Bazı maksimumlu fark denklemlerinin periyodikliği üzerine bir çalışma

BAZI MAKSİMUMLU FARK DENKLEMLERİNİN PERİYODİKLİĞİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA

Nurcan ŞEKERCİ

Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd.Doç. Dr. Necati TAŞKARA 2008

49 Sayfa

Jüri: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA

Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE

Bu çalışma beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, maksimumlu fark denklemleri ve fark denklemlerinin periyodikliği ile ilgili yapılmış bazı çalışmalar hakkında bilgi verildi.

İkinci bölümde, fark denklemleri ile ilgili genel tanım ve teoremleri verildi. Üçüncü bölümde, maksimumlu denklemler hakkında bilgi verildi.

Dördüncü bölümde, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + n n n x A x

x ₁ max 1 ,min 1, fark denklemini tanımlayarak, çözümlerini ve periyodikliğini inceledik.

Beşinci bölümde ise,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + n n n x A x

x ₁ max 1 ,min 1, fark denklemi için nümerik örnekler verildi.

A STUDY ON THE BEHAVİOUR OF THE DİFFERENCE EQUATİON

Nurcan ŞEKERCİ

Selcuk Üniversity Gratuate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Necati TAŞKARA 2008

49 Pages

Jury: Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA

Yrd. Doç. Dr. Hasan KÖSE

This study consist of five sections. In the first section, information about some difference equations with maximum and perodicity of some difference equations studied before were given.

In the second section, general definitions and theorems about difference equations were given.

In the third section, some maximum and minumum difference equations were given. In the fourth section, we defined the difference equation

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + n n n x A x

x ₁ max 1 ,min 1, and investigated its solutions and periodicity. We gave the numerical examples fort his difference equation.

In the fifth section, the numerical examples for this difference equation were given. Key Words: Difference Equation with Maximum, Periodici

1. GİRİŞ

Bu bölümde, fark denklemlerinin önemli çalışma alanlarından olan maksimum ve minimumlu fark denklemleri ile ilgili yapılan bazı çalışmalar hakkında kısa bilgiler verilmiştir.

Amleh (1998), G.Ladas yönetiminde yaptığı doktora tezinde; fark denklemlerinin üç farklı konusunu ele almıştır. İlk bölümde,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = − + 1 1 max , n n n x B x A x

fark denkleminin çözümlerinin sıfırdan farklı reel sayılar olan A, parametreleri ve B 1

−

x ,x₀ başlangıç şartları için periyodik olduğunu göstermiştir. İkinci bölümde,

2 1 2 1 1 − − − − + ₊ + = n n n n n n n _{x x x} x x x

x rasyonel fark denkleminin global asimptotik kararlılığını incelemiş ve son bölümde ise, Plant-Herbivore sisteminin çözümlerinin sınırlılığı üzerine çalışmıştır.

Amleh, Hoag ve Ladas (1998), fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir. Bu çalışmada;A parametresi ve başlangıç şartlarının sıfırdan farklı reel sayılar olduğunu kabul ederek, bu fark denkleminin bütün çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ve ayrıca A parametresi ve başlangıç şartlarına bağlı olarak çözümlerin er geç 2, 3 ve 4 periyotlu olabileceğini göstermişlerdir.

Grove, Kent ve Ladas (1998), yaptıkları çalışmada;

1 1 − + + = n n n n x b ax x otonom

olmayan Lyness fark denklemi ile

{

}

1 1 , max − + = n n n n n _x b x a x maksimumlu fark

denkleminde katsayıların negatif olmayan

{ }

a_n ∞_n=0 ve

{ }

b_n ∞_n=0 dizileri olduğunu varsaymışlar, bu varsayımlar doğrultusunda bu denklemlerin bütün pozitif

çözümlerinin sürekli ve sınırlı olabilmesi için yeter şartlar elde etmişlerdir. Ayrıca çalışmada zıt durumların her biri için örnekler vermişlerdir.

Janowski, Kocic, Ladas ve Tzanetopoulos (1998), yaptıkları çalışmada;

1 1 ( 2) (2 2) min , ... ... n n n n k n k n k A B x x x₋ x x x + − + − + ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎬} ⎪ ⎪ ⎩ ⎭,

{

}

1 1 max k, n n n x A x x + − = maksimumlu rasyonel

fark denklemlerinin çözümlerinin sınırlılık ve salınımlılık özelliklerini incelemişlerdir. Bu fark denkleminde A ,k parametreleri ve başlangıç şartlarının pozitif sayı değerleri aldıklarını varsaymışlar ve çalışma sonucunda bu denklemin çözümlerinin sınırlı ve salınmılı olma şartlarını A ,k parametreleri ile başlangıç şartlarına bağlı olarak elde etmişlerdir.

Valicenti (1999), yaptığı doktora tezinde ₁

1 n n n n n a x b x x + − + = otonom olmayan

Lyness fark denklemi ile ₁

{

}

1 max _{n n}, _n n n a x b x x + −

= maksimumlu fark denkleminin çözümlerinin periyodikliği ve global asimptotik kararlılığı üzerine çalışmıştır.

Teixeria (2000), yaptığı doktora tezinde; ilk olarak A herhangi bir reel sayı ve başlangıç şartları sıfır olmayan reel sayılar olmak üzere, ₁

{

}

1 max _n, n n n x A x x x + − = fark

denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemiştir. İkinci bölümde ise,

1 , 1 n n n n n n a b c d x y x y x y

+ = + + = + fark denklem sisteminin çözümlerini analiz etmiş ve

sonuncu bölümde de 1 1 1 n n n n p y y qy y − + − + =

+ fark denkleminin pozitif parametreler ve başlangıç şartları altında global asimptotik kararlı olduğunu göstermiştir.

Papascihinopoulos ve Hatzifilippidis (2001), katsayılarının pozitif sayı dizileri ve başlangıç şartlarına pozitif sayı olarak aldıkları

1 1 max _n( n _i), _n i n k n n i i n k a x b x x = − + + = − ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ =

∏

∏

fark denkleminin pozitif çözümlerinin süreklilik,

sınırlılık ve periyodikli özelliklerini incelemişlerdir.

Mishev, Patula ve Voulov (2002), ₁

2 max , n n n A B x x x + − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭ fark denkleminin periyodikliği üzerine yaptığı çalışmada; A B k ,, , A B parametreleri ile başlangıç şartlarını pozitif sayı değerleri olarak kabul ederek denklemin bütün pozitif çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ispat etmişlerdir.

Voulov (2002), yaptığı iki çalışmadan birincisinde; G. Ladas tarafından verilen bir açık problemi çözmüştür. Bu çalışmada A B C parametreleri negatif , , olmayan reel sayılar olmak üzere A B C+ + >0 için

1 3 5 max , , n n n n A B C x x ₋ x₋ x ₋ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭ fark

denkleminin bütün çözümlerinin periyodik olduğunu göstermiştir. İkincisinde ise A ve B parametreleri pozitif reel sayılar ve k ile m parametreleri pozitif tam sayılar olmak üzere, n max , ,

n k n m A B x x ₋ x₋ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}

⎩ ⎭ maksimumlu fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodiklik özelliğini incelemiştir. , ,A B k ve mparametrelerine bağlı olarak denklemin bütün pozitif çözümlerinin er geç periyodik olduğunu ispat etmiştir.

Papaschinopoulos ve arkadaşları (2003), yaptıkları çalışmada daha önce Feuer tarafından çalışılmış olan ₁

{

}

1 max _n, n n n x A x x x + −

= fark denkleminin çözümleri, çözümlerinin periyodikliği ve sabit aralığı üzerine çalışmışlardır.

Feuer (2003), ₁

{

}

1 max k, n n l n n x A x x x + −

= maksimumlu Lyness fark denklemi üzerinde yaptığı çalışmada; A ’nın pozitif bir reel sayı, ,k l ve başlangıç şartlarının da keyfi reel sayı değerleri olduğunu kabul ederek denkleminin çözümlerinin periyodiklik özelliğini incelemiştir.

Patula ve Voulov (2004), yaptıkları çalışmada ,A B pozitif terimli ve 3 _{n n} periyotlu diziler olmak üzere , ₁

2 max n , n n n n A B x x x + − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}

⎩ ⎭fark denkleminin çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.

Çinar ve arkadaşları (2005), yaptıkları çalışmada; ,A B> olmak üzere, 0 sıfırdan farklı başlangıç şartları için 1

2 max , n n n A B x x x + − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}

⎩ ⎭ fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir. Ayrıca, bu denklemi genelleştirerek elde ettikleri 1 1 ( 2) (2 2) min , ... ... n n n n k n k n k A B x x x₋ x x x + − + − + ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎬} ⎪ ⎪

⎩ ⎭ fark denkleminin pozitif

başlangıç şartları altında periyodik olma durumlarını incelemişlerdir.

Şimsek ve arkadaşları (2006), yaptıkları çalışmada; _{1 1} 1 1 max , n n n x x x + − − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭

fark denkleminin pozitif başlangıç şartları altında çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir. Yang ve arkadaşları (2006), 1 2 1 max , n n n A x xα₋ x₋ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭ maksimumlu fark denklemi üzerine yaptığı çalışmada 0< <α 1 veA>0olmak üzere fark denklemi için pozitif çözümlerin asimtotik davranışını çalışmıştır. Bu denklemin her pozitif çözümününx∗ =1’ e yakınsadığını veya bu denklemin her pozitif çözümünün A≤ 1 veyaA> durumunda 4 periyot ile er geç periyodik olduğunu ispatlamıştır. 1

Stefanidou ve Papaschinopoulos (2006), yaptıkları çalışma da; A A ve ₀, ₁ başlangıç şartları pozitif fuzzy sayıları, k ve m parametreleri pozitif tam sayılar olmak üzere 0 _, 1 n n k n m A A x x ₋ x₋ ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬

⎩ ⎭ fuzzy fark denkleminin pozitif çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.

Yalçınkaya ve arkadaşları (2007), yaptıkları çalışmada; A parametresi herhangi bir reel sayı vex₋₁,x başlangıç şartları sıfırdan farklı reel sayılar olmak ₀ üzere ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ₋ +1 , 1 1 max _n n n Ax x

x maksimumlu fark denklemini tanımlamışlar ve çözümleri incelemişlerdir. Bu fark denkleminin A parametresi ve başlangıç şartlarına bağlı olarak çözümlerinin periyodikliğini incelemişlerdir.

Stevo Stevic (2007), 1 1 max , p n n p n x x c x + − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}

⎩ ⎭ maksimumlu fark denklemi üzerinde yaptığı çalışmada; p c, ∈(0,1) olmak üzere fark denkleminin global çekimliliği ve sınırlılığını çalışmıştır. Bu çalışmada a) p≥ olduğunda sınırsız 4 çözümlerin mevcut olduğunu b)p∈(0, 4) olduğunda tüm çözümlerin sınırlı olduğunu c)p∈(0, 4) vex∗ =1c≥1 olduğunda her pozitif çözüm er geç 1’e eşit olduğunu d) ,p c∈(0,1) için de tüm pozitif çözümlerin 1’e yakınsadığını göstermiştir.

Gelişken ve arkadaşları (2008), yaptıkları çalışmada; bir açık problem olan

{

}

1 1 max _n, n n x A x x + −

2. FARK DENKLEMLERİ

Fark denklem; bir ve daha çok değişkenli bir fonksiyonun sonlu farklar ile bağımsız değişkenleri arasındaki cebirsel bir bağıntıdır. Diferansiyel denklemlere benzerlik gösteren ve inceleme süreci yönünden daha yeni olan fark denklemlerine fonksiyonel denklemler de denir.

Diferansiyel denklemlerde fiziksel olayların matematiksel modeli, sürekli değişim oranları arasındaki denklemler ile ifade ediliyordu. Fakat 20.yüzyılın başlarında radyasyondaki quanta ile biyolojide görülen genetik olaylarındaki gelişmeler, tüm doğa olaylarının süreklilik terimleri ile ifade edilmeyeceğini göstermiştir. Böylece fark denklemleri kullanılarak diferansiyel denklemlerde görülen süreksizlik halleri kaldırılmak istenmiştir. Günümüzde birçok alanda uygulanan fark denklemleri, daha çok hareket analizinde devreleri matematiksel olarak ifade etmede, ekonomide talep ve arz denklemlerini oluşturmada, ekonomik dalgalanmalar veya devresel hareketleri açıklamada, işsizlik oranı hesabında, spektrum analizinde filtre dizaynı gibi alanlarda yaygın olarak kullanılmaktadır.

Bu bölümde fark denklemleri için literatürde var olan genel tanım ve teoremler verilmiştir.

x bağımsız değişkeninin sürekli olduğu durumda, ( )y x bağımlı değişkeninin

değişimi ( )

( ), ( ),..., n ( )

y x y x′ y x türevleri yardımıyla açıklanabilmektedir. Ancak x in kesikli değerler alması durumunda değişim türevler yardımıyla açıklanamaz. Bu bölümde x in tamsayı değerler aldığı durumlarda ortaya çıkan ve içinde sonlu farkların bulunduğu denklemler üzerinde duracağız.

Başlangıç olarak fark denklemi tanımını verelim.

Tanım 2.1 n bağımsız değişken ve buna bağımlı değişken de y olmak üzere, bağımlı ve bağımsız değişken ile bağımlı değişkenin _{E y E y( ),} 2_{( ),...,E}( )n _{( ),...y gibi farklarını}

içine alan bağıntılara Fark Denklemi denir. Dikkat edilirse n’nin sürekli olduğu halde diferansiyel denklemleri ile arasında büyük benzerlikler vardır.

0 ( ) 1 ( 1) ( ) a y n +a y n+ = f n

Denklemi birinci dereceden fark denklemidir.

0 ( 1) 1 ( ) ( 1) ( ) a y n− +a y n +y n+ =g n Denklemi ise ikinci mertebeden fark denklemidir.

Denklemin mertebesinin belirlenmesinde; ya y ’nin hesaplanabilmesi için gerekli olan başlangıç şartı sayısının, ya da denklemdeki en büyük mertebeli terimin mertebesi ile en küçük mertebeli terimin mertebesi arasındaki farkın tespit edilmesiyle olur.

2.1. Lineer Fark Denklemi

Tanım 2.1.1 Bir fark denkleminde bağımlı değişken birinci derecedense bu denkleme lineer fark denklemi denir. Genel olarak lineer fark denklemleri:

0 ( ) n 1 ( 1) ... 0 ( ) ( ) a y k n+ +a y k n₋ + − + +a y k = f k şeklinde gösterilir

Lineer fark denklemleri, ( )f k ve (0,1, 2,... )a_i n katsayılarının durumuna göre isimlendirilirler.

i) Eğer ( ) 0f k = ise denkleme Lineer Homojen Fark Denklemi denir.

ii) a_i(0,1, 2,... )n katsayıları sabit iseler, denkleme Sabit Katsayılı Lineer Fark Denklemi denir.

iii) ai(0,1, 2,... )n katsayıları bağımsız değişkenin fonksiyonları iseler denkleme Değişken Katsayılı Lineer Fark Denklemi denir. Örneğin;

2

(k+1)kΔ y k( ) 6 ( ) 10 ( ) 0,− ky k + y k = k∈ Ζ

Euler Fark Denklemi; değişken katsayılı lineer Homogen fark denklemidir.

Örnek 2.1.1. yk+2−2yk+1cosα +yk = fark denklemini çözünüz. 0

Çözüm. Bu denklem ikinci mertebeden sabit katsayılı lineer homogen bir fark denklemi olup,

karakteristik denklemi,

2 _{2 cos 1 0} r − r α+ = dır. Bunun kökleri

1,2 cos sin

r = α_mi α

olur. Bu kökler

1 i , 2 i

r =eα r =e−α

şeklinde yazılabilir. Bu nedenle homogen denklemin genel çözümü

1 1 2 2 1 2

k k in in

k

y =c r +c r =c e α +c e− α

dir. r ve ₁ r lineer bağımsız çözümler olduklarından bunların lineer kombinezonu da ₂ çözüm olabilir. Böylece 1 ( ) 2 in in r₌ e α₊e− α ifadesini de çözüm olarak alırız ki Euler formülü

( ) cos 2 in in e e n α α α − + = den r=cosnα alınır.

Başka bir yolla, y_k =cosnα ’ nın verilen fark denkleminin bir kökü olduğunun ispatı yapılabilir. Bu yol y_k =cosnα ’ yı denklemde yerine koymaktır.

cos(k+1)α−2cos cos(α k+ +1) coskα = 0 yazılır.

cos(a b+ =) cos cosa b−sin sina b olduğundan,

2

coskα+coskαcos 2α −2cos αcoskα = 0 bulunur.

2 cos 2α =2cos α − 1 dir. Buradan da

2 2

coskα +2coskαcos α −coskαcos α = 0 olarak sonuç bulunur.

2.2.Fark Denklemler için Genel Tanım ve Teoremler

Teorem 2.2.1 I reel sayıların bir alt aralığı olmak üzere ; I

I I :

sürekli diferansiyellenebilen bir fonksiyon olsun. O zaman ∀x x₋₁, ₀∈Ι için

n+1 n n-1

x = f(x ,x ) , n=0,1, 2,... (2.1) denklemi bir tek

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ çözümüne sahiptir.

Tanım 2.2.1 Eğer x noktası için ( , )f x x = ise x ’e f ‘nin denge noktası denir. x Eğer ∀ ≥n 0 için x = x ise x ’e f ’nin sabit noktası denir. _n

Örnek 2.1.2. _{n 1} 1

n

x x

+ = denkleminin denge noktasının x = ±1 olduğunu gösterelim.

Çözüm. Denge noktası tanımından, f(x,x)= x 1

x

= dır. Buradan x = ±1 olur.

Tanım 2.2.2 x , x_n+1= f(x ,x ) _{n n-1} n=0,1, 2,... denkleminin denge noktası olmak üzere:

a) Her ε > 0 sayısı için eğer x ,x_{-1 0}∈ iken I x - x + x - x < δ_{0 -1} olacak şekilde 0

δ> sayısı varsa ve ∀ ≥ −n 1 için x - x < εn eşitsizliği sağlanıyorsa

denklemin x denge noktasına kararlıdır denir.

b) x denge noktasına kararlı olsun. Eğer x ,x-1 0∈ iken I x - x + x - x < γ0 -1

olacak şekilde γ> sayısı varsa ve lim0 _n

n→∞x = x oluyorsa x denge noktası lokal olarak asimptotik kararlıdır denir.

c) Her x ,x_{-1 0}∈ için eğer limI _n

n→∞x = x ise; o zaman x denge noktasına global çekici denir.

d) Eğer x denge noktası kararlı ve global çekici ise x ’e global asimptotik kararlıdır denir.

f) Eğer x ,x_{-1 0}∈ iken I x - x + x - x < r_{0 -1} olacak şekilde bir r > 0 sayısı varsa ve x - x_N ≥r olacak şekilde birN -1≥ sayısı varsa x denge noktasına repeller denir.

Tanım 2.2.3. Eğer

{ }

x_n dizisi için x_{n p+} = ise, x_n

{ }

x_n dizisi p periyotludur denir ve pbu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Tanım 2.2.4. Eğer

{ }

x_n dizisinde sonlu sayıda terim hariç tutulduğunda, geriye kalan sonsuz sayıdaki terim için x_{n p+} = ise, x_n

{ }

x_n dizisine er geç p periyotludur denir ve p bu şartı sağlayan en küçük pozitif tam sayıdır.

Örnek 2.2.1. _{n 1} 1

n

x x

+ = denkleminin periyodunun 2 olduğunu gösterelim. 0,1, 2,... n= için 1 0 1 x x = , _{2 0} 1 1 x x x = = , _{3 1} 2 0 1 1 x x x x = = = , _{4 0} 3 1 1 1 x x x x = = =

olup bu şekilde devam edilirse,

0 0 0 0 1 1 , , , ,... n x x x x x ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ 2 periyotlu olduğu görülür.

Tanım 2.2.5. Herhangi bir fark denkleminin karakterini inceleyebilmek için o denklemin denge noktasındaki kısmi türevleri ile oluşturduğumuz yeni denkleme karakteristik denklem denir. (2.1) denklemi için:

(

)

( )

1 , 1 ,

n n n

x₊ = f x x₋ = f u v olmak üzere oluşturduğumuz

(

)

(

)

1 1 , , 0 n n n f x x f x x z z z u v + − ∂ ∂ − − = ∂ ∂

denklemi (2.1) denkleminin karakteristik denklemidir. ( , ) f x x r u ∂ = ∂ ve ( , ) f x x s v ∂ = ∂

olmak üzere,

1 1

n n n

y ₊ =ry +sy ₋ (2.2) elde edilir. Bu denkleme x denge noktası civarında lineer denklem denir.

(2.2) denkleminin karakteristik denklemi:

2 _{r s 0}

λ − λ− = (2.3) dır.

Teorem 2.2.2.(Lineer Kararlılık Teoremi)

a) Eğer (2.3) denklemininin her iki kökü de mutlak değerce 1’ den küçük ise, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

b) Eğer (2.3) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’den büyük ise, x denge noktası kararsızdır.

c) (2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’ den küçük olması için gerek ve yeter şart r < − <1 s 2 olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

d) (2.3) denkleminin her iki kökünün de mutlak değerce 1’ den büyük olması için gerek ve yeter şartlar s >1 ve r < −1 s olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası repellerdir.

e) (2.3) denkleminin, bir kökünün mutlak değerce 1’den büyük, diğer kökünün mutlak değerce 1’ den küçük olması için gerek ve yeter şartlar _r2_{+4s> ve 0}

1

r > −s olmasıdır. Bu durumda, x denge noktası kararsızdır. (Chatterjee ve arkadaşları,2003).

Benzer şekilde, mertebesi 3 olan fark denklemleri için Teorem 2.2 aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir.

(

)

1 , 1, 2 , 0,1, 2,...

n n n n

x ₊ = f x x₋ x ₋ n= (2.4)

(2.4) denkleminde, f x x( ,_{n n−1},x_n−2) fonksiyonunu ( , , )f u v w şeklinde düşünelim: ( , , ) ( , , ) , f x x x f x x x r s u v ∂ ∂ = = ∂ ∂ ve ( , , ) f x x x t w ∂ = ∂ olmak üzere, 1 1 2 n n n n y ₊ =ry +sy ₋ +ty ₋ (2.5) denklemi elde edilir. Bu denkleme x denge noktası civarında lineer denklem denir.

(2.5) denkleminin karakteristik denklemi: 3 _r 2 _{s t 0}

λ − λ − λ− = (2.6) dır. Teorem 2.2.2 ‘yi (2.6) denkleminden yararlanarak tekrar yazalım.

Teorem 2.2.3.(Lineer Kararlılık Teoremi)

a) Eğer (2.6) denkleminin bütün kökleri mutlak değerce 1’ den küçük ise, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır.

b) Eğer (2.6) denkleminin köklerinden en az biri mutlak değerce 1’ den büyük ise, x denge noktası kararsızdır.

c) (2.6) denkleminin bütün köklerinin mutlak değerce 1’ den küçük olması için gerek ve yeter şartlar r+ < −1 1 s, r−3t < +3 s ve _t2_{− − < olmasıdır. s rt 1} Bu durumda, x denge noktası lokal asimptotik kararlıdır. (Chatterjee ve arkadaşları,2003)

Tanım 2.2.6. x , x_n+1= f x x

(

_n, _n−1

)

, 0,1, 2,...n= …denkleminin bir denge noktası olsun.

Bu denklemin

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ çözümlerinin bir parçası için {x ,x ,...,x_{L L+1 M}} çözümlerinin tamamı x denge noktasından büyük ya da eşit ve x < x_L-1 ve x_{M +1}< x ise {x ,x ,...,x_{L L+1 M}} kümesine pozitif yarı dönme denir

Aynı denklemin

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ çözümlerinin bir parçası için {x ,x ,...,x_{L L+1 M}} çözümlerinin tamamı x denge noktasından küçük ve x_L-1≥ ve x x_{M +1} ≥ ise x {x ,x ,...,x_{L L+1 M}} kümesine negatif yarı dönme denir.

(Burada M ve L değerleri 1L≥ − ve M ≤ ∞ olacak şekilde düşünülmelidir.)

Tanım 2.2.7. x , x_n+1= f x x

(

_n, _n−1

)

, 0,1, 2,...n= denkleminin bir denge noktası olsun. Bu denklemin

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ çözümlerinin pozitif ya da negatif yarı dönmeye sahip olduğunu varsayalım. Eğer bu dönmeyi ters yöne çeviren yani denklemin denge noktasından küçük ya da denklemin denge noktasından büyük veya eşit değere sahip en az bir tane x_N(N -1≥ ) çözümü varsa x_n+1= f x x

(

_n, _n−1

)

, 0,1, 2,...n= denklemine salınımlıdır denir.

Tanım 2.2.8.

{ }

x_{n n}∞₌₋₁. çözümlerinin hepsi birden ne pozitif nede negatif ise, bu çözümlere sıfır civarında salınımlıdır denir. Aksi halde salınımlı değildir.

Tanım 2.2.9.

{

x_n−x

}

dizisi salınımlı ise,

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ çözümüne x denge noktası civarında salınımlıdır denir.

Tanım 2.2.10.

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ dizisinde her n için P x≤ _n ≤ olacak şekilde P ve Q Q pozitif sayıları varsa,

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ dizisine sınırlıdır denir.

Teorem 2.2.4 (Clark Teoremi) p q R, ∈ ve k n, ∈

{

1, 2,....

}

olmak üzere;

1 0

n n n k

x ₊ +px +qx ₋ =

Fark denkleminin lokal asimptotik kararlı olması için gerek ve yeter şart p + q <1 olmasıdır.

2. MAKSİMUMLU VE MİNİMUMLU FARK DENKLEMLERİ

Bir fark denklemi içerisinde maksimum veya minimum içeriyorsa böyle fark denklemlerine maksimumlu veya minumumlu fark denklemleri denir. Örneğin;

1 1 1 max , , n n n A x x x + − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭

{ }

1 1 max _n,1 n n x x x + − = , x_n+1=min

{

x x_n, _n−1

}

, ₁

{ }

1 max _n,1 n n n x x x x + − =

bazı maksimumlu ve minumumlu denklemlerdir.

Bu bölümde fark denklemlerinin özel bir durumu olan maksimumlu ve minimumlu fark denklemlerinin çözümleri ve çözümlerinin periyodikliği araştırılmış, bazı maksimumlu fark denklemleri incelenmiş; teoremler ve lemmalar verilmiştir.

Örnek 3.1. ₁ 1 1 max , , 0,1,.... n n n A x n x x + − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} = ⎩ ⎭ (3.2) maximumlu denklemi 1 2 1 2 max , ,..., p , 0,1,.... n n n n p A A A x n x₋ x ₋ x₋ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎬} = ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ denkleminde 1 1

A = ,A₂ = ve A p= alınarak elde edilmiştir.[12] 2

Teorem 3.1. A∈

(

0,∞

)

ve başlangıç koşulları pozitif olmak üzere (3.2) denklemi aşağıdaki gibi tanımlanan T periyodu ile periyodiktir.

[ ]

25

2, 0 1 3, 1 4, 1 A T A A < < ⎧ ⎪ =_⎨ = ⎪ _> ⎩ İspat. a) 0< <A 1 durumunda, 1) a x₋₁>x₋₂ olsun. Bu durumda,

0 1 2 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 max , 1 max , max , 1 1 1 max , max , A x x x x A A x x x x x x A x Ax x x x x x − − − − − − − − − − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= = ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

devam edildiğinde çözümlerin,

1 2 1 1 1 1 1 1 , , , , , ,... n x x x x x x x − − − − − − ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

şeklinde 2 periyotlu olduğu görülür. 2) a x₋₁<x₋₂ olsun. Bu durumda, 0 1 2 1 1 1 1 0 1 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 max , 1 max , max , 1 1 1 max , max , A x x x x A A x x x x x x A x Ax x x x x x − − − − − − − − − − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= = ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

devam edildiğinde çözümlerin yine

1 2 1 1 1 1 1 1 , , , , , ,... n x x x x x x x − − − − − − ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

şeklinde 2 periyotlu olduğu görülür. b) A= durumunda, 1 1) b x₋₁<x₋₂ olsun. Bu durumda, 0 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 max , 1 1 1 max , max , x x x x x x x x x x − − − − − − − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

2 1 1 1 0 1 3 0 2 1 1 1 1 1 1 1 max , max , 1 1 1 1 1 max , max , x x x x x x x x x x x x x − − − − − − ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= = ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ devam edildiğinde , 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , ,... n x x x x x x x x x − − − − − − − − ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

şeklinde 3 periyotlu olduğu görülür. 2) b x₋₁>x₋₂ olsun. Bu durumda, 0 1 2 2 1 2 2 0 1 1 2 2 2 1 0 2 3 0 2 1 2 2 2 1 1 1 max , 1 1 1 max , max , 1 1 1 max , max , 1 1 1 1 1 max , max , x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − − − − − − − − − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= = ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ devam edildiğinde 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 , , , , , , , ,... n x x x x x x x x x − − − − − − − − ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

şeklinde 2periyotlu olduğu görülür.

c) A> , başlangıç koşulları veya 1 x₋₁>x₋₂ olsun. Bu durumda, 1)

0 1 2 2 2 2 1 0 1 1 2 2 2 1 0 2 3 2 2 2 1 2 4 0 3 2 2 2 2 1 max , 1 max , max , 1 max , max , 1 1 max , max , 1 1 max , max , A A x x x x x x A A x x x A x A A A x x x x x x A x x x x x x A A A x x x x x x x − − − − − − − − − − − − − − − − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= = ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ devam edilirse, 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , , ... n x x A A x x x x x x x x A x A − − − − − − − − − − ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

çözümlerin 4 periyotlu olduğu görülür. 2) c x₋₁>x₋₂ olsun. Bu durmda, 0 1 2 1 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 0 3 1 1 2 1 1 4 3 2 1 1 1 1 1 max , 1 max , max , 1 max , max , 1 1 max , max , 1 1 1 max , max , A x x x x x A A x Ax x x A x x A x Ax Ax x x A A x x x x x Ax A A x x x x Ax x − − − − − − − − − − − − − − − − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ _{⎧ ⎫} = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= = ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ x0 devam edilirse 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , ... n A A x x x Ax x Ax x x x x x − − − − − − − − − − ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

Teorem 3.2. ₁ 1 1 max , n n n n A x x x + − ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭, n=0,1, 2,.... (3.3) başlangıç şartları x₋₁ ve x pozitiftir. Burada ₀

{ }

A_{n n}∞₌₀ pozitif 2 periyotlu periyodik bir dizidir.[9]

Aşağıdaki lemma 3.1, (3.3) denkleminin pozitif çözümlerinin davranışını incelemede önemli bir rol oynar.

Lemma 3.1. A A₀, ₁∈

(

0,∞

)

ve

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ (3.3) denkleminin pozitif çözümü olmak üzere aşağıdaki ifadeler doğrudur.[9]

1) A x_{0 0} ≤x₋₁ verilsin.Bu durumdax x_{0 1}= dir. 1

2) x₋₁<A x_{0 0} ve A A_{0 1}≤x x_{−1 0} verilsin.Bu durumdax x_{1 2} = dir. 1

3) x₋₁<A x_{0 0} , x x_{−1 0} <A A_{0 1} ve A x_{1 −1}≤ verilsin. Bu durumdax₀ x x_{2 3}= dir. 1 4) x₋₁<A x_{0 0}, x x_{−1 0}< A A_{0 1}, x₀ <A x_{1 −1} ve x x_{−1 0} ≤ verilsin. Bu durumda1 x x_{3 4}= 1 5) x₋₁<A x_{0 0}, x x_{−1 0}< A A_{0 1}, x₀ <A x_{1 −1} ve 1 x x< _{−1 0} verilsin. Bu durumda

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ çözümleri 4 periyotludur. İspat. 1) A x_{0 0} ≤x₋₁ verilsin. Bu durumda, 0 1 0 1 0 1 1 max , A x x x₋ x ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ olur. 2) x₋₁<A x_{0 0} ve A A_{0 1}≤x x_{−1 0} olsun. Bu durumda, 0 0 1 0 1 1 1 max , A A x x x₋ x₋ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ve 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 max , A max x ,A x x x x A x A − − ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ olur. 3) x₋₁<A x_{0 0}, x x_{−1 0}< A A_{0 1} veA x_{1 −1}≤ verilsin. Bu durumda, x₀

0 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 1 1 1 1 max , max , 1 max , max , A x x A x A A x x x A x x A x x x x x x A A − − − = ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ olur. 4) x₋₁<A x_{0 0}, x x_{−1 0}< A A_{0 1}, x₀ <A x_{1 −1} ve x x_{−1 0} ≤ verilsin. Bu durumda, 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 3 1 1 2 1 1 1 4 0 3 2 1 1 1 max , max , 1 max , max , 1 1 1 max , max , A x x A x A A x x x A x x A x x x x x x A A x x x x x x − − − − − − = ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ olur. 5) x₋₁<A x_{0 0}, x x_{−1 0}< A A_{0 1}, x₀ <A x_{1 −1} ve 1 x x< _{−1 0} verilsin. Bu durumda

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ çözümleri 4 periyotludur. 0 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 0 0 3 1 1 2 1 1 1 4 0 0 3 2 1 1 1 1 max , max , 1 max , max , 1 1 max , max , A x x A x A x x x x x A x x x x x x A A x x x x x x − − − − − − − = ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ olur. Teorem 3.3. _{1 0} 1 1 , x A A − ⎡ ⎤ ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ve 0 1 1 x x₋

= olsun. Bu durumda

{ }

x_{n n}∞₌₋₁ çözümleri 2 periyotludur.[9]

İspat. ₀ 1 1 x x₋ = olduğundan görülebilir ki 0 0 1 1 1 0 1 1 1 max , A max , A x x x x x₋ − x₋ − ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ve 1 2 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 max ,A max , x A x x x x x₋ − x₋ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= = ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

olarak bulunur. Bu ise istenendir.

Teorem 3.3. ₁

{ }

1 max _n,1 n n n x x x x + − = , n=0,1,...

denkleminin her çözümü periyodiktir ve periyodu 7’dir.[9]

İspat. 1.durum: x₋₁ = ≤ , α 1 x₀ = ≤ olsun. β 1

{ }

{ }

{ }

{ }

{

}

0 1 0 1 1 2 1 0 2 3 2 1 3 4 3 2 max ,1 1 1 max ,1 max ,1 1 1 1 max ,1 max ,1 1 1 1 max ,1 max ,1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x αβ αβ β β αβ β β β αβ αβ α αβ β − = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = = = =

{ }

{ }

{ }

{ }

4 5 4 3 5 6 5 4 6 7 0 6 5 1 max ,1 max ,1 1 1 1 max ,1 max ,1 1 1 max ,1 max ,1 1 x x x x x x x x x x x x x α αβ αβ α αβ _α αβ α α _β α αβ ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = = = = = 2. durum: x₋₁= ≥ , α 1 x₀ = ≤ β 1

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{

}

{ }

{ }

{ }

{ }

0 1 0 1 1 2 1 0 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3 5 6 5 4 6 7 6 5 max ,1 1 1 max ,1 max ,1 1 max ,1 max ,1 1 max ,1 max ,1 1 1 max ,1 max ,1 1 1 1 max ,1 max ,1 1 1 max ,1 max ,1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αβ αβ _α β αβ α αβ α αβ αβ αβα α α β αβ α β _α β α α − = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = = = = = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = = = ₀ 1 β x α β = =

3.durum: x₋₁ = ≤ , α 1 x₀ = ≥ β 1

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{

}

{ }

{ }

{ }

{ }

0 1 0 1 1 2 1 0 2 3 2 1 3 4 3 2 4 5 4 3 5 6 5 4 6 7 6 max ,1 max ,1 1 1 max ,1 max ,1 1 1 1 max ,1 max ,1 1 1 max ,1 max ,1 1 max ,1 max ,1 1 1 max ,1 max ,1 1 max ,1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x β αβ α α β β α β _αβ β α αβ β αβ β β βαβ αβ αβ _α β αβ − = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = = = = = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = =

{ }

₀ 5 max ,1 1 x α β α αβ = = = 4.durum: x₋₁ = ≥ , α 1 x₀ = ≥ β 1

{ }

{ }

{ }

{ }

0 1 0 1 1 2 1 0 2 3 2 1 max ,1 max ,1 1 1 max ,1 max ,1 1 max ,1 max ,1 1 x x x x x x x x x x x x β αβ α α α β β α α β _α α β α − = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = =

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

{ }

3 4 3 2 4 5 4 3 5 6 5 4 6 7 0 6 5 max ,1 max ,1 max ,1 max ,1 1 1 max ,1 max ,1 1 max ,1 max ,1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x α β α α α β β α β_{α β} α β _α β β α α β α β = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ = = = = = = =

4. ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + n n n x A x

x ₁ max 1 ,min 1, FARK DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİ

Bu bölümde A parametresi herhangi bir reel sayı ve x başlangıç şartı ₀ sıfırdan farklı reel sayı olmak üzere,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = + n n n x A x x ₁ max 1 ,min 1, , n∈N₀ (4.1) maksimumlu fark denklemi tanımlanmış ve A∈ , ve R x başlangıç koşulunun ₀ durumlarına göre çözümleri incelenmiştir. Eğer A=0 ise (4.1) denklemi

n n n x x x ₁ max 1 ,0 = 1 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

+ olur. Bu durumda ise denklemin çözümleri

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 ,.... 0 0 0 0 x x x x x_n

olur. Görüldüğü gibi bu çözümler 2 periyotludur ve x₀ >0 için pozitif, x₀ <0 için negatif çözümler mevcuttur. Şimdi (4.1) denkleminin çözümlerini A , x ’ın ₀ durumlarına göre inceleyelim.

4.1. A>0 durumu

Bu bölümde (4.1) denkleminin A>0 durumunda çözümleri incelenmiştir.

Lemma 4.1.1. Eğer A∈ ,

[

1∞

)

, x₀∈

( )

0,1 , ∀n∈N₀ ise 1 0 1 n A x− _{< , 1} 0 ≥ x An _için, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = _, 1 _{, ,} 1 _,...., − _{, −}1 _,1,1,1,.... 0 1 0 1 0 0 0 0 x A x A Ax Ax x x x n _n n

olur. Bu durumda er geç sabit çözüm elde edilir.Ayrıca _An−1_{x0 <}1_{, 1} 0 < x An _için, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 ,...., , 1 ,.... 0 0 0 0 0 0 x A x A Ax Ax x x x n _n n

olur.

İspat. Eğer A∈ ,

( )

1∞ ,x₀∈

( )

0,1 ise,

0 0 0 0 1 1 1 , 1 max , 1 min , 1 max x x x A x x = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =

{

}

{

0 0

}

2 max x ,min1,Ax x =

olur. Bu durumda ise iki durum söz konusudur, 1) Eğer A∈ ,

( )

1∞ ,x₀∈

( )

0,1 ,Ax₀ ≥1 ise

{ }

{ }

{

}

1 0 0 0 0 2 0 1 1 3 2 2 1 1 1

max , min 1, max ,1 1

max , min 1, max ,1 1 1

max , min 1, max 1, min 1, 1

A x x x x x A x x x x A x A x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= = ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= = ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭

olur. n>3 için iterasyona devam edilirse denklemin çözümleri,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 ,1,1,... 0 0 x x x_n

olarak elde edilir.

2) Eğer A∈ ,

( )

1∞ ,x₀∈

( )

0,1 ,Ax₀ < ise, 1

{

}

1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 3 2 2 0 0 0 4 3 3 1 1 1

max , min 1, max ,1

1

max , min 1, max ,

1 1 1

max , min 1, max , min 1, 1 max , min 1, A x x x x x A x x Ax Ax x x A A x x x Ax Ax Ax A x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= = ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬} ⎩ ⎭

{

{

}

}

2 0 0 max Ax , min 1,A x ⎫ ⎪ _{⎪ =} ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

bulunur. Bu durumda ise iki farklı durum ortaya çıkar. ) (i Eğer A∈ ,

( )

1∞ ,x₀ ∈

( )

0,1 ,Ax₀ <1 ,_A2_{x0 ≥}1 _ise 0 1 1 x x = , x₂ = Ax₀, 0 3 1 Ax

x = ,x₄ = Ax₀ , x₅ =1 olur.n>6 için iterasyonla devam edilirse denklemin çözümleri, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 , ₀,1,1,1,.... 0 0 0 0 Ax Ax Ax x x x_n

olarak elde edilir. )

(ii Eğer A∈ ,

( )

1∞ ,x₀∈

( )

0,1 ,Ax₀ <1 ,_A2_{x0 <}1 _ise

0 1 1 x x = , x₂ = Ax₀, 0 3 1 Ax x = , 2 ₀ 4 A x x = , 0 2 5 1 x A x = olur. Buradan

{

{

3 ₀

}

}

0 2 6 max A x ,min1,A x x = olur.

Bu durumda ise çözümler; Eğer Ax₀ ≥1 ise,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 ,1,1,.... 0 0 x x x_n Eğer Ax₀ ≤ ,1 _A2_{x0 ≥}1 _ise, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 , ₀,1,1,1,.... 0 0 0 0 Ax Ax Ax x x x_n Eğer Ax₀ ≤ ,1 2 0 1 A x ≤ ,_A3_{x0 ≥}1 _ise, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 , , , 1 ,1,1,... 0 2 0 2 0 0 0 0 0 x A x A Ax Ax Ax x x x_n Eğer Ax₀ ≤ , 1 2 0 1 A x ≤ , 3 0 1 A x ≤ , 1_A4_{x0 ≥ ise} ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 , , , 1 ,, , 1 ,1,1,1... 0 3 0 3 0 2 0 2 0 0 0 0 0 x A x A x A x A Ax Ax Ax x x x_n Eğer, Ax₀ ≤ , 1 2 0 1 A x ≤ , 3 0 1 A x ≤ , 4 0 1 A x ≤ , 1_A5_{x0 ≥ ise,} ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 , , , 1 ,, , 1 , , 1 ,1,1... 0 4 0 4 0 3 0 3 0 2 0 2 0 0 0 0 0 x A x A x A x A x A x A Ax Ax Ax x x x_n

olarak elde edilir. Yukarıdaki işlemlerden de görüldüğü gibi çözümleri en genel formda yazacak olursak ∀n∈N₀ için,

Eğer 1 0 1 n A x− _{< , 1} 0 ≥ x An _ise, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = _, 1 _{, ,} 1 _{, ,} 1 _,...., − _, 1_{− ,1,1,1,....} 0 1 0 1 0 2 0 2 0 0 0 0 x A x A x A x A Ax Ax x x x n _n n Eğer 1 0 1 n A x− < , Anx₀ <1 _ise, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = _, 1 _{, ,} 1 _{, ,} 1 _,...., − _, 1_{− ,1,1,1,....} 0 1 0 1 0 2 0 2 0 0 0 0 x A x A x A x A Ax Ax x x x n _n n elde edilir. Lemma 4.1.2. Eğer A∈ ,

[

1∞

)

, x₀∈ ∞

( )

1, , Ak _<x_0, 0 N k∈ ise ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + = = = 1 2 , 2 , 0 0 k n x A k n A x x _k k n dır. İspat. Eğer A∈ ,

[

1∞

)

, x₀∈ ,

[

1∞

)

, Ak _< x_0, 0 N k∈ ise

{ }

1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 2 2 3 2 2 0 0 0 1 1

max , min 1, max , 1

max , min 1, max , min 1, 1

max , min 1, max , min 1,

A A A x x x x x x x x A x x x x A A A A A A x x x x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

olur.n>3 için iterasyona devam edilirse,

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + = = = 1 2 , 2 , 0 0 k n x A k n A x x _k k n

elde edilir. Eğer aynı zamanda _Ak+1 _{≥x0 ise çözümler sabit olup =1}

n

Teorem 4.1.1. (4.1) denklemi verilsin. Bu durumda a) Eğer A∈

( )

0,1 ,x₀∈

(

0,1

]

ise ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 ,.... 0 0 0 0 x x x x x_n dır. b) Eğer A∈ ,

[

1∞

)

,x₀ <0 ise, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 ,.... 0 0 0 0 x x x x x_n dır. c) Eğer 1A= ,x₀∈

( )

0,1 ise, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 ,.... 0 0 0 0 x x x x x_n dır. d) Eğer A∈

( )

0,1 ,x₀ <0 ise, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , , , ,.... 0 0 0 0 x A x x A x x_n dır.

e) Eğer A∈ ,

[

1∞

)

,x₀∈ ,

[

1∞

)

, A≥x₀, ise x_n =1, n=1, 2,... dir. İspat. a) Eğer A∈

( )

0,1 ,x₀∈

(

0,1

]

ise

{ }

1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 3 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1

max , min 1, max ,1 1

max , min 1, max , min 1,

1 1 1 1

max min 1, max min 1, max ,

A x x x x x x A x x x x x A A A A x x x x x x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ,

elde edilir.n>3 için iterasyona devam edilirse denklemin bütün çözümleri, ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 ,.... 0 0 0 0 x x x x x_n

şeklindedir. Bu çözümler ise pozitif olup, 2 periyotludur.

b) Eğer A∈ ,

[

1∞

)

,x₀ <0 ise,

{ }

1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 3 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1

max , min 1, max ,1 1

max , min 1, max , min 1,

1 1 1 1

max min 1, max min 1, max ,

A x x x x x x A x x x x x A A A A x x x x x x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

elde edilir.n>3 için iterasyona devam edilirse denklemin bütün çözümleri,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 ,.... 0 0 0 0 x x x x x_n

olur. Bu çözümler 2 periyotludur. c) Eğer A=1,x₀∈

( )

0,1 ise,

{ }

1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 3 2 2 0 0 0 0 0 1 1 1

max , min 1, max ,1 1

max , min 1, max , min 1,

1 1 1 1

max min 1, max min 1, max ,

A x x x x x x A x x x x x A A A A x x x x x x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

elde edilir. İterasyona devam edilirse,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 ,.... 0 0 0 0 x x x x x_n

d) Eğer A∈

( )

0,1 , 0x₀ < ise,

{ }

1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 3 2 2 0 0 0 0 0 1 1

max , min 1, max , 1

max , min 1, max , min 1,

1 1 1

max , min 1, max , min 1, max ,

A A A x x x x x x x A x x x x x A A A A A x x x x x x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

elde edilir. n>3 için iterasyona devam edilirse deklemin bütün çözümleri,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , , , ,.... 0 0 0 0 x A x x A x x_n

şeklinde olup bu çözümler 2 periyotludur.

e) Eğer A∈ ,

[

1∞

)

, x₀ ∈ ,

[

1∞

)

, A≥ x₀, ise 1 0 0 0 2 1 1 1 1

max , min 1, max ,1 1

1 1

max , min 1, max , min 1, 1

1 1 A x x x x A A x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= ⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

olur. İterasyona devam edilirse çözümler,

{

0,1,1,1...

}

n

x = x

elde edilir. Böylece x_n =1 olduğu görülür.

4.2. A<0 durumu

Teorem 4.2.1. (4.1) denklemi verilsin. Bu durumda

b) Eğer 0x₀ < , A> ise x₀ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , , , , 0 ,.... 0 0 0 0 A x x A A x x A x x_n dir. c) Eğer x₀∈ ,

( )

0 ∞ ise ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 ,.... 0 0 0 0 x x x x x_n dir. İspat. a) Eğer 0x₀ < , A≤x₀ ise

{ }

{

}

{ }

1 0 0 0 2 1 1 3 2 2 1 1

max , min 1, max ,1 1

1 1

max , min 1, max , min 1, max 1, min 1, 1

1 1

1 1

max , min 1, max , min 1, max 1, 1

1 1 A x x x x A A x A x x A A x A x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= = ⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= = ⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

elde edilir. n>3 için iterasyona devam edilirse denklemin çözümleri,

{

0,1,1,1...

}

n x = x şeklindedir. b) Eğer 0x₀ < , A> ise x₀

{ }

1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 2 3 2 2 0 0 1 1

max , min 1, max , 1

max , min 1, max , min 1, max , 1

max , min 1, max , min 1, ma

A A A x x x x x x x x x A x x x x x A A A A A A x x x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 2 0 0 0 x A A, A x x x ⎧ ⎫ = ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

elde edilir. n>3 için iterasyona devam edilirse denklemin çözümleri,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , , , , 0 ,.... 0 0 0 0 A x x A A x x A x x_n

c) Eğer x₀∈ ,

( )

0 ∞ ise

{

}

{

}

{

}

1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1 3 2 2 0 0 0 0 1 1 1

max , min 1, max , 1

max , min 1, max , min 1, max ,

1 1 1

max , min 1, max , min 1, max ,

A A x x x x x x A x x Ax x Ax x x x A A A x x x x x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬}= ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= = = ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎨ ⎬⎬}= _{⎨ ⎬} ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 0 1 x =

elde edilir. n>3 için iterasyona devam edilirse denklemin çözümleri,

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = , 1 , , 1 ,.... 0 0 0 0 x x x x x_n

şeklindedir ve çözümler 2 periyotludur.

Lemma 4.1.3. (4.1) denkleminin denge noktası x=1’dir.

İspat. Denge noktası tanımından, 1 max , min 1,A x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬} ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ dır. Burada, 1) A 1 x < için 1 max , min 1,A x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬} ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 1 max ,A x x x ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭ i) 1 A x > x olarak düşünüldüğünde, 1 x= olur. ii) 1 A x < x durumunda ise,

x= A olur. Fakat bu durumda A> dir. Ayrıca 1 A>1 ve 1 1 A < olur. Gerçekten; 1 max , min 1,A x x x ⎧ ⎧ ⎫⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬} ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

{ }

1 max , min 1, 1 max , min 1, 1 max ,1 1 A A A A A A A ⎧ ⎧ ⎫⎫ = _{⎨ ⎨ ⎬⎬} ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭ =

olduğu görülür. Görüldüğü gibi eğer denge noktası x= A ise A=1 olur. 2) A 1 x > ise 1 max ,1 x x ⎧ ⎫ = _{⎨ ⎬} ⎩ ⎭ i) 1 1 x > kabul edilirse; 1 x x = 1 x= olur. ii) 1 1 x ≤ kabul edilirse; 1 x=

olur. Buradan (4.1) denkleminin denge noktasının x=1 olduğu görülür.

Teorem.4.2.2. A∈ ∞

[

1,

)

, x₀∈ ∞

[

1,

)

, _An _<x0, _n=0,1, 2,... _{olduğunda (4.1)} denkleminin çözümleri 1 uzunluklu yarı döngüye sahiptir.