanma metodu kullanılarak kararlılık analizi yapılabilir. Bu metodun amacı, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen D eğrilerini kullanarak, sistemin parametreleri ile belirlenmiş olan uzayda kararlı ve kararsız olan bölgeleri belirlemektir. D eğrileri ile ayrılmış olan her bir bölgede kararsız yapıdaki kök sayısı sabittir. Bu kök sayısındaki değişimi incelemek için, karakteristik kökün reel kısmının sistem parametrelerinden birisine göre türevinin işareti incelenir. İkinci bir yol olarak Stepan formüllerinden yararlanılırsa, D eğrileri ile ayrılmış olan bölgelerde kararsız yapıdaki kök sayısı hesaplanır. (Insperger, 2002), (Insperger ve Stepan, 2011).

İncelenen sistemin kararlılık analizini yapmak için öncelikle karakteristik denklem bulunur. D-parçalanma metodunda, katsayılardan oluşan parametre uzayı belirlenir ve D

 

 ile göstereceğimiz karakteristik denklemde i yazılır. Daha sonra

0 

 alınarak D

 

 karakteristik denkleminin reel ve sanal kısımları belirlenir. Reel kısım P

 

 ve sanal kısım R

 

 ile gösterilir. P

 

 0 ve R

 

 0 denklemlerinden yararlanarak  parametresine bağlı olacak şekilde D-eğrileri belirlenir. Yani karakteristik denklemin tamamen sanal kökleri D-eğrileri üzerinde bulunmaktadır.  0 alınması ile elde edilen singüler doğru da D-parçalanmasında önemli rol oynar. Bu metod kullanılırken, parametre uzayı bu eğriler ve singüler doğru yardımıyla alt bölgelere ayrılır. Bu alt bölgelerde kararsız yapıya sahip olan karakteristik üstellerin (characteristic exponent) sayısı sabit kalmaktadır. Bu sayılardaki değişimleri incelemek  nün parametrelerden birisine göre kısmi türevinin işaretinin incelenmesi yardımıyla yapılmaktadır (Insperger ve Stepan, 2011).

D-eğrileri ile ayrılmış bölgelerdeki kararsız yapıdaki kök sayısının Stepan formülleri kullanılarak nasıl hesaplanacağını açıklayalım. Üzerinde çalışılan sistemin karakteristik denkleminin reel ve sanal kısımları sırasıyla P



,l,K



ve R



,l,K



olsun. D-parçalanmasının herhangi bir alt bölgesine ait olan B



l₀, K₀



noktası için



,l₀,K₀



P ın pozitif reel kökleri  _j , j1,...,s ve ₁ ..._s ve R



,l₀,K₀



nın negatif olmayan reel kökleri  _i , i1,...,s ve ₁ ..._s 0 olsun. Bu

(23)

15

durumda ele alınan sistemin boyutu çift ise, yani n2m, mZ ise noktanın seçildiği bölgede, pozitif reel kısma sahip kök sayısı

 



₁_,₀ ₀



1 1_sgn _, _, 1 1 R l K m k _j s j j m

_

_      

ile hesaplanır. Eğer ele alınan sistemin boyutu tek ise yani n2m1 , mZ ise noktanın seçildiği bölgede, pozitif reel kısma sahip kök sayısı

 





 





_             

_

  1,0 0 1 1 0 0 , 1 , 1 sgn , , , 0 sgn 1 2 1 1 2 1 K l P K l P m k _i s j j s m _

ile hesaplanır (Insperger ve Stepan, 2011).

D-parçalanma metodunun temeli dikkate alındığında D-eğrileri ile ayrılmış olan bölgelerde kararsız yapıdaki kök sayısı değişmeyeceğinden her bölgeden bir nokta seçilerek Stepan formülleri yardımıyla hesaplama yapılması yeterlidir. Bu formüller ile k 0 bulunan bölgenin sistem için asimptotik kararlılık bölgesi olduğu söylenir.

Çünkü bu bölgedeki karakteristik denklemin köklerinden reel kısmı pozitif olan kök yoktur. D-eğrilerinin temel mantığı dolayısıyla bu bölgede tamamen sanal kök de bulunmamaktadır.

(24)

16

2. GECİKMELİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Otomatik kontrol sistemlerinin kullanılmaya başlanması ile gecikmeli diferansiyel denklem adı verilen bir diferansiyel denklem tipi üzerinde çalışılmaya başlanmıştır. Geri bildirim kontrolü içeren sistemlerde bilginin sisteme iletilmesi ve ardından sistemin bu duruma yanıt vermesi belli bir zaman alacağı için zaman gecikmesi söz konusudur (Erneux, 2009).

Gecikmeli diferansiyel denklemler teorisi ile ilgili ayrıntılı bilgi için (Hale, 1977), (Driver, 1977), (Erneux, 2009), (Azbelev ve Maksimov, 2007) kaynakları incelenebilir.

Şimdi modellenmesinde gecikmeli diferansiyel denklemin kullanılması uygun olan fiziksel bir örnek verelim.

B galon tuzlu su içeren bir tank düşünelim. Dakikada q galon saf su tanka alınıyor olsun. Tanktaki tuzlu su devamlı karıştırılsın ve bu arada tanktan dakikada q galon karışım boşaltılsın. Bu işlem devam ederken anlık mükemmel karışım gerçekleştiği düşünülsün. x

 

t , t anında tanktaki tuz miktarını göstermek üzere, tanktan boşalan suyun galon başına

 

B t x

kadar tuz içerdiği düşünülür ve tanktaki tuz miktarının

değişimi

 

B t qx t x  

diferansiyel denklemi ile modellenir.

Fakat gerçekte olay böyle olmamaktadır. Çünkü, tanktan t anında boşalan karışımdaki tuz oranı t anında tankta bulunan tuz oranı kadardır. Bu yüzden bu r olayı,

 





B r t qx t x   

(25)

17 ya da B q c alırsak

 

t cx

 

t r x  

şeklinde modellemek daha gerçekçi olacaktır. Buradaki r pozitif bir sabiti gecikme terimi olarak adlandırılır (Driver, 1977).

Zaman değişkeni t olmak üzere, bilinmeyen fonksiyon x

 

t ; bu fonksiyonun türevi ve t ye bağlı olan bir u

 

t fonksiyonu cinsinden x

 

u

 

t ile birlikte

 

t f



x

 

t x

 

u

 

t



x   , şeklinde ifade edilirse, bu tip denklemlere fonksiyonel diferansiyel denklem denir. Adi diferansiyel denklemlerde bilinmeyen fonksiyon ve bu fonksiyonun türevleri belli bir t anında değer alırken; fonksiyonel diferansiyel denklemlerde bilinmeyen fonksiyon farklı argümanlar ile karşımıza çıkar. Fonksiyonel diferansiyel denklemlerin bir tipi olan gecikmeli diferansiyel denklemlerde, bilinmeyen fonksiyonun belli bir mertebeden türevinin t anındaki değeri, yine bu bilinmeyen fonksiyonun ya da daha düşük mertebeden türevlerinin t ve t den daha önceki anlardaki değerleri yardımıyla tanımlanır.

 

t x

   

t x t x

 

t t x t x t x cos sin 3 1 1 2             

denklemleri gecikmeli diferansiyel denklemlere örnektir (Driver, 1977).

Bilinmeyen fonksiyonun belli bir mertebeden türevinin t anındaki değeri, yine türev fonksiyonun t den daha önceki anlardaki değerleri yardımıyla tanımlanıyorsa bu tip denklemlere neutral diferansiyel denklemler denir.

   

 

1 2         t x t x t x t x

denklemi bu tip denklemlere bir örnektir (Driver, 1977).

Bilinmeyen fonksiyonun belli bir mertebeden türevinin t anındaki değeri, daha yüksek mertebeden türevlerin t anından önceki anlardaki durumlarına bağlıysa bu tip denklemlere öncü (advanced) diferansiyel denklemler denir. Örneğin,

(26)

18

 

 







t x t x

denklemi bu türdendir. zx dönüşümü ve öteleme yardımıyla bu denklem

  

 



t z t z

haline gelir. Denklemdeki türev ifadesi bilinmeyen fonksiyonun gelecek zamanlardaki durumuna bağlı olduğu için öncü (advanced) diferansiyel denklem olarak adlandırılmaktadır (Insperger, 2002).

İntegro diferansiyel denklemler de yine fonksiyonel diferansiyel denklemlerin bir tipidir. Denklemde bilinmeyen fonksiyonun hem türevi hem de bu fonksiyona bağlı bir integral yer almaktadır.

Bir gecikmeli diferansiyel denklemin zamana bağlı çözümünün tekliği için,  gecikme terimi olmak üzere, t



,0



aralığında başlangıç koşulları tanımlanmış

olmalıdır.







,

 

1 ,   0

ky t y t t

dt

dy _ _

gecikmeli diferansiyel denkleminde



,0



aralığında tanımlı olan bir başlangıç fonksiyonu söz konusudur. Dolayısıyla geçmiş durumun şu anki durum ve gelecekteki durum üzerinde etkisi vardır (Erneux, 2009).

İncelenen sistemin durumu daha önceki zaman dilimlerinden de etkilenmekteyse, bu sistemi modellemede gecikmeli diferansiyel denklemler diferansiyel denklemlere göre daha gerçekçi bir yapıda olacaktır. Bu yüzden gecikmeli diferansiyel denklemlerden birçok alanda yararlanılmaktadır. Örnek vermek gerekirse; biyolojik modellerde, popülasyon dinamiği ile ilgili modellerde, kontrol sistemleri ile ilgili modellerde, lazerlerin kullanıldığı optik geribildirim içeren modellerde, yüksek hızla çalışan kesme makinalarının kullanıldığı modellerde ve araba takip sistemlerini içeren modellerde kullanılırlar. Ayrıca bu tür denklemler hava olaylarının modellenmesinde ve ısıtma sistemlerinin kontrolünü içeren işlemlerde çok sık kullanılmaktadırlar.

(27)

19

Şimdi gecikmeli diferansiyel denklemler için bazı tanımlar verelim.

0 

r için CC





r,0



Rn



ve DRn olmak üzere C_D C





r,0



D



sürekli fonksiyon uzaylarını alalım.





n R t r t y:  ,  fonksiyonundan yararlanarak

  

  y t



, r 0 y_t

olacak şekilde y_t :



 0r,



Rn fonksiyonunu tanımlayalım. Eğer





n R D t r t

y:  ,   fonksiyonu sürekli ise y fonksiyonu da süreklidir yani _t D

t C y  dir.

Tanım 2.1: J  ve R DRn açık kümeler olsun. F:JC_DRn fonksiyoneli ile verilen

 

t F

 

t yt

y  , (2.1)

denklemine JC_D üzerinde bir gecikmeli diferansiyel denklem denir.

Tanım 2.2: F:JC_D Rn olsun. t₀R ve  t₀ için



t₀ r,



üzerinde tanımlı olan y

 

t fonksiyonu verilsin. Eğer







t r D



C y i)  ₀  , ,



t



J ii) ₀, 

 

,



,



) y t t t₀

iii  için Denklem (2.1) i sağlamaktadır.

koşulları sağlanıyorsa y

 

t ye Denklem (2.1) in çözümü denir.

m tane sabit gecikme terimi içeren lineer olmayan otonom

 

t F



y

  

t yt



y



t _m



y  , ₁ ,..., 

(28)

20

sistemini ele alalım. Sistemin kararlılık analizi için ilk önce F



y*,y*,...,y*



0 ı

sağlayan kritik çözüm bulunmalıdır. Lineer olmayan sistem bu nokta komşuluğunda lineerleştirilerek kararlılığı hakkında bilgi edinilebilir. Sistemin lineerleştirilmiş hali;

n n j R A   olmak üzere

 

      m j y F t A m t y t y t y j j , 0,..., * ,..., * , * 1        olacak şekilde

 







     m j j jyt A t y A t y 1 0 

dir. Bulunan denklemdeycet çözümü yazılarak

0 1 0  

_

  m j je j A A I  

karakteristik denklemi elde edilir. Bu denklemin sonsuz çoklukta çözüme sahip olduğu bilinmektedir. Eğer bu karakteristik denklemin tüm kökleri negatif reel kısma sahip ise, sistem asimptotik kararlı yapıda olur. Bu denklem reel kısmı pozitif olan en az bir adet köke sahipse sistem kararsız yapıdadır denir.

(29)

21 3. SİNİR SİSTEMİ

3.1. Nöronlar ve Sinir Sistemi

İnsanda vücudunda sinir sistemi, merkezi ve çevresel sinir sistemi olmak üzere ikiye ayrılmaktadır. Merkezi sinir sistemi beyin ve omurilikten oluşur. Çevresel (periferik) sinir sistemi ise merkezi sinir sistemi ile organlar ve kaslar arasındaki iletişimi kuran sinir liflerinden oluşur.

Merkezi sinir sistemi yapı olarak beyaz ve gri maddeden oluşmaktadır. Sinir hücrelerinin gövdeleri gri maddede, uzantıları ise beyaz maddede bulunmaktadır.

Sinir hücreleri (nöronlar) vücuda gelen uyarıları ilgili organlara ulaştıran hücrelerdir. Nöronlar hücre gövdesi, akson ve dendrit adı verilen üç kısımdan oluşurlar (Şekil 3.1). Hücreye gelen uyarılar dendritten alınır, bu uyarılar akson sayesinde diğer hücrelere iletilir.

(30)

22

Aksonların çoğunun üzerinde Schwann hücreleri tarafından oluşturulan ve iletinin hızlı taşınmasını sağlayan miyelin kılıf bulunur. Miyelin tabakanın kesintiye uğradığı yerlere Ranvier boğumu denir.

Nöronlar şekilleri baz alındığında çok kutuplu (multipolar), çift kutuplu (bipolar) ve yalancı çok kutuplu (pseudounipolar) olarak üçe ayrılır (Şekil 3.2). Bir aksona ve çok sayıda dendrite sahip olan sinir hücreleri çok kutuplu, bir akson ve bir dendrite sahip olan sinir hücreleri çift kutuplu ve hücreden çıktıktan sonra ikiye ayrılan uzantısı olan sinir hücreleri yalancı çok kutuplu olarak adlandırılır.

Şekil 3.2. Şekillerine göre nöronlar (Junqueira ve Carneiro, 2003)

Akson ve iletiyi getirdiği diğer nöron arasında kalan bölgeye sinaps adı verilir.

Vücutta gerçekleşen her olay sinir hücrelerinin elektrokimyasal yolla iletişime geçmeleri ile sağlanır. Bu iletişim kimyasal bir takım olaylar sonucunda oluşan ve aksiyon potansiyeli denilen elektriksel sinyaller ile sağlanır. Peki nöronlar arası iletim nasıl gerçekleşmektedir?

Hücre zarı potansiyeli eşik değerine erişince, akson tepesinde bir aksiyon potansiyeli dizisi oluşur ve bu aksiyon potansiyeli sinapsa iletilir. Bu arada sinirler arası kimyasal iletici (nörotransmitter) salınımı gerçekleşir. Bu kimyasal ileticiler iletiyi alacak olan nörondaki alıcılara bağlanır. Böylece iyon kanalları açılır ve daha sonra

(31)

23

kapanır. Hedefteki nöronun hücre zarı iletkenliği bu şekilde değişmiş olur. Bu reaksiyonlar sayesinde iletinin ilerlemesi sağlanır (Veltz, 2011).

Nöronlar ve sinir sistemi ile ilgili ayrıntılı bilgi için (Izhikevich, 2004) ve (Wilson, 2005) yayınlarından da yararlanılabilir.

3.2. Sinir Ağı ve Modelleri

Sinir ağı aktivitelerinin modellenmesinde iki tip model kullanılmaktadır. İlki, sinir kütle modelleri (neural mass models) ikincisi ise sinir sistemi modelleri (neural field models) dir. İlk modelde nöron popülasyonlarının durumu sadece zamana bağlı olarak ele alınmaktadır. Bu modeller EEG (Elektroensefalografi) ve MEG (Magnetoensefalografi) sonuçlarının değerlendirilmesinde kullanılır. Adi diferansiyel denklemler yardımıyla tanımlanmaktadırlar (Markounikau, 2010), (Pinotsis ve diğ., 2012), (Pinotsis ve diğ., 2014).

Sinir sistemi modelleri de sinirbilimde oldukça sık kullanılmaktadır. Beyindeki büyük nöron popülasyonlarının aktivitesinin sürekli uzayda modellenmesinde kullanılırlar. Görme korteksinin de içinde bulunduğu birçok korteks alanının modellenmesinde önemli rol oynar (Veltz ve Faugeras, 2011). Böylece, omurgalı beynini oluşturan çok geniş bir sinir ağı bölgesinin matematiksel modeli olarak kullanılırlar. Bu modellerde durum değişkeni hem uzay değişkenine hem de zaman değişkenine bağlıdır. (Venkov, 2008), (Markounikau, 2010). Wilson ve Cowan (1973) ile Amari (1977) nin çalışmaları bu alanda öncü olarak kabul edilmiştir. Bu modeller integro diferansiyel denklemler kullanılarak oluşturulmuştur. Aksiyon potansiyelinin yayılma hızının sınırlı olması ve sinirler arası kimyasal iletici maddelerin salınması sırasında geçen zaman hesaba katıldığında bu modellerde gecikme teriminin varlığı göze çarpar. Bu gecikme terimleri sabit olabildiği gibi uzay değişkenine de bağlı olabilir.

Bu tezde çalışılan modelde, sinyallerin akson ve dendritlerde iletilmesinde sınırlı olan hızı ve iletinin sinapstan geçiş süresi nedeniyle gecikme terimi bulunmaktadır.

Gecikmeli diferansiyel denklemler ve biyolojik modeller arasındaki bağlantıyı veren ve kararlılık analizini de içeren bir çalışma için (Forde, 2005) incelenebilir.

(32)

24

Sinir sistemi modelleri ile ilgili, kararlılık analizi ve sistemin çözümü için varlık ve teklik konularını inceleyen çalışmalar için (Veltz ve Faugeras, 2011), (Veltz, 2013), (Veltz ve Faugeras, 2013), (Veltz, 2011), (Venkov, 2008) örnek verilebilir.

(33)

25

4. SİNİR SİSTEMİ MODELİ VE KARARLILIK ANALİZİ

4.1. Sinir Sistemi Modelinin Tanıtılması

Bu tezde ele alacağımız, korteksin açık sınırlı bir parçası ya da ___Rd_uzayında tanımlı periyodik sınır koşulları ile verilen sinir sistemi modelini tanıtalım.

Bu model, her p nöron popülasyonunun (nöron yığınının) ortalama hücre zarı potansiyelinin dinamiklerini temsil etmektedir (Veltz ve Faugeras, 2011), (Veltz, 2013), (Veltz ve Faugeras, 2013).

 





 





 





                         

_{ }

  0 , , , 1 , 0 , , , , , , 1 T t r t r t V p i t t r I r d h r r r t V S r r J r t V l dt d i i ext i j ij j j p j ij i i    (4.1)

Modelin bileşenleri aşağıda açıklanmıştır.

 , korteksin ya da uzayın sonlu bir bölgesidir.

 

0,1 :R

S normalleştirilmiş sigmoid fonksiyondur. Referans verilen makalelerde

 

z e z S _   1 1

olarak alınmıştır. Bu fonksiyon, i popülasyonunun v ateşleme _i

hızları arasındaki ilişkiyi hücre zarının potansiyeli fonksiyonu yardımıyla vermektedir. Yani







_i _i _i



i S V h

v    dir. Burada V , p boyutlu



V ,...,₁ V_p



vektörüdür. p- boyutlu  fonksiyonu başlangıç koşuludur.

(34)

26

p -boyutlu Iext fonksiyonu diğer korteks bölgelerinden gelen dış akımları göstermektedir.

p

p boyutlu J 

 

J_ij _i_,_j_₁_,...,_p matrisi, i ve j popülasyonları arasındaki ilişkiyi göstermektedir.

p i

h_i , 1,..., , reel değerleri her nöron popülasyonu için aktivite eşiğini (maksimal aktivitenin % 50 sine karşılık gelen hücre zarı potansiyeli değerini) göstermektedir.

p i

i , 1,...,

 , değerleri sigmoid fonksiyonlarının orijindeki eğimini belirlemektedir.

Pozitif l_i ,i1,...,p, değerleri, her hücre zarı potansiyelinin dinlenme zamanındaki değerine üstel olarak düşme hızını göstermektedir.

 

r r ij ,

 terimi, r konumundaki j popülasyonu ve r konumundaki i popülasyonu arasındaki yayılım gecikmesini göstermektedir.



T,0



aralığında  

 

r r T _ij r r j i , max , , , max         olarak alınmıştır.

 

r,r c rr ₂

 olarak alınmıştır. (c yayılma hızının tersidir.)

d R 

 için d 1 alınırsa bir boyutlu model elde edilir. Biyolojik açıdan çok ilgi

çekici olmasa da matematiksel açıdan kolaylık sağlamaktadır (Veltz, 2013).

2 

d için iki boyutlu model oluşur. Burada , korteksin bir parçasıdır ve üçüncü boyut olan kalınlık hesaba katılmamaktadır. Bu model için yapılan hesaplamalar oldukça uzundur.

Bu tip modellerde, r konumundaki nöron popülasyonu ile r konumundaki nöron popülasyonu arasındaki yol bağlantısı 

 

r,r  rr ₂ şeklinde Euclid uzaklığı ile gösterilir.

Bu modelde; J

 

x,y , x noktasındaki nöron ile y noktasındaki nöron arasındaki bağlantıyı gösteren çift ve  periyodik fonksiyondur. Bir boyutlu modelde,

(35)

27

 

_

 x,y Dc xy gecikme teriminde, sinyalin sinapstan geçiş süresi olan D ile ve sinyalin akson boyunca iletilme süresi olan cxy yer almaktadır. Burada c ile yayılma hızının tersi gösterilmektedir. İletinin, üzerinde yayıldığı aksonlar düz doğrular olarak kabul edilmiştir. Ayrıca gecikme fonksiyonu  periyodiktir (Veltz, 2013).

4.1.1. Tek nöron popülasyonu için uygulama

Bu bölümde yapılan çalışma; tanıtılan sinir sistemi modelinin tek bir nöron popülasyonu için olan şeklinin hangi durumlarda kararlı davranış göstermiş olduğunun araştırılması olarak özetlenebilir.

Denklem (4.1) ile verilen modeli tek nöron popülasyonu için

    2 , 2   aralığında

periyodik sınır koşulu ile birlikte ele alalım (Veltz, 2013).

 













 

   

 







_ _             _



 2 , 2 , 0 , , , , 0 , , , , max 0 2 2 0         x t t x t x V t t x I dy y x t y V S y x J t x V l dt d ext (4.2)

Bu denklemin V 0 komşuluğunda lineerleştirilmiş hali aşağıda verilmiştir (Veltz,

2013).

 

_









           _ 2 2 1 , ,    s J x y U y t x y dy t x U l dt d (4.3) Gecikme terimi 

  

x,y  xy



Dcxy_ ve 2 max   Dc olarak

(36)

28

 

_





 

    _ _   2 2 1 0     _  U x lU x s e D J x y e cx y U y dy elde edilir.

Sabit gecikme terimi olarak maksimum gecikme içeren denklem için kararlılık analizi yapacağız. Bu durumda  _max kabul edersek karakteristik denklem



  

_



  

  _ _   2 2 1 0      lU x s e J x y U y dy (4.4) şekline gelir.

Bu denklemi sağlayan U

 

x fonksiyonları cos

 

2nx ve sin

 

2nx fonksiyonlarıdır (Veltz, 2013).  karakteristik değerleri için ele alacağımız denklem





_

   

  _   2 2 1 cos 2 0      l s e J y ny dy (4.5)

olur. J

 

x fonksiyonu çift ve  periyodik fonksiyon olduğu için integral ile belirtilen ifade J

 

x fonksiyonu için Fourier katsayısıdır. Bu katsayıyı

   



  2 2 2 cos  J y ny dy

J_n ile gösterelim. Karakteristik denklem



_nl



s₁en J_n0

haline gelir. Genelliği bozmadan _n ve J_n J alalım ve karakteristik denklemi kullanarak kararlılık analizi yapalım.

 

(37)

29



 i l



s₁ei J 0

bulunur ve bu denklem için reel ve sanal kısımlar aşağıda verilmiştir.



l



s₁e cos

 

 J0 (4.6)

 

0 sin 1   s e  J   (4.7)

D-parçalanmasında kullanacağımız eğrileri belirlemek için  0 alırsak

 

0 cos 1   s J l   (4.8)

 

0 sin 1   s  J  (4.9)

denklemlerini elde ederiz. Buradan itibaren K s₁ olarak adlandıralım. Kararlılık analizini

 

l,K parametre uzayında yapacağımız için



,l,K



lK cos

 

J0

P  (4.10)



,l,K



 K sin

 

J 0

R   (4.11)

ifadelerini kullanacağız. Denklem (4.10) ve (4.11) den hareketle  k ve J 0 için

 

   sin cos  l ve

 

J K   sin  (4.12)

ile verilen  parametresine bağlı ifadeler ile  0 için Denklem (4.8) den elde edilen

0   JK

l (4.13)

singüler doğrusu D-parçalanmasının sınırlarını oluşturacaktır. Eğer Bağıntı (4.12) için  0 iken limit alınırsa

(38)

30   1 lim 0   l ve  K J 1 lim 0  

elde edilir. Böylece _

       J 1 , 1

noktası Bağıntı (4.12) ile verilen eğriler ve Denklem

(4.13) ile verilen singüler doğru için kesişim noktasıdır.

Kararlılık analizi için Denklem (4.6) ve Denklem (4.7) yi tekrar göz önüne alarak aşağıdaki teoremi verebiliriz.

Teorem 4.1: Denklem (4.3) ile verilen sistem K 0 koşulu altında l0 için asimptotik kararlıdır.

İspat : K 0 koşulu altında l0 için 0 olacaktır ve sistem asimptotik kararlıdır denir.

 

l,K parametre uzayında Sistem (4.3) l ekseninin sağ tarafında kararlı olduğunu gösterdik. Diğer bölgelerdeki kararlılık analizi için Denklem (4.6) ve Denklem (4.7) nin K ya göre kısmi türevleri alınmalıdır.

D-eğrileri boyunca  0 olduğu için Denklem (4.6) ifadesinin türevinde 0 alınırsa,

 



1 cos







sin

 





 Jcos

 



K K J K        (4.14)

elde edilir. Yine (4.7) ifadesinin türevini alıp 0  yazılırsa,

 



sin







1 cos

 





 Jsin

 



K J K K J K         (4.15)

elde edilir. Denklem (4.14) – (4.15) sisteminden,

 



 



 









 

       2 2 2 sin cos 1 sin cos 1 cos J K A A J K J J K J K _ _      (4.16)

(39)

31

bulunur. Tek nöron popülasyonu için verilen sistemin kararlılığını D eğrilerinin komşuluğunda inceleyeceğiz. Teorem 4.2 :  0 için   J K J K    

1 ifadesi için aşağıdaki durumlar oluşmaktadır:

Durum 1 : J 0 olsun.

1a ) Eğer 1KJ ise K artarken karakteristik denklemin bir kökü orijin üzerinden geçerek sanal eksenin solundan sağına doğru hareket edecektir. Dolayısıyla kararlı olan kök kararsız duruma geçecektir.

1b ) Eğer KJ 1       _ _   J K

K 0, 1 ise K artarken karakteristik denklemin bir kökü orijin üzerinden geçerek sanal eksenin sağından soluna doğru hareket edecektir. Dolayısıyla kararsız olan kök kararlı duruma geçecektir.

Durum 2 : J 0 olsun.

1a ) Eğer 1KJ ise K artarken karakteristik denklemin bir kökü orijin üzerinden geçerek sanal eksenin sağından soluna doğru hareket edecektir. Dolayısıyla kararsız olan kök kararlı duruma geçecektir.

1b ) Eğer KJ 1 ise K artarken karakteristik denklemin bir kökü orijin

üzerinden geçerek sanal eksenin solundan sağına doğru hareket edecektir. Dolayısıyla kararlı olan kök kararsız duruma geçecektir.

İspat : K  

nin işareti incelendiğinde yukarıda bahsedilen durumların varlığı açıktır.

Teorem 4.3 :  0 için

 



 





 



 



 





 

       2 2 2 sin cos 1 cos 1 cos 1 cos J K J K J J K J K _ _       ifadesi

için aşağıdaki durumlar oluşmaktadır:

(40)

32

1a ) Eğer 0KJ 1 ve cos

 

 0 ise K artarken karakteristik denklemin

kompleks eşlenik olan iki kökü sanal eksenin sağından soluna doğru hareket eder. Böylece iki kararsız kök kararlı hale geçer. Eğer cos

 

 0 ise

 

     2 2 cos cos sin J

K   koşulu sağlanmak şartıyla K artarken karakteristik

denklemin kompleks eşlenik olan iki kökü sanal eksenin solundan sağına doğru hareket eder. Böylece iki kararlı kök kararsız hale geçer. Yine söz konusu şart altında

 

0

cos  ise karakteristik denklemin kompleks eşlenik olan iki kökü sanal eksenin sağından soluna doğru hareket eder. Böylece iki kararsız kök kararlı hale geçer.

1b ) KJ 1 olsun. Eğer cos

 

kompleks eşlenik olan iki kökü sanal eksenin solundan sağına doğru hareket eder. Böylece iki kararlı kök kararsız hale geçer. Eğer cos

 

 0 ise

 

     2 2 cos cos sin J

K   koşulu sağlanmak şartıyla karakteristik denklemin

kompleks eşlenik olan iki kökü sanal eksenin solundan sağına doğru hareket eder. Böylece iki kararlı kök kararsız hale geçer.

1c ) 1KJ 0 olsun. Eğer cos

 

 0 ise K artarken karakteristik denklemin kompleks eşlenik olan iki kökü sanal eksenin sağından soluna doğru hareket eder. Böylece iki kararsız kök kararlı hale geçer.

1d ) KJ 1 olsun. Eğer cos

 

 0 ise

 

     2 2 cos cos sin J

K   koşulu sağlanmak şartıyla karakteristik denklemin

 

 0 ise

(41)

33

 

     2 2 cos cos sin J

Durum 2: J 0 olsun.

2a ) Eğer 0KJ 1 ve cos

 

 0 ise

 

     2 2 cos cos sin J

K   koşulu sağlanmak şartıyla K artarken karakteristik

denklemin kompleks eşlenik olan iki kökü sanal eksenin solundan sağına doğru hareket eder. Böylece iki kararlı kök kararsız hale geçer.

2b ) KJ 1 olsun. Eğer cos

 

 0 ise

 

     2 2 cos cos sin J

2c ) 1KJ 0 olsun. Eğer cos

 

 0 ise K artarken karakteristik denklemin

 

 0 ise

 

     2 2 cos cos sin J

K   koşulu sağlanmak şartıyla karakteristik denklemin

(42)

34

2d ) KJ 1 olsun. K artarken karakteristik denklemin kompleks eşlenik olan iki

kökü sanal eksenin solundan sağına doğru hareket eder. Böylece iki kararlı kök kararsız hale geçer.

İspat : K  

nin işareti incelendiğinde yukarıda bahsedilen durumların varlığı açıktır.

Belirlediğimiz D-eğrileri ve singüler doğrunun birbirlerine göre durumları incelenebilir (Huang ve Vandewalle, 2004). Şimdi  parametresine bağlı olarak elde ettiğimiz D-eğrilerinin bazı özelliklerini inceleyelim ve Sistem (4.3) ün asimptotik kararlı olduğu bölgeyi belirleyelim.

Denklem (4.12) ile parametrik olarak vermiş olduğumuz D-eğrileri,   olarak alındığında M_n



n,



n1







, ,...n0,1,2 aralıklarında çizilmektedir. Ayrıca bu eğriler için aşağıda verilen lemmalar geçerlidir.

Lemma 4.1: C_n(J)eğrileri birbirini kesmez.

İspat: Herhangi iki D-eğrisinin kesiştiğini varsayalım. Kabul edelim ki b a M M_a  _b   , ₂ , 1 

 için l(₁)l(₂) ve K(₁)K(₂) olsun. Bu iki eşitlik bize cos₁cos₂ eşitliğini verir. Buradan ₁₂ bulunur. Dolayısıyla

) (J

C_n eğrileri kesişmemektedir.

Lemma 4.2 : C_n(J)eğrileri l0 doğrusunu yalnızca bir kez keser ve bu doğruyu kestikleri noktanın K koordinatları C₂_n(J) eğrileri için n arttıkça azalmakta;

) ( 1

2 J

C _n_ eğrileri için n arttıkça artmaktadır.

İspat: Bağıntı (4.12) göz önüne alındığında l0 durumu için kökler   e

2 , ,... 2 , 1 , 0 

e dir. Bu  değerleri için tek ve çift n ler göz önüne alınıp eğrilerin l0 doğrusunu kestiği K koordinatları hesaplanırsa istenilen sonuç elde edilir.

(43)

35

 

       (2n 1) l lim

 

       (2n 1) l lim

 

       (2n 1) K lim

 

       (2n 1) K lim

 

      2n K lim

 

      2n K lim

 

      2n l lim

 

      2n l lim dir.

İspat : Bağıntı (4.12) den elde edilir.

Lemma 4.4 : C eğrisi ve ₀ C_* singüler doğrusu yalnızca        J   1 , 1 limit noktasında

kesişir. Fakat n0 için çizilen C_n(J) eğrileri C_*(J) singüler doğrusunu hiçbir noktada kesmez. İspat :

 

   1 lim 0    l ve  K

 

 J 1 lim 0  

 limitleri yardımıyla C eğrisi ve 0 C* singüler doğrusunun kesişim noktası 

      J   1 , 1

olarak bulunur. Bağıntı (4.12) de

verilen ifade C_*(J) singüler doğrusunun denkleminde yazılırsa



1 cos



0 sin   

 