Değişmeli ve normal kesişimsel esnek gruplar

FEN BLMLER ENSTTÜSÜ

DE‡“MEL VE NORMAL KES“MSEL ESNEK GRUPLAR

rfan “M“EK Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dal Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN

2013

FEN BLMLER ENSTTÜSÜ MATEMATK ANABLM DALI

YÜKSEK LSANS TEZ

DE‡“MEL VE NORMAL

KES“MSEL ESNEK GRUPLAR

rfan “M“EK

TOKAT 2013

uyuldu§unu, ba³kalarnn eserlerinden yararlanlmas durumunda bilimsel normlara uygun olarak atfta bulunuldu§unu, tezin içerdi§i yenilik ve sonuçlarn ba³ka bir yerden alnmad§n, kullanlan verilerde herhangi bir tahrifat yaplmad§n, tezin herhangi bir ksmnn herhangi bir üniversitede ba³ka bir tez çal³mas olarak sunulmad§n beyan ederim.

Yüksek Lisans Tezi DE‡“MEL VE NORMAL KES“MSEL ESNEK GRUPLAR

rfan “M“EK Gaziosmanpa³a Üniversitesi

Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal

Dan³man: Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN

Bu çal³mada, ilk olarak grup teorisi, esnek kümeler, kesi³imsel esnek gruplar ve normal kesi³imsel esnek gruplarla ilgili kullanaca§mz temel tanm ve teoremler verildikten sonra, normal ve de§i³meli kesi³imsel esnek gruplar tanmladk ve bunlarla ilgili özellikleri inceledik.

2013, 56 sayfa

Anahtar Kelimeler: Esnek küme, Kesi³imsel esnek grup, Normal kesi³imsel esnek grup, De§i³meli esnek küme, De§i³meli kesi³imsel esnek grup, Normal esnek küme, Normal kesi³imsel esnek grup.

M. Sc. Thesis

COMMUTATIVE AND NORMAL SOFT INTERSECTION GROUPS rfan “M“EK

Gaziosmanpa³a University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Naim ÇA‡MAN

In this thesis, after introducing the basic denitions and theorems of group theory, soft sets, soft intersection groups and normal soft intersection groups, we then dened normal and commutative soft intersection groups and investigated their basic properties.

2013, 56 pages

Keywords: Soft sets, Soft intersection groups, Normal soft intersection groups, Normal soft set, Normal soft intersection groups, Commutative soft sets, Commutative soft intersection groups.

ÖZET . . . i ABSTRACT . . . ii ÖNSÖZ . . . iv SMGE ve KISALTMALAR DZN . . . v 1. GR“ . . . 1 2. GRUP VE ÖZELLKLER . . . 4 3. ESNEK KÜMELER . . . 9

4. KES“MSEL ESNEK GRUPLAR . . . 12

5. NORMAL KES“MSEL ESNEK GRUPLAR . . . 16

6. DE‡“MEL KES“MSEL ESNEK GRUPLAR . . . 28

7. SONUÇ VE TARTI“MA . . . 43

KAYNAKLAR . . . 44

ÖZGEÇM“ . . . 47

Bu çal³may yapmamda bana destek olan, bilgisini ve tecrübesini payla³an tez dan³manm, kymetli hocam Doç. Dr. Naim ÇA‡MAN'a, özellikle tez çal³mas boyunca tecrübesini ve bilgisini payla³an Yrd. Doç. Dr. Kenan KAYGISIZ'a, bölüm ba³kan de§erli hocam Prof. Dr. Oktay MUHTARO‡LU'na ve yüksek lisans e§itimim boyunca eme§i geçen tüm bölüm hocalarma, te³ekkür ederim. Ayrca bu süreçte maddi ve manevi desteklerini esirgemeyip ba³ta annem ve babam olmak üzere her zaman yanmda olan aile bireylerime sonsuz te³ekkür ederim.

Bu tezde yer alan "De§i³meli, Çözülebilir ve Nilpotent Gruplarn Esnek Kümeler Üzerinde ncelenmesi" adl çal³ma 2012/58 nolu Bilimsel Ara³trma Projesi olarak Gaziosmanpa³a Üniversitesi tarafndan nansal olarak desteklenmi³tir. Gaziosmanpa³a Üniversitesine verdi§i nansal destekten dolay te³ekkür ederim.

rfan “M“EK Ocak 2013

Simgeler Açklamalar

U Evrensel küme

E Parametreler kümesi

P(U) U'nun kuvvet kümesi

S(U) U üzerinde E parametreli esnek kümelerin kümesi

SG(U) U üzerinde tanmlanan G parametreli kesi³imsel esnek gruplarn kümesi

NSG(U) U üzerinde tanmlanan G parametreli normal kesi³imsel esnek gruplarn kümesi ΦE(U) Esnek bo³ küme

^

(E, U) Esnek evrensel küme

f ˜⊆g g, f'yi esnek kapsar

f ˜∩g f ve g esnek kümelerinin esnek kesi³imi

f ˜∪g f ve g esnek kümelerinin esnek birle³imi

f ˜\g f esnek fark g

fc˜ _{f esnek kümesinin esnek tümleyeni}

f ∗ g f ve g esnek kümelerinin esnek çarpm

A ≤ G Aalt grup G

A ¢ G ANormal alt grup G

G/A A'nn G'ye göre bölüm grubu

NG(H) H'nn G içindeki normalleyeni

N(f ) f esnek kümesinin normalleyeni

Z(f ) f esnek kümesinin merkezleyeni

Hayatmzdaki ço§u alanda, zengin, güzel, zeki gibi ki³iden ki³iye veya duruma göre de§i³iklik gösteren matematiksel olarak tam olarak ölçülemeyen kavramlara belirsiz denir. Belirsizlik hemen hemen hayatmzn bir çok alannda kar³mza çkmaktadr. Belirsizlik içeren problemlerin matematiksel modellenmesi için aralk matemati§i, olaslk teorisi, yakla³ml kümeler teorisi (Pawlak 1982) ve bulank kümeler teorisi (Zadeh 1965) gibi farkl teoriler ortaya atlm³tr.

Bu teorilerden en sk kullanlanlardan biri bulank (fuzzy) kümeler teorisidir. Zadeh (1965) tarafndan ortaya atlan bulank küme teorisi, Aristo mant§nndaki önermelerin do§ruluk de§eri olan iki elemanl {0, 1} kümesini sonsuz elemanl [0, 1] aral§na ta³maktadr. Yani, Aristo mant§nda bir önermenin do§ruluk de§eri 0 yada 1 olurken bulank mantkta [0, 1] aral§ndaki her de§eri alr. Böylece, bulank kümelerde her bir elemann [0, 1] aral§nda bir kümeye aittlik derecesi vardr. Bulank kümenin üyelik fonksiyonu ile elde edilen bu aitlik derecesine elemenn üyelik derecesi denir.

Belirsizlikleri modellerken üyelik fonksiyonlarnn tanmlanmasndan çkan problemeleri yok etmek için Molodstov (1999) tarafndan bulank kümelerin de genellemesi olan Esnek (Soft) Küme teorisi ortaya atlm³tr. Esnek küme teorisi bulank küme teorisinin aksine reel de§erli bir fonksiyon yerine küme de§erli bir fonksiyonla belirsizli§i ortadan kaldrmay amaçlamaktadr. Molodtsov (1999, 2004, 2006) sürekli diferansiyellenebilir fonksiyonlar, oyun teorisi, yöneylem ara³trmas, Rienmann integrali, Peron integrali, olaslk teorisi, ölçüm teorisi gibi bir çok kavram esnek kümeler üzerinde incelemi³tir.

Son zamanlarda matemati§in birçok alannda esnek küme teorisi üzerinde çal³malar yaplm³tr. Molodtsov (1999)'un esnek küme teorisini ortaya atmasndan sonra Maji ve ark. (2003) tarafndan esnek kümeler üzerine küme i³lemleri tanmlanm³ ve temel özellikleri incelenmi³tir. Ça§man ve Engino§lu (2010), esnek küme i³lemlerini yeniden tanmlam³lardr. Bu i³lemler kullanlarak esnek kümeler üzerinde bir çok matematiksel kavramlar tanmlanm³tr. Maji ve ark. (2001, 2002) bulank esnek küme kavramn ortaya atm³ ve küme i³lemlerini tanmlanm³tr. Chen ve ark. (2003) esnek kümelerde parametre indirgemesi üzerine bir

çal³ma yaplm³tr. Maji ve ark. (2004) bulank esnek kümeler üzerinde yaptklar çal³madan sonra sezgisel bulank esnek küme teorisini ortaya atlm³tr. Mushrif ve ark. (2006), esnek küme temelli snandrmalar ba³lkl bir makale yaynlam³tr. Yang ve ark. (2009) aralk de§erli bulank esnek küme kavramn tanmlayarak bu yeni kümenin kesi³im, birle³im ve De'morgan gibi temel küme i³lemi özelliklerinin sa§lad§n göstermi³tir. Aygüno§lu ve Aygün (2009) bulank esnek grup kavramn tanmlam³ ve baz özellikleri incelemi³tir. Ayrca bulank esnek fonksiyon ve bulank esnek homomorzma tanmlarna yer vermi³tir. Babitha ve Sunil (2010) tarafndan ilk kez esnek ba§ntlar ve fonksiyonlar tanmlanm³tr. Gong ve ark. (2010) tarafndan birebir örten esnek kümeler ve i³lemler tanmlanm³tr. Majumdar ve Samanta (2010), bulank esnek kümeleri genelle³tirmi³lerdir. Majumdar ve Samanta (2010) esnek fonksiyon tanmlam³lardr. Jiang ve ark. (2010), aralk de§erli sezgisel bulank esnek kümeler tanmlayp ve özelliklerini incelemi³lerdir. Feng ve ark. (2011), esnek yakla³ml kümeler üzerine bir çal³ma yaynlam³lardr.

Esnek cebirsel yaplar Akta³ ve Ça§man (2007) tarafndan esenek grup tanmyla ba³lam³tr. Bundan sonra esnek cebirsel yaplar üzerine yaplan çal³mlarn bazlar; Acar ve ark. (2010) esnek halkalar, Atagün ve Sezgin (2011) halka, cisim ve modullerin esnek altyaplar, Feng ve ark. (2008) esnek yar halkalar, Jun (2008) esnek BCK/BCI-cebri, Park ve ark. (2008) esnek WS-cebri, Sezgin ve Atagün (2011a) esnek gruplar ve normalistic esnek gruplar, Sezgin ve ark. (2011b) esnek kesi³imsel yar halkalar ve Yang (2011) bulank esnek yar gruplar ve bulank esnek idealler ³eklinde sralanabilir.

Ça§man ve ark. (2012) kesi³imsel esnek gruplar tanmladktan sonra Kaygsz (2012a, 2012b) kesi³imsel esnek gruplar ve normal kesi³imsel esnek gruplar üzerine baz sonuçlar elde etmi³tir. Bu tez çal³masnda önce, bu çal³malara ba§l olarak, parametreler kümesi srasyla grupoid ve yar grup olan bir esnek kümenin normalleyen ve merkezleyen kavramlarn tanmladk. Daha sonra bu kavramlarn üzerine normal esnek küme ve de§i³meli esnek küme kavramn tanmladk. Son olarak daha önce tanmlanm³ olan normal kesi³imsel esnek grubun tanmna ba§l olarak baz özellikler ve de§i³meli kesi³imsel esnek grup tanmn yeniden yaparak temel özelliklerini inceledik.

Yedi bölümden olu³an bu tezin ikinci bölümünde, grupla ilgili çal³mamzda gerekli olan temel tanm ve teoremlere yer verildi. Üçüncü bölümde, esnek kümeler teorisiyle ilgili gerekli temel tanm ve teoremler verildi. Dördüncü bölümde, kesi³imsel esnek grup ve normal kesi³imsel esnek grup ile ilgili gerkli temel tanm ve teoremler verildi. Be³inci bölümde normal esnek küme tanmlanarak özellikleri incelendi. Altnc bölümde de§i³meli esnek küme ve de§i³meli esnek grup tanmlanarak özellikleri incelendi. Son bölüm olan yedinci bölümde ise sonuç ve tart³maya yer verildi.

Bu bölümde, Ta³ç (2007), Asar (2009), Rotman (1999) ve Dummit (1999) kaynaklarnda yer alan grup teorisi ile ilgili di§er bölümlerde kullanaca§mz temel tanm ve teoremler verilecektir.

Tanm 2.1. G bo³ olmayan bir küme olmak üzere

? : G × G → G

dönü³ümüne G üzerinde bir ikili i³lem denir. E§er ?, G üzerinde bir ikili i³lem ise (G, ?) ifadesine G'de bir cebirsel yap denir.

Tanm 2.2. G bo³ olmayan bir küme ve ? bu küme üzerinde bir ikili i³lem ise a³a§daki ³artlar sa§layan (G, ?) cebirsel yapsna bir grup denir.

G1) ∀a, b, c ∈ G için (a ? b) ? c = a ? (b ? c)

G2) Öyle bir e ∈ G vardr ki ∀a ∈ G için a ? e = e ? a = a olmaldr (e elemenna G'nin birim eleman denir).

G3) e, G nin birim eleman olmak üzere, G kümesindeki herbir a eleman için

a ? a0 = a0? a = e

olacak ³ekilde bir tek a0 _{∈ Gvardr (a}0_{elemenna a elemannn tersi denir ve a}−1_{ile gösterilir).}

Burada;

• _{(G1) ³artn sa§layan (G, ?) cebirsel yapsna yar grup denir.}

• (G1) ve (G2) ³artlarn sa§layan (G, ∗) cebirsel yapsna monoid denir.

Örnek 2.3. G = {−1, −i, −j, −k, 1, i, j, k} kümesi a³a§da tablosu verilen · i³lemine göre bir gruptur. (G, ·) grubuna Kuaterniyon grup denir.

· -1 1 -i i -j j -k k -1 1 -1 i -i j -j k -k 1 -1 1 -i i -j j -k k -i i -i -1 1 k -k -j j i -i i 1 -1 -k k j -j -j j -j -k k -1 1 i -i j -j j k -k 1 -1 -i i -k k -k j -j -i i -1 1 k -k k -j j i -i 1 -1

Örnek 2.4. Bir n kenarl düzgün çokgende, r merkez etrafnda saat yönünde dönmeyle elde edilen key bir permütasyon ve s yansmalarla elde edilen key bir permütasyon olmak üzere

rn _{= 1, s}2 _{= 1ve rs = sr}n−1_{³artlarn sa§layan r ve s permütasyonlar tarafndan üretilen}

D2n = {1, r, r2, ..., rn−1, s, sr, sr2, ..., srn−1}

kümesi bile³ke i³lemine göre bir gruptur. Bu gruba Dihedral grup denir.

Tanm 2.5. (G, ?) bir grup ve H, G nin bo³ olmayan bir alt kümesi olsun. E§er (H, ?) cebirsel yaps bir grup ise bu gruba (G, ?) grubunun bir alt grubu denir ve H ≤ G ³eklinde gösterilir.

Teorem 2.6. (G, ?) bir grup ve H, G'nin bo³tan farkl bir alt kümesi olsun. Buna göre

H ≤ G_{olmas için gerek ve yeter ³art}

i) ∀a, b ∈ H için a ? b ∈ H ii) ∀a ∈ H için a−1 _{∈ H}

Not 2.7. Bundan sonra aksi belirtilmedikce ve kar³kl§a neden olmad§ durumlarda (G, ?) ³eklinde gösterilen cebirsel yaplar ksaca G ³eklinde gösterilecektir ve ayrca a, b ∈ G için

a ? bgösterimi yerine ab gösterimi kullanlacaktr.

Tanm 2.8. G bir grup olmak üzere

M (G) = {a ∈ G : ∀x ∈ G_{için ax = xa}}

³eklinde tanmlanan kümeye G grubunun merkezi denir.

Teorem 2.9. Bir grubun merkezi o grubun bir alt grubudur. Yani G bir grup ve G nin merkezi

M (G)_{ise M (G) ≤ G dir.}

Tanm 2.10. G bir grup ve a, G nin sabit bir eleman olmak üzere a elemannn merkezleyicisi

M (a) = {g ∈ G : ag = ga}

olarak tanmlanr ve M (a) ile gösterilir.

Teorem 2.11. Bir G grubundaki her bir a eleman için a elemann merkezleyicisi G nin bir alt grubudur. Yani M (a) ≤ G dir.

Tanm 2.12. G bir grup, H ≤ G ve a ∈ G olmak üzere

aH = {ah : h ∈ H}

kümesine H'nn G'deki a'y kapsayan sol yan kümesi ve

Ha = {ha : h ∈ H}

kümesine H'nn G'deki a'y kapsayan sa§ yan kümesi denir.

Tanm 2.13. G bir grup ve H ≤ G olsun.

³eklinde tanmlanan kümeye H'nn G içindeki normalleyeni denir.

Teorem 2.14. G bir grup, H ≤ G ve NG(H) , H nn G içindeki normalleyeni olsun. O

halde NG(H) ≤ Gdir.

Tanm 2.15. G bir grup ve H ≤ G olsun. E§er H nn G deki bütün sa§ ve sol yan kümeleri e³itse, yani ∀a ∈ G için aH = Ha oluyorsa o takdirde H alt grubuna G nin normal alt grubu denir ve H ¢ G ³eklinde gösterilir.

Teorem 2.16. G bir grup ve N ≤ G olsun. Buna göre a³a§daki önermeler birbirine denktir.

i) ∀g ∈ G için ve ∀n ∈ N için gng−1 _{∈ N dir.}

ii) ∀g ∈ G için gNg−1 _{⊆ N dir.}

iii) ∀g ∈ G için gNg−1 _{= N dir.}

iv) ∀g ∈ G için gN = Ng dir.

Teorem 2.17. Bir grubun merkezi o grubun bir normal alt grubudur. Yani G bir grup ve G nin merkezi M (G) olmak üzere M (G) C G dir.

Teorem 2.18. G bir grup, H ≤ G ve NG(H) , H nn G içindeki normalleyeni olsun. O

halde NG(H) C Gdir.

Tanm 2.19. (G, ?) ve (H, ◦) iki grup olmak üzere e§er ϕ : G → H dönü³ümü ∀x, y ∈ G için

ϕ (x ? y) = ϕ (x) ◦ ϕ (y)

³artn sa§larsa ϕ ye bir grup homomorzmas ya da ksaca bir homomorzma denir.

Tanm 2.20. G ve H iki grup olsun. ϕ : G → H örten bir grup homomorzmas ise ϕ ye bir epimorzma denir.

Tanm 2.21. G ve H iki grup olsun. ϕ : G → H bir grup homomorzmas olmak üzere ϕ dönü³ümünün görüntü kümesi

Im(ϕ) = {ϕ(g) : g ∈ G}

Bu bölümde Molodstov (1999) ve Ça§man ve Engino§lu (2010) çal³malarnda yer alan esnek kümelerin baz temel tanm ve teoremleri verilecektir.

Tanm 3.22. U ve E bo³tan farkl iki küme olmak üzere,

f : E → P(U)

küme de§erli f fonksiyonuna U üzerinde bir esnek küme denir. Buna göre bir f esnek kümesini

f =n¡x, f (x)¢ : x ∈ E o

biçiminde ikililer kümesi olarak yazabiliriz. Burada, U'ya evrensel küme ve E'ye de U parametreler kümesi denir. (Molodstov, 1999)

Not 3.23. Bundan sonra kolaylk sa§lamas açsndan U üzerinde tanml E parameterli tüm esnek kümelerin kümesini S(U) ile gösterece§iz.

Örnek 3.24. U = {u1, u2, u3, u4, u5} bir oto galersindeki araçlarn kümesi ve bu araçlar

niteleyen parameterler kümesi de E = {e1 =klimal, e2 =hava yastkl, e3 = krmz, e4 =

siyah, e5 = otomatik vites} olsun. Buna göre, araç almaya gelen bir ki³i için bir f esnek

kümesi olu³turalm. Bunun için önce verilen parametrelere göre araçlar snandralm.

f (e1) = {u1, u3}

f (e2) = {u1, u2, u4}

f (e3) = {u2, u3}

f (e4) = {u4}

f (e5) = ∅

Bu durumda f esnek kümesi,

f = {(e1, {u1, u3}), (e2, {u1, u2, u4}), (e3, {u2, u3}), (e4, {u4}), (e5, ∅)}

³eklinde yazlabilir.

Not 3.25. Bundan sonra uygulamada kolaylk sa§lamas açsndan görüntüsü bo³ küme olan esnek küme elemenlar esnek küme içerisinde gösterilmeyecektir. Buna göre, Örnek 3.24'deki

f esnek kümesi a³a§daki gibi gösterilecektir.

f = {(e1, {u1, u3}), (e2, {u1, u2, u4}), (e3, {u2, u3}), (e4, {u4})}

Tanm 3.26. f ∈ S(U) olmak üzere her e ∈ E için f(e) = ∅ ise f esnek kümesine parametre kümesi E olan bo³ esnek küme denir ve ΦE(U)ile gösterilir. (Ça§man ve Engino§lu, 2010)

Tanm 3.27. f ∈ S(U) olmak üzere her e ∈ E için f(e) = U oluyorsa f esnek kümesine evrensel esnek küme denir ve ^(E, U)ile gösterilir.

Tanm 3.28. f, g ∈ S(U) olsun. E§er her e ∈ E için f(e) ⊆ g(e) oluyorsa f esnek kümesine

gesnek kümesinin alt kümesi denir ve f ˜⊆g ³eklinde gösterilir. (Ça§man ve Engino§lu, 2010) Örnek 3.29. E = {e1, e2, e3}ve U = {u1, u2, u3}olmak üzere f ve g esnek kümeleri

f = n¡e1, {u1} ¢ ,¡e2, {u2, u3} ¢o g = n¡e1, {u1, u2} ¢ ,¡e2, {u2, u3} ¢ ,¡e3, U ¢o

³eklinde tanmlansn. O halde, her e ∈ E için f(e) ⊆ g(e) oldu§undan f ˜⊆g dir. Tanm 3.30. f, g ∈ S(U) ise

f ˜∪g =

n

(e, f (e) ∪ g(e)) : e ∈ E o

esnek kümesine f ve g esnek kümelerinin esnek birle³imi denir. (Ça§man ve Engino§lu, 2010)

Tanm 3.31. f, g ∈ S(U) ise

f ˜∩g =

n

(e, f (e) ∩ g(e)) : e ∈ E o

esnek kümesine f ve g esnek kümelerinin esnek kesi³imi denir. (Ça§man ve Engino§lu, 2010)

Tanm 3.32. f, g ∈ S(U) olsun. Bu iki esnek kümenin esnek fark

f ˜\g =

n

(e, f (e) \ g(e)) : e ∈ E o

Tanm 3.33. f ∈ S(U) ise

f˜c= n

(e, f (e)c) : e ∈ E o

esnek kümesine f esnek kümesinin esnek tümleyeni denir. Burada, f(e)c _{= U − f (e)dir.}

(Ça§man ve Engino§lu, 2010)

Teorem 3.34. f ∈ S(U) olsun. Bu taktirde a³a§daki özellikler sa§lanr:

1. (fc˜₎c˜_{= f}

2. f e∪f = f 3. f e∩f = f 4. f e∪ΦE(U) = f

5. f e∩ΦE(U) = ΦE(U)

(Ça§man ve Engino§lu, 2010)

Teorem 3.35. f, g, h ∈ S(U) olsun. Bu taktirde a³a§daki özellikler sa§lanr:

1. f e∪g = ge∪f 2. f e∩g = ge∩f 3. (f e∪g)˜c_{= f}˜c_∩g˜ ˜c 4. (f e∩g)˜c_{= f}˜c_∪g˜ ˜c 5. (f e∪g)e∪h = f e∪(ge∪h) 6. (f e∩g)e∩h = f e∩(ge∩h) 7. f e∪(ge∩h) = (f e∪g)e∩(f e∪h) 8. f e∩(ge∪h) = (f e∩g)e∪(f e∩h)

Bu bölümde Ça§man ve ark. (2012), Kaygsz (2012a, 2012b) çal³malarnda yer alan kesi³imsel esnek grubun tanmn ve baz temel özelliklerini verece§iz.

Tanm 4.36. G bir grupoid (yar grup) ve f, U üzerinde parametre kümesi G olan bir esnek küme olsun. Her x, y ∈ G için,

f (xy) ⊇ f (x) ∩ f (y)

ise f'ye U üzerinde G parametreli kesi³imsel esnek grupoid (kesi³imsel esnek yar grup) denir. (Ça§man ve ark., 2012)

Tanm 4.37. G bir grup ve f, U üzerinde parametre kümesi G grubu olan bir esnek küme olsun. E§er,

E1) Her x, y ∈ G için f(xy) ⊇ f(x) ∩ f(y) E2) Her x ∈ G için f(x−1_{) = f (x)}

³artlar sa§lanyorsa f'ye U üzerinde G parametreli kesi³imsel esnek grup denir. (Ça§man ve ark., 2012)

Bu tezde aksi söylenmedikçe SG(U) ile U üzerinde tanmlanan parametre kümesi G grubu

olan tüm kesi³imsel esnek gruplar gösterilecektir. Yine kolaylk sa§lamas için "f, U üzerinde G parametreli kesi³imsel esnek grup" yerine sadece "f kesi³imsel esnek grup" ifadesi kullanlacaktr.

Teorem 4.38. G bir grup ve f ∈ SG(U) olsun. O halde her x ∈ G için f(e) ⊇ f(x) dir.

(Ça§man ve ark., 2012)

Teorem 4.39. G bir grup ve f ∈ SG(U) olsun. E§er x, y ∈ G için f (xy−1) = f (e) ise f (x) = f (y)dir. (Kaygsz, 2012a)

spat . Kabul edelimki f (xy−1_{) = f (e)olsun. O halde, x, y ∈ G için,} f (x) = f¡¡xy−1¢_y¢ ⊇ f¡xy−1¢_{∩ f (y)} = f (e) ∩ f (y) = f (y) ve f (y) = f¡y−1¢ = f¡x−1¡_xy−1¢¢ ⊇ f¡x−1¢_{∩ f}¡_xy−1¢ = f¡x−1¢_{∩ f (e)} = f (x)

dir. Bu nedenle f (x) = f (y) dir.

Teorem 4.40. G bir grup ve f ∈ S(U) olsun. f ∈ SG(U)olmas için gerek ve yeter ³art her x, y ∈ G _için

f (xy−1_{) ⊇ f (x) ∩ f (y)}

olmasdr. (Ça§man ve ark., 2012)

Tanm 4.41. G bir grup olsun. Her x, y ∈ G için f(xy) = f(yx) oluyorsa f esnek kümesine Abelian esnek küme denir. (Ça§man ve ark., 2012)

Not 4.42. G Abelian bir grup ise her f ∈ SG(U)Abeliandr.

Tanm 4.43. E tüm parametreler kümesi, A, B ⊆ E ve ϕ, A'dan B'ye bir fonksiyon olsun.

U _{üzerinde tanml E parametreli f esnek kümesinin ϕ altndaki esnek görüntüsü,}

ϕ(f ) (y) =

  

∪{f (x) : x ∈ A, ϕ(x) = y}, y ∈ ϕ(A)_ise

³eklinde tanmlanr. Ayrca g'nin ϕ altndaki esnek ters görüntüsü ϕ−1_{(g) = f dir öyle ki her} x ∈ Aiçin,

f (x) = g (ϕ(x))

dir. (Ça§man ve ark., 2012)

Tanm 4.44. G bir grup olsun. f ve g esnek kümelerinin esnek çarpm her x ∈ G için,

(f ∗ g)(x) = ∪{f (u) ∩ g(v) : uv = x, u, v ∈ G}

ve f'nin esnek tersi, her x ∈ G için,

f−1(x) = f (x−1).

³eklinde tanmlanr. (Kaygsz, 2012a)

Tanm 4.45. G bir grup olsun. E§er f Abelian esnek küme ise f' ye G'de esnek normaldir (veya normal kesi³imsel esnek grupdur) denir. (Kaygsz, 2012b)

Bu çal³mada, G'deki tüm normal kesi³imsel esnek gruplar NSG(U)ile gösterece§iz.

Sonuç 4.46. f ∈ SG(U)ise a³a§daki durumlar birbirlerine denktir:

i) f normal kesi³imsel esnek grupdur, ii) f esnek Abeliandr,

iii) f, A' nn e³lenik snar üzerinde sabittir, yani her x, y ∈ A için f(xyx−1_{) = f (y)dir.}

(Kaygsz, 2012b)

Sonuç 4.47. E§er G Abelian bir grup ise, G' deki her kesi³imsel esnek grup normaldir.

Tanm 4.48. G bir grup ve f ∈ SG(U)olmak üzere,

³eklinde tanmlanan N(f) kümesine G'nin içinde f kesi³imsel esnek grubunun normalleyeni denir. (Kaygsz, 2012b)

Teorem 4.49. f bir kesi³imsel esnek grup olsun. f' nin G' de normal esnek (Abelian) olmas için gerek ve yeter ³art her x, y ∈ G için f (xyx−1_y−1_{) = f (e)olmasdr. (Kaygsz, 2012b)}

spat . Her x, y ∈ G için f (xyx−1_y−1_{) = f (e)olsun. O halde,}

f (xy) = f¡(yx) (yx)−1(xy)¢

⊇ f (yx) ∩ f¡x−1_y−1_xy¢

= f (yx) ∩ f (e) = f (yx)

ve

f (yx) = f¡(xy) (xy)−1(yx)¢

⊇ f (xy) ∩ f¡y−1_x−1_yx¢

= f (xy) ∩ f (e) = f (xy)

elde edilir. Bu yüzden f (xy) = f (yx) dr. Tersi Teorem 4.39'dan açktr. Teorem 4.50. f ∈ SG(U)ise N(f) ≤ G dir. (Kaygsz, 2012b)

Bu bölümde, parametre kümesi grupoid olan bir esnek kümenin normal ve normalleyen kavramlar tanmlanp temel özellikleri incelenecektir.

Tanm 5.1. f, parametreler kümesi G grupoidi olan bir esnek küme olsun.

N (f ) = {x ∈ G :her y ∈ G için f (xy) = f (yx)}

³eklinde tanmlanan kümeye f esnek kümesinin normalleyeni denir. Özel olarak, N (f) = G ise f, esnek kümesi G'de normaldir denir.

Örnek 5.2. G = {−1, 1, −i, i, −j, j, −k, k} kuaternion grubu ve bu grup içinde tanmlanan esnek küme, α1, α0 ∈ P (U)olmak üzere,

f (x) =    α0, x ∈< i > ise α1, di§er durumlarda

³eklinde tanmlansn. Bu durumda N(f)'yi bulalm.

f (ij) = f (k) = α1 f (ji) = f (−k) = α1   ⇒ f (ij) = f (ji) f (jk) = f (i) = α0 f (kj) = f (−i) = α0   ⇒ f (jk) = f (kj) f (ik) = f (−j) = α1 f (ki) = f (j) = α1   ⇒ f (ik) = f (ki) f ((−1) i) = f (−i) = α0 f (i (−1)) = f (−i) = α0   ⇒ f ((−1) i) = f (i (−1)) f ((−1) j) = f (−j) = α1 f (j (−1)) = f (−j) = α1   ⇒ f ((−1) j) = f (j (−1))

f ((−1) k) = f (−k) = α1

f (k (−1)) = f (−k) = α1



⇒ f ((−1) k) = f (k (−1)) oldu§undan ve birim eleman için i³lemler açk oldu§undan N (f) = G dir.

Teorem 5.3. f, parametreler kümesi G yargrubu olan bir esnek küme olsun. E§er N (f) bo³tan farklysa N (f), G'nin bir alt yar grubudur. E§er G bir grupsa N (f), G'nin bir alt grubudur.

spat . x1, x2 ∈ N (f )olsun. O halde Tanm 5.1'i kullanarak her y ∈ G için,

f ((x1x2)y) = f (x1(x2y))

= f ((x2y)x1)

= f (x2(yx1))

= f ((yx1)x2)

= f (y(x1x2))

yazabiliriz. Bu yüzden x1x2 ∈ N (f ) dir. Böylece G bo³tan farkl ise N (f) , G'nin alt

yargrubudur.

N (f )'nin G'nin bir altgrubu oldu§u Teorem 4.50'de ifade edilmi³tir.

Teorem 5.4. G ve H iki grup, f parametreler kümesi G grubu olan bir esnek küme ve

ϕ : G → H bir epimorzma olsun. O halde,

ϕ (N (f )) ⊆ N (ϕ (f ))

spat . x ∈ ϕ (N (f)) olsun. O halde, ϕ (u) = x olacak ³ekilde u ∈ N (f) vardr. Bu durumda her y ∈ H için,

ϕ (f ) (xy) = ∪ {f (a) : ϕ (a) = xy}

= ∪ {f (uv) : a = uv, ϕ (v) = yve a, v ∈ G} = ∪ {f (vu) : b = vu, ϕ (v) = yve v, b ∈ G} = ∪ {f (b) : ϕ (b) = yxve b ∈ G}

= ϕ (f ) (yx)

yazlr. Böylece x ∈ N (ϕ (f)) olup buradan

ϕ (N (f )) ⊆ N (ϕ (f ))

elde edilir.

Teorem 5.5. G ve H birer yargrup, ϕ : G → H bir epimorzma ve f, parametreler kümesi

Hyargrubu olan bir esnek küme olsun. O halde,

ϕ−1_{(N (f )) = N}¡_ϕ−1_{(f )}¢

dir.

spat . x ∈ ϕ−1_{(N (f ))olsun. O halde, ϕ}−1_{(u) = xolacak ³ekilde u ∈ N (f) vardr. Her} y ∈ Giçin, ϕ−1_{(f )(xy) = f (ϕ (xy))} = f (ϕ (x) ϕ (y)) = f (uϕ (y)) = f (ϕ (y) u) = f (ϕ (y) ϕ (x)) = f (ϕ (yx)) = ϕ−1_{(f )(yx)}

yazlabilir. Buradan

ϕ−1(f )(xy) = ϕ−1(f )(yx) olur. Böylece x ∈ N (ϕ−1_{(f ))olup}

ϕ−1_{(N (f )) ⊆ N}¡_ϕ−1_{(f )}¢

elde edilir.

Öte yandan, x ∈ N (ϕ−1_{(f ))olsun. O halde, ϕ (x) = u olacak ³ekilde u ∈ H vardr. y ∈ G}

için ϕ (y) = v olacak ³ekilde her v ∈ H için,

f (uv) = f (ϕ (x) ϕ (y)) = f (ϕ (xy)) = ¡ϕ−1(f )¢(xy) = ¡ϕ−1(f )¢(yx) = f (ϕ (yx)) = f (ϕ (y) ϕ (x)) = f (vu)

yazlabilir. Böylece u ∈ N (f) , yani x ∈ ϕ−1_{(N (f ))olur. Bu yüzden}

N¡ϕ−1(f )¢⊆ ϕ−1(N (f ))

dir. Böylece

N¡ϕ−1_{(f )}¢_{= ϕ}−1_{(N (f ))}

olur.

Teorem 5.6. G ve H birer grup, ϕ : G → H bir epimorzma ve f, parametreler kümesi G grubu olan bir esnek küme olsun. E§er f, G'de normal ise ϕ (f) de H'da normaldir.

spat . x ∈ H ve f, G'de normal olsun. O halde ϕ (u) = x olacak ³ekilde u ∈ N(f) vardr. Her v ∈ G için ϕ(v) = y olacak ³ekilde bir y ∈ H vardr. Buradan,

ϕ(f )(xy) = ∪{f (a) : ϕ(a) = xy, a ∈ G}

= ∪{f (uv) : a = uv, a ∈ G} = ∪{f (vu) : b = vu, b ∈ G} = ∪{f (b) : ϕ(b) = yx, b ∈ G} = ϕ (f ) (yx)

yazlabilir.

Böylece x ∈ N (ϕ (f)) olup, buradan

H ⊆ N (ϕ (f ))

olur. Ayrca, her zaman

N (ϕ (f )) ⊆ H

oldu§undan

H = N (ϕ (f ))

olur. Tanm 5.1'den ϕ (f), H'da normaldir.

Teorem 5.6'nn tersinin her zaman do§ru olmadn a³a§daki örnekle gösterelim. Örnek 5.7. D4 = {e, σ, σ2, σ3, τ, τ σ, τ σ2, τ σ3}dihedral grubu, N = {e, σ2}ve

ϕ : D4 −→ D4N tanml do§al homomorzma olsun. f esnek kümesi D4 dihedral grubu

içinde, α1, α0 ∈ P (U)olmak üzere,

f (x) =    α0, x ∈ {e, τ } α1, di§er durumlarda

³eklinde tanmlansn.

D4N de§i³meli bir grup oldu§undan

N(ϕ(f )) = D4N

dir. Bu yüzden ϕ(f), D4N'de normaldir.

Ancak σ, σ3 _{∈ D} 4 için, f (σ (τ σ)) = f (τ ) = α0 f ((τ σ) σ) = f (τ σ2_{) = α} 1   ⇒ f (σ (τ σ)) 6= f ((τ σ) σ) f (σ3_{(τ σ}3_{)) = f (τ ) = α} 0 f ((τ σ3_{) σ}3_{) = f (τ σ}2_{) = α} 1   ⇒ f ¡ σ3¡_{τ σ}3¢¢ _{6= f}¡¡_{τ σ}3¢_σ3¢

oldu§undan σ, σ3 _{∈ N(f )/ dir. Bu yüzden}

N(f ) 6= D4

olup f, G'de normal de§ildir.

Teorem 5.8. G ve H birer yargrup, ϕ : G → H ya bir epimorzma ve f, parametreler kümesi H yargrubu olan bir esnek küme olsun. E§er f, H'da normal ise ϕ−1_{(f ), G'de}

normaldir.

spat . x ∈ ϕ−1_{(H) = Golsun. O halde, her y ∈ G için,}

ϕ−1_{(f )(xy) = f (ϕ(xy))} = f (ϕ(x)ϕ(y)) = f (ϕ(y)ϕ(x)) = f (ϕ(yx)) = ϕ−1_{(f )(yx)} yazlr. Buradan,

x ∈ N (ϕ−1_{(f ))olup G ⊆ N (ϕ}−1_{(f ))olur. Bu yüzden,}

dr. Tanm 5.1'den ϕ−1_{(f ), G'de normaldir.}

Teorem 5.9. G bir yar grub, f1ve f2parametreler kümesi G yar grubu olan iki esnek küme

olsun. O halde, N (f1) ∩ N (f2) ⊆ N ¡ f1∩fe 2 ¢ dr.

Özel olarak, e§er f1 ve f2, G'de normal ise f1∩fe 2 de G'de normaldir.

spat . x ∈ N (f1) ∩ N (f2)olsun. Bu durumda x ∈ N (f1)ve x ∈ N (f2)dir. Her y ∈ G

için,

¡

f1∩fe 2

¢

(xy) = f1(xy) ∩ f2(xy)

= f1(yx) ∩ f2(yx) = ¡f1∩fe 2 ¢ (yx) yazlabilir. Böylece x ∈ N¡f1∩fe 2 ¢ olup buradan N (f1) ∩ N (f2) ⊆ N ¡ f1∩fe 2 ¢ dr.

f1ve f2, G'de normal olsunlar. O halde,

N(f1) = N(f2) = G

oldu§undan

G ∩ G = N(f1) ∩ N(f2) ⊆ N(f1∩ f2) ⇒ G ⊆ N(f1∩ f2)

dir. Ayrca her zaman

N(f1∩ f2) ⊆ G

oldu§undan

N(f1∩ f2) = G

Tanm 5.10. G bir grup ve f, parametreler kümesi G grubu olan bir kesi³imsel esnek grup olsun.

N (f ) = {x ∈ G :her y ∈ G için f (xy) = f (yx)}

³eklinde tanmlanan N(f) kümesine G parametreli f kesi³imsel esnek grubun normalleyeni denir.

Özel olarak, N(f) = G ise f, G'de normaldir denir. (Kaygsz, 2012b)

Teorem 4.49'dan a³a§daki sonuç elde edilir.

Sonuç 5.11. f, parametreler kümesi G grubu olan bir kesi³imsel esnek grup olsun ve S kümesi,

S = {x ∈ G : _{her y ∈ G için, f(x}−1_{yx) = f (y)}}

³eklinde tanmlansn. O halde,

S = N (f )

dr.

Ayrca,

T = ©x ∈ G : her y ∈ G için, f¡xyx−1¢= f (y)ª (5.1) ³eklinde tanmlanan T kümesi için S = T dir.

Teorem 5.12. G bir grup, f1ve f2, parametreler kümesi G grubu olan iki esnek küme olsun.

O halde,

N (f1) ∩ N (f2) ⊆ N (f1∗ f2)

dir.

spat . x ∈ N (f1) ∩ N (f2)olsun. O halde, Sonuç 5.11 kullanlarak her y ∈ G için,

(f1∗ f2) (y) = ∪ {f1(a) ∩ f2(b) : y = ab, a, b ∈ G}

= ∪©f1 ¡ x−1_ax¢_{∩ f} 2 ¡ x−1_bx¢_{: y = ab, a, b ∈ G}ª ⊆ ∪©f1(c) ∩ f2(d) : x−1yx = cd, c, d ∈ G ª = (f1∗ f2) ¡ x−1_yx¢

yazlabilir. Bu yüzden

(f1 ∗ f2) (y) ⊆ (f1∗ f2)

¡

x−1yx¢ (5.2)

dir. Benzer ³ekilde (5.1) kullanlarak

(f1 ∗ f2) (y) ⊆ (f1∗ f2)

¡

xyx−1¢ _(5.3)

elde edilebilir. (5.3)'de y yerine x−1_yxyazlrsa

(f1∗ f2)

¡

x−1yx¢ ⊆ (f1∗ f2)

¡

x¡x−1yx¢x−1¢= (f1∗ f2) (y) (5.4)

elde edilir. (5.2) ve (5.4)'den her y ∈ G için,

(f1∗ f2)

¡

x−1yx¢= (f1∗ f2) (y)

elde edilir. Böylece Sonuç 5.11'den x ∈ N (f1∗ f2)olur. Bu yüzden

N (f1) ∩ N (f2) ⊆ N (f1∗ f2)

dir.

Teorem 5.13. f1, f2 ∈ SG(U)olsun. f1ve f2, G'de normal ise f1∗ f2esnek kümesi de G'de

normaldir. (Kaygsz, 2012b)

Not 5.14. Teorem 5.12 de genellikle N (f1) ∩ N (f2) = N (f1∗ f2) olmaz. Ayrca, f1 ve

f2 esnek kesi³imsel grup olsalar bile Teorem 5.12 ve Teorem 5.13'ün tersi genellikle do§ru

de§ildir. Bunu a³a§daki örnekle gösterelim.

Örnek 5.15. S3 = {e, σ, σ2, τ, τ σ, τ σ2} simetri grubu ise bu grup içinde f1 ve f2 esnek

kümeleri, α1 ⊂ α0 ⊂ U olmak üzere,

f1(x) =    α0, x ∈ {e, σ, σ2} α1, di§er durumlarda f2(x) =    α0, x ∈ {e, τ σ} α1, di§er durumlarda

³eklinde tanmlansn. f1(στ ) = f1(τ σ2) = α1 f1(τ σ) = α1   ⇒ f1(στ ) = f1(τ σ) f1(σ (τ σ)) = f1(τ ) = α1 f1((τ σ) σ) = f1(τ σ2) = α1   ⇒ f1(σ (τ σ)) = f1((τ σ) σ) f1(σ (τ σ2)) = f1(τ σ) = α1 f1((τ σ2) σ) = f1(τ ) = α1   ⇒ f1 ¡ σ¡τ σ2¢¢ _{= f} 1 ¡¡ τ σ2¢_σ¢ f1(σ2τ ) = f1(τ σ) = α1 f1(τ σ2) = α1   ⇒ f1 ¡ σ2_τ¢_{= f} 1 ¡ τ σ2¢ f1(σ2(τ σ)) = f1(τ σ2) = α1 f1((τ σ) σ2) = f1(τ ) = α1   ⇒ f1 ¡ σ2_{(τ σ)}¢_{= f} 1 ¡ (τ σ) σ2¢ f1(σ2(τ σ2)) = f1(τ ) = α1 f1((τ σ2) σ2) = f1(τ σ) = α1   ⇒ f1 ¡ σ2¡_{τ σ}2¢¢_{= f} 1 ¡¡ τ σ2¢_σ2¢ f1(τ (τ σ)) = f1(σ) = α0 f1((τ σ) τ ) = f1(σ2) = α0   ⇒ f1(τ (τ σ)) = f1((τ σ) τ ) f1(τ (τ σ2)) = f1(σ2) = α0 f1((τ σ2) τ ) = f1(σ) = α0   ⇒ f1 ¡ τ¡τ σ2¢¢= f1 ¡¡ τ σ2¢τ¢ f1((τ σ) (τ σ2)) = α0 f1((τ σ2) (τ σ)) = α0   ⇒ f1 ¡ (τ σ)¡τ σ2¢¢= f1 ¡¡ τ σ2¢(τ σ)¢ dr. Bu yüzden N (f1) = S3 tür. f2(στ ) = α1 f2(τ σ) = α0   ⇒ f2(στ ) 6= f2(τ σ) f2(σ2τ ) = α0 f2(τ σ2) = α1   ⇒ f2 ¡ σ2_τ¢_{6= f} 2 ¡ τ σ2¢

f2(σ (τ σ)) = α1 f2((τ σ) σ) = f2(τ σ2) = α1  ⇒ (σ (τ σ)) = f2((τ σ) σ) f2(σ2(τ σ)) = α1 f2((τ σ) σ2) = α1   ⇒ f2 ¡ σ2_{(τ σ)}¢ _{= f} 2 ¡ (τ σ) σ2¢ f2(τ (τ σ)) = α1 f2((τ σ) τ ) = α1   ⇒ f2(τ (τ σ)) = f2((τ σ) τ ) f2((τ σ) (τ σ2)) = α1 f2((τ σ2) (τ σ)) = α1   ⇒ f2 ¡ (τ σ)¡τ σ2¢¢_{= f} 2 ¡¡ τ σ2¢_{(τ σ)}¢ f2(σ (τ σ2)) = α0 f2((τ σ2) σ) = α1   ⇒ f2 ¡ σ¡τ σ2¢¢ _{6= f} 2 ¡¡ τ σ2¢_σ¢ f2(σ (τ σ2)) = α0 f2((τ σ2) σ) = α1   ⇒ f2 ¡ σ¡τ σ2¢¢ _{6= f} 2 ¡¡ τ σ2¢_σ¢

dr. Buradan N (f2) = {e, τ σ}olup N (f2) 6= S3 tür. Bu yüzden f2, G'de normal de§ildir.

“imdi f1∗ f2'nin G'de normal olup olmad§n inceleyelim.

(f1∗ f2) (e) = α0 (f1∗ f2) (σ) = (f1(e) ∩ f2(σ)) ∪ (f1(σ) ∩ f2(e)) ∪ ¡ f1(τ σ) ∩ f2 ¡ τ σ2¢¢ ∪¡f1(τ σ) ∩ f2 ¡ τ σ2¢¢∪ (f1(τ ) ∩ f2(τ σ)) = (α0∩ α1) ∪ (α0∩ α0) ∪ (α1∩ α1) ∪ (α1∩ α1) ∪ (α1∩ α0) = α0 (f1∗ f2) ¡ σ2¢ ₌ ¡_f 1 ¡ σ2¢_{∩ f} 2(e) ¢ ∪¡f1(e) ∩ f2 ¡ σ2¢¢_∪¡_f 1 ¡ τ σ2¢_{∩ f} 2(τ σ) ¢ ∪¡f1(τ ) ∩ f2 ¡ τ σ2¢¢_{∪ (f} 1(τ σ) ∩ f2(τ )) = (α0∩ α0) ∪ (α0∩ α1) ∪ (α1∩ α0) ∪ (α1∩ α1) ∪ (α1∩ α1) = α0

(f1∗ f2) (τ ) = (f1(τ ) ∩ f2(e)) ∪ (f1(e) ∩ f2(τ )) ∪ (f1(τ ) ∩ f2(τ σ)) ∪¡f1 ¡ τ σ2¢_{∩ f} 2(σ) ¢ ∪¡f1(τ σ) ∩ f2 ¡ σ2¢¢ = (α1∩ α0) ∪ (α0∩ α1) ∪ (α0∩ α0) ∪ (α1∩ α1) ∪ (α1∩ α1) = α0 (f1∗ f2) (τ σ) = (f1(τ σ) ∩ f2(e)) ∪ (f1(e) ∩ f2(τ σ)) ∪ ¡ f1(σ) ∩ f2 ¡ τ σ2¢¢ ∪¡f1 ¡ σ2¢_{∩ f} 2(τ ) ¢ ∪¡f1 ¡ τ σ2¢_{∩ f} 2 ¡ σ2¢¢ = (α1∩ α0) ∪ (α0∩ α0) ∪ (α0∩ α1) ∪ (α0∩ α1) ∪ (α1∩ α1) = α0 (f1∗ f2) ¡ τ σ2¢ = ¡f1 ¡ τ σ2¢∩ f2(e) ¢ ∪¡f1(e) ∩ f2 ¡ τ σ2¢¢∪ (f1(σ) ∩ f2(τ )) ∪ (f1(τ σ) ∩ f2(σ)) ∪ ¡ f1 ¡ σ2¢∩ f2(τ σ) ¢ = (α1∩ α0) ∪ (α0∩ α1) ∪ (α0∩ α1) ∪ (α1∩ α1) ∪ (α0∩ α0) = α0 oldu§undan (f1∗ f2) = © (e, α0) , (σ, α0) , ¡ σ2_{, α} 0 ¢ , (τ, α0) , (τ σ, α0) , ¡ τ σ2_{, α} 0 ¢ª olup buradan N (f1∗ f2) = {e, σ, σ2, τ, τ σ, τ σ2} dr. Yani, N (f1∗ f2) = S3

Bu bölümde, parametre kümesi yar grup olan bir esnek kümenin merkezleyen ve de§i³meli kavramn tanmlanp temel özellikleri incelenecektir. Daha sonra benzer ³ekilde parametre kümesi grup olan bir kesi³imsel esnek grubun merkezleyen ve de§i³meli kavramn tanmlanp temel özellikleri incelenecektir.

Tanm 6.1. f, parametreler kümesi G yargrubu olan bir esnek küme olsun.

Z (f ) = {x ∈ G :_{her y, z ∈ G için f (xy) = f (yx) ve f (xyz) = f (yxz) }}

³eklinde tanmlanan Z(f) kümesine, f esnek kümesinin G içindeki merkezleyeni denir. Özel olarak, Z (f) = G ise f, esnek kümesi G'de de§i³melidir denir.

E§er G yar grubunun sa§ birimi varsa, f (xyz) = f (yxz) e³itli§i z = e için f (xy) = f (yx) e³itli§ine indirgenebilidi§inden f (xy) = f (yx) e³itli§ine gerek kalmaz.

Sonuç 6.2. G bir yargrup, Z (G) , G'nin merkezi, Z (f) , G de f'nin merkezleyeni ve N (f) ,

Gde f'nin normalleyeni olsun. O halde,

Z (G) ⊆ Z (f ) ⊆ N (f )

dir.

Örnek 6.3. G = {−1, 1, −i, i, −j, j, −k, k} kuaternion grubu ve bu grup içinde tanmlanan esnek küme, α1, α0 ∈ P (U)olmak üzere,

f (x) =    α0, x ∈< i > ise α1, di§er durumlarda

³eklinde tanmlansn. Bu durumda Z (f)'i bulalm. Örnek 5.2'de her x, y ∈ G için,

oldu§u gösterilmi³ti. Ayrca, f (ijk) = f (kk) = f (−1) = α0 f (jik) = f (−kk) = f (1) = α0   ⇒ f (ijk) = f (jik) f (ikj) = f ((−j) j) = f (1) = α0 f (kij) = f (jj) = f (−1) = α0   ⇒ f (ikj) = f (kij) f (jki) = f (ii) = f (−1) = α0 f (kji) = f ((−i) i) = f (1) = α0   ⇒ f (jki) = f (kji) f (ij (−1)) = f (−k) = α1 f (ji (−1)) = f (k) = α1   ⇒ f (ij (−1)) = f (ji (−1)) f (ik (−1)) = f (j) = α1 f (ki (−1)) = f (−j) = α1   ⇒ f (ik (−1)) = f (ki (−1)) f (jk (−1)) = f (−i) = α0 f (kj (−1)) = f (i) = α0   ⇒ f (jk (−1)) = f (kj (−1)) oldu§undan ve birim eleman için i³lemler açk oldu§undan Z (f) = G dir.

Ayrca, ³unu belirtmek gerekir ki Z(f) 6= N(f) olacak ³ekilde Z(f) ve N(f) bulunabilece§i a³a§daki örnekle gösterilmi³tir.

Örnek 6.4. S3 = {e, σ, σ2, τ, τ σ, τ σ2} simetri grubu ve bu grup içinde tanmlanan esnek

küme, α1, α0 ∈ P (U)olmak üzere,

f (x) =    α0, x ∈ {e, τ } α1, di§er durumlarda

³eklinde tanmlansn. Bu durumda Z (f) 6= N (f) oldu§unu gösterelim.

f (στ ) = f (τ σ2_{) = α} 1 f (τ σ) = α1   ⇒ f (στ ) = f (τ σ)

f (τ σ2_{) = α} 1 f (σ2_{τ ) = f (τ σ) = α} 1  ⇒ f (τ (τ σ)) = f ((τ σ) τ ) f (τ (τ σ)) = f (σ) = α1 f ((τ σ) τ ) = f (σ2_{) = α} 1   ⇒ f ¡ τ σ2¢_{= f}¡_σ2_τ¢ f (τ (τ σ2_{)) = f (σ}2_{) = α} 1 f ((τ σ2_{) τ ) = f (σ) = α} 1   ⇒ f ¡ τ¡τ σ2¢¢ _{= f}¡¡_{τ σ}2¢_τ¢

oldu§undan τ ∈ N (f) olur. Ancak,

f (τ σσ2_{) = f (τ ) = α} o f (στ σ2_{) = f (τ σ}2_σ2_{) = f (τ σ) = α} 1   ⇒ f ¡ τ σσ2¢_{6= f}¡_{στ σ}2¢

oldu§undan τ /∈ Z (f) dir. Bu yüzden Z (f) 6= N (f) dir.

Lemma 6.5. G bir yar grup ve f, parametreler kümesi G yar grubu olan bir esnek küme olsun. O halde x ∈ Z (f) olmas için gerek ve yeter ³art her n ∈ N ve her y1, y2, . . . , yn ∈ G

için,

f (xy1y2· · · yn) = f (y1xy2· · · yn) = · · · = f (y1y2· · · ynx)

dir.

spat . Önce, x ∈ Z (f) olmas halinde her n ∈ N ve her y1, y2, . . . , yn ∈ Giçin,

f (xy1y2· · · yn) = f (y1xy2· · · yn) = · · · = f (y1y2· · · ynx)

oldu§unu n üzerinde tümevarm metodunu uygulayarak gösterlim. O halde Z (f)'nin tanmndan her y1,y2 ∈ Giçin,

f (xy1y2) = f (y1xy2)

dr. “imdi her n ∈ N ve her y1, y2, . . . , yn ∈ Giçin,

ifadesi do§ru olsun. Buradan her n ∈ N ve her y1, y2, ..., yn, yn+1∈ Giçin,

f (xy1y2· · · (ynyn+1)) = f (y1xy2· · · (ynyn+1)) = · · · = f (y1y2· · · (ynyn+1) x) (6.1)

yazlabilir. Bu ifade (6.1) deki herhangi ard³k iki yiiçin yaplabilir. Böylece n+1 için ifade

do§ru olur.

Lemmann tersi açktr.

Teorem 6.6. G bir yar grup ve f, parametreler kümesi G yar grubu olan bir esnek küme ve

{1, 2, . . . , n}kümesinin her σ permütasyonu için, f'nin G'de de§i³meli olmas için gerek ve yeter ³art x1, x2, . . . , xn∈ Gve her n ∈ N için,

f (x1x2· · · xn) = f (xσ(1)xσ(2)· · · xσ(n))

olmasdr.

spat . Lemma 6.5'den ispat açktr.

Teorem 6.7. G bir yar grup ve f, parametreler kümesi G yar grubu olan bir esnek küme olsun. E§er Z (f) bo³tan farklysa Z (f), G'nin bir alt yar grubudur. E§er G bir grupsa

Z (f ) , G'nin bir normal alt grubudur.

spat . x1, x2 ∈ Z (f )olsun. O halde, Lemma 6.5'i kullanarak her y, z ∈ G için

f ((x1x2)yz) = f (x1(x2y)z)

= f ((x2y)x1z)

= f (x2(yx1)z)

= f ((yx1)x2z)

= f (y(x1x2)z)

yazabiliriz. Benzer ³ekilde f ((x1x2)y) = f (y(x1x2)) oldu§u gösterilebilir. Bu yüzden

Kabul edelimki G bir grup olsun. e ∈ Z (f) oldu§u için Z (f) bo³tan farkldr. x ∈ Z (f) olsun. O halde her y, z ∈ G için,

f¡x−1_yz¢ _{= f}¡_x−1_y¡_xx−1¢_z¢

= f¡x−1_xyx−1_z¢

= f¡yx−1_z¢

elde edilir. Bu nedenle x−1 _{∈ Z (f ) olur. Böylece Z (f)'nin G'nin bir altgrubu oldu§u}

gösterilmi³tir.

“imdi Z (f)'nin G'nin bir normal alt grubu oldu§unu gösterelim. x ∈ Z (f) ve g ∈ G olsun. O halde, Lemma 6.5'i kullanarak her y, z ∈ G için,

f¡(g−1xg)yz¢ = f¡xg−1gyz¢

= f (xyz) = f¡xyg−1gz¢

= f¡y(g−1xg)z¢

yazabiliriz. Bu yüzden g−1_{xg ∈ Z (f ) dir. Böylece G bir grupsa Z (f) , G'nin normal}

altgrubudur.

Teorem 6.8. G ve H birer grup, f, parametreler kümesi G grubu olan bir esnek küme ve

ϕ : G → H bir epomorzma olsun. O halde,

ϕ (Z (f )) ⊆ Z (ϕ (f ))

spat . x ∈ ϕ (Z (f)) olsun. O halde, ϕ (u) = x olacak ³ekilde u ∈ Z (f) vardr. Bu durumda her y ∈ H için,

ϕ (f ) (xy) = ∪ {f (a) : ϕ (a) = xy, a ∈ G}

= ∪ {f (uv) : a = uv, ϕ (v) = yve a, v ∈ G} = ∪ {f (vu) : b = vu, ϕ (v) = yve v, b ∈ G} = ∪ {f (b) : ϕ (b) = yxve b ∈ G}

= ϕ (f ) (yx)

yazlr. Yine her y, z ∈ H için,

ϕ (f ) (xyz) = ∪ {f (a) : ϕ (a) = xyz, a ∈ G}

= ∪ {f (uvw) : a = uvw, ϕ (v) = y, ϕ (w) = zve v, w ∈ G} = ∪ {f (vuw) : b = vuw, ϕ (v) = y, ϕ (w) = z ve v, w ∈ G} = ∪ {f (b) : ϕ (b) = yxz}

= ϕ (f ) (yxz)

yazlr. Böylece x ∈ Z (ϕ (f)) olup,

ϕ (Z (f )) ⊆ Z (ϕ (f ))

elde edilir.

Teorem 6.9. G ve H birer yar grup, ϕ : G → H ye bir epomorzma ve f, parametreler kümesi H yar grubu olan bir esnek küme olsun. O halde,

ϕ−1_{(Z (f )) = Z}¡_ϕ−1_{(f )}¢

spat . x ∈ ϕ−1_{(Z (f ))olsun. O halde ϕ (x) ∈ Z (f) olur. Her y, z ∈ G için,} ϕ−1_{(f )(xyz) = f (ϕ (xyz))} = f (ϕ (x) ϕ (y) ϕ (z)) = f (ϕ (y) ϕ (x) ϕ (z)) = f (ϕ (yxz)) = ϕ−1_{(f )(yxz)} yazlabilir. Buradan ϕ−1_{(f )(xyz) = ϕ}−1_{(f )(yxz)} olur. Benzer ³ekilde, ϕ−1_{(f )(xy) = ϕ}−1_{(f )(yx)}

oldu§u gösterilebilir. Böylece x ∈ Z (ϕ−1_{(f ))olup,}

ϕ−1(Z (f )) ⊆ Z¡ϕ−1(f )¢

olur.

x ∈ Z (ϕ−1_{(f ))ve ϕ (x) = u olsun. O halde y, z ∈ G için ϕ (y) = v ve ϕ (z) = w olacak}

³ekilde her v, w ∈ H için,

f (uvw) = f (ϕ (x) ϕ (y) ϕ (z)) = f (ϕ (xyz)) = ¡ϕ−1(f )¢(xyz) = ¡ϕ−1(f )¢(yxz) = f (ϕ (yxz)) = f (ϕ (y) ϕ (x) ϕ (z)) = f (vuw)

yazlabilir. Benzer ³ekilde f (uv) = f (vu) oldu§u gösterilebilir. Böylece u ∈ Z (f) , yani x ∈ ϕ−1_{(Z (f ))olur. Bu yüzden} Z¡ϕ−1_{(f )}¢_{⊆ ϕ}−1_{(Z (f ))} dir. Sonuç olarak, Z¡ϕ−1_{(f )}¢_{= ϕ}−1_{(Z (f ))} elde edilir.

Teorem 6.10. G ve H birer grup, ϕ : G → H ye bir epimorzma ve f, parametreler kümesi

G_{grubu olan bir esnek küme olsun. E§er f, G'de de§i³meli ise ϕ (f) de H'da de§i³melidir.}

spat . x ∈ H olsun. O halde ϕ (u) = x olacak ³ekilde u ∈ G vardr. Her y, z ∈ H için,

ϕ (f ) (xy) = ∪ {f (a) : ϕ (a) = xy}

= ∪ {f (uv) : v ∈ G, ϕ (v) = y} = ∪ {f (vu) : v ∈ G, ϕ (v) = y} = ∪ {f (b) : ϕ (b) = yx}

= ϕ (f ) (yx)

yazlabilir. Ayrca her y, z ∈ H için,

ϕ (f ) (xyz) = ∪ {f (a) : ϕ (a) = xyz}

= ∪ {f (uvw) : v, w ∈ G, ϕ (v) = y, ϕ (w) = z} = ∪ {f (vuw) : v, w ∈ G, ϕ (v) = y, ϕ (w) = z} = ∪ {f (b) : ϕ (b) = yxz} = ϕ (f ) (yxz) yazlabilir. Böylece, x ∈ Z(ϕ(f ))olup H ⊆ Z(ϕ(f)) olur. Bu yüzden, H = Z (ϕ (f ))

dir. Tanm 6.1'den ϕ (f), H'da de§i³melidir.

Not 6.11. Teorem 6.10'nun tersinin her zaman do§ru olmad§n a³a§daki örnekle gösterelmi³tir. Örnek 6.12. D4 = {e, σ, σ2, σ3, τ, τ σ, τ σ2, τ σ3}dihedral grubu, N = {e, σ2}ve

ϕ : D4 −→ D4N tanml do§al homomorzma olsun. f esnek kümesi D4 dihedral grubu

içinde, α1, α0 ∈ P (U)olmak üzere,

f (x) =    α0, x ∈ {e, τ } α1, di§er durumlarda ³eklinde tanmlansn.

D4N de§i³meli bir grup oldu§undan

D4N = Z (ϕ (f ))

dr. Bu yüzden ϕ(f), D4N'de de§i³melidir. Ancak σ, σ3 ∈ D4için,

f (σ (τ σ)) = f (τ ) = α0 f ((τ σ) σ) = f (τ σ2_{) = α} 1   ⇒ f (σ (τ σ)) 6= f ((τ σ) σ) f (σ3_{(τ σ}3_{)) = f (τ ) = α} 0 f ((τ σ3_{) σ}3_{) = f (τ σ}2_{) = α} 1   ⇒ f ¡ σ3¡_{τ σ}3¢¢ _{6= f}¡¡_{τ σ}3¢_σ3¢

oldu§undan σ, σ3 _{∈ Z (f )/ dir. Bu yüzden}

D4 6= Z (f )

olup f, G'de de§i³meli de§ildir.

Teorem 6.13. G ve H birer yar grup, ϕ : G → H ye bir epimorzma ve f, parametreler kümesi H yar grubu olan bir esnek küme olsun. E§er f, H'da de§i³meli ise ϕ−1_{(f ), G'de}

spat . x ∈ ϕ−1_{(H) = Golsun. O halde, her y ∈ G için,} ϕ−1_{(f ) (xy) = f (ϕ (xy))} = f (ϕ (x) ϕ (y)) = f (ϕ (y) ϕ (x)) = f (ϕ (yx)) = ¡ϕ−1_{(f )}¢_(yx)

yazlabilir. Ayrca her y, z ∈ G için,

ϕ−1_{(f ) (xyz) = f (ϕ (xyz))}

= f (ϕ (x) ϕ (y) ϕ (z)) = f (ϕ (y) ϕ (x) ϕ (z)) = f (ϕ (yxz))

= ¡ϕ−1_{(f )}¢_(yxz)

yazlabilir. Böylece, x ∈ Z (ϕ−1_{(f ))olup buradan, G ⊆ Z (ϕ}−1_{(f ))olur.}

Bu yüzden,

G = Z¡ϕ−1(f )¢ dr. Tanm 6.1'den ϕ−1_{(f ), G'de de§i³melidir.}

Teorem 6.14. G bir yar grup ve f1 ve f2 parametreler kümesi G yar grubu olan iki esnek

küme olsun. O halde, Z (f1) ∩ Z (f2) ⊆ Z

¡

f1∩fe 2

¢ .

Özel olarak, f1ve f2, G'de de§i³meli ise f1∩fe 2 de G'de de§i³melidir.

spat . x ∈ Z (f1) ∩ Z (f2)olsun. Bu durumda x ∈ Z (f1)ve x ∈ Z (f2)dr. Her y ∈ G

için,

¡

f1∩fe 2

¢

(xy) = f1(xy) ∩ f2(xy)

= f1(yx) ∩ f2(yx)

= ¡f1∩fe 2

¢ (yx)

yazlabilir. Ayrca, her y, z ∈ G için, ¡

f1∩fe 2

¢

(xyz) = f1(xyz) ∩ f2(xyz)

= f1(yxz) ∩ f2(yxz) = ¡f1∩fe 2 ¢ (yxz) yazlabilir. Böylece, x ∈ Z¡f1∩fe 2 ¢ olur. Bu yüzden, Z (f1) ∩ Z (f2) ⊆ Z ¡ f1∩fe 2 ¢ dr.

Teorem 6.15. f1(e) = f2(e)olacak ³ekilde f1, f2 ∈ SG(U)olsun. O halde,

Z (f1) ∩ Z (f2) = Z

¡

f1∩fe 2

¢

dir.

Özel olarak, f1 ve f2'nin G'de de§i³meli olmas için gerek ve yeter ³art f1∩fe 2'nin G'de

de§i³meli olmasdr.

spat . Lemma 6.20'den her y ∈ G için,

x ∈ Z¡f1∩fe 2 ¢ ⇐⇒ ¡f1∩fe 2 ¢ (e) =¡f1∩fe 2 ¢ ¡ xyx−1y−1¢ ⇐⇒ f1(e) = f2(e) = ¡ f1∩fe 2 ¢ (e) = f1 ¡ xyx−1y−1¢∩ f2 ¡ xyx−1y−1¢ ⇐⇒ f1(e) = f1 ¡ xyx−1y−1¢ ve f2(e) = f2 ¡ xyx−1y−1¢ ⇐⇒ x ∈ Z (f1) ve x ∈ Z (f2) ⇐⇒ x ∈ Z (f1) ∩ Z (f2) yazlabilir. Bu yüzden, Z (f1) ∩ Z (f2) = Z ¡ f1∩fe 2 ¢ dr.

Teorem 6.16. G bir grup, f1ve f2, parametreler kümesi G grubu olan iki esnek küme olsun.

O halde,

Z (f1) Z (f2) ⊆ Z (f1∗ f2)

dir.

spat . x1 ∈ Z (f1)ve x2 ∈ Z (f2)olsun. O halde, Lemma 6.5 kullanlarak her y, z ∈ G için,

(f1∗ f2) ((x1x2) yz) = ∪ {f1(a) ∩ f2(b) : ab = x1x2yz, a, b ∈ G}

= ∪©f1 ¡ x1x2yzb−1 ¢ ∩ f2(b) : b ∈ G ª = ∪©f1 ¡ x2yx1zb−1 ¢ ∩ f2(b) : b ∈ G ª = ∪ {f1(c) ∩ f2(b) : cb = x2yx1z, c, b ∈ G} = ∪©f1(c) ∩ f2 ¡ c−1_x 2yx1z ¢ : c ∈ Gª = ∪©f1(c) ∩ f2 ¡ c−1_yx 1x2z ¢ : c ∈ Gª = ∪ {f1(c) ∩ f2(d) : cd = yx1x2z, c, d ∈ G} = (f1∗ f2) (y (x1x2) z)

yazlabilir. Benzer ³ekilde,

(f1∗ f2) ((x1x2) y) = (f1∗ f2) (y (x1x2))

oldu§u gösterilebilir. Böylece x1x2 ∈ Z (f1∗ f2)olur. Bu yüzden,

Z (f1) Z (f2) ⊆ Z (f1∗ f2)

dir.

Teorem 6.17. G bir grup, f1ve f2, parametreler kümesi G grubu olan iki esnek küme olsun.

spat . f1 ve f2, parametreler kümesi G grubu olan iki esnek küme ve f1, G'de de§i³meli

olsun. O halde Z (f1) = Gdir. Önerme 6.16 kullanlarak

G = G (Z (f2))

= (Z (f1)) (Z (f2))

⊆ Z (f1∗ f2)

⊆ G

yazlabilir. Burdan Z (f1∗ f2) = Gdr. Bu yüzden f1∗ f2, G'de de§i³melidir.

Not 6.18. Teorem 6.16'nn ifadesinde genellikle Z(f1)Z(f2) = Z(f1 ∗ f2) olmaz. Örnek

5.15'den açktr.

Tanm 6.19. G bir grup ve f, parametreler kümesi G grubu olan bir kesi³imsel esnek grup olsun.

Z (f ) = {x ∈ G :her y, z ∈ G için f (xyz) = f (yxz) }

³eklinde tanmlanan Z(f) kümesine G parametreli f kesi³imsel esnek grubunun merkezleyeni denir.

Özel olarak, Z (f) = G ise f, kesi³imsel esnek grubu G'de de§i³melidir denir. Lemma 6.20. f ∈ SG(U)olsun ve T kümesi,

T =©x ∈ G :her y ∈ G için, f¡xyx−1y−1¢= f (e)ª

³eklinde tanmlansn. O halde T = Z (f) dir. spat . x ∈ T olsun. O halde, her y ∈ G için,

f (e) = f¡xyx−1_y−1¢

yazlabilir. Buradan da Teorem 4.39 yi kullanarak f (xy) = f (yx) e³itli§i elde edilir. Ayrca her y, z ∈ G için,

f¡(xyz) (yxz)−1¢ = f¡xyzz−1_x−1_y−1¢

= f¡xyx−1_y−1¢

= f (e)

oldu§undan

f¡(xyz) (yxz)−1¢= f (e)

yazlabilir. Teorem 4.39 ve son e³itlikten, f (xyz) = f (yxz) e³itli§i elde edilir. Bu yüzden,

x ∈ Z(f )olup T ⊆ Z(f)

dir.

“imdi tersinin do§ru oldu§unu yani Z (f) ⊆ T oldu§unu gösterelim.

x ∈ Z (f )olsun. O halde her y ∈ G için,

f¡xyx−1y−1¢ = f¡yxx−1y−1¢ (Lemma 6.5 dan) = f (e) yazlabilir. Böylece, x ∈ T _{olup Z(f) ⊆ T} olur. Bu yüzden, Z (f ) = T dir.

Teorem 6.21. f1 ⊆ f2 ve f1(e) = f2(e)olmak üzere f1,f2 ∈ SG(U)ise

Z(f1) ⊆ Z(f2)

spat . x ∈ Z (f1) , f1 ⊆ f2ve f1(e) = f2(e)olsun. O halde her y ∈ G için,

f1(e) = f1

¡

xyx−1_y−1¢ _{(Lemma (6.20) den)} ⊆ f2 ¡ xyx−1_y−1¢ _(f 1 ⊆ f2 oldu§u için) ⊆ f2(e) = f1(e) Böylece, f2 ¡ xyx−1_y−1¢_{= f} 2(e)

olur. Lemma 6.20'den x ∈ Z (f2)dir. Bu yüzden,

Z (f1) ⊆ Z (f2)

dir.

Teorem 6.22. f ∈ SG(U)olsun. O halde her x, y ∈ G için,

f¡xyx−1_y−1¢_{= f (e)}

olmas için gerek ve yeter ³art f'nin G'de de§i³meli olmasdr. spat . Lemma 6.20'den spat açktr.

Not 6.23. f1ve f2kesi³imsel esnek grup olsalar bile Teorem 6.16 ve Teorem 6.17'nin tersinin

Yedi bölümden olu³an bu tezin ikinci bölümünde, grupla ilgili gerekli olan temel tanm ve teoremler verildi. Üçüncü bölümde, esnek kümeler teorisiyle ilgili gerekli temel tanm ve teoremler verildi. Dördüncü bölümde, kesi³imsel esnek grup ve normal kesi³imsel esnek grup ile ilgili gerkli temel tanm ve teoremler verildi.

Be³inci ve altnc bölümde, Ça§man ve ark. (2012) tarafndan kesi³imsel esnek gruplar tanmladktan sonra Kaygsz (2012a, 2012b) tarafndan baz yeni tanmlar eklenerek daha detayl bir ³ekilde incelendi. Biz bu yaplan çal³malardan faydalanarak normal esnek küme, normal kesi³imsel esnek grup, de§i³meli esnek küme ve de§i³meli normal esnek grup kavramn, parametreler kümesi srasyla grupoid ve yar grup olan bir esnek kümenin normalleyen ve merkezleyen kavramlarn tanmlayp bu tanmlara ba§l olarak daha kapsaml bir ³ekilde tanmladk. Daha sonra bu yeni tanmlara ba§l olarak baz cabirsel yaplar ve baz kesi³imsel esnek grup kavramlarn özelliklerini inceledik.

Bundan sonra bu tez çal³masnda yaplan de§i³meli kesi³imsel esnek grup kavram kullanlarak nilpotent kesi³imsel esnek grup ve çözülebilir kesi³imsel esnek grup kavramlar tanmlanp özellikleri incelenebilir.

Acar, U., Koyuncu, F. and Tanay, B., 2010. Soft sets and soft rings. Computers and Mathematics with Applications, 59, 3458-3463.

Akta³, H. and Ça§man, N., 2007. Soft sets and soft groups. Information Sciences, 177(1), 2726-2735.

Asar, A. O., Arkan, A., Arkan, A., 2009. Cebir , Eatun Yaynlar, Ankara.

Aygüno§lu, A. and Aygün, H., 2009. Introduction to fuzzy soft groups. Computers and Mathematics with Applications, 58, 1279-1286.

Atagün, A.O. and Sezgin, A., 2011 Soft substructures of rings, elds, and modules. Computers and Mathematics with Applications, 61 (3), 592-601.

Babitha, K. V. and Sunil, J. J., 2010. Soft set relations and functions. Computers and Mathematics with Applications, 60, 1840-1849.

Chen, D., Tsang, E.C.C., Yeung, D.S., 2003. Some notes on the parameterization reduction of soft sets. International Conference on Machine Learning and Cybernetics, 3, 1442-1445.

Dummit, D. S., Foote, R.,M., 2009. Abstract Algebra, John Wiley and Sons, United States of America.

Ça§man, N., Çtak, F. and Akta³, H., 2012 Soft int-groups and its applications to group theory. Neural Computing and Applications, 21, 151-158.

Ça§man, N., and Engino§lu, S., 2010. Soft set theory and uni-int decision making. European Journal of Operational Research, 207, 848-855.

Ça§man, N., Sezgin, A. and Atagün, A. O., 2011 α-inclusions and their applications to group theory. submitted.

Feng, F., Liu, X. Leoreanu-Fotea, V. and Jun, Y. B., 2011. Soft sets and soft rough sets. Information Sciences, 181, 1125-1137.

Feng, F., Jun, Y. B. and Zhao, X., 2008 Soft semirings. Computers and Mathematics with Applications, 56(10), 2621-2628.

Gong, K., Xiao, Z. and Zhang, X., 2010. The bijective soft set with its operations. Computers and Mathematics with Applications, 60, 2270-2278.

Jun, Y. B., 2008 Soft BCK/BCI-algebras. Computers and Mathematics with Applications, 56(1), 1408-1413.

Jun, Y. B. and Park, C. H., 2008 Applications of soft sets in ideal theory of BCK/BCI-algebras. Information Sciences, 178 (1), 2466-2475.

Kaygsz, K., 2012a. On soft int-groups, 4(2), 365-375.

Kaygsz, K., 2012b. 2012. Normal soft int-groups, arXiv:1209.3157v1

Maji, P.K., Biswas, R. and Roy, A.R., 2001. Fuzzy soft sets. Journal of Fuzzy Mathematics, 9(3), 589-602.

Maji, P.K., Roy, A.R. and Biswas, R., 2002 An application of soft sets in a decision making problem. Computers and Mathematics with Applications, 44 (1), 1077-1083.

Maji, P. K., Bismas, R. and Roy, A.R., 2003 Soft set theory. Computers and Mathematics with Applications, 45 (1), 555-562.

Maji, P.K., Roy, A.R. and Biswas, R., 2004. On Intuitionistic Fuzzy soft sets. J. Fuzzy Math, 12(3) 669-683.

Majumdar, P. and Samanta, S. K., 2010. Generalised fuzzy soft sets. Computers and Mathematics with Applications, 59, 1425-1432.

Molodtsov, D., 1999. Soft set theory-rst results. Computers and Mathematics with Applications, 37(1), 19-31.

Molodtsov, D., 2004. The Theory of Soft Sets (in Russian). URSS Publishers, Moscow. Molodtsov, D. A., Leonov V. Yu. and Kovkov D. V., 2006. Soft Sets Technique and Its

Mushrif, M.M., Sengupta, S. and Ray, A.K., 2006. Texture Classication Using a Novel, Soft-Set Theory Based Classication, Algorithm. Lecture Notes In Computer Science, 3851 246-254.

Park, C.H., Jun, Y.B. and Öztürk, M.A., 2008 Soft WS-algebras. Communation of Korean Mathematical Society 23(3), 313-324.

Pawlak, Z., 1982. Rough sets. International Journal of Information and Computer Sciences, 11(1), 341-356.

Rotman, J. J., 2009. An Introduction to the Theory of Groups, Springer, United States of America.

Sezgin, A. and Atagün, A.O., 2011a Soft groups and normalistic soft groups. Computers and Mathematics with Applications, 62 (2), 685-693.

Sezgin, A., Atagün, A.O. and Ça§man, N., 2011b Soft intersection near-rings with applications. Neural Computing and Applications, 21 (Issue 1-Supplement), 133-143. Ta³ç D. ,2007. Soyut Cebir, Alp Yaynevi, Ankara,

Yang, C., 2011 Fuzzy soft semigroups and fuzzy soft ideals. Computers and Mathematics with Applications, 61, 255-261.

ÖZGEÇM“

Ki³isel Bilgiler

Ad Soyad : rfan “M“EK Do§um Tarihi : 01.07.1986 Medeni Hali : Bekar Yabanc Dili : ngilizce Telefon : 0 507 499 73 74

E-posta : irfan.simsek@gop.edu.tr

E§itim:

Derece E§itim Birimi Mezuniyet Tarihi

Yüksek Lisans Gaziosmanpa³a Üniversitesi 2013 Lisans Gaziosmanpa³a Üniversitesi 2009