Hessenberg ve tridiagonal matrislerin permanentleri ile bazı özel sayı dizileri arasındaki ilişkiler

(1)

T.C.

SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

HESSENBERG VE TRĠDĠAGONAL MATRĠSLERĠN PERMANENTLERĠ ĠLE BAZI

ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠLER

Ġbrahim AKTAġ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalı

(2)

TEZ KABUL VE ONAYI

İbrahim AKTAŞ tarafından hazırlanan “Hessenberg ve Tridiagonal Matrislerin Permanentleri ile Bazı Özel Sayı Dizileri Arasındaki İlişkiler” adlı tez çalışması 20/08/13 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı‟nda YÜKSEK LİSANS tezi olarak kabul edilmiştir.

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

Prof. Dr. Aşır GENÇ FBE Müdürü

(3)

TEZ BĠLDĠRĠMĠ

Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

DECLARATION PAGE

I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work.

(4)

iv

ÖZET

YÜKSEK LĠSANS TEZĠ

HESSENBERG VE TRĠDĠAGONAL MATRĠSLERĠN PERMANENTLERĠ ĠLE BAZI ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠLER

Ġbrahim AKTAġ

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE 2013, 51 Sayfa

Jüri

Prof. Dr. AĢır GENÇ Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE Yrd. Doç. Dr. Necati TAġKARA

Sayılar teorisi ve matris teorisi, matematik bilim dalının zengin alt bilim dallarındandır. Matrislerle ilgili pek çok kavram günümüzde birçok mühendislik, fizik, istatistik, ekonomi problemlerinin çözümünde karşımıza çıkmaktadır. Özel sayı dizilerinin bazı ilginç özellikleri müzik, doğa, geometrik şekiller, hatta bazı canlıların vücut yapısındaki ilginç oranlamalarda karşımıza çıkabilmektedir.

Bu çalışmada ilk olarak özel sayı dizilerinden bazılarının temel tanım ve özellikleri verilmiştir. Daha sonra matris teorisinde ve diğer bilim dallarında sıkça kullanılan matrislerle ilgili bazı kavramlar açıklanmıştır. Çalışmanın asıl kısmında değişik yöntem ve matrislerle elde edilen bazı özel sayı dizileri, yeni tanımlanan Hessenberg ve Tridiagonal tipteki matrislerle yeniden elde edilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Contraction Metodu, Determinant, Hadamard Çarpım, Hessenberg Matris, Permanent, Tridiagonal Matris.

(5)

v

ABSTRACT MS THESIS

RELATIONSHIPS BETWEEN SOME SPECIAL NUMBER SEQUENCES WITH THE PERMANENTS OF HESSENBERG AND TRIDIAGONAL MATRICES

Ġbrahim AKTAġ

THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY

THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS

Advisor: Asst. Prof. Dr. Hasan KÖSE

2013, 51 Pages

Jury

Prof. Dr. AĢır GENÇ Asst. Prof. Dr. Hasan KÖSE Asst. Prof. Dr. Necati TAġKARA

Number theory and matrix theory are the very contentful branches of mathematics. The using of very much concepts related with matrices nowadays are discussed about solving of many physics, economy, statistic, engineering problems. We can encounter some interesting properties of special number sequences about music, nature, geometric figures, moreover interesting ratings in anatomy of some livings.

In this study, initially, basic definition and properties of some special number sequences is given. Then some concepts related with matrices which are commonly used at matrix theory and other science branches are explained. In essential part of the study, some special number sequences which are given with varied methods and matrices again are obtained from newly defined Hessenberg and Tridiagonal matrices.

Keywords: Contraction Method, Determinant, Hadamard Product, Hessenberg Matrix, Permanent, Tridiagonal Matrix

(6)

vi

ÖNSÖZ

Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik bölümü öğretim üyesi Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE danışmanlığında yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü‟ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.

Çalışmamız beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm, “Giriş ve Kaynak Araştırması” bölümü olup bu bölümde çalışma konusu ile ilgili literatürden bahsedilmiştir.

İkinci bölümde, bazı özel sayı dizilerinin tanımı ve temel özellikleri açıklanmıştır.

Üçüncü bölümde, matris teoride sıklıkla kullanılan bazı kavramların tanımı ve temel özellikleri verilmiştir. Ayrıca matrislerin permanentlerinin hesabına ilişkin bir yöntem açıklanmıştır.

Dördüncü bölüm, çalışmanın asıl kısmı olup daha önceden farklı matrisler veya yöntemler kullanılarak elde edilen bazı özel sayı dizileri Hessenberg ve Tridiagonal tipte tanımlanan yeni matrisler yoluyla yeniden elde edilmiştir.

Beşinci bölüm sonuç ve önerilere ayrılmıştır.

Çalışmalarım boyunca katkılarını esirgemeyen değerli hocalarım Matematik bölümü öğretim üyesi Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE ve Arş. Gör. Fatih YILMAZ‟a teşekkürlerimi sunarım.

Ġbrahim AKTAġ KONYA-2013

(7)

vii ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ... iv ABSTRACT ... v ÖNSÖZ ... vi ĠÇĠNDEKĠLER ... vii SĠMGELER VE KISALTMALAR ... ix 1. GĠRĠġ VE KAYNAK ARAġTIRMASI ... 1

2.ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ VE BAZI ÖZELLĠKLERĠ ... 7

2.1.Fibonacci Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 8

2.2.Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 10

2.3.Pell Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 12

2.4.Pell-Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 13

2.5.Perrin Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 14

2.6.Padovan Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 15

2.7.Tribonacci Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 16

2.8.Jacobsthal Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 17

2.9.Jacobsthal-Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri ... 18

3. PERMANENT ve DETERMĠNANT FONKSĠYONLARI ... 20

3.1 Matrislerle İlgili Bazı Kavramlar ... 20

3.1.1. Permütasyon Matrisi ... 20

3.1.2. Hessenberg Matrisler ... 21

3.1.3. Tridiagonal Matrisler ... 21

3.1.4. İki Matrisin Hadamard Çarpımı ... 21

3.2. Permütasyonlar ... 22

3.2.1. İnversiyon ... 23

3.2.2. Permütasyonun İşareti ... 24

(8)

viii

3.3.Permanent ve Determinant Fonksiyonları ... 24

3.3.1 Permanent ... 24

3.3.2 Determinant ... 25

3.4 Contraction Metodu ... 26

4. HESSENBERG VE TRĠDĠAGONAL TĠPTEKĠ MATRĠSLERLE BAZI ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠLER ... 28

5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ... 47

5.1 Sonuçlar ... 47

5.2 Öneriler ... 47

KAYNAKLAR ... 48

(9)

ix

SĠMGELER VE KISALTMALAR Simgeler

-inci Fibonacci sayısı -inci Lucas sayısı -inci Pell sayısı

-inci Pell-Lucas sayısı -inci Perrin sayısı -inci Padovan sayısı -inci Tribonacci sayısı -inci Jacobsthal sayısı -inci Jacobsthal-Lucas sayısı

Kısaltmalar

( ) matrisinin determinantı ( ) matrisinin permanenti

(10)

1. GĠRĠġ VE KAYNAK ARAġTIRMASI

Bilim dünyasındaki gelişmeler diğer bilim dallarında sıklıkla kullanılan özel tipteki matrisler ve özel sayı dizileri arasındaki ilişkileri açıklama ihtiyacını ortaya çıkarmıştır. Özel tipteki matrisler matematik biliminin dışında fizik ve mühendisliğin hemen her dalında karşımıza çıkmaktadır. Diğer taraftan bazı özel sayı dizilerinin özellikleri müzik, sanat, doğa, hatta insan ve hayvan vücutlarındaki ilginç oranlamalarda karşımıza çıkmaktadır. Günümüze kadar matrisler ve özel sayı dizileri ile ilgili birçok araştırma yapılmış ve ilginç sonuçlar elde edilmiştir. Bu çalışmanın amacı Hessenberg ve Tridiagonal tipte matrisler tanımlayarak bu matrislerle Perrin, Padovan, Tribonacci, Pell-Lucas, Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayı dizileri arasında yeni ilişkiler elde etmektir.

Çalışma beş bölümden oluşmakta olup ilk bölüm, “Giriş ve Kaynak Araştırması”na ayrılmıştır. İkinci bölümde, özel sayı dizilerinin tanımları ve bazı özellikleri verilmiştir. Üçüncü bölümde, matrislerle ilgili bazı kavramların tanımı ve bazı temel özellikleri verilmiştir. Ayrıca matrislerin permanentlerinin hesabına ilişkin bir metot açıklanmıştır. Dördüncü bölümde, bazı yeni Hessenberg ve Tridiagonal tipte matrisler tanımlanmış, bu matrislerin permanentleri ile yukarıda bahsedilen sayı dizileri elde edilmiştir. Son bölüm ise sonuç ve önerilere ayrılmıştır.

Şimdi ilk olarak Hessenberg ve Tridiagonal tipteki matrisler ile bazı özel sayı dizileri arasındaki ilişkiler üzerine yapılmış olan çalışmalar hakkında kısa bilgiler verelim.

D. H. Lehmer (1975), ”Fibonacci and related sequences in periodic tridiagonal

matrices” adlı çalışmasında reel yada komplex sayılar olmak üzere sırasıyla alt köşegen, esas köşegen ve üst köşegen elemanları * + * + * + olan Tridiagonal tipteki matrislerin permanentleri ile sırasıyla alt köşegen, esas köşegen ve üst köşegen elemanları * + * + * + olan Tridiagonal tipteki matrislerin determinantlarının eşit olduğunu göstermiştir.

J. R. Silvester (1979), “Fibonacci properties by matrix methods” adlı çalışmasında

0 1 matrisini kullanarak Fibonacci sayıları için [

]

bağıntısının varlığını göstermiştir.

(11)

0

1 matrisini kullanarak Pell sayıları için [ ] bağıntısının

varlığını göstermiştir.

G. Y. Lee (2000), “k-lucas numbers and associated bipartite graphs” adlı çalışmasında

[ _]

( )

şeklinde tanımladığı Hessenberg tipteki matrisi ile Lucas sayıları arasındaki ilişkileri vermiştir.

N. D. Cahill, J.R. D’Ericco, D. A. Narayan, J. Y. Narayan (2002), “Fibonacci

determinants” adlı çalışmasında alt Hessenberg tipteki boyutlu

[ ] ( )

matrisinin determinantı için olmak üzere

( ) ( ) ∑ (( ) ∏ ( ) ) ( ) eşitliğini vermiştir.

A. A. Öcal, N. Tuğlu, E. AltıniĢik (2005), “On the representation of k-generalized

Fibonacci and Lucas numbers” adlı çalışmalarında k-Genelleştirilmiş Fibonacci ve

Lucas dizilerinin determinant temsillerini vermişlerdir.

E. Kılıç ve D. TaĢçı (2007), “On the permanents of some tridiagonal matrices with

(12)

tipteki bazı matrislerle Fibonacci ve Negatif İndisli Lucas sayıları arasındaki ilişkileri verdi. Ayrıca; ( ) [ ] ( ) ve ( ) [ ] ( ) matrisleri için ( ) ( ) ( ) ( ) eşitliğini vermişlerdir.

F. Köken ve D. Bozkurt (2008a), “On the Jacobsthal numbers by matrix methods”

adlı çalışmalarında Jacobsthal-F ve Jacobsthal-M adını verdikleri iki matris yardımıyla Jacobsthal sayıların Binet benzeri bir formülü ile bazı eşitlikler elde etmişlerdir.

E. Kılıç ve D. TaĢçı (2008), “On families of bipartite graphs associated with sums of

Fibonacci and Lucas numbers” adlı çalışmalarında | | için olmak üzere

boyutlu tridiagonal ( ) [ ] ve için olmak üzere ( ) [ ] matrislerini tanımlayarak

(13)

[ ] [ ] ( )

matrisi ile Fibonacci sayılarının toplamları arasındaki ilişkileri elde etmişlerdir. Ayrıca olmak üzere ve | | için ve diğer durumlar için

olacak şekilde tanımlanan boyutlu ( )

[ ]

[ _]

( )

matrisi ile Lucas sayılarının toplamları arasındaki ilişkileri vermişlerdir. Diğer taraftan , olmak üzere , | | iken ve diğer durumlar

için olacak şekilde ( ) [ ] ile , için

ve diğer durumlar için olacak şekilde ( ) [ ]

matrislerini tanımladılar ve

[ ]

[ _]

( )

matrisi ile Lucas sayılarının toplamları arasındaki ilişkileri vermişlerdir.

F. Köken ve D. Bozkurt (2008b), “On the Jacobsthal-Lucas numbers by matrix

(14)

yardımıyla Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayıları için Binet benzeri formül ve yeni eşitlikler elde etmişlerdir.

E. Kılıç ve D. TaĢçı (2009), “On the second order linear recurrences by tridiagonal

matrices” adlı çalışmalarında Tridiagonal matrislerin determinant ve permanentleri için

basamaktan lineer rekürans bağıntısı vermişlerdir.

E. Kılıç ve D. TaĢçı (2010), “Negatively subscripted Fibonacci and Lucas numbers and

their complex factorizations” adlı çalışmalarında Fibonacci ve Lucas sayı dizilerinin

rekürans bağıntılarından hareketle elde edilen negatif indisli Fibonacci ve negatif indisli

Lucas sayılarının Tridiagonal tipte ( )-matrisleri ile ilişkilerini elde ettiler. Diğer

taraftan ( )-matrisi olan

[ ] ( )

matrisi ile boyutlu bir matrisinin hadamard çarpımı olan matrisi için

( ) ( )

eşitliğini vermişlerdir.

F. Yılmaz ve D. Bozkurt (2011), “Hessenberg matrices and the Pell and Perrin

numbers” adlı çalışmalarında bir tek tamsayı olmak üzerte boyutlu üst Hessenberg tipteki [ ] ( )

(15)

[ _]

( )

matrisinin permanent ve determinantları ile Pell ve Perrin sayıları arasındaki ilişkileri vermişlerdir.

F. Yılmaz ve D. Bozkurt (2012a), “On the Pell sequences and Hessenberg matrices”

adlı çalışmalarında üst Hessenberg tipteki bir matrisle Pell sayılarının toplamları arasındaki bir ilişkiyi vermiştir.

H.C. Li (2012), “On Fibonacci-Hessenberg matrices and the Pell and Perrin numbers”

adlı çalışmasında Fibonacci-Hessenberg matrisler için yeni sonuçlar verdi. Ayrıca ( )‟deki ve ( )‟teki matrislerinin determinantları ile Pell ve Perrin sayıları arasındaki ilişkilere alternatif ispatlar vermiştir.

F. Yılmaz ve D. Bozkurt (2012b), “The Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas sequences

associated with pseude graphs” adlı çalışmalarında Tridiagonal tipte bazı matrisler

tanımlayarak bu matrislerle Jacobsthal ve Jacobsthal-Lucas sayıları arasındaki ilişkileri göstermişlerdir.

F. Yılmaz ve D. Bozkurt (2013), “On the Fibonacci and Lucas numbers, their sums

and permanents of one type of Hessenberg matrices” adlı çalışmada alt Hesssenberg

tipte bazı matrisler tanımlayarak bu matrislerin Fibonacci ve Lucas sayıları ile onların toplamaları arasındaki ilişkileri vermişlerdir.

(16)

2.ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ VE BAZI ÖZELLĠKLERĠ

12. yüzyılın sonlarında İtalya‟nın Pisa kentinde doğduğu düşünülen Leonardo Fibonacci 1202 yılında yazdığı Liber Abaci adlı eserinde Fibonacci sayıları adıyla anılan sayıları tanıtmıştır.

Leonardo Fibonacci kitabında da bahsettiği gibi söz konusu sayıları tavşanların üremesini konu alan ve günümüze kadar “tavşan problemi” olarak gelmiş olan bir problemden hareketle literatüre kazandırmıştır. Söz konusu problem ergin hale gelmiş bir tavşan çiftinin her ay bir çift yavru doğurduğunu ve yeni doğan her çiftin doğumundan iki ay sonra yeni bir çift tavşan doğurması ile yıl içinde tavşan ölümü olmaması kabulü altında bir yılın sonunda kaç tavşan çifti olacağı sorusuna yanıt aramıştır. Problemin çözümü için aylara göre tavşan çifti sayısını gösteren aşağıdaki tabloyu verebiliriz. Tablo 1 Birey/Aylar O Ş M N M H T A E E K A Yavrular 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Erginler 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 Toplam 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Söz konusu sayılar sadece tavşanların üremesinde ki bu problemde değil günümüzde doğa içinde birçok yerde karşımıza çıkmaktadır. Bu nedenledir ki Fibonacci sayılarına olan ilgi gün geçtikçe artmakta ve bunun sonucu olarak bilim adamlarının bu sayılarla ilgili çalışmaları devam etmektedir.

Tablo 1‟den de anlaşılabileceği gibi herhangi bir Fibonacci sayısı kendinden önceki son iki sayının toplamı şeklinde ifade edilebilmektedir. Bu ilişki ışığında bilim adamları birçok çalışma yapmış ve neticede Fibonacci sayıları ile ilgili birçok önemli sonuçlar elde etmişlerdir. Aynı zaman da benzer kabuller altında yeni sayı dizileri tanımlamışlar ve bu sayı dizileri ve diğer bilim dalları arasında ilişkiler elde etmeye çalışmışlardır.

Fibonacci sayıları ile ilgili elde edilen önemli bir sonuç şu şekildedir. Ardışık herhangi iki Fibonacci sayısının oranı 1.61803…sayısına yakınsamaktadır. Bu sayı günümüzde “Altın Oran” olarak anılmakta olup bilim ve sanat dünyasında güzel sonuçlar vermektedir. Hatta insan vücudu ile ilgili yapılmış bazı çalışmalarda

(17)

vücudumuzdaki bazı oranların bu sayıya yakınsadığı sonucu elde edilmiştir (Koshy, 2001).

2.1.Fibonacci Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri

ve için

( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Fibonacci Sayı Dizisi denir. Bu sayı dizisinin her bir elemanına da bir Fibonacci Sayısı denir. Burada -inci Fibonacci sayısını göstermektedir.

ve sayıları denkleminin kökleri olmak üzere Fibonacci sayıları,

( )

bağıntısından da elde edilebilir. Bu bağıntı Fibonacci sayı dizisi için Binet formülü olarak bilinir. (Koshy, 2001)

Fibonacci dizisinin ilk birkaç terimi Tablo 2 de verilmiştir.

Tablo 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 Diğer taraftan; ve için ( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Negatif İndisli Fibonacci Sayı Dizisi denir. Bu dizinin bazı terimleri Tablo 3‟te gösterilmektedir (Kılıç ve Taşçı, 2010).

(18)

Tablo 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 -1 2 -3 5 -8 13 -21 34 -55

; -inci Fibonacci sayısını göstermek üzere, Fibonacci sayı dizisine ait bazı özellikler aşağıda sıralanmıştır. ) ∑ ( ) ) ∑ ( ) ) ∑ ( ) ) ∑ ( ) ) olmak üzere, ( ) ( ) ) 0 1 [ ] ( ) ) ( ) ( ) ) olmak üzere

(19)

( )

dir.

2.2.Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri

ve için

( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Lucas Sayı Dizisi denir. Bu sayı dizisinin her bir elemanına da bir Lucas Sayısı denir. Burada -inci Lucas sayısını göstermektedir.

ve sayıları denkleminin kökleri olmak üzere Lucas sayıları,

( )

bağıntısından da elde edilebilir (Koshy, 2001).

Lucas sayı dizisinin ilk birkaç terimi Tablo 4‟te gösterilmektedir.

Tablo 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 Diğer taraftan; ve için ( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Negatif İndisli Lucas Sayı Dizisi denir (Kılıç ve Taşçı, 2010).

(20)

Bu sayı dizisinin bazı terimleri Tablo 5‟te gösterilmektedir.

Tablo 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 -1 3 -4 7 -11 18 -29 47 -76 123

-inci Lucas sayısını göstermek üzere, Lucas sayı dizisine ait bazı özellikler aşağıda sıralanmıştır. ) ∑ ( ) ) ∑ ( ) ) ∑ ( ) ) ∑ ( ) ) olmak üzere, ( ) ( ) ) ( ) _{( )} dir.

(21)

2.3.Pell Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri

ve için

( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Pell Sayı Dizisi denir. Bu sayı dizisinin her bir elemanına da bir Pell Sayısı denir. Burada -inci Pell sayısını göstermektedir (Yılmaz ve Bozkurt, 2011).

denkleminin kökleri √ sayıları olup Pell sayıları,

( √ ) ( √ )

√ ( )

bağıntısından da elde edilir (Anonymous, 2013b).

Pell sayı dizisinin ilk birkaç terimi Tablo 6‟da gösterilmektedir.

Tablo 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378

-inci Pell sayısını göstermek üzere, Pell sayı dizisine ait bazı özellikler aşağıda sıralanmıştır.

) ∑

_{( )}

2) 0 1 matrisi ve olmak üzere

[

(22)

) için

( ) ( )

) için

( )

dir.

2.4.Pell-Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri

ve için

( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Pell-Lucas Sayı Dizisi denir. n-inci Pell-Lucas sayısını göstermektedir (Anonymous, 2013b).

denkleminin kökleri √ sayıları olup Pell-Lucas sayıları,

( √ ) ( √ ) ( )

bağıntısından da elde edilebilmektedir (Anonymous, 2013b). Dizinin ilk birkaç terimi Tablo 7‟de gösterilmektedir.

Tablo 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 6 14 34 82 198 478 1154 2786 6726

n-inci Pell-Lucas sayısını göstermek üzere, Pell-Lucas sayı dizisi için aşağıdaki özellikler sağlanmaktadır.

(23)

) 0 1 ( )[ ] ( ) ) ( ( ) ) ( ) dir.

2.5.Perrin Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri

ve için

( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Perrin Sayı Dizisi denir. Bu sayı dizisinin her bir elemanına da bir Perrin Sayısı denir. Burada n-inci Perrin sayısını göstermektedir (Yılmaz, Bozkurt, 2011).

denkleminin kökleri olmak üzere Perrin sayılarını

( )

bağıntısı yardımıyla da elde edebiliriz (Anonymous, 2013c). Perrin sayı dizisinin ilk birkaç terimi Tablo 8‟de gösterilmektedir.

Tablo 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 0 2 3 2 5 5 7 10 12 17

n-inci Perrin sayısı olmak üzere Perrin sayı dizisi aşağıdaki bağıntıyı sağlamaktadır.

) [

(24)

[

] ( )

dir.

2.6.Padovan Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri

ve için

( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Padovan Sayı Dizisi denir. Burada n-inci Padovan sayısını göstermektedir.

=0 denkleminin kökleri olmak üzere Padovan sayılarını

( ) ( ) ( ) ( )

eşitliğinden de elde edebiliriz (Anonymous, 2013d). Dizinin ilk birkaç terimi Tablo 9‟da verilmiştir.

Tablo 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12

n-inci Padovan sayısını göstermek üzere, Padovan sayı dizisine ait bazı özellikler aşağıda sıralanmıştır. ) ∑ ( ) ) ∑ ( )

(25)

) ∑ ( ) ) ∑ ( ) dir.

2.7.Tribonacci Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri

ve için

( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Tribonacci Sayı Dizisi denir. Dizinin her bir elemanına da bir Tribonacci sayısı denir. Burada n-inci Tribonacci sayısını göstermektedir (Anonymous, 2013e).

denkleminin kökleri olmak üzere Tribonacci dizisi

( )

bağıntısından da elde edilebilir (Anonymous, 2013e). Dizinin ilk birkaç terimi Tablo 10‟da gösterilmektedir.

Tablo 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1 1 2 4 7 13 24 44 81

n-inci Tribonacci sayısı olmak üzere, Tribonacci sayıları aşağıdaki bağıntıları sağlamaktadır.

) [

(26)

[

] ( )

) olmak üzere için

_{( )} _{( )} _{( )} ( , 2008)

dir.

2.8.Jacobsthal Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri

ve için

( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Jacobsthal Sayı Dizisi denir. n-inci Jacobsthal sayısını göstermek üzere Jacobsthal sayı dizisini

( ( ) ) ( )

bağıntısından da elde edebiliriz (Köken ve Bozkurt, 2008a). Dizinin ilk birkaç terimi Tablo 11‟de gösterilmektedir.

Tablo 11

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341

n-inci Jacobsthal sayısını göstermek üzere, Jacobsthal sayı dizisinin bazı özellikleri aşağıda sıralanmıştır.

) 0

(27)

[ ] ( ) ) ( ) _{( )} ) ; ∑ ( ) ( ) ) 0 1 matrisi için, [ ] ( ) ) ( ) dir.

2.9.Jacobsthal-Lucas Sayı Dizisi ve Bazı Özellikleri

ve için

( )

rekürans bağıntısı ile tanımlanan sayı dizisine Jacobsthal-Lucas Sayı Dizisi denir. n-inci Jacobsthal-Lucas sayısını göstermek üzere Jacobsthal-Lucas sayı dizisini

( ( ) ) ( )

bağıntısından da elde edebiliriz (Köken ve Bozkurt, 2008b). Dizinin ilk birkaç terimi Tablo 12‟de gösterilmektedir.

(28)

Tablo 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 5 7 17 31 65 127 257 511 1025

n-inci Jacobsthal-Lucas sayısını göstermek üzere, Jacobsthal-Lucas dizisine ait bazı özellikler aşağıda sıralanmıştır.

) pozitif bir tek tamsayı olmak üzere 0

1 _[ ] ( ) ) ∑ ( ) ( ) ) ( ) ( ) dir.

(29)

3. PERMANENT ve DETERMĠNANT FONKSĠYONLARI

Bu bölümde ilk olarak bazı özel matrislerin tanımı ile matrislere ait bazı kavramlar verilecektir. Daha sonra permanent ve determinant fonksiyonları ile ilgili temel özellikler verilecektir. Son olarak ise matrislerin permanentlerinin hesabına ilişkin bir metot açıklanacaktır.

3.1 Matrislerle Ġlgili Bazı Kavramlar

3.1.1. Permütasyon Matrisi

Her bir satırında veya sütununda yalnız bir elemanı ve diğer bütün elemanları olan bir n-kare matrise denir. Böyle matrislerle çarpma; çarpanın satırlarında veya sütunlarında permütasyon etkisi yapar (Başar, 2012).

Örnek olarak,

[ ]

Matrisini sırası ile sol ve sağ taraftan

[ ]

permütasyon matrisi ile çarparsak;

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] sonuçları bulunur.

(30)

3.1.2. Hessenberg Matrisler

Bir cismi üzerindeki bir n-kare matrisi; iken ise yani,

[ ] ( )

tarzında ise bir üst Hessenberg matrisi diye adlandırılır. Bunun gibi; transpozu bir üst Hessenberg matrisi olan _matriside_{bir alt Hessenberg matrisi olarak bilinir}

(Başar, 2012).

3.1.3. Tridiagonal Matrisler

Hem alt ve hem de üst Hessenberg matrisi olan yani, asli köşegen ile ona alttan ve üstten paralel olan hatlar üzerinde bulunmayan bütün elemanları olan bir cismi üzerindeki bir n-kare matrisine Tridiagonal matris denir. Aşikar olarak bir

matrisi | | iken ise bir tridiagonal matristir. Yani, tridiagonal bir matrisi [ ] ( ) tarzındadır (Başar, 2012).

3.1.4. Ġki Matrisin Hadamard Çarpımı

(31)

[ ] ( )

çarpımına ile matrislerinin Hadamard Çarpımı denir (Bozkurt, Solak ve Türen, 2010).

3.2. Permütasyonlar

A boştan farklı bir küme olsun. A kümesinin herhangi bir permütasyonu „ya bir dönüşümdür. Yani, A kümesinden yine A kümesine tanımlanan her bir fonksiyona permütasyon denir.

* + kümesinin altındaki görüntüleri bu kümenin elemanlarının başka bir sıralamasından başka bir şey değildir. Bu sebeple herhangi bir permütasyonu A kümesinin elemanlarının iki satır halinde yazılması ile gösterilir. Buna göre birinci satırdaki her elemanın görüntüsü hemen aynı elemanın altına yazılır. Yani herhangi bir permütasyonu;

.₍ _{) (} _{) (} _{)/ ( )}

ile gösterilir.

* + kümesinin elemanları ile * + kümesinin elemanları birebir eşleşebileceğinden literatürde bir permütasyonu

(_{( ) ( ) ( )) ( )}

şeklinde gösterilir (Bozkurt, Solak ve Türen, 2010).

Örnek.3.2.1

* + kümesinin tüm permütasyonlarını bulunuz.

Çözüm:

(32)

123 132 213 231 312 321 olduğundan söz konusu dönüşümlerin tümü;

.

/ . / . / . / . / . /

şeklindedir. Bu küme üzerinde bu permütasyonların dışında başka bir dönüşüm tanımlanamaz.

Teorem 3.2.1 (Bozkurt, Solak ve Türen, 2010)

Birbirinden farklı elemanlı bir kümenin tüm farklı permütasyonlarının sayısı tanedir.

3.2.1. Ġnversiyon

olsun. ( ) ( ) oluyorsa ( ( ) ( )) ikilisine permütasyonunun bir inversiyonu denir (Sabuncuoğlu, 2008).

Örnek.3.2.2

ve .

/ olmak üzere permütasyonunun tüm inversiyonlarını bulunuz.

Çözüm:

( ( ) ( )) ( ) için olur. Yani ( ) ( ) olduğundan ( ) bir inversiyondur. Daha genel olarak 51432 sıralamasından tüm inversiyonlar

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(33)

3.2.2. Permütasyonun ĠĢareti

olmak üzere permütasyonunun tüm inversiyonlarının sayısı olsun. Bu durumda ( ) sayısına permütasyonunun işareti denir ve ( ) ile gösterilir. Dolayısıyla bir permütasyonda inversiyon sayısı tek ise işaret ( ) inversiyon sayısı çift ise işaret ( ) olacaktır (Sabuncuoğlu, 2008).

3.2.3. Tek ve Çift Permütasyon

İnversiyon sayısı tek olan permütasyonlara tek permütasyon, inversiyon sayısı çift olan permütasyonlara ise çift permütasyon denir (Sabuncuoğlu, 2008).

3.3.Permanent ve Determinant Fonksiyonları

Permanent kavramı ilk olarak 1812 yılında Binet ve Cauchy tarafından determinant teorisinin gelişim süreci içerisinde tanıtılmıştır. İlk çalışmalarda determinant ve permanent fonksiyonlarının özellikleri birlikte kullanılsa da zamanla permanent konusu determinanttan ayrılarak Muir tarafından bu isimle anılmaya başlanmıştır (Minc ve Marcus, 1984).

3.3.1 Permanent

[ ] boyutlu bir karesel matris olsun. matrisinin permanenti;

∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ∏ ( ) ( )

şeklinde tanımlanır. Burada ki toplam simetrik grubunun tüm permütasyonları üzerindendir (Yılmaz ve Bozkurt, 2011).

[ ] 0

(34)

0

1 ( )

dır.

3.3.2 Determinant

[ ] boyutlu bir karesel matris olsun. matrisinin determinantı;

∑ ( ) _{( )} _{( )} _{( )} ∑ ( ) ∏ _{( )} ( )

şeklinde tanımlanır. Burada ki toplam simetrik grubunun tüm permütasyonları üzerindendir.

Permanent ve determinant fonksiyonlarının tanımlarının birbirine benzer olması nedeniyle permanentlerin çoğu özelliği determinantın özelliklerine benzemektedir. Ancak tanımlar birbirine benzese de permanentler determinantların temel iki özelliğini taşımazlar. Bunlar “Çarpımsallık” özelliği ve matrisler üzerindeki bazı elementer işlemler altındaki “Değişmezlik” özelliğidir. (Yani bir satırın c katı başka satıra eklenirse permanent değeri değişir.)

Permanent fonksiyonu ile ilgili ilk çalışmalar Binet ve Cauchy tarafından yapılmasına rağmen devam eden süreçte Borchardt, Cayley ve Muir konu ile ilgili pek çok makale yayımlamıştır. Bu çalışmaların genelinde permanent ve determinantı birlikte içeren sonuçlar elde edilmiştir (Minc ve Marcus, 1984).

Teorem.3.3.1 (Minc ve Marcus,1984).

sırasıyla m-inci ve n-inci basamaktan permütasyon matrisleri, olmak üzere [ ] boyutlu bir matris olsun. Bu durumda;

( ) ( )

(35)

Teorem.3.3.2 (Minc ve Marcus, 1984)

[ ] boyutlu bir kare matris olsun. Bu taktirde;

( ) ( ) ( )

dır.

3.4 Contraction Metodu

Matris teoride karesel matrislerin permanent ve determinantlarının hesaplanması için çeşitli yöntemler geliştirilmiştir. Bir matrisin permanentinin hesabı çoğu zaman çok fazla işlem gerektirir. Özellikle yüksek mertebeli matrislerde analitik yollarla determinant veya permanent hesaplamak çok fazla zaman kaybına neden olmaktadır. Şimdi matrislerin permanentlerinin hesabında önemli bir yer tutan ve literatürde “Contraction” metodu olarak bilinen yöntemi açıklayalım ve metotla ilgili teoremi verelim.

, - satır vektörleri olan boyutlu bir matris olsun. matrisinin k-ıncı kolonu sıfırdan farklı iki eleman içersin. Bu durumda , -

matrisine -ıncı kolon üzerinden “Contractible” denir. Kabul edelim ki matrisi -ıncı kolon üzerinden contractible olsun. için olmak üzere matrisinde -inci satır yerine yazıp -ıncı kolon ile -inci satır silinirse elde edilen ( ) ( ) boyutlu matrisine matrisinin -inci ve -inci satırlara göre k-ıncı kolonu üzerinden bir “Contraction”ı denir. Eğer için olmak

üzere matrisi ıncı satır üzerinden contractible ise o zaman elde edilen ( ) matrisine matrisinin -inci ve -inci kolona göre ıncı satırı üzerinden bir

(36)

Teorem.3.4.1 (Brauldi ve Gibson, 1977)

negatif olmayan bir matris, de matrisinin bir “Contraction”ı olsun. Bu taktirde;

( )

(37)

4. HESSENBERG VE TRĠDĠAGONAL TĠPTEKĠ MATRĠSLERLE BAZI ÖZEL SAYI DĠZĠLERĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠLER

Matris teorisi ve sayılar teorisi arasındaki ilişkileri incelemek amacıyla günümüze kadar birçok çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalar sonucunda özel tipteki bazı matrisler kullanılarak çeşitli metotlarla bazı özel sayı dizileri elde edilmiştir. Diğer taraftan sayı dizilerinin terimlerini ihtiva eden bazı matrislerin kuvvetleri alınarak ve matris özellikleri kullanılarak söz konusu dizilerin genel terimlerini içeren birçok eşitlik elde edilmiştir. Bu bölümde boyutlu Hessenberg ve Tridiagonal tipte yeni matrisler tanımlanarak bu matrislerle sırasıyla Padovan, Perrin, Tribonacci, Jacobsthal, Jacobsthal-Lucas ve Pell-Lucas sayı dizileri yeniden elde edilmiştir.

Şimdi söz konusu sayı dizilerini elde ederken kullanacağımız Hessenberg ve Tridiagonal matrisleri tanımlayalım ve ilgili sayı dizlerini veren teoremleri verelim.

[ ] { ( )

olmak üzere boyutlu üst Hessenberg tipteki

[ _]

( )

matrisi tanımlansın.

Şimdi n-inci Padovan sayısını göstermek üzere bu sayı dizisini elde edildiği aşağıdaki teoremi verelim.

(38)

Teorem.4.1

( )‟de tanımlanan matrisi için, olmak üzere

_{( )}

dir.

Ġspat:

olmak üzere , matrisine r-inci defa Contraction metodunun uygulanması ile elde edilen ( ) ( ) boyutlu matrisi, ise r-inci satırı göstersin. ve olduğundan ( )‟deki matrisine 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir.

için,

1-inci satır yerine

. / ( ) ( )

yazılır ve 2-inci satır ile 1-inci kolon silinirse;

[ _]

matrisi elde edilir ki bu matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir.

(39)

[ _]

matrisi elde edilir ki bu matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir.

Süreç böyle devam ederse;

için,

[

]

yazılabilir. Buradan da; için,

_[ _]

olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılıp 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse;

(40)

elde edilir. Teorem 3.4.1 gereğince,

olup ispat tamamlanır.

Şimdi n-inci Perrin sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim.

[ ] { ( )

[ _]

( )

Teorem.4.2

( )‟te tanımlanan matrisi için, olmak üzere

_{( )}

(41)

Ġspat:

ve olduğundan ( )‟teki matrisine 1-inci kolon

üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine

( ) ( ) ( )

yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; için,

[ _]

elde edilir. matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,

[ _]

elde edilir. Süreç böyle devam ederse;

(42)

[

]

yazılabilir. Buradan da; için,

_[ _]

olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılıp 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse;

₀ _{1 0} ₁

elde edilir. Teorem 3.4.1 gereğince,

Şimdi n-inci Tribonacci sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim.

[ ] { ( )

(43)

[ _]

( )

Teorem.4.3

_{( )}

dir.

Ġspat:

ve olduğundan matrisine n-inci satır üzerinden

Contraction metodu uygulanabilir. olmak üzere r-inci kolonu göstersin.

n-inci kolon yerine

( ) ( ) ( )

yazılıp n-inci satır ile (n-1)-inci kolon silinirse; için,

(44)

[ _]

elde edilir. matrisine n-inci satır üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,

[ _]

elde edilir. matrisine n-inci satır üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,

[ _]

elde edilir. Metod bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için,

(45)

[ ] yazılabilir. Buradan da için, _[ ]

olarak elde edilir. matrisinin 3-üncü satıra göre Laplace açılımı düşünülür ve Teorem 3.4.1 dikkate alınırsa;

_[

] 0 1

elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.

Şimdi n-inci Jacobsthal sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim.

[ ] { ( )

(46)

[ ] ( ) matrisi tanımlansın. Teorem.4.4

_{( )}

dir.

Ġspat:

ve olduğundan ( ) „daki matrisine 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine

( ) ( ) ( )

[

(47)

[ _]

elde edilir. Metot bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için, [ ] yazılabilir. Buradan da için,

(48)

_[ _]

olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse;

₀ _{1 0} ₁

elde edilir. Teorem 3.4.1 gereğince

Şimdi n-inci Jacobsthal-Lucas sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Tridiagonal tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim.

[ ] { ( )

olmak üzere boyutlu Tridiagonal tipteki

[ _]

(49)

Teorem.4.5

_{( )}

dir.

Ġspat:

ve olduğundan matrisine 1-inci kolon üzerinden

Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine

( ) ( ) ( )

[ _]

(50)

[ _]

[

]

elde edilir. Metot bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için, [ ] yazılabilir. Buradan da için, _[ _]

(51)

olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci

satır silinirse;

₀ _{1 0} ₁

elde edilir. Teorem 3.4.1 gereğince

Şimdi n-inci Pell-Lucas sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim.

[ ] { ( )

[ ] ( ) matrisi tanımlansın.

(52)

Teorem.4.6

( )‟da tanımlanan matrisi için, olmak üzere

_{( )}

dir.

Ġspat:

ve olduğundan matrisine 1-inci kolon üzerinden

Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine,

( ) ( ) ( )

yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; için, [ ]

[

(53)

elde edilir. matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için, [ ]

elde edilir. Metot bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için, [ ] yazılabilir. Buradan da için, _[ _]

olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse;

₀ ₁

(54)

Matrislerin permanent ve determinantları arasındaki ( ) de verilen bağıntı gereği aşağıdaki sonuçlar verilebilir.

Sonuç.4.1

( )‟deki ve ( )‟deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için

( ) ( )

dir. Burada n-inci Padovan sayısını göstermektedir.

Sonuç.4.2

( ) ( )

dir. Burada n-inci Perrin sayısıdır.

Sonuç.4.3

( )‟deki ve ( )‟deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere

için

( ) ( )

(55)

Sonuç.4.4

( ) ( )

dir. Burada n-inci Jacobsthal sayısıdır.

Sonuç.4.5

( ) ( )

dir. Burada , n-inci Jacobsthal-Lucas sayısıdır.

Sonuç.4.6

( ) ( )

(56)

5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER 5.1 Sonuçlar

Bu çalışmada çeşitli yöntemler veya matrisler yardımıyla daha önceden de elde edilmiş olan Padovan, Perrin, Tribonacci, Jacobsthal, Jacobsthal-Lucas ve Pell-Lucas sayı dizileri tanımlanan Hessenberg ve Tridiagonal tipteki boyutlu karesel matrisler yardımıyla yeniden elde edilmiştir.

5.2 Öneriler

Hessenberg ve Tridiagonal tipte tanımlanacak başka matrislerin Catalan, Mersenne, Fermat, Motzkin, Bell, Happy sayı dizileri ile arasındaki determinantal ilişkiler araştırılabilir.

(57)

KAYNAKLAR

Anonymous, 2013a, http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number, [Ziyaret Tarihi:14.04.2013] Anonymous, 2013b, http://en.wikipedia.org/wiki/Pell_number, [Ziyaret Tarihi:22.04.2013] Anonymous, 2013c, http://en.wikipedia.org/wiki/Perrin_number, [Ziyaret Tarihi:27.04.2013 Anonymous, 2013d, http://en.wikipedia.org/wiki/Padovan_sequence, [Ziyaret Tarihi:02.05.2013]

Anonymous, 2013e, http://mathworld.wolfram.com/TribonacciNumber.html, [Ziyaret Tarihi:07.05.2013]

Anonymous, 2013f, http://programmingpraxis.com , [Ziyaret Tarihi:07.05.2013]

Anonymous, 2013g, http://mathworld.wolfram.com/PellNumber.html, [Ziyaret Tarihi:07.05.2013]

Başar, F., 2012, Lineer Cebir, Sürat Üniversite Yayınları, Ağustos, İstanbul, 45-47. Bozkurt, D., Solak, S., Türen, B., 2010, Lineer Cebir, Ekim, Konya, 64-87.

Brauldi, R. A. and Gibson, P.M., 1977, Conveks polyhedra of doubly stochastic matrices I,Applications of the permanent function, J. Combin. Theory 22, 194-230. Cahill, N.D., D‟Ericco, J.R.,Narayan, D.A., Narayan, J.Y., 2002, Fibonacci Determinants,The College Mathematics Journal, 33(3), Mayıs.

Dasdemir,A., 2011, On the Pell, Pell-Lucas and Modified Pell Numbers By Matrix Method, Applied Mathematical Sciences, 5(64), 3173 – 3181.

Ercolona, J., 1979, Matrix Generators of Pell Sequences, Fibonacci Quart., 17(1), 71-77.

Kılıç, E., (2008), Tribonacci sequences with certain indices and their sums, Ars

Combinatoria, 86, 13-22.

Koshy, T., 2001, Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley&Sons, New York, 1-100.

(58)

Köken, F. and Bozkurt, D., 2008a , On the Jacobsthal numbers by Matrix methods, Int.

J. Contemp. Math. Sciences, 3(13), 605-614.

Köken, F. and Bozkurt, D., 2008b, On the Jacobsthal-Lucas numbers by Matrix method, Int. J. Contemp. Math. Sciences, 3(33), 1629-1633.

Köken, F. and Bozkurt, D., 2010, On Lucas numbers by the Matrix method, Hacettepe

Journal of Mathematics and Statistics, 39(4), 471-475.

Kılıç, E. and Taşçı, D., 2007, On The Permanents of Some Tridiagonal Matrices with Applications to the Fibonacci and Lucas Numbers, Rocky Mountain Journal of

Mathematics 37(6), 1953-1969.

Kılıç, E. and Taşçı, D., 2008, On families of bipartite graphs associated with sums of Fibonacci and Lucas numbers, Ars Combinatoria ,89, 31-40.

Kılıç, E. and Taşçı, D., 2009, On the second order linear recurrences by tridiagonal matrices, Ars Combinatoria 91, 11-18.

Kılıç, E. and Taşçı, D., 2010, Negatively subscripted Fibonacci and Lucas numbers and their complex factorizations, Ars Combinatoria 96, 275-288.

Lehmer, D. H., 1975, Fibonacci and related sequences in periodic tridiagonal matrices,

Fibonacci Quart. 13, 150-158.

Lee, G.Y, 2000, k-Lucas numbers and associated bipartite graphs, Linear Algebra Its

Applications 320, 51-61.

Li, H.C., 2012, On Fibonacci-Hessenberg matrices and the Pell and Perrin numbers,

Applied Mathematics and Computation 218, 8353-8358.

Minc, H. and Marcus, M., 1984, Permanents, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, Cambridge Universty Press, USA, 1-42.

Öcal A. A., Tuğlu, N. ,Altınişik, E., 2005, On the representation of k-generalized Fibonacci and Lucas numbers, Applied Mathematics and Computation 170, 584-596. Sabuncuoğlu, A., 2008, Lineer Cebir, Nobel Yayın Dağıtım, Ankara, 90-95.

Solak, S., Türkmen. R., Bozkurt. D., 2003, On GCD, LCM and Hilbert matrices and their applications, Applied Mathematics and Computation 146, 595–600.

Silvester, J. R., 1979, Fibonacci Properties by Matrix Methods. Mathematical Gazette 63, 188-91.

Yılmaz, F. and Bozkurt,D., 2011, Hessenberg Matrices and the Pell and Perrin Numbers, Journal of Number Theory 131, 1390-1396.

(59)

Yılmaz, F. and Bozkurt, D., 2012a, On the Pell sequences and Hessenberg matrices,

Selçuk Journal of Applied Mathematics, 27-32.

Yılmaz, F. and Bozkurt, D., 2012b, The Jacobsthal and Jacobsthal-Lucas sequences associated with pseude graphs, arXiv:1202.3587.

Yılmaz, F. and Bozkurt, D., 2013, On the Fibonacci and Lucas numbers, their sums and permanents of one type of Hessenberg matrices, arXiv:1302.0668.

(60)

ÖZGEÇMĠġ

KĠġĠSEL BĠLGĠLER

Adı Soyadı : İbrahim Aktaş

Uyruğu : T.C.

Doğum Yeri ve Tarihi : Develi-1982

Telefon : -

Faks : -

e-mail : ibrahimaktas@gumushane.edu.tr

EĞĠTĠM

Derece Adı, Ġlçe, Ġl BitirmeYılı

Lise : İmam Hatip Lisesi, Develi, Kayseri 1999 Üniversite : Erciyes Üniversitesi, Kayseri 2004 Yüksek Lisans : Erciyes Üniversitesi, Kayseri 2005

Yüksek Lisans : Selçuk Üniversitesi, Konya 2013

Doktora : -

Ġġ DENEYĠMLERĠ

Yıl Kurum Görevi

2004-2008 Kavram Dersaneleri Matematik Öğr.

2008-2011 Pianalitik Dersaneleri Matematik Öğr.