Sobolev uzayları ve gömülme teoremleri

SOBOLEV UZAYLARI VE GÖMÜLME TEOREMLERİ

Zehra YÜCEDAĞ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

(MATEMATİK ANABİLİM DALI)

DİYARBAKIR Haziran 2006

TEŞEKKÜR

Tezimin hazırlanmasında her türlü bilgi ve yardımlarını esirgemeyen saygı değer danışman hocam,

Doç. Dr. Rabil Maşiyev’e,

Çalışmayı destekleyen,

DÜAPK’na,

Tezin yazım aşamasında hep yanımda olan, sabırla sıkıntılarımı çeken ve benden hiçbir yardımını esirgemeyen arkadaşım,

Canan LUNKAYA’ya,

Yardımları için sevgili arkadaşlarım,

Mustafa MIZRAK’a

Arş. Gör. Bahar ACAR

ve bölümdeki tüm hocalara

Sonsuz teşekkürler…

İÇİNDEKİLER

AMAÇ ………...….…

ÖZET ………..…...…

ABSTRACT ……….…….…

ÖNSÖZ ………..…………

1. BÖLÜM : TEMEL TANIM VE TEOREMLER

1.1 Temel Tanım ve Teoremler ………..…

2. BÖLÜM : _Lp _UZAYI

2.1 _Lp _{Uzayı ve Özellikleri ……….…..……….}

2.2 Temel İntegral Eşitsizlikleri ……….…… 2.3 Zayıf ve Güçlü Tiplerin Yarı Lineer Operatörleri ………

3. BÖLÜM : SOBOLEV UZAYLARI VE GÖMÜLME TEOREMLERİ 3.1 Sobolev Uzayı Ve Gömülme Teoremleri ……… 3.2 Gömülme Teoremleri ………...…… 3.3 İntegral Gösterimi………..…..…. 3.3.1 Fonksiyonların Ortalaması ……….…………

3.3.2 Genelleştirilmiş Türev ………..……… 3.3.3 Diferansiyallenebilen Fonksiyonların İntegral Gösterimi…….

4. BÖLÜM : KARMAŞIK TÜREVLER YARDIMIYLA KURULAN NORMLU UZAYLARDA İZ DÜŞÜM TEOREMİ 4.1 Karmaşık Türevler Yardımıyla Kurulan Normlu Uzaylarda

İz Düşüm Teoremi …………..……….……… KAYNAKLAR ……….…....… ÖZGEÇMİŞ ………..……… i ii iii iv 1 11 20 42 50 53 56 58 62 69 88 105 109

AMAÇ

Bu çalışmada amaç; L ve _p l

p

W uzaylarını incelemek ve bu uzayların daha

genel durumları için integral gösterimi elde etmektir. Elde edilen integral gösterimi yardımı ile uygun uzaylarda iz düşüm teoremini ispatlamaktır.

ÖZET

Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, çalışmada kullanılacak temel tanım ve teoremler verilmiştir.

İkinci bölümde, L uzayı ve özellikleri incelenmiştir. Ayrıca _p L uzayı _p

yardımıyla elde edilen bazı eşitsizlikler tanımlanmıştır.

Üçüncü bölümde, l

p

W uzayı incelenmiştir. Ayrıca L ve _p l

p

W uzayların daha

genel durumu için integral gösterimleri elde edilmiştir.

Dördüncü bölümde, daha önceki bölümde elde edilen integral gösterimleri yardımıyla bu uzaylarda iz düşüm teoremi ispatlanmıştır.

ABSTRACT

This study consists of four chapters.

In the first chapter, main definitions and theorems to be used in the study are given.

In the second chapter, L space and its characteristics were studied. In _p

addition, some inequalities obtained by means of L space were defined. _p

In the third chapter, l

p

W space was studied. Furthermore, integral

representations for a more general condition of L and _p l p

W spaces were obtained.

In the fourth chapter, the projection theorem on these spaces was proven by integral representations obtained in the previous chapter.

ÖNSÖZ

Diferansiyellenebilir fonksiyonlar uzayının çeşitli özellikleri ve bu uzaylar arasındaki ilişki gömülme teoremleri adı altında son zamanlarda daha da geliştirilmiştir.

Temel sonuçlar 1950 yıllarında S.L. Sobolev tarafından elde edilmiştir. Sobolev, _Ω⊂En_{de tanımlı genelleştirilmiş türevleri L}

( ) (

_{Ω 1≤ p≤∞}

)

p uzayının

elamanları olan çok değişkenli fonksiyonlar için l

p

W uzayını kurmuş ve Sobolev

uzayları olarak adlandırmıştır.

Sobolev; fonksiyon integrallerini, potansiyel tipli integrallerin toplamı ile integral gösterimlerini elde etmiştir. Bu integral gösterimleri yardımı ile gömülme teoremleri elde edilmiştir. Elde edilen gömülme teoremleri kısmi diferansiyel denklemler teorisine uygulanmıştır.

Bu alanda yapılan önemli bir gelişme S. M. Nikolski’s tarafından yapılmıştır. Nikolski’s, L_p

( ) (

Ω 1≤ p≤∞

)

normu altında Hölder özelliğine sahip H_pl

( )

Ω

fonksiyonlar uzayını korumuş ve gömülme teoremlerini oluşturmuştur. Diğer önemli bir gelişme de Ağırlık fonksiyonlar uzayının kurulmasıdır. Bu uzayın yardımı ile, Ağırlık fonksiyonlarının sınırda dejenere olan Kısmi Diferansiyel denklemlere uygulaması L. D. Kudryavtsev tarafından yapılmıştır. Daha sonra O. V. Besov ve S. M. Nikol’skii bu metodu geliştirerek genelleştirilmiş Hölder özelliğine sahip

( )

Ω Be

θ

p, uzayını kurmuşlardır.

V.P.Il’in integral gösterimleri teorisini geliştirerek köklü gelişmeler elde etmiş ve daha genel W

( )

Ω , Be

( )

Ω

θ , p p

l _{uzaylarında gömülme ve iz teoremlerini}

Daha sonra S.M. Nikol’skii ve N.S. Baxvalov tarafından, etken karmaşık türevli olan yani; karmaşık türevlerin mertebesi karmaşık olmayan türevlerin mertebesinden yüksek olan çok değişkenli fonksiyonlar uzayı kurulmuştur. Bunlar

( )

Ω W S_pl _{ve S H}

( )

_Ω p l _,

(

_,...,

)

₀ n 1 ≥ = _{l l} l için uzaylarıdır.

Sonraki aşamada A.D. Dzabrayilov türev mertebesi n+ ve 1 _{2 serbest} n

vektörlerden oluşan

( )

Ω L n 0 k p k k

I

l = > < _{ve L}

( )

_Ω n k k 2 0 k p

I

l = > <

uzayları kurmuş ve incelemiştir. Bu uzaylar, Bl_,θ

( )

Ω , W_pl

( )

Ω , S_p,l_θB

( )

Ω

l ve Spl W

( )

Ω

1. BÖLÜM

TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı temel tanım ve teoremler verilecektir.

Temel Tanım ve Teoremler:

Tanım 1.1.1.

X boş olmayan bir küme ve K , reel veya karmaşık sayıların bir cismi olsun. +:XxX→X

( )

x,y →x+y

.:KxX→X

( )

α,x →αx

fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa X kümesine K cismi üzerinde bir vektör (lineer) uzay adı verilir.

Her x,y,z∈ ve KX α,β∈ için;

1) x+y=y+x

2)

(

x+y

)

+z=x+

(

y+z

)

3) ∀x∈X için x+θ=θ+x=xolacak şekilde bir tek θ∈X vardır.

4) ∀x∈X için x+

( )

-x =θ olacak şekilde bir

( )

-x ∈Xolmalıdır.

5) ∀x∈X için 1.x=x

6) α

(

x+y

)

=αx+αy

7)

(

α+β

)

x=αx+βx

Tanım 1.1.2.

X bir lineer uzay ve Y , X ’in boş olmayan bir alt kümesi olsun. ∀x,y∈Y ve K∀α,β∈ için αx+βy∈Y ise, Y ’ye X ’in bir lineer alt uzayı denir ( 22).

Tanım 1.1.3.

X ve Y aynı K cismi üzerinde iki lineer uzay olsun. T:X→Y operatörü, T

(

αx+βy

)

=αT

( )

x +βT

( )

y ;

(

α,β∈K ve x,y∈X

)

koşulunu sağlıyorsa T ’ye lineer operatör denir.

Tanım 1.1.4.

Boş olmayan bir X kümesi ve bir d: XxX→ R₊

( )

x,y →d

( )

x,y

fonksiyonu verilsin. Bu d fonksiyonu ∀x,y,z∈Xiçin ;

1) d

( )

x,y =0⇔x =y

2) d

( ) ( )

x,y =d y,x

3) d

( ) ( ) ( )

x,y ≤d x,z +d z,y

özelliklerini sağlıyorsa X üzerinde metrik adını alır. Bu durumda

(

X,d

)

ikilisine bir metrik uzay denir (22)

Tanım 1.1.5.

X boş olmayan herhangi bir küme olsun. X ’in alt kümelerinin bir ailesi τ

verilsin. Eğer τ aşağıdaki koşulları sağlıyorsa τ’ya X üzerinde bir topoloji,

( )

X,τ

1) ∅ ,X∈ τ

2) τ’daki sonlu sayıdaki kümelerin ara kesiti yine τ’dadır.

3) τ’daki herhangi bir sayıdaki (sayılabilir veya değil) kümelerin birleşimi

τ’dadır.

Kompakt küme:

( )

X,τ topolojik uzayı ile A⊂ verilsin. Eğer A ’nın her X açık örtüsü sonlu bir örtüye indirgenebiliyorsa A ya kompakt küme denir.

Tanım 1.1.6.

K bir

X cismi üzerinde bir vektör uzay olsun.

⋅ :X→R₊ x→ x fonksiyonu ∀x,y ∈X ve ∀α∈K için 1) x =0⇔x=0 2) α x = α x 3) x+y ≤ x + y (üçgen eşitsizliği)

özelliklerini sağlıyorsa X üzerinde bir norm ve

(

X, ⋅

)

ikilisine de normlu vektör uzayı adı verilir(11).

Tanım 1.1.7.

(

X, ⋅

)

normlu bir uzay ve bunun içinde bir

( )

x_n dizisi olsun. Her ε >o

için, m,n≥n_ε olduğunda x_m −x_n <ε olacak şekilde ε’a bağlı bir n doğal sayısı _ε bulunabiliyorsa

( )

x_n dizisine bir Cauchy dizisi denir. Yani;

0 ε >

∀ için ∃n_ε∈N∋ ∀ m,n>n_ε için x_n −x_m <ε⇔

( )

x_n dizisi bir Cauchy dizisidir (22).

Tanım 1.1.8.

Bir

(

X, ⋅

)

normlu uzayındaki her Cauchy dizisi X içinde bir limite

yakınsıyorsa bu

(

X, ⋅

)

normlu uzayına Tam Normlu Uzay veya Banach Uzayı adı

verilir (22).

Tanım 1.1.9.

Bir

(

X, ⋅

)

normlu uzay ve A⊂ olsun. Eğer A ’nın kapanışı X ’e eşit X

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =− X

A ise A kümesi X ’de yoğundur denir.

Tanım 1.1.10.

(

X, ⋅

)

normlu uzayının sayılabilir yoğun bir alt kümesi varsa

(

X, ⋅

)

normlu uzayına sayılabilir normlu uzay adı verilir.

Tanım 1.1.11.

(

α1,...,αn

)

ve β=

(

β1,...,βn

)

katlı-indeks ise α− ’da katlı indekstir. β

! !...α !.α α α!= _{1 2 n} , α =α₁+α₂+...+α_n ve 1 2 αn n α 2 α 1 α _{x . x ...x} x = şeklinde tanımlayalım. Aynı zamanda n j ;1 x D j j _∂ ≤ ≤ ∂ =

(

D1,. n

)

D= ..,D

( )

( )

n 2 1 α n α 2 α 1 α α x ... x . x f x f D ∂ ∂ ∂ ∂ =

(

)

⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ βα1 αβ2 ... βαn β! ! β -α α! α β için α β _{1 1 n}

( )( )

f g x αβ D f

( )

x D g

( )

x D β α β α β α − ≤

∑

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = (Leibniz formülü)

olur.α veβ’nın iç çarpımı;

αβ n α β_j (1) 1 j j

∑

= = Tanım 1.1.12. n R

G⊂ iken _{R ’deki} n _{G’in kapanışı G ile gösterilir. Gu, ’de tanımlanan bir}

fonksiyon ise u fonksiyonunun support (desteği) ,

( )

{

x G:u x 0

}

u

supp = ∈ ≠

şeklindedir.G’nin _{R ’deki sınırı bdryG ile gösterilir. Yani, bdryG =} n _{G IG}c

şeklinde yazılır. Burada;

{

x R :x G

}

R Gc ₌ n _{\G= ∈} n _∉ dır. n n _{ve G R} R

x∈ ⊂ ise x ’in G’ye olan uzaklığını, dist

(

x,G

)

inf x y

G y −

=

∈ ile

gösterilirse benzer şekilde,

n

R G

F, ∈ ise dist

(

F,G

)

infdist

(

y,G

)

inf x y

F yG x F y = − = ∈ ∈ ∈ yazılır (1). Tanım 1.1.13.

Boş olmayan X⊂ kümesi, R f :X→Rfonksiyonu ve α∈X noktası verilmiş

olsun. ∀ε>0ve ∀x∈Xiçinx-α <δ⇒ f

( ) ( )

x −f α <ε olacak şekilde ε sayısına bağlı bir δ= εδ

( )

>0 sayısı varsa, f fonksiyonu X kümesine göre α∈X

0 ε >

∀ verildiğinde,

( )

a ,b aralıkların kapsadığı

[

a_i ,b_i

)

ayrık aralıkları için

(

,b

)

δ n 1 i i <

∑

= i a iken f

( ) ( )

b - f ε n 1 i i i <

∑

=

a olacak şekilde bir δ= εδ

( )

>0 sayısı varsa, f fonksiyonu

[ ]

a ,b aralığında mutlak süreklidir.

Tanım 1.1.14.

[ ]

,b R :

f a →

(

−∞<a<b<∞

)

fonksiyonu verilmiş olsun. Herhangi

[ ]

,b t , t_{1 2}∈ a için;

( ) ( )

α 2 1 2 1 f t A t -t t f − ≤

olacak şekilde A>0ve α∈

(

0,1

]

sayıları varsa f fonksiyonu

[ ]

a,b üzerinde Hölder

koşulunu sağlar. A ve α sayıları sırasıyla Hölder katsayısı ve Hölder üstü olarak adlandırılır. α=1 ise

koşuluna Lipşizh koşulu denir (22).

Tanım 1.1.15.

X bir küme ve A da X ’in alt kümelerinin bir ailesi olsun. A ailesi

aşağıdaki koşulları sağlıyorsa A ailesine X üzerinde bir ∑ -cebir denir.

i) X∈A

ii) Her bir E∈ için A Ec =X\E∈A

iii) Her bir n∈Niçin E_n∈A iken ∈A

∞ =1 n nUE

Tanım 1.1.16.

X bir küme ve A da X üzerinde bir ∑ cebiri olursa −

(

X,A

)

ikilisine bir

ölçülebilir uzay adı verilir(11).

( ) ( )

t1 f t2 L t1-t2

Tanım 1.1.17.

(

X,A

)

ölçülebilir bir uzay ve f :X→R tanımlanan bir fonksiyon

olsun.Her α>0 için

{

x∈X:f

( )

x >α

}

∈A oluyorsa f fonksiyonu ölçülebilirdir(11).

Teorem 1.1.18.

a) f ölçülebilir ise f ’de ölçülebilirdir.

b) f ve g ölçülebilir ve reel değerli ise f + ve gg f. ’de ölçülebilir ve reel değerlidir.

c)

{ }

f_n ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi ise, sup_n f_n, inf_n f _n, _n

n supf lim ∞ → ve n n inf f lim ∞ → ifadeleri de ölçülebilirdir.

d) f sürekli ve ölçülebilir bir kümede tanımlı ise o zaman f ölçülebilirdir.

e) f, ’den R ’ye sürekli bir fonksiyon ve g ölçülebilir ve reel değerli fonksiyon R ise

(

fοg

)( )

x =f

(

g

( )

x

)

ile tanımlanan “fοg” bileşke fonksiyonu da ölçülebilirdir.

f) (Lusin’s teoremi): f ölçülebilir ve _x∈Ac_{için f}

( )

_{x =0 ise}

( )

(

µ A <∞ ve ε>0

)

g∈C_o

( )

A fonksiyonu oluşur ve

( )

x sup f

( )

x g sup n n _{x R} R x∈ ∈ ≤ ve µ

{

x_∈Rn:f

( ) ( )

x _≠g x

}

_<ε koşulunu sağlar (1).

Basit Fonksiyon: _{R , üzerinde “}n _{s” reel değerli fonksiyonun değer kümesi}

sonlu bir reel sayı ise bu fonksiyona basit fonksiyon denir.

Teorem 1.1.19.

n

R

A⊂ , reel değerli bir fonksiyonun olmak üzere A üzerinde f

vardır. f sınırlı ise

{ }

s_n dizisi düzgün yakınsak, f ölçülebilir ise her

{ }

s_n dizisi ölçülebilir olarak seçilebilir. f negatif olmayan reel değerli ise

{ }

s_n dizisi her noktada monoton olarak artan olarak alınabilir (1).

Tanım 1.1.20.

G’da tanımlı bir f fonksiyonunun karakteristik fonksiyonu;

( )

⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = G x ; 0 G x ; 1 x X_G şeklinde tanımlanır. Tanım 1.1.21. n

E ’de tanımlanmış, sonsuz diferansiyellenebilen ve sınırda sıfır olan fonksiyonlara finit fonksiyonu denir. Finit fonksiyonlar uzayı C ile gösterilir. ∞_o

Örnek 1.1.22.

( )

2 i r α α x x r ; α r ; 0 α r ; e x f 2 2 2 = = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ < = − −

şeklinde tanımlanan şapka fonksiyonu finit fonksiyonuna örnek olarak verilebilir.

Tanım 1.1.23

( )

x

f fonksiyonu herhangi bir bölgenin sınırlı alt bölgelerinde mutlak olarak

integrallenebilirse, f

( )

x fonksiyonu local integrallenebilirdir. f

( )

x _∈Lloc

( )

G _şeklinde gösterilir.

(

_G⊆En

)

Tanım 1.1.24.

f ve g iki fonksiyon olsun. Bu fonksiyonların konvolüsyonu,

(

)

=

_∫

(

−

) ( )

=

_∫

(

+

) ( )

= n n _E E dy y g y x f dy y f y x g g * f h şeklinde tanımlanır. Teorem 1.1.25.

[ ]

,b I

f, = a üzerinde sürekli bir fonksiyon ve Ig, üzerinde integrallenebilen

negatif olmayan bir fonksiyon olsun. Bu durumda;

( ) ( )

( )

( )

∫

bf t g t dt=f c

∫

bg t dt

a a

olacak şekilde bir c∈I sayısı vardır. Özel durumda g

( )

t =1 ise,

( )

t dt f

( )

c f -b 1 b

∫

= a a dır. Teorem 1.1.26. n R

X⊂ ölçülebilir bir uzay ve

{ }

f_n ’de negatif olmayan ölçülebilir

fonksiyonların bir dizisi ise

( )

(

liminf f x

)

dx liminf f

( )

x dx

x n n X n n

∫

∫

→∞ ≤ →∞ dır. Teorem 1.1.27.

( )(

v i 1,2,...,n

)

, limψ

( )

v 0 ψ _i 0 v

i = _→ = olan v>0 için tanımlanan pozitif

( ) (

)

{

x :a x b,b a ψ v , i 1,2,...,n

}

I_v = _i≤ _i ≤ _{i i}− _i = _i =

şeklinde tanımlayalım. f

( )

x _∈Lloc

( )

G _{ve bir x noktası her v>0için}

v

I ’ye ait ise

( ) ( )

∫

− = → v I v 0 v I f y f x dy 0 1 lim

ve hemen hemen her x∈G için

( )

( )

∫

= → v I v 0 v I f y dy f x 1 lim olur (8).

2. BÖLÜM

p

L UZAYI

2.1. _Lp _{Uzayı ve Özellikleri}

Bu bölümde, En n−_{boyutlu Euclidean uzayı ve bunun sınırlı olmayan}

ölçülebilir bir Galt uzayı üzerinde işlemler yapılacaktır. G’de tanımlanan reel f

( )

x

fonksiyonlarının yardımıyla L_p

( )

G uzayı tanımlanacak ve bu uzayın özellikleri

incelenecektir. Bu uzayın yardımıyla çeşitli eşitsizlikler ve dağılım fonksiyonu tanımlanacaktır. Tanım 2.1.1. L Uzayı _p

( )

( )

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∞ < ≤ ∞ < =

∫

G p p G f: f ölçülebilir fonksiyon, f x dx ,1 p L

şeklinde tanımlanan ifadeye L_p

( )

G uzayı denir. Bu uzay altında tanımlanan norm;

( )

( )

1/p G p G p, G L f f x dx f p ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = =

_∫

(2.1.1) ve f∈L_p

( )

G şeklinde yazılır (8).

p=∞olduğunda L_∞

( )

G uzayı elde edilir. Bu uzayın elemanları ölçülebilir ve özellikle sınırlı fonksiyonlardan oluşur. Bu uzay altında tanımlanan norm;

( ) f esssup f

( )

x f G x G , G L ∈ ∞ = = ∞ (2.1.2)

( )

{

c 0 :f x c

}

inf = > ≤

G uzayı sınırlı ise bu norm; G p, p G , lim f f ∞ → ∞ = (2.1.3) dır.

( )

G

L_∞ uzayının önemli bir alt uzayı C

( )

G uzayıdır. Bu uzayın elemanları G

üzerinde tanımlanan düzgün sürekli fonksiyonlardan oluşur. Bu uzayda tanımlanan norm; ( ) sup f

( )

x f G x G C = _∈ (2.1.4) dır. n 1,2,...,

i= için p=

(

p₁,p₂,...,p_n

)

,1≤p_i ≤∞, şeklinde bir vektör de alınabilir. Bu durumda _{E de tanımlanan ölçülebilir} n _f

( )

_{x fonksiyonlar uzayını}

( )

n p E

L ile gösterirsek bu uzay altında tanımlanan norm;

( 1 2 n) n 1 1 2 2 _pn,xn n f .... f f _p,E = _{p,p ,...,p ,E} = _{p,x p ,x} ...

( )

n 1 1 n n 2 3 1 1 2 1 1 1/p E n p p /p p E 2 /p p E 1 p dx dx dx x f ... ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

_∫

_{∫ ∫}

− ... (2.1.5)

dır.

(

2.1.5

)

ifadesi tanımlanan norm altında sonludur. f

(

x₁,x₂

)

iki değişkenli fonksiyon için değişkenlerin sırası önemlidir. Yani;

(

)

(

)

1 2 /p 1 p 1 2 1 2 1 /p 2 p 1 1 1 1/p E 2 p 2 1 E 1 1/p E 1 p 2 1 E 2 f x ,x dx dx f x ,x dx dx ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≠ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

∫

∫

∫

∫

olur. Teorem 2.1.2. ∞ ≤ ′ ≤ ≤p p 1 ve =

∫

<∞ G dx G

mes olmak üzere f∈Lp′

( )

G için f∈L_p

( )

G

ve

(

)

_p p mesG f f p 1 p 1 ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − ≤ (2.1.6)

olduğundan L_p′

( )

G ⊂ L_p

( )

G olur. Yani; p′

,

p ’ye gömülmüştür (1)

İspat:

( )

(

)

( )

1/p G p 1/p G p dx x f mesG dx x f p 1 p 1 ′ ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∫

∫

⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − olduğu ispatlanacaktır.

Bu ispat için, temel integral eşitsizliklerinde ispatı verilecek olan Hölder eşitsizliğinden yararlanılacaktır. Hölder eşitsizliği,

p ve p′ , 1≤ p≤∞, 1 p 1 p 1 ₌ ′

+ koşullarını sağlayan iki sayı olmak üzere

( )

( )

n p 1 x L E f ∈ ve

( )

( )

n p 2 x L E

f ∈ ′ ise f1

( ) ( )

x f2 x ∈L1

( )

En olur. O halde;

( ) ( )

( )

( )

1/p E p 2 1/p E p 1 E 2 1 n n n dx x f dx x f dx x f x f ′ ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

∫

∫

∫

şeklinde tanımlanır.

( )

( )

( )

p p -1 G p -p p p p G G p G p dx dx x f .1dx x f dx x f p p p. _′ ′ ′ ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

_∫

_∫

_∫

∫

′ 1

( )

(

)

p p 1 mesG dx x f p p G p_′ ′ −′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∫

eşitsizliğin her iki tarafının p 1 kuvveti alınırsa,

( )

( )

(

)

p 1 p 1 mesG dx x f dx x f p 1/ G p 1/p G p −′ ′ ′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∫

∫

elde edilir. Örnek 2.1.3.

( )

G L

( )

G L₃ ⊂ ₂ ise

(

)

3 3 1 2 1 2 L L mesG f f ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ≤ olduğu gösterilecektir. İspat:

( )

( )

( )

3 2 -1 G 2 -3 3 3 2 G G 2 G 2 dx dx x f .1dx x f dx x f 2 3 2. ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

∫

∫

∫

∫

1

( )

(

)

3 2 1 mesG dx x f 3 2 G 3 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

_∫

olduğundan,

( )

( )

(

)

3 1 mesG dx x f dx x f 3 2 G 3 G 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤

∫

∫

olur. O halde,

( )

( )

(

)

6 1 2 mesG dx x f dx x f 3 1 G 3 G ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∫

∫

2 1 elde edilir.

Teorem 2.1.4.

∞ ≤ ≤ p

1 için Lp

( )

G uzayı Banach uzayıdır (1).

İspat:

i) 1≤ p<∞ için ispatı yapılrsa;

{ } ( )

u_n ,Lp G uzayında bir Cauchy dizisi olmak üzere 1,2,.... j , 2 1 u u _j p n nj+1 − j ≤ =

olacak şekilde

{ }

u_n ’nin bir u_njalt dizisi vardır. Bu durumda;

( )

_∑

( )

( )

= − = m ₊ 1 j n n m x u x u x v j 1 j

şeklinde tanımlanır. O halde

( )

1, m 1,2,... 2 1 x v m 1 j j p m ⎟< = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

∑

=

olur. Bazı sonsuz x değerleri için v

( )

x limv_m

( )

x

m→∞ = alındığında Teorem 1.1.26. yardımıyla,

( )

x dx liminf v

( )

x dx 1 v p G m m p G ≤ ≤

∫

∫

→∞

ifadesi elde edilir. Bu durumda, G’nin içinde hemen hemen her yerde v

( )

x <∞olur ve

( )

x

(

u

( )

x u

( )

x

)

u 1 j n n n1

∑

j1 j ∞ = − + ₊ (2.1.7)

serisi G’de hemen hemen her yerde bir u

( )

x limitine yakınsar. Ayrıca u

( )

x =0

alındığında (2.1.7) ifadesinin limiti tanımlanamaz.

(

2.1.7

)

ifadesi yakınsak

( ) ( )

x u x u

lim _nm

m→∞ =

olur.

Diğer taraftan

{ }

u_n bir Cauchy dizisi olduğundan ∀ε >0için en az bir N

n

m, > için u_m−u_{n p} <ε olacak şekilde N pozitif sayısı vardır. O halde teorem 1.1.26.’dan yararlanılırsa,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

p p G n n j p G n n j p G n ε dx x u x u inf lim dx x u x u lim dx x u x u j j ≤ − ≤ − ≤ −

∫

∫

∫

∞ → ∞ → ∞ →

n iken u=

(

u−u_n

)

+u_n∈L_p

( )

G ve u−u_{n p} →0 olur. Yani L_p

( )

G uzayı tamdır.

ii) p = ∞ durumunda,

{ } ( )

u_n ,L_∞ G ’da bir Cauchy dizisi ise x∉Aolacak şekilde ölçümü sıfır olan

G

A⊂ kümesi vardır.∀m,n=1,2,... için

∞

∞ − ≤ −

≤ _{n n m n m}

n(x) u u (x) u (x) u u

u

olur.

{

u_{n ∞}

}

, R ’de sınırlı olduğu için u_n, A ’nın tümleyeninde sınırlı bir u

( )

x

fonksiyonuna düzgün yakınsar. Ax∈ için u

( )

x =0 alınırsa, u∈L∞

( )

G ve

∞ →

n iken u_n −u _p →0 olur. Dolayısıyla L∞

( )

G ’da tamdır.

Sonuç 2.1.6.

1≤ p≤∞için Lp

( )

G de bir Cauchy dizisinin G üzerinde hemen hemen her

Sonuç 2.1.7. L₂

( )

G ,

( )

u,v u

( )

x v(x)dx G

∫

=

iç çarpımına göre bir Hilbert uzayıdır. L₂

( )

G için Hölder eşitsizliği tam olarak bilinen Shwartz eşitsizliğidir.

( )

u,v ≤ u ₂ v ₂

Teorem 2.1.8.

∞ < ≤ p

1 için C₀

( )

G uzayı L_p

( )

G ’nin içinde yoğundur (1).

İspat:

∈

u L_p

( )

G ve ε>0olsun. u-φ _p <ε olacak şekilde φ∈C₀

( )

G fonksiyonunun var olduğu ispatlanacaktır.

(

3 4

)

2

1 u i u u

u

u= − + − şeklinde alınan her bir reel değerli ve negatif olmayan

(

1 j 4

)

u_j ≤ ≤ fonksiyonları için, 4 ε u p j < − j φ

(

1≤ j≤4

)

olacak şekilde ∈ j

φ C₀

( )

G fonksiyonların olduğunu kabul edilirse;

(

)

ε

i

u−φ₁+φ₂− φ₃−φ_{4 p} <

olur. Buradaki u reel ve negatif olmayan bir fonksiyon olarak seçilir. Diğer taraftan Teorem 1.1.19’dan bir

{ }

s_n dizisi için 0≤s_n

( ) ( )

x ≤u x olduğundan

{ }

s_n ∈Lp

( )

G dir.

(

) (

p

)

p n(x) u(x)

s

2 ε s

-u _p < olacak şekilde s∈

{ }

s_n seçebiliriz. Bu durumda s sabit ve p<∞

olduğundan s’nin destekleyicisi sonlu yoğunluğa sahiptir. Ayrıca her x∈G’için

( )

x 0

s = alınabilir. Teorem 1.1.18

( )

f kullanılırsa,

G x∈

∀ için φ

( )

x ≤ s_∞ olacak şekilde φ ∈C₀

( )

G fonksiyonu elde edilir ve

{

( ) ( )

}

p s 4 ε x x s : G x mes _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ < ≠ ∈ ∞

φ olarak yazılır. Teorem 2.1.2’den

( ) ( )

{

}

(

)

2 ε s 4 ε s 2 x x s : G x mes s s _p 1/p = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ < < ≠ ∈ − ≤ − ∞ ∞ ∞ φ φ φ

yazılır. Sonuç olarak;

ε 2 ε 2 ε s s u u u−φ _p = −s+s−φ _p ≤ − _p + −φ _p < + = elde edilir. Teorem 2.1.9. ∞ ≤ ≤ p

1 için Lp

( )

G uzayı ayrılabilir bir uzaydır. (1).

İspat: 1,2,... m= için

(

)

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{∈ ≥ ≤} = ve x m m 1 bdryG x, dist : G x Gm

olduğundan Gm, G’nin kompak bir alt kümesidir. P,Rn rasyonel – karmaşık

katsayılara sahip olan tüm polinomlar kümesini göstersin ve Gm’nın karakteristik

fonksiyonu

m

G

{

χ f :f P

}

P_m = _Gm ∈

olsun. Bu durumda P_m, C

( )

Gm de yoğun ve

U

∞ =1 m m P sayılabilirdir.

( )

G L u_∈ p _{ve ε>0ise} 2 ε

u−φ _p < olacak şekilde ∈φ C₀

( )

G vardır. Ayrıca,

(

supp ,bdryG

)

dıst m 1 _{≤ φ} ise

(

)

p 1 m G mes 2 ε f − ∞ < −

φ olacak şekilde f∈P_mvardır.

Sonuç olarak,

(

)

2 ε G mes f f p 1 m p ≤ − < − φ _∞ φ yazılır ve buradan ε 2 ε 2 ε f u f u f u− _p = −φ+φ− _p ≤ −φ _p + φ− _p < + =

elde edilir. Dolayısıyla

_U

∞

=1 m m

P sayılabilir kümesi L_p

( )

G ’da yoğundur ve L_p

( )

G uzayı ayrılabilirdir.

Tanım 2.1.10.

Ölçülebilir bir G kümesi üzerinde tanımlanan f fonksiyonu,

G \

En _{üzerinde sıfır değerini alan E ile genişletilirse,} n

( )

G ,

L

f∈ _p L_p

( )

G içinde sürekli olması için, her ε>0için

(

x y

)

f ε f + − _p,En <

olacak şekilde δ>0 sayısı olmalıdır. Burada

y y δ 1/2 n 1 i 2 i ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

= dır.

2.2. Temel İntegral Eşitsizlikleri: Bu kısımda p sayısı p∈ ,

[ ]

1∞ ve 1 p 1 p 1 ₌ ′ + alınacaktır. p′=∞iken 1p= ve 1 = ′

p iken p=∞olur. Ayrıca n boyutlu uzayda - p=

(

p₁,p₂,...,p_n

)

,

(

′ ′ ′

)

=

′ p₁,p₂,...,p_n

p ve p_i,∈[1,∞], ni=1,2,..., dır. p=

(

p₁,p₂,...,p_n

)

, ve

(

q₁,q₂,...,q_n

)

q= vektör olarak alınırsa bu vektörlerin toplamı,

(

p1 q1 p2 q2,...,pn qn

)

q p+ = + + + + ve p≥q

(

p>q

)

alındığından pi > qi, i = 1,2,…,n olur. 2.2.1. Hölder’s eşitsizliği p ve p′ , 1 ≤ p ≤ ∞, 1 p 1 p 1 = ′

+ koşullarını sağlayan iki sayı olsun.

( )

( )

n p 1 x L E f ∈ ve

( )

( )

n p 2 x L E f ∈ _′ ise

( ) ( )

( )

n 1 2 1 x f x L E f ∈ olur. Yani;

( ) ( )

( )

( )

1/p E p 2 1/p E p 1 E 2 1 n n n dx x f dx x f dx x f x f ′ ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

∫

∫

∫

(2.2.1) ya da

( ) ( )

1 _p 1 _p E 2 1 x f x dx f f f n ′ ≤

∫

şeklinde tanımlanır (22). İspat:

(2.2.1) eşitsizliği 1p= ve p=∞ durumları için açıktır. 1< p<∞ için ispat yapılmadan önce aşağıdaki eşitsizliklerin doğru olduğu gösterilmelidir.

{ }

1 \ R p p, ′∈ + ve 1 p 1 p 1 ₌ ′

+ olmak üzere ∀u, v∈R için

i) p> ise 1 p v p u u v p p ′ + ≤ ′ (2.2.2) ii) 0<p<1 ise p v p u u v p p ′ + ≥ ′ (2.2.3) dır. İspat: i) u>0 vev>0 olduğunu varsayalım. p 1 α= (0<α<1) olmak üzere

( )

t =tα −α t ; t∈

( )

0,∞ ϕ

fonksiyonunu incelendiğinde ∀t∈

( )

0,∞ için _ϕ′

( )

t ₌α

(

tα−1₋1

)

_{olduğundan ϕ}

( )

_t

fonksiyonu

( )

0,∞ aralığında maksimum değerini t=1 noktasında alır. O halde

( )

∞ ∈ ∀t 0, için ϕ

( ) ( )

t ≤ϕ1 olduğundan,

( )

t 1 α 1 t α -1 αt tα _{− ≤ ⇒} α _{− ≤ −}

ifadesi yazılabilir. Bu eşitsizlikte _pp v u t= _′ olarak alınırsa,

( )

⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ≤ − ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ≤ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ _v 1 u p v v v u v 1 v u p 1 1 v u p p p p p 1 p p p p p 1 p p p v p u u v v p 1 1 p u u v p v p u v u v p p p p p p p ′ + ≤ ⇒ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ≤ ⇒ − ≤ − ′ ′ ′ ′ elde edilir.

ii)İfadesinin ispatı da benzer şekilde yapılır.

(

2.2.1

)

eşitsizliğin ispatını yapalım.

( )

_∫

( )

∫

_′ ′ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n n _E p 2 p E p 1 p _{f x dx ve B f x dx}

A olsun. A ve B sayılarından biri sıfır ise

(

2.2.1

)

eşitsizliğinin doğru olduğu açıktır. A>0 ve B>0olduğu varsayıldığında ve

( )

( ) ( ) ( )

B x f x v , A x f x u ₌ 1 ₌ 2

şeklinde u

( )

x ve v

( )

x fonksiyonları alındığında (2.2.2) eşitsizliği de kullanılarak,

( ) ( )

_∫

( )

_∫

( )

_∫

( )

_∫

( )

∫

= ′ + = ′ + = ′ + ≤ _′ ′ ′ n n n n n _E p p 2 E p p 1 E p E p E 1 p 1 p 1 B x f p 1 A x f p 1 dx p x v dx p x u x v x u

( ) ( )

( ) ( )

1 f

( ) ( )

x f x A B B x f A x f 1 x v x u n n n _E 2 1 E 2 1 E ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤

_∫

_∫

∫

( ) ( )

( )

( )

p 1/ E p 2 1/p E p 1 E 2 1 n n n dx x f dx x f x f x f ′ ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

∫

∫

∫

Hölder eşitsizliğinin doğruluğu ispatlanır.

2.2.2. Ters Hölder eşitsizliği:

1 p 0< < için 0 1 p p p < − = ′ ve _{f L}

( )

_En p ∈ olmak üzere

( )

<∞ <

∫

′ n E p dx x g 0 olsun. Bu durumda,

( ) ( )

( )

( )

1/p E p 1/p E p En n n dx x g dx x f dx x g x f ′ ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≥

_∫

_∫

∫

(2.2.4) olur (1).

İspat:

( )

n 1 E

L g

f ∈ olur. Aksi takdirde (2.2.4) eşitsizliğinin sol tarafı sonsuz olur.

p p g f ψ ve g = = −

φ alırsak φψ= f p olur. Eğer = >1

p 1 q ise

( )

n q E L ψ∈ ve 1 q q q , q p p − = ′ ′ − = ′ ise

( )

n q E L _′ ∈ φ

olur. Aşağıdaki ifadeye Hölder eşitsizliği (2.2.1) uygulanırsa;

( )

( ) ( )

( )

( )

1/q _{q q} E q q 1/ E q E E p ψ dx x ψ dx x dx x ψ x dx x f n n n n ′ ′ ′ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ =

∫

∫

∫

∫

φ φ φ

( ) ( )

( )

p 1 E p p En n dx x g dx x g x f − ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

_∫

_∫

elde edilir. Böylece,

( ) ( )

( )

( )

1/p E p 1/p E p En n n dx x g dx x f dx x g x f ′ ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≥

∫

∫

∫

eşitsizliği ispatlanmış olur.

2.2.3. İkiden fazla fonksiyon için Hölder eşitsizliği

i=1,2,...,miçin 1≤p_i ≤∞ ve + +...+ =1 m 2 1 p 1 p 1 p 1 olmak üzere

( )

n p i L E f ∈ _i ise

( )

( )

( )

n 1 m 1 x ... f x L E

( ) ( )

( )

≤

∫

f x f x ... f x dx n E m 2 1

( )

( )

( )

m n m 2 n 2 1 n 1 1/p E p m 1/p E p 2 1/p E p 1 x dx f x dx ... f x dx f _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

_∫

_∫

_∫

(2.2.5) ya da,

∏

∏

= = ≤ m 1 i p i 1 m 1 i i f _i f şeklinde yazılabilir.

2.2.4. Toplam için Hölder eşitsizliği

(

2.2.1

)

eşitsizliğinde, f₁

( )

x ve f₂

( )

x sonlu değerli fonksiyonlar olarak alınırsa integral yerine toplam sembolü kullanılır. Toplam için Hölder eşitsizliği,

(

≤ ≤∞

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ′ = ′ = =

∑

∑

∑

α b α b 1 p p 1/ N 1 i p i 1/p N 1 i p i N 1 i i i (2.2.6)

şeklindedir. Burada N bir doğal sayıdır (22).

2.2.5. Minkowski’s eşitsizliği ∞ < ≤ p 1 için

( ) ( )

( )

n p 2 1 x ,f x L E f ∈ ise

( ) ( )

( )

n p 2 1 x f x L E f + ∈ olur. O halde p 2 p 1 p 2 1 f f f f + ≤ + (2.2.7) eşitsizliği yazılabilir (8). İspat:

(

1 2

)

1 p 2 1 2 1 1 p 2 1 p 2 1 f f f f f f f f f f + = + − + ≤ + − + = f₁ f₁+f₂p−1+ f₂ f₁+f₂ p−1

f f f

( )

x f

( )

x p dx E 2 1 p p 2 1 n

∫

+ = +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 II 1 p 2 1 E 2 I 1 p 2 1 E 1 x f x f x dx f x f x f x dx f n n − − + + + ≤

∫

∫

(I) ve (II) ifadelerine Hölder eşitsizliği (2.2.1) uygulanırsa;

( )

( )

( )

( )

( )

( )p-1p 1/p E 2 1 1/p E p 1 p E 2 1 x f x dx f x dx f x f x dx f n n n ′ ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ +

_∫

_∫

∫

( )

( ) ( )

( ) 1/p E p 1 -p 2 1 1/p E p 2 x dx f x f x dx f n n ′ ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +

_∫

_∫

,

(

p−1

)

p′=p

( )

( )

( )

( )

( )

p 1/ p E 2 1 1/p E p 1 p E 2 1 x f x dx f x dx f x f x dx f n n n ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ +

∫

∫

∫

( )

( ) ( )

p 1/ E p 2 1 1/p E p 2 x dx f x f x dx f n n ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +

∫

∫

( ) ( )

( )

( )

⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + =

_∫

_∫

_∫

′ 1/p E p 2 1/p E p 1 III p 1/ E p 2 1 n n n dx x f dx x f dx x f x f 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1

ve eşitsizliğin her iki tarafı (III) ifadesine bölünürse,

( )

( )

( )

( )

1/p E p 2 1/p E p 1 p 1 -1 p E 2 1 n n n dx x f dx x f dx x f x f _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +

_∫

_∫

∫

′ , _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′ − p 1 p 1 1

elde edilir. O halde

f₁+f_{2 p} ≤ f_{1 p}+ f₂

2.2.6. Ters Minkowski’s eşitsizliği 1 p 0< < için

( ) ( )

( )

n p 2 1 x ,f x L E f ∈ olduğundan _{1 p 2 p} p 2 1 f f f f + ≥ + (2.2.8) olur. İspat:

( )

n p E

L ’de f₁=f ₂ =0olursa aşikar çözüm elde edilir. Aksi takdirde sol

taraftaki ifade sıfırdan daha büyük olur. (2.2.8) ifadesine Ters Hölder eşitsizliği (2.2.4) uygulanırsa,

( )

( )

(

f x f x

)

(

f

( )

x f

( )

x

)

dx f f p 1 _{1 2} E 2 1 p p 2 1 n + + = +

_∫

− f

( )

x f

( )

x ( ) dx

(

f_{1 p} f_{2 p}

)

;

(

(

p 1

)

p p

)

p 1/ E p 1 p 2 1 n = ′ − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ≥ ′ ′ −

∫

(

( )

( )

)

(

_{1 p 2 p}

)

p 1/ E p 2 1 x f x dx f f f n + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ′

∫

p

(

_{1 p 2 p}

)

p p 2 1 f f f f + + = ′ p 2 p 1 1 p p -p p 2 1 f f f f + ′= ≥ + elde edilir.

2.2.7.

(2.2.7) eşitsizliğindeki p reel sayısı vektör olarak da seçilebilir. Bu durumda, ∞ ≤ ≤ p 1 için f L

( )

En

(

i 1,...,m

)

p i∈ = ise

∑

∑

= = ≤ m 1 i i p p m 1 i i f f (2.2.9) eşitsizliği yazılabilir.

2.2.8. Toplam için Minkowski’s eşitsizliği

(2.2.7) eşitsizliğinde, f₁

( )

x ve f₂

( )

x fonksiyonları sonlu değerli olarak alınırsa integral yerine toplam sembolü kullanılır. Toplam için Minkowski’s eşitsizliği,

(

≤ ≤∞

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

∑ ∑

∑ ∑

= = = = p 1 , α α 1/p m 1 j N 1 i p ij 1/p N 1 i p m 1 j ij (2.2.10)

şeklindedir. m, N birer doğal sayıdır.

2.2.9. Genelleştirilmiş Minkowski’s eşitsizliği

(

E_x x E_y

)

’nin üzerinde f

( )

x,y ölçülebilir fonksiyonunu tanımlanırsa

∫

( )

≤

∫

( )

Ey p,E E p, Ey dy y x, f dy y x, f x x ,

(

1≤p≤∞

)

(2.2.11)

eşitsizliği elde edilir. Yani;

( )

x,y dy dx f

( )

x,y dx dy f Ey 1/p E p 1/p E p Ey x x

∫ ∫

∫ ∫

⎟⎟_⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛

İspat:

1

p= için Fubini’s teoremi elde edilir.

2.2.10. Fubini Teoremi

( )

x,y

f fonksiyonu

(

E_x x E_y

)

üzerinde tanımlı olsun.

( )

_⎟⎟ <∞ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

∫ ∫

f x,y dx dy Ey Ex ise

∫

( )

Ex dx y x, f ve

∫

( )

Ey dy y x, f integralleri vardır. Bu durumda,

( )

_{∫ ∫}

( )

∫

∫

= x y x y E E E E dx dy y x, f dy dx y x, f (2.2.12) olur. ∞ =

p için ifadenin doğru olduğu açıktır. Bu durumda 1<p<∞ için ispatı yapalım.

( )

( )

p

( )

x Ey E L g(x) ve dy y x, f x s =

∫

∈ ′ olarak alınırsa,

( ) ( )

x g x dx g

( ) ( )

x s x dx g

( )

x f

( )

x y dy dx s Ey E E Ex x x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤

_∫

_∫

_∫

∫

( ) ( )

4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 I Ey E dx y x f x g dy x

∫ ∫

=

olur. (I) ifadesine Hölder eşitsizliği uygulanırsa eşitsizliğin ispatı elde dilir.

( ) ( )

( )

( )

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

_∫

_∫

∫

∫

′ ′ 1/p E p A p 1/ E p Ex Ey x x dx y x, f dx x g dy dx x g x s 4 4 4 3 4 4 4 2 1 = _′

∫

( )

y E p p f x,y dy

2.2.11.

Genelleştirilmiş Minkowski’s eşitsizliğinde (2.2.11) f(x,y), fonksiyonu

yerine

[

( )

]

v µ p ve y x,

f µ = olarak alınırsa daha genel bir ifade elde edilir.

∞ ≤ ≤ <µ v

0 ve f

( )

x,y fonksiyonu

(

E_x x E_y

)

üzerinde ölçülebilir bir

fonksiyon ise,

( )

( )

1/µ E v µ E v 1/v E µ v E µ y x x y dy dx y x, f dx dy y x, f ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

∫ ∫

∫ ∫

( )

1/µ E µ v 1 E v y x dy dx y x, f ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

_{∫ ∫}

.

eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizliğin norm altında yazılımı

( )

(

)

(

( )

)

1/µ E µ E v, 1/v E v E µ, y x x y dx f x,y y x, f ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ≤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

∫

∫

( )

(

)

y x x y _v,E v,E _µ,E E µ, f x ,y y x, f ≤ (2.2.13)

(

)

_{( )( )}

( )

_{( )( )} y x x y,E v,µ E ,E E v µ, f x,y y , x f ≤ şeklindedir. 2.2.12.

Genelleştirilmiş Minkowski eşitsizliğinde (2.2.11), p reel sayısı vektör olarak alınırsa;

(

)

_∫

(

)

∫

≤ y x x y E E p, E p, E dy y , x f dy y , x f (2.2.14)

∫

( )

≤

∫

n y 1 x y E n E p, E dy dy y ., f

( )

1 n x n 1 2 x 2 1 1 x 1 1 y 1 2 y 1 E , p E , p E , p E 1 E 2 f ., y dy ... dy ...

∫

∫

(2.2.15) dır. 2.2.13. Young eşitsizliği R r q, p, ∈ , 1≤p≤q≤∞ , r 1 q 1 p 1

1− + = için _{E üzerinde tanımlı tek} 1

değişkenli f

( )

x ve K

( )

x fonksiyonları,

( )

1 p E L f∈ ve

( )

1 r E L K∈ olmak üzere

( ) (

y K x y

)

dy f K)(x) * (f (x) I 1 E

∫

− = =

şeklinde I

( )

x fonksiyonunu tanımlayalım. O halde

p r q K f I ≤ (2.2.16) olur (8). İspat:

a) q=∞ durumunda r= alındığında (2.2.16) eşitsizliği Hölder p′

eşitsizliğinin bir sonucudur. Bu durumda ispat q<∞ için yapılır.

b) q<∞ iken qp, ve r sayıları arasındaki ilişki 3 farklı şekilde incelenebilir.

i) 1<p<q , r< q ii) 1=p<q, r= q iii) p= , 1q r= i)

(

)

q p q r ₁ 1 1/q r p f K K f K f = − − (2.2.17)

fonksiyonu şeklinde yazılabilir.(2.2.16) ifadesinin sol tarafındaki norm içindeki integral ifadesine 3 fonksiyon için Hölder eşitsizliği (2.2.1) uygulanırsa,

q p 1 p p , q r 1 r p p , q p ı ₃ 2 1 − = − = = = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + + 1 p 1 p 1 p 1 3 2 1

( )

x f K dy

(

f K

)

K f dy I q p 1 q r 1 1/q r p − −

∫

∫

= =

(

)

r q r q r 1 r q r 1 1/q r p dx K dy K f − − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

∫

∫

1 p q p 1 q p 1 p q p 1 dy f − − − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∫

(

)

q p 1 p q r 1 r 1/q r p f K dy K f − −

∫

=

(

)

.q q p 1 p .q q r 1 r r p q f K dy K f I ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛₋

∫

≤

( )

(

( )

(

)

)

q p 1 p q r 1 r 1/q r p q dx f y K y-x dy K f x I ≤

∫

∫

− − q

(

( )

p

)

1/q

(

(

)

r

)

1/q p 1 p q r 1 r f f y dy K y-x dx K = − −

∫

∫

=

(

( )

)

(

( )

)

q r . r 1 r q p . p 1 p q p 1 p q r 1 r f f y dy K x dx K − −

∫

∫

q _{r p} r r q p p q p 1 p q r 1 r f f K K f K = = − −

elde edilir.(ii) ve (iii) durumları da benzer şekilde ispatlanır.

2.2.14.

(2.2.15) eşitsizliğinin yardımıyla ve (2.2.16) eşitsizliğinin n – boyutlu uzaya uygulanması düşünerek,

(

p1,...,pn

)

, q

(

q1,...,qn

)

, r

(

r1,...,rn

)

p= = = ,1≤p≤q≤∞, r 1 q 1 p 1 1− + = ve

( )

=

_∫

( ) (

−

)

n E dy x y K y f x I

fonksiyonu tanımlayalım. Bu fonksiyon yardımıyla,

p r q K f

I ≤ (2.2.18)

eşitsizliği yazılır. Özel olarak q= için p

p r p K f

I ≤

yazılabilir.

2.2.15.Hardy’s eşitsizliğinin genelleştirmeleri

( )

_⎟⎟ =

( )

∞ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ∞

_∫

₊ + f x dx ; E 0, f 1 1/p 0 p E p, 1 (2.2.19)

şeklinde f fonksiyonunun normunu,

( )

1 p E L f 0, γ 0, α , q p 1≤ ≤ ≤∞ ≠ > ∈ ₊ için

( )

x f

( )

y y dy , α 0 F γ x 0 p 1 γ α, =

∫

> + ′ − α (2.2.20) ve

( )

x f

( )

y y dy , α 0 F γ x α p 1 γ α, =

∫

< ∞ ₊ ′ − (2.2.21)

fonksiyonlarını tanımlayalım. Bunların yardımı ile

1 1 E p, µ q 1 E q, γ α, αγ q 1 f α µ γ F x + + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ − − − (2.2.22)

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∞ = = + − = 1 α µ ise q ve 1 p q 1 p 1 1 µ µ eşitsizliği tanımlanır. İspat: ∞ ≤ ≤ ≤p q

1 ve δ sayısı 0<δ< α olsun. (2.2.20) ve (2.2.21) ifadelerine

Hölder eşitsizliği

(

2.2.1

)

uygulanırsa,

( )

x f

( )

y y y y dy , α 0 F p α 1 x 0 γ α, ı γ > = − − +

∫

δ δ

( )

( )

( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ′ ′ +

∫

∫

1 p 1 p 1 ; dy y dy y y f x F _ı p 1/ x 0 p -α 1 -1/p x 0 p p γ α, γ γ δ δ C x( ) f

( )

y y dy , α 0 1/p x 0 p δ p γ δ α 1 γ > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ −

∫

_(2.2.23) ( ) f

( )

y y y y dy , α 0 F p α 1 x δ δ γ α, ı γ x = < + − ∞ −

∫

F ( ) f

( )

y y dy y ( ) dy p 1/ x p δ α 1 -1/p x p δ -p γ α, γ γ x ′ ∞ ′ + + ∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

∫

∫

C x( ) f

( )

y y dy , α 0 1/p x p δ -p γ δ α 2 γ < ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ +

_∫

∞ _(2.2.24) elde edilir ve

[

(

)

]

[

(

)

]

p 1 2 p 1 1 α γ p , C α γ p C = − ′ − ′ = − + ′ − ′ dır.

(2.2.23) eşitsizliğine Genelleştirilmiş Minkowski eşitsizliği (2.2.11)

1 E q, γ α, γ α q 1 F x + − −

( )

1/q 0 .q p 1 x 0 p γ δ q 1 -p 1 f y y x dy dx C γ p δ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

_{∫ ∫}

∞ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ₊

( )

1/p 0 q p y q γ δ 1 p δ p 1 f y y x dx dy C γ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

∫

∞

∫

∞ −−

(

α 0

)

f C C_{1 3 p,E}1 > ≤ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤ ≤y x isey x olur. 0 γ 1 γ

olur. Benzer şekilde

(

α<0

)

için yapılırsa,

(

α 0

)

f C C F x 1 1 E p, 3 2 E q, γ α, γ α q 1 < ≤ + + − −

elde edilir. Burada

(

)

q

1 3 δ γq C = − şeklindedir. 2 1,C C veC sabitlerindeki ₃ q p p α δ + ′ ′

= olarak alınırsa (2.2.22) eşitsizliği elde

edilir. ∞ < ≤ =p q 1 _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′ 0 p 1

için (2.2.22) eşitsizliği Genelleştirilmiş Minkowski’s eşitsizliğinden elde edilir.

∞ = ≤

≤p q

1 için (2.2.22) eşitsizliği (2.2.23) ve (2.2.24) eşitsizliklerinden

2.2.16. ∞ ≤ ≤ ≤p q 1 , α>0, 0γ> ,

( )

1 p E L f , q 1 p 1 1 µ= − + ∈ ₊ ve

( )

α γ _γ 2a q 1 α p 1 x y x y x y, h 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = − ′− − + ise

( ) ( )

1 1 E p, µ q 1 E q, 0 f α µ γ dy x y, h y f + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ − ∞

∫

(2.2.25) olur. 2.2.17. p 1 β , p 1≤ ≤∞ ≠ için,

( )

( )

p 1 β , dy y f x F x 0 > =

_∫

ve

( )

( )

p 1 β , dy y f x F x < =

∫

∞

fonksiyonlarını tanımlayalım. Bu durumda

1 1 _p,E 1 β E p, β _{x f} p 1 β 1 F x + + + − − − ≤ (2.2.26) eşitsizliği yazılır.

İspat:

p 1

β> için ispatı yapalım. y=xt⇒dy=x dt

(

y=x ise t=1

)

değişken değiştirmesi ve Genelleşmiş Minkowski’s eşitsizliği (2.2.11) kullanılırsa,

( )

( )

p 1 0 1 β p x 0 β _{f y dy f xt x dt} x−

∫

₌

∫

− + x f

( )

xt dt 1 0 1 β

∫

−+ ≤ t x f dt 1 0 p 1 β p 1 1 β

∫

−− − + = p 1 β p 1 β 1 0 1 p 1 1 β f x p 1 β 1 f x 1 p 1 1 β t

|

− + − + + − − − = + − − = elde edilir. Benzer şekilde p 1

β< için ispat yapalım. y=xt⇒dy=x dt

(

y=x ise t=1

)

değişken değiştirmesi yapılıp ve Genelleştirilmiş Minkowski (2.2.11) eşitsizliği kullanılırsa,

( )

( )

p 1 1 β p x β _{f y dy f xt x dt} x

∫

∫

∞ + − ∞ − ₌ x f

( )

xt dt 1 p 1 β

∫

∞ + − ≤ t x f dt 1 p 1 β p 1 1 β

∫

∞ + − − − = p 1 β p 1 β 1 1 p 1 1 β f x β -p 1 1 f x 1 p 1 1 β t

|

− + − + ∞ + − − = + − − =

ispatı elde edilir.

2.2.17. Çebysev’s eşitsizliği

f

( )

x azalmayan ve g

( )

x artmayan birer fonksiyon olmak üzere bu

Bu durumda,

( ) ( )

( )

( )

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ≤

∫

∫

b

∫

b f x dx b g x dx b 1 dx x g x f a a a a (2.2.27) olur. İspat:

( ) ( )

_∫

( )

− − = bf t dt b 1 x f x a a ϕ

şeklinde bir ϕ

( )

x fonksiyonu tanımlayalım.

( )

x dx f

( )

x _{[ ]} f

( )

x f b 1 b , b → = − ∼

∫

a a a fonksiyonunun ε∈

[ ]

a,b aralığındaki

ortalama değeridir. Bu durumda

( )

x 0 ise

ε

x< <

≤ ϕ

a ve ε<x≤biseϕ

( )

x ≥0 ifadeleri yazılabilir. O halde,

( ) ( )

( )

_⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −

∫

∫

f t dt dx b 1 x f x g b b a a a

( ) ( )

( ) ( )

4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 I ε b ε dx x x g dx x x g

∫

+

∫

a ϕ ϕ

olur. (I) ifadesine iki fonksiyon için ortalama değer teoremi 1.1.15. uygulanırsa

( ) ( )

f

( )

t dt dx b 1 x f x g b b

∫

∫

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − a a a

( ) ( )

_∫

= ≤g ε b x dx 0 a ϕ

elde edilir. Bu eşitsizliğin sol tarafındaki ifade de dağılma özelliği kullanılırsa,

( ) ( )

_∫

( )

_∫

( )

∫

b ≤ ₋ bg x dx bf x dx b 1 x f x g a a a a olur.

2.2.18. Hardy – Littlewood eşitsizliği

( )

1 p E L f için q 1 p 1 1 µ , q p 1< < <∞ = − + ∈ ve

( )

( )

dy x y y f x I 1 E µ

∫

₋ =

şeklinde I

( )

x fonksiyonu tanımlanırsa,

I _q ≤K

( )

p,q f _p (2.2.28) eşitsizliği yazılabilir. İspat: Önce,

( )

x f

( )

y 2y f y x dy I 1 E µ p q p 1 . p 1 q p

∫

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≤ − ⎜⎜_⎝⎛ − ⎟⎟_⎠⎞

eşitsizliğinin doğru olduğu gösterilmelidir. f

( )

x fonksiyonunun ortalama değeri

( )

( )

1/p x x p _{y dy} f 2x 1 x f _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

_∫

−

olduğu için bunun yardımı ile

( )

(

)

( )

( )

_{( )} 1 E p, p 1 x , x p p 1 x x p p f 2x f 2x x f dy y f 2x 1 x f − ₋ − − ≤ ≤ ⇒ ≤

∫

yazılır.

( )

[ ]

( )

q p 1 p q p 1 p 1 q p 1 p p 1 f 2y y f f 2y y f _≤ − _⇒ − _≤ − ⎜⎜_⎝⎛ − ⎟⎟_⎠⎞ −

( )

( )

q p 1 p q p 1 p 1 q p f 2y y f y f _≤ − ⎜⎜_⎝⎛− ⎟⎟_⎠⎞ −

( )

_∫

( )

− − = 1 E µ dy y x y f x I _≤

∫

( )

− ⎜⎜_⎝⎛ − ⎟⎟_⎠⎞ − ₋ − 1 E µ q p 1 p q p 1 p 1 q p dy x y f 2y y f _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = q 1 p 1 -1 µ = −

∫

( )

− − 1 E 1 -µ µ q p q p 1 p 1 -µ _{f f y y x y dy} 2

(

y=tx ⇒dy=x dt

)

= −

∫

( )

− − 1 E 1 -µ µ q p q p 1 p 1 -µ _{f f tx tx x tx x dt} 2 = −

∫

( )

− − 1 E 1 -µ µ q p q p 1 p 1 -µ _{f f tx t 1 t dt} 2 (*)

(*) ifadesine Genelleştirilmiş Minkowski eşitsizliği (2.2.11) uygulanılırsa

( )

x _q ≤ I

( )

1/q E q E 1 -µ µ q p q p 1 p 1 -µ 1 1 dx dt t 1 t tx f f 2 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≤ −

_{∫ ∫}

− 2 f t 1 t f

( )

tx dx dt q 1 E p E 1 -µ µ q p 1 p 1 -µ 1 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≤ −

_∫

−

_∫

q p p E 1 -µ µ q p 1 p 1 -µ _{f t 1 t dt f} 2 1

∫

− − − ≤ 1 q p q p 1 p E 1 -µ µ 1 -µ _{t 1 t dt f} 2 1 = + − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≤

_∫

elde edilir. Burada

( )

p,q 2 t 1 t dt K 1 E 1 -µ µ 1 -µ

∫

− − =

2.2.19.

(2.2.28) eşitsizliğindeki p ve q reel sayıları yerine p=

(

p₁,p₂,...p_n

)

ve

(

q₁,q₂,...q_n

)

q= şeklinde vektörler alınabilir. Bu durumda 1≤p≤q≤∞ ve

∞ < < <p_n q_n

1 olur. O halde , λ_i pozitif sayısı için,

∑

= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = n 1 i i i i q 1 p 1 1 λ µ

(

i=1,2,...,n

)

bir sayı ve

( )

n p E L f∈ olacak şekilde

( )

_∑

= = n 1 i 1/λ i i y y g

( )

x f

( ) (

y

[

g y-x

)

]

dy I µ En −

∫

= fonksiyonlarını tanımlayalım. p q C f I ≤

yazılır. Burada C bir sabit sayıdır.

2.2.20. Yardımcı önerme

0

α> , 0<µ<1, 1≤ r<∞ ve µr′>1 için ϕ

( )

x fonksiyonu E1₊

( )

0,∞ üzerinde tanımlı azalmayan bir fonksiyon ve ϕ

( )

x ∈L_p

( )

_E1

+ olmak üzere,

( )

( )

1/r 0 r r 1 µ E r, r 1 µ 0 µ dx x α C α C dx α x x I 1 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤ − =

_∫

− + − +′

_∫

∞ ∞ − + ϕ ϕ ϕ eşitsizliği yazılır.

İspat:

( )

x

ϕ azalmayan bir fonksiyon olduğundan,

( )

x x a dx

( )

x x a µ dx 2α α µ α 0 − − − ≥ −

_∫

∫

ϕ ϕ

eşitsizliği yazılabilir. Bu eşitsizlikten yararlanılırsa;

( )

( )

( )

4 4 4 3 4 4 4 2 1 4 4 4 3 4 4 4 2 1 2 1 I 2α µ I α 0 µ 0 µ dx α x x dx α x x 2 dx α x x I

∫

∫

∫

∞ − − ∞ − − + − ≤ − = ϕ ϕ ϕ

elde edilir ve

( )

I₁ ifadesine Çebysev’s eşitsizliği (2.2.27) uygulanırsa

( )

( )

( )

43 42 1 43 42 1 4 3 I α 0 µ I α 0 µ α 0 1 x dx x α dx α 1 dx α x x x I =

∫

ϕ − − ≤

∫

ϕ

∫

− − yazılabilir. O halde,

( )

( )

_{( )} 1 µ α 0, r r 1 α 0 1 µ 1/r α 0 r 1 α α µ 1 1 µ 1 α x dx x α 1 x I

|

− − + − − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤

∫

ϕ ϕ = _{( )} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′ = + − ⇒ = ′ + − ′ + r 1 1 r 1 1 r 1 r 1 α µ 1 1 α 0, r r 1 µ -ϕ

elde edilir. I₂

( )

x ifadesine de Hölder eşitsizliği (2.2.1) uygulanırsa,

( )

( )

( )

r 1 2α r µ 1/r 2α r µ 2α 2 x x x α dx x dx x α dx I ′ ∞ ′ − ∞ − ∞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ − =

∫

ϕ

∫

ϕ

∫

( )

_{( )} r 1 α r µ α, r r 1 α r µ 1/r α r dx α x 1 dx α x dx x ′ ∞ ′ ∞ ′ ∞ ′ − ∞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ≤ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤

_∫

ϕ

_∫

ϕ

_∫

( ) ( ) ( ∞) ′ ′ − ∞ + ′ ∞ ′ ∞ ′ ∞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤

_∫

r _rα, 1 r µ 1 r 1 α 1 r µ -α, r r 1 α r µ α, r _1-µr a 1 r µ -1 x dx x 1 ı

|

ϕ ϕ ϕ Cα r _{( )} 1 µ - +_′ = ϕ

eşitsizliği elde edilir. O halde, I

( )

x ≤2I₁

( ) ( )

x +I₂ x

eşisizliğindeki ifadeler yerleştirilirse,

( )

_≤ − +′ _{( )+} +′ _{( ∞)} α, r r 1 µ -α 0, r r 1 µ α C α µ -1 1 2 x I ϕ ϕ = _{( )} r _{r( )0,α} 1 µ 1 α 0, r r 1 µ α C α C µ -1 2 _ϕ − +_{′ ϕ} ′ + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

+ (C₁sabit bir sayıdır)

elde edilir. C ve C₁ birer sabit sayıdır.

2.3. Zayıf Ve Güçlü Tipli Yarı Lineer Operatörler

Tanım. 2.3.1. Dağılım fonksiyonu

( )

x

f fonksiyonu _{E üzerinde tanımlanan ölçülebilir bir fonksiyon olduğu} n

için f

( )

x >t olur ve x noktalarından kurulan bu ölçüm µ

( )

f;t şeklinde gösterilebilir.

( )

f;t

µ = mes

{

x: f

( )

x >t

}

Buradaki µ=µ

( )

f;t fonksiyonuna f

( )

x ’in dağılım fonksiyonu denir.

( )

n p E

L f∈

olduğundan aşağıdaki ifadeler yazılabilir.

i)

( )

≤ −

∫

( )

n E p p _{f x dx} t t f; µ ii)

∫

( )

∫

( )

∞ − = 0 1 p E p dt t f; µ t p dx x f n , 1≤ p<∞ İspat: i)

( )

( )

{ }

( )

{

x:f x t

}

t µ

( )

f;t µ t dx x f dx x f p p t f p E p n = > ≥ ≥

_∫

∫

> olur.