TÜREV 05  

MATEMATİK DÖNEM

ÖDEVİ

Varsa, lim f(x)-f(x_o) limitinin değerine f fonksiyonunun x_o noktasındaki x- x x – x_o

türevi denir. Bu türev f ’ (x_o) veya df (x_o) biçiminde gösterilir. dx TANIM f ‘(x₀) = lim f (x₀ + h) – f (x₀) , f ‘(x) = lim f(x) – f(x₀) eşitliğinde, x – x₀ xx₀ x – x₀ = x, f (x) – f (x₀) = f yazılırsa , f ‘(x₀) = lim f biçimine dönüşür. x  x0 h0 h x – x₀ = h yazılırsa tanım; UYARI

ÖRNEK :

f (x) = Vx olduğuna göre , f ‘ (1) = ?3

3

ÇÖZÜM :

f ‘ (1) = lim f (x) – f (1) = lim V x - 1 olur. x 1 x – 1 x 1 x – 1

V x = h alınırsa , 3

f ‘ (1) = lim h - 1 = lim h – 1 = 1 olur. h 1 h - 1 h 1 (h-1) (h + h + 1) 3

ÖRNEK :

f ( x) = lnx ise , f ‘ (x₀) = ?

ÇÖZÜM :

f ‘ (x₀) = lim ln (x₀ + h ) – lnx₀ = lim 1 . ln ( x₀ + h ) = lim 1 . (1 + h ) = lim ( 1 + h ) olur.1/h h 0 h h 0 h x₀ h 0 h x₀ h 0 x₀

f ‘ (x₀) = lim ln [(1+1 ₎u _] 1 _{= lim 1 ln ( 1 + 1 )}u _{= 1 . lne = 1 olur.}

u x

0

8

u u x8 ₀ u x₀ x₀

ÖRNEK :

f (x) = x2 _{– 4 fonksiyonu , x}

0 = 2 de türevlimidir?

ÇÖZÜM :

Soldan türev: lim x2 _{– 4 - 0 = lim - x}2 _{+ 4 = - 4}

Sağdan türev: lim x2 _{– 4 - 0 = 4 tür.}

x 2- _{x – 2 x 2}- _{x – 2}

x 2+ _{x - 2}

O halde f ‘(2) yoktur.

O halde f ‘(2) yoktur.

SAĞDAN TÜREV – SOLDAN TÜREV

lim f ( x₀ + h ) – f ( x₀) limitine x₀ noktasındaki soldan türev , lim f ( x₀ + h ) – f ( x₀) limitine de

x₀ noktasındaki sağdan türev denir.

f fonksiyonunun x₀ noktasında türevli olması için sağdan türevin soldan türeve eşit olması gerekir.

BİR FONKSİYONUN TÜREV FONKSİYONU

Bir f fonksiyonu x₀ ( a , b ) için türevliyse, x ( a , b )için bir f ‘ ( x₀ ) değeri elde edilecektir. Burada f ‘ (x₀) , x₀ ın bir fonksiyonudur.

A C A C ÖRNEK : f ( x ) = 3x2 – 4x ise, f ‘ (x) = ? UYARI :

UYARI : Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur. Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur. ÇÖZÜM: F ‘(x₀) = lim 3x2 – 4x –3x 0 – 4x0 = lim 3 (x – x0) (x + x0) – 4 (x – x0) x x₀ x – x₀ x x₀ x – x₀ = lim ( x – x₀ ) ( 3x +3x₀ – 4) = 6x₀ – 4 olur. x x₀ x – x₀ f ‘ ( x₀ ) = 6x₀ – 4 olduğundan , f ‘ (x) = 6x – 4 bulunur.

BAZI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ VE TÜREV ALMA METOTLARI

1. Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır. f (x) = V 2 ise, f ‘ (x) = 0 dır.

2. Birim fonksiyonun türevi 1 dir. I (x) = x ise, I ‘ (x) = 1 dir. 3. f (x) = a.x ise, f ‘(x) = a dır. ( a R)

4. f (x) = a.x n _{ise, f ‘(x) = a.n..x} n-1 _{( n R)}

5. y = a.f (x) ise, y ‘ = a.f ‘ (x) ( a R)

6. y = f (x) + g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) + g ‘ (x) 7. y = f (x) . g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) + g ‘ (x) . f (x) 8. y = f ( x ) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) – g ‘ (x) . f (x) C C C g (x) (g (x) )2

ÖRNEKLER

1. f (x) = 3 x5 _{ise, f ‘(x) = 3 . 5 . x}5-1 _{= 15 x}4 _tür.

2. f (x) = 4 ise, f (x) = 4 . x -3 _{olduğundan, f ‘ (x) = - 3 . 4 .x} –3 – 1 _{= - 12 . x} – 4 _{= - 12 bulunur.} x3 _x4 3. f (x) = 1 = 1 = x –1/3 _{olduğundan, f ‘(x) = - 1 . x} - 1/3 – 1 _{= - 1 . x} –4/3 _{= -1 = -1 olur.} 3 _{V x x} 1/3 _{3 3 3 .}3 _Vx4 _3x 3_Vx 4. f (x) = 5 x2 _{+ 1 = 5 x}2 _{+ x} –1 _{olduğundan, f ‘(x) = 10x – x} -2 _{= 10 x - 1 dir.} x x2 5. f (x) = Vx . (x3 _{– 2x) f ‘(x) = (Vx )’. (x}3 _{– 2x) + (x}3 _{– 2x)’ . Vx = 1 . (x}3 _{– 2x) + (3x}2 _{– 2) .Vx bulunur.} 2 Vx 6. y = x - 1 ise, y ‘ = (x – 1)’ . (x2 _{– 2x) – (x}2 _{– 2x)’ . (x – 1) = 1 . (x}2 _{– 2x) – (2x – 2) . (x – 1) olur.} x2 _{– 2x (x}2 _{– 2x)}2 _(x2 _{– 2x)}2

7. f (x) = sin x ise, f ‘(x) = cos x 8. f (x) = cos x ise, f ‘(x) = - sin x

9. f (x) = tan x ise, f ‘(x) = 1 + tan2 _{x = cos} 1 _{2 x = sec}2 _x

ÖRNEK:

sin x + 1 ise, cos x – 1

y =

(sinx + 1)’ .(cosx – 1) – (cosx –1)’ . (sinx + 1) = + cosx (cosx – 1) + sinx (sinx + 1)

(cosx – 1)2 _{(cosx – 1)}2

y ‘=

cos2_{x + sin}2_{x + sinx + cosx 1 + sinx – cosx olur.} (cosx – 1)2 _{(cosx – 1)}2

TERS FONKSİYONUN TÜREVİ

f, (a , b) de türevli ve bire – bir , f –1 fonksiyonu da f (a , b) de türevli ise, f (x₀) = y₀ iken, 11. (f –1_{)’ (y} 0) = 1 olur. f ‘(x₀) 4x + 1 ise, (f –1_{)’ (1) = ?} f (x) = ÖRNEK : 2x – 3 ÇÖZÜM : y₀ = 1 olduğundan 4x₀ + 1 = 1  x₀ = - 2 bulunur. 2x0 – 3 4 (2x – 3) – 2 (4x + 1) - 14 - 14 = - 2_ (2x – 3)2 _{(2x – 3)}2 _{49 7} f ‘(x) = = f ’(-2) = (f –1 )’ (1) = 1 1 -7 bulunur._{f ‘(-2) -2 2} 7 = =

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI

f (x) = sin x fonksiyonu R de bire-bir değildir. Ancak uygun bir tanım kümesi seçilerek seçilen aralıkta bire-bir olması sağlanabilir. İşte f (x) = sin x fonksiyonunun bire-bir olduğu bir aralıkta;

f –1 _{(x) = sin} –1 _{x ters fonksiyonu vardır ve y = arcsin x biçiminde gösterilir. Aynı}

biçimde y = arccos x, y = arctan x ve y = arccot x fonksiyonları elde edilebilir. Burada; arcsin 1  , arc tan 1  ... v.s. yazılabilir.

Ayrıca, arc sin (sin x) = sin – 1 _{(sin x) = x}

arc cot (cot x) = cot –1 _{(cot x) = x ...v.s. olur.}

ÖRNEK tan (arc sin x) = ?

ÖRNEK

tan (2 . arc sin x) = ?

ÇÖZÜM

arc sin x = y olsun. sin y = x olacaktır. Yandaki şekilden;

}

tan (arc sin x) = tan y x bulunur. y V 1 – x2 V 1 – x2 x 1 y ÇÖZÜM V 1 – x2 x 1 y arc sin x = y olsun. sin y = x olur.

}

y

tan (2.arc sin x) = tan (2y) = 2 tan y =

2x__ V 1 – x2 __x2_{__} 1 - 1 – x2 . 1 – x2 bulunur. 2x__ V 1 – x2 = 1 – 2x2

TÜREVİ

12. f (x) = arc sin x ise, f ‘(x) 1 . ₌

V 1 – x2

13. f (x) = arc cos x ise, f ‘(x) -1 . ₌

V 1 – x2

14. f (x) = arc tan x ise, f ‘(x) 1 . ₌

1 + x2

15. f (x) = arc cot x ise, f ‘(x) -1 olur. ₌

1 + x2

BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ VE TÜREVDE ZİNCİR KURALI

f, x₀ da, g de f (x₀) da türevli fonksiyonlar olsun. Bu durumda, (gof) ‘(x₀) = g ‘(f (x₀)). f ‘(x₀) olur. Örneğin; y = 3 (x2 _{– 3x)}5 _{fonksiyonu f (x) = x}2 _{– 3x ve g (x) = 3x}5 _{olmak üzere y = (gof) (x)}

fonksiyonudur.

g ‘(x) = 15x4, g ‘(f(x)) = 15(x2 – 3x)4 , f ‘(x) = 2x – 3 olduğundan,

y ‘ = g ‘(f(x)).f ‘(x) = 15(x2 – 3x)4 .(2x – 3) bulunur.

Daha çok fonksiyonun bileşkesi için; y = f (g (h (t (x) ) ) )

ÖRNEK

y = sin3 _(x2 _{+ x) ise, y ‘= 3 sin}2 _{(x2 + x) . cos (x}2 _{+ x) .(2x + 1) olur.}

ÖRNEK

y sin2 V _{cos (2x)} ise, y ‘ = 2 sin V _{cos 2x} . Cos V _{cos 2x} . _____1____ . (- sin 2x) .2 olur.

2 V cos 2x

UYARI

k = g (z)  y = k yazılırsa, dy/dx = dy/dk . dk/dz . dz/dv . dv/du . du/dx eşitliği yardımıyla da türev alınabilir.

ÖRNEK

f (x) = sin3 (cos x) ise, f ‘(x) = ?

ÇÖZÜM

u = cos x  f (u) = sin3u, v = sin u  f (v) = v3 _{df/dx= df/dv . dv/du . du/dx}

= 3v2 _{. cos u . (- sin x) = (- 3 sin}2_{u . cos (cos x) . sin x}

= - 3 sin2 (cos x) . cos (cos x) . sin x olur.

Buna göre türev kuraları; 1. y = (f (x) )n _{ise, y ‘ = n . (f(x) )}n – 1 _{. f ‘(x)}

2 . V f (x)

2. y = V f (x) ise, y ‘ = _____f ‘(x)____

3. y = nV(f(x))m ise, y ‘ = _____ f ‘ (x) _____

n . n _{V f (x)n – m} 4. y = cos f (x) = ise, y ‘ = - f ‘(x) . sin f (x)

5. y = sin(f (x) ) =ise, y ‘ = f ‘(x) . cos f (x)

7. y = tan(f (x) ) = ise, y ‘ = f ‘(x) . ( 1 + tan2 _{(f (x) )}

6. y = arc sin (f (x) ) = ise, y ‘ = ____f ‘(x)___

V 1 – f 2 _(x)

8. y = arc tan x ise, y ‘ = ____f ‘(x)____

1 + f 2 _(x)

ÖRNEK

f (x) = arc tan V x ise, f ‘(x) = ?

ÇÖZÜM f ‘(x) olur. ___1___ 2 V x ______________ = 1 + x

KAPALI FONKSİYONLAR VE TÜREVİ

F (x,y) = 0 biçimindeki bağıntılara kapalı fonksiyon denir. Burada, y = f (x) tir. y3_x2 _{+ 2x}2_{y + 3x – 5y}2 _{+2 = 0 yx – x + y = 0 gibi.} ÖRNEK y .x2 _{+ 5y}2 _{x – x2 + 3y + 2 = 0 ise, y ‘ = ?} ÇÖZÜM y = f (x) olduğundan fonksiyon, f (x) . x2 + 5 . (f (x) )2 . x – x2 + 3 f (x) + 2 = 0 biçiminde yazılabilir. f ‘(x) . x2 _{+ 2x .f (x) + 5 . 2f (x). f ‘(x) . x + 5 . (f (x) )}2 _{– 2x + 2f ‘(x) = 0} f ‘(x) (x2 _{+ 10x f (x) + 3) = -2x f (x) – 5 (f (x) )}2 _{+ 2x} f ‘(x) olur. ₌___________________________- 2x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2x x2 + 10x f (x) + 3 y ‘ bulunur. = - 2xy – 5y2 + 2x _______________ x2 + 10xy + 3 UYARI

y sabit düşünülerek alınan türev f ‘(x) , x sabit düşünülerek alınan türev f ‘(y) ise;

LOGARİTMİK FONKSİYONLARDA TÜREV

1. y = lnx ise, y ‘ = 1

/

/

3. y = log _a x ise, y ‘ = 1

/

/

ÖRNEK

f (x) = ln (cos2x) ise f ‘(

/

f ‘(x) = _____________- 2 sin 2x _{cos 2x} = - 2 tan 2x

=

= - 2 tan __₄ - 2 bulunur. f ‘( )__

8 

ÜSTEL FONKSİYONLARDA TÜREV 1. y = e x ise, y ‘ = e x 2. y = e f (x) _{ise, y ‘ = f ‘(x) . e} f (x) 3. y = a x _{ise, y ‘ = a} x _{. lna} 4. y = a f (x) _{ise, y ‘=f ‘(x) . a} f (x) _{. lna} ÖRNEK y = (2x2 + 1)sin x ise, y ‘ = ? ÇÖZÜM

Her iki tarafın doğal logaritması alınırsa

lny = ln (2x2 _{+ 1)}sin x  lny = sin x . Ln (2x2 _{+ 1)}

cos x . ln (2x2 + 1) + . sin x

___ y ‘ __________

y _2x4x2 _{+ 1}

y ‘ = (2x2 + 1)sin x . [cos x . ln (2x2 + 1) + ____________4x . sin x

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ( ARDIŞIK TÜREV )

Bir y = f (x) fonksiyonun türevinin türevine 2 nci türev, onun da türevine 3 ncü türev denir.

y = f (x) in 3 ncü türevi y’’’ = f ‘’’(x) veya biçiminde gösterilir. d 3 f dx3 _______

ÖRNEK

TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

f (x) – f (x₀) ____________

x – x₀ oranı, AB kirişinin Ox ile pozitif

yönde yaptığı açının tanjantı yani AB nin eğimidir. x x₀ olması durumunda AB kirişi eğriye A noktasında çizilen teğete yaklaşır.

O halde, f ‘(x₀) = lim değeri y = f (x) eğrisine, x = x____________ f (x) – f (x0) ₀ da x – x₀

x x₀

çizilen teğetin eğimini vermektedir.

y f (x) f (x₀) x _x0 x A B C x – x₀. y = f (x)   f (x) – f (x₀)

ÖRNEK

f (x) eğrisine x₀ = 1 de çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin alanı nedir ? V x 2x – 1 = ÇÖZÜM x₀ = 1  y = _{2 – 1} V 1 = 1, A (1,1) f ‘(x) 1 _____ 2 Vx . (2x – 1) – 2 . V x ___________________________ (2x – 1)2 = m = f ‘(1) = 1 2 ___ ____________ _ . 1 – 2 1 = 12___ - 2 = 3- ___2 değerleri y – y₀ = m (x – x₀) da yerine yazılırsa; y – 1 = 3- ___ (x – 1)  y = ₂ - ___ x + 5₂3 ___ olur. ₂ 5 3 ___ 5 2 ___ x = 0  y = , y = 0  x = ve A = ___ ___ _________ ___ 3 2 2 5 5 . 25 12 = olur.

ÖRNEK

y = x2 + 2x eğrisinin y = 4x + 1 doğrusuna paralel teğetinin A değme noktasının

koordinatları nedir ?

ÇÖZÜM

y = 4x + 1 doğrusunun eğimi m = 4 olduğundan, teğetin eğimi de 4 olmalıdır. f ‘(x₀) = 4  2x₀ + 2 = 4  x₀ = 1

ÖRNEK

Bir cisim 20m/sn ilk hızla dikey olarak fırlatılıyor. Bu cisim kaç metre yüksekliğe ulaşır?

ÇÖZÜM

Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında hızı sıfırdır. x(t) at2 _{+ V} 0 . t den, x(t) = -5t2 + 20t olur. 1 2 ____ =-

x’(t) = - 10t + 20 = 0  t = 2. saniye ve x(2) = -5.4 + 20.2 = 20 m yüksekliğe ulaşır.

ÖRNEK ÇÖZÜM 5 m/sn I.  



Yandaki şekilde birbirini dik kesen iki yolda, iki aracın başlangıç durumları verilmiştir. Aynı anda ok yönünde 2m/sn ve 5m/sn hızlarla

hareket eden bu iki aracın 1. Saniyede birbirlerinden uzaklaşma hızı ne olur ?

I . hareketli x(t) = 10 + 5t , II . hareketli x(t) = 2t kuralı ile yol alır. Aralarındaki uzaklık ;

l(t) = V 4t2 _{+ (10 + 5t)}2 l(t) = V _29t2 + 100t + 100  l(t) = 58t + 100

2 V 29t2 _{+ 100t + 100} ________________ ve l’(1) = 158_______{2 . V229 = V}______ 79₂₂₉ m/sn bulunur.

TÜREVİN HAREKET PROBLEMLERİNE UYGULANMASI

Zaman yol fonksiyonu verilen bir hareketlinin, t₁ saniyede aldığı yol x (t₁) olsun.

x (t) – x (t₁) ____________

t – t₁ oranı t1, t zaman aralığındaki

ortalama hızı, t  t₁ için limitte t₁ anındaki ani hızı verir. V_ort = ____________ x (t) – x (t _{t – t} 1) 1 , V (t_{1) =t  t} 1 lim  x  t _____ = x’ (t₁) olur.

Yani, yolun zamana göre türevi hızı verir. Benzer düşünülürse hızın

Yani, yolun zamana göre türevi hızı verir. Benzer düşünülürse hızın

zamana göre türevinin (yolun zamana göre 2. türevi) anlık ivmeyi verdiği

zamana göre türevinin (yolun zamana göre 2. türevi) anlık ivmeyi verdiği

bulunur.

TÜREVİN UYGULAMALARI

TANIM: Bir fonksiyonun [a,b] aralığında aldığı en büyük ve en küçük

değerlere maximum ve minimum veya extramum değerler denir.

TANIM: Bir f(x) fonksiyonu > 0 için, (x₁ - , x₁ + ) aralığında extramum değer alıyorsa, bu değerlere yerel maximum ve minimum denir.

A

C C C

Yandaki şekilde f:[a,b]  R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. a y x b 0 x₃ x₂ x₁

1. [a,b] aralığında, x = a için fonksiyonun minimum değeri, x = x₃ için maximum değeri elde edilir.

TEOREM: f:[a,b] R, fonksiyonu [a,b] de sürekli, (a,b) de türevli olsun. Bu fonksiyon x₁ C (a,b) de extramum değer alıyorsa, f ‘(x₁) = 0 dır.

TANIM: x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂) ise, artan

x₁ < x₂  f(x₁) > f(x₂) oluyorsa, f(x) azalan fonksiyon dur.

TEOREM: Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkta türev pozitif, azalan olduğu

aralıkta türev negatiftir.

f:[a,b]  R

1. x₁ ve x₃ te yerel minimum, x₂ de yerel maximum var. f ‘(x₁) = f ‘(x₂) = f ‘ (x₃) = 0 dır. x₁ y x a b x₂ x_{4 x3} x₅ x₆ y=f(x)

2. f, (a,x₁), (x₂,x₃) aralıklarında azalan. Bu nedenle f ‘(x₄)<0, f ‘(0)<0 dır. 3. f, (x₁,x₂), (x₃,b) aralıklarında artan. Bu nedenle f ‘(x₆) >0, f ‘(x₅)>0 olur.

İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

İkinci türevin pozitif olduğu aralıklarda eğri içbükey, negatif olduğu

aralıklarda eğri dışbükey dir. F “(x₀) = 0 için, x₀ da ikinci türev işaret değiştiriyorsa, x = x₀ da dönüm noktası vardır denir.

Öğrendiklerimizi aşağıdaki grafikte özetleyelim.

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x₈ x y D.N _D.N D.N y=f(x) 1. f(x₁) = 0, f ‘(x₁)> 0, f “(x₁)< 0 2. f “(x₄) = f “(0) = 0, f ‘(x₃) = f ‘(x₅) = f ‘(x₆),= f ‘(x₈) = 0 3. f(x₂) > 0, f ‘(x₂)> 0, f “(x₂) < 0

SONUÇLAR

I. f ‘(x₁) = 0, f “(x₁) > 0 ise, x₁ de

yerel minimum

yerel maximum

ÖRNEK

f(x) = x3 – 6x2 – 1 fonksiyonunun artan – azalan olduğu aralıklar, extramum

noktalar ve dönüm noktasını bulunuz.

ÇÖZÜM + ₊ + + max. _{D.N min} Artan dış bükey Azalan dış bükey Artan iç bükey Azalan iç bükey y’=3x2_-12x y’’=6x-12 x 0 2 4

ÇÖZÜMLÜ TESTLER f(x) =[x+1]+x2-x-6 +sgn x ise f ‘( ) = ? ÇÖZÜM 1 ___ 2 x civarında; [x+1] = 1, x₌ 2-x-6 = -x2_{+x-6 ve sgn(x) = 1 olduğundan,} f ‘(x) = 0-2x+1+0 = -2x+1 ve f ‘( ) = -2 . +1 = 0 bulunur.___1 ___1₂ 2 SORU - 1 1 ___ 2 1 ___ 2 A) 0 B) – 1 C) 1 D) – E)___1 2

YANIT : A

SORU - 2

f(x) =x2 _{, g(x) = 6x – 1 ve h(x) = sinx olduğuna göre (fogoh)’( ) = ?}

6 _____ A) 12 V 3 B) 6 V 3 C) 3 V 3 D) 2 V 3 E) 3 ÇÖZÜM (fogoh)’(x) = f ‘(g(h(x))) . g’(h(x)) . h’(x) olduğundan, f ‘(x) = 2x  f ‘(g(h(x))) = 2 . (6sinx – 1) g ‘(x) = 6  g‘(h(x)) = 6, h’(x) = cosx olduğundan,

(fogoh) ‘(x) = 2 . (6sinx – 1) . 6 . Cosx ve (fogoh) ‘ ( ) 2 . (6sin - 1) . 6 . cos 2 . (6. -1) . 6 . = 12V 3 olur.  6 ___  6 ___  6 ___ 1 2 ___ _____V 3 2

YANIT : A

SORU - 3

A) B) C) D) E)

ÇÖZÜM

YANIT : E

x = arctan - arctan olduğuna göre, sin x = ?1 2 _____ 1 3 _____ 1 7 _____ 1 V 7 _____ V 7 2 _____ 5 V 2 _____ 1 5 V 2 _____

x = arctan - arctan her iki tarafın tanjantı alınırsa;1 2

_____ 1

3 _____ tanx ₌ tan(arctan ) – tan(arctan )

1 2 __ 1 3 __ 1 + tan(arctan ) . tan(arctan ) __₂1 __₃1 ____________________________ _ tanx 1 2 _____ 1 3 _____ - = ₁ 3 _____ 1 2 _____ 1+ . _______________= _____61 1 6 _____ 1+ _________

SORU - 4 lim sinx A) B) C) - 1 D) +  E) -  ÇÖZÜM

YANIT : D

SORU - 5 x y A B 0 -4 2 y= f(x) y= 9x -16

y = 9x – 16 doğrusunu apsisi – 4 olan A noktasından kesen ve aynı doğruya B noktasında teğet olan üçüncü derece fonksiyonu hangisidir ?

A) f (x) = x3 _{– 3x B) f (x) = x}3 _{– 3x – 2 C) f (x) = x}3 _{– x + 1}

D) f (x) = x3 _{– 3x – 1 E) f (x) = x}3 _{– 3x – 3}

ÇÖZÜM

f (x) = x3 _{+ ax}2 + bx olur. x = 2  f (x) = 2 ve 4a + 2b = - 6  2a + b = - 3 ( I )

Ayrıca, ortak çözüm x = - 4 için sağlanmalıdır. Buna göre; x3 + ax2 + bx = 9x - 16 ifadesinde; x = - 4 ise, - 64 + 16 – 4b = - 36 – 16  4a – b = 3 ( II )

2a + b = - 3

YANIT A

SORU - 6

f : [0 , 6]  R olmak üzere üçüncü

dereceden y = f (x) polinom fonksiyonunun grafiği yandaki şekilde verilmiştir.

Aşağıdakilerden hangisi YANLIŞTIR ?

A) f (3) < 0 B) f ‘(3) < 0 C) f “(3) < 0 D) f ‘(1) > 0 E) f “(1) > 0

ÇÖZÜM

f , x = 1 civarında dış bükey olduğundan f ”(1) < 0 olmalıdır. Oysa, E çeldiricisinde bunun tersi yazılıdır.

YANIT E 0 2 4 5 6 y x D.N

SORU - 7 f (x) = A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2 ÇÖZÜM f ‘(x) = YANIT E x2 _{+ ax + 2}

x2 _{+ 2x} eğrisinin – 1 apsisli noktasında extramumu vardır. a = ?

(2x+a)(x2+2x) – (2x+2) (x2+ax+2)

(x2_+2x)2

x = - 1  f ‘(x) = 0 olduğundan, (- 2 + a) (1 - 2) – (-2 + 2) (1 - a + 2) = 0  - 2 + a = 0  a = 2 olur.

SORU - 8 f (x) = A) B) C) 2 D) 0 E) 1 ÇÖZÜM YANIT D x2 _{- 1} ise f ’ (1) = ? y = x olsun. l ny = (x2 _{–1) . l nx = 2x l nx + .(x}2 _{– 1). l nx} f ’(x) = . [ 2x.l nx+ x2-1 ] f ’(1)=10.[2.1.0.0]=0 bulunur. 1 2 y1 y 1 x x x x2 – 1 x2 _{– 1} x

SORU - 9 A) B) C) D) E) e e f (x) + e – f (x) = 2x ve f (1) = 2 olduğuna göre f ‘(1) = ? 2 e2 _{– e}-2 2e e2 _{– e}-2 e 4 _{– e}2 e2 e2 – 1 ÇÖZÜM (ef (x) + e-f (x))’ = (2x)’ f ‘(x) . ef (x) - f ‘(x) . e-f (x) = 2 f ‘(x) = 2 ef (x) _{– e}-f (x) olur. f ‘(1) = 2 e2 _{– e}-2 YANIT D