Test 65 Eşkenar Dörtgen - Deltoid - Yamuk

(1)

www

.krakademi.com

1.

Bilgi:

Eşkenar dörtgenin özellikleri

B C D

E A

• Bütün kenarları birbirine eşittir.

• Köşegenler birbirini ortalar ve dik kesişir. • Karşılıklı kenarları birbirine paraleldir.

• Alanı, köşegenlerin çarpımının yarısına eşittir. Aynı zamanda bir kenarı ile bu kenarın yüksekli-ğinin çarpımından da hesaplanabilir.

B F 12 12 9 9 C D E A

• Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini ortalar ve dik kesiştiğinden, , . , . AC ise AF FC cm dir BD ise DF FB cm dir 24 12 18 9 = = = = = =

• AFB dik üçgeninde pisagor bağıntısından,

. AB AF FB AB AB AB AB AB cm olur 12 9 144 81 225 15 15 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = + = + = = = • ( ) , A ABCD AC BD AB CE ise CE CE CE cm 2 2 24 18 15 15 24 9 5 72 _{14 4} 9 5 3 $ $ $ $ $ = = = = = =

2.

Bir kenarı 17 cm, bir köşegeni 16 cm olan eşkenar dörtgenin alanını bulmak için eşkenar dörtgen çizilir.

B C D 17 8 8 17 17 E 17 A

• Eşkenar dörtgenin köşegenleri dik kesişir ve köşegenler birbirini ortalar. Köşegenlerde biri olan |AC| = 16 ise |DE| = |EB| = 8 cm dir.

• Köşegenler dik kesiştiğinde, AEB üçgeninde pisa-gor bağıntısından, . EB AE AB AE AE AE AE AE AE cm olur 8 17 64 289 289 65 225 15 15 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = = -= = =

• Köşegenleri birbirini ortaladığından, |AE| = |EC| = 15 cm dir. Buna göre |AC| = |AE| + |EC| = 15 + 15 = 30 cm dir.

• ( ) . A ABCD AC DB cm bulunur 2 2 30 16 30 8 240 8 2 $ $ $ = = = = Cevap: E

(2)

www

.krakademi.com

3.

E K x B 6 6 12 12 12 12 C D A

• Eşkenar dörtgenin tüm kenarları birbirine eşit ve 12 cm dir.

|AB| = |BK| = 12 cm dir.

• Eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarları birbirine paralel olduğundan, EDC üçgeni ile EKB üçgeni birbirine benzer üçgenlerdir. Açı – Açı – Açı ben-zerliğinden, 12 E 12 K B C D ( € ) . . EDC EKB Kelebek benzerli i

EK ED KB DC EB EC dir EB EC EB EC dir 12 12 c = = = =

|BC| 12 ise |EB| = |EC| = 6 cm olur. • EBK üçgeninde pisagor bağıntısından,

. EB EK BK x x x x x x cm bulunur 6 12 36 144 144 36 108 108 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = = -= = = Cevap: C

4.

B C D _E H x A 17 17 21 ₉ 15 6 8

• Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik keser ve köşegenler birbirini ortalar. Buna göre, |DB| köşegen uzunluğu 21 + 9 = 30 cm dir ve |DH| = |HB| = 15 cm olur. • . € EH EB HB oldu undan EH EH EH cm olur 9 15 15 9 6 + = + = = -=

• AHD üçgeninde pisagor bağıntısından,

. DH AH AD AH AH AH AH AH cm olur 15 17 225 289 289 225 64 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = = -= =

• AHE üçgeninde pisagor bağıntısından,

AH EH AE AE AE AE AE AE cm 8 6 64 36 100 10 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = = = =

Buna göre, |AE| = x = 10 cm bulunur.

(3)

www

.krakademi.com

5.

Bilgi:

Deltoid, tabanları aynı olan iki tane ikizkenar üçgenin birleştirilmesiyle oluşur. B C D E a b b a A Özellikler:

• Köşegenler birbirine diktir. [AC] ⊥ [BD] • [BE] = [ED] dir.

• [AC] köşegeni, ikizkenar üçgenlerin tepe açıları-nın açıortayıdır.

• A ABCD( ) AC BD 2

$ =

• Çevre (ABCD) = 2·(a + b)

B C D E x A x

• [AC] köşegeni, ikizkenar üçgenlerin ortak tabanı olan [BD] köşegenini iki eşit parçaya ayırdığın-dan, |BE| = |ED| = x cm olur.

• |AC| = 15 cm ve deltoidin alanı 60 cm2_ise,

( ) A ABCD AC BD x 2 60 2 15 2 $ $ = =

6.

B C D E A 8 45° 45° 45° 45° 8 2æ26 4§2 4§2 4§2

• ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen olduğundan,

( ) ( ) .

m BAE% =m BCE% =45cdir • [BD] köşegeni açıortay olduğundan,

( ) ( ) .

m ABE% =m CBE% =45c dir

• AEB ve BEC ikizkenar dik üçgenleri eş üçgenler ve 45° – 45° – 90° özel üçgenlerdir. 90° nin gör-düğü kenar 30 nin görgör-düğü kenarın 2 katına eşit ise, ( ) . AE EC BE dir 2 2 8 2 8 2 4 2 = = = = =

• AED üçgeninde pisagor bağıntısından,

( ) ( ) . AE ED AD ED ED ED ED ED ED cm olur 4 2 2 26 32 104 104 32 72 72 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = + = = -= = = • ( ) . A ABCD AC BD cm bulunur 2 2 8 2 10 2 2 80 2 2 2 80 2 80 2 $ $ $ $ $ = = = = = Cevap: A

(4)

www

.krakademi.com

7.

Bilgi:

İki kenarı birbirine paralel olan dörtgene yamuk denir.

H C D A C B E F h a [AD] // [BC] |AD| = c br |BC| = a br |AH| = h br |AE| = |EB| |DF| = |FC| Özellikleri • m A( )W +m B( )V =m D( )W +m C( )W =180c • [EF] orta taban ise EF a c dir.

2 = + • Alan ABCD( ) (a c h) 2 $ = + x B C D y A 6 x – y = 7

• Dik yamuğun alanı 51 cm2_ise

( ) ( ) ( ) ( ) . A ABCD AB DC AD x y x y x y cm bulunur 2 51 2 6 3 51 17 3 $ $ $ = + = + + = + =

• Denklem çözümü yapılır ve denklemler taraf tara-fa toplanırsa, . x y x y x x cm bulunur 7 17 2 24 12 - = + + = = = Cevap: D

8.

Bilgi:

Dik yamuk yada herhangi bir yamukta alan kuralıdır.

x B C D A E x B C D A E ( ) ( ) DE EC ise

Alan EBC Alan ABCD 2 = = B C D E x A 8 3 24

• Yamukta alan kuralından, |AE| = |EB| ise

( ) ( ) ( ) ( ) . Alan ABCD Alan DEC Alan ABCD

Alan ABCD cm olur

2 2 24 24 2_$ 48 2 = = = = • ( ) ( ) ( ) ( ) . Alan ABCD AD BC AB x x x x x cm bulunur 2 48 2 3 8 48 3 4 3 12 12 3 9 4 12 $ $ $ = + = + = + + = = -= Cevap: B

(5)

www

.krakademi.com

9. B C D A 2x bx ax 5x

• Yamuğun özelliği, alt tabanı ile üst tabanı birbiri-ne paraleldir. Yani [DC] // [AB] olduğundan karşı durumlu (U-Kuralı) açıların toplamı 180° olaca-ğından, ( ) ( ) ( ) ( ) ° ° . ° ° . m A m m m D B C x ax olur bx x olur 180 2 180 180 5 180 + = + = + = + = W W X X

• Denklemlerin her ikisi de 180° eşit olduğundan birbirine eşittir. ( ) ( ) . x x ax bx x x a b a b a b a b bulunur 2 5 2 5 2 5 5 2 3 + = + + = + + = + - = -- = Cevap: C

10.

B C 3k 3k 18 2k D E A 18

• AECD paralelkenarının alanı 36 cm2_{ise [AC]}

köşegeni çizildiğinde eşit alanlı iki üçgen oluşur. A(ADC) = A(AEC) = 18 cm2_dir.

• , , . € AB DC oldu undan DC AB AB k ise DC k olur 3 5 3 5 5 3 $ = $ = = =

• Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşittir. Buna göre, |DC| = |AE| = 3k olur.

. AE EB AB k EB k EB k k EB k olur 3 5 5 3 2 + = + = = -=

• Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları taban uzunlukları ile orantılıdır. AEC ve EBC üçgenleri-nin yükseklikleri aynı olduğundan,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . EB AE Alan EBC Alan AEC k k Alan EBC Alan EBC

Alan EBC cm bulunur 2 3 18 3 18 2 6 2 12 6 2 $ $ = = = = = Cevap: B

(6)

www

.krakademi.com

11.

E B C D A 64° 64° 64° 64° 9 8 9 8

• BC kenarına paralel [DE] doğrusu çizilirse, EBCD paralelkenar olur. Paralelkenarın karşılıklı açıları birbirine eşit olduğundan,

( ) ( ) .

m ABC% =m CDE% =64colur

• ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) .

m ADC m ADE m CDE m ADE m ADE m ADE olur 128 64 128 64 64 c c c c c = + = + = -= % % % % % %

• DE // BC olduğundan (m ABC%) ve (m AED%) açısı yöndeş açılar olduğundan birbirine eşit ve

( ) ( )

m AED% =m ABC% =64c dir.

• ADE ikizkenar üçgeninde, eşit açıları gören kenarlar birbirine eşit olacağından

|AD| = |AE| = 9 cm dir.

• Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine eşit olduğundan, |DC| = |EB| = 8 cm dir. Buna göre, . AB AE EB AB AB cm bulunur 9 8 17 = + = + = Cevap: E

12.

4 6 x B H 4 + x C D A 4 6

• ABCD dik yamuğunun dik kenarı olan AD kena-rına C noktasından paralel olan [CH] doğrusu çizilirse,

|AD| = |HC| = 6 cm olur. |DC| = |AH| = 4 cm olur.

• |BH| = x cm olsun. Buna göre, |AB| ve |BC| uzun-luğu birbirine eşit olduğundan,

|AB| = |BC| = x + 4 cm olur.

• CHB üçgeninde pisagor bağıntısından, ( ) . BH CH BC x x x x x x x x x cm olur 6 4 36 16 8 36 16 8 20 8 8 20 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 + = + = + + = + + - = = = = ö , ( ) . Buna g re AB x AB AB AB cm bulunur 4 2 5 1 2 4 2 5 8 2 13 = + = + = + = Cevap: D