Hiperbolik kısmi türevli denklemlerin kubik spline fonksiyonları yardımıyla nümerik çözümü

Kot

H 209

?en B i l . ^ n a ,

50

Tarih .

2 5 . 5 . 1 9 8 7

...İÜQ.Q..H-...

44812

511. 4

378,242

y

Sayfa Ö Z E T ... II S U M M A R Y ... IV

1. SPLINE FONKSİYONLARI...

ı

1.2.3. Kübik S pline F o n k s i y o n l a r ı ile Inter- p o l a s y o n d a H a t a ... 15

2. HİPERBOLİK KISMI TÜREVLİ DENKLEMLERİN KÜBİK SPLINE

FONKSİYONLARI KULLANILARAK NÜMERİK ÇÖZÜMLERİ

1CİN BİR YAKLAŞIM...

20

Ö Z E T

Bu ç a l ı ş m a d a kübik spline f o n ksiyonları k u l l a n ı l a r a k h i p e r b o l i k kısmi t ü r evli d e n k l e m l e r i n n ü m erik çözümü için b i r a l g o r i t m a u y g u l a n m a y a çalışılmıştır. Aynı d e n k l e m l e r i n sonlu fark y ö n t e m l e r i ile nümerik çözüm l e r i ve kübik spline fonksiyonları k u l l a n ı l a r a k y a p ı l a n n ü m erik ç ö z ü m l e r i n d e hata analiz l e r i yapılmıştır.

Ç a l ı ş m a iki b ö l ü m d e n oluşmuştur. Birinci b ö lümde ■ spline f o n ksiyonları ve b i l h a s s a k ü b i k spline fonksiyonları özetlenmiştir.

İkinci bölümde, başla n g ı ç ve sınır k o ş u l l a r ı f o n k s i ­ y o n l a r olarak verilmiş, genel h i p e r b o l i k kısmi türevli d e n k ­

lemde bir d o ğ r u l t u d a kübik spline fonksiyonları k u l l a n ı l a r a k nümerik ç ö z ü m y o l u o l u ş t u r u l m a y a çalışılmıştır. Bunun için,

3 ^u _ , 3 ^u . . , . x 3 u , , . . Tj— = alx,t) --- 7j— + b(x,t) + c ( x,t)u

3 t 3 x 3 x

0 < x ^ , t > 0

denkleminde, e ş i t l i ğ i n sol t a r a f ı n d a t'ye göre t ü r e v için sonlu fark gösterilimi, sağ t a r a f t a ise k ü b i k spline fonk­ s iyonları kullanılmıştır.

O l u ş t u r u l a n n ü merik ç ö z ü m y o l u n d a işlem sırası ve hata a n a lizi ile, sonlu fark ş e m a sının ve s o n l u farklar içir, ha t a a n a l i z i n i n özetleri de bu b ö l ü m kapsamındadır.

Aynı bölümde sabit k a t s a y ı l ı b i r h i p e r b o l i k denkle- için nümerik u y g ulama ve b i l g i s a y a r programı ile çeşitli adım u z unlukları için ç ı k t ı l a r verilmiştir.

H e r iki y ö n t e m k a r ş ı l a ş t ı r ı l d ı ğ ı n d a ,

1° E ve E or, ile g ö s t e r i l e n kesme hatalarının aynı olduğu, sp

2° H e r iki y ö n t e m d e de ç ö z ü m l e r i n elde e d i l m e s i sırasında ya p ı l a n işlem s a y ı sının h e m e n h e m e n aynı olduğu,

3° H e r iki y ö n t e m d e de k a tsayı m a trisi üçlü band matris olan d e n k l e m s i s t e m l e r i n i n ç ö z ü l m e s i n i n gerektiği,

4° B i l g i s a y a r işlem z a m a n l a r ı n ı n büyük farklılık g ö s t e r ­ mediği,

5° Kübik spline f o n k s i y o n l a r ı n ı n k u l l a n ı l m a s ı n d a sonlu farkların k u l l a n ı l m a s ı n a göre a y r ı c a bir i n t erpolasyon işlemine gerek k a l m a d a n ara n o k t a l a r d a f o n k s i y o n d e ­ ğ e r l e r i n i n b u l u n m a s ı n ı n m ü m k ü n o l d u ğ u ve b u n u n u y g u ­ lamacıya k o l a y l ı k sağlayacağı,

In tııi: t er; s ın iJ oı t n oı t of h y p e r b o l i c partial dil fe aı i. I 1' *

by using cubic spline functions. In the n mi' ra ı

of the same equations with finite differ e n c e method;. a d those w i t h cubic spline functions, e r r o r analysis have been c a rried out.

The thesis consists of two parts. In the first p a r t , spline functions, p a r t i c u l a r l y cubic spline f u n c tions have b e e n summarized.

In the second part, initial and b o u n d a r y conditions have been given as functions, and a m e t h o d of n u m e r i c a l Solutions has been tried to f o r m by using cubic spline functions on a c e r t a i n d i r e c t i o n in general h y p e r b o l i c partial derivative e q u a t i o n s . In the e q u a t i o n for this ,

2 2

— — = a(x,t) — — + b(x,t) - d .u— + c ( x ,t)u

9 f 9 x z 3 x

0 < x < A, t > 0

finite difference r e p r e s e n t a t i o n for the d e r i v a t i v e a c c o r d i n g to t on the left side of the e q u a t i o n and cubic spline functions on the right side have been used.

The o r d e r of procedures and e r r o r analysis in the method of numerical s o l u t i o n t o g e t h e r with the summaries for the finite d ifference d i a g r a m and e r r o r analysis for finite differences have been included in this chapter.

In the same chapter, numerical a p p l i c a t i o n for a

h y p e r b o l i c e q u a t i o n w i t h constant c o e f f i c i e n t and a C o m puter p r o g r a m have been given t o g ether with outputs for various step l e n g t h s .

W h e n each m e t h o d has been compared, it has been d e t e r m i n e d :

1. That, the t u r u n c a t i o n errors shown by Egp and are the same o r d e r ,

2. That, in both methods s e e m equally viable terms of o b t a i n i n g solution,

3. That, in both methods, require the e v a l u a t i o n of a tridiagonal s y s t e m of e q u a t i o n s ,

4. That, C o m p u t e r process times have not shown important difference,

5. That, in the use of cubic spline f u n c t i o n s , it is possible to find the function values in intermadiate points w i t hout r e s o rting to an

1.1. SPLINE FONKSİYONU (SPLINE FUNCTION) NEDİR?

Spline fonksiyonları, parça parça (pi e c ‘-w i s e ) veya p o l ı n o m tipli f o n k s i y o n l a r ı n b i r sınıfıdır. Polinornlardar biraz daha az b a ğ l ayıcı olarak sürekl i l i k şartını sağlarlar Bu nedenle p o l i n o m l a r ı n genel bir şekli olarak t a n ı m l a n a b i ­ lirler. Spline f o n k s i y o n l a r ı n ı n adı, m ü h e n d i s l i k t e k u l l a n ı ­ lan ve "spline" d e nilen b i r m e kanik a l e tten gelmektedir. Bu alet düzgün bir eğri ç i z e b i l m e k için teknik r e s s a m l a r tarafından kullanılır. A l e t i n esası, ç i z i l e c e k e ğ rinin işa­ retlenmiş b e lirli n o k t a l a r d a n g e ç m e s i n i sağlamak için k u l ­ lanılan çelik veya p l astik bir şerittir.

[a,b] a r a l ı ğ ı n d a x d e ğ i ş k e n i ile gösterilen, a s x r , x ^,...., = b d izisi ve b u n l a r a k a r ş ı l ı k gelen b a ğımlı değişken değerleri bir Y v e ktörü içinde Yt y Q , y^..., y n olarak verilsin. S(x) ile g ö s t e r i l e n m'ci d e r e c e d e n bir Spline fonks i y o n u (spline function), a ş a ğ ı d a k i iki şartı sağlayan ve reel [a,b] a r a l ı ğ ı n d a b e l i r l e n m i ş b i r f o n k s i y o n dur.

1. H e r [x^, x ;j + 1 ] alt a r a l ı ğ ı n d a S(x) f o n k s i y o n u m'ci ya da daha az d e r e ceden bir polinomdur. Burada i=0(l)n d e ­ ğerlerini a l ı r v e x = - °o X = - « > olabilir.

o n

2. S(x) fonksi y o n u ve bunun (m-l)'ci m e r t e b e y e k a d a r türevleri [a,b] a r a l ı ğ ı n d a süreklidir.

A ç ı k olarak görül d ü ğ ü gibi ikinci koşul, s e ç i l e n Spline f o n ksiyonunun d ü ğ ü m n o k t a l a r ı n d a s ü r e k l i l i ğ i s a ğ l a ­ ması içindir.

Tek d e r e c e d e n yani k > O A k e N olmak üzere (2k— l)'Çİ derec e d e n bir Spline fonksiyonu, [a,b] sonlu a r a lığı dışında* (-°°,a) ve (b,+°°) a r a l ı k l a r ı n d a ( k - l ) ’ci d e r e c e d e n b i r p o j ino- ma indirgenebilirse, böyle Spline f o n k s i y o n a "tabii S p line fonksiyonu" denir. Bu tür f o n k s i y o n l a r SN (x) şeklinde s e m b o l i ­ ze edilirler.

Spline p o l m o m u n u n d e r ecesi m = 0 ise ikinci koşul iş­ lemez ve Spline f o n k s i y o n u a d ı m fonksi y o n u (step function) h a ­ lini alır. Şayet m = 1 ise, Spline f o n k s i y o n u b i r k ı r ı k çizgi ailesi olur. S(x) Spline f o n k s i y o n u genel l i k l e ve

[x|, x- + I gibi iki k o m ş u a r a l ı k t a farklı p o l i n o m l a r o l arak verilmiştir. Çok özel d u r u m l a r d a S(k) Spline f o n k s i y o n u [a,bj a ralığ ı n ı n t a m a m ı n d a b i r tek p o l i n o m o l a r a k verilebilir. B a ş ­ ka bir deyimle Spline fonksiyonu, a d ı m f o n k s i y o n u n u n m ' i n c i merte b e d e n belir s i z integrali gibi t anımlanabilir.

S(x) Spline fonksiyonu, [a,b] a r a l ı ğ ı n ı n uç n o k t a l a r ı n ­ da ,

S ( p ) (a ) = S ( p ) (b~) p = 0(l)(m-l) (1.1)

bağınt ı s ı n ı s a ğ l ı y o r s a bu tür Spline f o n k s i y o n l a r ı n a p e r i y o d i k Spline f o n ksiyonları denir. S pline f o n k s i y o n l a r ı için, ç e ş i t l i k a y n a k l a r d a b i r b i r i n d e n biraz farklı s a y ı l a b i l e c e k t a n ı m l a r a r a s t l a n m a k t a d ı r . B i r i n c i s i D.J. Fyte (1964), Bickley, Schoen- berg (1964) tarafı n d a n ö n e r i l e n ve genel şekli

n-1

S(x) = p ( x ) + 2 d- (x-x- )m (1.2)

i=Q

olan Spline fonksiyonudur. Burada i h e r b i r alt a r a l ı ğ ı n b a ş ­ lama n o k t a s ı n ı n indisidir. xq = a ve x^ = b alınmıştır. P(x) ( m - l ) ’ci ya da daha az d e r e c e d e n p o l i n o m l a r c ü m l e s i n i n bir elemanıdır.

P(X) = + a ( x - x ) + ... + a -,(x-x )m 1 C1.3)

o ı o m-1 o

şeklindedir. [x q j x x ] aralığ ı n d a m ’ci d e r e ceden Spline fonk- s i y o n u ,

, / \ / \ 1 i / >m

S(x) = a + a (x-x ) + ... + am ,(x-x ) + d (x-x )

o ı o m-1 o o o

(1.4)

olur. Daha sonraki h e r [x^, x.^+ -^] i = l(l)(n-l) alt aralığı için d| (x-x^)m terimi ilave e d i lerek [a,b] a r a l ı ğ ı n ı n t a m a ­ mında geçerli olabi l e c e k Spline f o n k s i y o n u Denk. 1.2) deki g i ­ bi yapılabilir. Bu tür uygula m a d a m tane a^ i = 0 ( l ) ( m - l ) ve n tane d^ i = 0 ( l ) ( n - l ) olmak üzere m + n tane b i l i n m e y e n mevcuttur. Bilinm e y e n bu katsayılar, Spline f o n k s i y o n u n u n varlığı tanımı ve s ınır koşulları y a r d ı m ı y l a belirlenir.

Derecesi m olan S(x) Spline f onksiyonu için bir başka ta n ı m Gerald (1970) t a r a f ı n d a n verilmiştir. Buna göre her

[xi5 x^+ 1 ] alt a r a l ı ğ ı n d a farklı olan Spline fonksiyonları, 2 S(x) = a • + a . (x-x-) + a 0 . ( x - x - ) + ... + oı ıı ı 2ı ı + a, , . . ( x - x . ) m 1 + a .(x-x.)m (1.5) (m - 1 ) ı ı mı ı gibi düşünülmüştür. Burada b i l i n m e y e n a ^ j = 0(l)m k a t s a ­ yıları a ş a ğ ı d a k i şekilde bulunurlar.

önce h e r bir [x^, x £+ ^] ali a r a l ı ğ ı n ı n uç noktaları için S(x^) ve S(x^^-1 ) yazılır. Denk. 1.5 ile v e r ilen S(x)*in Cm-1) ’ci mertebeye kadar t ü r e v l e r i alına r a k x^, x ı- + ^ n o k t a l a ­ rında bu t ü r e v l e r değerlendirilir. S(x) fonksi y o n u n u n ( m - l ) ’ci m e r t e b e d e n türevleri i = 0(l)n ile gösterilirler. Böylece a ji tî = i = 0(l)n] katsayıları, M ^ ' l e r cinsinden ifa­ de edilirler. Sonra komşu iki alt aralı ğ ı n ortak d ü ğ ü m

nokta-larında S(x) f o n k s i y o n l a r ı n ı n b i r i n c i m e r t e b e d e n t ü r e v l e r i ­ nin yani bu n o k t a d a k i t e ğ e t l e r i n i n e ğ i m l e r i n i n aynı olması k o ş u l u ile elde e dilen ve katsayı m a trisi üç k ö ş e g e n l i band matris olan d e n k l e m sistemi ç ö z ü l e r e k Ik i = 0(l)n

değer-denkl e m l e r i n b a ş l angıç değer p r o b l e m i olarak sayısal ç ö z ü m ­ leri için önerilen Spline f o n k s i y o n l a r da T a y l o r Seri a ç ı n ı ­ mına benzer. D i f e r a n s i y e l d e n k l e m

Lipschitz k o ş u l u n u sağlıyorsa, y(a) = y Q b a ş l angıç değeri ile, y(x) d i feransiyel d e n k l e m i n i n b i r ç ö z ü m ü vardır. n , m e N ve n > m olmak üzere, h = (b-a)/n olacak şekilde, m ’ci d e r e ­ ceden S(x) Spline fonksiyonları, x = a + h, a + 2h,

a + (n-l)h d ü ğ ü m noktaları o l d u ğunda ilk La,a + hj alt aralığı için

şeklinde tanımlanır. Burada b k a t s ayısı bilinmeyendir. A ncak bu x - a + h için, y' = f(x,y) difera n s i y e l d e nkleminin Spline f o n k s i y o n u n c a sağlanması koşulundan,

leri ve b u n l a r a bağlı o larak da a^^ k a t s a y ı l a r ı belirlenir.

İkinci t a n ı m a b ağlı kalınarak, F.R. Loscalzo ve T.D. Talbot t a r a f ı n d a n y* = f(x,y) şeklin d e k i d i feransiyel

I f(x,y) - f(x,y*)| < L | y-y*|

S(x) = y(a) + y'(a)(x-a) + ... + 7— V t t y m 1 Ca)(x-a)m 1

J (m - 1) I

(1.6)

S ’Ca + h) = f(a + h, S(a + h)) (1.7)

ba ğ ı ntısı ile k o l ayca bulunur. İşleme d e v a m edilerek k'cı alt aralık için

j-o

+ - V [x - (a + ( k - l ) h ) J m b, (1.8)

m: k-1

şeklinde Spline fonksi y o n u yazılır.

S'(a + kh) = f(a + kh, S(a + k h ) ) (1.9)

bağıntısı ile b^_^ k a t s a y ı l a r ı daha sonra da h e r b i r [x^,x^+ ^] alt aralığı için Spline f o n k s i y o n u n u n son şekli belirl e n m i ş olur. Ahlberg, Nilson, W a l s h ' ı n ö n e rdiği b i r b a ş k a şekilde be l i r l e n e n Spline fonksi y o n l a r ı da vardır. Buna göre, = S (m — 1 }(x ) ve h. = x..,-x. i = 0(l)(n-l) olmak üzere

1 + 1 1 1 + 1 1

h e r bir [x^, x ^ + 1 ] alt aralığı için

/■ m \ x • . •, - x x - x .

S (m - 1) ^ x ) = Mi ] + m İ + 1 [ — -- -] (1.10)

i i

olarak alınır. Denk. 1.10 m'cı d e r e c e d e n bir Spline f o n k s i y o ­ nunun ( m - l ) ’ci m e r t e b e d e n t ü r e v i n i n l ineer olması varsayımı

ile yazılmıştır. Denk. 1.10'un m-1 kez b e l i r s i z i n t e g r a l i n i n alınması ile h e r Lx^, X ^ + 1 ] alt aralığ ı n d a

m 1 (xj,-i — x) (x-x . ) S (x ) = (-1)111' 1 M. — — + M- . t t4 t ü-' +

1 (m-l)î h i 1+1 ( m _ 1 ) î h i

+ C , X m_1 + C 0 m ~ 2 + + C , (1.11)

ı / m-l

bulunur. B u r adaki , C^, ...., Cm _^ integr a s y o n sabitleri, [xi5 x i+|J alt a r a l ı k l a r ı n ı n uçları olan x^ ve x ^ + d ü ğ ü m l e ­ rinde S(x), S'(x), ... , S (m ^ ( x ) ' l e r i n , ç ö z ü m f o n k s i y o n u f(x) ve t ürevlerine eşit olması k o ş u l l a r ı n d a n elde edilen

M^'leri b i l i n m e y e n olarak b u l u n d u r a n b i r d e nklem siatemİ ;,a karşılaşılır. Katsayı m a trisi üçlü band matris o l a n bu S i # — temin ç ö z ü m ü ile M ^ ' l e r bulunur. Böylece [ x j , / + ı l alt ara­ l ı k l a r ı n ı n h e r biri için S(x) Spline fonksiyonları b e l i r l e n ­ miş olur.

Spline fonksi y o n l a r ı çok eski b i r geçmişe sahip o l m a ­ larına rağmen ancak 1 9 6 0 ’lardan sonra b i r ç o k p r o b l e m i n s a y ı ­ sal ç ö z ü m l e r i n i n b u l u n m a s ı n d a başarı ile k u l l a n ı l m ı ş l a r d ı r . Bu p r o b l e m l e r d e n biri de h i p e r b o l i k d e n k l e m l e r i n sayısal ç ö ­ zümleri olabilir.

1.2. KÜBİK SPLİNE FO NK Sİ Y O N U

Spline f o n k s i y o n l a r ı n ı n u y g u l a m a l a r d a k u l l a n ı l m a s ı n d a bazı g ü ç l ü k l e r vardır. S(x) S pline p o l i n o m u n u n d e r e c e s i a r t ­ tıkça işlemler k a r m a şıklaşır, p r o b l e m i n b oyutu büyür. Bu n e ­ denlerle genelde k = 2 olmak üzere, üçüncü d e r e c e d e n inter- p o l a s y o n f o n k s i y o n l a r ı ,yani kübik spline f o n k s i y o n l a r ı n ı n k ullan ı l m a s ı düşünülür.

Kübik Spline f o n k s i y o n l a r ı n ı n elde e d i l i ş l e r i için de çeşitli y ö n t e m l e r kullanılır.

1.2.1. M o m e n t l e r Y a r d ı m ı ile Elde Edilişi

Kübik Spline f o n k s i y o n l a r ı n ı n bu y ö n t e m l e elde e d i l i ­ şinde, genel olarak (a,b) a r a l ı ğ ı n ı n h e r [x^, x ^ + ı ] alt a r a ­ lığında S(x) ile göster i l e n öyle bir f o n k s i y o n a r a n ı r ki, bu f onksiyonun kendisi, b i rinci ve ikinci t ü r e v l e r i (a,b) a r a l ı ğ ı n ı n t a m a m ı n d a sürekli olsun. Böyle b i r Spline f o n k s i ­ yon h e r alt a r a l ı k t a bir kübik ile ç a k ı ş ı r ve S(x^) * y^

Kı s ı m 1.1 de verilen üçüncü tanıma göre S ( x ) ' i n ikin­ ci türevl e r i n i yani S ,,( x ;j ) i = 0(l)n d e ğ e r l e r i n i ile gös­ tererek ve kübik p o l i nomun ikinci türevinin lineer olması n e ­ deniyle [x i_ı> X j+)J aralığı için S(x) kübik spline fonk­ s iyonunun ikinci türevi

X . - X X - X . ,

S 11 ( x ) * M. -ı —

--- ♦ M,

.

(1.12)

şeklinde yazılır. Burada h| * x„. - alınmıştır. Bu d e n k ­ lemle v e r ilen S"(x) ifadesinin a r darda integr a s y o n u ile S(x) Spline f o n k s i y o n u elde edilir.

Denk. 1.12 b i r kez integre e d i lerek

(x--x) (x-X- ,)

S ' (x ) = -M. - X + M. --- ♦ C, (1.13)

ı-l 2h^ ı i

bulunur. B urada i n t e g r a s y o n sabitidir. Bu y e n i d e n k l e m tekrar integre edilirse

(x - x ) ' (x-x- , ) 3

s(x) - M i-ı — â r — — ♦ c ı x * c 2

1 1

elde edilir. X -1 a l t a r a l ı ğ ı n a k a r ş ı l ı k gelen yj__]_ ve y» d e ğ e r l e r i n i n y. , = S(x- *} ve y - = S(x-) k o ş u l u n u n sağ-laması v a r s a y ı m ı n d a n

h?

gibi iki d e n k l e m elde e<İİ5 >tvk* 1*15 ve Denk. 1.16 n m ortak ç ö z ü m ü n d e n integıvı?*\xvv teri C, ve

h*

x. y. , - x. - y. h.

C 2 . 1 ^ 1~ 1 - t*i « ! . ! - * ! - ! " ! > - r - <!-1 8 >

n . o

ı

olarak bulunur, tntegrasyon sabitlerinin b u değerleri Denk. 1.12 ve Denk. 1 . 1 3 ' de y e r i n e konarak (x .-x)^ (x - x • , )^ S 1 (x) =-M . , + M. =-=-^ * 1-1 2 h . 2 h . 1 1 y,- - y n-_ı

—1

---

i---- h.

(1.19)

türev bağıntısı ile h e r b i r x x ] a i ‘t aralığı için,

( x . ~ x ) 3 (x-x. , ) 3 M. , h? • ı . ı-l . / ı-l ı S (x ) = M. , — + M. --- + (y. ,— — -) ı — l c v . _{6 h .} t c v . _{6 h •} 1 ₆ ı ı x.-x M. h^ x-x. , ( --- ) + ( y --- — )(---- — ) (1.20) h. 1 6 h. 1 1

kübik spline fonksi y o n u elde edilir. Denk. 1 . 2 0 ' de b i l i n m e ­ yen olarak i=0(l)n kalmıştır. Bu M ^ ' l e r i n b u l u n m a s ı için

X-^J ve [x ^s xi+l^ komşu a r a l ı k l a r ı n ı n ortak d ü ğ ü m noktalarındaki türev ifadeleri

h. h. S 1 (x - - ) =— - M . , + M . + 6 1" 1 3 1 h y i ~ y ı - ı (

1

21

(

.

)

yazılır. Burada h •L = x i“ x i_ı ve ^ ı + 1 = X J+| ” x i ° * a r a ^ kul' l a n ı l m ı ş t ı r .

S ’( x i-) = S ’( x i+) C

v arsay ı m ı n d a n Denk. 1.21 ve Denk. 1.22 y a r d ı m ı y l a

h . h . y. - y. . ı İ m j. ı ı-l _ M. . + --- M. + = ı-l t-\ ı 6 3 h. ı

h i+1 M - hi+1 M Vi+1 ~ Yi (

i i+1

3 * h i+l

elde edilir. Y u k a r ı d a k i eşitlik y e n i d e n d ü z e n l e n e c e k

h. h. + h.,, h.,, İ m_{M . +-} ı ı+ l m_{M . + --- M .} ^ ı+ l M ^ ı+l ı ı+l y ı + l - y i y i • y i-l i = l (1)(n - 1 ) h . , h . ı+l ı şeklinde veya h ı+l ö , “ i • -— — > 6 i=1 - a i i+l h i tanımı ile y e n i d e n 3 M. , + 2 M . + a. M.., ı ı-l ı ı ı+l .23) .24) 1.25) 1.26)

[(yi+1 - y ^ ' i+ı 6

---=> / 1'i.J - (y < ~ y ı - ı ’ ' t i . d.-,-;) h i * h i+l

n Tx x 1 alt aralığı için y a z ı l a n bu olarak yazılır. H e r [xi_ 1 , xxJ

şekildeki d e n k l e m l e r M. deler l e r i n e b a k i d i r . Denk. 1.27 sağ tarafını i=l(l)(n-l) için

[ l y . ^ - y ; 1 h i + l ] ~ t ( y i~y i - l ) ' h iA (1.28) d i=6

olarak ifade e dilip ayna d e n k l e m i - l U H n - 1 ) için

B i M i_ 1 + 2 M İ ♦ c,i M i+1 - dj^

(1.29)

şeklinde yazılır. i-0 ve i-n d u r u mlara için uç k o ş u l l a r ı n ı n verilişine göre farkla d Q ve d „ ’ d e ğ e r l e r i elde edalar.

Tabii spline f o n k s i y o n l a r a n d a m=3 o l ması d u r u m u n d a her b i r alt a r a l ı ğ ı n d a k übik spline fonksiyonla-rı a ş a ğıda a çıklandığı gibi bulunur.

S U ) fonksi y o n u n u n a), (b, +-> a r a l ı ğ ı n d a lineer olması v a r s a y ı m ı n d a n

(1.30) S 11 (a ) = S"(b) = 0

veya

olurkı, bu durumda k ü b i k spline fonksi y o n u tabii spline f o n k ­ siyon olur. 0 zaman Denk. 1.27 ile b i l i n m e y e n l e r i için aşağıdaki gibi bir d e n k l e m sistemi elde edilir.

2 aı 0 . . 0 0 0 X ' di 1 62 2 a2 . . 0 0 0 M 2 d2 0 63 2 . . 0 0 0 M 3 d3 • • . . . • • • • • • • . . . I • • • • = • • • . . . • • • • • 0 0 0 . . 2 a 0 n-3 0 Mn-3 dn-3 0 0 0 . . _{S 0} n-2 2 “n-2 Mn-2 dn-2 0 0 0 . . 0 6n-l 2 _ Mn-l . dn-lj

Bu d e n k l e m s i s t e m i n i n ç ö z ü m ü ile '1er bulunur. Bulunan değerleri Denk. 1.20'de yerine k o n a r a k h e r [*£_-> x^] alt aralığı için (a, b) aralığı b o y u n c a kübik spline fonksiyonları bulunmuş olur.

1.2.2. Kübik Spline F o n k s i y o n l a r ı n ı n D ü ğ ü m N o k ­ t a larındaki Birinci M e r t e b e d e n T ü r e v l e r i n K u l l a n ı l m a s ı y l a îfade Edilişi

T e o r e m 1.1. x^, i=0(l)n n5®2 d ü ğ ü m n o k t a l a r ı bu n o k ­ talara k a r ş ı l ı k gelen y. d e ğ e rleri verilsin. 0 zaman öyle

N . 1

b ir S (x) k ü b i k spline f o n k s i y o n u v ardır ki,

SN (X;l) = y ± i=0 (1 )n (1.33)

İspat: S N (x) 'in p o l i n o m p a r ç a l a r ı a ş a ğ ı d a k i gibi yazılır. P 3 , 0 (x) = C 1 ,0 + C 2 ,0 (x"x o ) » P Q .(x)=C, . + C„ .( x - x . ) C„ .( x - x . ) 2 + 3,ı 1,1; 2,ı ı 3,ı ı + C u . (x — x . ) 3 , x. < x < x • . i = 0 ( 1 )n-l (1.34) 4 j 1 1 1 1 -L P„ (x ) = C, + c9 (x— x ) X < x < +~ 3,n 1 ,n l ,n rı n ve P 0 . , ( x . ) = P 0 . ( x . ) = y . i=0(l)n (1.35) 3,ı-l ı 3,ı ı J ı

olması istenir. Eğer,

m. = P' .. ,(x.) = P* . (x ■ ) i=0 (1 )n (1.36)

ı 3,ı-l ı 3,ı ı

olarak b i l i nirse o zaman P~ . p o l ı n o m l a r ı n ı n katsay ı l a r ı o,l kolayca bulunabilir. C ı _1,0 n = y^ _{^ o} C 1 _l,ı • - _{J x}y- i=0 (1 )n (1.37) C0 - m C„ . = m. i=0 (1 )n (1.38) ^ ) U O z } 1 1 C„ . ve C L . katsay ı l a r ı da, O 5 X H j 1

şartları ile belirlenir. üx. = = x 1- x 1_ 1 i=l(l)n için,

C.. . + C„. • h + C. . h 2 + C., . h 3. = y. , (1.40) 1,ı 2,ı ı 3,ı ı 4,ı ı J ı+l

C 0 + 2 C ,, . h. + 3C. . h 2 = m.., (1.41)

2,ı 3,ı ı 4,ı ı ı+l

ba ğ ı n t ı l a r ı n a denktir. Denk. 1.40 ve Denk. 11*1 C_ . ve C u .

0,1 4,1

için y ^ , yj + 1 > nıi , m i+1 'e göre çözülürse,

h. C . = 3 f [ x ., x. ] - 2 m .-m. , i-l(l)(n-l) (1.42) 1 0,1 1 1 1 1 1 1 h? C., . = - 2 f [ x . , x. ,] + m.+m. n ı 4,ı 1 ı ’ ı + l J ı ı+l (1.43) bulunur. Burada, y i+l " y i f [x± , x i + 1 J = --- (1.44)

h .

Henüz b i l i n m e y e n o l arak b u l u n a n tik '1er a ş a ğ ı d a k i gibi h e s a p l a n ı r .

P 3,i l x i * l ) , P 3,i*l i“ 0(l)ln-l) C1.*S>

k o ş u l l a r ı , O II •H _için 0 = C 3 ,1 ı = l ıç m C 3,l + 3hl C 4 ,l " C 3,2 i = 2 ıç m C 3 ,2 + 3 h 2 C 4,2 = C 3,3 i=n-2 için C 3,n-2+ 3 h n-2 C 4, n - 2 * v 3 i = n - 1 ıç m C 3,n-l+ 3 h n-l C 4> n - l * 0

denklemleri ile verilen b a ğ ı n t ı l a r a denktir. Denk. 1.46 ile verilen d e n k l e m sisteminde, C~ . ve C u . için Denk. 1.42 ve

O 5 1 4 , 1

Denk. 1.43 ile verilmiş d e ğ e r l e r y erine konursa,

denklem sistemi elde edilir. Bu sistem, ırr i=0(l)n'lere göre katsayı m a trisi üç k ö ş e g e n l i band matris olan l ineer b i r sistemdir. Denk. 1.47 ile verilen bu sistemin h e r zaman b i r tek çözümü vardır. Böylece m. i=0(l)n b i l i n i r k e n C, ., C„

1 1 , 1 £. , 1

C„ ., C u i=0(l)n Denk. 1.37, Denk. 1.38, Denk. 1.40 ve 9 4 5 1

Denk. 1.41 ile belirl e n m i ş olur. Böylece teoremde ispat e d i l ­ miş olur.

Genelde y a p ı l a n işlemlerde = x -^ + ^- x ^ ü e v e rilen alt aralık u z unlukları = h o l a r a k alınır. Böyle o l u n c a Denk. 1.44, 2 m + m, = 3f[x , x, ] o 1 1 o ’ 1 J (1.47) i = l ( 1 ) ( n - 1 ) (1.48)

şeklini alır. Denk. 1.47'den

2m + m, = --- [y-, - y ] o 1 , LJ1 J o J

h

+ 2m 3 m

n-1 n

h

şeklinde b i r sisteme dönüşür. C, k=l(l)4, i=l(l)n katsa-K , 1

y ı l a rının b u l u n u ş u farklı uzunl u k l u alt a r a l ı k l a r ı n k u l l a ­ nılması h a l i n d e o l d u ğ u gibidir.

Kübik spline f o n k siyonları ile y a p ı l a n interpolasyon- da h a t a , d i ğ e r i n t erpolasyon y ö n t e m l e r i n d e k i h a t a l a r ı n a r a ş ­ tırılmasından farklı değildir.

a, Xq , x-^, . . . , x n , n ^ 1 verilmiş ise genel i n t e r p o ­ lasyon formülü

olsun. Bu formül n. ci ya da daha az d e r e c e d e n p o l i n o m l a r için tam o larak doğrudur. Spline fonksi y o n l a r ı ile interpo- lasyonda E[f:a] ile g ö s t e r i l e n h a t a a ş a ğ ı d a k i t e o r e m y a r d ı ­ mıyla belirlenebilir.

Te o r e m 1.2. n alt aralık sayısı, m 'de i n t e r p o l a s y o n p o l i n o m u n u n derecesi olmak üzere, l^rrî^n e ş i t s i z l i ğ i s a ğ l a n ­ dığında, sadece m, a, x^ i=0(l)n 'e bağlı öyle b i r K^Ct) f onksiyonu vardır ki; f(x), W m [M^; a,b] f o n k s i y o n s ı n ı f l a ­ rına ait olduğunda,

1.2.3. K übik Spline F o n k s i y o n l a r ı ile Interp o l a s - y onda Hata f(a) = B f (x ) + B , f ( x , ) + . . .+B f (x )+E[f;a] o o 1 1 n n L J (1.50) b E [f :a ] = / K (t) f(m)(t )dt (1.51) olur. A y r ı c a K (t), J m ’

x>t ise ( K - t ) 1 (x- t , İ ' < x<t ise O

şeklinde tanımlanır,

duğu düşünülsün. O zaman f(x) fonksiyonu,

ispat: Bir sabiti için, f(x) e W [ M m ; a, b]

ol-Q . ( x ) = f ( a ) + ( x - a ) f ^ d ^ ( a ) + . . . + — f ^m ^ (a ) (1j53a) m - 1 (m-l)î R (x ) = — / ( x — t )m 1 f ( m ) (t)dt U . b 3 b ) m (m-1)! a + olmak üzere f tx) = Q , (x) + R (x) xm-l m

şeklinde T aylor serisine açılabilir. E[f:a] bir lineer f o n k ­ siyonel olduğundan,

E [ f : a] = E +

E [ R m ;o,]

elde edilir. A n c a k f(x) (m-1) ’ci veya daha az d e r e c e d e n bir p o l i n o m olduğunda, interp o l a s y o n tam olacağından,

E [ V ı ' > “ ] - o

dir. Bu da,

E [f ;a ] = E [R ;a]

olmasını gerektirir. 0 zaman,

E[R ;a] = — / (at)r" 1 f ( m ) (t)dt -m (m - 1)! a s P, f (x.-t)m - 1 f (nü(t)dt (m-l)î ı=l <m + l>»i ^ ı olur. Y u k a r ı d a k i b a ğ ı n t ı d a k i integr a l l e r b i r l e ş t i r i l ı r s e E fR : ot] = — ---- / U a - t ) ™ -1 m (m - 1)! a - E P , .(ct)(x,-t)™-1 } f ( m ) (t)dt i=1 m-l,ı ı + (1.55)

elde edilir. Burada ^ (m-1), d e r e c e d e n tabii spline poli- nomudur. Bundan sonra,

K (t)= — '{(cx-t)™- i - E P , . ( a ) ( x . - t ) ™ - 1 } (1.56) m / - . \ i + . _ m - 1 , ı ı +

(m-1 )! ı=l ’

yapılabilir. Denk. 1.54, Denk. 1.55 ve Denk. 1.56 bileştiril- diğinde Denk. *1.51 bulunur.

Denk 1.50 ye göre tabii k ü b i k ara i n t e r p o l a s y o n fonk-2

siyonları için, T e o r e m 1.2 ile f(x), W 2 [M9 :a,b] f o n k s i y o n ­ ları sınıfına ait olmak üzere,

b (2)

E [f: a] = / K 2 (t ) f W j (t)dt a

olacak şekilde bir K 2 (t) Peano f onksiyonu bulunabilir. Burada [ a , b ] , a, x x , x 2 *..xn 'leri içeren küçük b i r aralıktır.

l<=n^ıı, f(x), W m [M :a,b] fonksiyonları s ı n ı fının bir m fonksiyonu, b e = / I K (t)l dt m m a

ve [a,b] de x için I f^m \ x ) l < M m o l d u ğunda

b b

I / f(x)dx I < / I f(x)l dx (1.57a)

a a

eşitsizliğinin b i r uygula m a s ı olarak,

b , . I E [f: a] = l / K (t) f k n U (t)dt I m a yanı b . . < / I K (t)l l f ^ m ; (t)l dt a m b < / I K (t)l M dt m m a b = M / I K (t)L dt m m a = M e m m l E [ f : a ] L < e M m m

2. HİPERBOLİK KISMI TÜREVLİ DENKLEMLERİN KÜBİK SPLINE

FONKSİYONLARI KULLANILARAK NÜMERİK ÇÖZÜMÜ İC1N BİR

YAKLAŞIM

2.1. G 1 R 1 S

Kısmi türevli d e n k l e m l e r uygula m a l ı b i l i m l e r d e çokça k a r şılaşılan ve genelde a n a litik ç ö z ü m l e r i n i n b u l u nması g'Jç olan ya da a n a litik çözüme imkân vermeyen güçlü p r o b l e m l e r ­ dir. Çoğu kez anali t i k çözümün mevcut olması da uygulayıcı için bir a n l a m ifade etmeyebilir.

Uygulamacı için mümerik ç ö z ü m önceliklidir. Nümerik çözümlerde de en az hata ve en kısa işlem zamanı gözönünde b ulundurulmaktadır. İşte bu iki unsurun o l a b i l m e s i için b i l ­ gisayarların gelişm e s i n e p a ralel o l arak ç e ş itli n ü m e r i k ç ö ­ züm y ö n t e m l e r i g e l i ştirilmektedir.

Bu bölümde h i p e r b o l i k kısmi t ü revli d e n k l e m l e r i n n ü ­ merik ç ö z ü m l e r i n d e spline f o n k s i y o n l a r ı n ı n b i r k u l l a n ı l ı ş şekli t a n ı m l a n a c a k ve hata a n alizi yapılacaktır.

Çalışmada, b a ş l angıç ve sınır k o ş u l l a r ı t a n ı m l a n a n h i p e r b o l i k kısmi türevli d e n k l e m i n sabit k a t s ayılı ya da değiş­ ken katsayılı olması halle r i n d e spline f o n k s i y o n l a r ı ikinci t araftaki x ’ e göre t ü r evler için k u l l a n ı l m ı ş t ı r . Zamana göre t ü r e v l e r için sonlu fark y a k l aşımı u y g u l a n ı l m a s ı d ü ş ü ­ nülmüştür. U(x, t) fonksiyonunun, = a (x,t;— — + b(x,t) 3 x 3 u 3 x + c (. x , t ) u 0^ x < l , t>0

h i p e r b o l i k kısmi t ü revli d e n k l e m i n i n sabit katsayılı hali için ç a l ı ş m a y a p ı l a c a k t ı r . Daha s o n r a d e ğ i ş k e n katsayılı hal için bir g e n e lleme yapılabilir.

2

.

2

. SABİT KATSAYILI HAL

a=*atx, t ) * S t , b«b(x,t)**St, c « c ( x , t ) « S t

durumunu ele alalım. U(x,t) fonksiyonu

2

2

^ 7 ” + h^ ~ +cu U < x < A , t>0 (2.1)

hiperbolik kısmi türevli denklemini,

u(o,t) = f 1 ( t ) , u( A,t) = f ? ( t ) (2.2)

sınır koşulları ve

u(x, 0) = g , ( x ) , 3-— -?-0) = g 9 (x) (2.3)

1 3 1 1

başlangıç k o ş u lları sağlasın.

Y u k a r ı d a k i sınır koşul l a r ı n ı daha genel o larak

a (t) ut o ,t) + a (t) ( 0 , t ) = f, (t)

^ 3 x 1

a 2 (t) u(£,t)+ a ^ t ) U , t ) - f (t) 3 x

gibi yazmak da mümkündür. Burada a,(t), a (t), a. (t), a ü (t), ]_ (t ), f^Ct), g x (x) ve g 2 (x ) b i linen fonksiyonlardır.

Denk. 2.1 de zamana göre t ürev için sonlu fark y a k ­ laşımları, x 'e göre t ü r e v l e r için de kübik spline f o n k s i ­ yonları k u l l a n ı l ı r s a (İh, jk) ağ n o k t a s ı n d a

u i . , - 2 u . . + u - .

— -1-? --- i_>J-LıJ— L s a m . . + b m . . + cu . .

k 2 i] i] ıj

yazılır.

O<0<1 ve sıfıra yakın bir sabit olmak k o ş u l u y l a ve

0(u. . . - 2u. . + u . — 0 ı > 3~f ı,3 ı »3 1 0(M . . n - 2M . . + M . . . . ) — 0 ı,3-l 1,3 1,]+1 0(m . . , - 2M. . + M. s 0 ı,3-l i,] ı, 3+ l o labileceği varsayımı da k u l l a n ı l a r a k bu t e r i m l e r y u k a r ı d a k i d enklemin ikinci y a n ı n a eklenirse

u. . ,-2u. . + u. . , --'J----^ -iıLJ: = a {0M. . , + (l-20)M. f 0M. . , ] + 9 ı,3-l ı,3 1,3+1 k ” + b{0m. . ,+(1-20)m. .+0m. .,} + ı,3-l ı,3 ı,3+l

* cleui,j-Tcl-2e)ui.j+euiIj-n)

l2-‘

°

olur. Burada m. . = Sî(x ), M. . = SV(x.) ve u. . '1er de

, 3 j ı i,3 3 i i , 3

j. zaman ç i z g i s i n d e S^(x) '1er t a r a f ı n d a n e n t e r p o l e e d i l e n kübik spline f o n k s i y o n u n u gösterirler.

Ahllbergt N î l s o n ve Vialsh 11] den «aman için [x. x.) ar a l ı ğ ı n d a tx*-x)3 (x-x, . K* S.tx)-M , . — ---- ♦H. . — ♦ J 1 1 , 3 6h 6h 2 (x.-x) *.2

♦ (u. , . --- — M. , ,) — ^--- ♦ (u.

~ M

,).

i"0 (1) iN-1 )

i - K D N

1 ,3 ç ı k a r ı r . , 0 , U. , . - 2 u . .+U.., . -i-M. + — 2— M . . + - i - M .=■ 1.".1 >3-J-il— i 6 1 _ 1 ’3 3 İ »^ 6 1 + 1 ’J h 7^ İ - H D N - l (2.8) B enzer y a k l a ş ı m l a r (j-l) ci ve (j+l) ci zamanl a r d a da elde edilebilir. Denk. 2.6 ve Denk. 2.7'nin uygun b i ç imde k u llanılması ile m. . '1er a r a s ı n d a da a ş a ğ ı d a k i b a ğ ı n t ı y ı

1 »3 b u l a b i l i r i z .

b

Aynı b a ğ ı n t ı l a r (j-1) ve (j+ l), zamanlar içinde ben zer şekilde yazılır.

Denk. 2.4, M. . ve m. . 'leri Denk. 2.6, Denk. 2.7,

ı,3

Denk. 2.8 ve Denk 2.9 b a ğ ı n t ı l a r ı n ı (j-1) ci ve (j+ l) ci zamanlar için kullanıp, sonuç b a ğ ı n t ı s ı n d a

r = k/h

0^ = 6 a r 2 - 3brk + c k 2 0 2 = 3 a r 2 - c k 2

ve

0 3 = 6 a r 2 + 3 b r k 2 + c k 2

kullan a r a k yok ettiğimizde

(1-0,0 )u

1 . i - 1 ,j+ l+ 4 (i+ B 2e )Ui,j + ı c ı - 0 3 e)u3 ı + l , j + 1

= {2 + 0 1 (l-26)} u i_ 1 . + 4 {2-8„(1-26 )} u- . +

(

.

)

- ( l - B 3e )ui + l j i=l(l)(N-l)

F.G. R a g g e t , P.D. W i l s o n tL9j da kübik spline f o n k s i ­ yonları ile h i p e r b o l i k kısmı türevli d e n k lemin nümerik ç ö ­

zümü için y u k a r ı d a k i n e b enzer bir algoritma tanımlamaktadır­ lar. A n c a k Denk. 2. *4 deki m. . 1lerin h e s a p l a n m a s ı daha ka- rışık b i r t a k ı m işlemleri gerektirmektedir.

Y u k a r ı d a f o r mülasyonu verilen y ö n t e m için ilk iki adımda x b i l eşeni d o ğ r u l t u s u n d a k i ç ö z ü m l e r için de sonlu fark y a k l a ş ı m l a r ı n ı n k u l l a n ı l m a s ı n a gerek duyulacaktır. B u ­ na göre n ü m erik işlem sırasını aşağıda verebiliriz.

2.2.1. Sabit Katsa y ı l ı Hal için Nümerik işlem Sırası

1 .Adım: M. ve m- i~0(l)N ’lerin hesabı

1,0 1,0

Denk. 2.3 de verilen başlangıç k oşulu Denk. 2.8 de j=0 için k u l l a n ı l ı r s a

g1(x1.1 )-2g1 (xi)+g1 (xİH.1 ) -i-M. +-±-H. + -i-M

6 ı-l,o 3 i,o 6 i+l,o h 2

i=l(l)(N-l) (2.11)

olur. Böylece N+l b i l i n m e y e n içeren N-1 tane d enklemden o l u ş ­ muş ve katsayı matrisi üçlü band matris olan b i r d e n k l e m - sistemi bulunur. A y r ı c a Denk. 2.4'de 0=0 ve j=0 k oyup Denk. 2.3 de türev için verilen k o şulda m e rkez fark formülü k u l ­ lanılırsa

k 2 (aM +bm ) =2 [f_ ( k)-f, ( 0 )-kg0 (p )]- c k 2f ,(0) (2.12) 0 , 0 0 , 0 L 1 1 t> 2 r j 2 .

ve

bulunur. Denk. 2.6 ile h h g , ( h)-g (0) m = — — M — — İL + — --- - (2.14) o 5o q 0,0 p. 1,0 . ve Denk. (2.7)ile de - h M nN,o 3 N , o 6 “ N-l,o h h g ı a ) " g ı (xN - l } nu, =— M„ , +— ---±-- (2.15) bulunur.

Denk. 2.11, Denk. 2.12, Denk. 2.13, Denk. 2.14 ve » m., 'da dahil olmak üzere M. , i=0(l)N

o,o N ,o ı , o ’

ile birlikte N+3 b i l i n m e y e n d e n o l u ş a n b i r lineer s i s t e m o l u ş ­ turur. Bu d e nklem sistemi çözüld ü ğ ü n d e y u k a r ı d a b e l i r t i l e n bilin m e y e n l e r elde edilir.

m i=l(l)(N-l) 'lerin hesabı için Denk. 2.6 ve 1 , 0

Denk. 2.7'nin ortalaması alınarak b u lunan

m. . = (M. , .-M.,, .) + 1+1 »3~ 1~ 1 »3 (2.16) 5 j 22 1 »3 1 i > 3 2h

i=l(l)(N-l)

bağıntısı j=0 için kullanılır.

Böylece b e l i r l e n e n i=0(l)N 'ler yardımı ile t=0 yani j=0 'da h e r h h n g i noktada kübik spline fonksiyonları ile ç özüm Denk. 2.5 b a ğ ı n t ı s ı k u l l a n ı l a r a k h e r h a n g i noktal a r d a b u l u n a b i l i r .

2.Adım: t=k anında (j=l) ki nümerik çözüml e r i n b u l u n ­ ması ;

Bunun için önce Denk. 2.10'da j=0 koyup, Denk. 2.3 deki türev için başlangıç koşulları da bir m e rkezi fark y a k ­ laşımı o larak kullanılır. Buradan N-l denkle m d e n o l uşan a ş a ­ ğıdaki d e n k l e m s i s t e m i :ç ı k a r .

2(i- * ı e ) u i - ı , ı + 8 ( 1 + (32e ) u i,ı 2 ( i - e 3e ) u i+ijl

(2+B1 (l-20)} g 1 (xi_ 1 ) + 4{2-B2 (l-20)} g 1 (xi ) +

+ { 2 + 6 3 (l-20)} g 1 (xı + 1 )+2k(l-61 0) g 2 (xi _ ı ) +

+ 8 k ( l + 6 2 0) g 2 (xi ) + 2 k ( l - 6 30) g 2 (xi + 1 ) ( 2 .17)

İ-1C1)(N-1)

u_ .=f,(k) ve u.T , = f 0 (k) alınırsa Denk. 2.17 ile ve- o , l l N ,1 2

rilen sistem katsayı m a trisi üçlü band matris olan b i r lineer denklem sistemi olarak kolayca ç ö zülür ve t=k yani j=l 'de

^ i=l(l)N-l '1er bulunur.

3.Adımı M. , ve m. . i=0(l)N 'lerin h esabı M. ve

ı,l ı,l 1,0

Q 'ların h e s a b ı n d a o lduğu gibi yine Denk. 2.3 deki baş- l m g ı ç koşulu Denk. 2.8 de bu kez j=l için kullanılır. N+l bilinmeyen içeren N-l denklemden oluşmuş

i o t u. . ,-2u* ,+u.., .

M. + M. +— i— M . , = 1-1,1 1-’-- x- -1-?-1 (2.18) 6 1" 1 ’1 3 i ’1 6 1+lsl h 2

i = l ( 1 )N-1

band matris olan Lineer d e n k l e m sistemi oluşur. Bu s i s t e m çözülerek u. . , '1er bulunur,

ı , 3 + ±

5 .Adım:, m. . , , m- • , M. . , , M. . , u . . , , u. .

ı,3-l*

1,3

ı.3“l

ı»3

ı.3"l

ı»3

ve u . .,, b i l i n e n değerleri k u l l a n ı l a r a k Denk.

2.4

ı , 3 + l

m. . , ve M- . L-, b i l i n m e y e n l e r i n i içeren i = 0(l)N N+l denk-ı,3 + l ı ,3 + 1

lemden o l u ş a n b i r s i s t e m bulunur. Bu sistemde 2CN+1) b i l i n ­ meyen mevcuttur. Denk. 2.6'da i=0 ve Denk. 2.7 de i=N a l ı ­

narak iki d e n k l e m daha elde edilir. Geriye k a l a n N-l tane denklem de Denk. 2 . 1 6 ' da Cj=l). zaman içinde bulunur. Böy-lece t amamlanan s i s t e m çözülür. M . 1ler Denk. 2 . 5 'de

ı ,3 + 1

kullanılarak S ^ + 1 (x^)=u^ j + ı» i= 0 ( D N 'ler bulunur. Ve d ö r ­ düncü adıma dönülerek işlem sürdürülür.

2.3. SONLU FARK YAKLAŞIMLARI KULLANILARAK NÜMERİK ÇÖZÜM

lemin sonlu f a r klar k u l l a n ı l a r a k y a k l a ş ı k ç ö z ü m için genel ifade, Nh=£, a>0 o lmak k oşulu ile

2

u. . , - 2u. . + u . ,= ar {ct(u. , . , - 2u. . , + u . . , . , ) ı , 3 - l ı , 3 ı » 3 + l ı - l , 3 - 1 ı , 3 “ l ı + l , 3 “ l

+ ( l - 2a)(u. , .-2u. • + u . , .) + a(u> ..,-2u. •,-,+u..-, ı - l ,3 1 , 3 1+1,3 ı - l , 3 + 1 1,3 + 1 ı + l , 3 + 1

h' 2

+— (a(u. . , — u . , . , ) + ( l - 2a)(u. , .-u. , .) o ı + l ,3-1 ı - l , 3-1 1+1,3 i“ l,3

+ 0 ( u i + ı , j + i - u i - ı >j . ı ) , " c k 2 { a u i , j - x * ( 1 - 2 a ) u i , i

+ ( l - 2a)u. . ou. ..,} i-0 (1 )N,j = l , 2 ... (2.23) -1 ) J î J

gibidir. Burada r=— — - 'dır. h

a =0 olması h a l i n d e en y a k ı n sonlu fark ifadesi b u l u ­ nur.

Bu tür yaklaşımda, u q u^ ^ j = 0, 1, 2,... ç ö z ü m ­ leri Denk. 2.2 sınır koşulları kullanılarak, u. ve u. ,

1 5 O 1 j -L çözümleri de Denk. 2.3 ile seçilen sınır k o ş u l l a r ı k u l l a n ı ­ larak belirlenir. Daha sonraki z a m anlar için u.

çözüm-ı,;] + l

leri u ve u . . '1er b i l i n d i ğ i n e göre Denk. 2.23 ile ı ,3 t ı , j

oluşturulacak ve katsayı m a t risi üçlü band matris olan L i n e e r denklem siste m i n i n ç özümü ile bulunurlar. T a n ı m l a n a n b ö l g e c e aynı tür işlemler tekrarlanır.

2.4. HATA ANALİZİ

Denk. 2.10 ile verilmiş ve (j-1), j, (j+1). ci zarar­ ları içeren üç s e v iyeli şema için kesme hatası, Denk. 2.1®' un h e r b i r terimi için C i h , jk) ağ noktası c i v a r ı n d a T a ylor seri açılımı k u l l a n ı l m a k suretiyle bulunabilir.

Kısmı t ü r e v l e r t (zaman) *ye göre a l ı n d ı k l a r ı n Car. ict- lunacak hata çift mertebedendir. 0 zaman Denk. 2-1 x"e göre kısmi türevler alınmak suretiyle bu amaç için k u l l a n ı l a b i ­ lir. Böylece sabit katsa y ı l ı hal için, spline f o n k s i y o n l a r a ile nümerik çözümde kesme hatası

E = k 2h 2 [c2r 2f ( 0 )u + 2 b c r 2f (6 ) + SP 3 x 2 + {r2 ( 2 a c + b 2 ) f ( 0 ) - c zk 29/6}- 0 U 3 + {2a b r zf (0 ) -bck20 / 6 }— — ^ + 3 % + {a2r 2f ( 0 ) + a / 1 2 - c h 2/72-ack^6}

olur. Burada f(0)=— — ( l - c k 20)-0 alınmıştır. 12

H e r h a n g i zamandaki ağ nokta l a r ı n d a u d e ğ e r l e r i b i l i n ­ mektedir. Bu d e ğ e r l e r türevler için sonlu fark y a k l a ş ı m l a r ı kullanılmak suretiyle h e r hangi bir ağ n o k t a s ı n d a kesme h a t a ­ sının h e s a b ı n d a kullanılır. Bölgenin sınır l a r a y a k ı n n o k t a ­ larında ileri ya da geriye fark formülleri iç n o k t a l a r ı n d a ise merkezi fark formülleri kullanılır, örneğin,

(-- — ) • . — -- 17- C u ..0 . -4u - , .+6u. . — 4 u • , .+U „ .)

3x 1 + 2 ,3 ı+l,3 ı.3 i“ l>3 ı 2,3

(2.25)

ve

^3 .

t-İ-H). . st _i_(u. _ .-3u. . . + 3 u . . .u. „ .) (2.26) 9x 1,3 2h 1 2 > 3 ı+ l»3 1-1,3 1-2,3

Denk. 2.24 ile verilen kesme hatası ifadesinin f(0)=O s e ç i l ­ mek suretiyle b a s i t l e ş t i r i l m e s i düşünülebilir. Bunun için de

0 1 nın

f (0 )= - i - ( l - c k 20)-0 12

dan 0=--- -— ^— gibi seçilmesi gerekir. (1 2+ck )

Genellikle, daha y üksek m e r t e b e d e n t ü r e v l e r de, u' nın x'e göre türevleri ihmal edilebilir. 0 zaman kesme

ha-2 ha-2 . M- 2

tası 0 (k h ) m e r t e b e s i n d e n 0 (k h ) m e r t e b e s i n e indirgenir.

Aynı sabit katsayılı kısmi türevli d e n k l e m i n sonlu farklar k u l l a n ı l a r a k nümerik çözümünde ile g ö s t e r e c e ğ i ­ miz kesme hatası

E =k2h 2 [c2r2f(a) u+2bcr2f(a) +r2(2ac+b2f(a) 3 x ■Mj- + {2abr2fCa)- — }' + { a2r2f(a) -3 x 6 3 x } J u + _ ] (2.27) 12 3 x j

şeklinde verilir. Buradaki f(a) Denk. 2.19)daki f(a) ’ dır.

Görüldüğü gibi, Denk. 2.24 ile kübik spline f o n k s i y o n ­ ları için verilenle kesme hatası, Denk. 2.2 7 ile verilen 0 ve a parame t r e l e r i eşit seçildiğinde ve aynı s ayıda t e r i m alındığında aynıdır.

Genelde E ve E 0 „ kesme h a t aları aynı mertebedendir,

sp SF J

2.5. DEĞİŞKEN KATSAYILI HAL

Bu halde ç ö z ü m b ö l g e s i n i n bütün n o k t a l a r ı n d a a ( x , t )>0 olmak k oşulu ile

2

— — j- = -- — [a(x,t ) - ^ — ] + b ( x , t ) - ^ — + c ( x , t ) u (2.28)

3x- 3 x 3 x 3 x

gibi bir diferansiyel denklemin nümerik ç ö z ümünü y a p m a k ge­ rekir. F o rmülasyon ve s onuçların analizi sabit katsayılı hale göre çok daha karmaşıktır.

A n c a k K ı s ı m 2 .2 'de t a n ı m l a n a n t e k n i k l e r k u l l a n ı l m a k suretiyle Denk. 2.10 da verilene b enzer b a ğ ı n t ı l a r değişken katsayılı hal içinde bulunabilir. Bu bağıntı (i h , jk) n o k ­ tasında,

(4*

+ (<î'i + I,j + l ° x i, j + l )lli+l, j + 1 l‘T i - l , j J' v"i-l,j,= {24>. , . +k c -_' , . (1-29)4'. .}_{- ı,3}

u. , .+ 4 { 2$• .+k £ . . - 3(1-20 ) y . .}u. . + i-1,3 ı,3 ı,3 ı,3 ı,3 + {2$ . .+k 1 . + (1-20 )y • . }u . .. ı+l,3 ı+ l,3 ı,3 1+1,: - (*. . -04'. . , ) u . , . ,+4($ . . + 30y . . n )u. . , ı - l , 3-1 ı,3-l ı - l , 3-1 ı,3"l ı,3"l ı,3"l ($i+l,j-l 0 x i , j - l )ui + l , j -1 İ=1C1)(N-1) (2.30)

yapılabilir. Değişken katsayılı hal için nümerik çözümde işlem sırası, sabit katsayılı hal için K ı s ı m 2 . 3 ’de v e r i l e ­ ne b enzer şekildedir. A n c a k kesme hatası ile ilgili b a ğ ı n ­ tıların o l u ş t u r u l a b i l m e s i sabit katsayılı hal için v e r i l e n ­ lerden çok daha karmaşıktır. Çünkü değişken katsayılı halde katsayı f o n k s i y o n l a r ı n ı n da herhangi merte b e d e n türevlerinin alınmasını gerektirmektedir.

2.6. N Ü MERİK UYGULAMA

Bu k ı s ı m d a m a tematiksel fiziğin çeşitli a l a n l a r ı n ­ da oluşan, örneğin; k u a n t u m mekan i ğ i n d e ışık hızı,

y = M C 1 /h (2.31)

h: P lank s a b i t i / 2îr, M p a r t i k ü l u n k ü t lesi u(x,t) dalga fonksiyonu o lmak üzere

1 J İ U J L Î “ _ . p 2 u ( 2 . 3 2 )

3 t 3 x

gibi oluşan ya da titre ş e n tel için elasite sabiti, T g e ­ rilme, p: Telin bir uzunluğı

da hareket denklemi olarak,

rilme, p: Telin bir uzunlu ğ u n u n kütlesi, Vq ilk hız

olduğun-3 2u 3 2U £ (2.33) u / T / p 3 1 2 3 x 2 1 şeklinde u i 0 ,t) = 0 , u U , t ) = 0 (2 .34) sınır koşulları ve u( x, 0 ) = 0 , --- ( x , 0 ) = V (2.35) 3 1 °

başlangıç koşulları ile oluşan hiperb o l i k d enkleminin

x = — —— , t = C-. t /SL , ü = C,u/(V i ) (2.36)

l 1 1 o

dönüşümleri y a p ı l m a k suretiyle elde edilen Denk. 2.39 b o y u t ­ suz halinin nümerik çözümleri 9= ^— ( ^ ) ve k 5 0.0125

(0.0125)0.1 için bir kez spline f o n ksiyonları k u l l a n ı l a r a k bir kezde sonlu fark şemaları ile y a p ı l m ı ş ^ b u n u n için b i l ­ gisayar ç ı k t ıları verilmiştir.

Boyutsuz denklem; u ( 0 , t ) = 0, u ( 1 , t ) = 0 (2.37) sınır koşulları ve u ( x , 0 ) = 0 , ( x , 0 ) = 1 (2.38) 3 t 2

başlangıç k o ş u lları ile X = £/p olmak üzere

d U - d Uz-X2u _{2 2} (2.39)

3 t z 9 x

KUBÎK S P L İ N E FONKSİYONUNDAN YARARLANILARAK ELDE EDİLEN SONUÇLAR

I - * 1 Q - 0 . 0 6 3 3 3 4 K= 0 . 0 1 3 N * i ® I C I N F ONKSİYON h a t a 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0316066347 0 . 0 2 3 2 5 2 4 3 2 7 7'. 0234633967 O.0243696596 O - 0 2 5 0 6 3 5 2 2 3 O . 0 2 4 3 7 3 2 4 7 6 0 . 0 2 5 4 4 3 4 7 4 ı 0 . 0 2 3 3 0 7 6 2 0 3 0 . 0 3 a 3 3 3 3 9 7 7 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 - 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 00’ 0 0'0 0'0’0 0-'0 0 . 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0’. 0 00 0' 0 0' 0 0 0 0! 0 . 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 00 0000000' i 0 . 0000000005 I - 3 Q~” 0 . 0 3 3 3 3 4 K - 0 . 0 1 3 N-- 10 I C I N FO NK S İY O N h a t a 0 .0000000000 0 . 0 9 0 5 3 3 6 3 0 3 0 . 0 7 1 9 2 3 1 2 6 4 0 . 0 7 5 5 2 2 2 3 6 5 0 . 0 7 4 9 1 3 2 9 3 5 0 . 0 7 4 3 6 3 i 760 0 . 074 9 1 6 9 4 5 4 0 . 0 7 5 5 0 0 1 6 0 6 0 . 0 7 2 0 3 9 5 7 4 0 0 . 0 3 0 0 2 6 5 7 3 2 0

.

1 — 7 Q = 0 . 0 3 3 3 3 4 rt~ 0. 0 1 2 N~ I © ICI.N FONK S İ Y ON HftTft 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 <3. 1 7 0 7 1 5 3 8 3 8 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 . i 3 4 1 8 3 3 8 0 2 —0. 00000001001 0 . A7 1 £ 0 1 5 3 8 0 - 0 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 7 5 3 1 4 2 3 0 3 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 7 4 3332 G 24 —0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 7 5 7 3 5 5 8 1 7 0 . 0'00 0 0 0 0 0 0 0 0 . İ 7 1 £ 3 2 3 3 3 7 - 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 0 4 0 3 0 8 3 3 4 —0 . 000 001000011 0 . . t: -18348 i 4 1 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 “ 0ı. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 £ I ® 3 O » 0 . 0 3 3 3 3 4 FONKSI YON K » 0 . 0 1 3 ,\= 10 ICI>4 HfiTA 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 © - 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . 1 8 8 4 4 1 4 3 4 2 0. 0000000004. 0 . £ 4 3 1 4 3 9 3 7 4 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 . 2 2 0 2 8 0 5 1 4 9 - 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 . £ £ 4 3 3 1 0 4 0 8 0 . 0 0 8 0 0 0 0 0 0 1 0 . £ £ 4 7 3 2 3 3 3 7 - 0 . 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 2 4 8 8 2 2 3 5 0 1 0 . £ 2 0 4 0 8 5 4 3 0 - t f . 0 . £ 4 2 7 3 3 8 7 2 8 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 •0. - 3 7 7 4 2 8 8 8 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ' 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -- j. i Q - 0 . 0 3 3 334 FO NK S I Y ON 0 . 0 1 3 .X= 10 I C I N 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 . 1 3 5 0 2 8 3 4 8 5 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 . 2 9 8 4 2 4 3 3 2 8 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 . £ 7 3 4 3 1 5 4 8 3 - 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 . 2 7 2 . 3 8 8 3 0 3 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . £ 7 5 8 8 3 7 5 3 5 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 7 2 2 0 2 2 3 3 3 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . £ 7 3 5 5 0 4a38 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 . £ 3 5 7 7 3 4 3 1 0 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 . 1 3 4 5 3 9 3 . 9 7 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 . 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 - 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .