Matris teorisi ve sayılar teorisi arasındaki ilişkileri incelemek amacıyla günümüze kadar birçok çalışma yapılmıştır. Bu çalışmalar sonucunda özel tipteki bazı matrisler kullanılarak çeşitli metotlarla bazı özel sayı dizileri elde edilmiştir. Diğer taraftan sayı dizilerinin terimlerini ihtiva eden bazı matrislerin kuvvetleri alınarak ve matris özellikleri kullanılarak söz konusu dizilerin genel terimlerini içeren birçok eşitlik elde edilmiştir. Bu bölümde boyutlu Hessenberg ve Tridiagonal tipte yeni matrisler tanımlanarak bu matrislerle sırasıyla Padovan, Perrin, Tribonacci, Jacobsthal, Jacobsthal-Lucas ve Pell-Lucas sayı dizileri yeniden elde edilmiştir.
Şimdi söz konusu sayı dizilerini elde ederken kullanacağımız Hessenberg ve Tridiagonal matrisleri tanımlayalım ve ilgili sayı dizlerini veren teoremleri verelim.
[ ] { ( )
olmak üzere boyutlu üst Hessenberg tipteki
[ ]
( )
matrisi tanımlansın.
Şimdi n-inci Padovan sayısını göstermek üzere bu sayı dizisini elde edildiği aşağıdaki teoremi verelim.
Teorem.4.1
( )‟de tanımlanan matrisi için, olmak üzere
( )
dir.
Ġspat:
olmak üzere , matrisine r-inci defa Contraction metodunun uygulanması ile elde edilen ( ) ( ) boyutlu matrisi, ise r-inci satırı göstersin. ve olduğundan ( )‟deki matrisine 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir.
için,
1-inci satır yerine
. / ( ) ( )
yazılır ve 2-inci satır ile 1-inci kolon silinirse;
[ ]
matrisi elde edilir ki bu matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir.
[ ]
matrisi elde edilir ki bu matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir.
Süreç böyle devam ederse;
için,
[
]
yazılabilir. Buradan da; için,
[ ]
olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılıp 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse;
elde edilir. Teorem 3.4.1 gereğince,
olup ispat tamamlanır.
Şimdi n-inci Perrin sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim.
[ ] { ( )
olmak üzere boyutlu üst Hessenberg tipteki
[ ]
( )
matrisi tanımlansın.
Teorem.4.2
( )‟te tanımlanan matrisi için, olmak üzere
( )
Ġspat:
ve olduğundan ( )‟teki matrisine 1-inci kolon
üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine
( ) ( ) ( )
yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; için,
[ ]
elde edilir. matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,
[ ]
elde edilir. Süreç böyle devam ederse;
[
] yazılabilir. Buradan da; için, [ ]
olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılıp 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; 0 1 0 1
elde edilir. Teorem 3.4.1 gereğince,
olup ispat tamamlanır. Şimdi n-inci Tribonacci sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim. [ ] { ( )
olmak üzere boyutlu üst Hessenberg tipteki
[ ]
( )
matrisi tanımlansın.
Teorem.4.3
( )‟te tanımlanan matrisi için, olmak üzere
( )
dir.
Ġspat:
ve olduğundan matrisine n-inci satır üzerinden
Contraction metodu uygulanabilir. olmak üzere r-inci kolonu göstersin.
n-inci kolon yerine
( ) ( ) ( )
yazılıp n-inci satır ile (n-1)-inci kolon silinirse; için,
[ ]
elde edilir. matrisine n-inci satır üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,
[ ]
elde edilir. matrisine n-inci satır üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,
[ ]
elde edilir. Metod bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için,
[ ] yazılabilir. Buradan da için, [ ]
olarak elde edilir. matrisinin 3-üncü satıra göre Laplace açılımı düşünülür ve Teorem 3.4.1 dikkate alınırsa; [
] 0 1
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar. Şimdi n-inci Jacobsthal sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim. [ ] { ( )
[ ] ( ) matrisi tanımlansın. Teorem.4.4
( )‟te tanımlanan matrisi için, olmak üzere
( )
dir.
Ġspat:
ve olduğundan ( ) „daki matrisine 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine
( ) ( ) ( )
yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; için,
[
elde edilir. matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,
[ ]
elde edilir. matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,
[ ]
elde edilir. Metot bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için, [ ] yazılabilir. Buradan da için,
[ ]
olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; 0 1 0 1
elde edilir. Teorem 3.4.1 gereğince
olup ispat tamamlanır. Şimdi n-inci Jacobsthal-Lucas sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Tridiagonal tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim. [ ] { ( )
olmak üzere boyutlu Tridiagonal tipteki [ ] ( )
matrisi tanımlansın.
Teorem.4.5
( )‟te tanımlanan matrisi için, olmak üzere
( )
dir.
Ġspat:
ve olduğundan matrisine 1-inci kolon üzerinden
Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine
( ) ( ) ( )
yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; için,
[ ]
elde edilir. matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,
[ ]
elde edilir. matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,
[
]
elde edilir. Metot bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için, [ ] yazılabilir. Buradan da için, [ ]
olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci
satır silinirse;
0 1 0 1
elde edilir. Teorem 3.4.1 gereğince
olup ispat tamamlanır. Şimdi n-inci Pell-Lucas sayısını göstermek üzere bu sayı dizisinin elde edildiği Hessenberg tipteki matrisi tanımlayalım ve ilgili teoremi verelim. [ ] { ( )
olmak üzere boyutlu üst Hessenberg tipteki [ ] ( ) matrisi tanımlansın.
Teorem.4.6
( )‟da tanımlanan matrisi için, olmak üzere
( )
dir.
Ġspat:
ve olduğundan matrisine 1-inci kolon üzerinden
Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine,
( ) ( ) ( )
yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse; için, [ ]
elde edilir. matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için,
[
elde edilir. matrisine de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. için, [ ]
elde edilir. Metot bu şekilde uygulanmaya devam ederse; için, [ ] yazılabilir. Buradan da için, [ ]
olarak elde edilir. Elde edilen son matrise de 1-inci kolon üzerinden Contraction metodu uygulanabilir. 1-inci satır yerine yazılır ve 1-inci kolon ile 2-inci satır silinirse;
0 1
olup ispat tamamlanır.
Matrislerin permanent ve determinantları arasındaki ( ) de verilen bağıntı gereği aşağıdaki sonuçlar verilebilir.
Sonuç.4.1
( )‟deki ve ( )‟deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için
( ) ( )
dir. Burada n-inci Padovan sayısını göstermektedir.
Sonuç.4.2
( )‟deki ve ( )‟deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için
( ) ( )
dir. Burada n-inci Perrin sayısıdır.
Sonuç.4.3
( )‟deki ve ( )‟deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere
için
( ) ( )
Sonuç.4.4
( )‟deki ve ( )‟deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için
( ) ( )
dir. Burada n-inci Jacobsthal sayısıdır.
Sonuç.4.5
( )‟deki ve ( )‟deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için
( ) ( )
dir. Burada , n-inci Jacobsthal-Lucas sayısıdır.
Sonuç.4.6
( )‟deki ve ( )‟deki matrisinin Hadamard çarpımı matrisi olmak üzere için
( ) ( )
5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER