İki Örneklem Problemi İçin Yeni Bir Test İstatistiği ve Gücünün Diğer Testlerle Karşılaştırılması

(1)

İki Örneklem Problemi İçin Yeni Bir Test İstatistiği ve Gücünün

Diğer Testlerle Karşılaştırılması

Mehmet Fedai KAYA

1_,

_{Coşkun KUŞ}

1

Özet: Bu çalışmada, sürekli dağılımlar ailesi için dağılımdan bağımsız yeni bir istatistik

önerilmiş, bu istatistiğin kesin dağılımı, için bilgisayar programı kullanılarak uygun durumların sayılmasıyla, ve için amprik dağılımı Monte Carlo simulasyon yöntemiyle elde edilmiştir. Testin gücü Monte Carlo simulasyon yöntemi kullanılarak Kolmogorov-Smirnov, Mann- Whitney Wilcoxon ve İşaret testlerinin gücü ile karşılaştırılmıştır. 20 ≤ n n 25 = n =50

Anahtar Kelimeler: Dağılımdan bağımsız istatistik, İki Örneklem Problemi, Monte Carlo

simülasyon

A New Test Statistics For Two Sample Problem and Comparison

of Power of the Test with Other Tests Via Simulation

Abstract: In this study, a new test statistic for two sample problem is proposed, exact

distribution of new test statistic is obtained for using computer programming via count of suiatble situaition and emprical distribution of new test statistic is obtained for and using Monte Carlo simulation procedure. Power of the new test are compared with power of the Kolmogorov-Smirnov, Mann-Whitney Wilcoxon and Sign Tests using Monte Carlo procedure.

20 ≤ n 25 = n n=50

Keywords: Distribution free test statistics ,two sample problem, Monte Carlo Simulation

Giriş

n

m Y Y Y

X X

X1, 2,..., ve 1, 2,..., sırasıyla sürekli dağılım fonksiyonlarına sahip iki örneklem olmak üzere

G F ve , hipotezinin R x x G x F H0: ( )= ( ),∀ ∈

(

F x G x F x G x

)

x R x G x F H₁: ( )≠ ( ) veya ( )> ( ) veya ( )< ( ),∃ ∈

alternatif hipotezine karşı test edilmesi problemine iki örneklem problemi denir.

(2)

Burada gösterimi anlamındadır ve Y rasgele değişkeni stokastik olarak ) ( ) (x G x F > P

{

X ≤x

} {

>PY≤x

}

X

rasgele değişkeninden daha büyüktür denir.

İki örneklem problemi ile ilgili [1], [2], [4], [5], [6], [7] ve [8] gibi bir çok makale yayınlanmıştır. Literatürdeki testlerin çoğu Wilks’in boş bloklar veya Kolmogorov-Smirnov testlerinin bir modifikasyonudur. Daha ayrıntılı bilgi için [3]’e bakınız.

Yeni Test İstatistiği

n n Y Y Y X X X₁, ₂,..., ve ₁, ₂,..., (n) ) ( ) ( ,X ,...,X X ₁ ₂ ∞ = −∞ = ( +1) ) 0 ( , X n X

sırasıyla sürekli dağılım fonksiyonlarına sahip bağımsız iki örneklem ve ve bu örneklemlerden oluşturulan sıra istatistikleri

olsun. ve G F ve (n) ) ( ) ( ,Y ,...,Y Y₁ ₂

(

( −1), (+1)

)

= X r X r ∆r , r=1,2,...,n olmak üzere     ∆ ∉ ∆ ∈ = r r r r r _Y Y ) ( ) ( , 0 , 1 ξ ve

∑

= = n r r n S 1 ξ olsun. n

S rasgele değişkeninin sıfır değerini alması olasılığı sıfırdır.

(

Sn =0

)

=P

(

Y( )1 ∉∆1,Y( )2 ∉∆2,...,Y( )n ∉∆n

)

=0

P olduğu aşağıdaki gibi gösterilebilir.

(1 X X_{( )}₂ X₍₃ X_{( )}₄ X_{( )}_n₋₁ X_{( )}_n 1 ∆ ∆3 ∆n ₎ ₎

Şekil 1. Y₍₁₎,Y₍₂₎,...,Y_(n) rasgele değişkenlerinin düşebileceği bölgeler

( )n , Y( )n <X( )n−1

Y olacak biçimde 1,2,...,n−1’inci yere düşebilir,

( )n Y( )n X(n

Y −1, −1 < ) olacak biçimde 1,2,...,n−2’inci yere düşebilir, Μ

( )2 , Y( )2 X( )3

Y < olacak biçimde 1’inci yere düşebilir ve

(1

Y ₎’e düşecek yer kalmadığından ,

{

Y_{( )}₁ ∉∆₁,Y_{( )}₂ ∉∆₂,...,Y_{( )}_n ∉∆_n

}

olayı hiçbir için gerçeklenmez. Dolayısıyla ’dır.

n

(

Sn =0

)

=0

P

istatistiğinin belli bir değeri alması rasgele değişkenlerinin (sıra istatistiklerinin) aralıklarına belli biçimde düşmesi sonucu olur. Bu düşmeler sonucunda ve rasgele değişkenlerinin kendi aralarında bir sıralanmaları söz konusu olur ve bu sıralanmalar n S ,..., (n) ) ( ) ( ,X ,...,X X ₁ ₂ r ∆

( )

i X n i Y_i , =1

( )

_!2

2n! n kadardır. Her bir sıralanma diğerinden ayrık ve bileşkeleri tüm mümkün durumları verdiğinden bu sıralanmaların olasılıkları toplamı 1’dir. Diğer taraftan X ’ler ve Y ’ler aynı dağılımdan geldiğinden her bir sıralanma eşit olasılıklı ve aşağıdaki gibidir.

( )

2 ! ! ! ! 2 1 2 2 n n n n = 3 =

n için S_n istatistiğinin kesin dağılımını bulalım. P

(

S3=0

)

=0

(3)

(

)

(

( ) ( ) ( )

)

(

( ) ( ) ( )

)

( ) ( ) ( )

(

1 1 2 2 3 3

)

3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 , , , , , , 1 ∆ ∈ ∆ ∉ ∆ ∉ + ∆ ∉ ∆ ∈ ∆ ∉ + ∆ ∉ ∆ ∉ ∆ ∈ = = Y Y Y P Y Y Y P Y Y Y P S P

{

} {

}

{ }

{

(2) (1) (3) (2) (3)

} {

(3) (1) (2) (3) ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( Y Y Y X P Y Y X Y X P P X Y X Y Y P X Y Y Y P ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ + + ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ = φ

}

[

]

[

]

[

]

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− ∞− ∞ ∞ − ∞− ∞− ∞− ∞ ∞ − ∞− ∞− ∞ ∞ ∞ − ∞− ∞− ∞ + + − + − = 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 1 3 3 2 1 3 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 3 2 2 3 2 1 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 1 3 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ! 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ! 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ! 3 ! 3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 3 ! 3 y y y y y y y y y y y y y y y y dy dy dy dx y f y f y f x f x F dy dy dy dx dx y f y f y f x f x f x F dy dy dy dx dx y f y f y f x f x f x F dy dy dy dx y f y f y f x f x F 20 4 20 1 20 1 20 1 20 1 = + + + =

(

)

(

( ) ( ) ( )

)

(

( ) ( ) ( )

)

( ) ( ) ( )

(

1 1 2 2 3 3

)

3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 3 , , , , , , 2 ∆ ∈ ∆ ∈ ∆ ∉ + ∆ ∈ ∆ ∉ ∆ ∈ + ∆ ∉ ∆ ∈ ∆ ∈ = = Y Y Y P Y Y Y P Y Y Y P S P

{

} {

}

{

} {

}

{

} {

}

{

(2) (1) (2) (3) (3)

} {

(2) (1) (2) (3) (3) ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( Y X Y Y X P X Y Y Y X P Y X X Y X P Y X X X Y P Y X X X Y P X Y X X Y P X Y Y Y X P X Y Y X Y P ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ =

}

[

]

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− ∞ − = 3 2 2 1 3 3 2 1 1 2 3 2 1 2 1 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ! 3 ! 3 y y y y y dy dy dy dx dx y f y f y f x f x f x F

[

−

]

+ +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞ 3 3 2 3 1 3 3 2 1 2 3 3 2 3 2 1 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ! 3 ! 3 y y y y x y dy dy dx dx dx y f y f x f x f x f y F

[

−

]

+ +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− 3 3 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 3 2 3 2 1 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ! 3 ! 3 y y y y x y x dy dy dx dx dx y f y f x f x f x f y F

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

[

]

∞ ∞ − ∞− − + 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 3 2 1 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ! 3 ! 3 y y y y x y x dy dy dx dx dx y f y f x f x f x f y F

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

[

]

∞ ∞ − ∞− ∞− − + 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 3 2 1 3 2 1 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ! 3 y y y y y x dy dy dx dx dx y f y f x f x f x f y F

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− ∞− ∞ + 3 2 1 3 3 2 1 1 2 3 2 1 2 1 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 y y y y dy dy dy dx dx y f y f y f x f x f x F

(4)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− ∞− + 3 2 1 3 2 3 2 1 1 2 3 2 1 2 1 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 y y y y y dy dy dy dx dx y f y f y f x f x f x F 20 8 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 = + + + + + + + =

(

S3=3

)

=PY( )1 ∈∆1,Y( )2 ∈∆2,Y( )3 ∈∆3

)

P

{

} {

}

{

} {

}

{

} {

}

{

(1) (1) (2) (2) (3) (3)

} {

(1) (1) (2) (2) (3) (3)

}

) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( Y X Y X Y X P X Y Y X Y X P Y X X Y Y X P X Y X Y Y X P Y X Y X X Y P X Y Y X X Y P Y X X Y X Y P X Y X Y X Y P ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− ∞ = 3 2 2 1 3 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ! 3 y y y y y y y dy dy dy dx dx dx y f y f y f x f x f x f

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− + 3 2 2 1 3 2 3 2 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ! 3 y y y y y y y x dy dy dy dx dx dx y f y f y f x f x f x f

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− ∞ + 3 2 2 1 2 1 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ! 3 y y y y y x y dy dy dy dx dx dx y f y f y f x f x f x f

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− + 3 2 2 1 2 1 3 2 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ! 3 y y y y y x y y dy dy dy dx dx dx y f y f y f x f x f x f +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− ∞− ∞ 3 2 1 3 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ! 3 y y y y y y dy dy dy dx dx dx y f y f y f x f x f x f

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− ∞− + 3 2 1 3 2 3 2 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ! 3 y y y y y y x dy dy dy dx dx dx y f y f y f x f x f x f

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− ∞− ∞ + 3 2 1 2 1 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ! 3 y y y y y y dy dy dy dx dx dx y f y f y f x f x f x f

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∞ ∞ − ∞− ∞− ∞− + 3 2 1 2 1 3 2 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ! 3 ! 3 y y y y y y y dy dy dy dx dx dx y f y f y f x f x f x f 20 8 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₊ ₌ =

Diğer değerleri için istatistiğinin dağılımı yukarıdaki izlenen yöntemle elde edilebilir. durumunda istatistiğinin dağılımını hesaplamada çıkan zorluklar n durumunda artacağından Borland 5 C++ dilinde yazılmış bilgisayar program yardımıyla mümkün durumların saydırılması ile istatistiğinin dağılımı, ve için elde edilmiş, ve için de Monte Carlo simulasyon yöntemiyle 100000 deneme sonucunda tahmin edilmiştir. istatistiğinin dağılımı Tablo 1,2,3 ve 4’te verilmiştir.

n S_n 3 = n Sn >3 25 = n n S n S n=12,Κ,15 20 50

(5)

Teorem 1.

{

Y(r)∈∆r

} {

=P X(r−1) <Y(r) <X(r+1)

}

P

∑

− = + − − + − − = r r t t nB t r n t r C r n r n 1 ) 1 2 , ( )! ( )! 1 ( ! İspat. ( ) ( ) ( )

{

X r Yr X r

}

P

{

X( )r Y( )r

}

P

{

X( )r Y( )r

}

P −1 < < +1 = −1 < − +1 <

( ) ( )

y f ydy F

( ) ( )

y f ydy F_r _r

∫

_r _r

∫

∞ ∞ − + ∞ ∞ − − − = 1 1

( )

(

( )

)

( )

F

( )

y

(

F

( )

y

)

f

(

ydy t n dy y f y F y F t n r n r t t n t r n r t t n t

∫ ∑

∞ ∞ − = + − ∞ ∞ − = − − ₋       − −       = 1 1 1 1

)

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

( )

∑ ∫

− = ∞ ∞ − − − − ₋ ₋ − − − = n r t r n r t n t _y _F _y _F _y _F _y _f _y_dy F r n r n 1 1 ₁ 1 )! ( )! 1 ( !

∑ ∫

( )

(

( )

)

( )

(

( )

)

(

+ = ∞ ∞ − − − − ₋ − − − − n r t r n r t n t _y _F _y _F _y _F _y _f _y_dy F r n r n 1 1 ₁ 1 )! ( )! 1 ( !

₎

(

)

u

(

u

)

du r n r n du u u r n r n n r t t r n t r n r t t r n t r

∑

+ = − − − + − = − − − + ₋ − − − − − − = 1 2 1 1 2 1 ₁ )! ( )! 1 ( ! 1 )! ( )! 1 ( !

(

)

_∑

(

)

∑

+ = − = + − − + − − − + − − + − − = n r t n r t r t n t r B r n r n r t n t r B r n r n 1 1 1 2 , )! ( )! 1 ( ! 1 2 , )! ( )! 1 ( !

∑

− = + − − + − − = r r t t nB r t n t r C r n r n 1 ) 1 2 , ( )! ( )! 1 ( ! Teorem 2. P

{

Y₍_r₎∈∆_r

}

=P

{

Y₍_n−_r+₁₎∈∆_n−_r+₁

}

, r=1,...,n İspat.

{

}

_∑

− = + − − + − − = ∆ ∈ r r t t n r r _r n_n _r C B t r n t r Y P 1 ) ( ₍ ₁_)!₍! _)! ( ,2 1)

(

) ( )

! 1!

[

(2 1,2 2 2) (2 ,2 2 1)

]

! 1 ₋ ₋ ₊ ₊ ₋ ₊ − − = _C −_B _r _n _r _C _B _r _n _r r r n n r n r n

( ) (

)

[

(2 2 1,2 ) (2 2 2,2 −1)

]

! ! 1 ! ₋ ₊ ₊ 1 ₋ ₊ − − = _C − _B _n _r _r _C − +_B _n _r _r r n r n n r n r n n

∑

− + − = + − + − + − − = 1 ( 1, ) )! 1 ( )! ( ! n r r n t t nBt n r n t r C r r n n

}

{

Y(n−(r−1))∈∆n−(r−1) P =

(6)

Mehmet Fedai KAY A- Co şkun KU kesin olas ılı klar ı

{}

15, ,2, 1 , Κ = = n s S P n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 2 6 4 20 4 20 8 20 8 70 10 70 20 70 24 70 16 252 28 252 56 252 72 252 64 252 32 924 84 924 168 924 224 924 224 924 160 924 64 3432 264 3432 528 3432 720 3432 768 3432 640 3432 384 3432 128 12870 858 12870 1716 12870 2376 12870 2640 12870 2400 12870 1728 12870 896 12870 256 48620 2860 48620 5720 48620 8008 48620 9152 48620 8800 48620 7040 48620 4480 48620 2048 48620 512 184756 9724 184756 19448 184756 27456 184756 32032 184756 32032 184756 27456 184756 19712 184756 11264 184756 4608 184756 1024 705432 33592 705432 67184 705432 95472 705432 113152 705432 116480 705432 104832 705432 81536 705432 53248 705432 27648 705432 10240 705432 2048 2704156 117572 2704156 235144 2704156 335920 2704156 403104 2704156 424320 2704156 396032 2704156 326144 2704156 232960 2704156 139776 2704156 66560 2704156 22528 2704156 4096 10400600 416024 10400600 832048 10400600 1193808 10400600 1447040 10400600 1550400 10400600 1488384 10400600 1279488 10400600 974848 10400600 645120 10400600 358400 10400600 157696 10400600 49152 10400600 8192 40116600 1485800 40116600 2971600 40116600 4279104 40116600 5230016 40116600 5684800 40116600 5581440 40116600 4961280 40116600 3969024 40116600 2820096 40116600 1740800 40116600 901120 40116600 368640 40116600 106496 40116600 16384 155117520 5348880 155117520 10697760 155117520 19018240 155117520 20920064 155117520 20920064 155117520 19100928 155117520 15876096 155117520 11907072 155117520 7938048 155117520 4595712 155117520 2228224 155117520 851968 155117520 229376 155117520 32768 155117520 15452320

(7)

Tablo 2. P

{

S20 =s

}

kesin olasılıkları s P

{

S₂₀=s

}

s P

{

S₂₀=s

}

s P

{

S₂₀=s

}

s P

{

S₂₀=s

}

1 20 1378465288 3534526380 6 20 1378465288 0 1572113664 11 20 1378465288 7779932160 16 20 1378465288 464257024 2 20 1378465288 7069052760 7 20 1378465288 0 1556233728 12 20 1378465288 5456056320 17 20 1378465288 171573248 3 20 1378465288 0 1031699592 8 20 1378465288 0 1445074176 13 20 1378465288 3502653440 18 20 1378465288 49545216 4 20 1378465288 0 1299177264 9 20 1378465288 0 1258612992 14 20 1378465288 2031124480 19 20 1378465288 9961472 5 20 1378465288 0 1484774016 10 20 1378465288 0 1025536512 15 20 1378465288 1044578304 20 20 1378465288 1048576

Tablo 3. n=25 için S_n test istatistiğinin olasılık dağılımının tahmini

s P

{

S₂₅=s

}

s P

{

S₂₅=s

}

s P

{

S₂₅=s

}

s P

{

S₂₅=s

}

1 0.020263 8 0.098635 15 0.020240 22 0.000084 2 0.040590 9 0.091746 16 0.012782 23 0.000019 3 0.060085 10 0.081389 17 0.007507 24 0.000003 4 0.076361 11 0.068927 18 0.003945 25 0.000000 5 0.088975 12 0.055612 19 0.001848 6 0.097240 13 0.042098 20 0.000803 7 0.100399 14 0.030177 21 0.000272

Tablo 4. n=50 için S_n test istatistiğinin olasılık dağılımının tahmini

s P

{

S₅₀ =s

}

s P

{

S₅₀ =s

}

s P

{

S₅₀ =s

}

s P

{

S₅₀ =s

}

1 0.010270 14 0.056840 27 0.003150 40 0.000000 2 0.019470 15 0.051210 28 0.002040 41 0.000000 3 0.029900 16 0.045190 29 0.001050 42 0.000000 4 0.039970 17 0.039940 30 0.000790 43 0.000000 5 0.047470 18 0.033160 31 0.000390 44 0.000000 6 0.055310 19 0.028420 32 0.000210 45 0.000000 7 0.059770 20 0.022690 33 0.000080 46 0.000000 8 0.062490 21 0.019270 34 0.000070 47 0.000000 9 0.067270 22 0.014780 35 0.000040 48 0.000000 10 0.067930 23 0.010290 36 0.000010 49 0.000000 11 0.067780 24 0.008040 37 0.000000 50 0.000000 12 0.064020 25 0.005780 38 0.000000 13 0.061060 26 0.003850 39 0.000000

(8)

Mehmet Fedai KAY A- Co şkun KU . hipotezini hipotezine kar şı G F H = : 0 G F H ≠ : 1 1. 0 = α anlam seviy

esinde test etme probleminde

, Mann-W hitney , Kolmogorov-Smirnov ve İş aret T estlerinin farkl

ı durumlardaki güçlerinin 10000 deneme y

ap

ılarak elde edilen tahminleri

n S Da ğı lımlar Te st le r () ()1,₀ ~ 1, 0 ~ U Y U X () 2. 1, 2. ~ )1, 0( ~ U Y U X ( ) ()1 ~ 1, 0 ~ Üstel Y U X () )2( ~ 1, 0 ~ Üstel Y U X () ()2 ~ 1 ~ Üstel Y Üstel X () ()1,1 ~ 1, 0 ~ N Y N X () ()4,0 ~ 1, 0 ~ N Y N X () ()9,₀ ~ 1, 0 ~ N Y N X () ()4,5. ~ 1, 0 ~ N Y N X S T esti .1 01 2 .7 59 8 .3 28 2 .7 25 8 .5 38 4 .8 94 5 .3 65 6 .6 34 6 .4 02 Mann- _Whitney .1 00 6 .7 34 2 .4 97 8 .9 77 4 .6 74 1 .9 60 3 .1 11 6 .1 22 8 .3 01 4 Kolmogorov- Smirnov .0 98 8 .5 70 6 .7 41 6 .9 97 7 .5 99 8 .9 17 2 .3 46 .6 80 2 .5 23 8 İş aret T esti .1 00 4 .5 68 .3 78 3 .9 24 8 .5 07 .8 66 5 .1 00 8 .0 97 9 .2 32 4 S T esti .0 98 8 .9 41 3 .4 06 2 .8 54 7 .7 65 2 .9 88 6 .6 44 6 .8 65 2 .6 42 6 Mann- _Whitney .1 07 4 .9 45 0 .7 39 6 1 .8 99 7 1 .1 18 0 .1 24 3 .4 64 Kolmogorov- Smirnov .0 99 .8 66 .9 84 6 1 .8 45 6 .9 96 6 .6 29 3 .9 75 3 .8 39 6 İş aret T esti .1 02 3 .8 23 4 .5 91 7 .9 96 6 .7 72 .9 87 5 .0 94 8 .1 04 1 .3 45 1

(9)

Sonuç

n

X X

X₁, ₂,..., ∼F ve ∼G bağımsız iki örneklem olmak üzere, bu çalışmada

hipotezini hipotezine karşı test etmek için Kolmogorov-Smirnov, Mann Whitney-Wilcoxon ve İşaret testine alternatif yeni test istatistiği önerildi. Yeni istatistiğin gücü, yukarıda adı geçen testlerin güçleriyle Monte Carlo simulasyon yöntemi kullanılarak çeşitli dağılımlar ve örneklem büyüklükleri için karşılaştırıldı. Elde edilen test istatistiklerin ampirik gücü Tablo 5’de verilmiştir.

n Y Y Y₁, ₂,..., G G = F H :0 H1:F≠ n X X

X₁, ₂,..., ∼U ve ∼U durumunda testinin gücünün diğer testlerden daha iyi olduğu görülmekte ve ∼ ve ∼ durumunda Mann Whitney-Wilcoxon ve İşaret testinin gücü son derece kötü olmasına karşın, ve Kolmogorov-Smirnov tetlerinin gücünün çok daha iyi olduğu Tablo 5’den anlaşılmaktadır. Sonuç olarak örneklem varyanslarının tahmini arasındaki fark büyük olduğu durumlarda Mann Whitney-Wilcoxon ve İşaret testi yerine S ve Kolmogorov-Smirnov testlerinin kullanılması daha uygun olacaktır.

(

0,1

)

n Y Y Y₁, ₂,..., X n

(

0.2,1.2 n X X ,..., , 2 1 n S Y ,...,2

(

0,1 N Y ,1 Yn N

(

0,9 n S Kaynaklar

1- Bairamov, I.G., Özkaya N., On The Nonparametric Test For Two Sample Problem Based On Spacings. Journal Of Applied Statistical Science, 10, 1: 57-68 (2000).

2- Borovkov, A.A., Asymptotically Optimal Tests for Compound Hypotheses. Theor.Prob. Appl., 20,1:447-469 (1975). 3- Borovkov, A.A., Matematical Statistics. Nauka, Moskow (1984).

4- Dixen, W.J., A Criterion for Testing the hypothesis thet Two Samples are From the same Population. Ann. Math. Stat., 11:199-204 (1940).

5- Siddiqui M., Gürler Ü., A Two Sample Matching Test. Order Statistics and Nonparametrics:Theory and Appl., 237-243 (1992).

6- Smirnov, N., On the Estimation of the Discrepancy Between Emprical Curves of Distribution for Two Independent Samples. Bull. Math. Univ. Moscow, 2,2:3-16 (1939).

7- Wald, A., Wolfowitz J., On a Test Whether Two Samples are From the same Population. Ann. Math. Stat., 11:147-162 (1940).

8- Wilks, S.S., A Combinatorial Tests for the Problem of Two Samples are From Continuous Distributions. Proc. Fourth Berkeley Symp. on Math. Stat. and Prob., University of California Press (1962).

(10)