Test 58 Üçgende Uzunluk

(1)

www

.krakademi.com

1.

13 A B H D 5 C x 6 9 4

• ABC ikizkenar üçgeninde A tepe noktasından tabana indirilen dikme kenerortay olduğundan tabanı iki eşit parçaya ayırır.

. , . BH HC br olur HD DC HC ise HD HD br olur 9 4 = = + = + = 5 =9

• ABD dik üçgeninde hipotenüse ait yükseklik çizil-diğilden öklit bağıntısı kullanılırsa,

. AH BH HD AH AH AH br olur 9 4 36 6 2 2 2 $ $ = = = =

• AHD üçgeninde pisagor bağlantısından,

. AD AH HD x x x x x br bulunur 6 4 36 16 52 52 2 13 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = + = + = = = Cevap: C

2.

A B C D E a a a a b b b b F

• BDE üçgeni eşkenar üçgen olduğundan, tümke-nar uzunlukları birbirine eşittir.

|BE| = |DE| = |BD| = a cm olsun. • CEF üçgeni eşkenar üçgen olduğundan,

|EC| = |CF| = |FE| = b cm olsun.

• ABC üçgeni eşkenar üçgen olduğundan tüm kenar uzunlukları birbirine eşit ve 18 cm ise, |AB| = |BC| = |AC| = a + b = 18 cm olur.

• Ç ( ) ( ) . evre ADEF a b a b cm bulunur 2 2 2 2 18 36 $ = + = + = = Cevap: B

(2)

www

.krakademi.com

D E L F x H B C 5 60° 30° 60° 6§3 30° Bilgi:

Eşkenar üçgenin iç bölgesinden alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eşkenar üçgenin herhangi bir yükseklik uzunluğuna eşittir. z _y _H x A B C 60° 30° 60° 30° |BH| = x + y + z dir.

• Buna göre |DH| + |EH| + |HF| = 6 3 birim ise ABC eşkenar üçgenin B noktasından AC kenarı-na çizilen yükseklik BL =6 3 br olur.

• BLC 30° – 60° – 90° özel üçgeni olduğundan,

. BH br ise HC br BC br olur 60 6 3 30 6 90 12 fl› › fl› › fl› › kar s kar s kar s c c c = = = Buna göre, 5 + x . AE EC AC ise x br bulunur 12 7 + = = = Cevap: A B 30° 60° C D 2x E x 15 13 60° 60°

• Eşkenar üçgenin tüm kenarları birbirine eşit ve tüm açıları 60° dir.

• BDE 30° – 60° – 90° özel üçgendir. Buna göre, 30° nin gördüğü kenar uzunluğu olan |BE| = x cm denilirse, 60° nin gördüğü kenar uzunluğu x 3 cm olur. 90° nin gördüğü kenar uzunluğu |BD| = 2x cm olur.

• Eşkenar üçgenin tüm kenarlar uzunlukları birbiri-ne eşit olduğundan, . AB BC x x x x x cm olur 2 13 15 2 15 13 2 = + = + - = -=

• Eşkenar üçgenin çevresi bir kenarının 3 katına eşittir. Buna göre,

( ) ( ) ( ) ( ) . evre ABC AB x cm bulunur 3 3 2 13 3 2 2 13 3 4 13 3 17 51 Ç $ $ $ $ $ $ = = + = + = + = = Cevap: D

(3)

www

.krakademi.com

5.

_A B D C E F 6 30° 30° 30° 60° 6√3

• 90° den çizilen AF kenarortay doğrusu taban uzunluğunun yarısına eşittir. Yani

|AF| = |BF| = |FC| olur. • |AF| = |FC| ise

( ) ( ) ° .

m ACF% =m CAF% =30 olur

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ° ° ° . m DFE m m m m D ACF CAF DEF EF olur 30 30 60 = + = + = % % % % %

• DEF üçgeni özel üçgen yani 30°-60°-90° üçge-nidir. Buna göre 60° nin gördüğü kenar 30° nin gördüğü kenarın 3 katına eşit ise |DF| = 6 cm bulunur. 90° nin gördüğü kenar ise 30° nin gördüğü kenar uzunluğunun 2 katına eşit ise |EF| = 12 cm bulunur.

|EF| = |AE| = 12 cm dir. • |AF| = |EF| + |AE|

|AF| = 12 + 12 |AF| = 24 cm olur. |AF| = |BF| = |FC| = 24 cm dir. • |BD| + |DF| = |BF| ise | | | | | | . BD BD BD cm bulunur 6 24 24 6 18 + = = -= Cevap: A

6.

D A B x 3 C 15 5x Bilgi: İç Açıortay Bağıntıları D A B n C nA m y x [AD] açıortay • _mx =_ny _{yada y}x=m dir_n . • n_A= x y m n dir$ - $ .

• ABC üçgeninde [AD] açıortay ise içaçıortay bağıntısından, . BD AB DC AC ise x AB AB x cm olur 3 15 5 5 = = =

• ABC üçgeninin çevresi 54 cm olduğuna göre, ( ) . evre ABC AB BC AC x x x x x x cm bulunur 54 5 3 15 54 6 18 54 18 6 36 6 6 Ç = + + = + + + = + - = = = Cevap: B

(4)

www

.krakademi.com

B C D E 10 15 Bilgi:

90° den çizilen kenarortay hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir. (Muhteşem Üçlü) D A B C . BA AC AD kenarortay AD BC dir 2 = = 7 7 7 7 7 A A A A A

• ABC üçgeninde |AD| = |CD| = 15 br ise [DB] kenarortaydır. Buna göre 90° den çizilen kenaror-tay hipotenüs uzunluğunun yarısıdır. (Muhteşem Üçlü)

|AD| = |DC| = |BD| = 15 br olur.

• DCB üçgeninde [CE] açıortay ise iç açıortay bağıntısından, . . BE DE CB DC ise EB DE EB DE

dir DE k ise EB k olur 10 15 2 3 ₃ ₂ = = = = = • |BD| = |DE| + |EB| k k k k 15 3 2 5 15 3 = + = =

Buna göre, |EB| = 2k = 2·3 = 6 br bulunur.

Cevap: D B C D 7 E H 7 3 9 F 9 3 16 x

• [AD] ve [BD] iç açıortayları D noktasında kesiştiği-ne göre D noktası iç açıortayların kesişim noktası olur ve [CD] açıortaydır.

• D noktasından ABC üçgeninin tüm kenarlarına dikme indirilirse,

¡ BED ve BDF üçgenlerinin tüm açıları ve BD kena-rı ortak kenar olduğundan eş üçgenlerdir. Buna göre,

|BE| = |BF| = 7 cm olur.

¡ AED ve AHD üçgenlerinin tüm açıları ve AD kena-rı ortak kenar olduğundan eş üçgenlerdir. Buna göre,

|AE| = |AH| = 3 cm olur.

¡ DHC ve DFC üçgenlerinin tüm açıları ve DC kenarı ortak kenar olduğundan eş üçgenlerdir. Buna göre, |FC| = |HC| = 9 cm olur. • , . AC x AH HC ise x x cm bulunur 3 9 12 = = + = + = Cevap: B

(5)

www

.krakademi.com

9.

A B D C G 3x + 6 2x 2x 2x

• ABC üçgeninde [AD] doğrusu G, ağırlık merkezin-den geçtiğine göre kenarortaydır. Ağırlık merkezi (G), kenarortay uzunluğu 1 e 2 oranında böler.

. AG GD ise x x x x x br olur 2 3 6 2 2 6 4 3 6 $ $ = + = = -=

• [AD] kenarortay olduğundan, |BD| = |DC| dir.

• BGC üçgeninde, |BD| = |DC| olduğundan [GD] kenarortaydır. 90° den çizilen kenar ortay taban uzunluğunun yarısına eşittir. (Muhteşem üçlü olarak bilinir.) x 2 2$ = GD BC BC GD BC BC 2 & 2$ = = x olur 4 = Buna göre, |BC| = 4x = 4·6 = 24 birim bulunur. Cevap: E

10.

32 A B C G x x 2 E 20 16 16

• G, ağırlık merkezi ise [AG] uzatılırsa kenaror-taydır. Kenarortay, BC kenarını iki eşit parçaya ayırır. . . BE EC BC cm olur GE AG x cm olur 2 2 2 2 32 16 = = = = = =

• [AE] açıortay ve kenarortay olduğundan ABC üçgeni ikizkenar üçgendir ve [AE] ⊥ [BC] olur. Buna göre, AEC üçgeninde pisagor bağıntısın-dan, ( ) ( ) . AE EC AC x x x x x x x x cm bulunur 2 16 20 2 3 ₂₅₆ ₄₀₀ 4 9 _{400 256} 4 9 144 4 16 64 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ₁₆ 2 2 $ + = + + = + = = -= = = = Cevap: E

(6)

www

.krakademi.com

B x N 6 D x + 6 C

• |BN| = x cm olsun. [AD] kenarortay olduğundan, |BD| = |DC| = x + 6 cm olur.

• 2·|AC| = 5·|AB| ise

, . AB AC AC k ise AB k olur 2 5 ₅ ₂ = = =

• ABC üçgeninde [AN] açıortay ise iç açıortay bağıntısından, . BN AB NC AC xk _x k x x x x x x cm olur 2 12 5 2 24 5 24 5 2 3 24 8 = = + + = = -= = Buna göre, |DC| = x + 6 = 8 + 6 = 14 cm bulunur. Cevap: D B C D a a E x 3 9 9 6 • |AD| = |DC| = a cm olsun.

• |AD| = |DC| ve |BE| = |EC| olduğundan

[DE] // [AB] olur. Buna göre, [BA] ⊥ [AC] ise [ED] ⊥ [DC] dir.

• DEC üçgeninde pisagor bağıntısından,

. | | DE EC a a a a cm olur DC 3 9 81 9 72 72 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = = -= =

• [DE] // [AB] ise DEC üçgeni ABC üçgenine ben-zerdir. Temel benzerlik teoreminden.

. . AC DC AB DE BC EC dir a a AB AB cm olur 2 3 3 2$ 6 = = = = =

• ABD üçgeninde pisagor bağıntısından,

( ) . BD AB AD x a x x x x x cm bulunur 6 36 72 36 72 108 108 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + = + = + = + = = = Cevap: C