DÜZ DİŞLİLERDE KAVRAMA ÇEVRİMİNDE GERİLMELERİN DEĞİŞİMİNİN SONLU ELEMAN METODU İLE İNCELENMESİ

makale

DÜZ DÝÞLÝLERDE KAVRAMA ÇEVRÝMÝNDE

GERÝLMELERÝN DEÐÝÞÝMÝNÝN SONLU ELEMAN METODU

ÝLE ÝNCELENMESÝ

Cüneyt FETVACI * C.Erdem ÝMRAK **

Genel amaçlý sonlu eleman yazýlýmlarý sonlu elemanlar metodunun diþdibi gerilme analizine uygulanmasýný kolaylaþtýrmýþtýr. Bu çalýþmada ANSYS yazýlýmýnýn parametrik programlama lisaný kullanýlarak düz diþli çark sonlu eleman modeli elde edilmiþtir. Modellemede en önemli husus çözüm bölgesinin sýnýrlarýnýn tayinidir. Yazarlar literatürdeki modellerden hareketle yeni bir diþli çark sonlu eleman modeli geliþtirmiþlerdir. Geliþtirilen model düz diþlilerde kavrama çevriminde gerilme deðiþiminin incelenmesi için uygundur. Çeþitli haller için analiz neticeleri grafikler ile takdim edilmiþtir.

Anahtar sözcükler : Diþli çark, sonlu elemanlar, gerilme analizi, diþdibi gerilmeleri, modelleme.

The application of finite element method to gear tooth stress analysis can be performed easily with the help of the commercial multi-purpose FEA software. In this study, the finite element model of a spur gear tooth is developed by using the parametric design language of ANSYS software. In the finite element modeling of gear drivers, it is important to determine the contour delimitation of the problem. The authors, adapted the contour delimitation and applied boundary conditions suggested by other researchers in literature, and proposed a new finite element gear mesh pattern. The proposed model, as shown with given illustrations, is suitable for investigations of bending stress analysis of spur gears during the engagement cycle.

Keywords : Spur gear, finite element method, stress analysis, root stresses, modelling

* _{Y.Doç.Dr., ÝÜ Mühendislik Fakültesi} ** _{Doç.Dr., ÝTÜ Makina Fakültesi}

D

GÝRÝÞ

iþli çarklar mekanik gücün naklinde mühendislik ve maliyet avantajlarýný birarada sunduklarýndan endüstride yaygýn olarak kullanýlmaktadýr. Mühendislik teknolojisindeki geliþmelere paralel olarak yüksek hýzlarda çalýþan ve daha fazla yük taþýyan diþli çarklara ihtiyaç artmaktadýr. Yük taþýyan diþin kökündeki meydana gelen eðilme gerilmeleri, bu ihtiyacýn karþýlanmasýnda engel teþkil eden faktörlerden biridir. Dizayn aþamasýnda diþli hasarýna karþý önlem alýnmasý ve yük taþýma kapasitesinin arttýrýlmasý bakýmýndan eðilme gerilmelerinin bilinmesi gereklidir. Endüstriyel kullanýmlarýndan itibaren diþli çarklarýn incelenmesinde çeþitli analitik ve deneysel metotlar kullanýlmaktadýr. Analitik metotlar hesap kolaylýðý arz ederler fakat diþdibindeki kritik kesitin tayininde yapýlan kabuller nedeniyle modern diþli çarklarýn dizaynýnda yetersiz kalýrlar. Deneysel metotlar ise tesisatlarýn dizayný ve numunelerin hazýrlanmasýnda zorluklar arz ederler. Bilgisayar teknolojisindeki hýzlý geliþmelere paralel olarak, çeþitli parametrelerin etkilerinin hýzlý ve tatminkar bir þekilde incelenmesine olanak saðlayan sayýsal metotlar, diþli çarklarýn gerilme analizinde tercih edilmektedir. Konform tasvir, sonlu eleman ve sýnýr eleman metotlarý diþli çark analizinde kullanýlan sayýsal tekniklerdir [1]. Kullanýcý dostu yazýlýmlar sonlu elemanlar metodunun mühendislik problemlerine uygulanmasýnda büyük kolaylýklar saðlamaktadýr.

Wilcox ve Coleman [2] sonlu elemanlar metodunun diþli çark gerilme analizine uygulanma esaslarýný sunan ilk araþtýrmacýlardýr. [2-8] numaralý referanslar diþdibi gerilmelerinin incelenmesinde sonlu elemanlar metodunun kullanýldýðý çalýþmalara örnektir. Hesaplama kolaylýðý için analizde kullanýlacak modelin kaç diþten olmasýnýn yeterli olacaðý [3-5] numaralý çalýþmalarda belirtilmiþtir. Brauer, evolvent düz, helisel, düz konik ve konik (beveloid) diþlileri parametrik olarak tanýmlayan ifadeleri tesis ederek, bu diþlilerin genel sonlu eleman modellenmesini sunmuþtur [9]. Ayrýca asimetrik düz ve helisel diþli

makale

takýmýn geometrisi profilin þeklini tayin eder. Þekil 1'de diþ geometrisi görülmektedir.

DÝÞLÝ ÇARK KAVRAMA ÞEMASI

Diþli çiftinin temasý kavramaya girme ve kavramadan çýkma hallerinde Þekil 2'de gösterilmiþtir. Diþli çiftinin kavramaya girmesinden yuvarlanma noktasýndaki temas haline kadar olan bölge (AC) yaklaþma bölgesidir. Yuvarlanma noktasýndan (C) diþli çiftinin kavramadan çýkmasýna kadar olan bölge (CB) ise uzaklaþma bölgesidir. Bu çalýþmada, kavrama kýtasý (AB) yaklaþma ve uzaklaþma mesafelerine baðlý olarak 6 parçaya çarklarýn matematik modellenmesi [10] ve sonlu

elemanlar metodu ile gerilme analizi [10,11] konusunda çalýþmalar mevcuttur.

Bu çalýþmada genel amaçlý sonlu elemanlar analiz programýnda düz diþli çarklarýn modellenmesinde dikkat edilecek hususlar ele alýnmýþtýr. Ýncelenen literatürden farklý olarak, bir diþli çiftinin devreye girmesinde çýkmasýna kadar olan ve kavrama çevrimi olarak adlandýrýlan süreçte diþdibi gerilmelerin incelenmesine olanak saðlayan sonlu elemanlar modeli geliþtirilmiþtir. Fetvacý ve Ýmrak'ýn daha önce takdim ettikleri çalýþmalarda [12-14] diþ geometrisi BASIC programlama lisaný ile hazýrlanan programýn çýkýþ dosyasýnýn ANSYS'te okunmasý ile elde edilmekte idi. Bu çalýþma da ise tüm hesaplamalar ANSYS programýnda yapýlmaktadýr. Kavrama kýtasýnýn belirli noktalarýna karþýlýk gelen yükleme durumu için gerçekleþtirilen statik analiz neticeleri birbiri ardýnca deðerlendirilerek diþli çarktaki gerilmenin zamana baðlý deðiþimi (pseudo-dinamik gerilme analizi) incelenmiþtir. Neticeler grafikler ile sunulmuþtur.

EVOLVENT DÝÞLÝ ÇARK GEOMETRÝSÝ

Modellemede ilk adým olan bilgisayar ortamýnda diþli çark geometrisinin elde edilmesi diþli çark imalatýnýn simülasyonunu gerektirmektedir. Diþli imalatý kesici takýmla ham diþlinin izafi hareketleri neticesinde gerçekleþmektedir. Diþli analitik mekaniði esaslarý çerçevesinde imalat prosesi modellenerek diþ profilini tayin eden analitik ifadeler tesis edilmiþtir [9,15-20]. Bu ifadelerin programlanarak bilgisayara aktarýlmasý diþli imalatýnýn simülasyonunu saðlamaktadýr. Bu çalýþmada profili tayin eden ifadeler ANSYS ortamýnda ve yazýlýmýn parametrik dizayn lisaný ile programlanmýþtýr.

Düz diþli çark profili, diþ yan yüzeylerinde evolvent eðrilerden, diþbaþý ve diþdibinde konsantrik yaylardan, diþ kökünde ise trokoid eðrisinden meydana gelir. Kesici

Evolvent eðrisi Trokoid eðrisi

Diþ tabaný Diþ baþý

Þekil 1. Evolvent Profilli Diþlinin Geometrisi

makale

bölünmüþtür Her bir bölge 3 eþit parçaya bölünmüþtür. Bu noktalara karþýlýk gelen yarýçaplara göre evolvent profil oluþturulmuþtur. Böylece að yapýsý deðiþtirilmeden kavrama kýtasý üzerinde tayin edilen 7 ayrý noktada sýrasýyla gerilmelerin incelenmesini saðlayan analiz gerçekleþtirilmektedir. Bu noktalara karþýlýk gelen yükleme yer ve doðrultularý Þekil 3'de gösterilmiþtir. Böylece pinyon modele diþ kuvvetleri sýra ile tatbik edilmektedir. Esasen statik olan gerilme analizi neticeleri birbiri ardýnca deðerlendirildiðinde bir nevi eþ çalýþan diþlilerin zamana baðlý gerilme deðiþiminin incelenmesini (pseudo-dinamik gerilme analizi) saðlamaktadýr.

PARAMETRÝK DÝZAYN LÝSANI ve ÇALIÞMA DOSYASI

Ele alýnan bir problemin sonlu elemanlar modelleme, çözümleme ve sonuçlarýn deðerlendirilmesi iþlemleri ANSYS programýnda sýrasýyla ön-iþlemci, çözümleyici ve son-iþlemci modüllerinde gerçekleþtirilmektedir. Programýn menü'lerinden iþaretlenen veya klavyeden girilen her komut çalýþma dosyasýna yazdýrýlmaktadýr. Problemin belli bir düðüm noktasý konfigürasyonu ve

sýnýr þartlarý için hazýrlanan çalýþma dosyasý istendiðinde yüklenilerek analizler tekrarlanýr. Ancak bu çalýþma dosyasý ile sadece modeli tesis ederken kullanýlan sabit deðerler için analiz yapýlabilir. Farklý deðerlerin çözüme olan etkilerini kolaylýkla incelemek için modeli tesis ederken kullanýlan büyüklükler parametrik olarak ifade edilmelidir. ANSYS Parametrik Dizayn Lisaný (APDL) gerek modellemede esneklik ve gerekse çeþitli hesaplamalarýn yapýlmasýný saðlamaktadýr [21,22].

Bu çalýþmada ANSYS programýnda diþli çarkýn modellenmesi ve analizi için gerekli komutlarýnýn sýralandýðý bir dosya geliþtirilmiþtir. Diþ profilini tayin eden ifadeler ANSYS Parametrik Dizayn Lisaný (APDL) ile programlanarak çalýþma dosyasýnýn baþýna konulmuþtur. Program çalýþtýrýldýðýnda, modül, diþ sayýsý, kavrama açýsý ve sektör kalýnlýðýný belirleyen parametrelerin deðerleri istenmektedir. Modeli tesis ederken, eleman sayýsý ve yoðunluðunu tayin eden büyüklükler parametrik olarak ifade edilmiþtir. Buna baðlý olarak yük tatbik noktasýnýn yeri de parametrik olarak tayin edilmektedir.

DÝÞLÝ ÇARK SONLU ELEMAN MODELÝ

Düz diþli, radyal eksene (diþ merkez doðrusu) göre simetrik olduðundan, diþ formu geniþlik doðrultusunda deðiþmediðinden ve teorik olarak diþ geniþliði boyunca kuvvet daðýlýþýnýn düzgün olduðu kabul edilebildiðinden diþler iki boyutlu cisim olarak modellenebilir. Malzeme homojen, izotropik ve Hook Kanuna göre elastiktir. Bu özelliklere göre modellemede PLANE42 2-boyutlu 4-düðüm noktalý dörtgen sonlu eleman kullanýlmýþtýr.

Modelinin Yaratýlmasý

Diþlerin sonlu eleman aðýnýn oluþturulmasýnda katý modellemeden faydalanýlmaktadýr. Elemanlarýn geometrik þekil, sayý ve yoðunluðunu kontrol etmek için katý model çok sayýda bölgelerin topluluðu olarak tesis

makale

edilmiþtir [23]. Modül, kavrama açýsý, diþ sayýsý ve sektör kalýnlýðý deðerleri girildikten sonra hesaplamalar yapýlarak diþ profilini tayin eden noktalar oluþturulmaktadýr. Noktalar çizgilerin tanýmlanmasýnda kullanýlmakta ve nihayet yüzeyler çizgilerin uygun kombinasyonu ile oluþturulmaktadýr. Böylece sonlu eleman aðýnýn yapýsýný tayin eden katý model tesis edilmektedir. Þekil 4 (a)'da diþli çark katý modeli gösterilmiþtir. Eleman sayý ve yoðunluðunu belirleyen parametreler bölgelerin kenarlarýna uygulanmaktadýr. Bu iþlemler tamamlandýktan sonra að oluþturma komutuyla diþli çark sonlu elemanlar modeli tesis edilmektedir.

Yapýdaki gerilmenin hýzla deðiþtiði bölgelerde eleman yoðunluðu yüksek tutulmuþ, gerilmenin nispeten yavaþ deðiþtiði bölgelerde ise eleman yoðunluðu düþük tutulmuþtur. Bu iki bölge arasýnda eleman yoðunluðu tedrici olarak deðiþmektedir. Sonuç olarak sonlu elemanlar gerilme analizi için elde edilen diþin sonlu elemanlar modeli Þekil 4(b)'de gösterilmiþtir.

Ýstenilen diþ sayýsýndaki modeli tesis etmek için tek bir diþten oluþan bu modele geometrik dönüþümler

uygulanabilir. Böylece 2, 3, veya komple diþlinin sonlu elemanlar modeli elde edilebilir.

Sýnýr Þartlarý ve Çözüm Bölgesi

Sýnýr þartlarý statik ve kinematik olarak ikiye ayrýlýr. Kinematik sýnýr þartý diþ sektörünün radyal kenarlarýna ve tabanýna tatbik edilen yer deðiþtirme kýsýtlamalardýr. Diþli çarký modellerken modelin kaç diþten oluþacaðýný belirlemek en önemli husustur. Tüm diþleri ile modeli tesis etmek hesaplama süresi (maliyeti) nedeniyle tercih edilmez. Modellemeyi basitleþtirmek ve hesaplama zamanýný azaltmak için, diþli çarký olduðu gibi modellemek yerine, bütün sýnýr þartlarý ve parametrelerin tanýmlanmasýna imkan saðlayan diþli sektörler göz önüne alýnýr [24].

Wilcox ve Coleman [2] ile Chabert ve arkadaþlarý [3] çalýþmalarýnda modelleri tek bir diþten tesis etmiþlerdir. Andrews [5] yükün tatbik edildiði diþin sað ve soluna yarým diþ ilavesi ile, bir tam diþ ve iki yarým diþten oluþan model tesis etmiþtir. Böylece diþdibi gerilmesini kinematik sýnýr þartýnýn etkisinden muaf

(a) katý model (b) sonlu eleman modeli

makale

çiftinin sadece pinyon diþi modellenmekte, diðer diþlinin etkisi pinyon modele temas kuvvetinin uygulanmasý ile simüle edilmektedir. Saint-Venant prensibi gereðince inceleme bölgesi olan diþ kökü uygulanan kuvvetlerden yeterince uzakta olduðu için temas kuvveti tekil yük olarak uygulanabilmektedir.

Diþ kuvvetinin diþ ucuna tam deðerde tatbik edilmesi en kritik haldir. Gerçekte kavrama oranýna baðlý olarak diþ kuvveti, müteakip devreye giren diþli çifti ile paylaþýlmaktadýr. Diþler, yük paylaþýmýný saðlayacak hassasiyette imal edilmediði düþünülerek, diþ kuvvetinin diþ ucunda tam deðerde etki ettiði kabul edilmiþtir. Bu nedenle diþ dibinde azami gerilmeyi saðlayan yük tatbik noktasý diþ ucudur [25].

Andrews'in [4] teklif ettiði çözüm bölgesi esas alýnarak, bu çalýþmada Þekil 5'de görülen kinematik sýnýr þartlarý uygulanan diþli çark sonlu elemanlar modeli kullanýlmýþtýr. Yük tatbik doðrultulardaki yükleme açýlarý, 7 düðüm noktasý için hesaplanmýþ, sýrayla diþ kuvveti uygulanmýþ ve çözümleme gerçekleþtirilmiþtir. Yük tatbiki için Fetvacý [12] tarafýndan APDL lisaný ile geliþtirilen makro kullanýlmýþtýr.

GERÝLMELERÝN ÝNCELENMESÝ

Sýnýr þartlarý uygulanmýþ model çözümlendiðinde düðüm noktasý bazýnda yer deðiþtirmeler ve gerilmeler incelenebilir. Bu çalýþmada hazýrlanan diþli çark sonlu eleman modeli, kavrama kýtasýnda tayin edilen noktalara karþýlýk gelen düðüm noktalarýna yük uygulanmasýný saðlamaktadýr. Bu bakýmdan bir kavrama çevriminde gerilmelerin deðiþimi incelenebilmektedir. Bu çalýþmada, gerilme analizi için tesis edilen modelde, modül m =2,5 mm, diþ sayýsý z=24 ve kavrama açýsý a = 20º ve sektör kalýnlýðý 2·m olarak alýnmýþtýr. Diþ kuvveti F=1355 N olarak uygulanmýþtýr. Düzlem þekil deðiþtirme hali dikkate alýnarak sonuçlar 30 mm diþ geniþliði için verilmektedir.

Diþdibindeki yorulma çatlaðý çekme tarafýndan baþladýðýndan, bu bölgedeki azami çekme gerilmeleri incelenmelidir. Diþ baþýndan baþlayarak profil boyunca belirtilen noktalara yükün uygulanmasýndan meydana gelen gerilmeleri karþýlaþtýrmak için gerilmenin maksimum olduðu kesit (kritik kesit), her hal için Þekil 5'de görüldüðü üzere sabit tutulmuþtur. Þekil 5'deki model için, sýrayla gerçekleþtirilen yükleme pozisyonlarýnda gerilmeler Þekil 6'da gösterilmiþtir. 7

Þekil 5. Geliþtirilen Diþli Çark Sonlu Eleman Modeli

0 1 2 3 4 5 6 7 YÜKLEME YERÝ 40.00 50.00 60.00 70.00 GE R ÝL M E (N /mm2 ) B C _A

makale

numaralý düðüm noktasýndaki yükleme hali için gerilmenin artmasý yük uygulama yerinin kök bölgesine yakýn olmasýndan kaynaklanmaktadýr. Buradaki yerel yýðýlma kök bölgesindeki gerilmeyi etkilemektedir.

Diþdibindeki azami gerilmeyi meydana getiren yükleme hali diþ ucundan yüklemedir. Bu hal için kritik kesit boyunca maksimum asal, minimum asal ve eþdeðer (von Mises) gerilmelerin deðiþimi Þekil 7'de gösterilmiþtir.

Diþdibinde kök eðrisi boyunca azami gerilmelerin yükün uygulanma yerine göre deðiþimi Þekil 8'de incelenmektedir. Diþ ucundan, taksimat dairesinden ve diþ köküne en yakýn noktadan yapýlan yükleme halleri için gerilmelerin deðerleri gösterilmiþtir. Yük tatbik yerinin kök bölgesine yakýn olduðu son hal için temas gerilmesi kökteki azami gerilmeyi etkilemektedir. Kök bölgesinin evolvente yakýn tarafýnda gerilmedeki artýþ temas gerilmesinin etkisinden kaynaklanmaktadýr [26].

Bu çalýþmada geliþtirilen model diþ baþýndan yükleme halinde çeþitli diþ sayýlarý için analiz edilerek diþdibindeki azami gerilmeler incelenmiþtir. Diðer araþtýrmacýlarýn sonuçlarý ile

yapýlan karþýlaþtýrmalar Tablo 1'de verilmiþtir. Ýncelenen çalýþmalardaki [3,4] eleman tipleri ikinci derecedendir. Bu çalýþmada birinci dereceden eleman kullanýlmakla birlikte elde edilen neticeler her hal için diðer araþtýrmacýlarýn sonuçlarýyla tatminkar derecede uyuþmaktadýr.

SONUÇ

Sonlu elemanlar metodu, genel amaçlý yazýlýmlarýn modellemede saðladýðý kolaylýklar nedeniyle diþli çarklarýn gerilme analizinde yaygýn olarak kullanýlmaktadýr. Genel olarak sonlu elemanlar metodu ile düz diþli çarklarýn incelenmesinde diþdibi gerilmelerine iki boyutlu statik yaklaþým esas alýnmaktadýr. Sunulan bu çalýþmada ise, kavrama çevriminin belirli anlarýnda yüklemeyi saðlayan

0.00 2.00 4.00 KRÝTÝK KESÝT KALINLIÐI (mm) -80.00 -60.00 -40.00 -20.00 0.00 20.00 40.00 60.00 80.00 G ER ÝL M EL ER (N /mm2) MAX. ASAL MÝN. ASAL von MISES

Þekil 7. Kritik Kesit Boyunca Gerilmelerin Deðiþimi

ÖLÇÜM NOKTASI 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00 90.00 100.00 D ÝÞ K Ö K Ü YÜ ZE Y G E R ÝL M EL ER Ý ( N /m m 2) Yükleme Noktalarý B C A y z

Þekil 8. Diþkökü Yüzeyinde Gerilmelerin Deðiþimi

Maksimum Asal Gerilme (MPa)

Diþ Sayýsý Tobe [4] Chabert [3] Çalýþma

20 102.7672 103.0924 99.04127 24 68.51591 68.69366 66.47187 28 49.21631 48.94783 47.67507 32 37.1705 36.60231 35.86413 36 29.10992 28.38362 28.14914 40 23.43564 22.64293 22.68707

makale

açýklayýcý bir örnek (modül m =2,5 mm, diþ sayýsý z=24, kavrama açýsý a = 20º, sektör kalýnlýðý 2·m, diþ kuvveti F=1355 N ve diþ geniþliði 30 mm) ile yükleme yerine göre diþdibi gerilmesinin deðiþimi, kritik kesit boyunca gerilmelerin deðiþimi ve diþ kökü yüzeyinde gerilmelerin deðiþimi incelenmiþtir. Ayrýca çeþitli diþ sayýlarý için analizler yapýlarak sonuçlar diðer araþtýrmacýlarýn sonuçlarý ile karþýlaþtýrýlmýþtýr. Bu çalýþmada sunulan model ile her yükleme hali için gerçekleþtirilen statik analiz neticeleri bir arada deðerlendirildiðinde diþ gerilmelerinin bir nevi zamana baðlý deðiþiminin (pseudo-dinamik) incelenmesi gerçekleþtirilebilmektedir.

KAYNAKÇA

1. Errichello, R., Review on Gears, ASME Journal of Mechanical Design, Vol.105, 283-284, 1983.

2. Wilcox ,L., Coleman, W., Application of Finite Elements to the Analysis of Gear Tooth Stresses, ASME Journal of Engineering for Industry,Vol. 95,1139-1148,1973.

3. Chabert, G., Tran, T.D., Mathis, R., An Evaluation of Stresses and Deflection of Spur Gear Teeth Under Strain", ASME Journal of Engineering for Industry, Vol.96, 85-93, 1974.

4. Tobe, T., Kato, M., Inoue, K., True Stress and Stifness of Spur Gear Teeth , ASME Proc. of the 5th World Cong. on Theory of Machines & Mechanisms, 1105-1108, 1979. 5. Andrews, J.D., A Finite Element Analysis of Bending Stresses

Induced in External and Internal Involute Spur Gears, Journal of Strain Analysis, Vol.26, 153-163, 1991.

6. Bibel, G.D., Reddy, S.K., Savage, M., and Handschuh, R.F., Effects of rim thickness on spur gear bending stress, ASME Journal of Mechanical Design, 116, pp. 1157-1162, 1994. 7. Filiz,H., Eyercioðlu, O., Evaluation of Gear Tooth Stresses

by Finite Element Method, ASME Journal of Engineering for Industry, 117, 232-239, 1995.

8. Günay, D., Özer, H., Aydemir,A., Düz Diþlilerde Diþ Kökü Gerilmelerinin Sonlu Elemanlar Yöntemiyle Analizi, II. Ulusal Hesaplamalý Mekanik Konferansý, 19-28,4-6 Temmuz 1996, Trabzon

9. Brauer, J., A General Finite Element Model of Involute Gears, Finite Element in Analysis and Design, Vol. 40, 13-14,1 857-1872, 2004.

10. Yang, S.C., Mathematical Model of a Helical Gear with Asymmetric Involute Teeth and Its Analysis, Int. J. Adv. Manuf. Technol., 2005, in press.

11. Cavdar, K., Karpat, F., Babalik, F.C., Computer Aided Analysis of Bending Strength of Involute Spur Gears with Asymmetric Profile, Journal of Mechanical Design, Vol. 127, 477-484, 2005

12. Fetvacý, M.C., ANSYS Sonlu Elemanlar Analiz Programý ile Düz Diþli Çarklarýn Modellenmesi, Mühendis ve Makina, Sayý 474, 41-44, 1999.

13. Fetvacý, C., Ýmrak, C.E., Diþdibi Gerilmelerinin Analizi Ýçin Düz Diþli Çarklarýn Sonlu Eleman Modellenmesi, Gazi Üniversitesi MMF Dergisi, Cilt 19, Sayý 2, 199-203, 2004. 14. Fetvacý, C., Ýmrak, C.E., The Finite Element Modeling of

Spur Gears for Pseudodynamic Stress Analysis, Proceedings of the First Cappadocia International Mechanical Engineering Symposium,Volume III: MECHANICS AND MATERIALS, pp. 826-830,14-16 July 2004, Cappadocia, Nevþehir, Turkey 15. Buckingham, E., Analytical Mechanics of Gears,

McGraw-HILL Book Company Inc., New York, 1949

16. Salamoun, C. and Suchy, M., Computation of Helical or Spur Gear Fillets, Mechanism and Machine Theory, 8, 305-323, 1973

17. Litvin, F.L., Gear Geometry and Applied Theory, PTR Prentice Hall, New Jersey, 1994

18. Arýkan, M.A.S., Determination of Maximum Possible Contact Ratios for Spur Gear Drives with Small Number of Teeth, ASME Design Engineering Technical Conferences, 569-576, 1995. 19. Dooner, D., Seireg, A., The Kinematic Geometry of Gearing,

McGraw-Hill, New York, 1995

20. Math, V.B., Chand, S., An Approach to the Determination of Spur Gear Tooth Root Fillet, ASME Journal of Mechanical Design, Vol.126, 336-340, 2004

21. ANSYS User's Manual for Revision 5.0, Swanson Analysis Systems, Houston, 1992

22. ANSYS Parametric Design Language, a revision 5.0 tutorial, Swanson Analysis System Inc., Houston, 1992

23. Barkah D., Shafiq B., Dooner D., 3-D Mesh Generation for Static Stress Determination in Spiral Noncircular Gear Used for Torque Balancing, ASME J. of Mech. Design, Vol.124, 313-319, 2002.

24. Sfakiotakis, V.G., Vaitsis, J.P., Anifantis, N.K., Numerical Simulation of Conjugate Gear Action, Computers and Structures, Vol.79, 1153-1160, 2001.

25. Colbourne, J.R., The Geometry of Involute Gears, Springer-Verlag, New Jersey, 1987.

26. Allison, I.M., Hearn, E.J., A New Look at the Bending Strength of Gear Teeth, Experimental Mechanics, Vol. 20, 217-225, 1980.