Bir sır epidemiyoloji modelinde optimal aşılama ve tedavi kontrolü

Gözde CAN Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı

Gözde CAN

Dumlupınar Üniversitesi

Lisansüstü Eğitim Öğretim ve Sınav Yönetmeliği Uyarınca Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalında

YÜKSEK LİSANS TEZİ Olarak Hazırlanmıştır.

Danışman: Doç. Dr. Ali Serdar NAZLIPINAR

KABUL VE ONAY SAYFASI

GÖZDE CAN ’ ın YÜKSEK LİSANS tezi olarak hazırladığı "Bir SIR Epi-demiyoloji Modelinde Optimal Aşılama Ve Tedavi Kontrolü" başlıklı bu çalışma, jürimizce Dumlupınar Üniversitesi Lisansüstü Eğitim Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin ilgili mad-deleri uyarınca değerlendirilerek kabul edilmiştir.

06 /04/2018

Prof. Dr. Önder UYSAL

Enstitü Müdürü, Fen Bilimleri Enstitüsü ...

Prof. Dr. İsmail EKİNCİOĞLU

Bölüm Başkanı, Matematik Bölümü ...

Doç. Dr. Ali Serdar NAZLIPINAR

Danışman, Matematik Bölümü ...

Sınav Komitesi Üyeleri

Doç. Dr. Ali Serdar NAZLIPINAR

Matematik Bölümü, Dumlupınar Üniversitesi ...

Prof. Dr. Elçin YUSUFOĞLU

Matematik Bölümü, Uşak Üniversitesi ...

Doç. Dr. Ahmet BOZ

ETİK İLKE VE KURALLARA UYGUNLUK BEYANI

Bu tezin hazırlanmasında Akademik kurallara riayet ettiğimizi, özgün bir çalışma olduğunu ve yapılan tez çalışmasının bilimsel etik ilke ve kurallarına uygun olduğunu, çalışma kapsamında teze ait olmayan veriler için kaynak gösterildiğini ve kaynaklar dizininde belirtildiğini, Yüksek Öğretim Kurulu tarafından kullanılmak üzere önerilen ve Dumlupınar Üniversitesi tarafından kullanılan İntihal Programı ile tarandığını ve benzerlik oranının % 18 çıktığını beyan ederiz. Aykırı bir durum ortaya çıktığı takdirde tüm hukuki sonuçlara razı olduğumuzu taahhüt ederiz.

BİR SIR EPİDEMİYOLOJİ MODELİNDE OPTİMAL AŞILAMA VE TEDAVİ KONTROLÜ

Gözde Can

Matematik , Yüksek Lisans Tezi, 2018 Tez Danışmanı : Doç. Dr. Ali Serdar Nazlıpınar

ÖZET

Bu tezde bazı SIR tipi salgın hastalıkların matematiksel modellenmesi incelenmiştir. Ayrıca dinamik sisteme eklenen aşılama ve tedavi kontrolü ile elde edilen kontrol sistem için optimal kontrol problemi oluşturulmuştur.

Tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde dinamik sistemlerin kararlılık analizinde ve optimal kontrol uygulamalarında kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verilmiştir. İkinci bölümde SIR dinamik sistemi üzerine aşılama ve tedavi kontrolünü karakterize eden bir kontrol parametresi eklenerek bir kontrol sistem oluşturulmuştur ve kararlılık analizi yapılmıştır.Üçüncü bölümde Kontrol sistem için optimal kontrol problemi verilmiş ve çözüm elde edilmiştir.Dördüncü bölümde, Optimal kontrolün SIR modeli üzerinde etkisi Nümerik olarak incelenmiştir ve yapılan nümerik çözümler grafikleri vasıtasıyla yorumlanmıştır.

OPTIMAL CONTROL OF AN EPIDEMIOLOGICAL SIR MODEL WITH VACCINATION AND TREATMENT

Gözde Can

Mathematics, M.S. THESIS, 2018

Thesis Supervisor : Assoc.Prof. Dr. Ali Serdar NAZLIPINAR SUMMARY

In this thesis, mathematical modeling of some SIR-type epidemics has been examined. Furthermore, through the vaccination control and treatment control added to the dynam-ical system, an optimal control problem is formed for the obtained control system.

This thesis consists of four chapters. In the first chapter, some fundamental definitions and theorems used for the stability analysis of dynamical systems and optimal control applications are presented. In the second chapter, a control system is constructed by adding a control parameter which characterizes the vaccination and treatment control on SIR dynamical system and stability analysis is conducted. In the third chapter,An optimal control problem is introduced for the control system and the solution is obtained. In the fourth chapter, effect of optimal control on SIR model examined numerically and numerical solutions are interpreted through the graphical representations.

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans eğitimim ve bu çalışmam sürecinde bana rehberlik eden, engin bilgilerini ve tecrübelerini benden esirgemeyen sayın danışman hocam Doç.Dr. Ali Serdar NAZLIPI-NAR’a ve bana bu süreçte yardımını esirgemeyen Barbaros BAŞTÜRK’e sonsuz saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Hayatım boyunca maddi manevi desteklerini hiçbir zaman eksik etmeyen ve her zaman yanımda olan sevgili aileme teşekkür ederim.

Sayfa ÖZET... v SUMMARY... vi ŞEKİLLER DİZİNİ ... ix ÇİZELGELER DİZİNİ... x 1. GİRİŞ... 1

2. TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER... 4

2.1. Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri İçin Kararlılık Analizi... 4

2.2. Otonom Sistemler... 4

2.3. Denge Noktalarının Sınıflandırılması... 6

2.4. Lineer Olmayan Diferansiyel Denklem Sistemleri İçin Kararlılık Analizi ... 7

2.5. Lineer Olmayan Sistemlerin Denge Noktalarının Kararlılığı ... 8

2.6. LYAPUNAV Direk Metodu ... 9

2.7. Optimal Kontrol Problemi... 16

3. SIR MODELİ... 19

3.1. SIR Modelinin Kurulumu... 19

4. SIR MODELİNİN OPTİMAL KONTROLÜ ... 35

5. OPTİMAL KONTROLÜN NÜMERİK OLARAK HESABI ... 42

5.1.Optimal Kontrolün SIR Modeli Üzerine Etkisinin Nümerik Olarak İncelen-mesi... 42

6. SONUÇ ... 52

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil Sayfa

5.1. Optimal kontrolün SIR modeli üzerindeki etkisi (R0≤ 1)... 43

5.2. Optimal kontrolün SIR modeli üzerindeki etkisi (R0> 1)... 45

5.3. Optimal kontrolün SIR modeli üzerindeki etkisi (R₀> 1)... 46

5.4. u1 ve u2 kontrol fonsiyonlarının etkisi(C1 = 1 C2= 1) ... 47

5.5. u1 ve u2 kontrol fonsiyonlarının etkisi(C1 = 4 C2 = 1) (C1 = 1 C2 = 4) ... 48

5.6. λ1 ve λ2 marjinal maliyetlerin etkisi (C1= 4 C2= 1)... 50

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge Sayfa

1.

GİRİŞ

Tarih boyunca insanoğlunun karşı karşıya kaldığı doğal felaketlerden birisi de salgın hastalıklardır. Sağlık üzerine uğraşan bilim insanları yüzyıllar boyunca salgın hastalıklarla mücadele etme yollarını aramışlar ve birçok araştırma ve çözüm yolları bulmuşlardır. Be-lirli insan topluluklarında , hastalıkların dağılımının ölçülmesi 19.yy da yapılmaya başlan-mıştır. 19. yüzyılların sonlarına kadar toplumların en büyük sorunu olan kolera, veba, çiçek gibi hastalıklar ülkeden ülkeye yayılan milyonlarca kişinin hastalanmasına ve hatta binlercesinin ölümüne yol açan enfeksiyon hastalıklarını (bulaşıcı hastalıkları) oluşturmak-tadır. Bu bağlamda , hastalık yapıcı herhangi bir mikroorganizmanın insan vücuduna girip, burada yerleşmesi ve çoğalmasına "bulaşma (infeksiyon)", bunun sonucunda çıkan hastalığa da "bulaşıcı hastalık "(infeksiyon hastalığı)" adı verilmektedir . Bulaşıcı hastalıklar bazen salgın hale gelerek, toplum sağlığını önemli ölçüde tehlikeye düşürmüşlerdir. Bir hastalığın belli bir zaman aralığında fazla sayıda görülmesi durumuna "salgın (epidermi)", kıta ve kıtaları etkileyen büyük salgınlara da "pandemi" denilmektedir. Salgınlarda, mikroorga-nizma, bünyeye ve dış etkenlere bağlı çeşitli faktörler rol oynar.

Bulaşıcı hastalıkların nedenlerinin araştırılması ile ilgili çalışmalar epidemiyoloji alanında yapılmaktadır.Bu bağlamda epidemiyoloji,belirli toplumlarda sağlıkla ilgili durum ya da olayların dağılımı ile toplumda kişi, yer ve zaman özelliklerine göre incelenmesi ve bu çalışmanın sağlık sorunlarının önlenmesi ve kontrolüne uygulanmasıdır . Epidemiyologlar, sadece ölüm ve hastalıkla değil, sağlık durumlarının geliştirmek, sağlığı iyileştirmenin yol-larıyla da ilgilenmektedirler. Zamanla birey ve toplumun sağlık konusundaki bilgileri, tu-tum ve davranışları, ekonomik durumları, çevre koşulları, sağlık alanındaki yenilikler; sağlık hizmetlerinin nitelik ve niceliğini, sağlık sorunlarının tanılarını, tedavilerini ve bu sorun-lardan korunmayı önemli ölçüde etkiler.

Salgın hastalık için izlenen bu yolda eğer zamanında ve yeterli adımlar (aşı ,tedavi , bilgilendirme va aydınlatılma çalışmaları vb) atılırsa çoğu bulaşıcı hastalık azalır hatta giderek yok olur. Aşısı ve tedavisi olan bulaşıcı hastalıkların yayılmasını kontrol altına al-mak için önceden adımlar atılması son derece önemlidir.Bu durumda bir hastalığın ortaya çıkmasını engellemek onu tedavi etmekten maliyeti daha uygun bir yöntemdir.

Bulaşıcı hastalıkların kontrolü ve yayılmasını analiz etmek için matematik mod-ellemeleri önemli araç olmuştur. Matematik modelleri doğanın dilinin hassas matematik

dile çevrilmesidir. Bu bağlamda matematiksel modeller ilk olarak 18 .yy da, dinamik sistem yaklaşımları ise 19.yy ın başlarında kullanılmaya başlamıştır. Bu alanda birçok çalışma yapılmıştır.Örneğin; Kermack ve McKendrick yapmış oldukları çalışmalarda bir toplumun başlangıçta tüm bireylerin belirli bir hastalığa karşı bağışıklıklarının olmadık-larını ve hastalığa yakalanma potansiyeline sahip oldukları ve bir kez hastalığı geçiren birey-lerin hastalığa karşı bağışıklık kazandığı varsayımını yapmıştır. Burada çeşitli varsayımlar altında literatürde SIR modeli olarak bilinen bir model oluşturulmuştur ve farklı modellerin geliştirilmesine önayak olmuştur . (Bailey, 1975 ; Anderson ve May, 1991 ; Hethcote, 2000 ;Nars vd.,2006 ; Keeling ve Rohani, 2008 ). Granish ve arkadaşları ise HIV model anal-izi yapmıştır ve salgını yok etmek için HIV virüsüne karşı tedavi sürecini izleyen evrensel HIV testini ileri sürmüşlerdir(Granish vd., 2008). Ayrıca Wang ve arkadaşları ise Hepatit B hastalığı için kontrol medelleri öne sürdü ve Hepatit B ye bağlı ölümlerin azalabileceğini iddia ettiler (Wang vd., 2010).

Optimal kontrol teori matematiğin diğer bir alanıdırki bu kapsamlı olarak bulaşıcı hastalıkların yayılmasının kontrolünde ve karmaşık biyolojik durumlarında gerekli plan-lamanın yapılması ve doğru kararlar alınabilmesi için kullanılır. Burada Pontryagin Maksi-mum Prensibi olarak bilinen teoremden yararlanılmaktadır. Bu teorem optimal kontrolün varlığı için gerek ve yeter şart olarak değerlendirilir. Bu genellikle aşılama ve ilaçla te-davi yöntemleri ile çoğu hastalığın yayılmasının kontrolünde kullanılmaktadır (Fleming ve Rishel, 1975 ). Örneğin,Graff ve Schaefer’ in çalışmalarında aşı ve tedavi kontrol ölçeklerini kullanarak hastalanan bireylerin sayısını azaltmak için optimal kontrol teorisini uygu-ladılar(Yusuf ve Benyah ,2012 : Gaff ve Schaefer,2009).Zaman ve arkadaşları ise sadece aşılama ile bir SIR modelinin kontrolüne ilişkin incelemeler yapmıştır(Zaman vd., 2008). Kirschner ve arkadaşları da HIV virüsü taşıyan bireylere virüse karşı ilaçların verilerek en uygun tedavi yönteme karar vermek için optimal kontrol teorisi kullanmışlardır (Kirschner vd., 2007). Fisher ve Denelly ise kanser tedavisi gören hastaların tümör hücrelerini yok etmesi durumuna karar vermek için optimal kontrol teorisi kullanmışlardır(Fisher ve Den-nely, 2005).

Birinci bölümünde tezde kullanılacak bazı matematiksel kavramlar, tanımlar ve teo-remlere yer verilmiştir.

İkinci bölümde , SIR modelinin aşılama ve tedavi kontrolü ile kurulması, modellen-mesi,denge noktalarının bulunmasına (kararlılığın incelenmesi) yer verilmiştir.

Üçüncü bölümde , SIR modeli için optimal kontrol problemi, aşılama ve tedavi kontrolü parametreleri ile oluşturulması ve problemin çözümü, Pontryagin maksimum prensibi ile bulunmasıdır.

Dördüncü bölümde, optimal çözümün yaklaşık hesaplanabilmesi için kullanılacak nümerik çözüm oluşturulmuştur. Optimal aşılama ve tedavi kontrolü altında elde edilen çözümler grefikler yardımıyla yorumlanmıştır.

2.

TEMEL TANIMLAR VE TEOREMLER

2.1. Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri İçin Kararlılık Analizi

Tanım 2.1. K kümesi Rn _{in bir açık alt kümesi, y ∈ K ⊂ R}n _{, t ∈ I ⊂ R ve f (t, y) vektör}

alanı olmak üzere birinci mertebeden bir diferansiyel denklem sistemi, ˙

y = dy

dt = f (t, y) (2.1)

şeklinde tanımlanır. Her t ∈ I için (2.1) denklemini sağlayan y = y(t) fonksiyonlarına denklem sisteminin çözümü denir.(Arrowsmith ve Place, 1986)

Tanım 2.2. y ∈ K ⊆ Rn ve B = R × K olmak üzere,

˙

y = Y (y) (2.2)

diferansiyel denklem sistemine otonom denklem sistemi denir. Burada Y sadece y değişkenine bağlıdır, t değişkeni açıkça denklemde görülmez.(Wiggins, 1990)

2.2. Otonom Sistemler

y = (y1, y2, y3) ∈ R3, Y (y) R3 de bir vektör alanı olmak üzere,

˙ y ≡ dy dt = Y (y) diferansiyel denklemi, ˙ y1 = Y1(y1, y2, y3) ˙ y2 = Y2(y1, y2, y3) ˙ y3 = Y3(y1, y2, y3) (2.3)

şeklinde yazılabilir. t ∈ I ⊂ R olmak üzere y(t) = (y1(t), y2(t), y3(t)) fonksiyonu (2.3)

denklem sisteminin çözümü olsun. ∀t ∈ I için bu çözümlerin yer aldığı y1y2y3 uzayına

Tanım 2.3. (2.3) sisteminin denge noktaları, Y1(y∗1, y∗2, y∗3) = 0 , Y2(y1∗, y2∗, y3∗) = 0 ve

Y3(y∗1, y2∗, y3∗) = 0 eşitliklerini sağlayan y∗ = (y∗1, y∗2, y3∗) noktasıdır. (2.3) denklem

sis-temimizdeki Y1,Y2 ve Y3 fonksiyonları lineer olarak göz önüne alınırsa,

˙ y1 = b11y1+ b12y2+ b13y3 ˙ y2 = b21y1+ b22y2+ b23y3 ˙ y3 = b31y1+ b32y2+ b33y3 (2.4)

şeklinde ifade edilebilir.Bu şekilde ifade edilen lineer sistemin çözümü (0, 0, 0) denge nok-tasıdır. (2.4) sistemimizin matris formu,

˙

y = By (2.5)

olarak yazılır. Burada B = (b_ij), 3 × 3 tipinde bir katsayı matrisidir. C bilinmeyen sabit vektör olmak üzere (2.4) sisteminin

y(t) = Ceλt (2.6)

formundaki çözümünü araştıralım. (2.6) çözümünü (2.5) denkleminde yerine yazılmasıyla,

Cλeλt= BCeλt⇔ (B − λI)C = 0 (2.7)

şeklinde bir özdeğer problemine ulaşılır.(2.7) eşitliğinin var olabilmesi için

det(B − λI) = 0 (2.8)

olmalıdır.(2.8)eşitliğini sağlayan λ sayıları, B matrisinin özdeğerleri olarak ifade edilir. (2.8) eşitliğinde λ nın cebirsel denklemi ,

det     b11− λ b12 b13 b21 b22− λ b23 b31 b32 b33− λ     = 0 (2.9) olmak üzere P (λ) = λ3+ cλ2+ dλ + e = 0 (2.10)

kuadratik denklem elde edilir.Buna sistemin karakteristik denklemi adı verilir. Burada cof (bij), matriste bij elemanının kofaktörünü göstermek üzere ve tr(B) matrisin izi olmak

üzere, karakteristik denklemin katsayıları

c = −tr(B)

d = cof (b11) + cof (b22) + cof (b33)

e = −det(B)

şeklindedir.

P (λ) karakteristik denkleminin köklerinin durumu sistemin çözümünün belirlenmesinde kullanıldığı gibi, çözümün analitik olarak belirlenmesinin zor olduğu durumlarda da çözümü bulmadan çözümle ilgili bazı yorumların yapılabilmesine olanak sağlar.

2.3. Denge Noktalarının Sınıflandırılması

Bir lineer sistem, tek bir denge noktasına sahip olacağı için sistem ile kritik noktanın kararlılık tipi aynıdır. Bir kritik noktanın üç farklı kararlılık tipinden söz edebilir. Bunlar kararlı, kararsız ve asimptotik kararlı olma durumlarıdır.

Tanım 2.4. ˙y = Y (y) sisteminin denge noktası y∗ olsun.Burada y(t, y0) sistemin y(0) = y0

başlangıç noktasından çıkan çözümünü göstermektedir.Eğer herhangi bir ε > 0 reel sayı için;

ky₀− y∗k < δ → ky(t, y₀) − y∗k < ε, t > 0

koşulunu sağlayan bir δ = δ(ε) noktası var ise , y∗ noktasına kararlı denge noktası denir (Allen,2007).

Tanım 2.5. ˙y = Y (y) sisteminin denge noktası y∗ olsun. Eğer denge noktası kararlı değilse kararsızdır (Allen,2007).

Tanım 2.6. ˙y = Y (y) sisteminin denge noktası y∗ olsun. Eğer herhangi bir ε > 0 reel sayı için;

ky0− y∗k ≤ ε

koşulunu sağlayan bir y₀ başlangıç noktası için

y(t, y0) → 0 t → ∞

2.4. Lineer Olmayan Diferansiyel Denklem Sistemleri İçin Kararlılık Analizi

Lineer olmayan diferansiyel denklem sistemleriyle ifade edilen sistemlerin tam çözüm-lerinin bulunması genellikle güçtür. Bu nedenle bir sistemi çözmeden önce sistemin çözümünün faz şekilleri ve kararlılığı hakkında bilgi sahibi olmak önemlidir. Lineer sis-temlerin çözümleri ile lineer olmayan sissis-temlerin çözümleri arasında çoğunlukla bir ilişki vardır. Bu ilişki sayesinde bazı durumlar hariç genellikle lineer olmayan sistemi çözmeden, lineerleştirerek çözümü hakkında bilgi sahibi olunabilir.

Tanım 2.7. Orjinde denge noktasına sahip lineer olmayan, ˙ y1 = K(y1, y2, y3) ˙ y2 = L(y1, y2, y3) ˙ y3 = M (y1, y2, y3) (2.11)

sistemini ele alalım.Burada K, L ve M fonksiyonları ∀(y₁, y2, y3) için sürekli ve birinci

mertebeden kısmi türevlenebilen fonksiyonlardır. Eğer (2.11) sistemi

K(y1, y2, y3) = b11y1+ b12y2+ b13y3+ K1(y1, y2, y3)

L(y1, y2, y3) = b21y1+ b22y2+ b23y3+ L1(y1, y2, y3)

M (y1, y2, y3) = b31y1+ b32y2+ b33y3+ M1(y1, y2, y3)

(2.12)

şeklinde yazılabiliyorsa ve,

lim (y1,y2,y3)→(0,0,0) K1(y1, y2, y3) py2 1 + y22+ y23 = lim (y1,y2,y3)→(0,0,0) L1(y1, y2, y3) py2 1+ y22+ y32 (2.13) = lim (y1,y2,y3)→(0,0,0) M1(y1, y2, y3) py2 1+ y22+ y32 = 0 oluyorsa,

˙ y1 = b11y1+ b12y2+ b13y3 ˙ y2 = b21y1+ b22y2+ b23y3 ˙ y3 = b31y1+ b32y2+ b33y3 (2.14)

sistemine orjinde (2.11) sisteminin lineerleştirilmiş sistemi denir.

2.5. Lineer Olmayan Sistemlerin Denge Noktalarının Kararlılığı

Teorem 2.8. (2.11) sistemi ve bunun lineerleştirilmiş hali olan (2.14 ) sistemleri orijinde denge noktasına sahip olsunlar.λ1,λ2 ve λ3(2.14) sisteminin özdeğerleri olsun.Bu durumda,

• λ1,λ2 ve λ3 özdeğerleri negatif reel sayı ya da reel kısımları negatif olan kompleks

sayı ise bu durumda orijin denge noktası hem (2.14) sistemi hem de (2.12) sisteminin asimptotik kararlı bir denge noktasıdır.

• λ₁,λ₂ve λ₃ özdeğerleri pozitif reel sayı ya da reel kısımları pozitif olan kompleks sayı ise, orijin denge noktası (2.12) ve (2.14) sistemleri için kararsız bir denge noktasıdır.

• λ1 , λ2 ve λ3 özdeğerlerinden en az birinin reel kısmı sıfır ise orijin denge noktası

(2.14) sisteminin kararlı denge noktası olmasına rağmen (2.12) sisteminin asimptotik kararlı, kararlı ya da kararsız denge noktası olabilir.

Lineer olmayan bir sistemin her bir kritik noktasındaki yapı ve kararlılık durumu bu sistemin lineerleştirilmesi ile genellikle tam olarak belirlenebilir. Fakat bazı durumlarda kullanılamaz. Bu durumlar da lineer olmayan sistemlerin kararlılığını belirlemekte bir başka yol olarak Liapunov direkt metodu kullanılır (Allen,2007).

2.6. LYAPUNOV Direkt Metodu

Orijinde denge noktasına sahip lineer olmayan, ˙ y1 = K(y1, y2, y3) ˙ y2 = L(y1, y2, y3) ˙ y3 = M (y1, y2, y3) (2.15)

sistemini ele alalım. Burada K,L ve M her (y₁, y2, y3) için sürekli ve birinci mertebeden

kısmi türevlenebilen fonksiyonlardır. Şimdi (2.15) sisteminin kararlılığını Lyapunov’un direkt metodu ile incelemek için gerekli olan tanımları verelim.

Tanım 2.9. V (y1, y2, y3),fonksiyonu (0, 0, 0) ı içeren bir B bölgesinde birinci mertebeden

kısmi türevli fonksiyon olsun.

• Eğer V (0, 0, 0) = 0 ve B bölgesinde (0, 0, 0) dışında ∀(y₁, y2, y3) için V (y1, y2, y3) > 0

oluyorsa, V fonksiyonuna B de pozitif tanımlıdır denir.

• Eğer V (0, 0, 0) = 0 ve B bölgesinde (0, 0, 0) dışında ∀(y1, y2, y3) için V (y1, y2, y3) ≥ 0

oluyorsa, V fonksiyonuna B de yarı pozitif tanımlıdır denir.

• Eğer V (0, 0, 0) = 0 ve B bölgesinde (0, 0, 0) dışında ∀(y1, y2, y3) için V (y1, y2, y3) < 0

oluyorsa, V fonksiyonuna B de negatif tanımlı tanımlıdır denir.

• Eğer V (0, 0, 0) = 0 ve B bölgesinde (0, 0, 0) dışında ∀(y₁, y2, y3) için V (y1, y2, y3) ≤ 0

oluyorsa, V fonksiyonuna B de yarı negatif tanımlıdır denir( Arrowsmith,1986).

Tanım 2.10.

˜

y = (0, 0, 0) (2.15) sisteminin kritik noktası olsun.

• Eğer orijini içeren bir B bölgesindeki her y 6= ˜y için V (y) > 0 ve V (˜y) = 0. (V pozitif tanımlı)

• Her y için ˙V (y) ≤ 0 fonksiyonu yarı negatif tanımlı ise bu şartları sağlayan V (y) = V (y1, y2, y3) fonksiyona (2.15) sistemi için bir lyapunov fonksiyonu denir.

Teorem 2.11. (Lyapunov’un Direkt Metodu)

(2.15) sistemini göz önüne alalım.B , sistemin (0,0,0) kritik noktasını içeren R3 de açık bir küme olsun.Ayrıca V (y1, y2, y3) bir lyapunov fonksiyonu olsun.Bu durumda,

• Eğer ∀(y₁, y2, y3) ∈ B için ˙V (y1, y2, y3) ≤ 0 ise ,(0,0,0) kararlı,

• Eğer ∀(y1, y2, y3) ∈ B −{(0, 0, 0)} için ˙V (y1, y2, y3) < 0 ise, (0,0,0) asimptotik kararlı,

• Eğer ∀(y₁, y2, y3) ∈ B − {(0, 0, 0)} için V (y˙ 1, y2, y3) > 0 ise, (0,0,0)

kararsızdır.(Allen,2007) Tanım 2.12. (İnvaryant Küme)

˙

y = f (y) (2.16)

sistemi verilsin. D ⊂ Rn olmak üzere,

i-) y(0) ∈ D ⇒ y(t) ∈ D, (∀t ∈ R) ise D kümesi (2.16) sistemine göre invaryant,

ii-) y(0) ∈ D ⇒ y(t) ∈ D, (∀t ≥ 0) ise D kümesine, (2.16) sistemine göre pozitif invaryanttır denir.

Teorem 2.13. (La-Salle invaryantlık Prensibi ) ˙

y = f (y) sistemi verilsin. Ω ⊂ B bu sisteme göre pozitif invaryant, kompakt küme, V : B → R C1 sınıfından bir fonksiyon ve her y ∈ Ω için V (y) ≤ 0 olsun.˙ E = {y ∈ Ω | V (y) = 0} biçiminde tanımlı küme olmak üzere, ˙˙ y = f (y) sisteminin tüm çözümleri, E’nin alt kümesi olan en geniş pozitif invaryant kümeye yakınsar (Lasalle, 1976).

Tanım 2.14. (A)_nxnmatrisi verilsin. Matrisin aynı sayıda (n − k) satır ve (n − k) sütünun silinmesi ile elde edilen alt matrisin determinantına k mertebeden "esas minör" adı verilir. Matrisin son (n − k) satır ve sütünün silinmesi ile elde edilen alt matrisin determinanta ise k. mertebeden "temel esas minörü" adı verilir.

Not: (A)_nxnmatrisinin k. mertebeden esas minörünü ∆_kile , k.mertebeden temel esas minörünü D_k ile gösterelim. k. mertebeden esas minör sayısı

  n k   dır.

Örnek : A =     1 4 6 4 2 1 6 1 6    

matrisi verilsin. Bu matrisin esas minörünü ve temel esas

minörünü bulunuz. ∆3 =         1 4 6 4 2 1 6 1 6         = −109 ∆1₂ =         2 1 1 6         = 6 , ∆2₂ =         1 6 6 6         = −30, ∆3₂ =         1 4 4 2         = −14 ∆1₁= 1 , ∆2₁ = 2 , ∆3₁ = 6 D1= 1 , D2 =         1 4 4 2         = −14 , D3 =         1 4 6 4 2 1 6 1 6         = −109

Teorem 2.15. (A)_nxn simetrik matris olsun . i-) A pozitif tanımlı ⇔ ∀k = 1, 2....n ⇒ D_k> 0 ii-) A negatif tanımlı ⇔ ∀k = 1, 2....n ⇒ (−1)kDk> 0

iii-) A yarı pozitif tanımlı⇔ ∀k = 1, 2....n ⇒ ∆_k≥ 0 iv-) A yarı negatif tanımlı ⇔ ∀k = 1, 2....n ⇒ (−1)k∆k ≥ 0

Not: (iii) ve (iv) durumlarında  

n k



 tane esas minör mevcut olduğundan bu minörlerin her birinin verilen şartı sağlaması gerekmektedir.Bu kriterlerden hiçbiri gerçekleşmiyorsa A matrisine "tanımsız" denilir.

Tanım 2.16. (Hessian Matrisi)

f (·) : Rn_{→ R olsun. Herhangi bir y ∈ R}n _{için hessian matrisi H(y) ile gösterilir.}

H(y) =          

f11(y) f11(y) . . . f1n(y)

f21(y) f22(y) . . . f2n(y)

..

. ... ... ... . . . ... fn1(y) fn2(y) . . . fnn(y)

         

biçiminde tanımlanır. Burada f_ij(y) , önce i. bileşene ve daha sonra j.bileşene göre alınan ikinci mertebeden türevi göstermektedir.

Örnek : f (y1, y2) = y12− y22− y1y2 fonksiyonu için ∀(y1, y2) noktasında

f11(y1, y2) = 2 f12(y1, y2) = −1 f21(y1, y2) = −1 f22(y1, y2) = −2 olduğundan H(y) =   2 −1 −1 −2   olur.

Teorem 2.17. f(y), 2.mertebeden sürekli türevlenebilir ise Hessian matrisi simetrik matristir.

Tanım 2.18. (Konveks Küme)

C ∈ Rn _{kümesi verilsin.∀x, y ∈ C için ve keyfi λ ∈ [0, 1] için λx + (1 − λ)y ∈ C ise , C}

kümesine konveks küme denir. Tanım 2.19. (Konveks Fonksiyon)

C ∈ Rn konveks küme olmak üzere f (·) : C → R fonksiyonu verilsin. Eğer keyfi x, y ∈ C ve λ ∈ (0, 1) için

eşitsizliği gerçekleşiyorsa, f (·) fonksiyonuna konveks fonksiyon,

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) eşitsizliği sağlıyorsa kesin konveks fonksiyon denir.

Teorem 2.20. C ⊂ Rn konveks bir küme ve C◦ _{6= ∅ olsun. f (·) : C → R sürekli ve} f (·) , C◦ da ikinci mertebeden türevlenebilir olsun. Bu durumda f (·) ’ ın C◦ da konveks olması için gerek ve yeter koşul ∀y ∈ C◦ için H(y) matrisinin yarı pozitif tanımlı olmasıdır. Burada C◦ ile C kümesinin içi gösterilmektedir (Sydsaeter ve Hamman,1995).

Not:Bu önerme f (·) fonksiyonunun sadece C◦ de konveks olmasını karaketrize etmek-tedir. Dolayısıyla C kümesinin kapalı bir küme olması durumunda f (·) ’ ın tüm C kümesi üzerinde konveks fonksiyon olması söylenemez.

Bu durumda aşağıdaki önerme kullanılabilir.

Önerme 2.21. C ⊂ Rn konveks bir küme ve C◦ _{6= ∅ olsun. f (·) : C → R fonksiyonu} sürekli ve C◦de konveks ise bu durumda C’de konvekstir.

Tanım 2.22. (Lokal Lipschitz)

f (·) : Rn → R fonksiyonu verilsin.y0 ∈ Rn için ∃K = K(Y0) ≥ 0 ve ε > 0 sayısı

bulun-abiliyor öyleki her x, y ∈ B(y₀) için

kf (x) − f (y)k ≤ K.kx − yk (2.17)

oluyorsa f(y) fonksiyonu y0 ∈ Rn noktasında Lipschitzdir denir.

D ⊂ Rn ve her y0∈ D için f (y) fonksiyonu Lipschtz ise f(y) fonksiyonuna y üzerinde

Lokal Lipschitz denir.

f (t, y) : [t0, tf] × Rn→ R fonksiyonu keyfi sabitlenmiş t ∈ [t0, tf] ve her y0 ∈ D ⊂ Rn

için (2.17) koşulunu sağlıyora , D kümesi üzerinde y’e göre Lokal Lipschtz fonksiyonu denir.

Tanım 2.23. (Global Lipschitz)

f (·) : Rn→ R fonksiyonu verilsin.keyfi x, y ∈ Rn _{için ∃K ≥ 0 sayısı mevcut öyleki}

oluyorsa f(y) fonksiyonu Global Lipschitz denir.

f (t, y) : [t0, tf] × Rn→ R fonksiyonu keyfi sabitlenmiş t ∈ [t0, tf] ve her x, y ∈ Rn için

(2.18) koşulunu sağlıyora , f (t, y) fonksiyonuna y’e göre Global Lipschtz fonksiyonu denir.

Teorem 2.24. f (t, y) fonksiyonu t’ye göre parçalı sürekli ve y_{0 ∈ R}n noktasından keyfi sabitlenmiş bir t ∈ [t0, tf] için Lipschtz olsun. Bu durumda öyle bir δ > 0 sayısı vardır

öyleki    ˙ y = f (t, y) y(t0) = y0 (2.19)

sisteminin [t₀, t0+ δ] aralığında tek bir çözümü vardır( Arrowsmith,1986).

Örnek :    ˙ y = y2/3 y(0) = 0 (2.20)

sistemini ele alalım.y(t) = t

3

27 bu sistemin bir çözümüdür. Ancak çözüm tek değildir. y(t) = 0 da bu sistemin bir çözümüdür.

Not: f (t, y) = y2/3 fonksiyonu , 0 ∈ D olmak üzere , [0, ∞) × D biçimindeki herhangi bir kümede ∂f

∂x sınırsız olacağından Lipschtz olamaz.

Örnek :    ˙ y = y2 y(0) = 1 (2.21)

sistemini düşünelim. f (t, y) = y2_{, R’de Lokal Lipschitzdir. Dolayısıyla herhangi bir} kom-pakt alt kümede Lipschtzdir. (0, 1) noktasından geçen tek çözüm y(t) = 1

1 − t dir.

Ancak bu çözüm [0, 1) aralığında mevcuttur. t → 1 için y(t) çözümü herhangi bir kom-pakt küme içinde kalmaz.

Sistemin çözümlerinin bir [t₀, tf] aralığında devam ettirilebilmesi için global Lipschitz

Teorem 2.25. (Global Varlık - Teklik Teoremi)

f (t, y) fonksiyonu t’ye göre parçalı sürekli ve keyfi sabitlenmiş t ∈ [t0, tf] için y’e göre

global Lipschtz olsun. Bu durumda    ˙ y = f (t, y) y(t0) = y0 (2.22)

sisteminin [t0, tf] aralığı üzerinde tek bir çözümü vardır( Arrowsmith,1986).

Örnek : x = A(t)x(t) + b(t) sistemini düşünelim. Burada [A(t)]˙ n×n matris fonksiyonu,

(b(t))n×1 skaler fonksiyon, y(t) ∈ Rndir. Keyfi t ∈ [t0, tf] için A(t) sınırlı olsun. Başka bir

deyişle her t ∈ [t0, tf] için kA(t)k ≤ K olacak şekilde bir K > 0 sayısı mevcut olsun. Bu

durumda t ∈ [t0, tf] keyfi sabitlenmiş iken ∀x, y ∈ Rn için

kf (t, x) − f (t, y)k = kA(t)x(t)k ≤ kA(t)kkx − yk ≤ K.kx − yk

olur. Dolayısıyla f (t, y), y’e göre global Lipschtzdir. Bu durumda herhangi bir (t₀, y0)

noktasından geçen çözüm bir tanedir. Üstelik bu çözüm herhangi bir [t0, tf] aralığında

devam ettirilebilir.

Not: Global Lipschitzlik koşulu, Lokal Lipschitzliğe nazaran daha güçlü bir koşul olduğundan bu koşulu sağlanmadığı birçok durumla karşılaşılabilir. Bu hallerde aşağıdaki teorem kullanılabilir.

Teorem 2.26. f (t, y) fonsiyonu t’ ye göre parçalı sürekli, her y ∈ D ⊂ R ve her t ≥ t0

için y’e göre Lokal Lipschitz olsun. Ω ⊂ D kompakt alt küme ve y0 ∈ Ω için

   ˙ y = f (t, y) y(t0) = y0 (2.23)

sisteminin tüm çözümleri tamamen Ω kümesi içerisinde kalıyor olsun.Bu durumda sistemin t ≥ t0 için devam ettirilebilen tek bir çözümü vardır ( Arrowsmith,1986).

Örnek :    ˙ y = −y3 y(0) = y0 (2.24)

sistemini düşünelim. f (t, y) = −y3_{fonksiyonu R üzerinde y’e göre Lokal Lipschitz olmasına} rağmen ∂f

∂y = −3y

2

, R üzerinde sınırlı olmadığından Global Lipschitz değildir. Dolayısıyla Global Varlık - Teklik Teoremi kullanılamaz. Ancak y(t) ≥ 0 ⇒y(t) ≤ 0 ve y(t) ≤ 0 için˙

˙

y(t) ≥ 0 olduğundan , y0 ∈ Ω = {y ∈ R : |y| ≤ |a|} biçimindeki kompakt bir kümeden

çıkan çözüm, yine tamamıyla Ω kümesi içerisinde kalır. O halde bir önceki önerme uyarınca sistemin t ≥ 0 için devam ettirilebilen tek bir çözümü vardır.

2.7. Optimal Kontrol Problemi

˙

y = f (t, y, u) (2.25)

y(0) = y0 ∈ Rn (2.26)

biçiminde verilen kontrol sistemini düşünelim.

Burada y = y(t) ∈ Rn sistemin faz vektörünü , u(t) ∈ U ⊂ Rm kontrol vektörünü , t ∈ [0, T ] zamanı göstermektedir. (2.25) sistemin sağ tarafında yer alan f (t, y, u) foksiy-onun sürekli ve y’e göre birinci mertebeden kısmi türevlerinin var ve sürekli olduğunu , u = u(t) fonksiyonun da parçalı sürekli olduğunu düşünelim. Sistemin t = 0 anındaki başlangıç konumunu y0 ve t = T terminal zamanı anındaki konumu da yT ile gösterelim.

Terminal zaman T, sabit veya serbest olabilir. Benzer şekilde terminal zamanı anındaki konum da serbest veya önceden belirlenmiş olabilir.

Verilen bir u = u(t) kontrol fonksiyonu için [0, T ] aralığında (2.25) diferansiyel denklemini ve y(0) = y0 başlangıç koşulunu sağlayan çözüme, y0 başlangıç noktasından

çıkan ve u(·) kontrol fonksiyonu tarafından üretilen yörünge denir.

Maliyet fonksiyonu,

J [t, y, u] = F (yT) +

Z T 0

L(t, y, u)dt (2.27)

ile verilsin. Burada F (yT) fonksiyonu sistemin T-terminal anındaki durum vektörüne bağlı

olan bir değerdir.

(2.25)-(2.26) sistemini y0 noktasından YT noktasına getiren tüm u(·) ∈ U kontrol

fonksiyonları içerisinde (2.27) fonksiyonelini minimum yapan kontrole optimal kontrol de-nilir.

Aşağıdaki teorem (2.25) - (2.26) - (2.27) ile verilen optimal kontrol probleminin varlığını karakterize etmektedir.

Teorem 2.27. (Optimal Kontrolün Varlığı) (Fleming ve Rishel, 1975 )

(2.25) - (2.26) - (2.27) ile verilen optimal kontrol problemini düşünelim.Her y, y0 _{∈ R}n , u(·) ∈ U için

i-) kf (t, y, u)k ≤ c1(1 + kyk + kuk)

ii-) kf (t, y, u) − f (t, y0, u)k ≤ c2(ky

0

− yk)(1 + kuk)

olacak şekilde c1, c2 ∈ R+ sayıları var olsun. Diğer yandan f (t, y, u) fonksiyonu

katsayıları faz vektörüne bağlı olmak üzere kontrol vektörüne göre lineer f (t, y, u) = α(t, y) + β(t, y)u biçiminde yazılabiliyor olsun.

iii-) U kontrol kümesi ve durum uzayı boş kümeden farklı kompakt küme olsun. iv-) U kontrol kümesi konveks ve L(t, y, u) , U üzerinde konveks fonksiyon olsun.

v-) α(y, u) ≥ k1kukp− k2 eşitsizliği sağlanacak biçimde k1 > 0 k2 > 0 , p > 1 sabitleri

var olsun.

Bu durumda (2.25)-(2.26) -(2.27) optimal kontrol probleminin bir çözümü vardır. NOT:Sistem otonom ise başka bir deyişle sistem ˙y = f (y, u) biçiminde ise f (y, u) fonksiyonu y’e ve u’ ya göre kısmi türevlerinin sınırlı olması durumunda (i−) ve (ii−) koşulları aşikar olarak sağlanacaktır.

(λ0, λλλ) = (λ0, λ1, λ2, ..., λn) : [0, T ] → Rn+1

vektör değerli fonksiyonunu tanımlayalım. Bu biçimde tanımlanan katsayı ifadesi adjoint değişken olarak adlandırılacaktır.

H(·) : [0, T ] × Rn× Rm× R × Rn→ R Hamiltonian fonksiyonu H,

H(t, y, u, λ0, λλλ) = λ0L(t, y, u) + λf (t, y, u)

biçimde tanımlayalım. Bu durumda (2.25) - (2.26) - (2.27) optimal kontrol probleminin bir u∗(·) optimal çözümü için yeterli koşulu karakterize eden bir teorem verelim.

Teorem 2.28. (Pontryagin Maksimum Prensibi)

u∗(·) , (2.25) - (2.26) - (2.27) kontrol probleminin optimal çözümü , y∗(·) bu kontrole karşılık gelen yörünge olsun. Bu durumda öyle (λ∗₀, λλλ∗) adjoint değişkenleri vardır ki

a) λ∗₀ = 1, λλλ 6= 0 b1) H(t, y∗(t), u∗(t), λ∗₀, λ∗(t)) = min v∈UH(t, y(t), v, λ ∗ 0(t), λ∗(t)) b2) λ·_i(t) = −∂H ∂yi H(t, y∗(t), u∗(t), λ∗₀, λ∗(t)), h.h t ∈ [0, T ] b3) λi(T ) = λ∗0 ∂F ∂yi (y∗(T )) koşulları sağlanır.

NOT:Literatürde Pontryagin maksimum prensibi olarak geçen önerme (2.25) - (2.26) - (2.27) optimal kontrol problemine uygun biçimde verilmiş olup, uğraşılan problemdeki zamanın serbest-sabit olmasına , maliyet fonksiyonunun değişik biçimlerine ve çeşitli faz kısıtlamalarına bağlı olarak değişkenlik göstermektedir. Önermede b1) ile ifade edilen koşul Pontryagin maksimum prensibi , b2) ile ifade edilen adjoint denklem , b3) ise transversality koşulu olarak adlandırılmaktadır.

NOT:Sistem otonom olduğu durumda b1) koşulu yerine

∂H(t, y∗(t), u∗(t), λ∗₀, λ∗(t))

∂u = 0, (2.28)

eşitliği gelebilir.Diğer yandan

∂2_H ∂u2     u=u∗ ≥ 0

3.

SIR MODELİ

3.1. SIR Modelinin Kurulumu

Bir topluluktaki popülasyonun , herhangi bir t - zamanı anında ,

S(t):Başlangıçta sağlıklı olup daha sonra hastalığa karşı duyarlı olan bireyler,yani hassas bireyler.

I(t):Hastalığı kapmış bulaştırma kapasitesine sahip bireyler ,yani enfektif bireyler.

R(t):İyileşmiş ve kalıcı olarak bağışıklık kazanmış bireyler olmak üzere üç ana grupta top-landıklarını düşünelim.Popülasyonda dışardan göçler , doğumlar , dışarıya göçler ve ölüm-lerin etkili olduğunu dolayısıyla nüfusun değişken olduğu ; ayrıca popülasyonun homojen olduğu yani her bir bireyin birbiri ile temasının eşit olasılıkla gerçekleştiği varsayılmak-tadır.Popülasyondaki gruplar arasındaki geçişi betimleyen diyagram aşağıdaki gibi olsun.

b _// S u1S $$ βSI _// dS  I (d+α)I  u2I // R dR  Burada,

b:Populasyona katılım oranı(Doğum yada iç göç ile populasyona katılan duyarlıların oranı) β: Bulaşma oranını,

d: Doğal ölüm oranını,

α : hastalık nedenli gerçekleşen ölüm oranını,

u1: herhangi bir t zamanı anında hastalığa karşı duyarlı bireylere (S) uygulanacak aşılama

oranını ,

u2: herhangi bir t - zamanı anında hastalığı kapmış bulaştırma kapasitesine sahip bireylerin

(I) tedavi kontrol oranını göstermektedir. Bu varsayımlar altında,              S0 = b − βSI − dS − u1S I0 = βSI − u2I − dI − αI R0 = u1S + u2I − dR (3.1)

Parametreler pozitif sabitlerdir ve değişkenler negatif değer alamazlar ve şimdi oluştu-rulan modeli açıklayalım.

βSI , Bulaşıcı hastalığa sahip , bulaştırıcı bireyler tarafından duyarlı bireylere β bu-laşma oranıyla geçirilen hastaların sayısıdır. (3.1) sistemindeki 1. denklemden enfekte bireyler popülasyondaki sağlıklı bireylerin sayısında bir azalmaya yol açacağından, sağlıklı bireyler sayısındaki değişim modelde -βSI şeklinde olacaktır. Aynı şekilde doğal yolla ölen bireyler (−dS) ve hastalık bulaşma olasılığı olan duyarlı bireylere (S) uygulanan aşılama ile (−u1S) miktarından hassas sınıfın eleman sayısında eksilme meydana gelecektir. Buna

göre,

S0 = b − βSI − dS − u1S

olur.

(3.1) sistemindeki 2. denklemde ise sağlıklı bireylerin, enfektelerle teması sonucunda or-taya çıkan enfekte miktarı, hasta birey sayısında artmaya yol açacak ve 1. gruptan çıkarılan βSI 2. gruba eklenecektir. Bunun yanısıra doğal ölen bireyler (−dI), hastalıklı ölen bireyler (−αI) ve hastalığı kapmış bulaştırma kapasitesine sahip (I) bireylere uygulanan tedavi ile (−u2I) enfektif grubun elemanı olmaktan çıkmışlardır. Böylece,

I0 = βSI − u2I − dI − αI

olur.

(3.1) sistemindeki 3. denklemde ise aşı uygulanmış duyarlı bireyler (u₁S) ve tedavi edilmiş enfekte bireyler (u2I) hastalıktan iyileşen grubuna dahil olurlar.Bu gruptan da

doğal ölen bireylerin (−dR) çıkışı olacaktır. Buradan da (3.1) sisteminin son denklemi

R0 = u1S + u2I − dR

biçiminde elde edilmiş olur.

Tedavisi veya aşısı olan hastalıklarda bile toplumun her kesimine ulaşmak mümkün olmadığından ölümler gerçekleşmektedir. Burada çeşitli varsayımlar altında literatürde SIR modeli olarak bilinen bir model oluşturulmuştur. Modelde Aşı yada tedavi sonrası iyileşen bireylerin hastalığa karşı kalıcı bağışıklık kazandıkları dolayısıyla R alt grubundan S alt grubuna geçişin mümkün olmadığı varsayılmıştır.Bu açıdan model su çiçeği , kızamık, veba vb. hastalıklara uygulanabilir.

Toplam populasyon N (t) = S(t) + I(t) + R(t) ile gösterilirse,                      N0 = S0 + I0 + R0 R = N − S − I

= b − βSI − dS − u1S + βSI − u2I − dI − αI + u1S + u2I − dR

= b − d(S + I + R) − αI N0 = b − dN − αI

elde edelir.Dolayısıyla,

N0(t) 6= 0

olduğundan toplam popülasyonun sabit olmadığı görülmektedir.

Herhangi bir t - zamanı anındaki tedavi edilmiş bireylerin sayısını gösteren R(t) , (3.1) sisteminde ilk iki eşitlikte görülmediğinden R(t) yerine toplam nüfusu gösteren N (t) kul-lanılarak ,                S0 = b − βSI − dS − u1S I0 = βSI − u2I − dI − αI N0 = b − dN − αI (3.2) sistemi de incelenebilir. Önerme 3.1. Ω = {(S, I, N ) ∈ R3₊: S ≥ 0, I ≥ 0, N ≥ 0, S + I ≤ N ≤ b_d} kümesi (3.2) sistemi üzerinde pozitif invaryanttır .

İspat : Keyfi bir (S(0), I(0), N (0)) ∈ Ω başlangıç değeri için alındağında sistemin tüm çözümlerini, her t ≥ 0 iken (S(t), I(t), N (t)) ∈ Ω olduğunu gösterelim. (3.2) sisteminin tüm çözümleri sürekli olduğundan, çözümlerin negatif olmadan evvel 0 değerini almaları gereklidir. S0 = b − βSI − dS − u1S denkleminde herhangi bir t = t1 > 0 anında S = 0

olduğu durumda S0 = b olur . Burada b pozitif olduğundan S0 de pozitif olur bu da S0 ≥ 0 olduğunu başka bir deyişle her t > 0 için S(t) ≥ 0 olduğunu ifade eder . Aynı şekilde I0 = βSI − u2I − dI − αI denkleminde herhangi bir t anında I = 0 olur. Buradan

da I0 = 0 olur ki sistem bu durumda denge halinde olacak ve I(t) = 0 olarak kalacaktır. Dolayısıyla her t > 0 için I(t) ≥ 0 dır . Benzer olarak R0 = u1S + u2I − dR denkleminde

de R = 0 olduğunda R0 = u1S + u2I = 0 olup , t > 0 için S(t), I(t) ≥ 0 ve 0 ≤ u1(t) ≤ 1

, 0 ≤ u₂(t) ≤ 1 olduğundan R0(t) ≥ 0 bulunur. Buradan da her t ≥ 0 ⇒ R(t) ≥ 0 elde edilir.

∀t ≥ 0 için

S(t), I(t), R(t) ≥ 0 S + I ≤ N

olur.Diğer yandan (3.2)sisteminden, α > 0 ve her t ≥ 0 için I(t) ≥ 0 olduğundan,

dN dt = b − N d − αI ≤ b − N d dN dt ≤ b − N d dN dt + N d ≤ b Bu eşitliğin her iki tarafını edt ile çarparsak,

edt.dN dt + e dt_{.N.d ≤ b.e}dt d dt[e dt_{.N ] ≤ b.e}dt edt.N (t) ≤ Z edt.b.dt + c N (t) ≤ e−dt[e dt_b d + c] N (t) ≤ b d+ c.e −dt

t → ∞ için limit alırsak,

lim

t→∞sup N (t) ≤

b d olur.

SIR SİSTEMİNİN DENGE NOKTALARI: (3.2) sistemi f (S, I, N ) = b − βSI − dS − u1S g(S, I, N ) = βSI − u2I − dI − αI h(S, I, N ) = b − dN − αI olmak üzere S0 = f (S, I, N ) I0 = g(S, I, N ) N0 = h(S, I, N )

biçiminde yazılsın. Sistemin denge noktaları      f (S, I, N ) g(S, I, N ) h(S, I, N )      =      0 0 0     

eşitliğini sağlayan noktalar olacaktır.

g(S, I, N ) = 0 ⇐⇒ I.(βS − u2− d − α) = 0

⇐⇒ I = 0 veya βS − u2− d − α = 0

olduğundan sistemin denge noktaları iki grupta belirlenebilir. Bunlardan birincisi en-feksiyonlu bireylerin sayısının I = 0 olması halindeki hastalıktan bağımsız (HB) denge noktası (S0, I0, N0) ve ikincisi de I 6= 0 durumunda oluşacak olan endemik (EN) denge noktası (S∗, I∗, N∗) dır.

1.) Hastalıktan bağımsız denge noktası I0 = 0 için ,(3.2) sistemindeki 2. denklemde aşikar olarak, g(S, I, N ) = I.(βS − u2− d − α) = 0 olduğu görülmektedir.

                     b − βSI − dS − u1S = 0 b − dS − u1S = 0 S(u1+ d) = b S = _d+ub 1 olup burada S0= b d + u1 bulunur.

Sonra (3.2) sistemindeki 3. denklem değerlendirilirse , I = 0 için                      b − N d − dI = 0 b − N d = 0 N d = b N = _db elde edilir.Dolayısıyla N0 = b d bulunur.

Sonuç olarak, Hastalıktan bağımsız denge noktaları,

ε0 = (S0, I0, N0) = (

b d + u1

, 0,b d) şeklinde bulunmuş olur.

2.) I 6= 0 durumunda oluşacak olan endemik denge noktalarını (EN)

ε1 = (S∗, I∗, N∗) bulalım.(3.2)sistemindeki 2. denklemden              I[βS − (u2+ d + α)] = 0 βS = u2+ d + α S = u2+d+α β

Burada S∗ = u2+ d + α

β bulunur.

Diğer taraftan (3.2) sistemindeki 1.eşitliği ele alalım.                S0 = b − βSI − dS − u1S 0 = b − βSI − dS − u1S βSI = b − S(d + u1) olur. Burada S = S∗= u2+ d + α β yerine yazarsak, β(u2+d+α β )I = b − u2+d+α β (d + u1) β(u2+d+α β )I = bβ − (u2+ d + α)(d + u1) β (u2+ d + α)I = bβ − (u2+ d + α)(d + u1) β I∗ = bβ − (u2+ d + α)(d + u1) β(d + u2+ α)

elde ederiz. Burada

R0 =

bβ

(d + u1).(u2+ d + α)

denilir . I∗ da R₀ yerine koyulursa

I∗ = bβ − (d + u2+ α)(d + u1) β(d + u2+ α) = (R0− 1)( d + u1 β ) elde ederiz.

Son olarak da (3.2) sistemindeki 3. denklemden,            N0 = b − N d − αI 0 = b − N d − αI N d = b − αI denkleminde

I = I∗ = bβ − (d + u2+ α)(d + u1) β(d + u2+ α)

ifadesi yerine yazılırsa,

N d = b − α(bβ − (d + u2+ α)(d + u1) β(d + u2+ α) ) N d = bβ(d + u2+ α) − αβb + α(d + u2+ α)(d + u1) β(d + u2+ α) N∗ = bβ(d + u2) + α(d + u2+ α)(d + u1) dβ(d + u2+ α) elde ederiz.

Sonuç olarak, Endemik denge noktaları,

ε1 = (S∗, I∗, N∗) S∗ = u2+ d + α β I∗ = bβ − (d + u2+ α)(d + u1) β(d + u2+ α) = (R0− 1)( d + u1 β ) N∗ = bβ(d + u2) + α(d + u2+ α)(d + u1) dβ(d + u2+ α) R0 = bβ (d + u1).(u2+ d + α) = b (d + u1) . β (d + u2+ α) şeklinde bulunur. NOT:Burada R0 = bβ (d + u1).(u2+ d + α)

sayısı , hassas bireylerden oluşan bir toplu-luğa enfeksiyonlu bir bireyin katılmasıyla oluşan ikincil enfeksiyonların sayısını ifade eder ve literatürde " temel çoğalma (reprodüksiyon) sayısı " olarak adlandırılır.

R0 sayısı , salgın hastalığın topluluk içinde sürekli kalıcı olup olmayacağını belirleyen

bir eşik değeridir.

R0 ≤ 1 olduğunda hastalık herhangi bir tıp müdahalesi olmadan yok olur. Endemik olmaz.

R0 > 1 iken hastalık salgın olur ve bu durumu engellemek için bazı kontrol ölçekleri

Önerme 3.2. R₀ < 1 için (S0, I0, N0) denge noktası (3.2) sisteminin lokal asimptotik kararlı denge noktasıdır.

İspat : (S0, I0, N0) = (_d+ub 1, 0,

b

d) noktasında (3.2) sisteminin Jakobian matrisi yazılırsa,

dS dt = f (S, I, N ) dI dt = g(S, I, N ) dN dt = h(S, I, N ) J =        ∂f ∂S ∂f ∂I ∂f ∂N ∂g ∂S ∂g ∂I ∂g ∂N ∂h ∂S ∂h ∂I ∂h ∂N        (S,I,N )=(S0_,I0_,N0₎ olmak üzere =     −βI − d − u1 −βS 0 βI βS − d − u2− α 0 0 −α −d     (S0_,I0_,N0₎ =        −d − u_{1 d+u}−βb 1 0 0 _d+uβb 1 − d − u2− α 0 0 −α −d        bulunur.

Bu matrisin özdeğerini λ1, λ2, λ3 ile gösterilirse,

det(J − λI) = 0 eşitliğinden, det(J − λI) =         −d − u1− λ _d+u−βb₁ 0 0 _d+uβb 1 − d − u2− α − λ 0 0 −λ −d − λ         = (−d − λ)   −d − u1− λ _d+u−βb₁ 0 _d+uβb 1 − d − u2− α − λ   = (−d − λ)(−d − u1− λ)( βb d + u1 − d − u₂− α − λ) = 0

Dolayısıyla karakteristik denklemin köklerine bakıldığında özdeğerleri            λ1 = −d λ2 = −(d + u1) λ3 = _d+uβb₁ − d − u2− α

biçiminde bulunmuş olur. i-) λ1 = −d < 0

ii-) λ₂ = −(d + u1) < 0

iii-) λ3 = _d+uβb₁ − d − u2− α = (R0− 1)(d + u2+ α) olur.

Şimdi R0 ’un durumuna göre λ3 ’ü inceleyelim.

a.) R₀ < 1 olduğu durumda λ₃< 0 olur. Burada bütün kökler negatif olduğu için

λ1< 0, λ2< 0, λ3< 0

(S0, I0, R0) noktasında kararlı olacaktır.

b.) R₀ > 1 olduğu durumunda ise λ₃> 0 şeklindedir. Burada köklerden biri pozitif olduğu için

λ1< 0, λ2< 0, λ3> 0

(S0, I0, R0) noktası kararlı değildir. SONUÇ OLARAK ; 1.)R0 < 1 ise (S0, I0, N0) = ( b d + u1 , 0,b d) noktasında Lokal asimptotik kararlıdır.

2.)R0 > 1 ise (S0, I0, N0) = ( b d + u1 , 0,b d) noktasında Kararsızdır.

Önerme 3.3. (S∗, I∗, N∗), endemik denge noktası (EN),(3.2) sisteminin R0 > 1 için lokal

asimptotik kararlı denge noktasıdır.

İspat : (S∗, I∗, N∗) noktasında (3.2) sisteminin Jakobian matrisi yazılırsa,

J =        ∂f ∂S ∂f ∂I ∂f ∂N ∂g ∂S ∂g ∂I ∂g ∂N ∂h ∂S ∂h ∂I ∂h ∂N        (S∗_,I∗_,N∗₎ =        −βI − d − u₁ −βS 0 βI βS − d − u2− α 0 0 −α −d        (S∗_,I∗_,N∗₎ =           −β(R₀− 1)(d + u₁) β − (d + u1) −β(d + α + u₂) β 0 β(R0− 1)(d + u1) β β(d + α + u2) β − (d + α + u2) 0 0 −α −d           =        −(d + u1)(R0− 1 + 1) −(d + u2+ α) 0 (R0− 1)(d + u1) 0 0 0 −α −d        =        −(R0)(d + u1) −(d + u2+ α) 0 (R0− 1)(d + u1) 0 0 0 −α −d       

şeklinde daha sade biçimde yazılabilir. J matrisinin karakteristik denklemi,

det(J − λI) =         −(R0)(d + u1) − λ −(d + u2+ α) 0 (R0− 1)(d + u1) −λ 0 0 −α −d − λ         = (−d − λ)[(R0(d + u1) + λ)λ + (d + u2+ α)(R0− 1)(d + u1)] = (−d − λ)[λ2+ R0(d + u1)λ + (d + u2+ α)(R0− 1)(d + u1)]

olarak bulunur. Karakteristik denklem kökleri ise

λ1 = −d ve λ2,3 = −b ±√∆ 2 biçimindedir.Burada, ∆ = (R0)2.(d + u1)2− 4.(R0− 1)(d + u2+ α)(d + u1) b = R0(d + u1)

dır.Başka bir deyişle

λ2,3= −R0(d + u1) ±p(R0)2.(d + u1)2− 4.(R0− 1)(d + u2+ α)(d + u1) 2 olur. a.) R0 < 1 iken p (R0)2.(d + u1)2− 4.(R0− 1)(d + u2+ α)(d + u1) > 0 p (R0)2.(d + u1)2− 4.(R0− 1)(d + u2+ α)(d + u1) > R0(d + u1) −R0(d + u1) + p (R0)2.(d + u1)2− 4.(R0− 1)(d + u2+ α) > 0 −R0(d + u1) + √ ∆ 2 > 0 λ2> 0

olup λ2,3 köklerinden biri pozitif olacağından (S∗, I∗, N∗) noktası kararlı olmayan denge

noktası olacaktır. Yani R₀ < 1 iken (S∗, I∗, N∗) noktası kararlı değildir.

p

(R0)2.(d + u1)2− 4.(R0− 1)(d + u2+ α) < 0

λ2,3 kökleri kompleks olur.Ancak köklerin reel kısımları, Re(λ2) = Re(λ3) = −R0(d +

u1) < 0 olacağından (S∗, I∗, N∗) noktası asimptotik kararlı olur.Diğer yandan,

∆ = (R0)2.(d + u1)2− 4.(R0− 1)(d + u2+ α) ≥ 0

ise √∆ < R0(d + u1) olduğu açıktır. Bu halde de

λ2 = −R₀(d + u1) + √ ∆ 2 < 0 λ3 = −R0(d + u1) − √ ∆ 2 < 0

olup (S∗, I∗, N∗) noktası asimptotik kararlı olur.

Yani R0 > 1 iken (S∗, I∗, N∗) noktası lokal asimptotik kararlıdır.

SONUÇ OLARAK ; 1.)R0 < 1 ise

(S∗, I∗, N∗) noktası kararlı değildir.

2.)R₀ > 1 ise

(S∗, I∗, N∗) noktası lokal asimtotik kararlıdır.

Önerme 3.4. R0 ≤ 1 iken hastalıktan bağımsız ε0 = (S0, I0, N0) = (_d+ub ₁, 0,b_d) denge

noktası global asimtotik kararlıdır. İspat : Ω = {(S, I, N ) ∈ R3

+: S ≥ 0, I ≥ 0, N ≥ 0, S + I ≤ N ≤ bd} kümesini dikkate

alalım. Bu kümenin pozitif invaryant olduğunu daha önce ispatlamıştık. ∀(S, I, N ) ∈ Ω için V (S, I, N ) : R3→ R+ iken V (S, I, N ) = wI (w = _u 1 2+d+α ≥ 0)

Lyapunov fonksiyonunu dikkate alalım. Bu fonksiyonun Ω kümesi üzerinde sürekli ve türevlenebilir ayrıca, V0 = wI0 = w(βSI − u2I − dI − αI) = w(βS − (u2+ d + α))I ≤ w( βb d + u1 − (u2+ d + α))I iken S ≤ S0 = b d + u1 = w(u2+ d + α)( βb (d + u1)(d + u2+ α) − 1)I iken (w = 1 u2+ d + α ) = (R0− 1)I ≤ 0

olduğundan R₀ ≤ 1 için V0 ≤ 0 dur. Diğer yandan (S, I, N ) ∈ Ω olmak üzere V0 = V0(S, I, N ) = 0 şartını sağlayan tek durum ise I = 0 olduğu durumdur. Başka bir deyişle x ∈ Ω : V0(x) = 0 = (S, I, N ) ∈ Ω : I = 0 dir. S = {(S, I, N ) ∈ Ω : V0 = 0} kümesini ele alalım. (3.2) sisteminde I = 0 konulacak olursa,

S0 = b − dS − u1S

I0 = 0 N0 = b − dN

elde edilir. Buradan S0 ve N0 çözülecek olursa,

S0 + (d + u1)S = b ⇐⇒ e(d+u1)t.S

0

+ (d + u1)e(d+u1)tS = b.e(d+u1)t

⇐⇒ d

dt[e

(d+u1)t_{.S] = b.e}(d+u1)t

⇐⇒ e(d+u1)t_{.S =} Z b.e(d+u1)t_{dt + c} ⇐⇒ S(t) = b (d + u1) + c.e−(d+u1)t

N0 = b − dN ⇐⇒ dN b − dN = dt ⇐⇒ Z _dN b − dN = Z dt + c ⇐⇒ −ln(b − dN ) d = t + c ⇐⇒ b − dN = e−dt.c (c = e−cd) ⇐⇒ N (t) = b d− ce−dt d bulunur. t → ∞ için S(t) → b d + u1 N (t) → b d

olur. Bundan dolayı E kümesinin pozitif invaryant en geniş alt kümesi , sadece {ε0} tek

nokta kümesi olur. Buna göre (3.2) sisteminin tüm çözümleri E’ nin en geniş invaryant alt kümesi olan {ε0} a yakınsar. Başka bir deyişle {ε0} denge noktası global kararlıdır.

Önerme 3.5. R0 > 1 iken Endemik denge noktası ε1 = (S∗, I∗, N∗) için global asimtotik

kararlıdır.

İspat : Daha önce gösterildiği üzere R0 > 1 iken ε1 noktası (3.2) sisteminin bir lokal

asimptotik kararlı denge noktası olmaktadır. Ω = {(S, I, N ) ∈ R3₊ : S ≥ 0, I ≥ 0, N ≥ 0, S + I ≤ N ≤ _db} kümesini dikkate alalım. R0 > 1 iken ε1 = (S∗, I∗, N∗) için denge

noktasının var olduğu bilinmektedir. Şimdi ε ≥ 0 bir sabit olmak üzere,

V (S, I, N ) = 1 2(N − N ∗₎2₊ 1 2(S − S ∗₎2_{+ ε(I − I}∗_{− I}∗_ln( I I∗))

Lyapunov fonksiyonunu dikkate alalım. Burada ε sayısını ispat esnasında belirlenecek poz-itif bir sayıdır. Bu fonksiyon Ω kümesi üzerinde sürekli-türevlenebilirdir,

V (S, I, N ) fonksiyonunu türevi alınırsa ,

V0 = (N − N∗) ˙N + (S − S∗) ˙S + ε(I − ( I I∗)) ˙I

V0 = (N − N∗)(b − N d − αI) + (S − S∗)(b − βSI − dS − u1S) +

+ (I − ( I

I∗))(βSI − u2I − dI − αI)

elde edilir. (S∗, I∗, N∗) (3.2) sisteminin denge noktası olduğundan, (3.2) sisteminden;

b = βS∗I∗+ dS∗+ u1S∗= dN + αI∗

βS∗I∗ = (u2+ d + α)I∗ = b − dS∗− u1S∗

eşitlikleri sağlanır. Eşitsizlileri yerine yazılırsa,

V0 = (N − N∗)(b − N d − αI) + (S − S∗)(b − βSI − dS − u1S) + + ε(I − ( I I∗))(βSI − u2I − dI − αI) = (N − N∗)(b − N d − αI) + (S − S∗)(b − βSI − dS − u1S) + + ε I(I − I ∗ )(βSI − u2I − dI − αI) = (N − N∗)(dN∗+ αI∗− dN − αI) + (S − S∗)(βS∗I∗+ + dS∗+ u1S∗− βSI − dS − u1S) + ε I(I − I ∗_{)(βSI − βS}∗_I) = −d(N − N∗)2− α(N − N∗)(I − I∗) − (u1+ d)(S − S∗)2+

+ βS∗(I∗− I)(S − S∗) − βI(S − S∗)2+ βε(I − I∗)(S − S∗) = −d(N − N∗)2− (u1+ d + βI)(S − S∗)2− α(N − N∗)(I − I∗) +

+ β(ε − S∗)(I − I∗)(S − S∗)

bulunur. ε = S∗seçilirse N ≤ N∗, I ≤ I∗ için V0 ≤ 0 olacaktır. O halde R₀> 1 için V0 ≤ 0 elde edilir. E = {(S, I, N ) ∈ Ω : V0 = 0} kümesini ele alalım ve M , E kümesi içindeki geniş pozitif invaryant küme olsun. Burada V0 = 0 iken S = S∗ , I = I∗ ve N = N∗ dir .Başka bir deyişle E = {ε1} dir. O halde M = E dir.

Lasalle İnvaryantlık teoremine göre sistem (t → ∞) iken M kümesine yaklaşacaktır. Başka bir deyişle ε1 = (S∗, I∗, N∗) sabit noktasında sistem global asimtotik kararlıdır.

4.

SIR MODELİNİN OPTİMAL KONTROLÜ

Salgın hastalığın yayılmasını engellemek için hastalık kapmaya müsait olan birey-lerin(S) yüksek oranda aşılanması veya hastalığı kapmış bulaştırma kapasitesine sahip bireylerin (I) yüksek oranda tedavi kontrolünün yapılması gereklidir. Aşısı ve tedavisi mümkün olan bulaşıcı hastalıkların yayılmaması için önceden önlemler alınmalıdır. Örneğin; sıtma gibi hastalıklara tıbbi tedavi uygulanırken , Çocuk felci gibi hastalıklarda tıbbi tedavi söz konusu değildir. Ancak hastalığın bulaşmaması için bireyler aşı olabilirler. Bazı kızamık , tüberküloz gibi hastalıklar ise , uygulanan geniş aşılama ve tedavi uygula-malarına rağmen aşıların yeterli olmaması veya aşılamanın her yere ulaştırılamaması gibi nedenlerle halen görülmektedir. Bu nedenle salgın hastalıkların incelenmesi , kontrolünün geliştirilmesi ve bunlar için uygun yöntemlerin bulunması gerekir. Burada da en iyi sonucu elde etmek ve uygun kararlar almak için matematiksel bir yöntem olan optimal kontrol teorisi kullanılabilir.

Optimal kontrolün asıl amacı, aşılama ve tedavi maliyetini en aza indirerek hastalık-ların sayısını azaltmaktır. Bu bölümde , SIR modeline , herhangi bir t zamanı anında hastalığa karşı duyarlı bireylere (S) uygulanacak aşılama oranını ifade eden u1(t) ve t

za-manı anında hastalığı kapmış bulaştırma kapasitesine sahip bireyler (I) uygulanacak tedavi oranını ifade eden u2(t) kontrol parametresi eklenerek oluşturulmuş olan kontrol sistemi

in-celenecektir. Optimal aşılama ve tedavi stratejisi, belli bir T - terminal zamanında aşılama ve tedavi maliyetine bağlı olarak verilmiş olan bir maliyet fonksiyonunu minimize etme düşüncesine göre elde edilecektir.

SIR sisteminde aşılama ve tedavi kontrolü parametrelerinin seçimi için ,

U = {(u1(t)), (u2(t))|0 ≤ u1 ≤ u1max ≤ 1, 0 ≤ u2≤ u2max ≤ 1, t ∈ [0, T ]} (4.1)

mümkün kontrol kümesini tanımlayalım. Herhangi bir t zamanı anında u1(t) hastalığa

karşı duyarlı bireylere (S) uygulanacak aşılama oranı , u₂(t) ise hastalığı kapmış bulaştırma kapasitesine sahip bireylerin (I) tedavi kontrol oranını göstermek üzere,

     S0 = b − βSI − dS − u1S I0 = βSI − u2I − dI − αI (4.2)

(S(0), I(0)) = (S0, I0) ∈ Ω

0

= {(S, I) : S > 0, I > 0, S + I ≤ b

d} ⊂ Ω (4.3) sistemini ele alalım. Maliyet fonksiyonu,

J [u1, u2] = min (u1,u2) I(T ) + 1 2 Z T 0 (C1u21+ C2u22)dt (4.4)

fonksiyoneli ile verilsin. Burada C₁ ve C₂sırasıyla aşılama ve tedavi maliyetine bağlı ağırlık sabitleridir. u1max , u1 in uygulanabilir maksimum oranını ve u2max da u2 için

uygulan-abilir maksimum oranını göstermektedir.

C1u21ve C2u22terimleri aşılama ve tedavi kontrollerinin kullanım oranlarıyla ilgili ağırlık

maliyetlerini ifade ederler.

Önerme 4.1. (4.2)-(4.3)-(4.4) optimal kontrol probleminin bir çözümü vardır ve tektir. İspat : Sistemimiz y = (S, I) u = (u1, u2) olmak üzere

˙ y = f (y, u) biçiminde gösterilebilir.Burada, f (y, u) =   f1(S, I, u1, u2) f2(S, I, u1, u2)   =   b − βSI − dS − u1S βSI − u2I − dI − αI   olup, y(0) = (S0, I0) ∈ Ω 0 = {(S, I) : S > 0, I > 0, S + I ≤ b d} ⊂ Ω

ve u ∈ U (4.1) ile tanımlıdır. Şimdi Teorem (2.27)’ün koşullarının sağladığını gösterelim. f (y,u) fonksiyonunun sürekli olduğu açıktır.Ayrıca Ω0 kümesi (4.2) sistemi için pozitif invaryanttır. f (y) =   b − βSI − dS βSI − dI − αI  +   −S 0 0 −I     u1 u2   şeklindedir.

α(t, y) =   b − βSI − dS βSI − dI − αI   ve β(t, y) =   −S 0 0 −I  

olmak üzere f (y) = α(t, y) + β(t, y)u biçiminde yazılabilir.

f (y, u) fonksiyonu y ’e göre lipschitz olup olmadığını inceleyelim.

A1)     ∂f1 ∂S     = | − βI − d − u1| = βI + d + u1 ≤ β. b d+ d + 1 A2)     ∂f1 ∂I     = | − βS| = βS ≤ β.b d A3)     ∂f2 ∂S     = |βI| = βI ≤ β.b d A4)     ∂f2 ∂I     = | − u2− d − α| = u2+ d + α ≤ 1 + d + α

A1) ,A2) ,A3) ve A4) ile f (y, u) fonksiyonu keyfi sabitlenmiş u ∈ U için [0,T] aralığında y’ e göre tüm kısmi türevleri sınırlıdır. Dolayısıyla y’ e göre Lipschitz olduğu gösterilmiş olur. O halde Teorem (2.25) den (4.2) -(4.3) sisteminin çözümleri var ve tektir. Yani çözüm kümesi boş kümeden farklıdır. Ayrıca teorem (2.26) gereğince (4.2) sisteminin Ω0 kümesin-den çıkan tüm çözümleri keyfi T > 0 için [0, T ] aralığında devam ettirilebilir.

Diğer yandan     ∂f1 ∂u1     = | − S| = S ≤ b d     ∂f1 ∂u2     = 0     ∂f2 ∂u1     = 0     ∂f2 ∂u2     = | − I| = I ≤ b d

olduğundan f (y, u) fonksiyonu u ’ya göre kısmi türevleride sınırlıdır. Dolayısıyla , Teorem (2.27) gereğince i-) ve ii-) koşulları sağlanmış olur. U kontrol kümesinin ve Ω0 kümesinin

boş kümeden farklı ve kompakt olduğu açık olduğundan iii-) koşuluda sağlanmaktadır. U kontrol kümesi konvekstir. Şimdide L(t, y, u) fonksiyonunun U üzerinde konveks fonksiyon olduğunu gösterelim.Bunun için L(t, y, u) nin Hessian matrisini yazalım.

L(t, y, u) = 1 2[C1u 2 1+ C2u22] olduğundan, ∂L ∂u1 = C1u1 ⇒ ∂2L ∂u2 1 = C1 ve ∂2L ∂u1∂u2 = 0 ∂L ∂u2 = C2u2 ⇒ ∂2_L ∂u2₂ = C2 ve ∂2_L ∂u2∂u1 = 0 bulunur.Buradan, H(u1, u2) =       C1 0 0 C2       D1= C1 > 0 , D2=         C1 0 0 C2         = C1C2 > 0

olmaktadır.Teorem(2.15) ’dan Hessian matrisi pozitif tanımlıdır. Dolayısıyla Teorem (2.20) ve önerme (2.21)’den L(t, y, u) fonksiyonun U üzerinde konveks fonksiyondur. O halde iv-) koşulu da sağlanmış olur.

L(t, y, u) = 1 2[C1u

2

1+ C2u22]

olup min{C₁, C2} = 2k1 ve k2 > 0 olsun.

Bu durumda , L(t, y, u) ≥ 1 2[2k1u 2 1+ 2k2u22] = k1kuk2 ≥ k1kuk2− k2

olduğundan v-). koşuluda sağlanmış olur. Dolayısıyla (4.2)-(4.3)-(4.4) optimal kontrol prob-leminin çözümü vardır ve tektir.

Önerme 4.2. u∗₁ = u∗₁(t), u₂∗ = u∗₂(t) probleminin optimal kontrolü ve S∗, I∗ da bu kontrole karşılık gelen çözüm olsun. Bu durumda öyle λ1, λ2 adjoint değişkenleri vardır ki,

λ0₁ = λ1(βI + d + u∗1) − λ2(βI) (4.5)

λ0₂ = λ2(u∗2+ d + α − βS) + λ1(βS)

eşitlikleri ve

λ1(T ) = 0 λ2(T ) = 1

transversality koşullarını sağlanır. Ayrıca problemin u∗₁ = u∗₁(t), u∗₂ = u∗₂(t) optimal kontrol çözümü, u∗₁= min{max{0,λ1S C1 }, u₁max}, u∗₂ = min{max{0,λ2I C2 }, u₂max} biçimindedir.

İspat : Hamiltonion fonksiyonu,

H = 1 2C1u 2 1+ 1 2C2u 2 2 + λ1(b − βSI − dS − u1S) (4.6) + λ2(βSI − u2I − dI − αI)

biçimindedir. u∗₁ = u∗₁(t), u∗₂ = u∗₂(t) , probleminin optimal kontrolü olsun. Optimal kon-trolün varlığı için gerekli olan koşulları karakterize eden Pontryagin Maksimum Prensibi kullanılacak olursa, F (S, I) = I olduğundan t = T final anında transversality koşulları,

λ1(T ) = 0 λ2(T ) = 1

biçiminde olacaktır. Diğer yandan,

λ0₁= −∂H ∂S = λ1(βI + d + u ∗ 1) − λ2(βI) (4.7) λ0₂= −∂H ∂I = λ2(u ∗ 2+ d + α − βS) + λ1(βS) biçiminde bulunur.

Dolayısıyla adjoint sistem S∗, I∗ sırasıyla u∗₁ = u∗₁(t), u∗₂= u∗₂(t) a karşılık gelen çözüm-leri göstermek üzere,

λ0₁ = λ1(βI + d + u∗1) − λ2(βI)

λ0₂ = λ1(βS) − λ2(βS − u∗2− d − α)

olur.u∗₁= u∗₁(t), u∗₂ = u∗₂(t)’ nin H’yi minimize etmesi gerektiğinden ,

∂H ∂u1     u1=u∗1 = 0 ⇔ C₁u∗₁− λ₁S = 0 ⇔ u∗₁ = λ1S C1 ∂H ∂u2     u2=u∗2 = 0 ⇔ C2u∗2− λ2I = 0 ⇔ u∗₂ = λ2I C2 bulunur. ∂2H ∂u2₁ = C1≥ 0 ∂2H

∂u2₂ = C2 ≥ 0 olduğundan bu değer minimum olmalıdır. Ancak 0 ≤ u1(t) < u1max 0 ≤ u2(t) < u2max olduğundan, u∗₁ = min{max{0,λ1S C1 }, u1max} u∗₂ = min{max{0,λ2I C2 }, u2max}

Bir önceki önermenin sonucu olarak probleme karşılık gelen optimal sistem,                          S0 = b − βSI − dS − u∗₁S, I0 = βSI − u∗₂I − dI − αI, S(0) = S0 , I(0) = I0 , λ0₁ = λ1(βI + d + u∗1) − λ2(βI) λ0₂ = λ1(βS) − λ2(βS − u∗2− d − α) λ1(T ) = 0 , λ2(T ) = 1 ,

şeklinde ifade edilir. Görüldüğü üzere SIR sisteminin, Maliyet fonksiyonunu minimize edecek şekildeki u∗₁, u∗₂ optimal kontrolü sistem değişkenlerine bağlı olduğu gibi aynı za-manda da adjoint sisteminin değişkenlerine bağlıdır.

5.

OPTİMAL KONTROLÜN NÜMERİK

OLARAK HESABI

5.1. Optimal Kontrolün SIR Modeli Üzerinde Etkisinin Nümerik Simülasyonu

Bu bölümde SIR modeli, kontrol parametrelerinin eklenmediği ve kontrolün uygu-landığı iki ayrı sistem göz önüne alınmış ve bu sistemlerin nümerik incelemesi yapılmıştır. Kontrolün uygulanmadığı SIR sistemimizin çözümünde Runge - Kutta metodu ile nümerik çözümü yapılmış , optimal sistemin çözümünde ise literatürde Forward-Backward-Sweep(FSB) algoritması kullanılmıştır(Hackbush, 1978 ; Lenhart ve Workman , 2007). Çözümlerin ve bu çözümlere ilişkin grafiklerin oluşturulması için MATLAB programı kullanılmıştır. Sistemde kullanılacak olan parametreler R0 sayısının durumlarına uygun

olacak şekilde keyfi olarak seçilmiştir. Seçilen parametrelere göre oluşturulan iki ayrı sistemin (optimal kontrolün uygulandığı ve kontrolün olmadığı) çözümleri karşılaştırıla-caktır. Ayrıca elde edilen optimal kontrolün [0,T] zaman aralığı içerisindeki kullanım grafiği oluşturulacaktır.

Çizelge 5.1. SIR Modeli için parametre değerleri.

Pozisyon Parametre R0 ≤ 1 için R0> 1 için

1. b 0.2 0.03 2. d 0.3 0.02 3. α 0.1 0.1 4. β 0.5 0.75 5. S0 0.7 0.95 6. I0 0.3 0.05

Modelimiz için ilk olarak R₀ ≤ 1 durumunda optimal kontrolsüz SIR modeli ve optimal kontrollü SIR modelimize uygun parametre değerleri atayarak nümerik çözümlerini ele alalım.

Sistemimizde parametre değerlerimiz (S0, I0) = (0.7, 0.3) başlangıç değerleriyle birlikte

b = 0.21 , d = 0.21 , α = 0.32 ve β = 0.36 olarak seçildiğinde R0 = 0, 6792 < 1 değerine

0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(S₀ I₀ )=(0.7 0.3) için SIR Modeli

S(t) I(t) 0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 =0.1 C 2=0.1 S(t) I(t)

Şekil 5.1’ deki simülasyonlara baktığımızda 12 aylık periyotta sağlıklı leri(S) oranının giderek arttığı, hastalığı kapmış bulaştırma kapasitesine sahip birey-lerin(I)oranında ilk günden itibaren azalarak sıfıra yaklaştığı görülmektedir. R₀ ≤ 1 ol-ması durumunda sistem (S, I) = (1, 0) noktasına yakınsadığı bir başka deyişle hastalık-sız denge noktasının(HB)global asimtotik stabil olduğu görülmektedir. Burada sisteme kontrol uygulanmadan yani dış etkiye gerek kalmadan enfeksiyon kendiliğinden ortadan kalkacağını göstermektedir. Ancak grafiklerdende görüleceği gibi optimal aşılama ve tedavi kontrolü, enfeksiyonun gelişimini daha kısa sürede engellemek için önemlidir. Burada iki simülasyonda da hastalık zamanla yok olacaktır. Grafikleri karşılaştıracak olursak ilk 4 aylık periyotta hastalığı kapmış bulaştırma kapasitesine sahip hastalıklı bireylerin(I) sayısı optimal kontrolsüz sistemde milyonda 0.2 bin iken optimal kontrolün sistemimize uygu-lanması sonucu bu sayı milyonda 0.12 binlere kadar düştüğü görülmektedir. Buda aşılama ve tedavi kontrolü eklendikten sonra daha kısa sürede hastalıklı birey sayısı azaldığını göstermektedir. Burada, optimal kontrolün belirlenmesinde kullanılan kazanç fonksiyonu garafikler arasındaki farklılıkların belirgin olması için C1= 0.1 C2= 0.1 alınmıştır.

Optimal kontrolsüz SIR modelimiz ve optimal kontrollü SIR modelimiz için R₀ > 1 olması durumundaki nümerik simülasyonları inceleyelim. Sistemlerimizde (S0, I0) =

(0.95, 0.05) başlangıç değerleriyle birlikte b = 0.03 , d = 0.02 , α = 0.1 ve β = 0.75 olarak seçildiğinde R0 = 9.3750 > 1 değerine ulaşmış oluruz.

R0 > 1 olduğu durumda salgın yapacağı için kontrol altına alınmalıdır. Şekil 5.2 ’deki ilk

grafikte optimal aşılama ve tedavi kontrolü uygulanmadığında ilk 12 ay içerisinde sağlıklı bireylerin oranı milyonda 0.08 bin ve hastalığı kapmış bulaştırma kapasitesine sahip birey-lerin (I) oranı milyonda 0.54 bine ulaştığı görülmektedir. Optimal aşılama ve tedavi kon-trolü uygulandığında ortaya çıkacak sonuç Şekil 5.2 ’deki ikinci grafikte verilmiştir. Bu grafikte görüldüğü üzere mevcut ekonomik şartlarda optimal aşılama ve tedavi yapılacak olursa sağlıklı bireylerin sayısı yaklaşık milyonda 0.2 bine kadar arttığı ve hastalığı kapmış bulaştırma kapasitesine sahip (I) bireylerin oranı milyonda 0.15 bine düştüğü görülmek-tedir. Bu da optimal aşılama ve tedavi kontrolü uygulanması sonucunda hastalıklı birey sayısının daha kısa sürede azalmasında sebep olmuştur. Burada , optimal kontrolün belir-lenmesinde kullanılan kazanç fonksiyonu C₁= 1 C2 = 1 alınmıştır.

Şimdi (C1 = 4 C2 = 1) (C1 = 1 C2 = 4 ) (C1 = 1 C2 = 1) olduğu durumdaki

0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

(S₀ I₀ )=(0.95 0.05) için SIR Modeli

S(t) I(t) 0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 =1 C 2=1 S(t) I(t)

0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 =4 C₂=1 S(t) I(t) 0 2 4 6 8 10 12 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 =1 C 2=4 S(t) I(t)