• Sonuç bulunamadı

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR 03

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR 03"

Copied!
19
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)
(2)

1) PARÇALI FONKSİYONLAR.

2) PARÇALI FONKSİYONLARIN GRAFİĞİ. 3) MUTLAK DEĞER FONKSİYONU.

4) İŞARET (SİGNUM) FONKSİYONU. 5) TAM KISIM FONKSİYONU.

6) ARALIK UZUNLUĞU.

7) TAM KISIM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ. 8) FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ.

(3)

Tanım: Tanım aralığının alt aralıklarında farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonlara,parçalı fonksiyonlar denir.

Örneğin; f : R R , f(x) = f1(x) , x1  x  x2 ise

Örneğin; f : R R , f(x) = f2(x) , x < x1 v x > x2 ise fonksiyonu parçalı bir fonksiyon olup x = x1, ve x = x2 noktaları tanım aralıklarının uç noktalarıdır ve bu noktalara fonksiyonun kritik noktaları denir.

4x - 1 , x  0 (Mod 3 ) ise f : R ye , f (x) = x2 + 1 , x  1 (Mod 3 ) ise

x3 - 1 , x  2 (Mod 3 ) ise

(4)

a. f (5) + f (6) - 2f (7) değerini bulalım. b.f(3x - 2) fonksiyonunu bulalım.

Çözüm : a. 5  2 (Mod 3 ) olduğu için, f(5) = 53- 1 = 124

6  0 (Mod 3 ) olduğu için, f(6) = 4 . 6 - 1 = 23

7  1 (Mod 3 ) olduğu için , f(7) = 72 + 1 = 50 olur.

f(5) + f(6) -2f(7) = 124 + 23 - 100 = 47 bulunur.

b.3x -2  1 (Mod 3) olduğu için, f (3x -2) = (3x-2)2 +1

f(3x -2) = 9x2-12x +5 bulunur.

Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken,tanım aralığının her alt aralığındaki farklı kurallarla tanımlanmış fonksiyonların grafikleri ayrı ayrı çizilerek grafik belirlenir

(5)

Örnek : f : R R , f(x) =

x2 + 2x , x < 1 ise

0 , x = 1 ise

-x + 2 , x > 1 ise

fonksiyonun grafiğini çizelim. Çözüm : i. y = x2 + 2x parabolünün

(- , 1) aralığına karşılık gelen kısmı çizilir.

ii.( 1 , 0) noktası işaretlenir.

iii.y = -x +2 doğrusunun ( 1 ,+ )

aralığına karşılık gelen kısmı

alınır.Böylece f parçalı fonksiyonun grafiği çizilmiş olur.

y x -1 3 2 1 0 1 2 -1 -2

(6)

Tanım : A R , B  R olmak üzere f: A B ye  f 2 (x) = f (x) = f(x) = -f(x) , f(x) < 0 ise

f(x) , f(x)  0 ise

Şeklinde tanımlı fonksiyona,mutlak değer fonksiyonu denir.

i. |f(x)|  0 olduğundan, |f(x)| fonksiyonun görüntü kümesi R+ {0}dır. ii. |f(x)| de f(x) = 0 denkleminin reel köklerine kritik noktalar denir. |f(x)| fonksiyonun grafiği bu noktalarda kırılma ya da kıvrılma yapar.

(7)

f : A B , |f |(x) = |f(x)| = -f (x) , f(x) < 0 ise

f(x) , f(x)  0 ise dir.

Bu tanıma göre mutlak değerli fonksiyonların grafikleri çizilirken aşağıdaki adımlar izlenmelidir.

1.y = f(x) in grafiği çizilir.

2.(x,f(x)) noktalarının x eksenine göre simetriği (x ,- f(x))

olduğundan ,f(x) < 0 olduğu kısımların (x ekseninin altında kalan parçaların ) x eksenine göre simetriği alınır.

3.f(x)  0 olduğu kısımlarda |f(x)| = f(x) olduğundan ,fonksiyonun grafiği aynen kalır.Böylece , |f(x)| grafiği çizilmiş olur.

(8)

1 x Çözüm: a. y e 0 1 y = lnx 1 1 0 x y e y = |lnx|

Örnek : Aşağıdaki mutlak değerli fonksiyonların grafiklerini çizelim. a. f: R+ R , f(x9 = |lnx|

b. f: R R , f(x) |x2-1 | c. f: R R , f(x) |x-2 | d. f: R R+ , f(x) |2x |

(9)

b. 0 -1 -1 1 y= x2-1 y x y= x-2 -1 x y y= |x2-1 | | | -1 1 1 0 y= |x-2 | 2 -2 2 0 y x x c. -2 0 2 y

(10)

x 1 0 1 2 y y= 2x x Mutlak değer içleri f(x)=ax + b biçiminde

olan iki mutlak değer toplamından

oluşan fonksiyonların grafikleri aşağıda verilen şekillerdeki gibi oluşur.

1. f: R R , f(x)=|x-a|+|x-b|

fonksiyonunun grafiği x=a ve x=b de kırılma yapan ve minimum değeri f (a) =f(b) = |a-b| olan yandaki şekli çizer.

y y= |2x | |a-b| 2 1 0 1 y a b x o

(11)

2.f: R R , f(x) = |ax-b|+|mx-n| ma

grafiği , mutlak değer içlerini sıfır yapan b/a

ve n/m değerlerinde kırılma yapar.Bu değerlerden küçük olanına x1ve büyük

olanına x2 diyelim.Fonksiyonun f(x1) ya da f(x2) de bir minimum değeri

oluşur.Fonksiyonun grafiği yanda görüldüğü

gibidir. x1 x2

f(x1) f(x2)

0 x

y

Tanım:R R , y=f(x) fonksiyonu verilsin. -1 , f(x)<0 ise

0 , f(x) = 0 ise 1, f(x) > 0 ise

biçiminde tanımlanan fonksiyona ,f nin işaret (signum)fonksiyonu denir.

(12)

i. Tanımdan anlaşıldığı gibi,signf(x) fonksiyonu sadece -1,0,1 değerlerini ala bilir.O halde sgn f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi;{-1,0,1}dir.

ii.sgn f(x) in tanımlanabilmesi için , f(x) in işareti

bilinmelidir

iii.sgn f(x) fonksiyonunda , f(x) = 0 denkleminin köklerine ,kritik noktalar denir.İşaret fonksiyonu bu kritik noktalarda

sıçrama yapar.

y = sgn f(x) in grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar

izlenmelidir: i.f(x)fonksiyonun grafiği çizilir. ii.f(x)fonksiyonun grafiğinin; x ekseninin üstünde kalan kısımlar için,y = 1 doğrusu çizilir. x ekseninin altında kalan kısımlar için ,y= -1 doğrusu çizilir. x eksenini kestiği noktalar için,y = 0 işaretlenir.

(13)

Örnek: f:R R , y = f(x) fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.Buna göre ,sgn f(x) in grafiğini çizelim. Çözüm:soruda verilen grafikten görüldüğü gibi ;

olur

x

f

ve

x

f

b

x

a

x

x

f

ve

x

f

b

x

a

x

x

f

ve

x

f

a

x

1

)

(

sgn

0

)

(

,

0

)

(

sgn

0

)

(

1

)

(

sgn

0

)

(

a 0 b x c f(x) y a 0 b x -1 y 1

(14)

Tanım: xR olmak üzere ,x ten büyük olmayan en büyük tam sayıya ,x in tam kısmı denir ve bu [x] sembolü ile gösterilir.Yani,

 

x

a

a

x

a

üzere

Zolmak

a

..

,

1

Örnek: f:R R , f(x)=2x-1/5fonksiyonu veriliyor: a. f(-1) Çözüm: a. f(-1) = -3/5

Teorem:x  R ,a  Z için x+a = x+a dır.

Özellik:nZ+ olmak üzere; nx = x+ x+1/n +x+2/n+....+

x+n-1/n dır.

Örneğin: 2x = x x+1/2

(15)

1.x ,yR , x+y x + y dir. 2.x ,yR+ , x .y x . y dir

3.x ,yR , x = y ise x-y <1 dir

Özellik:f rell değiskenli bir fonksiyon ve a tam sayi olmak üzere; f(x) > a f(x)a+1 dir.

f(x)  a f(x)a dır. f(x) < a f(x)<a dır.

(16)

Tanım:Tam kısmı alınan fonksiyonu ,ardışık iki tam sayı arasına getirebilen x reel sayılarının bulunduğu aralığın uzunluğuna ,aralık

uzunluğu denir.f(x) = g(x) de a  g(x) < a+1 (a  Z) eşitsizliğini

sağlayan x lerin bulunduğu aralığın uzunluğu,x lerin aralık uzunluğudur.

1.m,n  R ve m  0 olmak üzere ,f(x)= mx + n ise ;aralık uzunluğu 1/m dir.

f: aR Z , f(x) = g(x) in grafiğini çizerken ,aşağıdakı

aşamalar izlenmelidir.

a).Aralık uzunluğu belirlenir.

b).Tanım aralığı ,aralık uzunluğuna göre ve uç noktalar aralık

uzunluğunun tam sayı katı olacak biçimde ,yani g(x)i ardışık iki tam sayi arasına getirebilecek şekilde bölünür.

(17)

Tanım:xR olmak üzere y=f(x) kuralı ile verilmiş bir f

fonksiyonunda ;AR ve xa için f(x)R koşulunu sağlayan en geniş a kümesine , f fonksiyonunun en geniş tanım kümesi denir.

TANIM KÜMELERİNİN BULUNUŞU

1.POLİNOM FONKSİYONLAR f(x) anxn + a

n-1xn-1 +....+a1x + a0 gibi polinom fonksiyonları ,tüm reel sayılarda tanımlıdır,Çünkü;x R için f(x)R dir. Buna göre polinom fonksiyonlarının en geniş tanım kümeleri A=R dir.

Örneğin;f(x)=mx+n ise ,A=R dir.f(x)=ax2+bx+c ise ,a=R dir 2.Rasyonel Fonksiyonlar

P(x) ve Q(x) birer polinom fonksiyon olmak üzere f(x) = P(x)/Q(x) biçimindeki fonksiyonlar,paydayı sıfır yapan x R için

tanımsızdır.Çünkü Q(x)=0 için f(x)R dir.O halde,bu türdeki rasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi; A=R- x: Q(x) = 0 ve x Rdir.

(18)

Köklü Fonksiyonlar

P(x)polinom fonksiyonu olmak üzere ,f(x) = n P(x) biçiminde irrasyonel fonksiyonların en geniş tanım kümesi;

a. n, tek sayı ise ,A = R dir.

b. n,çift sayı ise , A = {x : P(x)0 ve x  R}dir.

Örnek:f(x) = 3x2-1. Çözüm: f(x) = 3x2-1 fonksiyonunun kök derecesi tek olduğu için en geniş tanım kümesi : A = R dir.

 Logaritma Fonksiyonu...

P(x) ve h(x) polinom fonksiyonlar olmak üzere f(x) = logh(x) P(x) biçiminde logaritmik fonksiyonun tanımlı olması için P(x)>0, h(x)>0 ve h(x)  1olmalıdır.Buna göre en geniş tanım kümesi: A = x : P(x) >0 , h(x) >0 ve h(x) 1 , xR  dir.

(19)

ALIŞTIRMALAR

1.Aşağıdaki değerleri bulunuz.

a.Sgn 3 b.sgn( -4) c. 3,98 .sgn|-398| d. log1998

2.Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

a. x=5 b. 2x-3 = 7 c. 3-5x = -7 d. -x = 3 3.Aşağıdaki fonksiyonları, parçalı fonksiyon biçiminde yazınız.

a.f(x) =|x-3| b.f(x) = |lnx| c.f(x) = x2 |x| d.f(x) = x|lnx| 4. Aşağıda verilen bağıntıların R2 de grafiklerini çiziniz.

a.|x| + |y| = 2 b.|x|-|y|= 3 c.|2x + y|=3 d. |x2|+|y2|=0 5. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümesini bulunuz.

Referanslar

Benzer Belgeler

Doğurgan çağdaki kadınlarda konjenital enfeksiyon- lara neden olabilen etkenlerin takibinde rubella ve CMV IgG antikorlarının araştırılması gebelikte geçi- rilebilecek

Gereç ve Yöntem: Bu çal›flmada, Ocak 2009-Ocak 2010 tarihleri aras›nda Siirt Devlet Hastanesinde bruselloz ön tan›s›yla izlenen 9107 hastan›n yafl, cinsiyet ve

Seçilmifl kökenlerinin kullan›m›na ba¤l› olarak, probiyotiklerin mide ba¤›rsak kanal› enfeksiyonlar›nda iyileflme, laktoz metabolizmas›n›n artt›r›lmas›,

Bu çal›flmada amaç on y›ll›k dönemde Gülhane Askeri T›p Akademisi (GATA) Kan E¤itim Merkezi ve Kan Bankas› Müdürlü¤ü’ne ba¤›fllanan kanlara yap›lmas› zo-

‹klaprim, trimetoprim, beta-laktam, makrolid, florokinolon ve glikopeptid dirençli izolatlar da dahil olmak üzere gram-pozitif bakterilere karfl› genifl bir in vitro

Çal›flmam›zda sepsisli grupta bulunan 36 olgu- ya, belirteçlerin eflik de¤erlerini hesaplanmak için ROC analizi uygulanm›fl ve eflik de¤erler prokalsitonin için 4.97

savastanoi izolatlarında quorum-sensing’den sorumlu Açil-homoserin lakton (AHL) molekü- lü biyosensör ırklar ve HPLC ile incelenmiştir.. Bakterinin sentezlediği bu molekülün

Ekim 2005-Aralık 2008 tarihleri arasında Yeditepe Üniversitesi Hastanesi Kemik İliği Transplantasyon (KİT) servisinde yatan 97 hastanın febril nötropeni atağında 1907 kan